1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Základní pojmy

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině1. Základní pojmyBody• průsečíky čar, značí se velkými tiskacími písmeny• A = B … bod A je totožný (splývá) s bodem B• A ≠ B … různé body A, BPřímka• je dána dvěma různými body• značí se malými písmeny latinské abecedy nebo užitím symbolu ↔• např. p = ↔ AB• D ∈ p - bod D leží na přímce p (přímka p prochází bodem D)• C ∉ p - bod C neleží na přímce p (přímka p neprochází bodem C)Pozn: A, B jsou incidentní s p, p je incidentní s A i B, C není incidentní s p. p není incidentní s C.Polopřímka• bod rozděluje přímku na dvě navzájem opačné polopřímky, je jejich společnýmpočátkem• např. → ΕΒ … polopřímka EBÚsečka• např. KL … úsečka KL• KL = → KL ∩ → LK (průnik polopřímek KL a LK)• K, L … krajní body úsečky• M … vnitřní bod úsečky (analogicky vnitřní body, vnitřek úsečky)• |KL| … délka úsečky – vzdálenost bodů K, L• KL ⊂ → KL, KL ⊂ → LK, KL ⊂ ↔ KL• střed úsečky – dělí úsečku na dvě shodné úsečky• součtem úseček o délkách a, b je každá úsečka s délkou a + brozdílem úseček o délkách a, b (a > b) je každá úsečka s délkou a – b1

• Př.: součet a rozdíl úseček graficky• osa úsečky – prochází středem úsečky a je k ní kolmáRovina• je určena třemi různými body nebo přímkou a bodem neležícím na přímce• značí se malými písmeny řecké abecedy např. α, β nebo ↔ ABC nebo ↔ pCPolorovina• přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny a je jejich společnou hraničnípřímkou• např. → pN ( → pM, příp. → ABN ) … polorovina určená přímkou p a bodem N( přímkou p a bodem M, příp. body ABN)Vzájemná poloha útvarů :A ∈ p ... bod A leží na přímce p, přímka p prochází bodem AA ∈ ρ ... bod A leží v rovině ρ, rovina ρ prochází bodem Ap ⊂ ρ ... přímka p leží v rovině ρ (rovina ρ obsahuje přímku p, rovina ρ prochází přímkou p)A ∉ p, A ∉ ρ, p ⊄ ρ ... opak (neleží, neprochází)2

Úhel• úhlem rozumíme buď průnik dvou polorovin s různoběžnými hraničními přímkami(konvexní úhel) nebo jejich sjednocení (nekonvexní úhel).• např.∢ AVB … konvexní úhel AVBV … vrchol úhlu→ VA, → VB … ramena úhluM … vnitřní bod konvex. úhlu AVBN … vnitřní bod nekonvex. úhlu AVBnekonvexní180° < α < 360°nulovýα = 0°pravýα = 90°přímýα = 180°úhelkonvexní0° ≤ α ≤ 180°plnýα = 360°ostrý0° < α < 90°kosýtupý90° < α < 180°3

Konvexní geometrický útvar• geometrický útvar se nazývá konvexní, jestliže úsečka spojující kterékoliv dva bodyútvaru je součástí tohoto útvaru• přímka, polopřímka, úsečka, polorovina, konvexní úhel, ...Vrcholové úhly• dvě různoběžky p, q se společným bodem V rozdělí rovinu na čtyři úhly - dvě dvojiceúhlů jejichž ramena jsou opačné polopřímky.• vrcholové úhly jsou shodné• dvojice vrcholových úhlů:Doplňkové úhly• libovolné dva ostré úhly, jejichž součet velikostí je 90°Výplňkové úhly• libovolný ostrý úhel a tupý úhel, jejichž součet velikostí je 180°Styčné úhly• konvexní úhly AVB, BVC, které leží v rovině tak, že jejich průnikem je právě jen ramenoVB• vedlejší úhly – styčné úhly, jejichž grafickým součtem je úhel přímý4

Osa úhlu• polopřímka s počátkem ve vrcholu úhlu• rozdělí úhel na dva shodné úhlyVelikost úhlu• zápis: ∣∢ AVB∣=α … velikost konvexního úhlu AVB• při měření úhlů volíme za jednotkový úhel určitý díl pravého úhlu• úhlový stupeň• šedesátinný (označení 1°)• je 1/90 pravého úhlu. Z úhlového stupně jsou odvozeny úhlová minuta(1') a úhlová vteřina (1″). Platí 1° = 60' = 3 600″.• setinný (označení 1 g )• je 1/100 pravého úhlu. Grad se dělí na 100 setinných minut, setinnáminuta se dělí na 100 setinných vteřin.• oblouková míra – jednotkovým úhlem je radián (později)Součet úhlů• součet úhlů α, β je úhel o velikosti α + βRozdíl úhlů• rozdíl úhlů α, β (α > β) je úhel o velikosti α – βPř: Součet a rozdíl úhlů graficky.5

