Fourierovy rady II. - Matematika pro inženýry 21. století

Funkce komplexní proměnné a integrálnítransformaceFourierovy řady II.Marek LampartText byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č.CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská – Technickáuniverzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni

Prostor L 2 (a, b)

Prostor L 2 (a, b)Označme L 2 (a, b) množinu všech vhodných komplexních funkcíf : (a, b) → C, pro které je integrálkonečný.∫ ba|f (t)| 2 d t (1)

Prostor L 2 (a, b)Označme L 2 (a, b) množinu všech vhodných komplexních funkcíf : (a, b) → C, pro které je integrál∫ ba|f (t)| 2 d t (1)konečný.Funkce náležící prostoru L 2 (a, b) se nazývá integrovatelná skvadrátem.

Prostor L 2 (a, b)Označme L 2 (a, b) množinu všech vhodných komplexních funkcíf : (a, b) → C, pro které je integrál∫ ba|f (t)| 2 d t (1)konečný.Funkce náležící prostoru L 2 (a, b) se nazývá integrovatelná skvadrátem.Poznámka 1

Prostor L 2 (a, b)Označme L 2 (a, b) množinu všech vhodných komplexních funkcíf : (a, b) → C, pro které je integrál∫ ba|f (t)| 2 d t (1)konečný.Funkce náležící prostoru L 2 (a, b) se nazývá integrovatelná skvadrátem.Poznámka 1Výraz vhodných ve výše uvedené definici je podstatný prokorektnost textu. Funkce, které jsou pro nás přípustné, vhodné, jsouty, se kterými se většinou setkáme v praxi a v tomto textu, není-liřečeno jinak. Pro další omezení věnujte pozornost následujícímpoznámkám.

Prostor L 2 (a, b)

Prostor L 2 (a, b)Příklad 1

Prostor L 2 (a, b)Příklad 1Integrací lze ověřit, že

Prostor L 2 (a, b)Příklad 1Integrací lze ověřit, že◮ f (t) = 1 + i √t∈ L 2 [1, 2],

Prostor L 2 (a, b)Příklad 1Integrací lze ověřit, že◮ f (t) = 1 + i √t∈ L 2 [1, 2],◮ f (t) = 1 + i √t∉ L 2 (0, 1],

Prostor L 2 (a, b)Příklad 1Integrací lze ověřit, že◮ f (t) = 1 + i √t∈ L 2 [1, 2],◮ f (t) = 1 + i √t∉ L 2 (0, 1],◮ f (t) = 1 + i4√t∈ L 2 (0, 1].

Prostor L 2 (a, b)Poznámka 2

Prostor L 2 (a, b)Poznámka 2Při řešení mnohých problémů se často používá speciální prostorL 1 (a, b), prostor funkcí integrovatelných na intervalu (a, b).

Prostor L 2 (a, b)Poznámka 2Při řešení mnohých problémů se často používá speciální prostorL 1 (a, b), prostor funkcí integrovatelných na intervalu (a, b).Tento prostor je opět lineární.

Prostor L 2 (a, b)Poznámka 2Při řešení mnohých problémů se často používá speciální prostorL 1 (a, b), prostor funkcí integrovatelných na intervalu (a, b).Tento prostor je opět lineární.Řekneme, že funkce f patří do L 1 (a, b), je-li na intervalu (a, b)(absolutně) integrovatelná.

Prostor L 2 (a, b)Poznámka 2Při řešení mnohých problémů se často používá speciální prostorL 1 (a, b), prostor funkcí integrovatelných na intervalu (a, b).Tento prostor je opět lineární.Řekneme, že funkce f patří do L 1 (a, b), je-li na intervalu (a, b)(absolutně) integrovatelná.To jest

Prostor L 2 (a, b)Poznámka 2Při řešení mnohých problémů se často používá speciální prostorL 1 (a, b), prostor funkcí integrovatelných na intervalu (a, b).Tento prostor je opět lineární.Řekneme, že funkce f patří do L 1 (a, b), je-li na intervalu (a, b)(absolutně) integrovatelná.To jest∫ ba|f (t)| d t < ∞.

Prostor L 2 (a, b)Poznámka 2Při řešení mnohých problémů se často používá speciální prostorL 1 (a, b), prostor funkcí integrovatelných na intervalu (a, b).Tento prostor je opět lineární.Řekneme, že funkce f patří do L 1 (a, b), je-li na intervalu (a, b)(absolutně) integrovatelná.To jest∫ ba|f (t)| d t < ∞.Zřejmě, je-li f (t) ∈ L 2 (a, b), pak také f (t) ∈ L 1 (a, b).

Prostor L 2 (a, b)Poznámka 2Při řešení mnohých problémů se často používá speciální prostorL 1 (a, b), prostor funkcí integrovatelných na intervalu (a, b).Tento prostor je opět lineární.Řekneme, že funkce f patří do L 1 (a, b), je-li na intervalu (a, b)(absolutně) integrovatelná.To jest∫ ba|f (t)| d t < ∞.Zřejmě, je-li f (t) ∈ L 2 (a, b), pak také f (t) ∈ L 1 (a, b).Opačná implikace však neplatí.

Prostor L 2 (a, b)

Prostor L 2 (a, b)Příklad 2

Prostor L 2 (a, b)Příklad 2Integrací lze ověřit, že

Prostor L 2 (a, b)Příklad 2Integrací lze ověřit, že◮ f (t) = 1 + i √t∈ L 1 [1, 2],

Prostor L 2 (a, b)Příklad 2Integrací lze ověřit, že◮ f (t) = 1 + i √t∈ L 1 [1, 2],◮ f (t) = 1 + i4√t∈ L 1 (0, 1].

Prostor L 2 (a, b)

Prostor L 2 (a, b)Příklad 3

Prostor L 2 (a, b)Příklad 31Rozhodněme, zda funkce f (t) = √ je integrovatelná st − 1kvadrátem, či alespoň absolutně integrovatelná na intervalu [1, 2].

Prostor L 2 (a, b)Příklad 31Rozhodněme, zda funkce f (t) = √ je integrovatelná st − 1kvadrátem, či alespoň absolutně integrovatelná na intervalu [1, 2].Spočtěme příslušné integrály:

Prostor L 2 (a, b)Příklad 31Rozhodněme, zda funkce f (t) = √ je integrovatelná st − 1kvadrátem, či alespoň absolutně integrovatelná na intervalu [1, 2].Spočtěme příslušné integrály:∫ 211√t − 1d t =

Prostor L 2 (a, b)Příklad 31Rozhodněme, zda funkce f (t) = √ je integrovatelná st − 1kvadrátem, či alespoň absolutně integrovatelná na intervalu [1, 2].Spočtěme příslušné integrály:∫ 21∫121√ d t = lim √ d tt − 1 u→1 u t − 1

Prostor L 2 (a, b)Příklad 31Rozhodněme, zda funkce f (t) = √ je integrovatelná st − 1kvadrátem, či alespoň absolutně integrovatelná na intervalu [1, 2].Spočtěme příslušné integrály:∫ 21∫121√ d t = lim √ d t = lim [2 √ t − 1] 2 ut − 1 u→1 u t − 1 u→1

Prostor L 2 (a, b)Příklad 31Rozhodněme, zda funkce f (t) = √ je integrovatelná st − 1kvadrátem, či alespoň absolutně integrovatelná na intervalu [1, 2].Spočtěme příslušné integrály:∫ 21∫121√ d t = lim √ d t = lim [2 √ t − 1] 2 u = 2,t − 1 u→1 u t − 1 u→1

Prostor L 2 (a, b)Příklad 31Rozhodněme, zda funkce f (t) = √ je integrovatelná st − 1kvadrátem, či alespoň absolutně integrovatelná na intervalu [1, 2].Spočtěme příslušné integrály:∫ 21∫ 21∫121√ d t = lim √ d t = lim [2 √ t − 1] 2 u = 2,t − 1 u→1 u t − 1 u→1( 1√t − 1) 2d t =

Prostor L 2 (a, b)Příklad 31Rozhodněme, zda funkce f (t) = √ je integrovatelná st − 1kvadrátem, či alespoň absolutně integrovatelná na intervalu [1, 2].Spočtěme příslušné integrály:∫ 21∫ 21∫121√ d t = lim √ d t = lim [2 √ t − 1] 2 u = 2,t − 1 u→1 u t − 1 u→1( ) 2 ∫ 121√ d t = limt − 1 u→1 u t − 1 d t

Prostor L 2 (a, b)Příklad 31Rozhodněme, zda funkce f (t) = √ je integrovatelná st − 1kvadrátem, či alespoň absolutně integrovatelná na intervalu [1, 2].Spočtěme příslušné integrály:∫ 21∫ 21∫121√ d t = lim √ d t = lim [2 √ t − 1] 2 u = 2,t − 1 u→1 u t − 1 u→1( ) 2 ∫ 121√ d t = limt − 1 u→1 u t − 1 d t = lim [ln |t − u→1 1|]2 u

Prostor L 2 (a, b)Příklad 31Rozhodněme, zda funkce f (t) = √ je integrovatelná st − 1kvadrátem, či alespoň absolutně integrovatelná na intervalu [1, 2].Spočtěme příslušné integrály:∫ 21∫ 21∫121√ d t = lim √ d t = lim [2 √ t − 1] 2 u = 2,t − 1 u→1 u t − 1 u→1( ) 2 ∫ 121√ d t = limt − 1 u→1 u t − 1 d t = lim [ln |t − u→1 1|]2 u = ∞.

Prostor L 2 (a, b)Příklad 31Rozhodněme, zda funkce f (t) = √ je integrovatelná st − 1kvadrátem, či alespoň absolutně integrovatelná na intervalu [1, 2].Spočtěme příslušné integrály:∫ 21∫ 21∫121√ d t = lim √ d t = lim [2 √ t − 1] 2 u = 2,t − 1 u→1 u t − 1 u→1( ) 2 ∫ 121√ d t = limt − 1 u→1 u t − 1 d t = lim [ln |t − u→1 1|]2 u = ∞.Celkově, daná funkce1√t − 1∈ L 1 [1, 2],

Prostor L 2 (a, b)Příklad 31Rozhodněme, zda funkce f (t) = √ je integrovatelná st − 1kvadrátem, či alespoň absolutně integrovatelná na intervalu [1, 2].Spočtěme příslušné integrály:∫ 21∫ 21∫121√ d t = lim √ d t = lim [2 √ t − 1] 2 u = 2,t − 1 u→1 u t − 1 u→1( ) 2 ∫ 121√ d t = limt − 1 u→1 u t − 1 d t = lim [ln |t − u→1 1|]2 u = ∞.Celkově, daná funkce11√ ∈ L 1 [1, 2],ale √ ∉ L 2 [1, 2].t − 1 t − 1

Prostor L 2 (a, b)

Prostor L 2 (a, b)Věta 1

Prostor L 2 (a, b)Věta 1Každá po částech spojitá funkce na uzavřeném intervalu je na tomtointervalu integrovatelná s kvadrátem.

Prostor L 2 (a, b)Věta 1Každá po částech spojitá funkce na uzavřeném intervalu je na tomtointervalu integrovatelná s kvadrátem.Poznámka 3

Prostor L 2 (a, b)Věta 1Každá po částech spojitá funkce na uzavřeném intervalu je na tomtointervalu integrovatelná s kvadrátem.Poznámka 3K úplnosti je ještě nutno definovat po částech spojitou funkci.

Prostor L 2 (a, b)Věta 1Každá po částech spojitá funkce na uzavřeném intervalu je na tomtointervalu integrovatelná s kvadrátem.Poznámka 3K úplnosti je ještě nutno definovat po částech spojitou funkci.Je to taková funkce, která vyhovuje následujícím podmínkám:

Prostor L 2 (a, b)Věta 1Každá po částech spojitá funkce na uzavřeném intervalu je na tomtointervalu integrovatelná s kvadrátem.Poznámka 3K úplnosti je ještě nutno definovat po částech spojitou funkci.Je to taková funkce, která vyhovuje následujícím podmínkám:1. existuje konečné dělení intervalu (a, b) takové, že dělicí intervalyjsou navzájem disjunktní a jejich sjednocení je právě interval(a, b),

Prostor L 2 (a, b)Věta 1Každá po částech spojitá funkce na uzavřeném intervalu je na tomtointervalu integrovatelná s kvadrátem.Poznámka 3K úplnosti je ještě nutno definovat po částech spojitou funkci.Je to taková funkce, která vyhovuje následujícím podmínkám:1. existuje konečné dělení intervalu (a, b) takové, že dělicí intervalyjsou navzájem disjunktní a jejich sjednocení je právě interval(a, b),2. funkce zúžená na každý dělící interval je spojitá.

Prostor L 2 (a, b)Věta 1Každá po částech spojitá funkce na uzavřeném intervalu je na tomtointervalu integrovatelná s kvadrátem.Poznámka 3K úplnosti je ještě nutno definovat po částech spojitou funkci.Je to taková funkce, která vyhovuje následujícím podmínkám:1. existuje konečné dělení intervalu (a, b) takové, že dělicí intervalyjsou navzájem disjunktní a jejich sjednocení je právě interval(a, b),2. funkce zúžená na každý dělící interval je spojitá.Jediné, co je zapotřebí zvážit, je omezenost funkce na příslušnémdělícím intervalu.

Prostor L 2 (a, b)

Prostor L 2 (a, b)Bud’te f a g funkce z L 2 (a, b).

Prostor L 2 (a, b)Bud’te f a g funkce z L 2 (a, b).Pak skalární součin funkcí f a g na intervalu (a, b) definujemevztahem

Prostor L 2 (a, b)Bud’te f a g funkce z L 2 (a, b).Pak skalární součin funkcí f a g na intervalu (a, b) definujemevztahem(f , g) =∫ baf (t)g(t) d t. (2)

Prostor L 2 (a, b)Bud’te f a g funkce z L 2 (a, b).Pak skalární součin funkcí f a g na intervalu (a, b) definujemevztahem(f , g) =∫ bNormu funkce f z L 2 (a, b) definujeme předpisemaf (t)g(t) d t. (2)

Prostor L 2 (a, b)Bud’te f a g funkce z L 2 (a, b).Pak skalární součin funkcí f a g na intervalu (a, b) definujemevztahem(f , g) =∫ bNormu funkce f z L 2 (a, b) definujeme předpisemaf (t)g(t) d t. (2)‖f ‖ = √ (f , f ). (3)

Prostor L 2 (a, b)Bud’te f a g funkce z L 2 (a, b).Pak skalární součin funkcí f a g na intervalu (a, b) definujemevztahem(f , g) =∫ bNormu funkce f z L 2 (a, b) definujeme předpisemaf (t)g(t) d t. (2)‖f ‖ = √ (f , f ). (3)Normu funkce tedy chápeme jako její vzdálenost od nulové funkce.

Prostor L 2 (a, b)

Prostor L 2 (a, b)✻f 0 (t)0 a bObrázek: Graf funkce f 0✲t

Prostor L 2 (a, b)✻f 0 (t)0 a bObrázek: Graf funkce f 0✲t✻f 1 (t)1 ❝ 0 a bObrázek: Graf funkce f 1✲t

Prostor L 2 (a, b)

Prostor L 2 (a, b)Poznámka 4

Prostor L 2 (a, b)Poznámka 4Vezměme funkce f 0 (t) a f 1 (t) definované na předchozích obrázcích.

Prostor L 2 (a, b)Poznámka 4Vezměme funkce f 0 (t) a f 1 (t) definované na předchozích obrázcích.Pak‖f 0 ‖ = ‖f 1 ‖ = 0.

