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自 动 控 制 原 理第 一 章 绪 论第 一 章 绪 论1.1 自 动 控 制 系 统 的 基 本 概 念自 动 控 制 , 是 指 在 没 有 人 直 接 参 与 的 情况 下 , 利 用 外 加 的 设 备 或 装 置 ( 称 为 控制 器 或 控 制 装 置 ), 使 机 器 、 设 备 或 生产 过 程 ( 统 称 被 控 对 象 ) 的 某 个 工 作 状态 或 参 数 ( 统 称 被 控 量 ) 自 动 地 按 照 预定 的 规 律 运 行 。自 动 控 制 系 统 , 是 指 能 够 对 被 控 制 对 象 的工 作 状 态 进 行 自 动 控 制 的 系 统 。


自 动 控 制 原 理一 、 技 术 术 语第 一 章 绪 论1. 被 控 对 象 : 是 指 要 求 实 现 自 动 控 制 的 机器 、 设 备 或 生 产 过 程 。2. 被 控 量 : 表 征 被 控 对 象 工 作 状 态 的 物 理参 量 ( 或 状 态 参 量 ), 如 转 速 、 压 力 、 温 度 、电 压 、 位 移 等 。3. 控 制 器 : 又 称 调 节 器 、 控 制 装 置 , 由 控制 元 件 组 成 , 它 接 受 指 令 信 号 , 输 出 控 制作 用 信 号 于 被 控 对 象 。


自 动 控 制 原 理第 一 章 绪 论4. 给 定 值 或 指 令 信 号 r(t): 要 求 控 制 系 统 按一 定 规 律 变 化 的 信 号 , 是 系 统 的 输 入 信 号 。5. 干 扰 信 号 n(t): 又 称 扰 动 值 , 是 一 种 对 系统 的 被 控 量 起 破 坏 作 用 的 信 号 。6. 反 馈 信 号 b(t): 是 指 被 控 量 经 测 量 元 件 检测 后 回 馈 送 到 系 统 输 入 端 的 信 号 。7. 偏 差 信 号 e(t): 是 指 给 定 值 与 被 控 量 的 差值 , 或 指 令 信 号 与 反 馈 信 号 的 差 值 。


自 动 控 制 原 理第 一 章 绪 论二 、 自 动 控 制 的 任 务r(t)控 制 器被 控 对 象c(t)在 没 有 人 直 接 参 与 下 , 利 用 控 制 装 置 操纵 被 控 对 象 , 使 被 控 量 按 照 给 定 值 的 规律 变 化 。 或c( t) r( t)上 式 是 自 动 控 制 任 务 的 数 学 表 达 式 。


自 动 控 制 原 理三 、 反 馈 控 制 原 理第 一 章 绪 论在 自 动 控 制 系 统 中 , 被 控 量 是 要 求 严 格 加 以 控制 的 物 理 量 ; 而 作 为 对 被 控 对 象 施 加 控 制 作 用的 控 制 装 置 , 可 以 采 用 不 同 的 原 理 和 方 式 完 成赋 予 的 任 务 。 其 中 , 最 基 本 的 控 制 原 理 就 是 反馈 控 制 原 理 。 基 于 反 馈 控 制 原 理 组 成 的 控 制 系统 被 称 为 反 馈 控 制 系 统 。在 反 馈 控 制 系 统 中 , 控 制 装 置 对 被 控 对 象 施 加控 制 作 用 , 而 控 制 装 置 接 受 的 信 号 是 取 自 被 控量 的 反 馈 信 号 与 给 定 值 相 比 较 生 成 的 偏 差 , 根据 偏 差 值 的 大 小 产 生 控 制 作 用 , 实 现 控 制 任 务 。


自 动 控 制 原 理第 一 章 绪 论实 际 行 驶 方 向预 期 行 驶 方 向图 1.2 汽 车 驾 驶 控 制 原 理 框 图


自 动 控 制 原 理第 一 章 绪 论预 期路 线测 量大 脑 手 方 向 盘 汽 车实 际路 线眼 睛 和 其 他感 觉 器 官图 1.3 汽 车 驾 驶 控 制 原 理 框 图


自 动 控 制 原 理第 一 章 绪 论四 、 控 制 系 统 的 职 能 方 框 图干 扰给 定 值+比 较 、 放 大测 量执 行+被 控 对 象被 控 量-测 量图 1.4控 制 系 统 职 能 方 框 图


自 动 控 制 原 理第 一 章 绪 论控 制 器 应 具 有 三 种 基 本 职 能 , 即 测 量 、 比较 和 执 行 。1. 测 量 元 件 的 职 能 是 检 测 被 控 制 的 物 理 量 ,如 果 所 测 量 的 物 理 量 为 非 电 量 , 一 般 要 将其 转 换 为 电 量 。2. 比 较 元 件 的 职 能 是 将 测 量 元 件 检 测 到 的被 控 量 的 实 际 值 与 给 定 值 相 比 较 , 计 算 求出 二 者 间 的 偏 差 。


自 动 控 制 原 理第 一 章 绪 论3. 放 大 元 件 的 职 能 是 将 比 较 元 件 给 出 的 偏差 信 号 放 大 , 以 驱 动 执 行 元 件 去 控 制 被 控对 象 。4. 执 行 元 件 的 职 能 是 直 接 推 动 被 控 对 象 ,使 被 控 量 发 生 变 化 。


自 动 控 制 原 理第 一 章 绪 论一 、 闭 环 控 制1.2 自 动 控 制 的 基 本 方 式干 扰给 定 值-比 较 、 计 算执 行+被 控 对 象被 控 量测 量图 1.7 闭 环 控 制 框 图


自 动 控 制 原 理第 一 章 绪 论二 、 开 环 控 制1. 按 给 定 值 控 制干 扰给 定 值计 算执 行+被 控 对 象被 控 量图 1.8 开 环 控 制 框 图


自 动 控 制 原 理第 一 章 绪 论2. 按 干 扰 补 偿干 扰计 算测 量执 行+被 控 对 象被 控 量图 1.9 按 干 扰 补 偿 框 图


自 动 控 制 原 理第 一 章 绪 论3. 复 合 控 制干 扰计 算测 量给 定 值-计 算执 行+被 控 对 象被 控 量测 量图 1.10复 合 控 制 框 图


自 动 控 制 原 理第 一 章 绪 论一 、 稳 定 性1.3 对 控 制 系 统 的 性 能 要 求稳 定 性 是 保 证 控 制 系 统 正 常 工 作 的 先 决 条件 。对 于 稳 定 的 控 制 系 统 , 被 控 量 偏 离 期 望 值后 , 经 过 一 段 过 渡 时 间 后 , 被 控 量 应 恢 复到 原 来 状 态 。对 于 不 稳 定 的 控 制 系 统 , 其 被 控 量 偏 离 期望 值 的 偏 差 将 会 越 来 越 大 , 最 终 发 散 。


自 动 控 制 原 理第 一 章 绪 论c(t)2r(t)1Ot控 制 系 统 动 态 过 程 曲 线


自 动 控 制 原 理第 一 章 绪 论二 、 快 速 性快 速 性 即 动 态 过 程 进 行 时 间 的 长 短 。过 程 时 间 越 短 , 说 明 系 统 的 快 速 性 越 好 ,过 程 时 间 持 续 越 长 , 说 明 系 统 响 应 迟 钝 ,难 以 实 现 快 速 变 化 的 指 令 信 号 。稳 定 性 和 快 速 性 反 映 了 系 统 的 过 渡 过 程 的性 能 。


自 动 控 制 原 理第 一 章 绪 论c(t)r(t)1 2Ot控 制 系 统 的 动 态 过 程


自 动 控 制 原 理第 一 章 绪 论三 、 准 确 性当 系 统 结 束 过 渡 过 程 后 , 被 控 量 达 到 稳 定值 ( 平 衡 状 态 ), 这 个 稳 定 值 与 期 望 值 的误 差 , 就 是 系 统 的 稳 态 误 差 。 它 是 衡 量 系统 稳 态 精 度 的 指 标 , 反 映 了 动 态 过 程 后 期的 性 能 。


自 动 控 制 原 理第 一 章 绪 论1.4 自 动 控 制 系 统 示 例在 分 析 自 动 控 制 系 统 时 , 首 先 应 明 确 下 面的 一 些 问 题 :1. 被 控 对 象 是 什 么 ? 被 控 量 是 什 么 ? 作 用在 对 象 上 的 主 要 干 扰 信 号 有 哪 些 ?2. 通 过 操 纵 哪 个 机 构 来 改 变 被 控 量 ? 即 确定 执 行 元 件 。


自 动 控 制 原 理第 一 章 绪 论3. 有 哪 些 测 量 元 件 ? 测 量 的 是 被 控 量 还 是干 扰 信 号 ? 测 量 元 件 的 确 定 对 分 析 系 统 起关 键 作 用 。4. 指 令 信 号 或 给 定 值 是 由 哪 个 装 置 提 供 的 ?5. 如 何 实 现 各 信 号 的 综 合 比 较 、 计 算 和 判断 偏 差 ?


自 动 控 制 原 理一 、 涡 轮 喷 气 发 动 机 转 速 控 制 系 统第 一 章 绪 论图 1.11涡 轮 喷 气 发 动 机 转 速 控 制 系 统 原 理 图


自 动 控 制 原 理第 一 章 绪 论首 先 应 明 确 :1. 被 控 对 象 : 涡 轮 喷 气 发 动 机2. 被 控 量 : 涡 轮 转 速 n c3. 执 行 元 件 : 即 是 改 变 供 油 量 的 机 构 , 系 统中 与 柱 塞 泵 的 斜 盘 以 及 和 斜 盘 相 连 接 的 油 缸活 塞 。 斜 盘 倾 角 不 同 , 泵 在 同 样 转 速 下 供 油量 就 不 同 。4. 转 速 测 量 : 靠 离 心 块 ( 转 速 传 感 器 ) 来 完成 转 速 测 量 , 离 心 块 产 生 的 离 心 力 不 同 , 作用 在 滑 阀 上 ( 分 油 活 门 ) 的 力 的 大 小 就 代 表了 转 速 的 大 小 。


自 动 控 制 原 理第 一 章 绪 论5. 转 速 给 定 : 由 油 门 的 位 置 给 定 , 油 门 位置 不 同 , 作 用 在 滑 阀 上 的 起 始 弹 簧 力 也 不同 , 起 始 弹 簧 力 的 大 小 就 代 表 了 给 定 转 速的 大 小 。6. 比 较 元 件 : 就 是 滑 阀 , 离 心 力 和 弹 簧 力在 阀 芯 上 进 行 比 较 , 若 两 个 作 用 力 不 相 等 ,则 推 动 阀 芯 打 开 油 路 , 输 出 高 压 燃 油 到 燃烧 室 。


自 动 控 制 原 理第 一 章 绪 论给 定比 较 、 放 大执 行干 扰+n r油 门-滑 阀油 缸测 量柱 塞 泵发 动 机对 象n c离 心 块图 1.12涡 轮 喷 气 发 动 机 转 速 控 制 系 统 职 能 框 图


自 动 控 制 原 理第 一 章 绪 论本 章 小 结1. 正 确 理 解 自 动 控 制 的 三 种 基 本 控 制 方式 , 尤 其 闭 环 负 反 馈 按 偏 差 控 制 的 原 理更 要 清 楚 。2. 在 已 知 自 动 控 制 系 统 工 作 原 理 图 的 条件 下 , 熟 练 地 给 出 该 系 统 的 职 能 方 框 图 ,正 确 标 示 出 系 统 各 职 能 元 件 的 名 称 和 信 号的 名 称 。


自 动 控 制 原 理第 二 章第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型控 制 系 统 的 数 学 模 型系 统 的 数 学 模 型 是 描 述 系 统 输 入 、 输 出 变量 以 及 内 部 各 个 变 量 之 间 关 系 的 数 学 表 达式 。描 述 各 变 量 动 态 关 系 的 表 达 式 称 为 动 态 数学 模 型 。常 用 的 数 学 模 型 为 微 分 方 程 。


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型建 立 系 统 数 学 模 型 的 方 法 , 一 般 采 用 解析 法 和 实 验 法 。所 谓 解 析 法 , 即 依 据 系 统 及 元 部 件 各 变 量之 间 所 遵 循 的 物 理 、 化 学 定 律 列 写 出 变 量间 的 数 学 表 达 式 , 并 经 实 验 验 证 , 从 而 建立 系 统 的 数 学 模 型 。实 验 法 是 对 系 统 或 元 件 输 入 一 定 形 式 的 信号 ( 阶 跃 信 号 、 单 位 脉 冲 信 号 、 正 弦 信 号等 ), 根 据 系 统 或 元 件 的 输 出 响 应 , 经 过数 据 处 理 而 辨 识 出 系 统 的 数 学 模 型 。


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型线 性 定 常 系 统 的 数 学 模 型微 分 方 程 传 递 函 数 频 率 特 性脉 冲 传 递函 数状 态 方 程微 分 方 程 传 递 函 数 频 率 特 性


自 动 控 制 原 理 控 制 系 统 微 分 方 程 的 建 立第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型首 先 必 须 了 解 系 统 的 组 成 、 工 作 原 理 ,然 后 根 据 支 配 各 组 成 元 件 的 物 理 定 律 , 列写 整 个 系 统 输 入 变 量 与 输 出 变 量 之 间 的 动态 关 系 式 , 即 微 分 方 程 。列 写 微 分 方 程 的 一 般 步 骤 :1 分 析 系 统 和 各 个 元 件 的 工 作 原 理 , 找 出各 物 理 量 ( 变 量 ) 之 间 的 关 系 , 确 定 系 统和 各 元 件 的 输 入 、 输 出 变 量 。


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型2 从 输 入 端 开 始 , 按 照 信 号 的 传 递 顺 序 ,根 据 各 变 量 所 遵 循 的 物 理 ( 或 化 学 ) 定律 , 列 写 动 态 关 系 式 , 一 般 为 一 个 微 分方 程 组 。3 对 已 建 立 的 原 始 方 程 进 行 处 理 , 忽 略次 要 因 素 , 简 化 原 始 方 程 , 如 对 原 始 方程 进 行 线 性 化 等 。4 消 除 中 间 变 量 写 出 关 于 输 入 输 出4 消 除 中 间 变 量 , 写 出 关 于 输 入 、 输 出变 量 之 间 关 系 的 数 学 表 达 式 , 即 微 分 方程 。


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型根 据 电 路 理 论 中 的 基 尔 霍 夫 定 理 , 建 立 RC无 源 网 络 的 微 分 方 程 。输 入 量 为 电 压 u r (t),输 出 量 为 电 压 u c (t)⎧ur() t = Ri() t + uc()t⎪⎨1⎪u c() t = ∫ i()dt t⎩ Cu r (t)Ri(t)i(t) 为 流 经 电 阻 R 和 电 容 C 的 电 流 , 消 去 中间 变 量 i(t), 可 得Cu c (t)


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型d u ( t)RCc+u () t =u ()tdtc r令 RC=T, 则 上 式 又 可 写 为d u ( t)Tc+ u () t = u () tdtc r式 中 :T 称 为 无 源 网 络 的 时 间 常 数 , 单 位 为 秒 (s)一 般 情 况 下 把 输 出 变 量 写 在 等 式 的 左 边 , 输入 变 量 写 在 等 式 的 右 边 。


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型2.1 拉 氏 变 换拉 普 拉 斯 变 换 简 称 为 拉 氏 变 换 , 它 是 一 种 函数 之 间 的 积 分 变 换 。 拉 氏 变 换 是 研 究 控 制 系统 的 一 个 重 要 数 学 工 具 , 它 可 以 把 时 域 中 的微 分 方 程 变 换 成 复 域 中 的 代 数 方 程 , 从 而 使微 分 方 程 的 求 解 大 为 简 化 。 同 时 还 引 出 了 传递 函 数 、 频 率 特 性 等 概 念 。


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型t 域s 域微 分 方 程初 始 条 件拉 氏 变 换代 数 方 程方 程 的 解拉 氏 反 变 换方 程 的 解用 拉 氏 变 换 解 微 分 方 程 示 意 图


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型一 、 拉 氏 变 换 的 定 义 和 存 在 定 理1. 定 义设 函 数 f(t) 在 t≥0 时 有 定 义 , 如 果 线 性 积 分+∞−st∫ f ()e t dt( s = σ + jω为 复 变 量 )0存 在 , 则 由 此 积 分 所 确 定 的 函 数 可 写 为= ∫+∞0- stF () s f()e t dt


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型称 其 为 函 数 f(t) ) 的 拉 普 拉 斯 变 换 , 并 记 作= LF () s[ f ()]tF(s) 称 为 f(t) 的 象 函 数 , 而 f(t) 称 为 F(s) 的 原 函数 , 由 象 函 数 求 原 函 数 的 运 算 称 为 拉 氏 反 变换 , 记 作−1f () t [ F()]s= L


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型2. 拉 普 拉 斯 变 换 的 存 在 定 理若 函 数 f(t) 满 足 下 列 条 件 :在 t≥0 的 任 一 区 间 上 分 段 连 续 。在 t 充 分 大 后 满 足 不 等 式 |f(t)|≤Me ct , 其 中M、c 都 是 实 常 数 。 则 f(t) 的 拉 氏 变 换+∞- stF () s = ∫f ()e t dt0在 平 面 上 Re(s)>c 一 定 存 在 , 此 时 右 端 的 积分 绝 对 而 且 一 定 收 敛 , 并 且 在 这 半 平 面 内F(s) ) 为 解 析 函 数 。


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型二 、 几 种 典 型 函 数 的 拉 氏 变 换1. 单 位 阶 跃 函 数 1(t)f(t)数 学 表 达 式 为1⎧1 t≥0f () t = 1() t = ⎨⎩ 0 t < 0其 拉 氏 变 换 为+∞−F ( s ) L[ f ( t )] f ( t )e stdt= =∫0+∞1 1 1− st− st+∞= ∫1⋅ e d t =− e0=− [0 − 1] =0s s sOt


自 动 控 制 原 理2. 单 位 斜 坡 函 数数 学 表 达 式 为⎧tt≥0f () t = t⋅ 1() t = ⎨⎩0 t < 0其 拉 氏 变 换 为第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型f(t)O+∞ +∞斜 率 =1−)e st−stF( s) L [ f( t)] f( t dt t e dt= = ∫= ∫ ⋅0 01 +∞− st +∞ −st1⎡ 1⎤= − ⎡t e − ⋅ ⎤− − −0t e dt0 0s ⎢ ∫ ⎣ 0⎥⎦ = s ⎢ s⎣ ⎥ ⎦=1s2t


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型3. 等 加 速 函 数数 学 表 达 式 为⎧1f () t = ⎨ 2⎪⎩0 t < 0其 拉 氏 变 换 为2⎪tt≥0f(t)O+∞ +∞− st2 − stF( s) = L [ f( t)] = ∫ f( t)e dt = ∫t ⋅e dt0 01 ⎡1=−s⎢ − ⋅⎣2+∞2 − st+∞−stt e ∫ 0t e dt01 ⎡1 ⎤1=− 0 0s ⎢ − − =s ⎥⎣ ⎦ s2 3⎤⎥⎦12t


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型4. 指 数 函 数 e -at数 学 表 达 式 为f()t其 拉 氏 变 换 为−at⎧e t≥0( a为 实 数)= ⎨⎩0 t < 0L+∞−at −at −stF( s) = ⎡e ⎤ = ∫ ⎣ ⎦ e e dt+∞ 1− ( s + a) t= ∫e dtt=00s+a


自 动 控 制 原 理5. 正 弦 函 数 sinωt正 弦 函 数 定 义 为⎧sinωtt≥0sinω t= ⎨⎩ 0 t < 0其 拉 氏 变 换 为第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型−F( s) L [sin ωt] sinωte st dt= =∫0+∞+∞ 1 ejωt e−jωt e−st= ∫ ( − ) d t0 2j1 ⎡ 1 1 ⎤ ω= 2 22j⎢s jω − s jω ⎥⎣ − + ⎦= s + ω


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型6. 单 位 脉 冲 函 数 (δ 函 数 )δ(t)δ 函 数 的 表 达 式 为⎧∞t =0+∞δ () t = ⎨且 ∫ δ ()d t t = 10 t ≠ 0−∞⎩其 拉 氏 变 换 为OtL∫ 0+∞− stF( s) = [ δ( t)] = ∫ δ( t)e dt= 1


自 动 控 制 原 理三 、 拉 氏 变 换 的 基 本 法 则1. 线 性 法 则第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型设 F 1 =L [ f 1 (t)],F 2 =L [ f 2 (t)],a 和 b 为 常数 , 则 有[ af1 ( t ) + bf2 ( t )] = a [ f1 ( t )] +b [ f2( t)]= aF ( s) + bF ( s)L L L1 2


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型2. 微 分 法 则设 F=L [ f (t)], 则 有⎡d f( t)⎤L⎢=sF ( s) −fdt⎥⎣ ⎦(0)L2⎡d f ( t)⎤2⎢⎣dt2⎥⎦= s F( s) −sf(0) − f′(0)L( n) n n 1 ( n 1)[ f ( t)] s F( s) s −−= − f(0) −⋅⋅⋅− f (0)式 中 :f(0), f′(0), …,f (n-1) (0) 为 f(t) 及 其 各 阶导 数 在 t=0 0 处 的 值 。


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型3. 积 分 法 则设 F(s)=L [f(t)] ,f(0)=0 , 则 有L⎡ 1f ()d t t⎤ ⎣∫⎦= F()ss


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型4. 终 值 定 理若 F(s)=L [f(t)], 且 当 t→∞ 时 ,f(t) 存 在 一 个确 定 的 值 , 则 其 终 值lim f ( t) = lim sF( s)t→∞s→0该 式 为 求 系 统 的 稳 态 误 差 ( 即 t→∞ ) 提 供 了方 便 。e( ∞ ) = lim e( t) = lim sE( s)t→∞s→0


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型5. 位 移 定 理设 F(s)= L [f(t)], 则 有及L−τs⎡0⎣ f ( t − τ ) ⎤=e F ( s)0 ⎦L ⎡e at t ⎤ ⎣ f () ⎦ = F ( s−a)分 别 称 为 时 域 中 的 位 移 定 理 和 复 域 中 的分 别 称 为 时 域 中 的 位 移 定 理 和 复 域 中 的位 移 定 理 。


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型四 、 拉 氏 反 变 换拉 氏 反 变 换 的 定 义 如 下L−11 σ+jωstF( s) = f ( t) = ∫ F( s)e dt2πj σ −jω[ ]一 般 由 F(s) 求 f(t), 常 用 部 分 分 式 法 。 首先 将 F(s) 分 解 成 一 些 简 单 的 有 理 分 式 函数 之 和 , 然 后 由 拉 氏 变 换 表 一 一 查 出 对应 的 反 变 换 函 数 , 即 得 所 求 的 原 函 数 f(t)。


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型F(s) 通 常 是 s 的 有 理 分 式 函 数 , 即 分 母 多 项式 的 阶 次 高 于 分 子 多 项 式 的 阶 次 ,F(s) 的 一般 式 为m m−1bs0 + bs1 + L+ bm−1s +bmF( s) =n n−1s + as + L+ a s+a1 n−1式 中 a 1 、a 2 、…、a n 及 b 1 、b 2 、…、b m 为 实数 ,m、n 为 正 数 , 且 m


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型并 且 F 1 (s)、F 2 (s)、…、F n (s) 的 拉 氏 反 变 换可 以 很 容 易 地 求 出 , 则[ ] 1 2F ( s ) = ⎡⎣ F ( s ) ⎤⎦ + ⎡⎣ F ( s ) ⎤⎦ + L+⎡⎣ Fn( s)⎤⎦= f () t + f () t + L+f () t−1 −1 −1 −1L L L L1 2n


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型例 2.1 求 F( s)= 的 拉 氏 反 变 换 。s2s + 2+ 4 s+3解 : s+ 2 s+2F ( s) = =2s + 4s+ 3 ( s+ 1)( s+3)1/2 1/2= +s + 1 s + 3进 行 反 变 换 得1 −t1f() t = e + e2 2−3t


自 动 控 制 原 理五 、 用 拉 氏 变 换 求 解 微 分 方 程第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型用 拉 普 拉 斯 方 法 求 在 给 定 初 始 条 件 下 微 分方 程 的 步 骤 如 下 :1 对 微 分 方 程 两 端 进 行 拉 氏 变 换 , 将 微 分方 程 变 为 以 象 函 数 为 变 量 的 代 数 方 程 , 方程 中 初 始 条 件 是 t=0 - 时 的 值 。2 解 代 数 方 程 , 求 出 象 函 数 的 表 达 式 。3 用 部 分 分 式 法 进 行 反 变 换 , 求 得 微 分方 程 的 解。


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型例 用 拉 氏 变 换 求 解 微 分 方 程 。&& x() t + 2 x& () t + x() t = 0, x&(0) = 0, x(0)= x解 : 对 微 分 方 程 两 端 进 行 拉 氏 变 换( ) − (0) − &(0) + 2 ( ) − 2 (0) + ( ) =02sXs sx x sXs x Xs代 入 初 始 条 件 , 求 出 象 函 数 X(s) 的 表 达 式X ( s)=s2s + 2+ 2s+1x00


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型将 X(s) 展 成 部 分 分 式 , 利 用 拉 氏 变 换 对 照表 , 求 出 x(t)。 。X( s)x0 x0= +2( s + 1) s + 1−txt () = x( t+ 1) e ( t≥0)0


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型2.2 传 递 函 数结 构或 参数 变化 时给 定 外 作 用 和 初 始 条 件传 递微 分输 出函 数方 程 相 应( 计 算 机 求 解 )全 部信 息


自 动 控 制 原 理一 、 传 递 函 数 的 概 念 及 定 义无 源 RC 网 络 的 微 分方 程 为d u ( t)dtcT + uct =urt() ()第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型u r (t)Ri(t)设 初 始 值 u c (0)=0, 0 对 上 式 取 拉 氏 变 换 , 得TsU ( s ) + U ( s ) =U ( s)c c r( Ts + 1) U ( s) = U ( s)crCu c (t)


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型令则Gs ( )1U c( s ) = U r( s)Ts + 11=Ts + 1U ( s ) = G ( s ) U ( s)crGs ( )U( s)= c传 递 函 数Ur( s)


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型U r (s)G(s)U c (s)传 递 函 数 的 定 义 :线 性 定 常 系 统 在 零 初 始 条 件 下 , 输 出 信号 的 拉 氏 变 换 与 输 入 信 号 的 拉 氏 变 换 之比 称 为 系 统 ( 或 元 部 件 ) 的 传 递 函 数 。


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型设 线 性 定 常 系 统 的 微 分 方 程 一 般 式 为nn−1d da ( ) ( ) ( )0c t + an1c t +⋅⋅⋅+ an 1nc t−dtdtmm−1d d= b 0r t + b 1r t +⋅⋅⋅+ b r tmm−1mdtdt( ) ( ) ( )式 中 c(t) 为 系 统 的 输 出 量 ,r(t) 为 系 统 的 输入 量 ,a 0 , a 1 ,…,a n 及 b 0 , b 1 , …, b m 均 为 系统 结 构 参 数 决 定 的 常 数 。


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型设 所 有 初 始 条 件 均 为 零 的 条 件 下 , 对 上 式两 端 进 行 拉 氏 变 换 , 得n n−1⎡⎣as 0+ as1+⋅⋅⋅+ a ⎤n ⎦Cs( )m m−1= ⎡⎣bs 0+ bs1+⋅⋅⋅+ b ⎤m ⎦R ( s)按 照 定 义 得 系 统 的 传 递 函 数G ( s)m m−1bs 0+ bs 1+⋅⋅⋅+bmn n 10+ −1+⋅⋅⋅+nCs( )= =Rs ( ) as as a


自 动 控 制 原 理二 、 对 传 递 函 数 的 说 明第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型1. 传 递 函 数 是 复 域 (s 域 ) 中 的 一 个 表 达 式 ,它 通 过 系 统 结 构 参 数 使 线 性 定 常 系 统 的 输出 和 输 入 建 立 联 系 , 而 与 输 入 形 式 无 关 。只 适 用 于 线 性 定 常 系 统 。2. 传 递 函 数 分 母 多 项 式 阶 次 总 是 大 于 或 等 于分 子 多 项 式 的 阶 次 , 即 n≥m, ≥ 这 是 由 于 系 统中 含 有 较 多 的 储 能 元 件 及 受 能 源 的 限 制 所 造成 的 。 分 母 多 项 式 的 最 高 阶 次 为 n, 称 该 系统 为 n 阶 系 统 。 如 n=1、2, 称 为 一 、 二 阶 系统 。


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型3. 传 通 函 数 只 描 述 系 统 输 入 - 输 出 之 间 的关 系 , 但 不 反 映 系 统 内 部 结 构 的 任 何 信 息 。因 此 , 不 同 的 物 理 系 统 完 全 可 能 有 相 同 形式 的 传 递 函 数 , 这 就 给 数 学 模 拟 创 造 了 条件 。4. 同 一 系 统 不 同 观 测 点 的 输 出 信 号 对 不 同作 用 点 的 输 入 信 号 之 间 的 传 递 函 数 的 形 式具 有 相 同 的 分 母 , 所 不 同 的 只 是 分 子 。 把分 母 多 项 式 称 为 特 征 式 , 记 为 D(s) 。n n−1Ds ( )= as0 + as1+⋅⋅⋅+a( )n


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型5. 传 递 函 数 与 微 分 方 程 具 有 相 通 性 。6. 传 递 函 数 G(s) 的 拉 氏 反 变 换 为 该 系 统 的脉 冲 响 应 函 数 g(t), 脉 冲 响 应 是 系 统 在 单位 脉 冲 δ(t) 输 入 时 的 输 出 响 应 , 此 时R(s)=L ) [δ(t)]=1, 所 以 有gt Cs GsRs1 1−−() = L[ ()] =L[ () ()]=L−1[ Gs ( )]


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型7. 传 递 函 数 的 描 述 有 一 定 的 局 限 性 : 只能 研 究 单 入 、 单 出 系 统 , 对 于 多 入 、 多出 系 统 要 用 传 递 矩 阵 表 示 ; 只 能 表 示 输入 、 输 出 的 关 系 , 对 系 统 内 部 其 他 各 变量 无 法 得 知 ( 经 典 控 制 理 论 的 不 足 ); 只 能研 究 零 初 始 状 态 的 系 统 特 性 , 对 非 零 初始 状 态 的 系 统 运 动 特 性 不 能 反 映 。


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型三 、 求 取 系 统 传 递 函 数 的 方 法求 取 物 理 系 统 的 传 递 函 数 时 , 一 般 假 设 :1. 系 统 不 带 负 载 , 即 在 系 统 的 输 出 端 不 吸收 能 量 。2. 假 设 系 统 的 参 数 为 线 性 集 中 常 数 。


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型求 取 传 递 函 数 的 方 法 与 步 骤 :1. 首 先 确 定 出 系 统 的 输 出 信 号 ( 被 控 量 等 )和 输 入 信 号 ( 如 给 定 值 、 干 扰 等 )。2. 把 系 统 分 成 若 干 个 典 型 环 节 , 求 出 各 环节 的 传 递 函 数 , 填 写 在 方 框 内 。 用 信 号 线把 这 些 方 框 连 接 起 来 , 得 到 系 统 的 动 态 结构 图 。3. 对 动 态 结 构 图 进 行 变 换 , 得 到 所 要 求 的传 递 函 数 。


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型四 、 传 递 函 数 的 零 点 和 极 点Gs ( )m m−1bs0+ bs1+⋅⋅⋅+ bmn n−10 + 1+⋅⋅⋅++nCs ( )= =Rs ( )as as a==b ( s−z )( s−z ) ⋅⋅⋅( s−z)0 1 2a ( s− p )( s− p ) ⋅⋅⋅( s−p )0 1 2m∏( s − z j)* j 1K =n∏i=1( s−p )imn零 极 点分 布 图z j : 零 点 , 用 “ o ” 表示p i : 极 点 , 用 “×” 表 示


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型若 传 递 函 数Gs( )=4s+ 2( s + 1)( s +2)该 传 递 函 数 的极 点 为 p 1 =−1, p 2 =−2;零 点 为 z 1 =−0.5p 2 p 1 z 1j1-2 -1 O-1零 极 点 分 布 图


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型2.3 动 态 结 构 图 及 其 等 效 变 换一 、 动 态 结 构 图 ( 或 称 方 块 图 、 方 框 图 )1. 定 义动 态 结 构 图 是 表 示 组 成 控 制 系 统 的 各 个 元件 之 间 信 号 传 递 动 态 关 系 的 图 形 。2. 组 成1 信 号 线 : 带 有 箭 头 的 直 线 ,箭 头 表 示 信 号 传 递 方 向 , 信U(s)号 线 上 标 信 号 的 原 函 数 或 象函 数 。


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型2 方 框 : 表 示 输 入 、 输 出 信 号 之 间 的 传 递关 系 。R(s)G(s)C(s)U(s)3 引 出 点 ( 测 量 点 ): 表 示 信号 引 出 或 测 量 位 置 , 从 同 一点 引 出 的 信 号 完 全 相 同 。 U(s) ( )


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型4 比 较 点 ( 综 合 点 ): 表 示 两 个 或 两 个 以 上的 信 号 , 在 该 点 相 加 、 减 。 注 意 , 比 较 点处 信 号 的 运 算 符 号 必 须 标 明 正 (+)、 负 (-),一 般 不 标 者 取 正 号 。 同 时 进 行 运 算 的 信 号必 须 具 有 相 同 的 量 纲 。±U(s)U(s)B(s)±B(s)


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型3. 系 统 动 态 结 构 图 的 建 立(1) 建 立 系 统 各 元 部 件 ( 或 典 型 环 节 ) 的微 分 方 程 。(2) 对 各 微 分 方 程 在 零 初 始 条 件 下 进 行 拉氏 变 换 , 并 做 出 各 元 部 件 的 方 框 图 。(3) 按 照 系 统 中 各 变 量 的 传 递 顺 序 , 依 次用 信 号 线 将 各 元 件 的 方 框 图 连 接 起 来 。 系统 的 输 入 变 量 在 左 端 , 输 出 变 量 ( 即 被 控量 ) 在 右 端 , 便 得 到 系 统 的 动 态 结 构 图 。


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型如 RC 网 路 的 微 分 方 程⎧u r() t = Ri () t + u c() t⎪⎨ d uc( t)⎪it()=C⎩ dt对 上 式 进 行 拉 氏 变 换 , 得⎧1Ur ( s ) − Uc ( s ) = RI ( t ) → I ( s ) = ⎡Ur ( s ) −Uc( s)R⎤⎪⎣⎦⎨⎪ 1I( s) = CsUc( s) → Uc( s) = I( s)⎪⎩Cs


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型绘 制 上 式 各 子 方 程 的 方 框 图U r (s) U r (s)-U c (s) U r (s)-U c (s) I(s)1-U c (s)RI(s)1CsU c (s)将 方 框 图 连 接 起 来 , 得 出 系 统 的 动 态 结 构 图 。U r (s)U r (s)-U c (s) 1I(s)1- R CsU c (s)


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型三 、 结 构 图 的 等 效 变 换进 行 结 构 变 换 首 先 应 明 确 以 下 四 点 :1. 结 构 变 换 的 等 效 性 。 即 变 换 前 、 后 输 入输 出 总 的 数 学 关 系 应 保 持 不 变 。2. 所 得 结 果 ( 传 递 函 数 ) 的 惟 一 性 ; 结 构 图的 多 样 性 ( 不 惟 一 性 )。3. 信 号 传 递 的 单 向 性 。4. 多 输 入 系 统 的 叠 加 性 。


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型动 态 结 构 图 的 等 效 变 换 法 则 :l. 串 联 变 换 法 则n 个 传 递 函 数 依 次 串 联 的 等 效 传 递 函 数 ,等 于 n 个 传 递 函 数 的 乘 积 。R(s)G 1 1( (s)G 2 2( (s)...... G n n( (s)C(s)R(s)G 1 (s)G 2 (s)...G n (s)C(s)


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型2. 并 联 变 换 法 则n 个 传 递 函 数 并 联 , 其 等 效 传 递 函 数 为 该n 个 传 递 函 数 的 代 数 和 。G 1 (s)R(s) C(s) ( )G 2 (s)... .G n (s)R(s) ( )C(s) ( )G 1 (s)+G 2 (s)+ +G n (s)⋅⋅⋅


自 动 控 制 原 理3. 反 馈 变 换 法 则第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型R(s) ) E(s) ( ) C(s) )G(s)±B(s)H(s)R(s)Gs ()1 m GsHs ( ) ( )C(s)Cs ( ) Gs ( )Φ ( s) = = R ( s) 1 m G ( s ) H ( s)称 为 闭 环 传 递 函 数


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型4. 比 较 点 移 动 法 则比 较 点 前 移 “ 加 倒 数 ”; 比 较 点 后 移 “ 加 本 身 ”前 移R(s)C(s) )R(s)C(s)G(s)G(s)±±B(s) B(s)1Gs ( )后 移R(s)±B(s)G(s)C(s)R(s)B(s)G(s)G(s) )±C(s)


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型5. 引 出 点 移 动 法 则引 出 点 前 移 “ 加 本 身 ”; 引 出 点 后 移 “ 加 倒数 ”。R(s)G(s)C(s)R(s) ( ) C(s) )G(s)C(s) )C(s) )G(s)R(s)G(s)C(s) R(s) C(s)G(s)R(s) 1Gs( )R(s)


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型6. 相 邻 的 比 较 点 之 间 可 以 随 意 调 换 位 置 , 亦可 综 合 为 一 个 比 较 点 。 相 邻 的 引 出 点 之 间 亦可 互 相 调 换 位 置 。7. 相 邻 的 比 较 点 和 引 出 点 之 间 可 以 调 换 位 置 。R(s) ) C(s) )_X(s)C(s) )_X(s)C(s)R(s)C(s)_X(s)


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型动 态 结 构 图 等 效 变 换 需 注 意 的 问 题 :(1) 串 联 、 并 联 、 反 馈 三 种 典 型 结 构 可 直 接用 公 式 ; 不 是 典 型 结 构 不 可 直 接 用 公 式 。(2) 向 同 类 移 动 : 比 较 点 和 引 出 点 。(3) 由 里 向 外 变 换 : 对 多 回 路 结 构 , 由 内 回路 向 外 回 路 进 行 变 换 , 逐 个 减 少 内 回 路 ,直 到 变 换 成 一 个 等 效 的 方 块 。(4) 多 输 入 变 换 多 次 : 系 统 有 多 个 输 入 量 ,则 必 须 分 别 对 每 个 输 入 量 逐 个 进 行 结 构 变换 , 求 得 各 自 的 传 递 函 数 。


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型例 : 求 下 图 所 示 系 统 被 控 量 C(s) ) 对 各 输 入 信 号 的传 递 函 数 C(s)/R(s),C(s)/N 1 (s),C(s)/N 2 (s)。R(s)+N 1 (s)+ -G 1G 2G 3- -解 :(1) 求 C(s)/R(s)。N 1 (s)设 把 再 N 比 进 1 较 行 =0,N 点 并 前 联 N 2 移和 =0内 回 路 反 馈 变 换N 2 (s)C(s)N 1 N12GR(s) 1+++ - C(s)G 1G 1G 1--


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型R(s)1G1 +G 2G 1G 3G1+ 12G-1C(s)串 联 后 再 作 反 馈 变 换R(s)GG1+ 11 2 31GGG1+ G + GG G2 1 2 3C(s)进 行 串 联 变 换R(s)(1 + G ) G G1 2 31+ G + GG GC(s)Cs ( ) (1 + G1)G2G3= Rs ( ) 1+ G +GGG2 1 2 3 2 1 2 3


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型(2) 求 C(s)/N 1 (s) , 设 R(s)=0,N 2 (s)=0, 得因 此 ,( ) ( )31 +2( )= 1 + +C s G GN s G GG G1 2 1 2 3


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型Cs ( )N ( s)(3) 求 , 设 R(s)=0,N 1 (s)=02N 2 (s) 信 号 只 能 单 向 传 递所 以 ,Cs ( )N 2 ( s)= −1


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型例 已 知 一 控 制 系 统 的 微 分 方 程 组 为⎛ x ( t ) =r ( t ) −c ( t)1⎜⎜ d x2( t)T1 + x2() t = K1x1()t⎜dt⎜⎜x3() t = x2() t − K3c()t⎜d()ct⎜T2 + c() t = K2x3()t⎝ dt试 画 出 其 动 态 结 构 图 , 并 求 系 统 的 传 递 函数 C(s)/R(s)。解 :r(t)( ) 为 输 入 信 号 ,c(t)( ) 为 输 出 信 号


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型对 系 统 微 分 方 程 进 行 拉 氏 变 换 , 得 到 相 应的 代 数 方 程⎛ X s = R s − C s1( ) ( ) ( )⎜⎜T1sX2( s) + X2( s) = K1X1( s)⎜ X3( s) = X2( s) − K3C( s)⎜⎝TsCs 2 ( ) + Cs ( ) = KX 2 3( s)根 据 各 个 代 数 方 程 组 画 出 相 应 的 方 块 图 ,根 据 各 个 代 数 方 程 组 画 出 相 应 的 方 块 图 ,然 后 连 接 起 来 就 得 到 系 统 的 动 态 结 构 图 。


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型引 出 点 前 移 , 进 行 内 回 路 变 换 , 然 后 再 进行 外 回 路 反 馈 变 换 得 系 统 的 传 递 函 数Cs 1 2=Rs ( ) ( Ts1+ 1)( Ts2+ 1 + KK2 3)+ KK1 2( ) KK


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型四 、 用 梅 森 (S. J. Mason) 公 式 求 传 递 函 数等 效 变 换方 块 图 ———→ 系 统 的 传 递 函 数方 块 图 的 复 杂 程 度 —→ 变 换 过 程 的 复 杂 和 困 难梅 森 公 式nCs ( ) 1Φ ( s)= = PkRs ( )∑ Δ Δ = 1式 中 :Φ(s) - 系 统 的 闭 环 传 递 函 数Δ - 特 征 式 , 且Δ=1-ΣL a + ΣL b L c - ΣL d L e L f +…kk


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型n1Φ ( s)= PkΔΔ∑ k=1kP k - 第 k 条 前 向 通 道 的 传 递 函 数 。Δ k - 余 子 式 , 即 在 特 征 式 中 把 与 P k 前 向 通 道接 触 的 回 路 所 在 项 除 去 ( 置 为 零 ) 后 余 下的 式 子 。n- 前 向 通 道 数 。


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型明 确 几 个 概 念 :前 向 通 道 - 由 输 入 端 单 向 ( 沿 箭 头 ) 传 递 至输 出 端 的 信 号 通 道 被 称 为 前 向通 道 。回 路 - 闭 的 通 道 , 即 在 结 构 图 中 信 号 可 以沿 箭 头 方 向 闭 合 流 动 且 经 过 的 任 一元 件 不 多 于 一 次 的 闭 合 回 路 。互 不 接 触 回 路 - 相 互 间 没 有 共 同 接 点 的 回路 。


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型例 求 图 示 系 统 的 传 递 函 数 C(s)/R(s)。解 :(1) 前 向 通 道 有 1 条 :P=GGGGGG1 1 2 3 4 5 6


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型(2) 单 独 回 路 有 4 个 :L1=−GGGGGGH1 2 3 4 5 6 1L2 = −GGH2 3 2LG G HL = −G G H3=−4 5 34 3 4 4有 2 个 回 路 互 不 接 触 , 所 以 有∑L L = L L = ( −G G H )( −G G H )b特 征 式 :c2 3 2 3 2 4 5 3= GGGGH H2 3 4 5 2 3Δ = 1− ∑L∑ a+Lb Lc1 GGGGGGH∑ ∑= + +GGH1 2 3 4 5 6 1 2 3 2+ GGH + GGH + GGGGH H4 5 3 3 4 4 2 3 4 5 2 3


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型余 子 式 : Δ1= 1( 不 存 在 与 P 1 不 接 触 的 回 路 )(3) 闭 环 传 递 函 数 C(s)/R(s) 为Cs ( )GGGGGGRs ( ) 1GGGGGGH GGH GGH GGH GGGGH H= 1 2 3 4 5 6+ 1 2 3 4 5 6 1+2 3 2+4 5 3+3 4 4+2 3 4 5 2 3


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型• 利 用 梅 森 公 式 求 传 递 函 数 的 注 意 事 项 :(1) k 条 前 向 通 道 , 是 指 从 输 入 信 号 到 输 出信 号 前 向 通 道 的 总 数 , 不 要 漏 掉 , 也 不 要错 划 。 通 过 节 点 只 有 一 次 , 不 得 重 复 。(2) 单 独 回 路 数 , 互 不 接 触 回 路 数 , 不 要 漏掉 , 也 不 要 重 复 。Δ 与 Δ k 应 计 算 无 误 。反 馈 的 极 性 应 体 现 在 回 路 传 递 函 数 的 正(3) 反 馈 的 极 性 应 体 现 在 回 路 传 递 函 数 的 正负 上 , 一 定 要 注 意 符 号 。


