TEORIJA GRAVITACIJE

Preden zapišemo Lorentzove transformacije, je vredno vpeljati notacijo, ki je vrelativnostni teoriji pa tudi na drugih področjih teoretične fizike danes standardna.Četverico koordinat ”dogodka” ℘ {ct, x, y, z} bomo označevali z {x 0 , x 1 , x 2 , x 3 } zato,da lahko splošno označimo katerokoli od štirih koordinat s splošnim indeksom npr. µ(Če je npr. µ = 0 govorimo o ct ali če je µ = 2 govorimo o y.). Tako je npr. ∂φena∂x µod komponent gradienta funkcije φ, oziroma če teče µ od 0 do 3 pomeni, da imamov mislih implicitno kar gradient funkcije φ v koordinatni bazi {ct, x, y, z}. Vpeljimoše matriko Minkowskega s komponentami η µν (µ in ν sta med 0 in 3) tako, da jeη 00 = −1, η ii = 1 za i = 1, 2, 3, vse ostale komponente pa so enake 0. Matrika η jetako neke vrste ekvivalenta Kronekerjevega δ (δ ik = 1 če i = k in δ ik = 0 če i ≠ k) stem, da je za razliko od δ ik , kjer so vse od nič različne komponente enake +1, pri η µνvrednost komponente η 00 enaka −1. To matriko vpeljemo na ta način zato, da lahkozapišemo enačbe tipa (B.8), (B.9), v kompaktni obliki; npr. za (B.9) zapišemo:3∑3∑µ=0 ν=0η µν∂ 2 φ= − ρ ∂x µ ∂x ν ε 0ali še krajše:η µν φ, µν = − ρ (B.10)ε 0V zgornji vrstici smo nakazali dva dogovora; če se grški indeks v produktu ponovitako, da nastopa enkrat zgoraj in enkrat spodaj potem nimamo v mislih samo zapisanegaindeksa npr. z imenom µ, ampak smatramo, da gre za tekoči indeks to jeindeks po katerem seštevamo, ko teče od 0 do 3. Npr.:V µ ∂φ∂x µ≡ V 0 ∂φc∂t + V 1∂φ∂x + V 2∂φ∂y + V 3∂φ∂z(B.11)Drugi običajni dogovor je ta, da označimo parcialne odvode funkcij po koordinatahx 0 . . . x 3 s:φ, µ ≡ ∂φ in φ,∂x µ µν ≡ ∂2 φitd. (B.12)∂x µ ∂x νNaloga B.4: Izpiši enačbo (B.10) z upoštevanjem dogovorov (B.11) in (B.12) inse prepričaj, da dobiš enačbo (B.9).Končno se vrnemo k transformacijam potiska. Vzemimo najprej Galilejeve transformacije(B.1) in poglejmo v kaj transformirajo enačbo (B.9) oziroma obliko (B.10)V novi pisavi zapišemo transformacije (B.1) v obliki:x µ = R µ ν x′ν + X µ 0(B.13)11