TEORIJA GRAVITACIJE

Komponente R µ ν matrike R imajo za Galilejeve transformacije naslednje vrednosti:R 0 0 = 1 in R0 i = 0 za i = 1, 2, 3, ker je pa Galileju in po Newtonu čas količina,ki teče v vseh sistemih z enako hitrostjo. Krajevne komponente matrike R ; R i k zai = 1, 2, 3 tvorijo rotacijsko matriko iz (B.1) in R i 0 = v i /c ≡ β i za i = 1, 2, 3. ZaGalilejeve transformacije se torej matrika R glasi:⎛⎞1 0 0 0R G = ⎜β x R x x R x y R x z⎟⎝β y R y x R y y R y ⎠(B.14)zβ z R z x R z y R z z(Vstavi (B.14) v (B.13) in se prepričaj, da dobiš (B.1).) Če torej upoštevamo,da zapišemo stare koordinate x µ z novimi x ′µ kot zahteva linearna transformacija(B.13), vidimo, da se gradient funkcije φ v novih koordinatah zapiše:φ, µ ≡ ∂φ∂x = ∂φ ∂x ′νµ ∂x ′ν ∂x ≡ φ, ∂x ′νµ ν ′ ∂x µ(B.15)Ali z besedami: komponente gradienta v starem koordinatnem sistemu (φ, µ ) dobimoiz novih tako, da pomnožimo vrstično matriko novih komponent (φ, λ ′) z matriko Mki ima komponente:Napišimo to še v matrični pisavi:M λ µ = ∂x′λ∂x µ .( ) ( φ,0 , φ, 1 , φ, 2 , φ, 3 = φ,0 ′ , φ, 1 ′ , φ, 2 ′ , φ, 3 ′)⎜⎝⎛⎞∂x ′0 ∂x ′0 ∂x ′0 ∂x ′0∂x 0 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3∂x ′1 ∂x ′1 ∂x ′1 ∂x ′1∂x 0 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3∂x ′2 ∂x ′2 ∂x ′2 ∂x ⎟ ′2⎠∂x 0 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3∂x ′3 ∂x ′3 ∂x ′3 ∂x ′3∂x 0 ∂x 3 ∂x 2 ∂x 3(B.16)(B.17)Naloga B.5: Primerjaj zapisa (B.15) in (B.17) in se prepričaj, da dasta istirezultat, če spoštujemo dogovora (B.11) in (B.12) in seveda pravilo za množenjematrik. Prepričaj se tudi, da je matrika M inverzna matriki R, to jeR µ λ Mλ ν = δ µ ν (B.18)Pri tem je δ µ ν = 1 če µ = ν in δ µ ν = 0 drugače, to je Kronekerjev delta, oziromamatrika s komponentami δ µ ν je enotska matrika. (Glej (B.13) in (B.15)!)12