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型2.4 典 型 环 节 的 传 递 函 数一 、 比 例 ( 放 大 ) 环 节其 微 分 方 程 为ct() =Kr () tK 为 常 数 , 称 比 例 系 数 或 增 益 。比 例 环 节 方 块 图传 递 函 数 为 Gs ( )=K


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型运 算 放 大 器 :UUR= =R2 f1 1K电 位 器 :( )E( s) θmU sθm= =K


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型二 、 积 分 环 节微 分 方 程 为 ( ) ( )d传 递 函 数 为 G ( s)积 分 器c t = ∫r t t1=s电 压 的 传 递 函 数 2 f1U ( s) C s 1 1= = =U ( s)R RC s Ts1 1 1 f i


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型空 载 油 缸Q dxf() t = A d t1X ( s)A KQ ( s ) = s =f s流 量小 惯 性 电 动 机θ m( s)K=U ( s)sam


自 动 控 制 原 理三 、 理 想 微 分 环 节微 分 方 程 ct () =第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型d()rtdt传 递 函 数 Gs ( )=s测 速 发 电 机ut () = K & θ () tU( s)=θ( s)tK st


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型四 、 惯 性 环 节微 分 方 程传 递 函 数d()ctT + c() t = r()tdt1Gs ( ) =Ts + 1运 算 放 大 器1 ⎛ 1Rf⎜Rf+UsCsfCs2( )f=⎝U ( s)R1 1R R KRCf fs+ 1 Ts+1f 1= =⎞⎟⎠


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型五 、 一 阶 微 分 环 节微 分 方 程d()rtct () = τ + rt ()dt传 递 函 数 Gs( ) = τs+1在 放 大 器 上 加 以RC 网 络 反 馈 , 当增 益 K 足 够 大 时U2( s)KU1( s) =1 1+KRCs + 1K ( RCs + 1)RCs + 1= = ≈ RCs+ 1= τs +1RCs + 1 + K RC 1s + + 1K K


自 动 控 制 原 理六 、 振 荡 环 节微 分 方 程传 递 函 数第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型2d ct() d2 2+ 2 ξωn ct ( ) + ωnct ( ) = ωnrt( )2dtdtGs ( ) =sω2n2 2+ 2ξωns+ωn式 中 : ξ—— 相 对 阻 尼 比 ( 无 量 纲 )ω -1 n —— 无 阻 尼 自 然 频 率 (s )Gs ( )=T s2 21+ 2ξTs+1


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型RLC 网 络U ( s) 1=U s LCs RCs221( ) + +121 Lsωn= = 2 22 R 1 s + 2ξωns+ωs + s+nLLC


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型质 量 - 弹 簧 - 阻 尼 动 力 系 统牛 顿 第 二 定 律 ΣF=ma2F dd() t − kyt () − f () ()2dyt =tm dtyt取 拉 氏 变 换 , 整 理 后 得2( ms + fs +k ) Y ( s ) =F ( s)Gs ( )1 kY ( s) 1= = = =F( s) ms fs k ss + s+mm2 s2kmKω n2 2 2+ + 2 f k + ξωn + ωn


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型七 、 二 阶 微 分 环 节微 分 方 程2ct 2dd() = τ () 2 () ()2drt + ξτt dtrt + rt传 递 函 数Gs s s2 2( ) = τ + 2ξτ+ 1二 阶 微 分 环 节 的 方 框 图


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型2.5 控 制 系 统 的 传 递 函 数闭 环 控 制 系 统 的 典 型 结 构 图R(s)—— ) 指 令 信 号 , 输 入 信 号 , 作 用 于 系 统 输 入 端 。N(s)—— 干 扰 信 号 , 一 般 是 作 用 在 被 控 对 象 上 。C(s)—— 被 控 量 , 输 出 信 号B(s)—— 反 馈 信 号E(s)—— 误 差 信 号


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型一 、 系 统 开 环 传 递 函 数断 开 系 统 的 主 反 馈 通 路 。 把 G 1 (s)G 2 (s)H(s)之 积 称 为 该 系 统 的 开 环 传 递 函 数 。Bs ( )( ) ( ) ( )Es ( )= G s G s H s定 义 1 2


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型二 、R(s) 作 用 下 的 闭 环 传 递 函 数令 N(s) =0, 此 时 C(s) 对 R(s) 的 闭 环 传 递 函数 为Cs( )G1 ( s ) G2( s)ΦCR ⋅( s)= =R( s) 1 + G ( s) G ( s) H( s)1 2


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型三 、N(s) 作 用 下 系 统 的 闭 环 传 递 函 数令 R(s) =0, 并 把 N(s) 前 移 到 输 入 端Φ ( s)=CR ⋅=1 G1( s) G2( s)G ( s )1 +G ( s ) G ( s ) H ( s)1 1 2G2( s)1 + G ( s) G ( s) H( s)1 2


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型四 、 系 统 的 总 输 出根 据 线 性 叠 加 原 理 , 系 统 的 总 输 出 等 于 各外 作 用 引 起 的 输 出 的 总 和C ( s ) = Φ ( s ) R ( s ) + Φ( s ) N ( s)CR ⋅CN ⋅G1( s) G2( s) G2( s)= ( ) ( )1 ( ) ( ) ( ) Rs +Ns+ G s G s H s 1 + G ( s) G ( s) H( s)1 2 1 2


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型如 果 系 统 中 控 制 装 置 的 参 数 设 置 , 能 满 足|G 1 (s)G 2 (s)H(s)|1 及 |G 1 (s)H(s)|1 , 则系 统 的 总 输 出 表 达 式 可 近 似 为G ( s ) G ( s ) G ( s )Cs Rs Ns1 + G1( s) G2( s) H( s) 1 + G1( s) G2( s) H( s)1 1= ( ) 0 ( ) =( )( ) Rs +H sNs H( s)Rs1 2 2( ) ≈ ( ) +( )因 此 E( s) = R( s) − B( s) = R( s) −H( s) C( s)= R( s) − R( s) = 0


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型五 、 闭 环 系 统 的 误 差 传 递 函 数闭 环 系 统 在 输 入 信 号 和 扰 动 信 号 的 作 用 下 ,以 误 差 信 号 作 为 输 出 量 时 的 传 递 函 数 为 系统 误 差 传 递 函 数 。Es ( ) 1Φ ER ⋅( s)= =R ( s ) 1 + G ( s ) G ( s ) H ( s)1 2


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型Es ( ) −G2( s) H( s)Φ EN ⋅( s) = =N ( s ) 1 +G ( s ) G ( s ) H ( s)1 2


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型根 据 叠 加 原 理 , 系 统 总 误 差 为Es ( ) =ΦER⋅( s) ⋅ Rs ( ) +ΦEN⋅( s) ⋅Ns( )1− G 2( s ) H ( s)= R( s) +N( s)1 + G ( s) G ( s) H( s) 1 + G ( s) G ( s) H( s)1 2 1 2如 果 满 足 条 件 |G 1 (s)G 2 (s)H(s)|1, 而 且|G 1 (s) |1 , 则 系 统 总 误 差Es≈ ( ) 0上 式 表 明 , 适 当 选 择 系 统 的 元 件 参 数 , 可以 获 得 较 高 的 工 作 精 度 。


自 动 控 制 原 理本 章 小 结第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型1. 本 章 所 讨 论 的 问 题 是 研 究 系 统 性 能 的 基拉 氏 变 换础 , 要 求 掌 握 住 由 微 分 方 程 ⎯ ⎯→s 域 的 代 数方 程 → 画 出 系 统 动 态 结 构 图 → 进 行 结 构 变 换→ 得 到 系 统 的 传 递 函 数 , 或 用 梅 森 公 式 求 系统 的 传 递 函 数 的 方 法 。2. 对 典 型 环 节 传 递 函 数 的 标 准 型 要 牢 固 掌握 。 求 传 递 函 数 时 要 注 意 反 馈 符 号 的 正 负 。反 馈 与 并 联 不 要 混 淆 。 要 分 清 传 递 函 数 的 具体 定 义 。


自 动 控 制 原 理第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型3. 系 统 有 总 的 输 出 C(s)=C 1 (s)+C 2 (s)+…, 但 不( ) 1( ) 2( )能 说 有 总 的 传 递 函 数 ,Φ(s)≠Φ 1 (s)+Φ 2 (s)+…。


自 动 控 制 原 理第 三 章时 域 分 析 法第 三 章 时 域 分 析 法控 制 系 统 的 数 学 模 型 , 是 分 析 、 研 究 、设 计 控 制 系 统 的 基 础 。 一 旦 建 立 起 合 理 的 、便 于 分 析 的 控 制 系 统 数 学 模 型 , 就 可 以 运用 适 当 的 方 法 对 系 统 的 控 制 性 能 进 行 全 面的 分 析 和 计 算 。 对 于 线 性 定 常 系 统 , 常 用的 工 程 方 法 有 时 域 分 析 法 、 根 轨 迹 法 和 频率 法 。 后 两 种 方 法 都 是 以 时 域 分 析 法 为 基础 , 并 且 应 用 了 时 域 分 析 法 中 的 许 多 结 论 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法时 域 分 析 法 是 根 据 系 统 的 微 分 方 程 , 以 拉普 拉 斯 变 换 作 为 数 学 工 具 , 直 接 解 出 控 制系 统 的 时 间 响 应 。 然 后 , 依 据 响 应 的 表 达式 及 其 描 述 曲 线 来 分 析 系 统 的 控 制 性 能 ,如 稳 定 性 、 快 速 性 、 稳 态 精 度 等 , 并 找 出系 统 结 构 、 参 数 与 这 些 性 能 之 间 的 关 系 。时 域 分 析 法 是 一 种 直 接 分 析 法 , 还 是 一 种比 较 准 确 的 方 法 , 可 以 提 供 系 统 时 间 响 应的 全 部 信 息 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法3.1 典 型 输 入 信 号 及 性 能 指 标一 个 系 统 的 时 间 响 应 , 不 仅 取 决 于 系 统 本身 的 结 构 与 参 数 , 而 且 还 同 系 统 的 初 始 状态 以 及 加 在 系 统 上 的 外 作 用 信 号 有 关 。为 了 分 析 和 比 较 控 制 系 统 的 优 劣 , 通 常对 初 始 状 态 和 外 作 用 信 号 做 一 些 典 型 化处 理 。初 始 状 态 : 零 状 态外 作 用 :


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法一 、 典 型 输 入 信 号1. 阶 跃 函 数其 表 达 式 为rt ()at≥0 0 t 0当 a=1 时 , 称 为 单 位 阶 跃 函 数 , 记 作 1(t),则 有 1 t ≥ 01( t) 0 t 0单 位 阶 跃 函 数 的 拉 氏 变 换 为R( s) L [1( t)]1s


自 动 控 制 原 理2. 速 度 函 数 ( 斜 坡 函 数 )其 表 达 式 为第 三 章 时 域 分 析 法rt ()at t ≥ 0, a为 常 量 0 t 0当 a=1 时 ,r(t)=t, 称 为 单 位 速 度 函 数 , 其 拉氏 变 换 为1R( s) L [ t 1( t)]2s


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法3. 加 速 度 函 数 ( 抛 物 线 函 数 )其 表 达 式 为rt ()2at t ≥ 0, a为 常 量 0 t 0当 a=1/2 时 , 称 为 单 位 加 速 度 函 数 , 其 拉氏 变 换 为1 2 1R( s) L [ t 1( t)]32 s


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法4. 脉 冲 函 数其 表 达 式 为 1 0 t rt () 0 t 0,t 单 位 脉 冲 函 数 δ (t), 其 数 学 描 述 为t0( t) 且 ( t)dt10 t 0 单 位 脉 冲 函 数 的 拉 氏 变 换 为R( s) L [ ( t)] 1


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法5. 正 弦 函 数其 表 达 式 为r(t)rt ()a sintt≥ 0 0t 0ot其 拉 氏 变 换 为R( s) L [ a sint 1( t)]sa 2 2


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法二 、 阶 跃 响 应 的 性 能 指 标分 析 时 假 定 控 制 系 统 是 单 位 反 馈 的 、 初 始条 件 为 零 、 给 定 输 入 为 单 位 阶 跃 函 数 。控 制 系 统 的 时 间 响 应 , 从 时 间 顺 序 上 , 可以 划 分 为 过 渡 过 程 和 稳 态 过 程 。过 渡 过 程 是 指 系 统 从 初 始 状 态 到 接 近 最 终状 态 的 响 应 过 程 。稳 态 过 程 是 指 时 间 趋 于 无 穷 时 系 统 的 输 出状 态 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法控 制 系 统 的 典 型 单 位 阶 跃 响 应1 延 迟 时 间 t d0.12 上 升 时 间 t r%误 差 带h( t ) h( )p% 100%h( )3 峰 值 时 间 t p4 超 调 量 %0.9e ss =1-h()5 调 节 时 间 t s6 振 荡 次 数 N0.5t dt pt s7 稳 态 误 差 e sst r


自 动 控 制 原 理延 迟 时 间上 升 时 间峰 值 时 间调 节 时 间超 调 量振 荡 次 数稳 态 误 差第 三 章 时 域 分 析 法快 速 性平 稳 性最 终 ( 稳 态 ) 精 度


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法3.2 一 阶 系 统 分 析由 一 阶 微 分 方 程 描 述 的 系 统 , 称 为 一 阶 系 统 。一 、 一 阶 系 统 的 数 学 模 型一 阶 系 统 的 微 分 方 程 为d ct ( )T c( t) r( t)dt其 闭 环 传 递 函 数 为Cs ( ) 1 1( s) R( s) 1s 1Ts 1K惯 性 环 节


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法二 、 一 阶 系 统 的 单 位 阶 跃 响 应单 位 阶 跃 输 入 的 拉 氏 变 换 为Rs ()1 1C( s) ( s) R( s) Ts 1s取 C(s) 的 拉 氏 变 换 , 可 得 一 阶 系 统 的 单 位阶 跃 响 应ht ()1 1 L L 1s 1 11 1 Ts 1 s s 1 s T


自 动 控 制 原 理则 Th( t) 1 e , ( t ≥ 0)或 写 成 h()t css cttc ss=1 代 表 稳 态 分 量c1Ttt e t代 表 动 态 分 量t第 三 章 时 域 分 析 法一 阶 系 统 中 的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线 是 一 条 由零 开 始 , 按 指 数 规 律 上 升 并 最 终 趋 于 1 的 曲线 。 响 应 曲 线 具 有 非 振 荡 特 征 , 故 又 称 为非 周 期 响 应 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法1 没 有 超 调量 ;初2 调 节 时 间t s =3T(5%)t s =4T(2%)3 没 有 稳 态误 差 , 即ess 1 h( ) 11 0一 阶 系 统 的 阶 跃 响 应


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法例 一 阶 系 统 如 图所 示 , 试 求 系 统 单位 阶 跃 响 应 的 调节 时 间 t s 。 如 果 要R(s)-100s0.1求 t s =0.1 s, 试 问 系 统 的 反 馈 系 数 应 调 整为 何 值 ?解 : (1) 由 结 构 图 写 出 闭 环 传 递 函 数C( s) 100 / s 10( s) R( s) 10010.10.1s 1sC(s)


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法从 (s) 的 分 母 多 项 式 看 出 时 间 常 数 T=0.1 s,故 调 节 时 间ts 3T 3 0.1 s 0.3 s(2) 计 算 t s =0.1 s 的 反 馈 系 数 值设 反 馈 系 数 为 K h , 则 系 统 闭 环 传 递 函 数故100 / s 1/ Kh( s) 100 0.011 Khs1s Kh0.01T =Kh


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法调 节 时 间ts=3 T=0.03Kh要 求 t s =0.1 s, 代 入 上 式 得0.030.1= K所 以K =0.3 hh


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法练 习 :根 据 定 义 , 求 一 阶 系 统 的 动 态 性 能 指 标 :t d = ?t r = ?


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法3.3 二 阶 系 统 分 析由 二 阶 微 分 方 程 描 述 的 系 统 , 称 为 二 阶 系 统 。一 、 二 阶 系 统 的 数 学 模 型位 置 随 动 系 统 原 理 图


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法前 向 通 道 的 传 递 函 数KpKACm/ iGs () s L as Ra Js f CmKb折 算 转 动 惯 量 和 粘 性 摩 擦 系 数1 1 ZJ Ja J2 Lf fa f2 Li i i Z21


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法L a很 小 , L a≈0 , 同 时 令CmKbKpKACm / ( i Ra) K 与 f R则 Gs () 闭 环 传 递 函 数 为Js () s2K FsKc()s 2r()s Js Fs KaF


自 动 控 制 原 理系 统 的 特 征 方 程2Js Fs K 0第 三 章 时 域 分 析 法F 称 为 实 际 阻 尼 系 数 。当F24JK时 , 特 征 方 程 有 一 对 相 等 的 负 实 根 , 系 统处 于 临 界 阻 尼 状 态 。令 F c为 临 界 阻 尼 系 数 , 则Fc 2JK


自 动 控 制 原 理闭 环 传 递 函 数 的 分 子 、 分 母 同 除 以 JK()s 引 入 两 个 新 的 参 量2Js Fs K s2 s2n2nKJFJ第 三 章 时 域 分 析 法KJFJ n称 为 无 阻 尼 自 然 频 率 或 固 有 频 率 称 为 阻 尼 比KJ


自 动 控 制 原 理实 际 阻 尼 系 数 F 临 界 阻 尼 系 数 Fc 2第 三 章 时 域 分 析 法FJK闭 环 传 递 函 数 写 成 如 下 一 般 形 式( s)s2n2 22nsnR(s)-2nss ( 2)nC(s)其 闭 环 特 征 方 程 为s方 程 的 特 征 根 为 2s 02 2n ns 21,2 nn1


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法阻 尼 比 的 取 值 不 同 , 二 阶 系 统 的 特 征 根( 闭 环 极 点 ) 在 s 平 面 上 的 分 布 :01欠 阻 尼状 态s1,2njn 12 1临 界 阻 尼状 态s1,2n


自 动 控 制 原 理 1过 阻 尼状 态 0零 阻 尼状 态 0负 阻 尼状 态s 21,2 n ns1,2jn1,2njn1( 1 0)第 三 章 时 域 分 析 法12s


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法二 、 二 阶 系 统 的 单 位 阶 跃 响 应1. 过 阻 尼 >1 的 情 况系 统 闭 环 特 征 方 程 有 两 个 不 相 等 的 负 实 根 。式 中2 2 1 1 s 2ns n s s 0T TTT12nn12 12 1 2 11T1 22n TT21TT1 2 T1 2TT1 2


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法于 是 闭 环 传 递 函 数 为1Cs ( ) TT1 21R( s) 1 1 T1s 1 T2s1 s sT T 1 2 因 此 , 过 阻 尼 二 阶 系 统 可 以 看 成 两 个 时 间常 数 不 同 的 惯 性 环 节 的 串 联 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法当 输 入 为 单 位 阶 跃 信 号 时系 统 的 输 出Cs () Rs ()1s1 1T s T s s 1 11 2取 C(s) 的 拉 氏 反 变 换 , 得 到 单 位 阶 跃 响 应h t1 1t t11T / T 1 T / T 1T1 T2( ) 1 e e , ( t ≥ 0)2 1 1 2稳 态 分 量 为 1, 动 态 分 量 为 两 项 指 数 项 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法过 阻 尼 二 阶 系 统 的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法过 阻 尼 二 阶 系 统 调 节 时 间 特 性取 相 对 变 量 t s/T 1及T 1/T 2经 计 算 机 解 算后 制 成 曲 线 。当 T 1=T 2(=1 的 临 界阻 尼 情 况 ):调 节 时 间 t s=4.75T 1;当 T 1=4T 2(=1.25) 时 :t s≈3.3T 1;当 T 1>4T 2(>1.25) 时 :t s≈3T 1。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法2. 临 界 阻 尼 =1 的 情 况系 统 具 有 两 个 相 等 的 负 实 根 s 1,2= - n。所 以Cs ()2ns 取 C(s) 的 拉 氏 反 变 换 , 得 临 界 阻 尼 下 二 阶 系统 的 单 位 阶 跃 响 应n21s n th( t) 1 1ent


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法3. 欠 阻 尼 0


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法当 输 入 信 号 为 单 位 阶 跃 作 用 时Cs ( ) 1s s s2n2 22nn1 s s s s nn2 2 2 2n d n d 取 C(s) 的 拉 氏 变 换 , 得 欠 阻 尼 二 阶 系 统 的 单位 阶 跃 响 应nth( t) 1 e cost sintd21nte2 1 1 cos 2dt sindt1d


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法或 者 写 成nteh( t) 1 sin( dt )( t ≥ 0)21式 中2或 arctan 1arccos121系 统 的 响 应 由 稳 态 分 量 和 动 态 分 量 两 部 分组 成 , 稳 态 分 量 的 值 等 于 1, 动 态 分 量 是 一个 随 时 间 t 的 增 长 而 衰 减 的 振 荡 过 程 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法欠 阻 尼 二 阶 系 统 的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法采 用 无 因 次 时 间 n t 作 为 横 坐 标 , 则 时 间 响应 就 仅 仅 是 阻 尼 比 的 函 数 。ent2( ) 1 sin 1 2nt arccosh t1阻 尼 正 弦 振 荡 的 滞 后 角 为 tn arccos21


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法 =0.707 时 的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法h ( t )21.81.61.41.210.80.60.40.2 =0 =0.1 =0.2 =0.3 =0.4 =0.5 =0.6 =0.7 =0.8 =0.9 =1.0 =2.000 2 4 6 8 10 12 n t二 阶 系 统 单 位 阶 跃 响 应 的 通 用 曲 线


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法平 稳 性 : 阻 尼 比 越 大 , 超 调 量 越 小 , 响应 的 振 荡 倾 向 越 弱 , 平 稳 性 越 好 。 反 之 ,阻 尼 比 越 小 , 振 荡 越 强 , 平 稳 性 越 差 。当 =0 时 , 零 阻 尼 响 应 为0 ( 0)h( t) 1 sin t 90 1 cos t t ≥n响 应 为 具 有 频 率 为 n 的 不 衰 减 ( 等 幅 ) 振 荡 。n


自 动 控 制 原 理由 于2 dn1所 以 , 在 一 定的 阻 尼 比 下 , n 越 大 , 振 荡频 率 d 也 越 高 ,系 统 响 应 的 平稳 性 越 差 。第 三 章 时 域 分 析 法阻 尼 比 和 超 调 量 σ % 的 关 系 曲 线结 论 : 要 使 系 统 单 位 阶 跃 响 应 的 平 稳 性好 , 就 要 求 阻 尼 比 大 , 自 然 频 率 n 小 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法快 速 性 : 过 大 , 系 统 响 应 迟 钝 , 调 节 时间 t s长 , 快 速 性 差 ; 过 小 , 虽 然 响 应 的 起始 速 度 较 快 , 但 因 为 振 荡 强 烈 , 衰 减 缓 慢 ,所 以 调 节 时 间 t s也 长 , 快 速 性 差 。对 于 一 定 的 阻 尼 比 ,所 对 应 的 无 因 次 时 间的 响 应 是 一 定 的 。 因此 , 当 一 定 时 , n越 大 , 调 节 时 间 t s也就 越 短 , 即 快 速 性 越好 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法ent2( ) 1 sin 1 2nt arccosh t1 稳 态 精 度 : 瞬 态 分 量 随 时 间 t 的 增 长 衰 减 到零 , 而 稳 态 分 量 等 于 1。 因 此 , 欠 阻 尼 二 阶系 统 的 单 位 阶 跃 响 应 不 存 在 稳 态 误 差 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法三 、 欠 阻 尼 二 阶 系 统 单 位 阶 跃 响 应 性 能 指 标1. 上 升 时 间 t r:单 位 阶 跃 响 应 曲线 第 一 次 到 达 稳态 值 的 时 间 就 是上 升 时 间 。ntr1 e cost sint 1因 为d r21re n t 0d r


自 动 控 制 原 理所 以cosdtr sin2dtr01第 三 章 时 域 分 析 法即 2trtantd r1 21 1 arctan d 所 以21arctan trπ d dn1arccos2


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法2. 峰 值 时 间 t p: 响 应 曲 线 达 到 第 一 峰 值 所需 的 时 间 。nteh( t) 1 sin( dt )( t ≥ 0)21对 时 间 t 求 导 并 令 其 为 零 , 可 得 到 峰 值 时 间 。d ht ( ) nntp sindtpe 0dt21ttp则sint 0d p


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法到 达 第 一 个 峰 值 时 应 满 足 dtp π所 以tpππ2d n1峰 值 时 间 等 于 阻 尼 振 荡 周 期 的 一 半 。


自 动 控 制 原 理3. 超 调 量 σ %超 调 量 的 定 义h( t ) h( )第 三 章 时 域 分 析 法p% 100%h( )将 峰 值 时 间 表 达 式 代 入 单 位 阶 跃 响 应 表 达式 , 得 到 输 出 量 的 最 大 值n peh( t) max h( tp ) 1 sin( 2dtp )1π / 1e 1 sin(π )212t


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法2 sin π sin 1所 以ht ( ) 1ep2π / 1ht (p) 1% 100%1π / 1e 100%2超 调 量 只 是 阻 尼 比 的 函 数 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法阻 尼 比 和 超 调 量 σ % 的 关 系 曲 线


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法4. 调 节 时 间 t s无 因 次 调 节 时间 n t s 与 阻 尼 比 之 间 的 关 系 曲线 : 如 n 一 定 ,则 t s 先 随 的 增大 而 减 小 , 达 到最 小 值 之 后 ,随 的 增 大 而 又增 大 。无 因 次 调 节 时 间 n t s 与 阻 尼 比 的 关 系 曲 线


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法曲 线 的 不 连 续 性 解 释 : n 一 定 , 不 同1.41.2 =0.68 =0.69 =0.70710.80.60.40.200 2 4 6 8 10 12


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法1.151.1 =0.68 =0.69 =0.7071.0510.950.90.85nt s 3nt s 2nts 12.5 3 3.5 4 4.5 5


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法由 图 看 出 :实 际 响 应 的收 敛 速 度 总是 比 包 络 线要 快 。 =0.707 时 的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法根 据 调 节 时 间 的 定 义 , 调 节 时 间 满 足 下 列不 等 式h( t) h( ) ≤ h( ) ( t ≥ts)即h( t) ≤ h( ) h( ) ( t ≥ t )而 h(t) 的 稳 态 值 h()=1因 此而h( t) 1 ( t t )nth( t) 1 e cost sintds21nte2 1 1 cos 2dt sindt1sd


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法etn21将 条 件 改 为解 得若 取 =5% 得若 取 =2% 得21sin( dt arctan ) ≤ ( t ≥ ts)tsetn21≤ 1 1≥ ln2n 1ttss13 ln12 ≥n14 ln12 ≥n


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法当 阻 尼 比


自 动 控 制 原 理5. 振 荡 次 数 N第 三 章 时 域 分 析 法振 荡 次 数 N 是 在 0≤t≤t s 时 间 间 隔 内 , 系 统的 单 位 阶 跃 曲 线 h(t) 穿 越 其 稳 态 值 直 线 h()的 次 数 之 半 , 即若 取 2% 误 差 带 ,tsN4.5ntsTd, 则N22.25 1 π


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法若 取 5% 误 差 带 ,ts3.5n, 则21.75 1N ππ / 1若 已 知 %, 因 为 % e πln %1即 2则 振 荡 次 数 2.25N ln %(2% 误 差 带 )1.75N ln %(5% 误 差 带 )2


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法N9872% 误 差 带5% 误 差 带65432100 0.2 0.4 0.6 0.8 1振 荡 次 数 N 与 的 关 系


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法例 设 位 置 随 动 系 统 的 开 环 传 递 函 数Gs ( ) 5K当 给 定 位 置 为 单 位 阶 跃 时 , 试 计 算 放 大 器增 益 K A=200 时 , 输 出 位 置 响 应 特 性 的 性能 指 标 : 峰 值 时 间 t p、 调 节 时 间 t s和 超 调量 % 。 如 果 将 放 大 器 增 益 增 大 到K A=1500 或 减 小 到 K A=13.5, 那 么 对 响 应的 动 态 性 能 有 何 影 响 ?Ass ( 34.5)


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法解 : 由 于 系 统 是 单 位 负 反 馈 , 所 以 闭 环 传 递 函 数()s 将 K A=200 代 入 上 式对 照 标 准 形 式得 到s 2 s5KA2s 34.5s 5KAss100034.5s10002n2 22nsn234.5n 1000, n 31.5 rad/s , 0.5452n


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法故 峰 值 时 间tpπ π 2d n1调 节 时 间 ts(超 调 量n0.12 s3.5 0.2 s 5% 误 差 带 )2π / 1% e 100% 13%如 果 K A增 大 到 K A=1500, 同 样 可 计 算 出则n 86.2 rad/s, 0.2t 0.037 stps 0.2 s % 52.7%


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法当 K A减 小 到 13.5 时 , 可 以 算 出n 8.22 rad/s, 2.1系 统 成 为 过 阻 尼 二 阶 系 统 , 峰 值 和 超 调 量 不复 存 在 , 而 调 节 时 间 t s等 效 为 大 时 间 常 数 T 1的一 阶 系 统 来 计 算 , 得 到 的 值 为t3T1.46ss 1


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法 c( t )1.61.41.21 0.2Ka=200Ka=1500Ka=13.50.80.60.40.2 0.545 2.100 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6t不 同 K A 时 的 阶 跃 响 应 曲 线


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法四 、 二 阶 系 统 响 应 性 能 的 改 善 措 施1. 比 例 - 微 分 控 制系 统 的 开 环 传 递 函 数 为Gs ( )Ts1ds s2n2n


自 动 控 制 原 理闭 环 传 递 函 数 为式 中 sTs12dn2 2 2n d 1ns s T sTs12dn2 2 2( dn / 2) n ns T ss 1dd2 T Ts12dn2 22dnsn2n第 三 章 时 域 分 析 法 称 为 等 效 阻 尼 比 。T ds 的 设 置 等 效 于 加 大 了 阻 尼 比 , 从 而 使超 调 减 弱 , 改 善 了 系 统 的 平 稳 性 。


自 动 控 制 原 理2. 测 速 反 馈 控 制第 三 章 时 域 分 析 法系 统 的 开 环 传 递 函 数 为n1Gs ( ) 2 K 2tn s s / 2 n Ktn1


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法系 统 的 闭 环 传 递 函 数 为 2n 2 / 2C ss R s s K s s2n2 22 tnsn12 K 2 2t n n n式 中 tt n 称 为 等 效 阻 尼 比 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法3.4 高 阶 系 统 分 析用 高 阶 微 分 方 程 描 述 的 系 统 称 为 高 阶 系 统 。jjn 12 n1To non12(a)(b)一 、 二 阶 系 统 极 点 分 布


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法3.5 稳 定 性 及 代 数 判 据一 、 稳 定 性 的 概 念摆 的 平 衡小 球 的 稳 定 域


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法二 、 稳 定 性 的 定 义 和 数 学 条 件如 果 控 制 系 统 在 初 始 条 件 影 响 下 , 其 响 应过 程 随 时 间 的 推 移 而 逐 渐 衰 减 并 趋 于 零 ,则 称 这 样 的 系 统 具 有 渐 进 稳 定 性 , 简 称 为具 有 稳 定 性 。在 初 始 条 件 影 响 下 , 若 控 制 系 统 的 响 应 过程 随 时 间 推 移 而 发 散 , 则 称 这 样 的 系 统 具有 不 稳 定 性 。稳 定 性 是 系 统 的 一 种 固 有 特 性 , 它 只 取 决于 系 统 的 结 构 和 参 数 , 而 与 初 始 条 件 及 外作 用 无 关 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法设 系 统 的 线 性 化 增 量 微 分 方 程 为nn1d c( t) d c( t) d c( t)0 n 1n1n1a a a anc tdt dt dtmm1d r( t) d r( t) d r( t)0 m 1m1m1 b b b bmr()tdt dt dt对 上 式 进 行 拉 氏 变 换 得( a s a s a s a ) C( s)n n10 1 n1 ( b s b s b s b ) R( s) M ( s)m m10 1 m1 m0或 简 写 成 0nD( s) C( s) M( s) R( s) M ( s)


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法式 中D()s a s a s a s an n10 1 n1是 系 统 的 闭 环 特 征 式 , 也 称 输 出 端 算 子 式 。M()s b s b s b s bm m10 1 m1称 为 输 入 端 算 子 式 。R(s) 为 输 入 信 号 ;C(s) 为 输 出 信 号 。M 0(s) 是 与 系 统 的 初 始 状 态 有 关 的 多 项 式 。nm


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法输 出 C(s) 可 写 成M ( s ) M ( ) 0sC( s) R( s)D( s) D( s)假 定 特 征 方 程 D(s)=0 具 有 n 个 互 异 特 征 根s i(i=1,2, ·,n) , 则D( s) a ( s s)0ni1假 定 R(s) 具 有 l 个 互 异 极 点 s rj(j=1,2, ·,l), 则i


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法输 出 可 以 展 成 如 下 部 分 分 式Cs ( )n l nA Bi0j Ci s s s s s si1 i j1 rj i1i式 中 A i0、B j、C i均 为 待 定 系 数 。进 行 拉 氏 反 变 换 , 得n l ns ti0j ii1 j1 i1 c t A B Csitrj( ) e e e式 中 第 二 项 为 稳 态 分 量 ; 第 一 、 三 项 为动 态 分 量 。s ti


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法因 此 系 统 要 稳 定 , 只 需 式 中 的 动 态 分 量 随时 间 的 推 移 渐 近 为 零 即 可 。故 稳 定 性 定 义 为或 写 成nst iAi0Cit i 1lim ( )e 0nlimst iAie 0t i1式 中 A i =A i0 +C i 为 任 意 常 值 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法所 以 应 有si lime t0 ( i 1,2, , n)t故 系 统 的 稳 定 性 仅 取 决 于 特 征 根 s i的 性 质 。系 统 稳 定 的 充 分 必 要 条 件 为 : 系 统 特 征 方程 的 所 有 根 都 具 有 负 实 部 , 或 者 说 都 位 于s 平 面 的 虚 轴 之 左 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法三 、 代 数 判 据1. 赫 尔 维 茨 (Hurwitz) 稳 定 性 判 据系 统 特 征 方 程 的 一 般 形 式 为D( s) a s a s a s a 0式 中 首 项 系 数 a 0>0。n n10 1 n1系 统 稳 定 的 充 要 必 要 条 件 : 特 征 方 程 的赫 尔 维 茨 行 列 式 D k(k=1,2,3,…,n) 全部 为 正 。n


自 动 控 制 原 理各 阶 赫 尔 维 茨 行 列 式 为Da1 1· ·D2aaa1 3a0 21 3 50 2 41 30 21第 三 章 时 域 分 析 法a a a1 3 5D a a a000 a a 0D 0 a a 0na a aa a a0 0 a 00 0 0 a3 0 2 4n0aa1 3式 中 脚 注大 于 n 的系 数 或 负脚 注 系 数 ,均 以 零 代之 。


自 动 控 制 原 理例系 统 的 特 征 方 程 为4 3 22s s 3s 5s10 0第 三 章 时 域 分 析 法试 用 赫 尔 维 茨 判 据 , 判 别 系 统 的 稳 定 性 。解 : 由 特 征 方 程 知 各 项 系 数 为a 2, a 1, a 3, a 5,a 100 1 2 3 4稳 定 的 充 分 必 要 条 件D1 a1 10a aD a a a a 1 3 2 5 7 01 32 1 2 0 3a0 a2由 于 D 2


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法2. 林 纳 得 - 奇 帕 特 (Lienard-Chipard) 判 据此 判 据 实 质 上 是 赫 尔 维 茨 稳 定 判 据 的 推 广 ,它 可 以 减 少 计 算 行 列 式 的 工 作 量 。系 统 稳 定 的 充 分 必 要 条 件 为(1) 系 统 特 征 方 程 的 各 项 系 数 大 于 零 ,即 a i>0 (i=0,1,2,3,…,n)。(2) 奇 数 阶 或 偶 数 阶 的 赫 尔 维 茨 行 列 式 大于 零 , 即 D 奇 >0 或 D偶>0。说 明 :(1) 是 系 统 稳 定 的 必 要 条 件 ; 如 果满 足 a i>0 , 则 根 据 (2) 继 续 计 算 。


自 动 控 制 原 理例 系 统 特 征 方 程 为第 三 章 时 域 分 析 法a s a s a s a3 20123 0利 用 林 纳 得 - 奇 帕 特 判 据 , 判 别 系 统 稳 定 性 。解 : 稳 定 的 充 分 必 要 条 件 为(1) a i>0 即 a 0>0,a 1>0,a 2>0,a 3>0;(2)事 实 上a aD a a a a 1 32 1 2 0 3a0 a2a01 323 0 2 1 2 3 0 3 1 2 0 3 3D a a 0 a a a a a ( a a a a ) a 00aaa1 3( a a a a ) 0 即 D > 0, a 3 0 由 (1) 保 证 。1 2 0 3 20


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法例 单 位 负 反 馈 系 统 的 开 环 传 递 函 数Gs () Ks(0.1s 1) 0.25s1试 求 增 益 K 的 稳 定 域 。解 : 系 统 的 闭 环 特 征 方 程 s 0.1s 1 0.25s 1 K 03 20.025s 0.35s s K 0特 征 方 程 各 项 系 数 为a 0.025, a 0.35, a 1,a K0 1 2 3


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法稳 定 的 充 分 必 要 条 件(1) a i>0, 则 要 求 K>0;(2) D 2>0 即a aD a a a a1 32 1 2 0 3a0 a2 0.351 0.025K 0得 K


自 动 控 制 原 理3. 劳 思 (Routh) 判 据若 系 统 的 特 征 方 程 为第 三 章 时 域 分 析 法a s a s a s a 0 ( a 0)n n10 1 n1 n0系 统 稳 定 的 充 分 必 要 条 件 是 :劳 思 表 中 第 一 列 所 有 元 素 的 计 算 值 均 大于 零 , 如 果 第 一 列 出 现 小 于 零 的 元 素 ,则 系 统 不 稳 定 。 并 且 第 一 列 中 数 值 符 号改 变 的 次 数 等 于 系 统 特 征 方 程 正 实 部 根的 数 目 。


自 动 控 制 原 理nsn 1s 2ns n 3s n 4s c 1 13 3c 14c 1 15 5aa a aa1 2 0 31 423a1ca a ccaca a aa第 三 章 时 域 分 析 法 2s1s0sa 0a 1a 2a 310 5 a cc33a1a6 a aa10 713 3 1 2313 5 1 3313 7 1 43c24 c3444cc1313c13c14c23 c13c24c14c33 c13cc3414c43 c13c44 c25c35c 45c14c14c14cc1, n 12, n 1c 1,nc1, n1 anca 4a 5a a ca 6a 7c 43c


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法由 劳 思 表 可 以 看 出 , 劳 思 判 据 和 赫 尔 维 茨判 据 实 质 上 是 相 同 的 , 劳 思 表 中 第 一 列 各数 值 和 赫 尔 维 茨 行 列 式 之 间 , 存 在 如 下 关系 :a a , a D , c D / D , c D / D0 0 1 1 13 2 1 14 3 2c D / D , ,c D / D , c D / D15 4 3 1n n1 n2 1, n1 n n1


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法例 已 知 系 统 的 特 征 方 程 为4 3 2s 2s 3s 4s 5 0试 用 劳 思 判 据 判 别 系 统 的 稳 定 性 , 并 确 定正 实 部 根 的 数 目 。解 : 根 据 特 征 方 程 的 系 数 列 出 劳 思 表 :4s3s123450sss2102 3 14 1214 25 61551 第 一 列 元 素 不同 号 , 所 以 系 统不 稳 定 。2 第 一 列 中 数 值符 号 改 变 两 次 ,所 以 有 两 个 正 实部 的 根 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法4. 劳 思 稳 定 判 据 的 特 殊 情 况(1) 劳 思 表 中 某 行 的 第 一 列 项 为 零 , 而 其他 各 项 不 为 零 , 或 不 全 为 零 。计 算 劳 思 表 下 一 行 的 第 一 元 素 时 , 将 出现 无 穷 大 , 使 劳 思 判 据 失 效 。解 决 办 法 : 用 很 小 的 正 数 代 替 零 元 素 ,计 算 劳 思 表 的 其 他 元 素 , 然 后 通 过 令0 来 研 究 劳 思 表 的 第 一 列 元 素 符 号 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法例 如 特 征 方 程 为5 4 3 2D( s) s s 2s 2s 3s 5=0列 写 劳 思 表 :5s4s3s2s11ε0 2ε +2 正 数ε22 2535ss104ε 4 5ε2ε 252-21 用 正 数 代 替 第三 行 第 一 列 的 0 元素 , 继 续 计 算 劳思 表 。2 令 0 研 究 劳思 表 的 第 一 列 元素 符 号 。3 第 一 列 元 素 符号 :+- +改 变 两 次 , 系 统不 稳 定 。


自 动 控 制 原 理(2) 劳 思 表 中 某 行 全 为 零第 三 章 时 域 分 析 法这 种 情 况 表 明 特 征 方 程 中 存 在 一 些 绝 对 值相 同 但 符 号 相 异 的 特 征 根 。解 决 办 法 : 用 全 零 行 上 面 一 行 的 系 数 构 造 一个 辅 助 方 程 F(s)=0, 并 对 其 求 导 , 用 所 得 方程 的 系 数 代 替 全 零 行 的 元 素 , 按 劳 思 稳 定 判据 的 要 求 继 续 计 算 , 直 到 得 出 全 部 劳 思 表 。辅 助 方 程 的 次 数 通 常 为 偶 数 , 它 表 明 数 值 相同 但 符 号 相 反 的 根 数 。 所 有 这 些 数 值 相 同 、符 号 相 反 的 根 , 均 可 由 辅 助 方 程 求 出 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法已 知 一 系 统 的 特 征 方 程 为D s s s 4s 24s 3s 63 0 5 4 3 2列 写 劳 思 表 :5s 1 4 3sssss432101 24 63-20 -6021 6342 0 0631s 1 行 全 为 零 。 由 s 2 行 系 数构 造 辅 助 方 程F(s)=21s 2 +63=0s1,2 j3求 导 得 d Fs ( )42s0ds用 方 程 代 替 原 来 表 中 的 零行 , 再 继 续 计 算 。2 劳 思 表 第 一 列 有 两 次 符号 变 化 , 因 此 有 两 个 实 部为 正 的 根 , 系 统 不 稳 定 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法劳 思 判 据 和 赫 尔 维 茲 主 要 用 于 判 断 系 统 是 否稳 定 , 以 及 确 定 系 统 参 数 的 允 许 范 围 , 但 不能 给 出 系 统 稳 定 的 程 度 , 即 不 能 表 明 特 征 根距 虚 轴 的 远 近 。为 了 保 证 系 统 有 一 定 的 稳 定 裕 度 , 且 具 有 良好 的 动 态 性 能 , 希 望 特 征 根 在 s 左 半 平 面 且与 虚 轴 有 一 定 的 距 离 , 通 常 称 之 为 稳 定 度 。用 新 的 变 量 s 1 =s+a 代 入 原 系 统 的 特 征 方 程 ,即 将 s 平 面 的 虚 轴 左 移 一 个 常 值 a, 此 a 值 就 是要 求 的 特 征 根 与 虚 轴 的 距 离 ( 即 稳 定 度 )。


自 动 控 制 原 理例 单 位 负 反 馈 系 统 的 开 环 传 递 函 数Gs () Ks(0.1s 1) 0.25s1第 三 章 时 域 分 析 法要 求 系 统 的 特 征 根 全 部 位 于 垂 线 s=-1 的 左 侧 ,即 稳 定 度 a=1, 试 问 增 益 K 的 允 许 范 围 ?解 : 取 s 1 =s+1 代 入 原 特 征 方 程3 20.025s 0.35s s K 0得 3 21 1 10.025( s 1) 0.35( s 1) ( s 1) K 0整 理 上 式 , 得s 11s 15 s (40K 27) 031 1 1


自 动 控 制 原 理由 稳 定 的 充 分 必 要 条 件第 三 章 时 域 分 析 法1a i >0, 则 40K-27>0, 得K>0.6752 D 2 =a 1 a 2 -a 0 a 3 , 则 1115-(40K-27)>0 , 得K


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法四 、 结 构 不 稳 定 及 其 改 进 措 施仅 仅 调 整 参 数 无 法 稳 定 的 系 统 , 称 为 结构 不 稳 定 系 统 。液 位 控 制 系 统 结 构 图


