KINEMATIKA FLUIDA - FSB

MEHANIKA FLUIDA – KINEMATIKA FLUIDA 133. KINEMATIKA FLUIDAKinematika fluida je dio fizike koji se bavi gibanjem fluida.• Prema hipotezi kontinuuma vrijedi pravilo da svaka čestica fluida (materijalnatočka) zauzima samo jednu točku prostora, a u jednoj točki prostora se moženalaziti samo jedna čestica kontinuuma.3.1 Opis gibanja fluidaLagrangeov opis gibanja fluida• Položaji točaka prostora i položaji čestica fluida opisuju se radijus vektorom r (čijesu komponente prostorne ili Eulerove koordinate x, y, z). U apsolutnomkoordinatnom sustavu je položaj točke prostora je stalan u vremenu (prostornekoordinate x, y, z nisu funkcije vremena), a položaj gibajuće čestice fluida semijenja s vremenom, što znači da su komponente radijus vektora r (vektorapoložaja) koje opisuju položaj čestice fluida jesu funkcija vremena. Gibanje čestice definirano je vremenskom promjenom njena vektora položaja u obliku r = r()t(jednadžba gibanja čestice fluida). • Brzina čestice fluida jest vremenska derivacija vektora položaja v = r () t (točkicaoznačuje vremensku derivaciju), a ubrzanje čestice fluida jest vremenska derivacijabrzine a = v () t = r () t .zt 0V M (t 0 )A r = r( r , t)0V M (t)tA r = r( t )0 0 rr ( , t)0OyxSlika uz opis gibanja čestica fluida• Materijalni volumen se sastoji od beskonačnog broja čestica fluida, a koje su točestice definirano je uočenom konfiguracijom V M( t 0 ) u početnom vremenskomtrenutku t 0. Za potrebe opisa njihova gibanja nužno ih je razlikovati. S obzirom dase u jednoj točki prostora može nalaziti samo jedna čestica fluida, Čestice će serazlikovati po položaju kojeg zauzimaju u početnoj konfiguraciji. Za koordinate početnog položaja čestica fluida se uvodi posebna oznaka r0 = r( t0)i te sekoordinate nazivaju materijalnim ili Lagrangeovim koordinatama. Jasno je da sumaterijalne koordinate vremenski nezavisne.

MEHANIKA FLUIDA – KINEMATIKA FLUIDA 14• Gibajući materijalni volumen će u trenutku t zauzeti novi položaj, a budući da seradi o materijalnom volumenu u tom trenutku će se u njemu nalaziti iste česticekoje su u njemu bile i u trenutku . Na primjer točka A koja je u početnojt 0konfiguraciji bila na položaju definiranom koordinatama r 0, će u trenutku t biti utočki s koordinatama r . Jasno je da će vrijednosti koordinata x, y, z zavisiti i odvremena i od točke u početnoj konfiguraciji, tako da vrijedix = ξ1( x0, y0, z0,t) r = r( r 0, t), odnosno y = ξ x , y , z , t( )( , y , , )2 0 0 0z = ξ x z t3 0 0 0Gornje jednadžbe opisuju vremenski promjenljivi položaj one čestice fluida koja jeu trenutku t0bila na poziciji opisanoj vektorom položaja r 0. Mijenjajući vektor r 0dobivaju je jednadžbe gibanja različitih čestica materijalnog volumena.• Brzina čestice fluida jest vremenska derivacija vektora položaja ∂rr (0, t) Drvr (0, t)= r0= konst.=∂ tDtU mehanici se ona naziva materijalnom derivacijom, a zbog posebne važnosti seoznačuje s D . Materijalnom derivacijom se izražava vremenska promjenaDtfizikalnog svojstva čestice fluida, onako kako bi to osjećao promatrač koji se gibazajedno s česticom. Gornji izraz opisuje promjenu brzine čestica fluida izraženuLagrangeovim koordinatama. Promjenom koordinata r 0dobiju se brzine različitihčestica materijalnog volumena.• Ubrzanje čestice fluida jest materijalna derivacija brzine ∂vr (0, t) Dvar (0, t)= r0= konst.=∂ tDtPonovo se promjenom Lagrangeovih koordinata dolazi do ubrzanja različitihčestica kontinuuma, u bilo kojem trenutku.• U Lagrangeovom opisu strujanja fluida se funkcijama Lagrangeovih koordinata ivremena mogu opisati i druga fizikalna svojstva čestica fluida. Ako se sa Φoznači neko fizikalno svojstvo kontinuuma (gdje za Φ može stajati skalarnofizikalno svojstvo poput gustoće i temperature, vektorsko poput položaja, brzine iubrzanja ili tenzorsko svojstvo), općenito se može pisati:Lr Φ=Φ t( )0 ,Riječima bi se reklo da gornja jednadžba opisuje vremensku promjenu fizikalnogsvojstva Φ čestice0. Nadindeks L u oznaci funkcije ukazuje da je fizikalnosvojstvo izraženo Lagrangeovim koordinatama.r Eulerov opis gibanja fluida• U mehanici fluida se uglavnom koristi Eulerov opis strujanja fluida, koji se temeljina poljima fizikalnih veličina. Ako se svakoj točki prostora u svakom vremenskomtrenutku pridruži fizikalno svojstvo one čestice fluida koja se u promatranomtrenutku nalazi u promatranim točkama prostora dobije se polje fizikalne veličineizraženo prostornim (Eulerovim) koordinatamaE Φ= Φ ( rt , )

