Views
3 years ago

TEORIJA GRAVITACIJE

TEORIJA GRAVITACIJE

Komponente R µ ν

Komponente R µ ν matrike R imajo za Galilejeve transformacije naslednje vrednosti:R 0 0 = 1 in R0 i = 0 za i = 1, 2, 3, ker je pa Galileju in po Newtonu čas količina,ki teče v vseh sistemih z enako hitrostjo. Krajevne komponente matrike R ; R i k zai = 1, 2, 3 tvorijo rotacijsko matriko iz (B.1) in R i 0 = v i /c ≡ β i za i = 1, 2, 3. ZaGalilejeve transformacije se torej matrika R glasi:⎛⎞1 0 0 0R G = ⎜β x R x x R x y R x z⎟⎝β y R y x R y y R y ⎠(B.14)zβ z R z x R z y R z z(Vstavi (B.14) v (B.13) in se prepričaj, da dobiš (B.1).) Če torej upoštevamo,da zapišemo stare koordinate x µ z novimi x ′µ kot zahteva linearna transformacija(B.13), vidimo, da se gradient funkcije φ v novih koordinatah zapiše:φ, µ ≡ ∂φ∂x = ∂φ ∂x ′νµ ∂x ′ν ∂x ≡ φ, ∂x ′νµ ν ′ ∂x µ(B.15)Ali z besedami: komponente gradienta v starem koordinatnem sistemu (φ, µ ) dobimoiz novih tako, da pomnožimo vrstično matriko novih komponent (φ, λ ′) z matriko Mki ima komponente:Napišimo to še v matrični pisavi:M λ µ = ∂x′λ∂x µ .( ) ( φ,0 , φ, 1 , φ, 2 , φ, 3 = φ,0 ′ , φ, 1 ′ , φ, 2 ′ , φ, 3 ′)⎜⎝⎛⎞∂x ′0 ∂x ′0 ∂x ′0 ∂x ′0∂x 0 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3∂x ′1 ∂x ′1 ∂x ′1 ∂x ′1∂x 0 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3∂x ′2 ∂x ′2 ∂x ′2 ∂x ⎟ ′2⎠∂x 0 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3∂x ′3 ∂x ′3 ∂x ′3 ∂x ′3∂x 0 ∂x 3 ∂x 2 ∂x 3(B.16)(B.17)Naloga B.5: Primerjaj zapisa (B.15) in (B.17) in se prepričaj, da dasta istirezultat, če spoštujemo dogovora (B.11) in (B.12) in seveda pravilo za množenjematrik. Prepričaj se tudi, da je matrika M inverzna matriki R, to jeR µ λ Mλ ν = δ µ ν (B.18)Pri tem je δ µ ν = 1 če µ = ν in δ µ ν = 0 drugače, to je Kronekerjev delta, oziromamatrika s komponentami δ µ ν je enotska matrika. (Glej (B.13) in (B.15)!)12

V zvezi z uvedbo enotske matrike (s komponentami δ µ ν) je ugodno vpeljati šeinverzno matriko k matriki s komponentami η µν . Komponente inverzne matrikeoznačimo z η µν in velja:η µλ η λν = δ µ ν (B.19)Seveda ima matrika η µν natanko take vrednosti komponent kot η µν . Vpeljati jomoramo zaradi reda pri sumacijskem dogovoru, ki zahteva, da seštevamo vedno samopo paru indeksov od katerih je eden vedno spodaj, drugi pa zgoraj.Zapišimo matriko drugih odvodov φ, µν v novi koordinatni bazi (x µ′ ):φ, µν ≡ ∂∂x ν (φ, µ ) =∂∂x [ ∂φ ∂x ′λν ∂x ′λ ∂x ] ≡ φ, ∂x ′λ ∂x ′σµ σ ′ λ ′ + φ,∂x µ ∂x ν λ ′∂ 2 x ′λ∂x µ ∂x ν(B.20)Drugi člen v zadnji enakosti je nič, ker je transformacija (B.13) linearna, zato bobralec, ki je s pomočjo nalog obvladal indeksno pisavo, uvidel, da je pogoj za nespremenljivostoblike enačb tipa (B.8), (B.9) ta, da da produkt matrike odvodov (M) zmatriko Minkowskega (η) in ponovno s transponirano matriko odvodov ( ˜M) nazajmatriko Minkovskega (η) ali v indeksni pisavi:η µν= ∂x′µ∂x λ ηλσ∂x′ν∂x σ(B.21)Če upoštevamo rezultat naloge B.5 pomnožimo levo stran enačbe (B.21) z R ω µR τ ν indobimo tudi:R ω µ ηµν R τ ν = ηωτ (B.22)Izpišimo produkt Rη ˜R za Galilejev potisk:⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞1 0 0 0 −1 0 0 0 1 β x β y β z⎜β x 1 0 0⎟ ⎜ 0 1 0 0⎟ ⎜0 1 0 0⎟⎝β y 0 1 0⎠⎝ 0 0 1 0⎠⎝0 0 1 0 ⎠ =β z 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1⎛⎞−1 −β x −β y −β z= ⎜−β x 1 − β x β x −β x β y −β x β z⎟⎝−β y −β y β x 1 − β y β y −β y β z⎠−β z −β z β x −β z β y 1 − β z β z(B.23)Odtod je razvidno, da Galilejeva transformacija potiska spremeni obliko valovneenačbe, če se preselimo v koordinatni sistem S ′ . Povedali pa smo že, da so enačbetipa (B.10) invariantne glede na translacije in rotacije tako kot pri Galileju.13

Mikrovalno zračenje, mikrovalna teorija, mikrovalna organska ... - PBF
Elementarna matematika - Teorija i zadaci - PMF
Uveljavitev načela kratkih verig v sistemu javnega naročanja TLP ...
Predstavljamo Å¡olsko padalski oddelek SV - Ministrstvo za obrambo
CAD-CAM Teorija, praksa i upravljanje proizvodnjom.pdf
Darko Štrajn, Umetnost v realnosti ... - Pedagoški inštitut
Naša sredina, številka 3, leto 2
Letnik 19 • πtevilka 168 • 7/2011 • revijo izdaja Zavod ... - Šport mladih
Neonikotinoidi Uvodnik ministra za kmetijstvo, gozdarstvo in ...
3. november 1960 (št. 554) - Dolenjski list
Prenesi časopis - Tribuna
Krik - Osnovna šola Franceta Prešerna Kranj
Mitska stvarnost koroških knežjih kamnov - Inštitut za arheologijo
no repliques ideas pensa por vos mismo - AirBeletrina
Metoda podpornih vektorjev
Revija Odvetnik, št. 60 - Odvetniška Zbornica Slovenije
Letnik XIII/15 - Ministrstvo za obrambo
1. PDF dokument (3766 kB) - dLib.si
Številka 56 - Odvetniška Zbornica Slovenije
Letno poročilo Varuha človekovih pravic za leto 2007 (PDF)
Številka 19 - Odvetniška Zbornica Slovenije
Saša Krajnc - Fakulteta za arhitekturo
Slovenščina za vsak dan 9 (posodobljena izdaja 2011) - priročnik za ...
Diferentne jednadžbe - Teorija i primjene - PMF