12.07.2015 Views

Kompleksmuutuja funktsioonid YMM0020

Kompleksmuutuja funktsioonid YMM0020

Kompleksmuutuja funktsioonid YMM0020

SHOW MORE
SHOW LESS

Create successful ePaper yourself

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

<strong>Kompleksmuutuja</strong> <strong>funktsioonid</strong> <strong>YMM0020</strong>2010/2011 sügissemester, YAFB51,YAFB52Maht: 6 EAP, 2t loenguid + 3t harjutusi nädalas3 kontrolltööd, kodutöö, suuline eksamMatemaatikainstituut YMLoengud ja harjutused: dotsent Alar LeibakÕppeaine eesmärk• Anda kompleksmuutuja funktsiooniteooria teoreetilised alused.• Anda Laplace’i teisenduse teoreetilised alused.• Korrastada üliõpilaste matemaatilist maailmapilti.• Näidata esitatud teooria võimalikke rakendusi praktikas.• Harjutada üliõpilasi matemaatilise sümboolikaga.Õppeaine programm1. Algebralised struktuurid: rühm, korpus. Kompleksarvu algebralinekuju. Tehted kompleksarvudega algebralisel kujul. Tehete geomeetrilinetõlgendus. ([11, 1, 2])2. Kompleksarvu trigonomeetriline ja eksponentkuju. Kompleksarvudekorrutamine, jagamine ja astendamine trigonomeetrilisel ja eksponentkujul.Kompleksarvu juurimine. ([1, 2])3. <strong>Kompleksmuutuja</strong>. Stereograafiline projektsioon. Lõpmatuspunkt.Punkti ümbrus. Lahtine hulk. Piirkond. Sidus hulk. Kompakt. Joonemõiste ja omadused. Jordani joon. Kompleksarvuliste liikmetega jada.Jada koondumine. Kompleksarvuliste liikmetega arvrida. Rea koondumineja rea summa. ([1, 2, 12, 8, 14])4. <strong>Kompleksmuutuja</strong> funktsiooni mõiste, selle piirväärtus ja pidevus.Ühtlane pidevus. ([1, 10, 13, 8])5. Funktsionaalread. Ühtlane koonduvus. Weierstrassi tunnus.Astmeread. Abeli teoreem. Astmeridade omadusi. ([1, 14])6. Funktsioonide e z , sin(z), cos(z), sinh(z) ja cosh(z) definitsioonidastmeridade kaudu. Nende <strong>funktsioonid</strong>e omadused. Euleri valemitõestus. ([10])1


7. Logaritmfunktsioon, üldine astme- ja eksponentfunktsioon. Arkus- jaarea<strong>funktsioonid</strong>. ([1])8. <strong>Kompleksmuutuja</strong> funktsiooni tuletis ja diferentsiaal. Diferentseeruvfunktsioon. Analüütiline funktsioon. Cauchy-Riemanni võrrandid.Harmoonilised <strong>funktsioonid</strong> ja nende lihtsamad omadused. ([1, 10])9. Tuletise geomeetriline tähendus. Konformne kujutus. Riemanni teoreem.([1, 10])10. Lineaar- ja murdlineaarfunktsioon. Seos murdlineaarsete <strong>funktsioonid</strong>eja regulaarmaatriksite vahel. Murdlineaar<strong>funktsioonid</strong>e rühm. ([1, 10,2, 11])11. Integraali mõiste ja omadused. ([1, 2])12. Cauchy teoreem üheli- ja mitmelisidusa piirkonna korral.([1, 2, 10])13. Algfunktsioon. Newton-Leibnizi valem. ([10])14. Cauchy valem. Cauchy tüüpi integraalid. Analüütilise funktsioonimistahes järku tuletise olemasolu. Liouville’i teoreem. Algebra põhiteoreem.Lokaalne mooduli maksimumiprintsiip. ([1, 2, 10])15. Ühtlaselt koonduvate funktsionaalridade integreerimine ja diferentseerimine.Taylori rida. Analüütilise funktsiooni arendamine Tayloriritta. ([1, 10])16. Mõlema lõpmatu rajaga rea koonduvus. Laurent’i rida. Analüütilisefunktsiooni arendamine Laurent’i ritta üheli- ja mitmelisidusaspiirkonnas. ([1, 2, 10])17. <strong>Kompleksmuutuja</strong> funktsiooni iseärased punktid ja nende klassifikatsioon.([1, 10])18. <strong>Kompleksmuutuja</strong> funktsiooni Laurent’i rida isoleeritud iseärase punktiümbruses. Analüütilise funktsiooni nullkohad ja nende kasutaminepooluse järgu määramisel. ([1, 10])19. Resiidid ja nende arvutamine. Resiid lõpmatuspunktis. Resiidideteooria põhiteoreem. Logaritmiline resiid. ([1, 2, 10])20. Resiidide kasutamine integraalide arvutamisel. Jordani lemma. ([1, 2,10, 5])21. Laplace’i teisendus. Originaal ja kujutis. Operaatorarvutus. ([2, 6,10])2