MEHANIKA FLUIDA – KINEMATIKA FLUIDA 15• Za polje koje nije funkcija vremena kaže se da je stacionarno, inače jenestacionarno.• Vezu među Lagrangeovim i Eulerovim opisom nekog fizikalnog svojstva ustrujanju fluida definiraju inverzne jednadžbe gibanja 1 :x0 = x0( x, y, z,t) y = y ( x, y, z,t)ili kraće r = r ( r t)0 00 0( , , , )z = z x y z t0 0,Gornje jednadžbe daju početni položaj (u trenutku t 0 ) one čestice fluida koja se utrenutku t nalazi na poziciji definiranoj prostornim koordinatama r . Uvrštavanjemgornjeg izraza u Lagrangeov zapis fizikalnog svojstva Φ slijedi Eulerov zapispolja Φ Φ= Φ L r, t = Φ E r( r, t),t = ΦE r,t( ) ( ) ( )0 0• Bez obzira što su fizikalna svojstva izražena prostornim koordinatama jasno je dasu nositelji fizikalnih svojstava čestice fluida, a ne točke prostora. U točkamaprostora u kojima nema čestica fluida polje fizikalne veličine nije definirano.Materijalna derivacija• Materijalna derivacija izražava brzinu promjene fizikalnog svojstva čestice fluida,tj. promjenu koju bi osjetio promatrač koji bi se gibao zajedno s česticom. Zafizikalno svojstvo zapisano Lagrangeovim koordinatama ona je definirana kaoL DΦ∂Φ( r0, t)=Dt ∂t r0= konst.Materijalna derivacija istog tog fizikalnog svojstva zapisanog u Eulerovimkoordinatama glasiE D Φ ∂Φ ( rt , )E E = r= kons t. + vi ( r, t) ⋅∇Φ ( r, t)t=kons t.Dt∂tPrvi član desne strane gornjeg izraza označuje lokalnu promjenu fizikalnogsvojstva, koju bi osjetio promatrač u fiksnoj točki prostora, dok drugi član desnestrane označuje konvektivnu ili prijenosnu brzinu promjene fizikalnog svojstva,uslijed pomicanja čestice fluida u polju Φ. Ispuštajući oznaku E za Eulerovskopolje i izbjegavajući eksplicitno navođenje zavisnosti polja Φ od prostornih ivremenske koordinate, gornji izraz u razvijenom obliku poprima oblik:D Φ = ∂Φ + v ∂Φ x+ v ∂Φ y+ v∂ΦzDt ∂t ∂x ∂y ∂zlokalnapromjenakonvektivna promjenaMoguće je definirati i operator materijalne derivacije, koji glasi:D • ∂• = + v ⋅∇•Dt∂tGdje umjesto oznake • može stajati skalarno, vektorsko ili tenzorsko polje izraženou funkciji prostornih koordinata i vremena.1 Nužan i dovoljan uvjet za postojanje inverzne funkcije je da je determinanta ∂r/ ∂r0različita od nule i konačna.

