2. základní teoretický aparát k řešení technických problémů

kvm.tul.cz

2. základní teoretický aparát k řešení technických problémů

2. ZÁKLADNÍ TEORETICKÝ APARÁT K ŘEŠENÍTECHNICKÝCH PROBLÉMŮTechnické vědní obory se zabývají řešením široké škály různých problémů.Jejich úspěšné zvládnutí je podmíněno kvalitními znalostmi z matematiky a fysiky:obě vědní discipliny zná student techniky již od útlého dětství. S prvnímimatematickými a fyzikálními operacemi a zákonitostmi se každý člověk začínáseznamovat již na základní škole, středoškolské studium by mělo znalostiz matematiky a fyziky významně rozšířit a prohloubit, na vysoké škole technickéhozaměření jsou potom matematika a fysika zastoupeny velkým podílem ve studijníchprogramech dvou prvních ročníků.Velký důraz na studium matematiky a fyziky na technických školách je dánskutečností, že řešení prakticky jakéhokoliv technického problému se neobejde bezvýpočtů, přičemž výpočty nejčastěji vyjadřují buď v obecných vztazích, nebov konkrétních numerických hodnotách souvislosti různých fyzikálních veličin (času,geometrických rozměrů, pohybových vazeb či silových nebo energetických poměrů).Výpočtová řešení se většinou vedou s využitím aparátu vyšší matematiky, základnímpředpokladem jsou však spolehlivé znalosti základních matematických operací(algebra, trigonometrie, analytická geometrie, řešení soustavy rovnic) a mezinezbytné znalosti potom patří postupy vyšší matematiky (matematická analýza,diferenciální a integrální kalkulace, řešení diferenciálních rovnic, statistická analýza,teorie pravděpodobnosti a j.). Zvláštní skupinu potom tvoří numerické matematickémetody: jejich význam je zejména ve spojení se složitými a technicky náročnýmivýpočty pomocí moderní výpočetní techniky.Stejný význam jako matematika má pro technické vědy fyzika. Jestližematematika svými logickými postupy a zákonitostmi je prostředkem, umožňujícímpopsat a řešit určitý problém, formulace technického problému pro jeho následnýmatematický popis musí vycházet ze správné fyzikální představy problému: jinakřečeno, pro řešení technického problému se zpravidla musí nejprve vytvořitpředstava fyzikální skutečnosti, která (často s určitým přijatelným zjednodušením)vysvětluje souvislosti jednotlivých fyzikálních veličin - tyto souvislosti jsou potomvyjádřeny příslušnými matematickými vztahy.Velmi důležitým krokem matematického popisu fyzikálního modelu(a z hlediska správnosti řešení krokem podstatným) je rozměrová kontrola(rozměrová analýza): touto kontrolou se prověří formální správnost sestavenýchrovnic z hlediska souladu rozměrových jednotek fyzikálních veličin na vstupní avýstupní (levé a pravé) straně rovnice. Pro rozměrovou kontrolu je tedy nezbytnéspolehlivě znát rozměrové jednotky jak základních, tak odvozených fyzikálních veličina umět s nimi správně zacházet.K požadovaným vědomostem technických pracovníků patří vedle matematikya fyziky i chemie: znalosti chemických zákonitostí se uplatňují zejména při řešeníněkterých zdánlivě speciálních úloh (např. v nauce o materiálech, v řešení problémůspalování a pod.) - uvážíme-li však, že problematika technických materiálů a různýchenergetických záležitostí se vyskytuje prakticky ve všech technických odvětvích, jezřejmé, že znalosti z chemie musí být rovněž ve vědomostním fondu absolventavysoké školy technického zaměření.21


