1 - 名古屋大学 素粒子宇宙起源研究機構（KMI）

Ⅰ. 弦 の 場 の 理 論 とは• 点 粒 子 の 場 の 理 論 と 同 じ 手 続 きで 構 築• Yang-Mills 理 論 のゲージ 対 称 性 と 一 般 座 標変 換 不 変 性 を 含 む、より 大 きな 対 称 性 を 持 った 理 論• 弦 理 論 の 非 摂 動 的 真 空 の 記 述Set up ボゾニックな 開 弦 26 次 元

弦 の 場 の 理 論 の 構 築 (1)• 点 の 場 の 理 論世 界 線 のDiffeo → QBphys QB場 φを 導 入 EOMとして 条 件 を 満 たす→4τ• 弦 の 場 の 理 論QB世 界 面 のDiffeo →phys 0 QB 場 ψを 導 入 EOMとして 条 件 を 満 たすS2 20 cH c p m1 2□m( ) int ( )2 d x x xcTmat12Tghτσ→S1 2 DXBX( ) Q X( ) int

点 粒 子 の 場弦 の 場 の 理 論 の 構 築 (2) 3 ikx(x)d k e a(k ) eikxa†( k )弦 の 場Ψ[X μ (σ),b(σ),c(σ)] String 座 標 の 汎 関 数H ws1n11nbi mbmcj 11ck[X, b,c]d26kn ( k)nn位 置 と 形 を 分 けて 展 開d26k t(k) A ( k) B(k)c b 0; k101SQB d261x( t) 22 t214F212( B A)2

点 粒 子 の 場弦 の 場 の 理 論 の 構 築 (2)(x)d3kk0eikxa(k ) eikxa†( k )弦 の 場 Ψ[X(σ),b(σ),c(σ)] 世 界 面 が 座 標X( ) x i量 子 化 により'2 nnncos( n)固 有 モードの 生 成 消 滅位 置 と 形 を 生 成 消 滅[X,b,c]d26k ( k)nnd26k t(k) A ( k) B(k)c b 0; k101

弦 の 場 の 理 論 の 構 築 (3)• 相 互 作 用 3 点 相 互 作 用 の 理 論 (Cubic 型 )32局 所 場 の 理 論 ( x1 x2) ( x2 x3) ( x3 x1)13123r1 2 026弦 の 場 の 理 論X( r)( ) X( r1)( )

弦 の 場 の 理 論 の 構 築 (3)• 相 互 作 用 3 点 相 互 作 用 の 理 論 (Cubic 型 )3 20局 所 場 の 理 論 ( x1 2x2) ( x22x3) ( x3 x1)31120 23r1 2 026弦 の 場 の 理 論X( r)0( ) X( r1)( )

作 用 と 運 動 方 程 式CSFTの 作 用 はS1g11 Q 32 B2o 運 動 方 程 式 はQ B 0dAAAF 0

演 算 の 定 義積 :2つの 弦 の 場 から 新 しい 弦 の 場 を 作 る 演 算A[ X ] B[Y ] ( AB)[Z ]Y ( )0X ( )LAB[z( )]0 ' 2 2RdY ( ') dX ( ') Z( ) Z( )0 2 2 XLRL 2'' ZLRRY X ( '') Y( '') A[X ( '')] B[Y ( '')]

演 算 の 定 義 :1つの 弦 の 場 から 数 を 作 る 演 算 A[X ]A0dX ( ) 00' 2 2弦 座 標 の 右 と 左 を引 っ 付 けて 積 分X( ') X ( ') A[X ( ')]

S1g11 Q 32 B2o LR

演 算 の 性 質 01)()()(1)()()(02BABBABBBQABBACBACBABQABAQBAQQとABCA*B*CABBA

Chern-Simons 理 論 とCSFTの 類 似 性SCH M12A ddA 13A MA A dd(A B)( A B) C A ( B C)2M 0A BA dB ( 1) ( 1)ABMAB AdA BSCSFT1gQ B1 Q22 Bo 13 QQ( AB)C2BB 0( AB)AB ( Q ( 1)A) B ( 1) A(B C)ABBB AAAQBB

CSFTのゲージ 対 称 性• 演 算 子 の 性 質 を 使 うとCSFTの 作 用 は 次 のゲージ 変 換 で 不 変 であることが 示 せる。• 弦 の 場 を 展 開 し 成 分 毎に 見 るとYang-Mills 理 論の 変 換 が 出 てくることが分 かる。 t(x)AQB ( A dA A A) ( x)b t(x)( x)B(x) A21 ( x)( x) ( x)弦 の 場 の 理 論 はYang-Mills 理 論 (と 一 般 相 対 論 )を内 包 する 大 きなゲージ 対 称 性 を 持 った 理 論

非 摂 動 論 的 真 空• ある 古 典 解 まわりの 揺 らぎを とするとS[但 し QCLNew CL1 ] S[CL] QNew 2 Q BCLCL133VQ B摂 動 論 的 真 空非 摂 動 論 的 真 空Q New CL古 典 解 まわりの 物 理 的自 由 度 はQ NewコホモロジーKerQNewのImQNew