Shodné geometrické útvary• lze je přemístěním ztotožnit• každé dvě přímky jsou shodné, každé dvě polopřímky jsou shodné• shodné úsečky mají stejné délky, zápis: AB ≅ CD ⇔ |AB| = |CD|• shodné úhly mají stejnou velikost,zápis ∢ AVB ≅ ∢CUD ⇔ ∣∢ AVB∣ = ∣∢CUD∣Příklady:1. Zapiš symbolicky:a) bod B leží na polopřímce ACb) úsečka AC je částí polopřímky BFc) bod B neleží na úsečce ACd) úsečka BA neleží na polopřímce CFe) polopřímka CB nemá s polopřímkou AF žádný společný bodf) úsečky AC a BD mají jediný společný bod Cg) přímka AC splývá s přímkou BF .2. Zapiš symbolicky:a) úsečka CD leží v polorovině ABEb) polopřímka GD neleží v polorovině ABEc) bod F leží v polorovině CDAd) bod F neleží v polorovině CDEe) polorovina CGB splývá s polorovinou CDEf) přímka q leží v obou polorovinách ABE a ACG.6

2. Vzájemná poloha přímek v rovině, souhlasné a střídavé úhlyRůznoběžky• mají společný právě jeden bod – průsečík Pa ∩ b = {P}; P ∈ a ∩ b• zvláštní případ – kolmé přímky , průsečík P = pata kolmice• daným bodem lze vést k dané přímce jedinou kolmici• a ⊥b∧a⊥c⇒ b∥c• b∥c∧a⊥b⇒a⊥cRovnoběžky a || b• nemají žádný společný bod a ∩ b = ∅ , nebo nekonečně mnoho společných bodů• zvláštní případ – splývající (totožné) přímky a ∩ b = a = b• daným bodem lze vést k dané přímce jedinou rovnoběžku• a∥b∧b∥c ⇒ a∥cRovinný pás (a,b)• část roviny ohraničená dvěma rovnoběžkami a, bÚhly souhlasné a střídavéUvažujme dvě různé přímky a, b, které jsou proťaty příčkou p ve dvou bodech A, B(příčka – úsečka nebo přímka, která má specif. polohu k jednomu či několika útvarům).• dvojice souhlasných úhlů:• dvojice střídavých úhlů:Jestliže jsou přímky a a b rovnoběžné, pak každá dvojice souhlasných (střídavých) úhlůjsou shodné a obráceně.7

3. Odchylky a vzdálenostiOdchylkou α dvou přímek a, b v rovině• nazýváme• u různoběžných přímek velikost pravého nebo ostrého úhlu, který přímkysvírají• u rovnoběžných přímek velikost nulového úhlu• zápis ∣∢ab∣=α; α ∈〈0° ;90° 〉Vzdálenost bodu A od přímky a• je vzdálenost bodů A, P(P je pata kolmice vedené bodem A k přímce p)• zápis ∣Aa∣• A∈a⇒∣A a∣=0Vzdálenost rovnoběžných přímek a, b• je vzdálenost bodů A, B ( viz nákres)• zápis ∣a b∣• a=b⇒∣ab∣=08

3. TrojúhelníkTrojúhelník ABC• je průnik polorovin ABC, BCA, CAB; A ≠ B ≠ C; A, B, C neleží v jedné přímce.• A, B, C … vrcholy trojúhelníku• AB, BC, AC … strany trojúhelníku• |AB| + |BC| + |AC| = O … obvod trojúhelníku ( délka hranice)• vnitřní body a vnitřek trojúhelníku• vnitřní úhly trojúhelníku• konvexní úhly BAC, ABC, BCA• označení …∣∢ BAC∣ ... ∢ A ... α∣∢ ABC∣ ... ∢ B ... β∣∢BCA∣ ... ∢C ... γ• součet vnitřních úhlů trojúhelníku je vždy úhel přímý.• vnější úhly trojúhelníku• vedlejší úhly k vnitřním úhlům trojúhelníku ABC• vnější úhel je roven součtu vnitřních úhlů při zbývajících vrcholech.• proti shodným stranám trojúhelníku leží shodné vnitřní úhly, proti větší stranětrojúhelníku leží větší vnitřní úhel a naopak.Dělení trojúhelníků podle délek stran• různostranné• žádné dvě strany trojúhelníku nejsou shodné• rovnoramenné• právě dvě strany trojůhelníku jsou shodné – ramena, třetí je základna,• rovnostranné• všechny strany trojúhelníku jsou shodnéDělení trojúhelníků podle velikosti vnitřních úhlů• ostroúhlé• tupoúhlé• všechny vnitřní úhly ostré• právě jeden vnitřní úhel tupý• pravoúhlé• právě jeden vnitřní úhel pravý• strana proti pravému úhlu - přepona, ostatní dvě strany - odvěsny9