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法由 结 构 图 可 写 出 系 统 的 闭 环 特 征 方 程2s Tm s KmKpKL1K0令 KmKpKL1K0 K2则 1 0s Tm s 1 K 0展 开 后T s s K3 2m 0要 使 系 统 稳 定 , 必 须 改 变 原 系 统 的 结 构 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法消 除 结 构 不 稳 定 的 措 施 有 两 种 : 一 是 改 变积 分 性 质 , 另 一 是 引 入 比 例 - 微 分 控 制 ,补 上 特 征 方 程 中 的 缺 项 。(1) 改 变 积 分 性 质用 反 馈 K H包 围 积 分 环 节 , 破 坏 其 积 分 性质 。积 分 环 节 被 K H包围 后 的 传 递 函 数X2()s K0X () s s K K1 0 H


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法用 反 馈 K H包 围 电 动 机 的 传 递 函 数电 动 机 被 包 围 后 的 传 递 函 数X2( s)KmX ( s) s T s 1 K K1 m m H


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法(2) 引 入 比 例 - 微 分 控 制其 闭 环 传 递 函 数 是 sKs1 1 12s Tms K s


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法闭 环 特 征 方 程其 各 项 系 数 为T s s K s K3 2m 0a T , a 1, a K, a K0 m 1 2 3稳 定 的 充 分 必 要 条 件 :得(1)(2)a 0, 则 要 求 T 、 K、 均 大 于 零 ;imD 0, D a a a a K KT 02 2 1 2 0 3 m Tm


自 动 控 制 原 理3.6 稳 态 精 度 分 析一 、 误 差 与 稳 态 误 差 的 定 义第 三 章 时 域 分 析 法系 统 的 误 差 e(t) 一 般 定 义 为 希 望 值 与 实 际 值之 差 。e(t)= 希 望 值 - 实 际 值


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法误 差 的 定 义 有 两 种 :1e(t)=r(t) - c(t)2希 望 值e(t)=r(t) - b(t)实 际 值希 望 值 实 际 值当 反 馈 通 道 H(s)=1, 则 形 式 上 两 种 定 义 统 一为系 统 的 误 差 响 应e(t)=r(t) - c(t)


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法稳 态 误 差 的 定 义 : 稳 定 系 统 误 差 的 终 值 称为 稳 态 误 差 。ess lim e( t)t二 、 稳 态 误 差 的 计 算若 e(t) 的 拉 氏 变 换 为 E(s), 且 lim et ( ),ts存 在 , 则 有e lim e( t) lim sE( s)ssts0 0lim sE( s)应 用 条 件 :sE(s) 在 s 右 半 平 面 及 虚 轴 上 解析 , 或 者 说 , sE(s) 的 极 点 均 位 于 s 左 半 平面 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法利 用 终 值 定 理 求 稳 态 误 差 e ss归 结 为 求 误 差e(t) 的 拉 氏 变 换 E(s)。求 出 在 输 入 信 号 和 干 扰 同 时 作 用 下 误 差 的拉 氏 变 换 式 E(s), 就 可 以 求 得 系 统 总 的 稳态 误 差 e ss。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法根 据 第 二 种 定 义E( s) R( s) B( s)式 中 B(s) 为 反 馈 量 , 其 表 达 式 为B( s) ( s) R( s) ( s) N( s)BRBN BR (s) 为 反 馈 量 B(s) 对 输 入 R(s) 的 闭 环 传 递函 数 ; BN (s) 为 反 馈 量 B(s) 对 干 扰 N(s) 的 闭 环 传 递函 数 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法所 以B( s) R( s) R( s) ( s) N( s)BRBRBN 1 ( s) R( s) ( s) N( s)由 结 构 图 求 得BN1 ( s)BR G s G s H( s) 1 21 1 G1 s G2s H ( s )11 G s G s H( s)1 2 ER ( s)系 统 对 输 入信 号 的 误 差传 递 函 数


自 动 控 制 原 理 2 Gs H( s)BN( s) EN( s)1 G s G s H( s)可 将 E(s) 写 成1 2ERR NEN第 三 章 时 域 分 析 法E( s) ( s) R( s) ( s) N( s) E ( s) E ( s)E R(s) 为 输 入 信 号 引 起 的 误 差 象 函 数 ;E N(s) 为 干 扰 引 起 的 误 差 象 函 数 。系 统 对干 扰 的误 差 传递 函 数


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法例 系 统 结 构 图 如 下 图 所 示 。 当 输 入 信 号r(t)=t 时 , 求 系 统 在 输 入 信 号 作 用 下 的 稳 态误 差 e ss。解 : 稳 定 的 系 统 , 计 算 稳 态 误 差 才 有 意 义 。第 一 步 , 判 别 系 统 稳 定 性 。系 统 的 闭 环 特 征 方 程s s 1 2s 1 K 0.5s 1 0


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法由 稳 定 性 判 据(1) 各 项 系 数 大 于 零 , 则 K>0,K>-2。(2) 由 D2 a1a2 a0a3 3 1 0.5K 2K 0得 K


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法所 以1 s( s 1)(2s1)ER() s 1 G( s) s s 1 2s 1 K 0.5s1 输 入 信 号 r(t)=t, 所 以Rs ()1s2则Es ( )ss12s11 2 1 2 1 0.5 1s s s K s s


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法第 三 步 , 用 终 值 定 理 求 稳 态 误 差 e ss。假 设 系 统 满 足 稳 定 条 件 , 即 0


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法例 系 统 结 构 如 下 图 所 示 。 当 输 入 信 号 r(t)=1(t),干 扰 n(t)=1(t) 时 , 求 系 统 总 的 误 差 e ss。解 : 第 一 步 , 判 别 稳 定 性 。由 于 是 一 阶 系 统 , 所 以 只 要 参 数 K 1、K 2大 于 零 , 系 统 就 稳 定 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法第 二 步 , 求 E(s)。1 sER( s) 1 G( s)s KKKE N( s) C N( s)s 2K K1 2输 入 信 号 r(t)=1(t) , 干 扰 n(t)=1(t), 所 以则E( s) ( s) R( s) ( s) N( s)EREN1 21 1R( s) , N( s)s ss 1 K21Es () s K K s s K K s1 2 1 2


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法第 三 步 , 应 用 终 值 定 理 计 算 稳 态 误 差 e ss。esslim s E( s)s02 lim s s01 21 21K1s 1 K1s K K s s K K s稳 态 误 差 与 系 统 本 身 的 结 构 、 参 数 有 关 ,而 且 与 外 作 用 有 关 , 同 时 也 与 干 扰 作 用点 的 位 置 有 关 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法三 、 输 入 信 号 r(t) 作 用 下 的 稳 态 误 差 与 系 统结 构 的 关 系当 只 有 输 入 作 用 时 , 系 统 的 结 构 图 为系 统 的 开 环 传 递 函 数 为Bs ()( ) ( )Es () G s H s


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法将 G(s)H(s) 写 成 典 型 环 节 串 联 形 式G( s) H( s)K 2 2 1s 1 2s 2 22s 1 2 2 1 2 1s T s T s T sKNsD001 2 1 2( s)( s)式 中 K 为 开 环 增 益 ; 为 积 分 环 节 数 目 。因 为 N(s)=0, 所 以1E( s) ER( s) R( s) R( s)1 G( s) H( s)


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法则1ess lim s E( s) lim s R( s)s0 s01 G( s) H( s)由 于 G(s)H(s) 当 s 趋 于 零 时 的 极 限 为 K/s , 所以1ess lim s R( s)s01 K / s ess 1slim R( s)s0s K上 式 表 明 : 系 统 的 稳 态 误 差 e ss除 了 与 外 作用 R(s) 有 关 外 , 还 与 系 统 的 开 环 增 益 K 和积 分 环 节 数 目 有 关 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法下 面 分 别 讨 论 不 同 输 入 信 号 r(t) 作 用 下 , 稳态 误 差 与 系 统 结 构 参 数 的 关 系 。1. 当 输 入 信 号 为 阶 跃 作 用 r(t)=r 0·1(t) 时 ,(r 0为 表 示 阶 跃 量 大 小 的 常 数 ), 则稳 态 误 差essRs ( )lims0lims00r0s 1s r0s K sr ssK


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法下 面 讨 论 积 分 环 节 数 目 对 阶 跃 输 入 作 用 下系 统 稳 态 误 差 的 影 响 :r0,ess1 ≥ 1, ess 00K结 论 : 在 阶 跃 输 入 下 , 系 统 消 除 稳 态 误 差的 条 件 是 ≥1, 即 在 开 环 传 递 函 数 G(s)H(s)中 至 少 有 一 个 积 分 环 节 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法2. 当 输 入 信 号 为 斜 坡 作 用 r(t)= 0 t·1(t) 时 ,( 0表 示 输 入 信 号 的 速 度 ), 则Rs ( )s02稳 态 误 差es s K s 10 slims0s K 10sslims02


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法讨 论 积 分 环 节 数 目 对 斜 坡 输 入 下 系 统 稳 态误 差 的 影 响 : 0, ess 0 1, e ssK ≥ 2, e 0ss结 论 : 在 斜 坡 输 入 下 , 系 统 消 除 稳 态 误 差的 条 件 是 ≥2, 即 在 开 环 传 递 函 数 G(s)H(s)中 至 少 有 两 个 积 分 环 节 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法3. 当 输 入 信 号 为 等 加 速 度 作 用 r(t)=a 0 t 2 /2·1(t)时 ,(a 0为 加 速 度 ), 则稳 态 误 差eRs ( ) 10 0ss lim lims0 3s0as03s a a ss K s s K 2


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法讨 论 积 分 环 节 数 目 对 等 加 速 度 输 入 下 系 统稳 态 误 差 的 影 响 : 0或 1, ess a0 2, e ssK ≥ 3, ess 0结 论 : 在 等 加 速 度 输 入 下 , 系 统 消 除 稳 态误 差 的 条 件 是 ≥3, 即 在 开 环 传 递 函 数G(s)H(s) 中 至 少 有 三 个 积 分 环 节 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法四 、 系 统 的 型 别 和 静 态 误 差 系 数1. 系 统 的 型 别按 系 统 含 有 的 积 分 环 节 数 目 可 将 系 统 分为 不 同 的 型 别 : 通 常 ,称 =0 的 系 统 为 0 型 系 统 。称 =1 的 系 统 为 Ⅰ 型 系 统 。称 =2 的 系 统 为 Ⅱ 型 系 统 。以 此 类 推 。系 统 的 型 别 越 高 , 跟 踪 典 型 输 入 信 号 的 无差 能 力 越 强 。


自 动 控 制 原 理2. 静 态 误 差 系 数第 三 章 时 域 分 析 法(1) 静 态 位 置 误 差 系 数 K pK p表 示 系 统 在 阶 跃 输 入 下 的 稳 态 精 度 ,定 义 为KK lim G( s) H( s) limps0 s0对 于 0 型 系 统 ,=0, 则 K p=K。在 阶 跃 输 入 下0 0essrs lim s01 K 1对 于 Ⅰ 型 以 上 系 统 ,=1, 则 K p=∞, 则ess 0rKp


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法(2) 静 态 速 度 误 差 系 数 K K 表 示 系 统 在 斜 坡 输 入 下 的 稳 态 精 度 , 定义 为KKlim sG( s) H( s) lims0 s0 1s对 于 0 型 系 统 ,=0, 则 K =0, 此 时ess对 于 Ⅰ 型 系 统 ,=1, K =K, 则e ssK0 0K


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法对 于 Ⅱ 型 以 上 系 统 , ≥2, 则K 故ess 0静 态 速 度 误 差 系 数 K 的 大 小 , 反 映 了 系 统跟 踪 斜 坡 输 入 信 号 的 能 力 。 K 越 大 , 稳态 误 差 越 小 , 精 度 越 高 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法(3) 静 态 加 速 度 误 差 系 数 K aK a表 示 系 统 在 等 加 速 度 输 入 下 的 稳 态 精度 , 定 义 为2KK lim s G( s) H( s) limas0 s0对 于 0 型 或 Ⅰ 型 系 统 ,≤1, 故2s essKa0


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法对 于 Ⅱ 型 系 统 ,=2, 得 , K a=K, 则ss0 0对 于 Ⅲ 型 以 上 系 统 ,≥3, 得eaKK aessaK0K a的 大 小 反 映 了 系 统 跟 踪 等 加 速 度 输 入 信号 的 能 力 。K a越 大 , 稳 态 误 差 越 小 , 精 度越 高 。a


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法系 统型 别静 态 误 差 系 数典 型 输 入 信 号 作 用 下 的 稳 态 误 差阶 跃 输 入0 K pK K essa0 K 0 0 K0Kr( t) r 1( t)0r00 e ss1 Kr01 K000p斜 坡 输 入 加 速 度 输 入r( t) t 1( t)0K0K 1r t a t t22( ) 01( )essa 0K0 0aK0a


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法例 系 统 结 构 如 图 所 示 。 已 知 输 入 信 号r(t)=1(t)+t+t 2 /2, 求 系 统 的 稳 态 误 差 e ss( 误 差定 义 为 e=r-c)。解 :解 : 第 一 步 , 判 别 稳 定 性 。 稳 定 !5 5 1Gs () s(5s 1) 50.8 s s(5s 5) s( s 1)


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法第 二 步 , 求 稳 态 误 差 。开 环 传 递 函 数 中 有 一 个 积 分 环 节 , 所 以 为Ⅰ 型 系 统 , 且 开 环 增 益 K=1, 则 当 r(t)=1(t)时 ,e ss1 =01r( t) t时 , ess2 112tr()t 时 , ess3 2系 统 总 的 稳 态 误 差ess ess1 ess2 ess3


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法五 、 干 扰 n(t) 作 用 下 的 稳 态 误 差 与 系 统 结 构的 关 系图 3-37 例 3-10 的 系 统 结 构 图干 扰 作 用 下 的 稳 态 误 差e lim s E ( s) lim s ( s) N( s)ssn N ENs0 s0


自 动 控 制 原 理求 出 EN (s)第 三 章 时 域 分 析 法将Ns ()essn1s代 入 得K112 lim s s0s K1K2 s K1结 果 表 明 : 系 统 在 干 扰 作 用 下 稳 态 误 差 与 干 扰 作用 点 以 前 的 K 1有 关 ,K 1越 大 , 稳 态 误 差 e ssn越 小 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法h () tr10.80.60.4Cs () KK1 2R()s s K KKK12 10 21 20.200 0.2 0.4 0.6 0.8t输 入 作 用 的 响 应 曲 线


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法h () nt0.10.080.060.04Cs () K2N()s s K KKK12 10 21 20.0200 0.2 0.4 0.6 0.8t干 扰 作 用 的 响 应 曲 线


自 动 控 制 原 理ht ()1.2第 三 章 时 域 分 析 法10.80.6误 差 定 义 e(t)=r(t)-c(t)总 误 差 e ss =-0.10.40.200 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8t输 入 、 干 扰 共 同 作 用 的 响 应 曲 线


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法讨 论 : 对 于 书 中 图 3-37 所 示 的 结 构 , 如 果用 一 个 待 定 的 传 递 函 数 G 1(s) 来 代 替 K 1, 那么 G 1(s) 应 该 具 备 什 么 条 件 才 能 使 系 统 在 干扰 n(t) 作 用 下 没 有 稳 态 误 差 ?


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法干 扰 作 用 下 得 稳 态 误 差进 一 步 可 写 成K 2essnlims N ss0s G1( s)K2当 干 扰 n(t)=1(t) 时 , 1essnlim s N( s)s0G1( s)essn 1 1 1 lim s lim s0 G 01( s) s s G1( s)


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法因 此 , 为 使 阶 跃 干 扰 作 用 下 系 统 的 稳 态 误差 为 零 , 即 e ssn=0, 则 G 1(s) 中 至 少 要 有 一个 积 分 环 节 。例 如 取K1( s1)G1( s) ( K1 0, 0)s1取 G s , 则 系 统 的 稳 定 性 将 遭 到s破 坏 , 变 成 结 构 不 稳 定 系 统 。1 ( ) K


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法同 样 , 为 使 斜 坡 干 扰 系 统 的 稳 态 误 差 为 零 ,G 1(s) 中 至 少 要 有 两 个 积 分 环 节 , 因 为 这 时N(s)=1/s 2 。比 如 取G ( s)s1s11 21 2结 论 : 系 统 在 典 型 干 扰 作 用 下 的 稳 态 误 差e ssn与 干 扰 作 用 点 到 误 差 信 号 之 间 的 积 分环 节 数 目 和 增 益 大 小 有 关 , 而 与 干 扰 作 用点 后 面 的 积 分 数 目 及 增 益 大 小 无 关 。s


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法例 系 统 结 构 如 图 所 示 。 已 知 干 扰 n(t)=1(t),试 求 干 扰 作 用 下 的 稳 态 误 差 e ssn。解 : 第 一 步 , 判 别 稳 定 性 。系 统 开 环 传 递 函 数Gs () K K/ T ( T s 1)1 2 1 12s T2s ( 1)


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法所 以 闭 环 特 征 方 程 为T s ( T s 1) K K / T ( T s 1) 022 2 1 2 1 13 2s s K1K 2T1 / 0稳 定 条 件 :(1) a i >0, 则 T 2 、T 1 、K 1 、K 2 均 应 大 于 零 。(2) 由 D2 a1a2 a0a3 K1K2 T2 K1K2 T1 / 0得 T 1 > T 2


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法第 二 步 , 求 稳 态 误 差 。在 干 扰 作 用 点 到 误 差 信 号 之 间 的 传 递 函 数中 有 一 个 积 分 环 节 , 故 系 统 在 n(t)=1(t) 作用 下 ,e ssn=0。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法六 、 改 善 系 统 稳 态 精 度 的 方 法1. 按 干 扰 补 偿输 出 c(t) 对 干 扰 n(t) 的 闭 环 传 递 函 数CN () s G ( s) G ( s) G ( s) G ( s)2 n 1 21 G ( s) G ( s)1 2


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法若 能 使 CN (s) 为 零 , 则 干 扰 对 输 出 的 影 响 就可 消 除 。由 分 子 为 零 , 即G ( s) G ( s) G ( s) G ( s) 02 n 1 2得 对 干 扰 全 补 偿 的 条 件 为Gn( s)1G ( s)1


自 动 控 制 原 理2. 按 指 令 信 号 补 偿第 三 章 时 域 分 析 法误 差 定 义 为E( s) R( s) C( s)Gs ( )C( s) 1 Gr( s) R( s)1 Gs ( )


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法所 以1 G ( s) G( s)E s R s R s1 Gs ( )r( ) ( ) ( ) G( s) G ( s) G( s) 1 Gs ( ) 1 G( s) G( s) Gr( s) G( s)1 Gs ( )为 使 E(s)=0, 应 保 证得 到r1 Rs ( )1 G ( s) G( s) 0r1Gr() s Gs ()Rs( )


自 动 控 制 原 理本 章 小 结第 三 章 时 域 分 析 法1. 时 域 分 析 是 通 过 直 接 求 解 系 统 在 典 型 输 入信 号 作 用 下 的 时 间 响 应 , 来 分 析 系 统 的 控 制性 能 的 。 工 程 上 常 用 单 位 阶 跃 响 应 的 超 调 量 、调 节 时 间 和 稳 态 误 差 等 性 能 指 标 , 评 价 系 统性 能 的 优 劣 。2. 控 制 系 统 的 动 态 特 性 可 以 近 似 为 一 阶 或 二阶 系 统 。 因 此 一 、 二 阶 系 统 的 理 论 分 析 结 果 ,常 常 是 高 阶 系 统 分 析 的 基 础 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法3. 稳 定 性 是 系 统 正 常 工 作 的 首 要 条 件 。 线 性系 统 的 稳 定 性 , 是 系 统 固 有 的 一 种 特 性 , 完全 由 系 统 自 身 的 结 构 、 参 数 决 定 。 判 别 稳 定性 的 代 数 方 法 是 赫 尔 维 茨 判 据 、 林 纳 德 − 奇帕 特 判 据 和 劳 思 判 据 。4. 系 统 的 稳 态 误 差 标 志 着 系 统 最 终 可 能 达到 的 控 制 精 度 。 稳 态 误 差 既 和 系 统 的 结 构 、参 数 有 关 , 又 和 外 作 用 的 形 式 及 大 小 有 关 ,同 时 还 和 干 扰 作 用 点 的 位 置 有 关 。


自 动 控 制 原 理第 三 章 时 域 分 析 法5. 系 统 的 型 别 和 静 态 误 差 系 数 也 是 稳 态 精度 的 一 种 标 志 , 型 别 越 高 、 静 态 误 差 系 数越 大 , 系 统 的 稳 态 误 差 就 越 小 。 实 际 系 统中 ,Ⅰ 型 系 统 最 常 见 ,Ⅱ 型 0 型 次 之 。


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法第 四 章根 轨 迹 法闭 环 系 统 的 稳 定 性 和 性 能 指 标 主 要 由闭 环 系 统 的 极 点 在 复 平 面 的 位 置 决 定 , 因此 , 分 析 或 设 计 系 统 时 确 定 出 系 统 闭 环 极点 的 位 置 是 十 分 有 意 义 的 。1948 年 , 伊 文 斯 (W. R. Evans) 提 出 了根 轨 迹 法 , 这 种 方 法 是 根 据 系 统 的 开 、 闭环 传 递 函 数 之 间 的 关 系 , 根 据 一 些 准 则 ,直 接 由 开 环 传 递 函 数 的 零 、 极 点 求 出 闭 环极 点 ( 闭 环 特 征 根 )。


自 动 控 制 原 理一 、 根 轨 迹 的 定 义第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法4.1 根 轨 迹 的 基 本 概 念根 轨 迹 : 是 指 系 统 开 环 传 递 函 数 中 某 个 参 数( 如 开 环 增 益 K) 从 零 变 到 无 穷 时 , 闭 环 特 征根 在 s 平 面 上 移 动 所 画 出 的 轨 迹 。常 规 根 轨 迹 : 当 变 化 的 参 数 为 开 环 增 益 时所 对 应 的 根 轨 迹 。广 义 根 轨 迹 : 当 变 化 的 参 数 为 开 环 传 递 函数 中 其 它 参 数 时 所 对 应 的 根 轨 迹 。


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法R(s)KC(s)s(0.5 s + 1)-系 统 的 传 递 函 数KGs( ) =s(0.5s+1)其 闭 环 传 递 函 数Cs ( ) K KΦ ( s)= = =R ( s ) s(05 (0.5s + 1) + K 0.5 05s 2+ s + K则 闭 环 特 征 方 程 为20.5s + s+ K = 0


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法解 之 , 得 闭 环 特 征 根 表 达 式 为s1= − 1+ 1−2KKs2= − 1− 1−2K取 K 为 不 同 值 代 入 s 12 1,2 表 达 式 , 得K 0 0.5 1.0 2.5 … +∞s 1 0 -1 -1 + j1 -1 + j2 … -1 + j∞s 2 -2 -1 -1 - j1 -1- j2 … -1 - j∞


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法K→∞K=2.5j2K=11K=0-2-1K=1K=0.50K=00-1K=2.5K→∞-2


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法二 、 根 轨 迹 与 系 统 的 性 能稳 定 性 : 只 要 K>0,则 根 轨 迹 在 s 平 面 的 左半 平 面 , 因 此 , 系 统是 稳 定 的 。稳 态 性 能 : 有 一 个 开环 极 点 在 坐 标 原 点 处 ,所 以 该 系 统 是 I 型 系 统 ,则 K 为 静 态 速 度 误 差 系数 。K→∞K=2.5K=1K=0 K=0.5-2 -1K=1K=2.5K→∞j21K=0-1-2


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法动 态 性 能 :1 当 0


自 动 控 制 原 理三 、 根 轨 迹 方 程第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法1. 开 、 闭 环 传 递 函 数 的 零 、 极 点 表 达 式控 制 系 统 的 结 构 图R(s)-G( () sC(s)其 闭 环 传 递 函 数Gs( )Φ ( s) =1 + GsHs ( ) ( )Hs ()式 中 G(s)H(s) ) 为 系 统 的 开 环 传 递 函 数 。


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法将 开 环 传 递 函 数 用 其 分 子 、 分 母 多 项 式 方 程根 的 因 式 来 表 示 , 得开 环 传 递 函 数m∏*K ∏( s−zj)GsHs ( ) ( ) =j=1n( m≤n)( s−p )∏i=1i开 环 传 递函 数 的 零、 极 点 表达 式p i 为 分 母 多 项 式 方 程 的 根 , 称 作 开 环 传 递 函数 的 极 点 。z j 为 分 子 多 项 式 方 程 的 根 , 称 作 开 环 传 递 函数 的 零 点 。K * 称 作 根 轨 迹 增 益 。


自 动 控 制 原 理闭 环 传 递 函 数Φ ( )=nGs ( ) ( s−p)∏ii=1snm*( s − pi) + K ( s−zj)i= 1 j=1第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法闭 环 传 递 函 数 的零 、 极 点 表 达 式式 中 :∏ ∏s i 为 闭 环 传 递函 数 的 极 点 ,l亦 即 闭 环 特 征*∏( −ϕj)根 。j=1( l n)nz ϕj 闭 环 传 递 函∏ ( s−si)数 的 零 点 。i=1K * ϕ 称 作 闭 环 根轨 迹 增 益 。K ϕs z= ≤


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法2. 根 轨 迹 方 程根 轨 迹 是 所 有 闭 环 特 征 根 的 集 合 。 闭 环 系统 的 特 征 方 程 为或 写 成1+G(s)H(s) = 0G(s)H(s) ) = -1mK * ∏j=1nK ( s−z)∏i=1( s−p )上 式 就 是 根 轨 迹 方 程 。ij=−1


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法模 值 方 程 : *K相 角 方 程 :m∏j=1n∏i=1s−s −pizj=1m∑n∑∠( s −z ) − ∠( s − p ) = (2k+1)πjj= 1 i=1i( k = 0, ± 1, ± 2, L)


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法看 出 : 模 值 方 程 与 K * 有 关 , 而 相 角 方 程与 K * 无 关 。 因 此 , 相 角 方 程 是 决 定 闭 环根 轨 迹 的 充 分 必 要 条 件 , 而 模 值 方 程 是用 来 确 定 根 轨 迹 上 各 点 对 应 的 K * 值 。


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法4.2 绘 制 根 轨 迹 图 的 基 本 法 则法 则 1 根 轨 迹 的 分 支 数 :n 阶 系 统 根 轨 迹 有 n 条 分 支 。法 则 2根 轨 迹 的 对 称 性 :根 轨 迹 是 关 于 实 轴 对 称 的 。法 则 3 根 轨 迹 的 起 点 、 终 点 :根 轨 迹 起 于 开 环 极 点 p i ,终 止 于 开 环 零 点 z j (m 条 ) , 或 趋 于 无 穷远 点 (n-m 条 )。


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法证 明 : 由 根 轨 迹 方 程 , 得令 K * =0, 得故n∏i=1m∏( s−zj)= 1 1jn∏ ( s − pi)i=1m∏=−( s−z )Kjj=1 1n*∏i=1( s−p )i*=− =∞K( s− p) = 0 s = p( i = 1 , 2, L, n)ii


自 动 控 制 原 理令*K →∞ , 得m∏( s − zj)j=1 1n*∏ ( s − pi)i=1m∏j=1第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法=− * =K →∞K( s − z ) = 0 s = z ( j = 1, 2, L, m)j*当 K →∞ , 设 s →∞ , 则m∏( s−zj)mj=1 s 1 −1lim = lim = lim = 0 = lims→∞ ns→∞ nsn−mK**s →∞ s →∞K∏ ( s − pi)i=1j0


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法法 则 4 根 轨 迹 在 实 轴 上 的 分 布 :实 轴 上 根 轨 迹 区 段 右 侧 的 开 环 零 点 与开 环 极 点 数 目 之 和 为 奇 数 。 相 反 , 如 果 右侧 ( 实 ) 零 点 与 ( 实 ) 极 点 数 目 之 和 为 偶 数 , 则试 探 点 s i 所 在 区 段 不 属 于 根 轨 迹 。


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法证 明 : 根 据 相 角 方 程m∑n∑∠( s −z) − ∠( s − p ) = ( 2k+ 1)πjj= 1 i=1ijz 2p 3sp 2z 1p 10z 3p 4


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法法 则 5 根 轨 迹 的 渐 近 线 :当 n>m > 时 , 将 有 (n-m) 条 根 轨 迹 沿 渐 近 线趋 于 无 穷 远 处 , 其 渐 近 线 与 实 轴 正 方 向 的 夹角 为 ϕ , 与 实 轴 交 点 坐 标 为 σa 。a( 2 k+1)πϕa= ( k = 0, ± 1, ± 2, L)n−mσa= ∑ 开 环 极 点 值 - ∑ 开 环 零 点 值有 限 极 点 数 - 有 限 零 点 数=n∑p−m∑ii= 1 j=1n−mzj


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法常 见 n-m=1,2,3,4 时 渐 近 线 的 图 像 :jj180 o 90 o0 0n− m= 1−90n− m=2ojj180 o 45 o0 0o 135 o60−60o −45o−135n − m = 3n− m=4o


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法观 察 发 现 : 渐 近 线 条 数 为 (n-m) 条 , 而 这 些渐 近 线 将 s 平 面 以 σ a 为 中 心 进 行 等 分 , 几o个 渐 近 线 之 间 的 夹 角 为 360 ( n−m), 这 样只 要 求 出 某 一 条 渐 近 线 与 实 轴 的 夹 角 , 就很 容 易 求 出 其 它 渐 近 线 的 位 置 。


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法法 则 6 根 轨 迹 的 分 离 点 ( 或 会 合 点 ) 坐 标 s d :两 条 或 两 条 以 上 根 轨 迹 在 s 平 面 上 相 遇 后又 立 即 分 开 的 点 , 称 为 分 离 点 。分 离 点 满 足 方 程 :n∑m1 1=∑s − p s − zi= 1 d i j=1n∑si=1 d1−pi=d0 ( 无 开 环 零 点 )j


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法根 轨 迹 起 始 于 开 环 极 点 , 而 终 于 开 环零 点 。 一 般 情 况 下 , 如 果 实 轴 上 两 相 邻 极点 之 间 的 线 段 属 于 根 轨 迹 , 那 么 这 两 个 极点 之 间 至 少 存 在 一 个 分 离 点 ; 根 轨 迹 位 于实 轴 上 两 相 邻 开 环 零 点 之 间 ( 或 其 中 一 个 零点 是 无 穷 远 零 点 ), 则 两 零 点 之 间 也 至 少 存在 一 个 分 离 点 。


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法首 先 判 断 是 否 有 分 离 点 , 然 后 确 定 分 离点 可 能 处 的 大 概 位 置 :• 实 轴 上• 以 共 轭 形 式 出 现 在 复 平 面 上一 般 是 指 位 于 实 轴 上 的 两 条 根 轨 迹 的 分离 点 。注 意 : 开 环 零 、 极 点 位 置 的 变 化 影 响 根 轨迹 的 形 状 , 要 仔 细 把 握 。 属 于 根 轨 迹 区 段上 的 点 , 才 是 分 离 点 , 否 则 舍 掉 。


自 动 控 制 原 理证 明 : 系 统 的 闭 环 特 征 方 程第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法nm*( ) = ∏( −i) + ∏( −j) = 0i= 1 j=1Ds s p K s z根 轨 迹 有 分 离 点 , 说 明 闭 环 特 征 方 程 有 重根 。 因 此 ,nm*( s − p i) + K ∏( s − zj) =0i= 1 j=1∏dd⎡⎢⎣n∏m⎤*( s− pi) + K ∏ ( s− zj) ⎥ = 0j⎦s i= 1 = 1


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法将 上 面 两 式 相 除 , 整 理 得n∑m1 1=∑s − p s − zi= 1 d i j=1dj


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法法 则 7 根 轨 迹 的 分 离 角 ( 与 会 合 角 ):分 离 角 是 指 根 轨 迹 离 开 分 离 点 处 的 切 线与 实 轴 正 方 向 的 夹 角 。会 合 角 是 指 根 轨 迹 进 入 会 合 点 处 的 切 线与 实 轴 正 方 向 的 夹 角 。实 轴 上 分 离 点 的 分 离 角 为 ± 90 o 或 0 o 、 180o;o o o实 轴 上 会 合 点 的 会 合 角 为 0 、 180 或 ± 90 。


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法分 离 角 计 算 公 式 :θ1 ⎡mn⎤= ⎢ (2 k+ 1)π + ∑ ∠ ( s −z ) − ∑ ∠ ( s −si) ⎥⎣⎦d d jdl j= 1 i=+l 1式 中 ,s d - 分 离 点 坐 标z j- 原 系 统 的 开 环 零 点s i -K=K d 时 除 l 个 重 极 点 外 , 其 它 (n-l)个 原 系 统 的 闭 环 极 点 , 即 新 系 统 的 开 环 极 点l - 分 离 点 处 根 轨 迹 的 分 支 数


自 动 控 制 原 理会 合 角 计 算 公 式 :ϕ第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法nn1 ⎡⎤= (2 k 1)π ( s pi) ( s si)l⎢ + + ∑∠ − − ∑ ∠ − ⎥⎣i = 1 i = l+1⎦d d d式 中 ,s d - 分 离 点 坐 标p i - 原 系 统 的 开 环 极 点1 1K Ks i - 新 系 统 = 时 除 l 个 重 极 点 外 ,其 它 (n-l) 个 开 环 极 点 ( 原 系 统 的 闭 环 极 点 )l - 分 离 点 处 根 轨 迹 的 分 支 数d


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法一 般 情 况 下 , 两 条 根 轨 迹 相 遇 又 分 开时 , 它 们 的 会 合 角 和 分 离 角 分 别 是 0º、180º 和 90º、-90º, 、 , 或 者 相 反 。 这 一 规 律 具有 一 般 性 。 可 以 证 明 :1 1(2k1) πϕ = 2kπll1 12kπϕd= (2k+ 1)πll(1) 若 分 离 角 θ, 则 会 合 角d= + d(2) 若 分 离 角 θ = , 则 会 合 角d


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法法 则 : 若 有 l 条 根 轨 迹 进 入 s d点 , 必 有 l 条根 轨 迹 离 开 s d 点 ;l 条 进 入 s d 点 的 根 轨 迹 与l 条 离 开 s d 点 的 根 轨 迹 相 间 隔 ; 任 一 条 进入 s d 点 的 根 轨 迹 与 相 邻 的 离 开 s d 点 的 根 轨迹 方 向 之 间 的 夹 角 为 π/l 。 因 此 只 要 确 定s d 点 的 附 近 一 条 根 轨 迹 方 向 , 由 上 述 规 律就 可 以 方 便 地 确 定 s d 点 附 近 所 有 的 根 轨 迹的 方 向 。


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法法 则 8 根 轨 迹 的 起 始 角 与 终 止 角 :起 始 角 是 指 根 轨 迹 在 起 点 处 的 切 线 与 实轴 正 方 向 的 夹 角 。终 止 角 是 指 根 轨 迹 进 入 开 环 零 点 处 的 切终 止 角 是 指 根 轨 迹 进 入 开 环 零 点 处 的 切线 与 实 轴 正 方 向 的 夹 角 。


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法起 始 角 的 计 算 公 式 :mθ = + + ∑∠ − − ∑∠ −(2k 1)π ( p z ) ( p p )p kk j k ij= 1 i=1≠k终 止 角 的 计 算 公 式 :θm= + −∑∠ − + ∑∠ −(2k 1)π ( z z ) ( z p )zkk j k ij= 1 i=1≠knn


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法法 则 9根 轨 迹 与 虚 轴 交 点 及 临 界 根 轨 迹 增 益根 轨 迹 与 虚 轴 相 交 , 意 味 着 闭 环 极 点中 有 一 对 共 轭 虚 根 。 因 此 , 将 s=jω 代 入 特征 方 程 中 就 可 求 得 ω 和 K * , 即 根 轨 迹 与 虚轴 交 点 的 坐 标 及 交 点 所 对 应 的 临 界 根 轨 迹增 益 K cr 。


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法将 s=jω 代 入 特 征 方 程 中 , 得1+G(jω )H(jω ) = 0令⎪ [ G ω H ω ]⎨⎪⎩ [ +G ωH ω]⎧ Re 1 + (j ) (j ) = 0⎪⎩Im 1 + (j ) (j ) =0由 上 面 的 方 程 组 , 就 可 求 得 ω 和 K * 。


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法法 则 10闭 环 极 点 ( 根 ) 的 和 与 积设 系 统 的 闭 环 特 征 方 程 可 写 成nn−1s + an−1 s + L+ a1 s + a0 =0并 设 它 的 n 个 根 为 s1, s2, L, sn则 根 据 代 数 方 程 的 根 与 系 数 的 关 系 可 知 , 有n⎧s= −a ∑ i n−1⎪ i=1⎨n⎪ ( − s i) = a0⎪⎩ ∏i=1


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法把 系 统 的 传 递 函 数 写 成* ( s− z1 )( s−z2) L( s−zm)G0( s)= K( s − p )( s − p ) L( s − p )=K*1 2mmmm−1s − ∑ z s + L + ∏j−zjj=1j=1nnnn−1s − ∑ps L + i+ +∏ −pii=1i=1n( )( )


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法如 果 开 环 零 、 极 点 的 数 目 满 足 n-m≥ 2, 则闭 环 特 征 方 程 为n n mnn−1 ⎡*⎤s − ∑ psi+ L + ⎢∏( − pi) + K ∏ ( − zj) ⎥ = 0i=1⎣ i= 1 j=1 ⎦当 m = 0, 即 没 有 开 环 零 点 时 , 上 式 左 端 最后 一 项 应 为n∏ ( − p i) +Ki=1*


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法由 此 得 到 , 系 统 闭 环 极 点 之 和 为n∑s=n∑ii= 1 i=1pi即 闭 环 极 点 之 和 等 于 开 环 极 点 之 和 。系 统 闭 环 极 点 之 积 为或n n m*− si = − pi + K −zji= 1 i= 1 j=1∏ ∏ ∏( ) ( ) ( )n n mn−m*si = pi + ( −1)K zji= 1 i= 1 j=1∏ ∏ ∏


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法[ 教 材 P126] 例 4-2 单 位 负 反 馈 系 统 的 开 环 传递 函 数 为Gs( )=K * ( s+ 1.5)( s+ 2 − j)( s+ 2 + j)s( s+ 2.5)( s+ 0.5 + j1.5)( s+ 0.5 −j1.5)试 绘 出 K * 由 0→∞ 变 动 的 根 轨 迹 。解 : (1) 系 统 开 环 极 点 :p 1 =0, p 2,3 =-0.5±j1, p 4 =-2.5系 统 开 环 零 点 :z 1 =-1.5, z 2,3 =-2 ± j(2) 实 轴 上 (-1.5, 15 0),(-∞, ∞ -2.5) 25) 为 根 轨 迹 段 。


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法(3) 渐 近 线 : 由 n-m=1 可 知 , 有 一 条 根 轨 迹趋 于 无 穷 远 处 。(4) 起 始 角 与 终 止 角 :3 4θθ = − − pk+ + ∑∠ p −2 2z ∑ j∠ p2pij= 1 i=1i≠2(2 1)π ( ) ( )= (2k+ 1)π + 56.5 + 19 + 59 −108.5 −90 −37=79oo o o o o o同 理 , 开 环 极 点 p 处 的 起 : θ = −79o3 始 角 p3


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法开 环 零 点 z 2 处 的 终 止 角 :3 4θ = + −∑∠ − + ∑∠ −(2k 1)π ( z z ) ( z p )z22 j 2 ij= 1 i=1j≠2= (2 k + 1)π − 117 − 90 + 153 + 199 + 121 +63.5=149.5o同 理 , 开 环 零 点 z 3 处 的 终 止 角 :o o o o o oθz3= −149.5o


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法


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自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法例 负 反 馈 系 统 的 开 环 传 递 函 数KGsHs( ) ( ) =ss ( + 1)(0.5s+1)试 作 K( 由 0→∞) 变 动 的 系 统 闭 环 根 轨 迹 。解 :K2KGsHs( ) ( ) = =ss ( + 1)(0.5s+ 1) ss ( + 1)( s+2)*K=ss ( + 1)( s+2)(1) 开 环 极 点 :p 1 =0,p 2 = -1,p 3 = -2无 开 环 零 点 。


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法jGsHs( ) ( )=*Kss ( + 1)( s+2)21p 2 p 1-2 -1 Op 3-1-2


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法(2) n = 3 , 根 轨 迹 有 3 条 分 支 ;(3) K = 0 时 , 根 轨 迹 起 始 于 p 1 , p 2 , p 3K → ∞ 时 , 皆 趋 于 无 穷 远 处 ;(4) 实 轴 上 的 根 轨 迹 区 段 :j2(-1, ,0),( 0),(-∞, -2) 1p 3-1p 2p 1-2 -1 O-2


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法(5) 渐 近 线 :ϕa(2k+ 1)π (2k+1)π= =n−m3−0= ± π /3, π{ }n∑p−m∑ii= 1 j=1σa=n−m0 + ( − 1) +( −2)= =−13−0zjp 3p 2j21p 1-2 -1 O-1-2


自 动 控 制 原 理(6) 分 离 点 s d :由 公 式n∑m1 1=∑s − p s −zi= 1 d i j=11 1 1+ + =s + 1 s + 2 sd d d解 之 , 得s d = -0.42,s d = -1.58 158( 舍 掉 )dj第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法0p 3p 2j21s d p 1-2 -1 O-1-2


自 动 控 制 原 理(7) 分 离 角 :θd=± π /2第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法j21p 3 p 2-2 -1 O-1s d p 1-2


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法(8) 根 轨 迹 与 虚 轴 交 点 坐 标 即 临 界 增 益 :令 s = j jω , 代 入 特 征 方 程3 2 *s + 3 s + 2 s + K=03 2 *(j ω) + 3(j ω) + 2(j ω) + K = 02 * 3( − 3 ω + K ) + j( − ω + 2 ω) = 0将 实 部 和 虚 部 分 别 写 成 方 程 式2 *⎨ ⎧− 3ω+ K =0− 3ω + 2ω= 0⎩


自 动 控 制 原 理解 之 , 得ω = 0, ±2K*=0, 6所 以 , 与 虚 轴 交 点坐 标 为s1,2=±j j 2临 界 增 益K = 3第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法p 3p 2j21s dp 1-2 -1 O-1−-222


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法j21-4 -3 -2 -1 01-1-2


自 动 控 制 原 理例第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法已 知 系 统 的 开 环 传 递 函 数KGs( )=2ss ( + 3)( s + 2s+1)试 绘 制 K 从 0 → ∞ 变 化 时 闭 环 的 根 轨 迹 图 。解 :(1) 开 环 极 点 :p 1 = 0,p 2 = -3,p 3,4 = -1 ± j无 开 环 零 点 ;(2) n = 4 , 根 轨 迹 有 4 条 分 支 ;(3) K = 0 时 , 根 轨 迹 起 始 于 p 1 , p 2 , p 3,4K →∞ 时 , 皆 趋 于 无 穷 远 处 ;


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法jp 3-11p 1-3p 2-2 O1p 4-1


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法(4) 实 轴 上 的 根 轨 迹 区 段 : (-3, 0)jp 311p 2 p 1-33-22 -1Op 4-1


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法(5) 渐 近 线 :ϕσ(2k+ 1)π (2k+1)π= = = ± ±n−m 4−0a,anm∑pi− ∑zji= 1 j=1= =n−m=−1.25{ π /4, 3π /4}0 + ( − 3) + ( − 1+ j) + ( −1−j)4−0


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法jp 3-11p 2 p 1-3 -2 -1.255Op 4-1


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法(6) 分 离 点 坐 标 s d :nm由 公 式1 1∑ =∑i= 1 sd− pij=1 sd− zj1 1 1 1+ + + =s s + 3 s + 1+ j s + 1−j解 之 , 得d d d ds d = -2.28864s + 15s + 16s+ 6=03 2d d ds d = -0.7307 ± j 0.3486 ( 舍 掉 )0


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法jp 31p 2 p 1s d-3 -2.3 -2 -1.25-1 Op 4-1


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法(7) 分 离 角 :θd=± π /2jp 311p 2 s dp 1-33 -2.32 3 -22 -1.25-1Op 4-1


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法(8) 起 始 角 :θm= + + ∑∠ − −∑∠ −(2k 1)π ( p z ) ( p p )pkk j k ij= 1 i=1≠ko ( p p p p p p)θp = 180 − ∠ ( p − p ) +∠ ( p − p ) +∠ ( p − p)θ p3 3 1 3 2 3 4( + +)= 180 − 135 + 26.6 + 90 =−71.6θ = + 71.6 7.64o o o o oon


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法jp 3−71.6o1-3ps d-2.3-2-1.25-1 Opp 2 p 1171.6 op 4-1


