ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου - eBooks4Greeks.gr

ebooks4greeks.gr
  • No tags were found...

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου - eBooks4Greeks.gr

ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣΑνδρεαδάκης ΣτυλιανόςΚατσαργύρης ΒασίλειοςΜέτης ΣτέφανοςΜπρουχούτας Κων/νοςΠαπασταυρίδης ΣταύροςΠολύζος Γεώργιος Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής Β/θμιας Εκπαίδευσης Καθηγητής Β/θμιας Εκπαίδευσης Καθηγητής Β/θμιας Εκπαίδευσης Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής Β/θμιας ΕκπαίδευσηςΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑΘωμαΐδης Ιωάννης Καθηγητής Β/θμιας ΕκπαίδευσηςOMAΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣΑνδρεαδάκης ΣτυλιανόςΚατσαργύρης ΒασίλειοςΜέτης ΣτέφανοςΜπρουχούτας Κων/νοςΠολύζος ΓεώργιοςΕΠΟΠΤΕΙΑ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟΥΑδαμόπουλος Λεωνίδας Επίτιμος Σύμβουλος του Π.Ι.Δακτυλογράφηση:Σχήματα:Γαρδέρη ΡόζαΜπούτσικας ΜιχάληςΜε απόφαση της ελληνικής κυβερνήσεως τα διδακτικά βιβλία του Δημοτικού,του Γυμνασίου και του Λυκείου τυπώνονται από τον Οργανισμό Εκδόσεως ΔιδακτικώνΒιβλίων και διανέμονται δωρεάν.


ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΓ΄ ΤάξηςΕνιαίου ΛυκείουΘετική & ΤεχνολογικήΚατεύθυνσηΑνδρεαδάκης ΣτυλιανόςΚαθηγητής Πανεπιστημίου ΑθηνώνΚατσαργύρης ΒασίλειοςΚαθηγητής Β/θμιας εκπαίδευσηςΜέτης ΣτέφανοςΚαθηγητής Β/θμιας εκπαίδευσηςΜπρουχούτας Κων/νοςΚαθηγητής Β/θμιας εκπαίδευσηςΠαπασταυρίδης ΣταύροςΚαθηγητής Πανεπιστημίου ΑθηνώνΠολύζος ΓεώργιοςΚαθηγητής Β/θμιας εκπαίδευσηςΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝΑΘΗΝΑ 1999


ΠΡΟΛΟΓΟΣTo βιβλίο που κρατάτε στα χέρια σας περιλαμβάνει την ύλη των Μαθηματικών,όπως προβλέπεται από το πρόγραμμα σπουδών της Θετικής Κατεύθυνσης της Γ΄τάξης του Ενιαίου Λυκείου, του οποίου η εφαρμογή αρχίζει από το σχολικό έτος1999-2000.Το βιβλίο αυτό προήλθε από αναμόρφωση του βιβλίου των Μαθηματικών της2ης και της 4ης δέσμης της Γ΄ τάξης του Γενικού Λυκείου και αποτελείται απόδύο μέρη. To πρώτο μέρος, που φέρει τον τίτλο ΑΛΓΕΒΡΑ, αποτελείται από δυο κεφάλαια.— To πρώτο κεφάλαιο αποτελεί μια εισαγωγή στη Θεωρία των Πινάκων, η ο-ποία μεταξύ άλλων είναι ένα εργαλείο για τη μελέτη των Γεωμετρικών Μετασχηματισμώνκαι των Γραμμικών Συστημάτων, τα οποία μελετώνται στο ίδιοκεφάλαιο.— Το δεύτερο κεφάλαιο εισάγει στους Μιγαδικούς Αριθμούς, οι οποίοι είναιπροέκταση των Πραγματικών Αριθμών. Οι Μιγαδικοί Αριθμοί ανακαλύφθηκαντην περίοδο της Αναγέννησης στην προσπάθεια επίλυσης εξισώσεων τρίτουβαθμού. Όμως, στους αιώνες που ακολούθησαν αποδείχτηκε η μεγάλη σημασίατους για πάρα πολλά προβλήματα της μαθηματικής επιστήμης και των εφαρμογώντης.Το κεφάλαιο αυτό έχει ληφθεί από το βιβλίο των Μαθηματικών Θετικής ΚατεύθυνσηςΒ΄ τάξης Ενιαίου Λυκείου των συγγραφέων: Αδαμόπουλου Λ., ΒισκαδουράκηΒ., Γαβαλά Δ., Πολύζου Γ. και Σβέρκου Α. Tο δεύτερο μέρος, που φέρει τον τίτλο ΑΝΑΛΥΣΗ, αποτελείται από τρία κεφάλαια.— Το πρώτο κεφάλαιο σηματοδοτεί ένα νέο ξεκίνημα. Είναι το πέρασμα από τιςπεπερασμένες πράξεις στις «άπειρες διαδικασίες». Τα σπέρματα της έννοιας τουορίου υπάρχουν ασφαλώς με πολύ σαφή και συγκεκριμένο τρόπο στα γραπτάτου Αρχιμήδη. Η ανάπτυξη, όμως, αυτής της έννοιας έγινε στα χρόνια της Αναγέννησηςκαι έκτοτε κατέχει κεντρική θέση στον κόσμο των μαθηματικών εννοιών.Κατ’ αρχάς στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται βασικές – και ήδη γνωστέςστους μαθητές - έννοιες των συναρτήσεων, καθώς και μερικές ακόμη βασικέςέννοιες της Ανάλυσης. Στη συνέχεια εισάγεται η έννοια του ορίου στο x 0 , ηέννοια του ορίου στο και στο και δίνονται οι πιο χαρακτηριστικές ιδιότητέςτου. Τέλος, δίνεται η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης και παρουσιάζονταιοι βασικότερες ιδιότητές της.— Στο δεύτερο και τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι έννοιες της παραγώγουκαι του ολοκληρώματος αντιστοίχως και γίνεται χρήση των εννοιών αυτών σεπολλές εφαρμογές. Η παράγωγος και το ολοκλήρωμα είναι κατά κάποιο τρόπο οι


ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑΑ΄ ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ)ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: Πίνακες – Γραμμικά ΣυστήματαΣελ.1.1 Η έννοια του πίνακα 111.2 Πρόσθεση πινάκων - Πολλαπλασιασμός αριθμού με πίνακα 161.3 Πολλαπλασιασμός πινάκων 241.4 Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί 371.5 Η έννοια του γραμμικού συστήματος 501.6 Επίλυση γραμμικού συστήματος με τη μέθοδο απαλοιφής του Gauss 521.7 Eπίλυση γραμμικού συστήματος με τη μέθοδο των οριζουσών 63ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: Μιγαδικοί Αριθμοί2.1 Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού 852.2 Πράξεις στο Σύνολο των Μιγαδικών 882.3 Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού 972.4 Τριγωνομετρική Μορφή Μιγαδικού 1022.5 Πολυωνυμικές Εξισώσεις στο 112Β΄ ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ)ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: Όριο - συνέχεια συνάρτησηςΣελ.1.1 Πραγματικοί Αριθμοί 1291.2 Συναρτήσεις 1321.3 Μονότονες συναρτήσεις - Αντίστροφη συνάρτηση 1481.4 Όριο συνάρτησης στο x 0 1571.5 Ιδιότητες των ορίων 1651.6 Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 1761.7 Όριο συνάρτησης στο άπειρο 1821.8 Συνέχεια συνάρτησης 188


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: Διαφορικός Λογισμός2.1 Η έννοια της παραγώγου 2092.2 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις - Παράγωγος συνάρτήση 2222.3 Κανόνες παραγώγισης 2292.4 Ρυθμός μεταβολής 2412.5 Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού 2452.6 Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής 2502.7 Τοπικά ακρότατα συνάρτησης 2582.8 Κυρτότητα - σημεία καμπής συνάρτησης 2722.9 Ασύμπτωτες - Κανόνες De L’ Hospital 2792.10 Μελέτη και χάραξη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης 287ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: Ολοκληρωτικός Λογισμός3.1 Αόριστο ολοκλήρωμα 3033.2 Μέθοδοι ολοκλήρωσης 3093.3 Διαφορικές εξισώσεις 3183.4 Ορισμένο ολοκλήρωμα 3263.5xΗ συνάρτηση F(x) f ( t)dt3333.6 Θεώρημα Μέσης Τιμής Ολοκληρωτικού Λογισμού 3403.7 Εμβαδόν επιπέδου χωρίου 342ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 365


Α΄ ΜΕΡΟΣΑΛΓΕΒΡΑ


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1οΠΙΝΑΚΕΣ - ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ1ΠίνακεςκαιΓραμμικά Συστήματα


121 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΤα αριθμητικά δεδομένα της ορθογώνιας αυτής διάταξης, κλεισμένα μέσα σεαγκύλες, 97100 4517410,712,917,97,6180191140225λέμε ότι σχηματίζουν έναν πίνακα με 4 γραμμές και 5 στήλες ή, συντομότερα,έναν πίνακα τύπου 45 ή ακόμα έναν 45 πίνακα.Έστω το σύστημα x5x9,5117,112,5 3y 2z ω 11011620 2z ω 2 .y 7z 3ω 3Το σύστημα αυτό θα μπορούσε να παρασταθεί ως εξής:ΣυντελεστήςΕξίσωση1η2η3ητου x του y του z του ω σταθ. όρος150-3012-2-7-113123Έτσι οι συντελεστές των αγνώστων σχηματίζουν τον 34 πίνακα150 3012 2 7113και οι συντελεστές των αγνώστων μαζί με τους σταθερούς όρους τον 35 πίνακα150 3Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:ΟΡΙΣΜΟΣ012 2 7Μια διάταξηγραμμές και ν στήλες, λέγεται πίνακας τύπουμ ν ή απλούστερα μ ν πίνακας.11312.3μ ν το πλήθος αριθμών σε μορφή ορθογωνίου σχήματος με μ


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 13Τους πίνακες τους συμβολίζουμε συνήθως με κεφαλαία γράμματα A , B,Γ κτλ.Οι αριθμοί με τους οποίους σχηματίζουμε έναν πίνακα λέγονται στοιχεία τουπίνακα.Το στοιχείο ενός μ ν πίνακα Α που ανήκει στην i-γραμμή και j-στήλη συμβολίζεταιμε α ij.Έτσι ο μ ν πίνακας Α γράφεται:α11α21 αi1 αμ1αααα1222i2μ2j στήληα αα1 j2 jή συντομογραφικά α ] , 1 i μ , 1 j ν .[ ijΓια παράδειγμα, ο 2 2 πίνακας α ] με[ ijαijμjα ijα1ν α2ν αiν i γραμμή αμν i j έχει στοιχεία α 1 1 0 ,11α 1 2 1 , α 2 1 1 και α 2 2 0 . Επομένως, ο πίνακας αυτός12212201γράφεται .10 Η ισότητα μεταξύ των πινάκων ορίζεται ως εξής:ΟΡΙΣΜΟΣΔυο πίνακες A, B λέμε ότι είναι ίσοι, όταν έχουν τον ίδιο αριθμό γραμμών, τονίδιο αριθμό στηλών (δηλαδή αν είναι του ίδιου τύπου) και τα αντίστοιχα στοιχείατους είναι ίσα.Για να δηλώσουμε ότι δύο πίνακες είναι ίσοι γράφουμε A B11, 22 33α ννΑπό τον ορισμό αυτό προκύπτει ότι δύο πίνακες διαφορετικού τύπου δεν μπορείνα είναι ίσοι.Αν ένας πίνακας έχει τον ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών, δηλαδή είναι τύπου*ν ν για κάποιο ν , τότε ο πίνακας αυτός λέγεται τετραγωνικός πίνακας.Τα στοιχεία α α , α ,...,ενός τετραγωνικού πίνακα Α, λέμε ότι σχηματίζουντην κύρια διαγώνιο του Α.Αν τα στοιχεία ενός τετραγωνικού πίνακα Α που δεν βρίσκονται στην κύρια διαγώνιοείναι όλα 0, τότε ο Α λέγεται διαγώνιος πίνακας.Για παράδειγμα, οι πίνακες:είναι διαγώνιοι πίνακες.10 020 ,,0 3 0 1 0 0 0 16000020000000 00 1


141 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΈνας πίνακας που έχει μία μόνο γραμμή, όπως ο 2013λέγεται πίνακας7γραμμή, ενώ ένας πίνακας που έχει μία μόνο στήλη, όπως ο2λέγεται πίνακαςστήλη. Ένας πίνακας που έχει ένα μόνο στοιχείο, όπως ο [ 3]λέγεται1πίνακαςστοιχείο.Τέλος, ένας τετραγωνικός πίνακας λέγεται τριγωνικός άνω, όταν όλα τα στοιχείατου που βρίσκονται κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδενικά και τριγωνικόςκάτω, όταν όλα τα στοιχεία του που βρίσκονται πάνω από την κύριαδιαγώνιο είναι μηδενικά.Για παράδειγμα, οι πίνακες3006 1005,2είναι τριγωνικοί άνω, ενώ οι πίνακες 6 35είναι τριγωνικοί κάτω.01700,22000 403 2100000101310005602530001ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1. Το διπλανό σχήμα παριστάνει το οδικόδίκτυο που συνδέει τις πόλεις Α , Β,Γ , Δ καιΕ. Να παρασταθεί το δίκτυο αυτό με ένανπίνακα του οποίου κάθε στοιχείο να φανερώνειτο πλήθος των δυνατών τρόπων μετάβασηςαπό πόλη σε πόλη, (όχι οπωσδήποτε διαφορετικήπόλη), αφού προηγουμένως περάσουμεαπό μία μόνο πόλη, π.χ. ΑΒΑ κτλ.ΛΥΣΗΑπό την πόλη Α στην Α υπάρχουν 3 τρόποι: ABA , AΔ Α , AEA , από την Α στηνΒ δεν υπάρχει τρόπος, αφού πρέπει να περάσουμε από μία μόνο πόλη, από την Αστην Γ υπάρχουν 2 τρόποι AΔ Γ , ΑΒΓ , από την Α στη Δ υπάρχει ένας τρόποςΑΕΔ , από την Α στην Ε υπάρχει 1 τρόπος ΑΔΕ κτλ.ΕAΔBΓ1


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 15Έτσι το οδικό δίκτυο μπορεί να παρασταθεί με τον πίνακα διπλής εισόδου.ΑΠΟΣΤΗΝΑ Β Γ Δ ΕΑ 3 0 2 1 1Β 0 2 0 2 1Γ 2 0 2 0 1Δ 1 2 0 3 1Ε 1 1 1 1 2ή απλά με τον5 5 πίνακα30211020212020112031111122. Να εξεταστεί αν υπάρχουν τιμές των x, y για τις οποίες ισχύουν:x(3x 5) 1 21 i) ii)2 3x116x03x 53x 562 y 6 11 7 x 2 yx 74ΛΥΣΗx(3x 5) 1 21 i) H ισότητα ισχύει, αν και μόνο αν συναληθεύουνοι ισότητες .2 3x116x03x 5x(3x 5) 21 13x1 02 16x 3x 51Η τρίτη ισότητα αληθεύει για x . Η τιμή αυτή του x επαληθεύει και τις άλλες31δύο ισότητες. Επομένως, οι παραπάνω ισότητες συναληθεύουν για x .3ισχύει, αν και μόνο αν συναλη-3x 5 2y 6 11ii) Η ισότητα 6 7 x 2y3x 5 112y 6 x 4θεύουν οι ισότητες . 6 x 2y 7 7x 2y 2Η δεύτερη και τρίτη ισότητα γράφονται και προφανώς δεν συναληθεύουνγια καμία τιμή των x και y. Επομένως, δεν υπάρχουν τιμές των x, y γιαx 2y 6τις οποίες οι πίνακες αυτοί να είναι ίσοι.x 74


161 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Ο διπλανός πίνακας δείχνειΟΜΑΔΕΣγια τρεις ομάδες ποδοσφαίρουτους αγώνες Α, τις νίκες Ν, τιςΝΙΚΗήττες Η, τις ισοπαλίες Ι, τα ΘΥΕΛΛΑτέρματα Ε που πέτυχε η ομάδα,τα τέρματα Δ που δέχτηκεΔΑΦΝΗη ομάδα και τους βαθμούς Β που έχει. ΑνA α ] είναι ο πίνακας αυτός, τότε να βρείτε:[ iji) Ποιος είναι ο τύπος του πίνακα.121212ii) Ποιες πληροφορίες μας δίνουν τα στοιχεία α , α και α .AN673H324I335E1310412α15,24 37Δ6411B1517112.Δίνεται συντομογραφικά ο 4 4 πίνακας A α ] όπουΝα παραστήσετε τον πίνακα αυτόν, αφού βρείτε τα στοιχεία του.[ ijα | i j | .ij3. Να βρείτε τα x, y για τα οποία ισχύει:2x11 0 x1 x yi) x y 3 2x y23 1 2 x y y 10ii) .22x x y 2y4. Για ποια τιμή του θετικού αριθμού x ο πίνακαςείναι διαγώνιος.ln21x ln x2ln x 12 5. Να βρεθούν οι τιμές τωνx [ 0,2π)για τις οποίες ισχύει:22ημx εφxημ2x1 συν2x110 .1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ -ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΠΙΝΑΚΑΠρόσθεση πινάκωνΜία εταιρεία πουλάει τηλεοράσεις, ψυγεία, κουζίνες και πλυντήρια σε Αθήνα,Θεσσαλονίκη και Πάτρα.Οι πωλήσεις τους μήνες Σεπτέμβριο και Οκτώβριοπαρουσίασαν την εξής κίνηση:


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 17ΣεπτέμβριοςΟκτώβριοςAθήνα Θεσ/κη Πάτρα Aθήνα Θεσ/κη ΠάτραΤηλεοράσεις 18 16 13 20 18 15Ψυγεία 12 10 9 15 13 12Κουζίνες 9 11 8 13 10 10Πλυντήρια 14 12 10 17 16 8Επομένως, τους δυο αυτούς μήνες οι συνολικές πωλήσεις της εταιρείας ήταν οιεξής:ΤηλεοράσειςΨυγείαΚουζίνεςΠλυντήριαΑθήνα(18 20)(12 15) (10 13)( 9 12).( 9 13)(14 17)Θεσ/νίκη(16 18)(1110)(12 16)Πάτρα(13 15)( 8 10)(10 8)Αν τώρα θεωρήσουμε τους πίνακες των παραπάνω πωλήσεων έχουμε:Για το Σεπτέμβριο:1812A914161011121398102018 15Για τον Οκτώβριο: 15 13 12B 1310 101716 8και για τις συνολικές πωλήσεις:18 20 16 1813 153834 2812 1510 13 9 12 27 23 21Γ .9 13 11 10 8 102221 18 14 17 12 16 10 83128 18O πίνακας Γ λέγεται άθροισμα των πινάκων Α και Β και συμβολίζεται μεδηλαδή Γ A B .Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:A B ,ΟΡΙΣΜΟΣΆθροισμα δυομ ν πινάκων A [α ] και B β ] λέγεται ο μ ν πίνακαςijτου οποίου κάθε στοιχείο είναι το άθρο ισμα των αντίστοιχων στοιχείων των Ακαι Β. Ο πίνακας αυτό ς συμβολίζεται με A B . Δηλαδή,A B α ij β[ij][ ij


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 193 6 1Για παράδειγμα, ο αντίθετος του πίνακα είναι ο πίνακας70 2 3 6 1 .7 0 2Η προσεταιριστική ιδιότητα μας επιτρέπει να γράφουμεA B Γ για καθένααπό τα ίσα αθροίσματα A ( B Γ), ( A B) Γ . Ομοίως, αν A , B,Γ,Δ είναι πίνακεςτου ίδιου τύπου, τότε έχουμε:[( A B) Γ ] Δ ( A B) ( Γ Δ) [ A ( B Γ)] Δ A [ B ( Γ Δ)] A [( B Γ) Δ] [( B A) Γ] Δ κτλ.και επομένως, μπορούμε να γράφουμε A B Γ Δ για καθέ να από τα αθροίσματααυτά. Γενικά, επειδή ισχύει η αντιμεταθετική και η προσεταιριστική ιδιότητα,μπορεί να αποδειχθεί ότι το άθροισμα τριών ή περισσοτέρων πινάκωνA1, A2,...,A νείναι το ίδιο κατά οποιονδήποτε τρόπο και αν εκτελεστεί η πρόσθε-ση και συμβολίζεται με A1 A2Aν.Αφαίρεση πινάκωνΌπως και στην περίπτωση των πραγματικών αριθμών, έτσι και στους πίνακες ηαφαίρεση ορίζεται με τη βοήθεια της πρόσθεσης. Συγκεκριμένα, αν A, B είναιδύο μ ν πίνακες, τότε η διαφορά A B ορίζεται ως εξής:A B A ( B)Για παράδειγμα, αν 3 2A 4 0και 6 3 4B 3012, τότε1 3 2 4 1 3 24 1 1 3A B 4 0 3 24 03 2 7 2. 6 30 1 6 30 1 6 2Δηλαδή, ο πίνακας A B προκύπτει με αφαίρεση των στοιχείων του Β από τααντίστοιχα στοιχεία του Α.Από τους παραπάνω ορισμούς της πρόσθεσης και της αφαίρεσης προκύπτει ότι:Πράγματι:X B A X A B— Αν X B A , τότεX B B A B , οπότε X A B , ενώ— Αν X A B , τότε X B A B B , οπότε X B A .Πολλαπλασιασμός αριθμού με πίνακαΟ παρακάτω πίνακας Α περιγράφει τις τιμές πώλησης σε δραχμές τριών ηλε-ειδών μιας βιομηχανίας σε δύο υποκαταστήματα:κτρικών


201 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑTηλεοράσεις Βίντεο Στερεοφωνικά 160000 110000 180000A 150000 100000 170000 1ο υποκατάστημα 2ο υποκατάστημαΑν κατά την περίοδο των εκπτώσεων, ο βιομήχανος προτίθεται να κάνει έκπτωση20% στα προϊόντα του, τότε πρέπει να διαμορφώσει τις νέες τιμές στο 80%των προηγουμένων. Οι νέες τιμές πώλησης θα προκύψουν αν πολλαπλασιάσουμετις παλιές τιμές με 0,8, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:0,81600000,8 1100000,8 18000012800088000 144000B .0,81500000,8 1000000,8 170000 12000080000 136000Ο πίνακας Β λέγεται γινόμενο του αριθμού 0,8 με τον πίνακα Α και συμβολίζεταιμε 0,8 A , δηλαδή είναι B 0, 8A. Γενικά, έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:OΡΙΣΜΟΣΓινόμενο ενός πραγματικού αριθμού λ με έναν πίνακα A [α ij] , λέγεται οπίνακας που προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε κάθε στοιχείο του Α με λ. Ο πίνακαςαυτός συμβολίζεται με λ A ή λA . Δηλαδή,λ A Η πράξη με την οποία βρίσκουμε το γινόμενο αριθμού με πίνακα λέγεται π ο λ-λ α π λ α σ ι α σ μ ό ς α ρ ι θ μ ο ύ μ ε π ί ν α κ α.Για παράδειγμα, το γινόμενο του αριθμού λ 3με τον πίνακα 2A 2 5114είναι ο πίνακας:[ λαij3 2 5 1 32 ( 3)(5) 316 15 3 A 31 2 4 (3)(2)( 3) (1)3 46 3 12 . ]Iδιότητες του πολλαπλασιασμού αριθμού με πίνακαΑν A, B είναι μ ν πίνακες και κ, λ πραγματικοί αριθμοί, τότε ισχύουν οι παρακάτωιδιότητες, που είναι άμεση συνέπεια του ορισμού:Επιπλέον, ισχύει η ισοδυναμία:1. ( κ λ)A κΑ λΑ2. λ(A B) λ λ3. κ( λΑ ) ( κλ)A4. 1 A AλA λ 0ήA


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 21ΕΦΑΡΜΟΓHNα βρεθεί ο πίνακας Χ για τον οποίο ισχύει:12 3 12 5 7 3X 5 2 0.0 14 1(Mια τέτοια ισότητα είναι μια ε ξ ί σ ω σ η με π ί ν α κ ε ς).ΛΥΣΗΈχουμε12 3 1 3 1122 5 73X 5 2 0 3X 5 2 0 2 5 7 0 1 4 1 4 10 1 15 5 2 4 3X 100 1014 3X20 50 2 17 2020114 7 17 1 17 13 31 1 20 14 ( 3)X 20 14X.3 3 3 3 20 7 20 7 3 3ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις, να βρείτε το άθροισμαA B και την διαφορά A B , εφόσον φυσικά ορίζονται:5 2 6 3i) A , B 13 2 5 ii)67 8 956 7 8A , B 56 7 8 67 8 9


221 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑiii) A [4 5 6], B [ 456]iv)512A 0 3 1,6 2 14B 32015v)αβ γA x y ω,κ λ μ1 αB x κ β1 y λ γ ω.1 μ 3 2356 52. Αν είναι A1 , A2και 1 0 , A3 12 1 3να βρείτετο άθροισμαA A A .1 2A34 0 2A4 ,133. Να βρείτε τα x , y,ωγια τα οποία ισχύει η ισότητα: 5 2 3 18ω 5 3 2 x4 3 1 6.2 9 y 3 17 10 4. Να κάνετε τις πράξεις: 2 1 31 2 6 3 5 11 2 4 6i) 5 3 ii) 414 105 3 1 0 42 0 2 4 λ λ 2λiii) λ .3λ λ λ 31 2 65. Αν A 2 1και B 0 2, να βρείτε τους πίνακες:1 04 8i)2 A ii) 2(3A)iii)5B 2Aiv)13A B . 26. Να λύσετε τις εξισώσεις:i)53X 71 14 2 2 4512 3 1ii) 6 7X 5 .3 4 2 27. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα


241 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΠ1Π 2Π3Π4200180 140 60E1A 80 40 120 120 . E2i) Nα βρείτε το ημερήσιο επίπεδο παραγωγής, αν αυτή αυξηθεί κατά10%.ii) Να βρείτε το σύνολο της παραγωγής ανά προϊόν σε 5 μήνες, ανυποτ εθεί ότι τα εργοστάσια δούλ εψαν 2 μήνες με το προηγούμενοεπίπεδο και 3 μήνες με το νέο επίπεδο παραγωγής (1 μήνας = 30μέρες).1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝΟρισμός του γινομένου δύο πινάκωνΑς υποθέσουμε ότι για την κατασκευή δύο ειδών γλυκισμάτων Γ1και Γ2χρειαζόμαστετα υλικά σε kg που φαίνονται στον παρακάτω 2 3 πίνακα:Αλεύρι Ζάχαρη Βούτυρο1,20,6 0, 3ΓA Γ 1,4 0,8 0, 4 12γλύκισμα.γλύκισμαΈστω επίσης ότι το κόστος σε δρχ. των υλικών αυτών ανά κιλό, για τα έτη 1992και 1993, είναι όπως δείχνει ο παρακάτω 3 2 πίνακας:1992 1993160180αλεύριB 170200ζάχαρη900 1200 βούτυροΓια να βρούμε το κόστος σε δραχμές των υλικών του γλυκίσματος, πολλα-πλασιάζο υμε τις ποσότητες των υλικών με τις αντίστοιχες τιμές και προσθέτουμετα γινόμενα αυτά. Δηλαδή το κόστος του Γ το 1992 ήταν1,2160 0,6 170 0,3 900 564 .Η παραπάνω διαδικασία περιγράφεται με τη βοήθεια των πινάκων ως εξής:1Γ 1


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 25160[ 1,2 0,6 0,3]170 [1,2 160 0,6 170 0,3900] [564] .900O 11 πίνακας [564] λέγεται γινόμενο της πρώτης γραμμής του Α επί την πρώτηστήλη του Β. Αναλόγως, το κόστος τουΓ 1το 1993 ήταν1,2 180 0,6 200 0,31200 696 .Δηλαδή παριστάνεται με το γινόμενο της πρώτης γραμμής του Α επί την δεύτερηστήλη του Β 180[ 1,2 0,6 0,3]200 [696] .1200Ομοίως, το κόστος τουΓ 2το 1992 ήταν:1,4 160 0,8 170 0,4 900 720 ή160[ 1,4 0,8 0,4]170 [720] ,900ενώ το 1993 ήταν:Ο πίνακας564Γ 7201,4 180 0,8 200 0,4 1200 892 ή 180[ 1,4 0,8 0,4]200 [892] .1200696892δείχνει το κόστος των δύο γλυκισμάτων κατά τα έτη1992 και 1993. Ο πίνακας Γ που προκύπτει με τον πιο πάνω τρόπο λέγεται γινόμενοτου πίνακα Α με τον πίνακα Β και συμβολίζεται με A B ή AB , δηλαδή1601801,20,6 0,3 564696Γ 170 200 .1,40,8 0,4 7208929001200Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:OΡΙΣΜΟΣ


261 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΑν A [ α ik] είναι ένας μ ν πίνακας και B [ β kj] είναι ένας ν ρ πίνακας, τότεορίζουμε ως γινόμενο του πίνακα Α με τον πίνακα Β και το συμβολίζουμεμε A B ή με ΑΒ τον μ ρ πίνακα, του οποίου κάθε στοιχείο είναι το ά-θροισμα των γινομένων των ν στοιχείων τηςχα ν στοιχεία της j -στήλης του Β. Δηλαδή,i -γραμμής του Α με τα αντίστοι-γ ijγij αi1β1 j αi 2β2 j αiνβνjΣχηματικάj -στήληα11α21 i γραμμή αi1 αμ1αααα1222i2μ2 α1ν β11α2ν β21 αiν αμν βν1βββ1222ν2βββ1 j2 jνjβ1ρ γ11β 2 ρ γ21 γi1 βνργμ1γγγγ1222i2μ2 γ γ γ1 j2 jγijμj γ1ρ γ2 ρ γiρ γμρ Για παράδειγμα, το γινόμενο2310 31 411250βρίσκεται ως εξής:γγ1121 24 1(1) ( 3)1 4, 34 0( 1)11 13γ12 22 15 ( 3)0 9και .γ 32 0510 622Επομένως,2310 4 3 1112 45 130Τονίζεται ότι το γινόμενο ΑΒ ορίζεται όταν ο αριθμός των στηλών του πίνακα Αείναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών του πίνακα Β.Σχηματικά:( Aμ ν,Β )ν ρABμ ρ133 1 1121 3Για παράδειγμα, αν A , B και ,412 2 0Γ 2 5 4 0 1 20 2 1 2τότε, σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, ορίζονται τα γινόμενα AB , BA,AΓ καιείναι9 .6


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 272AB 41113 2213 70 420 ,81BA 213 20 4211 143 42 6 223961καιAΓ2 41133 2201521411 40 1421335 68 ,8ενώ δεν ορίζονται τα γινόμενα BΓ, ΓΒ και ΓΑ .Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού των πινάκων Αν λ, μ είναι πραγματικοί αριθμοί και A, B είναι πίνακες, τότε ισχύουν οιπαρακάτω ιδιότητες με την προϋπόθεση οτι ορίζονται οι πράξεις που σημειώνονται.A ( BΓ ) ( AB)ΓπροσεταιριστικήΑ( Β Γ) AB ΑΓ και ( Β Γ)A BA ΓΑ επιμεριστική( λA )( μB) ( λμ)AB10 0 001 0 0 Αν με Iνσυμβολίσουμε τον ν ν διαγώνιο πίνακα 00 1 0του 00 0 1οποίου κάθε στοιχείο της κυρίας διαγωνίου είναι ίσο με 1, τότε για κάθε τετραγωνικόνν πίνακα Α ισχύει:AIν I A AO πίνακας αυτός λέγεται μοναδιαίος πίνακας.10 010Για παράδειγμα, οι πίνακες I 2 , I 3 είναι μοναδιαίοι.01 0 1 0 0 0 1Τον πίνακα I νθα τον συμβολίζουμε απλούστερα με Ι, όταν είναι προφανής οτύπος του.Αν τώρα Α είναι ένας μ ν πίνακας, τότε ισχύουνΓια παράδειγμαΑΙ ν A και I μ A A .ν


281 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ1425361000100 10 412536και10011 42531 6 4Η προσεταιριστική ιδιότητα μας επιτρέπει να γράφουμε ABΓ για καθένα από ταίσα γινόμενα A(BΓ), ( AB) Γ . Ομοίως, αν Α,Β,Γ,Δ είναι πίνακες τέτοιοι, ώστενα ορίζονται τα γινόμεναΑΒ , ΒΓ , ΓΔ τότε έχουμε2536 .[( AB ) Γ]Δ ( AB)(ΓΔ) A[B(ΓΔ)] A[(ΒΓ)Δ] [ A(BΓ)]Δκαι μπορούμε να γράφουμε ΑΒΓΔ για καθένα από τα γινόμενα αυτά.Γενικά, επειδή ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα, μπορεί να αποδειχτεί ότι ότανπολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό πινάκων A 1, A2 ,...,A ντο γινόμενο θα είναι τοίδιο κατά οποιονδήποτε τρόπο και αν εκτελεστεί ο πολλαπλασιασμός, χωρίς ό-μως να αλλάξει η σειρά των παραγόντων και συμβολίζεται με A A ... .Αν ο Α είναι ένας τετραγωνικός πίνακας, τότε ορίζονται τα γινόμενα ΑΑ, ΑΑΑ,2 3 4ΑΑΑΑ, κτλ. και τα συμβολίζουμε με μορφή δυνάμεων ως εξής: A , A , A ,..., α-1ντιστοίχως. Ορίζουμε επίσης A A .Αν p, q είναι θετικοί ακέραιοι, και κ πραγματικός αριθμός, αποδεικνύεται ότι:ΣΧΟΛΙΟAp q pqp q pqp p p A A , ( A ) A και ( κA) κ A .Γνωρίζουμε ότι για τον πολλαπλασιασμό των πραγματικών αριθμών ισχύει, επιπλέον,και η αντιμεταθετική ιδιότητα. Δηλαδή, ισχύει α β β αγια οποιουσδήποτεα,β . Η ιδιότητα, όμως, αυτή δεν ισχύει για τον πολλαπλασιασμό τωνπινάκων, αφού υπάρχουν πίνακες1A 523και1B 02 , τότε1A, B με AB BA . Για παράδειγμα, ανAB BA , αφού:12121 41212 9 8AB , ενώ BA . 5 301 5 7 01 5 35 3Επειδή, λοιπόν, δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα οι ισότητες:( ABA22 223 3 22 3 B) A 2AB , ( A B) A 3AB 3AB B ,23 322 B ( A B)(A B), A B ( A B)(A AB B ) κτλ.12A νAB BA οι παραπάνω ισότη-δεν ισχύουν πάντοτε. Στην περίπτωση, όμως, πουτες ισχύουν.


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 29ΕΦΑΡΜΟΓH01 1 2Δίνονται οι πίνακες A και B . Να αποδειχτεί10 11ότι:22i) A I , B Iii) AB BA IκαιA 2 B2 2 2 2iii) ( A B) A B 2AB.ΛΥΣΗ2 010110i) Είναι A I1010012 1 2 1 210B I1111 0 1ΆραA 2 B2 .ii) Είναι0AB 110 1121 1 112 1BA 121011 2 0 111ΆραAB BA I .iii) Είναι( A B)2 ( A B)(A B) A2 AB BA B2 I AB BA I AB BA I(λόγω της ii))1A2 B2 2AB 2 AB 2 112 2 2 24(λόγω της ii)).2 2 2Άρα, ( A B) A B 2AB.Αντιστρέψιμοι πίνακες Γνωρίζουμε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό α με α 0 υπάρχει ο αντίστρο-1φός του, που συμβολίζεται με ή1 , για τον οποίο ισχύει1 1α αα α α 1 .α


301 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΕίναι λογικό τώρα να ρωτήσουμε: “Αν δοθεί ένας πίνακας Α μπορούμε να βρούμεέναν πίνακα Β τέτοιον ώστε να ισχύει AB BA I ;”Σύμφωνα με τον πολλαπλασιασμό που ορίσαμε μια τέτοια ερώτηση έχει νόημαμόνο αν ο Α είναι ένας τετραγωνικός πίνακας. Οδηγούμαστε έτσι στον εξής ορισμό:OΡΙΣΜΟΣΈστω Α ένας τετραγωνικός πίνακας τύπου ν ν . Αν υπάρχει τετραγωνικός πίνακαςΒ τύπου νν, τέτοιος ώστε να ισχύει AB BA I , τότε ο Α λέγεται α-ντιστρέψιμος πίνακας και ο Β αντίστροφος του Α.Αν ένας πίνακας Α έχει αντίστροφο, τότε αποδεικνύεται ότι αυτός είναι μοναδικόςκαι συμβολίζεται με A . Έτσι1έχουμε:Για παράδειγμα, αντότε έχουμε:1AB 12 33 1AA A11A I12 3 2A και B ,13 11 21 1 00 I1Άρα, ο Β είναι ο αντίστροφος του Α. 3 21210και BA I .111301 Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, ο πίνακας Β είναι αντίστροφος του Α,όταν AB I και BA I . Αποδεικνύεται, όμως, ότι:ΘΕΩΡΗΜΑΑν για δυον ν πίνακες A, B ισχύει μια από τις ισότητεςτότε θα ισχύει και η άλλη.AB I και BA I ,Με βάση αυτό το θεώρημα, για να αποδείξουμε ότι ένας ν ν πίνακας Β είναιαντίστροφος ενός ν ν πίνακα Α, αρκεί να αποδείξουμε μία μόνο από τις ισότητεςAB I και BA I . Τέλος, αν ένας πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος, τότε ισχύουν οι ισοδυναμίες:(i)(ii)AX B X A1XA B X BA1BΠράγματι, για την (i) έχουμε:— Αν AX B , τότε A1 AX A11 B , οπότε X A B .


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 3111— Αν X A B , τότε AX AA B , οπότε AX B .Ομοίως αποδεικνύεται και η (ii).ΣΧΟΛΙΟΓνωρίζουμε ότι για τον πολλαπλασιασμό των πραγματικών αριθμών ισχύει επιπλέονκαι η ιδιότητα: “αν α β 0 , τότε α 0 ή β 0 ”. Η ιδιότητα, όμως, αυτήδεν ισχύει για τον πολλαπλασιασμό των πινάκων, αφού π.χ. για τους πίνακες10 0 010 0 000A και B ισχύει11 χωρίς, ωστόσο,10 AB 11 10 00να είναι A O ή B O . Δηλαδή:“Μπορεί ένα γινόμενο πινάκων να ισούται με το μηδενικό πίνακα, χωρίς κανέναςνα είναι μηδενικός”.Στην περίπτωση όμως που ισχύει AB και ο ένας από τους πίνακες είναι α-ντιστρέψιμος, τότε ο άλλος είναι μηδενικός. Πράγματι, αν ο Α είναι αντιστρέψιμος,τότε έχουμε διαδοχικά:AB Aντίστροφος ενός2 2AπίνακαAB A1 1IB B .αβΈστω A ένας 2 2 πίνακας. Θα εξετάσουμε πότε αυτός αντιστρέφεται γ δκαι θα βρούμε τον αντίστροφό του.xyΓια να αντιστρέφεται ο Α, πρέπει και αρκεί να υπάρχει πίνακας X τέτοιος,ώστε να ισχύει AX I ή,zωισοδύναμα,αγβδxzy1 ω 001αx βz γx δzαy βω1 γy δω 001αx βz 1γx δz 0αy βω 0(Σ 1) και (Σ 2) γy δω 1Αρκεί, επομένως, τα συστήματα (Σ 1 ) και (Σ 2 ) να έχουν λύση. Τα συστήματααυτά έχουν


321 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑκαιD x 01Επομένως:α βD αδ βγγ δβα 10 βα 0 δ , D z γ, D y β, D ω α .δγ 01 δγ 1 Aν D 0 , τότε τα συστήματα (Σ 1 ) και (Σ 2 ) έχουν μοναδική λύση, οπότε οπίνακας Α αντιστρέφεται. Η λύση του (Σ 1 ) είναι το ζεύγος ( x,z)μεD δx x καιD Dενώ η λύση του (Σ 2 ) είναι το ζεύγος ( y,ω)Dy βy καιD DDzγz ,D DμεD αω ω .D DΆραX δ D γ D β D , οπότε ο αντίστροφος του Α είναι ο πίνακαςαD A11 δ D γ βα . Αν D 0 , τότε ένα τουλάχιστον από τα συστήματα (Σ 1 ) και (Σ 2 ) είναι αδύνατο,οπότε ο πίνακας Α δεν αντιστρέφεται. Πράγματι .α) Αν D 0 ή D 0 ή D 0 ή D 0 , τότε ένα τουλάχιστον από ταxyσυστήματα (Σ 1 ) και (Σ 2 ) θα είναι αδύνατο.zβ) Αν D D D D 0 , τότε α β γ δ 0 , οπότε και πάλι τα δύοxσυστήματα θα είναι αδύνατα.Αποδείξαμε λοιπόν ότι:yzωω O πίνακαςαβα βA είναι αντιστρέψιμος, αν και μόνο αν 0 .γδ γ δαβ Ο αντίστροφος ενός πίνακα A , αν υπάρχει, δίνεται από τον τύπογδ 1 δ βα βA1 , όπου D .D γ α γ δΓια παράδειγμα:


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 33343 4α) Ο πίνακας A αντιστρέφεται, γιατί 2 0 και ο αντίστροφός121 2του είναι ο11 2 4A .2 13424 2β) Ο πίνακας A δεν αντιστρέφεται, γιατί 0 .212 1ΕΦΑΡΜΟΓH2111Δίνονται οι πίνακες A και B 34 22i) Nα βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα Αii) Να λυθεί η εξίσωσηΛΥΣΗAX B31 2 1i) Για τον πίνακα Α έχουμε D 11 0 . Άρα3 4ii) Επειδή ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος, έχουμε:AX B X A11 4 1A (1)11 3 21(1) B X 1116 X 1 431 .11 112 2231ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Nα βρείτε τα γινόμενα AB και BA σε όποιες από τις παρακάτω περιπτώσειςορίζονται:


341 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ2i) A [3 2 1] , 4 2B 3ii) A ,02 1 2B 412 30 1iii) A 0 4 2,5 3 11B 40 5110 23 2 1 3 4 2 1iv) A , B 0 1 2.3 13 4 7 11111 02. Αν 01 1A 0 1, B και Γ .2 010 11 0 10 2 2Να βρείτε τους πίνακες: i) AB ii) AB Γ iii) ABΓ .3. Tα στοιχεία για τις αμοιβές και τον αριθμό των εργατών σε δύο οικοδομικέςεταιρείες Α και Β έχουν με μορφή πινάκων ως εξής:Aριθμός εργατώνΕβδομαδιαίες αποδοχέςΕιδικευμένοι Ανειδίκευτοι (σε χιλ. δραχμές)AB60307560ΕιδικευμένοιΑνειδίκευτοι50 .40Να εκφράσετε με τη βοήθεια του πολλαπλασιασμού των πινάκων τοσύνολο των αμοιβών των εργατών στις δύο εταιρείες.4. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να αποδείξετε ότι ο πίνακαςΒ είναι αντίστροφος του Α. 1 3 223 2 3i) A , B ii) ,12 A 12 2 5 3 3 2 4 14B 1719 810111115. Να βρείτε τον αντίστροφο, εφόσον υπάρχει, καθενός από τους παρακάτωπίνακες:2342συνθ ημθA , B και .12 Γ 21 ημθσυνθ ημα συνα6. i) Να βρείτε τον αντίστροφο του πίνακα .συναημα


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 35 ημα συνα συναημαii) Να λύσετε την εξίσωση: X .συναημα ημα συνα121. Αν A , τότε:24B΄ ΟΜΑΔΑΣ2i) Να βρείτε τις τιμές των x, y για τις οποίες ισχύει A xA yI .ii) Να υπολογίσετε τους πίνακες3A και4A . 2 12. Aν A , να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x, ώστε να ισχύει3 13A 10A xI .α13. Να βρείτε τους πίνακες X ,0βX2 I .α,β για τους οποίους ισχύει01 1 4 3 34. Αν A 3 2 3, B 2 12, να αποδείξετε ότι:2 2 3 3 3 22i) A I2, B I2 2iii) A B ( A B)(A B)ii)2( A B) , ( A B)2 4I. 3 25. Aν A , να αποδείξετε ότι:2 1i) Ο πίνακας Α αντιστρέφεται και να βρείτε τον1 ν νii) ( A A ) 2 I , ν * .1A .συνx- ημx ημxσυνx6. Aν A( x) , B(x), τότε: ημxσυνx συνxημxi) Να αποδείξετε ότι A 2 ( x) A(2x), B2 ( x) A(2x)ii) Να αποδείξετε ότι22A ( x) B ( x) 2 2iii) Να λύσετε την εξίσωση A ( x) B ( x) 2I.7. Mια βιομηχανία επίπλων κουζίνας έχει δύο εργοστάσια E1και E2. Οιπίνακες Μ και Ν δίνουν τις ώρες εργασίας που απαιτούνται για τηνκατασκευή κάθε επίπλου και τις ωριαίες αμοιβές του προσωπικού σεδραχμές αντιστοίχως.