Trojúhelníková nerovnost• součet každých dvou stran trojúhelníku je větší než strana třetínapř. ∣AB∣⩽∣AC∣+∣BC∣ , přičemž A, B, C jsou vrcholy trojúhelníku(neleží v jedné přímce)Pozn: rovnost nastane právě tehdy, když C ∈AB .Úsečky o délkách a, b, c jsou stranami trojúhelníku právě tehdy, když platí ∣b−c∣

Kružnice opsaná trojúhelníku• prochází všemi vrcholy trojúhelníku• střed je průsečíkem os stran trojúhelníku, poloměr rKružnice vepsaná trojúhelníku• dotýká se všech stran trojúhelníku• střed je průsečíkem os vnitřních úhlů trojúhelníku, poloměr ρShodnost trojúhelníkůVěta SSS• Dva trojúhelníky, které se shodují ve všech jeho stranách, jsou shodné.Věta USU• Dva trojúhelníky, které se shodují v jedné straně a úhlech přilehlých k této straně, jsoushodné.Věta SUS• Dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném, jsou shodné.Věta SsU• Dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou stranách a úhlu proti větší z nich, jsoushodné.Podobnost trojúhelníků• Trojúhelníky A'B'C' a ABC jsou podobné právě tehdy když existuje kladné reálné číslo ktakové, že pro jejich strany platí:∣A' B '∣=k⋅∣AB∣; ∣B' C '∣=k⋅∣BC∣; ∣C ' A'∣=k⋅∣CA∣neboli c' =k⋅c; a'=k⋅a; b'=k⋅b .• k … koeficient (poměr) podobnostik > 1 … zvětšení, k < 1 … zmenšení, k = 1 … shodnost• Zápis: Δ ABC~Δ A ' B ' C '• Je-li Δ ABC~Δ A ' B ' C ' s koeficientem k, pak je Δ A' B ' C ' ~Δ ABC s koef. 1/k.Věta UU• Dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou úhlech jsou podobné.Věta SUS• Dva trojúhelníky, které se shodují v poměru délek dvou stran a úhlu jimi sevřeném,jsou podobné.11

