Autoreferát - Oddelenie didaktiky matematiky - Univerzita Komenského

Predkladateľ:Školiteľ:Oponenti:RNDr. Viera ČerňanováKatedra algebry, geometrie a didaktiky matematikyFakulta matematiky, fyziky a informatikyUniverzita Komenského842 48 Bratislavadoc. RNDr. Ivan Trenčanský, PhD.Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematikyFakulta matematiky, fyziky a informatikyUniverzita Komenského842 48 Bratislavaprof. RNDr. Jozef Fulier, CSc.Katedra matematikyFakulta prírodných viedUniverzita Konštantína Filozofa, Nitradoc. RNDr. Pavel Híc, CSc.Katedra matematiky a informatikyPedagogická fakultaTrnavská univerzita, Trnavadoc. RNDr. Josef Molnár, CSc.Katedra algebry a geometriePřírodovědecká fakultaUniverzita Palackého, OlomoucAutoreferát bol rozoslaný dňa 18.8.2009.Obhajoba dizertačnej práce sa koná dňa 29. septembra 2009 o 9,30 hod. pred komisiou preobhajobu dizertačnej práce v odbore doktorandského štúdia vymenovanou predsedomspoločnej odborovej komisie dňa 7.7.2009 vo vednom odbore 9.1.8 Teória vyučovaniamatematiky na Fakulte matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenskéhov Bratislave v miestnosti M 213.Predseda spoločnej odborovej komisie:prof. RNDr. Pavel Kostyrko, DrSc.Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematikyFakulta matematiky, fyziky a informatikyUniverzita Komenského842 48 Bratislava2

ObsahÚvod .................................................................................................................................. 41 Priebeh výskumu, ciele a hypotézy ............................................................................. 52 Súčasný stav problematiky ........................................................................................... 93 Teoretické východiská práce ...................................................................................... 104 Výsledky práce a ich význam ..................................................................................... 135 Záver a perspektívy ďalšieho výskumu ..................................................................... 166 Zoznam prác uchádzača, ktoré majú vzťah ku skúmanej problematike .............. 177 Zoznam bibliografických odkazov .............................................................................. 188 Summary ........................................................................................................................ 223

ÚvodŠpirálové osnovanie je v posledných rokoch podnetom pre mnohé diskusie najmäv zahraničí, kde majú s týmto spôsobom usporiadania osnov skúsenosti. Naším hlavnýmcieľom bolo definovať špirálový spôsob vyučovania matematiky, prezentovať a obhájiť jehokvality a ponúknuť konkrétny model osnov matematiky pre štvorročné gymnáziá, kde by boloučivo matematickej analýzy (tematický celok Funkcie) zoradené špirálovite. Vychádzamepritom z našich dlhodobých skúseností s vyučovaním matematiky podľa špirálových osnov,ktoré sa javia ako obzvlášť vhodné z viacerých hľadísk.V úvodnej časti dizertačnej práce sme priblíţili sedemnásťročné obdobie nášho výskumu.Toto bolo podkladom pre teóriu, ktorú sme sformulovali v štyroch hypotézach. Hypotézy smeoverili v ďalších častiach práce, predovšetkým však v druhej kapitole. Stanovili sme cielepráce, ktoré sme naplnili v jednotlivých kapitolách. Pri formulovaní cieľov dizertačnej prácesme zohľadnili aktuálnu situáciu, ktorá nastala po zavedení nových osnov v roku 2008.Dôleţité miesto vo vyučovaní matematiky by mala mať história matematiky. Ţiaľ, častozostáva iba pri podobnom konštatovaní. Keďţe „ medzi historickým vývojom matematiky odStaroveku podnes a špirálovým vyučovaním v matematike nachádzame pozoruhodnú analógiu... ak neberieme do úvahy dĺžku trvania týchto dvoch procesov, konštatujeme, že obidvaprechádzajú cyklicky tými istými fázami” [16], povaţovali sme za prirodzené vyčleniťv dizertačnej práci nezanedbateľný priestor historicko-epistemologickému vývojumatematickej analýzy. Spracovali sme ho so zámerom, aby sa mohol stať vhodným zdrojominformácií, podnetov a inšpirácií pri vyučovaní matematiky na strednej škole.4

