u - The World of Mathematical Equations

Он также не отметил, что при этом вычислениеприближённого обратного оператора может бытьнайдено численно, например с помощьюупрощённого метода Гаусса, который в современнойлитературе имеет название метод «прогонки» илиметод «факторизации» [143].При этом, несомненно очень велик вкладлауреата Нобелевской премии 1975 года Л.В.Канторовича в создании пути для решениянелинейных задач математической физики.Применяемый для решения нелинейных задачметод дискретизации линеаризованного уравненияприводит к системе линейных алгебраическихуравнений с трёхдиагональной матрицей. Такаясистема решается упрощённым методом исключенияГаусса.Важно ещё отметить, что метод исключения длярешения системы с N неизвестными требует длярешения системы линейных уравнений N 3 операций(где N– размер матрицы), а метод прогонки длятрёхдиагональной матрицы требует только К* Nопераций (где К – некоторое натуральное число).Рассматриваемый в монографии алгоритм,основан на вычислении дифференциала Фрешенелинейного оператора, порожденного нелинейныминачально-краевыми задачами для нелинейныхуравнений математической физики. Этот подходболее точно соответствуют духу идей решениянелинейных краевых задач методом «Ньютона-Канторовича» и, в конечном счёте, позволяетнадеяться на более высокую (квадратичную), а внекоторых случаях даже на монотонную иквадратичную сходимость.9

3) кодировки (разработки программы для ЭВМ илиРС);4) обработки и сравнения результатов расчетапроцесса и внесения, если необходимо,поправок в математическую модель;5) расчёта и оптимизации аппарата.Обычно, для проведения расчёта используютнаиболее простую модель, позволяющую изучитьпоставленную проблему.Допустим, что изучается плёночныйтепломассоперенос. Предположим, что при этомотсутствует разрыв плёнки (из–за химическойреакции, или по каким-либо другим причинам). Будемискать наиболее простую математическую модельдля описания такого процесса. Такой моделью длястационарных процессов тепло - и массообмена вплёнке жидкости при двухфазном течении средявляется одномерная диффузионная модель сэффективным коэффициентом диффукзии. Однакоеё определение постулирует постоянствокоэффициента продольной дисперсии вещества,коэффициента массопередачи и константы скоростихимической реакции по высоте аппарата.Исследования показали, что эти ограничения вобщем случае очень существенны и поэтомуподобные одномерные математические моделинеприемлемы.Но даже, если допустить, что такую модель можноиспользовать с переменными вышеперечисленнымихарактеристиками, то, как показали исследованияпроф. химфака МГУ М.С. Сафонова, в плёнкежидкости коэффициент дисперсии должен быть12

отрицательным. А это противоречит возможностииспользования подобной модели.Ввиду этого необходимо разумное обобщениеодномерной диффузионной модели, а, скорее всего,просто переход к двумерной модели.И именно подобная двумерная турбулентная(точнее волновая) стационарная модель переносавпервые рассмотрена в 3-ей главе монографии.В тех случаях, когда одна из фаз являетсядисперсной и в ней сосредоточено основноесопротивление тепломассопереносу, требуетсяпривлечение более сложных моделей.Нестационарное движение частиц дисперсной фазыв грануляционных аппаратах обуславливаетизменение коэффициентов тепло - и массоотдачи вовремени; изменяются также коэффициентытемпературопроводности и диффузии дисперсныхструктур и физико-химические свойства твёрдойфазы.До последнего времени отсутствовал строгийрасчёт подобных процессов, особенно при измененииагрегатного состояния дисперсной фазы [задачистефановского типа, т.е. задачи с подвижной(динамической) границей].Приведено также обобщение задачи Стефана наобъекты с шаровой симметрией, у которыхтермическая усадочная раковина расположена вцентре шара.Решение теоретических и практических вопросоврасчёта указанных процессов и стали одним изпредметов исследования данной монографии.Хорошо известно, что уравнения Навье - Стоксанаиболее полно и точно описывают гидро - иаэродинамическую обстановку. Но в аппаратах13

В конце монографии приведен лишь частичныйсписок источников, а также литературы длядальнейшего более подробного ознакомления стемой.Достаточно подробный обзор нелинейныхуравнений математической физики рассмотрен вработах А.Д. Полянина с соавторами [148-149].Более полное знакомство с англоязычнымипубликациями на эту тему можно получить, используяинтернет, вводя, например, в строке поискаследующее предложения:«Solving of a nonlinear boundary - value problems»или«Decision of a nonlinear boundary - value problems»или«Solution of a nonlinear boundary - value problems».Такой поиск позволяет разыскать дажекандидатские работы по этой тематике практическиво всех областях знаний.Ссылки в библиографии на источники, имеющиепосле порядкового номера ещё и символ е –указывают на английский вариант статьи или книги.Более общий подход к математическомумоделированию (с применением статистическихметодов) имеется в книгах A. Б. Пиуновского [117-117-e].Автор будет благодарен за полезные замечания исоветы, которые можно отправить на E-mail :vam20@yandex.ru (основной)vam20007@gmail.com15

Посвящение.Посвящаю этот труд своей жене Л.Е Черкасской исвоим детям:Георгию, Михаилу и Леониду Вайнбергам внадежде, что они простят меня когда-нибудь занедоданные часы общения между нами. Ибо любоенаучное дерзание захватывает сильнее самойазартной игры.А.М. ВайнбергБлагодарности.Вот я и дошёл до самой приятной для меня страничкимонографии - страничке благодарностей.Автор с удовольствием благодарит всехнижеперечисленных.Хочется высказать слова благодарности бывшимсотрудникам лаборатории математическогомоделирования процессов химической технологиимосковского государственного НИИП института ГИАП и,прежде всего, моему бывшему начальнику лаб.24, к.т.н.В. И. Мукосею.Он хорошо понимал, что важно не только решениепоставленной задачи, но и научный рост сотрудников ввиде публикации результатов и поиска необходимойнаучной литературы в библиотеке.Также хочу поблагодарить А.Я. Раскина, помогшего мнев тяжёлые минуты раздумий над решением первойнелинейной краевой задачи для системы двух нелинейныхобыкновенных дифференциальных уравнений четвёртогопорядка, с которой я столкнулся в самом начале работы.К. Красноборова, моего однокурсника по мех-мату МГУ,к.ф.м.н., который обратил внимание автора на то, что16

кроме математики существует и вычислительнаяматематика.Вычислительная математика позволяет приближённорешать самые сложные нелинейные задачи, не имеющиеаналитического решения.Автор не может обойти словами благодарности Н.ВМануйлову, которая помогла автору в блиц освоенииязыка «PASCAL» и создании первоначальной копии пакетапрограмм «КНУТ» на языке «PASCAL» вместоаналогичного пакета автора на языке PL / 1.А также Ю. Наумова, который в критическую минутуподдержал автора, рискуя своим продвижением поадминистративной лестнице; пусть земля ему будетпухом.Благодарю также Н. Бирюкову за полезные минутныемысли по математическому моделированию процессовхимической технологии, высказанные в 1970 г. и моегобывшего дипломника и соавтора из МИЭМ, москвича,выпускника МИХМа, кандидата экономических наук, В. К.Конторовича за всемерную поддержку в процессеподготовки книги.Не могу не вспомнить добрым словом бывшихсотрудников Вычислительного Центра ГИАП В. Борзоваза попытки помочь в автоматизации процесса расчётов спомощью пакета «КНУТ» а также внимание к программе наязыке PL / 1 со стороны Л. В. Сазоновой, которая в 80-90 -ые годы прошлого века обеспечивала правильный порядоки стабильность работы первой в СССР, официальнокупленной в США вычислительной машины – IBM - 370 /148.Наконец, особую благодарность выражаю бывшемусотруднику, руководителю сектора лаб.24, к.т.н. Ю.А.Соколинскому, который дал мне собственное определениеметодов математического моделирования и поддержалидею публикации этой монографии.Мне оказал большую услугу проф. Тель - Авивскогоуниверситета Э. Кит, переведя на иврит название этоймонографии.17

Автор также благодарит своего друга, бывшегосотрудника лаб. 24 М. Иванова за уточнение перевода наанглийский язык некоторых элементов книги.А.М. Вайнберг18

ОГЛАВЛЕНИЕ.Заглавие, аннотация и фотография автора. . . . . . . . . . . 1The Abstracts (аннотация на английском языке) . . . . . . . . 4Предисловие автора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Посвящение и благодарности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16Оглавление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Contents (оглавление на английском языке ) . . . . . . . . . 22Часть1. Основные положения математическогомоделирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.1. Общая характеристика проблем переноса;стационарные и нестационарные процессы. . . . .281.2. Классификация некоторых математических моделей1.3. Линейные и нелинейные краевые задачи переноса .1.4. Методологические и математич. аспектымоделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .351.5. Регулярные методы решения нелинейных краевыхзадач и метод НКС. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.6. Алгоритмы решения краевых задач и ихпрограммная реализация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..39Часть 2. Математическое моделирование и решениенелинейных краевых задач . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1. Метод математического моделирования (МММ) –- определение Ю.А. Соколинского . . . . . . . . . . . . . 432.2. Метод Ньютона - Рафсона для поиска корнейнелинейных скалярных уравнений . . . . . . . . . . . . . 462.3. Метод Ньютона-Канторовича – определениеА.Вайнберга. Метод квазилинеаризации Беллмана-- Калабы для решения нелинейных операторныхуравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .492.4. Решение нелинейных краевых задач для системуравнений в частных производных методом НКС. .532.5. Решение нелинейных краевых задач для систем19

4.8. Постановка обратных задач для нестационарныхпроцессов теплопереноса (Расчёт кипящего слоя). 1344.9. Программирование алгоритмов и практическоеиспользование языков программирования . . . . . 1374.10. Применение языков « С » , « Pascal », «Фортран» и«Basic» в операционной системе DOS длямоделирования процессов переноса. . . . . . . . . . . 1394.10.1.Применение визуальных языковпрограммирования в операционной системеWindows : Delphi, Visual Basic. . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.10.2. Обзор программных средств и разработкапрограммных пакетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.11. Тактика создания тестов для проверки алгоритмоврешения нелинейных задач и анализ результатов;коррекция постановки задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Часть 5. Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Приложение А. Назначение пакета- программ «КНУТ» . . .Приложение Б. Тексты программы «КНУТ» на различныхязыкахБ.1 Фрагменты - програмы КНУТ на языке «С» . . . . 154Б.2 Фрагменты - програмы КНУТ на языке «Pascal»..157Б.3 Фрагменты - програмы КНУТ на языке «PL / 1». .159Б.4 Фрагменты - програмы КНУТ на языке «Delphi» .160Приложение В. Таблицы, блок-схемы ирисунки с результатами расчётов различных задач. . . .164Приложение Г. Подробности некоторыхвычислений (вычисление дифференциала Фреше иаппроксимация краевых условий). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177Предметный указатель. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189Список обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .197Послесловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204Часть 6. CD – ROM с фрагментами программ и сайтомпо системе Delphi автора монографии . . . . . . . . . . . 20721

Chapter 3. Computer-aided simulation for two-pointboundary-value problems for systems of ordinary nonlinearsecond-order differential equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.1. The two-point boundary-value problems. . . . . . . . . . . 603.2. Liquid Film Equipment Units in Chemical Engineering. .3.3. Scrubber for carbon dioxide (CO 2) purification witchmonoetanolamine( CH 3- CH 2-O- NH 2) andcountercurrent absorption complicated by irreversiblechemical reaction in the liquid phase. . . . . . . . . . . .643.4 One-dimensional model with effectively diffusity. . . . 703.5 Triumph and crash one-dimension modelingwith effectively diffusity for films apparatus. . . . . . . . 743.6 Computer – aided simulation of evaporativefilm apparatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Chapter 4. Nonlinear value-problems for equations andsystem equations in partitional derivatives. . . . 874.0. Instead of introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.1. Stefan’s Problem’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2. Nonlinear boundary value – problems for processwith phases transformation under continuouscrystallization in apparatus wire die Heat andMass Exchange under granulation from meletof mineral fertilizer tower of granulation . . . . . . . . . . . .974.3. Solving of nonlinear boundary value- problemsfor parabolic equations of methods NKS. . . . . . . . . . .1004.4. Generalization of the Stefan’s problem. . . . . . . . . . . 1174.5. Sorbtion of oxides of Nitrogen on finely porous ofSelicagel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1214.6. Solving of Burger’s equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . 128.4.7. Stating the inverse problems for nonstazionary of theheat transfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13623

Часть 126

«Капля так же неисчерпаема, как и атом»Проф. В.В. ДильманЧасть 1. Основные положенияматематического моделирования.1.1. Общая характеристика проблемпереноса, стационарные и нестационарныепроцессы.Многовековой опыт человечества в изучениикаких-либо областей знаний показывает, что длядостижения консенсуса в любой области знанийнеобходимо выработать базовую терминологию(систему определений).Под процессами переноса нами понимаются вдальнейшем разнообразные химические и не толькохимические процессы в разнообразных аппаратах,где происходит диссипация энергии или переноситсякакое-либо вещество в газовой, жидкой, дисперснойили твёрдой фазе.Одним из элементов классификации процессовслужит вопрос о стационарности процесса переноса.Мы не будем вдаваться в философскую сущность течениявремени, а лишь ограничимся популярными понятиями, чтотечение времени необратимо.Будем называть математическую модель переносастационарной, если в её дифференциальных уравненияхотсутствует производная по временной координате.28

Этим уравнениям соответствуют процессы, в которыххарактеристики переноса не меняются со временем.1.2. Классификация некоторыхматематических моделей.Общая пенетритная (диффузионная) модель.Общая диффузионная модель при наличии химической реакцииможет быть записанав следующем виде:Сt+ w С == (D С ) + r 0f (C) (1.2.1.)где С - концентрация вещества в потоке, w –средняя расходнаяскорость движения фазы,D – коэффициент диффузии, r 0- константа скоростихимической реакции, f (C) -концентрационный член.Математический знак набла - символическийвектор, заменяющий символы градиента,дивергенции и ротации. Его введение упрощаетвычисление в векторном анализе. Набла - обозначаетдифференциальный оператор Гамильтона:где = i + j + k, (1.2.2.)x yzi, j, k - координатные орты.Коэффициент диффузии в модели (1.2.1) является функциейсвойств жидкости и условий течения потока. Причём, первоеимеет основное влияние при низких скоростях потока инезначительное – при высоких скоростях. В общем случае D29

неизотропен, а получение аналитического решения уравнения(1.2.1.) в общем случае невозможно.Общая диффузионная модель дляосесимметричного потока с постояннымикоэффициентами диффузии.Общая диффузионная для осесимметричного потокаописывается уравнением (1.2.3.).Аналитическое решение в этом случае также невозможно.Сt+ w ( r )С С== D ( z)z z z1 +(1.2.3.) С+ ( D 2/ r) rr r+ r 0f ( c ) ,гдеD 1– коэффициент продольного перемешивания;D 2– коэффициент поперечного перемешивания.Оценка диффузионного переноса в этой модели ещёисключительно сложна, а поэтому необходимы дальнейшиеупрощения.Модель диффузионного поршневого потока.Эта модель представлена уравнением (1.2.4.), котороедопускает аналитическое решение.30

СtС+ w (r) z2 C== D H 2z+ ( DR / r) (1.2.4.)Диффузионная модель с постояннымкоэффициентом диффузии для осесимметричногопотока31

1.3. Линейные и нелинейные краевые задачипереноса.Мы рассматриваем в данной книге нелинейные уравненияпереноса, характеризующиеся наличием в математическоймодели процесса уравнений в частных или полных производныхнелинейности.Математическая модель называется нелинейной, если хотябы одна из производных неизвестной функции (включаяпроизводную нулевого порядка – саму неизвестную функцию)входит нелинейно или в само уравнение входят производные отискомой функции не в первой степени.Под нелинейностью подразумевается, например,зависимость коэффициентов от искомой функции типа:u u K( u ) . ( 1.3.1)t tЕсли K зависит только от x и / или t,u u K( х,t) , ( 1.3.2)t tто такое выражение уже не является нелинейным, хотя имеетдивергентное слагаемое.Мы рассмотрим в этой монографии, в основном, нелинейныекраевые задачи для уравнений параболического типа:1. w t = [f(w)w x ] x .Нелинейное уравнение теплопроводности общего вида.2. w t = [f(w)w x ] x + g(w).32

Нелинейное уравнение теплопроводности с источникомобщего вида.3. w t = w xx + ww x . Уравнение Бюргерса.Отметим, что хотя уравнение Бюргерса по своему виду явнонелинейно, путём замены переменных оно сводится клинейному уравнению. Подробно это уравнение будетрассмотрено в 4-й части этой монографии.Иногда под нелинейным дифференциальным уравнениемпонимается наиболее общее уравнение определённого вида.Например, нелинейным обыкновенным дифференциальнымуравнением 1-го порядка называется уравнение:F ( x, y, u ) = 0, где u = dy / dx , ( 1.3.3 )с произвольной функцией F(x,y,u); при этом линейноеобыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядкасоответствует частному случаюF (x, y, u) = a(x)u + b(x)y ( 1.3.4 )Есть ещё понятие «полулинейного уравнениятеплопроводности», хотя оно не оченьупотребительно:сu t2 u= 2x+ F( t, x, ∂u / ∂x ) ( 1.3.5 )Вообще говоря, нелинейности в коэффициентах уравненийусловно можно разбить на 2 класса - алгебраические итрансцендентные.Мы не хотим сводить нелинейность только к нелинейностикоэффициентов уравнений, так как наш метод позволяет решатьпрактически любые проблемы вне зависимости от того, что занелинейность встречается в уравнении.33

1.4. Методологические и математическиеаспекты моделирования.Наиболее общим свойством математических моделейявляется их простота в сравнении с исследуемым объектом, таккак они строятся для изучения лишь части свойствмоделируемого объекта. В большинстве случаев для изученияодной и той же характеристики моделируемого объекта /процесса могут быть использованы разные математическиемодели, например непрерывные или дискретные,детерминированныеили стохастические. Использование различных математическихмоделей может быть бъяснено различной степеньюдетализации описания изучаемых характеристик.Целесообразность использования какой-либо конкретноймодели предварительно анализируется на основесопоставления с конкурирующими математическими моделями.Математическое моделирование химико-технологическихпроцессов, как новая область науки оформилось лишь в начале60-х годов прошлого столетия.Основные идеи были сформулированы Р.Арисом, Г.К.Боресковым, В.В. Кафаровым и М.Г. Слинько.Одним из основных моментов моделирования являетсявопрос установления адекватности модели и объекта. В связи сэтим необходимо отметить, что адекватность модели следуетрассматривать только по определённым признакам, принятым вданном исследовании за основные.Не существует «адекватности вообще», ибо полнаяадекватность означала бы тождество.Ниже, в главе 3 будет рассматриваться одномерноеуравнение с эффективным коэффициентом продольнойдисперсии. Это уравнение в течение 25 лет привлекало многихучёных, которые его использовали в своих расчётах и, преждевсего, оно привлекало своей простотой.Лишь в 1972 г. Михаил Сафонов с химического факультетаМГУ доказал, что применение этого уравнения к плёночнымаппаратам абсолютно ошибочно.35

Но лишь спустя годы, это открытие стало постепеннопроникать в сознание массы исследователей. Об этом болееподробно мы говорим в главе 3 этой монографии.Одной из важных характеристик математической моделиявляется её простота с точки зрения математического описанияи дальнейшего решения, а также максимальная полнота с точкизрения описания всех наиболее важных элементовмоделируемого и / или исследуемого процесса.Например, система интегро-дифференциальных уравненийзначительно сложнее, чем система дифференциальныхуравнений. Однако, например, если тройной интеграл взят уже вквадратурах, то положение значительно упрощается.В одном из закрытых научных учреждений г. Москвыматематик А. Б. Рабинович нашел квадратуру тройногоинтеграла. Узнав об этом, итальянские специалисты,работавшие в этой же области химии, за крупноевознаграждение купили в этом институте результат вычислениятройного интеграла, проделанного А. Рабиновичем.36

1.5. Регулярные методы решения нелинейныхкраевых задач и метод НКС.Есть принципиально две различные платформы дляматематического моделирования процессов переноса:1) это использование цифровыхвычислительных машин;2) использование аналого-цифровых систем(комплексов).Вычислительные машины являются болееуниверсальным инструментом, чем аналого-цифровыекомплексы. Созданные на компьютерах программы могутпереноситься на другие вычислительные машины. С этой точкизрения они предпочтительнее.Поэтому всё наше внимание будет сосредоточено навопросах программногообеспечения ЭВМ и РС для решения задач нелинейногопереноса.На данном этапе мы не будем рассматривать какие-либоэкзотические методы решения нелинейных краевых задач.Мы можем заинтересованным читателям предложитьобзор методов, имеющийся, например, в работах Лионса [15,146] и весьма полном обзоре Г.И. Марчука [143] и А.Д.Полянина [150].Одним из основных подходов является методдискретизации исходной системы уравнений переноса, чтоозначает замену производных их дискретными аналогами, асаму искомую функцию заменяют её дискретным аналогом. Таккак система по-прежнему остаётся нелинейной, то к нейприменяют итерационный метод. Мы предлагаем другой подход:1) сначала проводим «ньютоновскую»линеаризацию системы уравнений,2) затем применяем метод дискретизации.Этот метод мы назвали методом НКС (от первых букв словНьютон, Канторович, сеточный метод). Мы уверены, что такойподход является более рациональным. Однако в общем случаеэто недоказуемо.37

По-видимому, можно подобрать такой пример, чтоколичество операций в итерациях «пикаровского»типа и количество операций в методе «Ньютона-Канторовича»будут сопоставимы. В этом случае надо ещё сравнить скоростьсходимости приближённого решения к точному.При этом скорость сходимости приближённых решений кточному решению (если сходимость вообще существует) можетбыть тоже исключительно близка. Метод «ньютоновской»линеаризации требует вычисления большего количествапроизводных на вычисление которых тоже тратится машинноевремя.Здесь надо вспомнить проблему монотонностиоператоров и монотонность сходимости. Эти две связанныевещи могут дать ключ к построению соответствующих примерови контрпримеров.Мы думаем, что построение таких контрпримеровзадача достаточно посильная и интересная, но нам еюзаниматься сейчас некогда. Наша задача имеетпротивоположное назначение: показать конкретные примерырешения нелинейных уравнений в частных производных,которые мы рассмотрим в 4-четвёртой главе.38

1.6. Алгоритмы решения краевых задач иих программная реализация.Cуществует много разнообразных методов решениякраевых задач, часть из которых вместе с сылками, былаизложена в конце предыдущего параграфа. Здесь надопроизвести некоторые уточнения. Краевые задачиподразделяются ещё на несколько весьма специфическихподгрупп. Есть краевые задачи с условием на границах отрезка,но не в виде суперпозиции функции и производной, а толькозадаются сами значения искомой функции. Эти задачи, какправило, ставятся для уравнений в полных производных. Такиезадачи решаются методом пристрелки или (shutting) ванглийской нотации.Есть начально-краевые задачи, которые решаются методом«прогонки» [12].Вопросы программной реализации связаны спривязанностями конкретных программистов и техвычислительных систем и машин, на которых они реализуются.Автору поначалу близки были идеи программирования всистеме DOS (просто операционные системы Windows тогдаещё не были созданы).Поначалу писались блоки программы, реализованные ввиде процедур и функций и блока, который связывал воединопоследовательность обращения ко всем этим процедурам ифункциям.Позже появилась операционная система Windows, котораярекомендовала для расчётов конкретных блоков программыиспользовать DLL.Языки программирования всегда оставались на совестиразработчиков конкретных программ.В частности использовались такие языки программирования,как С, Pascal, FORTRAN, PL / 1, C++, Delphi, Visual Basic.При переходе на персональные компьютеры ( PC ) ирабочие станции язык PL / 1 и FORTRAN выпали из обоймышироко распространённых языков программирования.Остальные языки, перейдя под Windows, сохранили своёзначение.39

Отметим одну важную неприятную особенность некоторыхпрограмм фирмы «Борланд» под DOS.В некоторых блоках (юнитах) программ этой фирмысодержались арифметические ошибки, ликвидированные вболее поздних «виндусовских» переработках этих программ.Часто это было легко заметить по абсолютнонеприемлемым результатам расчётов, но иногда их было труднообнаружить и надо было сверять с «ручным» расчётом.Бесполезно на страницах этой монографии спорить отом, какой компьютерный язык лучше лучше.Многие считают Delphi-7 очень хорошей 32 битной системой,позволяющей обучить модульному, объектноориентированному,событийному и компонентномупрограммированию.Кроме того, cистема DELPHI может взаимодействовать сязыками С++ и JAVA.Но и это ещё не всё. Система DELPHI позволяет создаватьклиент-серверные аппликации, причём делает это безо всякихсложностей.Система DELPHI имеет мощную поддержку и для работы сбазами данных.Ей по-плечу созддание баз данных и объектов – COM иDCOM. Она может работать и с сервисами. Я думаю, чтоперечисленного вполне хватает, чтобы убедить нормальногопродвинутого программиста в том, что это прекрасный продуктне только для новичков, но и для классных программистов.В качестве подтверждения сошлёмся ещё на сайт автора этоймонографии А.М. Вайнберг «My Delphi», который был размещённа бесплатном хостинге в первой половине 2002 года. Мыпривели этот сайт на прилагаемом CD-ROM.Другие считают, что лучше С++ нет ничего в мире.Третьи спорят о языке Java или о другом модном языке.Весьма эффективным, на мой взгляд, является язык сишарп- С#. Фирма Майкрософт вкладывает в своё новое детищемиллиарды и, повидимому, недаром.Скорее всего это будет весьма удобный инструментпрограммирования. Точнее это будет целый наборинструментов, так как появится целая плеяда языков под общейвывеской «шарп».Мы не дадим втянуть себя в споры, какой язык лучше,отделавшись хорошо известной русской поговоркой:40

«Самая короткая дорога – знакомая».Спорить о применимости и удобстве того или иного языка,это почти всё равно, что спорить, какой цвет лучше или какойязык, для общения людей самый лучший в мире.В мире конкуренции скоро всё будет расставлено на своиместа.41

Часть 242

Часть 2. Математическое моделирование ирешение нелинейных краевыхзадач.2.1. Математическое моделирование процессовпереноса.Ниже приведено краткое определение методаматематического моделирования, написанное известнымспециалистом в этой области, кандидатом технических наукЮ.А.Соколинским.Краткая характеристика методаматематического моделирования.«Метод математического моделирования применительно кхимическим процессам заключается в том, что сложный процесспредставляется в виде совокупности стадий.Для каждой стадии создаётся математическое описание,учитывающие физические и химические процессы, характерныедля данной стадии. Параметры, входящие в это описаниенаходятся из фундаментальных физико-химическихзакономерностей (термодинамические параметры), илиспециально организованных экспериментов (например,константы скорости и энергии активации химической реакции).Общее математическое описание представляет собой системууравнений, описывающую стадии процесса.Например, для химического реактора с неподвижным слоемкатализатора можно выделить следующие стадии:- химические превращения на внутренней поверхностикатализатора;- процесс в зерне катализатора с учетом диффузии компонентовреакционной смеси;43

