Modely konkurentných systémov Formálne metódy tvorby softvéru

ii.fmph.uniba.sk
  • No tags were found...

Modely konkurentných systémov Formálne metódy tvorby softvéru

Modely konkurentných systémovFormálne metódy tvorby softvéruDamas GruskaKatedra aplikovanej informatiky, I20, gruska@fmph.uniba.skPrednáška 3.1 / 102


Bisimulácia ako kongruenciaTheoremNech pre procesy P 1 , P 2 a termy E 1 , E 2 s jednou voľnou premennouX platí P 1 ∼ P 2 a E 1 ∼ E 2 . Potomx.P 1 ∼ x.P 2P 1 + Q ∼ P 2 + QP 1 |Q ∼ P 2 |QP 1 \ L ∼ P 2 \ LP 1 [f ] ∼ P 2 [f ]µXE 1 ∼ µXE 22 / 102


Bisimulácia ako kongruenciaTheoremNech pre procesy P 1 , P 2 , R 1 , R 1 platí P 1 ∼ P 2 a R 1 ∼ R 2 . PotomP 1 + R 1 ∼ P 2 + R 2P 1 |R 1 ∼ P 2 |R 23 / 102


Bisimulácia ako kongruenciaTheoremNech pre procesy P 1 , P 2 , R 1 , R 1 platí P 1 ∼ P 2 a R 1 ∼ R 2 . PotomP 1 + R 1 ∼ P 2 + R 2P 1 |R 1 ∼ P 2 |R 2Úloha: dokážte predchádzajúcu vetu.4 / 102


Bisimulácia ako kongruenciaProces SenderSender ≡ in.send.Nil5 / 102


Bisimulácia ako kongruenciaProces SenderSender ≡ in.send.Nil6 / 102


Bisimulácia ako kongruenciaProces SenderSender ≡ in.send.NilNechP 1 | . . . |P k ∼ Sender7 / 102


Bisimulácia ako kongruenciaProces SenderSender ≡ in.send.NilNechP 1 | . . . |P k ∼ SenderProces ReceiverReceiver ≡ send.out.Nil8 / 102


Bisimulácia ako kongruenciaProces SenderSender ≡ in.send.NilNechP 1 | . . . |P k ∼ SenderProces ReceiverReceiver ≡ send.out.NilNechR 1 | . . . |R l ∼ Receiver9 / 102


Bisimulácia ako kongruenciaProces SenderSender ≡ in.send.NilNechP 1 | . . . |P k ∼ SenderProces ReceiverReceiver ≡ send.out.NilNechR 1 | . . . |R l ∼ ReceiverPotom máme(P 1 | . . . |P k |R 1 | . . . |R l ) \ {send} ∼ (Sender|Receiver) \ {send}10 / 102


Silná bisimulácia ako pevný bod11 / 102


Silná bisimulácia ako pevný bodDefinitionDefinujme f : CCS × CCS → CCS × CCS: akR ⊆ CCS × CCS tak (P, Q) ∈ f (R) iff (if and only if) pre každéx ∈ Act platí1) ak P x → P ′ tak existuje Q ′ také, že Q x → Q ′ a platí (P ′ , Q ′ ) ∈ R2) ak Q x → Q ′ tak existuje P ′ také, že P x → P ′ a platí (P ′ , Q ′ ) ∈ R12 / 102


Silná bisimulácia ako pevný bodDefinitionDefinujme f : CCS × CCS → CCS × CCS: akR ⊆ CCS × CCS tak (P, Q) ∈ f (R) iff (if and only if) pre každéx ∈ Act platí1) ak P x → P ′ tak existuje Q ′ také, že Q x → Q ′ a platí (P ′ , Q ′ ) ∈ R2) ak Q x → Q ′ tak existuje P ′ také, že P x → P ′ a platí (P ′ , Q ′ ) ∈ RTheorem1. f je monotónna,2. S je silná bisimulácia iff S ⊆ f (S).Úloha: dokážte predchádzajúcu vetu.13 / 102


Silná bisimulácia ako pevný bodDefinitionReláciu R budeme volať pevný bod f ak R = f (R).Reláciu R budeme volať pre-pevný bod f ak R ⊆ f (R).14 / 102