Prostor L 2 (a, b)Poznámka 4Vezměme funkce f 0 (t) a f 1 (t) definované na předchozích obrázcích.Pak‖f 0 ‖ = ‖f 1 ‖ = 0.Tedy pro dvě různé funkce dostáváme stejnou normu, což není vpořádku.

Prostor L 2 (a, b)Poznámka 4Vezměme funkce f 0 (t) a f 1 (t) definované na předchozích obrázcích.Pak‖f 0 ‖ = ‖f 1 ‖ = 0.Tedy pro dvě různé funkce dostáváme stejnou normu, což není vpořádku.Vezmeme-li v úvahu předchozí poznámku, pak vzhledem kLebesgueově míře jsou tyto funkce totožné, liší se pouze na množiněmíry nula.

Prostor L 2 (a, b)

Prostor L 2 (a, b)Lema 1

Prostor L 2 (a, b)Lema 1Bud’te f , g a h funkce z L 2 (a, b) a c ∈ C.

Prostor L 2 (a, b)Lema 1Bud’te f , g a h funkce z L 2 (a, b) a c ∈ C.Pak

Prostor L 2 (a, b)Lema 1Bud’te f , g a h funkce z L 2 (a, b) a c ∈ C.Pak1. (f , f ) = ∫ ba f (t)f (t) d t = ∫ ba |f (t)|2 d t = ‖f ‖ 2 ,

Prostor L 2 (a, b)Lema 1Bud’te f , g a h funkce z L 2 (a, b) a c ∈ C.Pak1. (f , f ) = ∫ ba f (t)f (t) d t = ∫ ba |f (t)|2 d t = ‖f ‖ 2 ,2. (cf , g) = c(f , g),

Prostor L 2 (a, b)Lema 1Bud’te f , g a h funkce z L 2 (a, b) a c ∈ C.Pak1. (f , f ) = ∫ ba f (t)f (t) d t = ∫ ba |f (t)|2 d t = ‖f ‖ 2 ,2. (cf , g) = c(f , g),3. (f + h, g) = (f , g) + (h, g),

Prostor L 2 (a, b)Lema 1Bud’te f , g a h funkce z L 2 (a, b) a c ∈ C.Pak1. (f , f ) = ∫ ba f (t)f (t) d t = ∫ ba |f (t)|2 d t = ‖f ‖ 2 ,2. (cf , g) = c(f , g),3. (f + h, g) = (f , g) + (h, g),4. (f , g) = (g, f ),

Prostor L 2 (a, b)Lema 1Bud’te f , g a h funkce z L 2 (a, b) a c ∈ C.Pak1. (f , f ) = ∫ ba f (t)f (t) d t = ∫ ba |f (t)|2 d t = ‖f ‖ 2 ,2. (cf , g) = c(f , g),3. (f + h, g) = (f , g) + (h, g),4. (f , g) = (g, f ),5. Schwarz-Buňakovského nerovnost: |(f , g)| ≤ ‖f ‖‖g‖,

Prostor L 2 (a, b)Lema 1Bud’te f , g a h funkce z L 2 (a, b) a c ∈ C.Pak1. (f , f ) = ∫ ba f (t)f (t) d t = ∫ ba |f (t)|2 d t = ‖f ‖ 2 ,2. (cf , g) = c(f , g),3. (f + h, g) = (f , g) + (h, g),4. (f , g) = (g, f ),5. Schwarz-Buňakovského nerovnost: |(f , g)| ≤ ‖f ‖‖g‖,6. ‖f ‖ = 0 právě tehdy, je-li f (t) = 0 pro každé t,

Prostor L 2 (a, b)Lema 1Bud’te f , g a h funkce z L 2 (a, b) a c ∈ C.Pak1. (f , f ) = ∫ ba f (t)f (t) d t = ∫ ba |f (t)|2 d t = ‖f ‖ 2 ,2. (cf , g) = c(f , g),3. (f + h, g) = (f , g) + (h, g),4. (f , g) = (g, f ),5. Schwarz-Buňakovského nerovnost: |(f , g)| ≤ ‖f ‖‖g‖,6. ‖f ‖ = 0 právě tehdy, je-li f (t) = 0 pro každé t,7. ‖cf ‖ = |c|‖f ‖,

Prostor L 2 (a, b)Lema 1Bud’te f , g a h funkce z L 2 (a, b) a c ∈ C.Pak1. (f , f ) = ∫ ba f (t)f (t) d t = ∫ ba |f (t)|2 d t = ‖f ‖ 2 ,2. (cf , g) = c(f , g),3. (f + h, g) = (f , g) + (h, g),4. (f , g) = (g, f ),5. Schwarz-Buňakovského nerovnost: |(f , g)| ≤ ‖f ‖‖g‖,6. ‖f ‖ = 0 právě tehdy, je-li f (t) = 0 pro každé t,7. ‖cf ‖ = |c|‖f ‖,8. ‖f + g‖ ≤ ‖f ‖ + ‖g‖.

Prostor L 2 (a, b)

Prostor L 2 (a, b)Systém funkcí {f n } ∞ n=1 z L 2(a, b) je ortogonální, je-li skalární součinkaždých dvou různých funkcí roven nule,

Prostor L 2 (a, b)Systém funkcí {f n } ∞ n=1 z L 2(a, b) je ortogonální, je-li skalární součinkaždých dvou různých funkcí roven nule,tj. platí-li pro každé m ≠ n(f m , f n ) = 0. (4)

Prostor L 2 (a, b)Systém funkcí {f n } ∞ n=1 z L 2(a, b) je ortogonální, je-li skalární součinkaždých dvou různých funkcí roven nule,tj. platí-li pro každé m ≠ n(f m , f n ) = 0. (4)Je-li navíc norma každé funkce posloupnosti rovna jedné, nazývámetakový systém ortonormální,

Prostor L 2 (a, b)Systém funkcí {f n } ∞ n=1 z L 2(a, b) je ortogonální, je-li skalární součinkaždých dvou různých funkcí roven nule,tj. platí-li pro každé m ≠ n(f m , f n ) = 0. (4)Je-li navíc norma každé funkce posloupnosti rovna jedné, nazývámetakový systém ortonormální,tj.⎧⎪⎨ 1 pro m = n,(f m , f n ) =(5)⎪⎩ 0 pro m ≠ n.

Prostor L 2 (a, b)

Prostor L 2 (a, b)Příklad 4

Prostor L 2 (a, b)Příklad 4Systém funkcí {e int } ∞ n=−∞ je na intervalu [0, 2π] ortogonální, nenívšak ortonormální.

Prostor L 2 (a, b)Příklad 4Systém funkcí {e int } ∞ n=−∞ je na intervalu [0, 2π] ortogonální, nenívšak ortonormální.Prvně, ∫ 2π0|e int | 2 d t = 2π,

Prostor L 2 (a, b)Příklad 4Systém funkcí {e int } ∞ n=−∞ je na intervalu [0, 2π] ortogonální, nenívšak ortonormální.Prvně, ∫ 2π0|e int | 2 d t = 2π, tedy e int ∈ L 2 [0, 2π] pro každé n.

Prostor L 2 (a, b)Příklad 4Systém funkcí {e int } ∞ n=−∞ je na intervalu [0, 2π] ortogonální, nenívšak ortonormální.Prvně, ∫ 2π|e int | 2 d t = 2π, tedy e int ∈ L0 2 [0, 2π] pro každé n.Dále(f m , f n ) =

Prostor L 2 (a, b)Příklad 4Systém funkcí {e int } ∞ n=−∞ je na intervalu [0, 2π] ortogonální, nenívšak ortonormální.Prvně, ∫ 2π|e int | 2 d t = 2π, tedy e int ∈ L0 2 [0, 2π] pro každé n.Dále⎧⎪⎨(f m , f n ) =⎪⎩∫ 2π0e imt e −int d t = 2π pro m = n,

Prostor L 2 (a, b)Příklad 4Systém funkcí {e int } ∞ n=−∞ je na intervalu [0, 2π] ortogonální, nenívšak ortonormální.Prvně, ∫ 2π|e int | 2 d t = 2π, tedy e int ∈ L0 2 [0, 2π] pro každé n.Dále⎧⎪⎨(f m , f n ) =⎪⎩∫ 2πe imt e −int d t = 2π0pro m = n,∫ 2πe imt e −int d t = 00pro m ≠ n.(6)

Prostor L 2 (a, b)Příklad 4Systém funkcí {e int } ∞ n=−∞ je na intervalu [0, 2π] ortogonální, nenívšak ortonormální.Prvně, ∫ 2π|e int | 2 d t = 2π, tedy e int ∈ L0 2 [0, 2π] pro každé n.Dále⎧⎪⎨(f m , f n ) =⎪⎩∫ 2πe imt e −int d t = 2π0pro m = n,∫ 2πe imt e −int d t = 00pro m ≠ n.Daný systém funkcí lze jednoduchým způsobem normalizovatpřenásobením každé funkce převrácenou hodnotou normy:(6)

Prostor L 2 (a, b)Příklad 4Systém funkcí {e int } ∞ n=−∞ je na intervalu [0, 2π] ortogonální, nenívšak ortonormální.Prvně, ∫ 2π|e int | 2 d t = 2π, tedy e int ∈ L0 2 [0, 2π] pro každé n.Dále⎧⎪⎨(f m , f n ) =⎪⎩∫ 2πe imt e −int d t = 2π0pro m = n,∫ 2πe imt e −int d t = 00pro m ≠ n.Daný systém funkcí lze jednoduchým způsobem normalizovatpřenásobením každé funkce převrácenou hodnotou normy:(6){ eint‖e int ‖} ∞n=−∞

Prostor L 2 (a, b)Příklad 4Systém funkcí {e int } ∞ n=−∞ je na intervalu [0, 2π] ortogonální, nenívšak ortonormální.Prvně, ∫ 2π|e int | 2 d t = 2π, tedy e int ∈ L0 2 [0, 2π] pro každé n.Dále⎧⎪⎨(f m , f n ) =⎪⎩∫ 2πe imt e −int d t = 2π0pro m = n,∫ 2πe imt e −int d t = 00pro m ≠ n.Daný systém funkcí lze jednoduchým způsobem normalizovatpřenásobením každé funkce převrácenou hodnotou normy:(6){ eint ∞‖e ‖} int =n=−∞{ eint√2π} ∞n=−∞.

Prostor L 2 (a, b)Příklad 4Systém funkcí {e int } ∞ n=−∞ je na intervalu [0, 2π] ortogonální, nenívšak ortonormální.Prvně, ∫ 2π|e int | 2 d t = 2π, tedy e int ∈ L0 2 [0, 2π] pro každé n.Dále⎧⎪⎨(f m , f n ) =⎪⎩∫ 2πe imt e −int d t = 2π0pro m = n,∫ 2πe imt e −int d t = 00pro m ≠ n.Daný systém funkcí lze jednoduchým způsobem normalizovatpřenásobením každé funkce převrácenou hodnotou normy:(6){ eint ∞‖e ‖} int =n=−∞{ eint√2π} ∞n=−∞.Pak zřejmě

Prostor L 2 (a, b)Příklad 4Systém funkcí {e int } ∞ n=−∞ je na intervalu [0, 2π] ortogonální, nenívšak ortonormální.Prvně, ∫ 2π|e int | 2 d t = 2π, tedy e int ∈ L0 2 [0, 2π] pro každé n.Dále⎧⎪⎨(f m , f n ) =⎪⎩∫ 2πe imt e −int d t = 2π0pro m = n,∫ 2πe imt e −int d t = 00pro m ≠ n.Daný systém funkcí lze jednoduchým způsobem normalizovatpřenásobením každé funkce převrácenou hodnotou normy:(6){ eint ∞‖e ‖} int =n=−∞{ eint√2π} ∞n=−∞.Pak zřejmě‖ √ eint‖ 22π

Prostor L 2 (a, b)Příklad 4Systém funkcí {e int } ∞ n=−∞ je na intervalu [0, 2π] ortogonální, nenívšak ortonormální.Prvně, ∫ 2π|e int | 2 d t = 2π, tedy e int ∈ L0 2 [0, 2π] pro každé n.Dále⎧⎪⎨(f m , f n ) =⎪⎩∫ 2πe imt e −int d t = 2π0pro m = n,∫ 2πe imt e −int d t = 00pro m ≠ n.Daný systém funkcí lze jednoduchým způsobem normalizovatpřenásobením každé funkce převrácenou hodnotou normy:(6){ eint ∞‖e ‖} int =n=−∞{ eint√2π} ∞n=−∞.Pak zřejmě‖ eint√2π‖ 2 = 12π (eint , e int )

Prostor L 2 (a, b)Příklad 4Systém funkcí {e int } ∞ n=−∞ je na intervalu [0, 2π] ortogonální, nenívšak ortonormální.Prvně, ∫ 2π|e int | 2 d t = 2π, tedy e int ∈ L0 2 [0, 2π] pro každé n.Dále⎧⎪⎨(f m , f n ) =⎪⎩∫ 2πe imt e −int d t = 2π0pro m = n,∫ 2πe imt e −int d t = 00pro m ≠ n.Daný systém funkcí lze jednoduchým způsobem normalizovatpřenásobením každé funkce převrácenou hodnotou normy:(6){ eint ∞‖e ‖} int =n=−∞{ eint√2π} ∞n=−∞.Pak zřejmě‖ eint√2π‖ 2 = 12π (eint , e int ) = 1.

Prostor L 2 (a, b)

Prostor L 2 (a, b)Příklad 5

Prostor L 2 (a, b)Příklad 5Posloupnost trigonometrických funkcí1, cos(t), sin(t), cos(2t), sin(2t), . . .je na intervalu (−π, π) ortogonální, není však ortonormální.