1 Priebeh výskumu, ciele a hypotézyPre moderné vyučovanie je charakteristickou snaha hľadať spôsoby, ktoré by zvýšili jehoefektívnosť, avšak nie na úkor kvality, práve naopak. Na Slovensku bol zámer naplniť tútosnahu vyjadrený i prostredníctvom vzniku bilingválnych gymnázií, kde sú niektoré predmetyúplne alebo čiastočne vyučované v cudzom jazyku. Špecifikom francúzsko–slovenských(francúzsko–českých) osnov matematiky je, ţe sú zoradené špirálovo.Samotnému zostaveniu a napísaniu dizertačnej práce predchádzala autorkina účasť natvorbe bilingválnych slovensko–francúzskych osnov matematiky pre gymnáziá, a popri tom,no hlavne následne nepretrţite počas 17 rokov jej pôsobenie ako stredoškolskej profesorkymatematiky v bilingválnych triedach Gymnázia Metodova v Bratislave.Práve špirálový spôsob usporiadania osnov sa zdá byť jednou z ciest, ktoré by mohlizvýšiť efektívnosť vyučovania. Povzbudení skúsenosťami takéhoto vyučovania a uplatňujúcinduktívnu cestu poznania sme si stanovili za cieľ:Na základe vlastných skúseností a metaanalýzy prezentovať špirálové osnovanievo vyučovaní matematiky. Následne ho navrhnúť ako vhodný nástroj kvalitnéhoodovzdávania vedomostí vo vyučovacom procese.Pre naplnenie základného cieľa dizertačnej práce sme zvolili metódu teoretickej analýzy,ktorá je jednou z metód kvalitatívneho výskumu. Napriek zaradeniu do kategórieexperimentálne vzdelávanie totiţ nebolo povinnosťou ani cieľom bilingválnych učiteľov a anivýskumníkov vykonávať a vyhodnocovať experimenty s kvantitatívnou verifikáciou hypotéz.Vzhľadom na to, ţe osnovy sú usporiadané špirálovo, a teda s dlhodobým pôsobením,didaktický experiment v klasickom zmysle by bol v skutočnosti ťaţko realizovateľný. Úlohoubilingválnych učiteľov bolo overovať priamo vo vyučovacom procese funkčnosť a vhodnosťbilingválnych osnov a podľa potreby ich modifikovať.Základný cieľ sme v našej práci konkretizovali v niekoľkých čiastkových cieľoch:1. preskúmať súčasný stav problematiky, ktorou je špirálový spôsob usporiadaniaosnov matematiky2. uviesť overené teoretické zázemie pre študovanú problematiku, ktorého hlavnýmcieľom bude priniesť silné argumenty podporujúce špirálové vyučovanie5

19911992199319941995199619971998199920002001200220032004200520062007200820093. priblíţiť špirálové osnovanie porovnaním s lineárnym a ilustrovať ho naniekoľkých školských úlohách a ich riešeniach4. uviesť konkrétny úspešný model špirálového osnovania na Slovensku5. spracovať niektoré prvky historického a epistemologického vývoja matematickejanalýzy so zreteľom na ich moţné vyuţitie pri vyučovaní na strednej škole6. vypracovať návrh špirálovite usporiadaných osnov z tematického celku Funkcie(matematická analýza) pre štvorročné gymnáziá s prihliadnutím na potreby ďalšíchoblastí matematiky, fyziky a iných vyučovacích predmetov.Realizácia cieľov práce sa uskutočnila vo fázach, ktoré znázorňuje nasledujúca schéma:Úvodná fáza - - - - - - - - - - - - - - -- Fáza pozorovania a overovania- - - - - - - - - - - - - - - Teoretická fázaÚvodná fáza trvala pribliţne štyri roky. V tomto období priebeţne vznikali bilingválneosnovy a zároveň sme podľa týchto osnov vyučovali. Uţ na druhom stretnutí, kde smepracovali na návrhu experimentálnych osnov matematiky, bolo zrejmé, ţe tieto budú maťšpirálovú štruktúru. K tvorbe osnov zákonite patrilo dôkladné štúdium a porovnávanieaktuálnych osnov na Slovensku a vo Francúzsku ako i kaţdodenné štúdium bilingválnychosnov, sprievodných pedagogických dokumentov a francúzskych učebníc, ktoré sme malik dispozícii.Po ukončení prvej úplnej špirály, čiţe po odchode prvých absolventov na vysoké školy, saoslabil experimentálny a posilnil aplikačný charakter špirálového vyučovania, hoci podľarozhodnutia Ministerstva školstva Slovenskej republiky zostalo bilingválne vyučovaniezaradené ako experimentálne. Mimoriadna úspešnosť zaradenia prvých maturantov navysokých školách (Falath [11]) - a to i napriek tomu, ţe matematiku sa učili po francúzskya iba v poslednom ročníku si mohli zvoliť seminár z matematiky v slovenskom resp. českomjazyku - bola potvrdením, ţe sme sa vybrali správnym smerom.6

Učitelia bilingválnych tried naďalej podrobujú osnovy kritickému overovaniu. Od roku1991 došlo k niekoľkým zmenám týkajúcim sa obsahu alebo zaradenia niektorej časti učivado toho či iného ročníka. Osnovanie je však stále špirálové a tento charakter je v súčasnostisnáď ešte výraznejší neţ v prvých rokoch.Fáza pozorovania a overovania dovŕšila sedemnásty rok svojho trvania. Prelínala sas úvodnou a neskôr s teoretickou fázou, navzájom sa dopĺňali a ovplyvňovali. Uţ v druhomroku vyučovania špirálovým spôsobom bolo moţné všimnúť si niektoré špecifiká spojené sošpirálovým spôsobom vyučovania tak na strane učiteľov ako i ţiakov. V prvých rokoch fázypozorovania sme zachytávali tieto špecifiká, formulovali sme ich a v nasledujúcom obdobísme overovali, či bol výskyt konkrétneho javu skôr náhodný, alebo či je to skutočne javtypický pre špirálový spôsob vyučovania. Keďţe sme pôvodne nepôsobili v úlohevýskumníka, o pozorovaniach sme neviedli systematické záznamy. Na druhej strane,nepretrţité pôsobenie v danom prostredí a kontakt so zainteresovanými osobami námumoţňovali podľa potreby overovať odpozorované charakteristiky bez toho, aby sme muselicielene vytvárať vhodné situácie. Po celý čas sme mali príleţitosti získavať autentické, ničímumelo nevyprovokované výpovede ţiakov i kolegov učiteľov. Niektoré z nich citujemev Prílohe 3 dizertačnej práce.Neskôr, keď sa fáza pozorovania a overovania prepojila s teoretickou fázou, sme uţ malivytriedené a overené špecifiká špirálového vyučovania v našich podmienkach, a toviacnásobne, pokiaľ ide o počet opakovaní, a všeobecne, pokiaľ ide o zainteresované osoby.Teoretická fáza prípravy dizertačnej práca začala aţ štrnásť rokov od začiatku úvodnejfázy, okrem štúdia pedagogických dokumentov, ktorému sme sa venovali počas všetkýchtroch fáz. Vo vlastnej časti teoretickej fázy sme zbierali informácie o súčasnom staveproblematiky, ktorou je špirálové osnovanie, a to vo viacerých krajinách. Okrem toho sme sado hĺbky oboznamovali s niektorými didaktickými teóriami predovšetkým francúzskejdidaktickej školy s cieľom nájsť tú najvhodnejšiu z hľadiska aplikovateľnosti na našuproblematiku.Naša dlhodobá osobná skúsenosť s tvorbou i pouţívaním špirálovo usporiadaných osnovvo vyučovaní matematiky a naše opakovane potvrdené pozorovania, navyše podloţenévysokou úspešnosťou všetkých pribliţne 300 absolventov bilingválnych tried ročne na7