Silná bisimulácia ako pevný bodDefinitionReláciu R budeme volať pevný bod f ak R = f (R).Reláciu R budeme volať pre-pevný bod f ak R ⊆ f (R).Theorem1. ∼ je pevný bod f , t.j. ∼= f (∼),2. ∼ je najväčší pevný bod f .15 / 102


Silná bisimulácia ako pevný bodDefinitionReláciu R budeme volať pevný bod f ak R = f (R).Reláciu R budeme volať pre-pevný bod f ak R ⊆ f (R).Theorem1. ∼ je pevný bod f , t.j. ∼= f (∼),2. ∼ je najväčší pevný bod f .Dôkaz.16 / 102


Silná bisimulácia ako pevný bodDefinitionReláciu R budeme volať pevný bod f ak R = f (R).Reláciu R budeme volať pre-pevný bod f ak R ⊆ f (R).Theorem1. ∼ je pevný bod f , t.j. ∼= f (∼),2. ∼ je najväčší pevný bod f .Dôkaz.Keďže ∼ je silná bisumulácia, podľa predchádzajúcej vety máme∼⊆ f (∼).17 / 102


Silná bisimulácia ako pevný bodDefinitionReláciu R budeme volať pevný bod f ak R = f (R).Reláciu R budeme volať pre-pevný bod f ak R ⊆ f (R).Theorem1. ∼ je pevný bod f , t.j. ∼= f (∼),2. ∼ je najväčší pevný bod f .Dôkaz.Keďže ∼ je silná bisumulácia, podľa predchádzajúcej vety máme∼⊆ f (∼).f je monotónna a tak f (∼) ⊆ f (f (∼)) t.j. f (∼) je pre-pevný bodz čoho plynie že f (∼) je bisimulácia.18 / 102


Silná bisimulácia ako pevný bodDefinitionReláciu R budeme volať pevný bod f ak R = f (R).Reláciu R budeme volať pre-pevný bod f ak R ⊆ f (R).Theorem1. ∼ je pevný bod f , t.j. ∼= f (∼),2. ∼ je najväčší pevný bod f .Dôkaz.Keďže ∼ je silná bisumulácia, podľa predchádzajúcej vety máme∼⊆ f (∼).f je monotónna a tak f (∼) ⊆ f (f (∼)) t.j. f (∼) je pre-pevný bodz čoho plynie že f (∼) je bisimulácia.Z toho plynie f (∼) ⊆∼ a teda ∼= f (∼).19 / 102


Silná bisimulácia ako pevný bodDefinitionReláciu R budeme volať pevný bod f ak R = f (R).Reláciu R budeme volať pre-pevný bod f ak R ⊆ f (R).Theorem1. ∼ je pevný bod f , t.j. ∼= f (∼),2. ∼ je najväčší pevný bod f .Dôkaz.Keďže ∼ je silná bisumulácia, podľa predchádzajúcej vety máme∼⊆ f (∼).f je monotónna a tak f (∼) ⊆ f (f (∼)) t.j. f (∼) je pre-pevný bodz čoho plynie že f (∼) je bisimulácia.Z toho plynie f (∼) ⊆∼ a teda ∼= f (∼).∼ je najväčší pre-pevný bod a pevný bod a teda je najväčší pevnýbod.20 / 102


Alternating Bit ProtocolSender...in m , sm m,i , ms i , m ∈ M, i ∈ {0, 1}21 / 102


Alternating Bit ProtocolSender...in m , sm m,i , ms i , m ∈ M, i ∈ {0, 1}Receiver...mr m,i , rm i , out m , m ∈ M, i ∈ {0, 1}22 / 102


Alternating Bit ProtocolSender...in m , sm m,i , ms i , m ∈ M, i ∈ {0, 1}Receiver...mr m,i , rm i , out m , m ∈ M, i ∈ {0, 1}Medium 1 ...sm m,i , mr m,i , m ∈ M, i ∈ {0, 1}23 / 102


Alternating Bit ProtocolSender...in m , sm m,i , ms i , m ∈ M, i ∈ {0, 1}Receiver...mr m,i , rm i , out m , m ∈ M, i ∈ {0, 1}Medium 1 ...sm m,i , mr m,i , m ∈ M, i ∈ {0, 1}Medium 2 ...mr i , ms i , i ∈ {0, 1}24 / 102