MEHANIKA FLUIDA – KINEMATIKA FLUIDA 16• Dok se u Lagrangeovom opisu strujanja fluida polazi od jednadžbi gibanja (čijim sederiviranjem dolazi do brzine i ubrzanja), u Eulerovom se opisu polazi od poljabrzine (jer se polje brzine pojavljuje u operatoru materijalne derivacije).3.2 Strujnice• Strujnice su zamišljene krivulje kojima se u svakoj točki smjer tangente poklapa sasmjerom vektora brzine. Na strujnicama se ucrtava smjer strujanja kao štoprikazuje slika. Za nestacionarno polje brzine, slika strujnica se mijenja od trenutkado trenutka, pa se slika strujnica odnosi na jedan izabrani vremenski trenutak, npr.t=t 1 . Ako se pravac vektora brzine poklapa s tangentom na strujnicu, tada jeusmjereni element luka strujnice dr paralelan vektoru brzine v , te je njihovvektorski produkt jednak nuli, odnosno pripadajuće komponente im se razlikujuistim faktorom, tako da vrijedi:dxdydz= =v ( x, y, z, t) v ( x, y, z, t) v ( x, y, z, t)x y z• Osnovno svojstvo strujnica je da se one ne mogu presijecati, jer bi to značilo da utočki presjeka vektor brzine ima dva različita smjera, što je nefizikalno. Izuzetakčine točke zastoja u kojima je brzina jednaka nuli.3.3 Trajektorije• Trajektorija je prostorna krivulja koju svojim gibanjem opisuje čestica fluida.Jednadžbe gibanja čestice fluida zapisane u Lagrangeovim koordinatama označujuparametarski zapis jednadžbe trajektorije. U Eulerovom opisu strujanja, gdje sepolazi od polja brzine, do jednadžbe trajektorija se dolazi, polazeći od definicijebrzine čestice kontinuuma. Ako je dr usmjereni infinitezimalni element puta kojegprevali čestica kontinuuma gibajući se po svojoj trajektoriji za infinitezimalnovrijeme dt, tada za taj usmjereni element luka trajektorije, iz same definicije brzine slijedi: d r = v( r, t)⋅dt, što se može prikazati i u obliku sustava diferencijalnihjednadžbi:dx dy dz= = = dtvx( x, y, z, t) vy( x, y, z, t) vz( x, y, z, t) čijim se rješavanjem uz početne uvjete za t=t 0 , r( t0)= r 0,dolazi do jednadžbitrajektorija.• Krivulja obilježenih čestica u danom vremenskom trenutku spaja sve čestice fluidakoje su prošle zadanom točkom prostora.• U stacionarnom strujanju trajektorije, strujnice i krivulje obilježenih čestica sepoklapaju.

MEHANIKA FLUIDA – KINEMATIKA FLUIDA 17vektori brzine za strujanje u blizini točkezastojastrujnice za strujanje u blizini točkezastojaStrujnice pri optjecanju cilindraslika strujnica za slučaj naglog proširenja3.4 Strujna površina i strujna cijevStrujna površina je sastavljena od strujnica kojeprolaze točkama neke krivulje C.Vektor brzine je tangencijalan na površinu v⋅ n = 0 , pa kroz strujnu površinu nema protokaQ= ∫ v ⋅ n dS= 0.SAko je krivulja C zatvorena, strujna površinaprelazi u plašt strujne cijevi, kroz kojeg nemaprotoka fluida, kao i kroz plašt neke fizičkecijevi.Ako je površina poprečnog presjeka cijevi dSinfinitezimalna, govori se o elementarnojstrujnoj cijevi. U graničnom prijelazu dS → 0elementarna strujna cijev prelazi u strujnicu.