- гидродинамические процессы, определяющие полескоростей и давления в слое катализатора:химический процесс в слое катализатора с учетом химическихпревращений, тепловыделения и переноса тепла и вещества;- условия на наружной поверхности слоя катализатора,описывающие подвод или отвод тепла.Математическое моделирование подразумевает разработкуметодов, как правило, численных, решения систем получаемыхуравнений. Обычно, это краевые задачи для системдифференциальных уравнений, как правило, нелинейных вобыкновенных или частных производных. Разумеется, на основеуказанных методов разрабатываются программные модули, спомощью которых на компьютерах ведется исследованиеобъектов математического моделирования.Метод математического моделирования представляет собоймощный инструмент в руках инженеров при разработке,исследовании и оптимизации различных процессов и аппаратови можно утверждать, что он вошёл в повседневную практику припроведении научно-исследовательских работ и проектировании.Практически, все серьёзные фирмы располагают различнымипакетами программ математического моделирования ипостоянно пополняют свое программное обеспечение в этойобласти».* * *Приведенное выше определение Ю.А. Соколинского являетсяконцентратом рассматриваемого метода математическогомоделирования применительно к химическим и химикотехнологическимпроцессам.44

2.2.Метод Ньютона-Рафсона для поискакорней нелинейных скалярныхуравнений.Достаточно часто перед программистами встаёт задача поискарешений скалярныхуравнений типа:f ( х ) = 0 ( 2.2.1 )Разработано много методов решения подобных уравнений.Они, прежде всего, отличаются скоростью сходимости кточному решению и требованиями к функции f ( x ).При этом предполагается, что точное решение существует ионо единственно.Наличие современных компьютеров позволяет не задаватьсявопросом быстроты сходимости (работы) данного конкретногоалгоритма. Например, вполне надёжно работает методВегстейна, который автор монографии неоднократноиспользовал в своих программах.Тем не менее, с методологической точки зрения, нам удобнеерассмотреть здесь метод Ньютона-Рафсона. Так как вследующем пункте мы рассмотрим обобщение этого метода нанормированные пространства, то необходимо показатьпреимущества данного метода.Будем дополнительно предполагать, что f ( x ) монотонноубывающая строго выпуклая функция для всех x из областиопределения, то есть вторая производная f ″ ( x ) > 0.Следовательно, корень r простой, f ′ ( r ) =/= 0.Пусть x 0начальное приближение для корня r , причём( x 0< r ( f ( x 0) >0),и пусть f ( x ) аппроксимируется линейной функцией от x,задаваемой значениями самой функции f ( x ) и её производнойпри x = x 0:f ( x ) f ( x 0) + (x - x 0) f ′ (x 0). ( 2.2.2)46

Ясно, что студенты вторых курсов университетов этопредставление хорошо знают, так как это просто приближение,получаемое из ряда Маклорена.Тогда следующее приближение для r получается из решениялинейного по x уравнениf ( x 0) + ( x – x 0) f ′( x 0) = 0. ( 2.2.3 )Разрешая это уравнение относительно х, получаем второеприближение к корню:f ( x0)Х = х 0- . (2.2.4)f '( x0)Повторяя этот процесс, мы приходим к рекурентной формуле:X n 1=X-f ( xn). (2.2.5)f '( x )nФормула (2.2.5) является формулой Ньютона - Рафсона.Она позволяет вычислять последующее приближение к корню,имея предыдущее приближение и значения функции и еёпроизводной в предыдущей точке приближения.По вопросам монотонности вычислительного процесса мыотсылаем читателя к прекрасной книге Беллмана-Калабы [1- 1-е].47

2.3. Метод Ньютона-Канторовича и методквазилинеаризации Беллмана-Калабы длярешения нелинейных операторныхуравнений. Метод НКС.Выше мы рассмотрели метод Ньютона (Ньютона-Рафсона)для решения нелинейных уравнений для функции однойпеременной. Отметим, что в русской технической литературефамилию Рафсона часто опускают.В 1948 году Л.В. Конторович в работах [2-4] построилобобщение метода Ньютона - Рафсона на функциональныенормированные пространства.Этот метод изучался и в ряде последующих работ другихавторов [5-9].Спустя десять лет Л.В. Канторович вновь вернулся к этомукругу задач [11].Спустя ещё 10 лет в СССР публикуется переводная книгаБеллмана- Калабы [1], где подменяется название метода"Ньютона-Канторовича" для функциональных пространств наназвание "метод квазилинеаризации". Правда, в книге [1]говорится, что это одно и тоже, но при этом показывается, чтоиногда и метод максимизации приводит к аналогичномуитерационному процессу.Мы считаем, что многие идеи из этой монографии [1-1-e]могут быть полезны тем, кто хочет глубже изучить вопросысуществования и сходимости решений нелинейных уравнений.В этой книге [1] приведена одна из модификаций методарешения нелинейных уравнений, которая этими автораминазвана методом квазилинеаризации. Сами авторы в этоймонографии утверждают, что их метод и метод Ньютона-Канторовича приводит к одним и тем-же вычислительнымпроцессам.Впоследствии соавтор Беллмана – Р. Калаба, выстумая наматематической конференции в Гонолулу (1971 г.) , изменилсвоё мнение, высказав мысль, что метод квазилинеаризации иметод Ньютона-Канторовича – разные методы, но при этомпривёл недостаточно внятную аргументацию.Нам кажется, что столь странное смешение понятийпроизошло от того, что эти математики не привели разумное49

определение метода Ньютона - Канторовича, понятное втерминах нелинейного функционального анализа. Поэтому мысочли необходимым дать такое определение. Именно, методНьютона – Канторовича, как мы утверждаем основан нанахождении и вычислении дифференциала Фреше, который понашему мнению лежит в основе метода Ньютона-Канторовичадля нелинейных функционалов.Почему же возникла столь серьёзная путаница в книгеизвестных американских математиков ?Прежде всего, на наш взгляд, беда состоит в отсутствиичётких определений в целом очень интересной книги Беллманаи Калабы [1].Именно поэтому мы начнём с чётких определений.Проведём рассмотрение метода "Ньютона-Канторовича"согласно работам [ 12-14 ] .Пусть U – решение уравненияP ( U ) = 0, ( 2.3.1.)Где P : E 1-> E 2дифференцируемое по Фреше [ 15 ]нелинейное отображение, а E 1и E 2линейныенормированные пространства.Допустим, что U найденное приближённое решение ( 2.3.1 ).Тогда итерационный процесс(назовём его "ньютоновской линеаризацией" или методом"Ньютона-Канторовича"), задаваемый линейным уравнением :s s+1 s sP ( U ) * ( U - U ) = - P ( U ), ( 2.3.2. )где s – номер приближения ( s = 0,1,2,… ) , позволяет найтисвязь его приближённого решения U равнения ( 2.3.1 ) сsпредыдущими U .Если существует линейный обратный оператор 1[ P' ( U ) ] , то приходим к известному методу “Ньютона-Канторовича” [5] :50

s+1 s s s1U =U–[P' ( U ) ] P ( U ) . (2.3.3.)Мы не случайно оговорились, если существует линейныйобратный оператор...Дело в том, что построить обратный оператор в практическиинтересных случаях не удаётся. Именно это и вызываетзатруднения у многих новичков в этих вопросах.Единственный путь в этой ситуации – построить обратныйоператор приближённо.Именно этим путём и идут исследователи, желающиеиспользовать метод Ньютона-Канторовича.Определение 1. Говорят, что оператор Pдифференцируем по Фреше в точке v E 1, еслиP(v+h)–P(v)=dP(v,h)+ (v,h), ( 2.3.4.)гдеdP(v,h) – линейная ограниченная функция (оператор)от h, причёмLim (v,h) / || h|| = 0 ( 2.3.5.)h-> 0В равенстве (2.3.3) предполагается, что отображение Pопределено в шаре радиуса c центром в точке v , причём || h || < .dP(v,h) называется дифференциалом Фреше, а остаткомдифференциала.Если известен вид оператора dP(v,h), то естьdP(v,h) = A(v)h ,где A – линейный ограниченный оператор, то пишут51

A(v) = P′ (v) и называют его производной Фреше.В силу этого имеем1|| h || (2.3.6.)A(v) = lim || P(vh) - P(v) - P (v*h ||Конкретные применения метода "Ньютона-Канторовича" длярешения нелинейных краевых задач переноса тепла и массы мырассматриваем в части 4 нашей монографии.Отметим один самый существенный момент. Уравнение(2.3.3) уже является линейным, но оно ещё не разрешеноотносительно искомой функции.К этому уравнению мы применяем разностную аппроксимациюна сетке (метод сеток рассмотрен в главе 4) и получаем системулинейных алгебраических уравнений, которую решаем одной измодификацией метода исключения (применительно к системелинейных уравнений с трёхдиагональной матрицей. Этумодификацию один из авторов метода И.М. Гельфанд назвалметодом «прогонки» [12].Именно поэтому редлагаемый нами алгоритм мы называемметод НКС первые буквы слов Ньютон, Канторович и сеточныйметод.52

2.4. Решение нелинейных краевых задачдля систем уравнений в частныхпроизводных методом НКС.Выше, в предыдущем параграфе, мы рассмотрелиопределение метода "Ньютона-Канторовича" , применимогок нелинейным операторным уравнениям.В предыдущем пункте никаких дополнительныхпредположений о виде частных производных мы не делали.Рассмотрим нелинейное уравнение P (u,v) = 0, гдеотображениеP : E 1 E 1 E 2,дважды непрерывно дифференцируемо.В этом случае формула Тейлора имеет вид:P ( 0 u +h 1, 0 v + h 2) = P ( 0 u , 0 v ) + d uP( 0 u , 0 v ) ++ d vP( 0 u , 0 v ) + r( 0 u , 0 v ,h 1, h 2) . (2.4.1.)00Отбрасывая r( u , v ,h 1, h 2), получим приближённоеуавнение:P ( 0 u , 0 v ) + d u( 0 u , 0 v ) + d v( 0 u , 0 v ) = 0, (2.4.2.)где( u = 0 u + h 1, v = 0 v + h 2).Далее, рассмотрим системуP 1(u, v)=0; P 2(u,v) = 0; (2.4.3.)53

Применяя к системе (2.4.3.) аппарат предыдущего параграфаи используя частные дифференциалы Фреше, получимследующее:P 1( u 0 , v 0 ) + d uP 1( u 0 , v 0 ) == P 1( u 0 +h 1, v 0 ) + r 1( u 0 , v 0 , h 1) (2.4.4.)P 2( u 0 , v 0 ) + d vP 2( u 0 , v 0 ) == P 2( u 0 , v 0 + h 2) + r 2( u 0 , v 0 , h 2) (2.4.5.)Отбрасывая в системе (2.4.4.) - (2.4.5.) остаточные члены, мыпридём к следующей линейной системе:00P 1( u , v ) + d uP 1( u ,00P 2( u , v ) + d vP 2( u ,000v ) = 0 (2.4.6.)0v ) = 0 (2.4.7.)И в данном случае метод Ньютона –Канторовича примет видP ' 1u (P ' 2v (nu ,nu ,nv ) (nv ) (n1u -n1v -nu ) = - P 1(nv ) = - P 2(nu ,nu ,nv ) , (2.4.8.)nv ). (2.4.9.)Изложенное в этом параграфе было опубликованоавтором в работе [75].54

2.5 Решение нелинейных краевых задачдля систем обыкновенныхдифференциальных уравнений.Обыкновенные дифференциальные уравнения мы можемрассматривать как подмножество уравнений в частныхпроизводных. Конкретное применение метода Ньютона-Канторовича к нелинейным системам обыкновенныхдифференциальных уравнений мы рассмотрим в главе 3.Единственное, но важное упрощение – это отсутствиепроизводных по временной координате. Даже вопроспостроения сеток упрощается до минимума: сеткарассматривается только как разбиение пространственнойкоординаты.Рассмотрим нелинейную краевую задачу для системыобыкновенных дифференциальных уравнений:u” = f (u’, u, x);u = ( u 1, u 2); f = (f 1, f 2), (2.5. 1.)0< x < b,i(u’, u, x = a i) = 0, ( i = 1,2,3,4), (2.5. 2.)a 1= a 2= 0; a 3= a 4= b,в предположении, что f 1(z,y,x) и f 2(z,y,x) непрерывны вместе сосвоими частными производными. по z и y до второго порядкавключительно в областиG = { | z | < d, | y | < c, 0 x b; c, d > 0 } . (2.5. 3.)Предположим также, что (z,y,x ) обладают такой жегладкостью, что и функции f 1,f 2, соответственно, в областях: 1= { x , | y | < d , > 0 }, (2.5. 4.)56

2= { | b-x | < , | y | < c, | z | < d },и что задача (2.5. 1.) - (2.5. 2.) имеет решениеu C 2 [0,b].Применяя к задаче (2.5.1.) - (2.5.2.) аппарат предыдущихпараграфов (попросту вычисляя дифференциал Фреше),получим линейную краевую задачу:u n1j= f j[t] + f ' n1 nju j[t] ( u j - u j) + f ' 'n1ju j[t] ( u’u’ n j);j-' [ ] + [ ] (un1j- u n j) + [ ] ( u' n1i' iu jiu ' jj-- u’ n j).Остаётся только напомнить, что целочисленный индекс j = 1 -:-2.57

Часть 359

Часть 3. Нелинейные двухточечные краевыезадачи для обыкновенныхдифференциальных уравнений исистем обыкновенныхдифференциальных уравнений.Плёночные выпарные аппараты.3.1. Краевые нелинейные двухточечныезадачи.Под краевыми задачами в этом пункте понимаются задачидля уравнений в обыкновенных или частных производных,которым сопоставлены дополнительные условия на концах иликраях области рассмотрения задачи. Для нестационарных истационарных процессов рассматривают ещё и начальнокраевыезадачи, в которых задаётся условие в начальныймомент времени в области рассмотрения задачи.Нас, прежде всего, в данной главе интересуют нелинейныеуравнения второгопорядка в полных производных с краевыми условиями награнице области в виде суперпозиции производной искомойфункции и самой функции в точках на границе области.Типичным представителем таких задач является следующая,рассматриваемаяна отрезке [ а , b ] :x" = f (x,x' );x'(a) = u(x(a));x'(b) = v(x(b)),(3.1)60

dx dгде x' = ; x" = (x') ; а ≤ z ≤b.dz dzКонечно же, значения а и b соответствуют входу в аппарат ивыходу из него одной или обеих фаз, а z – пространственнаякоордината, x – искомая функция (обычно концентрация жидкойили газовой фазы или температура газовой или жидкой фазы).Если мы рассматриваем задачу для обеих фаз, то системауравнений (3.1) дополняется ещё подобной системой системойуравнений для газовой или жидкойфазы. При этом функции f, u и v заменяются насоответствующие функции для газовой или жидкой фазы,например, как в системе (3.3.1).Математики, в основном, рассматривают задачи (3.1) и(3.3.1) с точки зрения существования и единственностирешения, а также вопросы непрерывной зависимости решениякраевой задачи от функции f.Подробными исследованиями этих вопросов занимался вначале прошлого века С.Н. Берштейн [22]. Более поздниеисследования и обзор литературы можно найти в монографии[23].Среди достаточно популярных введений в область краевых иначально-краевых задач отметим особо книгу академика С.Л.Понтрягина [96].Отметим также, что английским эквивалентом понятияначально-краевая задача служит словосочетание «Initialboundary-value problems»61

3.2. Плёночные аппараты в химическойпромышленности.Плёночные аппараты в химической промышленности нашлиширокое применение благодаря целому ряду весьма полезных иважных характеристик:значительной площади поверхности контакта между фазами,малому сопротивлению движения жидкой и газовой фаз,достаточно простой регулировке нагрузок по обеим фазам,сравнительно лёгкому изготовлению аппаратной части.Само устройство трубчатых плёночных аппаратов позволяетпроводить как изотермические процессы теплообмена, так ипроцессы выпаривания за счет подогревавнешней поверхности трубок паровой фазой (острым паромконденсирующимся62

греющим паром).Как правило, жидкая фаза подаётся выше трубной платыи стекает по внутреннейповерхности трубы вниз. Газовая фаза подаётсяпротивотоком в трубы под нижней трубной платой.Паровая фаза подаётся в межтрубное пространствовнутрь обечайки аппарата.Последняя из описанных выше конструкций трубчатогоплёночного аппарата соответствует выпарному аппарату.Простота изготовления, эффективность и дешевизнаплёночной аппаратуры способствует широкому применению ираспространению плёночной аппаратуры.В четвёртом пункте мы рассмотрим достаточно простыеодномерные диффузионные математические модели и ихприменение.В пятом пункте будет рассмотрен современный конфликтмежду двумяподходами к исследованию диффузионных плёночных моделейэкспериментальными научным.В шестом пункте будет рассмотрена двумернаяматематическая модель выпарного аппарата.63

3.3 Противоточные скрубберы МЭАочистки от СО 2.Изложение данного параграфа даётся на основе нашихработ [24-25] .Моделированию однофазных потоков с учётомпродольного перемешивания и химической реакциипосвящено много работ. Начиная с работ Данквертса [26], гдевпервые была рассмотрена постановка подобной задачи дляизотермического случая и реакций первого порядка,появился целый ряд работ, где рассматривались реакциивторого порядка [27] , обратимые реакции [28-29] ,неизотермические реакции, описывающие процессы внеподвижном слое катализатора [30].Несколько позднее появились работы по математическомумоделированию двухфазных потоков с учётом продольногоперемешивания в обеих фазах [31-32].В настоящее время нам известны лишь четыре работы [31-34] , в которых проведены расчёты аппаратов с учётомхимических реакций и продольного перемешивания в обеихфазах.Работы [24-25] посвящены математическому описаниюкинетики и расчёту противоточной изотермическойабсорбции, осложнённой сравнительно быстрой химическойреакцией первого или второго порядка в жидкой фазе.В химической промышленности и, в частности, в азотныхпроизводствах,процесс абсорбции широко используется для очисткитехнологических хвостовых газов от СО 2, SO 2, NO 2.Многие процессы, например, абсорбция двуокисиуглерода и сероводорода растворами едкого натра, поташа,аммиака, этаноламинов (при умеренных степеняхкарбонизации), абсорбция аммиака серной кислотой,абсорбция серного ангидрида серной кислотой [24],сопровождаются сравнительно быстрой химическойреакциейв жидкой фазе.Имеющиеся в литературе [35-39] теоретическиеуравнения позволяют рассчитывать локальную скоростьхемосорбции, но при этом не учитываются изменение64

скорости хемосорбции по высоте аппарата и влияние составагаза и жидкости. Приводимые в литературе графическиеметоды [35] связаны с разбивкой абсорбента на отдельныезоны и усреднением концентрации активной частихемосорбента.Эти методы сложны, обладают малой точностью инепригодны для практически важной переходной области.Ю.В. Аксельродом и В.В. Дильманом было предложеноиспользовать для описания противоточной абсорбции,осложнённой необратимой химической реакцией в жидкойфазе, систему уравнений, которая в безразмерном видеможет быть представлена так [24]:2d Y2dz2d X2dzdY- B гdzdX- B жdz- N огB г Y = 0 (a)( 3.3.1)- N огB жY / (α сM с)= 0, (b)гдеY = Y г / Y г 1; X = X ж/ X ж 1; α с= w ж/(m сw г ); (3.3.2)Мс = Х ж1m с/ ( n сY гс) ;X ж - текущая концентрация активной части хемосорбента( моноэтаноламина - С 2Н 7NO ) в ядре потока жидкости;Y г - текущая концентрация абсорбируемого в ядре потокагаза; z – безразмерная высота аппарата.В этих уравнениях за положительное направление оси ozвыбрано направление движения жидкой фазы(гравитационно стекающей по стенке аппарата и насадке).65

Первое слагаемое в обоих уравнениях характеризуетперенос вещества за счёт продольного перемешиванияпотоков; второе-перенос вещества за счёт направленногодвижения потоков; третье – локальный межфазный переносвещества, причём предполагается, что справедливо правилоаддитивностифазовых сопротивлений:1 / N ог= 1 / N г+ 1/(α сN жγ) , (3.3.3)гдеγ = K1 / K2,K1= 2 [( (D / E) YXE = (1- N ог / N г );+ 1]; D = M сθ;K2 = 1 +1 ER )) 0X 4( D /( 22YСистема уравнений (3.3.1) -(3.3.2) по своей структуревесьма близка к темдифференциальным системам, которые описываютпротивоточную абсорбцию (ректификацию), но имеетпринципиальное отличие. Оно заключается в последнемчлене каждого дифференциального уравнения системы и,который, описывает локальный межфазный переносвещества. Входящий в этот член ( в качестве сомножителя)локальный коэффициент общего числа единиц переносаявляется функцией коэффициента ускорения, которыйпредставляет собой отношение потока вещества(переходящего из одной фазы в другую) при хемосорбции кпотоку вещества при физической абсорбции. Значениякоэффициента ускорения (см. работу И.А. Гиндельблата [92])66

на основе использования модели проницания, нелинейнымобразом зависит от концентрации обеих фаз.Данное обстоятельство вносит совершенно новуюспецифику в знаковую модель,превращая её в нелинейную краевую задачу для системыдвух дифференциальных уравнений, каждое из которыхвторого порядка. Это приводит нас к системе четвёртогопорядка. (Фактически имеем систему дифференциальныхуравнений четвёртого порядка).Регулярные методы решения таких задач в настоящеевремя ещё не разработаны.Отметим также, что алгоритм решения задачи (3.3.2)принципиально отличается от алгоритма решения задачфизической абсорбции, так как в последней общийкоэффициент массопередачи является подбираемымпараметром математической модели и не изменяется свысотой аппарата.Эффективность процесса хемосорбции зависит отконцентрации абсорбируемого компонента в газовой фазе ихемосорбента в жидкости, степени карбонизации, скоростейгаза и жидкости. Значения этих величин определяют областьпротекания химической реакции, а каждая из областейхарактеризуется различными кинетическимизакономерностями:в верхней части аппарата наблюдается область реакциипсевдопервого порядка с соответствующим избыткомхемосорбента по отношению к абсорбируемому компоненту ;в нижней части – переходная область или областьмгновенной химической реакции,в которой хемосорбент в значительной степени исчерпан, искорость абсорбции сильно зависит от гидродинамическихусловий.Проведенные на ЭВМ расчёты в широком диапазонеизменения параметровМ c, θ , R 0, B г, B жпозволили получитьнекоторые закономерности, типичные дляслучая абсорбции СО 2водным раствором моноэтаноламинапри атмосферном давлении.67

Установлено, что влияние перемешивания жидкости накоэффициент извлечения по газу сравнительно невелико, ноувеличивается с повышением степени карбонизации.Этот вывод хорошо согласуется с более ранними результатамипо физической абсорбции.Интересным вопросом во всех математических моделяхявляется вопрос параметрической чувствительностиматематической модели. Ниже приведены подобныеисследования в зависимости от чисел Боденштейна в жидкой игазовой фазах.Для условий переходной области при изменении В жот 100до 1 величина безразмерной концентрации хемосорбента навыходе из аппарата меняется почти в полтора раза.В области мгновенной химической реакции изменение В жот100 до 0.5 приводит к увеличению Y 2более чем вдвое.Результаты расчёта при изменении В г от 50 до 0,5практически не сказываютсяна Y 2.При некоторых условиях перемешивание жидкости заметновлияет на . (и ещё больше на число единиц переноса) вдиапазоне изменения В жот 5 до 10 и, следовательно, расчётпо уравнению, соответствующему случаю полного вытесненияжидкости, ведёт к значительной ошибке.Метод расчёта процесса и сравнениес опытными данными.Коэффициент ускорения γ в системе (3.3.2) являетсянелинейной функцией своих аргументов.Поэтому система дифференциальных уравнений (3.3.2)нелинейная и решается итерационным методом на разностнойсетке, после предварительной линеаризации системыуравнений методом Ньютона-Канторовича, согласно пункту 2.3.68

Сравнение расчётов по программе А.М. Вайнберга [40]системы (3.3.2) с опытно- промышленными данными,полученными Л.В. Алекперовой [40] для системы СО 2- водныйраствор моноэтаноламина (NH 2- CH 2- CH 2- OH) накерамических сёдлах Инталокс размером 44 мм. и кольцахРашига размером 50 мм. при высоте слоя насадки4,21 м. в диапазоне изменения скоростей газа от 0,3 до 1,17м./с. и с плотностью орошения от 20 до 60 м / м час,показывает удовлетворительное соответствие погазовой фазе в верхнем сечении аппарата и по концентрацииСО 2и активной части амина в жидкой фазе в нижнем сеченииаппарата.69

3.4. Одномерные модели плёночныхаппаратов с эффективной диффузией(температуропроводностью,Коэффициентом дисперсии,продольным перемешиванием).СТРУКТУРА ПОТОКОВ (С.п.) в аппаратах непрерывногодействия, существенно влияет на химические процессы, тепло-имассообмена.Для процессов в многофазных потоках важно взаимноенаправление движения фаз (противоток, прямоток и др.) игеометрической формы движущихся объемов (пленки, струи,капли, пузыри).При рассмотрении процессов переноса существенны режимтечения (ламинарный, волновой, турбулентный) и связанная с нимпроблема пограничного слоя.Большое значение имеют различия во времени пребывания частицпото-ка ка в рабочем объеме и их взаимное перемешивание врезультате нестационарности поля скоростей, неравномерностираспределения скоростей и их разнонаправленности. В частицахпотока, покидающих рабочий объем быстрее других, процессоказываетсянезавершенным; в частицах, задерживающихся в этом объеме, онпроходит глубже. Поскольку скорость процесса обычно снижаетсяво времени, егонезавершенность определяется долей частиц с малым временемпребывания.Отрицательное влияние неравномерности распределениявремени пребывания тем сильнее, чем выше требуемая степеньнезавершенности процесса.Перемешивание в потоках подразделяют по направлению напоперечное и продольное, а также по уровню-перемешивание намакроуровне (смешивающиеся частицы сохраняют своюиндивидуальность) и на микроуровне (происходит гомогенизациячастиц). Поперечное перемешивание, как правило, связано стурбулентностью; оно интенсифицирует массо- и теплоперенос.Продольное перемешивание-взаимное смешение элементовпотока, поступивших в аппарат в разные моменты времени. Оноприводит к выравниванию профилей концентраций и температур70