Alternating Bit ProtocolSender...in m , sm m,i , ms i , m ∈ M, i ∈ {0, 1}Receiver...mr m,i , rm i , out m , m ∈ M, i ∈ {0, 1}Medium 1 ...sm m,i , mr m,i , m ∈ M, i ∈ {0, 1}Medium 2 ...mr i , ms i , i ∈ {0, 1}Protokol ≡ (Sender|Medium 1 |Medium 2 |Receiver) \{sm m,i , mr m,i , rm i , ms i , m ∈ M, i ∈ {0, 1}}25 / 102


Alternating Bit ProtocolSender...in m , sm m,i , ms i , m ∈ M, i ∈ {0, 1}Receiver...mr m,i , rm i , out m , m ∈ M, i ∈ {0, 1}Medium 1 ...sm m,i , mr m,i , m ∈ M, i ∈ {0, 1}Medium 2 ...mr i , ms i , i ∈ {0, 1}Protokol ≡ (Sender|Medium 1 |Medium 2 |Receiver) \{sm m,i , mr m,i , rm i , ms i , m ∈ M, i ∈ {0, 1}}ProtokolSpecifikacia ≡ µX ∑ m∈M in m.out m .X26 / 102


Alternating Bit ProtocolSender...in m , sm m,i , ms i , m ∈ M, i ∈ {0, 1}Receiver...mr m,i , rm i , out m , m ∈ M, i ∈ {0, 1}Medium 1 ...sm m,i , mr m,i , m ∈ M, i ∈ {0, 1}Medium 2 ...mr i , ms i , i ∈ {0, 1}Protokol ≡ (Sender|Medium 1 |Medium 2 |Receiver) \{sm m,i , mr m,i , rm i , ms i , m ∈ M, i ∈ {0, 1}}ProtokolSpecifikacia ≡ µX ∑ m∈M in m.out m .XSprávajú sa Protokol a ProtokolSpecifikacia rovnako?27 / 102


Slabá bisimuláciaDefinitionAk s ∈ Act ∗ tak ŝ je postupnosť akcíı, ktorá vznikne z tým, ževypustíme všetky τ akcie.28 / 102


Slabá bisimuláciaDefinitionAk s ∈ Act ∗ tak ŝ je postupnosť akcíı, ktorá vznikne z tým, ževypustíme všetky τ akcie.s = abτcτa, ŝ = abca29 / 102


Slabá bisimuláciaDefinitionAk s ∈ Act ∗ tak ŝ je postupnosť akcíı, ktorá vznikne z tým, ževypustíme všetky τ akcie.s = abτcτa, ŝ = abcaˆτ n = ɛ30 / 102


Slabá bisimuláciaDefinitionAk s ∈ Act ∗ tak ŝ je postupnosť akcíı, ktorá vznikne z tým, ževypustíme všetky τ akcie.s = abτcτa, ŝ = abcaˆτ n = ɛDefinitionAk s = x 1 x 2 . . . x n , x i ∈ Act tak budeme písať P → s P ′ akP x 1→ x 2→ · · · xn→ P ′ 31 / 102


Slabá bisimuláciaDefinitionAk s ∈ Act ∗ tak ŝ je postupnosť akcíı, ktorá vznikne z tým, ževypustíme všetky τ akcie.s = abτcτa, ŝ = abcaˆτ n = ɛDefinitionAk s = x 1 x 2 . . . x n , x i ∈ Act tak budeme písať P → s P ′ akP x 1→ x 2→ · · · → xnP ′DefinitionDefinujme nový značkovaný prechdový systém (s inou množninouprechodv). Ak s = x 1 x 2 . . . x n , x i ∈ Act takP ⇒ s P ′ ak P( →) τ ∗ x 1→ ( →) τ ∗ x 2→ ( →) τ ∗ . . . ( →) τ ∗ → xn( →) τ ∗ P ′ .32 / 102


Slabá bisimuláciaDefinitionAk s ∈ Act ∗ tak ŝ je postupnosť akcíı, ktorá vznikne z tým, ževypustíme všetky τ akcie.s = abτcτa, ŝ = abcaˆτ n = ɛDefinitionAk s = x 1 x 2 . . . x n , x i ∈ Act tak budeme písať P → s P ′ akP x 1→ x 2→ · · · → xnP ′DefinitionDefinujme nový značkovaný prechdový systém (s inou množninouprechodv). Ak s = x 1 x 2 . . . x n , x i ∈ Act takP ⇒ s P ′ ak P( →) τ ∗ x 1→ ( →) τ ∗ x 2→ ( →) τ ∗ . . . ( →) τ ∗ → xn( →) τ ∗ P ′ .a.τ.τ.b.τ.Nil ab ⇒ Nil33 / 102


