TEORIJA GRAVITACIJE

azločevanje nima smisla, zato definiramo napetostni tenzor plina kot povprečje pomajhni prostornini - a dovolj veliki, da še vedno vsebuje veliko delcev - deljeni s toprostornino: Napetostni tenzor za plin tako napišemo v obliki:T µνplin (xλ ) = 1∆V∫∆Vd 3 xN∑i∫ ∞−∞m i ˙ξµ i (τ) ˙ξ ν i (τ)δ 4( x λ − ξ λ i (τ))cdτ ,(G.1.1)pri čemer so ξi λ (τ) komponente svetovnice i-tega delca. V okolici trenutku t = 0izberemo za vse delce τ = 0 in zapišemo njihove svetovnice:ξ i= γ i v i τ + ξ (0) iξ 0 i = γ i cτ.(G.1.2)Funkcijo δ 4 v G.1.1 razbijemo na prostorski in krajevni del in integriramo po τ terdobimo:T 00plin(r, t = 0) = 1∆VTplin 0k1(r, t = 0) =∆VT jk1plin(r, t = 0) =∆V∫∫x∈∆V∫x∈∆Vx∈∆Vd 3 xd 3 xd 3 xN∑aN∑aN∑am a γ a c 2 δ 3 (r + x − ξ (0)a )m a γ a v k a cδ3 (r + x − ξ (0)a )m a γ a v j a vk a δ3 (r + x − ξ (0)a )(G.1.3)Integrali prostorskih funkcij δ po ∆V dajo ena, če ustrezni delec (a) leži v ∆V in ničdrugače. Torej je Tplin 00 enaka vsoti vseh polnih (mirovalnih plus kinetičnih) energijdelcev v enoti prostornine, kot jo meri izbrani inercialni opazovalec. Če izberemoinercialni sistem glede na katerega izbrana okolica plina v povprečju miruje, je Tplin00gostota lastne polne energije, to je vsota j(m) 0 c in gostote notranje energije (glej D.12).Glede na ta inercialni sistem so vse komponente Tplin 0k enake nič. Če je plin tudiv lokalnem termodinamičnem ravnovesju, ostanejo od krajevnih komponent samodiagonalni členi, ki so vsi enaki, saj različne komponente hitrosti v ravnovesnemstanju niso korelirane, hitrostna porazdelitev pa je lokalno izotropna. Zato lahko vtem primeru zapišemo:T jk1plin(r, t = 0) =3∆V∫x∈∆Vδjk d 3 xN∑am a γ a v 2 a δ3 (r + x − ξ (0)a )44