Algoritmus MKP

Metoda konečných prvků3. přednáška ilustrace na 1D úloze, základní rovnice MKPMichal Vaverka, Martin Vrbka

Algoritmus MKPIlustrace algoritmu MKP na 1D úloze:Příklad z první přednášky:Prut je zatížený vlastnítíhou, máme určit průběhposuvů a napětí po délce.DVytvoříme síť o třech prvcích a čtyřech uzlech:

Algoritmus MKPTvorba sítě, volba bázových funkcíNapř. prvek č.1. - nejjednodušší prutový prvekSpojitý posuv u(x) budeme nad prvkem č. 1 aproximovat např. lineárně.Spojitý posuv u(x) hledáme jako lineární kombinaci předem vhodně zvolenýchbázových funkcí a neznámých posuvů dvou uzlových bodůx 1 x 2u 1 u 2LHledaný posuv nad prvkem = zvolená bázová funkce 1 x neznámý posuv uzlu 1 ++ zvolená bázová funkce 2 x neznámý posuv uzlu 2ux ( ) = N( x). u+N( x).u1 1 2 2

Algoritmus MKPAproximace pomocí bázových fcíHledaný posuv nad prvkem = zvolená bázová funkce 1 x neznámý posuv uzlu 1 ++ zvolená bázová funkce 2 x neznámý posuv uzlu 2ux ( ) = N( x). u+N( x).u1 1 2 2Maticově:ux ( ) = N.δN = [ N1, N2]matice bázových funkcí posuvůδ = [ u , u ]T1 2matice neznámých deformačních parametrůjejí prvky jsou neznámé posuvy uzlových bodů 1, 2Tím jsme přešli od spojitého problému na hledání konečného počtu parametrů.

Algoritmus MKP•Stejným způsobem jsou aproximovány i průběhy posuvu u(x) na ostatníchprvcích.•Sdílení společného uzlu mezi dvěma prvky znamená i sdílení téhoždeformačního parametru a tedy automatické zajištění meziprvkové spojitostiposuvu u(x).•Po vyřešení úlohy a vyčíslení deformačních parametrů je průběh hledanéhoposuvu na celé oblasti aproximován po částech lineárněPrvky nezávisí na celé oblasti Ω, bázové funkce jsou definovány vždy jen namalé podoblasti řešeného tělesa na rozdíl od Ritzovy metody, kde je bázováfunkce definovaná na celé oblasti tělesa Ω a splňuje okrajové podmínky.

Algoritmus MKPVycházíme z variačního principuHledáme neznámé posuvy a východiskem je Lagrangeův variační princip, podlekterého se zatížené těleso deformuje tak, že rozdíl W-P je minimální:Minimální má být funkcionál:Π = W - PW…energie napjatostiP….potenciál vnějšího zatíženíTento funkcionál představující potenciální energii závisí na spojitých funkcíchhledaných posuvů.Hledané funkce posuvů jsou takové, aby funkcionál Π byl minimální, což znamenáže variace funkcionálu je rovna nule.

Algoritmus MKPVycházíme z variačního principuNapětí PřetvořeníW…energie napjatosti:1 TW = ∫ σ .ε.dVPosuvy2ΩP…potenciál vnějšího zatížení: P TT=∫u . o. dV +∫u . p.dSΩΓpPlošné zatíženíObjemové zatíženíVšechny matice jsou sloupcové, podrobněji viz 2. přednáškaEnergii napjatosti W a potenciál vnějšího zatížení P vyjádříme pro náš příkladnejprve pro každý prvek zvlášť – např. pro prvek 1:x21W1=∫ σε 2Sdxx1x2P =∫u ρ gS dx1x1

Algoritmus MKPEnergie napjatosti prvku: W =∫1σε SdxNapětí i přetvoření musíme vyjádřit pomocí posuvů (ty hledáme).1xx212Matice tuhosti prvkuPosuvy jsou vyjádřeny pomocí lineární kombinace matice bázových funkcí N a maticeneznámých posuvů uzlových bodů δ.ux ( ) = N.δPřetvoření vyjádříme v závislosti na posuvech pomocí geometrického vztahu:ε = du d( . ) .dx= Nδdx= BδKde B je matice derivací bázových funkcí:BdN1 1= = [ − 1,1] = [ −1 , 1]dx x − x L2 1délka prvku:Je-li bázová funkce lineární, přetvoření na prvku bude konstantní:1 [ 1 , 1].[1 ,2 ]T u − uε = − u u =LL2 1

Algoritmus MKPMatice tuhosti prvkuNapětí získáme z přetvoření pomocí konstitutivních vztahů (Hookeův zákon).Napětí je také konstantní:. . . T Tσ = E ε = EBδ= δ . B . E