Slabá bisimuláciaDefinitionBinárna relácia S ⊆ CCS × CCS je slabá bisimulácia, ak(P, Q) ∈ S implikuje pre každé x ∈ Act1) ak P x → P ′ tak existuje Q ′ také, že Q ˆx ⇒ Q ′ a platí (P ′ , Q ′ ) ∈ S2) ak Q x → Q ′ tak existuje P ′ také, že P ˆx ⇒ P ′ a platí (P ′ , Q ′ ) ∈ S34 / 102


Slabá bisimuláciaDefinitionBinárna relácia S ⊆ CCS × CCS je slabá bisimulácia, ak(P, Q) ∈ S implikuje pre každé x ∈ Act1) ak P x → P ′ tak existuje Q ′ také, že Q ˆx ⇒ Q ′ a platí (P ′ , Q ′ ) ∈ S2) ak Q x → Q ′ tak existuje P ′ také, že P ˆx ⇒ P ′ a platí (P ′ , Q ′ ) ∈ STheoremNech S 1 , S 2 sú slabé bisimulácie. Potom aj nasledovné relácie súslabé bisimulácie1) I d2) S −13) S 1 S 24) S 1 ∪ S 235 / 102


Slabá bisimuláciaDefinitionBinárna relácia S ⊆ CCS × CCS je slabá bisimulácia, ak(P, Q) ∈ S implikuje pre každé x ∈ Act1) ak P x → P ′ tak existuje Q ′ také, že Q ˆx ⇒ Q ′ a platí (P ′ , Q ′ ) ∈ S2) ak Q x → Q ′ tak existuje P ′ také, že P ˆx ⇒ P ′ a platí (P ′ , Q ′ ) ∈ STheoremNech S 1 , S 2 sú slabé bisimulácie. Potom aj nasledovné relácie súslabé bisimulácie1) I d2) S −13) S 1 S 24) S 1 ∪ S 2Úloha: dokážte predchádzajúcu vetu.36 / 102


Slabá bisimuláciaDefinitionProcesy P a Q sú slabo bisimulárne (P ≈ Q) ak (P, Q) ∈ S prenejakú slabú bisimuláciu S.Ekvivalentná formulácia:≈= ⋃ {S|S je slabá bisimulácia }37 / 102


Slabá bisimuláciaDefinitionProcesy P a Q sú slabo bisimulárne (P ≈ Q) ak (P, Q) ∈ S prenejakú slabú bisimuláciu S.Ekvivalentná formulácia:≈= ⋃ {S|S je slabá bisimulácia }Theorem≈ je najväčšia slabá bisimulácia≈ je ekvivalencia38 / 102


Slabá bisimuláciaDefinitionProcesy P a Q sú slabo bisimulárne (P ≈ Q) ak (P, Q) ∈ S prenejakú slabú bisimuláciu S.Ekvivalentná formulácia:≈= ⋃ {S|S je slabá bisimulácia }Theorem≈ je najväčšia slabá bisimulácia≈ je ekvivalenciaÚloha: dokážte predchádzajúcu vetu.39 / 102


Slabá bisimuláciaTheoremP ≈ Q iff ∀x ∈ Act1) ak P x → P ′ tak existuje Q ′ také, že Q ˆx ⇒ Q ′ a platí P ′ ≈ Q ′2) ak Q x → Q ′ tak existuje P ′ také, že P ˆx ⇒ P ′ a platí P ′ ≈ Q ′ 40 / 102


Slabá bisimuláciaTheoremP ≈ Q iff ∀x ∈ Act1) ak P x → P ′ tak existuje Q ′ také, že Q ˆx ⇒ Q ′ a platí P ′ ≈ Q ′2) ak Q x → Q ′ tak existuje P ′ také, že P ˆx ⇒ P ′ a platí P ′ ≈ Q ′Úloha: dokážte predchádzajúcu vetu.41 / 102


