Views
2 years ago

TEORIJA GRAVITACIJE

TEORIJA GRAVITACIJE

pa, da je mogoče v 81

pa, da je mogoče v 81 dimenzionalni evklidski prostor vložiti vsako 4-razsežno mnogoterost- lepa tolažba! Lahko rečemo, da ta pogled ni rodil plodnih rezultatov. Opazovanjenarave nam ne daje nikakršnega namiga, da bi obstajalo veliko število dodatnihdimenzij prostora, teoretične raziskave pa tudi niso prišle do namigov o prednostitakega pogleda na svet. Zato danes vlada konsenz, da je prostor-čas samozadostnamnogoterost. To prepričanje so še pred nedavnim utrdili mnogi matematiki in fizikioz. fiziki in matematiki (Penrose, Geroch, Newmann, Rindler in drugi) z več izreki,ki kažejo, da je mogoče nekatere zelo stroge zahteve za to, da bi bila mnogoterostsamozadostna struktura celo omiliti pa se samozadostnost še vedno ohranja.10.2 Simplektične strukture in klinasti produktPomembna lastnost mnogoterosti je njena mera. Za krivuljo je to njena dolžina,za ploskev površina, za geometrijsko telo prostornina itd. Pomembna lastnost mereje ta, da je mera mnogoterosti enaka vsoti njenih sestavin. Krivuljo lahko razrežemona krajše odseke tako, da ima vsak naslednji odsek začetek, ki je poljubno blizu (ane pripada) točki, ki je poljubno blizu konca prejšnjega odseka. Površino lahko sestavimoiz samih trikotnikov (triangulacija), prostornino lahko sestavimo iz majhnihtetraedrov in podobno naprej za večrazsežne mnogoterosti. Zato je vredno govoritio meri podmnogoterosti, katere vse linearne razsežnosti so lahko poljubno majhne,saj lahko sestavimo mnogoterost z večjo mero iz samih majhnih sestavin. Če si predstavljamop-mnogoterost vloženo v n-razsežen evklidski prostor, so koordinate točk,ki ji pripadajo, neskončnokrat zvezno odvedljive funkcije afinih parametrov. Zato jeinfinitezimalno kratek odsek 1-razsežne mnogoterosti praktično neločljiv od daljice,površina z majhnimi linearnimi razsežnostmi je praktično neločljiva od ravne ploskveitd. Z drugimi besedami, v dovolj majhni okolici je geometrijska struktura poljubnep razsežne mnogoterosti prav taka kot geometrijska struktura ”enakega”objekta vravnem (evklidskem) prostoru. Mnogoterost je definirana kot struktura, ki ima tolastnost ne glede na to ali je vložena v nek večrazsežen evklidski prostor ali ne.Za mero eno-razsežne mnogoterosti vzamemo njeno dolžino. Ugodno pa je daljicipripisati še vektorski značaj, da lahko med seboj ločimo enako dolge, a drugačeusmerjene daljice. Pravimo, da daljice spadajo med enodimenzionalne simplektičnestrukture. Usmerjane daljice (in vektorje) v poljubno razsežnem prostoru bomooznačevali s podčrtanimi malimi črkami kot npr. a.Najpreprostejša dvorazsežna mnogoterost je trikotnik. Omejujejo ga tri daljice -imenujmo jih a, b in c -, katerih vektorska vsota je enaka 0:a + b + c = 0 . (J.40)88

Kot vemo iz elementarne geometrije, je ploščina trikotnika enaka polovici produktastranice z višino nanjo. Ker lahko izrazimo višino z drugo stranico in kotom medprvo in drugo stranico, mora biti ploščina trikotnika izrazljiva samo z dvema stranicama.Rekli bomo, da pripada ploščini trikotnika dvodimenzionalna simplektičnastruktura. Njena velikost je ploščina trikotnika, njen značaj (karkoli že je) pa jeznačaj dvodimenzionalne simplektične strukture. To posplošeno ploščino označimoz A in jo zapišemo kot klinasti produkt med dvema vektorjema, ki jo določata:A = 1 2 a ∧ b(J.41)Lastnosti klinastega produkta morajo biti takšne, da ima ploščina A vse lastnosti, kisledijo iz osnovnih aksiomov geometrije. Tako je ploščina neodvisna od tega, kateripar med tremi stranicami trikotnika uporabljamo v računu. To zapišemo takole:2A = a ∧ b = b ∧ c = c ∧ a(J.42)Iz izrekov o podobnih trikotnikih sklepamo, da se ploščini dveh enako orientiranihpodobnih trikotnikov razlikujeta samo za sorazmernostni faktor, ki je enak razmerjuvrednosti ploščin obeh trikotnikov. Ker so pri podobnih trikotnikih istoležne stranicev enakih razmerjih (npr. α), mora veljati:(αa) ∧ (αb) = α 2 (a ∧ b)(J.43)Z osnovnimi sredstvi geometrije znamo izračunati tudi, da se trikotnikova ploščinapoveča za α-krat, če mu raztegnemo stranico a za α-krat in ohranimo stranico b,stranica c pa se skladno z J.40 spremeni v c → −αa − b. Ta rezultat je preprostaposledica dejstva, da je ploščina trikotnika enaka polovici produkta katerekoli stranicez višino nanjo. Stranica a se je v našem primeru podaljšala za α-krat, višina na apa ostaja ista, ker se je stranica b ohranila tako po velikosti kot po smeri glede na a.Zato smemo zapisati:(αa) ∧ b = α(a ∧ b)(J.44)Ali še bolj splošno:(αa) ∧ (βb) = αβ(a ∧ b)Če kombiniramo J.40, J.42 in J.45 dobimo:(J.45)(αβ)(a ∧ b) = (βb) ∧ (−αa − βb) = −(αβ)b ∧ (a + β α b)(J.46)Oziroma za vsak par α, β ≠ 0:a ∧ b = −b ∧ (a + β α b)(J.47)89

Didakta december
T E R M E