Views
2 years ago

Počáteční a okrajové úlohy

Počáteční a okrajové úlohy

LINEÁRNÍ

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 16Tato podmínka bude splněna vždy, když k ≠ 3. Vlastní funkce totižtvoří ortogonální systém a platí(59) (u k , u l ) = 0 pro k ≠ l, resp. (u k , u l ) ≠ 0 pro k = l, k, l ∈ N.Odtud pak:a) Jestliže λ = λ k kde λ k = k 2 , k ∈ N, k ≠ 3 má úloha (57) nekonečněmnoho řešení.b) Jestliže λ = 9 (tj. k = 3), nemá úloha (57) řešení.Příklad 2.13. Rozhodněme o řešitelnosti okrajové úlohy(60)v závislosti na parametru λ ∈ R.u ′′ + λu = sin 4x + 2 sin 8x,u(0) = 0, u(π/2) = 0Budeme postupovat stejně jako v příkladu 2.12. Nejdříve najdemevlastní čísla a vlastní funkce příslušného homogenního problému k úloze(60).(61) λ k = 4k 2 , u k = sin 2kx.Dále je f(x) = sin 4x + 2 sin 8x, tj. f = u 2 + 2u 4 . Potom:1) Jestliže λ ≠ λ k , kde λ k = 4k 2 , k ∈ N, má úloha (60) právě jednořešení.2) Jestliže λ = λ k , kde λ k = 4k 2 , k ∈ N, potom(u k , f) = (u k , u 2 + 2u 4 ) = (u k , u 2 ) + 2(u k , u 4 ).Podle (59)a) Pro k ≠ 2 ∧ k ≠ 4 je (u k , u 2 ) + 2(u k , u 4 ) = 0 a úloha (60) mánekonečně mnoho řešení.b) Pro k = 2 je (u 2 , u 2 ) + 2(u 2 , u 4 ) = (u 2 , u 2 ) ≠ 0 a úloha (60) nemářešení.c) Pro k = 4 je (u 4 , u 2 ) + 2(u 4 , u 4 ) = 2(u 4 , u 4 ) ≠ 0 a úloha (60) nemářešení.Příklad 2.14. Rozhodněme o řešitelnosti okrajové úlohy(62)u ′′ + 64u = 2 sin 12x + cos 8x,u(0) = 0, u(π/4) = 0.Vlastní čísla příslušného homogenního problému mají tvarλ k = k2 π 2(π 2 /16) = 16k2 .Je zřejmé, že pro k = 2 je λ 2 = 16·4 = 64 a u funkce u v úloze (62) stojídruhé vlastní číslo. To ale znamená, že úloha (62) nemá jednoznačnéřešení.

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 17O tom, zda tato úloha má nekonečně mnoho řešení a nebo nemá řešení,rozhodne skalární součin (u 2 , f), kde u 2 = sin 8x je vlastní funkcepříslušná vlastnímu číslu λ 2 = 64 a f(x) = 2 sin 12x + cos 8x je pravástrana rovnice (62).Předně pro k = 3 je λ 3 = 16·9 = 144 třetí vlastní číslo a u 3 = sin 12xje třetí vlastní funkce. Označíme-li g(x) = cos 8x, je pak f = 2u 3 + g.Potom (a využitím toho, že (u 2 , u 3 ) = 0)(u 2 , f) = (u 2 , 2u 3 + g) = 2(u 2 , u 3 ) + (u 2 , g) ==∫ π/20sin 8x cos 8x dx = 0a to znamená, že úloha (62) má nekonečně mnoho řešení.Příklad 2.15. Rozhodněme o řešitelnosti okrajové úlohy(63)u ′′ + 9π 2 u = 3 sin 4πx + x + 1,u(0) = 0, u(1) = 0.Vlastní čísla příslušného homogenního problému mají tvarλ k = k2 π 21 2 = k 2 π 2 .Je zřejmé, že pro k = 3 je λ 3 = 9π 2 a u funkce u v úloze (63) stojí třetívlastní číslo. Opět úloha (63) nemá jednoznačné řešení.O tom, zda tato úloha má nekonečně mnoho řešení a nebo nemá řešeníbude zase rozhodovat skalární součin (u 3 , f), kde u 3 = sin 3πx jevlastní funkce příslušná vlastnímu číslu λ 3 = 9π 2 a f(x) = 3 sin 4πx + x + 1je pravá strana rovnice (63).Pro k = 4 je λ 4 = 16π 2 čtvrté vlastní číslo a u 4 = sin 4πx je čtvrtouvlastní funkcí. Označíme-li g(x) = x + 1, je pak f = 3u 4 + g. Potom (avyužitím toho, že (u 3 , u 4 ) = 0)(u 3 , f) = (u 3 , 3u 4 + g) = 3(u 3 , u 4 ) + (u 3 , g) ==∫ 1a to znamená, že úloha (63) nemá řešení.0(x + 1) sin 3πx dx = 1 π ≠ 02.4. Okrajové úlohy v operátorovém tvaru.Příklad 2.16. Ukažme, že operátor A příslušný okrajové úloze(64)−u ′′ + (1 + x)u = x,u(0) = 0, u(1) = 0je pozitivní.

Pascal programování pro začátečníky
PŘEDNÁŠKY A POČÍTAČOVÉ PREZENTACE
manuál pro začátečníky a příprava ke zkouškám
reforma rozpočtu evropské unie a finanční r ámec po roce 2013
Řád učebny. Zásady správného chování ve školní počítačové síti
Vzdělávání nadaných dětí a žáků - Výzkumný ústav pedagogický v ...
POČÁTEČNÍ ZŮSTATKY
Gravitační a tíhová síla - řešení úlohy
počítače pro začátečníky - eAMOS
Predmet: MA4 Dnešní látka Variacne formulované okrajové úlohy ...
Populační a evoluční genetika 1. Historické počátky
Část SZZ: Modelování a simulace
Newmarkova metoda pro numerické řešení počátečních ... - FEI VŠB
Žádost o uznání zkoušek a zápočtů
metody reprezentace a zpracování znalostí v umělé inteligenci
POČÍTAČE a INTERNET
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z TEORETICKÉ FYZIKY RADEK FUČÍK - ČVUT
Finanční gramotnost – úlohy a metodika - Národní ústav odborného ...
pravidla pro užívání výpočetní techniky a počítačové sítě fakulty ...
Úvod Vývoj informačných a počítačových technológií sa v priebehu ...
DIGITÁLNÍ A PŘÍSTROJOVÁ OPTIKA
Úvod do Programování - Fykos
Zpracování informací - Ústav automatizace a informatiky - Vysoké ...
Databáze, organizace a třídění dat, výpočty v Excelu
Počítačové modelování elektrotechnických zařízení a komponentů ...
Směrnice děkana č. 1/2013 Uznání zápočtů a zkoušek z ...
Počítačové zpracování přirozeného jazyka a Transparentní ...
Grygárek, P.: Směrování v počítačových sítích a v Internetu
BEZSTAROSTNÉ MOBILNÉ POUŽÍVANIE POČÍTAČA S ... - Toshiba
Pavel Žáček: Demontáž a očista bezpečnostních struktur. Počátek ...