prijímacích pohovoroch na vysoké školy i počas samotného vysokoškolského štúdia, sa stalizákladom teórie, ktorú formulujeme prostredníctvom nasledovných hypotéz:H1: Špirálový spôsob vyučovania skvalitní trvácnosť poznatkov u ţiaka.H2: Špirálový spôsob vyučovania skvalitní hĺbku poznatkov.H3: Špirálový spôsob vyučovania skvalitní komplexnosť poznatkov.H4: Špirálový spôsob vyučovania skvalitní aplikovateľnosť poznatkov.Ako sme uţ naznačili, v teoretickej časti dizertačnej práce uvádzame kvalitatívnuverifikáciu uvedených hypotéz. Exaktné potvrdenie oprávnenosti našich hypotéz sme našli voviacerých starších i celkom nedávnych publikáciách z teórie vyučovania matematikya tieţ v súčasných poznatkoch neuropsychológie o procesoch v ľudskom mozgu, ktoré súodozvou na učenie sa jedinca.8

3 Teoretické východiská práceVzhľadom na špecifiká kvalitatívneho výskumu sa teoretické východiská práce stalizároveň teoretickým rámcom pre vedecké zdôvodnenie našej teórie, ktorá je sformulovaná vovyššie uvedených hypotézach. Teoretické východiská tvoria obsah druhej kapitoly dizertačnejpráce. Kaţdá z troch častí tejto kapitoly vlastným spôsobom zdôvodňuje opodstatnenosťšpirálového vyučovania, ba dokonca prirodzenú potrebu človeka nadobúdať a upevňovať sivedomosti špirálovým spôsobom.1. Formulujeme nami odpozorované charakteristiky lineárneho a špirálového osnovania.Lineárne usporiadanie učiva je, a to obzvlášť v niţších ročníkoch, prehľadnejšie neţ usporiadanie špirálové je istým spôsobom menej náročné, povedali by sme „pohodlnejšie“ – učiteľ totiţpreberá tematický celok dovtedy, kým nepreberie všetky predpísané časti a dokiaľ mána to vyhradený čas – ţiak zasa často po prebratí tematického celku a po napísanízáverečnej písomnej práce toto učivo „vyradí“ však paradoxne spôsobuje učiteľovi viac stresu neţ usporiadanie špirálové:skutočnosť, ţe daný tematický celok musí prebrať vo vyčlenenom čase, lebo uţ nikdyneskôr nie je zaradený do osnov, pôsobí neraz ťaţivo podáva, a to v ostrom protiklade s antropologickým vývojom schopností mladéhočloveka ako i s historicko-epistemologickým vývojom jednotlivých pojmov, mnohétematické celky en bloc – bez moţnosti nechať pôsobiť čas a umoţniť ţiakovi„stráviť“ prijaté poznatky tak, aby sa stali funkčnými, aby sa prepojili s poznatkamiz iných oblastí matematiky a aby sa k nim s odstupom času dalo vrátiť, avšak uţ nakvalitatívne vyššej úrovniŠpirálové (cyklické) usporiadanie je náročnejšie na organizáciu učiva môţe prinášať ťaţkosti v triede, keď dôjde k zmene učiteľa, ako aj jednotlivémuţiakovi, keď prestúpi na inú školu vďaka opätovnému návratu k tým istým tematickým celkom, avšak uţ na vyššejúrovni, lepšie korešponduje s osobnostným vývojom a rastom duševných schopnostímladého človeka10