по длине потока, к неравномерности распределения временпребывания, часто уменьшает движущую силу процесса иснижает его эффективность. Для подавления продольногоперемешивания и усиления поперечного применяютсекционирование потока с помощью соответствующих устройств.Для анализа химической технологии процессов используютмодели смешения потоков разной степени идеализации;простейшие из них-идеальное вытеснение и идеальноесмешение. В первом случаепредполагается отсутствие продольного перемешивания приполном поперечном, время пребывания всех частиц одинаково.Эта модель удовлетворительно описывает, например, многиепроцессы в длинных тpyбax, особенно заполненных зернистымислоями.В модели идеального смешения полагают, что элементыпотока при поступлении в аппарат мгновенно и равномерносмешиваются со всем его содержимым, концентрации итемпература одинаковы во всех точках объема. К этой моделиблизки, напр., потоки в аппаратах с интенсивным механическимперемешиванием.Упомянутые модели - крайние случаи условий смешения впотоке. Промежуточные случаи описывают модели, выборкоторых определяется физической картиной процесса истепенью сложности расчетов.Диффузионные модели представляют поток как вытеснение,на которое накладывается перенос в продольном(однопараметрическая модель) или в продольном и поперечном(двухпараметрическая модель) направлениях, причем переносформально описывается уравнениями диффузии. Ячеечнаямодель представляет поток как последовательность одинаковыхячеек идеального смешения, причем число ячеек подбираетсятак, чтобы отразить влияние продольного перемешивания.Ячеечная модель удовлетворительно описывает потоки всекционированных аппаратах; как простую расчетнуюсхему ее иногда используют и для иных потоков. Более сложныепотоки описываются комбинированными моделями (схемныесоединения простых моделей).Каждой модели С. п. отвечает уравнение или системауравнений, позволяющие рассчитывать процесс в потоке инеобходимый объем аппарата. Эти уравнения содержатпараметры моделей (эффективный коэффициент диффузии,71

число ячеек и др.), для определения которых применяютразличные методы. Например, на входе потока вводят поопределенному закону (импульсному, ступенчатому и др.)индикатор, а на выходе регистрируют отклик-изменениеконцентрации индикатора во времени (метод трассёра).Обработка отклика методами статистики позволяет оценить законраспределения времени пребывания и найти параметры модели.Сведения о С. п. особенно важны при моделированиипромышленных аппаратов. При переходе к ним от малыхустановок следует учитывать изменение С. п. Знание параметровС. п. и физ.-хим. характеристик процессов позволяет расчетнымпутем исследовать и прогнозировать поведение аппаратов иопределять оптимальные условия их работы [123-125].Выше мы уже говорили о многих положительных свойствахплёночной аппаратуры.Мы, по-прежнему, говорим об аппаратах снепрерывным контактом фаз.Достаточно соблазнительно выглядят математические моделитаких аппаратов, в которых присутствует в жидкой фазекоэффициент эффективной диффузии в качестве основногопараметра такой модели. Как правило, эффективныекоэффициенты таких математическихмоделей призваны отражать гидродинамическую обстановку ваппарате. Они не отражают суть пристеночных течений вблизистенок аппарата и трения в развитых турбулентныхпристеночных течениях. Но если такие модели могут датьправильные осреднённые данные концентраций по аппарату, тотакие модели имеют право на жизнь.72

3.5. Триумф и крах одномерных моделейс эффективной диффузией дляплёночных аппаратов.В конце 60-х годов прошлого века в ГИАПе аспирантомВ.М. Олевского - В.И. Чернышёвым было проведено множествоэкспериментов по исследованию продольного перемешивания вплёночных аппаратах [126-128]. Статистическая обработка этихэкспериментов показала, что для математическогомоделирования процесса тепло и массопереноса в плёнкежидкости вполне правомерно использовать диффузионнуюмодель с эффективным коэффициентом продольногоперемешивания. На основе этих экспериментальныхисследований был проведен численный эксперимент сучастием А.М. Вайнберга [131].Казалось, что для плёночных аппаратов вопросприменимости диффузионной модели скоэффициентом продольного перемешивания вполнерешён.Но неожиданно в одном из номеров одного изсерьёзнейших журналов СССР в области теории технологиихимических производств - журнале «ТОХТ» появляется«разгромная статья» ученых из московского университета имМ.В. Ломоносова М.С.Сафонова и Н.М. Воскресенского[128]. Этиучёные от одномерной диффузионной модели в плёночныхаппаратах не оставляют камня на камне.Первая из их работ появилась в 1972 году [127], но не былазамечена из-за неожиданности их результатов. М.С. Сафоноврешая аналитически одномерное уравнение с коэффициентомпродольнго перемешивания нашёл, что этот коэффициентдолжен быть отрицательным!очень хорошо знал теоретическую литературу Этотрезультат поверг учёных мужей, занимающихся вопросамиматематического моделирования плёночных аппаратов всостояние лёгкого шока.Каждая школа исследователей посвоему реагировала нарезультаты университетских химиков.Единственное, что их объединяло - это понимание, чтодилетанским исследованиям наступает конец. То естьодномерным диффузионным моделям в плёночных аппаратах74

пришёл естественный конец. До этого времени многиеисследователи ощущали большие натяжки этой модели:1) изменение коэффициента массоотдачи по высотеаппарата (вслед за изменением движущей силыпроцесса из-за изменения парциального давления);2) необходимость принятия переменного по высотекоэффициента эффективной диффузии.Эти допущения многим исследователям казались большойнатяжкой.Какой вывод необходимо было сделать после полученияподобных новыхрезультатов?Вполне естественный вывод - прекратить использованиеплёночных одномерных моделей сэффективной диффузией в практике математическогомоделирования плёночных аппаратов.Именно это и сделано в следующем параграфе, гдерассматривается двумерная диффузионная модельплёночного выпарного аппарата.Но это ещё не решает вопрос, почему результатыэкспериментальных работ Валерия Чернышова привели ктакому заблуждению? Я могу только высказать своё частноемнение. Аспирант Чернышёв очень подробно изучиллитературу по перемешиванию (в основном иностранную) повопросам перемешивания. Школа Олевского, следуяпринципам продольного перемешивания, искалакоэффициенты этого перемешивания. Аспирант вынужденбыл их найти...Некий аналог можно найти и в литературе погидродинамике турбулентных течений.Один из западных журналов по гидродинамике попросилавторов экспериментальных работ прислать подтверждениясвоих результатов спустя 10 лет.Оказалось, что все авторы за этот промежуток временинашли какие-то ошибки в своих работах и поэтомуподтверждения не прислали. Ко мне обращались разныебывшие аспиранты с целью обработки их результатовспустя 6-9 лет.Когда они вновь просматривали свои работы, то находилив них ошибки.75

Самой простой ошибкой было то, что ваакумная аппаратуране была таковой.Признаться в подобных ошибках на страницах научныхжурналов у бльшинства ученых не хватало мужества.76

3.6. Моделирование плёночныхвыпарных аппаратов.В пункте 3.4 мы рассмотрели моделирование плёночныхаппаратов с простейшей однопараметрической диффузионноймоделью в жидкой фазе и без учёта полу-параболическогораспределения скоростей в плёнке жидкости.Здесь мы рассмотрим более сложную модель в жидкойфазе, которая учитывает гидродинамическую обстановку ваппарате (особенно в жидкой фазе). Сразу оговоримся, чтоавторство этой модели принадлежит М.Е. Иванову и И.Михельсону [97] .В обсуждении этой модели активное участие в 70-х годахпрошлого столетия принимал кандидат технических наук Ю.А.Соколинский.Отметим также, что в кандидатской диссертации МаркаЕфремовича Иванова впервые было чётко указано, чтопроцессы конденсации и испарения необходимо рассматриватьне только как массообменные процессы, но и как процессы,сопровождающиеся теплообменом.Ещё более это верно в случае процесса выпаркиминеральных удобрений. Ниже будет приведена двумернаямодель процесса доупаривания плава аммиачной селитры.Программа расчёта по этой модели принадлежит А.М.Вайнбергу [82].Наиболее целесообразно использование выпарныхаппаратов на конечной стадии. Доупаривания для полученияпрактически безводных плавов.Разница парциальных давлений паров воды надраствором и и в потоке газа обеспечивает движущую силупроцесса массопереноса при допустимых температурах иатмосферном давлении. Это позволяет отказаться от высокогоразряжения, необходимого для протекания процесса ввакуумных аппаратах.В плёночных выпарных аппаратах для производстваминеральных удобрений наиболее часто реализуется волновойрежим течения орошающей жидкости( Re ж= 100 -:- 400). Напомним, что значение числа Рейнольдсадля плёнки жидкости77

вычисляется по формуле Re ж= 4*L / , где L – плотностьорошения кг /м с:Итак, рассмотрим выпарной плёночный аппаратаммиачной селитры, где снизу внутрь труб подаётся воздух,сверху по внутренней поверхности стекает плав примерно 98 %аммиачной селитры, а в межтрубное пространство подаётсяострый пар приблизительно температурой 175 градусовцельсия.Трубы, по которым стекает плав имеют высоту 4-е метра, а ихвнутренний диаметр достигает 34 мм (0.034 м).Над верхней трубной доской находятся верхние частипатрубков, срезанные под острым углом, которые позволяютравномерно распределить плёнку плава повнутренней поверхности труб.Собранный под нижней трубной доской плав, направляетсязатем в лейки гранулятора для разбрызгивания почтиобезвоженного плава внутри грануляционной башни(гранбашни).Добавим, что сами выпарные аппараты находятся насамом верху гранбашни и этот процесс достаточно хорошоотработан. Хотя, при первых пусках один из аппаратов получилмощнейший гидродинамический удар, и его сорвало с 12стальных шпилек, толщиной 24 мм. и отбросило на расстояниеболее километра.Итак, рассмотрим более подробно новаторскиеэлементы математической модели процесса доупарки плавааммиачной селитры.Ниже мы приводим математическую модель,обозначения которой ясны из прилагаемого рисунка вПриложении В.За основу принимается ниже диффузионная модель,предполагающая, что коэффициент эффективной диффузиименяется в зависимости от расстояния до фазовой границы.Применимость этой модели для волнового теченияэкспериментально подтверждена авторами работы [120 ].Во первых в жидкой фазе (плёнке плава аммиачнойселитры ( NH 4NO 3), стекающей по внутренней поверхноститруб) принимается полупараболический профиль скорости,задаваемый уравнением:78

U(у) = 3 U [ у - 21 { у } 2 ], (3.6.1)гдеU 2= g sin( ) / 3 , =(0.75 2 1Re /g*sin( )) 3 . (3.6.2)Хотя мы рассматриваем математическую модельвыпарного аппарата, на рисунке приведен вариант стеканияплёнки по наклонной плоскости, где уголнаклона обозначен символом альфа .Будем полагать, осреднённый поток установившимсяплоским двумерным потоком с поверхностью раздела,соответствующей средней толщине плёнки , иучитывая также, что градиент температур и концентраций впродольном (вертикальном) направлении значительно меньше,чем в поперечном.Формула среднерасходной скорости стекающей плёнкивключает в себя синус угла наклона труб к поверхности земли. Вслучае вертикального расположения труб, синус угла ввыражении среднерасходной скорости и толщины плёнки нужноопустить, так как синус угла в 90 градусов равен единице.Уравнения переноса тепла и массы в плёнке жидкости дляволновой области гравитационно стекающей плёнки растворазапишутся таким образом:C C CU(y) - ( D m ) = (D ) +zz zy yD C+ +rR y ycf c(3.6.3)79

TU(y) -zA+R y ( a mzTy Tz T) = (A ) +y y+q /( c p ) (3.6.4)гдеD = D m+ D t; A = a m+ D t;f c= f(C).Напомним ещё раз, что z – вертикальная координата, а y –поперечная координата.Эта модель учитывает и химические реакции своимипоследними слагаемыми, которых нет в данном процесседоупарки стекающего плава. Поэтому последним слагаемыми вобоих уравнениях можно пренебречь.Как известно, при радиусе трубы R > 0.0125 м. вкладомвторого слагаемого вправых частях уравнений переноса (3.6.3) - (3.6.4) можнопренебречь [100-101].Отметим, что приведенная модель не является замкнутой втом смысле, что эти соотношения необходимо дополнитьвеличинами коэффициентов теплоотдачи от стенки к плёнкежидкости; условием непроницаемости стенки при переносемассы и балансом по парогазовому потоку: C (z, 0) = 0. (3.6.5)yДля полноты модели необходимо привести и граничноеусловие по теплопереносу:80

T- y1 (z, 0) = [T k- T (z, 0) ] (3.6.6)rcтНа поверхности раздела фаз ( между плёнкой плава ипарогазовым потоком) С-D (z, ) = г(P s- P пг) (3.6.7) Y(условие, устанавливающее равенство количества влаги,дифундирующей к поверхности раздела, количеству влаги,отводимой в парогазовый поток ) T- (z, ) = yг[ T(z , ) –dG- T пг] - r пгпdz12(3.6.8)Rn(условие, показывающее, что тепловой поток на поверхностипленки расходуется натеплообмен с парогазовым потоком и на испарение влаги; знак«минус» в правой частиобусловлен уменьшением веса парогазового потока внаправлении оси оz).На поверхности раздела фаз теплообмен имассообмен связаны уравнением равновесия:P = f (T s,C s). (3.6.9)Тепловой баланс парогазового потока для элементарногоучастка dF описывается уравнениемг[ T(z , ) - T пг] = c пг[ T(z , ) –- T пг]dG пгdz12RndT- G пгc пгпгdz12Rn. (3.6.10)81

Из материального баланса парогазового потока получаем-12RndG пг= г(P -P пг). (3.6.11)dzВ качестве начальных условий имеемT(0, y) = T 0; С (0, y) = C 0;G пг= G 0 пг ; T пг = T 0 пг . (3.6.12)Для определения эффективных значенийтемпературопроводности и диффузии Иванов и Михельсонвоспользовались результатами работ [120-121].К сожалению, в семидесятых годах не было принятоссылаться на великолепную монографию Левича [137], ввидутого, что он покинул СССР, но многие очень полезныерезультаты не потребовальсь бы открывать заново.Измерения показали, что при Re ж= 160 имеютсяпродольные и поперечныепульсации скорости. Однако приRe ж< 800 величина поверхностных пульсаций и коэффициенткорреляции продольных и поперечных пульсаций скоростеймалы, касательные напряжения Рейнольдса( t= - U ’ V _ dU’ = A t ) dyтакже малы и не влияют на распределение скоростей ( A t

U y y 2= 2 ( ) - ( ) ; ( 3.6.13)U = (3 24g1Re ж) 3 ; ( 3.6.14)Распределение коэффициента эффективной диффузии посредней толщине плёнки раствора в диапазоне чиселрейнольдса от 200 до 1600 указывает на существенныйвклад в массоперенос пульсаций скорости, обусловленныебольшими величинами диффузионных чисел прандтля Pr’ дляжидкостей.На стенке и на свободной поверхности плёнки принебольших числах Re жи отсутствии эффекта Марангони,коэффициент D эфпринимает значениеD мол . При этом нарасстоянии примерно 1 / 3 толщины плёнки от её свободнойповерхности D эф достигает максимального значения.Вышеизложенное дает основание записать следующиесоотношения:D эф(y) = D мол+ A т(y); (3.6.15)a эф= a мол+ A т(y); (3.6.16)Наличие затухающих пульсаций и то обстоятельство,что характер течения определяется молекулярной вязкостью,дают основание рассматривать волновуюплёнку как своеобразный ламинарный подслой.Исходя из такой картины процесса переноса была принята вработе М.Е. Иванова и И. Михельсона [97 ] физическая модельмеханизма переноса тепла и массы приволновом режиме течения плёнки доупариваемого раствора.Эти авторы предложили считать плёнку83

«двуслойным пирогом», точнее двумя смежными областями,одна из которых прилегаетк поверхности стенки трубы, а вторая прилегает к свободнойповерхности плёнки раствора. Предположив такое строениеплёнки, авторы работы [97] нашли путём дополнительныхрассуждений и вычислений две формулы, описывающиекоэффициент турбулентного обмена A тA п т55= 0.126 * * We 0 . ( - ) . 551 ; (3.6.17)A стт =0.351*10 3 * . 871 ; (3.6.18)где - безразмерная координата (расстояние от стенки).Необходимо напомнить, чтоэти данные получены в узкомдиапазоне параметров. Сопоставление с экспериментальнымиданными шло на промышленных аппаратах для доупариваниятолько 98 % плава аммиачной селитры.84

Часть 486

Часть 4. Нелинейные краевые задачи дляуравнений и систем уравнений в частныхпроизводных.4.0. Вместо введения.«Важно понять, что все реальные системы, как правило,открыты и нелинейны. И наоборот, закрытость и линейностьесть исключение из правила, чрезмерное, часто неправомерное,упрощение действительного положения дел». (Е.Н. Князева,академик С.П. Курдюмов).Весьма часто задачи нелинейного нестационарноготепло - и массопереноса возникают при расчёте физических ихимико – технологических процессов, протекающих в областисверхнизких и сверхвысоких температур и давлений.Другая область, которая порождает подобные задачи –проблемы химической и химико-технологическойпромышленности.Известно, что решение нелинейных начально-краевыхзадач - это одна из самых мало исследованных областейматематики. Нелинейный функциональный анализ в этойобласти пока отстаёт от практических задач и шагов,предпринимаемых отдельными практиками, решающимиподобные задачи, не дожидаясь готовых рецептов от научныхматематических кругов.Наибольшие успехи численной математики сделаныпока в области одномерных линейных нестационарных задач,так как они не требуют мощных вычислительных ресурсов ипозволяют обходиться обычными персональнымикомпьютерами (PC), а не «рабочими станциями».Двумерные нелинейные нестационарные начальнокраевыезадачи вот-вот будут массово решаться на рабочихстанциях с несколькими процессорами.Это, вероятно, должно нас радовать, так как появляетсяперспектива решения и трёхмерных линейных и нелинейныхнестационарных краевых задач.Решение линейных уравнений в частных производных,как правило, получается вполне предсказуемым и их иногдаможно получить аналитически (этими вопросами занимается87

область математики, которая называется «математическойфизикой»).В случае двумерного уравнения теплопроводностилинейная нестационарная задача описывает физическиожидаемое решение, выражающее остывание пластины илистержня в форме перетекания тепла от нагретого центра кхолодной периферии.Нелинейные уравнения, наоборот, могутдемонстрировать самые неожиданные решения, причем вподавляющем большинстве практических задач их можнополучить только численно, а никак не аналитически.В настоящей книге мы настоятельно и последовательнопропагандируем и применяем одну из предложенных намимодификаций метода Ньютона-Канторовича совместно сметодом «сеток», которую мы назвали методом «НКС».Кроме того, в качестве метода Ньютона-Канторовича мыиспользуем вычисление дифференциала Фреше, которыйокончательно уточняет наш аппарат решения проблемнелинейности. Применяемая нами методика решения задач снелинейностями позволяет ожидать квадратичную сходимостьприближённых решений к точному решению, если последнеевообще существует.Отметим одно важное обстоятельство. Математическийпакет «Mathcad» и пакет «Simple» C.В. Патанкара [112-113]практически единственно широко- доступные пакеты вбольшинстве российских и иностранных научных центрах,позволяют решать многие нелинейные задачи, но в нихизначально заложен медленно сходящийся метод Пикара. Этотметод сразу снижает ценность применения указанных вышепакетов программ. Удобство использования этихматематических пакетов не компенсирует потерю в скоростивычисления, так как скорость сходимости “пикаровских”приближёний решения к точному решению (если точноерешение вообще существует и эта сходимость вообще имеется)у метода Пикара является линейной, а метод НКС, как правило,даёт, вообще говоря, квадратичную сходимость приопределённых условиях.Отметим и такую, очевидную даже для новичков вещь,что одномерная нелинейная нестационарная задача проще врешении, чем решение нестационарной двумерной нелинейнойкраевой задачи, поскольку объём вычислений для реализации и88

установления адекватности алгоритма его численного решенияне так велик.Для многих рассматриваемых ниже процессовнаблюдается сильная зависимость коэффициентатеплопроводности от температуры (и, соответственно,коэффициента диффузии от концентрации), а в некоторыхслучаях и от градиента температуры (или градиентаконцентрации).Аналогичные изменения могут претерпевать удельнаятеплоёмкость и плотность вещества. Особенно сильнуюзависимость эти коэффициенты имеют в задачах Стефана и вплазме.Если, кроме того, в процессе наблюдается ещё иизменение агрегатного состояния вещества, то уравнениетеплопроводности приобретает другой вид (для случаяодномерного распределения температуры) [44].Пусть рассматривается уравнение теплопроводности: == –tWz+ Ф (z, t, T), (4.0.1)где = (z, t, T) - энергия,T / zа W = W (z, t, T, ) – тепловой поток, Ф – функцияисточников или стоков энергии, причём все три функциинелинейно зависят от T.Сразу оговоримся, что никакой однозначности решениянелинейных уравнений никто не гарантирует. Но, после того, какнелинейное уравнение каким либо образом заменяетсяалгебраическим уравнением в конечных разностях, решениепоследнего непременно сводится к единственному. Такимобразом, формальный переход к уравнению в конечныхразностях автоматически может привести к потере одного илинескольких решений нелинейного уравнения. Это говорит обочень важном вопросе.Формальный переход к конечно-разностному уравнению таит всебе очень важный математический парадокс (точнее ошибку) –возможную потерю некоторых решений.Поэтому переход к алгебраическому уравнению долженбыть как – то формально узаконен. Отметим ещё один важныймомент – каждое уравнение переноса выражает закон89

сохранения энергии или массы. Для таких уравнений, вообщеговоря, используются консервативные конечно-разностныесхемы, если это возможно.Подчеркнём, что переход по системе Ньютона-Канторовича таит в себе, как нам кажется, меньше опасности,чем произвольная линеаризация с использованием методасеток. Нам этот пункт кажется настолько важеным, что этозаслуживает, выделения его красным цветом.Отметим, что разговор о методе сеток вовсе не исключаетприменения метода «конечно-разностных элементов» или какихлибодругих подходов.Если тепловой поток линейно зависит от производной T / z и выполнен закон Фурье:W = – (z, t, T) T , (4.0.2.)zто приходим к квазилинейному уравнению теплопроводности сдивергентной главной частью:с v(z, t, T)Tt==(4.0.3.) T= [ (z, t, T) (z, t, T) ] + Ф (z, t, T),zzгдес v(z, t, T) , (z, t, T), (z, t, T) > 0.В неоднородных средах и при появлении области с другимагрегатным состоянием функцийс v, , и Ф ,90

могут даже быть разрывными (с разрывами первого и второгорода).Нелинейная зависимость коэффициента теплопроводности от температуры приводит к новым физическим явлениям [63] ,главным из которых является конечная скоростьраспространения тепла (температурная волна; смотри,например, [87]).Хорошо известное рассуждение о пропорциональноститеплового потока градиенту температур приводит кфеноменологическому закону Фурье, известному как уравнениетеплопроводностиTt= а 2 T. (4.0.4.)Уравнение (4.0.4.) хорошо описывает реальное изменениетемпературы, т.е. является в этом смысле адекватным вколичественном отношении.Кроме того, из него вытекает ряд следствий качественногохарактера, также правильно описывающих реальный процесс:сохранение количества тепла и выравнивание температуры приt в случае тепловой изоляции тела, асимптотическоедостижение температуры окружающей среды. А в случаелучеиспускания, невозможность концентрации температуры иосцилляций и т.д. Поэтому относительно этих утверждений,которые можно принять за основные, уравнениетеплопроводности (4.0.4.) является адекватным в качественномотношении.С другой стороны, хорошо известно, что из уравнения (4.0.4.)вытекает физически абсурдный вывод о бесконечной скоростираспространения тепла. Таким образом, если в качествеосновной характеристики процесса рассматривать скорость vраспространения тепла, уравнение (4.0.4.) как модель реальногопроцесса оказывается неадекватным не только вколичественном, но и в качественном отношении.Адекватную по новой характеристике модель можно получить,уточнив закон Фурье, учитывая инерционность молекул, котораяв уравнении (4.0.4.) была опущена.Это приводит к уравнению91

2 T T +2tt2B( < < A = )a= a2 T; (4.0.5.)где A и B - характерное время и длина в рассматриваемомпроцессе.Из (4.0.5.) получаем скорость распространения теплаv = B > > ,a Aэта скорость, как это и должно быть, является конечной. Длявопросов, указанных выше, полученная здесь поправканесущественна, и поэтому рассмотрение вместо (4.0.4.) болеесложного уравнения (4.0.5.) не оправдано.Аналогичные примеры можно найти во многих разделахнауки.Например, классическая модель атома Бора, котораяявляется неадекватной современным представлениям овнутренней структуре атома, с успехом применяется во многихразделах физики и химии.В этом же ряду стоят и уравнения Навье — Стокса, которыедостаточно редко используют в математических моделях, ввидусложности их решения.Процессы с изменением агрегатного состояния изначительным температурным градиентом широко применяютсяв химико-технологической промышленности.Например, экзотермический процесс кристаллизации плавааммиачной селитры, сопровождающийся нестационарнымтеплообменом при башенном гранулировании из расплавов,широко применяется при получении гранулированныхминеральных удобрений, шарообразных катализаторов,фармацевтических и пищевых продуктов.Для некоторых веществ, например, нитрата аммония(NH 4NO 3), процесс грануляции сопровождается несколькими92

полиморфными изменениями, также дающими определенныйвклад в процесс нестационарного охлаждения гранул.Процесс теплообмена осложняется нестационарнымхарактером движения капель – гранул в хладагенте, чтоприводит к переменному во времени осреднённомукоэффициенту теплоотдачи. Кроме того, меняются илокальные коэффициенты теплоотдачи, достигающиемаксимального значения в лобовой части частицы (гранулы) ирезко убывающие к кольцу отрыва воздушного потока. Так какотрывные течения наблюдаются для чисел Рейнольдсабольших 8, а движение капель – гранул происходит вдиапазоне102< Re " < 3.10 3 ,то важным является вопрос перераспределения температурныхполей при решении внутренней задачи теплообмена, а такжесвязанный с ним вопрос о характере вращения частичек (капель– гранул) во время движения в охладителе.Указанный процесс нестационарного несимметричноготеплообмена не нашёл пока достойного и полного отражения ивоплощения ни в учебной, ни в монографической литературе.Хотелось бы отметить ещё интересное направлениеисследований чл.-корр. РАН Курдюмова С.П. c соавторами [63].Одна из его работ «Режимы с обострением», проведенная сВ.А Галактионовым, А.П. Михайловым и академиком А.А.Самарским, внесла новую струю в исследование нелинейныхуравнений переноса.Под руководством С.П. Курдюмова были проведеныисследования лазерных термоядерных мишеней средствамивычислительного эксперимента.Курдюмов С.П. - специалист в области математическогомоделирования, задач математической физики ивычислительной математики, член-корреспондент РАН (1984 г.),автор и соавтор более 300 научных работ, опубликованных вРоссии и за рубежом.К сожалению, многие математические публикации вРоссии в настоящее время из соображений секретности закрыты93