Slabá bisimuláciaTheoremP ≈ Q iff ∀x ∈ Act1) ak P x → P ′ tak existuje Q ′ také, že Q ˆx ⇒ Q ′ a platí P ′ ≈ Q ′2) ak Q x → Q ′ tak existuje P ′ také, že P ˆx ⇒ P ′ a platí P ′ ≈ Q ′Úloha: dokážte predchádzajúcu vetu.DefinitionBinárna relácia S ⊆ CCS × CCS je slabá bisimulácia až na ≈, ak(P, Q) ∈ S implikuje1) ak P x → P ′ tak existuje Q ′ také, že Q ˆx ⇒ Q ′ a platí(P ′ , Q ′ ) ∈≈ S ≈2) ak Q x → Q ′ tak existuje P ′ také, že P ˆx ⇒ P ′ a platí(P ′ , Q ′ ) ∈≈ S ≈42 / 102


Slabá bisimuláciaTheoremAk S je slabá bisimulácia až na ≈, potom ≈ S ≈ je slabábisimulácia.43 / 102


Slabá bisimuláciaTheoremAk S je slabá bisimulácia až na ≈, potom ≈ S ≈ je slabábisimulácia.Úloha: dokážte predchádzajúcu vetu.44 / 102


Slabá bisimuláciaTheoremAk S je slabá bisimulácia až na ≈, potom ≈ S ≈ je slabábisimulácia.Úloha: dokážte predchádzajúcu vetu.TheoremAk S je slabá bisimulácia až na ≈ tak , potom S ⊆≈.45 / 102


Slabá bisimuláciaTheoremAk S je slabá bisimulácia až na ≈, potom ≈ S ≈ je slabábisimulácia.Úloha: dokážte predchádzajúcu vetu.TheoremAk S je slabá bisimulácia až na ≈ tak , potom S ⊆≈.Úloha: dokážte predchádzajúcu vetu.46 / 102


Slabá bisimuláciaTheoremP ≈ τ.P47 / 102


Slabá bisimuláciaTheoremP ≈ τ.PÚloha: dokážte predchádzajúcu vetu.TheoremNech P 1 ≈ P 2 . Potomx.P 1 ≈ x.P 2P 1 |Q ≈ P 2 |QP 1 \ L ≈ P 2 \ LP 1 [f ] ≈ P 2 [f ]48 / 102


Slabá bisimuláciaTheoremP ≈ τ.PÚloha: dokážte predchádzajúcu vetu.TheoremNech P 1 ≈ P 2 . Potomx.P 1 ≈ x.P 2P 1 |Q ≈ P 2 |QP 1 \ L ≈ P 2 \ LP 1 [f ] ≈ P 2 [f ]Úloha: dokážte predchádzajúcu vetu.49 / 102


Slabá bisimuláciaTheoremP ≈ τ.PÚloha: dokážte predchádzajúcu vetu.TheoremNech P 1 ≈ P 2 . Potomx.P 1 ≈ x.P 2P 1 |Q ≈ P 2 |QP 1 \ L ≈ P 2 \ LP 1 [f ] ≈ P 2 [f ]Úloha: dokážte predchádzajúcu vetu.50 / 102


Slabá bisimuláciaVo všeobecnosti neplatíP 1 ≈ P 2 implikuje P 1 + Q ≈ P 2 + Q51 / 102