361 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΚατασκευή Βάψιμο Συσκευασία E1E20,60,6 0,2Πάγκος 15001550M 1 0,9 0,3Καρέκλα , N 1600 1700 1,5 1,2 0,4Τραπέζι 1350 1400i) Να βρείτε τον πίνακα ΜΝ και να εξηγήσετε τι εκφράζει.ΚατασκευήΒάψιμοΣυσκευασίαii) Ποιο είναι το κόστος εργασίας για την παραγωγή μιας καρέκλαςστο εργοστάσιο και ενός πάγκου στο εργοστάσιο E ;E12 1 1 301 18. Αν A 5 2 6και B 4 3 4, να αποδείξετε ότι: 2 1 33 3 43νi) A και γενικά A , ν 3Iαν ν άρτιος θετικόςii) B 2 I , B 3 B και γενικά B ν .Bαν ν περιττός θετικός1 1 ημx π 9. Δίνεται ο πίνακας A ( x) , συνxημx1 , πx2 2 i) Να αποδείξετε ότι A1 ( x) A(x)ii) Να λύσετε την εξίσωσηA( x) I .21x x 10. Αν A(x) 01 2x , 0 0 1i) Να αποδείξετε ότι A( x)A(y) A(x y)ii) Να βρείτε τη σχέση μεταξύ των x, y ώστε ο πίνακας A(y) να είναιαντίστροφος του A(x) .11 1iii) Nα βρείτε τον αντίστροφο του πίνακα M 0 1 2.0 0 1 λ 1λ11. Αν A ,1 λ λλ , τότε:i) Να αποδείξετε ότι A II, αν ν άρτιοςA ν A, αν ν περιττός3, A Aκαι γενικά ότι


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 37ii) Αν λ 2 , να βρείτε τον πίνακα Χ για τον οποίο ισχύει1993 11A X 0 1 iii) Να υπολογίσετε το άθροισμαI210 A A A .12. Δίνεται ο πίνακας21A 11 i) Να βρείτε τον αντίστροφο του πίνακα Αii) Να βρείτε τον πίνακα Χ σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις:2110α) AX β) AXA 10 00 γ) AX A 2A.13. Αν1 A 2 133 , τότε:13i) Να αποδείξετε ότι A Iκαι γενικά ότι3 Ι , αν ν άρτιοςA ν .I , αν ν περιττόςii) Να βρείτε τις πραγματικές τιμές του x για τις οποίες ισχύει2 19921989x A ( x 2) A .1.4 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙΗ Έννοια του Γεωμετρικού Μετασχηματισμού Γνωρίζουμε από την Α΄ Λυκείου ότι συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένασύνολο Β είναι μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχίζεταισε ένα και μοναδικό στοιχείο του Β. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε μεσυναρτήσεις για τις οποίες τα Α και Β συμπίπτουν με το σύνολο E των σημείωνενός καρτεσιανού επιπέδου Oxy . Οι συναρτήσειςαυτές λέγονται γεωμετρικοί μετασχηματισμοί y2στο επίπεδο ή, απλά, γεωμετρικοί μετασχηματισμοί.Δηλαδή, γεωμετρικός μετασχηματισμός είναιοποιαδήποτε συνάρτησηΤ M΄(x΄,y΄)T :E E .M(x,y)Ox


381 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΩς προς τη συνάρτηση αυτή η εικόνα, T (M ) , του σημείου M ( x,y)θα συμβολίζεταιμε M ( x,y).Ένα παράδειγμα γεωμετρικού μετασχηματισμούείναι η συνάρτησηT :E EM ( x,y) M (x,y),η οποία αντιστοιχίζει κάθε σημείο Μ στοσυμμετρικό του M ως προς τον άξονα x x .CC΄y 3M(x,y)O xM΄(x,y) Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε μόνο με τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούςπου απεικονίζουν τα σημεία M ( x,y)στα M ( x,y)των οποίων οι συντεταγμένεςδίνονται από ένα σύστημα της μορφήςx αx βy μy γx δy νή, ισοδύναμα, από μια εξίσωση της μορφήςxαβxμ (1)yγδ yνόπου α,β,γ,δ,μ,ν πραγματικοί αριθμοί.Αν μ 0 και ν 0 , τότε η εξίσωση (1) παίρνει τη μορφήxαβx (2)yγδ yΣτην περίπτωση αυτή ο γεωμετρικός μετασχηματισμός λέγεται γραμμικός μετασχηματισμόςκαι ο πίνακας λέγεται πίνακας του γραμμικού μετα-αβγδ σχηματισμού.Για παράδειγμα, ο γεωμετρικός μετασχηματισμός που ορίζεται από το σύστημαx 7x 3yx73xή, ισοδύναμα, από την εξίσωση είναι ένας γραμμικόςμετασχηματισμός με πίνακα τον . Με αυτόν τον μετασχηματισμόy 2x 2y y22y7322το σημείο A( 1,2) απεικονίζεται στο A (13, 6) , ενώ το σημείο B( 1, 2)στοB( 1, 2), δηλαδή στον εαυτό του. Ας θεωρήσουμε τώρα το γραμμικό μετασχηματισμό


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 39T :xαβx yγδ yκαι τα μοναδιαία διανύσματα i (1,0 ) καιj (0,1) . Τότε, η εικόνα A του πέρατος A(1,0)του διανύσματος i έχει συντεταγμένες (α, γ) ,αφούxαβ1α ,yγδ 0γy 4Β΄(β,δ)Β(0,1)j Α΄(α,γ)iO Α(1,0) xενώ η εικόνα B του πέρατος B(0,1)του διανύσματος j έχει συντεταγμένες( β,δ), αφούxα yγβ0β .δ 1δΠαρατηρούμε, δηλαδή, ότι:Oι συντεταγμένες της εικόνας του πέρατος, A(1, 0) , του διανύσματοςi (1,0) είναι η πρώτη στήλη, ενώ οι συντεταγμένες της εικόνας του πέρατος,Β(0,1) , του διανύσματος j είναι η δεύτερη στήλη του πίνακα τουγραμμικού μετασχηματισμού.Για παράδειγμα, ο γραμμικός μετασχηματισμός, που απεικονίζει τα πέραταA (1,0) και B (0,1)των διανυσμάτων i (1,0 ) και j (0,1)στα σημεία A(3,1)31και B(1,2)αντιστοίχως, έχει πίνακα .12 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1. Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμόςx0 1xT : y10yi) Να βρεθούν οι εικόνες A x 1,y)και B x2, y) των σημείων A x 1, y ) καιB x 2, y ) αντιστοίχως.(2(1ii) Να αποδειχτεί ότι ( A B) ( AB).(2(1


401 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΛΥΣΗi) Έχουμεx0 y11x y .0y x Επομένως, οι εικόνες των A ( x 1, y1)και B ( x 2, y2)είναι τα σημεία A( y 1, x1)καιBy 2, x ) αντιστοίχως.(2ii) Είναι2222( A B) ( y2 y1) ( x2 x1) ( x2 x1) ( y2 y1) ( AB).Παρατηρούμε ότι ο μετασχηματισμός αυτός διατηρεί τις αποστάσεις. Οι γραμμικοίμετασχηματισμοί που διατηρούν τις αποστάσεις λέγονται ισομετρίες.2. Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός:Nα βρεθεί:x4T : y13x1yi) Το πρότυπο του σημείου A (2, 0) , δηλαδή το σημείο Α( x,y)που απεικονίζεταιστο A(2, 0) .ii) Η εικόνα της ευθείας ε : y 2x 1 .ΛΥΣΗi) Ισχύει24 013x .1y43Επειδή ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος, πολλαπλασιάζουμε και τα δύο11 1 3μέλη με τον αντίστροφό του, που είναι ο πίνακας και έχουμε διαδοχικά:1441 113112x 0y 3 2 x 4 0y 2x .2y


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 41Άρα το σημείο Α έχει συντεταγμένες ( 2, 2).ii) Αρκεί να βρούμε την εξίσωση η οποία επαληθεύεται από τις συντεταγμένεςτων εικόνων των σημείων της ευθείας ε και μόνο απ’ αυτές. Πράγματι, έχουμε:Eπομένως, αν το σημείοθα ισχύει:Άρα, το σημείοx4 y13x4 1y1 1 1311xx yy 3 x x 4 yy x 3yx x 4yyx x 3y . (1)y x 4yM ( x,y)ανήκει στην ε, τότεy 2x1x 4y 2x 6y12y x1y 12M ( x,y)x12ανήκει στην ευθεία1 1ε : y x .2 2ε1y 5ε΄O 1 xΑλλά και αντιστρόφως, αν το σημείο M ( x,y)ανήκει στην ευθεία 1ε : y x , τότε το M ( x,y)ανήκει στην ευθεία ε : y 2x1.2 2Συνεπώς, η εικόνα της ευθείας ε : y 2x1είναι η ευθεία1 1ε : y x .2 2ΣΧΟΛΙΟΑποδεικνύεται ότι κάθε γραμμικός μετασχηματισμός, του οποίου ο πίνακας α-ντιστρέφεται, απεικονίζει:— ευθείες σε ευθείες— ευθύγραμμα τμήματα σε ευθύγραμμα τμήματα με άκρα τις εικόνες των άκρων— πολύγωνα σε πολύγωνα με κορυφές τις εικόνες των κορυφών.Για παράδειγμα, με το μετασχηματισμό


421 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑx 2T : y11x0yτο τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές A (1,0) , B (1, 3)και Γ(0, 3) απεικονίζεται στο τρίγωνοA BΓ που έχει ως κορυφές τις εικόνες A ( 2, 1), B (1,1 ) και Γ(3,0) τωνκορυφών του τριγώνου ΑΒΓ.Είναι βολικό, πολλές φορές, ένα πολύγωνο A1A2... A ννα το παριστάνουμε με τονπίνακαxy11xy22xν ,yνπου έχει ως στήλες τις συντεταγμένες των κορυφών του. Τον πίνακα αυτόν θα110τον λέμε πίνακα του πολυγώνου. Έτσι, ο πίνακας του ΑΒΓ είναι ο ,03 3 2 1 3ενώ του A BΓο . Eίναι φανερό ότι11 0y6Β ΓA B Γ Α Β Γ 2 1 3 2 1110 .Β΄11 01001 3Άρα ο πίνακας του τριγώνου A BΓ προκύπτει ανπολλαπλασιάσουμε τον πίνακα του γραμμικού μετασχηματισμούμε τον πίνακα του τριγώνου ΑΒΓ.Αυτό ισχύει και για οποιοδήποτε πολύγωνο.Βασικοί γεωμετρικοί μετασχηματισμοί1. Συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνωνΚαλούμε συμμετρία ως προς την αρχή τωναξόνων το γεωμετρικό εκείνο μετασχηματισμόμε τον οποίο κάθε σημείο M ( x,y)τουκαρτεσιανού επιπέδου απεικονίζεται στοσυμμετρικό του M ( x,y)ως προς την αρχήτων αξόνων. Όπως γνωρίζουμε από την Α΄Λυκείου ισχύειx xx 1x 0yx10x .0 1 0 1y yy x y y yC΄Μ΄(-x,-y)Γ΄O ΑxΑ΄y 7Μ(x,y)CO xΆρα, η συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων είναι γραμμικός μετασχηματισμόςμε πίνακα I .1 0 0 1


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 432. Συμμετρία ως προς άξονα μια ευθεία ε.Καλούμε συμμετρία ως προς άξονα μια ευθείαε, το γεωμετρικό εκείνο μετασχηματισμό με τονοποίο κάθε σημείο M ( x,y)του καρτεσιανούεπιπέδου απεικονίζεται στο συμμετρικό του,M ( x,y), ως προς την ευθεία ε.Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με τησυμμετρία ως προς τον άξονα x x , τη συμμετρίαως προς τον άξονα yy και τη συμμετρίαως προς την ευθεία y x .2α. Συμμετρία ως προς τον άξονα x x .΄Οπως γνωρίζουμε από την Α΄ Λυκείου ισχύει: x x x 1x 0yx1 0x1yy yyy0Άρα, η συμμετρία ως προς τον άξονα10πίνακα .012β. Συμμετρία ως προς τον άξονα y y .0x .1yΌπως γνωρίζουμε από την Α΄ Λυκείου ισχύει:x xx 1x 0yx10x 0x1y . y y yy 0 1yΆρα η συμμετρία ως προς τον άξονα y y είναιένας γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα10 . 0 12γ. Συμμετρία ως προς άξονα την ευθεία y x .Όπως γνωρίζουμε από την Α΄ Λυκείου ισχύει:x y x 0x1yx0 1x 0yy x y y1CC΄yyOΜ(x,y)Μ(x,y)8εΜ΄(x΄,y΄)O xΜ΄(x,y)x x είναι γραμμικός μετασχηματισμός με1x .0yΆρα, η συμμετρία ως προς άξονα την ευθείαy x είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός με01πίνακα .10Oι παραπάνω γραμμικοί μετασχηματισμοί είναιόλοι ισομετρίες.yΜ΄(x, y) Μ(x,y)C΄yOC΄ COCΜ(x,y)εx910xx11Μ΄(y,x)


441 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ3. Στροφή με κέντρο Ο και γωνία θ.Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στοεπίπεδο και θ μια θετική ή αρνητική γωνία.Καλούμε στροφή με κέντρο Ο και γωνία θ τογεωμετρικό εκείνο μετασχηματισμό με τον ο-ποίο κάθε σημείο M ( x,y)του επιπέδου αντιστοιχίζεταιστο πέρας M ( x,y), του διανύσματοςOM που είναι η τελική θέση του OM ,αν αυτό στραφεί γύρω από το Ο κατά γωνία θ.Αν φ είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμαOM με τον άξοναxxx ρσυνφ y ρημφΈτσι, θα ισχύεικαι ρ το μέτρο του διανύσματοςyΜ΄(x΄,y΄)ρΜ(x,y)θφO xx ρσυν(φ θ)(1) και (2). y ρημ(φ θ)OM , τότε θα ισχύει:x ρ(συνφσυνθ ημφημθ)x ( ρσυνφ)συνθ ( ρημφ)ημθ y ρ(ημφσυνθ συνφημθ)y ( ρημφ)συνθ ( ρσυνφ)ημθ(1) x xσυνθ yημθy xημθ yσυνθxσυνθ y ημθ ημθx .συνθyΆρα, η στροφή με κέντρο Ο και γωνία θ είναι γραμμικός μετασχηματισμός μεσυνθ ημθπίνακα . Ειδικότερα: ημθσυνθπ01α) Η στροφή με κέντρο Ο και γωνία θ έχει πίνακα .21010β) Η στροφή με κέντρο Ο και γωνία θ π έχει πίνακα I 0 1και είναι η συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων.γ) Η στροφή με κέντρο Ο και γωνία3π 0 1θ έχει πίνακα .21010δ) Τέλος, η στροφή με κέντρο Ο και γωνία θ 2πέχει πίνακα 01και είναι η ταυτοτική απεικόνιση.Εύκολα αποδεικνύεται ότι και η στροφή είναι μια ισομετρία.12


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 454. Ομοιοθεσία.Καλούμε ομοιοθεσία με κέντρο την αρχή*των αξόνων Ο και λόγο λ το μετασχηματισμόμε τον οποίο κάθε σημείο M ( x,y)του επιπέδου αντιστοιχίζεται στο σημείοM ( x,y)που ορίζεται από την ισότηταOM λOM .Επειδή OM ( x,y)και OM ( x,y), έχουμε:OM λOM ( x,y) λ(x,y)yOΜ(x,y)13Μ΄(x΄,y΄)λ>1 xx λx y λyx λx 0y y 0x λyxλ y00x .λyΆρα,η ομοιοθεσία με κέντρο την αρχή των αξόνων και λόγο λ 0 είναι έναςλ0γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα λI .λ0ΜΝΗΜΟΝΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣΓια να θυμόμαστε τον πίνακα των παραπάνω γραμμικών μετασχηματισμών, αρκείνα θυμόμαστε ότι η πρώτη στήλη του είναι οι συντεταγμένες της εικόνας τουσημείου A(1, 0) , ενώ η δεύτερη στήλη του είναι οι συντεταγμένες της εικόναςτου B(0,1). Για παράδειγμα, ο πίνακας της συμμετρίας ως προς τον άξονα xx10είναι ο 01που έχει για πρώτη και δεύτερη στήλη τις συντεταγμένες τωνσυμμετρικών ως προς τον άξονα x x των σημείων A (1, 0) και B(0,1)αντιστοίχως.5. Παράλληλη μεταφορά.Έστω δ δ 1,δ ) ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου(2Oxy . Καλούμε παράλληλημεταφορά κατά διάνυσμα δ το γεωμετρικό εκείνο μετασχηματισμό μετον οποίο κάθε σημείο M ( x,y)του επιπέδου αντιστοιχίζεται στο σημείοM (x, y) που ορίζεται από την ισότητα MM δ (Σχ. 14).


461 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΕπειδή MM ( x x,y y), έχουμεMM δ (x x y y) ( δ 1, δ ),2yΜ(x,y)δΜ΄(x΄,y΄)14 x x δ y y δ x x δ y y δ1212Oδxxxδ yyδ12x1 y00xδ 1yδΆρα, η παράλληλη μεταφορά δεν είναι γραμμικός μετασχηματισμός.12 .ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1. Έστω Τ ο μετασχηματισμός “στροφή με κέντρο Ο και γωνίαβρεθεί η εικόναΛΥΣΗC της καμπύληςθ 1C : y ως προς το μετασχηματισμό Τ.xπ4”. ΝαΈστω M ( x,y)ένα σημείο του επιπέδου και M ( x,y)η εικόνα του ως προς τομετασχηματισμό Τ. Τότε θα ισχύει πxσυν 4yπ- ημ 4π ημ4xx π yyσυν 4 2 / 22 / 22 / 2x2 / 2y 2 / 22 / 22 / 22 / 21xx yy 2 / 22 / 22 / 2xx 2 / 2yyx y2( x y)2 . (1)2( x y)2


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 47Επομένως, αν τοM ( x,y)ανήκει στην καμπύλη C, τότε θα ισχύει:2xy 12(x ) ( y)11 222( x)( y)2( 2) ( 2)2 1 ,οπότε το σημείο M ( x,y)θα είναι σημείοτης ισοσκελούς υπερβολής22x yC : 1 .22( 2) ( 2)y=xy 15CC΄O xy=xΑλλά και αντιστρόφως, αν το M ( x,y)ανήκει στην καμπύλη C , τότε τοM ( x,y)θα ανήκει στην C.Άρα, η εικόνα της1C : y , ως προς τη στροφή με κέντρο Ο και γωνίαx22x yείναι η υπερβολή C : 1. Συνεπώς, η καμπύλη22( 2) ( 2)υπερβολή που προκύπτει αν στρέψουμε την C κατά γωνίαπθ ,41C : y είναι μιαxπ θ .42. Έστω και T οι γραμμικοί μετασχηματισμοί με πίνακεςT12 1 232A1 και A 211 11 αντιστοίχως. Να βρεθεί ο πίνακας του γραμμικού μετασχηματισμού πουπροκύπτει, αν εφαρμόσουμε πρώτα τον και έπειτα τον T , δηλαδή τουμετασχηματισμού T .ΛΥΣΗΈστω2T 1T12M ( x,y)ένα σημείο του επιπέδου. Αν M ( x,y)είναι η εικόνα του Μ μέσωτου μετασχηματισμούT και M ( x,y) η εικόνα του M μέσω του μετασχηματισμού, τότε θα ισχύειT 21x 1 y121x yx 32xκαι ,y 11yοπότε θα έχουμε


481 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑx 3 y 12 11 12 x 1 1 y083x .y18Άρα, ο πίνακας του T2 T 1είναι ο που είναι το γινόμενο A2 A 1των πινάκωντων μετασχηματισμών και .03 Γενικά:T 2T 1“Αν A 1, A 2είναι πίνακες δύο γραμμικών μετασχηματισμών, T 1και T 2αντιστοίχως,τότε ο πίνακας του γραμμικού μετασχηματισμού T 2 T 1είναι οA2 A 1, ενώ του T1 T2είναι ο A1 A2”.ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να γράψετε τους πίνακες των γραμμικών μετασχηματισμών:x x yx x yT1: , T2: ,y x yy x 2yT3 :x x 2yy2x 4yκαι να βρείτε τις εικόνες των σημείων A (1,0) και B(0,1).2. Να βρείτε το γραμμικό μετασχηματισμό που απεικονίζει τα πέραταA (1,0) και B(0,1)των μοναδιαίων διανυσμάτων i και j στα σημεία(i) ( 1,2) και ( 1,3)αντιστοίχως, (ii) ( 1,1)και (2,1) αντιστοίχως.3. Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός:x 2 1xT : .y10yΝα βρείτε τις εικόνες των σημείων O (0,0) και A(3,4)και στη συνέχειανα αποδείξετε ότι ο Τ δεν είναι ισομετρία.4. Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός:x21xT : y11yi) Να βρείτε την εικόνα A BΓΔ του τετραγώνου ΑΒΓΔ που έχει πίνακα .01 1 000 1 1ii) Να αποδείξετε ότι το Α ΒΓΔ είναι πλάγιο παραλληλόγραμμο.


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 495. Δίνεται ο μετασχηματισμός:Nα βρείτεx11xT : .y32yi) το πρότυπο του σημείου A (0,5)ii) την εικόνα της ευθείας ε : y x 1.6. Τι παριστάνουν γεωμετρικά οι γραμμικοί μετασχηματισμοί που έχουνπίνακα:i) 3 / 2 1/ 220A , ii) A 1/2 3 / 202 10 iii) 0 1A , iv) 0 1101A 00 21 002 10 v) 0 101 A , vi) .0110 1 0 1 0A 1001 0 1B΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός:T :x1 y22x4 yi) Να αποδείξετε ότι ο Τ απεικονίζει όλα τα σημεία του επιπέδουστην ευθεία ε: y 2x.ii) Nα βρείτε τα πρότυπα του σημείου O(0,0) .iii) Να αποδείξετε ότι το σημείο A (1,1 ) δεν έχει πρότυπο.2. Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός:x1T : y11x0 yκαι δύο οποιαδήποτε σημεία A ( x 1, y1), B( x 2, y2)του επιπέδου. Να αποδείξετεότιi) O T δεν είναι ισομετρία, δηλαδή ότι ( A B) ( AB).ii)iii)Ο Τ απεικονίζει το μέσο του ευθ. τμήματος ΑΒ στο μέσο της εικόναςτου A B.Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι ίσο με το εμβαδό της εικόναςτου OAB.


501 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ3. Να βρείτε το γραμμικό μετασχηματισμό που απεικονίζει τα σημείαA (1,1) και B( 1, 1)στα σημεία:i) A (0,1) και B(2,1)αντιστοίχωςii) A (6,3) και B(3,1)αντιστοίχως.Σε καθεμιά περίπτωση να βρείτε την εικόνα της ευθείαςε: y 2x.4. Να αποδείξετε ότι καθένας από τους παρακάτω γεωμετρικούς μετασχηματισμούςείναι γραμμικός μετασχηματισμός.i) Η συμμετρία ως προς την ευθεία y x.ii) Η προβολή πάνω στον άξοναiii) Η προβολή πάνω στον άξοναx x .y y .iv) Η προβολή πάνω στην ευθείαy x .Στη συνέχεια να βρείτε σε καθεμία περίπτωση την εικόνα του τετραγώνουΟΑΓΒ με πίνακα και να επιβεβαιώσετε γεωμετρικά01 1 000 1 1την απάντησή σας.α05. Δίνεται ο μετασχηματισμός Τ με πίνακα A , όπου α β 0 .0β2 2i) Να αποδείξετε ότι η εικόνα του κύκλου C:x y 1 είναι η έλλειψηxC αyβ2 2: 2 2 1ii) Αφού βρείτε την εικόνα O AΓB του τετραγώνου ΟΑΓΒ, που έχει01 1 0πίνακα , να δείξετε ότι ( O AΓ B) αβ (OAΓΒ).00 1 11.5 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Κάθε εξίσωση της μορφής α1x1 α2x2ανxν β , όπου α 1, α2,...,α νβ είναιπραγματικοί αριθμοί και x1,x2,...,x νάγνωστοι, λέγεται γραμμική εξίσωση με ναγνώστους. Οι αριθμοί α1, α2,...α νλέγονται συντελεστές των αγνώστων και ο βσταθερός όρος.Για παράδειγμα, η εξίσωση x 3y 3είναι μια γραμμική εξίσωση με δύο α-γνώστους. Επίσης, η x x 5x1 είναι γραμμική εξίσωση με τέσσε-12x2 34


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 51ρις αγνώστους, ενώ οι εξισώσεις 2x 2 y 1 και 2 x 3y 2 δεν είναι γραμμικές.Κάθε διατεταγμένη ν-άδα αριθμών ( s 1, s2,..., s ν) που επαληθεύει μια γραμμικήεξίσωση με ν αγνώστους λέγεται λύση της εξίσωσης.Για παράδειγμα, η διατεταγμένη τριάδα ( 1, 0, 2)είναι λύση της εξίσωσης3x 2y ω 1, αφού 3( 1) 20 2 3 2 1. Ένα πλήθος μ γραμμικών εξισώσεων με ν αγνώστους των οποίων ζητάμε τιςκοινές λύσεις, λέγεται γραμμικό σύστημα μ εξισώσεων με ν αγνώστους ή α-πλούστερα μ ν γραμμικό σύστημα.Για παράδειγμα, το2x y 3ω 1 x 3y ω 2είναι ένα 23 γραμμικό σύστημα.Γενικά, ένα μ ν γραμμικό σύστημα έχει τη μορφήα11x1 α12x2α1νxν β1α21x1 α22x2α2νxν β2.......................................................αμ1x1 αμ2x2αμνxν βμα ij( Σ 1)( Σ2)Ο 1ος δείκτης i του συντελεστή δείχνει την εξίσωση στην οποία ανήκει οα ij, ενώ ο 2ος δείκτης j δείχνει τον άγνωστο με τον οποίο πολλαπλασιάζεται οαij. Για παράδειγμα, ο α32 είναι ο συντελεστής του αγνώστουx2στην τρίτηεξίσωση ενός συστήματος.Κάθε διατεταγμένη ν-άδα αριθμών η οποια επαληθεύει όλες τις εξισώσεις ενόςμ ν γραμμικού συστήματος, λέγεται λύση του συστήματος. Για παράδειγμα, ηδιατεταγμένη τριάδα ( 1, 0, 1) είναι λύση του συστήματος Σ ) , αφού2( 1) 0 31 1 και 1301 2.Η διαδικασία με την οποία βρίσκουμε τις λύσεις ενός συστήματος λέγεται επίλυσητου συστήματος.Ένα σύστημα που έχει μια τουλάχιστον λύση λέγεται συμβιβαστό, ενώ ένα σύστημαπου δεν έχει καμία λύση λέγεται αδύνατο.Τέλος, δύο γραμμικά συστήματα που έχουν τις ίδιες ακριβώς λύσεις λέγονταιισοδύναμα.( 1 Με τη βοήθεια των πινάκων το σύστημα(Σ 1)γράφεται2x y 3ω 1 3y ω . x 2


521 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΤο 1ο μέλος όμως της ισότητας αυτής είναι το γινόμενο του 23 πίνακα x213 των συντελεστών των αγνώστων με τον 3 1 πίνακα στήλη 13 1yωτων αγνώστων. Επομένως το σύστημα Σ ) γράφεταιΓενικότερα, το2113( 1 x 3 1 y .12 ωμ ν γραμμικό σύστημα Σ ) γράφεται(2αα αμ11211ααα1222μ2α1ν x β1 1 α 2ν x β2 2 . αμν xν βμ Αν τώρα συμβολίσουμε με Α τον πίνακα των συντελεστών των αγνώστων, με Χτον πίνακα-στήλη των αγνώστων και με Β τον πίνακα-στήλη των σταθερών ό-ρων, τότε το ( Σ2) γράφεται AX B .Αν οι σταθεροί όροι ενός γραμμικού συστήματος είναι όλοι ίσοι με το μηδέν,τότε το σύστημα λέγεται ομογενές και σύντομα γράφεται AX .Τέλος ο πίνακαςαα αμ11211ααα1222μ2ααα1ν2νμνβ1β2 βμ που αποτελείται από τον πίνακα Α των συντελεστών των αγνώστων, συμπληρωμένομε τη στήλη των σταθερών όρων λέγεται επαυξημένος πίνακας του συστήματος.Όπως θα δούμε στη συνέχεια, ο πίνακας αυτός παίζει σημαντικό ρόλοστην επίλυση του συστήματος. Η κατακόρυφη διακεκομμένη γραμμή στον επαυξημένοπίνακα προστίθεται απλώς για να ξεχωρίζει τη στήλη των σταθερών ό-ρων.1.6 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗΜΕΘΟΔΟ ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ ΤΟΥ GAUSSAποδεικνύεται ότι, αν σε ένα γραμμικό σύστημα εφαρμόσουμε μια από τις επόμενεςδιαδικασίες, τότε προκύπτει ισοδύναμο σύστημα:


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 53— Εναλλαγή της θέσης δύο εξισώσεων— Πολλαπλασιασμός των μελών μιας εξίσωσης με ένα μη μηδενικό αριθμό.— Πρόσθεση των μελών μιας εξίσωσης (πολλαπλασιασμένων με έναν αριθμό)στα μέλη μιας άλλης.Έτσι, όταν έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα προσπαθούμε, εφαρμόζονταςτις προηγούμενες διαδικασίες, να το μετασχηματίσουμε σε ένα άλλο ισοδύναμοσύστημα του οποίου η λύση να είναι προφανής.Ας δούμε τώρα με ένα παράδειγμα πως εφαρμόζονται και πως συμβολίζονται οιτρεις αυτές διαδικασίες.Έστω το γραμμικό σύστημα— Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της1ης εξίσωσης E1του ( Σ 1) με 2και τα προσθέτουμε στα αντίστοιχαμέλη της 2ης εξίσωσης τουE 2( Σ 1) . Έτσι, απαλείφεται από την Ε2ο άγνωστος x.— Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της του ( Σ2) με 3και τα προσθέ-1τουμε στα μέλη της 3 . ΄Ετσι,απαλείφεται από την 3 ο άγνωστοςx.EE23 E E23 x 2y ω 02x y 5ω 33x y 2ω 1( Σ 1) x 2y ω 0 2E1 3y 3ω 3(Σ2)3x y 2ω 1 x 2y ω 0 3E1 3y 3ω 3(Σ3) 7y ω 1— Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη τηςΕ2τουΣ ) με(3στής του y γίνεται 1.1 . Έτσι, ο συντε-3E213E2 x 2y ω 0y ω 17 y ω 1(Σ4)Συνεχίζουμε εφαρμόζοντας τις παραπάνω διαδικασίες που παριστάνουμε πλέονμόνο συμβολικά:E x 2y ω 0 y ω 1( Σ5) 8ω 83E3 7E21 E3 E3 8 x 2y ω 0y ω 1ω 1( Σ6)


541 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑEEE x 2y ω 0 y 0 ( Σ 7) ω 12E2 E3 x 2y 1 y 0 ( Σ8) ω 11E1 E3 x 1 y 0 ( Σ9) ω 11E1 2E2Επειδή το σύστημα ( Σ9) είναι ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα Σ ) , συμπεραίνουμεότι η λύση του συστήματος είναι η τριάδα ( 1, 0, 1) .Μπορούμε να περιγράψουμε απλούστερα τη διαδικασία επίλυσης ενός μ νγραμμικού συστήματος, αν σκεφτούμε ως εξής: Αφού κάθε εξίσωση παριστάνεταιμε μια γραμμή του επαυξημένου πίνακα, αρκεί οι παραπάνω μετατροπές τωνεξισώσεων να γίνονται στις γραμμές Γ 1, Γ2,...,Γ μτου επαυξημένου πίνακα. Οιμετατροπές αυτές λέγονται γραμμοπράξεις και είναι οι εξής:Γραμμοπράξη( 1Συμβολισμός1. Εναλλαγή της θέσης δύο γραμμών Γi Γj2. Πολλαπλασιασμός μιας γραμμής με έναμη μηδενικό αριθμό Γi λΓ i, λ 03. Πρόσθεση των στοιχείων μιας γραμμής,πολλαπλασιασμένων με έναν αριθμό, σταΓ Γ λΓαντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης γραμμής.Όταν έχουμε δύο πίνακες Α, Β που ο ένας προκύπτει από τον άλλο με γραμμοπράξεις,τότε οι πίνακες αυτοί λέγονται γραμμοϊσοδύναμοι ή απλώς ισοδύναμοικαι γράφουμε A ~ B . Είναι προφανές ότι, αν οι επαυξημένοι πίνακες δύοσυστημάτων είναι ισοδύναμοι, τότε και τα συστήματα είναι ισοδύναμα, αφούκαθεμιά γραμμοπράξη ξεχωριστά οδηγεί σε σύστημα ισοδύναμο με το αρχικό.Έτσι, η επίλυση του προηγούμενου συστήματος μπορεί να γίνει ως εξής:123 2111520 31Γ2 Γ2 2Γ1~103 2311320 31iΓi3 Γ3 3Γ1~j100 2371310 311 Γ231 20Γ ~ 2 0 1 1 1 07 111Γ3 Γ3 7Γ2~


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 55100 21011 80181 Γ Γ38~ 3 100 21011101 1Γ Γ Γ2~ 2 3100 210101001Γ Γ Γ1~ 1 3 100 210001101Γ1 Γ1 2Γ2~100010001101.x 1Ο τελευταίος πίνακας αντιστοιχεί στο σύστημα y 0 . ω 1Επομένως, η λύση του συστήματος είναι η τριάδα ( 1, 0, 1).Παρατηρούμε ότι ο τελευταίος πίνακας των συντελεστών των αγνώστων είναι ομοναδιαίος 3 3 πίνακας. Έτσι μπορούμε να “διαβάσουμε” αμέσως τη λύση τουσυστήματος.Για να απλοποιήσουμε και να συντομεύσουμε ακόμη περισσότερο τη διαδικασίαεπίλυσης ενός συστήματος, πολλές φορές στο ίδιο βήμα εφαρμόζουμε περισσότερεςαπό μία γραμμοπράξεις.Ας λύσουμε τώρα και το σύστημα xx 2x111 2x 2x 4x222 x3 x3 2x3 5x 3x 6x444 6x5 2x5 3x5 4 .Παίρνουμε τον επαυξημένο πίνακα και έχουμε διαδοχικά:106 1 21 22 4151 3 266 2310 46ΓΓ32 Γ2 Γ Γ 2Γ~311100200150 20 464 9106141 Γ Γ22~ 2100200150 1620 4 910 314Γ3 Γ3 4Γ2~1002001005 0 2 1 2 30 1 2 Γ Γ3~ 31002001005106211032Γ2 Γ2 2Γ3Γ Γ 6Γ1~13100200100510001 2 12 Γ1 Γ1 5Γ2~


561 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTA1002001000100013 1 .2 Έτσι το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με το σύστημαx1 2x2 x3x4x5 1.Λύνουμε την πρώτη εξίσωση ως προς έναν άγνωστο, π.χ. ως προς x 1(αυτό μαςδιευκολύνει, αφού ο συντελεστής του αγνώστου αυτού είναι 1) και έχουμεxxx145 3 2x 1 2Επειδή ο άγνωστος x 1εκφράζεται ως συνάρτηση των x 2, x 3, αυτό σημαίνει ότιμπορούμε να επιλέξουμε αυθαιρέτως τις τιμές των x 2, x 3. Δηλαδή, το γραμμικόσύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων, τις διατεταγμένες πεντάδες( 3 2x2 x3, x2, x3, 1,2), όπου οι x 2, x3μπορούν να πάρουν οποιεσδήποτε πραγματικέςτιμές.Π.χ. για x2 1, x 3 0 έχουμε τη λύση ( 1, 1, 0, 1, 2)του συστήματος.Ο τελευταίος από τους παραπάνω ισοδύναμους επαυξημένους πίνακες είναι, ό-πως λέμε, ένας ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας. Γενικά, δίνουμε τον επόμενοορισμό:OΡΙΣΜΟΣΈνας μ ν πίνακας λέγεται ανηγμένος κλιμακωτός (1) , αν ισχύουν συγχρόνωςτα παρακάτω:α) Οι μη μηδενικές γραμμές βρίσκονται πριν από τις μηδενικές.β) Το πρώτο από αριστερά μη μηδενικό στοιχείο κάθε μη μηδενικής γραμμήςείναι το 1 και βρίσκεται δεξιότερα του αντίστοιχου 1 της προηγούμενηςγραμμής.γ) Το πρώτο από αριστερά 1 κάθε μη μηδενικής γραμμής είναι και το μόνο μημηδενικό στοιχείο της στήλης στην οποία ανήκει.Έτσι π.χ. οι πίνακες2 x3.32(1) Ένας μ ν πίνακας λέγεται, απλώς, κλιμακωτός, ανα) Οι μη μηδενικές γραμμές βρίσκονται πριν από τις μηδενικές καιβ) Το πρώτο από τα αριστερά μη μηδενικό στοιχείο κάθε γραμμής βρίσκεται δεξιότερα από το αντίστοιχοστοιχείο της προηγούμενης γραμμής, χωρίς να είναι κατανάγκη ίσο με 1.


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 571 0 3 00 1 5 00 0 0 1 1 0 0 2 3 0 1 0 1 , 01 , 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 είναι ανηγμένοι κλιμακωτοί, ενώ οι πίνακες0000100010 21131,2100200001010δεν είναι ανηγμένοι κλιμακωτοί.Σχετικά με τους ανηγμένους κλιμακωτούς πίνακες ισχύει το παρακάτω θεώρημα.ΘΕΩΡΗΜΑΚάθε πίνακας μετατρέπεται σε ανηγμένο κλιμακωτό πίνακα με την εκτέλεσηενός πεπερασμένου πλήθους γραμμοπράξεων.Σύμφωνα με το θεώρημα αυτό κάθε πίνακας είναι ισοδύναμος με έναν ανηγμένοκλιμακωτό πίνακα. Μπορεί να αποδειχθεί ότι αυτός ο ανηγμένος κλιμακωτόςπίνακας είναι και μοναδικός.Ο παρακάτω αλγόριθμος μας δίνει μια μέθοδο με την οποία μπορούμε να βρίσκουμεκάθε φορά το μοναδικό αυτόν ανηγμένο κλιμακωτό πίνακα.ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣΒΗΜΑ 1ο: Βρίσκουμε την πρώτη στήλη του πίνακα που περιέχει μη μηδενικόστοιχείο.ΒΗΜΑ 2ο: Μεταφέρουμε στον πίνακα πρώτη τη γραμμή που περιέχει μη μηδενικόστοιχείο της στήλης (γραμμοπράξη 1).ΒΗΜΑ 3ο: Κάνουμε το μη μηδενικό στοιχείο της στήλης μονάδα (γραμμοπράξη2).ΒΗΜΑ 4ο: Κάνουμε όλα τα στοιχεία της στήλης που είναι κάτω από τη μονάδαμηδενικά (γραμμοπράξη 3).ΒΗΜΑ 5ο: Αγνοούμε την πρώτη γραμμή του πίνακα και επαναλαμβάνουμε ταβήματα 1 έως 4 για τις επόμενες γραμμές του πίνακα. Αν όμως οιγραμμές που απέμειναν είναι μηδενικές, πηγαίνουμε στο 6ο βήμα.ΒΗΜΑ 6ο: Από γραμμή σε γραμμή χρησιμοποιώντας το πρώτο από αριστερά 1κάθε γραμμής και τη γραμμοπράξη 3 κάνουμε μηδέν όλα τα στοιχείατης στήλης στην οποία βρίσκεται η μονάδα αυτή.


581 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTAΟ παραπάνω αλγόριθμος, που ονομάζεται και αλγόριθμος του Gauss, ολοκληρώνεταιόταν σε κάθε μη μηδενική γραμμή του πίνακα το πρώτο από αριστερά 1είναι και το μόνο μη μηδενικό στοιχείο της στήλης στην οποία ανήκει.Έτσι για να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα με τον αλγόριθμο του Gauss, μετατρέπουμετον επαυξημένο πίνακά του σε έναν ισοδύναμο ανηγμένο κλιμακωτόπίνακα.Για παράδειγμα, ας λύσουμε το σύστημα2x13xx11 2x 3x x222 3x3 x3 2x3 3x x 2x444 x5 x5 3x5 45 .2Σχηματίζουμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος2 3 12 31312 31 2113 45 2 και έχουμε διαδοχικά:Γ1 Γ 3(βήμα 2ο) 1 321 32213 21 331125 4ΓΓ23 Γ Γ23 3Γ 2Γ11(βήμα 4ο)1001002 77 27 73 872 10 ΑγνοούμεΓ2 Γ 3την 1η γραμμή (βήμα 5ο)(βήμα 2ο)10010027 7 2 7737 82 01(22Γ 1 7 Γ βήμα 3ο)10010021 7 21731 82 01Γ3 Γ3 7Γ2(βήμα 4ο)100100210 2103112 01


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 59Αγνοούμε τη 2η γραμμή (βήμα 5ο)Γ 3Γ 3(βήμα 3ο)100100210 2103112 01 ΓΓ21 Γ Γ12 Γ3 3Γ3(βήμα 6ο)100100210 210001111 Γ1 Γ1 2Γ2(βήμα 6ο)1 10 0 0 1 0 0 1 10 1.0 0 0 0 1 1 Ο τελευταίος πίνακας είναι ανηγμένος κλιμακωτός και αντιστοιχεί στο σύστημαx1 xπου είναι ισοδύναμο με το σύστημα2xxx135x3 1 x4 1x2x 1x45. 1Επομένως, το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής( 2 2 4 x41 x , x , 1x , ,1) , x2, x 4 . x 2y 3z ω 1 Ας λύσουμε τώρα και το σύστημα: 2x y 2z ω 1 .4x 3y 4z ω 2Σχηματίζουμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος και έχουμε διαδοχικά:11124213 32 4111112ΓΓ23 Γ2 2Γ1 Γ 4Γ~31 1 0 02 5 5 3881 3 31 1 2 1 Γ Γ25~ 210021 5 3858135 31 15 2Γ3 Γ3 5Γ2~ 1 0 0210 385013501 1 .5 1


601 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTAΑπό την 3η γραμμή του τελευταίου πίνακα έχουμε ότι 0x 0y 0z 0ω 1ή0 1 , που σημαίνει ότι το σύστημα είναι αδύνατο. Γενικά,Αν κατά την επίλυση ενός συστήματος με τη βοήθεια του επαυξημένου πίνακαπαρουσιαστεί μια γραμμή της μορφής 0 0 ... 0 | α , με α 0 , τότε το σύστημαείναι αδύνατο.ΣΧΟΛΙΟΑπό τα συστήματα που λύσαμε μέχρι τώρα, παρατηρούμε ότι, όσα από αυτά είναισυμβιβαστά, ή έχουν μία μοναδική λύση ή έχουν άπειρο πλήθος λύσεων.Δηλαδή, δεν εμφανίστηκε σύστημα που να έχει περισσότερες από μία αλλά πεπερασμένουπλήθους λύσεις. Αποδεικνύεται ότι αυτό ισχύει γενικά για τα γραμμικάσυστήματα.ΕΦΑΡΜΟΓHΝα λυθεί το σύστημαΛΥΣΗκx x x y 1 κy 1 y 1, κ .Σχηματίζουμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος και έχουμε διαδοχικά:κ111κ11 11 Γ Γ~ 1 3 11κ1 1 Γ Γκ 1 ~1 1 2 2 Γ11001κ 11κ1 01κΓ3 Γ3 Γ2~1001κ 101 01 κ. Αν κ 1 , τότε το σύστημα είναι αδύνατο.1 Αν κ 1 , τότε ο τελευταίος πίνακας γράφεται00Επομένως, το σύστημα ισοδυναμεί με την εξίσωσηx y 1 y 1x10010.0και έτσι έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής ( x,1 x), x .