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法(9) 根 轨 迹 与 虚 轴 交 点 坐 标 及 临 界 增 益 :令 s=jω, 代 入 特 征 方 程ss s s K2 *( + 3)( + 2 + 2) + = 0⎣⎡2(j ω)(jω + 3) (j ω) + 2(j ω) + 2 + K = 04 2 3( ω − 8 ω + K ) + j( − 5ω + 6 ω) = 0将 实 部 和 虚 部 分 别 写 成 方 程 式4 2⎧ω− 8ω+ K = 0⎨ 3⎩ − 5ω+ 6ω=0解 之 , 得ω = 0, ± 1.095 K = 0, 8.16⎦⎤


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法所 以 , 与 虚 轴交 点 坐 标 为s1,2= ±j1 j1.11临 界 增 益K = 8.16 -3 -2.3-1s djp 1.13 1o−71.6-2-1.25Op 2 p 1171.6 op 4 -1-1.1


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法j321-4-3-2-101 2-1-2-3


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法(10) 求 K= 8.16 时 所 对 应 的 另 外 两 个 闭 环 根 :利 用 根 之 和 与 根 之 积 的 关 系 式 , 得 到⎧s + s + s + s= 0−3−1− 1= −5⎨1 2 3 4⎩ ssss1 2 3 4= K=8.16已 知s 1,2 = ±j1.095那 么 s 3,4 = -2.5 ± j0.742


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法例 已 知 系 统 的 结 构 图R(s)-C(s)K ( s+b)ss ( + a)( b> a>0)试 证 明 K 从 0 → ∞ 变 化 时 的 闭 环 根 轨 迹 其复 数 部 分 为 圆 , 并 求 圆 的 半 径 和 圆 心 。解 : (1) 开 环 极 点 :p 1 = 0,p 2 = -a开 环 零 点 :z 1 = -b


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法jz 1p2p1-b -aO(2) n = 2 , 根 轨 迹 有 2 条 分 支 ;


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法(3) K = 0 时 , 根 轨 迹 起 始 于 p 1 , p 2K → ∞ 时 , 根 轨 迹 一 条 终 止 于 z 1 , 另 一条 趋 于 无 穷 远 处 ;(4) 实 轴 上 的 根 轨 迹 区 段 : (-a, 0),(-∞, -b)jz 1p2p1-b -a O


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法(5) 渐 近 线 :因 为 n – m =1 所 以 ϕa =180(6) 分 离 点 坐 标 s d :由 公 式n∑m1 1= ∑s −p s −zi= 1 dij=1d1 1 1+ =s s + a s + bd d d2d+ d+s + 2 bs + ab=0所 以 2− 2b± 4b −4ab2sd = = b ± b − ab ( b >a)2jo


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法求 得 两 个 分 离 点 坐 标 分 别 为s = − b+ b 2 −abd12sd2=− b − b −abjz 1p2p1-b -aO


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法证 明 : 两 分 离 点 之 间 的 根 轨 迹 为 圆由 于 根 轨 迹 上 任 一 点 都 满 足 闭 环 特 征 方程 , 设 根 轨 迹 复 数 部 分 任 一 点 s = σ + jω ,代 入 特 征 方 程 中2s + a+ K s+Kb+ ( + ) + =0+ + a+ K + + Kb=2( σ j ω) ( )( σ j ω) 0展 开 , 整 理 , 令 ⎧Re = 0⎨⎩Im I =02 2整 理 得 到 , ⎧σ − ω + K ( σ + b ) + aσ= 0⎨⎩K=−2σ−a


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法将 K 代 入 整 理 , 得 到( σ + ) + = −2 2 2b ω b ba显 然 这 是 以 σ, ω 为 变 量 的 圆 的 方 程 , 其 圆心 坐 标 为 (-b,0), b 半 径 为2r = b − ab


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法jz 1rp2p 1-b-aO


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法从 例 题 中 可 以 发 现 : 由 两 个 极 点 ( 实 数 极 点或 复 数 极 点 ) 和 一 个 有 限 零 点 组 成 的 开 环 系统 , 只 要 有 限 零 点 没 有 位 于 两 个 实 数 极 点 之间 , 当 K 从 零 变 到 无 穷 时 , 闭 环 根 轨 迹 的 复数 部 分 , 是 以 有 限 零 点 为 圆 心 到 分 离 点 的 距离 为 半 径 的 圆 , 或 圆 的 一 部 分 。 这 在 数 学 上是 可 以 严 格 证 明 的 。


自 动 控 制 原 理开 环 零 极 点 变 化 时 的 根 轨 迹第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法根 轨 迹 的 形 状 与 开 环 零 极 点 的 分 布 密 切 相 关 。一 、 增 加 开 环 极 点 的 影 响(1) 改 变 了 根 轨 迹 在 实 轴 上 的 分 布 ;(2) 改 变 渐 近 线 的 条 数 , 方 向 角 及 与 实 轴的 交 点 ;(3) 一 般 使 根 轨 迹 向 右 偏 移 不 利 于 系 统(3) 一 般 使 根 轨 迹 向 右 偏 移 , 不 利 于 系 统的 稳 定 性 和 动 态 特 性 。


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法例 如 :KKG0( s) = G( s) ( pcp)s ( s + p ) ⇒ = ss ( + p )( s + p>c)jjp2p1-p O -p c -p Op3p2p1


自 动 控 制 原 理Gs ( ) =Kss+( +2)第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法Gs ( )=Kss (+2 )(s +4)


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法Gs ( )=Kss (+2 )(s +1)


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法Gs ( )=Kss( +2) ⋅s


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法二 、 增 加 开 环 零 点 的 影 响增 加 开 环 零 点 可 以 使 根 轨 迹 左 移 , 有 利于 改 善 系 统 的 稳 定 性 和 动 态 特 性 。例 如 :KK( s+1)G0 ( s ) = ⇒ G ( s)=2 2s ( s+ 2) s ( s+2)


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法G( s)=0 2Ks ( s+ +2)


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法jGs ( )=K( ( s +1)2s( s + 2)321-3 -2 -1 01-1-2-3


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法Gs ( )=K( s+ 05) 0.5)2s ( s + 2)j321-3 -2 -1 00.51-1-2-3


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法KK( z + 4)Gs ( ) = ⇒ Gs ( ) =ss( + 2) ss( s+2)j21-8 -7-6 -5 -4 -3-2 -101-1-2-3


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法KK( z + 3)Gs ( ) = ⇒ Gs ( ) =s ( s+2) s( s + 2)j21-5 -4 -3 -2 -1 01-1-2


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法KK( z + 1)Gs ( ) = ⇒ Gs ( ) =s ( s+2) s( s + 2)j-2-1 01-1


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法4.3 利 用 根 轨 迹 分 析 系 统 的 动 态 性 能一 、 闭 环 零 极 点 分 布 与 阶 跃 响 应 的 定 性 关 系设 n 阶 系 统 的 闭 环 传 递 函 数 可 写 为mm−1b0s + b1s +⋅⋅⋅+bmn n−10+1+⋅⋅⋅+nC ( s)Φ ( s)= =Rs ( ) as as a=m*K ∏ ϕs−zϕjj=1n∏ ( s−s i)i= 1( )


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法设 输 入 为 单 位 阶 跃 信 号 ,r(t)=1(t), 则R(s)=1/s代 入 上 式 得mC( s)*K ∏ ϕ( s−zϕj)=j=1n⋅∏( s − s i)i=1( )1s如 果 Φ(s) 无 重 极 点 , 可 将 上 式 分 解 为 部 分 分 式A0 A1AnC ( s ) = + +⋅⋅⋅+s s−s1s−snnA0Ak= +∑+s s−sk=1k


自 动 控 制 原 理式 中第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法A0mm* *ϕ−ϕ jϕ−ϕ jj= 1 j=1nnK ∏ ( s z ) K ∏ ( z )= = =Φ(0)( s−s ) ( −s)∏∏ii= 1s=0i=1iAmm* *K ∏ϕs−zjK ∏ϕ ϕsk − zϕjj= 1 j=1k= =n n( ) ( )s ( s−s ) s ( s − s )∏∏i k ii= 1 i=1i≠ks=si≠kk


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法经 拉 氏 反 变 换 , 可 以 求 出 系 统 的 单 位 阶 跃响 应ct () = A (0) +∑+ Akke看 出 : 系 统 的 阶 跃 响 应 将 由 闭 环 极 点 s k 及系 数 A k 决 定 , 而 系 数 A k 也 与 闭 环 零 、 极 点分 布 有 关 。nk=1st


自 动 控 制 原 理二 、 主 导 极 点 与 偶 极 子第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法一 个 控 制 系 统 总 是 希 望 它 的 输 出 量 尽 可能 地 复 现 给 定 的 输 入 量 , 要 求 动 态 过 程 的 快速 性 、 平 稳 性 要 好 一 些 。1. 要 求 系 统 稳 定 , 则 必 须 所 有 的 闭 环 极 点 s i位 于 s 平 面 的 左 半 平 面 。2. 要 求 系 统 快 速 性 好 , 应 使 阶 跃 响 应 式 中 的每 个 分 量 es k t 衰 减 得 快 , 则 闭 环 极 点 应 远 离 虚轴 。 要 求 平 稳 性 好 , 则 复 数 极 点 最 好 设 置 在s 平 面 中 与 负 实 轴 成 ± 45º 夹 角 线 的 附 近 。


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法3. 要 求 动 态 过 程 尽 快 消 失 , 要 求 系 数 A k 要 小 ,因 为 A k 小 , 对 应 的 暂 态 分 量 小 。m*K ∏ϕs k− zϕjj=1A k=n∏( )s ( s −s)i=1i≠k故 应 使 分 母 大 , 分 子 小 。 从 而 看 出 : 闭 环 极点 之 间 的 距 离 (s k -s i ) 要 大 ; 零 点 z i 应 靠 近 极 点s k 。ki


自 动 控 制 原 理一 阶 系 统第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法闭 环 特 征 方 程 为 Ts+1=0闭 环 特 征 根 为 实 根 ,ss 1 =-1/T, 位 于 s 平 面 的左 半 平 面 。系 统 的 阶 跃 响 应 式 为快 速 性 指 标 t = 3Tsct () = 1−e1− tT可 以 看 出 : 为 提 高 系 统 的 快 速 性 , 减 小 调节 时 间 , 应 使 时 间 常 数 T 小 一 些 , 及 特 征 根1的 绝 对 值 | s1| = 大 一 些 , 即 s 1 远 离 虚 轴 。T


自 动 控 制 原 理二 阶 系 统第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法2 2闭 环 特 征 方 程 为 s+ 2 ξω s+ ω =0在 欠 阻 尼 情 况 下 , 闭 环 特 征 根 为 负 根2s = − ξω ± jω 1−ξ1,2 n n位 于 s 平 面 的 左 侧 。快 速 性 指 标 ts = 3.5 / ξωn可 以 看 出 : 为 提 高 快 速 性 , 应 加 大 ξω n , 即特 征 根 的 实 部 绝 对 值 要 大 一 些 , 即 s 1,2 远 离虚 轴 。nn


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法1. 偶 极 子 : 如 果 一 个 闭 环 极 点 和 零 点 在 复平 面 上 的 位 置 很 接 近 , 则 常 成 为 一 个 偶极 子 。工 程 上 , 某 零 、 极 点 之 间 的 距 离 比 它们 本 身 的 模 值 小 一 个 数 量 级 , 则 它 们 就构 成 了 偶 极 子 。


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法例 如 :s 2js 4z ϕ1s 1Os 3


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法2. 主 导 极 点 : 在 s 平 面 上 , 最 靠 近 虚 轴 而附 近 又 没 有 闭 环 零 点 的 一 些 闭 环 极 点 ,称 为 主 导 极 点 。主 导 极 点 对 系 统 的 性 能 影 响 最 大 , 远 离虚 轴 的 极 点 对 系 统 的 影 响 很 小 。凡 是 比 主 导 极 点 的 实 部 大 6 倍 以 上 ( 比 主导 极 点 远 离 虚 轴 4~6 倍 ) 的 其 它 闭 环 零 、极 点 , 其 影 响 均 可 以 忽 略 。


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法这 样 , 在 许 多 情 况 下 , 同 时 考 虑 偶 极 子 的处 理 原 则 后 , 高 阶 系 统 往 往 只 剩 下 二 、 三个 主 导 极 点 和 一 、 二 个 零 点 , 这 样 就 可 以估 算 阶 跃 响 应 的 性 能 指 标 , 从 而 简 化 了 高阶 系 统 的 分 析 研 究 工 作 。


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法三 、 利 用 主 导 极 点 估 算 系 统 的 性 能 指 标例 三 阶 系 统 的 闭 环 传 递 函 数(0.9 s + 1)Φ ( s) =2( s+ 1)(0.01s + 0.08s+1)试 估 算 系 统 的 性 能 指 标 σ%、t%t s 。解 : 闭 环 传 递 函 数 有 三 个 极 点 , 分 别 为s 1 =-1,s s 2,3 =-4±j9.2一 个 闭 环 零 点 z ϕ1 =1.1


自 动 控 制 原 理由 零 、 极 点 分 布 图 看 出 :极 点 s 1 与 零 点 z ϕ1 构 成 偶 极子 , 所 以 主 导 极 点 不 再 是s 1 , 而 是 s 2,3 。所 以 系 统 可 以 近 似 为 二 阶系 统 , 即1Φ ( s)=2001 0.01 s+ 008 0.08 s+1第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法s 2s 1j108642-6 -4 -2 z ϕ 1 0-22系 统 的 ξ=0.4, ξ 04 ω s 3n =10 s -1-10-4-6-8


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法对 应 的 性 能 指 标σ35 3.5ts= = 0.875 sξω2−π ξ/ 1−ξ% = e × 100% = 25%n


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法四 、 系 统 阶 跃 响 应 的 根 轨 迹 分 析例 某 负 反 馈 系 统 的 开 环 传 递 函 数K* ( s++1)Gs ( ) =2ss ( − 1)( s + 4s+16)试 作 系 统 K * ( 由 0→∞) 变 动 的 闭 环 根 轨 迹 , 并进 行 动 态 分 析 。解 :(1) 开 环 极 点 :p 1 =0,p 2 =1,开 环 零 点 : z 1 =-1p3,4= 1±j2 3


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法(3) 实 轴 上 根 轨 迹 区 段 (0,1),(-∞,-1)(4) 渐 近 线 :ϕa(2 k+ 1)π (2 k+1)π= = = ± π /3,n−m4−1n∑p−m∑ii= 1 j=1zj{ π}σa=n−m1 + ( − 2+ j2 3) +( − 2− j2 3) − ( −1) 2= = −4−1 3


自 动 控 制 原 理(5) 分 离 点 坐 标 s d :第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法1 1 1 1 1+ + + =s s − 1 s + 2+ j2 3 s + 2−j2 3 s + 1d d ddd解 得 : s d1 =0.46, s d2 =-0.79+j2.16, s d3 =-0.79-j2.16,s d4 =-2.22, 其 中 s d1 和 s d4 为 根 轨 迹 上 的 分 离 点 ,将 s d2 、s d3 舍 去 。(6) 实 轴 上 的 分 离 角 与 会 合 角 :(6) 实 轴 上 的 分 离 角 与 会 合 角 :±90º 和 0º、180º


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法(7) 起 始 角 :θp= (2k+ 1)π +∠( p −z ) −∠( p − p )3 3 1 3 1−∠( p − p ) − ∠( p − p )3 2 3 4= (2 k + 1)π +106 − 120 − 130.5 −90=−54.5θ =+ 54.5p4ooo o o o


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法(8) 与 虚 轴 交 点 坐 标 及 临 界 增 益 :系 统 闭 环 特 征 方 程 为展 开 , 整 理 得令 s=jω, j 则 有ss s s K s2 *( − 1)( + 4 + 16) + ( +1) =04 3 2 * *s + 3s + 12 s + ( K − 16) s+ K = 0⎧ω4 12ω2 K*⎨ − + = 0⎩ − + ( − ) =3 *3 ω ( K 16) ω 0


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法解 之ω=± =1,2*156 1.56 ( K 233) 23.3)*ω343,4= ± 2.56 ( K = 35.7)由 图 看 出 , 当 K * 在 23.3~35.73~35 范 围 内 , 根轨 迹 位 于 s 平 面 左 侧 , 闭 环 系 统 是 稳 定的 。 K * 在 其 他 范 围 内 取 值 , 系 统 均 不稳 定 。


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法4.4 广 义 根 轨 迹通 常 , 将 反 馈 系 统 中 K * 变 化 时 的 根 轨 迹 叫 做常 规 根 轨 迹 。除 开 环 增 益 以 外 , 其 它 参 数 变 化 时 对 应 的 根轨 迹 称 为 广 义 根 轨 迹 。例 如 , 系 统 的 参 数 根 轨 迹 , 开 环 传 递 函 数 中零 点 个 数 多 于 极 点 个 数 的 时 的 根 轨 迹 , 以 及零 度 根 轨 迹 ( 正 反 馈 系 统 或 某 些 非 最 小 相 位系 统 ) 等 。


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法如 果 引 入 等 效 传 递 函 数 的 概 念 , 则 广 义 根轨 迹 的 绘 制 法 则 与 常 规 根 轨 迹 的 绘 制 法 则相 同 或 略 有 不 同 。一 、 参 数 根 轨 迹定 义 : 以 非 开 环 增 益 为 可 变 参 数 绘 制 的 根轨 迹 , 称 为 参 数 根 轨 迹 。以 区 别 于 以 开 环 增 益 K * 为 可 变 参 数 的 常规 根 轨 迹 。


自 动 控 制 原 理常 规 根 轨 迹 :特 征 方 程第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法m∏( s−zj)* j=1* N ( s)1 + GsHs ( ) ( ) = 1+ K = 1+ K = 0nDs ( )( s−p )∏i=1参 数 根 轨 迹 : 从 系 统 的 特 征 方 程 出 发 , 引 入等 效 传 递 函 数 的 概 念 , 构 造 一 个 新 系 统 , 使新 系 统 的 闭 环 传 递 函 数 的 分 母 ( 特 征 式 ) 与 原系 统 一 样 , 而 新 系 统 的 开 环 增 益 恰 为 原 系 统的 参 数 ( 即 以 可 变 参 数 代 替 原 来 的 K * ), 得 到i


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法( )1 + αPs=0Qs ( )⎧单 参 数 根 轨 迹参 数 根 轨 迹⎨⎩双参 数 ( 多 参 数 ) 根 轨 迹 ( 族 )


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法根 轨 迹 的 绘 制 规 则 :(1) 根 轨 迹 的 分 支 数 :(2) 根 轨 的 对 称 性 :(3) 根 轨 的 起 点 、 终 点 :(4) 根 轨 在 实 轴 上 的 分 布 :(5) 根 轨 迹 的 渐 近 线 :(6) 根 轨 迹 的 分 离 点 坐 标 :


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法(7) () 实 轴 上 的 分 离 角 ( 与 会 合 角 ):(8) 根 轨 迹 的 起 始 角 和 终 止 角 :(9) 根 轨 迹 与 虚 轴 交 点 及 临 界 根 轨 迹 增 益 :(10) 闭 环 极 点 ( 根 ) 的 和 与 积 :


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法例 已 知 系 统R(s) ( ) 5 ( τ s+1)C(s) ( )s( 5s+1)-试 作 τ 从 0 → ∞ 变 化 的 闭 环 根 轨 迹 。解 : 特 征 方 程2Ds ( ) = s(5s+ 1) + 5( τs+ 1) = 5s + s+ 5 + 5τs=0构 造 新 系 统R(s) ( )5ττsC(s) ( )25s+ s+5-


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法开 环 传 递 函 数Gs ( )5τs τ s= =2 25s + s+ 5 s + 0.2s+1*τ s=( s+ 0.1 + j0.995)( s+ 0.1 − j0.995)根 据 τ * : 0 → ∞, , 作 出 根 轨 迹 图新 系 统 的 开 环 零 、 极 点 :p 1,2=− 0.1±j0.995z 1= 0


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法j1-1 0-1z 1 =0 不 是 原 系 统 的 闭 环 零 点 , 因 此 “ 等 效” 的 含 义 仅 在 闭 环 极 点 相 同 这 一 点 上 成 立, 而 闭 环 零 点 一 般 是 不 同 的 。


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法二 、 双 参 数 根 轨 迹假 设 特 征 方 程Q ( s ) + αW ( s ) + βW ( s) =0 (*)1 2式 中 α、 β 为 可 变 参 数 ,Q(s), W 1 (s), W 2 (s)为 s 的 多 项 式 。(1) 第 一 步 : 先 设 一 个 可 变 参 数 等 于 零 。若 设 β =0, 于 是 上 式 变 为Qs ( ) + αW ( s) = 01


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法等 效 变 换 , 用 Q(s) 除 方 程 的 两 边 , 得根 据根 轨 迹 。αW ( s)+ = + =Q( ( s)11 0 1 G1( s) H1( s) 0αW1( s)G1( s) H1( s)=Qs( )α 从 0 → ∞ 变 化 的 根 轨 迹 。的 零 、 极 点 分 布 绘 制


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法(2) 第 二 步 : 还 原 β 的 值 , β ≠ 0, 用 Q(s)+ α W 1 (s) 除 方 程 的 两 边 , 得根 据βW( s)21+ = 0 1 +G 2 ( s ) H 2( s) =0Qs ( ) + αW1( s)G ( s) H ( s)=2 2βWβW( s)绘 制 (*) 的 广 义 根 轨 迹 。2Qs ( ) + αW ( s)β 从 0 → ∞ 变 化 的 根 轨 迹 。1的 零 、 极 点 分 布


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法G 2 (s)H 2 (s) 的 开 环 极 点 与 1+G 1 (s)H 1 (s)的 根 是 一 致 的 。 这 样 , 原 方 程 的 广 义 根轨 迹 的 全 部 起 点 (β = 0) 都 落 在1+G G 1 (s)H 1 (s)=0 的 根 轨 迹 上 。 这 样 就 把 广义 根 轨 迹 的 问 题 看 成 是 嵌 套 在 另 一 种 根轨 迹 的 问 题 中 。


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法例 已 知 系 统 的 开 环 传 递 函 数K( τ s+1)GsHs ( ) ( ) =ss ( + 1)( s+2)试 作 K, τ 变 化 的 根 轨 迹 族 。解 : 特 征 方 程(1) 当 τ = 0 时 : Ds ( ) = ss ( + 1)( s+ 2) + K=0构 造 一 个 新 系 统 :KG1( s) H1( s)=ss ( + 1)( s+2)绘 制 K: 0 → ∞ 变 化 时 的 根 轨 迹


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法1 开 环 零 、 极 点 :p 1 = 0,p 2 = -1,p 3 = -22 三 条 , 都 趋 于 无 穷 远3 实 轴 上 (-1, 0), (-∞, -2)4 渐 近 线 :o o o ( − 1) + ( −2)ϕa= 60 ,180 , − 60 σa= = −131 1 15 分 离 点 s d:+ + = 0s + 1 s +1 sd d d解 得 sd1= − 0.423, sd2= − 1.577(舍 去 )


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法6 与 虚 轴 交 点 :ω = ± =*2,0 K 6j21-4-3-2-1-0.4201-1-2


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法(2) 再 作 τ ≠ 0 时 的 根 轨 迹 :构 造 一 个 以 参 数 τ 为 开 环 增 益 的 系 统τ KsG2 ( s ) H2( s) =s( s+ 1)( s+ 2) + K其 起 点 都 在 τ =0 时 ,K K 变 化 的 根 轨 迹 上 。1 取 K = 20, 此 时 的 开 环 传 递 函 数 为*τ sG 2 ( s ) H 2( s) =s ( s+ 1)( s+ 2) +20开 环 零 、 极 点 :z 1 = 0 ; p 1 = -3.8371,p 2,3 = 0.4186 ± j2.2443


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法广 义 根 轨 迹 渐 近 线 与 实 轴 的 交 点 :− 3.8371 + 0.4186 +0.4186σa= =−1.53−1ϕa= ± π 22 取 K = 3,6,9 等 值 :开 环 零 、 极 点 :z 1 = 0;p p 1 = -2.6717,p p 2,3 = -0.1642 ± j1.0469开 环 零 、 极 点 :z 1 = 0 ; p 1 = -3,p 2,3 = ± j1.4142开 环 零 、 极 点 :z 1 = 0 ; p 1 = -3.24,p 2,3 = 0.12 ± j1.6623


自 动 控 制 原 理开 环 极 点 :闭 环 极 点 :3 2s s s第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法+ 3 + 2 = 03 2s + s + s+K+ 3 + 2 + =0渐 近 线 与 实 轴 交 点 坐 标 :∑ 开 环 极 点 值 - ∑ 开 环 零 点 值σa=极 点 数 - 零 点 数n∑m∑pi− zji= 1 j=1=n−m−an− 1−3 = = − 1.5n−m2


自 动 控 制 原 理起 始 角 的 计 算 :θK第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法mθ= + + ∑∠ − − ∑∠ −=(2 k 1)π ( p z ) ( p p)pkk j k ij= 1 i= 1≠ k20 :( )= 180 +∠( p −z ) − ∠( p − p ) +∠( p − p )op22 1 2 1 2 3o 2.2443 2.2443o= 180 + arctan − (arctan + 90 )0.4186 3.8371 + 0.4186( )= 180 + 79.43 − 27.81 + 90o o o onθ p3=141.62o= −141.62o


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法oK = 3 : θ = 161.25 θ =−161.25p2 3oK = 6 : θ = 154.76 θ =−154.76p2 3oK = 9 : θ = 149.55 θ =−149.55p2 3pppooo6 与 虚 轴 交 点 :( 根 据 公 式 求 出 根 轨 迹 与 虚 轴 交 点 的 坐标 , 具 体 求 解 过 程 省 略 )


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法K=20 的 根轨 迹 图


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法K=3 的 根轨 迹 图


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法K=6 的 根轨 迹 图


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法K=9 的 根轨 迹 图


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法j4K, τ 变 化 的根 轨 迹 族321-4-3-0.42-2-101-1-2-3-4


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法本 章 小 结1. 根 轨 迹 是 通 过 系 统 的 开 环 某 一 ( 或 某 些 )参 数 变 化 求 出 系 统 闭 环 特 征 根 的 变 化 轨 迹 ,从 而 对 系 统 进 行 性 能 分 析 。2. 正 确 理 解 根 轨 迹 的 基 本 概 念 , 掌 握 给 制 根轨 迹 的 基 本 法 则 , 根 据 根 轨 迹 图 和 主 导 极 点 、偶 极 子 的 概 念 对 系 统 稳 定 性 和 动 态 性 能 进 行分 析 。 反 之 , 知 道 根 轨 迹 图 上 的 特 征 根的 值 , 利 用 摸 值 方 程 反 求 出 其 对 应 的 K 值 。


自 动 控 制 原 理第 四 章 复 域 分 析 法 - 根 轨 迹 法3. 要 清 楚 广 义 根 轨 迹 的 绘 制 方 法 , 以 及 根据 闭 环 系 统 的 广 义 根 轨 迹 参 数 的 变 化 分 析系 统 的 动 态 性 能 。


自 动 控 制 原 理第 五 章第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法频 域 分 析 法 — 频 率 法5.1 频 率 特 性一 、 基 本 概 念系 统 的 频 率 响 应 定 义 为 系 统 对 正 弦 输 入 信号 的 稳 态 响 应 。r(t)系 统c(t)


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法一 个 稳 定 的 系 统 , 假 设 有 一 正 弦 信 号 输 入其 稳 态 输 出 可 写 为rt () =A sinωtc= rct () = Asin( ωt+ϕ )A c - 稳 态 输 出 的 振 幅ϕ - 稳 态 输 出 的 相 角稳 态 输 出 的 振 幅 与 输 入 振 幅 之 比 , 称 为 幅 频特 性 。M =A cA r稳 态 输 出 的 相 位 与 输 入 相 位 之 差 ϕ, 称 为 相频 特 性 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法二 、 求 取 频 率 特 性 的 数 学 方 法RC 网 络 的 传 递 函 数 为Uc( s) 1Φ ( s)= =U ( s) Ts+1T=RCr如 果 输 入 正 弦 电 压 信 号 u = r A r sinωωt其 拉 氏 变 换U( s)=A ωrr 2 2s+ω


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法所 以 系 统 的 输 出 为1A rωUc( s) = Φ ( s) Ur( s)= ⋅2 2Ts + 1 s + ω查 拉 氏 变 换 表 , 得 U c(s) 的 原 函 数 u c(t)tArωT −ATrc 2 2 2 2u ( t) = e + sin( ωt−arctan ωT)1 + ω T 1 + ω T式 中 第 一 项 为 动 态 分 量 , 第 二 项 为 稳 态 分 量 。Arlim uc( t) = sin( ωt−arctan ωT)t→∞2 21+ωT


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法幅 频 特 性 和 相 频 特 性ω 0 1/2T 1/T 2/T 3/T 4/T 5/T ∞1/ 1 T0.89 0.707 0.45 0.32 0.24 0.202 2+ ω 0 0-arctanωT0 -26.6 o -45 o -63.5 o -71.5 o -76 o -78.7 o -90 o


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法幅 频 和 相 频 特 性 曲 线


自 动 控 制 原 理11+ω T2 2第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法sin( ωt−arctan ωT)1j∠− jarctanωT1+jωTe = e2 2 1+jωT11⇒ 1+ ωT ωT1=1+jωTRC 网 络 的 频 率 特 性只 要 把 传 递 函 数 式 中 的 s 以 jω 置 换 , 就 可 以得 到 频 率 特 性 , 即1 1=1+ j 1 +s jjω T Tss = jω


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法Φ(j ω )= Φ( s)s=jω将 Φ(jω) 以 模 幅 式 表 示 , 则( ) ( ) j ∠Φ( j ω )( ) j ϕ( ω)jω jω e M ω eΦ = Φ =故 幅 频 特 性相 频 特 性( ) =Φ( jω)M ω( ) =∠Φ( jω)ϕ ω


自 动 控 制 原 理动 态 数 学 模 型第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法频 率 特 性 和 传 递 函 数 、 微 分 方 程 的 置 换 关 系 图


自 动 控 制 原 理三 、 频 率 特 性 图 示 法1. 直 角 坐 标 图第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法幅 频 特 性 : 纵 坐 标 为 M, 线 性 分 度 ; 横 坐标 为 ω, 线 性 分 度 。相 频 特 性 : 纵 坐 标 为 ϕ, 线 性 分 度 ; 横 坐标 为 ω, 线 性 分 度 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法2. 极 坐 标 图频 率 特 性Φ (j ω ) = Φ (j ω ) ∠Φ (j ω ) = M( ω ) ∠ϕ ( ω)幅 相 特 性 : 以 频 率 ω 作 为 参 变 量 , 将 幅 频与 相 频 特 性 同 时 表 示 在 复 平 面 上 。当 频 率 ω 从 零 到 无 穷 变 化时 , 矢 量 Φ(jω) 的 端 点 在 复平 面 上 描 绘 出 一 条 曲 线 ,即 为 幅 相 特 性 曲 线 , 又 称奈 奎 斯 特 曲 线 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法惯 性 环 节 的 幅 相 特 性 曲 线j ω 0 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ∞M(ω) 1 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 0ϕ (ω) 0 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ -90°O1


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法3. 对 数 坐 标 图 — 伯 德 图 (H.W.Bode)对 数 频 率 特 性 曲 线 又 称 伯 德 图 , 包 括 对 数幅 频 和 对 数 相 频 两 条 曲 线 。对 数 频 率 特 性 曲 线 的 横 坐 标 表 示 频 率 ω,并 按 对 数 分 度 , 单 位 是 1/s。对 数 幅 频 曲 线 的 纵 坐 标 表 示 对 数 幅 频 特 性的 函 数 值 , 线 性 均 匀 分 度 , 单 位 是 分 贝 ,记 作 dB。对 数 幅 频 特 性 定 义 为L( ω ) = 20lg M( ω )


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法对 数 相 频 曲 线 的 纵 坐 标 表 示 相 频 特 性 的 函数 值 , 线 性 均 匀 分 度 , 单 位 是 度 或 弧 度 。ω 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10lgω 0 0.301 0.477 0.6020.6990.7780.8450.9030.954 1


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法采 用 对 数 坐 标 图 的 优 点 是 :(1) 可 以 将 幅 值 的 乘 除 转 化 为 加 减 。(2) 可 以 采 用 简 便 方 法 绘 制 近 似 的 对 数 幅频 曲 线 。(3) 扩 大 了 研 究 问 题 的 视 野 。 在 一 张 图 上 ,既 画 出 频 率 特 性 的 中 、 高 频 段 特 性 , 又能 画 出 其 低 频 特 性 , 而 低 频 特 性 对 分 析 、设 计 控 制 系 统 来 说 是 极 其 重 要 的 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法对 数 幅 频 和 对 数 相 频 特 性 曲 线


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性一 、 比 例 环 节 ( 放 大 环 节 )传 递 函 数 :G(s)=K) 频 率 特 性 : G(jω)=K幅 频 特 性 : ( ω ) (j ω )M = G = K相 频 特 性 : ϕω ( ) G(j ω) 0= ∠ = o对 数 幅 频 特 性 :( L ω) = 20lg M( ω) = 20lgK


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法幅 相 曲 线伯 德 图


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法二 、 积 分 环 节传 递 函 数 : Gs( )频 率 特 性 :幅 频 特 性 :1=s1G(j ω)=jω1M( ω) = G(j ω)=ω相 频 特 性 : ϕ( ω) = ∠ G(j ω) = −90o对 数 幅 频 特 性 :1L( ω ) = 20lg M( ω ) = 20lg = −20lgωω


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法幅 相 曲 线伯 德 图


自 动 控 制 原 理三 、 微 分 环 节第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法传 递 函 数 : Gs ( )频 率 特 性 : G (j ω ) =jω对 数 幅 频 特 性 : L G( )对 数 相 频 特 性 : ϕ ( ω ) =90o=s( ω) = 20lg jω = 20lgω


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法幅 相 曲 线伯 德 图


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法四 、 惯 性 环 节传 递 函 数 :频 率 特 性 :对 数 幅 频 特 性 :1Gs ( ) =Ts + 11G(j ω ) =jωT+ 1L( ω) = 20lg G(j ω) = 20lg1( )2ωT幅 相 曲 线+ 1( ωT) ( ωT)2 2= 20lg1− 20lg + 1 =− 20lg +1对 数 相 频 特 性 :ϕ ω = ∠ G ω =− ωT( ) (j ) arctan


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法近 似 对 数 幅 频 特 性 :1T2当 ω 时 , ω T1, 略 去 ( ωTT)则 得( ωT)2L( ω) = − 20lg + 1 = − 20lg1 = 01T扩 展 为 只 要ω < , 则 L(ω)=0。 ) 01T2当 ω 时 , ωTω T1, ( ωT) 1, 略 去 1, 得2 2( ) +( )L ( ω ) =− 20lg ω T + 1 =− 20lg ω T =−20lgωT1扩 展 为 只 要 ω > , 就 以 L( ω) = −20lgωT近似 地 代 替 之 。T


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法1T显 然 在 转 折 频 率 ω = 处 , 近 似 精 度 最 低 。其 最 大 误 差 为( ωT ) 2 1− 20lg + 1 =− 20lg 2 =−3dB1T定 义 ω =为 转 折 频 率 , 也 是 特 征 点 。ω =1T其 幅 频 特 征 值 为对 数 幅 频 特 征 值 为M⎛ 1⎞⎜ = 0.707 T⎟⎝ ⎠⎛ 1⎞L⎜=− 3dB T⎟⎝ ⎠


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法惯 性 环 节 的 伯 德 图特 征 点 : ω = 1 , L( ) 3dB, 45ω =− ϕ =− oT


自 动 控 制 原 理五 、 一 阶 微 分 环 节第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法传 递 函 数 : Gs ( ) = τ s+1频 率 特 性 : ( )对 数 幅 频 特 性 :G j ω = j ωτ +1( ) ( )2L( ω) = 20lg G jω = 20lg ωτ + 1对 数 相 频 特 性 : ϕ( ω) = arctanωτ特 征 点 : ω = 1 , L( ω) = 3 dB, ϕ = 45τo


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法一 阶 微 分 环 节 的 伯 德 图幅 相 曲 线


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法六 、 振 荡 环 节传 递 函 数 :频 率 特 性 :G( ( s)2ωn1= =2 22s + 2ξωns+ ωn⎛ s ⎞ 2ξ⎜ ⎟ + s + 1⎝ωn⎠ωn1 1G(j ω) = =2 2⎛ jω ⎞ 2ξ ⎛ ω ⎞ 2ξω⎜ ⎟ + ( jω) + 1 1− ⎜ ⎟ + j⎝ω n ⎠ ω n ⎝ω n ⎠ ωn对 数 幅 频 特 性 :222⎡ ⎛ ω ⎞ ⎤ ⎛ 2ξω⎞L( ω) = 20lg G(j ω) = −20lg ⎢1− ⎜ ⎟ ⎥ + ⎜ ⎟⎢ ωnω⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦⎝ n⎠


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法对 数 相 频 特 性 : 2ξωωnϕω( ) = − arctan2⎛ ω ⎞1 − ⎜ ⎟⎝ωn⎠1特 征 点 : nLω = ω , ( ω) = 20lg , ϕ 90= − o2ξ幅 相 曲 线


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法根 据 幅 频 特 性 和 相 频 特 性 公 式 计 算 出 频 率 特 性jO1


自 动 控 制 原 理渐 近 对 数 幅 频 特 性 :第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法当 ωω n 时 , 即 ω/ω n 1 时 , 则 略 去 ω/ω n ,近 似 取L( ω) = 20lg G(j ω) ≈− 20lg1=0dB在 低 频 段 的 渐 近 特 性 是 一 条 与 横 轴 相 重合 的 直 线 。当 ωω n 时 , 即 ω/ω n 1 时 , 则 略 去 1 和似 取22近ξ ωω⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞L( ω) = 20lg G(j ω) ≈− 20lg ⎜ ⎟ =−40lg⎜ ⎟⎝ωn⎠ ⎝ωn⎠n


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法这 是 一 条 在 ω = ω n 处 过 横 轴 且 斜 率 为-40dB/ 十 倍 频 程 的 直 线 。ω = ω n为 转 折 频 率没 有 考 虑 阻 尼比 ξ 的 影 响 。在 转 折 频 率 处 渐近 特 性 与 精 确 特性 线 误 差 为222⎡ ⎛ ω ⎞ ⎤ ⎛2ξω⎞− 20lg ⎢1− ⎜ ⎟ ⎥+ ⎜ ⎟ − 0 = −20lg 2⎢ ωnω⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎝ n ⎠ω=ωn( ξ)


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法对 于 不 同 的 阻 尼 比 ξ, 振 荡 环 节 的 精 确 对数 幅 频 特 性


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法对 数 相 频 特 性 :


自 动 控 制 原 理七 、 二 阶 微 分 环 节第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法传 递 函 数 :Gs s s2 2( ) = τ + 2ξτ+ 12频 率 特 性 : G ω τ ( ω ) ξτ ( ω)对 数 幅 频 特 性 :2(j ) = j + 2 j +12 2( ) (2 2) ( )L( ω ) = 20lg G j ω = 20lg 1− τ ω + 2ξτω对 数 相 频 特 性 :⎛ 2ξτω⎞= arctan⎜ 1 −τ ω⎟⎝⎠( )2 2ϕ ω


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法幅 相 曲 线 : ω = 0时 , M = 1, ϕ = 0 o ;oω = ∞ 时 ,M = ∞, ϕ =180


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法二 阶 微 分 环 节 的 伯 德 图


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法八 、 一 阶 不 稳 定 环 节传 递 函 数 :频 率 特 性 :对 数 幅 频 特 性 :Gs ( ) =1Ts −11G(j ω ) =jωT−1L( ω) = 20lg G(j ω) = 20lg对 数 相 频 特 性 :( ) G(j ω) arctanϕ ω1( ωT)2⎛ωT⎞=∠ =− ⎜−1⎟⎝ ⎠+ 1


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法o幅 相 特 性 : ω = 0时 , M = 1, ϕ = −180 ;1 2 , 135oω = 时 , M = ϕ = − ;T 2ω =∞ 时 , M =0, ϕ =−90o


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法最 小 相 位 环 节 :一 阶 不 稳 定 环 节 的 伯 德 图最 小 相 位 系 统 :非 最 小 相 位 环 节 : 非 最 小 相 位 系 统 :


自 动 控 制 原 理九 、 延 迟 环 节第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法数 学 表 达 式 : c () t = r ( t −τ)−τ传 递 函 数 : Gs ( ) =es频 率 特 性 : (j ω)幅 频 特 性 :G(j ) = e− jωτ( ω)M( ω) = G j = 1相 频 特 性 : ( ) G ( j )对 数 幅 频 特 性 :ϕ ω = ∠ ω =−τω( ω)L( ω) = 20lg Gj = 20lg1=0


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法幅 相 特 性 曲 线伯 德 图伯 德 图


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法5.3 控 制 系 统 的 开 环 频 率 特 性系 统 的 开 环 频 率 特 性 曲 线 分 为 : 开 环 幅 相特 性 曲 线 和 开 环 对 数 频 率 特 性 曲 线 。一 、 开 环 幅 相 特 性 曲 线 的 绘 制设 系 统 的 开 环 传 递 函 数 由 若 干 个 典 型 环 节相 串 联G( s) = G ( s) ⋅G ( s) ⋅G ( s)其 开 环 频 率 特 性1 2 3G (j ω ) = G (j ω ) ⋅G (j ω ) ⋅G(j ω)1 2 3


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法G(j ω) = G (j ω) e ⋅ G (j ω)e ⋅ G (j ω) e=1 ω∠Gωj ∠G3( j ω )j ∠G(j ) j 2(j )1 2 3G (j ω ) G (j ω ) G(j ω) e G G G1 2 3j[ ∠ G (j ω ) +∠ G 2(j ω ) +∠G(j ω)]1 3所 以 , 系 统 的 开 环 幅 频 和 相 频 分 别 为M( ω) = G(j ω)=G (j ω ) G (j ω) G (j ω)1 2 3= M ( ω ) ⋅ M ( ω ) ⋅M( ω)ϕ( ω) = ∠G(j ω)1 2 3=∠ G (j ω ) +∠ G (j ω) +∠G(j ω)1 2 3= ϕ ( ω) + ϕ ( ω) + ϕ ( ω)1 2 3


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法1. 开 环 幅 相 特 性 曲 线 的 绘 制例 某 0 型 单 位 负 反 馈 控 制 系 统 , 系 统 开 环K传 递 函 数 为 Gs ( ) =, 试 绘 制 系统 的 开 环 幅 相 曲 线 。解 :G(j ω ) =( Ts+ 1)( Ts+1)1 2K(jωT+ 1)(jωT+ 1)1 2当 ω=0 时 G(j0)=K∠0 °当 ω=∞ 时 G(j∞)=0∠-180 °


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法系 统 的 开 环 幅 相 曲 线0 型 系 统 幅 相 特 性 曲 线


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法例 某 单 位 负 反 馈 控 制 系 统 , 系 统 开 环 传递 函 数 为Gs( )=KsTs ( + 1)( Ts+1)1 2的 开 环 幅 相 特 性 曲 线 。解 : G (j ω ) =j ω (j ω T+ 1)(j ωT+1)K1 2当 ω=0 ω 0 时 G(j0)= ∞∠-90 °当 ω=∞ 时 G(j∞)=0∠-270 )°, 试 绘 制 系 统


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法开 环 幅 相 特 性 曲 线各 型 系 统 幅 相 特 性曲 线 的 概 略 图


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法例 某 单 位 负 反 馈 控 制 系 统 , 系 统 开 环 传递 函 数 为Gs( )=K( τ s+1)1 2 3制 系 统 的 开 环 幅 相 特 性 曲 线 。解 :K(jωτ1+ 1)G(j ω ) =ω ω ω1( Ts+ 1)( Ts+ 1)( Ts+1)(j T + 1)(j T + 1)(j T+1)1 2 3当 ω=0 ω 0 时 G(j0)= K∠0°, 试 绘当 ω=∞ 时 G(j∞)=0∠(90 ) ( ° -270 ° )=0∠-180 °


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法取 T 1 、T 2 大 于 τ 1 ,τ 1 >T 3 时 , 系 统 的 开 环 幅相 特 性 曲 线 为系 统 的 开 环 幅 相 曲 线


