Views
2 years ago

TEORIJA GRAVITACIJE

TEORIJA GRAVITACIJE

1( ∂η ∂ξ=− ∂η

1( ∂η ∂ξ=− ∂η ∂ξ+ ∂ξ ∂η∂v ∂u − ∂ξ ∂η) ( ∂η ∂ξdu∂v ∂u ∂u ∂v − ∂ξ ∂η)dv (J.103)∂u ∂v∂v ∂v ∂v ∂u( ∂ξ ∂η=∂u ∂v − ∂ξ ∂η)dudv(J.104)∂v ∂uIzraz pred produktom dudv prepoznamo kot Jacobijevo determinanto med kartezičnimiin krivočrtnimi koordinatami (glej npr. Vidav). Torej smo z enačbama J.99in J.102 dobili običajna izraza za infinitezimalne elemente ploščine v krivočrtnihkoordinatah vsaj takrat, kadar leži element pločine omejen s krivuljama C u in C vv ravnini x − y. Če pa A ne leži v ravnini x − y, je po naši izkušnji 1 dx ∧ dy[A]2projekcija elementa ploščine na ravnino x−y. Kvadrat ploščine poljubno orientiraneinfinitezimalne ploskvice zapišemo v trirazsežnem prostoru po naših izkušnjah takole:dS 2 = ( dx ∧ dy[A] )2 + ( dy ∧ dz[A] )2 + ( dz ∧ dx[A] )2 ,(J.105)ali v bolj kompaktni pisavi:dS 2 = 1 4 δik ε ilm ε kpq(dx l ∧ dx m) ⊗ ( dx p ∧ dx q) [A][A](J.106)Pri tem sta δ ik in ε ijk že definirana Kronekerjev simbol in popolnoma antisimetričnisimbol v trirazsežnem prostoru. Po prejšnjem dogovoru je implicitno privzeto seštevanjepo ponavljajočih se indeksih od 1 do 3, ⊗ pa označuje direktni produkt dveh baznih2-form, ki je definiran tako kot smo že napovedali:(dx l ∧ dx m) ⊗ ( dx p ∧ dx q) [A][B] = ( dx l ∧ dx m) [A] ( dx p ∧ dx q) [B] (J.107)Naloga J.10: Preveri, da velja J.97, če αγ − βδ ≠ 0.Naloga J.11: Preveri, da velja J.99, če so konstante α, β, γ in δ podane z J.100.Naloga J.12: Prepričaj se, da je izraz J.106 res ekvivalenten J.105. Ali lahko uganeškako bi zapisali ploščino dvorazsežne ploskve v n razsežnem prostoru v kartezičnikoordinatni bazi? (Antisimetrični simbol v n-razsežnem prostoru ima n različnihindeksov (ε ij···z )).106

Morda je bralec pravilno uganil kako posplošiti enačbo J.106, da bo veljala tudiv n-razsežnem prostoru ali pa tudi ne. Če se hočemo problema sistematično lotiti,se najprej vprašamo zakaj se ploščina infinitezimalne ploskvice v tri-razsežnem prostoruzapiše ravno v obliki J.105? Odgovor morda tiči v dejstvu, da moramo dobitiza površino izbrane ploskve vedno enak rezultat ne glede na to v katerih koordinatnihsistemih jo izračunamo. Poglejmo si, kako se spremeni izraz za površino če joračunamo v kartezičnih koordinatnih sistmih, ki so med seboj zasukani. Ustreznopreimenovanje koordinatnih 0-form in prav tako koordinatnih 1-form dosežemo zrotacijsko matriko tako kot v drugem poglavju prvega dela, to je z linearno transformacijo:⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛dxdx ′⎝dydz⎠ =⎞R 1 1 R 1 2 R 1 3⎝R 2 1 R 2 2 R 2 ⎠⎝3 dy ′ ⎠R 3 1 R 3 2 R 3 3 dz ′(J.108)Pri čemer ni odveč spomniti na pomembno lastnost, da je produkt rotacijske matrikez njeno transponirano matriko enotna matrika. V komponentni pisavi je to zapišemov obliki:R i k δ ijR j l= δ kl(J.109)Pokazali smo, da je J.106 gotovo pravi izraz za kvadrat ploščine infinitezimalnegaparalelograma, če ta leži v eni od koordinatnih ravnin. J.106 je zato splošno veljaven,če se enako zapiše v vseh kartezičnih koordinatnih sistemih. Da bi to pokazali, senajprej prepričamo, da velja (prepričaj se sam!):δ ik ε ilm ε kpq = δ lp δ mq − δ lq δ mp(J.110)Vstavimo J.108 v J.106, upoštevamo gornjo identiteto in zapišemoJ.106 v zavrtenem koordinatnem sistemu:dS 2 = 1 4 (δ lpδ mq − δ lq δ mp )R l hR m iR p j Rq k (dxh ∧ dx i ) ⊗ (dx j ∧ dx k )[A][A] (J.111)Ko upoštevamo J.109, se prepričamo, da se vse rotacijske matrike zmnožijo v enotskematrike (δ ij ). Tako ostane:dS 2 = 1 4 (δ ikδ jl − δ il δ jk )(dx λ ∧ dx µ ) ⊗ (dx τ ∧ dx κ )[A][A] ,(J.112)kar je po J.110 natanko J.106.Na podoben način pridemo do izraza za kvadrat infinitezimalne ploščine v n-razsežnem prostoru. Če leži ploskev A slučajno v ravnini x i − x j , izračunamopovršino infinitezimalnega paralelograma natanko tako kot prej (enačbe J.95-J.102).107

CAD-CAM Teorija, praksa i upravljanje proizvodnjom.pdf
Elementarna matematika - Teorija i zadaci - PMF
Mikrovalno zračenje, mikrovalna teorija, mikrovalna organska ... - PBF
Revija Odvetnik, št. 60 - Odvetniška Zbornica Slovenije
Slovenščina za vsak dan 9 (posodobljena izdaja 2011) - priročnik za ...
Naša sredina, številka 3, leto 2
BF-6-2009 - Frančiškani v Sloveniji
Prodaja medu na domu Poziv za zbiranje kandidatur za člane ...
Številka 56 - Odvetniška Zbornica Slovenije
Letno poročilo Varuha človekovih pravic za leto 2007 (PDF)
1. PDF dokument (3766 kB) - dLib.si
Letnik XIII/15 - Ministrstvo za obrambo
Predstavljamo Å¡olsko padalski oddelek SV - Ministrstvo za obrambo
Uveljavitev načela kratkih verig v sistemu javnega naročanja TLP ...
Darko Štrajn, Umetnost v realnosti ... - Pedagoški inštitut
Metoda podpornih vektorjev
Mitska stvarnost koroških knežjih kamnov - Inštitut za arheologijo
no repliques ideas pensa por vos mismo - AirBeletrina
Številka 20 - Odvetniška Zbornica Slovenije
Devetošolski - Osnovna šola Franceta Prešerna Kranj
BREZPLAČEN OTROŠKI MESEČNIK - Shrani.si
24. maj 1962 (št. 635) - Dolenjski list