Prostor L 2 (a, b)Příklad 5Posloupnost trigonometrických funkcí1, cos(t), sin(t), cos(2t), sin(2t), . . .je na intervalu (−π, π) ortogonální, není však ortonormální.Skutečně:

Prostor L 2 (a, b)Příklad 5Posloupnost trigonometrických funkcí1, cos(t), sin(t), cos(2t), sin(2t), . . .je na intervalu (−π, π) ortogonální, není však ortonormální.Skutečně:⎧⎪⎨pro m ≠ n je⎪⎩

Prostor L 2 (a, b)Příklad 5Posloupnost trigonometrických funkcí1, cos(t), sin(t), cos(2t), sin(2t), . . .je na intervalu (−π, π) ortogonální, není však ortonormální.Skutečně:⎧∫ πcos(mt) sin(nt) d t = 0,−π ⎪⎨pro m ≠ n je⎪⎩

Prostor L 2 (a, b)Příklad 5Posloupnost trigonometrických funkcí1, cos(t), sin(t), cos(2t), sin(2t), . . .je na intervalu (−π, π) ortogonální, není však ortonormální.Skutečně:⎧∫ πcos(mt) sin(nt) d t = 0,−π⎪⎨pro m ≠ n je⎪⎩∫ πcos(mt) cos(nt) d t = 0,−π

Prostor L 2 (a, b)Příklad 5Posloupnost trigonometrických funkcí1, cos(t), sin(t), cos(2t), sin(2t), . . .je na intervalu (−π, π) ortogonální, není však ortonormální.Skutečně:⎧∫ πcos(mt) sin(nt) d t = 0,−π⎪⎨pro m ≠ n je⎪⎩∫ πcos(mt) cos(nt) d t = 0, (7)−π∫ π−π sin(mt) sin(nt) d t = 0,

Prostor L 2 (a, b)Příklad 5Posloupnost trigonometrických funkcí1, cos(t), sin(t), cos(2t), sin(2t), . . .je na intervalu (−π, π) ortogonální, není však ortonormální.Skutečně:⎧∫ πcos(mt) sin(nt) d t = 0,−π⎪⎨pro m ≠ n je⎪⎩∫ πcos(mt) cos(nt) d t = 0, (7)−π∫ π−π sin(mt) sin(nt) d t = 0,⎧⎪⎨pro m = n je⎪⎩

Prostor L 2 (a, b)Příklad 5Posloupnost trigonometrických funkcí1, cos(t), sin(t), cos(2t), sin(2t), . . .je na intervalu (−π, π) ortogonální, není však ortonormální.Skutečně:⎧∫ πcos(mt) sin(nt) d t = 0,−π⎪⎨pro m ≠ n je⎪⎩∫ πcos(mt) cos(nt) d t = 0, (7)−π∫ π−π sin(mt) sin(nt) d t = 0,pro m = n je⎧⎪⎨⎪⎩∫ πcos(mt) sin(mt) d t = 0,−π

Prostor L 2 (a, b)Příklad 5Posloupnost trigonometrických funkcí1, cos(t), sin(t), cos(2t), sin(2t), . . .je na intervalu (−π, π) ortogonální, není však ortonormální.Skutečně:⎧∫ πcos(mt) sin(nt) d t = 0,−π⎪⎨pro m ≠ n je⎪⎩∫ πcos(mt) cos(nt) d t = 0, (7)−π∫ π−π sin(mt) sin(nt) d t = 0,pro m = n je⎧⎪⎨⎪⎩∫ πcos(mt) sin(mt) d t = 0,−π∫ πcos(mt) cos(mt) d t = π,−π

Prostor L 2 (a, b)Příklad 5Posloupnost trigonometrických funkcí1, cos(t), sin(t), cos(2t), sin(2t), . . .je na intervalu (−π, π) ortogonální, není však ortonormální.Skutečně:⎧∫ πcos(mt) sin(nt) d t = 0,−π⎪⎨pro m ≠ n je⎪⎩∫ πcos(mt) cos(nt) d t = 0, (7)−π∫ π−π sin(mt) sin(nt) d t = 0,pro m = n je⎧⎪⎨⎪⎩∫ πcos(mt) sin(mt) d t = 0,−π∫ πcos(mt) cos(mt) d t = π, (8)−π∫ π−π sin(mt) sin(mt) d t = π.

Prostor L 2 (a, b)Příklad 5

Prostor L 2 (a, b)Příklad 5Normalizací dané posloupnosti získáme ortonormální systém funkcí:

Prostor L 2 (a, b)Příklad 5Normalizací dané posloupnosti získáme ortonormální systém funkcí:1√ , cos(t) √ , sin(t) √ , cos(2t) √ , sin(2t) √ , . . .2π π π π π

Prostor L 2 (a, b)

Prostor L 2 (a, b)Příklad 6

Prostor L 2 (a, b)Příklad 6Systém funkcí {e int } ∞ n=−∞ není na intervalu [0, π] ortogonální.

Prostor L 2 (a, b)Příklad 6Systém funkcí {e int } ∞ n=−∞ není na intervalu [0, π] ortogonální.Skutečně

Prostor L 2 (a, b)Příklad 6Systém funkcí {e int } ∞ n=−∞ není na intervalu [0, π] ortogonální.Skutečně(f m , f n ) =

Prostor L 2 (a, b)Příklad 6Systém funkcí {e int } ∞ n=−∞ není na intervalu [0, π] ortogonální.Skutečně(f m , f n ) =∫ π0e imt e −int d t

Prostor L 2 (a, b)Příklad 6Systém funkcí {e int } ∞ n=−∞ není na intervalu [0, π] ortogonální.Skutečně(f m , f n ) =∫ π0e imt e −int d t = (−1)m−n − 1m − n≠ 0 pro m − n liché.

Prostor L 2 (a, b)

Prostor L 2 (a, b)Necht’ je dána posloupnost funkcí {f n } ∞ n=1 z L 2(a, b).

Prostor L 2 (a, b)Necht’ je dána posloupnost funkcí {f n } ∞ n=1 z L 2(a, b).Existuje-li funkce f z L 2 (a, b) taková, želim ‖f n − f ‖ = 0, (9)n→∞pak říkáme, že posloupnost {f n } ∞ n=1 konverguje k f v normě L 2(a, b).

Prostor L 2 (a, b)Necht’ je dána posloupnost funkcí {f n } ∞ n=1 z L 2(a, b).Existuje-li funkce f z L 2 (a, b) taková, želim ‖f n − f ‖ = 0, (9)n→∞pak říkáme, že posloupnost {f n } ∞ n=1 konverguje k f v normě L 2(a, b).Někdy se také používá označení konvergence v průměru nebokonvergence ve smyslu střední kvadratické odchylky.

Prostor L 2 (a, b)Necht’ je dána posloupnost funkcí {f n } ∞ n=1 z L 2(a, b).Existuje-li funkce f z L 2 (a, b) taková, želim ‖f n − f ‖ = 0, (9)n→∞pak říkáme, že posloupnost {f n } ∞ n=1 konverguje k f v normě L 2(a, b).Někdy se také používá označení konvergence v průměru nebokonvergence ve smyslu střední kvadratické odchylky.Posloupnost funkcí {f n } ∞ n=1 z L 2(a, b) konverguje na množině M kfunkci f stejnoměrně, jestliže pro každé ɛ > 0 existuje n 0 takové, žepro každé n > n 0 a každé z ∈ M je |f n (z) − f (z)| < ɛ.

Prostor L 2 (a, b)Necht’ je dána posloupnost funkcí {f n } ∞ n=1 z L 2(a, b).Existuje-li funkce f z L 2 (a, b) taková, želim ‖f n − f ‖ = 0, (9)n→∞pak říkáme, že posloupnost {f n } ∞ n=1 konverguje k f v normě L 2(a, b).Někdy se také používá označení konvergence v průměru nebokonvergence ve smyslu střední kvadratické odchylky.Posloupnost funkcí {f n } ∞ n=1 z L 2(a, b) konverguje na množině M kfunkci f stejnoměrně, jestliže pro každé ɛ > 0 existuje n 0 takové, žepro každé n > n 0 a každé z ∈ M je |f n (z) − f (z)| < ɛ.Pokud víme, že posloupnost {f n } ∞ n=1je stejnoměrně konvergentní,pak je také konvergentní.

Prostor L 2 (a, b)

Prostor L 2 (a, b)Příklad 7

Prostor L 2 (a, b)Příklad 7Geometrická posloupnost {t n } ∞ n=1je konvergentní, ale nenístejnoměrně konvergentní na intervalu [0, 1).

Prostor L 2 (a, b)Příklad 7Geometrická posloupnost {t n } ∞ n=1je konvergentní, ale nenístejnoměrně konvergentní na intervalu [0, 1).Snadno se ověří, že daná posloupnost konverguje k 0 na intervalu[0, 1).

Prostor L 2 (a, b)Příklad 7Geometrická posloupnost {t n } ∞ n=1je konvergentní, ale nenístejnoměrně konvergentní na intervalu [0, 1).Snadno se ověří, že daná posloupnost konverguje k 0 na intervalu[0, 1).Dále platí, že sup |t n | = 1 pro t ∈ [0, 1).

Prostor L 2 (a, b)Příklad 7Geometrická posloupnost {t n } ∞ n=1je konvergentní, ale nenístejnoměrně konvergentní na intervalu [0, 1).Snadno se ověří, že daná posloupnost konverguje k 0 na intervalu[0, 1).Dále platí, že sup |t n | = 1 pro t ∈ [0, 1).Tedy limitou není 0, daná posloupnost nekonverguje absolutně.

Zobecněná Fourierova řada

Zobecněná Fourierova řadaCelá teorie Fourierových řad vznikla z potřeby rozvinout danouperiodickou funkci v periodickou funkci tvořenou trigonometrickýmifunkcemi.

Zobecněná Fourierova řadaCelá teorie Fourierových řad vznikla z potřeby rozvinout danouperiodickou funkci v periodickou funkci tvořenou trigonometrickýmifunkcemi.Většina vět platných pro Fourierovy řady zůstane platná, nahradíme-liv původních úvahách trigonometrické funkce systémem funkcí, ježjsou ortogonální popřípadě ortonormální.

Zobecněná Fourierova řadaCelá teorie Fourierových řad vznikla z potřeby rozvinout danouperiodickou funkci v periodickou funkci tvořenou trigonometrickýmifunkcemi.Většina vět platných pro Fourierovy řady zůstane platná, nahradíme-liv původních úvahách trigonometrické funkce systémem funkcí, ježjsou ortogonální popřípadě ortonormální.Vzniká tedy otázka, zda je možno zadanou funkci f (t), která jeintegrovatelná s kvadrátem na intervalu [a, b], rozvinout vnekonečnou řadu∞∑α n ϕ n (t)n=0pomocí ortonormovaného systému funkcí {ϕ n } ∞ n=0 , ϕ n ∈ L 2 (a, b) aurčit koeficienty α n .

Zobecněná Fourierova řada

Zobecněná Fourierova řada1. Aproximace

Zobecněná Fourierova řada1. AproximacePředpokládejme, že {ϕ n (t)} ∞ n=0je ortonormální soustava funkcí.

Zobecněná Fourierova řada1. AproximacePředpokládejme, že {ϕ n (t)} ∞ n=0je ortonormální soustava funkcí.Budeme aproximovat funkci f (t) polynomem T n na základě nejmenšístřední kvadratické odchylky.

Zobecněná Fourierova řada1. AproximacePředpokládejme, že {ϕ n (t)} ∞ n=0je ortonormální soustava funkcí.Budeme aproximovat funkci f (t) polynomem T n na základě nejmenšístřední kvadratické odchylky. Je tedy otázkou, jak volit koeficienty α nv mnohočlenu

Zobecněná Fourierova řada1. AproximacePředpokládejme, že {ϕ n (t)} ∞ n=0je ortonormální soustava funkcí.Budeme aproximovat funkci f (t) polynomem T n na základě nejmenšístřední kvadratické odchylky. Je tedy otázkou, jak volit koeficienty α nv mnohočlenuT k (t) = α 0 ϕ 0 (t) + α 1 ϕ 1 (t) + · · · + α k ϕ k (t),

Zobecněná Fourierova řada1. AproximacePředpokládejme, že {ϕ n (t)} ∞ n=0je ortonormální soustava funkcí.Budeme aproximovat funkci f (t) polynomem T n na základě nejmenšístřední kvadratické odchylky. Je tedy otázkou, jak volit koeficienty α nv mnohočlenuT k (t) = α 0 ϕ 0 (t) + α 1 ϕ 1 (t) + · · · + α k ϕ k (t),aby byla hodnota integráluminimální.I k = 1b − a∫ ba[f (t) − T k (t)] 2 d t

Zobecněná Fourierova řada

Zobecněná Fourierova řadaUpravme daný integrál

Zobecněná Fourierova řadaUpravme daný integrálI k =

Zobecněná Fourierova řadaUpravme daný integrál( ∫I k = 1 b[f (t)] 2 d t − 2b − aa∫ ba[f (t)T k (t)] d t +∫ ba[T k (t)] 2 d t).

Zobecněná Fourierova řadaUpravme daný integrál( ∫I k = 1 b[f (t)] 2 d t − 2b − aPak jea∫ ba[f (t)T k (t)] d t +∫ ba[T k (t)] 2 d t).

Zobecněná Fourierova řadaUpravme daný integrál( ∫I k = 1 b[f (t)] 2 d t − 2b − aPak jea∫ baf (t)T k (t) d t =∫ ba[f (t)T k (t)] d t +∫ ba[T k (t)] 2 d t).

Zobecněná Fourierova řadaUpravme daný integrál( ∫I k = 1 b[f (t)] 2 d t − 2b − aPak jea∫ baf (t)T k (t) d t =∫ ba[f (t)T k (t)] d t +∫ bk∑∫ bα n f (t)ϕ n (t) d t.n=0aa[T k (t)] 2 d t).

Zobecněná Fourierova řadaUpravme daný integrál( ∫I k = 1 b[f (t)] 2 d t − 2b − aPak jea∫ baf (t)T k (t) d t =Označme a n = ∫ ba f (t)ϕ n(t) d t.∫ ba[f (t)T k (t)] d t +∫ bk∑∫ bα n f (t)ϕ n (t) d t.n=0aa[T k (t)] 2 d t).

Zobecněná Fourierova řadaUpravme daný integrál( ∫I k = 1 b[f (t)] 2 d t − 2b − aPak jea∫ baf (t)T k (t) d t =∫ ba[f (t)T k (t)] d t +∫ bk∑∫ bα n f (t)ϕ n (t) d t.n=0a[T k (t)] 2 d tOznačme a n = ∫ ba f (t)ϕ n(t) d t.Toto číslo nazýváme Fourierovým koeficientem funkce f (t) vzhledemk dané soustavě funkcí {ϕ n (t)} ∞ n=0 .a).

Zobecněná Fourierova řadaUpravme daný integrál( ∫I k = 1 b[f (t)] 2 d t − 2b − aPak jea∫ baf (t)T k (t) d t =∫ ba[f (t)T k (t)] d t +∫ bk∑∫ bα n f (t)ϕ n (t) d t.n=0a[T k (t)] 2 d tOznačme a n = ∫ ba f (t)ϕ n(t) d t.Toto číslo nazýváme Fourierovým koeficientem funkce f (t) vzhledemk dané soustavě funkcí {ϕ n (t)} ∞ n=0 .Pak mámea).

Zobecněná Fourierova řadaUpravme daný integrál( ∫I k = 1 b[f (t)] 2 d t − 2b − aPak jea∫ baf (t)T k (t) d t =∫ ba[f (t)T k (t)] d t +∫ bk∑∫ bα n f (t)ϕ n (t) d t.n=0a[T k (t)] 2 d tOznačme a n = ∫ ba f (t)ϕ n(t) d t.Toto číslo nazýváme Fourierovým koeficientem funkce f (t) vzhledemk dané soustavě funkcí {ϕ n (t)} ∞ n=0 .Pak máme∫ baf (t)T k (t) d t =a).

Zobecněná Fourierova řadaUpravme daný integrál( ∫I k = 1 b[f (t)] 2 d t − 2b − aPak jea∫ baf (t)T k (t) d t =∫ ba[f (t)T k (t)] d t +∫ bk∑∫ bα n f (t)ϕ n (t) d t.n=0aa[T k (t)] 2 d tOznačme a n = ∫ ba f (t)ϕ n(t) d t.Toto číslo nazýváme Fourierovým koeficientem funkce f (t) vzhledemk dané soustavě funkcí {ϕ n (t)} ∞ n=0 .Pak máme∫ b∞∑f (t)T k (t) d t = α n a n .an=0).