自 动 控 制 原 理2. 系 统 开 环 幅 相 特 性 的 特 点第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法1 当 频 率 ω=0 0 时 , 其 开 环 幅 相 特 性 完 全 取决 于 比 例 环 节 K 和 积 分 环 节 个 数 ν。20 型 系 统 起 点 为 正 实 轴 上 一 点 ,I 型 及 I 型 以上 系 统 起 点 幅 值 为 无 穷 大 , 相 角 为 -ν·90 ° 。3 当 频 率 ω= ∞ 时 , 若 n>m( 即 传 递 函 数 中分 母 阶 次 大 于 分 子 阶 次 ), 各 型 系 统 幅 相 曲线 的 幅 值 等 于 0, 相 角 为 -(n-m)·90 ° 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法4 G(jω) 曲 线 与 负 实 轴 交 点 坐 标 , 是 一 个关 键 点 , 其 交 点 坐 标 可 由 下 列 方 法 确 定 。G G uj G(j ω )(j ω ) = (j ω ) e ∠= ( ω ) +j υ ( ω)(a) 令 ∠G(jω)=-π。 解 出 与 负 实 轴 交 点 处对 应 的 频 率 ω x 的 值 。 再 将 ω x 代 入 |G(jω)|中 , 求 得 与 负 实 轴 交 点 的 模 值 。(b) 令 υ(ω)=0 解 出 ω , 再 将 ω 代 入 u(ω )(b) 令 υ(ω) 0 解 出 ω x , 再 将 ω x 代 入 u(ω x )中 , 求 得 与 负 实 轴 交 点 的 坐 标 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法二 、 伯 德 图 的 绘 制系 统 的 开 环 幅 频 和 相 频M( ω) =G(j ω)=G (j ω ) G (j ω) G (j ω)1 2 3= M ( ω ) ⋅M ( ω) ⋅M( ω)ϕ ( ω) =∠GG(j ω)1 2 3= ∠ G (j ω ) +∠ G (j ω ) +∠G(j ω)1 2 3= ϕ ( ω) + ϕ ( ω) + ϕ ( ω)1 2 3


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法系 统 的 开 环 对 数 幅 频 和 对 数 相 频 特 性开 环 对 数 幅 频L( ω ) = 20lg M( ω )= 20lg M ( ω ) + 20lg M ( ω) + 20lg M ( ω)开 环 对 数 相 频1 2 3ϕ ( ω ) = ϕ ( ω ) + ϕ ( ω ) + ϕ( ω)1 2 3系 统 开 环 对 数 幅 频 等 于 各 环 节 对 数 幅 频 之和 ; 系 统 开 环 对 数 相 频 等 于 各 环 节 对 数 相频 之 和 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法解 决 这 方 面 的 问 题 要 求 掌 握 :(1) 正 问 题 能 熟 练 地 绘 制 系 统 的 伯 德 图 。即 已 知 系 统 的 开 环 传 递 函 数 , 在 半 对 数 坐标 纸 上 绘 制 出 系 统 开 环 对 数 频 率 特 性 。(2) 反 问 题 会 求 传 递 函 数 。 即 已 知 对 数 幅频 特 性 曲 线 ( 或 实 验 曲 线 ), 能 反 求 其 传递 函 数 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法解 决 正 问 题 的 方 法 与 绘 制 对 数 幅 频 特 性 曲线 的 步 骤 :1. 确 定 出 系 统 开 环 增 益 K, 并 计 算 20lg K 。2. 确 定 各 有 关 环 节 的 转 折 频 率 , 并 把 有 关的 转 折 频 率 标 注 在 半 对 数 坐 标 的 横 轴 上 。3. 在 半 对 数 坐 标 上 确 定 ω=1(1/s) ) 且 纵 坐 标等 于 20lgK dB 的 点 A。 过 A 点 做 一 直 线 ,使 其 斜 率 等 于 -20ν dB/ / 十 倍 频 程 。 当 ν=0,ν=1, , ν=2 时 , 斜 率 分 别 是 (0,-20,-40)/ 十倍 频 程 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法4. 从 低 频 段 第 一 个 转 折 频 率 开 始 做 斜 直 线 ,该 直 线 的 斜 率 等 于 过 A 点 直 线 的 斜 率 加 这个 环 节 的 斜 率 ( 惯 性 环 节 加 -20, 振 荡 环 节加 -40, 一 阶 微 分 环 节 加 +20 的 斜 率 ), 这样 过 每 一 个 转 折 频 率 都 要 进 行 斜 率 的 加 减 。5. 高 频 段 最 后 的 斜 线 的 斜 率 应 等 于 -20(nm)dB/十 倍 频 程 。6. 若 系 统 中 有 振 荡 环 节 , 当 ξ


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法绘 制 对 数 相 频 特 性 的 步 骤 :1. 在 半 对 数 坐 标 纸 上 分 别 绘 制 出 各 环 节 的相 频 特 性 曲 线 。2. 将 各 环 节 的 相 频 特 性 曲 线 沿 纵 坐 标 方 向相 加 , 从 而 得 到 系 统 开 环 对 数 相 频 特 性 曲线 ϕ(ω)。当 ω→0 时 , ϕ(ω)→ -ν·90 ° 。当 ω→∞ 时 ,ϕ(ω)→-(n-m)·90 ° 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法例 已 知 单 位 负 反 馈 系 统 如 图 所 示 , 试 做 出系 统 的 开 环 伯 德 图 。解 : 作 L(ω):40 40 / 4 10 KG s = ss ( + 4) = ⎛1 ⎞ = ⎛1⎞= sTs ( + 1)s⎜ s+ 1 s s+14⎟ ⎜4⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠(1) G ( s)因 此 , 开 环 增 益 K=10转 折 频 率1ω1 = = 4(1/s) 20lg K=20dBT


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法L(ω)/dB40 -20 dB/dec200-20-40A0.1 1 4 10 100B-40 dB/decω/s -1


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法作 对 数 相 频 曲 线 :因 为 该 系 统 是 由 放 大 、 积 分 、 惯 性 环 节 组成 的 , 则( ) =1+2+3ϕ ω ϕ ( ω) ϕ ( ω) ϕ ( ω)oo= 0 + ( − 90 ) + ( −arctan ωT )因 此 , 只 要 从 -90° 起 作 一 惯 性 环 节 的 相频 , 即 可 得 到 系 统 的 对 数 相 频 特 性 曲 线 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法对 数 相 频 特 性 曲 线


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法例 已 知 一 单 位 负 反 馈 系 统 开 环 传 递 函 数( )G s=( s +)200 1( )(2+ 0.2 + 4 + 100)s s s s试 作 系 统 开 环 对 数 幅 频 L(ω) ) 和 相 频 ϕ(ω)。 ( )解 : 作 L(ω): ( )(1) G( s)( s +)200 1=0.2× 100s 5s+ 1 0.01s + 0.04s+1200K = = 10 ⇒ 20lg K = 20 dB02 0.2 ×100ω = 0.2, ω = 1, ω = ω = 10, ξ = 0.21 2 3 n120lg 8 dB2ξ =( )(2)


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法40200-20-40L(ω)/dB 11B210G ()= ss()= 12 G s 5+1 s-20 dB/decA3 G ( s ) = s3 +1C4 G4( s)=2-40 dB/decωs30.2 ω 2 1 100ω 1-20 dB/dec0.1 101D-60 dB/dec10.01 + 0.04s+1ω/s -1


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法作 ϕ(ω):)由 系 统 中 各 环 节 对 数 相 频 特 性 叠 加 而 得到 系 统 的 开 环 对 数 相 频 特 性 曲 线 , 即( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( )ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω1 2 3 4 5


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法系 统 开 环 对 数 相 频 特 性 曲 线


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法两 个 概 念 :系 统 开 环 对 数 幅 频 特 性 曲 线 与 横 轴 (0 dB 线 )交 点 的 频 率 称 为 穿 越 频 率 或 截 止 频 率 ω c 。系 统 开 环 对 数 相 频 特 性 曲 线 与 线 交 点 的 频率 称 为 相 频 截 止 频 率 ω g 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法三 、 最 小 相 角 系 统 和 非 最 小 相 角 系 统传 递 函 数 中 没 有 右 极 点 、 右 零 点 的 系 统 ,称 为 最 小 相 角 系 统 ( 最 小 相 位 系 统 ); 传递 函 数 中 有 右 极 点 、 右 零 点 的 系 统 , 则 称为 非 最 小 相 角 系 统 ( 非 最 小 相 位 系 统 )。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法5.4 稳 定 判 据 及 稳 定 裕 度奈 氏 判 据对 数 频 率 稳 定 判 据频 率 稳 定 判 据 有 以 下 特 点 :1. 应 用 开 环 频 率 特 性 曲 线 判 断 闭 环 稳 定性 。 开 环 频 率 特 性 曲 线 可 以 按 上 面 5.2、5.3 节 介 绍 的 方 法 绘 制 , 也 可 以 全 部 ( 或部 分 ) 用 实 验 方 法 绘 制 。 当 系 统 的 开 环传 递 函 数 表 达 式 不 知 道 时 , 就 无 法 用 劳思 判 据 判 断 稳 定 性 , 这 时 , 应 用 频 率 稳定 判 据 就 很 方 便 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法2. 便 于 研 究 系 统 参 数 和 结 构 改 变 对 稳定 性 的 影 响 。3. 可 以 用 来 分 析 某 些 非 线 性 系 统 的 稳定 性 。


自 动 控 制 原 理一 、 奈 氏 (Nyquist) 稳 定 判 据1. 辐 角 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法s 平 面F 平 面映 射Γ FΓ S


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法辐 角 原 理 : 若 Γ s 包 围 了 F(s) 的 Z 个 零 点 和 P个 极 点 , 当 s 顺 时 针 沿 Γ s 取 值 时 , Γ F 绕 F平 面 的 原 点 的 逆 时 针 转 过 的 圈 数 N 为N=P - Z2. 奈 氏 稳 定 判 据(1) 取 F(s): )R(s)G(s)Gs ( )-Φ ( s) =H(s)1 GsHs ( ) ( )Φ = +(C(s)F( s) = 1 + G s) H(s)


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法假 设 M1( s) M2( s)Gs ( ) = Hs ( ) =N ( s ) N ( s)1 2开 环 传 递 函 数 M ( s) M ( s)GsHs( ) ( ) =1 2N1( sN )2( s)闭 环 传 递 函 数Gs ( )M1( s) M2( s)Φ( s) = =1 + GsHs ( ) ( ) N( sN ) ( s) + M( sM ) ( s)辅 助 函 数F( ( s ) = 1 +G ( s ) H ( s)=1 2 1 2N ( sN ) ( s ) + M ( sM ) ( s)1 2 1 2N ( s) N ( s)1 2


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法F(s) 的 零 点 : 闭 环 传 递 函 数 的 极 点F(s) 的 极 点 : 开 环 传 递 函 数 的 极 点辅 助 函 数 F(s) 与 系 统 的 开 环 传 递 函 数 只相 差 常 数 1。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法(2) 选 择 Γ s :Γ s 包 围 了 F(s) 在 s 右 半 平 面 的 所 有 零 极 点 。根 据 辐 角 原 理 : N = P−ZZ = P−N


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法(3) F(s) 平 面 变 换 到 G(s)H(s) 平 面 :j F(s) 平 面 j G(s)H(s) 平 面OG(s)H(s)=F(s)-1-1OΓ F 绕 F 平 面 的 原 点 N 圈 等 价 于 绕 G(s)H(s) 平 面Γ F 绕 F 平 面 的 原 点 N 圈 等 价 于 绕 G(s)H(s) 平 面的 (-1,j0) 点 N 圈 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法结 论 :若 Γ s 包 围 了 F(s) 的 P 个 极 点 , 即 有 P 个开 环 极 点 在 右 半 s 平 面 ,ΓΓ F 绕 G(s)H(s) ) 平 面的 (-1,j0) 点 N 圈 , 则 系 统 有 Z=P-N 个 闭 环极 点 在 右 半 s 平 面 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法(4) G(s)H(s) 平 面 变 换 到 G(jω)H(jω) 平 面 :因 为 系 统 的 开 环 频 率 特 性 一 般 可 以 由 实验 得 到 , 所 以 , 直 接 在 G(jω)H(jω) ) ) 平 面上 分 析 系 统 稳 定 性 更 加 简 单 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法考 察 Γ s 在 G(s)H(s) 平 面 上 的 映 射 :1s 平 面 上 的 虚 轴 (s=jω) 映 射 到 G(s)H(s) 平面 上 就 是 G(jω)H(jω) — 开 环 频 率 特 性 ;2 Γ s 的 无 穷 大 半 圆 部 分 在 G(s)H(s) ( ) ( ) 平 面 上的 映 射 为 G(s)H(s) 平 面 上 的 原 点 或 实 轴 上的 一 点 , 而 这 一 点 与 频 率 特 性 G(jω)H(jω)在 ω→∞ 的 映 射 重 合 。因 此 ,Γ s 在 G(s)H(s) 平 面 上 的 映 射 就 是G(jω)H(jω)。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法奈 氏 稳 定 判 据 : 设 系 统 有 P 个 开 环 极 点 在右 半 s 平 面 , 当 ω 从 -∞ 到 +∞ 变 化 时 , 若 奈氏 曲 线 绕 G(jω)H(jω) 平 面 (-1,j0) 点 N 圈 ( 参考 方 向 为 逆 时 针 ), 则 系 统 有 Z=P-N 个 闭 环极 点 在 右 半 s 平 面 。 当 Z=0 0 时 , 奈 氏 曲 线 逆时 针 绕 G(jω)H(jω) 平 面 (-1,j0) 点 P 圈 , 系 统稳 定 ; 当 奈 时 曲 线 穿 过 (-1,j0) 点 时 , 系 统临 界 稳 定 。


自 动 控 制 原 理二 、 奈 氏 稳 定 判 据 的 实 际 方 法第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法用 奈 氏 稳 定 判 据 判 断 反 馈 系 统 的 稳 定 性时 , 一 般 要 绘 制 系 统 ω 从 0 到 ∞ 时 的 开 环幅 相 曲 线 , 然 后 按 曲 线 包 围 临 界 点 (-1,j0)圈 数 N( ( 逆 时 针 方 向 N 为 正 , 顺 时 针 方 向 N为 负 ) 和 开 环 传 递 函 数 在 右 半 s 平 面 上 的 极点 数 P, 根 据 公 式 Z=P-2N 确 定 闭 环 特 征方 程 的 正 实 部 根 的 个 数 。 如 果 Z=0, 闭 环系 统 稳 定 。 否 则 , 闭 环 系 统 不 稳 定 。Z Z 为系 统 闭 环 特 征 方 程 的 正 实 部 根 的 个 数 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法如 果 系 统 开 环 传 递 函 数 G(s)H(s) 包 含 积 分环 节 , 且 假 定 积 分 环 节 个 数 为 ν, 则 绘 制开 环 幅 相 曲 线 后 , 应 从 与 频 率 ω=0 + 对 应的 点 开 始 , 逆 时 针 方 向 补 画 ν/4 个 半 径 为无 穷 大 的 圆 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法例 一 单 位 负 反 馈 系 统 开 环 传 递 函 数 为KGs( )=2s ( Ts+1)试 用 奈 氏 稳 定 判 据 判 断 系 统 的 稳 定 性 。解 : 画 出 系 统 的 开 环 幅相 曲 线幅 相 曲 线 顺 时 针 包 围(-1,j0) 点 一 圈 , 即 N=-1。开 环 传 递 函 数 右 半 平 面极 点 数 为 0, 即 P=0。Z=P-2N=2


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法三 、 对 数 频 率 稳 定 判 据


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法穿 越 : 正 穿 越半 次 正 穿 越负 穿 越半 次 负 穿 越


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法对 数 频 率 稳 定 判 据 : 一 个 反 馈 控 制 系 统 ,其 闭 环 特 征 方 程 正 实 部 根 个 数 为 Z, 可 以根 据 开 环 传 递 函 数 右 半 s 平 面 极 点 数 P 和 开环 对 数 幅 频 特 性 为 正 值 的 所 有 频 率 范 围 内 ,对 数 相 频 曲 线 对 -180° 线 的 正 负 穿 越 之 差N=N + -N - 决 定Z=P-2NZ=0, 闭 环 系 统 稳 定 ; 否 则 , 闭 环 系 统 不Z 0, 闭 环 系 统 稳 定 ; 否 则 , 闭 环 系 统 不稳 定 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法例系 统 开 环 传 递 函 数 为( )G s=( s+)200 1( + 0.2)( 2 + 4 + 100)s s s s试 判 定 闭 环 系 统 的 稳 定 性 ( 利 用 对 数 判 据 )。解 : (1) 首 先 判 定 开 环 本 身 的 P 值 :由 G(s) 看 出 开 环 P=0。(2) 绘 制 出 G(s) 所 对 应 的 L(ω) 和 ϕ(ω):


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法从 图 中 看 出 N=0,则 Z=P-2N=0。所 以 闭 环 系 统 稳 定 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法四 、 控 制 系 统 稳 定 裕 度( )G s=Ks s s( τ + 1)( τ + 1)1 2K1 < K2 < K3


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法1. 相 位 裕 量 γ:定 义 为 180°+ 开 环 幅相 曲 线 幅 值 为 1 时 的 相角 。γ = 180 o +ϕ ( ω) co G( j) H( j)γ = 180 +∠ jω jω相 位 裕 度 的 物 理 含 义 : 如 果 系 统 对 频 率 信号 ω c 相 位 再 滞 后 γ 值 , 系 统 就 处 于 临 界 稳 定状 态 。 γ值 越 大 , 其 系 统 的 稳 定 程 度 越 高 ,工 程 上 一 般 要 求 γ≥40 ° (40 ° ~60 ° )。cc


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法2. 幅 值 裕 量 h:开 环 幅 相 曲 线 与 负 实 轴交 点 处 的 模 值|G(jω g )H(jω g )| 的 倒 数 。1h =G jωH jω( ) ( )gg幅 值 裕 量 h 的 物 理 含 义 : 如 果 系 统 的 开 环 放大 系 数 增 大 到 原 来 的 h 倍 , 则 闭 环 系 统 就 进入 临 界 稳 定 状 态 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法幅 值 裕 量 h 常 用 分 贝 值 来 表 示 :( ω) ( ω)L = 0−20lg G j H jh g g( ω) ( )gH ωg= −20lg G j j (dB)L h 值 越 大 , 其 闭 环 系 统 稳 定 程 度 越 高 ,一 般 要 求 L h ≥6 dB(6~10 dB)。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法由 伯 德 图 求 γ, L h :


自 动 控 制 原 理5.5 闭 环 频 率 特 性一 、 尼 柯 尔 斯 图 (Nichols)第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法对 于 单 位 反 馈 控 制 系 统 , 闭 环 传 递 函 数 为则 频 率 特 性Gs( )Φ ( s)=1 + Gs ( )G(j ω )Φ (j ω ) = 1 + G (j ω)


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法G(j ω) = G(j ω) e = A( ω)ej ∠G(j ω) j ϕ( ω)( ) ( )j ∠Φ(j ω ) j α( ω)jω jω e M( ω)eΦ = Φ =M(ω) 为 闭 环 幅 频α(ω) 为 闭 环 相 频M( ω)ej ( )A( ϕ ω( ) ω ) e=( )jϕ ( ω )1 + A ω ejα ω上 式 经 过 变 换 可 得 到 如 下 关 系 式


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法和sin[ ϕ( ω) −α( ω)]20lg A( ω ) = 20lgsin αω( )20lg A( ω ) = 20lg2 −2cos ϕω ( ) ± cos ϕω ( ) + M −1−2M −11令 α(ω) 为 常 数 , 就 能 得 到 以 α(ω) 为 参 变 量 的开 环 对 数 幅 频 和 相 频 特 性 间 的 关 系 曲 线 。令 M(ω) 为 常 数 , 就 能 得 到 以 M(ω) 为 参 变 量的 开 环 对 数 幅 频 和 相 频 特 性 间 的 关 系 曲 线 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法由 这 两 个 公 式 可 做 出 尼 柯 尔 斯 图 :


自 动 控 制 原 理如 果 A(ω)>>1 时 , 则 有Mω( )jϕϕ ( ω)( ) A ω e第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法= ≈1 ejα ω( )e 1jϕ( ω)+A( ω )这 意 味 着 , 当 开 环 对 数 幅 频 20lgA(ω)>30 dB时 , 对 应 的 闭 环 对 数 频 率 特 性 为 :20lgM(ω)=0 dB 和 α(ω)=0 °


自 动 控 制 原 理如 果 A(ω)1 时 , 则 有Mω第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法( )jϕϕ ( ω)( ) A ω e( )jϕ( ω)= ≈ A ωjϕ( ω) 1 +A( ω )ejα ω( )e e这 说 明 , 当 开 环 对 数 幅 频 20lgA(ω)


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法例 单 位 负 反 馈 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为1G ( s) =s( s+ 1)( 0.5s+1)试 应 用 尼 柯 尔 斯 图 , 画 出 闭 环 幅 频 特 性 曲 线 。解 : 首 先 做 出 系 统 的 开 环 伯 德 图根 据 伯 德图 查 出 不同 对 应 的20lgA(ω)和 ϕ(ω) 值 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法在 尼 柯 尔 斯 图 中 , 查 出 对 应 的 20lgM(ω) 和α(ω) 值 , 从 而 做 出 系 统 的 闭 环 幅 频 特 性 图 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法系 统 的 闭 环 幅 频 特 性 图


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法二 、 非 单 位 反 馈 系 统 的 闭 环 频 率 特 性尼 柯 尔 斯 图 是 根 据 单 位 反 馈 系 统 做 出 来的 。 对 于 非 单 位 反 馈 系 统 , 经 过 适 当 变换 后 , 仍 可 应 用 各 种 图 线 求 闭 环 频 率 特性 曲 线 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法三 、 闭 环 频 域 性 能 指 标闭 环 频 率 特 性 曲 线 的 几 个 特 征 值 :峰 值 M r, 频 带 ω b , 相 频 带 ω p 和 零 频 幅 比 M(0)。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法1. 峰 值 M r是 指 幅 频 特 性 M(ω) 的 最 大 值 。M r 大 , 表 明 闭 环 系 统 对 某 个 频 率 的 正 弦 输入 信 号 反 应 强 烈 , 有 共 振 倾 向 。 这 意 味 着系 统 的 平 稳 性 差 , 阶 跃 响 应 将 有 大 的 超 调量 。 一 般 要 求 M r


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法2. 峰 值 频 率 ω r 是 指 幅 频 特 性 最 大 值 M r所对 应 的 频 率 值 。 ω r 大 , 表 明 系 统 的 快 速2性 好 。 对 于 二 阶 系 统 , ω = ω − ξ 。r n1 23. 闭 环 系 统 的 带 宽 ω b 定 义 为 幅 频 特 性 下降 到 0.707M(0) 时 所 对 应 的 频 率 。一 般 情 况 下 , 系 统 的 阶 跃 响 应 速 度 与 ω b 成正 比 , 调 节 时 间 与 ω b 成 反 比 , 因 此 , 在 保证 系 统 的 合 理 时 域 指 标 的 前 提 下 , 总 是 希望 系 统 有 较 大 的 带 宽 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法对 于 一 阶 系 统 , 若 传 递 函 数 为1Φ ( s)=Ts + 11系 统 带 宽 频 率 ωb=T系 统 调 节 时 间ts= 3T= 21ω b


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法对 于 二 阶 系 统 , 若 传 递 函 数 为系 统 幅 频 特 性( s)Φ =sM =ω2n2 2+ 2ξωs+ ωn122 2⎞2 ω2 ⎟ ξ2nωn⎛ ω ⎞ 2⎜1− + 4⎝ ω⎠根 据 带 宽 频 率 定 义 , 可 以 得 到⎡22 2 ⎤ω = ω ( 1− 2 ) + ( 1− 2 )b n ⎢ ξ ξ + 1⎥⎣⎦1/2


自 动 控 制 原 理当 ξ=0.707 时 ,ωb= ω第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法n根 据 调 节 时 间ts=3.5ξωn因 此 , ωn↑→ωb↑→ts↓


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法4. 相 频 宽 ω p 指 相 频 特 性 ∠G(jω) 等 于 -π/2 时所 对 应 的 频 率 。 ω p 较 高 , 说 明 输 入 信 号 频率 较 高 、 变 化 较 快 时 , 输 出 才 能 落 后 π/2。这 意 味 着 系 统 反 应 迅 速 , 快 速 性 好 。5.M(0) 指 零 频 率 (ω=0) 时 的 振 幅 比 , 具 有一 定 幅 值 A r 的 零 频 输 入 信 号 , 即 直 流 信 号或 常 值 信 号 , 如 M(0)=1, 1 则 表 示 系 统 阶 跃响 应 的 终 值 等 于 输 入 , 静 差 为 零 。 而M(0)≠1 , 表 明 系 统 有 静 差 。 所 以 M(0) 的 数值 与 1 相 差 的 大 小 , 反 映 了 系 统 的 稳 态 精 度 ,M(0) 越 阶 近 于 1, 系 统 的 稳 态 精 度 越 高 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法频 带 ω b 大 , 峰 值 M r小 , M(0)≈1 , 则 系统 的 品 质 好 , 这 是 由 频 率 特 性 分 析 系 统性 能 品 质 的 重 要 准 则 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法四 、 时 域 性 能 指 标 的 估 算利 用 一 些 统 计 公 式 和 图 线 , 可 以 由 闭 环 幅频 M(ω) 曲 线 直 接 估 算 出 阶 跃 响 应 的 性 能指 标 σ% 和 t s 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法时 域 性 能 指 标 的 估 算 公 式 为或⎧⎪⎡M( )r⋅ M ω1 /4 ω ⎤ ⎫b ⎪σ % = ⎨4ln⎢⋅ 17 %2 ⎥+⎬⎪⎩⎣ M0ω050.5⎦⎪⎭ts⎛ Mr⋅ω⎞b1= ⎜13.57× − 2.51 ⎟⋅( s)⎝ M0⋅ω0.5 ⎠ ω0.5( M )σ % = ⎡⎣0.16 + 0.4r− 1 ⎤⎦×100%(1≤Mr≤1.8)t=kπ /ωsc( )k = 2 + 1.5 M − 1 + 2.5( M − 1) ,又 M =2r r r1sinγ


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法5.6 系 统 开 环 频 率 特 性 三 频 段 的 概 念对 于 单 位 负 反 馈 系 统 来 说 , 其 闭 环 传 递 函数 表 达 式 为Φ ( s) =Gs ( )1 + G ( s)由 该 表 达 式 可 以 看 出 , 系 统 的 结 构 和 参 数 惟一 地 取 决 于 开 环 传 递 函 数 G(s)。 ( ) 而 对 于 非单 位 负 反 馈 系 统 , 经 过 等 效 变 换 也 可 以 得到 单 位 负 反 馈 的 结 构 形 式 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法Ⅰ 型 系 统 开 环 对数 幅 频 三 频 段 曲线 如 图 所 示


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法一 、 低 频 段 与 系 统 稳 态 精 度 的 关 系低 频 段 通 常 是 指 对 数 幅 频 在 第 一 个 转 折频 率 以 前 的 区 段 , 这 一 段 的 特 性 完 全 由积 分 环 节 和 开 环 增 益 的 大 小 决 定 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法因 此 , 可 以 得 出 如 下 结 论 :系 统 开 环 对 数 幅 频 低 频 段 的 斜 率 愈 小 , 位 置愈 高 , 对 应 于 系 统 积 分 环 节 的 数 目 愈 多 , 开环 增 益 K 值 愈 大 。 故 其 闭 环 系 统 在 满 足 稳 定的 条 件 下 , 其 稳 态 误 差 愈 小 , 系 统 的 稳 态 精度 愈 高 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法二 、 中 频 段 与 系 统 动 态 品 质 的 关 系中 频 段 是 指 系 统 开 环 对 数 幅 频 曲 线20lg|G(jω)| 在 截 止 频 率 ω c 附 近 的 区 段 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法工 程 实 践 中 得 出 如 下 结 论 :系 统 对 数 幅 频 特 性 曲 线 中 频 段 斜 率 小 于 [-60],则 很 难 使 闭 环 系 统 稳 定 ; 若 等 于 [-40], 所 占 频率 区 间 不 宜 过 宽 , 则 闭 环 系 统 可 能 稳 定 , 即 使稳 定 , 其 相 稳 定 裕 度 也 较 小 , 系 统 的 平 稳 性 较差 ; 如 果 中 频 段 斜 率 为 [-20], 且 占 据 较 宽 的 频段 区 间 , 一 般 说 来 , 不 仅 可 以 保 证 系 统 稳 定 ,而 且 可 以 使 相 稳 定 裕 度 γ 增 大 , 取 得 较 好 的 平稳 性 。 同 时 以 提 高 截 止 频 率 来 保 证 系 统 要 求 的快 速 性 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法三 、 高 频 段 与 系 统 抗 干 扰 能 力 的 关 系高 频 段 是 指后 ω > 10ωc的 区 段 。20lg G(j ω)曲 线 在 中 频 段 以


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法因 此 , 系 统 开 环 对 数 幅 频 在 高 频 段 的 幅 值 ,直 接 反 映 了 系 统 对 输 入 高 频 干 扰 信 号 的 抑制 能 力 。 高 频 特 性 的 分 贝 值 愈 低 , 系 统 抗干 扰 能 力 愈 强 。


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法本 章 小 结1. 频 率 特 性 是 线 性 系 统 ( 或 元 部 件 ) 在 正 弦输 入 信 号 作 用 下 的 稳 态 响 应 。 频 率 特 性 是经 典 控 制 理 论 最 基 本 的 概念 之 一 。2. 频 域 分 析 法 是 运 用 开 环 频 率 特 性 研 究 闭环 系 统 动 态 响 应 的 一 套 完 整 的 图 解 分 析 计算 法 , 其 分 析 问 题 主 要 方 法 和 步 骤 如 下 :


自 动 控 制 原 理第 五 章 频 域 分 析 法 - 频 率 法典 型 环 节 G(jω) ) 开 环⎧L( ω)⎪⎨⎪⎩ϕω( )⎤⎥⎥⎥ ⎦对 数 判 据三 频 段闭 环 稳 定 性γ 、LLh闭 环 的 “ 稳 、 快 、 准 ”闭 环⎧ Φ(j ω)⎫Mr,ωb⎨ ⎬⎩∠Φ(j ω) ⎭M(0)4. 一 定 要 掌 握 的 方 法 : 若 已 知 系 统 开 环 传递 函 数 , 能 正 确 无 误 地 绘 制 出 对 数 幅 频 和 相频 曲 线 ; 若 已 知 最 小 相 位 系 统 的 对 数 幅 频 曲线 , 能 反 求 出 系 统 的 开 环 传 递 函 数 。


自 动 控 制 原 理第 六 章第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正61 6.1 系 统 设 计 的 设 计 步 骤1. 根 据 用 户 提 出 的 性 能 指 标 和 被 控 对 象 的具 体 工 作 环 境 , 根 据 条 件 进 行 调 研 、 查 阅技 术 资 料 , 确 定 合 理 的 设 计 指 标 , 作 为 设计 的 依 据 。2. 初 步 确 定 控 制 方 案 , 如 是 用 计 算 机 控 制还 是 一 般 的 模 拟 控 制 , 驱 动 方 式 是 采 用电 动 的 还 是 液 压 气 动 的 , 完 成 系 统 的 职能 方 框 图 , 写 出 可 行 性 方 案 论 证 报 告 。


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正3. 具 体 进 行 设 计根 据 初 步 确 定 的 合 理 的 设 计 指 标 进 行总 体 设 计 , 合 理 地 设 计 或 选 择 元 部 件 , 尤其 是 对 测 量 元 件 的 选 择 要 给 予 充 分的 注 意 。组 成 系 统 后 . 进 行 动 、 静 态 分 析 计 算 , 同时 进 行 计 算 机 仿 真 。 若 不 符 合 指 标 要 求 ,则 要 进 行 校 正 , 使 其 满 足 指 标 要 求 。


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正4. 实 验 室 原 理 性 试 验根 据 具 体 设 计 , 在 实 验 室 建 造 系 统 的 原型 机 , 并 进 行 试 验 。 按 照 试 验 的 结 果 调 正 改系 统 九 部 件 中 的 有 关 参 数 , 排 除 故 障 , 进 一步 完 善 具 体 设 计 。5. 提 交 样 机 通 过 技 术 鉴 定在 实 验 室 试 验 的 基 础 上 . 考 虑 到 实 际 的使 用 条 件 进 行 样 机 生 产 。 再 通 过 对 样 机 的 试验 考 核 , 鉴 定 其 是 否 全 面 满 足 设 计 指 标 , 基本 符 合 后 才 可 决 定 小 批 量 生 产 。 经 过 实 际 应用 的 考 验 , 最 后 才 能 通 过 技 术 鉴 定 , 投 入 小批 量 生 产 , 进 行 定 点 实 际 应 用 。


自 动 控 制 原 理 第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正6.2 性 能 指 标 与 系 统 设 计 的 基 本 思 路一 、 时 域 指 标调 节 时 间 t s超 调 量 σ% %稳 态 误 差 e ss静 态 位 置 误 差 系 数 K p静 态 速 度 误 差 系 数 K v静 态 加 速 度 误 差 系 数 K a


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正二 、 频 域 指 标 :1. 闭 环 频 域 指 标峰 值 M r峰 值 频 率 ω r频 带 ω b2. 开 环 频 域 指 标截 止 频 率 ( 穿 越 频 率 )ω c相 稳 定 裕 度 γ模 稳 定 裕 度 L h


自 动 控 制 原 理三 、 各 项 指 标 的 关 系四 、 系 统 带 宽 的 选 择五 、 校 正 方 式第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正校 正 : 给 系 统 加 入 一 些 具 有 某 种 典 型 环 节特 性 的 电 网 络 、 模 拟 运 算 部 件 以 及 测 量 装置 等 , 靠 这 些 环 节 的 配 置 来 有 效 地 改 善 整个 系 统 的 控 制 性 能 , 借 以 达 到 所 要 求 的 性能 指 标 。 这 一 加 入 的 部 件 或 装 置 通 常 称 为校 正 元 件 或 校正 装 置 。


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正校 正 方 式 :按 照 系 统 中 校 正 装 置 的 连 接 方 式 , 可 分 为串 联 校 正 、 反 馈 校 正 、 前 馈 校 正 、 复 合 校正 四 种 。(1) 串 联 校 正 和 反 馈 校 正串 联 校 正 和 反 馈 校 正


自 动 控 制 原 理(2) 前 馈 校 正第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正前 馈 校 正


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正(4) 复 合 校 正复 合 校 正


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正六 、 校 正 方 法1. 分 析 法2. 综 合 法


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正6.3 基 本 控 制 规 律在 校 正 装 置 中 , 常 采 用 比 例 (P)、 微 分 (D)、积 分 (I)、 比 例 微 分 (PD)、 比 例 积 分 (PI)、比 例 积 分 微 分 (PID) 等 基 本 的 控 制 规 律 。一 、 比 例 (P) 控 制具 有 比 例 控 制 规 律 的 控 制 器 称 为 比 例 控制 器 . 其 特 性 和 比 例 环 节 完 全 相 同 , 它实 际 上 是 一 个 可 调 增 益 的 放 大 器 。传 递 函 数X ( s)KEs ( )=p


自 动 控 制 原 理动 态 结 构 图 为第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正比 例 控 制 的 作 用 :1. 在 系 统 中 增 大 比 例 系 数 K p 可 减 少 系 统 的 稳态 误 差 以 提 高 稳 态 精 度 。2. 增 加 K p 可 降 低 系 统 的 惯 性 , 减 小 一 阶 系 统的 时 间 常 数 , 改 善 系 统 的 快 速 性 。3. 提 高 K p 往 往 会 降 低 系 统 的 相 对 稳 定 性 , 甚至 会 造 成 系 统 的 不 稳 定 。


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正二 、 比 例 − 微 分 (PD) 控 制具 有 比 例 − 微 分 控 制 规 律 的 控 制 器 称 为 比例 微 分 控 制 器 。动 态 结 构 图 为传 递 函 数 X( s)E( s)= K( p τ s+1)


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正PD 控 制 器 的 作 用 :PD 控 制 具 有 超 前 校 正 的 作 用 , 能 给 出 控 制 系统 提 前 开 始 制 动 的 信 号 , 具 有 “ 预 见 ” 性 ,能 反 应 偏 差 信 号 的 变 化 速 率 ( 变 化 趋 势 ), 并能 在 偏 差 信 号 变 得 太 大 之 前 , 在 系 统 中 引 进一 个 有 效 的 早 期 修 正 信 号 , 有 助 于 增 加 系 统的 稳 定 性 , 同 时 还 可 以 提 高 系 统 的 快 速 性 。其 缺 点 是 系 统 抗 高 频 干 扰 能 力 差 。


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正三 、 积 分 (I) 控 制具 有 积 分 控 制 规 律 的 控 制 器 , 称 为 I 控 制 器 。动 态 结 构 图 为传 递 函 数X( s ) K =iE( s)s


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正四 、 比 例 积 分 (PI) 控 制动 态 结 构 图传 递 函 数⎛ ⎞ K Ts+( ) ⎛ 1 ⎞= Kp ⎜1+ ⎟=( ) i iX sE s ⎝ Ts ⎠ T spi1


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正PI 控 制 器 的 作 用 :在 系 统 中 主 要 用 于 在 保 证 控 制 系 统 稳 定 的基 础 上 提 高 系 统 的 型 别 , 从 而 提 高 系 统 的稳 态 精 度 。五 、 比 例 − 积 分 − 微 分 (PID) 控 制动 态 结 构 图


自 动 控 制 原 理传 递 函 数第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正( ) 1K⎛p⎜1( )X sE s= + +τ s⎞⎟⎝ Tsi ⎠PID 控 制 器 的 作 用 :PID 具 有 PD 和 PI 双 重 作 用 , 能 够 较 全 面 地提 高 系 统 的 控 制 性 能 。PID 控 制 器 除 了 提 高系 统 型 别 之 外 , 还 提 供 了 两 个 负 实 零 点 ,从 而 较 PI 控 制 器 在 提 高 系 统 的 动 态 性 能 方面 有 更 大 的 优 越 性 。 因 此 , 在 工 业 控 制 设计 中 ,PID 控 制 器 得 到 了 非 常 广 泛 的 应 用 。


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正6.4 常 用 串 联 校 正 网 络一 、 超 前 校 正 网 络 和 滞 后 校 正 网 络常 用 的 串 联 校 正 网 络 的 传 递 函 数 一 般 形 式 为Gc( s)=mj=1n∏i=1( − )K s z∏∏( s−p)i当 校 正 网 络 为 1 阶 时 , 传 递 函 数 为K( s−z)( ) = | |


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正校 正 网 络 的 频 率 特 性 函 数 为Gc( jω)=( jω− z)( jω −p)K相 频 特 性 曲 线 为Kz ⎡⎣j / 1⎤1 j= ⋅ =p [j / 1] 1 j( ω z) + ⎦ K ( )1+ αωτ( ω p) + ( + ωτ)( ) = arctan( ) − arctan( )ϕ ω αωτ ωτ


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正最 大 超 前 相 角对 应 的 角 频 率siniϕωmmα − 1=α + 1= zp =1τ α


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正相 角 滞 后 校 正 网 络 ( 或 称 迟 后 校 正 网 络 )传 递 函 数 为Gc( s)=α( s − z)( s−p)滞 后 校 正 网 络 的 频 率 特 性 为G(j ω)c=jωτ + 1jωατ+ 1


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正滞 后 校 正 网 络 的 伯 德 图


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正二 、 用 伯 德 图 方 法 设 计 超 前 校 正 网 络设 计 步 骤 如 下 :(1) 绘 制 未 校 正 系 统 的 伯 德 图 , 计 算 相 角 裕度 , 判 定 是 否 满 足 要 求 , 是 否 需 要 引 入 合适 的 超 前 校 正 网 络 G c (s);(2) 确 定 所 需 的 最 大 超 前 相 角 ϕ m ;α − 1α + 1(3) 利 用 sinϕm= , 计 算 α;


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正(4) 计 算 10lgα, 在 未 校 正 系 统 的 幅 值 增 益 曲 线上 , 确 定 与 −10lgα 对 应 的 频 率 。 当 ω=ω c =ω m 时 ,超 前 校 正 网 络 能 提 供 10lgα(dB) 的 幅 值 增 量 ,因 此 , 经 过 校 正 后 , 原 有 幅 值 增 益 为 −10lgα 的点 将 变 成 新 的 与 0dB 线 的 交 点 , 对 应 频 率 就 是新 的 交 接 频 率 ω c =ω m ;m(5) 计 算 极 点 频 率 p = ωmα 和 零 点 频 率 z = = 。pαωα


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正(6) 绘 制 校 正 后 的 闭 环 系 统 伯 德 图 , 检 查 系统 是 否 满 足 要 求 。 若 不 满 足 要 求 , 则 需 重 新设 计 ;(7) 确 定 系 统 的 增 益 , 以 保 证 系 统 的 稳 态 精度 , 抵 消 由 超 前 校 正 网 络 带 来 的 衰 减 1/α。


自 动 控 制 原 理例第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正二 阶 单 位 负 反 馈 控 制 系 统 , 开 环 传 递函 数 为 G ( s)=Ks s+( 2)给 定 的 设 计 要 求 为 : 系 统 的 相 角 裕 度 不 小于 40°, 系 统 斜 坡 响 应 的 稳 态 误 差 为 5%。解 : 由 稳 态 误 差 的 设 计 要 求 可 知 , 系 统 的 静态 速 度 误 差 系 数 应 该 为 K v =20, 于 是 未校 正 系 统 的 开 环 频 率 特 性 函 数 为Kv20G( jω) = =jω 0.5jω 1 jω 0.5jω1( + ) ( +)


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正ωc=6.2oϕ0= 18所 需 的 超 前 相 角 至 少 为 (40 ° -18 ° )=22 °设 超 前 相 角 为 30 ° , 对 应 有 :


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正α − 1osinϕm= = sin 30 = 0.5 ⇒ α = 3α + 110lgα=4.8 dB, 在 G(s) 的 伯 德 图 上 , 确 定 与 -4.8 dB 对 应 的 频 率 , 有 ω m =8.4 rad/s, 可 以得 到 τ≈0.068, 068, 而 |z|=4.8,|p|=14.4, 4, 于 是 得到 接 入 超 前 校 正 网 络 后 的 系 统 传 递 函 数 G(s)为Gs ( ) = G( sG ) ( s)=c 0⎛ s ⎞20 ⎜1 +4.8⎟⎝⎠⎛ s ⎞s (0.5 s+ + 1) ⎜1 + 14.4⎟⎝ ⎠


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正系 统 校 正 前 后 的 阶 跃 响 应


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正三 、 用 伯 德 图 设 计 滞 后 校 正 网 络设 计 步 骤 :(1) 根 据 稳 态 误 差 的 设 计 要 求 , 确 定 原 系 统 的 增益 K, 画 出 伯 德 图 ;(2) 计 算 原 系 统 的 相 角 裕 度 , 如 不 满 足 要 求 , 则进 行 下 面 的 设 计 步 骤 ;(3) 计 算 能 满 足 相 角 裕 度 设 计 要 求 的 交 接 频 率ω c ′。 计 算 期 望 交 接 频 率 时 , 考 虑 滞 后 校 正 网 络引 起 的 附 加 滞 后 相 角 。 工 程 上 该 滞 后 相 角 的 预留 值 取 5 ° :


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正(4) 配 置 零 点 。 该 零 点 频 率 一 般 比 预 期 交 接 频率 小 10 倍 频 程 ;(5) 根 据 ω c ′ 和 定 原 系 统 对 数 幅 频 特 性 曲 线 , 确定 增 益 衰 减 ;(6) 在 ω c ′ 处 , 滞 后 校 正 网 络 产 生 的 增 益 衰 减 为−20lgα 。 由 此 确 定 α 值 ;(7) 计 算 极 点 ω p =1/ατ = ω z /α;(8) 验 证 结 果 如 不 满 足 要 求 重 新 进 行 步 骤(8) 验 证 结 果 。 如 不 满 足 要 求 , 重 新 进 行 步 骤(3)~(8)。


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正由 于 超 前 校 正 和 滞 后 校 正 各 有 优 点 , 有 时会 把 超 前 校 正 和 滞 后 校 正 综 合 起 来 应 用 ,这 种 校 正 网 络 称 为 滞 后 − 超 前 校 正 网 络 。滞 后 − 超 前 校 正 网 络 的 伯 德 图


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正6.5 常 用 的 串 联 校 正 方 法工 程 上 常 用 的 校 正 方 法 通 常 是 把 一 个 高 阶系 统 近 似 地 简 化 成 低 阶 系 统 , 并 从 中 找 出 少 数典 型 系 统 作 为 工 程 设 计 的 基 础 , 通 常 选 用 二 阶 、三 阶 典 型 系 统 作 为 预 期 典 型 系 统 。 只 要 掌 握 典型 系 统 与 性 能 指 标 之 间 的 关 系 , 根 据 设 计 要 求 ,就 可 以 设 计 系 统 参 数 , 进 而 把 工 程 实 践 确 认 的参 数 推 荐 为 “ 工 程 最 佳 参 数 ”, 相 应 的 性 能 确定 为 典 型 系 统 的 性 能 指 标 。 根 据 典 型 系 统 选 择控 制 器 形 式 和 工 程 最 佳 参 数 , 据 此 进 行 系 统 电路 参 数 计 算 。