MEHANIKA FLUIDA – KINEMATIKA FLUIDA 183.6 ProtokVolumenski protok ili jednostavno protok Q jest volumen čestica fluida koje u jediničnomvremenu prođu kroz promatranu površinu S orijentiranu jediničnim vektorom normale n .Ako se čestice fluida gibaju brzinom v , a točke površine brzinom u , tada je relativnabrzina gibanja čestica fluida u odnosu na površinu w = v − u , a protok Q je definiranizrazom Q= wnS ⋅ d = v−u⋅nSd .∫SMirujuća površina ST(t)dSn vt d∫ST(t+dt)( )Primjer 1: Protok kroz mirujuću površinu ( u = 0 ) jeprema općoj formuli Q = ∫ v ⋅n dS.SČestica fluida T se u trenutku t nalazi na površini d S , au trenutku t+dt će zauzeti novi položaj u prostoru, pričemu će prevaliti put vt d , odnosno svojim gibanjemopisati kosu prizmu, kojoj je visina jednaka projekcijivektora puta na smjer normale dh= n ⋅v dt. Volumenčestica fluida koje u vremenu d t prođu kroz površinu dS jednak je volumenu prizme dV = dS⋅ dh= v⋅ndS⋅dt.Elementarni protok kroz površinu d S jednak je podefiniciji omjeru volumena d V i vremena dt , tj.dV d Q= v ndSdt= ⋅ , a ukupni protok kroz površinu Sjednak je zbroju svih elementarnih protoka, što se opisuje integralom Q = v⋅ndS.∫ SPoseban slučaj (brzina okomita na ravnupovršinu) Q = v⋅ ndA=vdA∫A∫AvdABrzina je okomita na ravnu površinu ikonstantna∫Q= vdA=vAAAvGibajuća površina SS(t)dSn ut dS(t+dt)Primjer 2: Protok kroz površinu koja se giba brzinomu u miruju ćem fluidu ( v = 0 ) je prema općoj formuli Q = −u⋅ndS.∫SGibanjem površine S, element dS opisuje kosuprizmu kojoj je duljina brida u dt, a volumendV= u ⋅n dS⋅ dt. Dakle gibanjem površine S mirujućečestice fluida prelaze s desne na lijevu stranupovršine, pa gledano relativno u odnosu na površinuto je isto kao da je površina mirovala, a česticebrzinom −u prolazile kroz površinu. Zato je protok definiran izrazom Q = −u⋅ndS.∫S

MEHANIKA FLUIDA – KINEMATIKA FLUIDA 19 )Primjer 3: Protok kroz materijalnu površinu ( u = vQ = ∫ ( v −u ) ⋅ n dS= 0. Jasno je da kroz materijalnu površinu nema protoka čestica fluida jerSse ona sastoji stalno od jednih te istih čestica.Protok fizikalne veličineČestice fluida osim volumena imaju masu, energiju, količinu gibanja, itd. Prolaskomčestice fluida kroz neku površinu, ona pronosi fizikalne veličine, pa se govori o protocima:volumena (što je gore definirano jednostavno kao protok), mase, energije, količine gibanjai sl. Ako se sa F označi fizikalna veličina, a sa Φ volumensku gustoću te fizikalneveličine, koja je definirana izrazomlim ∆F dF Φ = = ,∆V→0∆ V d Vodnosno sadržaj fizikalne veličine unutar čestice fluida (unutar infinitezimalnog volumenadV ) jest dF=ΦdV, a sadržaj te fizikalne veličine unutar određenog volumena V jedefiniran integralomF=∫ Φ dVV 1 2 1 2F= ⇒ = 1; F= m ⇒ Φ = ρ ; F= mv ⇒ Φ = ρv, F= mv ⇒ Φ = ρv22Primjeri: V ΦDakle za slučaj gibajuće površine u gibajućem fluidu, volumenski protok kroz elementarnu površinu dS će biti dQ= ( v−u)⋅n d S , a protok fizikalne veličine pronesene kroz tu površinu je dQ = Φ v−u ⋅ndS, odnosno protok fizikalne veličine kroz ukupnu površinujeSF( ) Q = Φ v−u ⋅nF∫( ) dSPrimjeri: −a) Maseni protok: Q = m = ρ ( v −u) ⋅ndS; [ m] = MT 1 , [ m]m∫S površine: m= ρv⋅ndS. Za ρ = konst. vrijedi m= ρQ.∫S = kg/sSI. Za slučaj mirujućeb) Težinski protok QG= G = ∫ ρ g( v−u) ⋅ndS; −3⎡⎣G⎤ ⎦= MLT , ⎡⎣G⎤⎦N/s . Za slučajSImirujuće površine: G = ρ gv⋅ndS∫SS = . Za ρ = konst. i g = konst. vrijedi G= mg =ρgQ. Q = v v −u ⋅ndSc) Protok količine gibanja: ( KG ) ρk ( )k ∫Za slučaj mirujuće površine: ( Q )vektorska veličina!)2d) Protok kinetičke energije:EK ∫ ρ ( )SKGk = ρv v⋅ndS1 Q = v v −u ⋅ndS2S∫Sk( ) MLT −2; ⎡ Q ⎤ = , ⎡( Q ) ⎤ = N .⎣ KG k⎦ ⎣ KG k⎦SI. (Protok količine gibanja je2 −3; [ Q ] [ Q ]= ML T , = W .EK EK SI