Zobecněná Fourierova řada

Zobecněná Fourierova řadaNyní spočtěme

Zobecněná Fourierova řadaNyní spočtěme∫ ba[T k (t)] 2 d t =

Zobecněná Fourierova řadaNyní spočtěme∫ b[T k (t)] 2 d t =∫ baan=0[k∑α n ϕ n ] 2 d t

Zobecněná Fourierova řadaNyní spočtěme∫ ba[T k (t)] 2 d t ==∫ ba∫ ba[k∑α n ϕ n ] 2 d tn=0⎛⎜⎝k∑αnϕ 2 2 n + 2n=0k∑m,n=0n

Zobecněná Fourierova řadaNyní spočtěme∫ ba[T k (t)] 2 d t ===∫ ba∫ ba[k∑α n ϕ n ] 2 d tn=0⎛⎜⎝k∑αnϕ 2 2 n + 2n=0k∑αn,2n=0k∑m,n=0n

Zobecněná Fourierova řadaNyní spočtěme∫ ba[T k (t)] 2 d t ===∫ ba∫ ba[k∑α n ϕ n ] 2 d tn=0⎛⎜⎝k∑αn,2n=0k∑αnϕ 2 2 n + 2n=0díky ortonormalitě systému {ϕ n (t)} ∞ n=0 .k∑m,n=0n

Zobecněná Fourierova řada

Zobecněná Fourierova řadaIntegrál má tudíž tvar

Zobecněná Fourierova řadaIntegrál má tudíž tvarI k =

Zobecněná Fourierova řadaIntegrál má tudíž tvar( ∫1 bI k =f (t) 2 d t +b − aa)k∑(αn 2 − 2α n a n + an 2 − an)2n=0(10)

Zobecněná Fourierova řadaIntegrál má tudíž tvar( ∫1 bI k =f (t) 2 d t +b − a a( ∫1 b=f (t) 2 d t +b − aa)k∑(αn 2 − 2α n a n + an 2 − an)2n=0k∑(α n − a n ) 2 −n=0k∑n=0a 2 n)(10). (11)

Zobecněná Fourierova řadaIntegrál má tudíž tvar( ∫1 bI k =f (t) 2 d t +b − a a( ∫1 b=f (t) 2 d t +b − aa)k∑(αn 2 − 2α n a n + an 2 − an)2n=0k∑(α n − a n ) 2 −n=0Tato rovnice platí pro libovolnou volbu koeficientů α n .k∑n=0a 2 n)(10). (11)

Zobecněná Fourierova řadaIntegrál má tudíž tvar( ∫1 bI k =f (t) 2 d t +b − a a( ∫1 b=f (t) 2 d t +b − aa)k∑(αn 2 − 2α n a n + an 2 − an)2n=0k∑(α n − a n ) 2 −n=0k∑n=0Tato rovnice platí pro libovolnou volbu koeficientů α n .Integrál I k má tedy minimální hodnotu při volbě α n = a n .a 2 n)(10). (11)

Zobecněná Fourierova řada

Zobecněná Fourierova řadaOznačme mnohočlen T k s koeficienty α n = a n jako P k a příslušnéintegrály J k .

Zobecněná Fourierova řadaOznačme mnohočlen T k s koeficienty α n = a n jako P k a příslušnéintegrály J k .PakJ k =

Zobecněná Fourierova řadaOznačme mnohočlen T k s koeficienty α n = a n jako P k a příslušnéintegrály J k .PakJ k = 1b − a∫ ba[f (t) − P k (t)] 2 d t

Zobecněná Fourierova řadaOznačme mnohočlen T k s koeficienty α n = a n jako P k a příslušnéintegrály J k .PakJ k = 1b − a∫ ba( ∫[f (t) − P k (t)] 2 d t= 1 b[f (t)] 2 d t −b − a ak∑n=0a 2 n).(12)

Zobecněná Fourierova řadaOznačme mnohočlen T k s koeficienty α n = a n jako P k a příslušnéintegrály J k .PakJ k = 1b − a∫ bPro každé k platía( ∫[f (t) − P k (t)] 2 d t= 1 b[f (t)] 2 d t −b − a ak∑n=0a 2 n).(12)

Zobecněná Fourierova řadaOznačme mnohočlen T k s koeficienty α n = a n jako P k a příslušnéintegrály J k .PakJ k = 1b − a∫ baPro každé k platí( ∫[f (t) − P k (t)] 2 d t= 1 b[f (t)] 2 d t −b − a aJ k ≥ 0.k∑n=0a 2 n).(12)

Zobecněná Fourierova řadaOznačme mnohočlen T k s koeficienty α n = a n jako P k a příslušnéintegrály J k .PakJ k = 1b − a∫ baPro každé k platíProto( ∫[f (t) − P k (t)] 2 d t= 1 b[f (t)] 2 d t −b − a aJ k ≥ 0.k∑n=0a 2 n).(12)

Zobecněná Fourierova řadaOznačme mnohočlen T k s koeficienty α n = a n jako P k a příslušnéintegrály J k .PakJ k = 1b − a∫ baPro každé k platíProto( ∫[f (t) − P k (t)] 2 d t= 1 b[f (t)] 2 d t −b − a ak∑an 2 ≤n=0J k ≥ 0.∫ bak∑n=0a 2 n).(12)[f (t)] 2 d t. (13)

Zobecněná Fourierova řadaOznačme mnohočlen T k s koeficienty α n = a n jako P k a příslušnéintegrály J k .PakJ k = 1b − a∫ baPro každé k platíProto( ∫[f (t) − P k (t)] 2 d t= 1 b[f (t)] 2 d t −b − a ak∑an 2 ≤n=0J k ≥ 0.∫ bNerovnost (13) se nazývá Besselova.ak∑n=0a 2 n).(12)[f (t)] 2 d t. (13)

Zobecněná Fourierova řadaOznačme mnohočlen T k s koeficienty α n = a n jako P k a příslušnéintegrály J k .PakJ k = 1b − a∫ baPro každé k platíProto( ∫[f (t) − P k (t)] 2 d t= 1 b[f (t)] 2 d t −b − a ak∑an 2 ≤n=0J k ≥ 0.∫ bNerovnost (13) se nazývá Besselova.Formule (12) a (13) jsou platné pro každé k.ak∑n=0a 2 n).(12)[f (t)] 2 d t. (13)

Zobecněná Fourierova řadaOznačme mnohočlen T k s koeficienty α n = a n jako P k a příslušnéintegrály J k .PakJ k = 1b − a∫ baPro každé k platíProto( ∫[f (t) − P k (t)] 2 d t= 1 b[f (t)] 2 d t −b − a ak∑an 2 ≤n=0J k ≥ 0.∫ bak∑n=0a 2 n).(12)[f (t)] 2 d t. (13)Nerovnost (13) se nazývá Besselova.Formule (12) a (13) jsou platné pro každé k.Proto je nekonečná řada ∑ ∞n=0 a2 n konvergentní, nebot’ jsou všechnyčástečné součty menší než dané pevné kladné číslo.

Zobecněná Fourierova řada

Zobecněná Fourierova řada2. Uzavřenost

Zobecněná Fourierova řada2. UzavřenostŘešme nyní přirozenou otázku, zdalim J k = 0.k→∞

Zobecněná Fourierova řada2. UzavřenostŘešme nyní přirozenou otázku, zdalim J k = 0.k→∞Ortonormální systémy, jež splňují tuto vlastnost, označujeme jakouzavřené.

Zobecněná Fourierova řada2. UzavřenostŘešme nyní přirozenou otázku, zdalim J k = 0.k→∞Ortonormální systémy, jež splňují tuto vlastnost, označujeme jakouzavřené. Proto pro ně platí:

Zobecněná Fourierova řada2. UzavřenostŘešme nyní přirozenou otázku, zdalim J k = 0.k→∞Ortonormální systémy, jež splňují tuto vlastnost, označujeme jakouzavřené. Proto pro ně platí:∫ bk∑[f (t) − a n ϕ n (t)] 2 d t =limk→∞an=0

Zobecněná Fourierova řada2. UzavřenostŘešme nyní přirozenou otázku, zdalim J k = 0.k→∞Ortonormální systémy, jež splňují tuto vlastnost, označujeme jakouzavřené. Proto pro ně platí:∫ bk∑∫ b∞∑[f (t) − a n ϕ n (t)] 2 d t = [f (t)] 2 d t −limk→∞an=0an=0a 2 n

Zobecněná Fourierova řada2. UzavřenostŘešme nyní přirozenou otázku, zdalim J k = 0.k→∞Ortonormální systémy, jež splňují tuto vlastnost, označujeme jakouzavřené. Proto pro ně platí:∫ bk∑∫ b∞∑[f (t) − a n ϕ n (t)] 2 d t = [f (t)] 2 d t − an 2 = 0,limk→∞an=0an=0

Zobecněná Fourierova řada2. UzavřenostŘešme nyní přirozenou otázku, zdalim J k = 0.k→∞Ortonormální systémy, jež splňují tuto vlastnost, označujeme jakouzavřené. Proto pro ně platí:∫ bk∑∫ b∞∑[f (t) − a n ϕ n (t)] 2 d t = [f (t)] 2 d t − an 2 = 0,čililimk→∞an=0an=0

Zobecněná Fourierova řada2. UzavřenostŘešme nyní přirozenou otázku, zdalim J k = 0.k→∞Ortonormální systémy, jež splňují tuto vlastnost, označujeme jakouzavřené. Proto pro ně platí:∫ bk∑∫ b∞∑[f (t) − a n ϕ n (t)] 2 d t = [f (t)] 2 d t − an 2 = 0,čililimk→∞an=0∫ ba[f (t)] 2 d t =an=0

Zobecněná Fourierova řada2. UzavřenostŘešme nyní přirozenou otázku, zdalim J k = 0.k→∞Ortonormální systémy, jež splňují tuto vlastnost, označujeme jakouzavřené. Proto pro ně platí:∫ bk∑∫ b∞∑[f (t) − a n ϕ n (t)] 2 d t = [f (t)] 2 d t − an 2 = 0,čililimk→∞an=0∫ ba[f (t)] 2 d t =an=0∞∑ak. 2 (14)k=0

Zobecněná Fourierova řada2. UzavřenostŘešme nyní přirozenou otázku, zdalim J k = 0.k→∞Ortonormální systémy, jež splňují tuto vlastnost, označujeme jakouzavřené. Proto pro ně platí:∫ bk∑∫ b∞∑[f (t) − a n ϕ n (t)] 2 d t = [f (t)] 2 d t − an 2 = 0,čililimk→∞an=0∫ ba[f (t)] 2 d t =Rovnice (14) se nazývá Parsevalova.an=0∞∑ak. 2 (14)k=0

Zobecněná Fourierova řada2. UzavřenostŘešme nyní přirozenou otázku, zdalim J k = 0.k→∞Ortonormální systémy, jež splňují tuto vlastnost, označujeme jakouzavřené. Proto pro ně platí:∫ bk∑∫ b∞∑[f (t) − a n ϕ n (t)] 2 d t = [f (t)] 2 d t − an 2 = 0,čililimk→∞an=0∫ ba[f (t)] 2 d t =an=0∞∑ak. 2 (14)Rovnice (14) se nazývá Parsevalova. O posloupnostitrigonometrických funkcí jsme již dokázali, že je v intervalu [0, 2π]ortonormální.k=0

Zobecněná Fourierova řada2. UzavřenostŘešme nyní přirozenou otázku, zdalim J k = 0.k→∞Ortonormální systémy, jež splňují tuto vlastnost, označujeme jakouzavřené. Proto pro ně platí:∫ bk∑∫ b∞∑[f (t) − a n ϕ n (t)] 2 d t = [f (t)] 2 d t − an 2 = 0,čililimk→∞an=0∫ ba[f (t)] 2 d t =an=0∞∑ak. 2 (14)Rovnice (14) se nazývá Parsevalova. O posloupnostitrigonometrických funkcí jsme již dokázali, že je v intervalu [0, 2π]ortonormální.Uzavřenost se dokáže pomocí Fejérových vět.k=0

Zobecněná Fourierova řada

Zobecněná Fourierova řada3. Ortonormalita

Zobecněná Fourierova řada3. OrtonormalitaJiž jsme ukázali, že ortonormalita systému funkcí podstatnězjednodušuje rozvíjení dané funkce pomocí těchto funkcí.

Zobecněná Fourierova řada3. OrtonormalitaJiž jsme ukázali, že ortonormalita systému funkcí podstatnězjednodušuje rozvíjení dané funkce pomocí těchto funkcí.Bohužel mocninná posloupnost funkcíϕ k (t) = t k , kde k = 0, 1, . . . (15)není ortonormální ani normovaná, navzdory častému úkolu rozvinoutfunkci f (t) v mocninnou řadu.

Zobecněná Fourierova řada3. OrtonormalitaJiž jsme ukázali, že ortonormalita systému funkcí podstatnězjednodušuje rozvíjení dané funkce pomocí těchto funkcí.Bohužel mocninná posloupnost funkcíϕ k (t) = t k , kde k = 0, 1, . . . (15)není ortonormální ani normovaná, navzdory častému úkolu rozvinoutfunkci f (t) v mocninnou řadu.Způsob, jak sestavit koeficienty takové mocninné řady, je znám.

Zobecněná Fourierova řada3. OrtonormalitaJiž jsme ukázali, že ortonormalita systému funkcí podstatnězjednodušuje rozvíjení dané funkce pomocí těchto funkcí.Bohužel mocninná posloupnost funkcíϕ k (t) = t k , kde k = 0, 1, . . . (15)není ortonormální ani normovaná, navzdory častému úkolu rozvinoutfunkci f (t) v mocninnou řadu.Způsob, jak sestavit koeficienty takové mocninné řady, je znám.Stačí rozvíjet danou funkci f (t) v Taylorovu řadu.

Zobecněná Fourierova řada3. OrtonormalitaJiž jsme ukázali, že ortonormalita systému funkcí podstatnězjednodušuje rozvíjení dané funkce pomocí těchto funkcí.Bohužel mocninná posloupnost funkcíϕ k (t) = t k , kde k = 0, 1, . . . (15)není ortonormální ani normovaná, navzdory častému úkolu rozvinoutfunkci f (t) v mocninnou řadu.Způsob, jak sestavit koeficienty takové mocninné řady, je znám.Stačí rozvíjet danou funkci f (t) v Taylorovu řadu.Tento způsob je teoreticky dobrý, v praxi však narazíme na problém,který nemusí mít řešení, a to určení hodnot všech řádů derivace danéfunkce.

Zobecněná Fourierova řada3. OrtonormalitaJiž jsme ukázali, že ortonormalita systému funkcí podstatnězjednodušuje rozvíjení dané funkce pomocí těchto funkcí.Bohužel mocninná posloupnost funkcíϕ k (t) = t k , kde k = 0, 1, . . . (15)není ortonormální ani normovaná, navzdory častému úkolu rozvinoutfunkci f (t) v mocninnou řadu.Způsob, jak sestavit koeficienty takové mocninné řady, je znám.Stačí rozvíjet danou funkci f (t) v Taylorovu řadu.Tento způsob je teoreticky dobrý, v praxi však narazíme na problém,který nemusí mít řešení, a to určení hodnot všech řádů derivace danéfunkce.Tento problém lze odstranit tak, že danou funkci budeme rozvíjetpomocí systému složeného z mnohočlenů, který tvoříortonormovanou soustavu funkcí na daném intervalu.

Zobecněná Fourierova řada

Zobecněná Fourierova řadaVěta 2 (Schmidt)

Zobecněná Fourierova řadaVěta 2 (Schmidt)Bud’{ϕ n (t)} ∞ n=0 (16)posloupnost spojitých a nenulových funkcí na intervalu [a, b] taková,že každý konečný úsek ϕ 0 (t), ϕ 1 (t), . . . , ϕ k (t) představuje k + 1lineárně nezávislých funkcí.