Příklady1. (J) (K)Rozhodni, zda jsou podobné trojúhelníky ABC, A'B'C'.a) a= 8 3 cm ,b= 7 3 cm ,γ=55° , a' =4cm ,b'= 7 cm , γ' =55°2b) a=15cm ,b=17cm , γ=75° 40' ,a'=10cm ,b' =11cm , γ'=75° 40'*c) ∣AB∣=24mm ,v c=16 mm ,∣A ' B'∣=72 mm ,∣A ' C '∣=60mmrovnoramennéd) a=12cm ,b=16cm ,c=19cm ,a'=10cm ,b' =13 1 cm ,c' =15cm3, trojúhelníky ABC a A'B'C' jsou2. (J) Stín věže je dlouhý 70 m a stín metrové tyče má v tutéž dobu délku 150 cm. Vypočítejtevýšku věže.3. (J) Určete měřítko mapy, jestliže trojúhelníková pole o rozměrech 162,5 m; 117,5 m; 180 mje na mapě zakresleno jako trojúhelník o stranách 6,5 mm; 4,7 mm; 7,2 mm.4. (J) V rovnoramenném trojúhelníku ABC se základnou AB veďte středem S ramene BCkolmici na základnu AB s patou D. Dokažte, že platí ∣AD∣= 3 4 ∣AB∣ .*5. (J) Vrcholy trojúhelníku ABC mají od přímky p vzdálenost d A = 3 cm, d B = 4 cm, d C = 8 cm.Vypočítej vzdálenost těžiště T trojúhelníku ABC od přímky p.6. (J) Vypočítej délky stran a, b, c trojúhelníku ABC, který je podobný trojúhelníku A'B'C',jestliže obvod trojúhelníku ABC je 100 cm a a'= 8 cm, b'= 14 cm, c'= 18 cm.7. (J) Pomocí redukčního úhlu (graficky) zkraťte úsečky o velikostech 4 cm, 8 cm, 12 cmv poměru 5 : 11.8. (J) Pomocí redukčního úhlu (graficky) zvětšete úsečky o velikostech 2 cm, 5 cm, 6 cmv poměru 7 : 5.9. (J) Přímá cesta rovnoměrně stoupá na každé 2 m o 10 cm. O kolik metrů stoupne cesta přivzdálenosti 1250 m?10. (K) Trojúhelník ABC má délky stran a = 2 cm, b = 3 cm, c = 4 cm. Najděte trojúhelníkpodobný, jehož strana a' = 3 cm.11. (K) Věž vrhá stín dlouhý 56 m. Tyč dlouhá 3 m má ve stejném okamžiku stín dlouhý 1,75m. Jak vysoká je věž? Pod jakým úhlem dopadají sluneční paprsky k zemi?Řešení:1. a) A, b) N, c) A, d) N; 2. 140/3 m; 3. 1 : 25 000; 5. 5 cm; 6. a = 20 cm, b = 35 cm, c = 45 cm;9. o 62,5 m; 10. b' = 4,5 cm, c' = 6 cm; 11. 96 m, 59°44'12

4.MnohoúhelníkyPojmy: lomená čára, vrcholy lomené čáry, strany lomené čáry, lomená čára uzavřená...Mnohoúhelník• uzavřená lomená čára spolu s částí roviny, kterou ohraničujePojmy: hranice mnohoúhelníku, obvod mn., vrcholy a strany mn., vnitřní body a vnitřek mn.,konvexní mnohoúhelníkn–úhleník• má n-vrcholů (n = 3 … trojúhelník, n = 4 … čtyřúhelník, atd...)Úhlopříčka n-úhelníku• úsečka s krajními body ve dvou nesousedních vrcholech• počet úhlopříček:Konvexní mnohoúhelník12 ⋅n⋅(n−3)• mnohoúhelník je konvexní, jestliže úsečka spojující kterékoliv dva bodymnohoúhelníku je součástí tohoto útvaru• tětivový mnohoúhelník – konvexní mnohoúhelník, jemuž lze opsat kružnici• tečnový mnohoúhelník – konvexní mnohoúhelník, jemuž lze vepsat kružnici• opěrná polorovina konvexního mnohoúhelníku• každá polorovina, v niž konvexní mnohoúhelník leží a jejíž hraniční přímka más mnohoúhelníkem společnou právě jednu hranu.• konvexní mnohoúhelník je průnikem všech svých opěrných polorovin• vnitřní úhel konvexního mnohoúhelníku• součet velikostí všech vnitřních úhlů konvexního n-úhelníku: (n−2)⋅180°• vnější úhel konvexního mnohoúhelníkuPravidelný n-úhelník• má všechny strany a vnitřní úhly shodné• vnitřní úhly mají velikost• lze mu opsat i vepsat kružnici(n−2)⋅180°n• např: čtverec, pravidelný pětiúhelník13

Příklady:1. Velikosti vnitřních úhlů konvexního čtyřúhelníku jsou v poměru m : n : p : q, kde m, n, p, qjsou daná čísla. Jaké mají velikosti?2. Lichoběžník ABCD s rameny AD délky 3 cm a BC délky 5 cm lze vepsat kružnici. Střednípříčka EF dělí lichoběžník na dvě části, jejichž obsahy jsou v poměru 5 : 11. Vypočítej délkyzákladen lichoběžníku.3. Sestroj pravidelný trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník, šestiúhelník, sedmiúhelníka desetiúhelník.14

5. Konvexní čtyřúhelníkyRůznoběžníky• každé dvě protější strany jsou různoběžné• např. deltoidLichoběžníky• právě dvě protější strany jsou rovnoběžné – základny, zbývající dvě strany jsourůznoběžné - ramena.• střední příčka lichoběžníku – úsečka spojující středy ramen ∣S 1S 2∣= ∣AB∣+∣CD∣2• výška lichoběžníku – vzdálenost základen• součet vnitřních úhlů při rameni je 180° (výplňkové úhly)• zvl. případy• rovnoramenný lichoběžník – stejná délka ramen• pravoúhlý lichoběžník - právě jedno rameno je kolmé k základnám15