vďaka opakovanému návratu k tomu istému tematickému celku, pričom medzitým sapreberalo učivo z iného alebo z iných celkov, otvára ţiakovi nový pohľad na tú istúvec, obohatený vedomosťami a skúsenosťami z inej oblasti matematikyumoţňuje ţiakovi hlbšie pochopiť súvislosti medzi rôznymi oblasťami predmetupodporuje tvorivosť ţiakaumoţňuje učiteľovi vyrovnať sa s časovou tiesňoudáva učiteľovi priestor pruţne reagovať na zmeny v okolnostiach i na potreby prebraťprednostne časť niektorého učiva kvôli potrebám iného predmetu, napríklad fyziky,chémie atď., neţ je tomu pri lineárnom usporiadaníposkytuje aj ţiakovi, ktorý predčasne ukončí štúdium na gymnáziu, alebo ktorý si vovyšších ročníkoch zvolí minimálny počet hodín matematiky, pomerne rovnomernépokrytie rozsiahlej oblasti stredoškolskej matematiky poznatkami na niţšej, avšakdostatočnej úrovni pre potreby v beţnom ţivote.Uvedené charakteristiky potvrdzujú, ţe špirálové vyučovanie dáva lepšie moţnosti prekonštruktivistické vyučovanie, pre vlastnú tvorivosť študentov a tým aj väčší priestor prezaraďovanie a-didaktických situácií do vyučovacieho procesu a následne pre devolúciu. 1Okrem toho výrazne podporuje prepojenie poznatkov z matematiky s poznatkami z inýchpredmetov, ako i prepojenie poznatkov z jednotlivých častí matematiky navzájom.2. Opierame sa o poznatky francúzskej didaktickej školy.Predkladáme v nej čas ako didaktickú kategóriu; dôleţitosť návratu v novej kvalite, čo jeformulované ako protirečenie medzi starým a novým (Chevalard, [20]). Toto protirečeniespočíva v návrate k známym pojmom v novej podobe, čím sa udrţiava dynamikavyučovacieho procesu. Pojem sa tak môţe pevnejšie zakoreniť v kognitívnej zloţkemateriálneho prostredia ţiaka. Robert, Lattuati a Penninckx [35] zdôrazňujú dôleţitosť časuako trvania a upozorňujú, ţe práve krátkosť „pobytu“ nejakého pojmu v osnovách môţe byťpríčinou „nesprávnych prepojení izolovaných vedomostí; mylných koncepcií, ktoré boli účinnépri predošlých poznatkoch, no ešte nie sú primerane obohatené, ako i neúplnýcha nedostatočných poznatkov“. Tvrdia, ţe doba, počas ktorej sa pojem udomácňujev kognitívnej zloţke materiálneho prostredia ţiaka, je oveľa dlhšia, neţ sa to na prvý pohľadzdá, a neţ vymedzujú osnovy. Tieto tvrdenia podopierajú na inom mieste tvrdením:1 Pojmy a-didaktická situácia a devolúcia pochádzajú od Brousseau [3].11

„Nepochybne, lineárny a lineárne kumulatívny model učenia v mnohých prípadoch nestačí nainterpretovanie toho, ako sa žiaci učia“.3. Čerpáme z poznatkov neuropsychológie o fungovaní ľudského mozgu pri učení.Otcom myšlienky hľadať súvislosť medzi učením resp. pamäťou a biologickými procesmiv mozgu je Eric Richard Kandel, laureát Nobelovej ceny za Fyziológiu a medicínu z roku2000. Okrem niektorých jeho prác sme čerpali predovšetkým z [9], kde Dobeš prehľadnezosumarizoval aktuálne poznatky neuropsychológie a dal ich k dispozícii v slovenčine. Tietopoznatky jednoznačne podporujú opodstatnenosť a správnosť špirálového vyučovania:Učenie z neuropsychologického hľadiska znamená, že sa na základe nejakého podnetupozmení neurónová sieť mozgu. Krátkodobé zmeny sa dejú najmä tým, že sa zmenírýchlosť a kvalita prenosu informácie na synapsiách medzi neurónmi. Dlhodobézmeny sa dejú buď tak, že sa dlhodobo zmenia vlastnosti synapsie medzi neurónmi,respektíve, že sa zmenia celkové charakteristiky neurónov – množstvo ich prepojení,cieľ ich prepojení, ich vodivosť, charakteristiky aktivity a iné.Rozdelenie na krátkodobé a dlhodobé zmeny má svoj význam. Aby bola neurónová sieťúčinná a stabilná, musí reagovať na množstvo stimulov, no nemôže sa hneď meniť podvplyvom každého podnetu, ktorý do nej príde. Podnet musí byť častý alebo silný, abysa sieť dlhodobejšie zmenila.Nadobudnutie dlhodobých vedomostí vyţaduje zmenu neurónovej siete mozgu. Pretomusí byť podnet, ktorým je vo vyučovaní stretnutie sa s tým istým pojmom, silný (čopovaţujeme za pomerne subjektívnu a teda sotva merateľnú veličinu) alebo častý:Na to, aby sa krátkodobé zmeny v pamäti premietli do dlhodobých, je potrebné, abybol podnet dosť silný, alebo aby sa častejšie opakoval. V takom prípade dochádzanielen ku zmene synaptickej efektívnosti, ale i k fyzickému rastu či odumieraniu medzineurónmi. Často používané neuróny rastú, zvyšujú množstvo svojich výbežkov. Málopoužívané neuróny zakrpatievajú.12