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 61ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να γράψετε τα συστήματα x y 22x 3y 5ω 1i) και ii) 3x 2y 6ω 12 x 2y ω 2 y 3ω 6στη μορφή AX B , όπου Α ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων,Χ ο πίνακας των αγνώστων και Β ο πίνακας των σταθερών ό-ρων.2. Να γράψετε τα γραμμικά συστήματα που περιγράφουν οι ισότητες: x 112 2 1 1i) y 2 1 3 4 2ii) 2ω33 0 4 3 3φ413123 2 x 1 1y 2 3 ω 3 1Στη συνέχεια να γράψετε τους επαυξημένους πίνακες των συστημάτωναυτών.3. Να λύσετε τα συστήματα που αντιστοιχούν στους ανηγμένους κλιμακωτούςπίνακες: 1 0 0 3 1 0 3 3 i)0 1 0 1ii) 0 1 2 4 0 0 1 2 iii)100100010001234


621 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTA4. Mε τον αλγόριθμο του Gauss να λύσετε τα συστήματα: x y z 1i) x y z 32x y z 0 x y z 0 x 2y z 2ii) 2x y z 1 iii) 2x y z 3.4x y 3z 1 x 3y 2z 05. Oμο ίως τα συστήματα:i) x y z 2ω 22x y z ω 1 x 2y 2z ω 3 x y 2z ω 1ii) x 2y z ω 12x 3y 3z 0iii)2x y 3z ω 0 x y 2z ω 23x z 06. Ομοίως τα συστήματα: x 2y 3 x 3y z 13x 4y 42x y z 0i) ii) x 6y 13x 2y 13x14x 13 x 10y 4z 1B΄ ΟΜΑΔΑΣαx βy γω 01. Να βρείτε τα α, β, γ ώστε το σύστημα αx 2y γω 1 να έχει ως λύ-3x βy γω 3ση την ( x , y,ω) ( 1, 1,1).22. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής y αx βx γ ,που διέρχεται α πό τα σημεία ( 1, 0), ( 2, 0)και ( 1, 6).α, β,γ ,2ημα 4συνβ εφγ 2π3. Αν 0 α,β,γ και 4ημα 2συνβ εφγ 3 3 1, να αποδείξετε2 12ημα συνβ εφγ2πα β γ .3ότι22 3 x4. Αν A 1 2 1και X y, να λύσετε το γραμμικό σύστημα2 2 1ω


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 63AX 4X .115. Αν A , να βρείτε ολους τους πίνακες Χ για τους οποίους ι-2 2σχύει:6. Να λύσετε τα συστήματα:AX XA .x y ω 1 x y ω 6i) x 2y 4ω α ii) x 2y 3ω102 x 4y10ω α x 2y λω μ x y 1iii) x κy κ , κ .2x ( κ 1)y 31.7 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗΜΕΘΟΔΟ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝΕισαγωγήΣτην προηγούμενη παράγραφο περιγράψαμε μια μέθοδο με την οποία μπορούμενα βρίσκουμε τη λύση ενός γραμμικoύ συστήματος.Όμως, όπως έχουμε δει στα γραμμικά συστήματα με δύο αγνώστους, είναι χρή-έναν τύπο, ο οποίος να εκφράζει τις λύσεις ενός γραμμικούσιμο να έχουμε καισυστήματος ως συνάρτηση των συντελεστών του.Οι τύποι που θα βρούμ ε γενικεύουν τους τύπους που ήδη ξέρουμε για την περίπτωσηενός γραμμικού συστήματος 2 2 .Θα προχωρήσουμε στην αναζήτηση ενός τέτοιου τύπου που τα εργαλεία για τηνανεύρεσή του είναι οι ορίζουσες.Ορίζουσα ενός2 2 πίνακαα11α12Έστω ο 2 2 πίνακας A .α21α22 Ο αριθμός α11 α22 α21α12λέγεται ορίζουσα του πίνακα Α και συμβολίζεται με| A | ή μεα 11α 12. Δηλαδή,α α2122α 11α12| A | α11α22 α21α12.α αΕπειδή η ορίζουσ α αυτή αντιστοιχεί σε έναν 2 2τάξης.Για παράδειγμα, η ορίζουσα2122πίνακα, λέγεται ορίζουσα 2ης


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 65 αα1221α32αα1333 α22αα1131αα1333 α23αα1131αα1232(2)H παράσταση (2) λέγεται αν άπτυγμα της | A | ως προς τα στοιχεία της δεύτε-ρης γραμμής.Ομοίως, μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι ισχύει καια12α13α11α13α11α12| A | α31 α32 α33, (3)α α α α α α2223που λέγεται ανάπτυγμα | A | ως προς τα στοιχεία της τρίτης γραμμής.Παρατηρούμε ότι σε καθένα α πό τα αναπτύγματα της | A | , κάθε στοιχείο αijτηςαντίστοιχης γραμμής πολλαπλασιάζεται με την ορίζου σα 2ης τάξης του πίνακαπου προκύπτει από τον Α, αν παραλείψουμε τη γραμμήκαι τη στήλη του στοιχείουα . Η ορίζουσα αυτή λέγεται ελλάσων ορίζουσατου στοιχείου α καισυμβολίζεται με Mij.i jijή , ίδιο με το πρόσημο του ( 1). Το γινόμενο (1) M λέγεται αλγεβρικόσυμπλήρωμα του στοιχείουΔηλαδήijΠαρατηρούμε επίσης ότι κάθε όρος ενός αναπτύγματος της | A | έχει πρόσημοΜε τους συμβολισμούς αυτούς τα αναπτύγματα (1), (2) και (3) γράφονται:Mε εκτέλεση των πράξεων προκύπτουν2123αijκαι συμβολίζεται μεijA ij ( 1)Mij| A | α A α A α A1121112112221222.13| A | α A α A α A| A | α A α A α A .31113111322132212333| A | α A α A α A1212222231| A | α A α A α A1313232332| A | α A α A α A3313233331323321Aij.που είναι ανάπτυγμα της | A | ως π ρος τα στοιχεία της 1ης, της 2ης και της 3ηςστήλης αντιστοίχως.ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΣτην πράξη το ανάπτυγμα που χρησιμοποιούμε για τον υπολογισμό μιας ορίζουσαςείναι ως προς τη γραμμή ή στήλη που έχει τα περισσότερα μηδενικά.ij22ij


661 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTAΓια παράδειγμα, αν112A2 0 3, τότε0 1 0Ορίζουσα ενός12 1 2 1 1| A | 0 1 0 (3 4) 1 .0 3 2 3 2 0ν νπίνακαΟρίσαμε μέχρι τώρα την ορίζουσα ενός 2 2 πίνακα και με τη βοήθειά της τηνορίζουσα ενός 3 3 πίνακα.Ορίζουμε επίσης ως ορίζουσα ενός πίνακα με ένα στοιχείο [ α 11] , να είναι το ίδιοτο στοιχείο.Γενικά, μπορούμε να ορίσουμε την ορίζουσα ν τάξης 3 με τη βοήθεια τουορισμού της ορίζουσας 1τάξης. Ένας τέτοιος ορισμός λέγεται ε π α γ ω γ ι κό ς.Συγκεκριμένα, έστω ο ν ν πίνακαςα11α21A αν1ααα1222ν2α1ν α2ν . αννΟνομάζουμε ορίζουσα του πίνακα Α και τη συμβολίζουμε με| A |ήααα1121ν1ααα1222ν2ααα1ν2ννντον αριθμόόπουA ij ) Mij( 1ijκαιij| A | α11A11 α12A12 α1νA1νM , η ( ν 1)τάξης ορίζουσα του πίνακα που προκύπτειαπό τον Α, αν παραλείψουμε τη γρα μμή και τη στήλη του στοιχείου αij.Όπως και στις ορίζουσες 3ης τάξης, η ορίζουσα M λέγεται ελάσσων ορίζουσατου στοιχείουαijijκαι το γινόμενο ( 1) M λέγεται αλγεβρικό συμπλήρωματου στοιχείου αij.Η παράσταση α11 A11 α12A12 α1νA1νμε την οποία ορίσαμε την | A | λέγεται,όπως και στις ορίζουσες 3ης τάξης, ανάπτυγμα της ορίζουσας κατά τα στοιχείατης 1ης γραμμής.ijij


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 67Αποδεικνύεται το επόμενο θεώρημα:ΘΕΩΡΗΜΑΓια οποιαδήποτε γραμμήi ή στήλη j ενός ν ν πίνακα Α ισχύει:(α) | A | αi1Ai1 αi2Ai2αiνAiνκαι(β) | A | α A α A α A1 j1 j2 jΗ παράσταση (α) λέγεται ανάπτυγμα της ορίζουσας ως προς τα στοιχεία της iγραμμής, ενώ η (β) ανάπτυγμα της ορίζουσας ως προς τα στοιχεία της j στήλης.ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ1) Είναι φανερό ότι αν τα στοιχεία μιας γραμμής ή στήλης ενός πίνακα Α είναιόλα μηδέν, τότε | A | 0 .2) Αν ένας πίνακας είναι τριγωνικός άνω ή κάτω, τότε αποδεικνύεται ότι η ορίζουσάτου είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου. Γιαπαράδειγμα2 jνjνj1002ln 35 1 3 κ 1( 3) 1.31033) Αποδεικνύεται επίσης ότι, αν δύο γραμμές (δύο στήλες) ενός πίνακα είναιίσες ή ανάλογες, τότε η ορίζουσα του πίνακα είναι ίση με μηδέν.Για παρ άδειγμα,1 233 69 0 ,101215αφού Γ2 3Γ1.ΕΦΑΡΜΟΓHΝα βρεθούν τα αλγεβρικά συμπληρώματα τω ν στοιχείων της 2ης στήλης τηςορίζουσαςτων πινάκων


681 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTAi) 1A 23201121ii)24ημα 0 συν2αB 0 1 0 2 συν2α0 συν ακαι στη συνέχεια να υπολογισθούν οι| A | , | B | .ΛΥΣΗi) ΈχουμεA ( 1) 232 (2 6)112128221 1A22 ( 1) 1 3 43 1321 1A32 ( 1) (2 2) 0 . 2 2Επομένως, | A | 2A A 1A 28 04 1016 .ii) ΈχουμεΕπομένωςB12022 32120 0 ( 1)2συν2ασυν α122224ημ α συν2α2 22B22 ( 1) 4ημ ασυνα συν 2α2συν2α συν α (2ημασυνα)202 συν 2α ημ2324ημ α συν2αB32 ( 1) 00 022αB | 0 B 1B 0 B 1.|12 22 322συν 2α 1Επ ίλυση ν ν γραμμικού συστήματ ος με τη μέθοδο του CramerΌπως είδαμε στα προηγούμενα, ένα γραμμικό μ ν σύστημα μπορεί να έχει μοναδικήλύση ή άπειρο πλήθος λύσεων ή να είναι αδύνατο. Στην ειδική περίπτωσηπου το σύστημα είναι ν ν , το επόμενο θεώρημα, του οποίου η απόδειξη πα-το σύστημα αυτό έχει μοναδική λύση και πότεέχει άπειρο πλήθος λύσεων ή είναιραλείπεται, μας πληροφορεί πότεαδύνατο.ΘΕΩΡΗΜΑΈστω το ν ν γραμμικό σύστημα AX B .


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 69 Αν | A | 0 , τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την ( x1,x2,..., xν) μεDx Dx Dxx 1νx xν D, 2D,...,12Dόπου D είναι η ορίζουσα | A | των συντελεστών των αγνώστων και Dxi,i 1, 2, 3, ..., ν είναι η ορίζουσα που προκύπτει από την D αν αντικαταστήσου-με την i στήλη των συντελεστών του αγνώστουρών όρων. Ανx με τη στήλη των σταθε-| A | 0 , τότε το σύστημα ή είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων.Από το θεώρημα αυτό προκύπτει ότι:ΠΟΡΙΣΜΑΤο ομογενές σύστημαAX , έχει μόνο τη μηδενική λύση, αν και μόνο αν | A | 0 .έχει και μη μηδενικές λύσεις (άπειρο πλήθος), αν και μόνο αν | A | 0 .iΣΧΟΛΙΑ1) Ένα ν ν γραμμικό σύστημα AX B με | A | 0 , λέγε ται και σύστημαCramer, η δε επίλυση του συστήματος αυτού αναφέρεται και ως κανόναςτου Cramer. Ο κανόνας του Cramer δεν είναι αποδοτική μέθοδος για ναχρησιμοποιηθεί στη λύση συστημάτων με ένα μεγάλο αριθμ ό εξισώσεων,γιατί πρέπει να υπολογιστούν πολλές ορίζουσες μεγάλης τάξης. Γιαυτό στησυνέχεια με τον κανόνα αυτόν θα επιλύουμε μόνο 2 2 και 3 3 γραμμικάσυστήματα.Ως προς τους αριθμητικούς υπολογισμούς η μέθοδος επίλυσης συστήματος μετον αλγόριθμο του Gauss υπερτερεί του κανόνα του Cramer. Όμως, ο κανόναςτου Cramer είναι ιδιαίτερα χρήσιμος σε θεωρητικά ζητήματα.2) Για την επίλυση ενός ν ν γραμμικού συστήματος AX B με | A | 0 εργαμέθοδοαπαλοιφής του ζόμαστε συνήθως με τηGauss.3) Αν ένα ν ν γραμμικό σύστημα είναι ομογενές, τότε Dx ν 0 , αφού όλες οι ορίζουσες έχουν μια μηδενική στήλη.Dx ... 1Dx 2ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ x1. Nα λυθεί το σύστημα 2x y x 2 y ω ω 5ω112


701 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTAΛΥΣΗ1 0 11 0 1Έχουμε D 2 1 1 4 0 , Dx 1 1 1 71 2 52 2 51 1 11 0 1Dy 2 1 1 7και Dω 2 1 1 3 .1 2 51 2 2Επομένως, σύμφωνα με τον κανόνα του Cramer, είναιDx 7x , D 4Dx 7y , D 4Dω 3ω D 4δηλαδή το σύστημα έχει τη μοναδική λύση 7 , 47,43 .4 λx y ω 12. Να λυθεί το σύστημα x λy ω 1 .-x y λω 1ΛΥΣΗΈχουμελD 111 1λ 11 λ λ(λ21)1(λ 1)1(1 λ) λ(λ 1)(λ 1)Dx 111λ111 1 λ ( λ21)1(λ 1)1(1 λ) ( λ 1)(λ 1)λ 1 1D y 1 1 1 λ(λ 1) ( λ 1)1(11) ( λ 1)(λ 1)11 λλ 1 1Dω 1 λ 1 λ(λ 1) (1 1)1(1 λ) ( λ 1)(λ 1).11 1Οι τιμές της παραμέτρου λ που μηδενίζουν την ορίζουσα D λ( λ 1)(λ 1)είναιοι 0, 1, 1.— Για λ 0 και λ 1και λ 1 είναι D 0και επομένως


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 71Dx ( λ 1)(λ 1)1x ,D λ(λ 1)(λ 1)λDy 1y καιD λDω 1ω D λδηλαδή το σύστημα έχει τη μοναδική λύση 1 λ1, ,λ1 .λ — Για λ 0 , το σύστημα γίνεται y ω 1 x ω 1. Αν προσθέσουμε κατά μέληx y 1


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 71τις δύο τελευταίες εξισώσεις βρίσκουμε το σύστημαπροφανώς είναι αδύνατο.— Για λ 1, το σύστημα γίνεταιy ω 1x ω 1 , το οποίοy ω 2 x y ω 1 x y ω 1x y ω 1 x y ω 1x y ω 1x y ω 1 2y 2 προσθέσαμε κατά μέλητις εξισώσειςx ω .y 1Επομένως, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής ( ω,1, ω),— Για λ 1 , το σύστημα γίνεταιω .x y ω 1 x y ω 1x y ω 1x y ω 1 x y ω 1x y ω 1 2ω 2x y 0 ω 1 προσθέσαμε κατά μέλητις εξισώσεις x y .ω 1Επομένως, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής ( y , y,1), y .λx y ω 03. Να λυθεί το ομογενές σύστημα x λy ω 0 . x y λω0ΛΥΣΗΈχουμελ22D 1 λ 1 λ(λ 1) ( λ 1) (1 λ) ( λ 1)( λ 2) .1111λ


721 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTAΟι τιμές της παραμέτρου λ που μηδενίζουν την ορίζουσα D είναι οι 1 και 2 .— Για λ 1 και λ 2είναι D 0 και επομένως το σύστημα έχει μοναδικήλύση τη μηδενική (0, 0, 0) .— Για λ 1 το σύστημα γίνεταικαι έχει άπειρες λύσεις της μορφής— Για λ 2 το σύστημα γίνεταιx y ω 0x y ω 0x y ω 0x y ω 0( y ω,y,ω),y,ω.2x yx 2yx ω 0 ω 0 y 2ω 02x y3x 3y3x ω 0 0 3ω 0αφαιρέσαμετην πρώτη εξίσωσηαπότις άλλες δύο y x .ω x΄Αρα, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής ( x,x,x),x ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να υπολογίσετε τις ορίζουσεςi)30005 0 2 3 , ii)0 50e20e310e518, iii)ημθ2 - συνθ0 1 0συνθ2 ημθiv)1 1 1α β 0 , v)α2β201111001log 5log 2, vi)e1e201011e.2. Να λύσετε τις εξισώσεις:x 11 1i) 2 x 1 00 1 xx 1 1ii) x 1 x 03 3 x


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 73x 1 2iii) x x 3 0x 1 x3. Να λύσετε τα συστήματα 5x 2y 4i) x 3y 7ii)1 1 1iv) ημx 1 1 0 .ημ2x3x 4y 4ω 114x 4y 6ω 116x 6y 31 12x 3y 4z 02ημx συνx 1iii) x y z 0 iv) ,7x y z 03ημx 2συνx 2x [ 0,2π).4. Nα βρείτε τις τιμές του κ για τις οποίες τα παρακάτω συστήματαέχουν και μη μηδενικές λύσεις.(2 κ)x y 0κx y ω 0i) x κy ω 0 ii) x κy ω 0 . x 3y (1 κ)ω 0 x y κω 0B΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να λύσετε για τις διάφορες τιμές των κ, λ τα συστήματα: x y ω 1λx y ω 1i) κx κy ω κ 1ii) λx y λω λ 1.κx 2y 2ω 23x 3y λω 12. Να λύσετε το σύστημα: x λ(y ω) 0λx 2y ω .λx y ω 03. Να βρείτε τη σχετική θέση των ευθειών ε1: x 2y 1i) ε2: 2x y 1ii) ε3: 3x 2y 5 ε1: x 2y 5ε2: 2x 5y 1 ε3: x 3y 5 ε1: 2x y 0 ε1: 3x 9y 1iii) ε2: 4x 2y 3iv) ε2: x 3y 0 . ε3: x y 1 ε3: 2x 6y 5


741 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTA24. Θεωρούμε την εξίσωση αt βt γ 0 , α 0 και το σύστημα x y z 0 βx 2αy 0 .2γx βy 0i) Να αποδείξετε ότι αν η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες, τότε το σύστημαέχει μοναδική λύση. Να εξετάσετε αν ισχύει το αντίστροφο.ii) Αν η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα, να εξετάσετε πόσες λύσεις έχειτο σύστημα.5. Αν για τους α,β,γ υπάρχουν x , y,ω , που δεν είναι όλοι μηδέν,τέτοιοι ώστε να ισχύειx γy βω , y αω γx και ω βx αyνα αποδείξετε ότι2 2 2α β γ 2αβγ 1.6. Να λύσετε τα συστήματα+(λ 1)x y λ 1i) x ( λ 1)y 1, x y 2λ12x y λ 0λ , ii) λx y 5 0 . x y λ 02 37. Δίνεται ο πίνακας A .1 2i) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες υπάρχει μη μηδενικόςxπίνακας X τέτοιος, ώστε ΑΧ λΧ(1). y ii) Για τις τιμές του λ που θα βρείτε να λύσετε την εξίσωση (1).ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ1. Δίνεται ο πίνακαςΝα αποδείξετε ότιΓ΄ ΟΜΑΔΑΣσυνx ημxA( x) . ημxσυνx


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 75i) A( x) A(y) A(x y)1ii) [ A(x)] A(x)iii) [ A(x)]ν * A(νx)για κάθε ν .01 02. Δίνεται ο πίνακας M 0 0 1.0 0 03νi) Να αποδείξετε ότι M και γενικά M για κάθε ν 3 .22ii) Αν A αM αM Ι και B α( α 1)M αM Ι , α , τότε ναβρείτε το γινόμενο ΑΒ και να αποδείξετε ότι10 0 13. Αν I και J τότε να αποδείξετε ότι:01 10 2i) J IB1 A .ii) Το άθροισμα και το γινόμενο πινάκων της μορφής αI βJ , όπουα,β πραγματικοί αριθμοί είναι επίσης πίνακες της ίδιας μορφής.2 2iii) Ο πίνακας αI βJ έχει αντίστροφο, αν και μόνο αν α β 0 .4. Να αποδείξετε ότι η συμμετρίαως προς άξονα την ευθεία ετου διπλανού σχήματος είναιγραμμικός μετασχηματισμόςμε πίνακασυν2φA ημ2φημ2φ συν2φ .Μπορείτε από τον πίνακα Α ναβρείτε τους πίνακες τω ν συμμετριών ως προς τον άξοναx x , τον άξοναy y , την ευθεία y x και την ευθεία y x;5. Έστω ο γραμμικός μετασχηματισμόςxαβxα βT : , με 0 .yγδ yγ δi) Να αποδείξετε ότι ο Τ είναι συνάρτηση " 1 1".ii) Να βρείτε τον αντίστροφο του μετασχηματισμού Τ.yOφΜ(x,y)Μ΄(x΄,y΄)εx


761 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTAiii) Να βρείτε τους αντίστροφους μετασχηματισμούς των συμμετριώντης στροφής και της ομοιοθεσίας.6. Να λύσετε το σύστημα: x y z 0* αx βy 0 , α , β . 2 2αx β y 07. Να λύσετε για τις διάφορες τιμές του α [ 0, π)το σύστημα: x y ω 0 (ημα)x (συνα)y ω 0 . 22(ημα)x (συν α)y ω 08. Να βρείτε για τις διάφορες τιμές του κ τις σχετικές θέσεις τωνευθειώνε : x y 1, ε : x y κ19. Να λύσετε το σύστημα:(λ 1)x y2 3:κx y 1λy ω 0 ω 0 , λ .y λω 0ε .3 α10. Έστω ο πίνακας A . Αν υπάρχουν μη μηδενικός πίνακαςα1xX και πραγματικός αριθμός λ τέτοιοι, ώστε να ισχύει AX λX , y να αποδείξετε ότι 2 α 2 .11. i) Να λύσετε το σύστημα:2x 3y 5λ 4 x 2y 3λ 2, λ .ii) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες οι εξισώσεις:2t2 3t (5λ 4) 0t2 2t (3λ 2) 0έχουν κοινή ρίζα. Ποια είναι η κοινή ρίζα σε κάθε μια περίπτωση;


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 77ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣΙ.Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμαΑ, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναιψευδής, αιτιολογώντας συγχρόνως την απάντησή σας.1. Αν ( λ 1)Α , λ , τότε Α . Α Ψ2. Αν ( λ 4)Α , λ , τότε κατ’ ανάγκη είναι Α . Α Ψ3. Aν ( λ 2 λ 1)(Α Β) , λ , τότε Α Β . Α Ψ4. Αν ΑΒ 2Ι, όπου Α, Β τετραγωνικοί πίνακες, τότε οιΑ, Β είναι αντιστρέψιμοι πίνακες.Α Ψ5. Αν ΑΒ 2Ι, όπου Α, Β τετραγωνικοί πίνακες, τότεΒΑ 2Ι.26. Αν ( A I) τότε κατ’ ανάγκη θα είναι A Ι .ΑΑΨΨ27. Αν A Iτότε κατ’ ανάγκη θα είναιA I ή A I.ΑΨ28. Αν A τότε ο Α δεν είναι αντιστρέψιμος. Α Ψ2229. Ισχύει πάντοτε ( AB) A B .Α Ψ10. Αν AX BX , τότε κατ’ ανάγκη θα είναι A B .11. Ο αντίστροφος του πίνακα12 23είναι ο πίνακας 3 2 .2 112. Τα συστήματαx y 2z 0x 2y 3z 0x 3y 5z 1είναι ισοδύναμα.καιx y y z 0z 0y 2z 1ΑΑΑΨΨΨ


781 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTA13. Αν ένα γραμμικό σύστημα έχει δυο διαφορετικές λύσεις,τότε θα έχει άπειρες λύσεις. Α Ψ14. Ένα ομογενές σύστημα μπορεί να είναι αδύνατο.λx ( λ 1)y 015. Το σύστημα έχει και μη μηδενικές x λy 0λύσεις.216. Αν η εξίσωση αt βt γ 0 , με α 0 ,είναι αδύνατη βx 2γy αστο , τότε το σύστημα έχει μοναδική2αx βy βλύση. x y 017. Το σύστημα x κy 2 ,κx y κ18. Έστω (Σ) ένα 33 γραμμικό σύστημα.κ 2 , είναι αδύνατο. Α Ψi) Aν | D | | D | | D | 0 , τότε το σύστημα είναιομογενές.xyzΑΑΑΑΨΨΨΨii) ΑνDομογενές.2x ( Dy1)2 D2z 0 , τότε το σύστημα είναιΑΨΙΙ.Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις2λ 4λ 4 0 1. Ο πίνακας είναι ο μοναδιαίος, αν2 0 λ 3λ 3Α) λ 2 , Β) λ 0 , Γ) λ 1, Δ) λ 3 .2. Έστω Α ένας 2 ν πίνακας. Αν υπάρχει πίνακας Χ τέτοιος, ώστεAX XA , τότε ο Χ είναι τύπουΑ) 2 2 , Β) 23, Γ) 3 2 , Δ) 3 3 .3. Έστω Α ένας αντιστρέψιμος πίνακας και κ 0 . Ο αντίστροφος τουπίνακα κΑ είναι ο πίνακας1Α) Aκ1, Β) κA , Γ)1 1Aκ1, Δ) κA.


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 79λx y 14. Το σύστημα είναι αδύνατο, αν x λy 1Α) λ 0 , Β) λ 1, Γ) λ 1, Δ) λ 0,1,1.5. Οι ευθείες2x y 1, 2x 2 y 2 , x 2 y 2 .Α) Περνούν από το ίδιο σημείο.Β) Σχηματίζουν τρίγωνο.Γ) Είναι παράλληλες ανά δύο.Δ) Οι δύο είναι παράλληλες και η τρίτη τις τέμνει.Ε) Οι δύο συμπίπτουν και η τρίτη τις τέμνει.ΙΙΙ.Να αντιστοιχίσετε κάθε μετασχηματισμό της πρώτης στήλης στον πίνακάτου της δεύτερης στήληςΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜOΣ1. Στροφή κατά γωνία 90 και στη συνέχειασυμμετρία ως προς την ευθείαy x .2. Συμμετρία ως προς τον άξονα x x καιστη συνέχεια συμμετρία ως προς τηνευθεία y x .3. Συμμετρία ως προς την αρχή τωναξόνων και στη συνέχεια συμμετρίαως προς την ευθεία y x .oΠΙΝΑΚΑΣα.01 10 β.10 01 γ. 10 0 1 δ. 0 1 10 ε. 0 1 10


801 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTAΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑΟι “γραμμοπράξεις” σ’ ένα κινέζικο πρόβλημα του 3 ου αιώναπ.Χ.Το επόμενο πρόβλημα προέρχεται από μια αρχαία κινεζική συλλογή προβλημάτωνμε τίτλο “Εννέα κεφάλαια στη μαθηματική τέχνη”. Η λύση πουδίνεται εκεί συμπίπτει ουσιαστικά με τη σύγχρονη μέθοδο του “επαυξημένουπίνακα” και των “γραμμοπράξεων”.3 δεμάτια μιας καλής συγκομιδής, 2 δεμάτια μιας μέτριας συγκομιδής και 1δεμάτι μιας κακής συγκομιδής δίνουν 39 dou σιτάρι.2 δεμάτια της καλής, 3 δεμάτια της μέτριας και 1 δεμάτι της κακής συγκομιδήςδίνουν 34 dou σιτάρι.1 δεμάτι της καλής, 2 δεμάτια της μέτριας και 3 δεμάτια της κακής συγκομιδήςδίνουν 26 dou σιτάρι.Να βρεθεί πόσο σιτάρι δίνει ένα δεμάτι από κάθε είδος συγκομιδής.Το πρόβλημα αυτό ανάγεται σήμερα στην επίλυση ενός γραμμικού συστήματοςτριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους x, y, z:3x2yz392x 3y z34 .x 2y 3z26Στο αρχαίο κείμενο, στο οποίο δεν υπάρχουν καθόλου σύμβολα, δίνονταιοδηγίες για την τοποθέτηση των αριθμών στις κατακόρυφες στήλες ενόςάβακα σύμφωνα με τον εξής τρόπο:123262313432139Η παραπάνω διάταξη μετασχηματίζεται στη συνέχεια ως εξής:Η 2η στήλη πολλαπλασιάζεται επί 3 και κατόπιν αφαιρείται απ’ αυτήν 2φορές η 3η στήλη, με αποτέλεσμα:12326512432139


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 81Κατόπιν η 1η στήλη πολλαπλασιάζεται επί 3 και απ’ αυτήν αφαιρείται η3η στήλη, με αποτέλεσμα:4839512432139Τέλος, η 1η στήλη πολλαπλασιάζεται επί 5 και απ’ αυτήν αφαιρείται 4φορές η 2η στήλη, με αποτέλεσμα3699512432139Το αρχικό σύστημα έχει λοιπόν μετασχηματιστεί στο3x2y5yz 39 z 2436z 99από το οποίο υπολογίζεται αμέσως ο z και με διαδοχικές αντικαταστάσεις,οι x, y. Στο αρχαίο κείμενο, με μια ανάλογη διαδικασία που εκτελείταιπάνω στον άβακα, προσδιορίζεται η λύση του προβλήματος:1 δεμάτι της κακής συγκομιδής δίνει1 δεμάτι της μέτριας συγκομιδής δίνει1 δεμάτι της καλής συγκομιδής δίνει32 dou σιτάρι414 dou σιτάρι419 dou σιτάρι.4Στο έργο “Αριθμητικά”, του Έλληνα μαθηματικού της Αλεξανδρινής περιόδουΔιόφαντου, υπάρχουν πολλά προβλήματα που ανάγονται στην επίλυσηγραμμικών συστημάτων. Στο επόμενο, που είναι το πρόβλημα 19του πρώτου βιβλίου, ο τρόπος επίλυσης βρίσκεται πολύ κοντά προς τοσύγχρονο αλγεβρικό τρόπο σκέψης:Ευρείν τέσσαρας αριθμούς όπως οι τρεις λαμβανόμενοι του λοιπού υπερέχωσινεπιταχθέντι αριθμώ. (Να βρεθούν 4 αριθμοί έτσι ώστε λαμβανόμενοιανά τρεις να ξεπερνούν τον άλλο κατά δοθέντα αριθμό).Ο Διόφαντος παρουσιάζει τη λύση του προβλήματος μέσα από μια ειδικήπερίπτωση (που γενικεύεται άμεσα). Έστω, γράφει, ότι οι α, β, γ ξεπερνούντον δ κατά 20, οι β, γ, δ ξεπερνούν τον α κατά 30, οι γ, δ, α ξεπερνούντον β κατά 40 και οι δ, α, β ξεπερνούν τον γ κατά 50. Το πρόβλημα,όπως είναι φανερό, ανάγεται στην επίλυση του γραμμικού συστήματος:


821 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTA 20 30 40 50Ο Διόφαντος, ο οποίος δε χρησιμοποιεί ειδικά σύμβολα για την πρόσθεσηκαι την ισότητα, λύνει το πρόβλημα με την εισαγωγή ενός βοηθητικού α-γνώστου, που εκφράζει το άθροισμα των 4 ζητούμενων αριθμών. Η μέθοδόςτου, με σύγχρονο συμβολισμό, συνοψίζεται ως εξής:Αν 2x, τότε από την 20 έχουμε 2 20 ή 2x 2 20 ή x 10. Όμοια, από τις άλλες ε-ξισώσεις παίρνουμε x 15, x 20 και x 25 . Από τις 4 τελευταίεςισότητες, με πρόσθεση παίρνουμε 4x 70 ή2x 4x 70 ή x 35 και άρα οι ζητούμενοι αριθμοί είναι 35 15 20 , 35 20 15 , 35 25 10 , 35 10 25Η πρώτη εμφάνιση μιας “ορίζουσας ” σε πρόβλημα απαλοιφήςΟ G.W. Leibniz, σε μια επιστολή του προς τον l’ Hospital στις 28-4-1693,πρότεινε μια μέθοδο χρησιμοποίησης των αριθμών για την έκφραση γενικώνσχέσεων, όπως ακριβώς γίνεται με τη χρήση των γραμμάτων. Ως παράδειγμαέδωσε ένα γραμμικό σύστημα 3 εξισώσεων με 2 αγνώστους,γραμμένο στη μορφή:10 11x12y 020 21x 22y 030 31x 32y 0Οι συντελεστές του συστήματος δεν εκφράζουν εδώ αριθμούς αλλά λειτουργούνόπως και οι διπλοί δείκτες που χρησιμοποιούνται σήμερα γιατην παράσταση των στοιχείων ενός πίνακα. Αυτοί οι “ψευδοαριθμοί” (όπωςτους αποκαλεί ο Leibniz) δείχνουν με το πρώτο ψηφίο τους την εξίσωσηστην οποία βρίσκονται και με το δεύτερο, το γράμμα στο οποίο α-νήκουν. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών, οLeibniz απαλείφει τον άγνωστο y, αρχικά από την 1η και 2η εξίσωση καικατόπιν από την 1η και 3η. Έτσι προκύπτουν οι εξισώσεις:10.22 11.22x12.2012.21x 010.32 11.32x12.3012.31x 0Στη συνέχεια απαλείφει το x από τις δυο τελευταίες εξισώσεις (λύνονταςκαθεμιά ως προς x και εξισώνοντας τα αποτελέσματα) και φτάνει στην ι-σότητα:10.21.32 11.22.30 12.20.31 10.22.3111.20.3212.21.30ή10.21.32 11.22.30 12.20.3110.22.3111.20.3212.21.30 0 .(1)


1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 83Δηλαδή σ’ αυτό που σήμερα αποτελεί την αναγκαία συνθήκη για να έχειλύση το σύστημα (1) (ο μηδενισμός της ορίζουσας του επαυξημένου πίνακατου συστήματος).Το προηγούμενο αποτέλεσμα του Leibniz έχει κυρίως τη σημασία της α-παλείφουσας ενός γραμμικού συστήματος, δηλαδή της σχέσης μεταξύτων συντελεστών η οποία προκύπτει όταν γίνεται απαλοιφή όλων των α-γνώστων. Στην ίδια επιστολή ο Leibniz δίνει και ένα γενικό κανόνα γιατον υπολογισμό της απαλείφουσας ενός οποιουδήποτε γραμμικού συστήματος,που έχει επαρκή αριθμό εξισώσεων για την απαλοιφή όλων τωναγνώστων.Οι ορίζουσες και οι πίνακες ως ανεξάρτητες έννοιεςΗ χρησιμοποίηση των οριζουσών για την επίλυση γραμμικών συστημάτωνέγινε πρώτη φορά από τον C. MacLaurin το 1729, αλλά η μέθοδος αυτήέμεινε γνωστή με το όνομα του G. Cramer, ο οποίος την παρουσίασε στοβιβλίο του “Εισαγωγή στην ανάλυση των αλγεβρικών καμπύλων γραμμών”(1750). Θέλοντας να προσδιορίσει μια καμπύλη που διέρχεται από 5γνωστά σημεία και έχει εξίσωση της μορφήςA By Cx Dy2 Exy x2 0ο Cramer καταλήγει σ’ ένα γραμμικό σύστημα 5 εξισώσεων με αγνώστουςτα A , B,C,D,E . Για να λύσει αυτό το σύστημα, περιγράφει μια μέθοδουπολογισμού των αγνώστων με κατασκευή κλασμάτων, των οποίων ο κοινόςπαρονομαστής και οι αριθμητές προσδιορίζονται από τους συντελεστέςτου συστήματος σύμφωνα με γενικούς κανόνες. Αυτή είναι ουσιαστικάη σημερινή μέθοδος των οριζουσών αλλά ο Cramer δε χρησιμοποιείκάποιο ειδικό όνομα ή σύμβολο για την έννοια της ορίζουσας.Ο λατινικός όρος determinantem (ορίζουσα) χρησιμοποιήθηκε για πρώτηφορά από τον C.F. Gauss το 1801 αλλά όχι με τη σημερινή σημασία.Η πρώτη συστηματική διαπραγμάτευση της θεωρίας των οριζουσών έγινεαπό τον A.L. Cauchy σε μια εργασία του που δημοσιεύτηκε το 1815. Ηλέξη “ορίζουσα” χρησιμοποιείται εκεί με τη σημερινή σημασία ενώ εισάγεταικαι η τετραγωνική διάταξη των στοιχείων της με τη βοήθεια των διπλώνδεικτών:1121n1 a1222n2(οι 2 κάθετες γραμμές για το συμβολισμό μιας ορίζουσας, χρησιμοποιήθηκανγια πρώτη φορά από τον A. Cayley το 1841).Σε αντίθεση από τη σημερινή λογική σειρά παρουσίασης, η έννοια του πίνακαυπήρξε, ιστορικά, μεταγενέστερη από την έννοια της ορίζουσας.Το γεγονός ότι η ορίζουσα δεν είναι μόνο ένας αριθμός αλλά συσχετίζειαυτόν τον αριθμό με μια τετραγωνική διάταξη στοιχείων, οδήγησε βαθ-1n2nnn


841 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTAμιαία στη μελέτη αυτής της ίδιας της διάταξης, ανεξάρτητα από την τιμήτης ορίζουσας. Ο όρος matrix (μήτρα, καλούπι), που σήμερα χρησιμοποιείταιδιεθνώς για την έννοια του πίνακα, πρωτοεμφανίστηκε σε μια εργασίατου J.J. Sylvester το 1850, για να διαχωριστεί η έννοια της ορίζουσαςαπό την τετραγωνική διάταξη των στοιχείων που την παράγει. Το 1855 οΑ. Cayley εισήγαγε για πρώτη φορά τους πίνακες στη μελέτη των γραμμικώνμετασχηματισμών, ενώ το 1858 στην εργασία του “Μια πραγματείαστη θεωρία των μητρών”, ανέπτυξε συστηματικά όλη τη βασική θεωρία.Όπως γράφει ο Cayley, στην ιδεά του πίνακα έφτασε τόσο από την έννοιατης ορίζουσας όσο και από την ανάγκη ενός βολικού τρόπου έκφρασηςτων εξισώσεων x x by , y cx dy ενός μετασχηματισμού, ο οποίοςαπεικονίζει το σημείο ( x , y)στο σημείο ( x, y). Ως ένα τέτοιο τρόπο έκφρασης,ο Cayley εισάγει τον πίνακα cκαι με βάση τις ιδιότητες των μετασχηματισμών ορίζει τις πράξεις των πινάκωνκαι προσδιορίζει τις ιδιότητές τους. Π.χ., αν τον προηγούμενο μετασχηματισμόαπό το ( x , y)στο ( x , y)ακολουθήσει ένας νέος μετασχηματισμόςαπό το (x,y)στο ( x ,y)και με εξισώσειςx ex fy, y gx hyτότε, όπως εύκολα μπορεί να αποδειχθεί, ισχύει:b d x ( e fc)x ( eb fd)yy ( g hc)x ( gb hd)y .Έτσι ο Cayley ορίζει τον πολλαπλασιασμό πινάκων, με βάση το πρότυποτης διαδοχικής εκτέλεσης των δυο μετασχηματισμών, ως εξής: e gf h cb e fc d g hceb fd .gb hd Στην ίδια εργασία επισημαίνει επίσης ότι αυτός ο πολλαπλασιασμός είναιμια πράξη μη αντιμεταθετική καθώς και το γεγονός ότι υπάρχουν μη μηδενικοίπίνακες που έχουν ως γινόμενο το μηδενικό πίνακα.Ο λογισμός των πινάκων αναπτύχθηκε τα επόμενα χρόνια σε μια αυτοτελήμαθηματική θεωρία, που αποτελεί μέρος ενός ευρύτερου κλάδου των Μαθηματικών,της Γραμμικής Άλγεβρας. Το 1925, ο W. Heisenberg (βραβείοΝόμπελ Φυσικής 1932) χρησιμοποίησε τη θεωρία των πινάκων για να εκφράσειτα μη αντιμεταθετικά Μαθηματικά που περιγράφουν τα φαινόμενατης κβαντικής μηχανικής, ενώ αργότερα η χρήση των πινάκων επεκτάθηκεκαι σε άλλες επιστήμες.


2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (1)2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥΕισαγωγήΗ δημιουργία των μιγαδικών αριθμών οφείλεται στην προσπάθεια επίλυσης των3 2βεξισώσεων 3ου βαθμού. Αν στην ax βx γx δ 0 θέσουμε x y και3a3εκτελέσουμε τις πράξεις, τότε προκύπτει μια εξίσωση της μορφής x px q .Στις αρχές του 16ου αιώνα οι Ιταλοί αλγεβριστές S. del Ferro και N. Tartagliaανακάλυψαν μια μέθοδο επίλυσης τέτοιων εξισώσεων, που με σημερινό συμβολισμόισοδυναμεί με τον τύπο2 2q q q p x 3 D 3 D , όπου D .2 2 2 3 Στην περίπτωση που η “διακρίνουσα” D είναι θετική, ο τύπος αυτός δίνει αμέσωςμια ρίζα της εξίσωσης. Για παράδειγμα, στην x 9x 28 είναι D 169και3ο τύπος δίνει x 4 , που είναι η μοναδική πραγματική ρίζα. Διαπιστώθηκε, ό-μως, τότε ένα φαινόμενο τελείως διαφορετικό από την περίπτωση των εξισώσεων2ου βαθμού: Υπάρχουν εξισώσεις με πραγματικές ρίζες, όπως, για παράδειγμα,η x 3 15x 4 , που έχει μια προφανή ρίζα το 4 (οι άλλες δύο είναι οι 2 3 , 2 3 ), αλλά η διακρίνουσα D είναι αρνητική! Ο τύπος στη συγκεκριμένηπερίπτωση δίνει33x 2 121 2 121. (1)Όπως είναι φανερό, οι μαθηματικοί βρέθηκαν, εδώ, μπροστά σε ένα δίλημμα: ήθα έπρεπε να εγκαταλείψουν τη μέθοδο των Ferro-Tartaglia ως γενική μέθοδοεπίλυσης εξισώσεων 3ου βαθμού ή να δεχτούν ότι ένας συγκεκριμένος αριθμός,όπως το 4, μπορεί να εκφραστεί με παραστάσεις που περιέχουν τετραγωνικέςρίζες αρνητικών αριθμών. Η δεύτερη άποψη φαινόταν αδιανόητη αλλά αυτό δεν(1) To κεφάλαιο αυτό έχει ληφθεί από το βιβλίο: «Μαθηματικά Β΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης»των: Αδαμόπουλου Λ., Βισκαδουράκη Β., Γαβαλά Δ., Πολύζου Γ. και Σβέρκου Α.


862 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙεμπόδισε την εφαρμογή των αλγεβρικών πράξεων σε τέτοιες παραστάσεις. Σταμέσα του 16ου αιώνα ο R. Bombelli, κάνοντας τολμηρές υποθέσεις, βρήκε ότι3ισχύει 2 1 2 121και 2 1 2 121τις ισότητες στην (1) προκύπτει αμέσως ότι x 43. Αντικαθιστώντας αυτές, δηλαδή το αδιανόητο γίνεταιπραγματικότητα! Οι αριθμοί της μορφής a βi με i 1, που ονομάστηκαναρχικά φανταστικοί και αργότερα μιγαδικοί, έγιναν από τότε αναπόσπαστο εργαλείοτων Μαθηματικών και των εφαρμογών τους στις άλλες επιστήμες. Ο J.Hadamard, ο οποίος το 1896 απέδειξε με χρήση της μιγαδικής ανάλυσης το“θεώρημα των πρώτων αριθμών”, έγραψε ότι:“Ο συντομότερος δρόμος ανάμεσα σε δύο αλήθειες στο πεδίο τωνπραγματικών περνά μέσα από το πεδίο των μιγαδικών”.Το Σύνολο των Μιγαδικών ΑριθμώνΓνωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρνητική διακρίνουσα δεν έχειλύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Ειδικότερα η εξίσωση x 2 1δεν έχει λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, αφού το τετράγωνοκάθε πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός αριθμός. Για να ξεπεράσουμε την“αδυναμία” αυτή, διευρύνουμε το σύνολο σε ένα σύνολο , το οποίο να έχειτις ίδιες πράξεις με το , τις ίδιες ιδιότητες των πράξεων αυτών και στο οποίονα υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης x 2 1, δηλαδή ένα στοιχείο i ,2τέτοιο, ώστε i 1. Σύμφωνα με τις παραδοχές αυτές το διευρυμένο σύνολο θα έχει ως στοιχεία: Όλους τους πραγματικούς αριθμούς Όλα τα στοιχεία της μορφής βi, που είναι γινόμενα των στοιχείων του μετο i και Όλα τα αθροίσματα της μορφής α βi, με α και β πραγματικούς αριθμούς.Τα στοιχεία του λέγονται μιγαδικοί αριθμοί και το σύνολο των μιγαδικώναριθμών. Επομένως:Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού έτσι,ώστε να έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως και στο , με το μηδέν (0) ναείναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το ένα (1) το ουδέτεροστοιχείο του πολλαπλασιασμού,2 Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i 1, Κάθε στοιχείο z του γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφήz α βi , όπου α, β .