и свободно ознакомиться с ними, по интернету пока непредставляется возможным.Е.Н. Князева и академик С.П.Курдюмов утверждают, что“ Нелинейный мир - это мир с иными, отличающимися отпривычных для классической науки закономерностями” (сайтакадемика С.П. Курдюмова – http://narod.ru ).Без сомнения, временная полоса шпиономании в Россиипройдёт, думается, навсегда. Научные работы опять появятся всвободном доступе, и нам будет интересно сравнитьполученные академиком С.П. Курдюмовым с сотрудникамирезультаты с предлагаемым нами методом НКС. Будемнадеяться, что следующая редакция этой монографии позволитнам сделать такое сравнение.Одной из интереснейших задач для квазилинейныхпараболических уравнений с источниками (стоками) явиласьзадача Колмогорова-Петровского-Пискунова 1 . Эта задачапосвящена анализу автомодельных решений указанныхуравнений. Это, прежде всего, решения типа «бегущей волны».С.П. Курдюмова интересовали вопросы неограниченногороста решений подобных задач в ограниченной области. Ясно,что эти вопросы связаны со специальными областями науки итехники.1 А.Н. Колмогоров, И.Г. Петровский, Н.С. Пискунов. Исследования уравнениядиффузии, соединённой с возрастанием количетва вещества. Бюл. МГУ-1937, т.1 № 6с1-2694

4.1. Задача Стефана.В 1889 г. польский математик Иван Стефан [134]поставил совершенно новую для математики задачу, гдекраевая задача дополняется ещё одним краевым условием наподвижной межфазовой границе (условие на движущемсяфронте кристаллизации (плавления)). Одновременно онопубликовал четыре разных по постановке физические задачи[134] , с дополнительным условием на движущемся фронте.Задача образования фронта льда рассматривалась(ставилась) Стефаном применительно к вопросу о промерзаниигрунта земли.Новая постановка задачи, сразу привлекла к себевнимание математиков и физиков. При постановке задачипредполагается, что все физико-химические свойства и, вособенности, плотность рассматриваемых фаз остаютсянеизменными. По–видимому, такое предположение сделанобыло абсолютно сознательно, чтобы упростить итак достаточносложную постановку задачи.За исключением простейших постановок, задача Стефанав общем случае не имеет решений в замкнутой аналитическойформе.Поэтому реальный интерес к подобным задачампоявился только с началом эры массового появлениякомпьюторов и методов численного решения краевых задач.Большое количество достаточно пространных статей на темучисленного расчёта задач «стефановского» типа [62] былоопубликовано Б. Буддаком, Ф. Васильевым и А.Б. Успенскимиз вычислительного центра МГУ СССР.Правда, их больше интересовали военные приложения этихвопросов. Например, сжигание металлов лазером и поэтомутрудно сравнить не достаточно подробно изложенные имиматериалы с предлагаемыми нами подходами алгоритма НКС.Определённое оживление в области численного решения«стефановских» задач произошло после появленияпредложенного С. Л. Каменномостской (аспирантки профессораО. А. Олейник) метода замены переменных [51-52],позволяющего все сложные проблемы решения задачиСтефана «перевалить» на более сложный (нелинейный) видкоэффициента теплопроводности. Такая замена переменных,предложенная в своё время Г. Р. Кирхгофом, позволяла перейти95

к новым переменным, в которых формулировка задач«стефановского» типа выглядела более удобным образом.Благодаря такой замене переменных исчезает дивергентноеслагаемое в уравнении теплопереноса. Оно простопропадает.С. Л. Каменомостская использовала в дополнение к заменепеременных Г. Р. Кирхгофа, метод «энтальпийного»размазывания теплоты кристаллизации с помощью δ – функцииДирака, превратив решение задачи Стефана в достаточнопонятную, хотя и не совсем простую процедуру вычислительнойматематики, правда, при этом результат получаем в другихпеременных и требуется возврат к старым, чтобы оценитьрезультаты.Ниже мы рассмотрим целый ряд постановок задачиСтефана применительно к разным технологическим процессами геометрически симметричным разным объектам.96

4.2. Нелинейные краевые задачи дляпроцессов с фазовыми превращениями принепрерывной кристаллизации в аппаратахфильерного типа.Нестационарные процессы тепло - и массопереноса приналичии фазовых и модификационных превращений находятширокое применение в химической, фармацевтической,пищевой, радиотехнической, текстильной, металлур -гической идругих отраслях промышленности.Не менее употребим технологический методкристаллизации из расплавов для получения полимерных нитей(капрон, нейлон и др.) и металлического микропровода ваппаратах фильерного типа. Кристаллизация одно- имногокомпонентных расплавов в формах и кристаллизаторах –это сложный процесс теплопереноса, который во многих случаяхсопровождается массопереносом, естественной и механическойконвекцией.Аппараты фильерного типа позволяют получатьметаллические нити драгоценных металлов для получения малокорродирующихся термопар.После продавливания через фильеру образуетсяпрактически идеальная цилиндрическая «нить», которая,охлаждаясь по мере движения, кристаллизуется.При создании аппаратов фильерного типа задачатеплообмена ставится следующим образом: необходимо найтивысоту (длину) аппарата, обеспечивающую на выходе заданнуюсреднерасходную температуру при принятой температуре плаваи хладагента при заданной нагрузке аппарата (G г/ G ж).В качестве достаточно обоснованного предположения втаких задачах [63] пренебрегают массообменном, конвекцией ирадиальной составляющей в уравнении переноса, так как числоБио мало и почти всё тепловое сопротивление сосредоточено вжидкой (твёрдой) фазе.В этом случае удаётся получить сравнительно простуюзадачу, которая в одномерной постановке (в системе координат,связанной с фильерой) запишется в виде:97

T Tс v+ vc=tz[ ж T -z0 z z 0(t);с vTt+ vc T =z= tT -zz 0 z H; T(0,t)= T 1(t);T″ (H, t) = T " 2(t); 2T пс- T″ , ( 4.2.1 )R c2T пс- T ″ , (4.2.2.)R cT[ zTz- [ z]z 0 | 0*= 0L ( v c+]z z 0 0=dz0( t)) ( 4.2.3 )dtОтметим, что символ H означает длину (высоту) аппарата.Тепловой баланс процесса запишем так:dTc p” G " " =dz= 2 R c ( T " - T пс) + K (T " - T bc). ( 4. 2.4 )В такой постановке удобно изучать вопросы влиянияфизических характеристик процесса на скорость кристаллизациитонких стержней (нитей) с малой величиной критерия Био. Таккак термическое сопротивление в этом случае сосредоточено вжидкой (твёрдой) фазе, то появляется возможностьиспользовать явление резонансной кристаллизации98

(температурного резонанса), когда темп падения температурыохлаждающей среды совпадает с темпом падения температурыв стержне.Резонансная кристаллизация даёт возможность ввестипроцесс в экстремальных условиях (при минимальном расходеэнергии).Задача (4.2.1) – (4.2.4) относится к динамическимзадачам Стефана, поэтому в граничное условие (4.2.3)входит член, учитывающий среднюю скорость движения нити.Приведенная постановка исправляет и уточняетпостановку задачи, приведенную в работе [63] (в этой работе неучтено изменение температуры охладителя и имеется ошибка впоследнем члене обоих уравнений (4.2.1) – (4.2.2)).99

4.3. Тепло - и массообмен при грануляциииз расплавов минеральных удобрений вгрануляционных башнях.Получение гранулированных продуктов путёмразбрызгивания перегретого расплава в жидкий илигазообразный хладагент - достаточно часто употребляемыйтехнологический процесс. Математическое моделированиетаких процессов приводит с точки зрения математики к задачамтипа Стефана.Процесс грануляции из расплавов в грануляционныхбашнях достаточно долго не находил отражение в литературе.Для этого было несколько причин – отсутствие достаточномощных ЭВМ и недостаток специалистов по МММ.Получение гранулированной аммиачной селитры(нитрата аммония) и мочевины в СССР было неразрывносвязано со стремлением получения высоких урожаев всельском хозяйстве. Поначалу казалось, что урожай колосовыхрастений почти пропорционален количеству внесенныхминеральных удобрений.Лишь спустя десятилетия, изучая американский опыт,специалисты в 70-х годах прошлого века пришли к печальномувыводу, что подкормка колосовых растений полезна растениямтолько в течение нескольких определённых часов.Однако в СССР ещё не были созданы современныеаппараты, позволяющие определять необходимые часыподкормки растений. Завоз соответствующих приборов из СШАв СССР представлялся слишком дорогим удовольствием. Крометого, в США подкормка растений производилась жидкимиминеральными удобрениями, а в СССР – гранулированными.Гранулированные минеральные удобрения завозились на поляПодмосковья абы как, иногда просто в осенний период нераспакованными Это автор монографии наблюдалсобственными глазами.Всё это говорит о том, что миллиарды тонн минеральныхудобрений были произведены в СССР не просто напрасно, а вовред экологическойситуации, так как отравляли подземные воды на громадныхтерриториях страны.100

В начале 70-х годов прошлого века в ГИАП былспроектирован и создан агрегат производства аммиачнойселитры АС-72, а затем и ещё более мощный агрегат AC-76 спроизводительностью 60 т/час.Этот агрегат должен был заменить устаревшие агрегатыАС-67 и АС-72 с низкой производительностью.Основой для определения параметров этогопроекта послужили результаты расчётов охлаждения аммиачнойселитры по программе, разработанной сотрудником ГИАП А.М.Вайнбергом [47].Сама постановка задачи (написание математическоймодели) принадлежала Марку Ефремовичу Иванову и егосотруднику Виктору Михайловичу Линдину.Задача была сформулирована и поставлена в 1967-1968 гг.В расчёте параметров этой гранбашни принималиучастие А.М.Вайнберг , К.М. Захарова, Виктор МихайловичЛиндин и Марк Ефремович Иванов.Как уже говорилось, алгоритм и программа расчёта быласоздана А.М. Вайнбергом [47].Оппонентом этих расчётов была Елена АлексеевнаКазакова.Её монографии [114 -115], предполагали, что всефазовые превращения в гранулах аммиачной селитры ужепроизошли. Таким образом, самую сложную часть расчёта(решение внутренней задачи теплопроводности) она простоопускала.В итоге, расчёт необходимой высоты гранбашни онаавтоматически превращала в лёгкое упражнение для студентов.Это допущение было вполне правомерно, так как ЕленаАлексеевна была в курсе наших расчётов [65, 109-109-е].Одним из достоинств (точнее удобств) при расчётепроцесса грануляции аммиачной селитры было наличиедостоверных данных о её физико-химических свойствах.Это резко отличало ситуацию с расчётом грануляциимочевины (CON 2H 4).Несколько позднее, примерно в 1975-1976 гг. А.М.Вайнбергом был проведен расчёт высоты гранбашни мочевины.Кроме того, им были проведены экспериментальныеисследования процесса охлаждения капель-гранул мочевинына созданной им же новой экспериментальной установке.101

Во время этих исследований выяснилось, что нет надёжныхданных по физико-химическим свойствам мочевины. Причёмошибки по физхим свойствам выходили за пределыдопустимого и перекочевали с ошибкой из правильных немецкихисточников в советские издания. Ошибочность физхим данныхмочевины требовала срочных дополнительных исследований,которые и были проведены в ГИАП в лаборатории профессораИ.Ф. Голубева.Поиск физико-химических (физхим) свойств мочевиныпривёл к потрясающим выводам [65], что они (физхим.свойства) практически ещё достоверно не изучены советскимиспециалистами.А.М. Вайнберг создал в 1975-1976 гг. опытнуюустановку для изучения процесса кристаллизации мочевины.Местоположение королька термопары фиксировалось двумяфотоаппаратами в двухперпендикулярных плоскостях одновременно. Капля расплавамочевины в этих экспериментах подвешивалась на сложнуюсистему из двух человеческих волосков и термопары палладий –золото - палладий. Эта установка впоследствииэксплуатировалась в течение 10 лет сотрудниками лабораторииМ.Е. Иванова.Одним из важных вопросов, связанных с расчетомкристаллизации гранул минеральных удобрений, являлосьпредположение о равнодоступности их поверхности, чтоозначало допущение правомерности использованиясимметричной математической модели гранул (в виде шара).Дебаты по этому поводу не умолкали в течение ряда лет«благодаря» усердным стараниям нашего постоянного грозногооппонента, дважды кандидата наук Е.А. Казаковой.Она даже построила опытную установку высотой 6метров, но на этой установке невозможнобыло достичь «скорости витания» крупных гранул и еёвозражения на этом этапе экспериментов прекратились.Наши доводы о равнодоступности гранул аммиачныхудобрений опирались на определённые аэродинамическиеисследования и аэродинамические соображения.Рассмотрим схематично процесс охлаждения икристаллизации из расплавов минеральных удобрений вгранбашнях.102

Ажурная высотная металлоконструкция поддерживаеттонкостенную листовую нержавеющую сталь - короб гранбашни,представляющий собой прямоугольник или круг в поперечномсечении.Рассмотрим подробнее диспергирование расплавааммиачной селитры в гранбашне. Из лейки гранулятора(статического или центробежного) под действием мощногогидростатического давления вылетают сотни струй перегретоговысококонцентрированного расплава аммиачной селитры.Отметим, что в центробежных грануляторах ещё используютсяи центробежные силы.Из лейки гранулятора вытекает ряд струй (примерно300-3000 струй) плава аммиачной селитры.Искусственная и естественная вибрация диспергатора,совместно с возникающими на поверхности струй капиллярнымиволнами, от потока встречного воздуха приводят к дроблениюструй на капли.Процесс отрыва капель от возмущённой свободнойповерхности струи происходит за счётдинамического воздействия окружающей газовой среды. Волнына поверхности струй, имеющие волновое число, меньшеенекоторого критического значения, оказываются неустойчивыми,следствием чего является рост их амплитуды и отрыв капель отгребней волн. Образующийся полидисперсный распыл имееткапли с широким спектром диаметров. Построенная Д.Релеем[68] линейная теория распада струй в широком диапазонетехнологических параметров диспергирования приводит кследующему соотношению между диаметром капель (d k) идиаметром струй(dc):d k 1.89 d с (4.3.1)Эта формула в дальнейшем уточнялась рядом исследователей(Вебером, Лышевским и т.д.). Согласно расчётам А.С.Лышевского [68], учёт сопротивления среды и физическихсвойств диспергируемого материала приводит к формуле:0,014d k 2,06d cexp(0,051*ρ*We)* Mf , (4.3.2)103

гдеMf = μ 2 ж / ρ ж *σ*d с ; ρ = ρ” / ρ ж . (4.3.3.)Более поздние исследования, использующие нелинейнуютеорию распада струй, показали, что дополнительнопоявляются капли - сателлиты значительно меньшего размера.После отрыва от струи, капля в течении одной - трёх секунддостигает скорости витания.В зависимости от размера капли и скорости охладителяскорость витания колеблется от 6 до 12 м / сек и более.Следствием этого является разное время пребываниякапель – гранул в аппарате (гранбашне).Рассмотрим схематично процесс тепломассообмена. Какправило, при кристаллизации веществ из расплавовтемпература плава на несколько градусов выше температурыкристаллизации вещества. Это делается для того, чтобы непроисходила кристаллизация в самих лейках гранулятора.Движение расплава в среде охладителя вызываетмеханическую внутреннюю конвекцию в струе и капле. Врезультате этого явления кондуктивный теплоперенос имассоперенос за счёт разности химических потенциаловдополняются механизмом конвективного тепломассопереноса.При понижении температуры диспергированной массыдо температуры кристаллизации, интенсивность механическойконвекции падает.При температуре струи выше 400 градусов Цельсия,необходимо учитывать радиационный перенос тепла от струирасплава.Дальнейшее охлаждение расплава приводит кпоявлению на его поверхности кристаллической модификации,которая по мере теплоотвода проникает всё дальше вглубькапли-гранулы. Движение фронта кристаллизациисопровождается выделением скрытой теплоты фазовогопревращения.Аналогичным образом протекают и модификационныепревращения кристаллической фазы, так как полиморфныеизменения являются реальной картиной при кристаллизацииплава аммиачной селитры.Скрытая теплота полиморфных изменений в гранулахаммиачной селитры не столь велика как при её кристаллизации.104

Как уже отмечалось выше, одновременно степлопередачей может происходить и транспорт массы(например, транспорт остаточной влаги в плаве от маточника(жидкой фазы-расплава) к поверхности кристаллическоймодификации и испарение её в парогазовый поток). Этоприводит к временной приостановке подвода тепланепосредственно к поверхности частицы за счётдополнительного охлаждения поверхности последней за счётиспарения.Процесс теплообмена осложняется нестационарнымхарактером движения капель - гранул в хладагенте, чтоприводит к переменному во времени осреднённомукоэффициенту теплоотдачи. Кроме того, меняются и локальныекоэффициентытеплоотдачи, достигающие максимального значения в лобовойчасти и резко убывающие к кольцу отрыва потока от каплигранулы.Так как отрывные течения наблюдаются уже длячисел Рейнольдса больше 8, а движение капель-гранулпроисходит в диапазоне10 2 < Re″ < 3* 10 3 ,то важным моментом является вопрос перераспределениятемпературных полей при решении внутренней задачитеплообмена, а такжесвязанный с ним вопрос о характере вращения капель-гранулво время движения в охладителе. Указанный процесснестационарного нессиметричного теплообмена не нашёл покаотражения ни в учебной ни в монографической литературе.Одним из спорных моментов при кристаллизации гранулявляется вопрос образования в грануле аммиачной селитрынекоторой выемки-полости. Первым в литературе на этоявление обратил внимание Курин, а затем Vernede [17-18].Автор работы [17] выдвинул гипотезу, что гранулы смалой выемкой получаются за счёт разности плотностей, абольшая полость связана с высоким перегревом плава. Причёмслишком большая полость образуется при большом диаметредюзов (отверстий) лейки гранулятора.Холин с сотрудниками [18] объясняет этот феноменусадкой материала, вследствие разности плотностей, а прорывв поверхности (большая каверна) – выдавливанием маточника105

через неокрепшую корочку частично закристаллизовавшейсягранулы.Дальнейшее развитие математической модели процессатеплопередачи в процессе кристаллизации гранул аммиачнойселитры шло именно в направлении учёта термическойусадочной раковины (в нашей терминологии).Гельперин с соавторами [117] , впервые изучил влияниеусадочной раковины на поле температур при решениивнутренней задачи. Наличие усадочной раковины допускалосьтолько по центру капли- гранулы.Расчеты этих авторов показали значительноерасхождение с данными, не учитывающими наличиетермической усадки. При этом, однако, модель не учитывалаконвективного переноса тепла за счёт движения границыусадочной раковины.Позднее, в диссертации А.Л. Тарана (МИТХТ)(сотрудника Гальперина) был впервые проведен расчётохлаждения капли-гранулы аммиачной селитры с учётомвлияния нессиметричного обтекания гранулы (а, следовательно,с переменным по поверхности локальным коэффициентомтеплоотдачи).К сожалению, мы не имеем возможности полностьюоценить вклад Александра Тарана в расчет башенногогранулирования минеральных удобрений, так как мы не знаем,были ли эти расчёты связаны с массовыми обсчётами гранул враспыле, или же это были одиночные расчёты без сведениябаланса по охлаждающей среде.Тем не менее, его вклад в вопрос несимметричногоохлаждения гранул несомненен. Отметим, что дальнейшеенаправление работ А.Л. Тарана пошло по созданию условийполучения гранулированных минеральных удобрений безтермической усадочной раковины (по нашему мнению, этоошибочное направление, как будет объяснено позже).Мы сейчас приведём полную математическую модельпроцесса башенной грануляции минеральных удобрений. Приизложении мы будем опираться на наши работы [44,109, 109-e] .Кроме того, в пятом пункте этой главы мы дадим общийподход к решению нелинейных краевых задач для уравненийпараболического типа.106

Рассмотрим один из центральных моментовпроизводства минеральных удобрений - процесс башенногогранулирования аммиачной селитры.Задача рассматривается в симметричной относительноцентра гранулы постановке в предположении, что применимоуравнение Фурье.Ниже приведена математическая постановка задачикристаллизации гранул аммиачной селитры вгранбашнях. Как уже было сказано выше, изложение ведётсясогласно работам [44,109], однако, из-за небрежностинаборщика во многих местах в формулах перепутаны буквы ииндексы и r.За это один из соавторов статьи [109 -109-e] из ТOXT, ВайнбергАлександр, вынужден принести свои глубочайшие извинения,но ему не были предоставлены для правки материалы гранокстатьи.В сферических координатах уравнение Фурье для каплигранулы(внутренняя задача) запишется следующим образом:c pT= T 2( ) +r r rTr(4.3.4.)граничные условия для теплоотдачи с поверхности гранулыимеют следующий вид:Tr R0= - ( Tп - T"), (4.3.5.)rпричём коэффициент теплоотдачи определяют по формуламдля конвективного теплообмена, например, для диапазона 200< Re < 3000, по формуле работы [45]0,6Nu" = 0.37(Re") (Pr")1/ 3. (4.3.6.)Здесь входящую в число Re" скорость движения гранулы вохлаждающей среде находят из системы уравнений движениягранулы:107

dm2x2ddm2y2d= (- 21 F v 2 ) x; (4.3.7.)= (- 21 F v 2 ) y+ m*g , (4.3.8.)где координата х соответствует горизонтальной координате, а y– вертикальной координате.Причём, согласно имеющимся в литературе данным [45], длятурбулентного и переходного режимов обтекания гранулкоэффициент сопротивления следует считать в первомслучае величиной постоянной, а во втором случае– величиной,зависящей от числа Рейнольдса по степенному закону типа0.6 = 18.5 (Re" ) .В центре гранулы необходимо принять краевое условие(симметричности охлаждения):Trr 0= 0. (4.3.9.)Необходимо напомнить, что при охлаждении аммиачнойселитры, вещества заведомо полиморфного, происходитнесколько фазовых превращений, а не только кристаллизацияиз расплава.На сферах r n, температуры которых достигли T n,соответствующего, фазовым превращениям между n-ой и (n+1)-ой модификациями, происходит тепловыделение, описываемоеуравнениями вида (4.3.10.) (при r = r n, T=T n= const ) :T rTrn0- rrn 0dr= L n n. (4.3.10.)d108

Уравнение теплового баланса гранулы и охлаждающей средына элементарном участке запишется в виде:R-- 4 r 2 п rrrn0 = c " p" V " 1 T” , (4.3.11.)и, соответственно на интервале (0, y пол) в виде:пол- 4 r 2 п c " pTr0" V " 1 ( T " вых - T " вх ) ,r rp0d = (4.3.12.)гдеV " 1 = 4 V" "g r 3 / 3G. (4.3.13.)Начальные условия процесса ( при = 0 )T(r, ) = f ( r ); v = v вх.Остановимся подробнее на вопросе о функции f (r). Дляслучая капель малых размеров, вещество которых достаточновязко и обладает относительно хорошей теплопроводностью,передачей тепла за счёт механической внутренней конвекцииможно пренебречь по сравнению с передачей теплатеплопроводностью.В этом случае (назовём его случаем I ) процесстеплоотдачи внутри капли (гранулы) резонно рассматривать какпроцесс, протекающий по описанному выше механизмунестационарного теплообмена.Возможен и противоположный случай (назовём егослучаем II), когда в капле преобладает перенос тепла за счётмеханической конвекции. В таком случае следуетпредварительно рассчитать начальную стадию процесса, прикоторой теплообмен внутри капель описывается уравнениями,учитывающими механическую конвекцию, например, аналогичномассообмену [48]109

Nu == 0.65 Pe . 50 ( 1+ / " 0.5)(4.3.14.)Такой расчёт должен вестись до того момента, когда за счёткристаллизации в грануле прекратится механическая конвекция.Оценки показывают, что влиянием тепловой конвекции вгрануле для обычных «типовых» условий можно пренебречь.Момент завершения начальной стадии затемпринимается за начало расчётов по схеме нестационарноготеплообмена, причём f (r ) в этот момент можно полагатьвеличиной постоянной, равной температуре кристаллизации.Возникает, однако, вопрос о том, при какой степеникристаллизации вещества капли её наружная поверхностьстанет достаточно прочной (жёсткой) и прекратитсямеханическая конвекция, возникающая за счёт касательныхнапряжений со стороны окружающей (охлаждающей) среды.В предельном случае достаточно сильной механическойконвекции можно полагать, что образующиеся на поверхностикристаллы распределяются по объёму гранулы.Пока объёмная концентрация кристаллов невелика,увеличение «эффективной» вязкости среды можно определитьпо известной [48] зависимостиКак видно из соотношения * = (1 + 5 / 2 ). (4.3.15.)(4.3.15.), внутренний теплообменпри этом практически остаётся неизменным. Однако, по мереувеличения должен наступить момент, когда начинаетсясильноевзаимодействие между отдельными кристаллами.Это явление должно проявиться при приближении кточке полного соприкосновения всех кристалликов. Какизвестно, при упаковке шаров такой точке соответствует = 0.5-0.6.Учитывая, однако, что форма кристаллов (дендритов) обычносущественно отличается от шаровой, а также то обстоятельство,что сильное взаимодействие между частицами должнонаступить несколько ранее их полного соприкосновения, можносчитать величину при этом явлении существенно меньшей,например, в первом приближении равной 0.3.110

Таким образом,до = 0.3 расчёт внутреннеготеплообмена следует проводить на основе зависимостей длямеханической конвекции (с учётом 0.3 доли скрытой теплотыкристаллизации), после чего его надо вести по схеменестационарного теплообмена, причём то, что в объёме гранулысодержится 0.3 части твёрдой фазы, можно учестьсоответствующим снижением скрытой теплоты кристаллизации(введением множителя, равного 0.7).Возможно протекание теплоотдачи в начальной стадии ипо смешанной схеме, совмещающей оба рассмотренных вышемеханизма.При этом представляется рациональным расчёттеплоотдачи вести по схеме нестационарного теплообмена сзаменой на величину эф, включающую в себядополнительный конвективный перенос тепла в виде эф= + кон ;добавочная величина кон должна определятьсяиз сопоставления результатов эксперимента и расчётныхданных.При решении поставленной задачи представляет интереснахождение пространственного и временного распределениятемператур в грануле. Кроме того, имеется одна характернаявеличиной, то во втором случае её следует считать известной, аискомым становится соотношение величина, представляющая ипрактический интерес – адиабатическая температура, то есть татемпература, которая установится в грануле после еёадиабатического термостатирования. Адиабатическаятемпература может быть не равна температуре фазового илимодификационного превращения или равна одной из этихтемператур.Если в первом случае адиабатическая температуранеизвестна и является искомой между массами двухмодификаций (или фаз), получающихся после адиабатическоготермостатирования.Согласно сказанному, из уравнений теплового балансаполучим для случая (I)T a= T +mc p1 n snc(m n nk 0kaL k) – m 111k 0L k]; (4.3.16.)