22. Laplace’i teisenduse omadusi: lineaarsus, nihketeoreem, hilinemisteoreem,sarnasusteoreem, perioodilise originaali kujutis, originaalituletis, kujutise tuletis, originaali integreerimine, kujutise integreerimine,konvolutsiooni kujutis. ([2, 6, 10])23. Laplace’i teisenduse pööramine. ([2, 10])24. Diferentsiaalvõrrandite ja nende süsteemide lahendamine operaatormeetodil.([2, 10])25. Konvolutsiooni tüüpi integraalvõrrandite lahendamine operaatormeetodil.([2])26. Laplace’i teisenduse kasutamine reaalmuutuja integraalide arvutamisel.([2, 5])Eeldusained1. Lineaaralgebra (YMA 3710)2. Matemaatiline analüüs II (YMM 3740)KirjandusPõhiõpikud[1] I. Tammeraid, F. Vichmann, <strong>Kompleksmuutuja</strong> funktsiooniteooria elemente.Tln. 1986.[2] E. Jürimäe, <strong>Kompleksmuutuja</strong> <strong>funktsioonid</strong>e teooria lühikursus. Tln.1983.[3] T. Jõgi, P. Kass, <strong>Kompleksmuutuja</strong> <strong>funktsioonid</strong> ja operaatorarvutus.Ülesannete kogu, Tln. 1975.[4] I. G. Aramanovic, G. L. Lunc, L. I. Volkovskii. Sbornikzadaq po teorii funkcii kompleksnogo peremennogo. Moskva,2002.[5] M. L. Krasnov, A. I. Kisilev, G. I. Makarenko, Funkcii kompleksnogoperemennogo. Operacionnoe isqislenie. Teoria ustoiqivosti.Moskva, 1981.3


Täiendav kirjandus[6] A. Jõgi, Operaatorarvutus I ja II. Tln. 1978.[7] A. Jõgi, Integraalteisendused. Tln. 2003.[8] G. Kangro, Matemaatiline analüüs I, Tln. “Valgus” 1982[9] A. Lõhmus, I. Petersen, H. Roos, Kõrgema matemaatika ülesannetekogu. Tln. “Valgus” 1982[10] H. A. Priestley, Introduction to Complex Analysis. Second Edition.,OUP 2003.[11] P. Puusemp, Üldalgebra alused, Tln. 2002.[12] P. Puusemp, Topoloogia. Loengukonspekt,http://staff.ttu.ee/~puusemp/TOPO.pdf[13] I. Tammeraid, Matemaatiline analüüs I. Tln. 2001http://staff.ttu.ee/~itammeraid/matan1.pdf[14] I. Tammeraid, Matemaatiline analüüs II. Tln. 2003http://staff.ttu.ee/~itammeraid/matan2.pdfKoduülesanded, kontrolltööd ja eksamAine õpetamisel on rõhk asetatud ülesannete lahendamisele ja seoste loomiseleteiste matemaatika-ainetega (lineaaralgebra, matemaatiline analüüs jt.).Harjutustundides lahendatakse ülesandeid õppejõu aktiivsel juhendamisel.Iga tund antakse ülesandeid iseseisvaks harjutamiseks, kusjuures öeldakse,milliste ülesannete lahendused tuleb esitada kirjalikult vastava kontrolltööajaks. Nende ülesannete raskusaste vastab kontrolltööde ülesannete raskusastmele.üliõpilaste abistamiseks on ette nähtud konsultatsioonid, mis toimuvadregulaarselt iga nädal.Kontrolltöödes, mis toimuvad harjutustundide ajal, kontrollitakse üliõpilaseülesannete lahendamise oskust. Igal kontrolltööl on semestri seesüks järeltöö, mis toimub väljaspool loenguid ja harjutustunde. Positiivseletulemusele (st. vähemalt 51-le punktile 100-st) sooritatud kontrolltööd oneksami eelduseks. Kontrolltööde tulemusi eksamil enam parandadaei saa ja kontrolltööde tulemused annavad kokku poole eksamihindest(vt. allpool). Kontrolltööde sooritamise ajal võib üliõpilane kasutadaõppejõu poolt varem jaotatud valemilehti, millele ei ole täiendusi tehtud.Kodutöös, mis on arvestuslik, näitavad üliõpilased oma oskusi resiididekasutamisel reaalmuutuja integraalide ja arvrea summade arvutamisel.Arvestatud kodutöö on eksamile pääsu üheks eelduseks.4