4 Výsledky práce a ich významV dizertačnej práci sme sa zaoberali špirálovým usporiadaním osnov matematiky nagymnáziách. K voľbe témy nás inšpirovali naše dlhodobé osobné skúsenosti s vyučovanímpráve podľa takýchto osnov, pri ktorých sa výsledky u ţiakov ukázali ako stabilnejšiea plastickejšie, neţ je tomu pri vyučovaní prevaţne lineárnym spôsobom.Základný cieľ práce: „Na základe vlastných skúseností a metaanalýzy prezentovaťšpirálové osnovanie vo vyučovaní matematiky. Následne ho navrhnúť ako vhodný nástrojkvalitného odovzdávania vedomostí vo vyučovacom procese.“ sme konkretizovali v šiestichčiastkových cieľoch, uvedených vyššie v časti Priebeh výskumu, ciele a hypotézy. Na tomtomieste prinášame analýzu naplnenia týchto cieľov a tým aj naplnenia základného cieľadizertačnej práce. V analýze sa pridrţiavame štruktúry dizertačnej práce.V prvej kapitole sme spracovali historický a epistemologický vývoj základných pojmovmatematickej analýzy, pričom sme prihliadali na moţnosť jeho vyuţitia pri vyučovaní nastrednej škole. Vzhľadom na skutočnosť, ţe mysleniu stredoškoláka je oveľa bliţší„archaický“, no názorný prístup starovekých a stredovekých matematikov, neţ starostlivoformálne vypracované, na pochopenie však náročné prístupy a postupy, ktoré nachádzamev matematickej analýze od čias Newtona a Leibniza, venujeme v tejto kapitole priestorprístupom, ktoré boli v podstate predchodcami matematickej analýzy dnešných čias. Prvákapitola naplnila piaty z cieľov dizertačnej práce.Druhá kapitola je rozčlenená na tri časti. Ako sme ozrejmili vyššie, kaţdá z týchto častívlastným spôsobom zdôvodňuje opodstatnenosť špirálového vyučovania, ba dokoncaprirodzenú potrebu človeka nadobúdať a upevňovať si vedomosti špirálovým spôsobom.Druhá kapitola podáva exaktné dôkazy hypotéz, ktoré sme formulovali v úvodnej časti, čímnaplnila druhý a čiastočne i prvý z čiastkových cieľov dizertačnej práce.Tretia kapitola, ktorá je venovaná špirálovému osnovaniu z rôznych hľadísk, naplnilatretí a čiastočne prvý z cieľov dizertačnej práce. V tejto kapitole pribliţujeme skúsenostis takýmto osnovaním v niekoľkých krajinách. Zmieňujeme sa taktieţ o tom, ţe aj v našomprostredí, a to v bilingválnych slovensko-francúzskych triedach gymnázií, sa veľmi úspešnevyučuje podľa špirálových osnov uţ od roku 1991. Na ilustráciu didaktického zdvihu, kuktorému dochádza pri špirálovom vyučovaní, uvádzame dve úlohy zo stredoškolskej13

matematiky a viacero riešení kaţdej z nich. Tieto riešenia odzrkadľujú špirálový návratk učivu v novej, rozšírenej kvalite.Hlavným podkladom pre štvrtú kapitolu bol príspevok Porovnanie osnov na Slovenskua vo Francúzsku [8]. Táto kapitola prináša porovnanie osnov matematiky pre gymnáziá naSlovensku (osnovy z roku 1997) a vo Francúzsku (osnovy z roku 2000). Pouţité francúzskeosnovy sú špirálové, čo v našom porovnaní ešte viac vynikne. Ţiaľ, zároveň vystúpi dopopredia skutočnosť, ţe slovenské osnovy matematiky pre gymnáziá sú v prevaţnej mierelineárne. V tejto kapitole sme doplnili naplnenie prvých troch cieľov, ktoré sme si stanoviliv úvodnej časti dizertačnej práce.Piata kapitola prináša v plnom rozsahu osnovy matematiky pre bilingválne slovenskofrancúzskegymnáziá. Sú to špirálovite usporiadané osnovy, podľa ktorých sa matematikaúspešne vyučuje v slovenskom prostredí uţ od roku 1991. Piata kapitola naplnila štvrtýčiastkový cieľ dizertačnej práce.V šiestej kapitole ponúkame návrh špirálového usporiadania tematického celku Funkciav osnovách matematiky pre štvorročné gymnáziá. Rešpektujeme pritom aktuálne osnovyz matematiky z roku 2008. Zdôrazňujeme zásady, ktoré je potrebné dodrţiavať, ak sa mázachovať špirálový charakter vyučovania matematiky. Formulujeme ďalšie kritériá, ktoré smesi stanovili pre nami navrhnuté usporiadanie osnov:- konštruktivistický prístup v súlade s rešpektovaním paralely medzi fylogenézoua ontogenézou pojmu funkcia;- flexibilnosť voči poţiadavkám fyziky a iných predmetov na gymnáziu;- pruţnosť voči organizačným zmenám v škole;- vyuţívanie IKT.Šiesta kapitola prináša konkrétny návrh špirálového usporiadania tematického celku Funkciav osnovách matematiky na gymnáziu, ktorý rešpektuje všetky nami stanovené kritériái zásady. Jednotlivé body tohto návrhu stručne dopĺňame o naše skúsenosti a rady, uvádzametieţ niekoľko odporúčaných úloh. Šiesta kapitola naplnila šiesty cieľ dizertačnej práce.14

Výsledky dizertačnej práce a ich význam môţeme zhrnúť v týchto bodoch:Za najdôleţitejší výsledok našej práce povaţujeme vytvorenie a zdôvodnenie teórie,podľa ktorej je špirálové osnovanie vhodným nástrojom kvalitného odovzdávaniavedomostí vo vyučovacom procese.Aplikáciou špirálového usporiadania osnov v predloţenej práci je návrh osnov,presnejšie návrh rozčlenenia a zaradenia tematického celku Funkcie (matematickáanalýza) do osnov matematiky pre štvorročné gymnáziá. Tento návrh nie je vytvorený„pri písacom stole“. Je výsledkom mnohonásobnej realizácie a overovania v triedach,so skutočnými, mimoriadne povzbudivými výsledkami u ţiakov.Keďţe práve matematická analýza je mimoriadne vhodným a uţitočným aparátom preďalší povinný vyučovací predmet na gymnáziu, ktorým je fyzika, predloţený návrhosnov prepájame s osnovami fyziky pre gymnáziá z roku 2008, ako sú uvedenév časti Človek a príroda.V predloţenom návrhu osnov sa odráţa dôleţitá úloha využívania IKT pri vyučovanímatematiky na strednej škole.Osobitné postavenie matematickej analýzy v našej práci posilňuje kapitola ponúkajúcaniektoré elementy historicko-epistemologického vývoja tejto oblasti matematikys cieľom ich zaradenia do vyučovania na strednej škole.15

