Numerické metody – studijní opora

Požadavky na spojitost prvních a druhých derivací ve vnitřních uzlech sítěstanovují dalších 2n − 2 podmínek. Jelikož žádné další podmínky stanovenynejsou, obsahuje uvedená konstrukce dva volné parametry. V praxi bývajípředepsané podmínky nejčastěji doplněny jednou z následujících dvojicpodmínek:• S ′′ (x 0 ) = S ′′ (x n ) = 0.• S ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 ), S ′ (x n ) = f ′ (x n )Splňuje-li kubický interpolační splajn první dvojici podmínek nazývá se přirozenýsplajn, v případě druhé dvojice dodatečných podmínek hovoříme oúplném splajnu.(ii) Podotýkáme jen, že ačkoli kubický splajn nabývá v daných bodech stejnýchhodnot jako daná funkce, pro hodnoty první a druhé derivace už tomu taknení. V uzlových bodech je zaručena spojitost první a druhé derivace kubickéhosplajnu, ale hodnoty těchto derivací jsou obecně různé od hodnotderivací aproximované funkce.yP i (x)P (x) 1S(x)P n(x)x x x x x x0 1 i - 1 i n - 1 nObr. 3.5xPodmínky z definice kubického splajnu využijeme při jeho konstrukci. Na každémintervalu 〈x i−1 ,x i 〉 bude splajn popsán polynomem třetího stupně, který budemeuvažovat ve tvaruP i (x) = a i + b i (x − x i−1 ) + c i (x − x i−1 ) 2 + d i (x − x i−1 ) 3 , (3.6)kde i = 1,... ,n. Naším úkolem je odvodit vztahy pro výpočet koeficientů a i , b i ,c i a d i , které určují jednotlivé polynomy P i tvořící splajn S.Dosazením hodnoty x i−1 do (3.6) dostaneme vztahy pro koeficienty a i ,P i (x i−1 ) = f i−1 = a i . (3.7)39