自 动 控 制 原 理 第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正一 、 二 阶 典 型 系 统典 型 二 阶 系 统 开 环 传 递 函 数 为( )G s闭 环 传 递 函 数 为2K ωn= s Ts+ 1 = s s+2ξω( ) ( )2ω( ns) 2 2Φ =⎧ ωn =K /T⎪⎨ 1⎪ξ =⎩ 2 KTs+ 2ξωs + ωn⎧nKω =⎪ 2ξ⎨⎪ 1T =⎪⎩ 2ξωnnn


自 动 控 制 原 理 第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正1. 二 阶 典 型 系 统 的 最 优 模 型22条 件 : ξ = 0.707 =1代 入 ξ =2 KT得 到 最 优 模 型 的 校 正 条 件 为T = 1 或 K =12K2T


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正最 优 模 型 的 性 能 指 标 为 :σ % = 4.3%3t = s4.2Tω≈nω = ω , ω = 0.707ωb n c noγ = 63.4ω2 =2ωcK = K = ωvc


自 动 控 制 原 理 第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正2. 二 阶 最 优 模 型 的 综 合 校 正 方 法(1) 系 统 固 有 部 分 特 性 是 一 惯 性 环 节 :K1G0( s) =Ts1+ 1按 二 阶 典 型 系 统 应 串 入 积 分 控 制 器即G( s) =c1Ts1则 G ( s ) G ( s ) G ( s)1式 中i1 K K=0 c= =TsTsi 1+ 1 s Ts+1KK = T = T1Ti( )


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正应 满 足 最 优 条 件即T1=Ti2KK1T= 1 12K= =12 KTiT1因 此 Ti =2K1 T1


自 动 控 制 原 理 第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正(2) 系 统 固 有 部 分 是 两 个 串 联 的 惯 性 环 节K( )1G0 s = ( T1 > T2)Ts+ 1 Ts+1( )( )1 2使 其 化 成 二 阶 典 型 系 统 , 则 需 采 用 PI 控 制 器Gc( s)=Kp( Ts+1)iTsi选 参 数 时 把 时 间 常 数 大 的 环 节 消 去 , 即T= Ti 1


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正因 此KK ( ) ( )1 p/ TiKG s = G0( s)Gcs = =s T s+ 1 s Ts+1根 据 最 优 条 件 : 1( ) ( )2即T2T = 2K 1=KK2T则 得 T1T =22KK1 pT i1 pK== pT 12KT1 2


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正(3) 系 统 固 有 部 分 由 一 个 大 时 间 常 数 的 惯 性 环节 和 若 干 个 小 时 间 常 数 的 惯 性 环 节 串 联 组 成 :KG0( s)1 1 11= ( T s + 1 )( T s + 1 ) L( T s + 1)1 2式 中 1 2 >3 > L, = 123 1, 2, 3, L,T T T i n把 小 时 间 常 数 的 惯 性 环 节 合 并 成 一 个 “ 等效 ” 的 惯 性 环 节 , 即T = LΣT2 + T 3+ +Tn则K1G ( )0s =(1)( Ts )( )1+ 1 Ts+1Σn


自 动 控 制 原 理 第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正(3) 系 统 固 有 部 分 为 典 型 二 阶 系 统 ,G0( s) =但 不 符 合 最 优 条 件 , 遇 到 这 种 情 况 要 根 据 要求 的 性 能 指 标 来 具 体 的 进 行 校 正 。K1( + 1)sTs1 如 T 1满 足 快 速 性 的 要 求 (t s =4.2T 1 ) 稳 态 精度 不 作 要 求 时 , 只 要 调 整 K 1 使 之 符 合 最 优条 件 即 可 。1即K11 1= K = =2 T2T1


自 动 控 制 原 理 第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正2 若 此 时 T 1满 足 要 求 , 而 K 1不 符 合 要 求 ( 即稳 态 精 度 不 满 足 指 标 ), 首 先 使 K 1 增 大 到 K 使之 符 合 指 标 要 求 。K1G0( s)=sTs+1因 此( )G sGc( s)=K( )1( T s+1)c 1Ts + 1KK( )c 1Ts1+ 1 KKc 1( + 1 )( + 1 ) ( + 1)= =s T1 s 1 Ts 1 s Ts 1


自 动 控 制 原 理 第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正根 据 最 优 条 件 :T1 1= =2K2KKc 1K 为 已 知 K 为 增 大 的 倍 数 即 根 据 指 标K 1为 已 知 ,K c为 增 大 的 倍 数 , 即 根 据 指 标决 定 的 数 据 , 亦 为 已 知 , 则 K=K 1 K c 为 已 知 ,所 以 T 即 可 求 出 。


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正3 如 T 1不 满 足 要 求 ,K 1亦 不 满 足 要 求 , 首 先应 使 T 1满 足 指 标 要 求 , 然 后 在 使 K 1符 合 要 求即 可 ; 或 者 先 满 足 K 1 再 满 足 T 1 , 这 要 根 据具 体 情 况 而 定 。注 意 : 一 定 要 使 各 项 指 标 都 满 足 要 求 。


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正(5) 系 统 固 有 部 分 传 递 函 数 :G0( s)=式 中 T1 > T2 > T3K1Ts+ 1 Ts+ 1 Ts+1( )( )( )1 2 3T 3 亦 可 以 是 许 多 小 时 间 常 数 的 等 效 时 间 常数 , 此 时 , 应 采 用 PID 控 制 器 :Gc( s)=( τ+ 1 )( τ+1)K c 1 s 2ss


自 动 控 制 原 理令则τ1 = T1τ = TT = T第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正2 231 1K = KcK1= =2 T2T1Kc =2KT1 33


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正二 、 三 阶 典 型 系 统 校 正 法典 型 三 阶 系 统 模 型 的 开 环 传 递 函 数 为Gs( )开 环 伯 德 图 为K0 1= 2T2( T s+1)s ( T s +1)定 义hω= =ωT2 1T1 2为 中 频 段 宽 度ω 1ω 2


自 动 控 制 原 理 第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正1. 具 有 最 佳 频 比 的 典 型 三 阶 系 统最 佳 频 比 : 当 系 统 参 数 满 足 以 下 两 式 时 ,所 对 应 的 闭 环 M r 值 最 小 。ω 22hω = ch + 1ωch+1=ω12ωh+1c20lg K0 − 40lgωc+ 20lg = 0 K =ω2hT由 得 到 0 2 2具 有 最 佳 频 比 的 典 型 三 阶 模 型 为h + 1 hT s + 1( )2G s = ⋅2 2 22hT s Ts+112 2( )2


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正考 虑 到 参 考 输 入 和 扰 动 输 入 两 方 面 的 性 能指 标 , 通 常 取 中 频 宽 度 h=5。(1) () 若 未 校 正 系 统 传 递 函 数 为K( )2G0s =sTs+ + 1( )21可 采 用 PI 控 制 器⎛ 1⎞G ( ) cs = KP⎜1+⎟⎝ TsI⎠参 数 设 定 为h + 1K = ,T =hT2KhTP I 22 2


自 动 控 制 原 理 第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正(2) 若 未 校 正 系 统 传 递 函 数 为K( )2G0 s = ( T2 < T3)sTs+ 1 Ts+1( )( )2 3可 采 用 PID 控 制 器⎛1⎞G ( ) cs = Kp⎜1+ + TDs⎟⎝ TsI ⎠参 数 设 定 为h+1hT ( )2T3KP= hT2 2 2+ T3 , TD=2hKT hT+TT = hT + TI 2 32 2 2 3


自 动 控 制 原 理 第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正2. 具 有 最 大 相 角 裕 度 的 典 型 三 阶 系 统典 型 三 阶 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为Gs( ) =K( T s+1)0 122s ( T s+ 1)典 型 三 阶 系 统 的 相 角 裕 度 为γ = arctanω T − arctanωTc 1 c 2调 整 K 0 , 即 改 变 ω c 使 γ 取 得 最 大 值 。 设 当ω c = ω 0 , γ 取 最 大 值 。 由 γ 对 ω c 的 导 数 等于 0, 得1 1ω0 = ω1 ω2= =TT hT1 2 2


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正⎛ h − 1⎞γmax= arctan ⎜ ⎟⎝ 2 h⎠1 ω 22K0 = ωω0 1= =2h hTh h具 有 最 大 相 角 裕 度 的 典 型 三 阶 系 统 为Gs( ) =1h hT22s2hT s22+ 1( T s+1)一 般 取 h=4,T 1 =4T 2 , K = 。210 28TT2


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正6.6 反 馈 校 正一 、 比 例 负 反 馈 可 以 减 弱 被 反 馈 包 围 部 分 的惯 性 , 从 而 扩 展 其 频 带比 例 负 反 馈 包 围 惯性 环 节 , 其 闭 环 传递 函 数 为 0284( ) 1 +( ) T0K 0C s K0KfKΦ ( s ) = = =R sTs +s11 + K K +0 f1


自 动 控 制 原 理 第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正二 、 速 度 反 馈 包 围 振 荡 环 节 , 可 增 加 环 节 的阻 尼 , 有 效 的 减 弱 阻 尼 环 节 的 不 利 影 响系 统 的 闭 环传 递 函 数 为2 2( )nn( )KC s ω ωΦ ( s) = = =R s 2 ' 22 t2s + 2⎛ξ ω⎞ s 2 nsnn ωnsω+ ξ ω + ω⎜ + + n2⎟⎝ ⎠


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正三 、 反 馈 校 正 可 以 减 弱 参 数 变 化 对 系 统 性 能的 影 响比 较 有 反 馈 和 无 反 馈时 系 统 输 出 对 参 数 变化 的 敏 感 程 度 :对 于 开 环 系 统( ) + ( ) = [ ( ) + ( ) ] ( )C s C s G s G s R s即 C( s) = G( s) R( s)0


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正对 于 负 反 馈 包 围 的 局 部 系 统( ) + ( )( ) ( )G0s G sC( s) + C( s)= R s1 + G s + G s0( )一 般 情 况 下 ,|G 0 (s)||∆G(s)|, 于 是 近 似 有 :ΔGs( )Δ Gs( ) = Rs( )1 + G ( s )0


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正四 、 负 反 馈 校 正 取 代 局 部 结 构 , 消 除 系 统 不可 变 部 分 中 不 希 望 有 的 特 性所 示 局 部 回 路 的 传递 函 数( ) 1 ( )( ) = 1 + ( ) ( )Y s G sX s G s H s1 1频 率 特 性 : Y ( jω) G1( jω)= X ( j ω ) 1 +G ( j ω ) H( jω)1 1


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正如 果 在 常 用 的 频 段 内 选 取 :G则 在 此 频 段 内 :YX( ω ) H ( ω )j j 11 1( jω) 1 ≈( jω) H( jω)1


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正6.7 复 合 校 正一 、 附 加 顺 馈 补 偿 的 复 合 校 正如 果 实 现 全 补 偿 , 那 么可 以 解 出 G c (s) 得( s)( )( )C sR sGcs =G21= 1( s)


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正二 、 附 加 干 扰 补 偿 的 复 合 校 正全 补 偿 的 条 件 :Gn( s)=G21( s)


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正本 章 小 结1.PID 控 制 规 律 是 工 程 上 常 用 的 校 正 方 法 。超 前 校 正 网 络 可 以 增 大 系 统 的 相 角 裕 度 , 从而 增 大 系 统 稳 定 性 。 滞 后 校 正 网 络 可 以 在 保持 预 期 主 导 极 点 基 本 不 变 的 前 提 下 , 增 大 系统 的 稳 态 误 差 系 数 , 提 高 系 统 的 精 度 。 超 前校 正 会 增 大 系 统 带 宽 , 而 滞 后 校 正 会 减 小 系统 带 宽 。


自 动 控 制 原 理第 六 章 自 动 控 制 系 统 的 设 计 与 校 正2. 当 系 统 中 有 噪 声 时 , 系 统 带 宽 将 会 影 响到 系 统 的 性 能 , 这 种 场 合 采 用 反 馈 或 复 合 校正 会 更 好 。3. 工 程 上 常 用 的 校 正 方 法 是 二 阶 、 三 阶 最优 模 型 综 合 校 正 法 , 这 种 方 法 的 突 出 特 点 是不 需 要 进 行 繁 琐 的 作 图 和 计 算 , 而 是 根 据 其最 优 模 型 条 件 求 取 校 正 网 络 的 参 数 , 便 于 工程 实 现 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析7.1 概 述一 、 采 样 控 制 系 统采 样 控 制 系 统 , 又 称 断 续 控 制 系 统 、 离 散控 制 系 统 , 它 是 建 立 在 采 样 信 号 基 础 上 的。如 果 控 制 系 统 中 有 一 处 或 几 处 信 号 是 断 续的 脉 冲 或 数 码 , 则 这 样 的 系 统 称 为 离 散 系 统 。通 常 , 把 系 统 中 的 离 散 信 号 是 脉 冲 序 列 形式 的 离 散 系 统 , 称 为 采 样 控 制 系 统 ;而 把 数 字 序 列 形 式 的 离 散 系 统 , 称 为 数 字控 制 系 统 或 计 算 机 控 制 系 统 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析工 业 炉 的 温 度 自 动 控 制 系 统 的 框 图 :给 定信 号偏 差信 号-放 大 器 与执 行 电 机K电 机转 速燃 料供 应 泵阀 口 炉 子1 开 度−τ ses Ts1+ 1炉 温传 感 器采 用 采 样 控 制 :给 定信 号放 大 器 与燃 料离 散执 行 电 机偏 差电 机供 应 泵S 偏 差阀 口 炉 子信 号 信 号转 速 1开 度−τ seKs Ts1+ 1-传 感 器炉 温


自 动 控 制 原 理二 、 数 字 控 制 系 统第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析数 字 控 制 系 统 是 一 种 以 数 字 计 算 机 或 微处 理 器 控 制 具 有 连 续 工 作 状 态 的 被 控 对 象 的闭 环 控 制 系 统 。 因 此 , 数 字 控 制 系 统 包 括 工作 于 离 散 状 态 下 的 数 字 计 算 机 或 微 处 理 器 和工 作 于 连 续 状 态 下 的 被 控 对 象 两 大 部 分 。r(t) e(t) e * (t) u * (t) u(t) w(t)c(t)数 字执 行被 控A/DD/A控 制 器机 构对 象-传 感 器


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析三 、 研 究 方 法主 要 阐 述 采 样 系 统 所 必 要 的 数 学 基 础 和 基本 原 理 。首 先 建 立 信 号 采 样 与 复 现 过 程 的 数 学 表 达式 ;介 绍 Z 变 换 理 论 和 脉 冲 传 递 函 数 ;讨 论 采 样 系 统 的 稳 定 性 、 稳 态 误 差 ;分 析 系 统 的 极 点 分 布 与 瞬 态 响 应 之 间 的 关分 析 系 统 的 极 点 分 布 与 瞬 态 响 应 之 间 的 关系 。


自 动 控 制 原 理7.2 信 号 的 采 样 与 保 持一 、 采 样 过 程第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析把 连 续 信 号 转 换 成 离 散 信 号 的 过 程 , 叫 作采 样 过 程 。实 现 采 样 的 装 置 叫 作 采 样 开 关 或 采 样 器 。e(t)e(t)Te * (t)e * (t)τekT ( )OtO T 2T 3Tt


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析* ( ) = (0) [ 1( ) −1( − τ ) ] + ( ) [ 1( − ) −1( − −τ)]e t e t t e T t T t T[ τ]+ e (2 T ) 1( t− 2 T ) − 1( t− 2 T − ) +⋅⋅⋅[ τ ]+ ekT ( ) 1( t−kT) −1( t−kT− ) +⋅⋅⋅+∞k=00[ ]= ∑ekT ( ) 1( t−kT) −1( t−kT−τ)δ (t)1( t− kT) −1( t−kT −τ) 为 两 1个 单 位 阶 跃 函 数 之 差 , 表示 一 个 在 kT 时 刻 , 高 度 为O1, 宽 度 为 τ , 面 积 为 τ 的矩 形 。 -1kTτ(kT+τ)t


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析1( t−kT) −1( t−kT − τ ) = τδ( t−kT)δ ( t−kT)∞∑k=0⎧∞ ,t== ⎨⎩ 0, t ≠kTkTe * () t = ∑e( kT) τδ( t−kT)将 持 续 时 间 τ 移 至 和 式 外∞*e t τ e kT δ t kT() = ∑ ( ) ( − )k=0=0取 采 样 过 程 的 数 学 描 述 为∞*e t = ∑ekT δ t−kTk=0() ( ) ( )


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析∞∞*e t e t δ t kT e t δ t kT或 写 作= ∑ − = ∑ −() () ( ) () ( )k= 0 k=0e * () t = e() t δ () t∞δT() t = ∑δ( t−kT)k=0式 中 δ T (t) 称 为 单 位 理 想 脉 冲 序 列 , 而 e * (t)即 为 加 权 理 想 脉 冲 序 列 。T


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析采 样 过 程 的 物 理 意 义 :采 样 过 程 可 以 看 作 是 单 位 理 想 脉 冲 串δ T (t) 被 输 入 信 号 e(t) 进 行 幅 值 调 制 的 过 程 ,其 中 δ T (t) 为 载 波 信 号 , e(t) 为 调 制 信 号 ,采 样 开 关 为 幅 值 调 制 器 , 其 输 出 为 理 想 脉 冲序 列 e * (t) 。e(t)Te * (t)e(t)δ T (t)e * (t)OtOtT 2T 3T 4T 5T ... O T 2T 3T 4T ...t


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析二 、 采 样 定 理采 样 过 程 中 信 号 频 谱 的 变 化 。∞∑δ( t−kT)是 一 个 周 期 函 数 , 将 其 展 开 成k=0 傅 里 叶 级 数 :∞ +∞δ∑∑k= 0k=−∞2πTj s( ) e k ω− =t( t kT) C k式 中 ω = 称 为 系 统 的 采 样 角 频 率 。s


自 动 控 制 原 理系 数第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析T1 +0∫2− j 1s∫j 1s( )e k ω t d ( )e k ω tTδ+ −δ d−0−2Ck= ∫ t− kT t = ∫ t t =T T Tδ t− kT =1T∞ +∞∑∑j s( ) e k ω tk= 0k=−∞+∞* 1 j ωse() t = ∑ e k tT k =−∞上 式 两 边 取 拉 氏 变 换 , 并 由 拉 氏 变 换 的 复 数位 移 定 理 , 得 到E ( s ) = E ⎡j( ω +kωs)T⎣⎤⎦* 1+∞∑k=−∞


自 动 控 制 原 理*第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析如 果 E * (jω) 没 有 右 半 平 面 的 极 点 , 则 令s = jω , 得 到+∞* 1E (j ω) = E⎡j( ω+kωs) ⎤T⎣ ⎦∑T k =−∞(a) 连 续 信 号 e(t) 的 频 谱|E(jω)|-ωω max O ω max ω


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析(b) ω > 2ωsmax|E * (jω)|1T−3ωs2ωω3 s s22-ω ωs s -ω max O ω max sωω−2


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析(c) ω < 2ωs max|E * (jω)|-ω max O ω maxω


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析如 果 对 一 个 具 有 有 限 频 谱 的 连 续 信 号 进 行 采样 , 当 采 样 频 率 满 足ω ≥ 2ωs max时 , 则 由 采 样 得 到 的 离 散 信 号 能 无 失 真 地 恢复 到 原 来 的 连 续 信 号 , 这 就 是 采 样 定 理 , 也称 为 香 农 (Shannon) 定 理 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析物 理 意 义 : 如 果 选 择 这 样 一 个 采 样 角 频 率ω ≥ 2ωs max, 使 得 对 连 续 信 号 中 所 含 的 最 高频 率 信 号 来 说 , 能 做 到 在 其 一 个 周 期 内 采样 两 次 以 上 , 则 在 经 采 样 所 获 得 的 离 散 信号 中 将 包 含 连 续 信 号 的 全 部 信 息 。 反 之 ,如 果 采 样 次 数 太 少 , 就 做 不 到 无 失 真 地 再现 原 连 续 信 号 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析三 、 采 样 周 期 的 选 择• 采 样 周 期 选 得 越 小 , 即 采 样 角 频 率 越 高 ,对 控 制 过 程 的 信 息 获 得 的 便 越 多 , 控 制 效果 也 会 也 好 ;• 采 样 周 期 选 得 过 小 , 将 增 加 不 必 要 的 数 据处 理 负 担 ;• 一 般 的 工 业 过 程 控 制 , 采 样 周 期 在 1~20 s范 围 内 选 择 ;


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析• 对 于 伺 服 控 制 系 统 , 采 样 角 频 率 可 选 为 闭环 系 统 的 频 带 宽 度 ω b 或 开 环 系 统 的 穿 越 频率 ω c的 10 倍 , 即ω = 10 ω , 或 10ωTss b cπ π= =5ω5ωcb• 从 时 域 性 能 指 标 来 看 :Ts=110tr或Ts=140ts


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析四 、 信 号 的 再 现 和 保 持 器把 采 样 信 号 转 变 为 连 续 信 号 的 过 程 , 称 为信 号 再 现 。用 于 转 换 过 程 的 装 置 , 称 为 保 持 器 。从 数 学 意 义 上 说 , 保 持 器 的 功 能 是 解 决 各 采样 点 之 间 的 插 值 问 题 。实 际 上 , 保 持 器 是 具 有 外 推 功 能 的 元 件 。具 有 常 值 外 推 功 能 的 保 持 器 , 称 为 零 阶 保 持器 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析零 阶 保 持 器 的 作 用 是 使 采 样 信 号 e * (t) 每一 采 样 瞬 时 的 值 e(kT) 一 直 保 持 到 下 一 个 采( )样 瞬 时 e[(k+1)T], 从 而 使 采 样 信 号 变 成 阶 梯信 号 e h (t)。由 于 处 在 每 个 采 样 区 间 内 的 信 号 值 为 常数 , 其 导 数 为 零 , 故 称 为 零 阶 保 持 器 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析e * (t)零 阶 保 持 器e h (t)e * (t) e h (t) e h (t)e(t)e(t-T/2)e h (t)5TO T 2T 3T 4TtO T 2T 3T 4T5TtO T 2T 3T 4T5T(a) (b) (c)t


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析保 持 器 的 传 递 函 数 和 频 率 特 性 :零 阶 保 持 器 输 入 单 位 脉 冲 时 , 其 输 出 为一 个 高 度 为 1、 宽 度 为 T 的 矩 形 波 g h (t), 称为 脉 冲 过 渡 函 数 。由 于 g = − −h() t 1() t 1( t T)其 拉 氏 变 换1 1 −Ts1−eG h( s ) = L[ g h( t)] = − e =s s s−Ts


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析g h (t)g h (t)1 1tO O TTt-1 -1用 jω 代 替 s , 得 到 频 率 特 性GhjωT jωT jωT−−− jωT2 2 21−e e (e −e ) sin( ωT/2)(j ω) = = = Tej ω j ω ωTωT/2jωT−2


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析因 为T =2πωGs, 所 以πω2π sin(π ω / ωjs)−ωsh(j ω) =eωsπ ω /ωs零 阶 保 持 器 的频 率 特 性 :TO-π|G h (jω)|ωω s 2ω s 3ω s ∠ G h (jω)


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析信 号 的 采 样 与 保 持 过 程


自 动 控 制 原 理7.3 Z 变 换 与 Z 反 变 换一 、Z Z 变 换采 样 信 号 的 数 学 表 达 式第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析∞*e t = ∑ e kT δ t−kTk=0() ( ) ( )进 行 拉 氏 变 换∞* *E ( s ) L[ e ( t )] e ( kT )e= =∑k=0−kTs引 入 一 个 新 的 复 变 量e Tsz = z 是 用 复 数 z平 面 来 定 义 的1 s = ln z 一 个 新 变 量T


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析Z 变 换 的 定 义 式∞Ez( ) = ∑e( kTz)k=0*记 作 Ez ( ) = Z[ e ( t)]也 可 以 写 为 Ez( ) = Z[ et( )]将 定 义 式 展 开−kE ( z ) = e (0) z + e ( T ) z +e (2 T ) z0 −1 −2k+ ⋅⋅⋅+ ekTz ( )− +⋅⋅⋅一 般 项 的 物 理 意 义 :e(kT) 表 征 采 样 脉 冲 的 幅值 ,z 的 幂 级 数 表 征 采 样 脉 冲 出 现 的 时 刻 。


自 动 控 制 原 理二 、 典 型 信 号 的 z 变 换1. 单 位 脉 冲 函 数 :设 e(t) ( ) = δ(t), ( ) 所 以 有第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析∞−k0( ) ( ) 1 1Ez = ∑ ekTz = z =k=002. 单 位 阶 跃 信 号 :设 e(t) = 1(t), 则∞−k−1 −2 −3= ∑ = + + + +k=0Ez ( ) = ∑ekTz ( ) = 1+ z + z + z +⋅⋅⋅1zE ( z) = = , (| z| > 1)−11−zz−1


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析3. 单 位 理 想 脉 冲 序 列 :设∞∑k=0e () t = δT() t = ∑δ( t−kT), 则∞− k−1 −2 −3= ∑δT= + + + +⋅⋅⋅k=0Ez ( ) ( kT) z 1 z z z阶 跃 信 号 采 样 后1=与 单 位 理 想 脉 冲−11 − z串 是 一 样 的 , 而 Zz变 换 是 对 采 样 点= , (| z| >1)上 的 信 息 有 效 ,z − 1只 要 e * (t) 相 同 ,E(z) ) 就 相 同 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析4. 单 位 斜 坡 信 号 :设 e(t) =t t, 则Ez( )∞∑z−k∞= ∑kTzz=z −k=0k=0 1上 式 两 边 对 z 求 导 数 , 并 将 和 式 与 导 数 交换 , 得 ∞−1 1∑−k−( − k)z =2k=0( z − 1)两 边 同 乘 (-Tz), 得 单 位 斜 坡 信 号 的 Z 变 换∞Tz∑−kkT z = , (| z| >1)2( z − 1)k=0−k


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析5. 指 数 函 数 :设 e(t) = e -at (a 为 实 常 数 ) , 则∞−akT −k −aT −1 −2aT −2 −3aT−3= ∑ = + + + +⋅⋅⋅k=0Ez ( ) e z 1 e z e z e zEz ( )1z= =aT 11−e z z−e− − − aT


自 动 控 制 原 理6. 正 弦 信 号 :第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析设 e(t) ( ) = sinω t, 因 为1 jωT− jωTsin ω t=(e −e )2j所 以1∞jωkT −jωkT −k( ) = ∑ (e − e )zk=02jE z1⎡= −2j⎢⎣∞∞∑jωkT −k j kT k(e z ) ∑− ω −(e z)k= 0 k=0⎤⎥⎦


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析E( z)1⎡zz=j T2j⎢−ω⎣ z−e z−e− jωTjωT− jωT1 ⎡ z(e − e ) ⎤= ⎢ 2 jωT− jωT⎥2j ⎣z − z(e + e ) +1⎦zsinωT= z 2− 2zcosωT+ 1⎤⎥⎦


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析17. 设 Es ( ) =ss ( + 1), 求 e * (t) 的 Z 变 换 。将 E(s) 进 行 部 分 分 式 展 开1 1 1E( s)= = −s( s+ 1) s s+1再 求 其 拉 氏 反 变 换−1 ⎡1 1⎤et () = L⎢ − = 1() t −es s+1⎥⎣ ⎦−T−t1 1 z(1−e )Ez ( ) = Z [1( t) − e ] = − =−T−Tz − 1 z−e ( z− 1)( z−e)−t


自 动 控 制 原 理三 、Z 变 换 的 基 本 定 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析1. 线 性 定 理若 已 知 e 1 (t) 和 e 2 (t) 的 Z 变 换 分 别 为 E 1 (z)和 E 2 (z), 且 a 1 和 a 2 为 常 数 。 则 有[ ae () t ± ae()] t = aE() z ± aE ()zZ 1 1 2 2 1 1 2 2证 明 : 由 Z 变 换 的 定 义∞Z[ ae( t) ± ae( t)] = ∑[ ae( kT) ± ae( kT)]z −1 1 2 2 1 1 2 2k=0∞∞−= ∑k1 1± ∑ 2 2k= 0 k=0a e ( kT) z a e ( kT)z= aE( z) ± aE( z)1 1 2 2k−k


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析2. 实 数 位 移 定 理若 e(t) 的 Z 变 换 为 E(z), 则 有ZZ−n[( et− nT)] = z Ez ()n−11nk[( et+ nT)] = z[ Ez () −∑ ekTz ( ) − ]k=0实 数 位 移 定 理 表 明 : 函 数 在 时 域 内 延 迟 n 个 采 样周 期 时 , 反 映 在 Z 域 内 , 它 的 Z 变 换 函 数 乘 以 z -n ;函 数 在 时 域 内 超 前 n 个 采 样 周 期 , 只 要 满 足0≤k≤(n-1) 时 ,e(kT)=0, 0 则 在 Z 域 内 , 它 表 现 为Z 变 换 函 数 乘 上 z n , 否 则 必 须 将 从 k=0 到 k=n-1 的 初始 值 减 去 后 , 再 乘 上 z n 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析证 明 :∞(1)Z[( et− nT )] = ∑ e ( kT −nT ) z −k=0∞= ∑ −k=0∞k−−z e[( k n) T]z z= ∑ −n k zz e[( k n) T]z−n −( k−n)k=0∞−n∑−jz e (j T ) z ( j k n)j=−n= ∑= −


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析由 于 j


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析Zn−1−n[( ekT+ T)] = z ∑ ekT ( + Tz )∞k=0= z ∑e [( k +1) T ]zk=0−k− ( k+1)∞∑[ ( ) j] ( 1)j=1= z ∑ e jT z j = k+∞− j 0[ ( ) (0) ]j=0= z∑e jT z −e z= zE( z) −ze(0)


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析同 理 , 当 n = 2 时 , 有Z∞2 ( k 2)[( ekT+ 2 T)] = z∑e[( k+2) Tz ]− +以 此 类 推 有Zk=0∞2 − j0 −1= z [ ∑ e( jT) z −e(0) z −e( T) z ]j=12 0 −1= z [ E( z) −e(0) z −e( T) z ]n−1∑k=0n−k[( et+ nT)] = z[ Ez () −∑ ekTz ( ) ]


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析例 试 用 实 数 位 移 定 理 , 计 算 延 迟 一 个 采 样周 期 的 指 数 函 数 e -(t-T) 的 Z 变 换 。解 : 根 据 实 数 位 移 定 理Z从 Z 变 换 表 中 查 得式 得Z( ) 1[e − a t − TaT] = z− Z[e − ]Z−atz[e ] =z − e−aT, 代 入 上−a( t−T) −1 z 1= z =−aT−aT[e ]z−ez−e


自 动 控 制 原 理3. 复 数 位 移 定 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析若 已 知 e(t) 的 Z 变 换 为 E(z), 则 有Z± aTmaT[()e et ] = Ez (e )式 中 a 为 常 数 。复 数 位 移 定 理 是 仿 照 拉 氏 变 换 的 复 数 位 移定 理 导 出 的 , 其 含 义 是 函 数 e * (t) 乘 以 指 数序 列 e ±akT 的 Z 变 换 , 就 等 于 在 e * (t) 的 Z 变 换表 达 式 E(z) 中 , 以 ze ±akT 取 代 原 算 子 z。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析证 明 : 根 据 Z 变 换 定 义Z∞∞± aT ± akT − k aT − k[()e et ] = ∑ekT ( )e z = ∑mekT ( )(e z )k= 0 k=0令zm=aT1ze, 则∞Z1 1k=0± aT k aT−m[ et ( )e ] = ∑ekT ( )( z ) = Ez ( ) =Ez( e )


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析例 利 用 复 数 位 移 定 理 计 算 函 数 e at sinω t 的 Z变 换 。解 : 由 Z 变 换 表 查 得 sinω t 的 Z 变 换 为zsinωTZ [sin ωt]=2z − 2zcosωT+ 1由 复 数 定 理 , 得aT−aTzesinωTZ [e sin ωt]=2 2aTaTz e − 2ze cosωT+ 1=-at−aTzesinωT−aTz − 2e z cosωT+ e2 −2aT


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析4. Z 域 微 分 定 理若 e(t) ( ) 的 Z 变 换 为 E(z), ( ) 则dZ [ te( t)] =−Tz E( z)dzz∞证 明 : 由 于−kEz( ) = ∑ekTz( )∑k=0将 上 式 两 边 对 z 求 导 数 , 得∞d dE( z) = ∑ e( kT)zdzdz k=0变 换 导 数 与 和 式 的 次 序−k


自 动 控 制 原 理ddz所 以第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析∞∞d −kEz ( ) = ∑ekT ( ) z = ∑ekT ( )( −kz)dzk= 0 k=0−1∞z= − ∑[( kT ) e ( kT)]zT= −zT−1k=0Ztet [ ( )]dZ[ te ( t )] = −Tz E ( z)dz−k−k−1


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析例 利 用 Z 域 微 分 定 理 求 单 位 斜 坡 函 数 t×1(t)的 Z 变 换 。证 明 : 只 要 对 阶 跃 函 数 的 Z 变 换 求 导 数 再乘 上 -Tz, T即dzZ[ t× 1( t )] =−Tz( )dz z−1−1Tz=− Tz =( z −1) ( z −1)2 2


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析5. Z 域 尺 度 定 理若 已 知 e(t) 的 Z 变 换 为 E(z) )k z则Z[ aet ( )] =E ( ),a为 常 数a证 明 : 因 为Z∞k k − k[ aet( )] = ∑aekTz( )k=0∞z −kz= ∑ ekT ( )( ) = E( )a ak=0


自 动 控 制 原 理例 试 求 β k cosω t 的 Z 变 换 。解 : 由 Z 变 换 表ZZ[cos ωt]=k[ βcos ωt]=第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析zz( −cos ωT)2z − 2zcosωT+ 1z z( − cos ωT)β βz 2 z( ) − 2 cosωT+ 1ββ−11−βzcosωT=−1 2 −21− 2β z cosωT + β z


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析6. 初 值 定 理若 已 知 e(t) 的 Z 变 换 为 E(z), 并 有lim Ez( )z→∞存 在 , 则*lim[ e ( t )] =lim E ( z)t→0z→∞证 明 : 因 为Ez( ) =∑ekTz( )所 以∞k=0−1 −2= e (0) + e ( T ) z + e (2 T )z +⋅⋅⋅*lim E( z) = e(0) = lim e ( t)z→∞t→0−k


自 动 控 制 原 理7. 终 值 定 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析若 e(t) 的 Z 变 换 为 E(z), 且 E(z) 在 Z 平 面 的 单位 圆 上 除 1 之 外 没 有 极 点 , 在 单 位 圆 外 解析 , 则*lim e ( t ) = lim( z−1) E ( z)t→∞z→1证 明 : 由 实 数 位 移 定 理Z{[( e k+ 1) T] − e( kT)}= zE( z) −ze(0) − Ez ( )= ( z− 1) E ( z ) −ze(0)


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析( z − 1) Ez ( ) = ze(0) + Ze { [( k+ 1) T] −ekT( )}两 边 取 极 限 , 并 由 Z 变 换 定 义 有−klim( z− 1) E ( z ) = lim{ ze (0) + ∑[ e (( K +1) T ) −e ( kT )] z}z→1 z→1所 以∞k=0= e(0) + [ e ( T ) − e(0)] + [ e(2 T ) −e ( T)]+ [ e(3 T) − e(2 T)] +⋅⋅⋅+ [ e( ∞) −e( ∞−1)]= e( ( ∞)*lim( z − 1) Ez ( ) = e( ∞ ) = lim e( t)z→1t→∞


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析四 、Z 反 变 换从 z 域 函 数 E(z), 求 时 域 函 数 e * (t), 称 作Z 反 变 换 。记 作 −1 *Z [ E( z)] = e ( t) = ∑ e( kT) δ ( t−kT)1. 部 分 分 式 展 开 法∞k=0部 分 分 式 展 开 法 是 将 E(z) ) 展 成 若 干 个 分 式 和的 形 式 , 而 每 一 个 分 式 可 通 过 表 4-1 查 出 所对 应 的 时 间 函 数 e(t), 并 将 其 转 变 为 采 样 函数 e * (t)。


自 动 控 制 原 理例 已 知 Z 变 换 函 数10zzE( z)=( z−1)( z−2)试 求 其 Z 反 变 换 。第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析解 : 首 先 将 E(z)/z 展 开 成 部 分 分 式所 以E ( z) 10 −10 10= = +z ( z− 1)( z−2) z−1 z−2z zE ( z ) = − 10 + 10z −1 z −2


自 动 控 制 原 理查 表 7-1 有所 以ZZ第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析⎡ z⎤ −⎡ z⎤⎢ 1, 2z 1⎥ = Z =−⎢z−2⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦−1 1−1∞[ E( z)] = 10 ∑ ( − 1+ 2 k ) δ ( t−kT)k=0e * ( t) = 0+ 10 δ( t− T) + 30 δ( t−2 T)+ 70 δ ( t− 3 T)+⋅⋅⋅k


自 动 控 制 原 理2. 幂 级 数 法 ( 综 合 除 法 )通 常 E(z) ( ) 是 z 的 多 项 式 , 即第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析m m−1bz0+ bz1+⋅⋅⋅+ bmnn−1az0+ az1+⋅⋅⋅+ a nE ( z ) = ( n≥m)用 分 母 除 分 子 并 将 商 按 z-1 的 升 幂 排 列Ez ( ) = c+ cz + cz +⋅⋅⋅+ cz +⋅⋅⋅−1 −2−k0 1 2k∞= ∑k=0czk−k这 是 Z 变 换 的 定 义 式 形 式 , 其 系 数 c k (k=0,1,2,…)就 是 e(t) 在 采 样 时 刻 t = kT 时 刻 的 值 e(kT)。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析10z( z−1)( z−2)例 已 知 Ez ( ) = 试 用 综 合 除 法 求 其Z 反 变 换 。−1解 :10 z 10zE ( z) = =−( z −1)( z−2) 1− 3z + 2z应 用 综 合 除 法−1 −2− z+z)1 3 2 10z10z + 30z + 70z−1 −2 −3−11 −2−1 −2 −310z − 30z + 20z−2 −330 z −20z−2 −3 −430z − 90z + 60z−3 −470z− 60z70z − 210z +140z⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅− 3 − 4 −5


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析所 以Ez ( ) 10z 30z 70z− 1 − 2 − 3= + + +⋅⋅⋅e * ( t) = 0+ 10 δ( t− T) + 30 δ( t− 2 T) + 70 δ( t− 3 T)+⋅⋅⋅3. 反 演 积 分 法 ( 留 数 法 )已 知 e(t) 的 Z 变 换 为 E(z) , 则 可 以 证 明 ,e(t) 在 t =kT 时 刻 的 采 样 函 数 可 由 下 面 的 反 演积 分 计 算 :1k−1ekT ( ) = ∫ Ezz ( ) dz2πjΓ


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析k 1其 中 表 示 包 围 E(z)z k-1 全 部 极 点 的 封 闭 曲 线 ,根 据 复 变 函 数 的 柯 西 定 理 , 上 式 可 以 写 为1ekT Ezz z Ezzmk−1 k−1( ) = ∫( ) d =∑Res[ ( ) ]2πj Γi=1z=zi即ekT ( ) =⎧ 1 d( z−zi ) E ( zz)mri−1rik−1⎨⎡⎤z z z zr 1i 1 ( ri 1)!dz i − ⎣⎦⎬= ⎩ −⎭z=zi∑式 中 ,m m ⎯ E(z) 中 彼 此 不 相 同 的 极 点 个 数 ;z i ⎯ E(z) 的 极 点 ,i =1,2,…,m;r i ⎯ 重 极 点 z i的 的 个 数 。⎫


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析由 e(kT) 可 写 出 对 应 的 原 函 数 脉 冲 序 列 , 即∞∑k=0e * () t = ∑e( kT ) δ( t − kT)


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析10z例 已 知 Ez ( ) = , 试 用 反 演 积 分 法( z−1)( z−2)10* 求 e (t)。mk 1( ) = ∑Res[ Ezz( ) −]i=1z=z ik−110zz10解 :ekTkk 1 10zz 10zEzz ( )− = =( z− 1)( z−2) ( z−1)( z−2)所 以kk10 z10zkekT ( ) = + = ( − 1+ 2 ) × 10z−1 z−2z= 2 z=1e * ( t) = 10 δ( t− T) + 30 δ( t− 2 T) + 70 δ( t− 3 T)+⋅⋅⋅


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析7.4 脉 冲 传 递 函 数一 、 脉 冲 传 递 函 数 的 定 义G(z)r(t) Tr * (t)R(z)G(s)c(t)Tc * (t)C(z)开 环 采 样 控 制 系 统 如 图 所 示 , 如 果 输入 信 号 为 r(t), 采 样 后 信 号 r * (t) 的 Z 变 换 为R(z), 连 续 部 分 输 出 为 c(t), 采 样 后 c * (t) 的 Z变 换 为 C(z)


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析若 初 始 条 件 为 零 , 则 脉 冲 传 递 函 数 定 义 为输 出 采 样 信 号 的 Z 变 换 与 输 入 采 样 信 号 的 Z变 换 之 比 , 用 G(z) 表 示( )GzC( z)= Rz( )零 初 始 条 件 : 指 在 t


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析如 果 已 知 系 统 的 脉 冲 传 递 函 数 G(z) 及 输 入 信 号的 Z 变 换 R(z) , 那 么 就 可 得 到 输 出 采 样 信 号 的Z 变 换 式Cz=GzRz( ) ( ) ( )作 Z 反 变 换 得* −1 −1c ( t) = Z⎡⎣ C( z) ⎤⎦=Z⎡⎣ G ( z ) R ( z)⎤⎦求 解 输 出 采 样 信 号 c * (t) 的 关 键 在 于 怎 样 求 出 系 统的 脉 冲 传 递 函 数 G(z) 。 但 是 对 于 大 多 数 实 际 系统 来 说 , 其 输 出 往 往 是 连 续 信 号 c(t) 而 不 是 采 样信 号 c * (t) , 在 这 种 情 况 下 , 可 以 在 输 出 端 虚 设一 个 采 样 开 关 , 它 与 输 入 端 采 样 开 关 一 样 以 相同 的 周 期 同 步 工 作 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析二 、 开 环 系 统 ( 或 环 节 ) 的 脉 冲 传 递 函 数1. 脉 冲 响 应 函 数 (Impulse-response function)系 统 在 单 位 理 想 脉 冲 输 入 [r(t)=δ(t)] 作 用 下的 响 应 , 称 为 单 位 脉 冲 响 应 , 也 称 脉 冲 过渡 函 数 。δ(t)Og(t)t


自 动 控 制 原 理若Gs () =C( () sRs ()第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析则 Cs () = GsRs () ()如 果 Rs () = L [ δ()]t 或 rt () =δ()t又 L [ δ ( t)] = 1所 以 Cs () = Gs ()由 上 式 给 出 的 拉 氏 反 变 换 就 称 为 脉 冲 响 应函 数 , 即−1ct () = g() t =L [ G()]s也 称 为 系 统 的加 权 函 数


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析当 初 始 条 件 为 零 时 , 脉 冲 响 应 函 数 g(t) 就 是单 位 脉 冲 输 入 时 线 性 系 统 的 响 应 。因 此 , 传 递 函 数 与 线 性 时 不 变 系 统 的 脉 冲 响应 函 数 包 含 着 相 同 的 系 统 动 态 信 息 。 以 单 位脉 冲 作 用 于 系 统 , 根 据 测 定 系 统 的 脉 冲 响 应函 数 , 就 可 以 求 得 被 测 系 统 的 传 递 函 数 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析2. 脉 冲 传 递 函 数 的 推 导r(t)δ(t-a)如 果 在 G(s) ) 上 输 入 的 是δ(t-a), 即 单 位 脉 冲 延 迟 到t=a 时 刻 才 加 上 , 那 么 输出 信 号 也 相 应 地 延 迟 一Oat段 时 间 a, 而 成 为 g(t-a)。 c(t)现 在 研 究 一 系 列 脉 冲 依次 加 到 G(s) 上 的 情 况 :脉 冲 序 列 可 表 示 为Og(t-a)atr * ( t) = r(0) δ( t) + r( T) δ( t− T) + r(2 T) δ( t− 2 T)+⋅⋅⋅


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析首 先 计 算 各 段 时 间 内 的 输 出 c(t):0≤t