Rovnoběžníky• každé dvě protější strany jsou rovnoběžné• dělení podle vnitřních úhlů• pravoúhlé (obdélník, čtverec)• úhlopříčky jsou shodné• kosoúhlé ( kosodélník, kosočtverec)• dělení podle délek stran• rovnostranné (čtverec, kosočtverec)• úhlopříčky půlí vnitřní úhly a jsou navzájem kolmé• různostranné (obdélník, kosodélník)• v každém rovnoběžníku platí• protější strany jsou shodné• protější vnitřní úhly jsou shodné• úhlopříčky se navzájem půlí, jejich společný bod je středem rovnoběžníku• věty platí i obráceně: Jestliže konvexní splňuje kteroukoliv z uvedenýchvlastností, pak je to rovnoběžník.• Má-li rovnoběžník dva sousední úhly shodné, pak jsou shodné všechny a jsou pravé.• Má-li rovnoběžník dvě sousední strany shodné, pak jsou všechny jeho strany shodné.?? Lze každému trojúhelníku opsat a vepsat kružnici??? Lze každému konvexnímu čtyřúhelníku opsat a vepsat kružnici?16

Tětivový čtyřúhelník• čtyřúhelník, jemuž lze opsat kružnici,• obdélník, čtverec• lichoběžník je tětivový, právě když je rovnoramenný• součet protějších vnitřních úhlů tětivového čtyřúhelníku je úhel přímýTečnový čtyřúhelník• čtyřúhelník, jemuž lze vepsat kružnici• kosočtverec, čtverec, deltoid• lichoběžník je tečnový, právě když součet délek jeho základen je roven součtu délekjeho ramen• součty délek dvojic protějších stran tečnového čtyřúhelníky jsou si rovnyDvojstředový čtyřúhelník• čtyřúhelník, jemuž lze opsat i vepsat kružnici• čtverecPozn: Kosodélník není ani tětivový, ani tečnový.17

6. Kružnice, kruhKružnice k(S, r)• množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu S danou vzdálenost rS … střed kružnice, r … poloměr kružniceKruh K(S, r)• množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu S vzdálenost menší neborovnu rS … střed kruhu, r … poloměr kruhuk(S, r) … hranice kruhuvnitřní oblast (vnitřek) kruhu, vnější oblast (vnějšek) kruhuTětiva kružnice• úsečka AB, kde A, B jsou dva různé body kružnice• průměr kružnice d je tětiva procházející středem kružnice d = 2 . rKružnicové oblouky (oblouky kružnice) s krajními body A, BVětší oblouk - oblouk v polorovině ABS , menší oblouk (AB neprochází bodem S)Půlkružnice – oblouky pokud AB prochází bodem SOtevřený oblouk – množina všech vnitřních bodů oblouku (oblouk bez krajních bodů)A, B … krajní body obou obloukůC 1 , C 2 … vnitřní body jednoho obloukuKruhové výsečeKruhové úseče18

Vzájemná poloha přímky a kružniceVnější přímka Tečna Sečnažádný společný bod právě jeden společný bod právě dva společné bodyv > r T … bod dotyku A, B … průsečíkyv = rv < rtečna je kolmá k rúsečka AB … tětivaBodem M, který leží vně kružnice prochází právě dvě tečny kružnice.|MT 1 | = |MT 2 |... délka tečnyPř 1: Je dána kružnice k a vnější bod M. Sestrojte všechny tečny kružnice k procházejícíbodem M.19

Vzájemná poloha dvou kružnic k 1 (S 1 , r 1 ), k 2 (S 2 , r 2 )Soustředné kružnice S 1 = S 2• nemají žádný společný bod (r 1 ≠ r 2 ),nebo nekonečně mnoho společných bodů (r 1 = r 2 )• zvláštní případ – totožné (splývající) kružnice, r 1 = r 2• mezikruží - všechny body, které mají od bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r 1 a většínebo rovnu r 2• šířka mezikruží r 1 – r 2• výseč mezikruží – průnik mezikruží a úhlu, jehož vrcholem je střed kružniceNesoustředné kružnice S 1 ≠ S 2S 1 S 2 … středná úsečkaKaždá kružnice leží vně druhéKružnice mají vnější dotyk|S 1 S 2 | > r 1 + r 2 |S 1 S 2 | = r 1 + r 2Kružnice se protínají ve dvou bodechr 1 - r 2 < |S 1 S 2 | < r 1 + r 2Kružnice mají vnitřní dotyk|S 1 S 2 | = r 1 - r 2Jedna kružnice leží uvnitř druhé(nedotýkají se)0 < |S 1 S 2 | < r 1 - r 220

