Views
3 years ago

TEORIJA GRAVITACIJE

TEORIJA GRAVITACIJE

10.7 Transformacijske

10.7 Transformacijske grupe, Lie-jev odvod, kovariantni odvoditd.Do sedaj smo obravnavali infinitezimalne geometrijske strukture, ki jih konstruiramov okolici točk na mnogoterosti. Pogosto se pojavlja potreba po primerjavistruktur, ki so definirane v različnih točkah mnogoterosti. Tak primer je npr.pospešek, ki je po fizikalni definiciji razlika med hitrostma telesa v dveh različnihtočkah vzdolž trajektorije deljena s pretečenim časom. Za drug primer se lahkospomnimo mehanike tekočin, kjer se moramo zanimati za spremembe površine inprostornine zaznamovanega dela tekočine, ko se giblje po tokovnicah. Bralec sebo gotovo spomnil še mnogih primerov iz fizike, ko moramo spremljati spremembefizikalnih količin medtem, ko se fizikalni sistem giblje.Kako določimo pospešek avtomobila? Spodoben fizik bo na zeljevid vrisal njegovopot, zapisal v zemljevid kdaj se je avto nahajal v dani točki in nato vrisal vzemljevid tangente na pot tako, da bo njihova dolžina sorazmerna hitrosti. Povprečnipospešek med postajo A in B bo končno določil tako, da bo paralelno prenesel vektorhitrosti iz točke A v točko B, odštel oba vektorja in ju delil s pretečenim časom.V gornjem predpisu ene operacije še nismo definirali. Nismo namreč eksplicitnopovedali kako paraleleno prenesti hitrost iz točke A v točko B. Če je zemljevidnarisan v kartezičnem koordinatnem sistemu tako, da so vse razdalje na zemljevidusorazmerne resničnim z enakim sorazmernostnim faktorjem in gre za majhne razdalje,se zdi, da znamo paralelno prenašati vektorje. Če pa imamo opravka npr. z zemljevidomcelotne Evrazije, pričakujemo težave. Zato bomo o predpisu za paralelnopremikanje natančneje razmislili.Kako paralelno premaknemo daljico na papirju? Najlaže to naredimo na črtastempapirju, ki je izpolnjen s samimi paralelnimi črtami (premicami). Če oklepavektor v postavljen v točki ℘ kot α s premico, ki gre skozi to točko ℘, mora paralelnopremaknjeni vektor v drugi točki ℘ ′ oklepati enak kot z ustrezno premico iz šopaparalelnih premic. Lahko si predstavljamo, da je šop paralelnih premic nekakšen šopsilnic, glede na katerega je definiran paralelni premik.Za nekaj časa pozabimo na paralelnost in se zanimajmo za šope krivulj v mnogoterosti,ki jo označimo z X. Predstavljamo si jih kot silnice nekega polja (električnega,magnetnega ali kakega drugega). V izogib možnim zapletom vzemimo, daje šop - družina kriulj - tako bogat, da gre skoraj skozi vsako točko (samo končnoštevilo točk mnogoterosti je lahko izvzeto) mnogoterosti ena in ena sama krivulja.Označimo družino krivulj s σ(℘, t). Pri tem je ℘ ”ime”točke na mnogoterosti X(℘ˆ={x 1 , x 2 . . .x n }) skozi katero gre krivulja iz družine takrat, ko zavzame parametert vrednost 0. Ko se parameter t veča, teče krivulja po točkah z ”imeni”σ(℘, t).116