3. Určete síly v táhlech závěsu podle obrázku,jestliže ve spojnici táhel působí síla F = 10 1E 1 =E 2 =EkN. Obě táhla závěsu jsou vyrobena zeE 1 , S 1 S 1 =S 2 =Sstejného materiálu (ocel s modulem pružnostiE = 2,1∗10 5 MPa) a obě táhla mají stejný30 o Fpříčný průřez S = 2 cm 2 , prodloužení táhel30 ozávěsu při zatížení silou F jsou v oblastipružných deformací. Vyznačte graficky rozkladE 2 , S 22sil ve spojnici táhel a matematicky vyjádřeteLvelikost silového zatížení jednotlivých táhel.Určete numericky velikosti sil a napětí v jednotlivých táhlech.Výsledky: F 1 = F 2 =5,773 kN, σ 1 =σ 2 = 28,86 MPa4. Určete síly v táhlech závěsu podle obrázku, jestliževe spojnici táhel působí síla F = 10 kN. Obě táhlazávěsu jsou vyrobena ze stejného materiálu (ocels modulem pružnosti E = 2,1∗10 5 MPa) a obě táhlamají stejný příčný průřez S = 2 cm 2 , prodlouženítáhel závěsu při zatížení silou F jsou v oblastipružných deformací. Vyznačte graficky rozklad silve spojnici táhel a matematicky vyjádřete velikostsilového zatížení jednotlivých táhel. Určetenumericky velikosti sil a napětí v jednotlivýchtáhlech.Výsledky: F 1 = F 2 =7,071 kN, σ 1 =σ 2 = 35,35 MPa12E 1 =E 2 =EE 1 , S 1S 1 =S 2 =S45 oF45 oE 2 , S 2L5. Určete síly v táhlech závěsu podle obrázku, jestliževe spojnici táhel působí síla F = 10 kN. Obě táhlazávěsu jsou vyrobena ze stejného materiálu (ocels modulem pružnosti E = 2,1∗10 5 MPa) a obě táhlamají stejný příčný průřez S = 2 cm 2 , prodlouženítáhel závěsu při zatížení silou F jsou v oblastipružných deformací. Vyznačte graficky rozklad silve spojnici táhel a matematicky vyjádřete velikostsilového zatížení jednotlivých táhel. Určetenumericky velikosti sil a napětí v jednotlivýchtáhlech.12E 1 =E 2 =EE 1 , S 1S 1 =S 2 =S45 oF30 oE 2 , S 2LVýsledky: F 1 =5,176 kN, F 2 =7,32 kN, σ 1 =25,88 MPa,σ 2 =36,6 MPa23


6. Pro zakreslený časový průběh rychlosticharakteristického bodu (např. těžiště)vyšetřovaného tělesa zakresleteodpovídající časový průběh zrychlenív tomtéž charakteristickém bodě. Zapištematematický vztah, vyjadřující obecnousouvislost rychlosti a zrychlenív libovolném čase t.Výsledek:vava0Vyznačte průběh zrychlení a,odpovídající zakreslenémuprůběhu rychlosti vvta0t7. Pro zakreslený časový průběh zrychlenícharakteristického bodu (např. těžiště)vyšetřovaného tělesa zakreslete odpovídajícíčasový průběh rychlosti v tomtéžcharakteristickém bodě. Zapište matematickývztah, vyjadřující obecnou souvislost rychlosti azrychlení v libovolném čase t.vaVyznačte průběh rychlosti v,odpovídající zakreslenémuprůběhu zrychlení aaVýsledek:va0tv0t8. Vyjádřete velikost práce, kterou vykoná pístčerpadla (průměr pístu D = 50 mm, zdvih Z= 150 mm) během jedné otáčky klikovéhohřídele při vytlačování kapaliny z prostředí otlaku p 1 = 100 kPa do prostředí o tlaku p 2 =0,8 MPa. Jaký výkon je potřeba k pohonutohoto pístového čerpadla, jestliže početotáček klikového hřídele čerpadla je n č =120 1/min ?Výsledky: práce pístu W p = - 206,16 [J]p 2 =0,8 MPaZp 1 =100 kPan=120 [1/min]∅D(záporné znaménko = vynaložená práce), výkon potřebný k pohonučerpadla (tj. příkon) P č = 0,412 [kW] .9. V kotli se spálí každou sekundu 10 kg uhlí o výhřevnosti 25 MJ. kg -1 . Jaký tepelný(energetický) výkon tím uvolníme (v ideálním případě) ?Výsledek: tepelný výkon P t = 25[MJ.kg -1 ] . 10 [kg.s -1 ] = 250 [MJ.s -1 ] = 250 MW .24