5 Záver a perspektívy ďalšieho výskumuNa základe vyššie uvedenej analýzy sme presvedčení, ţe v predloţenej dizertačnej prácisa nám podarilo naplniť všetky ciele, ktoré sme stanovili v jej úvodnej časti.Teoretická fáza prípravy dizertačnej práce nám otvorila pokladnicu, do ktorej sme za tenkrátky čas mohli načrieť iba čiastočne, a iba časť získaných informácií a poznatkov smemohli spracovať a uviesť v dizertačnej práci. Predloţená problematika otvára široké moţnostipre ďalší výskum a jeho aplikácie.V nasledujúcom období by sme chceli vypracovať a ponúknuť úplné špirálovousporiadané osnovy matematiky pre štvorročné gymnáziá na Slovensku, ešte príťaţlivejšou sajaví moţnosť vypracovať osnovy rovnakého typu pre osemročné gymnáziá. Keďţe mámepred sebou otvorenú príleţitosť realizovať, overiť a vytvoriť návrh dynamickéhomedzipredmetového vyučovania (matematika – fyzika), plánované osnovy by mali odráţaťprepojenie medzi týmito predmetmi. K osnovám bude potrebné zostaviť príručku pre učiteľa,ktorá mu bude pomáhať udrţať dynamiku špirálového rytmu a neskĺznuť do lineárneho, a topredovšetkým v tých tematických celkoch, ktoré sú v slovenských osnovách uţ tradičnezaradené jednorazovo, ako je napríklad analytická geometria. Postupne by sme chceli zostaviťa vydať zbierku úloh a cvičení ku špirálovo usporiadaným osnovám.Naďalej chceme mapovať skúsenosti so špirálovým vyučovaním v ďalších, predovšetkýmšpanielsky a anglicky hovoriacich krajinách, inšpirovať sa ich úspechmi a vziať si ponaučeniez neúspechov. Vzhľadom na priamu súvislosť chceme tieto informácie dopĺňať štúdiomliteratúry francúzskej didaktickej školy, najmä tých publikácií, ktoré sa zaoberajú úlohou časuv didaktickom procese. V súčasnosti je to v didaktickej komunite intenzívne sledovanáproblematika.V neposlednom rade by sme sa chceli naďalej venovať fascinujúcemu štúdiu dejínmatematickej analýzy a sprístupniť získané poznatky stredoškolským učiteľom a študentomformou broţúrky.16

6 Zoznam prác uchádzača, ktoré majú priamy vzťah ku skúmanejproblematike[1] ČERŇANOVÁ, V. (1998): Maturitné skúšky vo Francúzsku. Príspevok na Slovenskom seminário maturitnej skúške z matematiky. MCMB, Bratislava[2] ČERŇANOVÁ, V. – TOMOVÁ, A. (2006): Porovnanie osnov matematiky na Slovensku a voFrancúzsku (Osnovy pre štvorročné štúdium gymnázií). Gymnázium Metodova 2, Bratislava,projekt ESF 13120120051[3] ČEPČEKOVÁ, J. - ČERŇANOVÁ, V. – MIŠKOVSKÁ, V. - TOMOVÁ, A. (2007): Osnovy pre slovensko- francúzske sekcie gymnázií, Matematika. Gymnázium Metodova 2, Bratislava, projekt ESF13120120051[4] ČERŇANOVÁ, V. (2008): Teória didaktických situácií v IKT, Príklad pracovného listu pre programGRAPHMATICA. Zborník z konferencie EMATIK 2008, FMFI UK, Bratislava[5] ČERŇANOVÁ, V. (2009): Osnovy matematiky pre gymnáziá – lineárne alebo špirálové? Zborníkzo 6. ţilinskej konferencie didZA, Ţilina[6] ČERŇANOVÁ, V. (2009): Matematika – niektoré pohľady na činnosť mozgu pri učení.Príspevok na VII. Nitrianskej matematickej konferencii, FPV UKF Nitra 2009. (prihlásenýpríspevok)Ohlasy na uvedené prácePráca [4] je citovaná In: ŢIDOVÁ, D. (2009): Interaktívne aplety vo vyučovaní goniometrickýchfunkcií na SŠ. Rigorózna práca. Bratislava, FMFI UK17

