Zastosowanie teorii pierścieni w praktyce - Wydział Matematyki i ...

wmii.uwm.edu.pl

Zastosowanie teorii pierścieni w praktyce - Wydział Matematyki i ...

Uproszczenie wyrażeń2x+(y −x) = x+ySpotkania z Matematyka˛Zastosowanie teorii pierścieniw praktyceAleksander Denisiukdenisjuk@matman.uwm.edu.plUniwersytet Warmińsko-Mazurski w OlsztynieWydział Matematyki i Informatykiul. Słoneczna 54, pok. E1/710-561 OlsztynSpotkania z Matematyka ˛ – p. 3Spotkania z Matematyka ˛ – p. 1Uproszczenie wyrażeń. SzczegółyZastosowanie teorii pierścieniw praktyce2x+(y −x) == 2x+(y +(−x))= 2x+((−x)+y)= (2x+(−x))+y= (2x+(−1)·x)+y= (2+(−1))·x+y= 1·x+y= x+yNajnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest podadresemhttp://wmii.uwm.edu.pl/~denisjuk/uwm/Spotkania z Matematyka ˛ – p. 4Spotkania z Matematyka ˛ – p. 2


Układy, dla których spełniono 1–8Uproszczenie wyrażeń. ZasadyZQRreszty modulo 6reszty modulo nWniosek 2. We wszystkich tych układach prawidłowy jest wzór(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 21. łaczność ˛ dodawania (a+b)+c = a+(b+c)2. przemienność dodawania a+b = b+a3. istnieje zero 0, takie że a+0 = 0+a = a4. istnieje liczba przeciwna −a, taka żea+(−a) = (−a)+a = 05. łaczność ˛ mnożenia a(bc) = (ab)c6. przemienność mnożenia ab = ba7. istnieje jedynka 1, taka, że a·1 = 1a = a8. rozdzielczość mnożeniaa(b+c) = ab+ac(a+b)c = ac+bcSpotkania z Matematyka ˛ – p. 7Spotkania z Matematyka ˛ – p. 5PierścienieTwierdzenieDefinicja 3. ZbiórX, na którym określone sa˛dodawanie i mnożenie,spełniajace ˛ warunki 1–8 nazywa się przemiennym pierścieniemz jedynka˛Uwaga 4. Pierścieniem nazywa się zbiór, na którym określone sa˛dodawanie i mnożenie, spełniajęce warunki 1–8 bez 6 i 7Twierdzenie 1.Dowód. Za pomoca˛zasad 1–8(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2Spotkania z Matematyka ˛ – p. 8Spotkania z Matematyka ˛ – p. 6


DzieleniePrzykład pierścienia9. jeżeli a ≠ 0, to istnieje a −1 , element odwrotny, taki żea·a −1 = a −1 ·a = 110. 0 ≠ 1Definicja 7. Jeżeli dodawanie i mnożenie określone naX spełniaja˛warunki 1–10, toX nazywa się ciałem (niekiedy się mówi przemiennymciałem)Niech dany będzie niepusty zbiór TX będzie zbiorem podzbiorów TA+B = (A∪B)\(A∩B)A·B = A∩BSpotkania z Matematyka ˛ – p. 11Spotkania z Matematyka ˛ – p. 9Przykłady ciałDziałania w pierścieniu XQRa+bTa·bTreszty modulo n, jeżeli n jest liczba˛pierwsza˛liczby algebraiczneliczby algebraiczne postaci a+ √ 2b, gdzie a,b ∈ QTwierdzenie 5. X jest przemiennym pierścieniem z jedynka˛Spotkania z Matematyka ˛ – p. 12Wniosek 6. ∀a,b ∈ X: (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 Spotkania z Matematyka ˛ – p. 10


Obliczenie pierwiastkakwadratowegoPodwojenie sześcianu√ rZadanie 8. Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej, niż danysześcianZadanie 9. Dany jest odcinek długości 1. Skonstruować (za pomoca˛cyrkla i linijki) odcinek długości3√21rSpotkania z Matematyka ˛ – p. 15Spotkania z Matematyka ˛ – p. 13Jakie liczby można skonstruować?Konstrukcje geometryczne1,2,3,..., 1, 1, 2 ,... — ciało Q2 3 3r s rliczby p+q √ r, gdzie p,q,r ∈ Q — ciało F 1r+sr−ssliczby p+q √ s, gdzie p,q,s ∈ F 1 — ciało F 2i tak dalej: Q ⊂ F 1 ⊂ F 2 ⊂ F 3 ⊂ ··· ⊂ F k−1 ⊂ F k ⊂ ···Twierdzenie 11. Każda konstruowalna liczba należy do jednegoz ciałF i przy odpowiednio dobranychr,s,...rssrrs11rsWniosek 10. ZbiórK konstruowalnych liczb tworzy ciało (podciałoR).Spotkania z Matematyka ˛ – p. 16Spotkania z Matematyka ˛ – p. 14