2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 87Η έκφρασηα βi,α,β είναι ακριβώς ό,τι λέμε μιγαδικό αριθμό. Είναι ησύνθεση δύο αριθμών, του πραγματικού α και του βi, τον οποίο ονομάζουμεφανταστικό αριθμό. Ο α λέγεται πραγματικό μέρος του z και σημειώνεταιRe(z), ενώ ο β λέγεται φανταστικό μέρος του z και σημειώνεται Im(z) . Επιπλέον,στο κάθε πραγματικός αριθμός α εκφράζεται ως α 0i, ενώ κάθε φανταστικόςαριθμός βiεκφράζεται ως 0 βi.Στη συνέχεια, όταν λέμε ο μιγαδικός z α βi, εννοούμε ότι οι α και β είναιπραγματικοί αριθμοί και το γεγονός αυτό δε θα τονίζεται ιδιαίτερα.Ισότητα Μιγαδικών ΑριθμώνΕπειδή κάθε μιγαδικός αριθμός z γράφεται με μοναδικό τρόπο στη μορφήα βi , δύο μιγαδικοί αριθμοί α βiκαι γ δiείναι ίσοι, αν και μόνο αν α γκαιβ δ . Δηλαδή ισχύει:αβi γ δi α γ και β δ .Επομένως, επειδή0 0 0i , έχουμεα βi 0 α 0 και β 0 .Μετά τον ορισμό της ισότητας μιγαδικών αριθμών δημιουργείται το ερώτημα ανδιατάσσονται οι μιγαδικοί αριθμοί. Γνωρίζουμε ότι, κατά την επέκταση από το στο , οι πράξεις, η διάταξη και οι ιδιότητες αυτών οι οποίες ισχύουν στο ,μεταφέρονται και στο . Τα ίδια συμβαίνουν και για τις επεκτάσεις από το στο και από το στο . Στην επέκταση, όμως, από το στο , ενώ οι πράξειςκαι οι ιδιότητες αυτών που ισχύουν στο εξακολουθούν να ισχύουν καιστο , εν τούτοις η διάταξη και οι ιδιότητές της δε μεταφέρονται.Γεωμετρική Παράσταση ΜιγαδικώνKάθε μιγαδικό αριθμό α βi μπορούμε να τον y1αντιστοιχίσουμε στο σημείο M ( α,β)ενός καρτεσιανούεπιπέδου. Αλλά και αντιστρόφως,κάθε σημείο M ( α,β)του καρτεσιανού αυτούεπιπέδου μπορούμε να το αντιστοιχίσουμε στομιγαδικό α βi . Το σημείο M λέγεται εικόναβM(α,β) ή Μ(z)του μιγαδικού α βi . Aν θέσουμε z α βi,τότε το σημείο M ( α,β)μπορούμε να το συμβολίζουμεκαι με M (z) .Ο a xΈνα καρτεσιανό επίπεδο του οποίου τα σημεία είναι εικόνες μιγαδικών αριθμώνθα αναφέρεται ως μιγαδικό επίπεδο. Ο άξονας x x λέγεται πραγματικός άξονας,αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία M (α,0) που είναι εικόνες των πραγματικώναριθμών α α 0i, ενώ ο άξονας y y λέγεται φανταστικός άξονας, αφού


882 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙανήκουν σε αυτόν τα σημείαβi 0 βiΈνας μιγαδικόςz α βiOM , του σημείου M ( α,β).M ( 0, β)που είναι εικόνες των φανταστικώνπαριστάνεται επίσης και με τη διανυσματική ακτίνα,2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝΣύμφωνα με τον ορισμό του , η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικώναριθμών γίνονται όπως ακριβώς και οι αντίστοιχες πράξεις με διώνυμαα βx στο , όπου βέβαια αντί για x έχουμε το i . Έτσι: Για την πρόσθεση δύο μιγαδικών αριθμώνα βiκαι γ δiέχουμε:( α βi) ( γ δi) ( α γ) ( β δ)i .Για παράδειγμα,( 3 4i) ( 5 6i) (3 5) (4 6) i 8 2i. Για την αφαίρεση του μιγαδικού αριθμού γ δiαπό τον α βi, επειδή ο α-ντίθετος του μιγαδικού γ δi είναι ο μιγαδικός γ δi, έχουμε:ΔηλαδήΓια παράδειγμα( α βi) ( γ δi) ( α βi) ( γ δi) ( α γ) ( β δ)i .( α βi) ( γ δi) ( α γ) ( β δ)i .( 3 4i) (5 6i) (3 5) (4 6) i 210i.Αν M ( α,) και M ( γ,) είναι οι εικόνες των1β2δα βi και γ δi αντιστοίχως στο μιγαδικόεπίπεδο, τότε το άθροισμα( α βi) ( γ δi) ( α γ) (β δ)iyM 2 (γ,δ)2M(α+γ,β+δ)παριστάνεται με το σημείο M (α γ, β δ).Επομένως, OM OM 1 OM2, δηλαδή:M 1 (α,β)Ο x


2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 89“Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α βi καιείναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους”.yΜ 2 (γ,δ)Επίσης, η διαφοράγ δi3( α βi) ( γ δi) ( α γ) ( β δ)iΜ 1 (α,β)παριστάνεται με το σημείο N( α γ,β δ).ΟxΕπομένως, ON OM 1 OM2, δηλαδή:Ν(αγ,βδ)Μ 3 (γ,δ)“Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών α βi και γ δi είναιη διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους”. Για τον πολλαπλασιασμό δύο μιγαδικώνα βiκαι γ δiέχουμε:( α βi)(γ δi) α(γ δi) βi(γ δi) αγ αδi βγi ( βi)(δi)2 αγ αδi βγi βδi αγ αδi βγi βδ ( αγ βδ) ( αδ βγ)i .Δηλαδή,( α βi)(γ δi) ( αγ βδ) ( αδ βγ)i .Για παράδειγμα,2(3 4i) (5 6i) 15 18i 20i 24i (15 24) (20 18)i 39 2i.2 2Ειδικότερα, έχουμε: ( α βi)(α βi) α β . Ο αριθμόςτου α βi και συμβολίζεται με α βi. Δηλαδή,α βi α βi .α βiλέγεται συζυγήςΕπειδή είναι καια βi α βi, οι α βi, α βiλέγονται συζυγείς μιγαδικοί.α βi Τέλος, για να εκφράσουμε το πηλίκο , όπου γ δi 0 , στη μορφήγ δiκ λi , πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με το συζυγή του παρονομαστήκαι έχουμε:α βi ( α βi)(γ δi)( αγ βδ) ( βγ αδ)i αγ βδ βγ αδ i .2 22 2 2 2γ δi ( γ δi)(γ δi)γ δ γ δ γ δ


902 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙΔηλαδή,α βiγ δiαγ βδ βγ αδ i .2 2 2 2γ δ γ δΓια παράδειγμα:2 i (2 i)(1 3i)2 6i i 3i13i(1 3i)(1 3i)19217i1 10 10710i .Δύναμη ΜιγαδικούΟι δυνάμεις ενός μιγαδικού αριθμού z με εκθέτη ακέραιο ορίζονται ακριβώςόπως και στους πραγματικούς, δηλαδή ορίζουμε:1z 2z , z z z,...,και γενικάzνν z1 z ,για κάθε θετικο ακέραιο ν , με ν 1 . Επίσης, αν z 0 , ορίζουμε0ν1z 1, z για κάθε θετικό ακέραιο ν.νzΓια τις δυνάμεις των μιγαδικών αριθμών ισχύουν οι ίδιες ιδιότητες που ισχύουνκαι για τις δυνάμεις των πραγματικών αριθμών. Ιδιαίτερα για τις δυνάμεις του iέχουμε:0123 2i 1, i i,i 1,i i i i.Στη συνέχεια, παρατηρούμε ότι είναι:i4 i2i25 46 4 2 27 4 3 3 1 , i i i 1i i,i i i 1i 1,i i i 1i i,4δηλαδή, μετά το iνοι τιμές του i επαναλαμβάνονται. Άρα, για να υπολογίσουμεσυγκεκριμένη δύναμη του i , γράφουμε τον εκθέτη ν στη μορφή ν 4ρ υ ,όπου ρ το πηλίκο και υ το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του ν με το 4,οπότε έχουμε: 1 , αν υ 0ν , αν 1ρ υρ υ ( 4 ρ υ ρ υ υi υi i i i i ) i 1 i i -1 , αν υ 2i , αν υ 3Για παράδειγμα:Ιδιότητες Συζυγώνiiii16211419 i i i i342 i2 i4433440 i0 1 i1 i i .4511Επειδή οι συζυγείς μιγαδικοί, όπως θα δούμε στις επόμενες παραγράφους, μαςδιευκολύνουν στη μελέτη των μιγαδικών αριθμών, θα αναφερθούμε ιδιαιτέρωςσε αυτούς.


2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 91 Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες M ( α,β)καιM ( α,β)δύο συζυγών μιγαδικών z α βi καιz α βi είναι σημεία συμμετρικά ως προς τονπραγματικό άξονα.y4M(z)Ο xM (z) Για δύο συζυγείς μιγαδικούς αριθμούςz α βi και z α βiμπορούμε εύκολα, με εκτέλεση των πράξεων, να διαπιστώσουμεότι:z z 2αz z 2βi. Ανz1 α βiκαι z2 γ δiείναι δυο μιγαδικοί αριθμοί, τότε:1. z1 z2 z1 z22. z1 z2 z1 z23. z1 z2 z1 z24. z z12 z z12.Οι ιδιότητες αυτές μπορούν να αποδειχτούν με εκτέλεση των πράξεων. Για παράδειγμαέχουμε:z z ( α βi) ( γ δi) ( α γ) ( β δ)i1 2 ( α γ) ( β δ)i ( α βi) ( γ δi) z z .Οι παραπάνω ιδιότητες 1 και 3 ισχύουν και για περισσότερους από δυο μιγαδικούςαριθμούς. Είναι δηλαδή:z1 z2zν z1 z2z ν z2 zν z1 z2 ... z νz1 ... .12Ιδιαίτερα, αν είναιz1 z2 ... zν z , τότε η τελευταία ισότητα γίνεται:( ν νz ) ( z)


922 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙΓια παράδειγμα,2 3i 4 5i3 2 3i 4 5i33 2 3i . 4 5iΕπίλυση της Εξίσωσηςαz2 βz γ0μεα, β,γκαι α022 22Επειδή i 1και ( i) i 1, η εξίσωση x 1έχει στο σύνολο τωνμιγαδικών αριθμών δύο λύσεις, τιςx2 4x 2i, αφού2x1 i και x2 i. Ομοίως, η εξίσωσηέχει στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών δύο λύσεις, τις22 22 2z 4 z i 4 z (2i) z 2iή z 2i.x1 2iΕύκολα, όμως, μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι και κάθε εξίσωση δεύτερουβαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει πάντα λύση στο σύνολο C. Πράγματι,έστω η εξίσωση2α z βz γ0, με α , β,γκαι α 0.Εργαζόμαστε όπως στην αντίστοιχη περίπτωση στο και τη μετασχηματίζουμε,με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων, στη μορφή:η διακρίνουσα της εξίσωσης. Έτσι, έχουμε τις εξής περιπτώ-όπουσεις:Δ β2 4αγ2 β Δ z ,2 2α 4ακαιΔ 0 . Tότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις:Δ 0 . Tότε έχει μια διπλή πραγματική λύση:Δ 0 . Tότε, επειδή, η εξίσωση γρά-2 β φεται:2 2 i z . α αΔΆρα οι λύσεις της είναι:βz 2α22Δ ( 1)(Δ)i ( Δ)2 224 4 (2 ) 2 ι Δ α α α α 2z1,2z1,2 β 2α2Δ β i Δ , (1)2αοι οποίες είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί.2Για παράδειγμα, η εξίσωση z 5z 6 0 έχει Δ 25 24 1 0 και οι λύσεις5 15 1της είναι: z1 3 , z2 2 . Όμως, η εξίσωση z 2 2z 2 0 έχει22


2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 93Δ 4 8 4 0 και οι λύσεις της είναι οι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί:2 i 42 i 4z1 1i , z 1i222.ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΠαρατηρούμε ότι και εδώ ισχύουν οι σχέσεις:βz 1 z 2 καιαγz1 z2 .αΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1. Για τις διάφορες τιμές του θετικού ακέραιου ν να υπολογιστεί το άθροισμαΛΥΣΗS i i2 i3iΟι προσθετέοι του αθροίσματος έχουν πλήθος και είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικήςπροόδου με πρώτο όρο i και λόγο επίσης i . Επομένως, S i , i 1οπότε, λόγω της ισότητας ν 4 ρ υ της ευκλείδειας διαίρεσης του με το 4,νi 1έχουμε τις εξής περιπτώσεις:11 υ 0 . Τότε 4 , οπότε S i i 1 0 υ1. Τότε 41, οπότε S i i iυ 2 . Τότε 42, οπότε S iυ3. Τότε 43, οπότε S i1i1ν. 1 1 i i i i 2ii i 2 i 2 ( 1)11 1 1 2 i 1 ii 1 1 i 1 1.2. Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών z στις περιπτώσεις κατάτις οποίες ο αριθμός είναι α) φανταστικός β) πραγματικός.z 1z 2iΛΥΣΗΑνz xyi, τότε:


942 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙΕπομένως:α) Ο αριθμόςz 1z2iz 1( x1) yiz2ix( y2)i( x2 x yx22 2y) i(2x y 2) ( y 2)22x x y 2y2x y 2 i .22 22x ( y 2) x ( y 2)222x x y 2yείναι φανταστικός, αν και μόνο αν 0 , δη-22x ( y 2)2222λαδή, αν και μόνο αν x x y 2y 0 και x ( y 2) 0 ή, ισοδύναμα,2 1 5 x ( y 1)2 και ( xy , ) ( 02 , ). 2 4Άρα, το σύνολο των εικόνων του z είναι τα σημεία του κύκλου με κέντρο 1 5K , 1και ακτίνα , με εξαίρεση το σημείο . 2 2 A( 02 , )z 12x y 2β) Ο αριθμός είναι πραγματικός, αν και μόνο αν 0 , δηλαδή,2 2z2ix ( y 2)αν και μόνο αν222x y2 0 και x ( y 2) 0 .Άρα, το σύνολο των εικόνων του z είναι τα σημεία της ευθείας με εξίσωση2x y20, με εξαίρεση το σημείο A( 02 , ).ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να βρείτε τις τιμές του λ , ώστε ο z ( λ 3i)(2 i)να είναι:α) πραγματικός αριθμός β) φανταστικός αριθμός.2. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y για τους οποίους ισχύει:α) ( x y) ( x y)i 3 i22β) 3x x 6 ( x 3) i 2 iγ) 9 27i (3x 2y) yi .


2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 953. Στο μιγαδικ+ό επίπεδο να σημειώσετε τις εικόνες και τις διανυσματικέςακτίνες των μιγαδικών αριθμών: 1 i , 1, i, 2i, 3 4i, 3 4i, 5,0.4. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικώναριθμών z που ικανοποιούν τις σχέσεις:α) Το πραγματικό μέρος του z είναι ίσο με μηδέν.β) Το φανταστικό μέρος του z είναι ίσο με μηδέν.γ) Το πραγματικό μέρος του z είναι ίσο με το φανταστικό του μέρος.5. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να εκτελέσετε τις πράξειςπου σημειώνονται και να γράψετε το αποτέλεσμα στη μορφή α βiα) ( 4 6i) (7 2i)β) ( 3 2i) (6 4i)γ) ( 3 4i) ( 8 7i) (5 3i)δ) ( 3 2i)(4 5i)ε) 3i(6 i)στ) ( 4 3i)(4 3i)ζ) i( 3 i)(2 i).6. Να γράψετε τους παρακάτω μιγαδικούς στη μορφή α βi:α)11 i2γ) i 2i1δ)ε)3 i2 iβ)στ)6i( 1i7. Να βρείτε τους x, y , για τους οποίους ισχύει:2α) (3 2i) ( x iy) x yi21i 1β) 1i1i x iyγ) ( 3 2i )(2x iy) 2(2x iy) 2i1.8. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:α)i6 i16 i26 i36 iβ) 11 41 75 1023461 1 1 1 .i i i i i566 i1i23)2.29. Ποιος είναι ο z , όταν:α) z 5 7iβ) z 4 9iγ) z 4iδ) z 11ε) z iστ) z 0 .


962 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ10. Με ποιες συμμετρίες μπορούν να προκύψουν από την εικόνα του μιγαδικούz x yi οι εικόνες των μιγαδικών z, z και z ;5 9i5 9i11. Αν z1 και z2 , να δείξετε ότι ο z1 z2είναι πραγματικόςαριθμός, ενώ ο z1 z7 4i7 4i2φανταστικός αριθμός.12. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικώναριθμών z που ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις:2 22 2α) z z 6iβ) z z γ) z z δ) z 2 z13. Να λύσετε στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών τις εξισώσεις:221α) x 3x 2 0 β) x 2x 3 0 γ) x 1.x14. Αν μια ρίζα της εξίσωσης 2x2 βx γ 0 , όπου β, γ , είναι 3 2i,να βρείτε τις τιμές των β και γ.Β΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Αν α , β,γ και δ είναι πραγματικοί αριθμοί, να εξετάσετε πότε το πηλίκοείναι πραγματικός αριθμός.α βiγ δi2. Αν1iz 23, να βρείτε την τιμή της παράστασης1.2z z3. Να βρείτε την τιμή της παράστασης20( 1 i) (1 i)20 .4. Πόσες διαφορετικές τιμές μπορεί να πάρει η παράστασηiν ν i ;5. Να λύσετε τις εξισώσεις2α) z zβ)3z z .6. Έστω ο μιγαδικός z με z 0 . Να δείξετε ότι οz z είναι πραγματι-z zz zκός και ότι 2 2 .z z10107. Να αποδείξετε ότι ( α βi) ( β αi) 0 , όπου8. α) Για ένα μιγαδικό αριθμό z να αποδείξετε ότι:α, β .


2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 97 Ο z είναι πραγματικός, αν και μόνο ανz z Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο ανβ) Αν1z1 καιz1 2 εί-z zμός u1 z1z2ναι φανταστικός.12z z.1z2 και z1 z2 1, να αποδείξετε ότι ο αριθ-z1 2 είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμόςvz z1z z9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τουςοποίους ισχύει: 1 1 α) Rez 5Re(z)β) Imz 3 Im( z ) . z z 122.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥΈστω M ( x,y)η εικόνα του μιγαδικού z x yiστο μιγαδικό επίπεδο. Ορίζουμε ως μέτρο του zτην απόσταση του M από την αρχή O , δηλαδήyβ5M(x,y)| z | | OM | x2 y2|z|2 2Για παράδειγμα, | 3 4i | 3 ( 4) 5 .ΟaxΌταν ο μιγαδικός z είναι της μορφήςz x 0 i x , τότε | z | 2 2x 0 |x | , που είναι η γνωστή μας απόλυτη τιμήτου πραγματικού αριθμού x.Ανz x yi , τότεz x yi και z x yi . Eπομένως, | z | | z | | z|2| z | z zΟι επόμενες ιδιότητες αναφέρονται στις σχέσεις που συνδέουν το γινόμενο καιτο πηλίκο μιγαδικών με τα μέτρα τους και είναι ίδιες με τις αντίστοιχες ιδιότητεςτων απόλυτων τιμών πραγματικών αριθμών.Αν z 1, z 2είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε


982 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ | z1 z2| |z1| | z2|zz12zz12Πράγματι, έχουμε:| zz2 2 21 z2| |z1| | z2| | z1 z2| |z1| |2| ( z zz1 z2)( z1 z2) z1 z1 z21 z2 z1 z2 z1 z1 z2 z2και, επειδή η τελευταία ισότητα ισχύει, θα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική.Ανάλογα αποδεικνύεται και η δεύτερη ιδιότητα.Γενικά, αποδεικνύεται ότι| z z ... zν| z | |z | ... |z1 2| 12ν|M 2 (z 2 )και ειδικότεραν ν| z | |z | .M 1 (z 1 )Τέλος, από τη γνωστή μας τριγωνική ανισότητακαι από τη γεωμετρική ερμηνείαΟxτου αθροίσματος z1 z 2και της διαφοράςz1 z 2δύο μιγαδικών προκύπτει ότι:N(z 1 z 2 )| | z1 | | z2| | | z1 z2| |z1| |z2|M 3 (z 2 )Επίσης, είναι φανερό ότι το μέτρο τουδιανύσματος ON είναι ίσο με το μέτρο του διανύσματος M M . Επομένως:2 1y2M(z 1 +z 2 )“Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνωντους”.Δηλαδή:( M1M2) | z1 z2|6Έτσι, για παράδειγμα, η εξίσωση | z ( 2 i)| 3επαληθεύεται μόνο από τους μιγαδικούς z πουέχουν την ιδιότητα οι εικόνες τους να απέχουναπό την εικόνα του μιγαδικού 2 i , δηλαδήαπό το σημείο K(2,1) , απόσταση 3 μονάδες.Επομένως, η εξίσωση αυτή είναι εξίσωση κύκλουμε κέντρο το σημείο K(2,1)και ακτίναρ 3 .yK(2,1)Ο x7


2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 99Γενικά, η εξίσωση| z z| ρ,0ρ 0παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείοκαι ακτίνα ρ.Kz ( 0 )Επίσης, η εξίσωση | z ( 12i)| |z ( 13i)| επαληθεύεταιμόνο από τους μιγαδικούς z που έχουντην ιδιότητα οι εικόνες τους να ισαπέχουν από τιςεικόνες των μιγαδικών 1 2i και 1 3i, δηλαδήαπό τα σημεία A(1,2) και B ( 1,3). Επομένως, ηεξίσωση αυτή είναι εξίσωση της μεσοκαθέτου τουευθύγραμμου τμήματος K Λ .Γενικά, η εξίσωση| z z1 | |z z2|y8B(1,3)A(1,2)Ο xπαριστάνει τη μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα τα σημεία Az ( 1)και Bz ( 2 ).ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1. Αν για τους μιγαδικούς z z ,..., ισχύει1,2z νzz11 i izz22 i izν i 1 ,z iννα αποδειχτεί ότι κανένας από αυτούς δεν είναι πραγματικός αριθμός.ΑΠΟΔΕΙΞΗΑν ένας από τους z z ,..., , για παράδειγμα ο z , ήταν πραγματικός, τότε οι1, 2z νκμιγαδικοί z κ i και z κ i θα ήταν συζυγείς και επομένωςzκ i zκ i 1 ,zκ i zκ iαφούτα μέτρα δύο συζυγών μιγαδικών είναι ίσα. Τότε όμως θα είχαμεz i1z i1zz22 i iz i z i 1 ,z i z iπου είναι άτοπο.2. Αν για το μιγαδικό z ισχύει z (2 2i)| 2| , να βρεθεί:α) Ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του z στο μιγαδικό επίπεδο.


1002 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙβ) Η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του | z | .ΛΥΣΗα) Η ισότητα | z( 22i)| 2 επαληθεύεται από όλους τους μιγαδικούς z πουέχουν την ιδιότητα οι εικόνες τους να απέχουν από το σημείο K( 22 , ) σταθερήαπόσταση ίση με 2 και μόνο από αυτούς. Επομένως, ο ζητούμενος γεωμετρικόςτόπος είναι ο κύκλος με κέντρο K( 22 , ) και ακτίνα 2 , δηλαδή ο κύκλος2( x2)(y2)22 .β) Το || z είναι η απόσταση της εικόνας M(z)από την αρχή O( 00 , ), δηλαδή το μήκος (OM ).Από τη Γεωμετρία, όμως, γνωρίζουμε ότι αν ηευθεία O Κ τέμνει τον κύκλο στα A και B , τότεA( OA ) ( OM ) ( OB), που σημαίνει ότι η μέγιστητιμή του |z| είναι το μήκος (OB) και η ελάχιστητο μήκος ( OA).Οyy=x9BK(2,2)Μ( z)xθα είναι οι λύσεις του συ-Η εξίσωση, όμως, της ευθείας O Κ είναι η y x .Επομένως, οι συντεταγμένες των σημείων A καιστήματος( x2)2(y 2)22y xB,που είναι τα ζεύγη (,) 11 και (,) 33 . Άρα, η μέγιστη τιμή του || z είναι ίση με2 2( OB) 3 3 3 22 2και η ελάχιστη ίση με ( OA) 1 1 2 .ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να βρείτε τα μέτρα των μιγαδικών αριθμών:1 i , 1i , 3 4i, 3 4i, 5i, 4 ,24( 1 i) (1 i), ( 2 i) (1 2i)και3 i .4 3i1i,1i2. Να βρείτε τα μέτρα των μιγαδικών αριθμών:( 1 i2 ) ,21i ,1i 21i ,1i λ μi λ μi 2, όπου λ, μ με | λ | | μ | 0 .


2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1013. Να βρείτε τους μιγαδικούς z x yi για τους οποίους ισχύει:2α) | z 2 | zβ) | z 1| z γ) | z i | 2z.4. Να βρείτε πού ανήκουν οι μιγαδικοί z για τους οποίους ισχύει:α) | z | 1β) | z i | 1γ) | z 12i| 3δ) 1 | z | 2ε) | z | 2 .5. Να βρείτε πού ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών z για τους οποίουςισχύει:α) | z 1| |z 2i|β) | z i | |z 1|6. Αν x , να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του μιγαδικού z, xiόπου z 1 .x i7. Από τους μιγαδικούς z, για τους οποίους ισχύει | z 4i| 2 , ποιος έχειτο ελάχιστο και ποιος το μέγιστο δυνατό μέτρο;8. Αν για τους μιγαδικούς z ισχύει | z | 1, να βρείτε που ανήκουν οιεικόνες των μιγαδικών w με w 2z1.9. Για δύο μιγαδικούς αριθμούς z1και z2να αποδείξετε ότι| z z z z z z .22221 2| |1 2| 2 |1| 2 |2|Β΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να δείξετε ότι για κάθε μιγαδικό z ισχύει:2 | z | |Re( z)| | Im( z)| .2. Έστω ο μιγαδικός z , για τον οποίο ισχύει z 1. Να αποδείξετε ότι:z 1Αν | z | 1, τότε ο w είναι φανταστικός αριθμός και αντιστρόφως.z 113. Έστω ο μιγαδικός z με z 0. Να αποδείξετε ότι: Ο w z είναιzπραγματικός, αν και μόνο αν ο z είναι πραγματικός ή | z | 1.*4. Έστω ο μιγαδικός z με z αi, όπου α . Να αποδείξετε ότι: οz αiw είναι φανταστικός, αν και μόνο αν ο z είναι φανταστικός.iz α


1022 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ5. Αν η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο κέντρου O (0,0)καιακτίνας ρ 1, να δείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για την εικόνα του μιγαδικού2ziw .iz26. Αν για το μιγαδικό z ισχύει | 2z1||z 2 | , να δείξετε ότι η εικόνατου z ανήκει στον κύκλο με κέντρο O (0,0)και ακτίνα ρ 1.7. Αν για το μιγαδικό z ισχύει | z | 1, να βρείτε την τιμή της παράστασης22A | 1z | | 1z | . Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το συμπέρασμα.8. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ των μιγαδικών z , γιατους οποίους ισχύει: | z 1| |z 4i| . Ποιο από τα σημεία Μ απέχειτην ελάχιστη απόσταση από την αρχή O (0,0).9. Αν M1και M2είναι οι εικόνες των μιγαδικών z1και z2αντιστοίχως4και z 2 z1 , να αποδείξετε ότι: Όταν το M1κινείται σε κύκλοz1κέντρου O (0,0)και ακτίνας 4, τότε το M2κινείται σε μια έλλειψη.110. α) Αν | z | 1, να δείξετε ότι z .zβ) Αν για τους μιγαδικούς z z ,..., ισχύεινα αποδείξετε ότι:1, 2z κ|1| |z2| ... |zκ| 11 1 1| z.z1 z2 ... z κ| ... z1z2z ,κ2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΕισαγωγήΗ αποδοχή των μιγαδικών αριθμών, εκτός από τις δυνατότητες που άνοιξε στηνεπίλυση των εξισώσεων, έδωσε μεγάλη ευελιξία στον αλγεβρικό λογισμό. Για2 2παράδειγμα, η παράσταση x y μπορεί τώρα να παραγοντοποιηθεί στη μορφή( x yi)(x yi). Οι μαθηματικοί εκμεταλλεύτηκαν αυτό το γεγονός σε πολλά ζητήματα,όπως είναι, για παράδειγμα, ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση τωντόξων ενός κύκλου. Το 1739 ο A. de Moivre, συνδυάζοντας τον υπολογισμό των


2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 103κυβικών ριζών παραστάσεων της μορφήςa i β (που εμφανίζονται στον τύπο3επίλυσης της x px q ) με την τριγωνομετρική ταυτότητα33ημ 4ημ ημ3, έδωσε τις πρώτες ιδέες για την τριγωνομετρική παράστασητων μιγαδικών αριθμών. Το 1748 ο L. Euler, ξεκινώντας από την ανάλυση της2ισότητας συν 2 θ ημ θ 1 στη μορφή ( συνθ iημθ)(συνθ iημθ) 1 , τόνισε τησημασία των παραστάσεων της μορφής συνθ iημθκαι έδειξε ότι( συνx iημx)(συνy iημy) συν( x y) iημ(x y). Γενικεύοντας έφτασε στη σχέ-nση ( συνz iημz) συνnz iημnz(που σήμερα φέρει το όνομα του de Moivre),από την οποία, με χρήση του διωνυμικού αναπτύγματος, βρήκε τύπους για ταημnzκαι συνnz.Σε όλες τις προηγούμενες περιπτώσεις οι μιγαδικοί αντιμετωπίζονταν ως καθαράσυμβολικές παραστάσεις, που δεν απεικόνιζαν κάποια συγκεκριμένη πραγματικότητα.Η τριγωνομετρική παράσταση έδωσε όμως τη δυνατότητα να χρησιμοποιηθούν(από τον C. Wessel το 1799 και τον R. Argand το 1806) για την αναλυτικήέκφραση της διεύθυνσης στο επίπεδο, ακριβώς όπως οι θετικοί και αρνητικοίχρησιμοποιούνται για τη διάκριση της φοράς στην ευθεία. Αυτές οι εξελίξειςδιεύρυναν τις εφαρμογές των μιγαδικών και άνοιξαν το δρόμο για τη γεωμετρικήερμηνεία τους, την οποία καθιέρωσε ο C.F. Gauss το 1831.Όρισμα ΜιγαδικούΈστω ένας μη μηδενικός μιγαδικός αριθμόςy10και OM η αντίστοιχη διανυσματική ακτί-z x yiνα του.Μ(z)Ονομάζουμε όρισμα του μιγαδικού z καθεμιά απότις γωνίες που έχουν αρχική πλευρά την ημιευθείαOx και τελική πλευρά την ημιευθεία OM .Από όλα τα ορίσματα του z ένα ακριβώς βρίσκεταιστο διάστημα [ 0,2π). Αυτό λέγεται πρωτεύον όρισματου μιγαδικού z και συμβολίζεται με Arg(z) .Είναι φανερό ότι:Οθx Tο Arg(z) είναι η γωνία που σχηματίζει η διανυσματική ακτίνα του μιγαδικούz με τον άξονα xx . Δυο ορίσματα του z διαφέρουν κατά γωνία 2κπ, κ .Για το μιγαδικό z 0 δεν ορίζεται όρισμα. Γι’αυτό, στη συνέχεια, όταν αναφερόμαστεσε όρισμα μιγαδικού, θα εννοούμε ότι z 0 .Τριγωνομετρική Μορφή Μιγαδικού


1042 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙΈστω ο μιγαδικός z x yi 0 , που έχει μέτρορ x2 y2. Αν θ είναι έναόρισμα του z, τότε, από τον ορισμό των τριγωνομετρικών αριθμών σε ορθοκανονικόσύστημα, έχουμεxyyσυν θ και ημ θ 11M(x,y)ρρyοπότεx ρσυνθκαι y ρημθρΕπομένως, ο μιγαδικός z γράφεταιz x yi ρσυνθ ρημθ i ,δηλαδή παίρνει τη μορφήz ρ( συνθ iημθ)xΟθxΟ τρόπος αυτός γραφής του μιγαδικού zμορφή του z .Για παράδειγμα, ανκαι για κάθε όρισμά τουλέγεται τριγωνομετρική ή πολική2 2z 3 i , τότε το μέτρο του z είναι ρ ( 3) 1 2θισχύουν:3συνθ και21ημθ .2Επομένως, μια τιμή του ορίσματος είναι η 5π5πz 2συν iημ ή γενικότερα: 6 6 Αποδεικνύεται 5π 5πz 2συν2κπ iημ2κπ , κ . 6 6 5πθ . Άρα, έχουμε6ότι, αν για έναν μιγαδικό αριθμό z ισχύει z r( συνθ iημθ), ό-που r 0 και θ , τότε η παράσταση r( συνθ iημθ)είναι τριγωνομετρικήμορφή του μιγαδικού αριθμού z .Επειδή ίσοι μιγαδικοί αριθμοί έχουν την ίδια εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο καιαντιστρόφως, έχουμε το ακόλουθο κριτήριο ισότητας μιγαδικών:“Δυο μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι, αν και μόνο αν έχουν ίσαμέτρα και η διαφορά των ορισμάτων τους είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του2π”.


2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 105Δηλαδή:Ανz ρ συνθ iημ) και z ρ συνθ iημ) είναι τριγωνομετρικές1 1( 1θ12 2(2θ2z1z2μορφές των μιγαδικών και , τότε:z 1 z 2 ( ρ1 ρ2και θ1 θ2 κ 2π, κ ).Τριγωνομετρική Μορφή Γινομένου ΜιγαδικώνΑνz ρ συνθ iημ) και z ρ συνθ iημ) είναι οι τριγωνομετρικές1 1(1θ12 2(2θ2μορφές δύο μιγαδικών αριθμών z 1και z 2, τότε για το γινόμενό τους έχουμε:z ρ1( συνθ1 iημθ1) ρ2(συνθ2 iημ2)1 z2θ ρ1 ρ2[( συνθ1 iημθ1) (συνθ2 iημθ2)] ρ1ρ2θ[( συνθ1συνθ2 ημθ1ημθ2) i(ημθ1συνθ2 συνθ1ημ2)] ρ ρ συν( θ θ ) iημ(θ )] .Ομοίως, για το πηλίκο τουςzz121 2[ 1 21θ2ρ1(συνθ1ρ (συνθ22zz12, έχουμε: iημθ1) ρ iημθ)] ρ212(συνθ(συνθ21 iημθ)(συνθ iημθ12)(συνθ22 iημθ iημθ22))]ρρ12(συνθ1) iημ(-θ iημθ)[συν(-θσυν12222θ ημ θ22)]Αποδείξαμε λοιπόν ότι:ρ1 [ συν( θ1 θ2) iημ(θ1 θ2)] .ρ2Αν z1 ρ1( συνθ1+ iημθ1)και z2 ρ2( συνθ2+ iημθ2) είναι δυο μιγαδικοί σετριγωνομετρική μορφή, τότεz1 z2 ρ1ρ2θ[ συν( θ1 θ2) iημ(θ12)]zz12ρ1 [ συν( θ1 θ2) iημ(θ1 θ2)] .ρ2Για παράδειγμα, αντότε έχουμε: 2π2π 11π11πz1 2συν iημ και z2 3συν iημ , 3 3 6 6


1062 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙκαι 2π11π 2π11π 5π5πz1 z2 23συν iημ 6συν iημ 6i 3 6 3 6 2 2 zz22 2π11π συν3 3 6 2π11π2 7π 7iημ συν iημ 3 6 3 6 61 π23 1 3 1 i i .32 2 3 3Από τις τριγωνομετρικές μορφές του γινομένου και του πηλίκου μιγαδικών προκύπτουνοι ιδιότητες| z1z2 1z2| | z | | | καιτις οποίες έχουμε συναντήσει και στην § 2.3.zz12| z1| ,| z |2Η γεωμετρική ερμηνεία του γινομένου και του πηλίκου δύο μιγαδικών φαίνεταιστα παρακάτω σχήματα:M(z 1 z 2 )y12M 1 (z 1 )θ 2θ 1 +θ 2 M 2 (z 2 )y13M 1 (z 1 )M(z 1 /z 2 )M 2 (z 2 )θ 2θ 1 θ 1 θ 2θ 2OΑ(1) xΤα τρίγωνα ΟΑΜ 2 και ΟΜ 1 Μ είναι όμοιαOΑ(1) xΤα τρίγωνα ΟΑΜ 2 και ΟΜΜ 1 είναι όμοιαΣύμφωνα με τα παραπάνω: Ο πολλαπλασιασμός του μιγαδικού z1 ρ1( συνθ1 iημθ1)με το μιγαδικόz ρ συνθ iημ) σημαίνει στροφή της διανυσματικής ακτίνας του κατά2 2(2θ2θ 2γωνία και μετά πολλαπλασιασμό της με ρ 2(Σχ. 12). Επομένως, ο πολλαπλασιασμόςενός μιγαδικού z με το μιγαδικό συνθ iημθστρέφει μόνο τη διανυσματικήακτίνα του z κατά γωνία θ , αφού | συνθ iημθ| 1 . Ειδικότερα, ο πολλαπλασιασμόςτου z με i στρέφει τη διανυσματική ακτίνα του z κατά γωνίαπ π π, αφού i συν iημ .22 2z 1


1082 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙΓια παράδειγμα, αν π π z 3 i , επειδή z 2συν iημ , έχουμε: 6 6 z1998 2 π π συν iημ 6 6 1998 1998 1998 2 1998 π πσυν iημ 6 6 2 1998 (συν333π iημ333π ) 2 1998 1998(συνπ iημπ) 2 .Το προηγούμενο θεώρημα αποδίδεται στο μαθηματικό De Moivre και γι’ αυτόφέρει το όνομά του.Πράγματι, έχουμε[ ρ(συνθ iημθ)]ν1ννρ (συνθ iημθ)ρν1(συν0 iημ0)(συν(νθ) iημ(νθ))Το Θεώρημα του De Moivre ισχύει και όταν ο εκθέτης είναι αρνητικός ακέραιος. ρ ν [ συν(0 - νθ) iημ(0 - νθ)] ρ ν[ συν(-νθ) iημ(-νθ)].ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1. Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών z, για τους οποίους ι- z σχύει1 Arg π . z 1 6ΛΥΣΗΑνz x yi , τότε2z 1( x 1) yi x y 2z 1( x 1) yi ( x 1)21 y22y2( x 1) y2i .Άρα,2 2z 1x y 1 A Bi , όπου A και2 2z 1( x 1) y2yB .2 2( x 1) y


2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 109 z 1Επομένως, η συνθήκη Arg z 1ισοδύναμη με τις σχέσεις:π6είναιy14 B εφ π 2y2A 6 x y2 1Β 0y 02x ( y y 03)213 22.K( 0, 3)ΟB(1,0) A(1,0)xΆρα, το σύνολο των εικόνων του z είναι το τόξο του κύκλου κέντρου K (0, 3)και ακτίνας ρ 2 που είναι πάνω από τον άξονα x x .2. Αν ημα ημβ ημγ 0 και συνα συνβ συνγ 0 , να αποδειχτεί ότια) συν3α συν3β συν3γ 3 συν ( α β γ)β) ημ3α ημ3β ημ3γ 3 ημ( α β γ).ΛΥΣΗΈστω οι μιγαδικοί a συνα iημα,b συνβ iημβ, c συνγ iημγ. Έχουμεa b c ( συνα συνβ συνγ) i(ημα ημβ ημγ) 0 0i 03 3 3και επομένως, a b c 3abc.Με αντικατάσταση των a,b και c έχουμε διαδοχικά:33( συνα iημα) (συνβ iημβ) (συνγ iημγ) 3(συνα iημα)(συνβ iημβ)(συνγ iημγ)( συν3α iημ3α) (συν3β iημ3β) (συν3γ iημ3γ) 3[συν(α β γ) iημ(α β γ)]( συν3α συν3β συν3γ) i(ημ3α ημ3β ημ3γ) 3συν(α β γ) i3ημ(α β γ).Εξισώνοντας τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη των δύο μελών έχουμε:συν3α συν3β συν3γ 3συν( α β γ)καιημ3α ημ3β ημ3γ 3ημ( α β γ).3


1122 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ6. Αν z συνθiημθ, να αποδείξετε ότι:ν 1ν 1α) z 2συν( νθ)β) z 2iημ( νθ).ννzz7. Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν | z | 1 και w ( 3 i)z ,τότε:α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού w.β) Να βρείτε την εικόνα εκείνου του μιγαδικού από τους w, για τονποποίο ισχύει Arg(w) .421κ 2κ8. Αν z i και221κ 1κριθμό κπArg(z) , να βρείτε τον πραγματικό α-32229. Δίνεται το τριώνυμο f ( x) x 2 | z z | x (1| z | )( 1 | z | ) , όπουz1και z2είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι f ( x) 0 ,για κάθε x . Πότε ισχύει η ισότητα;12122.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕισαγωγήΗ επίλυση των εξισώσεων 3ου και 4ου βαθμού, η “αναγκαστική” επαφή με τουςμιγαδικούς αριθμούς για την έκφραση των πραγματικών ριζών και η εξέλιξη τουαλγεβρικού λογισμού δημιούργησαν στις αρχές του 17ου αιώνα τις προϋποθέσειςγια την ανάπτυξη μιας γενικής θεωρίας των πολυωνυμικών εξισώσεων στηνΆλγεβρα. Βασικά στοιχεία αυτής της θεωρίας δεν ήταν μόνο οι μέθοδοι επίλυσης,αλλά και δομικά ζητήματα, όπως οι σχέσεις ριζών και συντελεστών μιαςεξίσωσης, καθώς και η σχέση ανάμεσα στο βαθμό και στο πλήθος των ριζών. Τοτελευταίο, που καθιερώθηκε αργότερα ως Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας“κάθε πολυωνυμική εξίσωση ν βαθμού έχει στο σύνολο των μιγαδικώνν ακριβώς ρίζες”,διατυπώνεται στην αρχή διστακτικά, καθώς οι μιγαδικοί δε θεωρούνται ακόμηισότιμοι προς τους υπόλοιπους αριθμούς. Ο R. Descartes, στο βιβλίο ΙΙΙ της “LaGeometrie” (1637) γράφει ότι: “κάθε εξίσωση μπορεί να έχει τόσες διαφορετικέςρίζες όσες και οι διαστάσεις [δηλ. ο βαθμός] της άγνωστης ποσότητας στηνεξίσωση”, αλλά ονομάζει τις θετικές ρίζες “αληθινές”, τις αρνητικές “ψεύτικες”και εισάγει για πρώτη φορά τον όρο “φανταστικές” για τις υπόλοιπες:


2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 113“…ενώ μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η εξίσωση x3 6x2 13x10 0 έ-χει τρεις ρίζες, εν τούτοις υπάρχει μία μόνο πραγματική ρίζα, το 2, ενώ οιάλλες δύο παραμένουν φανταστικές”.Το θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας άρχισε να αποκτά εξαιρετική σημασία μετην ανάπτυξη της Ανάλυσης, καθώς η παραγοντοποίηση των πολυωνύμων έπαιζεπρωταρχικό ρόλο στον υπολογισμό ολοκληρωμάτων (διάσπαση ρητών κλασμάτωνσε απλά κλάσματα). Ο G.W. Leibniz έθεσε το 1702 αυτό το ζήτημα ι-4 4σχυριζόμενος (λαθεμένα) ότι το πολυώνυμο x α δεν αναλύεται σε γινόμενοπαραγόντων 1ου ή 2ου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές. Το γεγονός αυτόοδήγησε στις πρώτες συστηματικές προσπάθειες να αποδειχτεί ότι κάθε πολυώνυμομε πραγματικούς συντελεστές αναλύεται σε γινόμενο παραγόντων 1ου ή2ου βαθμού, που αποτελεί μια άλλη ισοδύναμη μορφή του θεμελιώδους θεωρήματος.Ύστερα από ορισμένες ημιτελείς προσπάθειες των d’Alembert (1746), L.Euler (1749) και J.L. Lagrange (1772), ο C.F. Gauss έδωσε την πρώτη αυστηρήαπόδειξη το 1799 (σε ηλικία 22 χρονών), στη διδακτορική του διατριβή που είχετίτλο: “Νέα απόδειξη του θεωρήματος ότι κάθε ακέραια ρητή συνάρτηση μιαςμεταβλητής μπορεί να αναλυθεί σε πραγματικούς παράγοντες πρώτου και δεύτερουβαθμού”.Η Eξίσωση z 1ννΓνωρίζουμε ότι στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η εξίσωση z 1 έχειμια λύση, την z 1, αν ο ν είναι περιττός και δύο λύσεις, τις z 1 και z 1,αν ο ν είναι άρτιος.Ας λύσουμε τώρα στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών μερικές εξισώσεις τηςνμορφής z 1, όπου ν θετικός ακέραιος. Έχουμε:332 z 1 z 1 0 ( z 1)(z z 1) 02 z 1 0 ή z z 1 0 z 1ή1i 3z ή21i 3z ,2δηλαδή η εξίσωση έχει στο τρεις ρίζες.442 2 z 1 z 1 0 ( z 1)(z 1) 022 z 1 0 ή z 1 0 z 1ήz i ήz i ή z i,δηλαδή η εξίσωση έχει στο σύνολο τέσσερις λύσεις.


1142 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙΓενικά ισχύει το επόμενο θεώρημα:ΘΕΩΡΗΜΑ 2νΣτο σύνολο των μιγαδικών αριθμών η εξίσωση z 1, όπου ν θετικός ακέραιος,έχει ν ακριβώς διαφορετικές λύσεις, οι οποίες δίνονται από τον τύπο:2κπ2κπz κ συν iημ, κ 0,1,2,3,..., ν 1.ν νΑΠΟΔΕΙΞΗνΈστω r( συνθ iημθ)μια λύση, σε τριγωνομετρική μορφή, της εξίσωσης z 1.Τότε,ν[ r(συνθ iημθ)]1,οπότε r ν ( συν( νθ) iημ(νθ)) συν0 iημ0νΆρα, r 1 και νθ 0 2κπ , για κάποιοκ , οπότε r 1 και2κπθ . Επομέ-νννως, οι λύσεις της εξίσωσης z 1, θα είναι της μορφής2κπ2κπz κ συν iημ, κ . (1)ν ν2κπ2κπΑλλά και αντιστρόφως, κάθε μιγαδικός της μορφής z κ συν iημ,ν ννκ είναι λύση της εξίσωσης z 1, αφούν 2κπ2κπzκ συν iημ συν(2κπ) iημ(2κπ) 1 . ν ν νΆρα, οι λύσεις της εξίσωσης z 1 είναι όλοι οι αριθμοί της μορφήςΓιακ 0 έχουμε την προφανή λύση z 1 .Αν θέσουμε2κπ2κπz κ συν iημ, κ . (1)ν ν0 2π 2πνz1 συν iημ ω , τότε για τις ρίζες της z 1, θα ισχύει: ν ν zκκ2κπ2κπ 2π2π κσυν iημ συν iημ ω , ννννκ .