Zobecněná Fourierova řadaVěta 2 (Schmidt)Bud’{ϕ n (t)} ∞ n=0 (16)posloupnost spojitých a nenulových funkcí na intervalu [a, b] taková,že každý konečný úsek ϕ 0 (t), ϕ 1 (t), . . . , ϕ k (t) představuje k + 1lineárně nezávislých funkcí.Pak lze z této posloupnosti vytvořitposloupnost funkcí{ψ n (t)} ∞ n=0 (17)spojitých na intervalu [a, b] takovou, že

Zobecněná Fourierova řadaVěta 2 (Schmidt)Bud’{ϕ n (t)} ∞ n=0 (16)posloupnost spojitých a nenulových funkcí na intervalu [a, b] taková,že každý konečný úsek ϕ 0 (t), ϕ 1 (t), . . . , ϕ k (t) představuje k + 1lineárně nezávislých funkcí.Pak lze z této posloupnosti vytvořitposloupnost funkcí{ψ n (t)} ∞ n=0 (17)spojitých na intervalu [a, b] takovou, že1. každý její konečný úsek ψ 0 (t), ψ 1 (t), . . . , ψ k−1 (t) představuje klineárně nezávislých funkcí,

Zobecněná Fourierova řadaVěta 2 (Schmidt)Bud’{ϕ n (t)} ∞ n=0 (16)posloupnost spojitých a nenulových funkcí na intervalu [a, b] taková,že každý konečný úsek ϕ 0 (t), ϕ 1 (t), . . . , ϕ k (t) představuje k + 1lineárně nezávislých funkcí.Pak lze z této posloupnosti vytvořitposloupnost funkcí{ψ n (t)} ∞ n=0 (17)spojitých na intervalu [a, b] takovou, že1. každý její konečný úsek ψ 0 (t), ψ 1 (t), . . . , ψ k−1 (t) představuje klineárně nezávislých funkcí,2. každá funkce ψ k (t) je lineární kombinací funkcíϕ 0 (t), ϕ 1 (t), . . . , ϕ k−1 (t),

Zobecněná Fourierova řadaVěta 2 (Schmidt)Bud’{ϕ n (t)} ∞ n=0 (16)posloupnost spojitých a nenulových funkcí na intervalu [a, b] taková,že každý konečný úsek ϕ 0 (t), ϕ 1 (t), . . . , ϕ k (t) představuje k + 1lineárně nezávislých funkcí.Pak lze z této posloupnosti vytvořitposloupnost funkcí{ψ n (t)} ∞ n=0 (17)spojitých na intervalu [a, b] takovou, že1. každý její konečný úsek ψ 0 (t), ψ 1 (t), . . . , ψ k−1 (t) představuje klineárně nezávislých funkcí,2. každá funkce ψ k (t) je lineární kombinací funkcíϕ 0 (t), ϕ 1 (t), . . . , ϕ k−1 (t),3. posloupnost (17) tvoří ortonormovanou soustavu.

Zobecněná Fourierova řada

Zobecněná Fourierova řadaProved’me nyní konstrukci ortonormované soustavy ze Schmidtovyvěty.

Zobecněná Fourierova řadaProved’me nyní konstrukci ortonormované soustavy ze Schmidtovyvěty.1.

Zobecněná Fourierova řadaProved’me nyní konstrukci ortonormované soustavy ze Schmidtovyvěty.1. Položmeψ 0 (t) = ϕ 0(t)c 0, (18)

Zobecněná Fourierova řadaProved’me nyní konstrukci ortonormované soustavy ze Schmidtovyvěty.1. Položmeψ 0 (t) = ϕ 0(t)c 0, (18)kde c0 2 = ∫ ba ϕ2 0(t) d t.

Zobecněná Fourierova řadaProved’me nyní konstrukci ortonormované soustavy ze Schmidtovyvěty.1. Položmeψ 0 (t) = ϕ 0(t)c 0, (18)kde c0 2 = ∫ ba ϕ2 0(t) d t.Funkce ψ 0 (t) je zřejmě normovaná.

Zobecněná Fourierova řadaProved’me nyní konstrukci ortonormované soustavy ze Schmidtovyvěty.1. Položmeψ 0 (t) = ϕ 0(t)c 0, (18)kde c0 2 = ∫ ba ϕ2 0(t) d t.Funkce ψ 0 (t) je zřejmě normovaná.Skutečně

Zobecněná Fourierova řadaProved’me nyní konstrukci ortonormované soustavy ze Schmidtovyvěty.1. Položmeψ 0 (t) = ϕ 0(t)c 0, (18)kde c0 2 = ∫ ba ϕ2 0(t) d t.Funkce ψ 0 (t) je zřejmě normovaná.Skutečně∫ baψ 2 0(t) d t =

Zobecněná Fourierova řadaProved’me nyní konstrukci ortonormované soustavy ze Schmidtovyvěty.1. Položmeψ 0 (t) = ϕ 0(t)c 0, (18)kde c0 2 = ∫ ba ϕ2 0(t) d t.Funkce ψ 0 (t) je zřejmě normovaná.Skutečně∫ baψ 2 0(t) d t = 1/c 2 0∫ baϕ 2 0(t) d t =

Zobecněná Fourierova řadaProved’me nyní konstrukci ortonormované soustavy ze Schmidtovyvěty.1. Položmeψ 0 (t) = ϕ 0(t)c 0, (18)kde c0 2 = ∫ ba ϕ2 0(t) d t.Funkce ψ 0 (t) je zřejmě normovaná.Skutečně∫ baψ 2 0(t) d t = 1/c 2 0∫ baϕ 2 0(t) d t = 1,

Zobecněná Fourierova řada

Zobecněná Fourierova řada2.

Zobecněná Fourierova řada2. Zaved’me funkciχ 1 (t) = ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t), (19)

Zobecněná Fourierova řada2. Zaved’me funkciχ 1 (t) = ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t), (19)kde a 10 volíme tak, aby funkce χ 1 (t) byla ortogonální k funkci ψ 0 (t).

Zobecněná Fourierova řada2. Zaved’me funkciχ 1 (t) = ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t), (19)kde a 10 volíme tak, aby funkce χ 1 (t) byla ortogonální k funkci ψ 0 (t).Tedy aby platilo

Zobecněná Fourierova řada2. Zaved’me funkciχ 1 (t) = ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t), (19)kde a 10 volíme tak, aby funkce χ 1 (t) byla ortogonální k funkci ψ 0 (t).Tedy aby platilo∫ baχ 1 (t)ψ 0 (t) d t =

Zobecněná Fourierova řada2. Zaved’me funkciχ 1 (t) = ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t), (19)kde a 10 volíme tak, aby funkce χ 1 (t) byla ortogonální k funkci ψ 0 (t).Tedy aby platilo∫ baχ 1 (t)ψ 0 (t) d t =∫ ba[ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t)]ψ 0 (t) d t

Zobecněná Fourierova řada2. Zaved’me funkciχ 1 (t) = ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t), (19)kde a 10 volíme tak, aby funkce χ 1 (t) byla ortogonální k funkci ψ 0 (t).Tedy aby platilo∫ baχ 1 (t)ψ 0 (t) d t =∫ ba[ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t)]ψ 0 (t) d t = 0.

Zobecněná Fourierova řada2. Zaved’me funkciχ 1 (t) = ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t), (19)kde a 10 volíme tak, aby funkce χ 1 (t) byla ortogonální k funkci ψ 0 (t).Tedy aby platilo∫ baOdtud mámeχ 1 (t)ψ 0 (t) d t =∫ ba[ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t)]ψ 0 (t) d t = 0.

Zobecněná Fourierova řada2. Zaved’me funkciχ 1 (t) = ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t), (19)kde a 10 volíme tak, aby funkce χ 1 (t) byla ortogonální k funkci ψ 0 (t).Tedy aby platilo∫ baOdtud mámeχ 1 (t)ψ 0 (t) d t =a 10 =∫ ba[ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t)]ψ 0 (t) d t = 0.

Zobecněná Fourierova řada2. Zaved’me funkciχ 1 (t) = ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t), (19)kde a 10 volíme tak, aby funkce χ 1 (t) byla ortogonální k funkci ψ 0 (t).Tedy aby platilo∫ baOdtud mámeχ 1 (t)ψ 0 (t) d t =a 10 =∫ ba∫ baa 10 ψ 2 0(t) d t =[ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t)]ψ 0 (t) d t = 0.

Zobecněná Fourierova řada2. Zaved’me funkciχ 1 (t) = ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t), (19)kde a 10 volíme tak, aby funkce χ 1 (t) byla ortogonální k funkci ψ 0 (t).Tedy aby platilo∫ baOdtud mámeχ 1 (t)ψ 0 (t) d t =a 10 =∫ ba∫ baa 10 ψ 2 0(t) d t =[ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t)]ψ 0 (t) d t = 0.∫ baϕ 1 (t)ψ 0 (t) d t.

Zobecněná Fourierova řada2. Zaved’me funkciχ 1 (t) = ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t), (19)kde a 10 volíme tak, aby funkce χ 1 (t) byla ortogonální k funkci ψ 0 (t).Tedy aby platilo∫ baOdtud mámeOznačmeχ 1 (t)ψ 0 (t) d t =a 10 =∫ ba∫ baa 10 ψ 2 0(t) d t =[ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t)]ψ 0 (t) d t = 0.∫ baϕ 1 (t)ψ 0 (t) d t.

Zobecněná Fourierova řada2. Zaved’me funkciχ 1 (t) = ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t), (19)kde a 10 volíme tak, aby funkce χ 1 (t) byla ortogonální k funkci ψ 0 (t).Tedy aby platilo∫ baOdtud mámeOznačmeχ 1 (t)ψ 0 (t) d t =a 10 =∫ ba∫ baa 10 ψ 2 0(t) d t =c 2 1 =[ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t)]ψ 0 (t) d t = 0.∫ ba∫ baχ 2 1(t) d t.ϕ 1 (t)ψ 0 (t) d t.

Zobecněná Fourierova řada2. Zaved’me funkciχ 1 (t) = ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t), (19)kde a 10 volíme tak, aby funkce χ 1 (t) byla ortogonální k funkci ψ 0 (t).Tedy aby platilo∫ baOdtud mámeOznačmeχ 1 (t)ψ 0 (t) d t =a 10 =∫ ba∫ baa 10 ψ 2 0(t) d t =c 2 1 =[ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t)]ψ 0 (t) d t = 0.∫ ba∫ baχ 2 1(t) d t.ϕ 1 (t)ψ 0 (t) d t.Pak funkce ψ 1 (t) = χ 1(t)je na intervalu [a, b] ortonormální k funkciψ 0 (t).c 1

Zobecněná Fourierova řada

Zobecněná Fourierova řadaPodobně zavedeme funkciχ 2 (t) = ϕ 2 (t) − a 20 ψ 0 (t) − a 21 ψ 1 (t), (20)

Zobecněná Fourierova řadaPodobně zavedeme funkciχ 2 (t) = ϕ 2 (t) − a 20 ψ 0 (t) − a 21 ψ 1 (t), (20)kde a 20 a a 21 volíme tak, aby funkce χ 2 (t) byla ortogonální k funkcímψ 0 (t) a ψ 1 (t).

Zobecněná Fourierova řadaPodobně zavedeme funkciχ 2 (t) = ϕ 2 (t) − a 20 ψ 0 (t) − a 21 ψ 1 (t), (20)kde a 20 a a 21 volíme tak, aby funkce χ 2 (t) byla ortogonální k funkcímψ 0 (t) a ψ 1 (t).Snadno odvodíme, že

Zobecněná Fourierova řadaPodobně zavedeme funkciχ 2 (t) = ϕ 2 (t) − a 20 ψ 0 (t) − a 21 ψ 1 (t), (20)kde a 20 a a 21 volíme tak, aby funkce χ 2 (t) byla ortogonální k funkcímψ 0 (t) a ψ 1 (t).Snadno odvodíme, žea 20 =

Zobecněná Fourierova řadaPodobně zavedeme funkciχ 2 (t) = ϕ 2 (t) − a 20 ψ 0 (t) − a 21 ψ 1 (t), (20)kde a 20 a a 21 volíme tak, aby funkce χ 2 (t) byla ortogonální k funkcímψ 0 (t) a ψ 1 (t).Snadno odvodíme, žea 20 =∫ baϕ 2 (t)ψ 0 (t) d t, (21)

Zobecněná Fourierova řadaPodobně zavedeme funkciχ 2 (t) = ϕ 2 (t) − a 20 ψ 0 (t) − a 21 ψ 1 (t), (20)kde a 20 a a 21 volíme tak, aby funkce χ 2 (t) byla ortogonální k funkcímψ 0 (t) a ψ 1 (t).Snadno odvodíme, žea 20 =a 21 =∫ baϕ 2 (t)ψ 0 (t) d t, (21)

Zobecněná Fourierova řadaPodobně zavedeme funkciχ 2 (t) = ϕ 2 (t) − a 20 ψ 0 (t) − a 21 ψ 1 (t), (20)kde a 20 a a 21 volíme tak, aby funkce χ 2 (t) byla ortogonální k funkcímψ 0 (t) a ψ 1 (t).Snadno odvodíme, žea 20 =a 21 =∫ ba∫ baϕ 2 (t)ψ 0 (t) d t, (21)ϕ 2 (t)ψ 1 (t) d t. (22)

Zobecněná Fourierova řadaPodobně zavedeme funkciχ 2 (t) = ϕ 2 (t) − a 20 ψ 0 (t) − a 21 ψ 1 (t), (20)kde a 20 a a 21 volíme tak, aby funkce χ 2 (t) byla ortogonální k funkcímψ 0 (t) a ψ 1 (t).Snadno odvodíme, žePotom funkcea 20 =a 21 =∫ ba∫ baϕ 2 (t)ψ 0 (t) d t, (21)ϕ 2 (t)ψ 1 (t) d t. (22)

Zobecněná Fourierova řadaPodobně zavedeme funkciχ 2 (t) = ϕ 2 (t) − a 20 ψ 0 (t) − a 21 ψ 1 (t), (20)kde a 20 a a 21 volíme tak, aby funkce χ 2 (t) byla ortogonální k funkcímψ 0 (t) a ψ 1 (t).Snadno odvodíme, žePotom funkcea 20 =a 21 =ψ 2 (t) =∫ ba∫ baϕ 2 (t)ψ 0 (t) d t, (21)ϕ 2 (t)ψ 1 (t) d t. (22)

Zobecněná Fourierova řadaPodobně zavedeme funkciχ 2 (t) = ϕ 2 (t) − a 20 ψ 0 (t) − a 21 ψ 1 (t), (20)kde a 20 a a 21 volíme tak, aby funkce χ 2 (t) byla ortogonální k funkcímψ 0 (t) a ψ 1 (t).Snadno odvodíme, žePotom funkcea 20 =a 21 =∫ ba∫ baψ 2 (t) = χ 2(t)c 2, kde c 2 2 =ϕ 2 (t)ψ 0 (t) d t, (21)ϕ 2 (t)ψ 1 (t) d t. (22)∫ baχ 2 2(t) d t, (23)

Zobecněná Fourierova řadaPodobně zavedeme funkciχ 2 (t) = ϕ 2 (t) − a 20 ψ 0 (t) − a 21 ψ 1 (t), (20)kde a 20 a a 21 volíme tak, aby funkce χ 2 (t) byla ortogonální k funkcímψ 0 (t) a ψ 1 (t).Snadno odvodíme, žePotom funkcea 20 =a 21 =∫ ba∫ baψ 2 (t) = χ 2(t)c 2, kde c 2 2 =ϕ 2 (t)ψ 0 (t) d t, (21)ϕ 2 (t)ψ 1 (t) d t. (22)∫ bje normovaná a ortogonální k ψ 0 (t) a ψ 1 (t).aχ 2 2(t) d t, (23)

Zobecněná Fourierova řada

Zobecněná Fourierova řada3.

