Views
3 years ago

Počáteční a okrajové úlohy

Počáteční a okrajové úlohy

LINEÁRNÍ

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 12Podobně jako v předchozím příkladě najdeme obecné řešení rovnice(34)(35) u = c 1 cos πx + c 2 sin πx − cos 2πx.Před dosazením okrajových podmínek nejříve najdeme u ′(36) u ′ = −πc 1 sin πx + πc 2 cos πx + 2π sin 2πx.Dosazením okrajových podmínek z (34) do (36) a (35) dostaneme2 = c 2 ,a = c 2 + 1.Druhá rovnost však bude splněna pouze v případě, že a = 3. Pak budemít úloha (34) nekonečně mnoho řešení(37) u = c 1 cos πx + 2 sin πx − cos 2πx, c 1 ∈ R.Pokud bude a ≠ 3 úloha (34) nebude mít řešení.2.2. Vlastní čísla.Příklad 2.6. Najděme vlastní čísla a vlastní funkce okrajové úlohy(38)u ′′ + λu = 0,u(0) = 0, u(l) = 0.Hledáme takové λ ∈ R, λ > 0, pro které má úloha (38) netriviálnířešení. (Pro λ ≤ 0 má úloha pouze triviální řešení.)Obecné řešení rovnice (38) má tvar(39) u = c 1 cos √ λ x + c 2 sin √ λ x.Dosazením okrajových podmínek (38) do (39) dostaneme0 = c 1 ,0 = c 2 sin √ λ l.Protože hledáme netriviální řešení, musí být c 2 ≠ 0. Druhá rovnost takbude splněna pouze v případě, žeČíslasin √ λ l = 0 =⇒ √ λ l = kπ =⇒ λ = k2 π 2l 2 .(40) λ k = k2 π 2, k ∈ Nl 2jsou hledaná vlastní čísla okrajové úlohy (38). Pro každé λ k má úloha(38) nekonečně mnoho řešení(41) u k = c sin kπ lx, c ∈ R.

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 13Pro každé k ∈ N je funkce (a každý její násobek)(42) u k = sin kπ lx.hledanou vlastní funkcí příslušnou k vlastnímu číslu (40).Příklad 2.7. Najděme vlastní čísla a vlastní funkce okrajové úlohy(43)u ′′ + λu = 0,u ′ (0) = 0, u(l) = 0.Budeme postupovat stejně jako v příkladu 2.6. Najdeme obecné řešenírovnice (43)(44) u = c 1 cos √ λ x + c 2 sin √ λ x.a jeho derivaci(45) u ′ = −c 1√λ sin√λ x + c2√λ cos√λ x.Dosazením druhé okrajové podmínky do (44) a první okrajové podmínkydo (45) dostaneme0 = c 2 ,0 = c 1 cos √ λ l.Netriviální řešení úlohy (43) pak dostaneme pouze za podmínkycos √ λ l = 0 =⇒ √ λ l = (2k − 1) π 2 =⇒ λ = (2k − 1)2 π 24l 2 .Vlastní čísla a příslušné vlastní funkce (a každý jejich násobek) úlohy(43) jsou(46) λ k = (2k − 1)2 π 24l 2 , u k = cos(2k − 1)π2lx, k ∈ N.Příklad 2.8. Najděme vlastní čísla a vlastní funkce okrajové úlohy(47)u ′′ + λu = 0,u(0) = 0, u(π) = 0.K nalezení vlastních čísel a vlastních funkcí úlohy (47) využijemevýsledku úlohy (38). Dosazením za l = π do (40) a (42) dostaneme(48) λ k = k2 π 2π 2 = k 2 , u k = sin kx k ∈ N.

PŘEDNÁŠKY A POČÍTAČOVÉ PREZENTACE
Pascal programování pro začátečníky
Řád učebny. Zásady správného chování ve školní počítačové síti
manuál pro začátečníky a příprava ke zkouškám
reforma rozpočtu evropské unie a finanční r ámec po roce 2013
Vzdělávání nadaných dětí a žáků - Výzkumný ústav pedagogický v ...
POČÁTEČNÍ ZŮSTATKY
Gravitační a tíhová síla - řešení úlohy
počítače pro začátečníky - eAMOS
Predmet: MA4 Dnešní látka Variacne formulované okrajové úlohy ...
Populační a evoluční genetika 1. Historické počátky
Část SZZ: Modelování a simulace
Newmarkova metoda pro numerické řešení počátečních ... - FEI VŠB
Žádost o uznání zkoušek a zápočtů
metody reprezentace a zpracování znalostí v umělé inteligenci
Finanční gramotnost – úlohy a metodika - Národní ústav odborného ...
POČÍTAČE a INTERNET
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z TEORETICKÉ FYZIKY RADEK FUČÍK - ČVUT
Úvod Vývoj informačných a počítačových technológií sa v priebehu ...
DIGITÁLNÍ A PŘÍSTROJOVÁ OPTIKA
pravidla pro užívání výpočetní techniky a počítačové sítě fakulty ...
Zpracování informací - Ústav automatizace a informatiky - Vysoké ...
Úvod do Programování - Fykos
Počítačové zpracování přirozeného jazyka a Transparentní ...
Databáze, organizace a třídění dat, výpočty v Excelu
Grygárek, P.: Směrování v počítačových sítích a v Internetu
Směrnice děkana č. 1/2013 Uznání zápočtů a zkoušek z ...
Počítačové modelování elektrotechnických zařízení a komponentů ...
Agendy Probační a mediační služby ČR, stručný přehled o počtech ...
BEZSTAROSTNÉ MOBILNÉ POUŽÍVANIE POČÍTAČA S ... - Toshiba