10. V elektrickým přímotopném tělese spotřebujeme za den 10 kWh elektrické práce.Kolik tepelné energie [MJ] tím získáme (v ideálním případě) ?Výsledek: tepelná energie W t = 10 [kWh] = 10.3600.10 3 [J] = 36 MJ.K vyřešení předcházejících úloh postačí znalosti středoškolské matematiky afyziky. Ve strojírenství se ale vyskytuje řada problémů, k jejichž řešení jsou potřebaznalosti vyšší matematiky, hlubší znalosti fysiky a především schopnost správněproblém analyzovat a popsat (fyzikálně, matematicky i technicky). Všechny tytopotřebné znalosti si musí studenti strojní fakulty osvojit při výuce základníchteoretických předmětů: matematika a fyzika prochází trvale touto výukou. Několikjednoduchých technických příkladů ukazuje důležitost kvalitních vědomostí ze středníškoly a nutnost rozšiřování těchto vědomostí systematickým studiem matematiky,fyziky a dalších předmětů teoretického základu strojírenství na strojní fakultě prořešení technických úloh z různých oblastí.11. Závěs vytvořený soustavou 3 prutů (se symetrickým rozložením krajních prutůkolem prostředního svislého prutu), je zatížen osamělou svislou silou F. Jakousilou bude zatížen prostřední svislý prut?•≡ Jednotlivé pruty závěsu jsou vyrobeny ze stejného materiálu (oceli): modulpružnosti materiálu E a příčný průřez prutu S mají u všech prutů stejnouvelikost. Deformace závěsu při zatížení silou F jsou v oblasti pružnýchdeformací.2 21∆≡LL 2αBmodul pružnostiE = E = E1L 1F 12´2´F 2 A F2Fα∆≡LL 22průřezS = S = S2 1 2Řešení:•≡•≡Po zatížení závěsu silou F se posune závěsný bod A do polohy B, posunutí jevzhledem k pružným deformacím velmi malé.Podmínka statické rovnováhy, sestavená pro silové poměry v bodě B, jevyjádřena jedinou rovnicíF1+ 2⋅F2⋅cosα= F .Tato jedna rovnice nevede k jednoduchému a přímému řešení pomocí statiky,neboť úloha je staticky neurčitá: proto je nutno definovat další podmínky.25


