Views
3 years ago

TEORIJA GRAVITACIJE

TEORIJA GRAVITACIJE

Ko primerjamo s (F.1),

Ko primerjamo s (F.1), ugotovimo, da mora bitiκ = − 16πGc 4Zapišimo enačbe gravitacijskega polja (F.15) še enkrat z znanimi konstantami:(F.27)η µν h αβ , µν = − 16πG Tc 4 αβ (F.28)Kaj lahko povemo o tenzorju T αβ , ki nastopa kot izvor gravitacijskega polja? Naštejmolastnosti, ki smo jih do sedaj od njega zahtevali:i) Napetostni tenzor točkaste mase ima v sistemu glede na katerega masa miruje lekomponento ”00”različno od ničii) Če integriramo T 00 po prostoru v katerem masa miruje, dobimo Mc 2 , pri čemerje M vsa masa, ki smo jo objeli z integracijo (enačba (F.18)).iii) Če se preselimo v drug inercialni sistem z lokalno Lorentzovo transformacijo, semora napetostni tenzor transformirati ravno tako kot tenzor gravitacijskih potencialovh µν , to je tako, kot narekuje (D.23). V sistemu glede na katerega se masagiblje po trajektoriji x µ = ξ µ (τ), mora imeti tenzor ℵ µν komponente:ℵ µν= M ˙ ξ α ˙ξβ η αµ η βν(F.29)Primerjaj s (D.10)! Podobno kot lahko sklepamo na gostoto toka iz toka (D.11), lahkosklepamo o napetostnem tenzorju iz njegovega integrala po prostoru; napetostnitenzor za točkasto maso lahko zapišemo v obliki:T µν (x λ ) = M∫ ∞−∞˙ξ µ (τ) ˙ξ ν (τ)δ 4( x λ − ξ λ (τ))cdτ(F.30)iv) Napetostni tenzor avtomatično zadošča pogoju (F.10), ki ga je vredno zapisatiše enkrat:η µν T αµ , ν = 0(F.31)Naloga F.4: Zapiši komponente divergence napetostnega tenzorja za točkastidelec (F.30) in pokaži, da je njihova vrednost enaka nič samo, če se delec prostogiblje.Kaj pomeni enačba (F.31)? Njen pomen laže razvozlamo, če se spomnimo, daobstaja podobna relacija tudi v elektromagnetni teoriji. Namesto (F.10) smo v elektromagnetniteoriji postavili umeritveni pogoj (D.4) ki zahteva, da je divergencagostote toka enaka 0, to je:j µ , µ = 0(F.32)40

Ločimo časovne in krajevne komponente in upoštevamo (D.8), pa dobimo:j µ , µ = ∂j0∂ct + ∂j i∂x i= ∂ρ∂t + ∇ ·⃗j = 0(F.33)To je znana kontinuitetna enačba, ki zagotavlja, da se električni naboj ohranja.Pomen te enačbe si predstavljamo še takole: Vzemimo prostornino V omejeno spovršino ∂V . Enačbo (F.33) množimo s časovnim intervalom δt, integriramo poprostornini V , in upoštevamo že omenjeni Gaussov izrek pa dobimo:∫V∂ρ∂t∫VdV δt + ∇ ·⃗j dV δt = δQ + δt∮∂V⃗j · d ⃗ S = 0(F.34)Prvi integral (δQ) pove za koliko se je povečal naboj v prostornini V v časovnemintervalu δt, drugi pa pove koliko naboja je v tem času odteklo iz te prostornine skoziploskev ∂V . Vsota obeh količin je enaka nič in to pomeni, da naboj ne more izginiti,ampak se lahko kvečjemu pretoči drugam.Tudi v teoriji gravitacije imamo naboj - maso, ki se ohranja. Tako lahko govorimoo gostoti masnega toka j(m) λ , pri čemer je po zgledu (D.8):j 0 (m) = ρ (m)c , (F.35)pri čemer je ρ (m) običajna masna gostota, komponente j(m) i za i = 1, 2, 3 pa tvorijokomponente (tri) vektorja masnega toka ⃗j (m) . Tudi ta ”naboj” se ohranja, podobnokot električni; tudi njegova divergenca je enaka nič. Po analogiji smemo sklepati,da izraža tudi (F.31) ohranitveni zakon, vendar ne za skalarno, temveč za vektorskokoličino.Upoštevaje (F.19), (F.20) in (F.29) in (F.30) sklepamo, da se komponente tenzorjaT µν izražajo za točkasto telo, ki se giblje glede na izbrani inercialni sistem potrajektoriji x µ = ξ µ (τ), takole:( ) ( )ρ(m) cẋT =0 −ẋ 0 ⃗j w(m) −⃗j−ẋ 0 =(w) c(F.36)⃗j ⃗jγ⃗v −⃗j (w) c ⃗j (w) ⃗vV drugem izrazu smo vpeljali gostoto mase-energije, ki jo prispeva masa v prostoruw (m) = γρc 2 in gostoto toka mase-energije j (w) = γ⃗j. Simbolična pisava zgoraj sevedapomeni, da smo ločili časovno-časovno komponento, časovno-krajevne komponentein krajevno-krajevne komponente.Naloga F.5: Utemelji zakaj stojijo pred komponentami toka znaki ”-”. NalogaB.6 je lahko pri tem v pomoč.41

T E R M E
Didakta december
Zapik1410