Для случая (II) получаем следующее соотношениеm a=mn+ snccp( T - Ta) +La( mm n nk 0LLkaka) - k 0LLka(4.3.17.)Сформулированная выше задача относится к классунелинейных краевых задач (или задач со слабой нелинейностьюпо О.А. Ладыженской [50] ) стефановского типа.Из имеющихся приближённых методов решения подобныхзадач с помощью вычислительных машин наиболее общим иэффективным является метод, основанный на конечноразностнойаппроксимации исходной системы, после введенияфункции удельного теплосодержания (энтальпии). Этот подходоснован на замене переменных, предложенной когда-то Г.Р.Кирхгофом, а позже использованным в своём алгоритме С. Л.Каменомостской [51-52].ОбозначимTU (T ) = ( t ) dt. (4.3.18.)T 0Тогда уравнение (4.3.4.) можно записать в виде2U U = a (2 r+2rUr) , (4.3.19.)гдеa = / c p .Последнее уравнение (4.3.19.) с условием Стефанаэквивалентно уравнению:2J U =2 r+2rU, (4.3.20.)r112

где функция удельного теплосодержания J записываетсяследующим образом:J ( U ) = UU 0n1 + ak k0L k (t - U k) dt , (4.3.21.)а (t - U k) – дельта функция Дирака.J ( U ) при U k= U( T k) где ( k=0,1,2,…, k 0) имеет разрывыпервого рода, а её производная по U при U = U kобращается вбесконечность.Это обстоятельство затрудняет непосредственное применениек уравнению (4.3.20.) разностных схем на равномерной сетке,поэтому целесообразно предварительно выполнитьсглаживание функции J(U). Можно провести сглаживаниефункции нулевого порядка наклонным отрезком илисглаживание сопрягающимися дугами кривых [53].Сглаженную функцию обозначимчерез (U). Винтервалах сглаживания = ( U k- , U k+ ), где - достаточно малые числа,потребуем выполнения условия нормировкиv U ) du J (U ) du(. (4.3.22.)В целях упрощения аппроксимации уравнения(4.3.20.) при численном решении задачи проведём ещё однузамену переменныхG = u*r, (4.3.23.)тогда уравнение (4.3.20.) после линеаризации (4.3.21.)запишется так113

s G = s s 12 G -2 r 1s1c (sG+sG ), (4.3.24.)где s = s s= 1/ ( G ( G ,r)) ;rsc = s s sG ( G ,r)rrG s, (4.3.25.)(s =0,1,2,…), s – номер последовательного приближения.Краевые условия при этом запишутся в видеs G1 00rr=s 1 r rп0= 1s1G (h, ) / h; (4.3.26.)GrG ( r,0) ( ) = [U(f ( r ) )], (4.3.28.)rгде 1= 1 / r,2s1G + 2; (4.3.27.) = - ' S 1sv ( G -114G ) + T", (u) – функция, обратная функции u =u(T). Существованиефункции ( u ) следует из монотонности функции u ( T ).Сформулированная выше задача (4.3.24.) - (4.3.28.)является линейной краевой задачей для уравненияпараболического типа. Для её численного решения должнабыть проведена дискретизация, состоящая в замене функций иих производных приближенными значениями в областиопределения задачи.Эта область разбивается равномерно (или нет) точками- называемыми координатами построенной сетки.Для аппроксимации искомых функций и её производных можетбыть использована явная или неявная разностная

итерационная схема, например, следующая неявнаядвухслойная итерационная схема на четырёхточечномсимметричном шаблоне, где производная по времениаппроксимируется разностью «вперёд», а производные попространству-центральными разностями :2h (s1zj1i-sz ji) = (где оператор имеет вид:s1z ) + h 2 lscj1i, (4.3.29.) (s1z ) = jl ( z 1 1i- 2z j1ji+ z 1i 1) - h 2 l *cz j1i;1 i N 1- 1; 0 j N 2;s1zj10=2 / ( 2 s l +1 );l – шаг сетки по временной координате; h – шаг сетки попространственной координате. Построение пространственнойсетки рассмотрено в пункте 4.5.Решение полученной системы линейных алгебраическихуравнений проводится методом «прогонки», о котором ужеговорилось выше. В современной литературе этот метод такженазывается методом факторизации [143].Напомним, что метод «прогонки» применяется для решениясистемы уравнений с «трёхдиагональной» матрицей.«Трёхдиагональной» матрицей называют матрицуследующего вида:115,

где отличные от нуля значения располагаются на главнойдиагонали матрицы и 2 – х ближайших к ней. Метод оченьэкономичен с точки зрения количества вычислений ивычислительно устойчив при определённых условиях [143].Для решения такой системы видаили, что то - же самое,используется метод прогонки 2 , называемый также методомфакторизации, основанный на важном предположении, чтоискомые неизвестные связаны рекуррентным соотношением:, где .Альфа и бета - называются «прогоночными»коэффициентами.Используя краевые условия, находят сначала «нулевые»«прогоночные» коэффициенты а затем все остальныекоэффициенты по указанной выше рекуррентной формуле.Затем, когда «прогоночные» коэффициенты найдены,начинают обратную «прогонку» - то есть вычисляют искомуюфункцию x i, используя найденные «прогоночные»коэффициенты.2 Костомаров Д.П., Фаворский А.П. Вводные лекции почисленным методам. ФИЗМАТЛИТ, 2006, с.184116

4.4. Обобщение задачи Стефана.В начале этой главы мы рассказали о математике И.Стефане, который внёс громадный вклад в постановку задач снелинейными краевыми условиями на движущихся внутреннихфронтах кристаллизации или фильтрации.При этом Иван Стефан, автор постановки таких задач, ядумаю, вполне осознанно предположил, что физико-химическиесвойства фаз постоянны.Главное в этом предположении, что плотности фазодинаковы. На самом деле это не просто не очень точно, а вреальных процессах совсем не так.Эксперименты показывают, что в полностьюохлаждённых гранулах аммиачной селитры радиус усадочнойраковины в среднем равен половине радиуса самой гранулы.Этот парадоксальный результат поначалу очень удивилисследователей.Однако оказалось, что эта каверна оказывает на теплообменвлияние совсем не столь значительное, как предполагалинекоторые исследователи (такие, например, как Е.А. Казакова иА. Таран).Это объясняется тем, что объём каверны (усадочной раковины)является одной восьмой от объёма капли-гранулы, атеплоёмкость тела пропорциональна его объёму.Это, например, мгновенно разглядел профессор Тель -Авивского университета А. Воронель.Поэтому, учитывая движение границы маточногораствора к поверхности гранулы , эта ошибка ориентировочносоставляет чуть больше 10-12 %, которые несёт в себе простоучёт вклада объёма усадочной раковины и одновременнорасширение усадочной полости.В нашей работе [57] приведена постановка задачикристаллизации гранул в случае образования усадочнойраковины в её центре. Как и в пункте 4.3. будем считать картинупроцесса известной. Вначале поверхностный слой капли за счёттеплообмена охлаждается до температуры кристаллизации.После кристаллизации в поверхностном слое образуютсякристаллы-дендриты. Поэтому такой пористый кристалл за счёткаппилярных сил подтягивает расплав (маточный раствор) к117

поверхности закристаллизовавшейся капли- гранулы - точнее кповерхности шарика-гранулы ( полу - шар, полу - капля).В конце концов, твёрдая корочка поверхности становитсянепроницаемой для расплава, а следующая частьприповерхностного слоя тоже кристаллизуется и начинает посвоим порам подтягивать расплав. В результате, где-то внутригранулы образуется усадочная раковина, представляющая дляпростоты полый шар, наполненный горячим газом.Для простоты также предположим, что и сама каплярасплава тоже представляет собой каплю-шар с внутреннейполостью. Процесс охлаждения заканчивается, когда полыйшарик полностью закристаллизуется. Будем полагать, что фронткристаллизации выделяет тепло, согласно модели Стефана.Уравнение охлаждения поверхностного слоя капли всферических координатах запишется, как и раннееc pT = ( r T 2 ) + r r T , (4.4.1.)rздесь все теплофизические характеристики соответствуют либожидкой, либо твёрдой фазе.Когда проходит фронт кристаллизации, то на фронтекристаллизации принимаем условие Стефана:T rTrn0- rrn 0 = L n (dr n) . (4.4.2.)dТеперь нам надо отразить движение плава внутрькристаллической структуры: r 2dr = 2 RpddR pdилиdr (r, ) = (R p/ r) 2ddR p, (4.4.3.)dГде - локальная скорость движения плава к фронтукристаллизации,r - текущий радиус произвольной точки плава,118

- время.На поверхности термической полости, по – видимому, нужнозадать условиеdR{ tL+[c t(T 0)- c ж(T 0)] T 0} 0 - c ж(T 0) T 0 (R 0, ) =d(4.4.4.)= ж(P )T( Pr )- t(P )T( Prгде символ P cоответствует поверхности усадочной раковины, аверхний символ соответствует минимальному увеличению илиуменьшению значения этой величины.Величины коэффициентов ,с, -теплопроводность, объёмнаятеплоёмкость и плотность соответственно.Соотношение между радиусом полости (усадочной раковиной) ирадиусом первоначальной капли можно вычислить изследующих соображений: жVкап. нач= жV ж+ tV t; (4.4.5.) ),из этого соотношения получаем текущий радиус усадочнойраковины:R ур= R3к(1 )./ t, (4.4.6.) ж.где V –объём, R 0- расстояние от центра до фронтакристаллизации,R ур - радиус усадочной раковины.Для предельного случая, когда заканчиваетсякристаллизация гранулы, формула (4.4.6.) принимает вид :119

R ур= R k1 (ж / т) (4.4.7.)При этои физическая картина кристаллизации капли плава нампредставляется следующим образом. Вместо капли расплаваосталась твёрдая оболочка и по центру – усадочная раковина состаточными парами. Более подробно система обсуждается в[45].120

4.5. Решение нелинейных краевых задачдля уравнений параболического типаметодом НКС.Выше мы рассматривали метод Ньютона-Канторовича,применяемый для решения нелинейных уравнений совместно сметодом сеток, или, как мы его назвали, метод (алгоритм) НКС.Мы рассмотрим применение НКС к достаточно общейнелинейной задаче, которая возникает в задачах переносатепла и массы. При этом, будем исходить из того, что всекоэффициенты позволяют считать само уравнение уравнениемпараболического типа: ( , x,u)u = F ( , x , u , y 1,…,y n ,,q 1,…, q n),(4.5.1.)где u ( , x ) – неизвестная функция и x = { x i} E n ;2 2y i= u / x; q i= u / x ;0< ( , x,u), I = 1,…Пусть F нелинейная функция, непрерывная со своимипроизводными F / u , F / y и F / qi.Используя предлагаемый нами метод линеаризации(НКС), базирующийся на чисто формальном вычислениидифференциала Фреше [14, 55-56] применительно куравнению (4.5.1.), получим линейное уравнениепараболического типа (второго порядка относительно«сеточных» значений искомой функции u s 1).В итоге получим следующее линеаризованное уравнение:s us+ [su us- F s s1s] [ u - u ] -121

n F- yi 1si( y s i1- y s in F) - qi 1si( q s i1- q s i) -(4.5.2.)sF = 0,индекс s - номер итерации, указывающий, что, что даннаяфункция вычисляется приsu = u (s = 0, 1, 2, …).Если предположим, что символ (тау) соответствуетвремени, то это будет означать, что неизвестная функциявычисляется на предыдущем временном слое. При этом вкачестве начального приближения берётся начальное условиекраевой задачи.Таким образом, исходная нелинейная краевая задача дляуравнения (4.5.1.) редуцирована к линейной краевой задачедля уравнения (4.5.2.). Конечно, при этом предполагается, чтокраевые условия при необходимости линеаризованы таким жепутём.(Под необходимостью подразумевается наличие нелинейности вкраевых условиях).Cделаем небольшое отступление для пояснения методавычисления дифференциала Фреше нелинейного оператора.Рассмотрим более подробно процесс нахождениядифференциала Фреше для весьма простогодифференциального оператора с дивергентной правой частью:u = ( k(u)xux) ; (4.5.3.)Если читатель заглянет в предметный указатель этоймонографии, то увидит, что вычисление дифференциала Фрешенелинейного оператора столь же просто, сколь простовычисление дифференциала функции в обычномматематическом анализе, следовательно, под силу практическилюбому второкурснику (см. примеры в [108] ).Итак, повторяя главу 2, запишем процесс Ньютона-Канторовича для достаточно простого нелинейного уравнения(4.5.3):122

P ( u s ) ( u s1- u s ) = -P(u s ), (4.5.4)гдеs – номер последовательного приближения.Вычислим теперь дифференциал Фреше оператораu uP(u) = - ( k(u) xx}; (4.5.5)Для простоты, начально-краевые условия мы здесьопустим.Если мы найдём решение задачи (4.5.4), то это будетприближённым решением задачи (4.5.3.).То же самое можно сказать и о предыдущих уравнениях.Если мы найдём решение задачи (4.5.2.), то это будетприближённым решением задачи (4.5.1.). Формальноевычисление дифференциала Фреше оператораточке u =su связано с вычислением пределаP ( u ) h вP ( u ) h = lim { 1гдеh = 0 [P(u+ h ) - P(u)] }, (4.5.6.)s1s su (x,t) - u (x,t); u = u .Используя при вычислении предела элементарныеприёмы математического анализа и подставляя найденныйдифференциал Фреше в уравнение (4.5.4.), будем иметь(отметим только, что частные производные функций независящих от переменной, по которой мы дифференцируем,будут равны нулю):su 1 -ts[ kxsu 1 ] – (xuk sxu s)su 1 +x(4.5.7.)123

+u2k s2[xu s] 2 s1s( u - u )Мы не будем останавливаться на сложнейших и ещё недостаточно исследованных вопросах (ещё не имеющих покаокончательного ответа), при каких условиях это будет так.Это проблема нелинейного функционального анализа инам хочется надеяться, что это время не за горами.Рассмотрим более подробно НКС алгоритм для чутьболее сложной задачи, чем задача (4.5.3), и болееупотребительного нелинейного одномерного нестационарногоуравнения переноса вида ( Q)гдеu =Q= ( , x, u ); ( ( (Q)x Q) > 0. u m ( )) +xxQux+ (Q), (4.5.6.)Уравнением (4.5.6.) можно описать целый ряд процессовпереноса в нелинейных и анизотропных средах в телах сосферической симметрией (m = 2), цилиндрической симметрией(m = 1) и плоской (m = 0) симметрией.Обратим Ваше внимание и на последнее слагаемое вуравнении (4.5.6.). Это слагаемое часто называют вматематической литературе функцией источникав или стоков.Применяя к (4.5.3.) метод НКС, получим линейноеуравнение параболического типа без дивергентной главнойчасти: (а это уже значительно упрощает вопросы численнойаппроксимации на вводимой разностной сетке). s u1s 1 u s1+ N+ Mx2u-2xs1u = G, (4.5.7.)124

где N = -2 uG = um - - ; xx x u ( ) 2 +Mu;u x2 u uv- [ +2u u xx 2 u+ ] -ux x2 u--2 .u xuM = +uОбратим внимание, что коэффициенты N, M, G и вычисляются с использованием значения функции u на s-ойsитерации, т.е. с использованием значений u .Если коэффициент зависит только от u, то есть ( u ),то более компактное, (а следовательно требующее меньшегоколичества вычислений) линеаризованное уравнениеполучается после предварительной замены переменных –подстановки Г.Р. Кирхгофа.Положимuv = k * (f ) df, k * = 1 / ( 0 ). (4.5.8.)0Подставляя (4.5.5.) в уравнение (4.5.3.), получим уравнение внедивергентной форме:2v v= b ( , x, v )2x+ g ( , x,v,p ), (4.5.9.)Гдеb = (u ) / ; p = v / x; g = b [k * + mp / x]; ( ,x, v ) = ( , x, u ).125

Применяя к (4.5.9.) предложенный нами метод НКС,получим следующие соотношенияL (v s 1) - W (v s ) = 0 (4.5.10.)гдеL (v s 1) = bx2 1v s 2+gpv s1+ Tv 1xs -vs1;W ( v s ) = - g +T=bv2 v+2xqp + Tv s ;p g ,vпричём значения b, p, g, q, b / v , g / v , q / pвычисляются на s –той итерации.Численное решение полученных линейных уравнений ссоответствующими краевыми условиями проводятся с помощьюдискретизации.Используемый при этом метод сеток нашёл широкоераспространение при решении задач тепло – массопереноса вобластях с простыми границами.Для применения метода сеток в расчётной областивводится сетка (в общем случае неравномерная) :hl= h l;h= { x i, x 0< …< x N 1= x k, h i= x i- x i 1};l= { j, 0< . . .< N 2= k,lj=j-j1 },с шагами по пространственной координате xтак, чтобы граничные узлы сетки hlи по времени 126

( i=0, i=N1, j = 0, j = N2) совпали с границами расчётнойобласти.Вместо функции непрерывного аргумента рассматриваютсясеточные функции, определённые в узлах рассматриваемойсетки . Аппроксимация производных может проводиться наhlразличных шаблонах с помощью разнообразных формул.Для численного решения задачи мы использовалипростейшую аппроксимацию на равномерной сетке начетырёхточечном шаблоне с использованием «неявной»схемы, причём производные по времени аппроксимировалисьразностью «вперёд», а остальные производные – центральнымиразностями. Все расчёты производились на ЭВМ IBM 370 / 148,а позднее на персональных компьютерах типа PC-286 и PC-386.Отметим, что алгоритм с заменой переменных (4.5.5.)можно использовать и в том случае, когда интеграл невыражается через элементарные функции [76]. В этом случаеподынтегральная функция может быть аппроксимированакусочно-линейной непрерывной функцией. Счётные формулыдля этого случая подробно даны в работе [76].Отметим только, что при интегрировании кусочно-линейнойфункции появляются параболы и выбор «улыбающейся»параболы или «плачущей» даётся формулой в работе[76].127

4.6. Сорбция окислов азота намелкопористом гранулированномселикагеле.Ещё более значительный рост нелинейности вкоэффициентах переноса, чем в задачах с меняющимсяфазовым состоянием веществ, встречается в некоторыхзадачах нестационарного массопереноса. Такие задачивозникают при математическом моделировании адсорбционныхпроцессов, протекающих на единичных зёрнах или в слоесорбента, где коэффициент эффективной диффузии в порахможет меняться более чем напорядок.Хотя этот факт достаточно известен, и данные поизменению эффективных коэффициентов диффузии имеются влитературе, но до сих пор модели с нелинейнымиэффективными коэффициентами диффузии не нашлиприменения в процессах адсорбции и заменяются болеегрубыми, упрощёнными математическими моделями.В связи с форсированным решением проблемы борьбы сзагрязнением атмосферы ставится задача тонкой очисткинитрозных (и других газов) в неподвижном и / илипсевдонеподвижном слое сорбента.Необходимым элементом расчёта такого процессаявляется изучение динамики сорбции единичным зёрном.Имеющиеся в литературе данные по статике и динамикесорбции нитрозных газов [70-74], позволяют построитьсоответствующую математическую модель.Применительно к модели адсорбции двуокиси азотаединичным зерном силикагеля такая модель была предложенаРусланом Зураховичем. Хитерером (ГИАП).в 1975 году и быларешена в 1976 г. Вайнбергом А.М.Пористая структура мелкопористого силикагелядостаточно однородна и хорошо изучена [73]. Используяпонятие эквивалентного коэффициента диффузии D эквазигомогенного зерна, распределение концентраций порадиусу частицы со временем при сорбции на сферическомзерне запишем так:128

( a c)t= [ D эr c ]r+r2 D э c , ( 4.6.1.)rгде а = а (с, ) – концентрация NO 2в сорбенте, с –концентрация NO 2в газовой фазе, r – текущий радиус, D э =D э (с, ) – эквивалентный коэффициент диффузии,- плотность распределения объёмов пор по размерам.Эффективный коэффициент диффузиив кнудсеновскойобласти для модели квазигомогенного зерна имеет вид D =D k / k 2 , где - порозность глобул внутри частицы,4D k = ( 2R 4T / ( M(c,T) ) ), ( 4.6.2.)3k – коэффициент извилистости. При протекании процессапервоначальный радиус капилляра изменяется за счёт сорбциичастиц N 2O 4на поверхности капилляра.Текущий радиус капилляра может быть представлензависимостью3a(c) = ( - ) 10 10м. ( 4.6.3.)0.38Учитывая текущую порозность глобул в зерне с капиллярами ипринимая во внимание то, что максимум на кривойраспределения пор по размерам приходится на поры радиусом 11 * 1010м, причём около 20% пор приходитсяна переходные поры размером от ( 20 до 60) * 10 10м, аминимальный размер пор 8* 10 10м,129

в первом приближении получаем следующую зависимость дляэквивалентного коэффициента диффузии:D э = 0,8 D I + 0,2 D II ,гдеD I - соответствует порам размером 11 * 10 10- соответствует порам размером40* 10 10м.м, а D IIВ качестве граничных условий ( предполагая отсутствиевнешнедиффузионного торможения) берутся следующие:с ( R п, t) = c 0; [ с ] rr 0= 0, ( 4.6.4.)а в качестве начального условия возьмём для зерна, свободногов начальный момент времени от окислов азота:с ( r,0 ) = 0. ( 4.6.5.)Проведенный на компьютере численный анализ приведеннойматематической модели, представленной уравнениями ( 4.6.1.) -( 4.6.5.), показал высокую параметрическую чувствительность кизменению D э и лишь учёт реального распределения пор поразмерам позволил получить надёжное совпадение расчётных иопытных данных [72]..Отметим также, что в расчётах использовалась изотермаленгмюровского типа.130

4.7. Решение уравненияБюргерса.Рассмотрим движение кинематической волны дляпростейшего уравнения Навье – Стокса – уравнения Бюргерса.Это одно из простейших уравнений, отражающих эффектынелинейной конвекции и диффузии.Оно встречается в многочисленных приложениях, атакже используется для тестирования численных алгоритмов 3 .Последнее объясняется тем, что задача Коши для уравненияБюргерса с ограниченным начальным условием имеетаналитическое решение.Этот результат независимо друг от друга получилиКоул и Хопф 4Итак рассмотрим решение задачи Коши для уравненияБюргерсаu + гux1= Re2 u. (4.7.1.)2xЭто одно из немногих содержательных нелинейныхуравнений переноса, для которого известно точное решениезадачи Коши. Нелинейной заменой переменных [78-79]2 1 yu = - . (4.7.2.)Re y x3 Андерсон Д., Танненхил Дж., Плетчер Р. Вычислительнаягидромеханика и теплообмен. В 2-х т.Т.1 – М. Мир, 1990. 384 с.Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина.М. Мир, 1988. 352 с.4 Cole J.D. On a quasilinear parabolic equation occurring inaerodinamics. Q.Appl.Math. 1951. V.9p.225.Hopf E. The partial differential equation u t+ uu x= u xx.Comm.PureAppl.Math 1950/ V 3,p201131

Уравнение (4.7.1.) приводится к линейному уравнениютеплопроводностиy 1 = Re2 y. (4.7.3.)2xРешение этого линейного уравнения хорошо известно.Поэтому для начального условия u (0,x) = (x) решение (4.7.1.)будет иметь вид:u e( , x) = [ где[ exp(x G Reexp(- ) d ] / 2G Re) d ], (4.7.4.)2G ( ,x, ) =( ) d +0( x )22. (4.7.5.)верхний предел в последнем соотношении y = .Также относится и ко второму слагаемому.В качестве тестовой рассмотрим задачу с разрывныминачальным условиемu ( 0, x ) = { 0 при x > 0 ; (4.7.6.)и 1 при x 0; }которая соответствует физической задаче распространенияударной волны с учётом диссипативного вязкого процесса.Точное решение задач (4.7.1.), (4.7.6.) в соответствии с (4.7.4.)имеет вид [80]u e= 1 / (1 + h exp{ Re(x- t/ 2) /2} (4.7.7.)гдеh = erfc(-x / q) / (erfc((x-t) / q),132

q =4t / Re ,00erfc(z) = exp( 2 ) d .z(4.7.8.)Приложение – Глава 5 – демонстрирует сравнение результатачисленного расчёта с аналитическим решением задачиБюргерса.Из первого рисунка по задаче Бюргерса видно, чточисленное решение правильно отслеживает движение фронтаударной волны. Для сравнительно малых значений Reмаксимальная погрешность невелика, также как и для Re =100вне фронта волны.При Re =100 на коротком участке за фронтом волны возникаютосцилляции (второй рисунок по задаче Бюргерса),увеличивающиеся со временем.Это характерное явление при использовании аппроксимациивторого порядка для конвективных членов.Аналогичный эффект возникает и при других подходах,например, при использовании метода Галёркина (см. ссылку накнигу Флетчера).Простое уменьшение порядка аппроксимации конвективногочлена к успеху не приводит из-за слишком большого увеличениясхемной вязкости.Проводились исследования с использованием разностейпротив потока на предыдущем слое итераций. Как и следовалоожидать, фронт сильно размазан и погрешность велика.Поэтому для подавления осцилляций, возникающих прибольших числах Рейнольдса, надо использовать другиесредства. К ним относятся, например, измельчение сетки врайоне ударной волны или использование в методе Ньютона-Канторовича разностных схем с переменным порядкомаппроксимации конвективных членов, как советуютРихтмайер и Мортон [87].133

4.8. Постановка обратных задач длянестационарных процессов теплообмена.(Расчёт кипящего слоя)По целому ряду причин в последние десятилетияпрошлого века в научной литературе проявился интерес крешению обратных задач. Например, в монографии Власова иШаталова [81], предложены были не только методы, но итехнические устройства сбора данных для восстановлениякоэффициентов тепломассопереноса. Предложенные вмонографии методы позволяют определить неизменныепараметры (теплофизические константы) без нарушенияцелостности самого исследуемого объекта.Рассмотрим постановку одной из подобных задачприменительно к вопросам охлаждения закристаллизовавшихсяГранул в двойном кипящем слое. Рассмотрим уравнениепараболического типаа i(r,t,u i)u it-2u i2r+ b i(r,t,u i)u ir+ c i(r,t) **(u i- u 0) , (4.8.1.)при(r,t) D i= { x i 1(t) r x i(t) ; 0 < t < T}; i= 1,2; =2,3;2 (x(t),t) dx i = ui 1( x ( t),t ) u i- i(x i(t),t)dt rrи пусть, наконец, x i(t) – граница раздела фаз, причём2а i > 0, с i> - , с i(r,0) 0;предположим также, что b iи c i- ограничены в промежуткеr [0,M] .134

Известно [81], что данная задача имеет единственноеклассическое решение u (r,t), причёмu 0 при t = 0.Будем рассматривать u как функцию от (r,t) и отображениеc i(r,t)Так как приu = u (r,t | c i) U(c i).c i= 0 и c 1= c 2следует, что U ( 0 ) 0 (4.82.),то отображение (оператор) U не является линейным. Дляобратимости U необходимо и достаточно, чтобы равенство U= 0выполнялось только тогда, когда c i=0.Поэтому из (4.8.1.) вытекает, что оператор U не имеетобратного.В связи с изложенным , постановка обратной задачиможет быть сформулирована следующим образом.Найти условия, при которых U имеет псевдообратныйоператор U 1и исследовать операторыu = U (c); c = U 1 ( u ).Отметим, что такое исследование представляется, по крайнеймере, весьма сложным.Поэтому на практике решение обратной задачи получают путёмрешения прямой задачи с некоторой меняющейсяхарактеристикой, которую при каждом новом расчёте монотонноменяют, пока в результате не достигнут совпадения расчётныхи известных (экспериментальных или теоретических) величин.Этот способ легко применим , когда искомаяхарактеристика (коэффициент диффузии, теплоёмкости и др.)постоянна.Если же она является (кинетической или динамической) илизависит от геометрии объекта, то такой подходмалоэффективен.В работе [81], например, методом сравненияэкспериментальных и расчётных данных, использующих135