•≡•≡Rovnici statické rovnováhy doplňuje rovnice deformační, sestavená pomocípopisu situace po posunutí závěsu z původní polohy A do nové pozice B přizatížení (viz schéma geometrických poměrů v místě závěsu po deformaci vezvýrazněném znázornění): velmi malé deformace při posunu A → B opravňujípředpokládat zachování původního úhlu α mezi pruty. Potom platí∆L 2= ∆L1⋅cosα.Deformace (prodloužení) jednotlivých prutů v pružné oblasti vyjadřuje Hookůvzákon (ε je poměrná deformace - prodloužení, σ je napětí v materiálu):∆L1σ1F1∆L2σ2F2ε1= = = ε2= = =L1E1E1⋅ S1L2E2E2⋅ S2Po úpravě dostaneme∆L1∆L2F1 = ⋅ E1⋅ S1F2 = ⋅ E2⋅ S2L1L2Pomocí rovnice deformační podmínky ∆L 2= ∆L1⋅cosαa geometrie závěsuL1L2=cosαupravíme∆L1⋅cosαF2 = ⋅ E2⋅S2L1cosαVzhledem k tomu, že E 1 = E 2 a S 1 = S 2 , lze rovnici pro F 2 dále upravit2F2= F1⋅ cos αPo dosazení do rovnice statické rovnováhy dostaneme2F1 + 2F1⋅ cos α ⋅ cos α = FZ rovnice vyplývá síla ve středním prutuF= 13F( 1+2cos α)12. Vačkový mechanizmus vstřikovacího čerpadlazajišťuje pohyb pístku při výtlačném zdvihu.Zdvihová závislost h p pohybu pístku na úhlunatočení α v vačkového hřídele je určenageometrií boku vačky a vačkovéhomechanizmu: určí se výpočtem a lze ji snadnozkontrolovat přímým měřením. Vedle zdvihovézávislosti jsou pro činnost vstřikovacíhočerpadla velmi důležité průběhy rychlosti azrychlení pístku (kinematické a dynamickéveličiny, ovlivňující funkci čerpadla) - určetepodle známého průběhu zdvihu pístku průběhyrychlosti a zrychlení pístku při otáčkáchvačkového hřídele n = 1000 1/min.avpph pα vω26


13. Jednoválcový pístový kompresor stlačuje vzduch z tlaku p 1 na tlak p 2 ,geometrické rozměry válcové jednotky ukazuje schématický nákres: V 1 jecelkový objem ve válci (dolní úvrať) při naplnění válce tlakem p 1 , V 2 je objem veválci při dosažení výtlačného tlaku p 2 a objem V 3 je celkový objem ve válci nakonci výtlaku (horní úvrať - škodlivý prostor). Určete práci, potřebnou na stlačenía výtlak vzduchu: při stlačování uvažujte se3 2střední hodnotou polytropického exponentu np p2v celém průběhu stlačování.dV•ι•ι21p2p1VVp1VpV3 2 1Řešení:•ι Celková práce W = W STLAČ+ WVYTL•ι Práce na stlačení při tlaku p běhemelementárního posunu pístu o dx se určívýpočtem pomocí diferenciálního vyjádřeníelementu práce v libovolné poloze pístu přistačování dW = p ⋅ Sp⋅ dx = p ⋅ dV (SSTLAČp jeplocha pístu)Práce na stlačení z tlaku p 1 na tlak p 2 se určí jako součet elementárních pracívykonaných při změně objemu z V 1 na objem V 2 . Matematicky je tento součetproveden integrací funkce, vyjadřující elementární stlačovací práci:W1STLAČ=V2V1dWSTLAČ=V2V1p ⋅dVVzhledem k tomu, že tlak p ve válci se při stlačování mění v závislosti na objemuV, je nutno tuto závislost zapsat do integrované funkce. Průběh stlačovánívzduchu ve válci je polytropickým dějem, popsaným rovnicí (fyzika,termodynamika)nnn −np V = konst = p ⋅V p = p ⋅V⋅V⋅1 11 1.Po dosazení do integrálu dostanemeV2n −nn −n p1⋅V1⋅VdV = p1⋅V1⋅ V⋅W =dV .STLAČV1nČlen p1 ⋅ V1je konstanta a byl tedy zapsán před integrační znaménko. Integracefunkce je provedena podle pravidel integrálního počtu.V2( −n+1)V2nn −nn V p1⋅V11−n1−nW = p1⋅V1⋅ V⋅ dV = p1⋅V1 = [ V2−V1] .STLAČ−n + 11−nV1V1Pozn: W STLAČ vyjde v záporné velikosti a je tedy prací, která byla vynaložena, tj.spotřebována na stlačení.V2V1•ιElementární práci na vytlačování vzduchu z válce při stálém tlaku p 2 určujediferenciální rovnice= p 2⋅ dV .dW VYTL28