Pierścień Z 7Załóżmy, że 3 √2 można skonstruowaćdni sa˛podzielone na klasy: poniedziałek, wtorek,środa, czwartek, piatek, ˛ sobota, niedzielaprzykładowo, środa={...,−11,−4,3,10,17,...} —wsystkie liczby, kongruentne z 3 modulo 7, 7q +3niech [x] będzie zbiorem liczb, kongruentnych z xmodulo 7dodawanie [x]+[y] = [x+y]mnożenie [x]·[y] = [x·y]pierścień Z 73√2 /∈ Qistnieje taki ciag ˛ ciałQ ⊂ F 1 ⊂ F 2 ⊂ F 3 ⊂ ··· ⊂ F k−1 ⊂ F k ⊂ ···, że3√2 /∈ Fk−1 oraz 3√ 2 ∈ F k3√2 = p+q√t, gdzie p,q,t ∈ Fk−1 , √ t /∈ F k−1(p 3 +3pq 2 t−2)+(3p 2 q +q 3 t) √ t = 0p 3 +3pq 2 t−2 = 0 oraz 3p 2 q +q 3 t = 0więc p−q √ t też jest pierwiastkiem trzeciego stopniaz dwójkiz czego wynika, że 3√ 2 ∈ F k−1 , czyli sprzecznośćSpotkania z Matematyka ˛ – p. 19Spotkania z Matematyka ˛ – p. 17Pierścień Z nInne geometryczne zagadnienianiech [x] będzie zbiorem liczb, kongruentnych z xmodulo ndodawanie [x]+[y] = [x+y]mnożenie [x]·[y] = [x·y]pierścień Z nTrysekcja kata˛w prypadku kata ˛ 60 ◦ : skonstruować pierwiastekrównania x 3 −3x = 1Kwadratura kołaskonstruować liczbę πWielokat ˛ foremnymożńa skonstruować wtedy i tylko wtedy, gdy liczbaboków równa jest 2 n ·p 1 ...p b , gdzie p i sa˛różneliczby pierwsze postaci 2 2c +1 (liczby Fermata)przykładowo,( )65537-kat ˛ można skonstruować2 232 +1 -kat ˛ nie możnaSpotkania z Matematyka ˛ – p. 20Spotkania z Matematyka ˛ – p. 18


Ciało de BruijnaLiczby zespoloneX = {0,1,p,q}+ 0 1 p q0 0 1 p q1 1 0 q pp p q 0 1q q p 1 0p 2 +p+1 = 0× 0 1 p q0 0 0 0 01 0 1 p qp 0 p q 1q 0 q 1 pa+bi, gdzie i 2 = −1wprowadźmy liczby zespolone analogicznie dopierścienia Z 7w pierścieniu Z 7 obowiazuje ˛ 7 = 0 ⇒ kongruencjamodulo 7w liczbach zespolonych powinno być x 2 +1 = 0 ⇒kongruencja modulo x 2 +1pytanie: co jest kongruentne?odpowiedź: pierścień wielomianów, R[x]Spotkania z Matematyka ˛ – p. 23Spotkania z Matematyka ˛ – p. 21Współrzędne na planszyGra samotnik (solitaire)(−1,3) (0,3) (1,3)(−1,2) (0,2) (1,2)(−3,1) (−2,1) (−1,1) (0,1) (1,1) (2,1) (3,1)(−3,0) (−2,0) (−1,0) (0,0) (1,0) (2,0) (3,0)(−3,−1) (−2,−1) (−1,−1) (0,−1) (1,−1) (2,−1) (3,−1)(−1,−2) (0,−2) (1,−2)(−1,−3) (0,−3) (1,−3)Gdzie może się znajdować ostatni pionek?Spotkania z Matematyka ˛ – p. 24Spotkania z Matematyka ˛ – p. 22


Niezmienniki stanów planszyA(S) = ∑ p k+lB(S) = ∑ p k−lna poczatku ˛ gry A(S) = B(S) = 1a więc na końcu p k+l = p k−l = 1czyli k i l sa˛wielokrotnościami trójkimożliwe stany: (−3,0), (0,3), (3,0), (0,−3) oraz (0,0)(wszystkie sa˛osiagalne)˛Spotkania z Matematyka ˛ – p. 25

More magazines by this user
Similar magazines