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析以 此 类 推 可 得 出 在 各 个 采 样 时 刻 的 输 出 c(kT)(k=0,1,2,…)于 是 c(t) 的 Z 变 换 为∞=∑Cz() =ckTz( )k=0−k0 −1 −2= c (0) z + c ( T ) z + c (2 T )z+⋅⋅⋅= g(0) r(0) + [ g( T) r(0) + g(0) r( T)]z −−2+ [ g(2 T) r(0) + gT ( ) r( T) + g(0) r(2 T)]z +⋅⋅⋅⋅⋅⋅= + + +⋅⋅⋅−1 −2[ g (0) + g ( T ) z + g (2 T ) z +] r(0)+ + + +⋅⋅⋅1 2 3[ g(0) z − g( T) z − g(2 T) z − ] r( T)+ +2[ g(0) z −−3 −4g( T)z g T z r T+ (2 ) +⋅⋅⋅ ] (2 ) +⋅⋅⋅⋅⋅⋅1


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析−1 −= [ g(0) + gT ( ) z + g (2 T ) z 2 +⋅⋅⋅] r(0)+ [ g(0) + gTz ( ) + g(2 Tz ) +⋅⋅⋅] rTz ( )−1 −2 −1−1 −2 −2+ [ g(0) + gTz ( ) + g(2 Tz ) +⋅⋅⋅ ] r(2 Tz ) +⋅⋅⋅= + + +⋅⋅⋅ + + +⋅⋅⋅− 1 − 2 − 1 −2[ g (0) gT ( ) z g (2 T ) z ][ r (0) r ( T ) z r (2 T ) z]∞∞=∑=∑−kgkTz( ) rkTz( )k= 0 k=0=GzRz() ()−k所 以 Cz ()注 意 :Gz() = =∑gkTz( )R() z k=0∞Gz gt Gs Gz Gs1( ) = Z [ ( )] = Z [ L− ( )], ( ) ≠ ( ) s = z−k


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析r(t)GG(z)T r * (t) c(t) C(z) ( )R(z)G(s)T若 输 入 采 样 函 数 为 理 想 脉 冲 序 列∞*r t = ∑rkT t −kTk=0( ) ( kT) δ( kT)


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析因 为 在 单 位 理 想 脉 冲 作 用 下 , 连 续 部 分 G(s) ) 的 输出 为 脉 冲 响 应 函 数 g(t) , 根 据 叠 加 原 理 , 在 理 想脉 冲 序 列 r * (t) 的 作 用 下 , 连 续 部 分 的 输 出 为( ) = ( 0 ) ( ) + ( ) ( − ) + ( 2 ) ( −2)ct r gt rTgt T r Tgt T( ) ( nT)+ L+ rnTgt− + L分 别 令 t=0,T,2T,…,kT,…, 从 而 可 以 得 到 各 个 采样 时 刻 的 输 出 响 应 值 c(kT)(k=0,1,2,…), 0 1 2 ) 于 是 c(t)的 Z 变 换 为∞( ) ( )C z=∑c kT z−kk=0= c z + c T z + c T z +k+ c kT z+( )0( )1( )20 2 L ( )L


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析将 输 出 响 应 值 c(kT)(k=0,1,2,…) 代 入 上 式 并 整理 得 到 ∞ ∞ ∞−k −k −kc kT z = g kT z r kT z( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑k= 0 k= 0 k=0由 Z 变 换 的 定 义 式 得( ) = GzRz( ) ( )Cz所 以( )Gz( )( )C z∞∑gkTzRz k=0= =∑( )−k


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析因 此 , 开 环 系 统 ( 或 环 节 ) 的 脉 冲 传 递 函 数G(z) 就 是 连 续 部 分 的 脉 冲 响 应 函 数 g(t) 经 采样 后 的 Z 变 换 。连 续 系 统 的 脉 冲 响 应 函 数 可 由 s 域 的 传 递 函数 求 得 , 即( )1L G ( s)g t= −1 ⎡⎣ ⎤⎦


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析因 此 , 开 环 系 统 ( 或 环 节 ) 的 脉 冲 传 递 函 数G(z) 可 以 这 样 来 求 :第 一 步 : 由 已 知 系 统 的 传 递 函 数 G(s), 用 拉氏 反 变 换 求 出 其 脉 冲 响 应 函 数 g(t) , 即( )1L G ( s)g t= −⎡ ⎣⎦⎤第 二 步 : 对 g(t) 采 样 后 得 到 g * (t) 。第 三 步 : 对 g * (t) 进 行 Z 变 换 , 从 而 得 到 G(z)。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析例 系 统 结 构 如 图 所 示 , 其 中 连 续 部 分 的 传递 函 数G(z)r(t) T r * (t) c(t) C(z)G(s) ( )R(z)T( )Gs=10s s( + 10)试 求 开 环 系 统 的 脉 冲 传 递 函 数 G(z)。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析解 : 首 先 应 用 拉 氏 反 变 换 , 求 脉 冲 响 应 函 数10− 1 −= L ⎡Gs⎡ ⎤⎣ ⎤⎦= L1 ⎢ ⎥⎣s ( s + 10)⎦( ) ( )gt1 1 1− ⎡ ⎤ 10= L⎢ − = 1−e− ts s + 10⎥⎣ ⎦∞* −10( ) 1( ) e kt −g t = ∑⎡⎣ kT − ⎦⎤ zkk=0则 开 环 系 统 的 脉 冲 传 递 函 数 为


自 动 控 制 原 理也 可 由直 接 查 表 7-1 得∞第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析∞− k − kT − k( )101 eGz= ∑ z −∑z( )Gzk= 0 k=0z= −z −z 1−ez−101 z −e T−10T( )= ( )( ) −10z −1 z −e T)( )Gs= 1 1s− s + 10(−1 e 10 Tz − )( )(− Te )z z= − =−z−1 z−eTz−1z−10 10


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析三 、 串 联 环 节 的 脉 冲 传 递 函 数在 连 续 系 统 中 , 串 联 环 节 的 传 递 函 数 等于 各 环 节 传 递 函 数 之 积 。 而 采 样 系 统 中 , 串联 环 节 的 脉 冲 传 递 函 数 要 视 环 节 之 间 有 无 采样 开 关 来 确 定 。1. 串 联 环 节 之 间 有 采 样 开 关根 据 脉 冲 传 递 函 数 的 定 义 ,于 是 有( ) = ( ) ( ),( ) =( ) ( )D z G z R z C z G z D z1 2( ) =( ) ( ) ( )Cz G zG zRz2 1


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析Tc * (t)*r(t) T r * (t) d(t)G 1 (s)T(a)*d * (t)G 2 (s)Tc(t) ( )c * (t)r(t)Tr * (t)G 1 (s)(b)G 2 (s)c(t)环 节 串 联 的 开 环 系 统


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析因 此 , 开 环 系 统 的 脉 冲 传 递 函 数( )( )C zGz ( ) = = G ( ) ( )1zG2zRz上 式 表 明 : 由 理 想 采 样 开 关 隔 开 的 两 个 线 性连 续 环 节 串 联 时 的 脉 冲 传 递 函 数 , 等 于 这 两个 环 节 各 自 的 脉 冲 传 递 函 数 之 积 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析2. 串 联 环 节 之 间 无 采 样 开 关系 统 连 续 信 号 的 拉 氏 变 换 为( ) *= ( ) ( ) ( )Cs G sG sR s2 1于 是 有若 定 义C z ⎡G s G s ⎤R z( ) Z ( ) ( ) ( )= ⎣ 1 2 ⎦( ) ( ) =( )G s G s GG s1 2 1 2⎡⎣⎤=⎦ZG ( s ) G ( s ) GG ( z)1 2 1 2


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析则 开 环 系 统 的 脉 冲 传 递 函 数( )( )C zG ( z) = = GG 1 2zRz( z)由 此 可 知 : 两 个 串 联 环 节 之 间 无 采 样 开 关 隔开 时 的 脉 冲 传 递 函 数 , 等 于 两 个 环 节 传 递 函数 乘 积 后 的 Z 变 换 。由 上 面 分 析 看 出 , 显 然( z ) ( z ) ≠GG ( z)G z G z1 2 1 2


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析四 、 有 零 阶 保 持 器 的 开 环 系 统 脉 冲 传 递 函 数T c * (t)r(t) Tr * (t)1−e−TsG p (s)sc(t)(a)Tc * (t)r(t) T*r * (t)−TsGs () = 1−e 1Gp() sG2() s =sc(t)(b)有 零 阶 保 持 器 的 开 环 系 统


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析零 阶 保 持 器 的 传 递 函 数 为Gh( s)1−e=s可 以 将 c * (t) 分 解 为 两 个 分 量 : 一 个 分 量 是 输入 采 样 信 号 r * (t) 经 过 G 2 (s) 后 所 产 生 的 响 应 ,采 样 后 信 号 c 1* (t) 的 Z 变 换 为−Ts⎡G( )( ) ( ) ( )ps ⎤C1 z= G2zRz= Z ⎢ ⎥Rz⎢ ⎣ s⎥ ⎦( )


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析另 一 个 分 量 是 输 入 采 样 信 号 r * (t) 经 过 e -Ts G 2 (s)所 产 生 的 响 应 , 采 样 后 信 号 c * -Ts 2 (t) , 由 于 e 是一 个 延 迟 环 节 , 延 迟 了 一 个 采 样 周 期 , 根 据 Z变 换 的 实 数 位 移 定 理 ,c*2* (t) 的 Z 变 换 为所 以( )−1=( ) ( )C z z G z R z2 2( ) −1= ( ) − ( ) = ( ) ( ) −( ) ( )C z C z C z G z R z z G z R z1 2 2 2z −1z(−11 z ) G ( ) ( ) ( ) ( )2z R z G2z R z= − =


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析有 零 阶 保 持 器 的 开 环 系 统 脉 冲 传 递 函 数 为C( z)z−1 z−1 ⎡G ( )ps ⎤G( z)= = G ( ) = Z( )2z ⎢ ⎥Rz z z ⎢⎣s⎥⎦


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析在 控 制 系 统 中 , 常 见 的 情 况 为 G p (s) 是 s 的 有 理分 式 , 无 重 极 点 , 且 含 有 一 个 s=0 的 极 点 , 即那 么G( s)p( s)=( )( )N ssD sG s N sG s = =( ) ( )ps sDs ( )2 2


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析将 G 2 (s) 展 开 成 部 分 分 式 有式 中Gnc c ck= + + ∑s s s−s( )1 2s2 2k=3( )( 0)( ) k, ,( ) ( )k( )dN s N N sc1= c2 = c =2 'ds Ds D0sD ss=0 k k由 变 换 表 7-1 查 出 式 中 各 项 相 应 的 Z 变 换 , 代 入得ncz1cTz2czkZ ⎡⎣G( s)⎤= + +2 ⎦ ∑2skTz −1 z −1k=3 z −e( )k


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析得 到 开 环 系 统 的 脉 冲 传 递 函 数nz −1⎡cz cTz cz= ⎢ + + ∑kz z 1 z −e⎣( )1 2⎢ + +( ) ⎢ − z −12 k=3Gzs Tk⎤⎥⎥⎦它 是 z 的 有 理 分 式 , 其 极 点 仍 等 于 连 续 部 分传 递 函 数 G p (s) 的 极 点 数 , 并 一 一 对 应 。 就是 说 , G(z) 的 极 点 数 及 其 分 布 只 取 决 于G p (s) 而 与 零 阶 保 持 器 无 关 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析例 具 有 零 阶 保 持 器 的 开 环 采 样 系 统 结 构 图如 图 所 示 , 其 中10G ( ) ps =ss+10+( )Tc * (t)r(t) Tr * (t)1−e −TssG p (s)c(t)试 求 开 环 系 统 的 脉 冲 传 递 函 数 G(z) 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析解 : 由 公 式 求 得c = − 0.1, c = 1, c = 0.11 2 3所 以( )G ps −0.1 1 0.1= + +2s s s s + 10查 变 换 表 7-1, 进 行 Z 变 换Z⎡ ( ) ⎤ −Gps 0.1z Tz 0.1z⎢ ⎥ = + +⎢⎣s ⎥⎦z−1 z−e2 10T( ) 2 −z −110


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析( )Gzz −1 ⎡−0.1z Tz 0.1z= ⎢ + +−z −1 −−e⎢ z ( z 1)z⎣=( ) 2 10( 10 T0.1 0.1e 0.1 e 10 T0.1e10 TT− + − ) z+ ( −T− −−)( )(−10z−1 z−eT)T⎤⎥⎥⎦


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析五 、 连 续 信 号 进 入 连 续 环 节 时 的 情 况开 环 采 样 系 统 结 构 图 如 图 所 示 , 输 入 信号 未 经 采 样 开 关 直 接 进 入 G 1 (s) 。Tc * (t)r(t)G 1 (s)e(t)Te * (t)G 2 (s)连 续 环 节 G 1 (s) 的 输 入 为 连 续 量 r(t) , 输 出也 是 连 续 量 e(t) , 即E s =G s R s( ) ( ) ( )1


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析对 上 式 进 行 采 样 ,进 行 Z 变 换 , 有( ) ( ) ( ) ⎡ ⎤**E s G1s R s= ⎣ ⎦( ) = GR( z)E z1连 续 环 节 G 2 (s) 的 输 入 为 采 样 信 号 e * (t) , 输 出为 连 续 信 号 c(t) , 所 以 有( ) *= ( ) ( )Cs G sE s2


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析对 上 式 采 样 , 且 E * (s) 再 进 行 采 样 仍 为 E * (s) ,所 以 有* * *C s = G s E s进 行 Z 变 换 有最 后 , 得( ) ( ) ( )2( ) =( ) ( )Cz G zEz2( ) =( ) ( )C z G z GR z2 1当 连 续 信 号 直 接 进 入 连 续 环 节 时 , 表 示 不出 C(z)/R(z) 的 形 式 , 只 能 求 得 输 出 的 Z 变 换表 达 式 , 而 求 不 到 脉 冲 传 递 函 数 G(z) 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析六 、 闭 环 系 统 脉 冲 传 递 函 数1 如 图 是 一 种 比 较 常 见 的 采 样 系 统 的 结 构 图 。图 中 虚 线 所 示 的 采 样 开 关 是 为 了 分 析 方 便 而虚 设 的 , 且 它 们 均 以 周 期 同 步 T 工 作 。 闭 环系 统 的 输 入 r(t) 、 输 出 c(t) 均 为 连 续 量 , 闭 环系 统 脉 冲 传 递 函 数 是 输 入 、 输 出 采 样 信 号 的Z 变 换 之 比 。r(t)e(t) T e * (t)_b * (t)TH(s)G(s)Tc * (t)c(t)


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析先 看 图 中 综 合 点 处 的 连 续 误 差 信 号对 上 式 采 样进 行 Z 变 换反 馈 连 续 信 号( ) = ( ) −( )E s R s B s( ) = ( ) −( )E * s R * s B * sE( z) = R( z) −B( z)B s = ⎡ ⎣ G s H s ⎤ ⎦E s( ) ( ) ( )*( )


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析对 上 式 采 样***B s = ⎡ ⎣ G s H s ⎤ ⎦ E s( ) ( ) ( ) ( )进 行 Z 变 换( ) =GHzEz( ) ( )Bz( ) = ( ) −( ) ( )E z R z GH z E z整 理 得( )E z=11+GH z( )( )R z


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析通 常 称 E(z) 为 误 差 信 号 的 Z 变 换 , 故Φe( z)( ) 1( ) 1+GHz( )= EzRz= +称 为 误 差 采 样 信 号 对 输 入 信 号 的 误 差 脉 冲 传 递函 数 。又 因 为 系 统 输 出采 样 后 取 Z 变 换( ) *= ( ) ( )Cs GsE s( ) = GzEz ( ) ( )Cz


自 动 控 制 原 理所 以( )C z第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析= Gz ( )1 +GH ( z)( )R z( )G ( z)( ) 1 GHz ( )Φ C z( z) = Rz= −当 系 统 为 单 位 反 馈 时 , 有 H( s ) = 1则 Φ ( ) ez = 1 +Gz( )1( )( )GzΦ( Φ z) = 1 +Gz


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析可 以 看 出 : 采 样 系 统 的 脉 冲 传 递 函 数 及 误 差脉 冲 传 递 函 数 与 连 续 系 统 有 类 似 的 形 式 。 但要 注 意 , 因 为Gz( )⎡Gs( )⎤≠ Z ⎢ ⎥1+ Gz ( ) ⎣1+Gs ( )所 以⎦Φ( z) ≠Z⎡ ⎣ Φ( s)⎤ ⎦同 样 因 为1 ⎡ 1 ⎤≠ Z⎢⎥1+ G ( z) ⎣1+G ( s) ⎦所 以Φ ( ) ( )ez ≠Z⎡ ⎣ Φes ⎤ ⎦


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析2. 如 图 所 示 , 求 此 系 统 的 闭 环 脉 冲 传 递 函数 C(z)/R(z) 。Tc * (t)r(t)e(t)_TTb * (t)e * (t)G(s)c(t)H(s)T在 综 合 点 处 有( ) = ( ) −( ) (1)E z R z B z


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析Tc * (t)r(t)e(t)_TTb * (t)e * (t)G(s)c(t)H(s)T前 向 和 反 馈 通 道 有( ) =HzCz( ) ( ) (2)Bz( ) =GzEz( ) ( ) (3)Cz


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析Tc * (t)r(t)e(t)_TTb * (t)e * (t)G(s)c(t)H(s)T将 式 (3) 代 入 式 (2) 有( ) = GzHzEz( ) ( ) ( )(4)Bz再 将 式 (4) 代 入 式 (1) 有E( z) = R( z) −G(z) H( z) E( z) (5)


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析所 以 有( )E z误 差 脉 冲 传 递 函 数( z)闭 环 脉 冲 传 递 函 数1= 1 +G G z H z( ) ( )Φe= = Rz +( )R z( ) 1( ) 1+GzHz( ) ( )E zG( ( ) = ( )( ) ( ) = G z1 + G ( z) H ( z)( )C z G z E z R zC zΦ ( z)= Rz= +( ) G( z)( ) 1 GzHz ( ) ( )


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析3. 如 图 又 一 种 形 式 闭 环 系 统 结 构 图 。r(t)e(t) d(t) d * (t)_ G 1 (s) G 2 (s)Tb * (t)H(s)TTc * (t)c(t)对 于 连 续 环 节 G 1 (s), 其 输 入 为 r(t)-b(t), 输出 为 d(t), ( )于 是 有Ds G1s⎡⎣Rs Bs( ) = ( ) ( ) − ( )⎤⎦( ) ( ) G ( s) B( s)= G s R s −1 1


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析Tc * (t)r(t)e(t)_TG 1 (s)b * (t)d(t)Td * (t)G 2 (s)c(t)H(s)对 于 连 续 环 节 G 1 (s)H(s), 其 输 入 为 d * (t),输 出 为 b(t), 于 是 有( ) *= ( ) ( ) ( )B s G s H s D s2( ) *= ( ) ( ) − ( ) ( ) ( ) ( )D s G s R s G s G s H s D s1 1 2


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析Tc * (t)r(t)e(t)_TG 1 (s)b * (t)d(t)Td * (t)G 2 (s)c(t)H(s)对 上 式 采 样 有** **⎡1⎤ ⎡1 2⎤( ) = ( ) ( ) − ( ) ( ) ( ) ( )D s ⎣G sRs⎦ ⎣G sG sHs⎦D s取 Z 变 换( ) = ( ) −( ) ( )Dz GRz GGHzDz1 1 2


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析Tc * (t)r(t) ( ) e(t) ( )_TG 1 (s)b * (t)d(t) ( )Td * (t)G 2 (s)c(t)H(s)所 以 Dz( )因 为采 样 后GR z1=1 +GG 1 2 H( )( )1 GG H z( ) ( ) *=( )Cs G sD s2( ) = ( ) ( )C s G s D s* * *2


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析Tc * (t)r(t)e(t)_TG 1 (s)b * (t)d(t)Td * (t)G 2 (s)c(t)H(s)ZZ 变 换最 后 , 得( ) = G ( zDz) ( )Cz( )C z2( z) GR( z)GG( )G2 1=1+GG H z1 2


自 动 控 制 原 理一 、 稳 定 性第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析7.5 采 样 数 据 控 制 系 统 的 性 能 分 析首 先 分 析 s 平 面 与 z 平 面 的 映 射 关 系 。由 Z 变 换 的 定 义 式 知z = e Ts令 s=σ +jω , 代 入 上 式 有z( + )T σ jω σT jωTjθ= e = e e = z e


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析于 是 得 到 s 平 面 到 z 平 面 的 基 本 映 射 关 系式 为zσT= e , θ =对 于 s 平 面 上 的 虚 轴 , σ =0 , s =jω , 映 射到 z 平 面 上 为zσT0TωT= e = e = 1, θ =ωTz=1ejωT平 面 上 的 虚 轴 , 映 射 到 z 平 面 上 为 一 个 模 为1、 相 角 为 ωT 的 复 变 量 的 轨 迹 。


自 动 控 制 原 理次 要 带jj第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析Im3ωss 平 面z 平 面2主要带次 要 带j 2ω sσO -1 O1− j 2ω s3ωs−j 2Res 平 面 到 z 平 面 的 映 射


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析当 ω 从 -∞ ∞ 变 化 到 +∞ 时 , 在 z 平 面 上 是 一个 以 原 点 为 圆 心 的 单 位 圆 , 如 图 所 示 。 当ω 每 变 化 宽 度 为 ω s 时 , z 平 面 上 沿 单 位 圆 刚好 逆 时 针 转 过 一 圈 。 若 从 -∞ ∞ 到 +∞ 变 化 ,复 变 量 z 在 z 平 面 上 将 沿 单 位 圆 逆 时 针 重复 转 过 无 穷 多 圈 。 也 就 是 说 , s 平 面 上 虚轴 映 射 为 z 平 面 上 的 单 位 圆 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析在 s 平 面 的 左 半 平 面 , 复 变 量 s 的 实 部 σ 0, 映 射 为 z 平 面 上 单 位 圆 的 外 部 区 域 。从 对 s 平 面 与 z 平 面 映 射 关 系 的 分 析 可 知 ,s 平面 上 的 稳 定 区 域 左 半 s 平 面 在 z 平 面 上 的 映 像是 单 位 圆 的 内 部 区 域 , 这 说 明 , z 平 面 上 单位 圆 之 内 是 z 平 面 的 稳 定 区 域 , 单 位 圆 之 外 是z 平 面 的 不 稳 定 区 域 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析二 、z 域 稳 定 条 件 及 稳 定 判 据采 样 系 统 的 稳 定 条 件 是 : 系 统 闭 环 特 征 方 程 的根 全 部 位 于 z 平 面 的 单 位 圆 之 内 , 或 全 部 特 征根 的 模 小 于 1。 只 要 有 一 个 特 征 根 在 单 位 圆 之外 , 系 统 就 不 稳 定 ; 在 单 位 圆 上 , 则 系 统 临 界稳 定 。下 面 用 解 析 法 加 以 说 明 :设 闭 环 系 统 的 脉 冲 传 递 函 数 为G () zN () zΦ () z = =1 + Gz ( ) Dz ( )G(z) 为 开 环 采 样 系 统 的 传 递 函 数 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析令 1 + Gz ( ) = 0 或 Dz ( ) = 0即 为 系 统 的 闭 环 特 征 方 程 。 不 妨 设 D(z)=0的 根 为 p m (m=1,2,…,n), 则 在 理 想 单 位 脉 冲函 数 输 入 时 [R(z)=1], 输 出 的 z 变 换 为nczmCz () = ∑z−pm= 1 −对 上 式 作 Z 反 变 换 , 得n∑m=1kckT ( ) = ∑cmpm( k= 0,1,2, ⋅⋅⋅)m


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析要 使 系 统 稳 定 , 则 要 求 理 想 脉 冲 瞬 态 响 应 c(kT),随 k 趋 于 无 穷 , 而 趋 于 零 。 因 此 要 求 所 有 根 的 模|p m | 1 , 则 系 统 就 不稳 定 。 如 果 有 一 个 根 的 模 | |p m |=1 , 则 系 统 处 于 稳定 边 界 。因 此 , 研 究 采 样 系 统 的 稳 定 性 , 最 直 接 的 方 法是 解 出 特 征 方 程 的 根 。 但 是 对 于 三 阶 以 上 的 系统 , 这 将 是 很 繁 琐 的 。 类 似 于 连 续 系 统 , 也 可以 不 解 特 征 根 , 而 根 据 特 征 方 程 的 系 数 来 判 断稳 定 性 , 如 朱 利 (Jury) 判 据 , 可 参 阅 有 关 书 籍 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析三 、z 平 面 到 w 平 面 的 映 射 及 劳 斯 判 据劳 斯 判 据 : 判 别 特 征 方 程 的 根 是 否 全 在 s 平 面的 左 半 平 面 , 从 而 确 定 系 统 的 稳 定 性 。在 z 平 面 上 , 稳 定 性 取 决 于 特 征 根 是 否 全 在单 位 圆 内 。 因 此 , 劳 斯 判 据 不 能 直 接 应 用 。如 果 将 z 平 面 再 复 原 到 s 平 面 , 则 由 于 z=e Ts ,使 系 统 的 特 征 方 程 出 现 超 越 函 数 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析所 以 设 法 再 寻 找 一 种 新 的 变 换 , 使 z 平 面 的 单位 圆 内 映 射 到 一 个 新 平 面 的 虚 轴 之 左 , 并 且新 平 面 对 应 的 系 统 特 征 方 程 为 多 项 式 形 式 ,则 劳 斯 判 据 便 可 直 接 应 用 。 这 个 新 的 平 面 称为 w 平 面 , 这 种 新 的 变 换 称 为 w 变 换 , 或 称为 双 线 性 变 换 。如 果 令w+11z = +(1)w − 1则 有z + 1w = (2)z −1


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析其 中 z、w 均 为 复 变 量 , 可写 作z= x+j y(3)w= u+j v(4)将 式 (3) 代 入 式 (2), 整 理 后 得xj y1w u jv+ +x jy12 2x + y −1 2y= −j (5)2 2 2x − + y x− + y2( 1 ) ( 1)


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析w 平 面 的 虚 轴 对 应 于 u=0, 即或xx+ y − 1=02 2+ y = 1 () 62 2式 (6) 为 z 平 面 中 的 单 位 圆 方 程 。z 平 面 单 位 圆 内 的 区 域 为 x 2 +y 2 0 的 右半 平 面 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析jyz 平 面jvw 平 面-1 1 OxOuz 平 面 与 w 平 面 的 对 应 关 系


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析利 用 上 述 变 换 , 可 将 特 征 方 程 D(z)=0 转 换 为D(w)=0, 然 后 就 可 应 用 连 续 系 统 中 的 劳 斯 稳定 判 据 。 其 步 骤 是 :(1) 求 出 采 样 系 统 的 特 征 方 程 D(z)=0 0 ;(2) 进 行 w 变 换 , 整 理 后 得 D(w)=0 ( ) ;(3) 应 用 劳 斯 判 据 判 别 采 样 系 统 的 稳 定 性 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析例 设 闭 环 采 样 系 统 的 特 征 方 程 为( )3 2Dz= 45z − 117z + 119z− 39 = 0试 判 别 系 统 的 稳 定 性 。解 : 将 z= w+1w −1 1代 入 特 征 方 程 , 得3 2⎛w+ 1⎞ ⎛w+ 1⎞ ⎛w+1⎞45 − 117 + 119 − 39 = 0⎜ ⎝w−1 ⎟ ⎠ ⎜ ⎝w−1 ⎟ ⎠ ⎜ ⎝w−1⎟ ⎠


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析化 简 后 得( )3 2= + 2 + 2 + 40=0Dw w w w列 出 劳 斯 表w 3 1 2 0w 2 2 40 0w 1 -18 0w 0 40


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析因 为 第 一 列 有 两 次 符 号 改 变 , 所 以 有 两 个根 在 w 平 面 的 右 半 平 面 , 或 有 两 个 根 在 z 平面 的 单 位 圆 之 外 , 系 统 不 稳 定 。实 际 上 , 特 征 方 程 的 根 为z1= 06 0.6w = −4z23= w2,31± j0.6667,123= ± j1 j3


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析例 已 知 系 统 结 构 如 图 所 示 , 采 样 周 期 T=0.1s。试 求 系 统 稳 定 时 K 的 取 值 范 围 。r(t)TK_ s(1 + 0.1 s)r(t)解 : 因 为K 1 1Gs ( ) = = K ⎡ −⎤s ( 1+ 01 0.1s )⎢s s 10⎥⎣ +⎦


自 动 控 制 原 理由 变 换 表 7-1 得zzGz ( ) = K ⎡⎢ − z101 z−⎣ − −e T又 T = 0.1 s、e -1 =0.368,所 以( ) 2Gz=闭 环 脉 冲 传 递 函 数 为z第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析⎤⎥⎦0.632Kz− 1.368 z + 0.368( )( )GzΦ ()z=1 +Gz


自 动 控 制 原 理特 征 方 程( ) +Gz( )Dz第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析= 1+ =0( )2z K z+ 0.632 − 1.368 + 0.368 = 0将代 入 上 式 , 得z= w+1w −12⎛w+ 1⎞ ⎛w+1⎞⎜ ( 0.632 K − 1.368 )0.368 0w 1⎟ + ⎜w 1⎟⎝ − ⎠ ⎝ − ⎠+ =


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析化 简 后 得列 出 劳 斯 表2( )0.632Kw + 1.264w + 2.736− 0.632K= 0w 2 0.632K2.736-0.632Kw 1 1.264 0w 0 2.736-0.632K00


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析为 保 证 系 统 稳 定 , 从 劳 斯 表 第 一 列 可 以 看 出 ,必 须 使0632 . K > 02736 . − 0632 .K >0故 系 统 稳 定 的 K 值 取 值 范 围 为0< K < 432 .若 T=0.5s, 重 新 计 算 K 值 取 值 范 围 :z z 0.9933KzGz ( ) = K ⎡ ⎢ − ⎤ =−10 T2z 1 z e ⎥⎣ − − ⎦ z − 1.0067 z+0.00670067


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析特 征 方 程2Dz ( ) = z + 0.9933 K− 1.0067 z+0.0067 =0( )将 w+1z=w − 1代 入 上 式 , 整 理 得20.9933Kw + 1.9866w + 2.0134− 0.9933K= 0由 a i > 0, 得 K > 02. 0134 − 0.9933 K >0解 得0< K


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析结 论 : 从 上 例 可 以 看 出 , 二 阶 连 续 系 统 只 要K>0 总 是 稳 定 的 ; 而 二 阶 采 样 系 统 当 增 大 K时 , 采 样 系 统 可 能 变 为 不 稳 定 。 一 般 来 说 ,减 小 采 样 周 期 T, 会 使 采 样 系 统 的 工 作 接 近于 相 应 的 连 续 系 统 , 使 采 样 系 统 的 稳 定 性 得到 改 善 。


自 动 控 制 原 理四 、 稳 态 误 差第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析Tc * (t)r(t)e(t)_Te * (t)G(s)c(t)G(s) 为 连 续 部 分 的 传 递 函 数 ,e(t) 为 误 差 信号 , e * (t) 为 采 样 误 差 信 号 , 则 系 统 的 误 差脉 冲 传 递 函 数 为


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析( z)( ) 1( ) 1+Gz( )E zΦe= = Rz +所 以( )E z1= 1 +GG z( )( )R z假 定 Φ e (z) 的 全 部 极 点 在 z 平 面 单 位 圆 的 内 部 ,即 系 统 是 稳 定 的 , 用 终 值 定 理 可 以 求 出 采 样系 统 的 稳 态 误 差1e e t z R z( ∞ ) = lim ( ) =lim ( −1 )( )t→∞z→11 + Gz ( )


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析1. 单 位 阶 跃 函 数 输 入 下 的 稳 态 误 差单 位 阶 跃 函 数 r(t)=1 的 变 换 式其 代 入 上 式 , 稳 态 误 差 为e( ) ( z)zRz () =z − 1, 将1 z 1∞ = lim − 1 = limz→1 1+ Gz z− 1 z→1 1+Gz定 义 静 态 位 置 误 差 系 数则( ) ( )( )Kp=limG zz→11e( ∞ )=1 + Kp


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析当 G(z) 中 有 一 个 以 上 z=1 的 极 点 时 ,K p =∞, 则e∞ = 101+K=( )+ p即 在 单 位 阶 跃 输 入 下 系 统 的 静 态 误 差 为 零 。换 言 之 , 在 阶 跃 输 入 下 , 系 统 无 静 差 的 条 件是 G(z) 中 至 少 有 一 个 z=1 的 极 点 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析2. 单 位 斜 坡 函 数 输 入 下 的 稳 态 误 差Tz( z −1)单 位 斜 坡 函 数 r(t)=t, 其 Z 变 换 式 ,代 入 得 稳 态 误 差e1Tzlim z−1 z→11 + Gz z −1( ∞ ) = ( )( ) ( ) 2Rz () =TT= lim = lim z → 1 1⎣ ⎦z→ z−1 G z( z− 1 ) ⎡1+G ( z) ⎤ z→( z−) G ( z)2


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析定 义 静 态 速 度 误 差 系 数则( ) G( )K = lim z −1G zvez→1( )∞ =TK当 G(z) 中 有 两 个 以 上 z=1 的 极 点 时 ,K v =∞, 则e( ∞ ) = T = 0KK v即 在 单 位 斜 坡 输 入 下 , 系 统 无 静 差 的 条 件K v是 G(z) 中 至 少 有 两 个 z=1 的 极 点 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析3. 单 位 加 速 度 函 数 输 入 下 的 稳 态 误 差21 2T z ( z+1)单 位 加 速 度 函 数 rt () = t, 其 Z 变 换 式 Rz ( ) = ,322( z −1)代 入 得e21 T zz+1( )( ∞= ) lim ( z−1 )z→11 + Gz ( ) 2( z −1) 3=limz→11T22( z−1) G ( z)


自 动 控 制 原 理定 义 静 态 加 速 度 误 差 系 数第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析2( ) ( )K = lim z−1G zaz→1则 2e( )∞ =TKa当 G(z) 中 有 三 个 以 上 z=1 的 极 点 时 ,K a =∞, 则e2T∞ = =K( )K a即 在 加 速 度 输 入 下 , 系 统 无 静 差 的 条 件 是G(z) 中 至 少 有 三 个 z=1 的 极 点 。0


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析综 上 所 述 , 采 样 系 统 在 典 型 输 入 下 的 稳 态 误差 与 脉 冲 传 递 函 数 G(z) 中 z=1 的 极 点 数 密 切 相关 , 这 与 连 续 系 统 传 递 函 数 G(s) 中 s=0 0 的 极 点数 完 全 对 应 。 同 样 , 把 脉 冲 传 递 函 数 G(z) 中z=1 的 极 点 数 ν =0,1,2,… 的 系 统 , 称 为 0 型 、Ⅰ型 、Ⅱ 型 和 Ⅲ 型 采 样 系 统 等 等 。 单 位 反 馈 系统 在 三 种 典 型 输 入 信 号 作 用 下 的 稳 态 误 差 ,如 表 7-3 所 示 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析表 7.3 典 型 输 入 作 用 下 的 稳 态 误 差系 统 型 别 r(t)=1(t) r(t)=t r(t)=(1/2)t 20 型 1/(1+K p ) ∞ ∞Ⅰ 型 0 T/K v ∞Ⅱ 型 0 0 T 2 /K aⅢ 型 0 0 0


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析上 面 讨 论 了 单 位 反 馈 系 统 在 三 种 典 型 输入 信 号 作 用 下 的 稳 态 误 差 , 以 及 稳 态 误差 与 静 态 误 差 系 数 之 间 的 相 互 关 系 。 这种 方 法 可 以 推 广 到 非 单 位 反 馈 采 样 系 统的 稳 态 误 差 的 计 算 。 只 要 求 出 实 际 系 统的 误 差 Z 变 换 函 数 , 利 用 终 值 定 理 , 同 样可 以 得 到 相 应 的 终 值 误 差 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析例 采 样 系 统 结 构 如 图 所 示 , 采 样 周 期 T=0.2s,输 入 信 号 r(t)=1+t+(1/2)t 2 , 试 计 算 系 统 的 稳 态误 差 。r(t) ( ) e(t)T e * (t) −Ts1−e10(0.5s+ 1)c(t) ( )s2s_解 : 计 算 分 三 步 进 行 :(1) 求 G(z): ) 因 为 有 零 阶 保 持 器 , 故( )G zz −1 ⎡10 ( 0.5s+ 1) ⎤ z −1 ⎡10 5⎤= Z⎢ 3 ⎥= Z+3 2z s z ⎢s s⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析查 变 换 表 7-1 得2z− 1⎡5T zz( + 1)5TzG ( z) = ⎢ +z ⎢⎣z−1 z−13 2( ) ( )将 采 样 周 期 T=0.2 代 入 上 式 , 并 化 简 得1.2z−0.8Gz ( ) =z −1( )2(2) () 判 别 系 统 的 稳 定 性 : 系 统 的 特 征 方 程( ) Gz ( )Dz= 1+ = 0⎤⎥⎥⎦


自 动 控 制 原 理( z) 2第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析− 1 + 1.2z− 0.8=0解 方 程 得z2− 08 0.8z+ 02 0.2=0z1,2= 0.4 ± j0.2z 1,2 均 在 单 位 圆 内 , 故 系 统 稳 定 。(3) 求 稳 态 误 差 :静 态 位 置 误 差 系 数K1.2 0.8limG z lim z −= = =∞( z)p z→1 z→1 z −12( )


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析静 态 速 度 误 差 系 数1.2 z −0.8K ( ) ( )v= lim z− 1 G z = lim =∞z→1 z→1z −1静 态 加 速 度 误 差 系 数a2( ) ( ) ( )K = lim z− 1 G z = lim 1.2z− 0.8 = 0.4z→1 z→1由 表 7.3, 在 r(t)=1+t+(1/2)t 2 作 用 下 的 稳 态 误 差e2 21 T T 0.2∞ = + + = 0+ 0+ = 0.11+ K K K 04 0.4( )p v a


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析五 、 闭 环 极 点 分 布 与 动 态 响 应 的 关 系在 线 性 连 续 系 统 中 , 闭 环 极 点 在 平 面 上 的位 置 与 系 统 的 动 态 响 应 有 着 密 切 的 关 系 。与 连 续 系 统 类 似 , 采 样 系 统 的 闭 环 极 点 在平 面 上 的 分 布 对 系 统 的 动 态 响 应 起 着 决 定性 作 用 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析设 系 统 的 闭 环 脉 冲 传 递 函 数Φ( z)( )( )m m−1N z bz0+ bz1+ L+bm1n n−D z a0z + az1+ L+a n= ===b0( z− z )( z− z ) L( z− z ) L( z−z)1 2( − )( − ) L( − ) L( − )a z p z p z p z pba0 1 200m∏( ∏z−z )jj=1n∏( z−p) i∏i=1jimn


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析当 输 入 信 号 r(t)=1(t) 时 , 系 统 输 出 的 Z 变 换 为( ) Φ( z) R( z)C z= =( ) z( ) z−1N zDz假 定 Φ(z) 无 重 极 点 , 将 C(z) 展 开 成 部 分 分 式( 1 )nz( 1) −11Ncz( )+∑iC z = +D z z−pi=i式 中ciN( p ) i( −) &( )( )dD z= , D&( p ) i=p 1 D p dzi i z = p i


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析于 是( )( )n1( 1) 1NckT cp ( k 0,1,2, L)k= + ∑ i i=D i=式 中 第 一 项 为 稳 态 分 量 , 第 二 项 为 瞬 态 分量 , 其 中 c ki p i 是 收 敛 还 是 发 散 、 振 荡 , 完 全取 决 于 极 点 p i 在 z 平 面 上 的 分 布 。1. 正 实 轴 上 的 实 数 极 点设 p i 为 正 实 数 。 p i 对 应 的 瞬 态 分 量 为c ( kT) = cpki i i


自 动 控 制 原 理若 令a1= ln p iT第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析, 则 上 式 可 写 为c ( kT) = c e akTi(1) 若 0< p i 1 , 闭 环 极 点 位 于 z 平 面 上 的 单位 圆 外 的 正 实 轴 上 , 其 动 态 响 应 是 按 指 数 规律 发 散 的 脉 冲 序 列 。i


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析2. 负 实 轴 上 的 实 数 极 点(1) 若 -1< p i


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析Imz 平 面OtOtOtOtOReOtOt


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析若 闭 环 实 数 极 点 位 于 右 半 z 平 面 , 则 输 出 动态 响 应 形 式 为 单 向 正 脉 冲 序 列 。 实 极 点 位 于单 位 圆 内 , 脉 冲 序 列 收 敛 , 且 实 数 极 点 越 接近 原 点 , 收 敛 越 快 ; 实 极 点 位 于 单 位 圆 上 ,脉 冲 序 列 等 幅 变 化 ; 实 极 点 位 于 单 位 圆 外 ,脉 冲 序 列 发 散 。若 闭 环 实 数 极 点 位 于 左 半 z 平 面 , 则 输 出 动态 响 应 形 式 为 双 向 交 替 正 脉 冲 序 列 。 实 极 点位 于 单 位 圆 内 , 双 向 脉 冲 序 列 收 敛 , 且 实 数极 点 越 接 近 原 点 , 收 敛 越 快 ; 实 极 点 位 于 单位 圆 上 , 双 向 脉 冲 序 列 等 幅 变 化 ; 实 极 点 位于 单 位 圆 外 , 双 向 脉 冲 序 列 发 散 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析3.z 平 面 上 的 闭 环 共 轭 复 数 极 点设 p i 为 共 轭 复 根 , 其 成 对 出 现 有 p i , p i+1 或p =| ±jθ i , p i+1 p i |e k, 对 应 的 瞬 态 分 量 为Z⎡ c z c z⎢ +⎣z−piz−pi− 1 ii+1+ 1⎤⎥⎦由 于 Φ(z) 的 系 数 均 为 正 数 , 所 以 c i , c i+1 也 必为 共 轭 , 即± jθc, c | c |e k= i i+ 1 i


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析所 以 ,cp + c p = | c|e | p| e + | c|e | p| ek k jϕk k jkθk −jϕk k −jkθki i i+ 1 i+1 i i i ik= | c|| | ip ⎡i ⎣e + ek= 2| c || p | cos( kθθ+ϕ)j( kθ + ϕ ) − j( kθ +ϕ)k k k ki i k k所 以 , 共 轭 极 点 所 对 应 的 瞬 态 分 量 是 以 余 弦规 律 振 荡 。 振 荡 角 频 率 与 共 轭 极 点 的 幅 角 θ i有 关 , θ i 越 大 , 振 荡 角 频 率 越 高 。⎤⎦


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析(1) 若 | p i |1 , 闭 环 复 数 极 点 位 于 z 平 面 上 的单 位 圆 外 , 其 动 态 响 应 是 振 荡 发 散 的 脉 冲 序列 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析oθ = 90 ,| p | < 1kkImz 平 面oθ = 45 ,| p| 1kkkk


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析由 图 可 见 : 位 于 z 平 面 上 单 位 圆 内 的 共 轭 复 数极 点 , 对 应 输 出 动 态 响 应 的 形 式 为 振 荡 收 敛 脉冲 序 列 , 但 复 数 极 点 位 于 左 半 单 位 圆 内 所 对 应的 振 荡 频 率 , 要 高 于 右 半 单 位 圆 内 的 情 况 。综 上 所 述 , 采 样 系 统 的 动 态 特 性 与 闭 环 极 点 的分 布 密 切 相 关 。 当 闭 环 实 极 点 位 于 z 平 面 上 左半 单 位 圆 内 时 , 由 于 输 出 衰 减 脉 冲 交 替 变 号 ,故 动 态 过 程 质 量 很 差 ; 当 复 数 极 点 位 于 z 平 面上 左 半 单 位 圆 内 时 , 由 于 输 出 衰 减 高 频 振 荡 脉冲 , 故 动 态 过 程 性 能 欠 佳 。 因 此 , 在 采 样 系 统设 计 时 , 应 把 闭 环 极 点 安 置 在 z 平 面 上 右 半 单 位圆 内 , 且 尽 量 靠 近 原 点 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析六 、 采 样 系 统 的 时 域 响 应如 果 已 知 系 统 的 闭 环 脉 冲 传 递 函 数 及 典型 输 入 信 号 的 Z 变 换 , 可 以 求 出 输 出 信 号 的Z 变 换 C(z), 然 后 经 Z 反 变 换 求 出 输 出 信 号 的脉 冲 序 列 c * (t)。 它 表 示 采 样 系 统 在 典 型 输 入作 用 下 的 时 域 响 应 过 程 , 从 而 分 析 采 样 系 统的 动 态 和 稳 态 性 能 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析例已 知 采 样 系 统 的 闭 环 脉 冲 传 递 函 数 为Φ( z)( ) z +( )2− +0.632C z 0.368 0.264= =Rz z z+输 入 信 号 r(t)=1(t), ( ) ( ), 采 样 周 期 T=1 s。 试 分 析该 系 统 的 动 态 响 应 。解 :r(t)=1(t) 的 Z 变 换 为 R( z)=zz −11