Tako velja:σ(℘, t + s) = σ(σ(℘, t), s)(J.150)V (skoraj) vsaki točki mnogoterosti lahko konstruiramo tangento na ustrezno krivuljo.Označimo jo z:v(℘) = d dt σ(℘, t)| t=0(J.151)Množica vseh tangent predstavlja vektorsko polje. Tudi obratno se da pokazati: Čeimamo vektorsko polje npr. v lahko (pod določenimi pogoji zveznosti) na enoličennačin konstruiramo družino krivulj, katerim so vektorji vektorskega polja tangente 12 .Vsako družino silnic lahko na naraven način uporabimo za preslikavo mnogoterostisame vase po predpisu, da se točka ℘ preslika v točko σ(℘, t). Ta preslikava imalastnosti grupe saj je preslikava preslikave po J.150 ponovno preslikava mnogoterostisame vase vzdolž prvotne družine silnic, obstaja tudi enotni element (σ(℘, 0) =℘ - glej J.150!) in inverzna preslikava (če ℘ ′ = σ(℘, t) =⇒ ℘ = σ(℘ ′ , −t)- glej J.150!). Tej grupi pravimo lokalna psevdogrupa, vektorskemu polju v pagenerator lokalne psevdogrupe. Družini preslikav, ki jih generira vektorsko poljev pravimo tudi tok vektorskega polja v. S pomočjo lokalne psevdogrupe je mogočeprenašati geometrijske strukture med točkami mnogoterosti v smeri silnic polja v.Vzemimo, da imamo na mnogoterosti poleg lokalne psevdogrupe še vektorsko poljew. Silnice polja w označimo s τ, tako da jew(℘) = d dt τ(℘, t)| t=0 (Glej J.151). Naj bosta točki ℘ in ℘ ′ na silnici polja v (glejsliko 4). Tako je ℘ ′ = σ(℘, ∆t). Silnica polja w, ki gre skozi točko ℘, je τ(℘, t). Skozitočko ℘ ′ pa gre silnica τ(℘ ′ , t). V splošnem, če polji v in w nista lokalno vzporedni,sta ti dve silnici različni. Element lokalne psevdogrupe (tista preslikava, ki preslika℘ v ℘ ′ , oziroma tisti element za katerega je t = ∆t) preslika silnice polja w v:τ(℘, s) =⇒ σ(τ(℘, s), ∆t) (J.152)Silnico, ki gre skozi točko ℘ , preslika lokalna psevdogrupa v krivuljo, ki gre skozitočko ℘ ′ . Skozi točko ℘ ′ tečeta dve krivulji - silnica w (τ(℘ ′ , s)) in slika silnice w(σ(τ(℘, s), ∆t)). Tangento na sliko silnice σ(τ(℘, s), ∆t) smatramo za vektor w(℘)12 Za to, da lahko govorimo o vektorskem polju ali o p-formah na mnogoterosti ni potrebno imetidefinirano razdaljo. Tangento v točki ℘ je še vedno mogoče definirati kot smer krivulje v točki℘. Bazna vektorska polja so npr. tista, vzdolž katerih se spreminja samo ustrezna koordinatna0-forma. Tudi o 1 in p-formah lahko razmišljamo tako kot smo povedali. Bazne 1-forme npr.štejejo prirastek ustrezne bazne 0-forme vzdolž gibanja! Brez razdalje pa ne moremo govoriti o npr.velikosti vektorjev in o zvezi med vektorskimi polji in 1-formami. Metrika, ki lahko definira razdaljomed točkami na mnogoterosti, torej poveže vektorska polja in 1-forme, ni pa nujna sestavina teorijemnogoterosti.117

CAD-CAM Teorija, praksa i upravljanje proizvodnjom.pdf
Slovenščina za vsak dan 9 (posodobljena izdaja 2011) - priročnik za ...
Revija Odvetnik, št. 60 - Odvetniška Zbornica Slovenije
Mikrovalno zračenje, mikrovalna teorija, mikrovalna organska ... - PBF
Elementarna matematika - Teorija i zadaci - PMF
BF-6-2009 - Frančiškani v Sloveniji
Prodaja medu na domu Poziv za zbiranje kandidatur za člane ...
Devetošolski - Osnovna šola Franceta Prešerna Kranj
24. maj 1962 (št. 635) - Dolenjski list
BREZPLAČEN OTROŠKI MESEČNIK - Shrani.si
Številka 20 - Odvetniška Zbornica Slovenije
Predstavljamo Å¡olsko padalski oddelek SV - Ministrstvo za obrambo
Uveljavitev načela kratkih verig v sistemu javnega naročanja TLP ...
Mitska stvarnost koroških knežjih kamnov - Inštitut za arheologijo
no repliques ideas pensa por vos mismo - AirBeletrina
Metoda podpornih vektorjev
Darko Štrajn, Umetnost v realnosti ... - Pedagoški inštitut
Naša sredina, številka 3, leto 2
Številka 19 - Odvetniška Zbornica Slovenije
Letnik XIII/15 - Ministrstvo za obrambo
Številka 56 - Odvetniška Zbornica Slovenije
Letno poročilo Varuha človekovih pravic za leto 2007 (PDF)
1. PDF dokument (3766 kB) - dLib.si