Slabá bisimuláciaVo všeobecnosti neplatíP 1 ≈ P 2 implikuje P 1 + Q ≈ P 2 + Qa.Nil ≈ τ.a.Nil ale a.Nil + b.Nil ≉ τ.a.Nil + b.Nil52 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)DefinitionProcesy P, Q sú o-kongruentné (P = Q) ak pre každé x ∈ Act1) ak P x → P ′ tak existuje Q ′ také, že Q x ⇒ Q ′ a platí (P ′ , Q ′ ) ∈≈2) ak Q x → Q ′ tak existuje P ′ také, že P x ⇒ P ′ a platí (P ′ , Q ′ ) ∈≈53 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)DefinitionΛ(P) = {x|∃s, s ∈ Act ∗ , P sx →}54 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)DefinitionΛ(P) = {x|∃s, s ∈ Act ∗ , P sx →}Λ(a.b.d.Nil + c.Nil) = {a, b, c, d}55 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)TheoremNech Λ(P) ∪ Λ(Q) ≠ A. Potom P = Q iff ∀R, P + R ≈ Q + R.56 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)TheoremNech Λ(P) ∪ Λ(Q) ≠ A. Potom P = Q iff ∀R, P + R ≈ Q + R.Dôkaz.⇒Ľahko sa ukáže, že{(P + R, Q + R), P = Q}∪ ≈ je slabá bisimulácia.57 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)⇐58 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)⇐Sporom. Predpokladajme, že P ≠ Q.59 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)⇐Sporom. Predpokladajme, že P ≠ Q.Potom existuje x a P ′ také, že P x → P ′ ale vždy keď Q x ⇒ Q ′ takP ′ ≉ Q ′ .60 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)⇐Sporom. Predpokladajme, že P ≠ Q.Potom existuje x a P ′ také, že P x → P ′ ale vždy keď Q x ⇒ Q ′ takP ′ ≉ Q ′ .Zoberme R ≡ y.Nil, y ∉ Λ(P) ∪ Λ(Q)61 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)⇐Sporom. Predpokladajme, že P ≠ Q.Potom existuje x a P ′ také, že P x → P ′ ale vždy keď Q x ⇒ Q ′ takP ′ ≉ Q ′ .Zoberme R ≡ y.Nil, y ∉ Λ(P) ∪ Λ(Q)Vieme, že P + R x → P ′ .62 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)⇐Sporom. Predpokladajme, že P ≠ Q.Potom existuje x a P ′ také, že P x → P ′ ale vždy keď Q x ⇒ Q ′ takP ′ ≉ Q ′ .Zoberme R ≡ y.Nil, y ∉ Λ(P) ∪ Λ(Q)Vieme, že P + R x → P ′ .Ukážeme, že ak Q + R x → Q ′ potom P ′ ≉ Q ′ t.j. P + R ≉ Q + R.63 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)⇐Sporom. Predpokladajme, že P ≠ Q.Potom existuje x a P ′ také, že P → x P ′ ale vždy keď Q ⇒ x Q ′ takP ′ ≉ Q ′ .Zoberme R ≡ y.Nil, y ∉ Λ(P) ∪ Λ(Q)Vieme, že P + R → x P ′ .Ukážeme, že ak Q + R → x Q ′ potom P ′ ≉ Q ′ t.j. P + R ≉ Q + R.Ak x = τ tak jedna možnosť je, že Q ′ = Q + R ale potom P ′ ≉ Q ′keďže P ′ y̸→ a Q ′ y→64 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)⇐Sporom. Predpokladajme, že P ≠ Q.Potom existuje x a P ′ také, že P → x P ′ ale vždy keď Q ⇒ x Q ′ takP ′ ≉ Q ′ .Zoberme R ≡ y.Nil, y ∉ Λ(P) ∪ Λ(Q)Vieme, že P + R → x P ′ .Ukážeme, že ak Q + R → x Q ′ potom P ′ ≉ Q ′ t.j. P + R ≉ Q + R.Ak x = τ tak jedna možnosť je, že Q ′ = Q + R ale potom P ′ ≉ Q ′keďže P ′ y̸→ a Q ′ y→inak Q + R ˆx ⇒ Q ′ teda Q ˆx ⇒ Q ′ aQ x ⇒ Q ′ 65 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)⇐Sporom. Predpokladajme, že P ≠ Q.Potom existuje x a P ′ také, že P → x P ′ ale vždy keď Q ⇒ x Q ′ takP ′ ≉ Q ′ .Zoberme R ≡ y.Nil, y ∉ Λ(P) ∪ Λ(Q)Vieme, že P + R → x P ′ .Ukážeme, že ak Q + R → x Q ′ potom P ′ ≉ Q ′ t.j. P + R ≉ Q + R.Ak x = τ tak jedna možnosť je, že Q ′ = Q + R ale potom P ′ ≉ Q ′keďže P ′ y̸→ a Q ′ y→inak Q + R ˆx ⇒ Q ′ teda Q ˆx ⇒ Q ′ aQ x ⇒ Q ′a z predpokladu máme P ′ ≉ Q ′ .66 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)TheoremP ∼ Q implikuje P = QP = Q implikuje P ≈ Q67 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)TheoremP ∼ Q implikuje P = QP = Q implikuje P ≈ QÚlohy:- dokážte predchádzajúcu vetu,68 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)TheoremP ∼ Q implikuje P = QP = Q implikuje P ≈ QÚlohy:- dokážte predchádzajúcu vetu,- nájdite P, Q také, žeP = Q ale P ≁ Q,69 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)TheoremP ∼ Q implikuje P = QP = Q implikuje P ≈ QÚlohy:- dokážte predchádzajúcu vetu,- nájdite P, Q také, žeP = Q ale P ≁ Q,P ≈ Q ale P ≠ Q.70 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)TheoremP ∼ Q implikuje P = QP = Q implikuje P ≈ QÚlohy:- dokážte predchádzajúcu vetu,- nájdite P, Q také, žeP = Q ale P ≁ Q,P ≈ Q ale P ≠ Q.Theorem= je ekvivalencia71 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)TheoremP ∼ Q implikuje P = QP = Q implikuje P ≈ QÚlohy:- dokážte predchádzajúcu vetu,- nájdite P, Q také, žeP = Q ale P ≁ Q,P ≈ Q ale P ≠ Q.Theorem= je ekvivalenciaÚloha: dokážte predchádzajúcu vetu.72 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)TheoremAk P 1 ≈ P 2 tak x.P 1 = x.P 273 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)TheoremAk P 1 ≈ P 2 tak x.P 1 = x.P 2Úloha: dokážte predchádzajúcu vetu.74 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)TheoremAk P 1 ≈ P 2 tak x.P 1 = x.P 2Úloha: dokážte predchádzajúcu vetu.TheoremNech P 1 = P 2 . Potomx.P 1 = x.P 2P 1 + Q = P 2 + QP 1 |Q = P 2 |QP 1 \ L = P 2 \ LP 1 [f ] = P 2 [f ]75 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)TheoremAk P 1 ≈ P 2 tak x.P 1 = x.P 2Úloha: dokážte predchádzajúcu vetu.TheoremNech P 1 = P 2 . Potomx.P 1 = x.P 2P 1 + Q = P 2 + QP 1 |Q = P 2 |QP 1 \ L = P 2 \ LP 1 [f ] = P 2 [f ]Úloha: dokážte predchádzajúcu vetu.76 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)TheoremNech E = F , potom µXE = µXF77 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)TheoremNech E = F , potom µXE = µXFÚloha: dokážte predchádzajúcu vetu.78 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)TheoremNech E = F , potom µXE = µXFÚloha: dokážte predchádzajúcu vetu.TheoremNech P 1 = P 2 . Potomx.τ.P = x.PP + τ.P = τ.Px.(P + τ.Q) + x.Q = x.(P + τ.Q)79 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)TheoremNech E = F , potom µXE = µXFÚloha: dokážte predchádzajúcu vetu.TheoremNech P 1 = P 2 . Potomx.τ.P = x.PP + τ.P = τ.Px.(P + τ.Q) + x.Q = x.(P + τ.Q)Úloha: dokážte predchádzajúcu vetu.80 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)Úloha: dokážte nasledujúce tvrdenia:P|τ.Q ≈ P|QP|τ.Q ≠ P|QP|τ.Q = τ.(P|Q)81 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)DefinitionP je stabilný ak P ̸→.τ82 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)DefinitionP je stabilný ak P ̸→.τTheoremAk P, Q sú stabilné a P ≈ Q tak P = Q.83 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)DefinitionP je stabilný ak P ̸→.τTheoremAk P, Q sú stabilné a P ≈ Q tak P = Q.Úloha: dokážte predchádzajúcu vetu.TheoremP ≈ Q iff P = Q alebo P = τ.Q alebo τ.P = Q.84 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)DefinitionP je stabilný ak P ̸→.τTheoremAk P, Q sú stabilné a P ≈ Q tak P = Q.Úloha: dokážte predchádzajúcu vetu.TheoremP ≈ Q iff P = Q alebo P = τ.Q alebo τ.P = Q.Dôkaz.85 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)DefinitionP je stabilný ak P ̸→.τTheoremAk P, Q sú stabilné a P ≈ Q tak P = Q.Úloha: dokážte predchádzajúcu vetu.TheoremP ≈ Q iff P = Q alebo P = τ.Q alebo τ.P = Q.Dôkaz.⇐86 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)DefinitionP je stabilný ak P ̸→.τTheoremAk P, Q sú stabilné a P ≈ Q tak P = Q.Úloha: dokážte predchádzajúcu vetu.TheoremP ≈ Q iff P = Q alebo P = τ.Q alebo τ.P = Q.Dôkaz.⇐triviálne87 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)DefinitionP je stabilný ak P ̸→.