Zobecněná Fourierova řada3. K určení dalších členů posloupností{ψ n (t)} ∞ n=0stačí postupovat analogicky s pomocí matematické indukce.

Zobecněná Fourierova řada3. K určení dalších členů posloupností{ψ n (t)} ∞ n=0stačí postupovat analogicky s pomocí matematické indukce.Poznamenejme, že čísla c k jsou vesměs různá od nuly vzhledem klineární nezávislosti každého konečného úseku posloupnosti{ϕ n (t)} ∞ n=0 .

Zobecněná Fourierova řada3. K určení dalších členů posloupností{ψ n (t)} ∞ n=0stačí postupovat analogicky s pomocí matematické indukce.Poznamenejme, že čísla c k jsou vesměs různá od nuly vzhledem klineární nezávislosti každého konečného úseku posloupnosti{ϕ n (t)} ∞ n=0 .Z konstrukce {ψ n (t)} ∞ n=0pak plyne lineární nezávislost každého jejíhokonečného úseku.

Zobecněná Fourierova řada

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Aplikujme Schmidtovu větu na mocninnou posloupnost funkcíϕ k (t) = t k , kde k = 0, 1, . . . na intervalu [−1, 1].

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Aplikujme Schmidtovu větu na mocninnou posloupnost funkcíϕ k (t) = t k , kde k = 0, 1, . . . na intervalu [−1, 1].Výše popsaným procesem odvodíme mnohočleny, které, až nakonstantní faktory, jsou tak zvané Legendreovy polynomy.

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Aplikujme Schmidtovu větu na mocninnou posloupnost funkcíϕ k (t) = t k , kde k = 0, 1, . . . na intervalu [−1, 1].Výše popsaným procesem odvodíme mnohočleny, které, až nakonstantní faktory, jsou tak zvané Legendreovy polynomy.Konstruujme první tři členy hledané ortonormované soustavy.

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Aplikujme Schmidtovu větu na mocninnou posloupnost funkcíϕ k (t) = t k , kde k = 0, 1, . . . na intervalu [−1, 1].Výše popsaným procesem odvodíme mnohočleny, které, až nakonstantní faktory, jsou tak zvané Legendreovy polynomy.Konstruujme první tři členy hledané ortonormované soustavy.Prvně, ϕ 0 (t) = 1

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Aplikujme Schmidtovu větu na mocninnou posloupnost funkcíϕ k (t) = t k , kde k = 0, 1, . . . na intervalu [−1, 1].Výše popsaným procesem odvodíme mnohočleny, které, až nakonstantní faktory, jsou tak zvané Legendreovy polynomy.Konstruujme první tři členy hledané ortonormované soustavy.Prvně, ϕ 0 (t) = 1 ac 2 0 =∫ 1−1ϕ 2 0(t) d t = 2,

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Aplikujme Schmidtovu větu na mocninnou posloupnost funkcíϕ k (t) = t k , kde k = 0, 1, . . . na intervalu [−1, 1].Výše popsaným procesem odvodíme mnohočleny, které, až nakonstantní faktory, jsou tak zvané Legendreovy polynomy.Konstruujme první tři členy hledané ortonormované soustavy.Prvně, ϕ 0 (t) = 1 atedyc 2 0 =∫ 1−1ϕ 2 0(t) d t = 2,

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Aplikujme Schmidtovu větu na mocninnou posloupnost funkcíϕ k (t) = t k , kde k = 0, 1, . . . na intervalu [−1, 1].Výše popsaným procesem odvodíme mnohočleny, které, až nakonstantní faktory, jsou tak zvané Legendreovy polynomy.Konstruujme první tři členy hledané ortonormované soustavy.Prvně, ϕ 0 (t) = 1 atedyc 2 0 =∫ 1−1ϕ 2 0(t) d t = 2,c 0 = √ 2

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Aplikujme Schmidtovu větu na mocninnou posloupnost funkcíϕ k (t) = t k , kde k = 0, 1, . . . na intervalu [−1, 1].Výše popsaným procesem odvodíme mnohočleny, které, až nakonstantní faktory, jsou tak zvané Legendreovy polynomy.Konstruujme první tři členy hledané ortonormované soustavy.Prvně, ϕ 0 (t) = 1 atedyac 2 0 =∫ 1−1ϕ 2 0(t) d t = 2,c 0 = √ 2

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Aplikujme Schmidtovu větu na mocninnou posloupnost funkcíϕ k (t) = t k , kde k = 0, 1, . . . na intervalu [−1, 1].Výše popsaným procesem odvodíme mnohočleny, které, až nakonstantní faktory, jsou tak zvané Legendreovy polynomy.Konstruujme první tři členy hledané ortonormované soustavy.Prvně, ϕ 0 (t) = 1 atedyac 2 0 =∫ 1−1ϕ 2 0(t) d t = 2,c 0 = √ 2ψ 0 (t) = 1 √2.

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dále položme

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dále položmeχ 1 (t) =

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dále položmeχ 1 (t) = ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t)

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dále položmeχ 1 (t) = ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t) = t − a 101 √2 ,

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dále položmeχ 1 (t) = ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t) = t − a 101 √2 ,a 10 =

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dále položmeχ 1 (t) = ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t) = t − a 101 √2 ,a 10 =∫ 1−1ϕ 1 (t)ψ 0 (t) d t

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dále položmeχ 1 (t) = ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t) = t − a 101 √2 ,a 10 =∫ 1−1ϕ 1 (t)ψ 0 (t) d t =∫ 1−1t√2

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dále položmeχ 1 (t) = ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t) = t − a 101 √2 ,a 10 =∫ 1−1ϕ 1 (t)ψ 0 (t) d t =∫ 1−1t√2= 0,

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dále položmeχ 1 (t) = ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t) = t − a 101 √2 ,protoa 10 =∫ 1−1ϕ 1 (t)ψ 0 (t) d t =∫ 1−1t√2= 0,

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dále položmeχ 1 (t) = ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t) = t − a 101 √2 ,protoa 10 =∫ 1−1ϕ 1 (t)ψ 0 (t) d t =χ 1 (t) = t∫ 1−1t√2= 0,

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dále položmeχ 1 (t) = ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t) = t − a 101 √2 ,protoaa 10 =∫ 1−1ϕ 1 (t)ψ 0 (t) d t =χ 1 (t) = t∫ 1−1t√2= 0,

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dále položmeχ 1 (t) = ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t) = t − a 101 √2 ,protoaa 10 =c 2 1 =∫ 1−1ϕ 1 (t)ψ 0 (t) d t =χ 1 (t) = t∫ 1−1t√2= 0,

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dále položmeχ 1 (t) = ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t) = t − a 101 √2 ,protoaa 10 =c 2 1 =∫ 1−1∫ 1−1ϕ 1 (t)ψ 0 (t) d t =χ 1 (t) = tχ 2 1(t) d t∫ 1−1t√2= 0,

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dále položmeχ 1 (t) = ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t) = t − a 101 √2 ,protoaa 10 =c 2 1 =∫ 1−1∫ 1−1ϕ 1 (t)ψ 0 (t) d t =χ 1 (t) = tχ 2 1(t) d t =∫ 1−1∫ 1−1t 2 d tt√2= 0,

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dále položmeχ 1 (t) = ϕ 1 (t) − a 10 ψ 0 (t) = t − a 101 √2 ,protoaa 10 =c 2 1 =∫ 1−1∫ 1−1ϕ 1 (t)ψ 0 (t) d t =χ 1 (t) = tχ 2 1(t) d t =∫ 1−1∫ 1−1t√2= 0,t 2 d t = 2 3 .

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dostáváme tedy

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dostáváme tedyψ 1 (t) =

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dostáváme tedyψ 1 (t) = χ 1(t)c 1

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dostáváme tedyψ 1 (t) = χ 1(t)c 1= t √2/3

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dostáváme tedyψ 1 (t) = χ 1(t)c 1= t √2/3=√32 t.

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dostáváme tedyNyní položmeψ 1 (t) = χ 1(t)c 1= t √2/3=√32 t.

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dostáváme tedyNyní položmeχ 2 (t) =ψ 1 (t) = χ 1(t)c 1= t √2/3=√32 t.

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dostáváme tedyNyní položmeψ 1 (t) = χ 1(t)c 1= t √2/3=√32 t.χ 2 (t) = ϕ 2 (t) − a 20 ψ 0 (t) − a 21 ψ 1 (t)

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dostáváme tedyNyní položmeψ 1 (t) = χ 1(t)c 1= t √2/3=√32 t.χ 2 (t) = ϕ 2 (t) − a 20 ψ 0 (t) − a 21 ψ 1 (t) = t 2 − 1 3 ,

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dostáváme tedyNyní položmeψ 1 (t) = χ 1(t)c 1= t √2/3=√32 t.χ 2 (t) = ϕ 2 (t) − a 20 ψ 0 (t) − a 21 ψ 1 (t) = t 2 − 1 3 ,c 2 2 =

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dostáváme tedyNyní položmeψ 1 (t) = χ 1(t)c 1= t √2/3=√32 t.χ 2 (t) = ϕ 2 (t) − a 20 ψ 0 (t) − a 21 ψ 1 (t) = t 2 − 1 3 ,c 2 2 =∫ 1−1χ 2 2 d t

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dostáváme tedyNyní položmeψ 1 (t) = χ 1(t)c 1= t √2/3=√32 t.χ 2 (t) = ϕ 2 (t) − a 20 ψ 0 (t) − a 21 ψ 1 (t) = t 2 − 1 3 ,c 2 2 =∫ 1−1χ 2 2 d t = 845

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dostáváme tedyNyní položmeψ 1 (t) = χ 1(t)c 1= t √2/3=√32 t.χ 2 (t) = ϕ 2 (t) − a 20 ψ 0 (t) − a 21 ψ 1 (t) = t 2 − 1 3 ,ac 2 2 =∫ 1−1χ 2 2 d t = 845

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dostáváme tedyNyní položmeψ 1 (t) = χ 1(t)c 1= t √2/3=√32 t.χ 2 (t) = ϕ 2 (t) − a 20 ψ 0 (t) − a 21 ψ 1 (t) = t 2 − 1 3 ,aψ 2 (t) =c 2 2 =∫ 1−1χ 2 2 d t = 845

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dostáváme tedyNyní položmeψ 1 (t) = χ 1(t)c 1= t √2/3=√32 t.χ 2 (t) = ϕ 2 (t) − a 20 ψ 0 (t) − a 21 ψ 1 (t) = t 2 − 1 3 ,ac 2 2 =ψ 2 (t) = χ 2(t)c 2∫ 1−1χ 2 2 d t = 845

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8Dostáváme tedyNyní položmeψ 1 (t) = χ 1(t)c 1= t √2/3=√32 t.χ 2 (t) = ϕ 2 (t) − a 20 ψ 0 (t) − a 21 ψ 1 (t) = t 2 − 1 3 ,ac 2 2 =∫ 1−1χ 2 2 d t = 845ψ 2 (t) = χ √ (2(t) 5 3=c 2 2 2 t 2 − 1 ).2

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8První tři členy hledané posloupnosti jsou:

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8První tři členy hledané posloupnosti jsou:ψ 0 (t) =

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8První tři členy hledané posloupnosti jsou:ψ 0 (t) = 1 √2,

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8První tři členy hledané posloupnosti jsou:ψ 0 (t) = 1 √2,ψ 1 (t) =

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8První tři členy hledané posloupnosti jsou:ψ 0 (t) = 1 √2,ψ 1 (t) =√32 t,

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8První tři členy hledané posloupnosti jsou:ψ 0 (t) = 1 √2,ψ 1 (t) =√32 t,ψ 2 (t) =

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8První tři členy hledané posloupnosti jsou:ψ 0 (t) = 1 √2,ψ 1 (t) =ψ 2 (t) =√32 t,√ ( 5 32 2 t 2 − 1 .2)

Zobecněná Fourierova řadaPříklad 8První tři členy hledané posloupnosti jsou:ψ 0 (t) = 1 √2,ψ 1 (t) =ψ 2 (t) =√32 t,√ ( 5 32 2 t 2 − 1 .2)Závěrem, danou funkci f (t), která je v intervalu [−1, 1] spojitá,můžeme rozvíjet v řadu tvořenou z těchto mnohočlenů.

Gibbsův jev

Gibbsův jevV předchozích kapitolách jsme se zabývali rozvojem funkcí z L 2 (a, b)ve Fourierovu řadu.

Gibbsův jevV předchozích kapitolách jsme se zabývali rozvojem funkcí z L 2 (a, b)ve Fourierovu řadu.Již víme, že Fourierova řada funkce f ∈ L 2 (0, 2π) konverguje v norměprostoru L 2 (0, 2π) k funkci f .

Gibbsův jevV předchozích kapitolách jsme se zabývali rozvojem funkcí z L 2 (a, b)ve Fourierovu řadu.Již víme, že Fourierova řada funkce f ∈ L 2 (0, 2π) konverguje v norměprostoru L 2 (0, 2π) k funkci f .Jsou-li navíc splněny další podmínky, pak konverguje Fourierova řadastejnoměrně.

Gibbsův jevV předchozích kapitolách jsme se zabývali rozvojem funkcí z L 2 (a, b)ve Fourierovu řadu.Již víme, že Fourierova řada funkce f ∈ L 2 (0, 2π) konverguje v norměprostoru L 2 (0, 2π) k funkci f .Jsou-li navíc splněny další podmínky, pak konverguje Fourierova řadastejnoměrně.Jednoduchým příkladem funkce nesplňující tyto podmínky je

Gibbsův jevV předchozích kapitolách jsme se zabývali rozvojem funkcí z L 2 (a, b)ve Fourierovu řadu.Již víme, že Fourierova řada funkce f ∈ L 2 (0, 2π) konverguje v norměprostoru L 2 (0, 2π) k funkci f .Jsou-li navíc splněny další podmínky, pak konverguje Fourierova řadastejnoměrně.Jednoduchým příkladem funkce nesplňující tyto podmínky jef 0 (t) = π − t2pro t ∈ (0, 2π),

Gibbsův jevV předchozích kapitolách jsme se zabývali rozvojem funkcí z L 2 (a, b)ve Fourierovu řadu.Již víme, že Fourierova řada funkce f ∈ L 2 (0, 2π) konverguje v norměprostoru L 2 (0, 2π) k funkci f .Jsou-li navíc splněny další podmínky, pak konverguje Fourierova řadastejnoměrně.Jednoduchým příkladem funkce nesplňující tyto podmínky jef 0 (t) = π − t pro t ∈ (0, 2π),2která je periodicky rozšířená na celé R.

Gibbsův jev

Gibbsův jevTato funkce je znázorněna grafem

Gibbsův jevTato funkce je znázorněna grafemf (t)❍ ❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍π/2 ❍ ❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍✻f 0s n✲−2π−π/22πtObrázek: Gibbsův jev

Gibbsův jev

Gibbsův jevLze ověřit, že

Gibbsův jevLze ověřit, žef 0 (t) =

Gibbsův jevLze ověřit, žef 0 (t) =∞∑k=1sin(kt). (24)k

Gibbsův jevLze ověřit, žef 0 (t) =∞∑k=1sin(kt). (24)kZde rovnost platí ve smyslu konvergence v L 2 (l, l + 2π), l ∈ R, a takéve smyslu stejnoměrné konvergence na každém intervalu s krajnímibody 2lπ + ɛ a 2(l + 1)π − ɛ, kde ɛ ∈ (0, π).