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析从 而 系 统 输 出 的 Z 变 换 为0.368z+ 0.264 zC ( z) = Φ( z ) R ( z) =2z − z+0.635 z−1−1 −20.368 z+0.264z=1 2 31 −−2z +− −1.632z − 0.632z通 过 综 合 除 法 , 将 C(z) 展 成 无 穷 幂 级 数 形 式( )1 2 3 4= 0368 0.368 − + − + 14 1.4 − + 14 1.4−C z z z z z+ 1.147z + 0.895z + 0.802z+ 0.868z + 0.993z + 1.077z+ 1.081z + 1.032z + 0.981z−14 −15+ 0.961z+ 0.973z+L−5 −6 −7− 8 − 9 −10−11 −12 −13


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析由 Z 变 换 的 定 义 式 , 可 求 出 输 出 信 号 c * (t) 在各 采 样 时 刻 的 值 c(kT)(k=0,1,2,…) ) 为c(0)=0 () c(T)=0.368( ) c(2T)=1( )c(3T)=1.4 c(4T)=1.4 c(5T)=1.147c(6T)=0.895 c(7T)=0.802 c(8T)=0.868c(9T)=0.993993 c(10T)=1.077077 c(11T)=1.081c(12T)=1.032 c(13T)=0.981 c(14T)=0.961c(15T)=0.973 c(16T)=0.997 c(17T)=1.015c(18T)=1.017 ……


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析根 据 上 述 数 值 c(kT), 可 以 绘 出 系 统 的 单位 阶 跃 响 应 c * (t), 如 图 4-24 所 示 。 从 图 中 求得 超 调 量 σ%=40%, 调 节 时 间 t =12 s( 以 误得 超 调 量 σ% 40%, 调 节 时 间 t s 12 s( 以 误差 小 于 5% 计 算 )。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析系 统 单 位 阶 跃 响 应 脉 冲 序 列


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析本 章 小 结1. 离 散 控 制 系 统 包 括 采 样 控 制 系 统 和 数 字控 制 系 统 。 把 连 续 信 号 转 换 成 离 散 信 号 的过 程 称 为 采 样 过 程 。 采 样 过 程 事 假 定 采 样是 在 瞬 时 完 成 的 。 为 了 无 失 真 地 复 现 原 连续 信 号 . 采 样 频 率 的 选 定 必 须 符 合 香 农 定理 , 即 采 样 频 率 至 少 是 原 信 号 频 谱 中 所 自最 高 频 率 的 两 倍 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析2. 建 立 采 样 系 统 数 学 模 型 的 数 学 工 具 是 Z 变换 。 Z 变 换 只 能 反 映 采 样 点 上 的 信 息 。 Z 变换 的 基 本 定 理 可 以 便 Z 变 换 变 得 简 单 和 方 便 。通 过 Z 反 变 换 可 以 求 得 系 统 的 时 域 解 。3. 基 于 Z 变 换 原 理 的 脉 冲 传 递 函 数 是 研 究 采样 控 制 系 统 的 重 要 基 础 。 利 用 连 续 部 分 的 传递 函 数 , 可 以 求 出 系 统 的 闭 环 脉 冲 传 递 函 数 。在 某 采 样 开 关 的 配 置 下 , 可 能 求 不 出 系 统 的脉 冲 传 递 函 数 ; 但 是 在 输 入 信 号 已 知 的 情 况下 , 可 以 得 到 输 出 信 号 的 Z 变 换 表 达 式 。


自 动 控 制 原 理第 七 章 采 样 数 据 控 制 系 统 分 析4. 采 样 控 制 系 统 的 分 析 是 利 用 系 统 的 闭 环 脉冲 传 递 因 数 研 究 系 统 的 稳 定 性 , 在 给 定 输 入作 用 下 的 稳 态 误 差 和 动 态 性 能 。 利 用 z 平 面 到w 平 面 的 双 线 性 变 换 , 可 以 直 接 应 用 连 续 系统 中 代 数 判 据 判 别 采 样 系 统 的 稳 定 性 。 采 样系 统 的 稳 定 性 除 与 系 统 的 结 构 和 参 数 有 关 外 ,还 与 系 统 的 采 样 周 期 有 关 。5 在 w 域 中 连 续 系 统 中 的 根 轨 迹 法 和 频 率5. 在 w 域 中 , 连 续 系 统 中 的 根 轨 迹 法 和 频 率特 性 法 可 直 接 应 用 于 采 样 系 统 的 分 析 和 校 正 。


自 动 控 制 原 理第 八 章第 八 章 状 态 空 间 分 析 法状 态 空 间 分 析 法81 8.1 概 述在 经 典 控 制 理 论 中 , 用 传 递 函 数 来 设 计 和分 析 单 输 入 − 单 输 出 系 统 。 但 传 递 函 数 只能 反 映 出 系 统 输 出 变 量 与 输 入 变 量 之 间 的外 部 关 系 , 而 了 解 不 到 系 统 内 部 的 变 化 情况 。 此 外 , 传 递 函 数 描 述 又 是 建 立 在 零 初始 条 件 的 前 提 下 , 故 它 不 能 包 含 系 统 的 全部 信 息 。 在 设 计 多 变 量 和 时 变 系 统 时 , 采用 经 典 控 制 理 论 会 遇 到 很 大 的 困 难。


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法经 典 控 制 理 论 :• 以 微 分 方 程 和 传 递 函 数 为 数 学 基 础 分 析 和设 计 控 制 系 统• 主 要 研 究 单 输 入 、 单 输 出 的 线 性 定 常 系 统• 主 要 方 法 是 频 率 特 性 法 和 根 轨 迹 法• 极 为 有 效 , 广 为 应 用


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法在 现 代 控 制 理 论 中 , 用 状 态 变 量 来 描 述系 统 。 这 时 系 统 是 用 一 阶 矩 阵 - 向 量 微分 方 程 来 描 述 的 , 采 用 矩 阵 表 示 法 可 以使 系 统 的 数 学 表 达 式 简 洁 明 了 , 并 且 易于 用 计 算 机 求 解 。状 态 方 程 是 计 算 动 态 特 性 的 线 性 定 常 系数 矩 阵 微 分 方 程 , 输 出 方 程 是 用 来 计 算 所观 察 参 数 的 线 性 代 数 方 程 。


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法局 限 性 :• 传 递 函 数 对 处 于 系 统 内 部 的 变 量 不 便 描述 , 对 某 些 内 部 变 量 不 能 描 述r(t) ( ) c(t)r(t)c(t)传 递 函 数x 1 ,x 2 ,x 3 ,...• 对 于 时 变 系 统 、 复 杂 的 非 线 性 、 多 输 入多 输 出 系 统 的 问 题 不 适 用


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法表 8.1 经 典 和 现 代 控 制 理 论 对 比经 典 现 代时 间 1940-1960 年 1960 年 至 现 在数 学 模 型 传 递 函 数 、 微 分 方 程 传 递 矩 阵 、 状 态 方 程数 学 工 具常 微 分 方 程 、 复 变 函矩 阵 理 论 、 泛 函 分 析 、数 、Laplace 变 换 等 概 率 统 计 等应 用 范 围单 输 入 单 输 出 线 性 定多 输 入 多 输 出 连 续 、常 连 续 、 离 散 时 变 集中 参 数 系 统离 散 时 变 集 中 参 数 系统应 用 情 况 极 为 普 遍 范 围 广


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法特点控 制 器经 典 现 代已 工 程 化 , 直 观 , 具体 , 精 度 一 般以 模 拟 硬 件 为 主已 规 范 化 , 精 度 高 ,有 标 准 的 算 法 程 序以 单 片 机 、 微 处 理 器 ,软 件 为 主N结 构 图r(t)控 制 器被 控对 象c(t)R微 处理 器被 控对 象Y


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法8.2 动 态 系 统 的 状 态 空 间 分 析 法一 、 基 本 概 念1. 状 态 : 系 统 的 状 态 就 是 系 统 过 去 、 现 在和 将 来 的 状 况 。系 统 的 状 态 可 以 定 义 为 信 息 的 集 合 。表 征 系 统 运 动 的 信 息 。


自 动 控 制 原 理2. 状 态 变 量第 八 章 状 态 空 间 分 析 法系 统 的 状 态 变 量 是 指 可 以 完 全 表 征 系 统 运 动 状态 的 最 少 个 数 的 一 组 变 量 x 1 、x 2 、…、x n , 并 且满 足 下 列 两 个 条 件 :( 1 ) 在 任 何 时 刻 t=t t 0 , 这 组 变 量 的 值 x 1 (t 0 )、x 2 (t 0 ) 、…、x n (t 0 ) 都 表 示 系 统 在 该 时 刻 的 状 态 ;(2) 当 系 统 在 t≥t 0 的 输 入 和 上 述 初 始 状 态 确 定 的时 候 , 状 态 变 量 应 完 全 能 表 征 系 统 在 将 来 的 行 为 。


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法3. 状 态 矢 量设 一 个 系 统 有 n 个 状 态 变 量 x 1 、xx 2 、…、x n , 用 这 n 个 状 态 变 量 作 为 分 量 所 构 成 的 矢量 X, 称 为 该 系 统 的 状 态 矢 量 。4. 状 态 空 间状 态 矢 量 所 有 可 能 值 的 集 合 称 为 状 态 空间 。 系 统 在 任 一 时 刻 的 状 态 都 可 用 状 态空 间 中 的 一 点 表 示 。


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法5. 状 态 方 程描 述 系 统 状 态 变 量 与 系 统 输 入 之 间 关 系 的一 阶 方 程 组 , 称 为 状 态 方 程 。例 1某 机 械 动 力 系 统 如 图 所 示KfMxF(t)


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法质 量 - 弹 簧 - 阻 尼 系 统 的 微 分 方 程 式 为2d x dxM + f + Kx = F () t2 dtdt2d x f dx K1+ + =2dt M dt M Mx f x K x F () t选 择 位 移 x(t)=x 1 (t) 和 速 度 (t)=x 2 (t) 作 为 系统 的 状 态 变 量 , 可 把 上 述 方 程 化 为 两 个 一阶 微 分 方 程 , 即x&


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法⎧ x&1= x&= x2⎪ ⎨Kf1⎪ x2 = − x1 − x2+ F⎩ &M M M若 用 矢 量 矩 阵 的 形 式 表 示 , 则 可 写 成⎡ 0 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤⎡x&1⎤ ⎡x1⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ K f1 Fx⎥ ⎢ 2x⎥+⎣&⎦ ⎢−− ⎥⎣ ⎢ ⎥2⎦⎣ M M⎦ ⎣M⎦写 成 矢 量 矩 阵 形 式 的 标 准 型 , 即X&= AX + bu系 统 的 状 态 方 程


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法6. 输 出 方 程在 指 定 系 统 输 出 的 情 况 下 , 该 输 出 与 状 态 变量 间 的 函 数 关 系 式 , 称 为 系 统 的 输 出 方 程 。例 如 : 在 上 述 的 系 统 中 , 指 定 x 1 =x 作 为 输 出 ,一 般 输 出 符 号 用 y 表 示 , 则 有 y=x 1 , 写 成 矢 量矩 阵 形 式 为⎡x[ ]1 ⎤y = 1 0 ⎢ ⎥⎣x 2⎦写 成 标 准 式 为Y = CX


自 动 控 制 原 理7. 状 态 空 间 表 达 式第 八 章 状 态 空 间 分 析 法状 态 方 程 和 输 出 方 程 构 成 对 一 个 系 统 性 能的 完 整 描 述 , 称 为 系 统 的 状 态 空 间 表 达 式 。若 系 统 是 r×m×n 维 空 间 , 即⎡u1 ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎡x1⎤⎢u⎥⎢ 2y⎥ ⎢2x⎥2u= ⎢ ⎥, Y = ⎢ ⎥,X = ⎢ ⎥⎢M⎥⎢ M⎥ ⎢ M⎥⎢⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣u r ⎦ ⎣ ym⎦ ⎣xn⎦


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法若 是 线 性 系 统 , 可 写 成式 中 ,X &X = AX +BuY = CX + DuA- 系 数 矩 阵n×nB- 控 制 矩 阵 n×rC- 输 出 矩 阵 m×nD- 直 接 传 递 矩 阵 m×r


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法8. 状 态 空 间 表 达 式 的 系 统 方 框 图状 态 空 间 表 达 式 的 系 统 方 框 图 如 图 所 示


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法二 、 系 统 传 递 函 数 的 状 态 空 间 表 达 式由 系 统 的 高 阶 微 分 方 程 式 或 传 递 函 数 , 求 出相 应 的 状 态 空 间 表 达 式 , 这 类 问 题 称 为 实 现问 题 。若 系 统 的 传 递 函 数 为mm−1b0s + b1s + L+ bm−1s +bmY ( s)Gs ( ) = =n n−1s + a 1s + L+ a n−1s+a nU ( s)正 常 情 况 下 ,n≥m。


自 动 控 制 原 理1. 能 控 标 准 型 实 现X写 成 状 态 方 程 和 输 出 方 程X&= AX + BuY = CX + Du第 八 章 状 态 空 间 分 析 法⎡x1⎤ ⎡ 0 1 0 L 0⎤⎢x⎥ ⎢ 0 0 1 0⎥⎢ 2⎥ ⎢L⎥= ⎢x⎥3, A=⎢ M M M M ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ M ⎥ ⎢ 0 0 0 L 1 ⎥⎢ ⎣x ⎥ ⎢ −a −a −a −a⎥n⎦ ⎣ n n−1 n−2 L1⎦


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法⎡0⎤⎢0⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤B = ⎢0 ⎥, C = ⎢ bm bm−1 Lb00 L0⎥⎢ ⎥ ⎢14243⎣n−m−1⎥⎦⎢M⎥⎢⎣1⎥⎦


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法例已 知 系 统 的 传 递 函 数 为Gs ( ) =2s + 2s+33 22s + 4s + 6s+10试 求 出 其 对 应 的 能 控 标 准 型 。解 : 首 先 把 G(s) 分 母 中 s 最 高 次 项 系 数 变 成1, 用 2 除 G(s) 的 分 母 与 分 子 , 得Gs ( )=1 23s + s +2 23 2s + 2 s + 3 s+5


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法直 接 写 出 系 统 的 能 控 标 准 型 :⎡x&1⎤ ⎡ 0 1 0 ⎤⎡x1⎤ ⎡0⎤⎢x&⎥ ⎢ 20 0 1⎥⎢x⎥ ⎢20⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥u⎢⎣ x& 3 ⎥⎦ ⎢⎣ − 5 − 3 −2 ⎥⎢ ⎦⎣ x 3⎥⎦ ⎢⎣ 1⎥⎦⎡ x1⎤⎡ 3 1Y = 1⎤⎢x⎥⎢ 22 2 ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢⎣x 3⎥⎦


自 动 控 制 原 理2. 能 观 测 标 准 型 实 现第 八 章 状 态 空 间 分 析 法⎡ x&1 ⎤ ⎡0 0 0 L 0 −an⎤⎡ x1⎤ ⎡bm⎤⎢ x&⎥ ⎢2 1 0 0 0 a⎥⎢ n 1x⎥ ⎢2⎥⎢ ⎥ ⎢L −− ⎥⎢ ⎥ ⎢M⎥⎢ x&⎥ ⎢30 1 0 L 0 −a⎥⎢ n−2 x ⎥ ⎢3b ⎥0⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥u⎢ M ⎥ ⎢M M M M M ⎥⎢ M ⎥ ⎢ 0 ⎥⎫⎢ & x ⎥ ⎢ n 10 0 0 0 a ⎥ ⎢ 2x ⎥ ⎢ ⎥⎪−L −n−1M n ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− m−1⎬⎪⎢ ⎣ x&n ⎥ ⎦ ⎢⎣0 0 0 L 1 −a1⎥⎦⎢ ⎣ xn⎥ ⎦⎣ 0 ⎦⎭


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法⎡ ⎤⎢⎥⎢x2⎥⎢ x ⎥3Y= [ 0 0 0 L0 1]⎢ ⎥⎢ M ⎥⎢x⎥n−1⎢ ⎥⎢⎣xn⎥⎦能 控 标 准 型 和 能 观 测 标 准 型 : 其 系 数 矩 阵互 为 转 置 关 系 , 而 前 者 的 b 为 后 者 的 C T , 前者 的 C T 为 后 者 的 b。 具 有 这 种 结 构 关 系 的称 为 互 有 对 偶 关 系 。x 1


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法例 已 知 系 统 的 传 递 函 数 为2s + 2s+3Gs ( ) =3 22s + 4s + 6s+10试 写 出 其 能 观 测 标 准 型 。解 :Gs ( )=1 2 3s+ s+2 23 2s + 2 s + 3 s+5


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法直 接 写 出 系 统 的 能 观 测 标 准 型 :⎡ 3⎤⎡x& 1 ⎤ ⎡0 0 −5 ⎤⎡x⎢1⎤2⎥⎢ ⎢⎥x&⎥ ⎢21 0 3⎥⎢x⎥⎢ ⎥=⎢−⎥⎢ 2⎥+⎢1⎥u⎢x 3 0 1 2 x ⎢31⎥⎣&⎥⎦ ⎢⎣ − ⎥⎢ ⎦⎣ ⎥⎦ ⎢ ⎥⎣ 2⎦Y =⎡x⎢⎢⎣⎢x1[ 0 0 1] x23⎤⎥⎥⎦⎥


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法3. 对 角 阵 标 准 型 实 现Y sb s + b s + L+ b s +bGs ( ) = = =U s( ) mm−1−10 1 m−1mN ( s)( )n n−1s + a 1s + L+ a n−1s+a0D( s)当 G(s) 的 所 有 极 点 为 互 异 的 实 数 时 , 则 得Gs ( )N( s)c cD ( s ) s− s1 s− s2s−sn1 2= = + + L+式 中 c i , 称 为 s=s s i 极 点 处 的 留 数 , 则c = lim( s−s)is→siiN( s)D( s)c n


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法由 上 式 可 求 得 系 统 的 状 态 空 间 表 达 式 为⎡x1 ⎤ ⎡s1 ⎤⎡x1⎤ ⎡1⎤⎢ ⎥ ⎢ 0⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢x2 ⎥ s2 x2 1= ⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥u⎢ M ⎥ ⎢ O ⎥⎢ M ⎥ ⎢M⎥⎢ ⎥ ⎢ 0⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣xn⎦ ⎣ sn⎦⎣xn⎦⎣1⎦⎡x1⎤⎢x⎥2Y = [ c ]1c2 L c ⎢ ⎥n⎢ M⎥⎢ ⎥⎣x n⎦


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法Y ( s) 6例 已 知 Gs ( ) = =3 2U( s) s + 6s + 11s+6试 把 G(s) 化 成 对 角 阵 标 准 型 状 态 方 程 。解 :6 6Gs ( ) = =3 2s + 6s + 11s+ 6 ( s+ 1)( s+ 2)( s+3)将 G(s) 展 开 为 部 分 分 式 , 可 得3 −6 3Gs ( ) = + +s+ 1 s+ 2 s+3


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法则 可 得 对 角 阵 标 准 型⎡x&1⎤ ⎡−1 0 0 ⎤⎡x1⎤ ⎡1⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢x&2 ⎥ = ⎢ 0 − 2 0 ⎥⎢x2⎥+⎢1⎥u⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ x& 3 ⎦ ⎣ 0 0 −3 ⎦⎣ x 3⎦ ⎣ 1⎦⎡x1⎤⎢ ⎥Y = [ 3 −6 3]⎢x2⎥⎢⎥⎣x 3 ⎦


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法三 、 由 系 统 状 态 方 程 求 传 递 函 数 ( 矩 阵 )对 于 一 个 单 输 入 单 输 出 的 n 阶 系 统 , 其 动态 方 程 为⎧ X&= AX + Bu⎨ ⎩ Y = CX + Du ( 或 D = 0)根 据 求 传 递 函 数 的 定 义 , 假 设 相 应 变 量 的 初始 条 件 为 零 。对 上 式 两 边 进 行 拉 氏 变 换 , 有


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法sX( s) = AX( s) + bU( s)Y( s) = CX( s) + DU( s)所 以X s sI A bU s-1( ) = [ - ] ( )Y s C sI A bU s DU s-1( ) = [ - ] ( ) + ( )由 此 得 传 递 函 数 的 计 算 公 式 为Y( s)= = − +U ( s)−1Gs ( ) CsI [ A]b D


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法例已 知 系 统 的 动 态 方 程 为& 1 1⎡x⎤ ⎡ 0 1 0 ⎤⎡x⎤ ⎡ 0⎤⎢x⎥ ⎢ 0 0 1⎥⎢x⎥ ⎢ 0⎥⎢ & = +u2 ⎥ ⎢ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥⎢⎣x&⎥3⎦ ⎢⎣−5 −3 −2⎥⎢ ⎦⎣x⎥ ⎢3⎦ ⎣1⎥⎦⎡x1⎤⎡3 1Y = ⎤⎢ ⎥⎢ 1x2⎣ 2 2⎥⎢ ⎦ ⎥⎢ ⎣x3⎥ ⎦求 系 统 的 传 递 函 数 。


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法解 : 由 题 可 知⎡ 0 1 0 ⎤ ⎡0⎤A = ⎢ ⎢ 0 0 1 ⎥ ⎥, b =⎢ ⎢0⎥⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ − 5 − 3 −2 ⎦ ⎣ 1⎦3 1C = ⎡ 1⎤⎢ 2 2 ⎥⎣ ⎦由 此 可 算 出


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法⎡s −1 0⎤⎢ ⎥−1adj[ sI − A][ sI − A] = ⎢0 s − 1 ⎥ =⎢⎥det[ sI −A]⎣5 3 s + 2⎦2⎡s + 2s+ 3 s+2 1⎤1⎢⎥=3 2⎢ − 5 s( s+2) s⎥s + 2s + 3s+ 5⎢ ⎥2⎢⎣− 5 s − (3 s +5)s⎥⎦−1


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法1Gs ( ) = CsI [ − A]− b3 12s 2s 3 s 2 1 0⎡ ⎤ ⎡1+ + + ⎤⎡ ⎤⎢ 2 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎣ ⎦3 2⎢ − 5 s( s+2) s⎥⎢0⎥s + 2s + 3s+ 5⎢ 2⎥⎢ ⎥⎢⎣− 5 s − (3 s +5) s⎥⎣ ⎦1⎦⎡ 3 1 ⎤1⎡ 1⎤⎢ 22 2⎥ ⎢ ⎥ s + 2s+3=⎣ ⎦s =3 2 ⎢⎥3 2s + 2s + 3s+ 5⎢2s + 4s + 6s+102 ⎥⎣s⎦


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法8.3 多 输 入 多 输 出 (MIMO) 系 统 状 态空 间 表 达 式 和 传 递 矩 阵一 、 多 输 入 多 输 出 n 阶 线 性 系 统 的 状 态 空 间表 达 式多 输 入 多 输 出 系 统 方 框 图


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法可 写 出 方 程 组⎧x& 1= a11x1 + a12 x2 + L+ a1nxn + b11u1 + L+b1rur⎪⎪x& 2= a21x1 + a22 x2 + L+ a2nxn + b21u1 + L+b2rur⎨⎪LL⎪⎩x& = a1 x1 + a2 x2 + L + a x + b1 u1+ L+b un n n nn n n nr r


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法将 方 程 组 改 成 矩 阵 微 分 方 程 的 形 式 , 即X&= AX + Bu⎡a a L a ⎤⎢⎥a21 a22 a2nA ⎢ L ⎥= ⎢⎥ ( n×n)矩 阵⎢L⎥⎢⎥⎣an1 an2L ann⎦式 中11 12 1n⎡b 11b 12L b1r ⎤⎢⎥⎢b21 b22 L b2r ⎥B = ⎢⎥ ( n×r)矩 阵⎢L⎥⎢⎥⎣bn1 bn2L bnn⎦[ ]u= u1 u2L u rT


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法同 理 得 输 出 方 程Y式 中=CX⎡ y1 ⎤ ⎡c11 c12 L c1n⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ y2⎥ ⎢c21 c22 L c2n⎥Y = ⎢ ⎥ C = ⎢ ⎥( m×n) 矩 阵⎢ M ⎥ ⎢L⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ym ⎦ ⎣ cm1 cm2Lcmn⎦


自 动 控 制 原 理二 、 传 递 矩 阵第 八 章 状 态 空 间 分 析 法在 零 初 始 条 件 时 , 用 拉 氏 变 换 的 形 式 表 示 的输 出 与 输 入 关 系 如 下 :Y = G ( sU ) ( s) + G ( sU ) ( s)1 11 1 12 2Y = G ( sU ) ( s) + G ( sU ) ( s)2 21 1 22 2


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法用 矩 阵 方 程 表 示 为⎡Y1( s) ⎤ ⎡G11( s) G12( s) ⎤⎡U1( s)⎤⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎣ Y2 ( s ) ⎥⎦ ⎢⎣ G21 ( s ) G22 ( s ) ⎥⎢ ⎦⎣ U2( s)⎥⎦可 以 写 成Y ( s) =G ( s) ) U ( s)G(s) 即 为 双 输 入 双 输 出 系 统 的 传 递 矩 阵 。


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法推 广 到 有 r 个 输 入 量 和 m 个 输 出 量 的 多 变 量系 统 , 其 传 递 矩 阵 G(s) 为Gs ( )⎡ G11 G12 L G1r⎤⎢⎥⎢G21 G22 LG2r⎥= ⎢ ⎥⎢ L⎥⎢⎥⎣Gm1 Gm2L Gmr⎦


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法三 、 系 统 状 态 空 间 表 达 式 与 传 递 矩 阵 的 关 系设 系 统 的 状 态 空 间 表 达 式 为⎧ X &X = AX +⎨ Bu⎩Y = CX + Du对 上 式 进 行 拉 氏 变 换 , 得sX( s) − X(0) = AX(0) + BU( s)Y( s) = CX( s) + DU( s)


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法若 X(0)=0, 则 上 式 可 改 写 成 X(s)=(sI -A) -1 BU(s)代 入 第 二 式 得Y s C sI A B D U s−1( ) = [ ( − ) + ] ( )= GsUs ( ) ( )式 中−G ( s ) = C ( sI − A )1B+D定 义 为 传 递 矩 阵


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法因 为所 以−1 adj( sI − A)( sI − A)=dt( det( sI−A)adj( sI − A)G ( s )= C B +Ddet( sI − A)=特 征 方 程 为C adj( sI − A ) B +det( sI −A )Ddet( sI − A)det( sI − A) = 0


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法例 : 设 系 统 的 动 态 方 程 为⎡x&⎤1⎡0 1 ⎤ ⎡x ⎤ 1 01⎡ ⎤ ⎡u⎤1⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣x& −2 ⎦ ⎣0 2 ⎦ ⎣ x 2 ⎦ ⎣0 1⎦⎣ u2⎦⎡ y ⎤ 1 01⎡ ⎤ ⎡x⎤1⎢ =y⎥ ⎢0 1⎥⎣ ⎢ 2 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣x⎥2 ⎦试 求 该 系 统 的 传 递 函 数 矩 阵 。


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法解 :已 知⎡ 0 1 ⎤ ⎡ 1 0 ⎤ ⎡ 1 0⎤A = ⎢ , B = , C = , D = 00 − 2⎥ ⎢0 1⎥ ⎢0 1⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦故⎡ 1 1 ⎤− 1−⎢⎥− 1 ⎡s 1 ⎤ s s( s + 2)( sI − A)= ⎢⎢⎥0 s 2⎥ =⎣ + ⎦ ⎢ 1 ⎥0⎢⎣ s +2⎥⎦


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法−1Gs ( ) = CsI ( − A)B⎡1 1⎤⎡1 0⎤⎢sss( + 2)⎥⎡1 0⎤= ⎢ 0 1 ⎥ ⎢ ⎥⎢0 1⎥⎣ ⎦⎢1 ⎥⎣ ⎦0⎢⎣ s +2⎥⎦⎡1 1 ⎤⎢ss( s+2)⎥= ⎢ ⎥⎢1⎥⎢0⎣ s + 2⎥⎦


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法例 :设 系 统 的 状 态 方 程 为A⎡ 0 1 0 ⎤ ⎡0⎤=⎢ 1⎥ =⎢ ⎥⎢0 0 ⎥b⎢0⎥⎢⎣ −6 −11 −6⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦试 求 系 统 的 特 征 方 程 和 特 征 值 。


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法解 :系 统 的 特 征 方 程 为⎡s−1 0 ⎤− =⎢−⎥⎢⎥= + + + =⎢⎣6 11 s + 6⎥⎦det( sI − A) = ( s+ 1)( s+ 2)( s+ 3) = 03 2det( sI A ) det 0 s 1 s 6 s 11s6 0特 征 方 程 的 根 为 -1、-2 和 -3。 矩 阵 A 的 特 征值 也 为 -1、-2 和 -3。 两 者 是 一 样 的 。


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法四 、 闭 环 传 递 矩 阵 与 开 环 传 递 矩 阵 的 关 系多 变 量 控 制 系 统 , 其 前 向 通 道 的 传 递 矩 阵为 G 0 (s); 反 馈 通 道 的 传 递 矩 阵 为 H(s); Y(s) 和U(s) 分 别 为 输 出 输 入 矢 量 :E(s) 和 B(s) 分 别 为误 差 和 反 馈 信 号 矢 量 。


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法故 得Y( s) = G ( s) E( s) = G ( s)[ U( s)- B( s)]0 0= G ( s )[ U ( s )- H ( s ) Y ( s)]0[ I + G ( s ) H ( s )] Y ( s ) =G ( s ) U ( s)0 0-1Y ( s ) = [ I +G 0 ( s ) H ( s )] G 0( s ) U ( s)则 得 闭 环 系 统 的 传 递 矩 阵 为Gs ( ) = [ I+G( sHs ) ( )] G( s)-10 0若 H(s) 为 单 位 矩 阵 , 即 H(s)=I, 则Gs I G s G s-1( ) = [ +0 ( )] 0( )


自 动 控 制 原 理五 、 多 变 量 控 制 系 统 的 解 耦 问 题第 八 章 状 态 空 间 分 析 法多 变 量 系 统 , 而 且 存 在 交 联 现 象 , 其 输 入 量对 输 出 量 都 会 产 生 影 响 。例 如 : 双 变 量 系 统 的 输 出 与 输 入 关 系⎡Y1( s) ⎤ ⎡G11( s) G12( s) ⎤⎡U1( s)⎤⎢ =⎢Y2( s) ⎥ ⎥ ⎢ ⎢G21( s) G22( s) ⎥⎢ ⎥⎢U2( s)⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎥⎦通 常 要 求 一 个 输 入 量 只 对 一 个 输 出 量 有 影响 。 这 就 是 多 变 量 系 统 的 解 耦问 题 。


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法解 耦 的 方 法 是 加 入 一 组 补 偿 器 , 使 最 后 的 闭环 传 递 矩 阵 成 为 对 角 线 矩 阵 , 这 样 可 以 使 n 个输 入 和 n 个 输 出 互 相 独 立 , 达 到 消 除 相 互 干 扰的 目 的 。补 偿 后 的 系 统 传 递 函 数 矩 阵 成 为 对 角 线 矩 阵⎡ G ( s)11 ⎤⎢( )0⎥⎢ G22 s⎥Gs ( ) = ⎢⎥( m=r)⎢O ⎥⎢ 0 ⎥⎣Gmr( s)⎦


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法现 在 考 虑 反 馈 矩 阵 H(s) 为 单 位 矩 阵 的 情 况 ,于 是 可 得-1Gs ( ) = [ I+G( s)] G( s)0 0式 中 G0( s) = Gp( s) Gc( s)由 [I+G 0 (s)] 左 乘 上 式得[ I + G ( s )] G ( s ) = [ I + G ( s )][ I +G ( s )] G ( s)-10 0 0 0G ( s )[ I - G ( s )] = G ( s )0以 [I-G(s)] -1 右 乘 上 式 的 两 边 , 则 可 得G ( s ) = G ( s )[ I - G ( s )]0-1


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法所 以 解 耦 矩 阵 为G ( s) = G ( s) G ( s)−1c p 0= G ( s ) G ( s )[ I − G ( s )]−1 −1p


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法例 多 变 量 控 制 系 统 如 图 所 示 , 试 确 定 一 组 补偿 器 的 传 递 函 数 矩 阵 , 使 得 闭 环 系 统 的 传 递函 数 矩 阵 为⎡ 1⎤⎢ 0s + 1 ⎥Gs( ) = ⎢ ⎥⎢ 10⎥⎢⎣5 s+1⎥⎦


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法解 : 由 于G ( s ) = G ( s )[ I - G ( s )]0-1解 耦 后 系 统 前 向 通 道 的 传 递 矩 阵G0( s)⎡ 1 ⎤⎡s + 1 ⎤ ⎡1⎤⎢ 0 0 0s +1⎥⎢ s ⎥ ⎢s⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ 1 5s+ 1 10 ⎥⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥⎢⎣ 5s + 1 ⎥⎢ ⎦⎣ 5s ⎥⎦ ⎢⎣ 5s⎥⎦


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法⎡ 1 ⎤0⎡ Y 1( s) ⎤ ⎢1( )2s1 ⎥⎡U s ⎤根 据+⎢Y2( s) ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢1 U2( s)⎥⎣ ⎦ ⎢1 ⎥⎣ ⎦⎢⎣s + 1⎥⎦得 到Gp( s)⎡ 1 ⎤⎢02s+ 1⎥= ⎢ ⎥⎢11⎥⎢⎣s + 1⎥⎦


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法所 以⎡ 1 ⎤ ⎡1⎤⎢ 0 0−12s+1 ⎥ ⎢s⎥Gc ( s ) = Gp ( s ) G0( s)= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ 1 10⎥ ⎢0⎥⎢ ⎣ s+1 ⎦⎥ ⎣⎢ 5s⎦⎥⎡ 2s+ 1 ⎤⎢0s⎥= ⎢ ⎥⎢ ( s+ 1)(2s+ 1) s+1−⎥⎢⎣s5s⎥⎦−1


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法因 此2s1Gs+c11=s(PI 控 制 器 ( s 1)(2s1)+ +c21 =−s(PID 控 制 器)G ( ) 0 c12s =s+1Gc22( s) = (PI 控 制 器 )5s


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法8.4 线 性 系 统 能 控 性 和 能 观 测 性一 、 能 控 性 和 能 观 测 性 的 概 念闭 环 系 统 结 构 图 如 下 图 所 示其 闭 环 传 递 函 数 为2s s s s sΦ ( s) = = =2− 2 + 1 ( −1)( −1) −1s + 4s− 5 ( s+ 5( s− 1) s+5


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法某 一 系 统 的 状 态 方 程 和 输 出 方 程 为⎡−λ 1 0 0 0 ⎤ ⎡ 1⎤⎢020 0⎥ ⎢1⎥&−λX = ⎢ ⎥ X +⎢ ⎥u⎢ 0 0 −λ30 ⎥ ⎢0⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣0 0 0 −λ4⎦⎣ 0⎦Y=[ 0 1 1 0]X


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法二 、 线 性 定 常 系 统 能 控 性 及 其 判 定 准 则1. 能 控 性 定 义设 系 统 为 X&= AX +BuY = CX如 果 用 一 个 适 当 的 控 制 信 号 , 在 有 限 的 时 间内 (t 0 ≤t≤t 1 ) 使 初 始 状 态 X(0) 转 移 到 任 一 终止 状 态 X(t 1 ), 那 么 X&= AX + Bu 所 代 表 的 系统 就 叫 作 状 态 能 控 的 , 如 果 对 任 意 初 始 状 态都 能 控 , 这 个 系 统 就 叫 作 状 态 完 全 能 控 的 。


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法2. 能 控 性 判 定 准 则线 性 定 常 系 统 X&= AX + Bu状 态 完 全 能 控 的充 分 必 要 条 件 是 : 矢 量 B,AB,A A 2 B,…,A… n-1 1 B 是线 性 无 关 的 , 或 者 n×n 矩 阵= ⎡ ⎣ ⎤ ⎦2 n−1M B M AB M A B M L M A B的 秩 为 n( 即 满 秩 )。


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法例 设 系 统 为& 1 1⎡ x⎤ ⎡ 1 1 ⎤ ⎡ x⎤⎡ 1⎤⎢ ux⎥ = ⎢ ⎢ +20 1 x⎥−⎥ ⎢20⎥⎣ & ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦试 判 别 该 系 统 的 能 控 性 。解 : ⎡1 1 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡1⎤A= ⎢ , B = ; AB =−⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣0 1 ⎦ ⎣0 ⎦ ⎣0⎦⎡1 1⎤所 以M = [ B AB] = ⎢0 0⎥⎣ ⎦因 为 rankM=1, 所 以 该 系 统 是 不 能 控 的 。


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法例 设 系 统 为& 1 1⎡ x⎤ ⎡ 1 1 ⎤ ⎡ x⎤⎡ 0⎤⎢ ux⎥ = ⎢ ⎢ +22 1 x⎥−⎥ ⎢21⎥⎣ & ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦试 判 别 该 系 统 的 能 控 性 。解 : ⎡1 1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡ 1⎤A= ⎢ , B = ; AB =−⎥ ⎢ ⎥ ⎢−⎥⎣2 1 ⎦ ⎣1 ⎦ ⎣ 1⎦⎡0 1 ⎤所 以M = [ B AB] = ⎢1 −1⎥⎣ ⎦因 为 rankM=2, 所 以 该 系 统 是 不 能 控 的 。


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法例 设 系 统 为⎡ x& 1 ⎤ ⎡ 1 2 1 ⎤⎡ x 1 ⎤ ⎡ 1 0⎤⎢ ⎡ u1⎤x&⎥2=⎢0 1 0⎥⎢x⎥2+⎢0 1⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥u2⎢x⎥ ⎢ 31 0 3⎥⎢x⎥ ⎢30 0⎥⎣ ⎦⎣&⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦试 判 别 系 统 的 能 控 性 。解 :⎡ 1 2 1 ⎤⎡ 1 0 ⎤ ⎡ 1 2⎤AB =⎢0 1 0⎥⎢0 1⎥=⎢0 1⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎣ 1 0 3⎥⎢ ⎦⎣0 0⎥⎦ ⎢⎣ 1 0⎥⎦


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法⎡1 2 1⎤⎡1 2⎤ ⎡2 4⎤2AB= A⋅ AB ⎢ 0 1 0 0 1 0 1⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥=⎢ ⎢ ⎥⎥⎢ ⎣1 0 3 ⎦⎣ ⎥⎢1 0 ⎦⎥ ⎣⎢ 4 2⎦⎥⎡1 0 1 2 2 4⎤2M = [ B AB A B] = ⎢0 1 0 1 0 1⎥⎢ ⎥⎢⎣0 0 1 0 4 2⎥⎦MMT⎡26 6 7⎤MM T 非 奇 异 ,=⎢6 3 2⎥⎢ ⎥ 故 M 满 秩 , 系⎢⎣17 2 21⎥⎦统 是 能 控 的 。


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法几 点 结 论 :(1) 系 统 的 能 控 性 , 取 决 于 状 态 方 程 中 系 数矩 阵 A 和 控 制 矩 阵 B。 矩 阵 A 是 由 系 统 的 结构 参 数 决 定 的 , 矩 阵 B 是 与 控 制 作 用 的 施 加点 有 关 的 , 因 此 系 统 的 能 控 性 完 全 取 决 于 系统 的 结 构 、 参 数 和 控 制 作 用 的 施 加 点 。(2) 在 A 为 对 角 矩 阵 的 情 况 下 , 如 果 B 矩 阵 的元 素 有 为 0 的 ( 对 于 多 变 量 系 统 ,B 矩 阵 元 素某 一 行 全 部 为 0 的 ), 则 与 之 对 应 的 状 态 方 程必 为 齐 次 方 程 , 即 与 u(t) 无 关 , 系 统 一 定 是 不能 控 的 。


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法(3) 在 A 矩 阵 为 约 当 标 准 型 矩 阵 的 情 况 下 , 由于 前 一 个 状 态 总 是 受 下 一 个 状 态 控 制 的 , 故只 当 B 矩 阵 的 最 后 一 行 元 素 全 为 0 时 , 系 统是 不 完 全 能 控 的 。(4) 不 能 控 的 状 态 , 在 方 框 图 中 表 现 为 存 在与 u(t) 无 关 的 孤 立 方 块 。(5) 如 果 系 统 的 状 态 方 程 是 能 控 标 准 型 , 则系 统 一 定 是 完 全 能 控 的 。


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法三 、 线 性 定 常 系 统 输 出 的 能 控 性 问 题系 统 的 动 态 方 程 为⎧X&= AX + Bu⎩⎨ Y = CX式 中 X、Y、u 分 别 为 n 维 、m 维 、r 维 矢 量 。系 统 输 出 完 全 能 控 的 充 分 必 要 条 件 是 矩 阵⎡⎣的 秩 为 m。2 n−1CB CAB CA B LCA B⎤⎦


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法例 判 断 系 统⎡x1⎤ ⎡−4 1 ⎤⎡x1⎤⎡1⎤⎢ x⎥ = ⎢ ⎢ +22 3 x⎥−⎥ ⎢22⎥ u⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡x[ ]1 ⎤Y = 1 0 ⎢x⎥⎣2⎦是 否 具 有 状 态 能 控 性 和 输 出 能 控 性 。解 : 系 统 的 状 态 能 控 矩 阵 为⎡1 −2⎤M = [ B AB] = ⎢2 4 ⎥⎣ ⎦因 为 rankM=1, 所 以 该 系 统 状 态 不 能 控 。


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法系 统 的 输 出 能 控 矩 阵 为M = [ CB CAB] = [1 −2]rankM=1=m, 因 此 系 统 是 输 出 能 控 的 。


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法四 、 线 性 定 常 系 统 的 能 观 测 性 及 其 判 据系 统 的 状 态 方 程 和 输 出 方 程X&= AXY=CXX—n 维 矢 量 ; Y—m 维 矢 量 ;A—n×n 矩 阵 ;C—m×n 矩 阵 。如 果 在 有 限 时 间 内 , 每 个 初 始 状 态 x(0) 都 能由 y(t) 的 观 测 值 确 定 , 那 么 系 统 就 叫 完 全 能观 测 的 。


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法线 性 定 常 系 统 完 全 能 观 测 的 充 分 必 要 条 件是 矩 阵⎡ C ⎤⎢CA⎥⎢ ⎥2V = ⎢CA⎥⎢ ⎥⎢ M ⎥⎢n1⎣CA −⎥⎦的 秩 为 n。


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法例 给 定 系 统 的 动 态 方 程 为⎡x& 1 ⎤ ⎡ 1 1 ⎤ ⎡x1⎤⎡ 0⎤⎢x⎥ = ⎢22 1⎥⎢ +x⎥ ⎢21⎥⎣−⎦ ⎣ ⎦u⎣&⎦ ⎣ ⎦⎡ x[ ]1 ⎤Y = 1 0 ⎢ ⎥⎣x 2⎦试 判 定 该 系 统 的 能 控 性 和 能 观 测 性 。⎡ 1 1 ⎤ ⎡ 0⎤已 知 A= ⎢ , B = , C = 1 0−2 1⎥ ⎢1⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦解 : [ ]⎡0 1 ⎤矩 阵 M = [ B AB] = ⎢的 秩 rankM=21 −1⎥⎣ ⎦


自 动 控 制 原 理第 八 章 状 态 空 间 分 析 法矩 阵 [ CB CBA ] = [0 1] 的 秩 为 1所 以 系 统 输 出 能 控 。矩 阵⎡ C ⎤ ⎡1 0⎤⎢ =rankV=2CA⎥ ⎢1 1⎥ 的 秩 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦所 以 系 统 是 完 全 能 观 测 的 。


自 动 控 制 原 理本 章 小 结第 八 章 状 态 空 间 分 析 法1. 正 确 理 解 基 本 概 念 : 状 态 变 量 、 状 态 方程 、 状 态 空 间 表 达 式 、 传 递 矩 阵 、 线 性 定常 系 统 能 控 性 和 能 观 测 性 等 。2. 掌 握 基 本 方 法 : 当 已 知 系 统 传 递 函 数 时 ,可 求 出 其 对 应 的 能 控 标 准 型 和 能 观 测 标 准型 。3 根 据 线 性 定 常 系 统 能 控 性 判 定 准 则 和 能3. 根 据 线 性 定 常 系 统 能 控 性 判 定 准 则 和 能观 测 性 判 定 准 则 分 别 判 定 系 统 的 能 控 性 和能 观 测 性 。

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