MEHANIKA FLUIDA – KINEMATIKA FLUIDA 203.7 Leibnitzov teoremBrzina promjene veličine volumenaV(t)S(t)dSn ut dGibajuća površina SV(t+dt)S(t+dt)a) Opći slučaj volumena V čija se granicaS giba brzinom u Brzina promjene volumena je po definicijidVV( t+ dt) −V( t)= , a element površinedtdtdS opisuje element volumena ddV ( ) = untS ⋅ d d , što integrirano popovršini S daje razliku volumenaV t+ dt − V t , te je konačno:( ) ( )dVt = u⋅ ndS= ∇⋅udV.∫dS V∫Brzina promjene sadržaja fizikalne veličine unutar volumenaddt∆→ t 01 ⎡ ⎤fφdV= lim ⎢ f( rt , +∆tdV ) − f( rtdV , ) ⎥ =∆t⎢ ⎣⎥ ⎦∫ ∫ ∫∆→ t 0V V( t+∆t) V( t)1 ⎡ ⎤lim ⎢ f( rt , +∆tdV ) − f( rtdV , ) + f( rt , +∆tdV ) − f( rt , +∆ tdV ) ⎥ =∆t∫ ∫ ∫ ∫⎢⎣V () t V() t V( t+∆t) V()t⎥⎦∂f∂f ∂f∫ dV + f ( r, t +∆ t)dV = dV∂t∫∫ + fu ⋅ ndS = dV + ∇⋅( fu)dV∂t∫ ∫∂t∫V() t V( t+∆t) −V() t V(t) S( t) V( t) S( t)a) Opći slučaj gibajućeg volumenad∂f ⎛∂f ⎞f dV dV fu ndS ( fu)dVdt V∫ = + ⋅ = ⎜ +∇⋅ ⎟V∫∂t ∫S V∫ ⎝ ∂t ⎠lokalna promjenapromjena uslijedgibanja volumena b) Materijalni volumen ( u = v,d Ddt→ Dt)D∂f ⎛∂ff dV dV fv ndS fvDt V∫ =M V∫ + ⋅ = ⎜ +∇⋅∂t M S∫M V∫⎝ ∂tM c) Mirujući volumen (u = 0 )d ∂ff dVdVdtV∫ =V∫ ∂ t( )⎞⎟dV⎠

MEHANIKA FLUIDA – KINEMATIKA FLUIDA 213.8 Materijalni volumenDDt• Materijalni volumen V M(fluidno tijelo) je uočeni dio prostora ispunjen fluidom kojise tijekom gibanja sastoji stalno od jednih te istih čestica. Materijalni volumen je odokoline odijeljen materijalnom površinom S Mkoja se također sastoji stalno odjednih te istih čestica. Jasno je da je brzina gibanja materijalne površine jednakabrzini gibanja čestica fluida, koje čine materijalnu površinu.• U općem slučaju materijalni volumen tijekom gibanja mijenja svoj položaj, oblik iveličinu, pa je za opis njegova gibanja, potrebno opisati gibanje svake njegovečestice. • Nema protoka kroz materijalnu površinu ( v = u ). Brzina promjene sadržajafizikalne veličine za materijalni volumen jednaka je∂f fdV = dV + fv ⋅ndV∂t∫ ∫ ∫VM () t VM () t SM() t