одномерную нестационарную математическую модель кипящегослоя, был определён коэффициент эффективнойтемпературопроводности кипящего слоя Е t. Для расчётаиспользовалась программа [82] решения уравнения :Tt2 T= Е tz2- b T, (4.8.3.)с начальным распределением безразмерной температурыHT ( z, 0 ) = k exp( pz 2 ) [0Дляexp( pz 2 )dz ] 1 . (4.8.4.)решения задачи использовался метод неравномерныхсеток по обеим координатам.136

4.9. Программирование алгоритмов ипрактическое использованиеязыков программирования.Вопрос использования языков программированиянапрямую связан с эксплуатируемой ЭЦВМ. Если на вашейЭЦВМ установлены трансляторы с языка ФОРТРАН, то выможете воспользоваться всем сервисом, вложеннымматематиками в этот язык.Если у Вас под рукой находится PC, то Вы можетевоспользоваться одним из широкодоступных языков С++ , VisualС++, С#, Delphi -7, Delphi-2007 или Visual Basic.Мы не будем обсуждать преимущества и недостатки этихязыков в разных отраслях программирования, а отошлёмчитателя к одному молодому и талантливому автору МихаилуФленову, который достаточно подробно освешает этот вопрос всвоей современной монографии [96] с.25.Из его обзора и нашего опыта мы вполне обоснованно можемпорекомендовать читателю систему Delphi-7 или Delphi-2007.Мы не хотим останавливаться на самых новых языкахтипа RUBU, так как информации по этому языку и егоиспользованию ещё не достаточно.Есть также много любителей системы Eclipse-фреймворк.Принципиально использование любого языка вполневозможно, если результаты расчёта арифметическихоператоров дают правильные результаты. Важно только вашезнание используемого языка программирования.. Кроме того, выможете воспользоваться выводом расчётных графиков напечать и сопоставить эти графики с графиками точных решений,если последние имеются в наличии.Вывод графиков, по мнению автора, достаточно удобноделать в программе EXCEL.Есть ли какое – либо преимущество у визуальных языковпрограммирования перед языками не визуальными?Мы думаем, что кроме использования особых методовотладки программы больше никаких преимуществ у визуальныхязыков нет.Но это не совсем точно. Великолепный язык Pascal,разработанный фирмой Borland в прошлом столетии для DOSимел ряд математических ошибок в своих юнитах, о которых137

сама фирма умалчивала. Язык, используемый сечас фирмойBorland в различных версиях Delphi - «Оbject Pascal» сталзначительно мощнее и, претерпев множество изменений иулучшений, стал значительно надёжней, а поэтому вероятностьпоявления простой математической ошибки в «Unit» («юнитах»)значительно ниже.138

4.10. Применение языков «С» , «Pascal »,«Фортран» и «Basic» для моделированияпроцессов переноса.4.10.1. Применение визуальных языковпрограммирования :Delphi, Visual Basic и Visual C++.Выше мы (в предыдущем разделе) уже сказали несколькослов о выборе языка программирования и не будем сейчасповторяться.Если Вы используете готовый пакет программ, то надоисходить из опыта работы с подобным продуктом.Ещё раз напомним, сказанное раньше. Из всех языковпрограммирования фирма Microsoft выделила особо язык С# (cишарп), в который она вложила массу средств.Результат не заставил себя ждать. Новое детищегигантской программистской фирмы Microsoft оказалось наудивление хорошей.По-видимому, за подобными языками с приставкой «шарп»будущее.139

4.10.2. Обзор программных средств иразработка программных пакетов.В пятой главе нашей монографии приведены кускипрограмм, которые функционировали как программный пакетрешения нелинейных уравнений теплопроводности (диффузии)сокращённо «КНУТ». Единственное место, которое требовалодоводки – нужно было вычислять в ручную дифференциалФреше. Эта задача вполне под силу даже студенту 2-го курса.Программируя краевую задачу для уравнения Бюргерса (однуиз задач для уравнения типа Навье - Стокса), мой дипломник,студент 5-го курса В.К. Конторович внёс необходимыеизменения в программный пакет “Кнут” [13 , 59] .Конечно, ещё лучше было бы вставить в пакет программпроцедуру «ПАРСИНГА», которая сама находит дифференциалФреше (используя методы обратной польской записи). Но этогопо причине отсутствия времени тогда так и не было сделано.Мы уже в начале главы говорили, что знаменитаяамериканская программа «Маtсаd» не имеет возможностьиспользовать мощный метод Ньютона – Канторовича.Вполне возможно, что какие-то организации имеютпрограммные пакеты для решения нелинейных краевых задачметодом Ньютона-Канторовича, но в свободном обращении этапакеты отсутствует, либо я ещё не знаю о них.140

4.11. Тактика создания тестов дляпроверки алгоритмов решения нелинейныхзадач и анализа результатов. Коррекцияпостановки задач.В 1973 году А.М.Вайнберг на конференции по МММ вАкадемгородке г. Новосибирска предложил использовать методНКС для решения нелинейных нестационарных одномерныхуравнений переноса [83] . Я, откровенно говоря, не был тогдана 100 % убеждён, что результаты будут непременно хорошие.Но в 1975 году на подобной же конференции я ужепривёл полученные результаты тестирования своего метода,показывающие прекрасные результаты его применения [84].Можно ли было останавливаться на одном примере?Конечно, один пример ещё не делает погоду. Потребовалосьещё многократно перепроверить этот метод на различных типахнелинейных параболических уравнений. Большая частьчетвёртой главы посвящена подобным задачам.Но автор до сих пор убеждён, что надо ещё и ещё разпроверять применение этого метода на всё большем кругезадач, пока специалисты по нелинейному анализу непредоставят надежные достаточные (а ещё лучшиенеобходимые) условия сходимости метода НКС.Однако надо ли нам ждать от чистых математиков этихтеорем?Это вовсе не риторический вопрос. Известно, что именнозапросы практики являются одной из главных составляющихсил движения и прогресса науки.Но беда в том, что слишком мало существуетаналитических решений практически интересных нелинейныхнестационарных начально - краевых задач.Неожиданно автор нашёл простой путь - оказалось,что есть прекрасная и достаточно лёгкая возможностьискусственно создавать безграничное количествоподобных примеров для нелинейных начально-краевыхзадач.Объясним как создавать тестовые примеры. Берёмдостаточно подходящую функцию нескольких переменных141

(зависящую от времени, координат и самой искомой функции).Подставляем её в соответствующее нелинейное уравнение. Всюобразовавшуюся разницу между левой и правой частьюуравнения перебрасываем в функцию источников или стоков.Начально - краевые условия подгоняем подобным жеобразом.Конечно, это ещё не практически необходимые задачи, ноопределённый крупный шаг в нужном направлении. Кстати,гладкость тестовой функции не является обязательной.При решении задачи Бюргерса в качестве начальногоусловия бралась разрывная функция, а результаты получилисьвеликолепными.На таких искусственно созданных тестовых примерах можноисследовать любой разработанный пакет программ длярешения нелинейных краевых задач, решаемых методомНьютона – Канторовича.Выше мы указали, что для тестирования метода НКС мыберём примеры с достаточно гладкими функциями. Можно лиизбавиться от этого требования?Да, можно ослабить требования на начально-краевоеусловие. Это нами утверждается в публикации [59].142

Глава 5143

144

145

Часть 5. Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ПРИЛОЖЕНИЕ А. Назначение пакета - программ «КНУТ».Программный комплекс решения нелинейных задачтеплопроводности и диффузии.Программный комплекс «КНУТ» (аббревиатура названия«Квазилениаризация нелинейных уравненийтеплопроводности »).Область применения:Решение широкого класса нелинейных начально - краевыхзадач для уравнений параболического типа тепло - имассопереноса в процессах химической технологии,теплотехники, гидродинамики, металлургии, физики высокихи низких температур, физики полимеров, магнитныхисследований и др.При этом предполагается нестационарная одномерная илидвумерная постановка краевой задачи.При наличии многомерности возможно применениедробных шагов - хорошо освещённый в литературе метод.В программном комплексе «КНУТ» использован методглобальной линеаризации задачи с использованиемдифференциала Фреше совместно с методом сеток иметодом прогонки для решения трёхдиагональногоматричного уравнения.Пакет программ «KNUT» предназначен для решениянелинейных одномерных нестационарных уравнений типатеплопроводности (диффузии с реакционным членом)методом НКС, либо двумерных стационарных нелинейныхзадач методом НКС.Предварительно нелинейная задача линеаризуется спомощью вычисления дифференциала Фреше, а затемлинеаризованная задача решается с использованиемсеточного метода и метода «прогонки».Решаются задачи методом итераций, что позволяетполучать более точные результаты решения. При этомкаждая итерация удваивает количество правильных знаков.Использование такого ньютоноподобного методапозволяет надеяться на квадратичную сходимостьприближённого решения к точному. При этом каждая146

дополнительная итерация приводит на каждой итерации кдвукратному увеличению количества правильных значащихцифр в приближённом численном решении.Использование неявной разностной схемы даётвозможность проводить расчёты с бо’льшим шагом повременной координате.В качестве начального приближения используетсязаданное заранее начальное условие. Краевые условиятакже предполагаются известными.Если краевые условия также являются нелинейными, то онитакже линеаризуются с помощью того же аппарата, что исамо уравнение.Напомним, что нестационарная задача рассматривается водномерной постановке.Если желательно рассмотреть задачу в двумернойпостановке, то задача в этом случае предполагаетсястационарной.Сам подход никак не ограничивает размерность задачи иесли необходимо решать 3-х мерныенелинейные краевые задачи, то можно перейти к методудробных шагов.Как мы уже говорили, есть несколько автономных пакетовпрограммы «КНУТ», написанных на разных языках.Исходная информация:Вид конкретных коэффициентов уравнения и краевыхусловий, параметры расчёта, число и размер шагов попространственной и временной координате, максимальноеколичество итераций и др.Рекламная заставка:=================================================================================={** BИД УРАВHEHИЯ **}147

C*[ U/ T+W*( U/ X)] = ( / X)*[KA(U)*( U/ X)] ++ (MK*KA(U)/X)*( U/ X) + F(U,X, T);C(X,T,U) = 1/(2*SQRT(1+U*U));KA(X,T,U)= U/(2*SQRT(1+U*U));F(X,T,U) = 1- 2*COSH(2*(T+X))- MK*U/X;W(X,T,U) = 0;EXACT SOLUTION (точное решение)U= SINH(2*(T+X));( синус гиперболический)В ТЕСТОВОМ ПРИМЕРЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.Искомая функция U = U ( X,t ).X – пространственная координата;t – временная координата.По определению, гиперболические функции синуса икосинусаимеют следующий вид:SINH = ( ex– e x) / 2;COSH = ( ex+ e x) / 2;148

Назначение исходных данных( приведенная распечатка программы соответствует АЦПУЭВМ IBM -370 / 148и была впервые выполнена в 1973 г. Программа быласоздана на языке PL / 1 )Попытка переноса распечатки с АЦПУ в книжный вариантПривела к некоторой потере визуальной совместимости,за что автор приносит свои изввинения.{*===============================================*}{* OПИCAHИЕ ИCXOДHЫX ДAHHЫX ДЛЯ *}{* *}{* PACЧETA И ИХ ТИПЫ *}{* *}{*===============================================*}{* *}{* LITER 1 – КОМЕНТАРИИ И ОБОЗНАЧЕНИЯ *}{* Литерная строка длиной до 80 символов (CHAR 80) *}{* *}{* MK 2 – ФAKTOP ФOPMЫ -CИMMETPЯ OБЪEKTA *}{* N 3 – ЧИСЛО ШАГОВ ПО ПРОСТРАНСТВЕННОЙ *}{* KOOPДИНАТЕ *}{* NT 4 - ЧИСЛО ШАГОВ ПО BPEMEH. КOOPДИНАТЕ. *}{* JJ/NT) *}{* NX 5 - ЧACTOTA ПЕЧATИ ПО *}{*проCTPAHCTB.KOOPД.(N/NX) *}{* NMAX 6 - MAKCИMAЛЬHOE ЧИСЛO ИTEPAЦИЙ *}{* IK 7 - ПAPAMETP УПPABЛEHЯ / ПEЧATЬЮ : INTEGER *}{* IK=0 - ПOДABЛEHИE ПEЧATИ ИCXOДHЫХ ДAHHЫХ *}{* IK=> 0 - ПEЧATЬ PACЧЁTHOГO *}{* (ПРИБЛИЖЁННОГО РЕШЕНИЯ) *}{* IK=1 - BCПOMOГATЕЛЬНАЯ ПEЧATЬ *}{* IK=2 - ПEЧATЬ AБCOЛЮТHOЙ ПOГPEШHOCTИ *}{* IK=3 - ПEЧATЬ OTHOCИTEЛЬHOЙ ПOГPEШHOCTИ *}{* IK=4 - ПEЧATЬ AБCOЛЮTHОЙ и ОТНОСИТЕЛЬНОЙ *}{* ПОГРЕШНОСТЕЙ *}{* IK=5 - ПEЧАТЬ TOЧHOГO PEШEHЯ,ПPИБЛИЖЁHHOГO*}{* AБCOЛЮТНОЙ и OTHOCИTEЛЬHOЙ ПOГРЕШНОСТИ *}{* KK 8 - KOЛИЧЕСТВО ЗНАЧАЩИХ ЦИФР ПРИ ПЕЧАТИ *}{* РЕЗУЛЬТАТА *}149

{* LL 9 - KOЛИЧЕСТВО ЗНАЧАЩИХ ЦИФР ПОСЛЕ *}{*ЗАПЯТОЙ *}{* *}{* L 10 – ШАГ СЕТКИ ПО BPEMEHHOЙ KOOPДИHATE ( t )*}{* EPS 11 – TOЧHOCTЬ ИTEPИPOBAHЯ*}{* XN 12 – ЛEBAЯ ГРАНИЦА ИHTEPBAЛA ПОПPOCTPAHCT. *}{* XK 13 – ПPABAЯ ГРАНИЦА ИHTEPBAЛA ПОПPOCTPAHCT. *}{* TN 14 – НАЧАЛЬHЙ MOMEHT BPEMEHИ*}{* TK 15 – KOHEЧHЫЙ MOMEHT BPEMEHИ : REAL;*}{**}{* T1 16 –BИД KPAEBOГO УСЛОВИЯ HA ЛEBOЙ ГPAHИЦЕ(CHAR(6) *}{* T2 17 –ВИД KPAEBOГO УСЛОВИЯ HA ПPABOЙГPAHИЦE (CHAR(6)*}{**}Значения исходных данных для тестового примера ккомплексу>1-й вариант расчёта - литерная константа - комментарий;(*>*}2 – мк – форм фактор – в тестовом примере соответствуетшару;50 – число интервалов по пространственной координате;1 – NT – частота печати по временной координате;5 – NX – частота печати по пространственной координате;2 – NMAX – максимальное количество итераций;5 – IK – условие печати;0.001 – шаг по временной координате;0.0000002 – точность итерирования ( число эпсилон);0 – XN – начало пространственного интервала;1 – XK – конец пространственного интервала;150

0.6 – TN – начало временного интервала;0.604 – TK – конец временного интервала;FIRST – ON THE LEFT SIDE – краевое условие с левойстороны;FIRST – ON THE RIGHT SIDE – краевое условие с правойстороны;ТЕСТ 1. ИСПЫТАНИЕ КОМПЛЕКСА >Вариант расчёта 1-йДATA: 12.03.1974 ПРОГPAMMHЫЙ KOMПЛEKC** < KHUT > **+------------------------------------------------------------------------------------+PACЧЁT 1-го BAPИAHTAПAPAMETPЫ PACЧЁTA+------------------------------------------------------------------------------------+! ФОРМ- ! ЧИСЛО !ШАГ PAЗH. ! TOЧHOCTЬ ! ЧACTOTA! ЧACTOTA !!НАЧAЛO!КОНЕЦ !! ФАКТОР! ШАГОВ! СЕТКИ ! ИTEPИ- !ЕЧАТИ!ПЕЧАТИ!ИНТЕРВ!ИНТЕРВ!! ГЕОМЕТР! ПО Х ! ПО T ! РОВАНИЯ! ПО Т=JJ/NT!ПО X=N/NX!По X ! По X !+------------------------------------------------------------------------------------------------+! MK ! N ! L ! EPS ! NT ! NX! XN ! XK !! 2 ! 50 ! 0.001 ! .0000002 ! 1 ! 5 !! 0.00 ! 1.00 !+------------------------------------------------------------------------------------------------+! MAKCИMAЛЬHOE ! УСЛОВИЕ ! HEOБXOДИMOCTЬ!HAЧAЛO ! KOHEЦ !! ЧИCЛO ИTEPAЦИЙ! ПEЧATИ ! OБPAЩ. K BCP!ИHTEPB. !ИИHTEPBAЛA !! ! ! ! поT ! по T !151

+----------------------------------------------------------------------------------------------+! NMAX. ! IK ! ! TN !TK !! 2 ! 5 ! ! 0.600 !0.604 !+----------------------------------------------------------------------------------------------+BOUNDARY CONDITIONSON THE LEFT SIDE ON THE RIGHT SIDEFIRST KINDFIRST KINDУСЛОВИЕ ПO ПPOCTPAHCTBУ -->0.02000 0.02000 0.02000 0.02000 0.020000.02000 0.02000 0.02000 0.02000 0.020000.02000 0.02000 0.02000 0.02000 0.020000.02000 0.02000 0.02000 0.02000 0.020000.02000 0.02000 0.02000 0.02000 0.020000.02000 0.02000 0.02000 0.02000 0.020000.02000 0.02000 0.02000 0.02000 0.020000.02000 0.02000 0.02000 0.02000 0.020000.02000 0.02000 0.02000 0.02000 0.020000.02000 0.02000 0.02000 0.02000 0.02000HAЧАЛО РАСЧЁТА->1.50946 1.90430 2.37557 2.94217 3.626864.45711 5.46623 6.69473 8.19192 10.01787-0.00000CPEДНЯЯ ПO OБЪЁМУ TEMПEPATУPA / KOHЦEHTPAЦИЯШAPA= 7.91814+-----------------------------------------------------------------------------------------------+!T- BPEMЯ ! COПOCTABЛEHИE PACЧЁTHOГO И TOЧHOГOPEШEHИЯ!+-----------------------------------------------------------------------------------------------+АБCЦИCCЫ TOЧEK ПEЧATИ ПO OCИ X (ПOПPOCTPAHCTBУ)0.00000 0.10000 0.20000 0.30000 0.400000.50000 0.60000 0.70000 0.80000 0.900001.00000начальное условие -->152

1.583115 1.991884 2.480595 3.068860 3.7802904.643436 5.692940 6.970921 8.528670 10.42870412.245884T=0.601 APPROACH (ПРИБЛИЖ. РЕШЕНИЕ)-->1.51309 1.91048 2.38117 2.95015 3.635184.46788 5.47830 6.70967 8.20921 10.0388112.27048CPEДHЯЯ ПO OБЪЁМУ TEMПEPATУPA/KOHЦEHTPAЦИЯШAPA= 7.93509EXACT ---->1.51309 1.90861 2.38073 2.94840 3.634394.46625 5.47735 6.70828 8.20844 10.0380312.27048T=0.602 APPROACH (ПРИБЛИЖ. РЕШЕНИЕ)-->1.51672 1.91483 2.38635 2.95641 3.642744.47707 5.48946 6.72327 8.22578 10.0590212.29513CPEДHЯЯ ПO OБЪЁМУ TEMПEPATУPA/KOHЦEHTPAЦИЯШAPA= 7.95114EXACT ---->1.51672 1.91292 2.38590 2.95463 3.641944.47541 5.48850 6.72186 8.22499 10.0582312.29513T=0.603 APPROACH (ПРИБЛИЖ. РЕШЕНИЕ)-->1.52035 1.91916 2.39153 2.96266 3.650304.48626 5.50063 6.73688 8.24237 10.0792612.31982CPEДHЯЯ ПO OБЪЁМУ TEMПEPATУPA/KOHЦEHTPAЦИЯШAPA= 7.96720EXACT ---->1.52035 1.91724 2.39108 2.96087 3.649504.48459 5.49967 6.73547 8.24158 10.0784612.31982KOHEЦ PACЧЁTA 1-го BAРИAHTA===========================================* *ДATA: 1974; KOHEЦ PACЧЁTA ПO KOMПЛEKCУ < KHUT >** ** TIME: /0..6* *153

ПРИЛОЖЕНИЕ Б1.Фрагмент программы «KNUT» на языке «С»/**══════════════════════════════════════**//* РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ И ИХПРОИЗВОДНЫЕ :*//**══════════════════════════════════════**/#include "def.h"void FUNK( x,t,u,xn,xk,h ,l,mk,cc,ccu,ww,wwu,ka,kax,kau,kaxu,kauu,ff,ffu)double x, t, xn, xk, l;double u, *h, *cc, *ccu, *ww, *wwu, *ka, *kax, *kau, *kaxu,*kauu, *ff, *ffu;int mk;{/**══════════════════════════════════════**//** x,t, x - пространствен.координата,t -время **//** u, u(x,t) искоmaя функция **//** xn,xk, нaчaлo и кoнeц интepвaлa **//** h , массив шагов по пространств.кoopдинaтe **//** l , шaг ceтки пo вpeмeннoй кoopдинaтe **//** p1,p2 дoпoлнитeльныe пapameтpы **//** h мaccив шaгoв ceтки пo пpocтpaнcтву **//** mk фaктор фopмы ( 0, 1, 2 ) **//**══════════════════════════════════════**/double yy, qyy; /* вспомогательные переменные */yy = 1+u*u;qyy = sqrt(yy);*cc = 1/(2*qyy);*ccu = -u/(2*qyy*yy);*ww = 0;*wwu = 0;154

*ka = u/(2*qyy); /* ka= ka (u,x,t) */*kax = 0;*kau = 1/(2*qyy*yy);*kaxu= 0;*kauu= -3*u/(2*qyy*yy*yy);*ff = 1- 2*cosh(2*(t+x))- mk*u/x;*ffu = -mk/x;/**══════════════ end funk; ═════════════**//* DEF.H */ /* HEDER FILE*//*******==================================═══*******//** ОБЪЯВЛЕНИЕ ВНЕШНИХ ПРОЦЕДУР **//*******===============================═════********/#include #include #include #include #include /** FILE *in; УКАЗАТЕЛЬ ФАЙЛА ИСХОДНЫХ ДАННЫХFFF.V **/extern FILE *out;/** УКАЗАТЕЛЬ ФАЙЛА РЕЗУЛЬТАТОВРАСЧЁТА HHH.V **/void FUNK ( double, double, double, double, double,double *,double,int, double *, double *, double *, double *, double *,double *, double *, double *, double *, double *, double *);void COEF ( double, double, double, double, double,double *,double *, double *, double *, double *, int[], int, char *,char *);int CHECKM ( int, int, int, double *, double, double, char *,char *);void COMPAR ( int, int, double *, double * );void DAT ( void );155

void TIME ( void );void EXACT ( double, double, double, int, int, int, double *,double * );void INITCO ( int, int, int, double, double, double,double *, double *,double * );void SCREEN ( );void PRIN2 ( int, int, int, int, int, int, int,double, double, double, double,double, double, char *, char *);void PRIN3 ( double, int, double * );void SHAPK ( int);void POINT ( int, int, double, double *, double * );void PECH ( int, int, int, double * );void HH ( int, int ,double, double, double *);void BOUND ( double, double, double, double[]);156

ПРИЛОЖЕНИЕ Б2.Фрагмент программы KNUT на языке «PASCAL»UNIT FUNKU;INTERFACEUSES OPU;{* KOЭФФИЦИEHTЫ УPABHEHИЯ И ИXПPOИЗBOДHЫE *}PROCEDURE FUNK( X,T,U,XN,XK: real;H: UkMODN;L: real;MK: integer;VAR CC,CCU,WW,WWU,KA,KAX,KAU,KAXU,KAUU,FF,FFU: real);IMPLEMENTATIONPROCEDURE FUNK( X,T,U,XN,XK: real;H: UkMODN;L: real;MK: integer;VAR CC,CCU,WW,WWU,KA,KAX,KAU,KAXU,KAUU,FF,FFU:real);{ MK ФAKTOP ФOPMЫ ( 0, 1, 2 ) }{ X,T,U, U- ИCKOMAЯ ФУHKЦИЯ }{ XN,XK, HAЧAЛO И KOHEЦ ИHTEPBAЛA }{ L ШAГ CETKИ ПO PEMEHHOЙKOOPДИHATE}{ H MACCИB ШAГOB CETKИ ПO ПPOCTPAHCTBУ }{ PEЗУЛЬTATЫ BЫЧИCЛEHИЯ ФУHKЦИЙ И ИXПPOИЗBOДHЫX }VAR YY,QYY: REAL;P1,P2 : REAL; { ДOПOЛHИTEЛЬHЫE ПAPAMETPЫ }BEGINYY := 1+U*U;QYY := SQRT(YY);CC := 1/(2*QYY);CCU := -U/(2*QYY*YY);WW := 0;WWU := 0;KA := U/(2*QYY); { KA:= KA (U,X,T) }157

KAX := 0;KAU := 1/(2*QYY*YY);KAXU:= 0;KAUU:= -3*U/(2*QYY*YY*YY);FF := 1- EXP(2*(T+X))-EXP(-2*(T+X))- MK*U/X;FFU := -MK/X;{*:=:=:=:=:=:=:=:=:=:=*} END;{FUNK} {*:=:=:=:=:=:=:=:=:=:=*}END.158