2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 115Είναι λοιπόν:zzzzν0 ν1ν1ν1 ωzν1 ω ω ω ω2ν2ν 2 22 ωzν2 ω ω ω ων1 1 ων1zz2ν1 ω ω2ν1 ωνων1 ων1κ.τ.λ.νΠαρατηρούμε, λοιπόν, ότι οι λύσεις της z 1 που δίνονται από την (1) δεν είναιόλες διαφορετικές μεταξύ τους. Θα εξετάσουμε για ποιες τιμές του κ έχουμεδιαφορετικές λύσεις. Επειδή για κάθε κ υπάρχουν ακέραιοι ρ και υ τέτοιοι,ώστε να ισχύει κ ρν υ με 0 υ ν , έχουμε:ωκ ωρνυν ρ υ υ υ( ω ) ω 1ω ω .Δηλαδή, για κάθε κ η λύση z ταυτίζεται με μια από τιςΘα δείξουμε τώρα ότι οι λύσεις1,κ2 3 ν1ω , ω , ω , ..., ω .1 ωμεταξύ τους. Έστω ότι δε συμβαίνει αυτό. Τότε θα υπάρχουν φυσικοί01, ω , ω2, ω3, ...,, τέτοιοι, ώστε ω λ 2λ λ νωλ , οπότε θα έχουμε διαδοχικά:10 1 2νω2λ1π2λ1π2λ2π2λ2πσυν iημ συν iημν ν ν ν2λ1π2λ1π μ 2π, για κάποιο μ ν νλ 1 λ 2 νμ , για κάποιο μ .1είναι διαφορετικέςλ 1, λ 2Από την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι ο ακέραιος ν διαιρεί τη διαφοράλ . Αυτό όμως είναι άτοπο, αφού 0 λ λ ν . Επομένως, οι λύσεις της1λ 21 2εξίσωσης z 1 είναι οι ν διαφορετικοί αριθμοί1,2π2πω συν iημ. ν ν2 3 ν1 ω , ω , ω ,..., ω , όπου Οι λύσεις αυτές λέγονται και νιοστές ρίζες της μονάδας.ΣΧΟΛΙΟΟι εικόνεςA0 ,...,, A1, A2A ν 1των λύσεων2 3 ν11,ω,ω , ω ,..., ω της εξίσωσης z ν 1 είναικορυφές κανονικού πολυγώνου με ν πλευρές,εγγεγραμμένου σε κύκλο με κέντροO(0,0)και ακτίνα r 1. Πιο συγκεκριμένα:■A 4A 3A 2A 1yA 015Ο xμεA 5A 7A 6


1162 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η κορυφή A 0 παριστάνει τη λύση 1. Η επόμενη κορυφήA 1παριστάνει τη λύση 2π 2πω συν iημ . ν ν 2 Η κορυφή παριστάνει την ω και προκύπτει από την ω με στροφή τουδιανύσματοςA 2OA1κατά γωνίαγωνία του κανονικού ν-γωνου.2 π , δηλαδή κατά γωνία ίση με την κεντρικήν3 H κορυφή παριστάνει την ω και προκύπτει από την ω με στροφή τουδιανύσματοςA 3OA1κατά γωνίανΗ Eξίσωση z a , a 02 2πνκτλ.Έστω a ρ( συνθ iημθ)μια τριγωνομετρική μορφή του μιγαδικού a. Τότε απότον τύπο του de Moivre έχουμε:ν θ θνa ρ συν iημ.νν θ θ Αν θέσουμε z ν0ρσυν iημ , τότε η εξίσωση z ν a γράφεται ν ν ή, ισοδύναμα,z ν zν0Επομένως, τοzz 0μπορεί να πάρει τιςzz0νν 1διαφορετικές τιμές2 3 ν1 ω , ω , ω ,..., , όπου 1,ωοπότε οι λύσεις της εξίσωσηςνz a2π2πω συν iημ, ν νείναι οι αριθμοίzκ z0ωκνρσυνθνθ 2κπ iημ συνν ν 2κπiημ ν Αποδείξαμε λοιπόν ότι: 2κπ θ 2κπ θ ρσυν iημ,κ 0,1,2,..., ν 1 νν ν.


2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 117νΣτο σύνολο των μιγαδικών αριθμών η εξίσωση z a , όπου ν θετικός ακέραιοςκαι a ρ( συνθ iημθ), ρ α , έχει ν διαφορετικές λύσεις οι οποίες δί-νονται από τον τύπο: 2κπ θ 2κπ θ z νκρσυν iημ,κ 0,1,2,..., ν 1. νν νΟι εικόνες των λύσεων της εξίσωσης z a στο μιγαδικό επίπεδο είναι κορυφέςκανονικού πολυγώνου με ν πλευρές, εγγεγραμμένου σε κύκλο με κέντρο O(0,0)και ακτίνανρ , όπου ρ | a | .Έστω για παράδειγμα η εξίσωση5z 16( 3 i). (1) π π Επειδή 16( 3 i ) 32συν iημ , οι λύσεις z κτης εξίσωσης (1) δίδονται 6 6 από τον τύπο ππ 2κπ 2κπ 56 12 + 1232συν6ημ κπ π κπ π z κ i 2συν iημ,κ 0,1, 2, 3, 4. 55 3030 Πιο συγκεκριμένα οι λύσεις είναι:y16 π π Az10 2συν iημ , 30 30 13π13πA 2z1 2συν iημ , 30 30 A 0 25π25πz Οx2 2 συν iημ, 30 30 37π37πz3 2συν iημ ,A 3 30 30 A 4 49π49πz4 2συν iημ . 30 30 Οι λύσεις αυτές είναι κορυφές κανονικού πενταγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλοακτίνας ρ 2 .Πολυωνυμικές Εξισώσεις με Πραγματικούς ΣυντελεστέςP( z) 0 , νιο-Όπως αναφέρθηκε στην εισαγωγή, κάθε πολυωνυμική εξίσωσηστού βαθμού, δηλαδή κάθε εξίσωση της μορφήςνν1α z α z α z α 0, α 0 ,νν1 1 0ν


1182 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙέχει στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών ν ακριβώς ρίζες.Αν z1, z2,..., z νείναι οι ρίζες του πολυωνύμου P(z)(οι οποίες δεν είναι κατανάγκηδιαφορετικές), τότε αποδεικνύεται ότι το πολυώνυμο αναλύεται σεγινόμενο παραγόντων ως εξής:P( z) αν( z z1 )( z z2) ...(z zν)Επομένως, η επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων στο γίνεται με τις ίδιες μεθόδουςπου χρησιμοποιούνται και στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.Στη συνέχεια θα περιοριστούμε σε πολυωνυμικές εξισώσεις με πραγματικούςμόνο συντελεστές.Έχουμε ήδη λύσει τη δευτεροβάθμια εξίσωση, η οποία, όπως είδαμε, έχει δύορίζες, οι οποίες, αν δεν είναι πραγματικές, είναι μιγαδικές συζυγείς. Ας λύσουμετώρα μία ανωτέρου βαθμού, για παράδειγμα την z3 3z3 5z 3 0 , που είναιπολυωνυμική τρίτου βαθμού. Με σχήμα Horner έχουμε:3 222z 3z 5z 3 0 ( z 2z 3)( z 1) 0 z 2z 3 0 ή z 1 0 .Όμως,2z 2z 3 0 z 12iή z 1 2i.Άρα, οι ρίζες της εξίσωσης είναι 1 2i, 1 2iκαι 1. Και στην περίπτωση αυτήπαρατηρούμε ότι οι μιγαδικές ρίζες της εξίσωσης είναι συζυγείς. Το συμπέρασμααυτό γενικεύεται για οποιαδήποτε πολυωνυμική εξίσωση με πραγματικούςσυντελεστές.ΘΕΩΡΗΜΑ 3Αν ο μιγαδικός αριθμός z0 α βiείναι ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσηςμε πραγματικούς συντελεστές, τότε και ο συζυγής του z0 α βiείναι ρίζατης εξίσωσης αυτής.ΑΠΟΔΕΙΞΗΜια πολυωνυμική εξίσωση, όπως γνωρίζουμε, έχει τη μορφή:Αφού ο αριθμόςνν1αν z αν1z α1z α0 0 , όπου α α ,..., με .z 00,1α να ν0είναι ρίζα της εξίσωσης, έχουμε κατά σειρά:ααανν1νz0 αν1z0 α1z0 α0νν1νz0 αν1z0 α1z0 α0νν1νz0 αν1z0 α1z0 a0νν1νz0 αν1z0 α1z0 α0α0000


2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 119νν1αν z0 αν1z0 α1z0 α0 0 , αφού α , α1,..., α ν Άρα, ο z 0είναι και αυτός ρίζα της εξίσωσης. ■0.ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 2π ν 2π ν1. Αν ω συν iημ, να αποδειχτεί ότι:2 3ν12 3 ν 1ν 1α) 1 ω ω ω ω 0 β) 1ωω ω ... ω ( 1).ΑΠΟΔΕΙΞΗν2 3ν11ω 11α) Έχουμε 1ω ω ω ... ω 01ω 1ωβ)1ωω2ω3...ων 1 ω ω123...(ν1)ν( ν1)2 2π2π συν iημ ν ν ν(ν1)22πν(ν 1)2πν(ν 1) συν iημ2ν2ν συν(ν 1)π iημ(ν 1)π (συνπ iημπ) ( 1)ν1ν122. Να λυθεί η εξίσωση x 2 συνθ x 1 0 . Αν x 1, x2είναι οι ρίζες της εξίσωσηςαυτής, να κατασκευαστεί εξίσωση 2ου βαθμού που να έχει ρίζες τιςν νx .x , 1 2ΛΥΣΗΈχουμε222Δ 4συν θ 4 4(συν θ 1) 4ημθ 0 . Επομένως,Η ζητούμενη εξίσωση θα είναι ηx2συνθ 2ημθi συνθiημθ.21,22 ν ν ν ν( 2 1 2x x x ) xx x0.


1202 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙΈχουμεκαιννx1 (συνθ iημθ) συν( νθ) iημ(νθ)καιν νx1 x2 συν( νθ) iημ(νθ) συν( νθ) iημ(νθ) 2συν( νθ)νννx2 (συνθ iημθ) [συν( θ) iημ(-θ)] συν(-νθ) iημ(-νθ) συν( νθ) iημ(νθ).Επομένως:ν νx1 x2 (συν( νθ) iημ(νθ))(συν(-νθ) iημ(-νθ) συν0 + iημ0 1Άρα, η ζητούμενη εξίσωση είναι η:2x 2συν( νθ)x 1 0 .3. Να αναλυθεί σε γινόμενο πολυωνύμων το πολυώνυμοΛΥΣΗ3 2P ( x) 3x 4x 5x 6 ,αν γνωρίζουμε ότι έχει ρίζα το μιγαδικό αριθμόΑφού τοP(x)έχει ρίζα τον αριθμό1 2i.x 1 2i, θα έχει ρίζα και το συζυγή του,0x 1 2i . Επομένως, το πολυώνυμο P(x) διαιρείται με το γινόμενο0( x) ( x x0)(x x0Q) , για το οποίο έχουμεQ( x) [ x (1 2i)][x (1 2i)] [( x 1) 2i][(x 1) 2i]22( x 1) ( 2i) x x2212x 2 2x 3 .Αν κάνουμε τη διαίρεση του πολυωνύμου P (x) με το πολυώνυμο Q(x), βρίσκουμεπηλίκο 3x 2 . Επομένως είναιΣΧΟΛΙΟ2P ( x) ( x 2x 3)(3x 2) .


2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 121Γενικά, όπως αναφέρθηκε και στην εισαγωγή, κάθε πολυώνυμο με πραγματικούςσυντελεστές μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιωνπαραγόντων με πραγματικούς συντελεστές, όπου οι δευτεροβάθμιοι παράγοντες(αν υπάρχουν) έχουν αρνητική διακρίνουσα.ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να λύσετε τις εξισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις στο μιγαδικόεπίπεδο:α) z 3 1β) z 4 1γ) z 6 1 .2. Να λύσετε τις εξισώσεις:3α) z iβ)γ) 5 55 z 243συν iημ . 6 6 3. Να λύσετε τις εξισώσεις:α)z2(1 ) β)23 iz 44 16συν iημ 3 34 z136 γ) z 64.24 i4. Να λύσετε τις εξισώσεις:α) z 3 3z2 4z 8 β) z4 5z2 4 0 .5. Αν ο μιγαδικός 2 i είναι ρίζα της εξίσωσης3 23x 10x 7x10 0 ,να βρείτε και τις άλλες ρίζες της.6. Αν w είναι μια κυβική ρίζα της μονάδος, με w 1, να βρείτε την τιμήτης παράστασης22( 1w w )(1 w w )7. Να λύσετε την εξίσωση2 3 4 51 x x x x x 0 .8. Να λύσετε την εξίσωση z3 3z2 3 z 9 0 και να δείξετε ότι οι εικόνεςτων ριζών είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου.


1222 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙΒ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να λύσετε τις εξισώσεις:333α) z 1 iβ) ( z 1) (1 i)(z 1) 0 .6 5 4 3 222. Να λύσετε την εξίσωση z 2z 2z 2z z ( z 1 ) 0 .73. Να λύσετε την εξίσωση z 1 0 και στη συνέχεια να βρείτε τα τριώνυμαμε πραγματικούς συντελεστές που είναι παράγοντες του πολυωνύμουz z z z z z 1 .6 5 4 3 24. Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών να βρείτε τις κοινές λύσεις των2 2 3εξισώσεων ( z 1) z z 0 και z16 2z14 1 0 .5. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z , για τους οποίους ισχύει7 3z z 1.ν6. Αν η εξίσωση ( 1iz)ν p(1 iz),*ν έχει πραγματική ρίζα, νααποδείξετε ότι | p | 1.27. Δίνεται η εξίσωση x 2 x 4 0 με ρίζες τις x1και x2.α) Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων x1 x2, x 1x 2και2 2x .1x22x x 2, να βρεί-2β) Αν η εξίσωση x px q 0 έχει ως ρίζες τιςτε τις τιμές τω ν p και q .1 και 28. α) Να λύσετε την εξίσωση22 συν θ z 2συνθ z (5 4συν θ) 0 , .2 2β) Να αποδείξετε ότι καθώς το μεταβάλλεται στο διάστημα , , οι εικόνες των λύσεων της εξίσωσης κινούνται σε μια 2 2 υπερβολή.8. Να λύσετε την εξίσωση9 5 4x x x 1 0 .


2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 123ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ( z 1)(z 1)1. Δίνεται η συνάρτηση f με f ( z)με z και Re( z ) 0 .z z 1 α) Να αποδείξετε ότι f f ( z). z β) Έστω α, β δυο (σταθεροί) πραγματικοί αριθμοί διαφορετικοί από το0. Να βρείτε το είδος της καμπύλης στην οποία ανήκουν τα σημείαM (x, y ) , με x 0 , για τα οποία οι μιγαδικοί αριθμοί z αx βyiικανοποιούν τη σχέση Re( f ( z)) 0 .2. Θεωρούμε τους μιγαδικούς z , w και w , για τους οποίους ισχύουν:w z zi και w 1 i 1, όπου α . Να δείξετε ότι αν το μεταβάλλεταιστο και ισχύει w w1, τότε η εικόνα P του z στο μιγα-*δικό επίπεδο κινείται σε μια υπερβολή.3. Θεωρούμε τους μιγαδικούς z λ 2 (3λ1)i,λ .α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού zβ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού w για τονοποίο ισχύει w z ( 1i)γ) Να βρείτε το μιγαδικό z που έχει την πλησιέστερη εικόνα στην αρχήO(0,0) .4. Να γραμμοσκιάσετε το τμήμα του μιγαδικού επιπέδου που ορίζουν οιεικόνες των μιγαδικών z , για τους οποίους ισχύει:α) | 2z 1| |z i | β) | z 1| 1Re( z).5. Να αποδείξετε ότι αν οι μιγαδικοί z 1, z2,..., zέχουν τις εικόνες τουςστο ίδιο ημιεπίπεδο μιας ευθείας που διέρχεται από την αρχή O (0,0),τότε ισχύει z z ... z 0 .1 2 16. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των λύσεων της εξίσωσης1είναι σημεία της ευθείας x .2(1 z) z7. Αν το τριώνυμο x 2 x με πραγματικούς συντελεστές και 0δεν έχει πραγματικές ρίζες, να αποδείξετε ότι:α) Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς κ και λ ισχύει


1242 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ22( )( ) 0 .β) Για οποιουσδήποτε συζυγείς μιγαδικούς z1και z2διαφορετικούςαπό τις ρίζες του τριωνύμου ισχύει επίσης22z z )( z z ) 0 .(1 12 28. Γνωρίζοντας ότι για τις νιοστές ρίζες της μονάδας 1,z1 , z2,..., z ν 1ι-σχύει z z .. 0 , να αποδείξετε τις ταυτότητες:11 2z ν 1α)2π4π6π2( ν 1)πημ ημ ημ ... ημ 0 ,ν ν ννβ)2π4π6π2( ν 1)πσυν συν συν ... συν 1.ν ν ννΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ1. Να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση:2 2(i) Αν στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών ισχύει u v 0 , τότε :Α. u 0Β. v 0Γ. u v 0Δ. Τίποτα από τα προηγούμενα.(ii) Ο αριθμός z 3 5i 10 3 5i 10 είναι:Α. Φανταστικός Β. ΜηδένΓ. Πραγματικός Δ. Τίποτα από τα προηγούμενα.2. Ποιες από τις επόμενες ισότητες αληθεύουν για κάθε μιγαδικό z :2 2Α. | z | |z | Β.Δ. z z z Ε.2z z z Γ.2 2z z .z z 2z3. Σύμφωνα με τη συνθήκη που ικανοποιούν οι μιγαδικοί z και αναφέρεταιστην πρώτη στήλη, να τους αντιστοιχίσετε στην ευθεία της δεύτερηστήλης που ανήκει η εικόνα τους:ΣυνθήκηΕυθείαA. z i z iα. x 1B. z 1 z 1β. yy


2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 125Γ. z 1 z iγ. y xδ. y xΔ. z 1 z iε. x x4. Να αντιστοιχίσετε κάθε μιγαδικό z της πρώτης στήλης στο όρισμάτου της δεύτερης στήλης:Μιγαδικός ( k >0 )ΌρισμαΑ. k kiα. -45 0Β. k kiβ. 225 0Γ. k kiγ. 45 0Δ. k kiδ. 180 0ε. 60 0ζ. 135 05. Να βάλετε σε κύκλο τις σωστές απαντήσεις.Ό αριθμός των πραγματικών ριζών μιας πολυωνυμικής εξίσωσης 5 ουβαθμού με πραγματικούς συντελεστές μπορεί να είναι:Α. 1 Β. 2 Γ. 3 Δ. 4 Ε. 5y6. Να γράψετε τους μιγαδικούςπου έχουν ως εικόνες τα σημείαΑ, Β, Γ και Δ του διπλανούσχήματος:Α:Β:BΓO45 0 AΔ1xΓ:Δ:7. Αν z είναι ο μιγαδικός που έχει ως εικόνα το Α, να αντιστοιχίσετε κάθεμιγαδικό της πρώτης στήλης στην εικόνα του που αναφέρεται στηδεύτερη στήλη και σημειώνεται στο παρακάτω σχήμα:


1262 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙΜιγαδικόςz121z zzΕικόναΒΓΔΕ zΖΗyB AΕΗ θO0.5 1 2 xΘ -θΖΓΔΘ


Β΄ ΜΕΡΟΣΑΝΑΛΥΣΗ


1OΡΙΟ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ1.1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙΤο σύνολο των πραγματικών αριθμώνΥπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται απότους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται με τα σημεία ενόςάξονα, τ ο υ ά ξ ο ν α τ ω ν π ρ α γ μ α τ ι κ ώ ν α ρ ι θ μ ώ ν. (Σχ. 1)13 e πx΄ 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 xΡητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφήα , όπου α, β ακέραιοι με β 0 . Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεταιβμε . Είναι, δηλαδή, α α,β ακέραιοι με β 0. βΥπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των ακέραιων αριθμών είναι το { , 3, 2, 1,0,1, 2, 3,...} ,ενώ το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι το {0,1, 2, 3,...} .Για τα σύνολα , ,και ισχύει:2 .Τα σύνολα { 0}, {0},{0}και {0 }* *τα συμβολίζουμε συντομότερα με , ,και*αντιστοίχως.*


1301 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΠράξεις και διάταξη στο Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσηςκαι του πολλαπλασιασμού και με τη βοήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Οιιδιότητες των πράξεων αυτών είναι γνωστές από προηγούμενες τάξεις. Στη συνέχειαορίστηκε η έννοια της διάταξης, οι σπουδαιότερες ιδιότητες της οποίαςείναι οι:1) Aν α β και β γ , τότεα γ2) α β α γ β γ3)α β αγ βγ , όταν γ 0ενώ.α β αγ βγ , όταν γ 04)Ανα β και γ δ ,α β και γ δ Aν και , α,β,γ,δ 0 τότετότεα γ β δαγ βδ.*5) Αν α,β 0 και ν , τότε ισχύει η ισοδυναμία:α β αν βνα6) 0 ( αβ 0 και β 0)β7) Aν αβ 0 , τότε ισχύει η ισοδυναμία1 1α β .α βΔιαστήματα πραγματικών αριθμών Αν α,β με α β , τότε ονομάζουμε διαστήματαμε άκρα τα α,β καθένα από τα παρακάτω σύνολα:( α,β) { x | α x β}:ανοικτό διάστημα[ α,β] { x | α x β}:κλειστό διάστημα[ α,β) { x |α x β}:κλειστό-ανοικτό διάστημα( α,β] { x |α x β}:ανοικτό-κλειστό διάστημα.aaaaββββ3


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 131 Αν α , τότε ονομάζουμε μη φραγμένα διαστήματα με άκρο το α καθένααπό τα παρακάτω σύνολα:4( α,) { x | x α}a[ α,) { x | x α}a( ,α) { x | x α}a( ,α] { x | x α}Υπό μορφή διαστήματος το σύνολο το συμβολίζουμε με ( , ).Τα σημεία ενός διαστήματος Δ, που είναι διαφορετικά από τα άκρα του, λέγονταιεσωτερικά σημεία του Δ.Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμούa| α | , ορίζε-Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α, που συμβολίζεται μεται ως εξής: α,| α | α,ανανα 0α 0Γεωμετρικά, η απόλυτη τιμή του α παριστάνει την απόσταση του αριθμού α απότο μηδέν,|a|x΄ 4 3 2 1 0 1 2 α 3 4 xενώ η απόλυτη τιμή του α β παριστάνει την απόσταση των αριθμών α και β.|aβ|x΄ 4 3 β 2 1 0 1 α 2 3 4 xΜερικές από τις βασικές ιδιότητες της απόλυτης τιμής είναι οι εξής:2 221) | α | α2) α | α |563) | αβ | |α | |β | 4)α | α | β | β |5) | α | | β | |α β | |α | | β | 6) | x x δ x δ x x δ , δ 00|00


1321 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΕΦΑΡΜΟΓΗΝα γραφούν υπό μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων τα σύνολα:i) 1 A x | 1ii) x 1 A x| 2 1. x ΛΥΣΗi) Eίναι11 10 1xxx 1 0 x x ( x 1) 0 και x 0Άρα A ( ,0)[1,).ii) Είναι x 0 ή x 1.11 2 1 1 2 1xx11 3 x11 x .3Άρα 1 A , 1 . 3 1.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣΗ έννοια της πραγματικής συνάρτησηςΗ έννοια της συνάρτησης είναι γνωστή από προηγούμενες τάξεις. Στην παράγραφοαυτή υπενθυμίζουμε τον ορισμό της πραγματικής συνάρτησης με πεδίοορισμού ένα υποσύνολο του , επαναλαμβάνουμε γνωστές έννοιες και τέλοςορίζουμε πράξεις μεταξύ των πραγματικών συναρτήσεων.ΟΡΙΣΜΟΣ


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 133Έστω Α ένα υποσύνολο του . Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίοορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f , με την οποία κάθε στοιχείο x Aαντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της fστο x και συμβολίζεται με f (x) .Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε:f : A x f (x) .— Το γράμμα x, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητημεταβλητή, ενώ το γράμμα y, που παριστάνει την τιμή της f στο x, λέγεταιεξαρτημένη μεταβλητή.— Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f συνήθως συμβολίζεται με D f.— Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα x A , λέγεταισύνολο τιμών της f και συμβολίζεται με f (A) . Είναι δηλαδή:ΠΡΟΣΟΧΗf ( A) { y | y f ( x)για κάποιο x A}.Στα επόμενα και σε όλη την έκταση του βιβλίου :— Θα ασχοληθούμε μόνο με συναρτήσεις που έχουν πεδίο ορισμού διάστημαή ένωση διαστημάτων.— ΄Οταν θα λέμε ότι “Η συνάρτηση f είναι ορισμένη σ’ ένα σύνολο Β”, θαεννοούμε ότι το Β είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της. Στην περίπτωσηαυτή με f (B) θα συμβολίζουμε το σύνολο των τιμών της f σε κάθε x B .Είναι δηλαδή:Συντομογραφία συνάρτησηςf ( B) { y | y f ( x)για κάποιο x B}.Είδαμε παραπάνω ότι για να οριστεί μια συνάρτηση, f αρκεί να δοθούν δύοστοιχεία: το πεδίο ορισμού της και η τιμή της,f (x) , για κάθε x του πεδίου ορισμού της.Συνήθως, όμως, αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση f δίνοντας μόνο τον τύπο μετον οποίο εκφράζεται το f (x) . Σε μια τέτοια περίπτωση θα θ ε ω ρ ο ύ μ ε σ υμβ α τ ι κ ά ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο όλων των πραγματικώναριθμών x, για τους οποίους το f (x) έχει νόημα. Έτσι, για παράδειγμα, αντί ναλέμε “δίνεται η συνάρτηση f :( ,2] , με f ( x) 4 2x” θα λέμε “δίνεται


1341 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣη συνάρτηση f με τύπο f ( x) 4 2x” ή, πιο απλά, “δίνεται η συνάρτησηf ( x) 4 2x”, ή “δίνεται η συνάρτηση y 4 2x”.ΕΦΑΡΜΟΓΗΠοιo είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f με τύπο:i)ΛΥΣΗ2x 3x 2f ( x) ii) f ( x) 1 lnxxi) H συνάρτηση f ορίζεται, όταν και μόνο όταν2x 3x 2 0 και x 0 .2Το τριώνυμο όμως x 3x 2 έχει ρίζες τους αριθμούς 1 και 2. Έτσι, η ανίσωση2x 3x 2 0 αληθεύει, όταν και μόνο ότανx 1 ή x 2 .Επομένως, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A ( ,0) (0,1] [2,).ii) Η συνάρτηση f ορίζεται, όταν και μόνο ότανΕίναι όμως1 ln x 0 .1ln x 0 ln x 1 ln x ln e 0 x e .Επομένως, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A ( 0, e].Γραφική παράσταση συνάρτησηςΈστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Oxy ένα σύστημα συντεταγμένωνστο επίπεδο. Το σύνολο των σημείων M (x, y) για τα οποία ισχύει y f (x),δηλαδή το σύνολο των σημείων M ( x,f ( x)) , x A , λέγεται γραφική παράστασητης f και συμβολίζεται συνήθως με C f. Η εξίσωση, λοιπόν, y f (x) επαληθεύεταιμόνο από τα σημεία της C f. Επομένως, η y f (x) είναι η εξίσωσητης γραφικής παράστασης της f.


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 135Επειδή κάθε x A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο y , δεν υπάρχουν σημεία τηςγραφικής παράστασης της f με την ίδια τετμημένη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε κατακόρυφηευθεία έχει με τη γραφική παράσταση της f το πολύ ένα κοινό σημείο(Σχ. 7α).Έτσι, ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης (Σχ. 7β).yy 7C fCOΑ(a)xO x(β)΄Οταν δίνεται η γραφική παράστασηC fμιας συνάρτησης f, τότε:α) Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της. C fβ) Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο f (A) των τεταγμένων των σημείωντης .C fγ) Η τιμή της f στο x 0 A είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείαςx και της C (Σχ. 8).x 0fyyyx=x 08C ff(Α)C ff(x 0 )C fA(x 0 ,f(x 0 ))OΑ(α)xO(β)xO(γ)x 0xΌταν δίνεται η γραφική παράστασηC f, μιας συνάρτησης f μπορούμε, επίσης,να σχεδιάσουμε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και | f | .


1361 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣα) Η γραφική παράστασης της συνάρτησης f είναι συμμετρική, ως προςτον άξονα xx , της γραφικής παράστασηςτης f, γιατί αποτελείται από τασημεία M (x, f (x))που είναι συμμετρικάτων M (x, f ( x)), ως προς τον ά-ξονα xx . (Σχ. 9).yOΜ(x,f(x))Μ΄(x,f(x))9y=f(x)xy=f(x)β) Η γραφική παράσταση της | f | αποτελείταιαπό τα τμήματα της C fπουβρίσκονται πάνω από τον άξονα x xκαι από τα συμμετρικά, ως προς τονάξονα xx, των τμημάτων της Cfπουβρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν.(Σχ. 10).yy=| f(x)|O10y=f(x)xΜερικές βασικές συναρτήσειςΣτην παράγραφο αυτή δίνουμε τις γραφικές παραστάσεις μερικών βασικών συναρτήσεων,τις οποίες γνωρίσαμε σε προηγούμενες τάξεις.Η πολυωνυμική συνάρτησηf ( x) αx β11yyyO xO xO xa>0a0O xα


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1373Η πολυωνυμική συνάρτηση f ( x) αx , α 0 .yy13O xO xα>0α0Οι συναρτήσειςα


1381 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΟι τριγωνικές συναρτήσεις :y1f ( x) ημx, f ( x) συνx, f ( x) εφx16Oπ2πx1y1y=ημx(α)Oπ2πx1yy=συνx(β)π/2 Oπ/23π/2xy=εφx(γ)Υπενθυμίζουμε ότι, οι συναρτήσεις f ( x) ημxκαι f ( x) συνx είναι περιοδικέςμε περίοδο T 2π, ενώ η συνάρτηση f ( x) εφxείναι περιοδική με περίοδοT π .xΗ εκθετική συνάρτηση f ( x) α , 0 α 1 .yy17α1O 1 x1αO 1 xα>1(α)0


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 139Υπενθυμίζουμε ότι:xαν α 1 , τότε:1 x2α α x x 12ενώxαν 0 α 1 , τότε: 1 x2α α x x 12.Η λογαριθμική συνάρτησηf ( x) log x , 0 α 1αyy181O 1 αx11O αxα>1(α)0


1401 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΕΦΑΡΜΟΓΗΝα παραστήσετε γραφικά κάθε μια από τις παρακάτω συναρτήσεις:i) f ( x)|x | , ii)11g(x) , iii) h(x) .| x || x - 1 |ΛΥΣΗi) Αρχικά παριστάνουμε γραφικά τη συνάρτησηφ( x) x και έπειτα την f ( x) | φ(x)| .y 19y=|x| y=xO xy20ii) Αρχικά παριστάνουμε γραφικά τη συνάρτηση1φ( x) και έπειτα την g( x) | φ(x)| .xy 1|| xy 1xO xiii)Επειδήh ( x) g(x 1),η γραφική παράστασητης h προκύπτει, αν μετατοπίσουμε τη γραφικήπαράσταση της g κατά μία μονάδαπρος τα δεξιά.yy 1|| x1y | x 1|121Ισότητα συναρτήσεωνΈστω οι συναρτήσεις:O 1xΠαρατηρούμε ότι:3x xf ( x) και g( x) x .x21


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 141— οι συναρτήσεις f και g έχουν κοινό πεδίο ορισμού το σύνολο A και— για κάθε x A ισχύει f ( x) g(x), αφού32( x x x(x 1)f x) x g(x).2x 1x2 1Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες. Γενικά:OΡΙΣΜΟΣΔύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθεx A ισχύει f ( x) g(x).Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες γράφουμε f g .Έστω τώρα f, g δύο συναρτήσεις με πεδίαορισμού Α, Β αντιστοίχως και Γ ένα υποσύνολοτων Α και Β. Αν για κάθε x Γισχύει f ( x) g(x), τότε λέμε ότι οι συναρτήσειςf και g είναι ίσες στο σύνολοΓ. (Σχ. 22)Για παράδειγμα, οι συναρτήσεις2x 1f ( x) και x 12x xg( x) ,xyΟ Γαντιστοίχως, εί-που έχουν πεδία ορισμού τα σύνολα A {1 } και B {0 }ναι ίσες στο σύνολο Γ {0,1} , αφού για κάθε x Γ ισχύειΠράξεις με συναρτήσειςΈστω οι συναρτήσειςκαι οιf ( x) g(x) x 1.f ( x) 1x , g(x) xφ1 ( x) 1 x x , φ2 ( x) 1 x x , φ ( x) 1 x xΠαρατηρούμε ότι:3,BA22xφ ( x) 1x4.α) Το πεδίο ορισμού των φ 1,φ 2και φ3είναι το σύνολο [0,1], που είναι η τομήτων πεδίων ορισμού A ( ,1] και B [ 0, )των f, g, ενώ το πεδίο ορισμούτης φ 4 είναι το σύνολο (0,1], που είναι η τομή των Α, Β αν εξαιρέσουμε τα xγια τα οποία ισχύει g(x) 0 , καιx


1421 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣβ) φ ( x) f ( x) g() , φ ( x) f ( x) g() , φ ( x) f ( x) g() ,1x2x3xf ( x)φ4( x) .g(x)1 2,Τις συναρτήσεις φ , φ φ και τις λέμε άθροισμα, διαφορά, γινόμενο και πηλίκοαντιστοίχως των f , g . Γενικά:3φ 4Ορίζουμε ως άθροισμα f g , διαφορά f - g , γινόμενο fg και πηλίκοσυναρτήσεων f, g τις συναρτήσεις με τύπους( f g)(x) f ( x) g(x)( f g)(x) f ( x) g(x)( fg)(x) f ( x)g(x)fgδύοfg(x)f ( x).g(x)Το πεδίο ορισμού των f g ,f g και fg είναι η τομήA B των πεδίων ορισμούΑ και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού τηςfείναι το A B , εξαιρουμένων των τιμών του x που μηδενίζουν τον παρονο-gμαστήg(x) , δηλαδή το σύνολοΣύνθεση συναρτήσεων{ x | x A και x B , με g ( x) 0}.Έστω η συνάρτηση φ ( x) x 1. Η τιμή της φ στο x μπορεί να οριστεί σε δύοφάσεις ως εξής:α) Στο x αντιστοιχίζουμε τον αριθμό y x 1και στη συνέχειαβ) στο y x 1 αντιστοιχίζουμε τον αριθμό y x 1, εφόσον y x 1 0 .gf23fgxy=x1y x1Στη διαδικασία αυτή εμφανίζονται δύο συναρτήσεις:α) η f ( x) x 1, που έχει πεδίο ορισμού το σύνολο A (α΄ φάση) καιβ) η g( y) y , που έχει πεδίο ορισμού το σύνολο B [ 0, )(β΄ φάση).Έτσι, η τιμή της φ στο x γράφεται τελικά


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 143φ( x) g(f ( x)).Η συνάρτηση φ λέγεται σύνθεση της f με την g και συμβολίζεται με gof .Το πεδίο ορισμού της φ δεν είναι ολόκληρο το πεδίο ορισμού Α της f, αλλά περιορίζεταιστα x A για τα οποία η τιμή f (x)ανήκει στο πεδίο ορισμού Β τηςg, δηλαδή είναι το σύνολοΟΡΙΣΜΟΣA1 [1, ). Γενικά:Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμεσύνθεση της f με την g, και τη συμβολίζουμε με gof , τη συνάρτησημε τύπο( gof )( x) g(f ( x)).Aff(A)f(x)Bg(B)24xgfgg( f(x))A 1Το πεδίο ορισμού τηςgofαποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμούτης f για τα οποία τοτο σύνολοf (x)ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναιA { x A | f ( x) }.1BΕίναι φανερό ότι ηgofορίζεται ανA , δηλαδή αν f ( A) B .1ΠΡΟΣΟΧΗΣτη συνέχεια και σε όλη την έκταση του βιβλίου, θα ασχοληθούμε μόνο με συναρτήσειςπου οι συνθέσεις τους έχουν πεδίο ορισμού διάστημα ή ένωση διαστημάτων.ΕΦΑΡΜΟΓΗΈστω οι συναρτήσειςf ( x) lnxκαι g( x) x . Να βρείτε τις συναρτήσεις:i) gofii) fog .


1441 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΛΥΣΗΗ συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το D ( 0, ), ενώ η g το [ 0. ).i) Για να ορίζεται η παράσταση g( f ( x))πρέπει:fD gή, ισοδύναμα,δηλαδή πρέπειx D f και f x) Dg x 0 x 0 x 0 f ( x) 0 lnx 0 x 1x 1. Επομένως, ορίζεται η gof και είναι( (1)x 1,( gof )( x) g(f ( x)) g(lnx) ln x , για κάθε x [ 1).ii) Για να ορίζεται η παράστασηf ( g(x))πρέπει:x D gκαι g(x) Dfή, ισοδύναμα, x 0 g(x) 0x 0x 0x 0 x 0x 0 ,δηλαδή πρέπειx 0 . Επομένως,ορίζεται η fog και είναι( fog)(x) f ( g(x)) f ( x ) ln x , για κάθε x ( 0 ).ΣΧΟΛΙΑ Στην παραπάνω εφαρμογή παρατηρούμε ότι gof fog . Γενικά, αν f, g είναιδύο συναρτήσεις και ορίζονται οι gof και fog , τότε αυτές δ ε ν ε ί ν α ι υ π οχ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες. Αν f , g,h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ho(gof ) , τότε ορίζεται καιη (hog)ofκαι ισχύειho ( gof ) ( hog)of .Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των f, g και h και τη συμβολίζουμε μεhogof . Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρειςσυναρτήσεις.


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 145ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων;i)iii)x 23f ( x) , ii) f ( x) x 1 2 x2x 3x 221xxf ( x) iv) f ( x) ln(1 e )x2. Για ποιές τιμές του x η γραφική παράσταση της συνάρτησης fβρίσκεται πάνω από τον άξονα x x , όταν:2i) f ( x) x 4x 3 , ii)1 xf ( x) , iii) f ( x) ex 1.1 x3. Για ποιές τιμές του x η γραφική παράσταση της συνάρτησης fβρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, όταν:3i) f ( x) x 2x1και g ( x) x 132ii) f ( x) x x 2 και g(x) x x 2 .4. Οι ανθρωπολόγοι εκτιμούν οτι το ύψος του ανθρώπου δίνεται από τιςσυναρτήσεις:A ( x) 2,89x 70,64 (για τους άνδρες) καιΓ ( x) 2,75x 71,48 (για τις γυναίκες)όπου x σε εκατοστά, το μήκος του βραχίονα. Σε μία ανασκαφή βρέθηκεένα οστό από βραχίονα μήκους 0,45 m.α) Αν προέρχεται από άνδρα ποιο ήταν το ύψος του;β) Aν προέρχεται από γυναίκα ποιο ήταν το ύψος της;5. Σύρμα μήκους 20 cm κόβεται σε δύο κομμάτια με μήκη x cm και( 20 x)cm. Με το πρώτο κομμάτι σχηματίζουμε τετράγωνο και με τοδεύτερο ισόπλευρο τρίγωνο. Να βρείτε το άθροισμα των εμβαδών τωνδύο σχημάτων ως συνάρτηση του x.6. Nα παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση:


1461 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ| x |i) f ( x) 1, ii) f ( x) x | x | ,xx 3 , x 1iii) f ( x) iv) f ( x) | ln x | . x 1, x 1Και από τη γραφική παράσταση να προσδιορίσετε το σύνολο των τιμώντης f σε καθεμιά περίπτωση.7. Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f g .Στις περιπτώσεις που είναιf g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατόυποσύνολο του στο οποίο ισχύει f ( x) g(x).i)ii)2f ( x) x και2x 1f ( x) και2x |x |g( x) ( x)21g(x) 1| x |x 1iii) f ( x) και g ( x) x 1.x 18. Δίνονται οι συναρτήσεις1xf ( x) 1και g( x) .x1 xΝα βρείτε τις συναρτήσειςff g, f g,fg και . g9. Ομοίως για τις συναρτήσεις1f ( x) x καιx1g( x) x .x10. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση gof , αν2i) f ( x) x και g( x) x , ii) f ( x) ημxκαιg( x) 1x2iii)πf ( x) και g( x) εφx.411. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x) x 2 1και g ( x) x 2 . Να προσδιορίσετετις συναρτήσεις gof και fog .12. Να εκφράσετε τη συνάρτηση f ως σύνθεση δύο ή περισσοτέρων συναρτήσεων,ανi) ( ) ημ( x 2 2f x 1), ii) f ( x) 2ημ 3x 1


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1472x2iii) f ( x) ln( e 1), iv) f ( x) ημ (3x).B΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράστασηείναι:i)yii)2yiii)y1O12xO12x1O1234x2. Ένα κουτί κυλινδρικού σχήματος έχει ακτίνα βάσης x cm και όγκο628 cm 3 . Το υλικό των βάσεων κοστίζει 4 δρχ. ανά cm 2 , ενώ το υλικότης κυλινδρικής επιφάνειας 1,25 δρχ. ανά cm 2 . Να εκφράσετε το συνολικόκόστος ως συνάρτηση του x. Πόσο κοστίζει ένα κουτί με ακτίναβάσης 5 cm, και ύψος 8 cm;3. Στο διπλανό σχήμα είναιAB 1, ΑΓ 3 και ΓΔ 2 .Να εκφράσετε το εμβαδόντου γραμμοσκιασμένου χωρίουως συνάρτηση τουx AM , όταν το Μ διαγράφειτο ευθύγραμμο τμήμαΑΓ.Ε ΔΝAxM BΓ4. Ένα ορθογώνιο ΚΛΜΝ ύ-ψους x cm είναι εγγεγραμμένοσε ένα τρίγωνο ΑΒΓβάσης BΓ 10 cm και ύ-ΑΔ 5 cm. Να εκ-N Ε Μψουςφράσετε το εμβαδό Ε καιτην περίμετρο Ρ του ορθογωνίουως συνάρτηση τουx.5. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση:i)| x 1||x 1|f ( x), ii)2BxKAΔημx|ημx|f ( x) , x [ 0,2π].2Aπό τη γραφική παράσταση της f να προσδιορίσετε το σύνολο τιμώντης σε καθεμιά περίπτωση.6. Να βρείτε συνάρτηση f τέτοια, ώστε να ισχύει:ΛxΓ


1481 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ2i) ( fog)(x) x 2x 2 , αν g ( x) x 1ii)( fog)(x)x2 1, ανg( x) x2iii) ( gof )( x)|συνx| , ανg( x)x2 1.7. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x) x 1και g ( x) αx 2 . Για ποια τιμήτουα ισχύει fog gof .8. Δίνονται οι συναρτήσεις:αx β2f ( x) , με β α και g ( x) x 2 x 1.x αΝα αποδείξετε ότια) f ( f ( x)) x , για κάθε x {α}καιβ) g( g(x)) x , για κάθε x [0,1].9. Οι πολεοδόμοι μιας πόλης εκτιμούν ότι, όταν ο πληθυσμός Ρ της πόληςείναι x εκατοντάδες χιλιάδες άτομα, θα υπάρχουν στην πόλη2N 10 2( x x)χιλιάδες αυτοκίνητα. Έρευνες δείχνουν ότι σε t έτηαπό σήμερα ο πληθυσμός της πόλης θα είναι t 4 εκατοντάδες χιλιάδεςάτομα.i) Να εκφράσετε τον αριθμό Ν των αυτοκινήτων της πόλης ως συνάρτησητου t.ii) Πότε θα υπάρχουν στην πόλη 120 χιλιάδες αυτοκίνητα.;1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΜονοτονία συνάρτησης Οι έννοιες “γνησίως αύξουσα συνάρτηση”, “γνησίως φθίνουσα συνάρτηση”είναι γνωστές από προηγούμενη τάξη. Συγκεκριμένα, μάθαμε ότι:ΟΡΙΣΜΟΣΜια συνάρτηση f λέγεται (1) :(1) Μια συνάρτηση f λέγεται, απλώς,:


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 149 γνησίως αύξουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν γιαοποιαδήποτε x x Δ με x ισχύει:1, 21x2f x ) f ( ) (Σχ. α)(1x2 γνησίως φθίνουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν γιαοποιαδήποτε x x Δ με x ισχύει:1, 21x2f x ) f ( ) (Σχ. β)(1x2yf(x 2 )f(x 1 )yf(x 1 )f(x 2 )25Οx 2x 1 xΔ(a)x 1 Ο x 2Για να δηλώσουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα)σε ένα διάστημα Δ, γράφουμε f Δ (αντιστοίχως f Δ).2Για παράδειγμα, η συνάρτηση f ( x) x :— είναι γνησίως αύξουσα στο [ 0, ) , αφού για0 x x12έχουμεx2 21 x2, δηλαδήf ( x1) f ( x2)— είναι γνησίως φθίνουσα στο ( ,0], αφού γιαx1 x2 0 έχουμε 0 x2 0 x x2221, δηλαδήx 1, οπότεΔy(β)y=x 2xO xf ( x1) f ( x2) .Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ’ ένα διάστημαΔ του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η f είναι γνησίως μονότονηστο Δ. Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της f είναι ένα διάστημα Δ και ηf είναι γνησίως μονότονη σ’ αυτό, τότε θα λέμε, απλώς, ότι η f είναι γνησίωςμονότονη.Ακρότατα συνάρτησης26 αύξουσα σ’ ένα διάστημα Δ, όταν για οποιαδήποτε x x Δ με x ισχύει1 , 21 x2f ( x1) f ( x2). φθίνουσα σ’ ένα διάστημα Δ, όταν για οποιαδήποτε x x Δ με x ισχύειf ( x1) f ( x2).1 , 21 x2


1501 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΟι έννοιες “μέγιστο”, “ελάχιστο”, συνάρτησης είναι και αυτές γνωστές από προηγούμενεςτάξεις. Συγκεκριμένα μάθαμε ότι:ΟΡΙΣΜΟΣΜια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο x A (ολικό) μέγιστο, το f x , όταν0( 0)f x) f ( x ) για κάθε x A (Σχ. 27α)(0 Παρουσιάζει στο x A (ολικό) ελάχιστο, το f x , όταν0( 0)f x) f ( x ) για κάθε x A (Σχ. 27β).(0yy27f(x 0 )f(x)f(x)C ff(x 0 )Oxx 0xOx 0xx(a)C f(β)Για παράδειγμα:— Η συνάρτηση f ( x) x2 1(Σχ. 28α) παρουσιάζει μέγιστο στο x 0 0 , τοf ( 0) 1, αφού f ( x) f (0) για κάθε x .— Η συνάρτηση f ( x)|x 1|(Σχ. 28β) παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0 1, τοf ( 1) 0 , αφού f ( x) f (1) για κάθεx .y1yy=|x1|28y=x 2 +1O xO 1 x(γ)(δ)


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 151— Η συνάρτηση f ( x) ημx(Σχ. 29α) παρουσιάζει μέγιστο, το y 1, σε καθέναπαπό τα σημεία 2kπ , k και ελάχιστο, το y 1, σε καθένα από τα σημεία2kπ , k , αφού 1 ημx 1 για κάθε x .2π23— Η συνάρτηση f ( x) x (Σχ. 29β) δεν παρουσιάζει ούτε μέγιστο, ούτε ελάχιστο,αφού είναι γνησίως αύξουσα.y29y1y=ημxy=x 3π/21Oπ/2 π(ε)3π/22π 5π/2x O xΌπως είδαμε και στα προηγούμενα παραδείγματα, άλλες συναρτήσεις παρουσιάζουνμόνο μέγιστο, άλλες μόνο ελάχιστο, άλλες και μέγιστο και ελάχιστο καιάλλες ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο.Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης f λέγονται (ολικά)ακρότατα της f.(στ)Συνάρτηση 11Έστω η συνάρτησηοποιαδήποτε“Aνxπου σημαίνει ότι:1, x21f ( x) Παρατηρούμε ότι γιαx0 ισχύει η συνεπαγωγή:x1 x 2, τότε f ( x 1) f ( x 2) ”,“Τα διαφορετικά στοιχεία x 1, x 2 Dfέχουν πάντοτεδιαφορετικές εικόνες”.Λόγω της τελευταίας ιδιότητας η συνάρτηση1f ( x) λέγεται συνάρτηση 1 1 (ένα προς ένα). Γενικά:xΟΡΙΣΜΟΣyy 1 30xf(x 1 )f(x 2 )x 1x 2O xΜια συνάρτηση f : A λέγεται συνάρτηση 1 1 , όταν για οποιαδήποτεx 1, x 2 A ισχύει η συνεπαγωγή:αν x1 x2, τότε f ( x1 ) f ( x2) .