タキオン 真 空 解→Q BQ Bのコホモロジーにはタキオン 励 起 ありの 真 空 より 安 定 な 真 空 が 存 在 するはず(タキオン 真 空 )D 25 ブレーンが 消 滅 した 真 空 ( 開 弦 の 自 由 度 無 し)’05 Schnabl 解 析 解 を 発 見Schnabl ‘05Schnabl&Erler ‘09摂 動 論 的 真 空D 25 ブレーンT 25・ StvT25・Q[ ] Newに 開 弦 の 自 由 度 無 しタキオン 真 空 (ブレーン 無 し)

Ⅱ. 開 弦 の 場 の 理 論 におけるWinding 数

Ⅱ. 弦 の 場 の 理 論 にもWinding 数 ?CSFTとChern-Simons 理 論 が 同 じ 構 造 を 持 っている。そこで・・・k 11 SCS A dA A A A S[A] N[g]2M 23 1N [ g] )224MM13gdg d( 整 数d , ,23 1N ( UQ ) BUQ B( ) 整 数 ?31(タキオン 真 空 解 はpure-gauge U )tvQ BUQ B M

NWinding 数 in CSFT32( UQ U31B) Q B 整 数 ?•CSFTにトポロジカルな 構 造 が 実 現 できるか•SFTの の「 表 面 」?∫QΨ=0? (∫ M dA=0 )( )任 意 の 弦 の 場Lに 対 して Q 0 BR

NWinding 数 in CSFT1 1( UQ )3BU Q B3 整 数 ?•CSFTにトポロジカルな 構 造 が 実 現 できるか• SFTの「 表 面 」? ∫Q(・・・)=0?• 解 析 解 探 しに 新 たな 視 点( )E1 S EOM 22N異 なるWinding 数 を 与 える 解 は 異 なる 真 空 を 表 す• 開 弦 の 結 合 定 数 が 量 子 化 される?

Winding 数 in CSFTNN1 1( UQ )3BU Q B3の 理 解 のために( 今 日 の 話 )( ) 整 数 ?◎ N = QBAA の 導 出タキオン 真 空 解 について 計 算◎ 加 法 性 :N [U 1 U 2 ]=N [U 1 ] +N [U 2 ]+ Q [ BU 1, U2◎ EOM、pure-gauge 解 について ]

Sliver 座 標 とKBc 代 数 ( 議 論 の 準 備 )上 半 面ξSliverzL中 点Rz 2 Arctan[ ]L中 点1/2R-10 10LRLRLR積 が 簡 単 に

Sliver 座 標 とKBc 代 数 ( 議 論 の 準 備 )積 様 々な 幅 を 扱 う弦 の 場 Fock state( 幅 1/2)に 収 まらない。よって 任 意 の 幅 t のstripを 作 っておこう。Kついでにゴーストと 反 ゴーストもB但 し212i ii idz2idz2iT ( z)b(z)11は 幅 ゼロのstatetKec2 c(0) 1 11t

KBc 代 数K,B,cは 以 下 の 代 数 関 係 を 満 たす。[ K,B]0{ B,c}1B2c20QBK0QBBKQBccKcY.Okawa ‘06

Apure gauge 解EOMgdg1: Q B 01UQ BUFdAA 0UをK,B,cを 用 いてかくと、 一 般 性 を 失 わないでとかける。U1F(K)BcF(K)F(K)Aex) タキオン 真 空 解F(K)K e / 2 1,1K

円 筒 上 の 相 関 関 数1KB UQBU Fc cF F F(K) : 任 意 関 数21FKtaN ~ Bc c c dt e Bc(0)c(z)c(z t)a K0円 筒KBc代 数{ B,c}1[ K,B] 0 BcF(K)Bc F(K)Bc cBF(K)Bc F(K)Bc

円 筒 上 の 相 関 関 数 N~KBFc cF F F(K) : 任 意 関 数21FKtaBc c c dt e Bc(0)c(z)c(z t)a K0円 筒a1 K0dte0tadtet(aK)tBKSchwinger parametrizationcc

1 CSFTのN =本 題 に 戻 りますの「 表 面 」を 理 解 するために1を‘ 全 微 分 ’の 形 に 直 す。UQ 3BUQ BN = A2 Q B -exactの 積 分 を 単 純 に 計 算 すると0になる。しかしN は 真 空 エネルギーに 比 例 しているので 矛 盾 。この 矛 盾 を 今 から 解 きます。( 特 にタキオン 真 空 について)

sN = U1310sdsQBQ UB1s sddsU Q 1 dsdss0 dsA13N ( UQ BU1 ) 3 Q A B13s( s10BU 1dssdds) s10( s 1)( s 0) dsss Q sBs=0sssdds摂 動 論 的 真 空を 導 入 する。10dsssddsss(∵EOM )s=1非 摂 動 論 的 真 空

タキオン 真 空 解 を 代 入→ 中 身 をよく 見 るKK QBAQN = A = 0 ?10ds B-1 = N ≠ QA B = 0Kc1s K1c1s K tKt K e etK K dt e t 010・s=1のところでKのゼロ 固 有 値 が 危 険 。・Q-exactness のせいでF(K)の 関 数 形 に 依 らず01 のregularizationとQ-exactnessを 微 少 に 破 る0必 要 あり

K ε -regularization相 関 関 数 に 含 まれるKを 全 てK+εに 置 き 換 える Q [ ] [ ] [] 1 BKQBK KK K 1注 )Q B を 作 用 させた 後 で 置 き 換 える。 Q A Bタキオン 真 空 解 に 対 して から 正 しい 結 果 を 得 たChern-Simons 理 論 のアナロジー 成 立 ?他 の 解 についても 成 り 立 つのだろうか?

