Egzamin 49 z 6 kwietnia 2009 r.

knf.gov.pl

Egzamin 49 z 6 kwietnia 2009 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r.___________________________________________________________________________Zadanie 5.Liczba szkód w ciągu roku w pewnym ubezpieczeniu równa jest:N = M ... +1+ M K, gdzie:• K M , M , ,... są niezależnymi zmiennymi losowymi,,1 2M3• K oznacza liczbę wypadków, i ma rozkład Poissona o wartości oczekiwanej λ ,• M1, M2, M3,...to liczby szkód z poszczególnych wypadków - mają oneidentyczny rozkład prawdopodobieństwa dany funkcją:k1 c−1Pr( M1= k)=, k = 1,2,3,...z parametrem c = 1−e ,− ln(1 − c)kPrawdopodobieństwo warunkowe iż w danym roku doszło do jednego wypadku podwarunkiem, iż wystąpiły 4 szkody:Pr( K = 1 N = 4)wynosi:(A)(B)(C)(D)(E)24( λ + 1)( λ + 2)( λ + 3)( λ + 4)6( λ + 1)( λ + 2)( λ + 3)−λ2e( λ + 1)( λ + 2)−λ6e( λ + 1)( λ + 2)( λ + 3)−λ24e( λ + 1)( λ + 2)( λ + 3)( λ + 4)5


Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r.___________________________________________________________________________Zadanie 6.W pewnym ubezpieczeniu liczba szkód, które w ciągu t lat wygeneruje ubezpieczonycharakteryzujący się wartością λ parametru ryzyka Λ ma rozkład warunkowyPoissona z wartością oczekiwaną λ t .Zakładamy, że rozkład wartości parametru ryzyka Λ w populacji ubezpieczonychdany jest na półosi dodatniej gęstością:αβ α −1• fΛ( λ) = λ exp( −βλ).Γ(α)Wiemy, że:• prawdopodobieństwo p 0iż losowo wybrany ubezpieczony w ciągu jednegoroku nie zgłosi szkody równe jest 36/49;• prawdopodobieństwo iż losowo wybrany ubezpieczony w ciągu dwóchp 0,0kolejnych lat nie zgłosi szkody równe jest 9/16.Wobec tego wartości parametrów ( α , β ) wynoszą:(A) ( α , β ) = (2, 6)(B) ( α , β ) = (2, 5)(C) ( α , β ) = (2, 4)(D) ( α , β ) = (1, 3)(E) ( α , β ) = (1, 4)6


Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r.___________________________________________________________________________Zadanie 8.X 1i X 2to dwa niezależne ryzyka o zbiorze możliwych wartości {0,1,2,...}. Znamywartości dystrybuant F( x) = Pr ( X ≤ x)oraz FS ( x) = Pr( X1 + X2 ≤ x):Pr( X = 22 ) wynosi:(A) 0(B) 0.1(C) 0.2(D) 0.3(E) 0.41 1x F1 ( x)FS( x)0 0.6 0.181 0.8 0.422 0.9 0.633 1 0.798


Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r.___________________________________________________________________________Zadanie 9.Niech:• N oznacza liczbę roszczeń z jednego wypadku ubezpieczeniowego, zaś:• T 1, T2,..., T Noznacza czas, jaki upływa od momentu zajścia wypadku do zgłoszeniaroszczenia odpowiednio 1-go, 2-go,…, N-tego (numeracja roszczeń od 1-go do N-tego jest całkowicie przypadkowa, nie wynika więc z chronologii ich zgłaszania)Załóżmy, że:• zmienne losowe N T , T , ,... są niezależne,,1 2T31, T2, T3,...• zmienne losowe T mają identyczny rozkład wykładniczy o wartościoczekiwanej 1 (jednostką pomiaru czasu jest miesiąc)• zmienna losowa N ma rozkład logarytmiczny dany wzorem:k1 cPr( N = k)=, k = 1,2,3,...z parametrem c ∈ ( 0,1).− ln(1 − c)kNiech A oznacza zdarzenie, iż w ciągu pierwszych 2 miesięcy od zajścia wypadkuzgłoszono dokładnie jedno roszczenie, a więc iż:• dokładnie jedna liczba ze zbioru liczb { T1, T2,..., T N}, jest mniejsza lub równa 2.Wartość oczekiwana liczby roszczeń z tego wypadku, a więc:Ε ( N A)wynosi:(A)(B)c2e − c2e − cec(C)ee22+ c− c(D)(E)2e2e − c2e − cc9


Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r.___________________________________________________________________________Zadanie 10.W pewnym ubezpieczeniu mamy do czynienia z ciągłym, liniowym wzrostem liczbyryzyk w portfelu, co wyraża założenie, iż zmienna T ∈ ( 0,1)wyrażająca momentzajścia losowo wybranej szkody z tego portfela w ciągu roku (o ile oczywiście doszkody dojdzie) ma rozkład dany gęstością:• f 8 4() t = + t .T10 10Niech D oznacza czas likwidacji szkody (odstęp w czasie od momentu zajścia szkodydo jej likwidacji, wyrażony w latach). Zmienna ta ma rozkład jednostajny na odcinku( 0, 1) .Zakładamy że zmienne losowe T oraz D są niezależne. Oczekiwany czas likwidacjidla szkody do której doszło w ciągu roku, i która pozostaje nie-zlikwidowana nakoniec tego roku, a więc:wynosi:Ε( D T + D > 1)(A)(B)(C)19/32 roku9/16 roku5/8 roku(D) 21/32 roku TAK(E)3/4 roku10


Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r.___________________________________________________________________________Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r.Matematyka ubezpieczeń majątkowychArkusz odpowiedzi *Imię i nazwisko : ..................... K L U C Z O D P O W I E D Z I ..............................Pesel ...........................................Zadanie nr Odpowiedź Punktacja ♦1 B2 C3 A4 C5 B6 A7 B8 C9 D10 D* Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.♦ Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.11

More magazines by this user
Similar magazines