7 Zoznam bibliografických odkazov[1] AZCÁRATE, C. – CAMACHO, M. (2003): Sobre la Investigación en Didáctica del AnálisisMatemático. Boletín de la Asociación Matemática Venezolana, Vol.X, No.2[2] BARNOSKY, B.R.: The Spiral vs Mastery Debate: A Discussion of High School (Homeschool)Mathematics. In: http://www.candlestarservices.com/articles/spiralmastery.pdf[3] BROUSSEAU, G. (1998): Théorie des situations didactiques. La Pensée sauvage, Grenoble[4] COGAN, L.S. – SCHMIDT, W.H. (1999): What We’ve Learned from the TIMSS - Middle SchoolMath Reform, Middle Matters, Fall 1999. In: http://ustimss.msu.edu/midmathreform.html[5] O'CONNOR, J.J. – ROBERTSON, E.F. (2005): The function concept.In: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions.html[6] ČERŇANOVÁ, V. (2008): Teória didaktických situácií v IKT, Príklad pracovného listu pre programGRAPHMATICA. Príspevok na Konferencii EMATIK 2008, Bratislava[7] ČERŇANOVÁ, V. (2009): Osnovy matematiky pre gymnáziá – lineárne alebo špirálové? Príspevokna 6. ţilinskej konferencii didZA (prijatý príspevok), Ţilina[8] ČERŇANOVÁ, V. – TOMOVÁ, A. (2006): Porovnanie osnov matematiky na Slovensku a voFrancúzsku (Osnovy pre štvorročné štúdium gymnázií). Gymnázium Metodova 2, Bratislava,projekt ESF 13120120051[9] DOBEŠ, M. (2005): Základy neuropsychológie. Spoločenskovedný ústav SAV, Košice.In: pcl.tuke.sk/neuropsychologia , www.saske.sk/SVU/psychologia/download/neuropsy.pdf[10] DUBEC, A. (1964): Metodika matematiky, SPN, Bratislava[11] FALATH, M. (1996): Maturitná skúška v slovensko-francúzskej bilingválnej sekcii. Záverečnápráca z funkčného školenia riaditeľov a zástupcov riaditeľov. MCMB Bratislava[12] FULIER, J. (2005): Informačné a komunikačné technológie vo vyučovaní matematiky. UKF, Nitra[13] FULIER, J. – ŠEDIVÝ, O. (2001): Motivácia a tvorivosť vo vyučovaní matematiky. UKF, Nitra[14] GÁBOR, O. – KOPANEV, O. – KRIŢALKOVIČ, K. (1989): Teória vyučovania matematiky 1. SPN,Bratislava[15] GAVORA, P. (1997): Výskumné metódy v pedagogike. UK, Bratislava[16] GLOTZ, S. – JOELANTS, N. – MICHAUX, CH. – REMY, A. – POURBAIX, F. (1999): Activité demodélisation dans l’enseignement des mathématiques au travers des problèmes historiques. Mons,Recherche en Education n°79/99 In: http://www.enseignement.be/index.php?page=24910[17] GUNČAGA, J. (2004): Limitné procesy v školskej matematike. Dizertačná práca, UKF, Nitra18

[18] GUNČAGA, J. – FULIER, J. – EISENMANN, P. (2008): Modernizácia a inovácia vyučovaniamatematickej analýzy. KU, Ruţomberok[19] HAIRER, E. – WANNER, G. (2001): L’Analyse au fil de l‘histoire. Bibliothèque Scopos, Springer[20] CHEVALLARD, Y. (1991): La transposition didactique, du savoir savant au savoir enseigné. LaPensée Sauvage, Grenoble[21] JUŠKEVIČ, A.B. (1977): Dějiny matematiky ve středověku. Academia, Praha[22] KANDEL, E.R. (2000): Cellular mechanisms of learning and the biological basis of individuality.In: Kandel, E.R.- Schwartz, J.H.- Jessel, T.M.: Principles of neutral science. McGraw-Hill, NewYork[23] KINDT, M. (2005): La historia de las matemáticas en la ensmedziuniverzitných prednášok v rámci cyklu SCTM 05, Universidad de la LagunaIn: http://webpages.ull.es/users/imarrero/sctm05/modulo3lp.html[24] KOHANOVÁ, I. (2008): Teoretické rámce vo výskumoch v didaktike matematiky. II. zborníkpríspevkov štipendistov projektu JPD 3 BA 2005/1-043 (ESF), Centrum projektovej podporyFMFI UK, Bratislava[25] KOVÁROVÁ, I. – SEKERÁK, J. (2006): Škola hrou – teória didaktických sitácií. UPJŠ, Košice[26] KRASLANOVÁ, I. (2008): Integrácia informačných technológií do vyučovania matematiky: Deriveako jedna z moţností . Dizertačná práca. FMFI UK, Bratislava[27] KUŘINA, F. (1985): Řešení úloh a vyučování matematice. Pokroky matematiky, fyzikya astronomie 4/1985, Academia, Praha[28] KVASZ, L. (2007): Matematika a teológia. Prednesené v rámci cyklu „Besedy TF“ v Bratislave.In: Teologické fórum - spoločenstvo teológov a záujemcov o teológiu a filozofiu v duchu II_vatikánskeho koncilu a kontexte súčasnej vedy a kultúry.htm[29] KVASZ, L. (2003): Pouţitie histórie matematiky vo vyučovaní matematickej analýzy.In: Disputationes Scientificae Universitatis Catholicae in Ruţomberok Vol. III, No.3[30] LAROCHE F. (2003): Promenades mathématiques: histoire, fondements, applications. Ellipses,Paris[31] LEHNING, H. et al. (2005): Mille ans d’histoire des mathématiques. 1001-2000: l’accès à lamodernité. Tangente HS n°10, Éditions Pole, Paris[32] PETLÁK, E. (2004): Všeobecná didaktika. IRIS, Bratislava19

