Views
3 years ago

TEORIJA GRAVITACIJE

TEORIJA GRAVITACIJE

potem je vektorsko polje

potem je vektorsko polje w levo invariantno vektorsko polje (in podobno za desnoinvariantnost). Z drugimi besedami: če tečeta krivulji h(g, t) in R k(h(g ′ , t) ) skozi istielement g 0 in se v tej točki njuni tangenti ujemata in to velja za vse g 0 , je snop h(g, t)invarianten glede na leve translacije. Spomnimo se Lijevega odvoda pa lahko rečemo,da je vektorsko polje w levo invariantno, če je Lijev odvod polja w po generatorjudesnih translacij enak 0. 15Poglejmo si, kaj to pomeni na preprostem primeru. Naj bo prvotna mnogoterostX ravnina x − y (s točkami ℘), G pa množica vseh translacij v tej ravnini. Vsakelement množice G opišemo z dvema številkama ∆x in ∆y, ki povesta za koliko taelement premakne vsako točko ℘ v smeri osi x in za koliko v smeri osi y. Tudi elementemnožice G si torej lahko mislimo urejene v ravnini. Krivulja g(t) v mnogoterostiG predstavlja množico zaporednih translacij za ∆x(τ), ∆y(τ). Krivulja g(t) :={∆x(t), ∆y(t)} je enoparametrična podgrupa, če je v skladu z J.177 in J.178:{∆x(0), ∆y(0)} = {0, 0}(J.182)in{∆x(t + s), ∆y(t + s)} = {∆x(t), ∆y(t)} + {∆x(s), ∆y(s)}(J.183)Ta dva pogoja sta izpolnjena samo, če sta ∆x in ∆y linearni funkciji parametra tz vrednostjo 0 v t = 0. V ”ravnini”G so torej enoparametrične podgrupe premiceskozi izhodišče. Slika enoparametrične podgrupe g(t) (= {v x t, v y t}) v mnogoterostiX na točki ℘ = {x 0 , y 0 } je premica x = x 0 + v x t, y = y 0 + v y t. Slike podgrupeg(t) na vseh točkah v mnogoterosti X tvorijo šop (vzporednih) premic. Vse tangentena te premice pa tvorijo Killingovo vektorsko polje (v našem primeru vzporednihvektorjev) podgrupe g(t).Vzemimo snop krivulj h(g, t) = {h x (∆x 0 , ∆y 0 , t), h y (∆x 0 , ∆y 0 , t)} v mnogoterostiG! Translacija (desna ali leva je tu vseeno) L k transformira ta snop vL k[h(g, t)]= {hx (∆x 0 , ∆y 0 , t)+∆x k , h y (∆x 0 , ∆y 0 , t)+∆y k }, pri čemer sta {∆x k , ∆y k }komponenti translacije L k . Snop h(g, t) je translacijsko invarianten, če je identičensnopu L k[h(g, t)], oziroma, če je v skladu z J.154:ddt h(L kg, t) − d dt L kh(g, t) = 0 , (J.184)kar mora veljati za obe komponenti h x in h y (h i , i = 1, 2). Torej:d [ ]hi (g j + k j , t) − h i (g j , t) − k i = 0 (J.185)dt15 Čeprav smo definirali Lijev odvod z drugačnim motivom na mnogoterosti X, ki jo imamopogosto za model fizikalnega prostora. Tu je govora o bolj abstraktni mnogoterosti G, katereelementi so preslikave mnogoterosti X same vase.124

Ni se težko prepričati, da so edine funkcije, ki rešijo gornjo enačbo:h i (g j , t) = Λ ji g j + v i t + h o i(J.186)Ker mora biti po dogovoru h(g, 0) = g, ugotovimo, da se translacijsko invariantnisnopi zapišejo takole:h i (g j , t) = g i + v i t(J.187)Na mnogoterosti G je to snop ”vzporednih premic”, ki tečejo v smeri vektorjav = {v x , v y }. Mnogoterost X in mnogoterost G sta v tem primeru in samo vtem primeru izomorfni. Killingovo vektorsko polje se tu izomorfno preslika na poljetranslacijsko invariantnih snopov v G. Ta izjemna simetrija pri realizaciji transalcijskegrupe je morda odgovorna za to, da dolgo časa nismo znali dosledno ločevatimed mnogoterostjo X, ki smo jo imenovali ”fizikalni prostor”in mnogoterostjo G, kiustreza transalcijski grupi.Manj zavajajoče očiten je primer rotacijske grupe SO3. Naj bo mnogoterost Xsestavljena iz vseh točk na krogli, G pa naj bo množica vseh rotacij, to je transformacijkrogle same vase.Če označimo točke na krogli z {x, y, z}, pri čemer je x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , lahkorealiziramo vse preslikave krogle same vase z rotacijskimi matrikami R ranga 3,ki imajo lastnost R ˜R = I. Če je namreč {x, y, z} točka na krogli, ker ustrezax 2 + y 2 + z 2 = a 2 , je tudi {x ′ , y ′ , z ′ } = {x, y, z}R na krogli, kajti:⎛ ⎞x ′x ′2 + y ′2 + z ′2 = {x ′ , y ′ , z ′ } ⎝y ′ ⎠ =(J.188)z ′⎛ ⎞ ⎛ ⎞{x, y, z}R ˜Rxx⎝y⎠ = {x, y, z} ⎝y⎠ = a 2zz(J.189)Množica G, ki smo jo realizirali z matrikami R je grupa, ker:i) je produkt dveh ortogonalnih matrik tudi ortogonalna matrika (če AÃ = I inB ˜B = I, je AB(AB) ˜ = AB ˜BÃ = I)ii) obstaja enota (I)iii) obstaja inverzni element (R −1 = ˜R)iv) G deluje na X efektivno, ker je I res edina preslikava, ki preslika vsako točko nakrogli samo vasev) G deluje na X tranzitivno, ker lahko vedno najdemo rotacijsko matriko, ki preslikapoljubno točko na krogli v poljubno drugo točko.125

CAD-CAM Teorija, praksa i upravljanje proizvodnjom.pdf
Slovenščina za vsak dan 9 (posodobljena izdaja 2011) - priročnik za ...
Revija Odvetnik, št. 60 - Odvetniška Zbornica Slovenije
Mikrovalno zračenje, mikrovalna teorija, mikrovalna organska ... - PBF
Devetošolski - Osnovna šola Franceta Prešerna Kranj
BREZPLAČEN OTROŠKI MESEČNIK - Shrani.si
Številka 20 - Odvetniška Zbornica Slovenije
24. maj 1962 (št. 635) - Dolenjski list
Elementarna matematika - Teorija i zadaci - PMF
BF-6-2009 - Frančiškani v Sloveniji
Prodaja medu na domu Poziv za zbiranje kandidatur za člane ...
Predstavljamo Å¡olsko padalski oddelek SV - Ministrstvo za obrambo
Uveljavitev načela kratkih verig v sistemu javnega naročanja TLP ...
Darko Štrajn, Umetnost v realnosti ... - Pedagoški inštitut
Mitska stvarnost koroških knežjih kamnov - Inštitut za arheologijo
no repliques ideas pensa por vos mismo - AirBeletrina
Metoda podpornih vektorjev
Naša sredina, številka 3, leto 2
1. PDF document (6904 kB) - dLib.si
Številka 19 - Odvetniška Zbornica Slovenije