Gibbsův jevLze ověřit, žef 0 (t) =∞∑k=1sin(kt). (24)kZde rovnost platí ve smyslu konvergence v L 2 (l, l + 2π), l ∈ R, a takéve smyslu stejnoměrné konvergence na každém intervalu s krajnímibody 2lπ + ɛ a 2(l + 1)π − ɛ, kde ɛ ∈ (0, π).Problémem jsou tedy body nespojitosti funkce f 0 .

Gibbsův jevLze ověřit, žef 0 (t) =∞∑k=1sin(kt). (24)kZde rovnost platí ve smyslu konvergence v L 2 (l, l + 2π), l ∈ R, a takéve smyslu stejnoměrné konvergence na každém intervalu s krajnímibody 2lπ + ɛ a 2(l + 1)π − ɛ, kde ɛ ∈ (0, π).Problémem jsou tedy body nespojitosti funkce f 0 .Například v bodě t = 0 je součet řady (24) roven 0, tedy průměru limitv nule zprava a zleva

Gibbsův jevLze ověřit, žef 0 (t) =∞∑k=1sin(kt). (24)kZde rovnost platí ve smyslu konvergence v L 2 (l, l + 2π), l ∈ R, a takéve smyslu stejnoměrné konvergence na každém intervalu s krajnímibody 2lπ + ɛ a 2(l + 1)π − ɛ, kde ɛ ∈ (0, π).Problémem jsou tedy body nespojitosti funkce f 0 .Například v bodě t = 0 je součet řady (24) roven 0, tedy průměru limitv nule zprava a zleva12 [f 0(0 + 0) + f 0 (0 − 0)] = 0.

Gibbsův jev

Gibbsův jevZaměřme se nyní na chybu částečného součtu řady (24)

Gibbsův jevZaměřme se nyní na chybu částečného součtu řady (24)R n (t) =

Gibbsův jevZaměřme se nyní na chybu částečného součtu řady (24)R n (t) = s n (t) − f 0 (t)

Gibbsův jevZaměřme se nyní na chybu částečného součtu řady (24)n∑ sin(kt)R n (t) = s n (t) − f 0 (t) =− π − t pro t ∈ (0, 2π).k 2k=1

Gibbsův jevZaměřme se nyní na chybu částečného součtu řady (24)n∑ sin(kt)R n (t) = s n (t) − f 0 (t) =− π − t pro t ∈ (0, 2π).k 2Lehce ověříme, žek=1

Gibbsův jevZaměřme se nyní na chybu částečného součtu řady (24)n∑ sin(kt)R n (t) = s n (t) − f 0 (t) =− π − t pro t ∈ (0, 2π).k 2Lehce ověříme, žek=1R ′ n(t) =

Gibbsův jevZaměřme se nyní na chybu částečného součtu řady (24)n∑ sin(kt)R n (t) = s n (t) − f 0 (t) =− π − t pro t ∈ (0, 2π).k 2Lehce ověříme, žek=1R n(t) ′ = 1 n∑2 + cos(kt)k=1

Gibbsův jevZaměřme se nyní na chybu částečného součtu řady (24)n∑ sin(kt)R n (t) = s n (t) − f 0 (t) =− π − t pro t ∈ (0, 2π).k 2Lehce ověříme, žek=1R n(t) ′ = 1 n∑2 + cos(kt) =k=1n + 1 ) )t2( ) , 12 sin2 t((sin

Gibbsův jevZaměřme se nyní na chybu částečného součtu řady (24)n∑ sin(kt)R n (t) = s n (t) − f 0 (t) =− π − t pro t ∈ (0, 2π).k 2Lehce ověříme, žek=1R n(t) ′ = 1 n∑2 + cos(kt) =k=1n + 1 ) )t2( ) , 12 sin2 t((sinR n (0) = − π 2

Gibbsův jevZaměřme se nyní na chybu částečného součtu řady (24)n∑ sin(kt)R n (t) = s n (t) − f 0 (t) =− π − t pro t ∈ (0, 2π).k 2Lehce ověříme, žek=1R n(t) ′ = 1 n∑2 + cos(kt) =k=1n + 1 ) )t2( ) , 12 sin2 t((sina tedyR n (0) = − π 2

Gibbsův jevZaměřme se nyní na chybu částečného součtu řady (24)n∑ sin(kt)R n (t) = s n (t) − f 0 (t) =− π − t pro t ∈ (0, 2π).k 2Lehce ověříme, žek=1R n(t) ′ = 1 n∑2 + cos(kt) =k=1n + 1 ) )t2( ) , 12 sin2 t((sina tedyR n (0) = − π 2R n (t) =

Gibbsův jevZaměřme se nyní na chybu částečného součtu řady (24)n∑ sin(kt)R n (t) = s n (t) − f 0 (t) =− π − t pro t ∈ (0, 2π).k 2Lehce ověříme, žek=1R n(t) ′ = 1 n∑2 + cos(kt) =k=1n + 1 ) )t2( ) , 12 sin2 t((sina tedyR n (t) = − π 2 + ∫ tR n (0) = − π 20((sin n + 1 ) )x2( ) d x.12 sin2 x

Gibbsův jev

Gibbsův jevFunkce s n (t) je rostoucí v okolí nuly.

Gibbsův jevFunkce s n (t) je rostoucí v okolí nuly.Nyní hledejme takový bod t n > 0, v němž má funkce R n (t) lokálníextrém a je nejblíže k nule.

Gibbsův jevFunkce s n (t) je rostoucí v okolí nuly.Nyní hledejme takový bod t n > 0, v němž má funkce R n (t) lokálníextrém a je nejblíže k nule.Z rovnice R ′ n(t) = 0 dostáváme

Gibbsův jevFunkce s n (t) je rostoucí v okolí nuly.Nyní hledejme takový bod t n > 0, v němž má funkce R n (t) lokálníextrém a je nejblíže k nule.Z rovnice R ′ n(t) = 0 dostávámesin((n + 1 ) )t = 02

Gibbsův jevFunkce s n (t) je rostoucí v okolí nuly.Nyní hledejme takový bod t n > 0, v němž má funkce R n (t) lokálníextrém a je nejblíže k nule.Z rovnice R ′ n(t) = 0 dostávámea tedysin((n + 1 ) )t = 02

Gibbsův jevFunkce s n (t) je rostoucí v okolí nuly.Nyní hledejme takový bod t n > 0, v němž má funkce R n (t) lokálníextrém a je nejblíže k nule.Z rovnice R ′ n(t) = 0 dostávámesin((n + 1 ) )t = 02a tedy(x n = π n +2) 1 −1.

Gibbsův jevFunkce s n (t) je rostoucí v okolí nuly.Nyní hledejme takový bod t n > 0, v němž má funkce R n (t) lokálníextrém a je nejblíže k nule.Z rovnice R ′ n(t) = 0 dostávámesin((n + 1 ) )t = 02a tedy(x n = π n +2) 1 −1.Označíme-li n + 1/2 = p a použijeme substituci px = s dostaneme

Gibbsův jevFunkce s n (t) je rostoucí v okolí nuly.Nyní hledejme takový bod t n > 0, v němž má funkce R n (t) lokálníextrém a je nejblíže k nule.Z rovnice R ′ n(t) = 0 dostávámesin((n + 1 ) )t = 02a tedy(x n = π n +2) 1 −1.Označíme-li n + 1/2 = p a použijeme substituci px = s dostanemeR n (t n ) =

Gibbsův jevFunkce s n (t) je rostoucí v okolí nuly.Nyní hledejme takový bod t n > 0, v němž má funkce R n (t) lokálníextrém a je nejblíže k nule.Z rovnice R ′ n(t) = 0 dostávámesin((n + 1 ) )t = 02a tedy(x n = π n +2) 1 −1.Označíme-li n + 1/2 = p a použijeme substituci px = s dostanemeR n (t n ) =∫ π/p0sin(px)( ) d x − π 12 sin2 x 2

Gibbsův jevFunkce s n (t) je rostoucí v okolí nuly.Nyní hledejme takový bod t n > 0, v němž má funkce R n (t) lokálníextrém a je nejblíže k nule.Z rovnice R ′ n(t) = 0 dostávámesin((n + 1 ) )t = 02a tedy(x n = π n +2) 1 −1.Označíme-li n + 1/2 = p a použijeme substituci px = s dostanemeR n (t n ) =∫ π/p0sin(px)( ) d x − π ∫ π12 sin2 x 2 = sin(s)( ) − π0 s 2 .2p sin2p

Gibbsův jev

Gibbsův jevPak pro dosti velké p (tj. pro dosti velké n) je

Gibbsův jevPak pro dosti velké p (tj. pro dosti velké n) je( ) s2p sin ≥ 0,2p

Gibbsův jevPak pro dosti velké p (tj. pro dosti velké n) je( ) s2p sin ≥ 0,2ppro s ∈ (0, π)

Gibbsův jevPak pro dosti velké p (tj. pro dosti velké n) je( ) s2p sin ≥ 0,2ppro s ∈ (0, π) a( ) slim 2p sin = s.p→∞ 2p

Gibbsův jevPak pro dosti velké p (tj. pro dosti velké n) je( ) s2p sin ≥ 0,2ppro s ∈ (0, π) a( ) slim 2p sin = s.p→∞ 2pNyní najdeme integrální majorantu a dostáváme

Gibbsův jevPak pro dosti velké p (tj. pro dosti velké n) je( ) s2p sin ≥ 0,2ppro s ∈ (0, π) a( ) slim 2p sin = s.p→∞ 2pNyní najdeme integrální majorantu a dostávámelim R n(t n ) =n→∞

Gibbsův jevPak pro dosti velké p (tj. pro dosti velké n) je( ) s2p sin ≥ 0,2ppro s ∈ (0, π) a( ) slim 2p sin = s.p→∞ 2pNyní najdeme integrální majorantu a dostávámelim R n(t n ) =n→∞∫ π0sin(s)sd s − π 2

Gibbsův jevPak pro dosti velké p (tj. pro dosti velké n) je( ) s2p sin ≥ 0,2ppro s ∈ (0, π) a( ) slim 2p sin = s.p→∞ 2pNyní najdeme integrální majorantu a dostávámelim R n(t n ) =n→∞∫ π0sin(s)sd s − π 2.= 0, 18π.

Gibbsův jevPak pro dosti velké p (tj. pro dosti velké n) je( ) s2p sin ≥ 0,2ppro s ∈ (0, π) a( ) slim 2p sin = s.p→∞ 2pNyní najdeme integrální majorantu a dostávámePro velká n jelim R n(t n ) =n→∞∫ π0sin(s)sd s − π 2.= 0, 18π.

Gibbsův jevPak pro dosti velké p (tj. pro dosti velké n) je( ) s2p sin ≥ 0,2ppro s ∈ (0, π) a( ) slim 2p sin = s.p→∞ 2pNyní najdeme integrální majorantu a dostávámePro velká n jelim R n(t n ) =n→∞∫ π0sin(s)sd s − π 2s n (t n ) . = 1, 18 π 2 ..= 0, 18π.

Gibbsův jevPak pro dosti velké p (tj. pro dosti velké n) je( ) s2p sin ≥ 0,2ppro s ∈ (0, π) a( ) slim 2p sin = s.p→∞ 2pNyní najdeme integrální majorantu a dostávámePro velká n jelim R n(t n ) =n→∞∫ π0sin(s)sd s − π 2s n (t n ) . = 1, 18 π 2 ..= 0, 18π.Každý částečný součet s n (t) má tedy maximum, které převyšuje asio 18 % maximum funkce f 0 .

Gibbsův jevPak pro dosti velké p (tj. pro dosti velké n) je( ) s2p sin ≥ 0,2ppro s ∈ (0, π) a( ) slim 2p sin = s.p→∞ 2pNyní najdeme integrální majorantu a dostávámePro velká n jelim R n(t n ) =n→∞∫ π0sin(s)sd s − π 2s n (t n ) . = 1, 18 π 2 ..= 0, 18π.Každý částečný součet s n (t) má tedy maximum, které převyšuje asio 18 % maximum funkce f 0 .Tomuto fenoménu se říká Gibbsův jev.

Gibbsův jev

Gibbsův jevDá se ukázat, že každá funkce f , která má konečný počet bodůnespojitosti prvního druhu, lze zapsat ve tvaru

Gibbsův jevDá se ukázat, že každá funkce f , která má konečný počet bodůnespojitosti prvního druhu, lze zapsat ve tvaruf (t) = g(t) + h(t),

Gibbsův jevDá se ukázat, že každá funkce f , která má konečný počet bodůnespojitosti prvního druhu, lze zapsat ve tvaruf (t) = g(t) + h(t),kde g(t) je funkce splňující naše dodatečné podmínky kladené nafunkci f 0 a jejíž Fourierova řada konverguje stejnoměrně.

Gibbsův jevDá se ukázat, že každá funkce f , která má konečný počet bodůnespojitosti prvního druhu, lze zapsat ve tvaruf (t) = g(t) + h(t),kde g(t) je funkce splňující naše dodatečné podmínky kladené nafunkci f 0 a jejíž Fourierova řada konverguje stejnoměrně.Funkcem∑h(t) = c i f 0 (t − t i )i=1je funkce, která zachycuje skoky funkce f .

Gibbsův jev

Gibbsův jevZ vlastností funkce f 0 víme, že Fourierova řada funkce f konverguje vkaždém bodě t k hodnotě

Gibbsův jevZ vlastností funkce f 0 víme, že Fourierova řada funkce f konverguje vkaždém bodě t k hodnotě1[f (t + 0) + f (t − 0)]2

Gibbsův jevZ vlastností funkce f 0 víme, že Fourierova řada funkce f konverguje vkaždém bodě t k hodnotě1[f (t + 0) + f (t − 0)]2a že v okolí každého bodu funkce f se projeví Gibbsův jev.

Gibbsův jevZ vlastností funkce f 0 víme, že Fourierova řada funkce f konverguje vkaždém bodě t k hodnotě1[f (t + 0) + f (t − 0)]2a že v okolí každého bodu funkce f se projeví Gibbsův jev.Tedy částečný součet Fourierovy řady funkce f bude v okolí každéhobodu nespojitosti t i nabývat, až na zanedbatelnou odchylku, hodnotu

Gibbsův jevZ vlastností funkce f 0 víme, že Fourierova řada funkce f konverguje vkaždém bodě t k hodnotě1[f (t + 0) + f (t − 0)]2a že v okolí každého bodu funkce f se projeví Gibbsův jev.Tedy částečný součet Fourierovy řady funkce f bude v okolí každéhobodu nespojitosti t i nabývat, až na zanedbatelnou odchylku, hodnotu12 [f (t i + 0) + f (t i − 0)] ± 1 2 1, 18[f (t i + 0) + f (t i − 0)].

Gibbsův jevZ vlastností funkce f 0 víme, že Fourierova řada funkce f konverguje vkaždém bodě t k hodnotě1[f (t + 0) + f (t − 0)]2a že v okolí každého bodu funkce f se projeví Gibbsův jev.Tedy částečný součet Fourierovy řady funkce f bude v okolí každéhobodu nespojitosti t i nabývat, až na zanedbatelnou odchylku, hodnotu12 [f (t i + 0) + f (t i − 0)] ± 1 2 1, 18[f (t i + 0) + f (t i − 0)].V okolí bodu nespojitosti tedy nebudou částečné součty konvergovatstejnoměrně.

Řešený příklad

Řešený příkladFourierova řada periodického signálu je matematický zápis tvrzení, žeperiodický signál f (t) s opakovacím kmitočtem 1/T lze složit zkonstantního signálu a harmonických signálů o kmitočtech 1/kT , kdek = 1, 2, 3, . . . .

