Poglavje 3 Osnovni pojmi dinamike

108 Poglavje 5. DINAMIKA - OBRAVNAVA MATERIALNIH TELES MED GIBANJEMVztrajnostni moment delca dm je glede na os O, ki poteka skozi težišče enak∫ (xJ 0 = 2 + y 2) dm (5.136)Vztrajnostni moment glede na drugo os O ′ pa je∫ ((xJ = − a) 2 + (y − b) 2) dm (5.137)ker je kvadrat razdalje točke T(x,y,z) od izbrane osi O ′ enak (x − a) 2 + (y − b) 2 . Tako sledi∫ (xJ = 2 + y 2) dm + ( a 2 + b 2) ∫ ∫ ∫dm − 2a xdm − 2b y dm (5.138)Če z x in y označimo koordinati težišča, potem velja∫xdm = m x in∫y dm = m y (5.139)Ker leži težišče na osi z, torej je x = y = 0 in je ∫ dm = m masa telesa, sledi od tod končni rezultat:J = J 0 + m d 2 (5.140)Z d = √ a 2 + b 2 smo označili oddaljenost osi O ′ od težišča. Tako smo dobili tako imenovani Steinerjevizrek:Vztrajnostni moment za poljubno os je enak vsoti vztrajnostnega momenta za vzporedno os skozitežišče in vztrajnostnega momenta telesa glede na prosto os, če bi bila vsa masa koncentrirana vtežišču.Primer 5.11 Primer za dolgo palico, ki jo vrtimo v krajišču (primerjaj slika 5.12.b):J = m l212 + m l 2=2(m l)23(5.141)△5.3.2 Smerni kosinusiSmerni kosinusi smeri so kosinusi kotov α,β in γ, ki jih ustrezni poltrak oklepa s pozitivnimi osmikoordinatnih osi. Koti α,β in γ leže vedno med 0 o in 180 o . Če je npr. α = 0 o se smer ujema spozitivno smerjo osi x. Pri α = 180 o pa se poltrak ujema z negativno smerjo osi x.Na kratko zaznamujmo smerne kosinuse z l,m in n:l = cos α, m = cos β, n = cos γ (5.142)