τTheoremAk P, Q sú stabilné a P ≈ Q tak P = Q.Úloha: dokážte predchádzajúcu vetu.TheoremP ≈ Q iff P = Q alebo P = τ.Q alebo τ.P = Q.Dôkaz.⇐triviálne88 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)⇒89 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)⇒Nech P ≈ Q. Máme tri prípady:90 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)⇒Nech P ≈ Q. Máme tri prípady:1. P τ → P ′ , P ′ ≈ Q pre nejaké P ′ . Potom P = τ.Q,91 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)⇒Nech P ≈ Q. Máme tri prípady:1. P τ → P ′ , P ′ ≈ Q pre nejaké P ′ . Potom P = τ.Q,2. Q τ → Q ′ , P ≈ Q ′ pre nejaké Q ′ . Potom τ.P = Q,92 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)⇒Nech P ≈ Q. Máme tri prípady:1. P τ → P ′ , P ′ ≈ Q pre nejaké P ′ . Potom P = τ.Q,2. Q τ → Q ′ , P ≈ Q ′ pre nejaké Q ′ . Potom τ.P = Q,3. P a → P ′ potom keďže P ≈ Q máme Q â⇒ Q ′ a P ′ ≈ Q ′ t.j.Q a ⇒ Q ′ a P = Q.93 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)DefinitionX je sekvenčné v E ak každý subterm termu E obsahujúci X(okrem X samotného) je tvaru y.F alebo ∑ P i .94 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)DefinitionX je sekvenčné v E ak každý subterm termu E obsahujúci X(okrem X samotného) je tvaru y.F alebo ∑ P i .DefinitionX je silne strážené v E ak každý výskyt X je vnútri nejakéhopodtermu tvaru a.F (a ≠ τ).95 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)DefinitionX je sekvenčné v E ak každý subterm termu E obsahujúci X(okrem X samotného) je tvaru y.F alebo ∑ P i .DefinitionX je silne strážené v E ak každý výskyt X je vnútri nejakéhopodtermu tvaru a.F (a ≠ τ).τ.X + a.Nil96 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)DefinitionX je sekvenčné v E ak každý subterm termu E obsahujúci X(okrem X samotného) je tvaru y.F alebo ∑ P i .DefinitionX je silne strážené v E ak každý výskyt X je vnútri nejakéhopodtermu tvaru a.F (a ≠ τ).τ.X + a.Nilsekvenčné ale nie silne strážené97 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)DefinitionX je sekvenčné v E ak každý subterm termu E obsahujúci X(okrem X samotného) je tvaru y.F alebo ∑ P i .DefinitionX je silne strážené v E ak každý výskyt X je vnútri nejakéhopodtermu tvaru a.F (a ≠ τ).τ.X + a.Nilsekvenčné ale nie silne stráženéa.X |b.Nil98 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)DefinitionX je sekvenčné v E ak každý subterm termu E obsahujúci X(okrem X samotného) je tvaru y.F alebo ∑ P i .DefinitionX je silne strážené v E ak každý výskyt X je vnútri nejakéhopodtermu tvaru a.F (a ≠ τ).τ.X + a.Nilsekvenčné ale nie silne stráženéa.X |b.Nilsilne strážené ale nie sekvenčné99 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)DefinitionX je sekvenčné v E ak každý subterm termu E obsahujúci X(okrem X samotného) je tvaru y.F alebo ∑ P i .DefinitionX je silne strážené v E ak každý výskyt X je vnútri nejakéhopodtermu tvaru a.F (a ≠ τ).τ.X + a.Nilsekvenčné ale nie silne stráženéa.X |b.Nilsilne strážené ale nie sekvenčnéτ(a.(b.Nil|c.Nil) + b.X )100 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)DefinitionX je sekvenčné v E ak každý subterm termu E obsahujúci X(okrem X samotného) je tvaru y.F alebo ∑ P i .DefinitionX je silne strážené v E ak každý výskyt X je vnútri nejakéhopodtermu tvaru a.F (a ≠ τ).τ.X + a.Nilsekvenčné ale nie silne stráženéa.X |b.Nilsilne strážené ale nie sekvenčnéτ(a.(b.Nil|c.Nil) + b.X )silne strážené a sekvenčné101 / 102


o-kongruencia (Observational congruence)TheoremNech X je v E silne strážené a sekvenčné aP = E[P/x], Q = E[Q/X ]. Potom P = Q.102 / 102

More magazines by this user
Similar magazines