加 法 性N [U 1 U 2 ] = N [U 1 ] + N [U 2 ] + △N△NQB1 1Q U U U Q U B112B2△N =0 ならばしかし、 我 々はとを 知 っている。N結 果[(U tv)n] ( U )tvn Q B() nQBUtvは N= ーnの 解が0にならないかもしれないこ23 8( n 3)22 2( n 2) 3 8 2 2( n ( n 3)2)1 ( n 1)1( n 1)22

加 法 性 は 破 れているN = 1• 加 法 性 から の 解 は 作 れた。しかしそれ 以 外の 新 しい 解 を 作 ることはできなかった。• もっと 致 命 的 なことに、N が 整 数 になるのか、という当 初 の 疑 問 に 既 に 反 例 を 与 えてしまった?• しかし、そもそもK ε -regularizationのもとで、(nnUtv) QB( Utv)N ε =K K13は 本 当 にEOMの 解 か?

Pure-gaugeとは?• Winding 数 が 位 相 的 な 量 であることにEOMの 解 であることは 重 要• 今 K ε -regularizationしたことでEOMは 一 見 εのオーダーで 破 れている。• どの 方 向 の 変 分 に 対 してEOMが 消 えるべきなのか?N[gg]MQBAA(d A A)AAd d(Ad) 0dAEOMM 2M KFc1 F2( ) EOMpure gauge?EOMcF0

結 果2(QB ) 026( n( n( n 2) 1) 2)n=±1 以 外 はpure gaugeの 資 格 無 し。n=±1が 完 全 にpure-gaugeだと 保 証 されたわけではないが・・・。

まとめCSFTにWinding 数 を 実 現 できるのか・‘ 全 微 分 ’ 形 N = QBAに 直 して 計 算単 純 には0になる 量 であるが、 慎 重 に 計 算 せねばならない 量 であることを 指 摘 。さらにタキオン 真 空 解 とその 反 転 した 解 について 正 しい値 を 与 えるregularizationを 見 つけた。・ 加 法 性 の 破 れ加 法 性 が 一 般 には 破 れている。しかし 加 法 性を 破 るΨが 古 典 解 ではないことが 分 かった。→ 課 題 へ

課 題• Winding 数 の 構 築 に 必 要 な“pure-gauge”のクラスが 不 明 。• K ε -regularization は 正 しい 正 則 化 なのか?← K ε で 何 が 起 こっているのか 分 かっていない。・SFTにおけるガウスの 定 理 は 実 現 できるのか!?MQ ( ) ( )B M

Back up

V3の 演 算 子 表 示31)2(3200000200321262632131, 1 0)()(0,)()(311)()((0)(0)ln |)((0) |'ln |1)()((0)1)('211),())()((1)('2)('21)()(200021expirrsrrrssrmswsrmrsmsrnswnrzrsnmsr n msmrnrsnmmnsmrnsnmeizizzhsrhhsrhNmwhhwwhidwmNNmnwhzhwwhidwzzhidznmNpppbcXNV

タキオン 真 空 解 もEOMを 破 っている?• N = Q A Bの 証 明 を 思 いだそう。N =131010dsdsQB s( Q10Bddsds( ss13s10dss)d) dsdsds sdds1010Q dsBsdsAs ssssddsddsQ10Bdssssddsss

タキオン 真 空 解 もEOMを 破 っている?• N = Q A Bの 証 明 を 思 いだそう。[N ] ε =131010dsdsQB1 1 d1 ds sss ds30ds0d1 d s(s s) ds sssds K→K+ε regularization0dsd 1 d ( Q B s)sds sQBds0ds 1 dsds s[ QBA ]0 dsεssddsss

タキオン 真 空 解 もEOMを 破 っている?• N = Q A Bの 証 明 を 思 いだそう。[N ] ε =11 1 d1 d ds sss ds s33 0 ds0 ds1 d1 dds s(s s) ds sss0 ds K→K+ε 0 regularizationds1 d 1 dds( Q B s)sds sQBs0 ds 0 ds 1 dsQ Bdss[ QBA ]0 dsεss

タキオン 真 空 解 もEOMを 破 っている?sencestrongEOMssEOMBsencestrongEOMssEOMsBsssBssssssdsdsddsQdsdsddsQdsddsdsdQdsdsddsdsdds101010101010101022)()(A [K ε ][N ] ε -1