Řešený příkladFourierova řada periodického signálu je matematický zápis tvrzení, žeperiodický signál f (t) s opakovacím kmitočtem 1/T lze složit zkonstantního signálu a harmonických signálů o kmitočtech 1/kT , kdek = 1, 2, 3, . . . . Tedyf (t) =

Řešený příkladFourierova řada periodického signálu je matematický zápis tvrzení, žeperiodický signál f (t) s opakovacím kmitočtem 1/T lze složit zkonstantního signálu a harmonických signálů o kmitočtech 1/kT , kdek = 1, 2, 3, . . . . Tedyf (t) = A 0

Řešený příkladFourierova řada periodického signálu je matematický zápis tvrzení, žeperiodický signál f (t) s opakovacím kmitočtem 1/T lze složit zkonstantního signálu a harmonických signálů o kmitočtech 1/kT , kdek = 1, 2, 3, . . . . Tedyf (t) = A 0 + A 1 cos(ωt + ϕ 1 )} {{ }první (základní) harmonická

Řešený příkladFourierova řada periodického signálu je matematický zápis tvrzení, žeperiodický signál f (t) s opakovacím kmitočtem 1/T lze složit zkonstantního signálu a harmonických signálů o kmitočtech 1/kT , kdek = 1, 2, 3, . . . . Tedyf (t) = A 0 + A 1 cos(ωt + ϕ 1 )} {{ }první (základní) harmonická+A 2 cos(2ωt + ϕ 2 ) + A 3 cos(3ωt + ϕ 3 )

Řešený příkladFourierova řada periodického signálu je matematický zápis tvrzení, žeperiodický signál f (t) s opakovacím kmitočtem 1/T lze složit zkonstantního signálu a harmonických signálů o kmitočtech 1/kT , kdek = 1, 2, 3, . . . . Tedyf (t) = A 0 + A 1 cos(ωt + ϕ 1 )} {{ }první (základní) harmonická+A 2 cos(2ωt + ϕ 2 ) + A 3 cos(3ωt + ϕ 3 )+ · · · + A k cos(kωt + ϕ k ) + · · ·} {{ }k-tá harmonická (vyšší)

Řešený příkladFourierova řada periodického signálu je matematický zápis tvrzení, žeperiodický signál f (t) s opakovacím kmitočtem 1/T lze složit zkonstantního signálu a harmonických signálů o kmitočtech 1/kT , kdek = 1, 2, 3, . . . . Tedyf (t) = A 0 + A 1 cos(ωt + ϕ 1 )} {{ }první (základní) harmonická+A 2 cos(2ωt + ϕ 2 ) + A 3 cos(3ωt + ϕ 3 )+ · · · + A k cos(kωt + ϕ k ) + · · ·} {{ }k-tá harmonická (vyšší)= A 0}{{}stejnosměrná složka (střední hodnota)

Řešený příkladFourierova řada periodického signálu je matematický zápis tvrzení, žeperiodický signál f (t) s opakovacím kmitočtem 1/T lze složit zkonstantního signálu a harmonických signálů o kmitočtech 1/kT , kdek = 1, 2, 3, . . . . Tedyf (t) = A 0 + A 1 cos(ωt + ϕ 1 )} {{ }první (základní) harmonická+A 2 cos(2ωt + ϕ 2 ) + A 3 cos(3ωt + ϕ 3 )+ · · · + A k cos(kωt + ϕ k ) + · · ·} {{ }k-tá harmonická (vyšší)∞∑= A}{{} 0+ A k cos(kωt + ϕ k ),k=1stejnosměrná složka (střední hodnota) } {{ }střídavá složka(25)

Řešený příkladFourierova řada periodického signálu je matematický zápis tvrzení, žeperiodický signál f (t) s opakovacím kmitočtem 1/T lze složit zkonstantního signálu a harmonických signálů o kmitočtech 1/kT , kdek = 1, 2, 3, . . . . Tedyf (t) = A 0 + A 1 cos(ωt + ϕ 1 )} {{ }první (základní) harmonická+A 2 cos(2ωt + ϕ 2 ) + A 3 cos(3ωt + ϕ 3 )kde A k+ · · · + A k cos(kωt + ϕ k ) + · · ·} {{ }k-tá harmonická (vyšší)∞∑= A}{{} 0+ A k cos(kωt + ϕ k ),k=1stejnosměrná složka (střední hodnota) } {{ }střídavá složkaje amplituda k-té harmonické složky,(25)

Řešený příkladFourierova řada periodického signálu je matematický zápis tvrzení, žeperiodický signál f (t) s opakovacím kmitočtem 1/T lze složit zkonstantního signálu a harmonických signálů o kmitočtech 1/kT , kdek = 1, 2, 3, . . . . Tedyf (t) = A 0 + A 1 cos(ωt + ϕ 1 )} {{ }první (základní) harmonická+A 2 cos(2ωt + ϕ 2 ) + A 3 cos(3ωt + ϕ 3 )+ · · · + A k cos(kωt + ϕ k ) + · · ·} {{ }k-tá harmonická (vyšší)∞∑= A}{{} 0+ A k cos(kωt + ϕ k ),k=1stejnosměrná složka (střední hodnota) } {{ }střídavá složka(25)kde A k je amplituda k-té harmonické složky,kω je kruhový opakovacíkmitočet k-té harmonické složky

Řešený příkladFourierova řada periodického signálu je matematický zápis tvrzení, žeperiodický signál f (t) s opakovacím kmitočtem 1/T lze složit zkonstantního signálu a harmonických signálů o kmitočtech 1/kT , kdek = 1, 2, 3, . . . . Tedyf (t) = A 0 + A 1 cos(ωt + ϕ 1 )} {{ }první (základní) harmonická+A 2 cos(2ωt + ϕ 2 ) + A 3 cos(3ωt + ϕ 3 )+ · · · + A k cos(kωt + ϕ k ) + · · ·} {{ }k-tá harmonická (vyšší)∞∑= A}{{} 0+ A k cos(kωt + ϕ k ),k=1stejnosměrná složka (střední hodnota) } {{ }střídavá složka(25)kde A k je amplituda k-té harmonické složky,kω je kruhový opakovacíkmitočet k-té harmonické složky a ϕ k je počáteční fáze k-téharmonické složky.

Řešený příklad

Řešený příkladZ výše uvedené formule (25) je zřejmé, že každý periodický signál mástřídavou a stejnosměrnou složku.

Řešený příkladZ výše uvedené formule (25) je zřejmé, že každý periodický signál mástřídavou a stejnosměrnou složku.Stejnosměrná složka je rovna střední hodnotě signálu za opakovacíperiodu.

Řešený příkladZ výše uvedené formule (25) je zřejmé, že každý periodický signál mástřídavou a stejnosměrnou složku.Stejnosměrná složka je rovna střední hodnotě signálu za opakovacíperiodu.Střídavá složka se skládá z harmonických signálů o nulovýchstředních hodnotách, je to tedy původní signál zbavený stejnosměrnésložky.

Řešený příkladZ výše uvedené formule (25) je zřejmé, že každý periodický signál mástřídavou a stejnosměrnou složku.Stejnosměrná složka je rovna střední hodnotě signálu za opakovacíperiodu.Střídavá složka se skládá z harmonických signálů o nulovýchstředních hodnotách, je to tedy původní signál zbavený stejnosměrnésložky.Střídavá složka obsahuje tzv. první harmonickou o kmitočtu, který jestejný jako opakovací kmitočet periodického signálu,

Řešený příkladZ výše uvedené formule (25) je zřejmé, že každý periodický signál mástřídavou a stejnosměrnou složku.Stejnosměrná složka je rovna střední hodnotě signálu za opakovacíperiodu.Střídavá složka se skládá z harmonických signálů o nulovýchstředních hodnotách, je to tedy původní signál zbavený stejnosměrnésložky.Střídavá složka obsahuje tzv. první harmonickou o kmitočtu, který jestejný jako opakovací kmitočet periodického signálu,a vyššíharmonické, kterých je obecně nekonečný počet a jejichž kmitočet jeceločíselným násobkem kmitočtu první hamonické.

Řešený příklad

Řešený příkladRozklad výše uvedeného periodického signálu (25) na dílčíkomponenty je jednoznačný.

Řešený příkladRozklad výše uvedeného periodického signálu (25) na dílčíkomponenty je jednoznačný.Platí, že každé dva různé periodické signály o opakovacím kmitočtu ωjsou jednoznačně reprezentovány různými dvojicemi množin{A 0 , A 1 , . . . A k , . . . } a {ϕ 0 , ϕ 1 , . . . ϕ k , . . . }.

Řešený příkladRozklad výše uvedeného periodického signálu (25) na dílčíkomponenty je jednoznačný.Platí, že každé dva různé periodické signály o opakovacím kmitočtu ωjsou jednoznačně reprezentovány různými dvojicemi množin{A 0 , A 1 , . . . A k , . . . } a {ϕ 0 , ϕ 1 , . . . ϕ k , . . . }.Grafické znázornění těchto množin ve formě spektrálních čar nakmitočtové ose se nazývá spektrum signálu.

Řešený příklad

Řešený příkladProchází-li signál elektrickým obvodem, můžeme to chápat jakoprůchod množiny jeho harmonických složek.

Řešený příkladProchází-li signál elektrickým obvodem, můžeme to chápat jakoprůchod množiny jeho harmonických složek.V důsledku rozdílných přenosových schopností obvodu na různýchkmitočtech dojde k tomu, že na výstupu obvodu budou jednotlivéharmonické složky vzájemně různě utlumeny a fázově posunuty.

Řešený příkladProchází-li signál elektrickým obvodem, můžeme to chápat jakoprůchod množiny jeho harmonických složek.V důsledku rozdílných přenosových schopností obvodu na různýchkmitočtech dojde k tomu, že na výstupu obvodu budou jednotlivéharmonické složky vzájemně různě utlumeny a fázově posunuty.Takže výstupní signál sice bude rovněž periodický, ale oprotivstupnímu signálu bude zkreslený.

Řešený příkladProchází-li signál elektrickým obvodem, můžeme to chápat jakoprůchod množiny jeho harmonických složek.V důsledku rozdílných přenosových schopností obvodu na různýchkmitočtech dojde k tomu, že na výstupu obvodu budou jednotlivéharmonické složky vzájemně různě utlumeny a fázově posunuty.Takže výstupní signál sice bude rovněž periodický, ale oprotivstupnímu signálu bude zkreslený.Spektrum signálu, resp. rozložení jeho spektrálních čar na kmitočtovéose, tak spolu s kmitočtovou charakteristikou obvodu přináší užitečnýa názorný nástroj na chápání jevů spojených s interakcemi signálu aobvodů.

Řešený příklad

Řešený příkladKonstruujme nyní Fourierovu řadu signálu

Řešený příkladKonstruujme nyní Fourierovu řadu signáluf (t) = |x|

Řešený příkladKonstruujme nyní Fourierovu řadu signáluf (t) = |x|pomocí 10 harmonických na základním intervalu periodicity(−0.5, 1).

Řešený příkladKonstruujme nyní Fourierovu řadu signáluf (t) = |x|pomocí 10 harmonických na základním intervalu periodicity(−0.5, 1).Dále proved’me harmonickou analýzu, tedy konstruujme amplitudovéa fázové spektrum.

Řešený příkladKonstruujme nyní Fourierovu řadu signáluf (t) = |x|pomocí 10 harmonických na základním intervalu periodicity(−0.5, 1).Dále proved’me harmonickou analýzu, tedy konstruujme amplitudovéa fázové spektrum.Graf periodického signálu je znázorněn

Řešený příkladKonstruujme nyní Fourierovu řadu signáluf (t) = |x|pomocí 10 harmonických na základním intervalu periodicity(−0.5, 1).Dále proved’me harmonickou analýzu, tedy konstruujme amplitudovéa fázové spektrum.Graf periodického signálu je znázorněnf (t)✻1 ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅❅❅❅ ✲−1.50 1.5t

Řešený příklad

Řešený příkladK výpočtu použijeme software Matlab.

Řešený příkladK výpočtu použijeme software Matlab.Algoritmus 1: Algoritmus rozvoje ve Fourierovu řadu1 function Fourierova_rada(f,a,b,N)2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%3 % Rozvoj zadane funkce f(t) z L2(a,b)4 % ve standardni Fourierovu radu5 % v komplexnim tvaru pomoci N harmonickych6 % Priklad volani: Fourierova_rada(’abs(t)’,-0.5,1,10)7 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%89 syms t real; % Symbolicka promenna t10 T=sym(b-a); % Perioda11 w=2*pi/T; % Uhlova rychlost

Řešený příklad

Řešený příkladAlgoritmus 1: Algoritmus rozvoje ve Fourierovu řadu13 % Vypocet koeficientu cn Fourierovy rady fN14 % a jeji sestaveni15 % Vypocet amplitud An a fazi FIn pro n=-N,...,N1617 fN=0; An=zeros(2*N+1,1); FIn=zeros(2*N+1,1);18 for n=-N:N19 cn=1/T*int(f*exp(-i*w*n*t),t,a,b);20 % Koeficient n-teho clenu FR21 fN=fN+cn.*exp(i*w*n*t);22 % Sestaveni Fourierovy rady fN23 An(n+N+1)=abs(double(cn));24 % Vypocet amplitudy (indexace vek. od 1)25 FIn(n+N+1)=-angle(double(cn));26 % Vypocet faze (indexace vektoru od 1)27 end;2829 % Grafy funkci f a fN30 figure; hold on; grid on; box on;31 set(gca,’FontSize’,14);

Řešený příklad

Řešený příkladAlgoritmus 1: Algoritmus rozvoje ve Fourierovu řadu33 % Puvodni funkce f34 hf=ezplot(f,[a,b]);35 set(hf,’Color’,’Red’,’LineWidth’,2);3637 % Aproximace fN pomoci N harmonickych38 hfN=ezplot(fN,[a,b]);39 set(hfN,’Color’,’Blue’,40 ’LineWidth’,2,’LineStyle’,’--’);41 xlabel(’t’);42 title([’Fourierova rada funkce f(t)=’,f]);43 legend(’f(t)’, [’f_{’,num2str(N),’}(t)’],44 ’Location’,’NorthEastOutside’);

Řešený příklad

Řešený příklad47Algoritmus 1: Algoritmus rozvoje ve Fourierovu řadu48 % Amplitudove spektrum49 figure; hold on; grid on; box on;50 set(gca,’FontSize’,14);51 bar(-N:N,An); xlabel(’n’);52 title(’Amplitudove spektrum’)5354 % Fazove spektrum55 figure; hold on; grid on; box on;56 set(gca,’FontSize’,14);57 bar(-N:N,FIn); xlabel(’n’);58 title(’Fazove spektrum’)

Řešený příklad

Řešený příkladGraf 10 harmonických je znázorněn

Řešený příkladGraf 10 harmonických je znázorněn10.8Fourierova rada funkce f(t)=abs(t)f(t)f 10(t)0.60.40.20−0.5 0 0.5 1tObrázek: Graf 10 harmonických

Řešený příklad

Řešený příkladAmplitudové spektrum daného signálu je znázorněno

Řešený příkladAmplitudové spektrum daného signálu je znázorněno0.5Amplitudove spektrum0.40.30.20.10−15 −10 −5 0 5 10 15nObrázek: Amplitudové spektrum daného signálu

Řešený příklad

Řešený příkladFázové spektrum daného signálu je znázorněno

Řešený příkladFázové spektrum daného signálu je znázorněno4Fazove spektrum3210−1−2−3−4−15 −10 −5 0 5 10 15nObrázek: Fázové spektrum daného signálu