•ι•ιPráce na vytlačení stlačeného vzduchu z válce (z objemu V 2 do zbytkovéhoobjemu V 3 ) se určí integrací předcházející diferenciální rovnice (při konstantnímtlaku p 2 = p 3 ):Pozn:WV3V3VYTL= p2⋅ dV = p2VV22dV=p2V3[ V ] = p [ V −V]W VYTL má rovněž zápornou velikost (je to opět práce vynaložená).Celková práce na stlačení a výtlak má potom velikostV2232W= WSTLAČ+ WVYTL=p1⋅V1−nn11−n1−n[ V −V] + p [ V −V]21232Rozšíření matematického aparátu o diferenciální a integrální počet studiemmatematiky na strojní fakultě umožňuje řešit i složité technické úlohy. Vyššímatematika se všemi součástmi, které mají význam pro strojírenskou praxi, patříproto dlouhodobě a neodmyslitelně do výzbroje technického vzdělání. Z tohotodůvodu je výuka matematiky v prvních 2 ročnících na strojní fakultě zařazena do 4samostatných předmětů v bakalářském studijním programu a do 5 samostatnýchpředmětů v magisterském studijním programu.Nový rozměr matematiky pro strojírenství přinesla výpočetní technika -zejména numerické metody pro řešení různých typů diferenciálních rovnic zvyšujímožnosti a potenciál matematiky pro využití v technických oborech. Výuka předmětuPočítače a programování v 1. semestru studia na strojní fakultě, která ukazujemoderní přístup k výpočtovému a grafickému zpracování různých technických úloh,proto rovněž vyžaduje kvalitní znalosti matematiky pro efektivní a správné využívánívýpočetní techniky.Výuku matematiky a fyziky na strojní fakultě TU v Liberci zajišťují katedrymatematiky a fyziky z pedagogické fakulty TU v Liberci.Výuka technických předmětů teoretického základu pro strojírenství je potomna katedrách fakulty strojní: katedře mechaniky, pružnosti a pevnosti, katedřeenergetických zařízení, katedře aplikované kybernetiky a katedře částí amechanizmů strojů.Absolventi strojní fakulty se musí vedle teoretických řešení různýchkonstrukčních, technologických či provozních problémů velmi často zabývatexperimentálním ověřováním podmínek, zadávaných jako vstupní údaje do těchtořešení a musí být připraveni provádět měření, kterým se kontroluje soulad meziteoretickým řešením a skutečným výsledkem (tzv. verifikace nebo kalibracevýpočtového modelu). Vedle zjišťování rozměrových a geometrických údajů musítechnik dokázat správně změřit a vyhodnotit další fyzikální veličiny jako rychlost,frekvenci, teplotu, tlak, průtočná množství a pod.: měření přitom mohou být jak vestatickém, tak v dynamicky proměnlivém režimu. Osvojení správných postupů přitěchto měřeních poskytují studentům strojní fakulty předmět Fyzika, předmětyteoretického základu pro strojírenství a další speciální předměty jako Technickáměření, Elektronika a měření, Experimentální metody, Technická diagnostika a příp. ijednotlivé experimentální úlohy v dalších předmětech jednotlivých studijních oborů azaměření.29


Vedle odborných teoretických a praktických znalostí pro technickou práci vestrojírenství je potřeba i dobrá jazyková vybavenost a to jak pro studium zahraničnítechnické literatury, tak (a to zejména) k přímým kontaktům se zahraničními partnery.Tento požadavek je studenty stále podceňován, nastupující nová generace se ale vdnešním konkurenčním prostředí bez aktivní znalosti 2 cizích jazyků praktickynemůže významněji prosadit. Studenti by proto měli využívat všech současnýchnabídek (např. střednědobé studijní pobyty v zahraničních technických školách ainstitucích, zahraniční praxe a pod.), aby získali potřebnou jazykovou kvalifikaci.30

More magazines by this user
Similar magazines