1521 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΜε απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται ότι:Μια συνάρτησηf : A είναι συνάρτηση 1 1 , αν και μόνο αν για οποιαδήποτεx1,x A ισχύει η συνεπαγωγή:Έτσι για παράδειγμα:2αν f ( x1 ) f ( x2) , τότε x1 x2.— Η συνάρτηση f ( x) αx β , με α 0 είναι συνάρτηση 1 1. (Σχ. 31α, β)f(x 2 )f(x 1 )yf(x 1 )f(x 2 )yβy31O x 1 x 2 xx 1x 2O xx 2O x 1 x(γ)(a)αφού, αν υποθέσουμε ότι f x ) f ( ) , τότε έχουμε διαδοχικά:(1x2αxβ αx(β)12αx1 αx 2x1 x 2. β— Η συνάρτηση f ( x) β δεν είναι συνάρτηση 1-1 (Σχ. 31γ), αφού f ( x 1) f ( x 2) β για οποιαδήποτεx 1, x 2 ,— Η συνάρτηση2f ( x) x (Σχ. 32) δεν είναι συνάρτηση1 1, αφού f ( 1) f (1) 1 αν και είναι1 1.ΣΧΟΛΙΑy 32y=x 2 11 O 1 x Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση f είναι 11, αν καιμόνο αν:— Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f ( x) y έχει ακριβώςμια λύση ως προς x.— Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη.Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση τηςf το πολύ σε ένα σημείο (Σχ. 33α).


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 153yy33Ax 1BOσυνάρτηση 1-1xO x 2συνάρτηση όχι 1-1x Αν μια συνάρτηση είναι γνησί ως μονότονη,τότε προφανώς, είναι συνάρτηση " 1 1".Έτσι, οι συναρτήσεις f1 ( x) αx β , α 0 ,3f2( x) αx , 0f4( x) logαxα , f ( x) α , 0 α 1 και3x , 0 α 1, είναι συναρτήσεις1 1 . Υπάρχουν,όμως, συναρτήσεις που είναι1 1 αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες,όπως για παράδειγμα η συνάρτηση x , x 0g ( x) 1(Σχ. 34)., x 0 xΑντίστροφη συνάρτησηyy=g(x)34O x Έστω μια συνάρτηση f : A . Αν υποθέσουμεότι αυτή είναι 1 1,τότε για κάθε στοιχείοy του συνόλου τιμών, f (A), της f υπάρχει μοναδικόστοιχείο x του πεδίου ορισμού της Α γιατο οποίο ισχύει f ( x) y . Επομένως ορίζεται μιασυνάρτησηg : f ( A) με την οποία κάθεy f (A)αντιστοιχίζεται στομοναδικό x A για το οποίο ισχύει f ( x) y .y=f(x)yO x35xΑπό τον τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι:— έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών f (A)τηςf,— έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f και— ισχύει η ισοδυναμία:f ( x) y g(y) x .


1561 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ1 y 12x ln , y 1.3 2 3Επομένως,11 y 12f ( y) ln , y 1, οπότε η αντίστροφη της f είναι η συ-3 2 311 x 12f ( x) ln , x 1 .3 2 3νάρτησηΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Nα βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσεςκαι ποιες γνησίως φθίνουσεςi) f ( x) 1xii) f ( x) 2ln( x 2) 11xiii) f ( x) 3e1iv) f ( x) ( x 1)2 1,x 1 .2. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι " 1 1"και γιακαθεμία απ’ αυτές να βρείτε την αντίστροφή τηςi) f ( x) 3x 2v) f ( x) ln(1 x)ii) f ( x) x 2 1vi) f ( x) e x 1iii) f ( x) ( x 1)(x 2) 1vii)xe 1f ( x)e x1iv) f ( x) 3 1xviii) f ( x)|x 1|.3. Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f , g,φ και ψ .yyy=f(x)y=g(x)O xO x


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 159Από τα παραπάνω σχήματα παρατηρούμε ότι:— Για να αναζητήσουμε το όριο της f στο , πρέπει η f να ορίζεται όσο θέλουμε“κοντά στο x 0”, δηλαδή η f να είναι ορισμένη σ’ ένα σύνολο της μορφήςα,x ) ( x , ) ή α , x ) ή ( x 0, β).(0 0β(0— Το x 0μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης (Σχ. 39α, 39β) ήνα μην ανήκει σ’ αυτό (Σχ. 39γ).— Η τιμή της f στο , όταν υπάρχει, μπορεί να είναι ίση με το όριό της στοx 0x 0(Σχ. 39α) ή διαφορετική από αυτό. (Σχ. 39β). Έστω, τώρα, η συνάρτηση x 1,f ( x) x 5,x 1,x 1της οποίας η γραφική παράσταση αποτελείται απότις ημιευθείες του διπλανού σχήματος.Παρατηρούμε ότι:— Όταν το x προσεγγίζει το 1 από αριστερά( x 1) , τότε οι τιμές της f προσεγγίζουν όσο θέλουμετον πραγματικό αριθμό 2. Στην περίπτωσηαυτή γράφουμε:x 0lim f ( x) 2 .x14f(x)2f(x)y40O x 1 x x— ΄Οταν το x προσεγγίζει το 1 από δεξιά ( x 1) , τότε οι τιμές της f προσεγγίζουνόσο θελουμε τον πραγματικό αριθμό 4. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε:Γενικά:lim f ( x) 4 .x1— ΄Οταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικόαριθμό 1, καθώς το x προσεγγίζει το x0από μικρότερες τιμές ( x x0) , τότεγράφουμε:lim f ( x) xx0και διαβάζουμε:“το όριο της (x) , όταν το x τείνει στο από τα αριστερά, είναι ”.1f x01— ΄Οταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικόαριθμό 2, καθώς το x προσεγγίζει το x0από μεγαλύτερες τιμές ( x x0) , τότεγράφουμε:lim f ( x) και διαβάζουμε:xx02


1601 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ“το όριο της (x) , όταν το x τείνει στο από τα δεξιά, είναι ”.f x02yyyf(x 0 )41 2f(x) 2f(x) 2f(x) 1f(x)O x x 0 x x(a)Τους αριθμούς 1f(x)O x x 0 x x(β) 1f(x)O x x 0 x x(γ) lim f ( ) και lim f ( ) τους λέμε πλευρικά όρια της f1xxx02xxx0στο και συγκεκριμένα το αριστερό όριο της f στο , ενώ το δεξιόx01x02όριο της f στο x 0.Από τα παραπάνω σχήματα φαίνεται ότι:limxx0f ( x) , αν και μόνο αν lim f ( x) lim f ( x) xx0xx0Για παράδειγμα, η συνάρτησηδεν έχει όριο στοx 0 0 , αφού:| x |f ( x)x(Σχ. 42)x— για x 0 είναι f ( x) 1, οπότε lim f ( x) 1xενώx0x— για x 0 είναι f ( x) 1, οπότε lim f ( x) 1xx0,,yf(x)=1xO1= f(x)42x xκαι έτσιlimx0f ( x)limx0f ( x)Ορισμός του ορίου στοx0 Στα προηγούμενα γνωρίσαμε την έννοια του ορίου διαισθητικά. Είδαμε ότι,όταν γράφουμε lim f ( x) , εννοούμε ότι οι τιμές f (x) βρίσκονται όσο θέ-xx0λουμε κοντά στο , για όλα τα x x 0τα οποία βρίσκονται “αρκούντως κοντάστο x 0”. Για να διατυπώσουμε, τώρα, τα παραπάνω σε μαθηματική γλώσσα εργαζόμαστεως εξής:


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 161— Στη θέση της φράσης “οι τιμές f (x) βρίσκονταιοσοδήποτε θέλουμε κοντά στο ”χρησιμοποιούμε την ανισότητα| f ( x) | ε , (1)όπου ε οποιοσδήποτε θετικός αριθμός.— Στη θέση της φράσης “για όλα τα x x0που βρίσκονται αρκούντως κοντά στο x 0”χρησιμοποιούμε την ανισότητα0 | x x0 | δ , (2)yy=f(x)ε43f(x)εO x 0 x xx 0 δ x 0 +δόπου δ είναι ένας αρκούντως μικρός θετικός αριθμός. (Η ανισότηταδηλώνει ότιx x 0) .0 |x x0|— Για να συνδέσουμε τις δυο αυτές φράσεις σύμφωνα με τον διαισθητικό ορισμόλέμε ότι για οποιονδήποτε θετικό αριθμό ε μπορούμε να βρούμε έναν θετικόαριθμό δ τέτοιον ώστε, αν το x ικανοποιεί τη (2), τότε το f (x) θα ικανοποιείτην (1). Έχουμε δηλαδή τον ακόλουθο ορισμό:ΟΡΙΣΜΟΣΈστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής α,x ) ( x , ) .Θα λέμε ότι η f έχει στοτοιος, ώστε για κάθεx0όριοx ( α, x0) (x 0, β), με(0 0β , όταν για κάθε ε 0 υπάρχει δ 0 τέ-| f ( x) | ε0 | x x0 | δ , να ισχύει:Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση f έχει όριο στο, τότε αυτό είναι μοναδικόκαι συμβολίζεται, όπως είδαμε, με lim f ( x).xx 0x 0Στη συνέχεια, όταν γράφουμεf στο x και είναι ίσο με .0limxx0f ( x) , θα εννοούμε ότι υπάρχει το όριο τηςΣυνέπεια του παραπάνω ορισμού είναι οι ακόλουθες ισοδυναμίες:(α)limxx0f ( x) lim ( f ( x) ) 0xx0(β)limxx0f ( x) lim f ( x0 h) h0 Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής ( x 0, β)καιτην ανισότητα 0 | x x0 | δ την αντικαταστήσουμε με την x0 x x0 δ , τότεέχουμε τον ορισμό του lim f (x) , ενώ αν η f είναι ορισμένη σε ένα διάστημαxx0


1621 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣτης μορφής ( α,x0) και την ανισότητα 0 | x x0 | δ την αντικαταστήσουμε μετην x0 δ x x0, τότε έχουμε τον ορισμό του lim f (x) .Αποδεικνύεται ότι:xx0Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ( α,x0 ) ( x0, β),τότε ισχύει η ισοδυναμία:lim f ( x) xx0lim f ( x) limxx0xx0f (x) Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστηματης μορφής ( x 0, β), αλλά δεν ορίζεται σε διάστηματης μορφής( α, x0) , τότε ορίζουμε:yyx44Για παράδειγμα,limx .f ( x)lim f ( x)x 0xx 0x limx0x 0 (Σχ. 44)O xlimx 0 Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστηματης μορφής (α,x ) , αλλά δεν ορίζεται σε διάστηματης μορφής( x 00, β) , τότε ορίζουμε:y xy45Για παράδειγμα,limx0lim f ( x) limxx0 x limx0xx0f ( x). x 0 (Σχ. 45)O xxx0ΣΧΟΛΙΟΑποδεικνύεται ότι το lim f ( x)είναι ανεξάρτητο των άκρων α, β των διαστημάτωνα , x ) και ( x 0, β)στα οποία θεωρούμε ότι είναι ορισμένη η f.(0Έτσι για παράδειγμα, αν θέλουμε να βρούμε το όριο της συνάρτησης| x 1|yf ( x) στο x 0 0 , περιοριζόμαστε στο46x 1υποσύνολο ( 1, 0) (0,1) του πεδίου ορισμού της,y=1στο οποίο αυτή παίρνει τη μορφή1 O 1 x(x 1)f ( x) 1.x 1y=1Επομένως, όπως φαίνεται και από το διπλανόσχήμα, το ζητούμενο όριο είναι lim f ( x) 1.x0


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 163ΣΥΜΒΑΣΗΣτη συνέχεια, όταν λέμε ότι μια συνάρτηση f έχει κοντά στοΡ θα εννοούμε ότι ισχύει μια από τις παρακάτω τρεις συνθήκες:x 0μια ιδιότηταα) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής α,x ) ( x , ) και στο σύνολοαυτό έχει την ιδιότητα Ρ.(0 0β(0β) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής α,x ) , έχει σ’ αυτό την ιδιότηταΡ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής ( x 0, β).γ) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ( x 0, β), έχει σ’ αυτό την ιδιότηταΡ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής α,x ) .Για παράδειγμα, η συνάρτηση(0ημxf ( x) είναι θετική κοντά στο x 0 0 , αφούx ορίζεται στο σύνολο π π ,0 0, 2 2 και είναι θετική σε αυτό.Όριο ταυτοτικής - σταθερής συνάρτησηςΜε τη βοήθεια του ορισμού του ορίου αποδεικνύεται ότι:limxx0x x0lim c cxx0f(x)yy47f(x 0 )=x 0y=cf(x)y=xO x x 0 x x(a)O x x 0 x x(β)Η πρώτη ισότητα δηλώνει ότι το όριο της ταυτοτικής συνάρτησης f ( x) x (Σχ.47α) στο είναι ίσο με την τιμή της στο x , ενώ η δεύτερη ισότητα δηλώνειx00ότι το όριο της σταθερής συνάρτησηςg( x) c (Σχ. 47β) στο είναι ίσο με c.x 0


1641 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣxx0( 01. Nα βρείτε το lim f ( x)και το f x ) , εφόσον υπάρχουν, όταν η γραφικήπαράσταση της συνάρτησης f είναι:yy4y=f(x)22y=f(x)Ox 0 =33xO2x 0 =2xy2y=f(x)y2y=f(x)11O12 xO12 3 xx 0 =1,2x 0 =1,2,32. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και με τηβοήθεια αυτής να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το lim f ( x), όταν:xx 0i)xf ( x)2 5x 6x 2,0x 2ii)2 x , x 1iii) f ( x) , x0 1iv)x 1,x 1 x,x 1f ( x) 1, x 0 1 , x 1 x2xf ( x) x , x 0 0 .x3. Ομοίως όταν:3 2x 3x x 3i) f ( x), x20 1 ή x0 1x 1ii)2( x 1)9x 6x1f ( x),3x11x0 .3


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1654. Δίνεται η συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο [ 2, )και έχει γραφικήπαράσταση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Να εξετάσετεποιοι από τους επόμενους ισχυρισμούς είναι αληθείς.i) lim f ( x) 22xii) lim f ( x) 1x1iii) lim f ( x) 2x1iv) lim f ( x) 32xv) lim f ( x) 4x3y4321y=f(x)vi) lim f ( x) 34x-2 O 1 2 3 4 x5. Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο α,x ) ( x , ) , με2lim f ( x) λxx0 6 καιxx0τις οποίες υπάρχει το lim f ( x).(0 0βlim f ( x) λ . Να βρείτε τις τιμές του λ , γιαxx01.5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝΌριο και διάταξηΓια το όριο και τη διάταξη αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα.ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο Αν lim f ( x) 0 , τότε f ( x) 0 κοντά στο x0(Σχ. 48α)xx0 Αν lim f ( x) 0 , τότε f ( x) 0 κοντά στο x0(Σχ. 48β)xx0yC fyC f48Oα x 0 βxOαx 0 βx(a)(β)


1661 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΘΕΩΡΗΜΑ 2οΑν οι συναρτήσεις f , g έχουν όριο στο x0και ισχύει f ( x) g(x)κοντά στοx0, τότεylim f ( x) limxx0C fxx0g(x)yC f49C gC gOα x 0 β xOα x 0 β x(a)(β)Όρια και πράξειςΤα δύο βασικά όρια lim x x ,xx00x x0lim c c και το θεώρημα που ακολουθεί διευκολύνουντον υπολογισμό των ορίων.ΘΕΩΡΗΜΑΑν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο1. lim ( f ( x) g(x)) lim f ( x) lim g(x)xx0xx0xx02. lim ( κf ( x)) κ lim f ( x), για κάθε σταθεράxx0xx03. lim ( f ( x) g(x)) lim f ( x) lim g(x)xx0xx0xx0, τότε: x 0κ 4.lim f ( x)f ( x)xx0lim , εφόσον lim g(x) 0xx0 g(x)lim g(x)xxxx005. lim | f ( x)| lim f ( x)xx0xx06. limkf ( x) k lim f ( x), εφόσον ( x) 0 κοντά στο x .xx0 xx0f0Οι ιδιότητες 1 και 3 του θεωρήματος ισχύουν και για περισσότερες από δυο συναρτήσεις.Άμεση συνέπεια αυτού είναι:lim[ f ( x)]xx0νlimxx0νf ( x),*ν


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 167Για παράδειγμα,— Έστω τώρα το πολυώνυμοPν νlim x x0xx0νν1( x) ανx αν1x α1x α0Σύμφωνα με τις παραπάνω ιδιότητες έχουμε:Επομένως,Για παράδειγμα,. και x .νν1lim P(x) lim ( α x α1x α0)xx0lim( xx23 6x2xx0 lim ( αxx0 α αννlim xνxx0νxννx ) lim ( αν αxx0ν1xx0xν1ν1lim xν10) lim αxx0lim ανν10αν1x0α 0P( x 0lim P(x) P(x0) .xx0 7x 2) 23 622xx0) . 7 2 2 4.00— Έστω η ρητή συνάρτησηx με Q( x 0) 0 . Τότε,0P(x)f ( x) , όπου P (x) , Q(x)πολυώνυμα του x καιQ(x)lim P(x)P(x)xx0P(xlim f ( x) lim xx0 xx0Q(x)lim Q(x)Q(xxx000).)Επομένως,P(x)P(xlim xx0 Q(x)Q(x00), εφόσον Q ( x 0) 0)Για παράδειγμα,ΣΧΟΛΙΟ22lim x 4 2 4x22x 2x122 22 1Όταν Q(x 0) 0 , τότε δεν εφαρμόζεται η ιδιότητα 4 του παραπάνω θεωρήματος.Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε όπως στην εφαρμογή 1 ii), που ακολουθεί.89.


1681 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1. Nα βρεθούν τα παρακάτω όρια:2 9 3i) lim[( x 1) |x 1 | ] ii)3x 5xlim2x0x2 x 42 6xiii)lim2x 3 2x.x 1x1 ΛΥΣΗi) Έχουμε2 9 32 93lim [(x 1)| x 1|] lim( x 1)lim | x 1|x0x0x0ii) Επειδή2 93[ lim( x 1)] lim( x 1)x0 1 9 | 1| 1 .x0xx2lim(2 4) 0 , δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του πηλίκου(ιδιότητα 4). Παρατηρούμε όμως ότι γιατου κλάσματος. Οπότε η συνάρτησηΕπομένως,x 2 μηδενίζονται και οι δύο όροι3 2x 5x 6xf ( x), για x 2 , γράφεται:2x 4x( x2 5x 6) x(x 2)( x 3)x(x 3) x2 3xf ( x) .( x 2)( x 2) ( x 2)( x 2) x 2 x 22x 3x4 32lim f ( x) lim x2x2x 2 2 2iii) Για x 1 μηδενίζονται οι όροι του κλάσματος. Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστεως εξής:12.Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος μεέχουμε:2x 3 2xκαι έτσιf ( x)2x 3 2xx 12222x 3 2xx 3 2xx 3 (2x) 2x x x( x 1)2( 1) 3 2x 3 2x22 3x 3 3( x 1)(x 1) 3( x 1) .222( x 1)x 3 2x( x 1)x 3 2xx 3 2x


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 169Επομένως,lim f ( x) limx1x1 3( x 1)lim(3(x 1))x122x 3 2xlimx 3 2xx1 6 4 232.2. Nα βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο στο x0 1 της συνάρτησηςΛΥΣΗ23x 4, x 1f ( x) 1., x 1 xΑν x 1, τότε f ( x) 3x 2 4 , οπότεlimx1f ( x) lim(3xx122 4) 31 4 1.Ανx 1 , τότε1f ( x) , οπότεxlimx1f ( x) 1 lim 1.x 1x Επομένως lim f ( x) 1.x1Κριτήριο παρεμβολήςΥποθέτουμε ότι “κοντά στο x 0 ” μια συνάρτησηf “εγκλωβίζεται” (Σχ. 50) ανάμεσασε δύο συναρτήσεις h και g. Αν, καθώς το xτείνει στο x 0 , οι g και h έχουν κοινό όριο , τότε, όπως φαίνεται και στο σχήμα, η fθα έχει το ίδιο όριο . Αυτό δίνει την ιδέατου παρακάτω θεωρήματος που είναι γνωστόως κριτήριο παρεμβολής.ΘΕΩΡΗΜΑyO50C gC fC hα x 0 β xΈστω οι συναρτήσειςf , g,h . Αν h( x) f ( x) g(x)κοντά στο καιx 0τότε lim h(x)lim g(x , )x x0x x0limxx0f ( x) .


1701 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 Για παράδειγμα, limxημ 0 .Πράγματι, για x 0 έχουμεx0 x οπότεΕπειδή1 1xημ | x | ημ |x | ,x x1 | x | xημ|x | .xlim( |x | ) lim| x | 0 , σύμφωνα με το παραπάνω κριτήριο, έχουμε:x0x0Tριγωνομετρικά όρια 1 limxημ 0 .x0 x Το κριτήριο παρεμβολής είναι πολύ χρήσιμο για τον υπολογισμό ορισμένων τριγωνομετρικώνορίων. Αρχικά αποδεικνύουμε ότι:| ημx | | x | , για κάθε x (η ισότητα ισχύει μόνο όταν x 0 )ΑΠΟΔΕΙΞΗ— Για x 0 προφανώς ισχύει η ισότητα. — Για x 0,π από το διπλανό σχήμα έχουμε 2 Άραημx ( MM1) ( MA) (τοξMA) x .| ημx | |x | , για κάθε x 0,π (1) 2 y51MxxO A xM 1 π — Για x , 0 είναι x 0,π , οπότε λόγω της (1) έχουμε, 2 2 ή, ισοδύναμα, | ημx | |x | .| ημ( x)| |x| π π π— Για x , 2 2 είναι | x | 1 |ημx| , οπότε | ημx | | x | . 2Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις ισχύει | ημx | | x | , με την ισότητα να ισχύειμόνο για x 0 . ■Με τη βοήθεια της παραπάνω ανισότητας και του κριτηρίου παρεμβολής θα α-ποδείξουμε ότι:


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1711.ΑΠΟΔΕΙΞΗ lim ημx ημx0xx0 lim συνx συνx0xx0 Αρχικά θα αποδείξουμε ότιlim ημx 00xκαι lim συνx 10x(1)Πράγματι:— Σύμφωνα με την προηγούμενη ανισότητα έχουμε | ημx | | x | , οπότε | x | ημx|x | .Επειδήlim( |x | ) 0 lim | x | , σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής, θα είναιx0x0lim ημx 0 .0x22— Γνωρίζουμε ότι συν x 1ημ x , οπότεΕπομένως2 π π συνx 1ημ x , για κάθε x ,0 0, . 2 2 lim συνx limx0x01ημ2x 1lim ημx02x 10 1. Θα αποδείξουμε, τώρα, ότι lim ημx ημx0. Πράγματι . έχουμεxx0lim ημx lim ημ( x0 h) lim(ημx0συνh συνx0ημh)xx0h0h0 ημxlim συνh συνxlim ημh(1) ημx0h001συνx00h00 ημx Ανάλογα αποδεικνύεται και ότι lim συνx συνx0. ■xx00.2. α)ημxlim 1x0 x β)συνx1lim 0x0 x


1721 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΑΠΟΔΕΙΞΗ π— Αν 0 x , τότε από το διπλανό σχήμα2προκύπτει ότιεμβ(τριγ ΟΑΜ ) εμβ(τομ ΟΑΜ ) εμβ(τριγ ΟΑΝ),oπότε έχουμε διαδοχικά:1 1ημx2121x 1εφx2ημ x x εφx.yN52M εφxημxxO A xM 1x1 ημx1συνxημxσυνx 1.xππημ( x)— Αν x 0 , τότε 0 x , οπότε έχουμε συν(x) 122 xκαι άραημxσυνx 1.xΕπομένως, για κάθεΕπειδή π π ημxx ,0 0, ισχύει συνx 1. 2 2 xlim συνx 1, από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότιx0y1xy ημxημxlim 1.x0 x53-3π -2π-πOπ2π3πxβ) Έχουμεσυνx1(συνx1)(συνx1)lim limx0 x x0x(συνx1)2συν x 1limx 0 x(συνx1)2ημ x limxx(1 συν0 x)


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 173 ημxημx lim x0 x 1συνxημxημx lim limx0 x x01συνx 10 0 . ■Όριο σύνθετης συνάρτησηςΜε τις ιδιότητες που αναφέρουμε μέχρι τώρα μπορούμε να προσδιορίσουμε ταόρια απλών συναρτήσεων. Αν, όμως, θέλουμε να υπολογίσουμε το ,lim f ( g(x))xx0της σύνθετης συνάρτησης f g στο σημείο x0, τότε εργαζόμαστε ως εξής:1. Θέτουμε u g(x).2. Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το u lim g() και0xxx03. Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το lim f ( u).uu0Αποδεικνύεται ότι, αν g( x) u0κοντά στο x0, τότε το ζητούμενο όριο είναι ίσομε , δηλαδή ισχύει:lim f ( g(x)) lim f ( u).xx0uu0ΠΡΟΣΟΧΗΣτη συνέχεια και σε όλη την έκταση του βιβλίου τα όρια της μορφήςlim f ( g(x))με τα οποία θα ασχοληθούμε θα είναι τέτοια, ώστε να ικανοποιείταιxx0η συνθήκη: “ g( x) u0κοντά στο x0” και γιαυτό δεν θα ελέγχεται.Για παράδειγμα:α) Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο 2 π lim ημx .x0 4 Αν θέσουμεu x , τότε42 πlim ux 0limxx 02π π , οπότε4 4lim ημxx02π π lim ημu ημ 4π u4422.β) Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το όριοlim0ημ3xx.x


1741 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΕίναιΈτσι, αν θέσουμεημ3xημ3x 3 .x 3xu 3x , τότε lim u lim 3x 0x 0x 0, οπότεημ3xημ3xημulim 3lim 3lim 31 3 .x0x x03xu0uΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Nα βρείτε τα όρια:5 3i) lim( x 4x 2x 5)ii) lim( xiii)x0lim ( xx18 2x 3)20iv)x110 2x3 x 1)3 2lim[ ( x 5) | x 2x 3 |x3]v)xlim4x1 2x 5x 3vi)2| x 3x| | x 2 |limx0 2x x 13 2vii) lim ( x 2)x1viii)2x x 2 2lim .x1 2x 4x 32. Έστω μια συνάρτηση f με lim f ( x) 4 . Να βρείτε το lim g(x)αν:x2x 2i) ( ) 3( ( ))2 | 2 f ( x)11|g x f x 5ii) g ( x)( f ( x))2 1iii) g ( x) ( f ( x) 2)( f ( x) 3).3. Να βρείτε τα όριαi)4x 16lim2 3ii)xx 8ii)22x 3x1limx1 2x 1iii)11lim xx1 112xiv)( x 3)limx0x3 27.


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1754. Να βρείτε τα όριαi)iii)3 x11xlim ii) limx 929 xx0xx 2 2lim iv)x2x 2 5 3x 2lim4 2.xx 5x 425. Να βρείτε (αν υπάρχει), το όριο της f στο x 0αν:2x, x 1i) f ( x) και x0 15x,x 1ii) 2x,x 1f ( x) και x20 1.x1,x 16. Να βρείτε τα όρια:i)ημ3xlimx 0xii)εφxlimx 0xiii)εφ4xlimx 0ημ2xiv) x ημx ημxlim v) lim vi)x0 x x03 x x ημ5xlim .x 05x 4 27. Να βρείτε τα όρια:i)2ημ xlimxπ1συνxii)21συν xlimx0ημ2xiii)ημxlimx 0 ημ2x.8. Nα βρείτε το lim f ( x), αν:x022i) 1x f ( x) 1x για κάθεx ii)41 π 1 x f ( x) για κάθε 2 συν x, πx2 2 .2αx β,x 39. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) . Να βρείτε τις τιμέςαx 3β,x 3των α, β , για τις οποίες ισχύει lim f ( x) 10.x31. Να βρείτε τα όρια:Β΄ ΟΜΑΔΑΣ


1761 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣi)iii)3 2x x x 2limx2 3x 8x 1limx1x x x 2ii) lim1x νx1 ( ν 1)x νx 12. Nα βρείτε όσα από τα παρακάτω όρια υπάρχουνi)iii)lim2x 10x 25x 5x5 2| x 5 | x 4x 5limx5 x 5ii)2| x 5 | x 4x 5limx5 x 52x iv) limx1 x 3. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναιορθογώνιο με γ 1 . Να υπολογίσετε ταόρια:2i) lim( α β), ii) lim(α2 β )iii)πθ2limπθ2βα.4. Να βρείτε το lim f ( x), αν:x1i) lim(4f ( x) 2 4x) 10x1πθ2x.1ΓβΑ γ=1f ( x)ii) lim 1.x 1 x 1αθΒ1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x 0— Στο σχήμα 54 έχουμε τη γραφική παράστασημιας συνάρτησης f κοντά στο x 0 . Παρατηρούμεότι, καθώς το x κινούμενο με οποιονδήποτετρόπο πάνω στον άξονα x x πλησιάζειτον πραγματικό αριθμό x0, οι τιμές f (x)αυξάνονταιαπεριόριστα και γίνονται μεγαλύτερεςαπό οποιονδήποτε θετικό αριθμό Μ. Στηνπερίπτωση αυτή λέμε ότι η συνάρτηση f έχειστο όριο και γράφουμεx 0lim f ( x) .xx0yf(x)MO x x 0 x54x


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 177— Στο σχήμα 55 έχουμε τη γραφική παράστασημιας συνάρτησης f κοντά στο x 0 . Παρατηρούμεότι, καθώς το x κινούμενο με οποιονδήποτετρόπο πάνω στον άξονα x x πλησιάζειτον πραγματικό αριθμό x0 , οι τιμές f ( x)ελατ-τώνονται απεριόριστα και γίνονται μικρότερεςαπό οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό M( M 0) . Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η συνάρτησηf έχει στοxx0x0όριοlim f ( x) . και γράφουμεyO-Mf(x)xx 0 x55xΟΡΙΣΜΟΣΈστω μια συνάρτηση f που είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφήςα,x ) ( x , ) . Ορίζουμε(0 0βlim f ( x) , όταν για κάθε M 0 υπάρχει δ 0 τέτοιο, ώστε για κάθεxx0x ( α,x 0) ( x0 , β) , με 0 | x x0 | δ να ισχύειf ( x) Mlim f ( x) , όταν για κάθε M 0 υπάρχει δ 0 τέτοιο, ώστε για κάθεxx0x ( α,x 0) ( x0 , β) , με 0 | x x0 | δ να ισχύειf ( x) MΑνάλογοι ορισμοί μπορούν να διατυπωθούν όταν x x και x x . 0 0yy 56C fC gOx 0 xC gO x 0 xC f(a)(β)Όπως στην περίπτωση των πεπερασμένων ορίων έτσι και για τα άπειρα όρια συναρτήσεων,που ορίζονται σε ένα σύνολο της μορφής ( α,x0 ) ( x0, β), ισχύουνοι παρακάτω ισοδυναμίες:


1781 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣlimxx0f ( x) limxx0f ( x) limxx0f ( x) lim f ( x) xx0lim f ( x)xx0lim f ( x) .xx0Με τη βοήθεια του ορισμού αποδεικνύονται οι παρακάτω ιδιότητες: Αν lim f ( x) , τότε f ( x) 0 κοντά στο x0, ενώxx0ανlimxx0f ( x) , τότε f ( x) 0 κοντά στο .x 0 Ανlimxx0f ( x) , τότεlim ( f ( x)) xx0, ενώανlimxx0f ( x) , τότε lim ( f ( x)) .xx01 Αν lim f ( x) ή , τότε lim 0 .xx0xx0f ( x) Αν lim f ( x) 0 και f ( x) 0 κοντά στο x0, τότεxx0lim f ( x) 0xx0και ( x) 0 κοντά στο x , τότεf0lim1x x0 f ( x)limx x0 f ( x) , ενώ αν1 . Αν lim f ( x) ή , τότεxx0lim | f ( x)| .xx0 Ανlimxx0f ( x) , τότεlimxx0kf ( x) .Σύμφωνα με τις ιδιότητες αυτές έχουμε:1limxx02 και γενικά1limx0x2ν *, ν (Σχ. 57α)yy57y 1 2xy 1 xO x(β)O x(α)


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1791lim x0xενώ1lim x0xκαι γενικάκαι γενικάlimx0x12 ν 1 , ν 1lim 2 ν, ν (Σχ. 57β).1x 0x1Επομένως, δεν υπάρχει στο μηδέν το όριο της f ( x) , ν .2ν 1xΓια τα όρια αθροίσματος και γινομένου δύο συναρτήσεων αποδεικνύονται ταπαρακάτω θεωρήματα:ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο (όριο αθροίσματος)Αν στο x 0 το όριο της f είναι: α α - -και το όριο της g είναι: - - - τότε το όριο τηςf g είναι: - - ; ;ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο (όριο γινομένου)Αν στο x 0 ,το όριο της fείναι:και το όριο της gείναι:τότε το όριο τηςf·g είναι:α>0 α0 α


1801 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΓια παράδειγμα:11— αν πάρουμε τις συναρτήσεις f ( x) και g(x) , τότε έχουμε:22xx 1 1lim f ( x) lim , lim g(x) lim x 0x 0 2x 0x 0 2 x xκαι 1 1 lim(f ( x) g(x)) lim 0x0x02 2 x x ενώ,1— αν πάρουμε τις συναρτήσεις f ( x) 1 1 και g(x) , τότε έχουμε:2 2xx 1 1lim f ( x) lim1 , lim g(x) lim x 0 x 0 2x 0x 02 x xκαι 1 1 lim( f ( x) g(x)) lim 1 lim1 1 .x0x022 x0 x x Ανάλογα παραδείγματα μπορούμε να δώσουμε και για τις άλλες μορφές.ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1. Nα βρεθούν τα όρια:i)2x 5x 6limx1 | x 1 |ii)3x 2lim .x 2( x 2) 2ΛΥΣΗ1i) Επειδή lim | x 1| 0 και | x 1| 0 κοντά στο 1, είναι lim x1x 1 | x 1| . Eπειδήεπιπλέον είναι lim(2 5x 6) 2 , έχουμε:xx1limx12x 5x 6 1 lim(x| x 1|x1|x 1|2 5x 6) .ii) Επειδή lim(x 2)x 22 0 και( x 2)2 0 κοντάΕπειδή επιπλέον είναι lim(3x 2) 4, έχουμεx2στο 2, είναι1limx 2 ( x 2 ) 2 .lim 3x 2 1 lim(3x 2) .x22( x 2)x2(x 2)2


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1812x x 12. Να βρεθούν τα πλευρικά όρια της συνάρτησης f ( x)στοx 2x0 2 και στη συνέχεια να εξετασθεί, αν υπάρχει το όριο της f (x)στο 2.ΛΥΣΗ— Επειδή lim( x 2) 0 καιεπιπλέονx2lim ( x2 x 1) 3 , έχουμεx2x 2 0 για x 2 , είναι1limx2 x 2 . Επειδήlimx22x x 1 1 lim ( xx 2 x2 x 22 x 1) .— Επειδή lim(x 2) 0 καιx 2επιπλέονlim ( x2 x 1) 3 , έχουμεx2limx21x 2 0 για x 2 , είναι lim . Επειδήx2x x 1 1 lim (xx 2 x2 x 222 x 2 x 1) .Παρατηρούμε ότι τα δύο πλευρικά όρια δεν είναι ίσα. Επομένως δεν υπάρχειόριο της f στο 2.ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Nα βρείτε (αν υπάρχει) το όριο της f στο x 0όταν:x 52x 3i) f ( x) , x 04 2 0ii) f ( x) , x4 0 1x 3x4( x 1)1 1iii) f ( x) , x0 0 .x | x |2. Να βρείτε (αν υπάρχει) το όριο της f στο x 0, όταν:3 4i) f ( x) , x2 0 1 ii)1x 1xiii) f ( x) x 1 , x30 0 . x 2 12x 3x 2f ( x) , x 0 0x | x |


1821 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΒ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να βρείτε (εφόσον υπάρχει) τοlimx4x9x 2x 4.x 82. Να αποδείξετε ότι:πi) Η συνάρτηση f ( x) εφxδεν έχει όριο στο . 2ii) Η συνάρτησηf ( x) σφxδεν έχει όριο στο 0.3. Δίνονται οι συναρτήσεις2( λ 1)x x 2f ( x)και2x 1Nα βρείτε τις τιμές τωνόριαlim f ( x)x12x 2x μg(x).xλ, μ για τις οποίες υπάρχουν στο τακαι lim g(x).x0Στη συνέχεια να υπολογίσετε τα παραπάνω όρια.4. Να βρείτε το lim f ( x), όταν:x 1x 4i) lim x 1 f ( x)ii)f ( x)lim x1 x 22iii) lim[ f ( x)(3x 2)] .x11.7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟΣτα παρακάτω σχήματα έχουμε τις γραφικές παραστάσεις τριών συναρτήσεωνf , g,h σε ένα διάστημα της μορφής ( α , ).y+ yy58f(x)O(a)C fxx+g(x)C gxO x +(β)Oh(x)(γ)C hx+xΠαρατηρούμε ότι καθώς το x αυξάνεται απεριόριστα με οποιονδήποτε τρόπο,


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 183— το f (x) προσεγγίζει όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό . Στην περίπτωσηαυτή λέμε ότι η f έχει στο όριο το και γράφουμεlim f ( x) x— το g(x) αυξάνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η g έχει στο όριο το και γράφουμεlim g(x) x— το h(x) μειώνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η h έχει στο όριο το και γράφουμεΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗlim h(x) .xΑπό τα παραπάνω προκύπτει ότι για να αναζητήσουμε το όριο μιας συνάρτησηςf στο , πρέπει η f να είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής ( α,).Ανάλογοι ορισμοί μπορούν να διατυπωθούν, όταν x για μια συνάρτησηπου είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής ( , β). ΄Ετσι, για τις συναρτήσειςf , g,hτων παρακάτω σχημάτων έχουμε:yg(x)C f Cgf(x) x O xx x O(α)(β)y+xC h(γ)yOh(x)59xlim f ( x) xlim g(x) xκαιlim h(x) .xΓια τον υπολογισμό του ορίου στο ή ενός μεγάλου αριθμού συναρτήσεωνχρειαζόμαστε τα παρακάτω βασικά όρια:ν1lim x και lim 0 ,xxνxlim x νx , -,Για παράδειγμα,ανανlim xx3ννάρτιοςπεριττός2 , lim x καιx1και lim 0xνx1lim 2x x*ν *, ν .0 .


1841 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΓια τα όρια στο , ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των ορίων στο x0με τηνπροϋπόθεση ότι:— οι συναρτήσεις είναι ορισμένες σε κατάλληλα σύνολα και— δεν καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή.Όριο πολυωνυμικής και ρητής συνάρτησης3 2 Έστω η συνάρτηση f ( x) 2x 5x 2x1. Αν εφαρμόσουμε τις ιδιότητεςτων ορίων για τον υπολογισμό του lim f ( x), καταλήγουμε σε απροσδιόριστηxμορφή. Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε ως εξής:Για x 0 έχουμε3 5 1 1 f ( x) 2x1 .2 3 2xx 2xΕπειδή 5 1 1 lim 1 10 0 0 1 και lim (2xx2 3 2xx 2xxέχουμε3lim f ( x) lim (2x) .xx3) Γενικάνν1Για την πολυωνυμική συνάρτηση P( x) ανx αν 1xα0, με α ν 0 ι-σχύει:νlim P(x) lim ( α x ) καινlim P(x) lim ( α x )xΓια παράδειγμα,xxlim (4x5ν 3x3 6x2x x 7) lim (4xx5x) .ν Έστω τώρα η συνάρτησηΓια x 0 έχουμε:23x x 1f ( x) .35x x 7Επειδήκαι2 1 1 3x1 11 22 12 3x3x 3x3xf ( x) 3x.33 1 7 5x1 75x1 12 32 3 5x5x 5x5x1 11 2lim3x3xx1 71 25x5x3 1 1 lim 1 x2 3x3x 1 7 lim 1 x2 3 5x5x


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 185έχουμεΓενικά,2 3x 3 lim lim 0x35 xx 5x2 3xlim f ( x) 0 lim x 5xx3.Για τη ρητή συνάρτησηισχύει:Για παράδειγμα,ανxf ( x)β xκνκ α βν α νxlim f ( x) lim xxκκαι βκx ν1κ 1xxν1κ 1α x α110β x β ανxlim f ( x) lim x βκxx22lim 5x 6x 1 5x lim x23x x 2 x32 x 53.0, α 0 , 0ννκβ κΌρια εκθετικής - λογαριθμικής συνάρτησηςΑποδεικνύεται (1)ότι:y60 Αν α 1 (Σχ. 60), τότεxxlim α 0 , lim α xlim logx0αxx , lim log x xα1xy=aO1y=logaxx Αν0 α 1(Σχ. 61), τότεy=a xy61xxlim α , lim α 0xxlim log x , lim log x 0xαxΠεπερασμένο όριο ακολουθίαςα1O 1xy=log a x(1) Η απόδειξη παραλείπεται.


1861 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΗ έννοια της ακολουθίας είναι γνωστή από προηγούμενες τάξεις. Συγκεκριμένα:ΟΡΙΣΜΟΣΑκολουθία ονομάζεται κάθε πραγματική συνάρτησηα : * .Η εικόνα α(ν)της ακολουθίας α συμβολίζεται συνήθως με α , ενώ η ακολουθίαα συμβολίζεται με1*(α ν) . Για παράδειγμα, η συνάρτηση α ν , ν είναι μιανακολουθία.Επειδή το πεδίο ορισμού κάθε ακολουθίας, είναι το * {1, 2, 3, 4,...} , έχει νόημανα μελετήσουμε τη συμπεριφορά της για πολύ μεγάλες τιμές του ν, δηλαδή ότανν .Ο ορισμός του ορίου ακολουθίας είναι ανάλογος του ορισμού του ορίου συνάρτησηςστο και διατυπώνεται ως εξής:ΟΡΙΣΜΟΣΘα λέμε ότι η ακολουθία( α ν )έχει όριο τον και θα γράφουμε lim α ,νν*όταν για κάθε ε 0 , υπάρχει τέτοιο, ώστε για κάθε ν ν να ισχύειν00| α ν | εΟι γνωστές ιδιότητες των ορίων συναρτήσεων όταν x , που μελετήσαμεστα προηγούμενα, ισχύουν και για τις ακολουθίες. Με τη βοήθεια των ιδιοτήτωναυτών μπορούμε να υπολογίζουμε όρια ακολουθιών.Για παράδειγμα,22lim 2ν 3ν 5 2ν1 lim .ν24ν ν 1ν4ν2 2ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Nα βρείτε τα όρια:33i) lim ( 10x 2x 5) ii) lim (5x 2x1)iii)xlimxxx 3 85ii)vii)4 3x 5x 2x1limx3x 3x 2 x 5lim x x 21x 232x x 1x 2v) lim vi) limx3 2104x x 2xx x 322 x 5 x 3 viii) lim .x x x 2


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1872. Να βρείτε τα όρια:2i) lim 4x 2x 3x22iii) lim ( x 1 x 3x 2 )x2v) lim ( 2x14x 4x 3 ) .x3. Να βρείτε τα όρια:2ii) lim x 10x 9iv)xlim (x( x α)(x β) x),α βi)limxxx2 12ii) lim ( x 1 x)xiii) limxxx2 12iv) lim ( x 1 x)xv)limxx x 2x 12x 122vi) lim ( x x 2x 2 x ) .xB΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Για τις διάφορες πραγματικές τιμές του μ, να υπολογίσετε τα παρακάτωόρια:2i) lim ( x 1 μx)xii)3 2( μ 1)x 2x 3lim .x2μx 5x 622. Nα προσδιορίσετε το λ , ώστε το lim ( x 5x10 λx)να υπάρχειστο .x2x 13. Αν f ( x) αx β , να βρείτε τις τιμές των α, β , για τις ο-x 1ποίες ισχύει lim f ( x) 0 .x4. Να βρείτε τα όρια:2| x 5x| xi) lim 2ii)xx 3x 2limxx2x 1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ1 5 x4 3x2iii)2| x x |lim .xx 1


1881 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣOρισμός της συνέχειαςΈστω οι συναρτήσεις f , g,hπαρακάτω σχήματα.yτων οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται σταyyC h62 f( x0)C fg(x 0 )C g 1 2x 0 xO(a)Παρατηρούμε ότι:x 0 xOx 0 x— Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο x 0και ισχύει:(β)lim f ( x) f ( x0)xx0— Η συνάρτηση g είναι ορισμένη στο x 0αλλάlim g(x) g(x0) .xx0O(γ)— Η συνάρτηση h είναι ορισμένη στο x 0 αλλά δεν υπάρχει το όριό της.Από τις τρεις γραφικές παραστάσεις του σχήματος μόνο η γραφική παράστασητης f δε διακόπτεται στο . Είναι, επομένως, φυσικό να ονομάσουμε συνεχήστοx 0ΟΡΙΣΜΟΣx 0μόνο τη συνάρτηση f. Γενικά, έχουμε τον ακόλουθο ορισμό.΄Εστω μια συνάρτηση f και ένα σημείο x του πεδίου ορισμού της. Θα λέ-με ότι η f είναι συνεχής στοx00x 0, ότανlim f ( x) f ( x0)xx0Για παράδειγμα, η συνάρτηση f ( x) | x | είναι συνεχής στο 0, αφούlim f ( x) lim | x | 0 x0x0f (0) .Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένασημείο του πεδίου ορισμού της όταν:x 0α) Δεν υπάρχει το όριό της στο x 0ήβ) Υπάρχει το όριό της στο x , αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της, f x ) ,στο σημείο .x 00( 0


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 189Για παράδειγμα:2x1,αν x 0— Η συνάρτηση f ( x) δεν είναι συνεχής στο 0, αφού 2 x,αν x 0limx0f ( x) lim( xx021) 1, ενώ lim f ( x)lim(2 x) 2 ,x0x 0οπότε δεν υπάρχει το όριο της f στο 0.— Η συνάρτηση2 x 1 , αν x 1f ( x) x 1δεν είναι συνεχής στο 1, αφού 3, αν x 1( x 1)(x 1)lim f ( x) lim lim( x 1) 2 , ενώ f ( 1) 3 .x1x1x 1x1Μία συνάρτηση f που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της,θα λέγεται, απλά, συνεχής συνάρτηση.Για παράδειγμα:— Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρ είναι συνεχής, αφού για κάθε x ισχύειlim P(x) P(x0) .xx00— Κάθε ρητή συνάρτηση QP είναι συνεχής, αφού για κάθε του πεδίου ο-x 0ρισμού της ισχύειP(x)P(xlim xx0 Q(x)Q(x00).)— Οι συναρτήσεις f ( x) ημxκαι g( x) συνxείναι συνεχείς, αφού για κάθεx 0 ισχύειlimx 0 xημΤέλος, αποδεικνύεται ότι:x ημx0και lim συνx συνx0xx0x— Οι συναρτήσεις f ( x) α και g( x) logαx , 0 α 1 είναι συνεχείς.Πράξεις με συνεχείς συναρτήσειςΑπό τον ορισμό της συνέχειας στοπαρακάτω θεώρημα:ΘΕΩΡΗΜΑx 0και τις ιδιότητες των ορίων προκύπτει το.