7. Úhly příslušné k oblouku kružnice k(S, r)Úhel středový příslušný k oblouku AB ... úhel ω• má vrchol v bodu S (střed kružnice k), ramena procházejí body A, B• oblouk AB v daném středovém úhlu leží• středový úhel k půlkružnici je úhel přímýÚhel obvodový příslušný k oblouku AB … úhel α• vrchol V leží na kružnici k, neleží na oblouku AB (ke kterému obvodový úhel přísluší),ramena úhlu procházejí body A, B• obvodový úhel je vždy konvexníKe každému oblouku existuje právě jeden středový úhel a nekonečně mnohoobvodových úhlů.21

Velikost středového úhlu (ω ) je rovna dvojnásobku velikosti obvodového úhlu (α)příslušného k témuž oblouku.ω = 2 . αPlatí:• Všechny obvodové úhly k danému oblouku jsou shodné.• Obvodový úhel příslušný k menšímu oblouku je ostrý.• Obvodový úhel příslušný k většímu oblouku je tupý.• Obvodový úhel příslušný k půlkružnici je ostrý.• Součet obvodových úhlů příslušných k oběma obloukům AB je úhel přímý (viz tětivovýčtyřúhelník)Thaletova věta• všech úhly nad průměrem kružnice jsou pravé.22

8. Obvody a obsahy geometrických obrazcůGeometrický obrazec• geometrický útvar ohraničený uzavřenou čarou, která je také částí obrazceObvod O• délka hranice geometrického útvaruObsah S• kladné číslo přiřazené geometrickému obrazci tak, že platíPřehled vzorců1. Shodné obrazce mají sobě rovné obsahy.2. Skládá-li se obrazec z několika obrazců, které se nepřekrývají, rovná se jehoobsah součtu jejich obsahů.3. Obsah čtverce se stranou 1 (mm, cm, …) je 1 (mm 2 , cm 2 , …)Obrazec Obvod ObsahTrojúhelníkO=a+b+cS= 1 2 ⋅a⋅v a= 1 2 ⋅b⋅v b= 1 2 ⋅c⋅v cHeronův vzorec:S =√s⋅(s−a)⋅(s−b)⋅(s−c),kde s= 1 2 ⋅(a+b+c)Obdélníkstrany … a, bČtverecstrana … aO=2⋅(a+b)S=a⋅bO=4⋅a S=a 2S= 1 2 ⋅e2Kosodélník O=2⋅(a+b) S=a⋅v a=b⋅v b23

Kosočtverec O=4⋅a S=a⋅vS= 1 2 ⋅e⋅fLichoběžníkO=a+b+c+dS = 1 2 ⋅(a+c)⋅vKruhO=2⋅π⋅r=π⋅dS =π⋅r 2 = 1 4 ⋅π⋅d 2d=2ṙMezikružíS=π⋅(r 2 1 −r 2 2 )S= 1 4 ⋅π⋅(d 2 1−d 2 2 )d 1=2⋅r 1d 2=2⋅r 2Pravidelný n-úhelníkstrana ... apoloměr kružnice vepsané …ρO=n⋅aS =n⋅ 1 2 ⋅a⋅ρ= 1 2 ⋅O⋅ρ24

Pozn: Kružnice přísluší středovému úhlu 360°, půlkružnice středovému úhlu 180°.Délka oblouku, kterému přísluší středový úhel 1°• je• je13601180délky celé kružnice, tj.délky celé půlkružnice, tj.2⋅π⋅r360Délka kružnicového oblouku , kterému přísluší středový úhel o velikosti α (°)∣ ̂ AB∣= π⋅r180 ⋅αOblouková míra• jednotkový úhel …. 1 radián• středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici (r =1) oblouku o délce 1.• α … velikost úhlu v míře stupňové (ve stupních), [α] = ° ' ''• arc α , x … velikost úhlu v míře obloukové (v radiánech), [x] = rad• délka oblouku jednotkové kružnice, který přísluší ke středovému úhlu ovelikosti α v míře stupňové• x= π ⋅α [rad] , α=180⋅x [°]180 π• velikost úhlu v míře obloukové a velikost úhlu v míře stupňové jsou přímoúměrné.25