ПРИЛОЖЕНИЕ Б3.Фрагмент программы KNUT на языке «PL / 1»FUNK: /** KOЭФФИЦИЕНТЫ УРАВHEHИЯ И ИХПPOИЗВОДНЫЕ **/FUN00010PROCFUN00020( X,T,U,XN,XK,H ,L,MK,CC,CCU,WW,WWU,KA,KAX,KAU,KAXU,KAUU,FF,FFU);FUN00040DCL ( X,T,U, /* U- ИCKOMAЯ ФУHKЦИЯ */ FUN00050XN,XK, /* HAЧAЛO И KOHEЦ ИHTEPB. */ FUN00060L , /* ШАГ CETKИ ПO BPEMEHHOЙKOOPДИНАТЕ */FUN00070P1,P2 ) /* ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ */ FUN00080FLOAT (16), FUN00090H /* MACCИB ШAГOB CETKИ ПO POCTPAHCT. */ FUN00100(*)FLOAT(16),FUN00110MK /* ФAKTOP ФOPMЫ ( 0, 1, 2 ) */ FUN00120FIXED BIN(15,0),/* PEЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ И ИХПРОИЗВОДНЫХ:*/FUN00130FUN00140FUN00150(CC,CCU,WW,WWU,KA,KAX,KAU,KAXU,KAUU,FF,FFU)DCL (YY,QYY) FLOAT(16);FUN00170YY = 1+U*U; QYY=SQRT(YY); FUN00180CC = 1/(2*QYY);FUN00190CCU = -U/(2*QYY*YY);FUN00200WW = 0;FUN00210WWU = 0;FUN00220KA = U/(2*QYY); /* KA= KA (U,X,T) */ FUN00230KAX = 0;FUN00240KAU = 1/(2*QYY*YY);FUN00250KAXU= 0;FUN00260KAUU= -3*U/(2*QYY*YY*YY);FUN00270FF = 1- 2*COSH(2*(T+X))- MK*U/X; FUN00280FFU=-MK/X;FUN00290/**============ END FUNK; ==========**/ FUN00300159

ПРИЛОЖЕНИЕ Б4.Фрагмент запускающего модуля программы KNUT на языке«DELPHI»unit Unit1;interfaceusesWindows, Messages, SysUtils, Variants, Classes,Graphics,UtilsAssembling,Controls, Forms, Dialogs, Menus, Buttons, ExtCtrls, StdCtrls;typeTMainForm = class(TForm)MainMenu1: TMainMenu;File1: TMenuItem;Open1: TMenuItem;Close1: TMenuItem;SaveAs1: TMenuItem;About1: TMenuItem;Help1: TMenuItem;Timer1: TTimer;OpenDialog1: TOpenDialog;N1: TMenuItem;Panel1: TPanel;SpeedButton1: TSpeedButton;SpeedButton2: TSpeedButton;SpeedButton3: TSpeedButton;Edit1: TEdit;Label1: TLabel;Lbl2: TLabel;Lbl3: TLabel;Bevel1: TBevel;Bevel2: TBevel;Label2: TLabel;procedure FormCreate(Sender: TObject);procedure FormPaint(Sender: TObject);procedure About1Click(Sender: TObject);procedure SpeedButton2Click(Sender: TObject);procedure SpeedButton3Click(Sender: TObject);procedure Timer1Timer(Sender: TObject);160

procedure SpeedButton1Click(Sender: TObject);private{ Private declarations }public{ Public declarations }end;varMainForm : TMainForm;PathAppl, ss,PathImages : String[80];ff,f : Textfile;i : integer;ch : Char;APCHAR : ARRAY[0..200] of char;A1 : array[0..255] of Real;A2 : array[0..255] of Real;A3 : array[0..255] of Real;A4 : array[0..255] of Real;implementationuses About, Unit_End, Unit2;{$R *.dfm}procedure TMainForm.FormCreate(Sender: TObject);beginMainForm.Color:=$00A6FD7B;MainForm.Height:=480;MainForm.Width:=696;MainForm.Top:=30;Autosize:= False;PathAppl:=ExtractFilePath(Application.ExeName);SpeedButton1.Left:=round((ClientWidth-SpeedButton1.Width)/2);GETWINDOWSDIRECTORY(apchar,255);for i:=0 to 255 dobeginch:=apchar[i];161

Edit1.Text:=Edit1.Text+ch;end;(* ------------------------------------------------------------*)end;Lbl2.Caption :=DatetoStr(now);procedure TMainForm.FormPaint(Sender: TObject);var i : integer;beginWith Canvas.Font dobeginName := 'Times New Roman';Size := 28;Color := clRed;for i:=1 to ClientHeight*4 dobegincanvas.Pen.Color:=RGB(255+i, 200-i,255- i div 4);canvas.MoveTo( 0,i+50);canvas.LineTo(ClientWidth,i-90);end;end;Canvas.Brush.Color := Color;Canvas.TextOut(210, 76, 'program-pockage');Canvas.TextOut(288, 128, 'KNUT');end;procedure TMainForm.About1Click(Sender: TObject);beginMainForm.Hide;frmAbout.Show;end;procedure TMainForm.SpeedButton2Click(Sender: TObject);beginMainForm.Hide;fmCloseForm.Show;end;procedure TMainForm.SpeedButton3Click(Sender: TObject);begin162

end;MainForm.Hide;Form2.Show; // fmCloseForm.Show;procedure TMainForm.Timer1Timer(Sender: TObject);beginLbl3.Caption:=TimetoStr(now);end;procedure TMainForm.SpeedButton1Click(Sender: TObject);var i : integer;f : TextFile;beginfor i:=1 to ClientHeight*4 dobegincanvas.Pen.Color:=RGB(255-i, 0,255- i div 4);canvas.MoveTo( 0,i+2);canvas.LineTo(ClientWidth,i-78);end;ss:= PathAppl+'/Data'+'/out.txt';AssignFile (F, ss);Rewrite (F);writeln (F,'VychCoef');VychCoef(a1 ,a2,a3,a4);CloseFile(F);end;end./*****************************************************//*****************************************************/163

ТАБЛИЦА 1 и ТАБЛИЦА 2Рис. 1.164

Внешний вид модуля для запуска программы «KNUT» в средеDELPHI/***********************************************************//***********************************************************/165

Рис. 2166

Рис. 3Решение уравнения Бюргерса для различных значений Reпри T=0,23.- - - - - точное решение;______ численное решение приl = 0.005 – шаг по временной координате;h = 0.04 – шаг по пространственной координате;N max= 2 – максимальное количество итераций наРис. 4каждом временном слое.167

Решение уравнения Бюргерса при Re = 100 для различныхзначений t.- - - - - точное решение;______ численное решение приl = 0.005 – шаг по временной координате;h = 0.04 – шаг по пространственной координате;N max= 2 – максимальное количество итераций накаждом временном слое.Рис.5168

Стекание плёнки по наклонной плоскости одновременно сконденсацией на её поверхности паровой фазы.Рисунок приведен из работы Н. Браунер [103]169

При интегрировании аппроксимации коэффициентатеплопроводности ломаными линиями возникает вопрос,какую параболу использовать в расчётах. Подробныеформулы по этому вопросу обсуждаются в работе [76].170

ПРИЛОЖЕНИЕ Г. Подробности некоторыхвычислений.1. Вычисление дифференциала Фреше.Автор счёл своим долгом привести подробностивычисления дифференциала Фреше достаточно общегонелинейного одномерного нестационарного уравнеиятеплопроводности (хотя ранее и предупреждал, что такаяработа по плечу студентам второго курса любогоуниверситета).Пусть рассматривается уравнение : (u,x, )U + w(u,x, )U x == [ (u,x, ) U x] x++ (m* (u,x, ) /x) U x+ Q (u,x, ), (г.2.1)где U - производная искомой функции U по временнойкоординате тау, а целочисленный фактор симметрии -коэффициент m принимает значения от 0 до 2-х, взависимости от типа симметрии объекта ( плоскость, цилиндри шар).Как видно из уравнения, все коэффициенты зависят отискомой функции, а следовательно – уравнение нелинейно.Введём следующее обозначение:Ф (u,x, ) U + [ w(u,x, ) - u U x- x- (m ) /x] U x-( г.2.2.)2 U- 2x- Q(u,x, ) .Итак, рассматривается, вообще говоря, нелинейноеуравнениеФ == 0(г.2.3.)171

Для вычисления дифференциала Фреше уравнения (r.2.3.)потребуются следующие вычисления :Ф (u,x, ) U + [ w(u,x, ) - uU x- x- (m ) /x] U x- U xx- Q(u,x , ).В уравнении (r.2.4.) все величины вычисляются навременном слое s.(г.2.4.)ФU xxФU x(U s1xx - U s xx1) == - (U sxx - U s xx). (г.2.5.)(U s1x- U s x ) == [-2 u U x + (г.2.6.)+ w - x-m s1] (Uxx- U s x ),ФU ( U s1- U s ) == ( U s1- U s ), (г.2.7.)Ф(U s1- U s w) == uU +{ [ - xu- uuU x-m u/UUx]U x- uU xx-Q u} ( U s1- U s ), (г.2.8.)Складывая полученные выше выражения, будем иметь влевой части:172

ФФ +ФUU xxs xx - U s xx ) + ФUx(U 1( U s1x-U s x ) + ФU( U - U ) +(U s1-U s ), (г.2.9.)Аналогично сложим правые части предыдущих формул(г.2.5.) - (г.2.8.).После приведения подобных получим следующее: s U s + (Z + s u U s x ) U s x - s U s xx - Q s - s (U s1xx - U s xx ) ++ Z(U s1x- U s x ) + s (U s1- U s ) + M(U s1- U s )Приводя подобные в выражении (г.2.10.), получим:(г.2.10.)ss1U U s+ Z x1-2 1s U s 2x+ MU s 1= G, (г.2.11.)где Z, M и G вычисляются по следующим формулам:Z == -2s uxU s+ w s - - (m s ) / x;sxsM == { [ w u- xu-F}UsuuU s x - (m s u) / x ]Ux-U2 U2x-G == { }173

Аппроксимация левого краевого условия 2-го рода.Стремясь к получению более точных результатов, создадимдостаточно высокую аппроксимацию краевого условия. U ( x , t)nx== A 3,UctU+ zx2 U- k2x+MU =G,(г.3.1.)где x n- начальная точка интервала по пространству.Из разложения в ряд Тейлора искомой функции U(x,t) вокрестности узла сетки(x n,t), вытекает:U1( 0xn , t)U ( xn, t)=h2h U ( x , t)+ n+ O(h 2 ) .22x U ( x , t)nx+( г.3.2.)Из второго уравнения системы (r.3.2.) при x = x n, имеем:2 U2x== 1 U c K tU+ zx+MU – G ] .( г.3.3)Подставляя ( г.3.3) в ( г.3.2), получим :U 1U0 h-h 2KO(h 2 )U[ctU+ zx+MU – G ] == U ( x , t)nx+( г.3.4.)174

Преобразуем правую часть ( r.3.4)U 1U0-hhz=(1 + )2Kh U[c2Kt U ( x , t)nxU+ z +MU – G ] =x+ O(h 2 ) ( г.3.5)Продолжая преобразование уравнения ( г.3.5), будем иметь:22KK{hzU 1U0-hh2KU[ctU+ zx+MU – G ] }==Ux+ O(h 2 ).( г.3.6)Подставляя аппроксимацию производной искомойфункции по пространственной координате из уравнения (5.3.6) в уравнение ( 5.3.1), имеем:S 1{U 1U0 h-h 2KU[ct+MU – G ] } = A 3,(г.3.7.)гдеS 1==22KK.hzУмножая уравнение ( г.3.7.) на сомножитель 2Khd и вводядополнительные переменные S 2и S 3, получимсоотношение:S 3== S 1h 2 (cU j 0 +dG) – 2Khd A 3 .(г.3.8.)175

Аппроксимация правого краевого условия 3-го рода.Как и в предыдущем пункте, мы постараемся здесь получитьдостаточно высокую аппроксимацию краевого условия.Итак, вновь рассмотрим линеаризованное уравнениеUctU+ zx2 U- k2x+MU =G,(г.4.1.)совместно с правым краевым условием U ( x t-K k, )x== A 2U(x k,t) - B 2. (г.4.2.)Как и в предыдущем пункте, мы используем разложениеискомой функции U(x,t) в точке (x k-h,t) = U k 1.Где к – конечная точка пространственной координаты.176

Список литературы.1. Беллман, Р. Калаба. Квазилинеаризация икраевые задачи. Издательство "Мир", Москва,с. 183, 19681-e. Richard E. Bellman, Robert E. Calaba. Quazilinerizationand Nonlinear boundary- value problems. New -York,19562. Л.В. Канторович. ДАН СССР, LIX, № 7, с.1237-1240,1948.3. Л.В. Канторович. Успехи матем. Наук, III, № 6,с.89-185,1948.4. Л.В. Канторович. Труды матем. инст. им. Стекловат. 28, с.104-144, 1948.5. И.П. Мысовских. Труды матем. инст. им. Стекловат. 28, с.145-147, 19486. Г.П. Акилов. ДАН СССР, LXVIII, № 4,с. 645-648, 1949.7. Л.В. Канторович, В.И. Крылов. Приближенныеметды высшего анализа. Изд.3,1949. 696 с.7-e. Kantorovich L. V., Krylov V.I., V.1. 1958, ApproximateMethods of Higher Analysis (The Netherlands, P.Noordhaff).8. А.И. Кошелев. ДАН СССР, XCI, № 6, с. 1263-1266,1953.9. Ю.А. Соколинский., Кинетика и катализ, 8, No. 4,с.140, 1967.10. Г. Я. Миронова, Ю.А. Соколинский, В.М. Олевский.,Расчёт противоточного процесса массообменав ламинарно стекающей плёнке жидкости.Теор. основы. хим.технол.Том 6, №1, с. 3-9, 1972.11. Л. В. Канторович. Вестник ленинградскогоуниверситета., № 7, с.68-103,1957.12. В.Е. Шаманский. Методы численного решениякраевых задач на ЭЦВМ,ч.2, Киев, «Наукова думка», 1966 .13. А. М. Вайнберг, В.К. Конторович, Р.З. Хитерер. Теор.Основы хим.Технологии. Том 25. с.805-813.1991.13-е. А. M. Vainberg, V.K. Kontorovich, R.Z. Khiterer.Solution of Nonstationary Heat and Mass TransferProblems in Nonlinear Media by the177

Newton-Kantorovich Method. «TheoreticalFoundations of Chemical Engineering». Vol.25, No. 6,pp. 667-774, 1991.14. Ж.П. Обен, И. Экланд. Прикладной нелинейныйанализ. М.Мир,198815. Ж. Л. Лионс, Э. Мадженес. Неоднородные граничныезадачи и их применения . М. «Мир», 1971.16. Э.М.Галеев, В.М. Тихомиров Краткий курс теорииэкстремальных задач. Изво Московскогоуниверситета, 1989.17. М.П. Курин. Хим пром-сть, № 5, с.1.1953.18. J. Vernede . Nitrogen, 60, № 4, p.29, 1969.19. Г. Холин, Д.А. Серовский, Б.Я. Татьянченко. Теор.основы хим. технол., № 5, с.778, 1974.20. А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич. Численныеметоды решения задач конвекции- диффузии.М. Эдиториал УРСС, 247 c.1999.21. А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Вычислительнаятеплопередача. Издательство: Едиториал УРСС.2003.22. С.Н. Бернштейн. Собрание сочинений. т.3, Изд-твоАН СССР,1960.23. В.В. Гудков, Ю.А. Клоков, А.Я. Лепин, В.Д. Пономарёв.Двухточечные краевые задачи для обыкновенныхдифференциальных уравнений. Латвийскийгосударственный университет, 135 с. 1973.24. Ю.В. Аксельрод, В.В. Дильман, А.М. Вайнберг,Ю.В. Фурмер, Теор. основы хим. технол., 4, № 6, с.845, 1970.25. Ю.В. Аксельрод, В.В. Дильман, А.М. Вайнберг,Тр. ГИАП, вып 6, с. 283, 1971.26. P.V. Dankwerts Chem. eng. Sci., 2, № 1, р.1, 1953.27. G. Houghton., Canad. J.Chem. Eng., 40, р.188, 1962.28. A. Acrivos, Chem. Eng. Sci., 13, р.1, 1960.29. Adler I., Vortmyer P., Chem. Eng. Sci., 18, р. 99, 1963.30. Т.Р. Терловская, М.Б. Кац, Л.С. Генин., Теор. основыхим. технол., № 1, с. 86, 1977.31. В.А. Реутский., В сб. «Процессы и аппаратыхимической технологии», т.4, с. 5, М., ВИНИТИ, 1976.32. В.В. Дильман, Ю.В. Аксельрод, Л.В. Алекперова,О.Л. Лебедев, Хим. пром-сть, № 7, с.532, 1967.178

33. В.В. Кафаров, Е.Н. Марина, В.В. Шестопалов,Хим. пром-сть, № 9, с.135, 1967.34. R.D. Mhaskar, Chem.Eng. Sci., 29, № 4, p.897, 1974.35. В.М. Рамм, Абсорбция газов. М. «Химия», 1976.36. D.W. Van Krevelen, P.J. Hoftijzer Rec.trav.chim. 7,№ 9-10, p. 563, 1948.37. P.L. Brian, J.F. Hurley, E.H. Hasseltine. A.I. Ch. J. 7,№ 2, p. 226, 1961.38. М.Х. Кишиневский, Теор. основы хим. технол. 1, № 6,с. 759, 1967.39. D.W. Van Krevelen, P.J. Hoftijzer, Chem. Eng. Sci., 2,№4, p.145, 1953.40. А.М. Вайнберг, Методы и техника современногопроектирования. Секретариат СЭВ, приложение 10,с. 51, 1972.41. Л.В. Алекперова., Канд. дисс. М. ГИАП, 197242. C.Г. Михлин, Х.Л. Смолицкий Приближённые методырешения дифференциальных и интегральныхуравнений. СМБ. Изд-во «Наука», 1965.43. Х. Гаевский, К. Грёгер, К. Захариас. Нелинейныеоператорные уравнения и операторныедифференциальные уравнения. Из-во «Мир», 1978.44. [М.Е. Иванов, В.М. Линдин] А.М. Вайнберг, К.М.Захарова. Анализ и расчёт теплопереноса вгранулах. Труды ГИАП, вып. 14, стр.181-191, 1972.45. А.М. Вайнберг. Тр. ГИАП, вып. 57, с.102 – 110, 1980.46. З.Р. Горбис. Теплообмен дисперсных сквозныхпотоков, М., «Энергия», 1964.47. А.М. Вайнберг. Расчёт нестационарного теплообменавнутри гранулы в грануляционных башнях. Методыдизайна. СЭВ, № 13-14, p.91, 1973.48. А.М. Розен, А.И. Беззубова. Теор. основы хим.технол., том 2, № 6, с.850, 1963.49. A. Einstein, Annal. Physik, 19, p. 289, 1906.50. О.А. Ладыженская,Тр. IV Всес. матем. съезда.М.Физматгиз, т 1,1964.51. С.Л. Каменомостская, Канд. дисс., МГУ, 1958.52. С.Л. Каменомостская, Матем. сборник,53 (95), № 4,с.489, 1961.179

53. Б.М. Будак, Е.Н. Соловьёв, А.Б. Успенский, Ж.вычисл. математики и матем. физики, 5, с. 828,1965.54. А.А. Самарский, В.Д. Моисеенко, Ж. вычисл.математики и матем. физики, 5, с. 816, 1965.55. А.М. Вайнберг., Канд. дисс. М. ГИАП, 1977.56. А.М. Вайнберг, Метод расчёта тепло - имассопереноса для объектов с сильноизменяющимися физическими свойствами.Труды ГИАП, № 40, 38, 1976.57. А.М. Вайнберг, Специфика применения методаквазилинеаризации к нелинейным уравнениямпараболического типа в процессах тепло- имассопереноса. Четвёртая конференция подифференциальным уравнениям и их применениям.Тезисы докладов. РУСЕ, НРБ, с.47-51, 1989.58 А.М. Вайнберг, Обобщение постановки задачиСтефана. Четвёртая конференция подифференциальным уравнениям и их применениям.Тезисы докладов. РУСЕ, НРБ, с. 123-128, 1982.59. А.М. Вайнберг, В. К. Конторович. Решениенелинейных уравнений переноса методомквазилинеаризации. Рукопись депонирована вВНИИНТПИ, с. 29 1991 г.60. С.Л. Каменомостская Мат.сб. 53, № 4 с. 488, 1961.61. Л.И. Рубинштейн. Проблема Стефана, Рига, изд - во«Звайгзне»,1967.62. Б.М. Будак, Ф.П. Васильев, А.Б. Успенский.Разностные методы решения некоторых краевыхзадач типа Стефана. В сб.работ ВЦ МГУ:«Численные методы в газовой динамике», т. 4.Изд-во МГУ, М. 1965.63. Н.Р. Берман, Автореферат канд. дисс., Москва, МОПИим. Крупской, 1968.64. В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. А. Самарский,О методе стационарных состояний дляквазилинейных параболических уравнений, Метем.сб., 180:8, с. 995–1016, 1989.180

65. М.Е. Иванов, В.М. Линдин, А.М. Вайнберг, К.МЗахарова. Труды ГИАП, вып. XIV., с 181, 1972.66. А.М. Вайнберг., Автореферат канд. дисс., Москва,ГИАП, 1977.67. D. Rayleigh, Proc. Lond. Math. Soc. 10, n. 4, 1978.68. А.С. Лышевский., Закономерности дробленияжидкостей механическими форсунками давления,Новочеркасск, 1961.69. E.G. Foster, F. Daniels., Ind. Eng. Chem.43, p.986,1951.70. Э.Б. Красный, Автореферат кандид. дисс., Казань,1962.71. Е. А. Казакова, Р.З. Хитерер., и др. Труды ГИАП,вып. XI, c.186, Изд-во Госхимиздат, 1960.72. Е. А. Казакова, Р.З. Хитерер, Н.С. Савостьянова.,Хим пром-сть, № 2, с.18, 1970.73. Г .И. Розенберг, Кандид. диссертация, Каз. ХТИ,196874. И. Е. Неймарк, Ю.Р. Шейнфайн, Силикагель, егополучение, свойства и применение, «НауковаДумка», Киев, 1973.75. А.М. Вайнберг. IV конф. по дифференциальнымуравнениям и их применениям. Болгария. с.47,1989.76. А.М. Вайнберг. Применение математическихметодов и вычислительной техники припроектировании химических производств.Труды ГИАП, выпуск 40, с 38-48, 1976.77. И.Г. Петровский. Лекции об уравнениях с частнымипроизводными. Госуд. Издат. Физ.- мат.литературы, Москва, 1961.78. J.D. Cole. On a quasilinear parabolic equationoccurring in aerodynamic // Q. Appl. Math. v . 9.p. 225.1951.79. E. Hopf. The partial differential equation u t + uu x = uxx// Comm. Pure Appl. Math. v. 3. p. 201, 1950.80. Дж. Уизем. Линейные и нелинейные волны. М. Мир.1977.81. А.Ш. Беркович, А.М. Вайнберг, М.Е. Иванов, Е.В.Яновский, Труды ГИАП, Вып. 33, с. 63, 1975.181

82. А.М. Вайнберг. Информационный бюллетень похимической промышленности, Секретариат СЭВ,№ 2, (59), с. 102, 1976.83. А.М. Вайнберг, В.И. Мукосей. Применение методаквазилинеаризации для численного решения задачиСтефана и некоторых нелинейных уравненийтеплопроводности. Конференция « Математическиепроблемы химии». Новосибирск. часть 1, с.140-151,1973.84. А.М. Вайнберг, В.И. Мукосей. Эффективныечисленные методы решения квазилинейныхуравнений теплопроводности. Новосибирск,часть 1, с. 57- 63, 1975.85. Б.Г. Холин. Центробежные и вибрационныегрануляторы плавов и распылители жидкости.Издательство «Машиностроение», с. 182, 1977.86. М. Олевский, В.Р. Ручинский , А.М. Кашников, В.И.Чернышёв. Плёночная тепло- и массообменнаяаппаратура. «Химия», М. 1988.87. Р. Рихтмайер, Л. Мортон. Разностные методырешения краевых задач. Издательство «Мир» 1972.88. И.М. Гельфанд, О.В. Локуцевский. Метод «прогонки»для решения разностных уравнений. Дополнение ккниге: С.К. Годунов, В.С. Рябенький. Введение втеорию разностных схем. Изд-во «Физматгиз», 1962.89. Б.В. Алексеев, А.М. Гришин. «Физическаягазодинамика реагирующих сред». Высш.школа, Москва, 1985.90. Е.М. Ландис. Уравнения второго порядкаэллиптического и параболического типа.Издательство «Наука» 1971.91. И.А. Гиндельблат., Теор. основы. хим. технол., 2,№ 4, с.637, 1968.92. А.А. Самарский. Введение в теорию разностных схем.М. Наука, 1971.93. Функциональный анализ, СМБ. М., «Наука», 1972.94. С.К. Годунов, В.С. Рябенький. Разностные схемы.Москва, из-во «Наука», 1977.95. Л.С. Понтрягин. Дифференциальные уравнения и ихприложения. в серии Знакомство с высшейматематикой. Москва, из-во Наука, 1988 .182

96. СБ. Численные методы решения задач переноса.Часть I. Минск 1971.97. М.Е. Иванов, И.С. Михельсон. Математическаямодель процесса доупаривания плавов минеральныхудобрений. Труды ГИАП, вып. 39, с. 69-76, 1976.98. М. Фленов. Библия Delphi, 2-е издание, из-во «БХВ-Петербург», Санкт- Петербург, 2008.99. С.К. Годунов, В.С. Рябенький. Введение в теориюразностных схем. Москва, из-во «Физматгиз», 1962.100. K. Feind, Stromung suntersuchungen bei Gegenstormvon Rieselfilmen und Gas in loterechten Rohern. VDI –Forschungsheft, Vol. B 26, № 481, 1960.101. V. Ya.Mikkal,E.K. Siirde, The influence of SurfaceCurvature on Thickness of falling liquid film/ TrudyTallinnsk. Politehn.Inst.Ser. A,№ 211, p. 213-225, 1964.102. Б.А. Кадер, Теор. основы хим. технол.,Турбулентный перенос импульса, тепла и массыв гладких и шерховатых трубах»,том XII,№ 5, с.795, 1978.103. N. Brauner, Non- isothermal vapour absorption intofalling film in Int. J. Heat and Mass Transfer.Vol.34,№ 37, pp.767-784, 1991.104. N.Brauner, H.Thiele, Kompaktes berieseltesRohbrundel mit Vorrichtungend fur den Zulauf andAblauf von Flussigkeiten.Chem. Anlagen + Verfahren, № 4, pp28-30, 1975.105. А.Я. Раскин, Ю.А. Соколинский, В.И. Мукосей, М.Э.Аэров, Математическая модель и алгоритм расчётарадиальных адиабатических реакторов, ТОХТ, 2,2, 220, 1968.106. Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, Р. Плетчер.Вычислительная гидромеханика и теплообмен. В 2-хтомах. «Мир» 1990.107. Н.В. Арделян. О применении метода Ньютона приреализации неявных разностных схем газовойдинамики. Сб. «Вычислительные методы ипрограммирование» 35. М. Московскийуниверситет, с. 136-144, 1981.108. Э.М. Глаголев, В.М. Тихомиров. Краткий курсэкстремальных задач. Из -во Московскогоуниверситета, 1989.183