1901 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΑν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στοκαι οι συναρτήσεις:f g , c f , όπουc , f g ,x0, τότε είναι συνεχείς στο x0f ,g| f | καινfμε την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το x 0.Για παράδειγμα:— Οι συναρτήσεις f ( x) εφxκαι g( x) σφxείναι συνεχείς ως πηλίκα συνεχώνσυναρτήσεων.— Η συνάρτηση f ( x)23x 2 είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της , ,3αφού η συνάρτηση g( x) 3x 2 είναι συνεχής.— Η συνάρτηση f ( x)|xημx| είναι συνεχής, αφού είναι της μορφήςf ( x)|g(x)| , όπου g( x) xημxη οποία είναι συνεχής συνάρτηση ως γινόμενοτων συνεχών συναρτήσεωνf1 ( x) x και f2( x) ημx.Τέλος, αποδεικνύεται ότι για τη σύνθεση συνεχών συναρτήσεων ισχύει το ακόλουθοθεώρημα:ΘΕΩΡΗΜΑΑν η συνάρτηση f είναι συνεχής στοf ( x 0) , τότε η σύνθεσή τους gof είναι συνεχής στο x0.x 0και η συνάρτηση g είναι συνεχής στοΓια παράδειγμα, η συνάρτηση φ(x) ημ( x 2 1)είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμούτης ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεωνf ( x) x 2 1και g( x) ημx.xf gfgy=x 2 1ω=ημy=ημ(x 2 1)ΕΦΑΡΜΟΓΗΓια ποια τιμή του α η συνάρτηση2x 2α,αν x 0f (x) ημxείναι συνεχής; , αν x 0 x


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 191ΛΥΣΗ— Στο διάστημα (,0)η f έχει τύπο f ( x) x 2ακαι επομένως είναι συνεχήςως πολυωνυμική.Στο διάστημα ( 0, )ημxη f έχει τύπο f ( x) και επομένως είναι συνεχής ωςxπηλίκο συνεχών συναρτήσεων.Για να είναι η f συνεχής, αρκεί να είναι συνεχής και στο x 0 , δηλαδή αρκείlim f ( x) f (0) . Έχουμε όμως:x0lim f ( x) lim( xx0x02 2α) 2α,0limx0f ( x)ημxlim 1x 0 xf ( 0) 2α .καιΕπομένως, αρκεί2α 1ή, ισοδύναμα,1α .2Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα και βασικά θεωρήματαΠολλά από τα θεωρήματα της Ανάλυσης αναφέρονται σε συναρτήσεις οι οποίεςείναι συνεχείς σε διαστήματα του πεδίου ορισμού τους. Είναι, επομένως, απαραίτητονα γνωρίζουμε τι εννοούμε όταν λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχήςσ’ ένα διάστημα.ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα( α , β), όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του ( α,β). (Σχ. 63α) Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα[ α , β], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του ( α,β)και επιπλέονlim f ( x) f ( α)xακαι lim f ( x) f ( β)xβ(Σχ. 63β)yy63O( )a β x(α)O[]a βx(β)Ανάλογοι ορισμοί διατυπώνονται για διαστήματα της μορφής ( α , β], [ α,β).


1921 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΔυο βασικές ιδιότητες των συνεχών συναρτήσεων σε διαστήματα εκφράζονταιαπό τα παρακάτω θεωρήματα:Θεώρημα του BolzanoΣτο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράστασημιας συνεχούς συνάρτησης f στο[ α,β]. Επειδή τα σημεία A( α,f (α)) καιB( β,f (β))βρίσκονται εκατέρωθεν του ά-ξονα xx , η γραφική παράσταση της f τέμνειτον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο.Συγκεκριμένα ισχύει το παρακάτω θεώρηματου οποίου η απόδειξη παραλείπεται.ΘΕΩΡΗΜΑyf(β)a x 0 x 0O x 0βf(a)Α(α,f(α))64B(β,f(β))xΈστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα[ α,β]. Αν: η f είναι συνεχής στο f ( α) f ( β) 0 ,[ α,β]και, επιπλέον, ισχύειτότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, x ( α,) τέτοιο, ώστε0βf ( x 0 ) 0 .Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης f ( x) 0 στο ανοικτόδιάστημα ( α,β).ΣΧΟΛΙΟΑπό το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι:— Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ’αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε x Δ ή είναι αρνητική για κάθε x Δ ,δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ. (Σχ. 65)yy65f(x)>0O a β xOaf(x)


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 193y66+ρ+ 2 +ρ 1ρ 3 ρ 4ρ 5xΑυτό μας διευκολύνει στον προσδιορισμό του προσήμου της f για τις διάφορεςτιμές του x. Συγκεκριμένα, ο προσδιορισμός αυτός γίνεται ως εξής:α) Βρίσκουμε τις ρίζες της f.β) Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουμεέναν αριθμό και βρίσκουμε το πρόσημο της f στον αριθμό αυτό. Το πρόσημοαυτό είναι και το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα.Για παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να βρούμε το πρόσημο της συνάρτησηςf ( x) ημx συνx, x [ 0, 2π].Αρχικά υπολογίζουμε τις ρίζες της f ( x) 0 στο [ 0, 2π]. Έχουμεπημx συνx 0 ημx συνx εφx 1 x ή4Έτσι οι ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της στα διαστήματα5πx .4 0,π π 5π , , 4 4 4 5π και , 2π . 4 Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα του ελέγχου του προσήμου της fσε κάθε διάστημα.ΔιάστημαΕπιλεγμένοςαριθμός x0 0,π π 5π , 4 4 4 0π2 5π , 2π 4 2 πf ( x 0) 11 1Πρόσημο Επομένως, στα διαστήματα π 5π , είναι f ( x) 0 . 4 4 0,π 5π , , 2π 4 4 είναι f ( x) 0 , ενώ στο διάστημα


1941 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΘεώρημα ενδιάμεσων τιμώνΤο επόμενο θεώρημα αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος του Bolzano και είναιγνωστό ως θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.ΘΕΩΡΗΜΑΈστω μια συνάρτηση[ α , β]. Αν: η f είναι συνεχής στο f ( α) f ( β)f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα[ α,β]καιτότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f (α) και f (β)υπάρχει ένας, τουλάχιστονx ( α,) τέτοιος, ώστε0 βΑΠΟΔΕΙΞΗΑς υποθέσουμε ότιθεωρήσουμε τη συνάρτηση η g είναι συνεχής στο g( α)g(β) 0 ,αφούg ( α) f ( α) η 0 καιg ( β) f ( β) η 0 .f ( x 0) ηf ( α) f ( β). Τότε θα ισχύει f ( α) η f ( β)(Σχ. 67). Ανg( x) f ( x) η , x [α, β], παρατηρούμε ότι:[ α,β]καιΕπομένως, σύμφωνα με το θεώρημα τουBolzano, υπάρχει x (α,) τέτοιο, ώστε0βg x ) f ( x ) η 0 , οπότε f ( x 0) η . ■(0 0yf(β)ηf(a)Α(α,f(α))x 0x 0O a β xx 067B(β,f(β))y=ηΣΧΟΛΙΟΑν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στοδιάστημα [ α,β], τότε, όπως φαίνεται καιστο διπλανό σχήμα, δεν παίρνει υποχρεωτικάόλες τις ενδιάμεσες τιμές.yf(β)ηf(a)68y=ηOaβx Με τη βοήθεια του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύεται ότι:Η εικόνα f (Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησηςf είναι διάστημα.


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 195yy69O( )a β x(α)O( )a β x(β)yyΜO[ )a βx(γ)mOΜm[ ]a x 2 x 1βx(δ)Στην ειδική περίπτωση που το Δ είναι ένα κλειστό διάστημαπαρακάτω θεώρημα.[ α,β], ισχύει τοΘΕΩΡΗΜΑ (Μέγιστης και ελάχιστης τιμής)Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [ α , β], τότε η f παίρνει στο [ α,β]μια μέγιστητιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m. (Σχ. 69δ)Δηλαδή, υπάρχουνισχύειx x [ α,] τέτοια, ώστε, αν m f x ) και M f x ) , να1, 2β( 1( 2ΣΧΟΛΙΟm f ( x) M , για κάθε x [ α,β].Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι τοσύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [ α,β]είναι τοκλειστό διάστημα [ m,M ] , όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της.Για παράδειγμα, η συνάρτηση f ( x) ημx,x [ 0, 2π]έχει σύνολο τιμών το [ 1,1], αφούείναι συνεχής στο [ 0, 2π]με m 1και M 1 .y13π/2O π/2 π2π170x


1961 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τέλος, αποδεικνύεται ότι:Aν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα( α,β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα( Α , Β)(Σχ. 71α), όπουΑ lim f ( x)και B lim f ( x ) .xαxβΑν, όμως, η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο ( α,β), τότε το σύνολοτιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα ( B,A)(Σχ. 71β).yy71BΑAΒO( )a βx(α)O( )a βx(β)Για παράδειγμα,— Το σύνολο τιμών της f ( x) ln x 1, x ( 0, e), η οποία είναι γνησίως αύξουσακαι συνεχής συνάρτηση (Σχ. 72), είναι το διάστημα (,2), αφούlimx0f ( x) και lim f ( x) 2 .xe2y72y73O e x1O 1x1— Το σύνολο τιμών της f ( x) , x (0,1), η οποία είναι γνησίως φθίνουσα καιxσυνεχής συνάρτηση, (Σχ. 73) είναι το διάστημα (1,), αφούlim f ( x) x0και lim f ( x) 1.Ανάλογα συμπεράσματα έχουμε και όταν μια συνάρτηση f είναι συνεχής καιγνησίως μονότονη σε διαστήματα της μορφής [ α , β], [ α , β)και ( α,β].x1


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 197ΕΦΑΡΜΟΓΗΝα δειχτεί ότι η εξίσωση x συνx 4 έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα( π,2π).ΑΠΟΔΕΙΞΗΘεωρούμε τη συνάρτηση f ( x) x συνx 4 , x [ π,2π]. Τότε: Η f είναι συνεχής στο [ π,2π]ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Είναι f ( π) f (2π) 0 , αφούf ( π) π συνπ 4 π 5 0 και f ( 2π) 2π συν2π 4 2π 3 0 .Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει ένα, τουλάχιστον,x0 ( π,2π)τέτοιο, ώστε f ( x 0) 0 , οπότε x 0 συνx0 4 0 και συνεπώςx 0 συνx0 4 . Άρα, η εξίσωση x συνx 4 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα( π,2π).ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις δυο συναρτήσεων.Να βρείτε τα σημεία στα οποία αυτές δεν είναι συνεχείς.y3y2211O12 3 3,5 xO12 3 x12. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο x 0τις παρακάτω συναρτήσεις:2x 4, x 2i) f ( x) , αν x30 2x, x 2


1981 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣii)iii)2x1,x 1f ( x) , αν x0 1 3 x,x 12 x x 2 , x 2f ( x) x 2, αν x0 2.3 , x 23. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις παρακάτω συνρτήσεις και μετάνα χαράξετε τη γραφική τους παράσταση, ανi)22x, | x | 1f ( x) 2ii), | x | 1 x2 xf ( x) 5x 6x 25,,x 2x 2x x , x 1e, x 0iii) f ( x) iv) f ( x) .2lnx , x 1x 1, x 04. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσειςi)22x 3 , x 1f ( x) x 1ii) , x 1 x 1ημx , x 0f ( x) x.συνx, x 05. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς:2i) f ( x) ημ(συνx)ii) f ( x) ln( x x 1)iii) 1 f ( x) ημ iv)2 x 1f ( x) eημxv) f ( x) ln(ln x)6. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ημx x 1 0 έχει μία τουλάχιστον λύσηστο διάστημα ( 0, π).7. Για κάθε μία από τις παρακάτω πολυωνυμικές συναρτήσεις f, ναβρείτε έναν ακέραιο α τέτοιον, ώστε στο διάστημα ( α , α 1)η εξίσωσηf ( x) 0 να έχει μία τουλάχιστον ρίζα3i) f ( x) x x 15ii) f ( x) x 2x14iii) f ( x) x 2x 43iv) f ( x) x x 2 .


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1998. Να αποδείξετε ότι η εξίσωσηα ( x μ)(x ν) β(x λ)(x ν) γ(x λ)(x μ) 0 ,όπου α, β,γ 0 και λ μ ν , έχει δυο ρίζες άνισες, μια στο διάστημα( λ , μ)και μια στο (μ,ν).9. Να βρείτε το πρόσημα της συνάρτησης f για όλες τις πραγματικέςτιμές του x, όταν:3 2i) f ( x) x 2x x 2ii)f4 2( x) x 9xiii) f ( x) εφx 3 , x ( π,π)iv) f ( x) ημx συνx, x [ 0,2π].10. Να βρείτε το σύνολο τιμών των συναρτήσεωνi) f ( x) ln x 1, x [ 1, e]ii) f ( x) x 2 , x (0,2)iii) f ( x) 2ημx1, x 0,π iv) f ( x) ex 1,x (,0]. 6 B΄ ΟΜΑΔΑΣ(x κ)(x κ), x 21. Αν f ( x) , να προσδιορίσετε το κ, ώστε η fκx 5 , x 2να είναι συνεχής στο x 2 .02 2αx βx 12, x 12. Αν f ( x) 5 , x 1, να βρείτε τις τιμές τωναx β , x 1τις οποίες η f να είναι συνεχής στο x0 1 .α, β για3. i) Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο x 0 0 . Να*βρείτε το f (0) , αν για κάθε x ισχύειx f ( x) συνx1.ii) Ομοίως, να βρείτε το g(0) για τη συνάρτηση g που είναι συνεχήςστο x0 0 και για κάθε x ισχύει| xg(x)x2 ημx| .4. Αν οι συναρτήσεις f , g είναι ορισμένες και συνεχείς στο [0,1] καιπληρούν τις σχέσεις f (0) g(0) και f ( 1) g(1), να αποδείξετε ότιυπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (0,1) τέτοιο ώστε f (ξ) g(ξ).


2001 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ5. Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις:46x 1x 1α) 0x 1x 2έχουν μια, τουλάχιστον, ρίζα στο (1,2) .e x ln xβ) 0x 1x 26. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να αποδείξετε ότι οι γραφικέςπαραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν ένα ακριβώς κοινόσημείοx11i) f ( x) e και g( x) ii) f ( x) ln x και g( x)xx7. i) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1], για την οποίαισχύει2x f2 ( x) 1 για κάθε x [1,1].α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f ( x) 0 .β) Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί το πρόσημό της στο διάστημα( 1,1) .γ) Ποιος μπορεί να είναι ο τύπος της f και ποια η γραφική της παράσταση;ii) Με ανάλογο τρόπο να βρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης fστο σύνολο , για την οποία ισχύει2 2f ( x) x για κάθε x .8. Δίνεται το τετράγωνο ΟΑΒΓτου διπλανού σχήματος και μίαΓ(0,1) Β(1,1)συνεχής στο [0,1] συνάρτηση fτης οποίας η γραφική παράστασηβρίσκεται ολόκληρη μέσαστο τετράγωνο αυτό.i) Να βρείτε τις εξισώσεις τωνδιαγωνίων του τετραγώνουκαιΟ(0,0) Α(1,0) xii) Να αποδείξετε με το θεώρημα του Bolzano ότι η C fτέμνει και τιςδύο διαγώνιες.9. Στο διπλανό σχήμα η καμπύληyΜ 0 (x 0 ,y 0 )B(β,f(β))C είναι η γραφικήπαράσταση μιας συνάρτησηςf που είναι συνεχήςΜ(x,f(x))στο [α, β] και τοΑ(α,f(α))Μ 0( x 0, y0)είναι ένα σημείοxτου επιπέδου,O aβy


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 201i) Να βρείτε τον τύπο της απόστασης d( x) ( M 0M ) του σημείουM x , ) από το σημείο M ( x,f ( x))της C για κάθε x [ α,β].0( 0y0fii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση d είναι συνεχής στο[ α,β]και στησυνέχεια ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, σημείο τηςC fπου απέχειαπό τοM0λιγότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της και ένα,τουλάχιστον, σημείο τηςC που απέχει από το M0fπερισσότερο απόότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της.ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣΣε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμαΑ, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναιψευδής, αιτιολογώντας συγχρόνως την απάντησή σας.x1. Αν f ( x) ln x και g(x) e , τότε1*α) ( g f )( x) , x Α Ψxβ) ( f g)(x) x, x Α Ψf ( x)2. Αν lim l , τότε lim f ( x) 0 . A Ψx1x 1x13. Είναι lim 1 11x lim lim 0lim 00 2 x. A Ψx0 0 20 x xxxx xxx2 xΙ.4. Αν f ( x) 1 για κάθεx κατ’ ανάγκη lim f ( x) 1.x0και υπάρχει τοlim f ( x), τότεx0ΑΨ 1 5. Ισχύει: α) lim xημ 1xx Α Ψημxβ) lim 1 .xxΑ Ψ


2021 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ6. Αν 0 f ( x) 1 κοντά στο 0, τότε lim(x2 f ( x)) 0 . Α Ψx07. Αν1f ( x)2x, x ( α,), τότε κατ’ ανάγκη θα είναιlim f ( x) 0 .xΑΨ8. Αν υπάρχει το lim( f ( x)g(x)), τότε είναι ίσο μεx6f ( 6) g(6). Α Ψ9. Αν lim | f ( x)| 1, τότε κατ’ ανάγκη θα είναιxx0lim f ( x) 1 ή lim f ( x) 1. Α Ψxx0xx010.Ανlim | f ( x)| 0 , τότεxx0limxx0f ( x) 0 . Α Ψ11. Αν η f είναι συνεχής στο και για x 4 ισχύειxf ( x)2 7x12, τότε το f (4) είναι ίσο με 1.Α Ψx 412. Αν η f είναι συνεχής στο [ 1,1]και f ( 1) 4 , f ( 1) 3 ,τότε υπάρχει πραγματικός αριθμός x ( 1, 1)τέτοιος,ώστε f ( x 0) π .ΙΙ.0ΑΨΝα κυκλώσετε τη σωστή απάντηση σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις1. Αν lim f ( x) l ,xx0lim g(x) mxx0, l, m f ( x)g(x)και κοντά στο ,x 0τότε κατ’ ανάγκη θα είναι:Α) l mΒ)Δ) l mΕ)l mΓ) l mm l .2(1 2x)2. Το όριο limx2 3( x 1)3είναι ίσο με:Α) 8 Β) 1 Γ) 0 Δ) Ε) 8 .3 2| x x 1| x3. Το limx2x3 x2είναι ίσο με:Α) Β) Γ) 1 Δ) 1 Ε) 0.


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2034. Αν τοlimx3xx302 x 2xδεν υπάρχει, τότε:x xΑ) x0 0 Β) x0 2 Γ) x0 1Δ) x0 1.1. Δίνονται οι συναρτήσειςΙΙΙ.1f ( x) 12( 2) καιx Από τους Παρακάτω ισχυρισμούς λάθος είναι ο:Α) η g είναι συνεχής στο 2Β) η f είναι συνεχής στο 11g ( x) .x2 1Γ) η g έχει δυο σημεία στα οποία δεν είναι συνεχήςΔ) lim f ( x) 1 .x2. Ποια από τα παρακάτω όρια είναι καλώς ορισμένα;Α) lim x20 x 1x09Γ) lim 3x x 1xΒ) lim x20 x 1x09Δ) lim 3x x 1x33Ε) lim[ln( x x 1)]ΣΤ) lim[ln( x x 1)].x03. Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα Δ [0,3] ,με f ( 0) 2 , f ( 1) 1 και f ( 3) 1.x0Ποιος από τους παρακάτω ισχυρισμούς δεν προκύπτει κατ’ ανάγκηαπό τις υποθέσεις;Α) Υπάρχει x0 (0, 3) τέτοιος, ώστε f ( x 0) 0 .Β) lim f ( x) 1.x3Γ) lim f ( x) f (2) .x2Δ) [ 1,2] f ( Δ).Ε) Η μέγιστη τιμή της f στο [0, 3] είναι το 2 και η ελάχιστη τιμή τηςτο 1 .


2041 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΗ έννοια της συνάρτησηςΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑΗ έννοια της συνάρτησης, ως έκφραση μιας εξάρτησης ανάμεσα σε δύοσυγκεκριμένες ποσότητες, εμφανίζεται μ’ έναν υπονοούμενο τρόπο ήδηαπό την αρχαιότητα. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελούν οι πίνακεςχορδών της “Αλμαγέστης”, του Έλληνα μαθηματικού και αστρονόμουτης αλεξανδρινής περιόδου Κλαύδιου Πτολεμαίου. Στη μια στήλη αυτώντων πινάκων υπάρχουν τα μήκη των τόξων ενός κύκλου και στην άλλη ταμήκη των αντίστοιχων χορδών. Χρησιμοποιώνταςτην έννοια του ημιτόνουAστον μοναδιαίο κύκλο μπορούμε ναεκφράσουμε αναλυτικά τη “συνάρτηση”των πινάκων του Πτολεμαίου ωςΟ x Mεξής:xχορδή τόξου ( x) AB 2AM 2ημ .B2Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοιατης συνάρτησης εμφανίζεται στους λογαριθμικούς πίνακες που κατασκευάστηκανστις αρχές του 170υ αιώνα.Τα γεγονότα που έδωσαν αποφασιστική ώθηση στην ανάπτυξη της έννοιαςτης συνάρτησης ήταν η δημιουργία της Άλγεβρας (χρήση γραμμάτων καιειδικών συμβόλων για την αναπαράσταση μαθηματικών πράξεων, σχέσεων,αγνώστων κ.λπ.) και της αναλυτικής γεωμετρίας (χρήση του αλγεβρικούσυμβολισμού σε γεωμετρικά προβλήματα). Ο Descartes, στο έργο του“La Geometrie” (1637), παρουσιάζοντας τη μέθοδο προσδιορισμού μιαςκαμπύλης από μια εξίσωση ως προς x και y (τα οποία εκφράζουν τα ευθύγραμματμήματα-συντεταγμένες των σημείων της καμπύλης), περιέγραψεγια πρώτη φορά τη δυνατότητα αναλυτικής αναπαράστασης μιας σχέσηςεξάρτησης ανάμεσα σε μεταβλητές ποσότητες:“Αν λοιπόν πάρουμε διαδοχικά ένα άπειροπλήθος διαφορετικών τιμών για το τμήμα yτότε θα προκύψει ένα άπειρο πλήθος τιμώνγια το τμήμα x και επομένως μια απειρίαδιαφορετικών σημείων, με τη βοήθεια τωνοποίων μπορεί να σχεδιαστεί η ζητούμενη yκαμπύλη”.xΟ όρος “συνάρτηση” (από το λατινικό ρήμαfungor, που σημαίνει εκτελώ, λειτουργώ)εμφανίστηκε για πρώτη φορά το 1673 σ’ ένα χειρόγραφο του Leibnizμε τίτλο “Η αντίστροφη μέθοδος των εφαπτομένων ή περί συναρτήσεων”(Methodus tangentium inversa, seu de functionibus), στο οποίο εξετάζεταιο υπολογισμός των τεταγμένων y των σημείων μιας καμπύλης όταν είναιγνωστή κάποια ιδιότητα των αντίστοιχων εφαπτομένων. Ο όρος αυτός άρχισενα αποκτά από εκείνη την εποχή μια ιδιαίτερη σημασία για την ανα-


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 205παράσταση ποσοτήτων που εξαρτώνται από άλλες μεταβλητές ποσότητες,ιδιαίτερα όταν η εξάρτηση αυτή μπορεί να πάρει τη μορφή μιας αναλυτικήςέκφρασης. Ο J. Bernoulli έδωσε το 1718 τον επόμενο γενικό ορισμό:“Ονομάζω συνάρτηση ενός μεταβλητού μεγέθους μια ποσότητα που σχηματίζεταιμε οποιοδήποτε τρόπο από αυτό το μεταβλητό μέγεθος και από σταθερές”.Η αντίληψη της συνάρτησης ως “αναλυτικής έκφρασης” κυριάρχησε γιαένα μεγάλο χρονικό διάστημα, στη διάρκεια του οποίου η μαθηματική α-νάλυση ορίζονταν ως η γενική επιστήμη των μεταβλητών και των συναρτήσεώντους. Ο επόμενος ορισμός, που ταυτίζει την έννοια της συνάρτησηςμε αυτήν της “αναλυτικής έκφρασης”, δόθηκε από τον L. Euler το1748, στο έργο του “Εισαγωγή στην απειροστική ανάλυση”.“Συνάρτηση μιας μεταβλητής ποσότητας ονομάζεται μια αναλυτική έκφρασηπου σχηματίζεται με οποιοδήποτε τρόπο από αυτή τη μεταβλητή ποσότητακαι αριθμούς ή σταθερές ποσότητες”.Η παραπέρα εξέλιξη της έννοιας της συνάρτησης προήλθε κυρίως από τηνπροσπάθεια μαθηματικής ερμηνείας φυσικών προβλημάτων, όπως π.χ. τοπρόβλημα μιας παλλόμενης χορδής, στερεωμένης στα δυο άκρα της. Σ’αυτό το πρόβλημα, που απασχόλησε ιδιαίτερα τους επιστήμονες στη διάρκειατου 18ου αιώνα, ζητείται να προσδιοριστεί μια συνάρτηση της μορφήςy f ( x,t)που περιγράφει το σχήμα της χορδής σε μια δεδομένη χρονικήστιγμή t. Το είδος όμως των συναρτήσεων που υπεισέρχονται σ’ αυτότο ζήτημα είναι τόσο γενικό, που ανάγκασε τους μαθηματικούς να α-ναθεωρήσουν την καθιερωμένη αντίληψη ότι κάθε συνάρτηση ταυτίζεταιμε μια αναλυτική έκφραση και να αναζητήσουν γενικότερους ορισμούς. ΟL. Euler, ήδη από το 1755 διατύπωσε ένα τέτοιο ορισμό, απαλλαγμένοαπό την άμεση αναφορά στην έννοια της “αναλυτικής έκφρασης”.“Αν κάποιες ποσότητες εξαρτώνται από άλλες ποσότητες με τέτοιο τρόποώστε, όταν οι τελευταίες αλλάζουν συμβαίνει το ίδιο και με τις πρώτες, τότεοι πρώτες ονομάζονται συναρτήσεις των τελευταίων. Αυτός ο ορισμός είναιπολύ ευρύς και περιλαμβάνει κάθε μέθοδο με την οποία μια ποσότητα θαμπορούσε να προσδιοριστεί από άλλες. Αν λοιπόν το x υποδηλώνει μια μεταβλητήποσότητα, τότε όλες οι ποσότητες που εξαρτώνται από το x με ο-ποιοδήποτε τρόπο ή προσδιορίζονται από αυτό, ονομάζονται συναρτήσειςτου x”.Οι νέες αυτές αντιλήψεις οδήγησαν βαθμιαία στην έννοια της συνάρτησηςως αυθαίρετης αντιστοιχίας ανάμεσα στα στοιχεία δυο συνόλων, που δενακολουθεί υποχρεωτικά κάποιο “νόμο”. Ο J. Fourier, το 1822, επισήμανερητά αυτό το σημείο με την εξής παρατήρηση: “Γενικά, η συνάρτησηf (x) παριστάνει μια διαδοχή τιμών ή τεταγμένων, καθεμιά από τις οποίεςείναι αυθαίρετη. Αν δοθεί μια απειρία τιμών στην τετμημένη x, θα υπάρχουνίσου πλήθους τεταγμένες f (x) . Όλες έχουν πραγματικές αριθμητικέςτιμές, θετικές ή αρνητικές ή μηδέν. Δεν προϋποθέτουμε ότι αυτές οι τεταγμένεςυπόκεινται σ’ ένα κοινό νόμο διαδέχονται η μια την άλλη με.οποιο-


2061 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣδήποτε τρόπο και καθεμιά από αυτές δίνεται σαν να ήταν μια μοναδική ποσότητα”.Η έννοια της συνέχειαςΤην περίοδο που η έννοια της συνάρτησηςταυτίζονταν με αυτήν της “αναλυτικήςέκφρασης”, υπήρχαν δυο διαφορετικέςαντιλήψεις για την έννοιατης συνέχειας. Η μία από αυτές, με καθαράγεωμετρική προέλευση, εξέφραζετην ιδιότητα μιας καμπύλης να μη παρουσιάζει“διακοπές” . η άλλη, μεπροέλευση κυρίως από τη φυσική, εξέφραζετην ιδιότητα ενός φαινομένου ναακολουθεί τον ίδιο “νόμο”, την ιδιότηταμιας συνάρτησης να διατηρεί την ί-δια αναλυτική έκφραση σ’ ολόκληροτο πεδίο ορισμού της. Σ’ αυτήν την τελευταίααντίληψη περί συνέχειας ά-σκησε έντονη κριτική ο A. L. Cauchyτο 1844, σημειώνοντας τα εξής: “Σταέργα των Euler και Lagrange, μια συνάρτησηονομάζεται συνεχής ή ασυνεχήςανάλογα με το αν οι διαφορετικέςτιμές αυτής της συνάρτησης υπόκεινταιή όχι στον ίδιο νόμο, προκύπτουν ή όχιαπό μια μοναδική εξίσωση. Όμως αυτόςο ορισμός πολύ απέχει από το να θεωρηθεί μαθηματικά ακριβής . γιατί αν οιδιαφορετικές τιμές μιας συνάρτησης εξαρτώνται από δυο ή περισσότερεςδιαφορετικές εξισώσεις, τίποτα δεν μας εμποδίζει να μειώσουμε τον αριθμόαυτών των εξισώσεων ή ακόμη και να τις αντικαταστήσουμε από μια απλήεξίσωση, της οποίας η ανάλυση θα μας έδινε όλες τις υπόλοιπες. Επομένως,αν κανείς θεωρήσει τον ορισμό των Euler και Langrange εφαρμόσιμο σεόλα τα είδη των συναρτήσεων, τότε μια απλή αλλαγή του συμβολισμού είναισυχνά αρκετή για να μετασχηματίσει μια συνεχή συνάρτηση σε ασυνεχή καιαντίστροφα. Έτσι π.χ., αν το x συμβολίζει μια πραγματική μεταβλητή, τότε ησυνάρτηση που ισούται με x ή x , ανάλογα με το αν η μεταβλητή x είναιθετική ή αρνητική, πρέπει για το λόγο αυτό να τοποθετηθεί στην κλάση τωνασυνεχών συναρτήσεων . όμως η ίδια συνάρτηση θα μπορούσε να θεωρηθεί2ως συνεχής όταν γραφεί στη μορφή xΈτσι, ο χαρακτήρας της συνέχειας των συναρτήσεων, θεωρούμενος από τοσημείο όπου οι γεωμέτρες σταμάτησαν για πρώτη φορά, είναι ασαφής καιαβέβαιος. Η αβεβαιότητα όμως θα εξαφανιστεί, αν στη θέση του ορισμού(1) .yOx 0 xΑσυνέχεια στο x 0 λόγω διακοπήςτης καμπύλης σ’αυτότο σημείοyOx 0 xΑσυνέχεια στο x 0 λόγω μεταβολήςτης αναλυτικής έκφρασηςσ’αυτό το σημείο.(1)Είναι φανερό ότι ο Cauchy χρησιμοποιεί εδώ, χωρίς να την ονομάζει, τη συνάρτηση απόλυτη τιμή.


1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 207του Euler αντικαταστήσουμε αυτόν που έχω δώσει στο κεφάλαιο ΙΙ του έργουμου “Αλγεβρική ανάλυση” …”.Ο ορισμός, στον οποίο αναφέρεται εδώ ο Cauchy, αποτελεί ουσιαστικάτην πρώτη απόπειρα μελέτης της έννοιας της συνέχειας με λογική αυστηρότητα.Αποσυνδέοντας αυτήν την έννοια από κάθε γεωμετρική εποπτείακαι εξάρτηση από την έννοια της “αναλυτικής έκφρασης”, τη μετασχημάτισεσε μια καθαρά αριθμητική ιδιότητα των συναρτήσεων, που μπορεί ναγίνει αντικείμενο λογισμού. Ο ορισμός αυτός του Cauchy, που δόθηκε το1821, έχει ως εξής: (έναν παρόμοιο ορισμό είχε δώσει και ο B. Bolzano το1817).“Έστω f (x) μια συνάρτηση της μεταβλητής x και ας υποθέσουμε ότι γιακάθε τιμή του x σ’ ένα δοσμένο διάστημα η συνάρτηση αυτή έχει πάντοτεμια μοναδική και πεπερασμένη τιμή. Αν δώσουμε στην μεταβλητή x μια α-πειροελάχιστη αύξηση α, η συνάρτηση θα αυξηθεί κατά τη διαφοράf (x ) f ( x), η οποία εξαρτάται από τη νέα μεταβλητή α και την τιμήπου είχε το x. Σ’ αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση f (x) θα ονομάζεταισυνεχής στο διάστημα της μεταβλητής x, αν για κάθε τιμή του x σ’ αυτό τοδιάστημα, η απόλυτη τιμή της διαφοράς f ( x ) f ( x)μικραίνει επ’ άπειρονμαζί μ’ αυτήν του α. Με άλλα λόγια, η f (x) θα παραμένει συνεχής ωςπρος x, αν μια απειροελάχιστη αύξηση της μεταβλητής παράγει πάντοτε μιααπειροελάχιστη αύξηση της ίδιας της συνάρτησης”.Η έννοια του ορίουΗ έννοια της συνέχειας καθώς και ορισμένες άλλες βασικές έννοιες τηςανάλυσης που θα γνωρίσουμε στα επόμενα κεφάλαια (όπως π.χ. η παράγωγοςκαι το ολοκλήρωμα) περιείχαν, στα πρώτα στάδια της εξέλιξήςτους, ορισμένες ασάφειες, που οφείλονταν κυρίως στην αδυναμία των μαθηματικώννα διαπραγματευθούν με λογική αυστηρότητα την έννοια τουαπείρως μικρού και του απείρως μεγάλου. Αυτή η αδυναμία οδηγούσεπολλούς να αμφισβητούν τα θεμέλια πάνω στα οποία στηρίζονταν το οικοδόμηματης μαθηματικής ανάλυσης και να συνδέουν τα εντυπωσιακάαποτελέσματά της με ορισμένες μεταφυσικές ερμηνείες.Οι μαθηματικοί προσπάθησαν να ξεπεράσουν αυτές τις δυσκολίες εισάγονταςτην ιδέα του ορίου, με την οποία, αρχικά, εκφράζονταν η δυνατότηταμιας μεταβαλλόμενης ποσότητας να προσεγγίζει επ’ άπειρον μια σταθερήποσότητα χωρίς στην πραγματικότητα να τη φτάνει ποτέ. Ο d’ Alembertόρισε το 1765 αυτήν την έννοια στην “Εγκυκλοπαίδεια” του Diderot ωςεξής:“΄Ενα μέγεθος ονομάζεται όριο ενός άλλου όταν το δεύτερο μπορεί ναπροσεγγίζει το πρώτο σε μια απόσταση οσοδήποτε μικρή, αν και ένα μέγεθοςδεν μπορεί να ξεπερνά ποτέ το μέγεθος που προσεγγίζει . έτσι ώστε ηδιαφορά μιας τέτοιας ποσότητας από το όριό της να είναι εντελώς αμελητέα”.Σύμφωνα λοιπόν μ’ αυτόν τον ορισμό, που περικλείει την έννοια της κίνησηςως μια διαδικασία προσέγγισης, ο αριθμός 2 είναι το όριο της ακο-


2081 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣλουθίας 1,9 1,99 1,999 1,9999 …, αλλά όχι όριο ακολουθίας1,9 1,99 2 2 … (γιατί αυτή “φτάνει” το 2), ούτε όριο της ακολουθίας1,9 2,01 1,9999 2,0001 … (γιατί αυτή ξεπερνά το 2).Ο τρόπος με τον οποίο οι μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν την έννοια αυτήτου ορίου φαίνεται χαρακτηριστικά στο επόμενο παράδειγμα, στο οποίο οS.F. Lacroix αποδεικνύει το 1810 ότι lim x xx :x“Έστω ότι δίνεται η συνάρτηση , στην οποία υποθέτουμε ότι το x αυξάνεταιθετικά χωρίς τέλος. Διαιρώντας αριθμητή και παρονομαστή με το x,x βρίσκουμε , ένα αποτέλεσμα που δείχνει καθαρά ότι η συνάρτηση θα1xπαραμένει πάντοτε μικρότερη από το α αλλά θα προσεγγίζει συνέχεια αυτήντην τιμή, αφού το μέρος x του παρονομαστή μειώνεται όλο και περισσότεροκαι μπορεί να μειωθεί όσο θέλουμε. Η διαφορά ανάμεσα στο δοσμένοκλάσμα και την τιμή α εκφράζεται ως2x x x και επομένως γίνεται ολοένα και πιο μικρή, όσο το x γίνεται μεγαλύτερο,και μπορεί να γίνει μικρότερη από οποιαδήποτε ποσότητα, οσοδήποτε μικρή.Συνεπώς, το δοσμένο κλάσμα μπορεί να προσεγγίζει το α όσο κοντάxθέλουμε: άρα το α είναι το όριο της συνάρτησης ως προς την αόριστηαύξηση τουx x”.Για να τυποποιήσουμε αυτήν την μακροσκελή διαδικασία, οι μαθηματικοίπροσπάθησαν να αποσυνδέσουν την έννοια του ορίου από την έννοια τηςκίνησης και να την ορίσουν με καθαρά αριθμητικούς όρους, έτσι ώστε ναγίνει ένα αντικείμενο μαθηματικού λογισμού. Το αποτέλεσμα αυτής τηςπροσπάθειας υπήρξε ο σημερινός “στατικός” ορισμός με τη βοήθεια τωνανισοτήτων και της απόλυσης τιμής, που διατυπώθηκε από τονWeierstrass στα μέσα του 19ου αιώνα. Με αυτόν τον ορισμό, η έννοια τουορίου απογυμνώθηκε από κάθε στοιχείο εποπτείας αλλά έγινε έτσι δυνατόνα αποδειχθούν με λογική αυστηρότητα οι ιδιότητες των ορίων και να τυποποιηθείη διαδικασία υπολογισμού τους.


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣτιγμιαία ταχύτηταΑς θεωρήσουμε ένα σώμα που κινείται κατά μήκος ενός άξονα και ας υποθέσουμεότι S S(t) είναι η τετμημένη του σώματος αυτού τη χρονική στιμή t.OAS(t 0 )S(t)1M 0 Mx=S(t)H συνάρτηση S καθορίζει τη θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t και ονομάζεταισυνάρτηση θέσης του κινητού.Ας υποθέσουμε, τώρα, ότι κάποια χρονική στιγμή t 0 το κινητό βρίσκεται στηθέση M 0 και ότι μετά από παρέλευση χρόνου h, δηλαδή τη χρονική στιγμήt t 0 h , βρίσκεται στη θέση Μ. (Σχ. 1). Στο χρονικό διάστημα από t 0 έως t ημετατόπιση του κινητού είναι ίση με S( t) S(t0) . Άρα, η μέση ταχύτητα τουκινητού σ’ αυτό το χρονικό διάστημα είναιS(t) S(tt t00)μετατόπισηχρόνοςΌσο το t είναι πλησιέστερα στο t 0, τόσο η μέση ταχύτητα του κινητού δίνει μεκαλύτερη προσέγγιση το ρ υ θ μ ό α λ λ α γ ή ς της θέσης του κινητού κοντάστο t0. Για το λόγο αυτό το όριο της μέσης ταχύτητας, καθώς το t τείνει στο t0,το ονομάζουμε στιγμιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t 0και τησυμβολίζουμε με υ( t 0) . Δηλαδή:υ(tS(t) S(t00) lim.t t0t t0).


2102 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΓια παράδειγμα,ανS(t) t2 4tείναι η συνάρτηση θέσης ενός κινητού (Σχ.2β),x24t=4t=0O12(α)34t=2x=S(t)O2 4(β)x=S(t)τότε η στιγμιαία ταχύτητα του κινητού κατά τις χρονικές στιγμές t1 1 , t 2 2και t 3 3 είναι αντιστοίχως:2S(t) S(1) t 4t 3 ( t 1)(t 3) υ(1) lim lim lim 2t1t 1t1t 1t1t 12S(t) S(2) t 4t 4 ( t 2)( t 2) υ(2) lim lim lim 0t2t 2 t2t 2 t2t 22S(t) S(3) t 4t 3 ( t 1)(t 3) υ(3) lim lim lim 2.t3t 3 t3t 3 t3t 3ΣΧΟΛΙΟ΄Οταν ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά, τότε κοντά στοS(t) S(tt t0) 0 , οπότε είναι υ( t ) 0 , ενώ, όταν το κινητό κινείται προς τα αριστεράκοντά στο0t 0tισχύειtισχύειΠρόβλημα εφαπτομένης00 00S(t) S(tt tΕίναι γνωστό από την Ευκλείδεια Γεωμετρία ότιεφαπτομένη ενός κύκλου σε ένα σημείο του Α ο-νομάζουμε την ευθεία η οποία έχει με τον κύκλοένα μόνο κοινό σημείο, το Α. Ο ορισμός αυτός δενμπορεί να γενικευτεί για οποιαδήποτε καμπύλη,2γιατί, με έναν τέτοιο ορισμό η παραβολή y xθα είχε στο σημείο(Σχ. 4α), ενώ ηA(1,1)A(1,1)3y xκαμία εφαπτομένη (Σχ. 4β).0)δύο εφαπτόμενες ε και ζδεν θα είχε στο σημείο, οπότε είναι υ ( t 0) 0 .OΑ3ε


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 211yy4A(1,1)y=x 2A(1,1)y=x 3Ο xΟxεζ(α)Επομένως, πρέπει να αναζητήσουμε έναν άλλον ορισμό της εφαπτομένης τουκύκλου, ο οποίος να μπορεί να γενικευτεί για όλες τις καμπύλες.Θεωρούμε, λοιπόν, ένα άλλο σημείο Μ τουκύκλου (Σχ. 5). Τα σημεία A, M ορίζουν μια5τέμνουσα του κύκλου, την ευθεία AM . Καθώςτο σημείο Μ, κινούμενο πάνω στον κύ-ΜOκλο πλησιάζει στο Α, η τέμνουσα ΑΜ φαίνεταινα έχει ως “οριακή θέση” την εφαπτομένηΜ εφαπτομένηΜτου κύκλου στο Α.στο ΑΤη διαπίστωση αυτή θα δούμε, τώρα, πωςΑμπορούμε να την αξιοποιήσουμε για να ορίσουμετην εφαπτομένη της γραφικής παράστασηςμιας συνάρτησης σε ένα σημείο της. Έστω f μία συνάρτηση και A( x0 , f ( x0)) ένα σημείο της γραφικής της παράστασης.yOC fM(x,f(x))MA(x 0 ,f(x 0 ))x 0(α)xεxyOC fxM(x,f(x))M(β)x 0A(x 0 ,f(x 0 ))Αν πάρουμε ένα ακόμη σημείο M ( x,f ( x)), x x0, της γραφικής παράστασηςτης f και την ευθεία ΑΜ που ορίζουν τα σημεία Α και M, παρατηρούμε ότι:Καθώς το x τείνει στο x0με x x0 , η τέμνουσα ΑΜ φαίνεται να παίρνει μιαοριακή θέση ε (Σχ. 6α). Την ίδια οριακή θέση φαίνεται να παίρνει και όταν το x(β)ε6x


2122 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣτείνει στο x0με x x0(Σχ. 6β). Την οριακή θέση της ΑΜ θα μπορούσαμε νατην ονομάσουμε εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α. Επειδή ηf ( x) f ( x0 )κλίση της τέμνουσας ΑΜ είναι ίση με, είναι λογικό να αναμένουμεx x0( x0 , f ( x0ότι η εφαπτομένη της C στο σημείο A )) θα έχει κλίση τοf ( x ) f ( xlimxx0x x0Έτσι δίνουμε τον παρακάτω ορισμό.ΟΡΙΣΜΟΣfΈστω f μια συνάρτηση και A x , f x )) ένα σημείο της C . Αν υπάρχει τοxx00( 0( 0f ( x) f ( x0)limκαι είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφα-x xπτομένη της C fστο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έ-χει συντελεστή διεύθυνσης λ.0 ).fΕπομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείοA( x0 , f ( x0))είναιόπουy f (x λ(x ) ,0) x0f ( x) f ( x0)λ lim.xx0x xΓια παράδειγμα, έστω η συνάρτησητο σημείο της A( 1,1) . Επειδή0f ( x) x2καιy7limx1ορίζεται εφαπτομένη της2f ( x) f (1) x 1 limx 1x1 x 1 lim( x 1) 2 ,x1στο σημείο τηςC fA(1,1) . Η εφαπτομένη αυτή έχει συντελεστή διεύθυνσηςλ 2 και εξίσωση y 1 2(x 1).y=x 2OA(1,1)xΟρισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείοΣτα προηγούμενα, οι ορισμοί της στιγμιαίας ταχύτητας ενός κινητού και τηςεφαπτομένης σε σημείο μιας καμπύλης μας οδήγησαν σε ένα όριο της μορφής( x ) f ( xlim f xx0x xΓια την ιδιαίτερη περίπτωση που το παραπάνω όριο υπάρχει και είναι πραγματικόςαριθμός, δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό:00 ).