Algoritmus MKPMatice tuhosti prvkuEnergie napjatosti prvku: W =∫1σε SdxNapětí i přetvoření máme vyjádřeno pomocí posuvů.Dosadíme:1xx212x⎛ 2 ⎞1 TT 1 TW1= δ . ⎜ ES∫BBdx⎟. δ = δ . k.δ2 ⎜⎟ 2⎝ x ⎠Matice tuhosti prvku ES ⎡ 1 −1⎤k =L⎢−1 1⎥⎣ ⎦1δ⎡u⎤1= ⎢u ⎥1⎣⎦Prvky této matice mají fyzikální rozměr tuhosti – odtud název

Algoritmus MKPMatice zatížení prvkuPotenciál vnějšího zatížení našeho prvku:P1x2=∫u ρ gS dxux ( ) = N.δx1Po úpravách dostaneme:PT1 = δ .f 1δ = [ , ] u u T1 2Matice zatížení prvku:f12 ρgSL⎡ ⎤= ⎢1⎥⎣ ⎦Celková objemová síla na prvek je rozdělená na poloviny a soustředěná do krajních uzlů.Matice f zabezpečuje diskretizaci spojitého zatížení.Obdobně by byla do uzlů rozdělena i případná další zatížení, jako např. u prostorovýchprvků plošné zatížení povrchu prvku (bez ohledu na způsob zadání uživatelem,samozřejmě je možno přímo zadat i síly do uzlů).

Algoritmus MKPSestavení globálních maticMatice tuhosti a zatížení takto sestavíme pro každý prvek.Tím máme energii napjatosti a potenciál vnějšího zatížení pro každý prvek vyjádřenýpomocí neznámých posuvů.Jejich rozdíl je potenciální energie pro každý prvek.Nyní chceme celkovou potenciální energii pro celé těleso:Součet příspěvků od jednotlivých prvků Π = Π3=∑ ii 1Je vhodné sdružit všechny deformační parametry (neznámé posuvy) do jedinéglobální matice deformačních parametrů:U = [ u , u , u , u ] T1 2 3 4

Algoritmus MKPGlobální matice tuhostiGlobální matice deformačních parametrů:U = [ u , u , u , u ] T1 2 3 4Vztah pro energii napjatostichceme vyjádřit pomocí U:1W1= δ2WT. k.δ1= U . K . U2T1 1je třeba matici tuhosti 1. prvku formálně rozšířit o příslušný počet řádků a sloupců:K1=ESL⎡ 1 −1 0 0⎤⎢1 1 0 0⎥⎢−⎥⎢ 0 0 0 0⎥⎢⎥⎣ 0 0 0 0⎦pro další prvky takéK⎡0 0 0 0⎤ ⎡0 0 0 0 ⎤⎢ES 0 1 −1 0⎥ ⎢0 0 0 0⎥ES= ⎢ ⎥ , K = ⎢ ⎥L ⎢0 −1 1 0⎥ L ⎢0 0 1 −1⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣0 0 0 0⎦ ⎣0 0 −1 1 ⎦2 3

Algoritmus MKPGlobální matice tuhostiCelková energie napjatosti W je dána součtem prvkových příspěvků:=⎡ 1 −1 0 0⎤⎢1 1 0 0⎥ES ⎢−⎥L ⎢ 0 0 0 0⎥⎢⎥⎣ 0 0 0 0⎦3TTW ==∑ W i= 1 1U .( K1 + K2 + K3). U = U . K.U22i 1K⎡0 0 0 0⎤ ⎡0 0 0 0 ⎤⎢ES 0 1 −1 0⎥ ⎢0 0 0 0⎥ES= ⎢ ⎥ K = ⎢ ⎥L ⎢0 −1 1 0⎥ L ⎢0 0 1 −1⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣0 0 0 0⎦ ⎣0 0 −1 1 ⎦K12 3Globální matice tuhosti:K=ESL⎡ 1 −1 0 0⎤⎢1 2 1 0⎥⎢− −⎥⎢ 0 −1 2 −1⎥⎢⎥⎣ 0 0 −1 1 ⎦Symetrická maticePásová matice(u Ritzovy metody bybyla plná)

Algoritmus MKPGlobální matice zatíženíCelkový potenciál vnějšího zatížení je podobně dán součtem prvkových příspěvků:P3TT∑ PiU .( F1 F2 F3)U . F= = + + =i=1Také matici zatížení jednotlivých prvků formálně rozšíříme o příslušný počet řádků a sloupců:F1=12⎡1⎤⎢1⎥ρgSL ⎢ ⎥⎢0⎥⎢ ⎥⎣0⎦F2=12⎡0⎤⎢1⎥ρgSL ⎢ ⎥⎢1⎥⎢ ⎥⎣0⎦F3=12⎡0⎤⎢0⎥ρgSL ⎢ ⎥⎢1⎥⎢ ⎥⎣1⎦Globální matice zatížení:F=12⎡1⎤⎢2⎥ρgSL ⎢ ⎥⎢2⎥⎢ ⎥⎣1⎦

Algoritmus MKPGlobální matice zatíženíCelková energie napjatosti:W =1 TU . KU .2Celkový potenciál vnějšího zatížení:TP = U . FCelková potenciální energie v závislosti na konečném počtu neznámýchdeformačních parametrů (posuvů uzlových bodů), uspořádaných v matici U:1 TTΠ= W − P = U . KU . −U . F2Posuvy U jsou takové, aby funkcionál Π byl minimální.