Teooria vastamine semestri jooksul on vabatahtlik ning toimub kontrolltöödevormis väljaspool antud aine loenguid ja harjutustunde. Hindamisekson kursuses esitatav materjal jagatud neljaks osaks. Teooria kontrolltööon arvestatud, kui see on sooritatud vähemalt 51-le punktile. Kuiüliõpilane on selle tulemusega rahul, siis ta seda osa eksamil vastama ei pea.Küll peab üliõpilane olema valmis eksamil vastama küsimustele, mis puudutavadselles osas esitatud definitsioone ja uuritavate objektide omadusi.Lõplik teadmiste kontroll toimub suulisel eksamil. Eksamil kontrollitakseüliõpilase teadmisi teooriast: mõistete definitsioone, väidete tõestusi ja uuritavateobjektide omadusi. Abimaterjalide kasutamise kord eksamil lepitakseüliõpilastega kokku hiljemalt viimaseks õppenädalaks. Kuna tegemist onsissejuhatava kursusega, siis avatud õpiku eksam on välistatud!Kontrolltööde või eksami ajal ei ole lubatud kaasüliõpilastega vestlemineega spikerdamine. Nende reeglite rikkumise korral on õppejõul õigusreegleid rikkunud üliõpilase töö tühistada (eksamil toimunu korral kantaksehindamisprotokolli hinne “0”). Kui rikkumine leiab aset semestri sees toimuvatelkontrolltöödel, siis kaotab üliõpilane õiguse sooritada teooriatöid antudõppeaines, st. puuduv teooriaosa tuleb vastata eksamil.Lõplik eksamihinne EH saadakse kontrolltööde ja teooria hinnete keskmisena:KT1 + KT2 + KT3KP = +6⎧⎪⎨EH =⎪⎩T1 + T2 + T3 + T4,80, kui KP < 51;1, kui 51 ≤ KP < 61;2, kui 61 ≤ KP < 71;3, kui 71 ≤ KP < 81;4, kui 81 ≤ KP < 91;5, kui KP ≥ 91,kus:EH - eksamihinne;KT1 - esimese kontrolltöö (teemad 1– 8) hinne;KT2 - teise kontrolltöö (teemad 9 – 20) hinne;KT3 - kolmanda kontrolltöö (teemad 21 – 25) hinne;T1 - esimese osa (teemad 1– 8) teooriahinne;T2 - teise osa (teemad 9 – 14) teooriahinne;T3 - kolmanda osa (teemad 15 – 20) teooriahinne;T4 - neljanda osa (teemad 21 – 25) teooriahinne.Hinded T1, T2, T3 ja T4 on võimalik saada semestri jooksul teooriatöödepõhjal. Iga teooriatöö jaoks on semestri jooksul kaks võimalust ning teooriatöödtoimuvad väljaspool loenguid ja harjutustunde.Esimene kontrolltöö toimub kas kuuendal või seitsmendal õppenädalal,teine kontrolltöö toimub kaheteistkümnendal või kolmeteistkümnendal õppe-5


nädalal ja kolmas kontrolltöö toimub viimasel õppenädalal. Igal kontrolltöölon vähemalt üks järeltöö, mille toimumise aeg lepitakse kokku üliõpilastega.Ajaliselt on eksami sooritamiseks eksamisessioonil ette nähtud kaksvõimalust, millest ainult ühte saab üliõpilane kasutada põhieksami sooritamiseks.Eksamite toimumise ajad täpsustatakse semestri esimesel kahelnädalal kokkuleppel üliõpilastega. Eksamisessioonil on ette nähtud üks konsultatsioon,mis toimub enne esimest eksamit.KinnitanProf. I. TammeraidMatemaatilise analüüsi õppetooli juhataja26. 08. 20106

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!