[33] Proceedings of the Fourth International Congress on Mathematical Education. Birkhauser,Boston, 1983[34] REGECOVÁ, M. (2005): Analytická geometria a vektorový počet vo vyučovaní matematikyna strednej škole. Dizertačná práca. FMFI UK, Bratislava[35] ROBERT, A. - LATTUATI, M. – PENNINCKX, J. (1999): L´enseignement des mathématiques aulycée. Ellipses, Paris[36] SLAVÍČKOVÁ, M. (2006): Konštruktivizmus ako základ tvorby pedagogického softvéru.Dizertačná práca, FMFI UK, Bratislava[37] SILVERMAN, D. (2005): Ako robiť kvalitatívny výskum: praktická príručka. Ikar, Bratislava[38] SOCAS, M. – CAMACHO, M. (2003): Conocimientoen la Educación Secundaria. Algunas Reflexiones. Boletín de la Asociación MatemáticaVenezolana, Vol. X, No.2[39] STÖLTING, P. (2008): Die Entwicklung funktionalen Denkens in der Sekundarstufe I –vergleichende Analysen und empirische Studien zum Mathematikunterricht in Deutschland undFrankreich. Dizertačná práca, Universität Regensburg. Résumé en français, Université Paris 7Diderot[40] ŠIKOLA, B. (1968): Modernizace vyučování matematice ve francouzských učebnicích. Pokrokymatematiky, fyziky a astronomie 1/1968, Academia, Praha[41] TÖRÖKOVÁ, Ľ. (2007): Porovnanie obsahu a vyučovania matematiky na SŠ v USA (Pittsburg)a v SR (Banská Bystrica). In: Zborník z 8. vedeckej konferencie doktorandov a mladýchvedeckých pracovníkov, UKF Nitra[42] TRENČANSKÝ, I. (2001): Moţnosti teórie didaktických situácií na zefektívnenie učenia. Zborník 4.bratislavského seminára z teórie vyučovania matematiky, FMFI UK, Bratislava[43] TUREK, I. (1997): Zvyšovanie efektívnosti vyučovania. Metodické centrum, Bratislava[44] VESELÝ, J. (1997): Matematická analýza pro učitele. Matfyzpress, PrahaInternetové zdroje[45] http://bemol.ac-orleans-tours.fr/maths/prog_site/pdf%20progression%20annuelle.pdf[46] http://www.ac-orleans-tours.fr/maths/article.php3?id_article=262[47] http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/conv20.pdf[48] http://content.education.lu/sites/horaires/2005-2006/pdf/3CG/MATHE/MATHE_3CG_1_0.pdf20

[49] http://www.enseignement.be/@librairie/documents/ressources/079/synthese/17_6.pdf[50] http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/rtee/didmat.doc[51] http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/[52] http://cours.cstj.net/101-902-m.f/Guidepedagogique/methodologie.htm#signet[53] http://cours.cegep-st-jerome.qc.ca/101-902-m.f/Guidepedagogique/[54] http://www.hhmi.org/research/investigators/kandel_bio.html[55] internetová Encyklopédia Wikipédia, z ktorej sme prevzali väčšinu portrétov (kapitola 1)Pedagogické dokumenty[56] Štátny vzdelávací program pre gymnáziá v Slovenskej republike ISCED 3A – Vyššie sekundárnevzdelávanie, 30.6.2008, Bratislava[57] Učebné osnovy gymnázia, štvorročné štúdium, Matematika. ŠPÚ Bratislava, 1997. In:http://www2.statpedu.sk/buxus/docs/Pedagogicke_dokumenty/Gymnazia/4roc/Osnovy/UO_mat_4r_gym.pdf[58] Vademecum des sections bilingues Franco-Slovaques. Centre de Coopération Linguistique etEducative, Praha, 1994[59] JACOB, CH. – PENNINCKX, J. – BILHAUD, D. (1993): Mathématiques – Classe bilingue – Additif àl’usage des professeurs. Académie de Versailles[60] JACOB, CH. – PENNINCKX, J. – BILHAUD, D. (1993): Mathématiques – Classe bilingue – Livretd’accompagnement des manuels. Académie de Versailles[61] PENNINCKX, J. (2001): Classes bilingues franco - slovaques et franco - tchèques, Mathématiques.Rapport de mission 18 au 20 décembre 2000. Académie de Versailles[62] Groupe d’experts sur les programmes scolaires de mathématiques, brochure d’accompagnementdes programmes, classes terminales de série scientifique et de la série économique, CNDP, juillet2002, page 9[63] Mathématiques – Programmes en vigueur, Direction générale de l'Enseignement scolaire. Publiéle 29 mai 2007 © Ministère de l'Éducation nationalehttp://eduscol.education.fr/D0015/LLPHPR01.htm[64] ČEPČEKOVÁ, J. - ČERŇANOVÁ, V. – MIŠKOVSKÁ, V. - TOMOVÁ, A. (2007): Osnovy pre slovensko- francúzske sekcie gymnázií, Matematika. Gymnázium Metodova 2, Bratislava, projekt ESF1312012005121

8 SummarySpiral curriculum is the issue for many discussions in recent years, mainly abroad, whereis this kind of curriculum used. Our main goal was to vindicate the spiral curriculum ofteaching mathematics as proper and to propose such model of curriculum for the last fouryears of upper secondary school, where are topics from analysis ordered in spiral way.Our qualitative research was made during many years of teaching mathematics accordingspiral curriculum that seems to be proper from many points of view.The theoretical framework includes survey of new development in the area of researchand also three parts that support successfully the qualities of spiral teaching:1. definitions of linear and spiral curriculum and their comparison,2. specification of time as didactical category based on French didactical school,3. neurolopsychology - knowledge of processes in human’s brain during learning.Results of high importance are building and theoretical support of theory that considers spiral teaching as means ofhigh-quality application – proposition of small sections of mathematical analysis that could allowus to include it into spiral curriculum at upper secondary school the elements of historical and epistemological development of mathematical analysisfocused on using of history in the mathematics teaching at upper secondary school articulation and connection of the proposed spiral curriculum of mathematics withcurriculum of physics.We can conclude that the goals of our thesis were fulfilled.22