Algoritmus MKPZákladní rovnice MKPCelková potenciální energie1Π= −2 U T. K. U U T. FDle Lagrangeova variačního principu hledáme stacionární hodnotu Π:∂ Π∂ U = 0…variace funkcionálu = 0Z parciálních derivací podle u 1 , u 2 , u 3 , u 4získáme soustavu čtyř lineárních algebraických rovnic:KU . =Fdeterminant K je nulový, K je singulární - soustava nemá jednoznačnéřešení, protože dosud nebyly předepsány okrajové podmínky…musíme předepsat okrajové podmínky (OP)

Algoritmus MKPRealizace OPPro deformační variantu MKP ve statických úlohách pružnosti musí řešitel předepsatalespoň takové okrajové podmínky, aby zamezil pohybu tělesa jako celku ve všechjeho složkách, které jsou možné s ohledem na typ a dimenzi úlohy.Vazba prutu v uzlu č.1 – OP :u 1= 0Tento parametr je známý - vypuštění první rovnice ze soustavy. Získáme nové:KU . = F …základní rovnice MKP⎡ 2 −1 0 ⎤ ⎡u2⎤ ⎡2⎤ES1K =⎢−1 2 − 1⎥, U= ⎢u⎥, F=ρgSL⎢2⎥L⎢ ⎥ ⎢3⎥ 2 ⎢ ⎥⎢⎣ 0 −1 1 ⎥⎦ ⎢⎣u⎥ ⎢4 ⎦ ⎣1⎥⎦

Algoritmus MKPRealizace OPKU . = F …základní rovnice MKPESL⎡ 2 −1 0 ⎤⎡u2⎤ ⎡2⎤⎢ 1−1 2 − 1⎥⎢. u⎥= ρgSL⎢2⎥⎢ ⎥⎢3⎥ 2 ⎢ ⎥⎢⎣ 0 −1 1 ⎥⎢ ⎦⎣u⎥ ⎢4 ⎦ ⎣1⎥⎦K..Globální maticetuhostiU..GlobálnímaticeneznámýchdeformačníchparametrůF…Globální matice zatíženíPozn.: Pro jednoduchost máme všechny prvky stejně dlouhé, to však není nutné.Dále řešíme soustavu lineárních algebraických rovnic některou z metod(např. GEM, Jacobi, Gauss-Seidel…).Řešením získáme posuvy všech uzlových bodů, z nichž lze v libovolnémbodě vyjádřit posuvy, přetvoření nebo napětí.

Algoritmus MKPVyřešení základní rovnice MKPSrovnání numerického a analytického řešení prutu:Posuvy:u=ρ gDmax 2E2,V uzlových bodech se analytické řešení a MKP řešení nemusí shodovat,zde je to jen důsledek jednoduchosti úlohy.Jsou-li bázové funkce na prvcích lineární, pak průběh posuvů je po částech lineární.D

Algoritmus MKPDodatečné výpočtyNapětí:,Dodatečné výpočty - přetvoření získáme z posuvů pomocí geometrických vztahůa napětí pak získáme z přetvoření pomocí konstitutivních vztahů.Jsou-li bázové funkce na prvcích lineární, pak průběh napětí je po prvcíchkonstantní, většinou se ještě dodatečně vyhlazuje.Jsou-li bázové funkce na prvcích kvadratické, pak průběh napětí je po prvcíchlineární, také se vyhlazuje (element solution vs. nodal solution v ANSYSu)D

Algoritmus MKP1. Formulace funkcionálu na základě známého variačního principu2. Rozdělení tělesa na prvky – tvorba sítě3. Volba bázových funkcí. Nahrazení hledaných spojitých funkcí lineární kombinacíbázových funkcí a neznámých posuvů v uzlech, kterých je konečný počet4. Sestavení prvkových matic (tuhosti a zatížení u úlohy pružnosti)5. Sestavení globálních matic (tuhosti a zatížení u úlohy pružnosti)6. Realizace okrajových podmínek. Obdržíme základní rovnici MKP.7. Řešení sestavené soustavy lineárních algebraických rovnic – (získáme posuvy uúlohy pružnosti)8. Dodatečné výpočty (u úlohy pružnosti výpočet přetvoření, napětí; „průměrování“výsledků… )