Views
3 years ago

TEORIJA GRAVITACIJE

TEORIJA GRAVITACIJE

Lagranževa funkcija

Lagranževa funkcija prostega delca je v sfernih koordinatah po (C.12) (lahko bi vzelitudi (C.13)):L = m 2 [−c2 ṫ 2 + ṙ 2 + r 2 ( ˙θ 2 + sin 2 θ ˙ϕ 2 )](E.4)To Lagranževo funkcijo lahko razumemo tudi kot Lagranževo funkcijo tipa (D.25),pri čemer je η µν + h µν po komponentah:⎛⎞(η + h) =⎜⎝−1 0 0 00 1 0 00 0 r 2 00 0 0 r 2 sin 2 θ⎟⎠(E.5)Zato so enačbe, gibanja, ki slede iz te Lagranževe funkcije kar ( D.24), oziromaeksplicitno:d ∂Ldτ ∂ṫ − ∂L∂t= − d dt (mc2 ṫ) = 0 ⇒ ṫ = γ = konst (E.6)d ∂Ldτ ∂ṙ − ∂L∂r = m¨r − mr( ˙θ 2 + sin 2 θ ˙ϕ 2 ) = 0 (E.7)d ∂L ∂L−dτ ∂ ˙θ ∂θ = ddτ (mr2 ˙θ) − mr 2 sin θ cosθ ˙ϕ 2 = 0 (E.8)d ∂Ldτ ∂ ˙ϕ − ∂L∂ϕ = ddτ (mr2 sin 2 θ ˙ϕ) = 0 ⇒ mr 2 ˙ϕ sin 2 θ = l ϕ = konst (E.9)Trije integrali enačb so takoj razvidni. Dve konstanti gibanja (γ in l ϕ ) sta nakazani v(E.6) in (E.9), tretja konstanta pa je sama Lagranževa funkcija, kot je bilo pokazanov nalogi D.7. Še do dveh konstant lahko pridemo, če si ogledamo naslednja izraza:ddτ (r2 ˙θe iϕ ) = ddτ (r2 ˙θ)e iϕ + ir 2 ˙θ ˙ϕe iϕ == r 2 {sin θ cosθ ˙ϕ 2 + i ˙ϕ ˙θ}e iϕ (E.10)Pri zadnji enakosti sem uporabil enačbo (E.8). Še drugi izraz, ki si ga velja ogledati,je:ddτ (r2 ˙ϕsin θ cos θe iϕ ) = ddτ (r2 ˙ϕsin 2 θ cotθe iϕ ) == r 2 ˙ϕsin 2 θ ddτ (cot θeiϕ ) = ir 2 {sin θ cosθ ˙ϕ 2 iϕ+ i ˙ϕ ˙θ}e (E.11)30

Pri predzadnji enakosti sem uporabil enačbo (E.9). Končno enačbo (E.11) pomnožimz i in prištejem (E.10) pa dobim:Torej je količina:d[r 2 (dτ˙θ]+ i ˙ϕ sin θ cosθ)e iϕl + = mr 2 ( ˙θ + i ˙ϕ sin θ cosθ)e iϕ= 0 (E.12)(E.13)konstanta gibanja; pravzaprav gre za dve konstanti - realni in imaginarni del ali l +in l − = l+ ∗ (Zvezdica označuje kompleksno konjugacijo.). Ker je Lagranževa funkcija(E.4) konstanta in je ṫ tudi konstanta, je tudi izraz E k = L+ 1 2 mc2 ṫ 2 kontanta gibanja,ki jo lahko izrazimo kot:E k = m 2 ṙ2 + 12mr 2(l +l − + l 2 ϕ)(E.14)Gornje pa je enačba za odvisnost r od časa, ki jo rešimo tako, da izrazimo ṙ z r inkonstantami gibanja. Dobimo:√2Ekṙ = ±m − ( lmr )2(E.15)oziroma∫∫dr√ = ±2E k− ( lm mr )2dτ(E.16)Z l 2 sem označil konstanto l 2 = l + l − + lϕ 2 . Po integraciji leve strani (Števec inimenovalec pomnožimo z r in upoštevamo, da je r · dr = 1 2 dr2 .) preuredimo rezultattako, da izrazimo r s τ in dobimo:√lr =2+ 2E k2mE k m ∆τ2(E.17)Vstavimo (E.9) v (E.13) in množimo z e −iϕ pa dobimo:l + e −iϕ ≡ |l + |e −i(ϕ−ϕ 0)= (mr 2 ˙θ + ilϕ cotθ) (E.18)Zapišemo realni in imaginarni dela pa dobimo:r 2 ˙θ =|l + |m cos (ϕ − ϕ 0)(E.19)31

CAD-CAM Teorija, praksa i upravljanje proizvodnjom.pdf
Slovenščina za vsak dan 9 (posodobljena izdaja 2011) - priročnik za ...
Revija Odvetnik, št. 60 - Odvetniška Zbornica Slovenije
Mikrovalno zračenje, mikrovalna teorija, mikrovalna organska ... - PBF
Devetošolski - Osnovna šola Franceta Prešerna Kranj
BREZPLAČEN OTROŠKI MESEČNIK - Shrani.si
Številka 20 - Odvetniška Zbornica Slovenije
24. maj 1962 (št. 635) - Dolenjski list
Elementarna matematika - Teorija i zadaci - PMF
BF-6-2009 - Frančiškani v Sloveniji
Prodaja medu na domu Poziv za zbiranje kandidatur za člane ...
Predstavljamo Å¡olsko padalski oddelek SV - Ministrstvo za obrambo
Uveljavitev načela kratkih verig v sistemu javnega naročanja TLP ...
Darko Štrajn, Umetnost v realnosti ... - Pedagoški inštitut
Mitska stvarnost koroških knežjih kamnov - Inštitut za arheologijo
no repliques ideas pensa por vos mismo - AirBeletrina
Metoda podpornih vektorjev
Naša sredina, številka 3, leto 2
1. PDF document (6904 kB) - dLib.si
Številka 19 - Odvetniška Zbornica Slovenije