109. М.Е. Иванов, А.М. Вайнберг, В.М. Линдин, К.М.Захарова. Нестационарный теплообмен,осложнённый фазовыми превращениями длягранул, выбрасываемых в охлаждающую среду.Теор. основы хим. технол., том VIII, № 6, с.880-888,1974.109-e. M.E. Ivanov, A.M. Vainberg, V.M. Lindin, K.M.Zakharova. Theoretical Foondation of ChemicalEngineering “NONSTEADY HEAT EXCHANGECOMPLICATED BY PHASETRANSITIONS, FORGRANULES EJECTED INTO A COLLINGMEDIUM”, vol. VIII, № 6, с.821-828, 1974.110. В.И. Чернышов, А.М. Вайнберг, В.М. Олевский.Иследование дисперсии перераспределяемыхсубстанций в тепломассообменных процессах. Теор.основы хим. технол.Том 12. № 5 с. 658-666, 1978.111. А.М. Вайнберг, В.И. Мукосей, В.С. Бесков.,Математическое моделирование процессагрануляции из расплавов и его применение прироектировании грануляционных башен. М.Труды ГИАП, 1976.112. С.Патанкар. Численные методы решения задачтеплообмена и динамики жидкости. М.«Энергоатомиздат», 1984.112-e. S.Patankar. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow.Hemisphere Publishing Corporation, New York. 1980.113. С.В. Патанкар. Численное решение задачтеплопроводности и конвективного теплообменапри течении в каналах; М. Изд. МЭИ; 2003.114. Е.А. Казакова. Гранулирование и охлаждение ваппаратах с кипящим слоем. «Химия», 1973.115. E.A. Казакова. Гранулирование и охлаждениеазотосодержащих удобрений (Грануляция иохлаждение азотосодержащих удобрений),Москва, Химия 1980.116. E.A. Казакова, A.Л. Taран, A.В.Taран, Методы дляэкспериментального и теоретического анализакристаллизации гранул в потоке охладителя., Teoр.основы хим. технологии, том. 18, н. 6, с. 761. 1984.184

117. А.Б. Пиановский. "Оптимальное управлениеслучайными последовательностями в задачах сограничениями" Москва, " Научная книга", с.304. 1996.117-e, A.B. Piunovskiy. "Optimal control of random sequelsin problems with constraints" Kluwer, Dordrecht-London, pp 345. 1997.118. Л.П. Холпанов, В.Я. Шкадов, В.А. Малюсов, Н.М.Жаворонков.Теор.основы хим.технол., т.1, №1 с.73,1967.119. Л.П. Холпанов, В.Я. Шкадов, В.А. Малюсов, Н.М.Жаворонков. Теор. основы хим. Технол., т.3, №3с.465, 1969.120. J.W. Hibi “Proc. 2-nd Conf.appl. phys.chem., Vesprem,Budapest, v.2” p. 91, 1971.121. В.Г. Ганчев, В.М. Козлов. Теор.основы хим.технол.т.7, № 5, с.727, 1973.122. А.М. Вайнберг. Журнал «Инфомационныйбюллютень по химической промышленности»,Секретариат СЭВ, № 2, с.120, 1976123. Б. И. Броунштейн, В. В. Щеголев. Гидродинамика,массо- и теплообмен в колонных аппаратах.- Л.:Химия,c.336, 1988.124. Н.И. Гельперин, В.Л. Пебалк, А.Е. Костанян,Структура потоков и эффективность колонныхаппаратов химической промышленности,М., 1977.125. В.В. Кафаров. Методы кибернетики в химии ихимической технологии, 4 изд., М., 1985.126. И. А. Гильденблат, А.Ю. Закгейм. Структура потоков.М., 1985.127. М.С. Сафонов Теор. основы. хим. технол., 6, с.127,1972128. М.С. Сафонов, Н.М. Воскресенский. XI Менделеевскийсъезд по химии, М. из-во «Наука», с.85, 1975.185

129. В.И. Чернышёв, В.М. Олевский, A. Я. Галитский.,Теор.основы. химич.технологии., ., 6, No 3, c.426,1972.130 В.И. Чернышёв. Кандидатская диссертация. М. ГИАП,1972.130. А.М. Вайнберг, В.И. Чернышёв, В.М. Олевский, В.А.Герцовский, Т.Л. Кадер. Труды ГИАП, вып 31, с. 62,1975.132. В.И. Чернышёв, A.M. Вайнберг, В.М. Олевский. Теор.основы. химич. технологии., 12, No 5 p. 658 1979.133. Х. Бояджиев, В. Бешков. Массоперенос в движущихсяпленках жидкости: Пер с англ. Механика. Вып.43c.136, 1988.134. Л.И. Рубинштейн. Проблема Стефана. Рига. Изд. - во«Звайгзне». 1967.135. Д. А., Франк-Каменецкий., Диффузия и теплопередачав химической кинетике, изд., M., 1987.136. В. Г. Левич. Физико-химическая гидродинамика. —Издание 2-е, дополненное и переработанное. — М.:ГИФМЛ, c.700, 1959.137. Л.В. Канторович, А.П. Акилов. Функциональныйанализ, Изд-во БХВ-Петербург, 2004 .186

138. А.А. Самарский, В.П. Михайлов. Математическоемоделирование: Идеи. Методы. Примеры. Изд-воФизматлит. 2005.139. Введение в математическое моделирование., Изд-воУниверситетская книга, Логос, 2007.140 Мтематическое моделирование. Нелинейныедифференциальные уравнения математическойфизики. М. «Наука», 280 с. 1987.141. Нуен Дык Фиен. Точные оценки метода Ньютона —Канторовича и их приложения. Авторефераткандидатской диссертации. Минск, 1989.142. Б.А. Кадер, A.M. Яглом. Физические ивычислительные аспекты конвективноготеплопереноса, УФН, том. 146, (5) 1985.143. Г.И. Марчук. Методы вычислительной математики. М.«Наука», 608 с. 1989.144. Kahn, Peter B. Mathematical methods for scientists andengineers: linear and nonlinear systems. New-York,Wiley, 1990.145. Greenberg W., Polewczak J..Modern mathematicalmethods in transport theory. Operator theory, advancedand application v.51, 1991.146. Ж.. Л. Лионс. Некоторые методы решениянелинейных краевых задач. С.588 1972.187

147. В.В. Дильман, А.Д. Полянин, Методы модельныхуравнений ианалогий в химической технологии,М. 1988.148. А.Д. Полянин, В. Ф. Зайцев, Справочник понелинейным уравнениям математической физики,М.: ФИЗМАТЛИТ, 453 с. 2002.149. А.Д. Полянин, А.И. Журов, В.Ф. Зайцев Методырешения нелинейных уравнений математическойфизики и механики, 2005 г., 256 с.150. Г.И Лаптев, Г.Г. Лаптев. Уравнения математическойфизики. М.: 2003151. Сайт А.Д. Полянина. Мир математическихуравненийhttp://eqworld.ipmnet.ru/ru/forums.htm152. А.Куфнер , С. Фучик. Нелинейныедифференциальные уравнения 1988 г. 2005 г.153. Б.П Безручко, А.А. Короновский, Д.И. Трубецков, А.Е.Храмов. Путь в синергетику: Экскурс в десятилекциях.2010, 304 с.154. Н. М. Беляев, А.А. Рядно. Методы теорииТеплопроводности. М. Высшая школа, 1982,В двух частях.155. К. Ланцош. Практические методы прикладногоанализа. М. Из-во Физматлит. 1961, с. 524188

Предметный указатель.ААбсорбцией называют процесс поглощения газовойфaзы распределяющейся в жидкости в виде пузырькови струек.Адиабатическая система – это система, которая неполучает теплоты извне и не отдает ее.Адиабатическая температура ансамбля гранул этотемпература ансамбля в адиабатической системе.Анизотропи́я (от греч. ánisos — неравный и tróроs —направление) — неодинаковость физических (физикохимических)свойств среды. Например,теплопроводности и др. по различным направлениямвнутри этой среды.Автомодельные решения – самоподобные решения.ББарботирование – пропускание мелких пузырьков газачерез слой жидкости.Барботажные процессы - процессы, использующиебарботирование в разнообразных аппаратах химическойтехнологии.Г Гетерогенная система (от греч. heterogenes –разнородный) - неоднородная система,состоящия из однородных частей (фаз), разделенныхповерхностью раздела.Гомогенная система (от греч. - равный, одинаковый) –система, химическийсостав и физические свойства которой во всех частяходинаковы или меняются непрерывно, без скачков(между частями системы нет поверхностей раздела).Грануляционная башня – вертикально расположенныйзакрытый с боковых сторон короб, внутри которого вверхней части происходит диспергирование струйрасплава (через металлические лейки).189

ДДиспергирование – продавливание жидкой фазы(расплава) через дюзы гранулятора – лейки, которыеобразуют струи. Струи затем распадаются на капли засчёт аэродинамического взаимодействия охлаждающейсреды и струй.Дифференциал – главаная часть приращения функции.1) Действительная функция y = f (x) действительногопеременного называетсядифференцируемой в точке x, если она определенав некоторой окрестностиэтой точки и существует такое число A, чтоприращение y = f(x+ x) – f(x)(при условии, что точка x + x лежит в упомянутойокрестности) может быть представлено в виде y = A x + ,где / x 0 при x 0. При этом A xобозначается через dy иназывается дифференциалом функции f(x) в точкеx. Дифференциал dy прификсированном x пропорционален x, то естьявляется линейной функциейот x. Дополнительный член при x 0является, в силу определения,бесконечно малой более высокого порядка посравнению с x ( и посравнению с dy, если A =/= 0).Именно в этом смысле дифференциал называютглавной частью приращения функции.Для функции, дифференцируемой в точке x , y 0 при x 0, то естьфункция, дифференцируемая в некоторой точке,непрерывна в ней.Функция f ( x ) дифференцируема в точке x в томи только в том случае, если она имеет в этой точкеконечную производную190

f ' (x) = l i m x0 y = A;xпри этомdy =f ' ( x ) x. ( 1 )Существуют непрерывные но недифференцируемые функции.Кроме обозначения dy используется обозначениеdf (x ); тогда предыдущееравенство ( 1 ) принимает видdf ( x ) =f ' ( x ) x ( 2 )2) Определение дифференцируемости идифференциала естественным образомобобщается на действительные функции от nдействительных переменных.3) Определения дифференцируемости идифференциала почти без измененияраспространяются на комплексные функции одногоили нескольких переменных.ИИзотермический процесс — процесс, происходящий вфизической системе при постоянной температуре.K Квадратичная сходимость, согласно монографии [1]имеет вид:Max |U т 1- U т| K * (Max | U т- U т 1| ) 2 ,где К – некая константа, m - очередное приближениефункции U, а максимум берётся по независимымпеременным функции U – (x,t), (x,y) и т.д.Это соотношение показывает, что если есть сходимостьпроцесса итераций, то она квадратичная.191

ЛЛинейные пространства. Пусть Е множество, в которомвведена бинарная операция, ставящая в соответствиекаждой паре х, у из Е элемент из Е, называемый суммойэтих элементов и обозначаемый х + у, причём ыполненыследующие аксиомы для всехх, у, z E :1. x + y = y + x (коммутативность сложения).2. (х + у) + z = х + (у + z) (ассоциативность сложения).3. Существует единственный элемент 0 из Е, азываемыйнулём, такой, чтох + 0 = х для всех х E.4. Каждому элементу х E существует единственныйпротивоположный элемент из Е, обозначаемый – х,такой, чтох + (-х) = 0. ( Вместо х + (-у) пишут х – у.).Пусть, кроме этого, введена операция умноженияэлементов из Е на числа из поля К, удовлетворяющаяследующим аксиомам:Для любых , К и х, у Е:5. ( х) = ( ) х (ассоциативность умножения).6. ( х + у) = х + у (законы дистрибутивности).7. ( + ) х = х + х (законы дистрибутивности).8. 1 х = х.Множество Е с операцими, удовлетворяющимиперечисленным аксиомам, называется линейным иливекторным пространством над полем К, а егоэлементы – векторами или точками пространства Е.Пространство Е называется вещественным, если К –поле вещественных чисел R, и комплексным, еслиК – поле комплексных чисел С.М МММ - методы математического моделирования.Определение Ю.А. Соколинского МММ дано в главе 2пункт 1.192

Метод второго порядка – метод, имеющий квадратичнуюсходимость.Метрическое пространство. Метрическим пространствомназывается пара (E, )где E – некоторое множество и (x,y) вещественнаяфункция, удовлетворяющаядля всех x,y,z Eследующим условиям:1. ( x,y) 0 и (x,y) = 0 x = y;2. (аксиома симметрии) (x,y) = (y,x);3. (аксиома треугольника) (x,y) (x,z) + (z,y).Функция называется расстоянием или метрикой на E.ННормированные пространства. Линейное пространство Eнад R или C называется нормированным, если каждомувектору xE поставлено в соответствие вещественноечисло, называемое нормой вектора x и обозначаемоеx , причём выполнены следующие аксиомы(справедливые для всех x,y E и всех скаляров ) :1. x 0, причём x = 0 x = 0.2. x = x .3. x + y x + y .ООператор (математ.) – отображение одного множествана другое. В данной работерассматриваются операторы в линейныхнормированных пространствах.П Дифференциальные уравнения параболического типа –это уравнения193

где u – неизвестная (искомая) функция, А -положительно определённый эллиптический оператор.а f — известная функция пространственныхкоординат и времени.Псевдоожиженый слой – слой какого-то сыпучегопродукта который находится на каком-то плотном листес перфорацией и под этот лист подаётся воздух илилюбой подходящий газ, заставляющий этот продукт какбы кипеть.С Скорость витания капли-гранулы (частицы) –устоявшаяся скорость падения частицы, когда силапритяжения земли уравновешивается силойсопротивления воздуха. Это обычно происходит через1-3 сек после распада струи на капли в зависимости отразмера частицы (а значит их веса и лобовогосопротивления).Сеточный метод (или метод сеток) способ приближённойаппроксимации ( дискретизации) членовдифференциального уравнения в попытке найтиприближённое решение. Сжатых отображений(со)принцип.Произвольное отображение А метрическогопространства М в себя, которое каждой точке х из Мсопоставляет некоторую точку у = Ax из М, порождаетв пространстве М уравнениеAx = х. (*)Действие отображения А на точку х можноинтерпретировать как перемещениееё в точку у = Ax. Точка х называется неподвижнойточкой отображения А, если выполняется равенство194

(*). Т. о. вопрос о разрешимости уравнения (*) являетсявопросом о нахождении неподвижных точекотображения А.Отображение А метрического пространства М в себяназывается сжимающим,если существует такое положительное число 0 < a < 1,что для любых точек х и уиз М выполняется неравенство (Ax, Ау) a (х, у),где символ (x, y) означает расстояние междуточками x и y метрического пространства М.ФФункционал – отображение f произвольногомножества X в множество R действительныхчисел или С комплексных чисел.Если X наделено структурой векторногопространства, топологического пространства,упорядоченного множества, то возникаютсоответственно важные классы линейных,непрерывных, монотонных функционалов.Фреше производная, сильная производная, наиболеераспространённая ( наряду с Гато производной, наз. иногдаслабой производной) производная функционала илиотображения. Производная Фреше в точке x 0отображения f : X Y нормированного пространства X внормированное пространство Y называют линейныйнепрерывный оператор : X Y, удовлетворяющийусловию195

гдеf (x 0+ h) = f (x 0) + h + (h),lim || (h) || / || h || = 0.|| h || 0Оператор , удовлетворяющий этим условиям,единственен и обозначаетсяf ' ( x 0) . Линейное отображениеh дифференциалом Фреше.f ' ( x 0) hназываетсяЕсли отображение f имеет в точке x 0производнуюФреше, то оно называется дифференцируемым поФреше.Для производной Фреше выполнены основныетеоремы дифференциального исчисления и, преждевсего, относительно дифференцирования сложнойфункции.Если есть непрерывная дифференцируемостьотображения f по Фреше в некой точке x 0, то имеетместо теорема об обратном отображении.ЭЭллиптический оператор имеет вид, где p, q — функции классовсоответствующей гладкости.196

Список обозначений. – коэффициент теплоотдачи, Вт / м 2 к; c– абсорбционный фактор; – коэффициент массоотдачи, с / м; – средний коэффициент массоотдачи дисперсной фазыс / м; – коэффициент ускорения при хемосорбции;Г – периметр сечения грануляционной башни, м; – средняя толщина плёнки жидкости; коэффициенттермодиффузии; i– средний диаметр частицы во фракции м,насчитывающей niштукчастиц в м; – критерий фазового превращения припарообразовании; – тепловой эквивалент механической энергии, кал / Дж; = / D )(b aD – диффузионный комплекс; – коэффициент теплопроводности, Вт / m.K; – динамическая вязкость, Н.с / m 2 ; – кинематическая вязкость, м 2 / c ; – коэффициент сопротивления ; 1–П –медиана распределения;частный коэффициент проницаемости, зависящий отформы идоли транспортных пор; смоченный периметр; – плотность, кг / м 3 ; os– плотность абсолютно сухого материала s – йфазы; – поверхностное натяжение; дисперсияраспределения H / м; – касательное напряжение жидкости на стенке H /0м 2 ;197

– относительная влажность газовой фазы; угол междунаправлениемсилы тяжести и направлением движения жидкой илидисперснойфазы; – пористость;A – степень извлечения;A u– коэффициент поперечного переноса субстанции вплёнкежидкости, м 2 / c ;а – удельная поверхность контакта фаз; коэффициенттемпературопроводности; изотерма;А k– коэффициент переноса субстанции за счётa s–поперечных пульсаций скорости при ламинарно-волновом режиме течения, м 2 / c ;доля превращения s –й фазы;b – эквивалентный гидравлический диаметр, м ;C – концентрация влаги в растворе, парогазе, кг / м 3 ;Cp – равновесная концентрация;c p– удельная теплоёмкость материала при р = const, Дж /кг.K;D – коэффициент диффузии, м 2 / c ;D a, D b– коэффициенты молекулярной диффузииабсорбируемого компонента и активной частихемосорбента в жидкости; м 2 / c ;D h– коэффициент продольного перемешивания, м 2 / c ;D r– коэффициент поперечного перемешивания, м 2 / c ;d – диаметр капли, струи и др. в зависимости от индекса, м;d 32– средний объёмно-поверхностный диаметр по Заутеру,м;d cp– средний диаметр пор, м;E – продольная дисперсия субстанции (тепла, массы), м 2 /c ;198

F – площадь миделева сечения, м 2 ;F – сила сопротивления, учитывающая трение и разностьдвления в лобовой и кормовой частях при движениитела, Н;G – массовый расход охладителя или парогазовой фазы, кг/ cg – ускорение свободного падения, м 2 / с 2 ;g – удельный поток перераспределяемого компонента,г жпереходящего из фазы в фазу, кг / м 3 c ;H – высота аппарата, м ;j u– удельный продольный поток перераспределяемогокомпонентав фазе, кг / м 2 c ;K c, K t– коэффициенты массо- и теплопередачи, m /c, Вт /м 2 K ;K h– линейный коэффициент теплопередачи стенкиаппарата, Вт / м K;l – средняя длина траекторий движения ансамбля капель,м ;l – длина траектории движения капли, м ;L – массовый расход жидкой фазы, кг / c ;L b– удельная теплота испарения влаги (парообразования),Дж / кг;L s 1– удельные теплоты фазовых превращений при переходеs-1- й фазы в s- тую ( L 0-скрытая удельная теплота кристаллизации), Дж / кг ;M – молекулярный вес; капельная производительностьдиспергатора;m – масса вещества, кг ;m c– константа фазового равновесия для системыабсорбируемый компонент –растворитель;M c– стехиометрический комплекс ;N – количество струй в диспергаторе ;199

N 1– производительность капель в единицу времени впересчёте на каплидиаметром d 32;N 4– количество гранул в адиабатируемом ансамбле;N г,N ж– число единиц переноса в газовой и жидкой фазах ;N ог– общее число единиц переноса при хемосорбции ;n с– стехиометрический коэффициент ;P л– лапласовское давление, H / м 2 ;P v– деформирующее давление, обусловленноедвижением тела, H / м 2 ;P p, P – парциальное давление паров влаги, равновесноек содержаниюp пг–влаги на массообменной поверхности, H / м 2 ;парциальное давление паров влаги в парогазовомпотоке, H / м 2 ;p – атмосферное давление, H / м 2 ;~Q at– тепло адиабатического торможения ;R у– универсальная газовая постоянная ;R – радиус капли, струи и пр. в зависимости от индекса ;R 0= ( r cx ж1D r) / ж– кинетический комплекс длямассообменного аппарата ;r – текущий радиус ;r c–с ;константа скорости химической реакции, м 3 / к моль.S – площадь поверхности полидисперсного распыла, м 2 ;S – площадь поверхности капли, струи, и пр, м 2 ;T – температура материала, K ;200

T s– температура s- того фазового превращения, K;T bc– температура вне аппарата, К ;t – время, с ;к- индекс капли;тмол -рг -ур -- индекс турбулентной величины;индекс молекулярной величины;индекс парогазовой смеси;индекс усадочной раковины;U – объёмный расход хладоагента, м 3 / c ;u – средняя расходная скорость охладителя м /c ;переносимаясубстанция (тепло или масса ) ;V – объём, м 3 ;v – абсолютная (относительно аппарата) скоростьдвижения частиц дисперсной фазы, м / c ;w – средняя расходная скорость движения фазы, м / c ;~w – удельная объёмная скорость, м 3 / (м 2 с) ;w xa–охладителя, м / c ;w(y) –скорость дисперсной фазы относительноосреднённая по времени и длине локальнаяскорость потока, м/ c ;X – безразмерная концентрация активной частихемосорбента в жидкой фазе;x s– радиус фазового фронта, м ;Y – безразмерная координата – концентрацияабсорбируемого компонента в жидкой фазе;y – поперечная координата потока (для плёночныхаппаратов отсчитывается по внутренней нормалик плёнконесущей поверхности) ;y ma– координата максимума значения A uпо оси OY;z – вертикальная координата, совпадающая снаправлением силы тяжести ;Z – безразмерная вертикальная координата ;B = Hw / E – число Боденштейна ;201

Nu = b / – число Нуссельта ;Pr = / a – число Прандтля ;Re = wb / – число Рейнольдса ;We = w 2 b / – число Вебера ;hl= h l;области E r;– разностная сетка в рассматриваемойh= { x i, x 0< …< x N 1= x k, h i= x i- x i 1};l= { j, 0< . . .< N 2= k, lj= j- j1}.E r= [0, ] [0, H]; = h * N 11; H = d * N 22;h, d – шаги разностной сетки по координатам у и zсоответственно ;v = v ij= v ( y i, z j) – функция, заданная наhl;v y, i= ( v i 1- v i) / h – правая разностная производная вточке y i;v y, i= ( v i- v i 1) / h – левая разностная производная вточке y i;ИНДЕКСЫа - адиабатическая величина;г - газ;ж - жидкость;к - капля, капля-гранула, конечное значение величины;м - массообменная величина; молекулярная величина;н - начальное значение величины;па – пар;пг – парогаз:п - поверхность;р - равновесная величина;с - струя;т - теплообменная величина; турбулентная величина;202

твёрдая фаза, текущее время;тр – трассёрная величина;ц - центр ;s - номер фазового превращеня или модификации фазы(s=0 соответствует жидкой фазе);номер итеррации;x, y, z – проекции на оси координат; частные производные;δ – значение на поверхности плёнки; дельта функция Дирака;1 - значение величины на входе фазы ;2 - значение величины на выходе фазы;¯ - черта сверху – осреднение величины по плоскомупрофилю скоростей в потоке;среднеобъёмная величина;~ - волна сверху(тильда) – осреднение величины с учётомскоростей в потоке;' - штрих сверху – величина , относящаяся к жидкой фазе;" - два штриха сверху – величины, относящиеся кпарогазовой фазе;* - звёздочка сверху – равновесная величина; значениевеличины в области фазового или модификационногоперехода;203

Послесловие.В этой книге рассмотрены приёмы решения рядалинейных и нелинейных краевых задач переноса.При этом автор прекрасно осознаёт, что предложенныеприёмы не исчерпывают всего многообразия методоввысоких порядков для решения нелинейных краевых задач.Кроме того, автор абсолютно уверен, появятся новыеметоды решения нелинейных краевых задач, потому чтопрогресс в науке невозможно остановить. Дерзайте и ищитеновые, ещё более эффективные подходы !Есть особая категория исследователей, котораяутверждает, что их методы лучше. Но когда предлагаешь имсравнить результаты на одинаковых компьютерах, ониотказываются.Так, полтора десятилетия назад, автор предложилпрофессору института математики им. Вейцмана в г.Реховот, профессору Аchi Brandt сравнить результатырасчётов по его алгоритму и нашему алгоритму решениянелинейных краевых задач, но он, к сожалению, сразуотказался, подарив мне, правда, на прощание пару оттисковсвоих публикаций...Делитесь найденными новыми подходами со своимиколлегами .Ищите и дерзайте, да обрящете !204

Часть 6205

206

Часть 6. CD – ROM с фрагментамипрограмм и сайтом по системе DELPHIавтора монографии.Сайт «My Delphi»Воспользоваться прилагаемым CD – диском непредставляется сложным делом, так как он являетсязагрузочным и сразу, по нажатии на иконку синей дискеты,показывает все папки, имеющиеся на диске.Дальше – Ваш выбор интересующего материала –интересующей Вас папки. У каждой папки указан в качествепоследних символов язык программы.Просмотр сайта по «My Delphi» начинается с запускафайла index.htm. Дальше в меню выбирается нужная опцияязыка и пункта меню.Если у Вас возникли проблемы, то пишите на указанный вначале книги (конец предисловия) e-mail : vam20@yandex.ruУспешного Вам освоения книги, оптимизма и, главное,продвижения вперёд !Инструкцию по практическому использованию приведенныхв книге пакетов программ смотрите на следующей странице207

Инструкция по использованию пакетовпрограмм для решения нелинейных задачтеплопроводности и диффузии.для книги А.М. ВайнбергаМатематическое моделированиепроцессов переноса.Решение нелинейных краевых задач.Москва-Иерусалим, 2009 г.1. Решение подобных задач вещь отнюдь нетривиальная и необходимо запастись терпением.2. Прежде всего, необходимо задачу обезразмерить,т. е. сами уравнения и начально- краевые условиясделать безразмерными.Это очень важно!3. Необходимо внимательно изучить алгоритмрешения на рисунке в приложении.Этот рисунок дан для наиболее сложной задачи.4. На CD-ROM приведены процедуры решениязадачи на различных языках-«Си» , «PASCALе» и «PL / 1». По языку Delphiприведен только запускающий модуль.5. Наиболее полное отражение нашёл язык PL / 1.В этой папке приведена распечатка готовойпрограммы и результатов расчёта в виде 4-хлистов файлов в формате JPG в возрастающемпорядке ( ! ).Названия процедур интуитивно должны бытьпонятны, да кроме того они снабженыкомментариями.Если есть вопросы – черкните на мыло( то есть пошлите на мой электронныйадрес) ->vam20@yandex.ru208

P.S. Cайт запускается файлом index.htm209