Views
3 years ago

Počáteční a okrajové úlohy

Počáteční a okrajové úlohy

LINEÁRNÍ

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 22(Protože u ∈ D A , je u(a) = 0, u(b) = 0 a (−v ′ (b)u(b) + v ′ (a)u(a)) = 0.)Je tedy(83) (u, Av) =∫ bau ′ v ′ dx +Z (82) a (83) vidíme, že platí (81), tj.∫ bag(x)uv dx.∀u, v ∈ D A : (Au, v) = (u, Av)a operátor A je symetrický.Nyní ukažme, že operátor A je pozitivní, tj. platí(84) ∀u ∈ D A : (Au, u) ≥ 0 ∧ (Au, u) = 0 ⇔ u(x) = 0, ∀x ∈ 〈a, b〉.Zvolme ∀u ∈ D A . Potom podle (82) je(Au, u) =∫ bau ′ u ′ dx +∫ bag(x)uu dx =∫ ba(u ′ ) 2 dx +∫ bag(x)u 2 dx ≥ 0,protože součet integrálů z nezáporných funkcí je nezáporný. A tentosoučet se rovná 0 pouze tehdy, když oba integrály se současně rovnají0. Ale to nastane pouze v případě, že u(x) = 0, ∀x ∈ 〈a, b〉. Podmínka(84) platí a operátor A je pozitivní.Příklad 2.19. Najděme hodnotu funkcionálu energie F příslušnéhookrajové úloze(85)−u ′′ + x 2 u = x,u(0) = 0, u(1) = 0s operátorem A pro funkci u 1 (x) = x(1 − x).Podle příkladu 2.18 víme, že operátor(86) Au = −u ′′ + x 2 us definičním oborem(87) D A = { u ∈ C 2 (〈0, 1〉) : u(0) = 0, u(1) = 0 } .je pozitivní. Funkcionál energie pro okrajovou úlohu Au = f, kde A jepozitivní operátor s definičním oborem D A , má tvar(88) F u = (Au, u) − 2(f, u).Protože u 1 ∈ D A , dostaneme dosazením u 1 (x) = x(1−x) (u ′′1(x) = −2)do (86)Au 1 = 2 + x 2 · x(1 − x) = 2 + x 3 (1 − x)dále do (88)F u 1 = (Au 1 , u 1 ) − 2(f, u 1 ) =− 2∫ 10∫ 10(2 + x 3 (1 − x)) · x(1 − x)dx −x · x(1 − x)dx = 211105 − 2 · 112 = 12970 .

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 23Příklad 2.20. Najděme minimální hodnotu funkcionálu energie F příslušnéhookrajové úloze(89)−u ′′ + 9u = 9x 2 − 9x − 2,u(0) = 0, u(1) = 0.Podle věty o minimu kvadratického funkcionálu víme, že pokud jefunkce u ∗ řešením okrajové úlohy Au = f, kde A je pozitivní operátors definičním oborem D A (podle příkladu 2.18 je operátor A příslušnýúloze (89) pozitivní), pak tato funkce minimalizuje funkcionál energiepříslušný této úloze a naopak, pokud u ∗ minimalizuje funkcionál energiedané okrajové úlohy, pak tato funkce je řešením této úlohy.Tato věta umožňuje hledat řešení okrajové úlohy tak, že najdemefunkci u ∗ ∈ D A , která minimalizuje funkcionál energie příslušný danéúloze. (Toto je princip řešení okrajových úloh tzv. variačními metodami).Naopak, známe-li řešení okrajové úlohy u ∗ ∈ D A , pak tatofunkce minimalizuje příslušný funkcionál energie. A to je právě nášpřípad.Podobně jako v příkladech 1.1 až 2.3 najdeme řešení úlohy (89). (Diferenciálnírovnice 2.řádu s konstatními koeficienty se speciální pravoustranou.) Nejdříve najdeme řešení rovnice bez pravé strany. Charakteristickárovnice −λ 2 + 9λ = 0 má dva různé reálné kořeny λ 1 = 3 aλ 2 = −3. Odtudu h = c 1 e 3x +c 2 e −3xje řešením rovnice bez pravé strany. Daná rovnice má speciální pravoustranu a tedy partikulární řešení rovnice (89) budeme hledat ve tvaruu p = Ax 2 + Bx + C.Dosazením tohoto předpokládaného řešení do rovnice (89) a porovnánímkoeficientů u stejných mocnin x dostaneme A = 1, B = −1, C = 0.Obecné řešení rovnice (89) má tedy tvaru h = c 1 e 3x +c 2 e −3x +x 2 − x.Dosazením okrajových podmínek do obecného řešení najdeme hledanéřešení.Řešením úlohy (89) je funkce u ∗ ∈ D A(90) u ∗ (x) = x 2 − x, x ∈ 〈0, 1〉.Je tedy (viz příklad 2.19)F u ∗ = (Au ∗ , u ∗ ) − 2(f, u ∗ ) =∫ 1∫ 10(−2 + 9 · (x 2 − x))dx −− 2 (9x 2 − 9x − 2) · (x 2 − x)dx = − 19030hledaná minimální hodnota funkcionálu energie.

Pascal programování pro začátečníky
PŘEDNÁŠKY A POČÍTAČOVÉ PREZENTACE
manuál pro začátečníky a příprava ke zkouškám
reforma rozpočtu evropské unie a finanční r ámec po roce 2013
Řád učebny. Zásady správného chování ve školní počítačové síti
Vzdělávání nadaných dětí a žáků - Výzkumný ústav pedagogický v ...
POČÁTEČNÍ ZŮSTATKY
Gravitační a tíhová síla - řešení úlohy
počítače pro začátečníky - eAMOS
Predmet: MA4 Dnešní látka Variacne formulované okrajové úlohy ...
Populační a evoluční genetika 1. Historické počátky
Část SZZ: Modelování a simulace
Newmarkova metoda pro numerické řešení počátečních ... - FEI VŠB
Žádost o uznání zkoušek a zápočtů
Finanční gramotnost – úlohy a metodika - Národní ústav odborného ...
metody reprezentace a zpracování znalostí v umělé inteligenci
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z TEORETICKÉ FYZIKY RADEK FUČÍK - ČVUT
POČÍTAČE a INTERNET
DIGITÁLNÍ A PŘÍSTROJOVÁ OPTIKA
pravidla pro užívání výpočetní techniky a počítačové sítě fakulty ...
Úvod Vývoj informačných a počítačových technológií sa v priebehu ...
Zpracování informací - Ústav automatizace a informatiky - Vysoké ...
Úvod do Programování - Fykos
Agendy Probační a mediační služby ČR, stručný přehled o počtech ...
Databáze, organizace a třídění dat, výpočty v Excelu
Směrnice děkana č. 1/2013 Uznání zápočtů a zkoušek z ...
Počítačové modelování elektrotechnických zařízení a komponentů ...
Numerické řešení stlačitelného turbulentního proudění ve vnější a ...
Počítačové zpracování přirozeného jazyka a Transparentní ...
Pavel Žáček: Demontáž a očista bezpečnostních struktur. Počátek ...