Views
3 years ago

TEORIJA GRAVITACIJE

TEORIJA GRAVITACIJE

Računanja ploščine

Računanja ploščine poljubno orientiranega paralelograma pa se lotimo tako, da sezavrtimo v koordinatni sistem glede na katerega leži paralelogram v ”ravnini’ dvehkoordinat, nato pa izrazimo ploščino po J.102 s starimi (nezavrtenimi) koordinatmi.Na ta način pridemo do naslednjega izraza za kvadrat infinitezimalne ploščine:dS 2 =14(n − 2)! ε ab...efgε ij...lmn δ ai δ bj . . .δ el (dx f ∧dx g ) ⊗(dx m ∧dx n )[A][A] (J.113)Zgoraj ima vsak antisimetrični simbol (ε) n različnih indeksov, Kronekerjevih δ paje n − 2.Naloga J.13: Prepričaj se, da dobiš J.95, če je ploskev A ravnina x 1 = u, x 2 = v,x 3 = X0 3 ... xn = X0 n ! (Opazil boš, da šteje faktor 4(n − 2)! v imenovalcu številoponovitev dve forme dx 1 ∧ dx 2 = −dx 2 ∧ dx 1 .)Naloga J.14: Pokaži, da se tudi v zavrtenih koordinatahdx i′ = R i k dxk (J.114)element kvadrata ploščine izraža z J.113, samo če zamenjamo originalne koordinates črtkanimi.Zapišimo še kvadrat ploščinskega elementa v krivočrtnih koordinatah (v katerihse razdalje med točkami zapišejo kot v J.75:dS 2 1=4(n − 2)! g1/2 ε ab...efg g 1/2 ε ij...lmn g ai g bj . . .g el (dx f ∧ dx g ) ⊗ (dx m ∧ dx n )[A][A](J.115)Pri tem je g standardna oznaka za determinanto metričnega tenzorja. Pravilnosttega izraza lahko pokažemo, če se iz kartezičnih koordinat preselimo v krivočrtne.Dokazovanje je premočrtno vendar zamudno, zato ga tu ne bomo reproducirali.Vektorski prostor 1-form je prostor linearnih kombinacij (n) baznih 1-form. Podobnoje prostor 2-form prostor linearnih kombinacij baznih 2-form. Splošni element v temprostoru lahko torej zapišemo v obliki:f (2) = 1 ∑f ij dx i ∧ dx j2i,j(J.116)Pomembne so samo antisimetrične komponente matrike f ij , saj tisti del f ij , ki niantisimetričen, zaradi antisimetrije baznih 2-form glede na zamenjavo obeh indeksov,108

nima nobenega učinka; namreč α(dx i ∧ dx j + dx j ∧ dx i ) ≡ 0 Faktor 1 stoji pred2definicijo iz estetskih razlogov. Spominja, da nastopa v vsoti, ki teče od 1 do n (nje dimezionalnost prostora, za nas je to trenutno 3) vsak par (različnih) indeksovdvakrat npr. kot f 23 dx 2 ∧ dx 3 in kot f 32 dx 3 ∧ dx 2 = −f 32 dx 2 ∧ dx 3 = f 23 dx 2 ∧ dx 3(V prvem koraku smo upoštevali antisimetrijo klinastega produkta, v drugem paantisimetričnost matrike komponent.). Splošna 2-forma se v 3-razsežnem prostoruzapiše v kartezični koordinatni bazi v obliki:f (2) = f 12 dx ∧ dy + f 23 dy ∧ dz + f 31 dz ∧ dx(J.117)Rezultat delovanja splošne 2-forme na ploskev pa je:f (2) [A] = f 12 dS xy + f 23 dS yz + f 31 dS zx ≡ f 12 dS z + f 23 dS x + f 31 dS y(J.118)Pri tem sem označil z dS xy = dxdy projekcijo elementa ploskve A na ravnino x − yin podobno za dS yz in dS zx . V naslednjem koraku pa sem opozoril, da npr. pripovršinskih integralih te projekcije pogosto označujemo kot projekcije vektorja, kimu rečemo površinski element dS. ⃗ Izraz J.118 lahko razumemo kot skalarni produkt⃗f · dS, ⃗ če so kartezične komponente vektorja f ⃗ naslednje ( )f ⃗ = f 1 23, ( f ⃗)2 = f 31 in( ⃗f)3 = f 12. Na ta način lahko v treh dimenzijah priredimo tudi 2-formam vektorskapolja po predpisu (Brez dokaza povejmo, da velja spodnji izraz tudi v krivočrtnihkoordinatah in tudi v trirazsežnih mnogoterostih.):⃗f ˆ=g −1/2 ε ijk f ij e k(J.119)Ali pa 1-forme po predpisu:F (1) ≡ f (2)∗ = 1 2 g−1/2 g lk ε ijk f ij dx l (J.120)Gornja ugotovitev velja samo v treh dimenzijah, kajti samo v treh dimenzijah ještevilo linearno neodvisnih baznih 1-form enako številu linearno neodvisnih baznih2-form, to je tri. V dveh dimenzijah je baza 1-form dvo-razsežna (bazni 1-formidx in dy), baza 2-form pa eno-razsežna (bazna 2-forma je samo dx ∧ dy). Zatosmemo prirediti v dveh dimenzijah 2-formam skalarje. Nasprotno pa je v štirihdimenzijah prostor baznih 2-form šestrazsežen in je tako ”večji”od prostora 1-form.V 4-razsežni mnogoterosti namreč obstajajo v vsaki okolici štiri linearno neodvisne 1-forme (dx 0 , dx 1 , dx 2 , dx 3 ) pa šest linearno neodvisnih 2-form (dx 0 ∧dx 1 , dx 2 ∧dx 0 ,dx 0 ∧dx 3 , dx 2 ∧dx 1 , dx 1 ∧dx 3 , dx 2 ∧dx 3 ). Zaradi lastnosti 3-razsežnega prostora,da je število linearno neodvisnih 1-form enako številu linearno neodvisnih 2-form, jemogoče v trirazsežnem prostoru definirati vektorski produkt in vektorsko operacijorotor.109

CAD-CAM Teorija, praksa i upravljanje proizvodnjom.pdf
Revija Odvetnik, št. 60 - Odvetniška Zbornica Slovenije
BF-6-2009 - Frančiškani v Sloveniji
Prodaja medu na domu Poziv za zbiranje kandidatur za člane ...
Novicke_SZZ_09_2012_web
Naša sredina, številka 2, leto 1
Revija PRO - Maj 2018
K novi paradigmi pravičnosti - Založba Univerze na Primorskem
Privoščite si več udobja in hkrati privarčujte.. - Avtomatizacija za vaš ...
PARTNER pomlad-poletje 2009 (PDF - 2,44 MB) - Hidria
Anton Mlinar, Etika življenja - Založba Univerze na Primorskem
Številka 53 - Odvetniška Zbornica Slovenije
V katerem vesolju je moj najbližji dvojnik? - Arnes
Mikrovalno zračenje, mikrovalna teorija, mikrovalna organska ... - PBF
izumitev politiËnega izumitev politiËnega - AirBeletrina
Prenesi PDF - GZDBK
(Pre)drzna Slovenija - Pedagoški inštitut
Urednikova beseda bf 1/2011 - Frančiškani v Sloveniji
Modre strani 1/4 - Cinkarna Celje