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 213ΟΡΙΣΜΟΣΜια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείοορισμού της, αν υπάρχει τοf ( xlim) f ( xxx0 x x00 )x 0του πεδίουκαι είναι πραγματικός αριθμός.Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στοf ( x0) . Δηλαδή:f ( x) f ( x0)f (x0) lim.xx0 x x0x 0και συμβολίζεται μεΓια παράδειγμα, ανf ( x) x 2 1, τότε στο x 1 έχουμε0Επομένως, f ( 1) 2 .2f ( x) f (1) x 1( x 1)(x 1)lim lim lim lim( x 1) 2 .x1x 1x1x 1x1x 1x1Αν, τώρα, στην ισότηταf ( x) f ( x0)f (x0) limxx0x x0θέσουμεχουμεf ( x0 h) f ( x0)f (x0) lim.h0hΠολλές φορές το h x συμβολίζεται με Δx, ενώ τοfx 0x x 0 h , τότε έ-f( x0 x0 h) f ( ) Δx) f ( ) συμβολίζεται με Δf x ) , οπότε ο παραπάνω τύπος γράφεται:( x0 x0Δf ( x0)f ( x0) lim .Δx0ΔxΗ τελευταία ισότητα οδήγησε το Leibniz να συμβολίσει την παράγωγο στομεdf x )( 0( 0 df ( x)ήx x. Ο συμβολισμός f ( x )00είναι μεταγενέστερος και οφεί-dx dxλεται στον Lagrange.Είναι φανερό ότι, αν τοορισμού της f, τότε:x 0Η f είναι παραγωγίσιμη στοείναι εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος του πεδίου, αν και μόνο αν υπάρχουν στο τα όριαx 0x 0limxx0f ( x) f ( xx x00),limxx0f ( x) f ( xx x00)και είναι ίσα.


2142 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΓια παράδειγμα,2x , x 0— η συνάρτηση f ( x) είναι παραγωγίσιμηστο 0 με f ( 0) 0 ,2 x , x 0αφούκαιενώlim2f ( x) f ( 0) x 0 lim 0x 0 x0xx0 limx0f ( x) f (0) x limx 0 x02 0 0 ,x3 x , x 0— η συνάρτηση f ( x) δεν είναι παραγωγίσιμηστο 0,5x, x 0αφούy8y=x 2O xy=x 2 y9y=5xκαιlimf ( x) f ( 0) x limx 0 x0x0 limf ( x) f ( 0)x 0x0 3 0 0x5x 0lim 5 .x 0 xy=x 3O xΣΧΟΛΙΑΣύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό: Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή t 0, είναι η παράγωγοςτης συνάρτησης θέσης x S(t) τη χρονική στιγμή t0. Δηλαδή, είναιυ) S() .( t 0 t 0 Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της C fμιας παραγωγίσιμηςσυνάρτησης f, στο σημείο A( x0 , f ( x0)) είναι η παράγωγος της f στο x0. Δηλαδή,είναιλ f x ) ,(0οπότε η εξίσωση της ε φ α π τ ο μ έ ν η ς ε είναι:y f ( x0 ) f (x0)( x x0)Την κλίση f x ) της εφαπτομένης ε στο A x , f ( )) θα τη λέμε και κλίση της( 0C στο Α ή κλίση της f στο x 0.fΚατακόρυφη εφαπτομένη(0x0


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 215 Ας δούμε, τώρα, αν μπορούμε να ορίσουμεεφαπτομένη της γραφικής παράστασης μιαςσυνεχούς συνάρτησης f σ’ ένα σημείο τηςA x , f ( )) , όταν η f δεν είναι παραγωγίσιμη(0x0στο x0.y x— Έστω για παράδειγμα η συνάρτησηM(x,f(x))f ( x) x (Σχ. 10).y+10Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο 0, αλλάδεν είναι παραγωγίσιμη σ’ αυτό, αφούf ( x) f (0)lim limx x0x00xx limx01 .xO xΠαρατηρούμε όμως ότι, αν M ( x,f ( x)), x 0 , είναι ένα σημείο της , τότε,καθώς το x τείνει στο 0, η τέμνουσα ΟΜ φαίνεται να παίρνει ως οριακή θέσητην κατακόρυφη ευθεία που περνάει από το Ο, δηλαδή τείνει να συμπέσει με τονάξονα yy . Στην περίπτωση αυτή ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης τηςf στο O (0,0) ορίζουμε την κατακόρυφη ευθεία x 0 .C f— ΄Εστω τώρα και η συνάρτησηf ( x) | x | . (Σχ. 11)y+11Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο 0,αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ’ αυτό,αφούM(x,f(x))M(x,f(x))limf ( x) f (0) limx x00x0 xx limx01 x O xκαιlimf ( x) f (0) limx x00x0xx limx01x .Παρατηρούμε όμως και εδώ ότι, αν M ( x,f ( x)), x 0 , είναι ένα σημείο της ,τότε, καθώς το x τείνει στο 0, η τέμνουσα ΟΜ τείνει να συμπέσει με τον άξοναy y . Στην περίπτωση αυτή ως εφαπτομένη της στο O(0, 0)ορίζουμε την κατακόρυφηευθεία x 0 .Γενικά:ΟΡΙΣΜΟΣC fC f


2162 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΑν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στοσυνθήκες:fα) ( x ) f ( x ) 0lim xx0 x x0(ή )x 0και ισχύει μια από τις παρακάτωfβ) ( x ) f ( x ) 0lim xx0 x xfγ) ( x ) f ( x ) 0lim xx0 x x00καικαιf ( x ) flim( xx xx0 x0f ( x ) flim( xx xx0 x00 )0 ) ,,φη ευθεία x x0.Για παράδειγμα, η γραφική παράσταση της συνάρτησηςτότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C στο σημείο A x , f ( )) την κατακόρυf(0x0f ( x) xx,,x 0x 0(Σχ. 12)y+12δέχεται στο σημείο της O(0,0) κατακόρυφηεφαπτομένη, την x 0 , αφού είναι συνεχήςστο 0 και ισχύειlimx0limx0f ( x) f (0) limx 0 x0f ( x) f (0) limx 0 x0 xxxx lim limx0x01x1 x .O x Αν μια συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμηστο x 0και δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις τουπαραπάνω ορισμού, τότε δεν ορίζουμε εφαπτομένητης Cfστο σημείο A( x0 , f ( x0)) .Για παράδειγμα, η γραφική παράσταση της συνάρτησης+yy=x 2 13O x xf ( x) 2x,,x 0,x 0y=xδεν έχει εφαπτομένη στοO(0,0) , αφούlimx0f ( x) f (0) limx 0 x0xx 1 ,


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 217ενώlimx02f ( x) f (0) x limx 0 x0x lim x 0 .x0Παράγωγος και συνέχειαΈστω η συνάρτηση f ( x)|x | . Η f είναι συνεχήςστο x 0 0 , αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ’ αυτό,αφούlimf ( x) f ( 0)x 0x0 limx0 limx 0xx 1 , ενώf ( x) f (0) x lim 1.x 0 x0xy 14O xx 0Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια συνάρτηση f μπορεί να είναι συνεχής σ’ ένασημείο χωρίς να είναι παραγωγίσιμη σ’ αυτό. Αν, όμως, η f είναι παραγωγίσιμηστο x0, τότε θα είναι και συνεχής στο x0, δηλαδή ισχύει το παρακάτωθεώρημα:ΘΕΩΡΗΜΑΑν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείονεχής στο σημείο αυτό., τότε είναι και συx0ΑΠΟΔΕΙΞΗΓια x x 0έχουμεοπότεf ( x) f ( x0)f x) f ( x0 ) (x x ) ,x x(00 f ( x) f ( x0) lim[f ( x) f ( x0)] lim (x x0) xx0xx0 x x0f ( x) f ( x0) lim lim ( x x0)xx0x x xx00αφού η f είναι παραγωγίσιμη στοείναι συνεχής στο . ■ x 0ΣΧΟΛΙΟf ( x 0) 0 0 ,x0. Επομένως, lim f ( x) f ( x0)xx0, δηλαδή η f


2182 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΑν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ’ ένα σημείοπροηγούμενο θεώρημα, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο .x 0, τότε, σύμφωνα με τοx 0ΕΦΑΡΜΟΓΗΓια ποιες τιμές τουΛΥΣΗ22x x α , x 0α , η συνάρτηση f ( x) είναι:3 x αx 1 , x 0i) συνεχής στο x0 0 ; ii) παραγωγίσιμη στο x 0 0 ;i) Η f είναι συνεχής στο x0 0 , αν και μόνο ανlimx0f ( x) limx0f ( x)f (0)ή, ισοδύναμα,ii) Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:2α 1 α 1 ή α 1. Αν α 1,1 , η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής και επομένως δεν είναι παραγωγίσιμη. Ανα 1 , η συνάρτηση γράφεται— Για x 0 , έχουμε2x x 1, x 0f ( x) .3x x 1, x 0οπότε— Για x 0 έχουμεf ( x) f (0) xx 0limx02 x 11x(x 1) x 1,x xf ( x) f (0) lim( x 1) 1.x 0 x0οπότε32f ( x) f (0) x x 11x(x 1)2 xx 0 x xlimx0f ( x) f (0) lim( xx 0 x021) 1 .1,


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 219Άρακαι επομένως, γιαlimf ( x) f (0) limx 0 x0f ( x) f (0)x 0x0 α 1 η f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 .0 Ανα 1 , η συνάρτηση γράφεται— Για x 0 , έχουμε2xf ( x) 3x x 1, x 1,x 0x 0οπότε— Για x 0 έχουμεf ( x) f (0) xx 0limx02 x 11x(x 1) x 1,x xf ( x) f (0) lim( x 1) 1.x 0 x0οπότεΆρακαι επομένως, γιαf x) f (0) xx 02 x 11x(x 1) xx x3( 2limx0limf ( x) f (0) lim( xx 0 x0f ( x) f (0)x 0lim21) 1.f ( x) f (0)x 0x0 x01,α 1 η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x 0 .0ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο x 0, ότανi) ( ) x 2 1f x 1, x0 0ii) f ( x) , x 12 0x2iii) f ( x) ημ x , x 0 0 .2. Να βρείτε (αν υπάρχει) την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο, όταν x 0


2202 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣi) f ( x) x | x | , x 0 ii) f ( x)|x 1|, x 0 102iii) f ( x)|x 3x| ,2x x 1, x 0x0 1 iv) f ( x) , x0 0 . x 1, x 03. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0, να αποδείξετε ότι η συνάρτησηg( x) xf ( x)είναι παραγωγίσιμη στο 0.4. Αφού μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο x 0τις παρακάτω συναρτήσεις,να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμες στο σημείο αυτό.2x1, x 0i) f ( x) , αν3 x , x 0x 0 ii) f ( x)|x 1|1, αν x 1.005. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της (αν ορίζεται) στοA( x , f ( x00))για κάθε μία από τις συναρτήσεις των ασκήσεων 1 και 2.Β΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f ( x) 2 x xημ | x | στοσημείο x 0 0 .2 32. Αν για μία συνάρτηση f ισχύει f ( 1h) 2 3h 3h h , για κάθεh , να αποδείξετε ότι:i) f ( 1) 2ii) f ( 1) 3 . 1 , x 03. Αν f ( x) 1x , να αποδείξετε ότι ορίζεται εφαπτομένη τηςημx1, x 0γραφικής παράστασης στο σημείο A(0,1) και σχηματίζει με τον άξοναC fτων x γωνίαπ .44. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησηςx 0 0 .1συνx , x 0f ( x) xστο0, x 025. Αν x 1 f ( x) x x 1, για κάθεi) f ( 0) 1x , να αποδείξετε ότι:


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 221f ( x) f (0)ii) 1 x 1, για x 0 καιxf ( x) f (0)1 x 1, για x 0xiii) f ( 0) 1 .6. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο x0 0 και για κάθεx ισχύει:να αποδείξετε ότιημ2x x4 xf ( x) ημ2x xi) f ( 0) 0ii) f ( 0) 1 .f ( x)7. Aν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 και lim 4 , να αποδείξετεx0 xότι:i) f ( 0) 0ii) f ( 0) 4 .8. Nα αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x 0,τότεf ( x0 h) f ( x0)i) lim f (x0)h0hf ( x0 h) f ( x0 h)ii) lim 2 f (x0) .h0h9. Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεωνθέσεως τριών κινητών που κινήθηκαν πάνω στον άξονα xxστο χρονικό διάστημα από 0sec έως 8sec. Να βρείτε:x=S(t) κινητό Γ4κινητό ΑO245678t (sec)κινητό Βi) Ποιο κινητό ξεκίνησε από την αρχή του άξονα κίνησης;ii) Ποιο κινητό κινήθηκε μόνο προς τα δεξιά;


2222 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣiii) Ποιο κινητό άλλαξε φορά κίνησης τη χρονική στιγμή t 2 sec,ποιο τη χρονική στιγμή t 4 sec και ποιο τη χρονική στιγμήt 5 sec;iv) Ποιο κινητό κινήθηκε προς τα αριστερά σε όλο το χρονικό διάστημααπό 0sec έως 4sec;v) Ποιο κινητό τερμάτισε πιο κοντά στην αρχή του άξονα κίνησης;vi) Ποιο κινητό διάνυσε το μεγαλύτερο διάστημα;2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Θα λέμε ότι:— H f είναι παραγωγίσιμη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμησε κάθε σημείο x A .0— Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα ( α,β)του πεδίου ορισμούτης, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο x (α, β) .— Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ α,β]του πεδίου ορισμούτης, όταν είναι παραγωγίσιμη στο ( α,β)και επιπλέον ισχύειf ( x) f ( α)f ( x) f ( β)lim και lim .xαx αxβ x β Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α καιA1τo σύνολο των σημείωντου Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε x A1στοf (x) , ορίζουμε τη συνάρτησηf : A1 Rx f (x),η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της f ή απλά παράγωγος της f. Hdfπρώτη παράγωγος της f συμβολίζεται και με που διαβάζεται “ντε εφ προςdxντε χι”. Για πρακτικούς λόγους την παράγωγο συνάρτηση y f (x)θα τη συμβολίζουμεκαι με y ( f ( x)) .Αν υποθέσουμε ότι το Α1 είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων, τότε η παράγωγοςτης f , αν υπάρχει, λέγεται δεύτερη παράγωγος της f και συμβολίζεταιμε f .0


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 223Επαγωγικά ορίζεται η νιοστή παράγωγος της f, μεf(ν ). Δηλαδήν ) ( ν1)f [ f ] , ν 3 .(ν 3, και συμβολίζεται μεΗ εύρεση της παραγώγου συνάρτησης, με βάση τον ορισμό που δώσαμε, δενείναι πάντα εύκολη. Στη συνέχεια θα δούμε μερικές βασικές περιπτώσεις παραγώγισηςσυναρτήσεων, που θα τις χρησιμοποιούμε στην εύρεση παραγώγου συναρτήσεων(αντί να χρησιμοποιούμε τον ορισμό κάθε φορά).Παράγωγος μερικών βασικών συναρτήσεων ΄Εστω η σταθερή συνάρτηση f ( x) c , c . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμηστο και ισχύει f ( x) 0 , δηλαδή( c ) 0Πράγματι, ανείναι ένα σημείο του , τότε γιαx0x0x ισχύει:Επομένως,δηλαδή ( c) 0 . ■f ( x) f ( xx x00) c cx x0 0 .f ( x) f ( x0)lim 0 ,xx0x x0 Έστω η συνάρτηση f ( x) x . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο καιισχύει f ( x) 1, δηλαδή( x ) 1Πράγματι, ανείναι ένα σημείο του , τότε γιαx0x0x ισχύει:f ( x) f ( xx x00) x xx x00 1.Επομένως,limxx0f ( x) f ( xx x00) lim 1 1 ,xx0δηλαδή ( x) 1. ■ν Έστω η συνάρτηση f ( x) x , ν {0,1 }. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμηστο και ισχύειf ( x) νxν1, δηλαδή( xν) νxν1


2242 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΠράγματι, ανείναι ένα σημείο του , τότε γιαx0x0x ισχύει:fν νν1ν2ν1( x) f ( x0 ) x x0( x x0)( x x x0x0) ν1ν2ν1 x x x0x0x x0x x0x x0οπότε,limxx0f ( x) f ( xx x00) lim ( xxx0ν1 xν2x0 x ) x x x νx ,ν10ν10ν10ν10ν10ν ν1δηλαδή ( x ) νx . ■ Έστω η συνάρτησηf ( x) x . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο( 0, )και ισχύει1f ( x) , δηλαδή2 xx12 xΠράγματι, ανf ( x) f ( xx x0οπότεδηλαδή x)x0είναι ένα σημείο του ( 0, ) , τότε για x x0ισχύει:x 0 x x0 x x0 x x0( x x0) x x0 ( x x0) x x0 x x00 01x x1 .2 xxf ( x) f ( x )lim lim0xx0 x x xx00x x0211x0,,Όπως είδαμε στην παράγραφο 3.1 ηστο 0. ■f ( x) x δεν είναι παραγωγίσιμη Έστω συνάρτηση f ( x) ημx. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο καιισχύει f ( x) συνx, δηλαδή( ημx) συνxΠράγματι, για κάθεx και h 0 ισχύειf ( x h) f ( x)ημ( x h) ημxημxσυνh συνx ημh ημxhhh


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 225ΕπειδήέχουμεΔηλαδή,(συνh1)ημh ημx συνx .hhημhσυνh1lim 1 και lim 0 ,h0 hh0 hf ( x h) f ( x)lim ημx0 συνx1 συνx.h0 h( ημx) συνx. ■ Έστω η συνάρτηση f ( x) συνx. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f ( x) ημx, δηλαδήΠράγματι, για κάθεοπότε( συνx) ημxx και h 0 ισχύει:f ( x h) f ( x)συν( x h) συνxσυνxσυνh ημx ημh συνxhhhf ( x h) f ( x) συνh1lim limσυνxh0hh0hΔηλαδή, ( συνx) ημx. ■ΣΧΟΛΙΟΤα όριασυνh1ημh συνx ημx ,h h συνx0 ημx1 ημx.ημxσυνx1lim 1, lim 0 ,x0 xx0 xlimημxh0ημhh τα οποία χρησιμοποιήσαμε για να υπολογίσουμε την παράγωγο των συναρτήσεωνf ( x) ημx, g( x) συνxείναι η παράγωγος στο x 0 των συναρτήσεωνf , gαντιστοίχως, αφούημxlimx 0 xημx ημ0limx 0 x 00 f (0)συνlimx0xx 1συνx συν0 lim g(0)x0x 0.


2262 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Έστω η συνάρτηση και ισχύειf (x) exf ( x) ex, δηλαδή. Αποδεικνύεται ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο(x xe e) Έστω η συνάρτηση f ( x) ln x . Αποδεικνύεται ότι η f είναι παραγωγίσιμη1στο ( 0, )και ισχύει f ( x) , δηλαδήx1(ln x) xΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1. Να βρεθεί το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησηςf ( x) lnx, στο οποίο η εφαπτομένη διέρχεται από την αρχή των αξόνων.ΛΥΣΗ1Επειδή f ( x) (ln x) , η εξίσωση της εφαπτομένηςε της C σε ένα σημείο M x , f (x))είναιf1y ln x0 ( x x 0) .x0(0x0Η ευθεία ε διέρχεται από την αρχή των αξόνωνO(0, 0) , αν και μόνο ανyΜ1O e1510 ln x0 (0 x0) ln x0 1 x0 e .xΆρα, το ζητούμενο σημείο είναι το M (e,1) .0


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2272. Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε1και ε2είναι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασηςτης συνάρτησης f ( x) ημxστα σημείαO(0, 0) και A(π,0) αντιστοίχως. Ναβρεθούν:i) Οι εξισώσεις των ε1και ε2ii) Το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουνοι , ε και ο άξονας των x.ε12ε 1yO(0,0)Β16A(π,0)xε 2ΛΥΣΗi) Επειδή f ( x) (ημx) συνx, είναι f ( 0) 1 και f ( π) 1οπότε οι1,έχουν εξισώσειςy x και y ( x π)αντιστοίχως.ε ε2ii) Αν λύσουμε το σύστημα των παραπάνω δύο εξισώσεων βρίσκουμε ότι οι ευθείεςε1, ε2τέμνονται στο σημείο Β , . Άρα, το τρίγωνο ΟΑΒ έχει εμβαδόν π π 2 2 Ε 12ππ 2π42 . ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο x 0όταν:4i) f ( x) x , x 1 ii)iii) f ( x) συνx,0xv) f ( x) e , x 0 ln 2 .f ( x) x , x 90πx0 iv) f ( x) ln x , x0 e62. Nα βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο των συναρτήσεων:i)2 x , x 1f ( x) ii) x , x 1ημxf ( x) x,,x 0x 0


2282 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ32x, x 2x, x 2 / 3iii) f ( x) iv) f ( x) .43 x , x 2 x , x 2 / 323. Nα αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν σημεία της παραβολής y x σταοποία οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης να είναι μεταξύ τουςπαράλληλες. Ισχύει το ίδιο για τη γραφική παράσταση της συνάρτησηςf ( x) x ;3y4. Να παραστήσετε γραφικά4την παράγωγο της συνάρτησηςf του διπλανού σχήμα-2y=f(x)τος.2 42 O6 9 x25. Να παραστήσετε γραφικά τησυνάρτηση f :[0,8] , ηοποία είναι συνεχής, μεf ( 0) 0 , και της οποίας η παράγωγοςπαριστάνεται γραφικάστο διπλανό σχήμα.y21O124y=f΄(x)8xΒ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να βρείτε τις τιμές των α, β για τις οποίες η συνάρτησηημx, x πf ( x) , είναι παραγωγίσιμη στο x0 π . αx β , x π2. Έστω η συνάρτηση f ( x) x και το σημείο A( ξ,f ( ξ)), ξ 0 τηςγραφικής παράστασης της f. Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεταιαπό τα σημεία Α ( ξ,f ( ξ))και Β( ξ,0)εφάπτεται της στο Α.3. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της3 3f ( x) x σε οποιοδήποτε σημείο της M ( α,α ) , α 0 έχει με αυτήνκαι άλλο κοινό σημείο Ν εκτός του Μ. Στο σημείο Ν η κλίση τηςείναι τετραπλάσια της κλίσης της στο Μ.4. Έστω ε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησηςf ( x) 1 σε ένα σημείο της M ξ, 1 . Αν Α, Β είναι τα σημεία σταx ξ C fCf


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 229οποία η ε τέμνει τους άξονεςότιi) Το Μ είναι μέσο του ΑΒ.x x καιy y αντιστοίχως, να αποδείξετεii) Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι σταθερό, δηλαδή ανεξάρτητο*του ξ .2.3 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣΠαράγωγος αθροίσματοςΘΕΩΡΗΜΑ 1Αν οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες στο x0, τότε η συνάρτησηείναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει:x 0f g( f g)(x0 ) f (x0) g(x0)ΑΠΟΔΕΙΞΗΓιαx x 0, ισχύει:( f g)(x) ( f g)(xx x00) f ( x) g(x) f ( x0) g(x0) f ( x) f ( x0) g(x) g(x0)x x0x x0x x0.Επειδή οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες στο x0, έχουμε:( f g)(x) ( f g)(x0) f ( x) f ( x0) g(x) g(x0)lim lim lim f (x0) g(x0),xx0x xxx0x x x 0 x x0x 00δηλαδήΑν οι συναρτήσειςx Δ ισχύει:f , gf g)() f (x) gx ) . ■( x 00( 0είναι παραγωγίσιμες σ’ ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε( f g)(x) f (x) g(x).Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις. Δηλαδή,αν f 1, f2,..., f k, είναι παραγωγίσιμες στο Δ, τότεΓια παράδειγμα, f ) (x) f (x) x)f () .( f1 f2k 1f 2(kx(ημx x 2Παράγωγος γινομένου2 xxx e 3) (ημx) ( x2 ) ( e ) (3) συνx x e .


2302 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΘΕΩΡΗΜΑ 2Αν οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες στο x0, τότε και η συνάρτησηf g είναι παραγωγίσιμη στο x 0και ισχύει:ΑΠΟΔΕΙΞΗΓιαx x 0ισχύει:( f g)(x) ( f g)(xx x0( f g)(x0 ) f (x0) g(x0) f ( x0) g(x0)f x g x f x gx x0) ( ) ( ) (0) (0)0xf ( x)g(x) f ( xg x f x0) ( ) (0) ( ) (0) (0)x x0g x f xgxf ( x) f ( xg x g x .x x00)( ) (0)g(x) f ( x0)x x0Επειδή οι f , g είναι παραγωγίσιμες, άρα και συνεχείς στο x0, έχουμε:( f g)(x) ( f g)(xlimx xxx000) limxx0f ( x) f ( xx x00)lim g(x) f ( xxx00) limxx0g(x) g(xx x00)δηλαδή f x ) g(x ) f ( x ) g() ,(0 00x0f g)(x ) f (x ) g(x ) f ( x ) g(). ■(0 0 00x0Αν οι συναρτήσειςx Δ ισχύει:f , gείναι παραγωγίσιμες σ’ ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε( f g)(x) f (x)g(x) f ( x)g(x).Για παράδειγμα,xxxx( e ln x) ( e ) ln x e (ln x) e ln x e , x 0 .xx 1Το παραπάνω θεώρημα επεκτείνεται και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις.Έτσι, για τρεις παραγωγίσιμες συναρτήσεις ισχύει:( f ( x)g(x)h(x)) [( f ( x)g(x)) h(x)] ( f ( x)g(x)) h(x)(f ( x)g(x)) h(x) [ f (x)g(x) f ( x)g(x)]h(x) f ( x)g(x)h(x)Για παράδειγμα, f ( x)g(x)h(x) f ( x)g(x)h(x) f ( x)g(x)h(x).


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 231( x ημxlnx) ( x ) ημxlnx x (ημx)lnx x ημx(lnx)11 ημxlnx x συνxlnx x ημx , x 0 .2 xxΑν f είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση σ’ ένα διάστημα Δ και c , επειδή( c) 0 , σύμφωνα με το θεώρημα (2) έχουμε:Για παράδειγμα,( cf ( x)) cf (x)332 2) 6( x ) 63x 18 .( 6xxΠαράγωγος πηλίκουΘΕΩΡΗΜΑΑν οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες στο x0και g ( x 0) 0 , τότε και ηfσυνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στοgx 0και ισχύει:fg ( x0) f (x0) g(x0) f ( x[ g(x0)]20) g(x0)Η απόδειξη παραλείπεται.Αν οι συναρτήσειςf , gείναι παραγωγίσιμες σ’ ένα διάστημα Δ και για κάθεx Δ ισχύει g( x) 0 , τότε για κάθε x Δ έχουμε: f f (x)g(x) f ( x)g(x) ( x)2g. [ g(x)]Για παράδειγμα,222 x ( x ) (5x1) x (5x1) 2x(5x1) x 225 1 x (5x1)(5x1)210x 2x 5x2(5x1)225x 2x ,2(5x1)1x .5Χρησιμοποιώντας τις προηγούμενες προτάσεις μπορούμε τώρα να βρούμε τιςπαραγώγους μερικών ακόμη βασικών συναρτήσεων.ν* Έστω η συνάρτηση f ( x) x , ν . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη*ν1στο και ισχύει f (x) νx, δηλαδή25Πράγματι, για κάθε*x ( xέχουμε:ν) νxν1


2322 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΓια παράδειγμα,(1(1) xν νν1ν ν1x ) νx. ■νν 22ν x( x( x1(x)) νx4 4154) 4x 4x 5xx, x 0 .ν ν1Είδαμε, όμως, πιο πριν ότι ( x ) νx , για κάθε φυσικό ν 1 . Επομένως, ανκ {0,1} , τότε Έστω η συνάρτήση{ x|συνx 0} και ισχύει(κκ1x ) κx .1 2συν xf ( x) εφx. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο1f (x) , δηλαδή1( εφ συνx)2xΠράγματι, για κάθεx 1έχουμε: ημx (ημx)συνx ημx(συνx) συνxσυνx ημxημx(εφx) 22 συνxσυν xσυν x2 2συν x ημ x 1 . ■22συν x συν x Έστω η συνάρτηση2 { x|ημx0} και ισχύειf ( x) σφx. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο1f (x) , δηλαδή2ημ x1(σφx) 2ημxΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησηςxlnxf ( x) . x 1


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 233ΛΥΣΗΈχουμε: x ln x ( x ln x)(x 1) x ln x(x 1) (ln x 1)(x 1) x ln xf (x) 22 x 1( x 1)( x 1)x ln x ln x x 1x ln x x 1ln x22( x 1)( x 1)2. Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων12f ( x) και g(x) x x 1 έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τουςx 1σημείο A(0,1) και να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης αυτής.ΛΥΣΗΑρκεί να δείξουμε ότι f ( 0) g(0). Έχουμε:καιοπότεΆραf (x) g(x) ( x1 (1) (x 1)1(x 1) 1 2x 1( x 1)( x 1)2 x 1) 2x1 ,f ( 0) 1και g ( 0) 1.f ( 0) 1 g(0).2Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείοA(0,1)είναι:y 1 1(x 0) y x1.Παράγωγος σύνθετης συνάρτησηςΈστω ότι ζητάμε την παράγωγο της συνάρτησης y ημ2x, η οποία είναι σύνθεσητης g( x) 2xκαι της f ( x) ημx. Επειδή ημ2x 2ημxσυνx, έχουμε( ημ2x) (2ημxσυνx) 2(ημx)συνx 2ημx(συνx)2 2συν x 2ημ2x 2(συν2x ημ2x) 2συν2x .Παρατηρούμε ότι η παράγωγος της y ημ2xδεν είναι η συνάρτηση y συν2x,όπως ίσως θα περίμενε κανείς από τον τύπο ( ημx) συνx . Αυτό εξηγείται με τοπαρακάτω θεώρημα:


2342 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΘΕΩΡΗΜΑΑν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στοx 0και η f είναι παραγωγίσιμη στοg ( x 0) , τότε η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο x0και ισχύει( f g)(x0 ) f (g(x0)) g(x0)Γενικά, αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η f είναιπαραγωγίσιμη στο g(Δ), τότε η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο Δκαι ισχύειΔηλαδή, αν u g(x), τότε( f ( g(x))) f (g(x)) g(x).( f ( u)) f (u) u.Με το συμβολισμό του Leibniz, αν y f (u)και u g(x), έχουμε τον τύποdydxdy dudu dxπου είναι γνωστός ως κανόνας της αλυσίδας.ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗdyΤο σύμβολο δεν είναι πηλίκο. Στον κανόνα της αλυσίδας απλά συμπεριφέρεταιως πηλίκο, πράγμα που ευκολύνει την απομνημόνευση τουdxκανόνα.Άμεση συνέπεια του παραπάνω θεωρήματος είναι τα εξής:α Η συνάρτηση f ( x) x , α είναι παραγωγίσιμη στο ( 0, ) και ισχύεια1f ( x) αx, δηλαδήα( x ) αxα1(1)uκαι θέσουμε u α ln x , τότε έχουμε y e . Επομέ-Πράγματι, αννως,y xα eα ln xu uα ln x 1 α α α1y ( e ) e u e α x αx .xxx Η συνάρτηση f ( x) α , α 0 είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύειf ( x) αx ln α , δηλαδή(α x) α x ln α(1)Αποδεικνύεται ότι, για α 1 η f είναι παραγωγίσιμη και στο σημείο x 0 0 και η παράγωγόςτης είναι ίση με 0, επομένως δίνεται από τον ίδιο τύπο.


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 235uu x ln α , τότε έχουμε y e . Επομέ-Πράγματι, αννως,y αx ex ln ακαι θέσουμεu ux ln αxy ( e ) e u e ln α α ln α .** Η συνάρτηση f ( x) ln | x | , x είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύειΠράγματι .— αν x 0 , τότε(ln |1x | ) x1(ln | x | ) (ln x) , ενώxx ln | x | ln( x), οπότε, αν θέσουμε y ln( x)και u x, έ-— αν 0 , τότεχουμεy ln u. Επομένως,1 1 1y (ln u) u ( 1)u x x1και άρα (ln | x | ) .xΑνακεφαλαιώνοντας, αν η συνάρτηση u f (x)είναι παραγωγίσιμη, τότε έχουμε:α α11( u ) αu u( εφu) u2συν u11( u ) u( σφu) u22 uημ u( ημu) συνuuu u( e ) e u( συνu) ημuuu u( α ) α ln α u1(ln | u | ) uuΕΦΑΡΜΟΓEΣ1. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων2 9 x 1i) f ( x) ( 3x 5) ii) g(x) eiii) h ( x) ln x 2 1.2


2362 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΛΥΣΗi) Αν θέσουμε u 3x2 5 , τότε η συνάρτηση y f (x)γράφεταιοπότε έχουμε9y u ,9 8y ( u ) 9uu 9(3x 5)(3x 5)2 8 22 8 9(3x 5) 6xΟμοίως, έχουμε254x(3x5)8.ii)g(x) ( ex21) e x21( x21)(θέσαμεu x2 1)2 1 e x ( 2x) 2xe x21iii) h (x) (ln( x2 1)) 1( 2x 1)(θέσαμε u x 2 1)2x 1x1 22121(x2x 11)1x 2x .222( x 1)x 12. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης ε2 2 2του κύκλου C : x y ρ στο σημείο τουM1( x1, y1) .ΛΥΣΗΑν λύσουμε την εξίσωση του κύκλου ως προςy, βρίσκουμε ότιA΄(-ρ,0)εyO17CA(ρ,0)xΜ 1 (x 1 ,y 1 )y2 2 ρ x , αν y 0 καιy2 2 ρ x , αν 0y .Επομένως, ο κύκλος C αποτελείται από τα σημεία των γραφικών παραστάσεωντων συναρτήσεωνf2 21( x) ρ x καιf2 22( x) ρ x


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 237οι οποίες είναι ορισμένες στο κλειστό διάστημα [ ρ,ρ]και παραγωγίσιμες στοανοικτό διάστημα ( ρ,ρ).Αν, τώρα, μεy f (x)στην οποία ανήκει τοσυμβολίσουμε εκείνη από τις παραπάνω συναρτήσειςM x , ) , τότε θα ισχύει1( 1y1λ εf ( x 1)2 22(1) και x f ( x) ρ(2)Έτσι, με παραγώγιση και των δύο μελών της (2), έχουμεοπότε, γιαx x 1, θα ισχύει2x 2 f ( x)f (x) 0x f x ) f (x ) 0 .1(1 1Έτσι, λόγω της (1) θα έχουμεx1 y1 λε0οπότε, για y1 0 , θα είναιλx1ε .y1Άρα, η εφαπτομένη ε έχει εξίσωση:η οποία γράφεται διαδοχικά:2 2 2αφού x y .1 1ρx1y y ( )1 x x1 ,yxxxxyy1221 y1 xx1 x12 21 yy1 x1 y121yy1ρ, (3)Αν y 1 0 , που συμβαίνει όταν το σημείο M 1( x1,y1)είναι το A(ρ,0)ή τοΑ(ρ,0) , τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι οι εφαπτόμενες της C στα σημείααυτά είναι οι κατακόρυφες ευθείεςx ρ και x ραντιστοίχως. Και οι δυο αυτές εξισώσεις δίνονται από τον παραπάνω τύπο (3)για x , y ) ( ,0) και x , y ) ( ,0)αντιστοίχως.(1 1ρ(1 1ρΜε ανάλογο τρόπο βρίσκουμε την εξίσωση της εφαπτομένης οποιασδήποτε άλληςκωνικής τομής.f


2382 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων7 43i) f ( x) x x 6x1ii) f ( x) 2x ln x 3iii)4xf ( x)43x32x2 xiv) f ( x) συνx 3ημx ln 3.2. Ομοίως των συναρτήσεων:2i) f ( x) ( x 1)(x 3)ii)21xiii) f ( x)21xiv)f ( x) ex ημxημx συνxf ( x)1συνxv) f ( x) x ημxσυνx.3. Oμοίως των συναρτήσεων:2i)xef ( x) ii) f ( x) εφx σφxln xiii)ημxf ( x) iv)xex 1x 1f ( x) .x 1x 14. Nα βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο των συναρτήσεων:i)222x 3x, x 0x ημx, x 0f ( x) ii) f ( x) . 12 x 6x, x 0 x , x 05. Nα βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της f, στα οποία οιεφαπτόμενες είναι παράλληλες στον άξονα των x, ότανi)4f ( x) x ii)xxf ( x)iii)xex2 1f ( x) .xx 1, να βρείτε τις συναρτή-x 12( x 1)6. Aν f ( x) και g ( x)x 1σεις f , g. Ισχύει f g;x 1x 1


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2397. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των21 1συναρτήσεων f ( x) x και g ( x) στο κοινό σημείο τους2 x 2A(1,1) , είναι κάθετες.αx α*8. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) , α . Να βρείτε τις τιμές του α,x α1για τις οποίες η κλίση της Cfστο σημείο της A(0,1)είναι ίση με .29. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης3f ( x) x 3x 5 , στα οποία η εφαπτομένη είναι:i) παράλληλη προς την ευθεία y 9x1ii) κάθετη προς την ευθεία y x.10. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης2της f ( x) x η οποία άγεται από το σημείο A (0, 1).211. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) αx βx γ , α , β,γ . Να βρείτε τις τιμέςτωνA(1,2)α , β,γ για τις οποίες ηκαι εφάπτεται της ευθείας12. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων:C f4 3 2i) f ( x) (3x 4x)ii)iii), διέρχεται από το σημείοy x στην αρχή των αξόνων.f ( x) ( x 1) 1 1 f ( x) ημ iv) f ( x) ln x 21x x xv) f ( x) e .213. Nα βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο x 0όταν:i)f ( x)x2 3 x 1,0 23 3iii) f ( x) x ημ ( πx),2 / 333x ii) f ( x) (2x)1 / (2x)2 / , x 0 41x0 iv)614. Nα βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων:2x 2f ( x) 2 x, x 0 3 .ln xi) f ( x) xii)f ( x)5x32xiii) f ( x) (ln x), x 1 iv)f ( x) ημxeσυνx215. Aν f ( x) ημ x , να αποδείξετε ότι f ( x) 4 f ( x) 2 .


2402 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣB΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Nα αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων12f ( x) και g( x) x x 1έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, στο οποίοxοι εφαπτομένες τους είναι κάθετες.2. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y 3x 2 έχει με τη γραφική παράστασητης συνάρτησης f ( x) xένα από τα σημεία αυτά.3δύο κοινά σημεία και εφάπτεται αυτής σε213. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x) αx βx 2 και g( x) . Να βρείτεxτα α, β για τα οποία οι γραφικές παραστάσεις τους έχουν κοινήεφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη x0 1.x24. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x) e και g(x) x x . Να αποδείξετεότι η εφαπτομένη της C στο σημείο A(0,1)εφάπτεται και στην C .(3)f (1) 2 , f ( 2) 4 και f ( 1) 6 .f5. Να βρείτε πολυώνυμο τρίτου βαθμού τέτοιο, ώστε f ( 0) 4 ,6. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο f δεύτερου βαθμού τουοποίου η γραφική παράσταση να εφάπτεται των ευθειών y x 1 καιy 3x 1στα σημεία A (0,1)και B(1,2 ) αντιστοίχως.7. Αν μία συνάρτηση f : είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x0 α ,να αποδείξετε ότιxf ( x) αf ( α)i) lim f ( α) af (α)xαx αxαe f ( x) e f ( α)αii) lim e ( f ( α) f (α)).xαx α8. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης2f ( x) ημ2x 2ημ x , x [ 0,2π],στα οποία η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στον άξονα των x.9. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεωνi)3 2f ( x) x , ii)f ( x) x3 4g


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 241και στη συνέχεια την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο O(0,0)σεκαθεμια περίπτωση χωριστά.10. Έστω f μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση για την οποία ισχύειf ( 1) 1 και g η συνάρτηση που ορίζεται από την ισότηταg( x) f (x2 x 1)1,x . Να αποδείξετε οτι η εφαπτομένη τηςστο A(1,f (1)) εφάπτεται της C στο B( 0, g(0)).11. Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύειi) Να βρείτε την f (0)gf ( ημx) ex συνx, για κάθε x ii) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη τηςσχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο.fC fC στο σημείο A( 0, f (0))f2.4 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣΣτην αρχή του κεφαλαίου αυτού, ορίσαμε τη στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητούτη χρονική στιγμή ως το όριοt 0S(t) S(t0)lim S(t0).ttt t00Το όριο αυτό το λέμε και ρυθμό μεταβολής της τετμημένης S του κινητού ωςπρος το χρόνο t τη χρονική στιγμή . Γενικά,ΟΡΙΣΜΟΣΑν δύο μεταβλητά μεγέθηt 0x, y συνδέονται με τη σχέση y f (x), όταν f είναιμια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής τουy ως προς το x στο σημείο x την παράγωγο f x ) .0Για παράδειγμα, ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τηχρονική στιγμή t0είναι η παράγωγος υ ( t 0) , της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο tτη χρονική στιγμή t0. Η παράγωγος υ ( t 0) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τηχρονική στιγμή t και συμβολίζεται με α t ) . Είναι δηλαδή0α( 0( 0) υ(t ) S() .( t0 0t0Στην οικονομία, το κόστος παραγωγής Κ, η είσπραξη Ε και το κέρδος Ρ εκφράζονταισυναρτήσει της ποσότητας x του παραγόμενου προϊόντος. Έτσι, η παράγωγοςΚ x ) παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κόστους Κ ως προς την ποσό-( 0


2422 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣτητα x, όταν x x0και λέγεται οριακό κόστος στο x0. Ανάλογα, ορίζονται καιοι έννοιες οριακή είσπραξη στο x0και οριακό κέρδος στο x0.ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1. Ένα βότσαλο που ρίχνεται σε μία λίμνη προκαλεί κυκλικό κυματισμό.Μία συσκευή μέτρησης δείχνει ότι τη χρονική στιγμή που η ακτίνα r τουκυματισμού είναι 50 cm, ο ρυθμός μεταβολής της r είναι 20 cm/sec. Να βρεθείο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού Ε που περικλείεται από το κυκλικόκύμα, τη χρονική στιγμή .ΛΥΣΗt 0t 0Επειδή2E π rκαι η ακτίνα r είναι συνάρτηση του χρόνου t, έχουμεοπότεΕπομένως,E(t) πr 2 ( t),E (t) 2πr(t) r(t).E ( t 0) 2πr(t0) r( t 0) 2π5020 2000π(cm 2 /sec).2. Aν το συνολικό κόστος παραγωγής x μονάδων ενός βιομηχανικού προϊόντοςείναι Κ(x)και η συνολική είσπραξη από την πώλησή τους είναι E(x) ,K(x)τότε P( x) E(x) K(x)είναι το συνολικό κέρδος και K μ(x) είναι τοxμέσο κόστος.i) Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους μηδενίζεται όταν ορυθμός μεταβολής του κόστους και ο ρυθμός μεταβολής της είσπραξης είναιίσοι.ii) Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους μηδενίζεταιόταν το μέσο κόστος είναι ίσο με το οριακό κόστος.ΛΥΣΗi) Ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους είναιP (x) E( x) K (x).Επομένως,P( x ) 0 E(x) K (x) 0 E(x) K ( x).ii) Ο ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους είναι


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 243ΕπομένωςK μK μK (x) x K(x) ( x).2x ( x) 0 K (x) x K(x) 0K(x) K ( x)x K ( x) K ( x).μΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Mια σφαιρική μπάλα χιονιού αρχίζει να λυώνει. Η ακτίνα της, που2ελαττώνεται, δίνεται σε cm από τον τύπο r 4 t , όπου t ο χρόνοςσε sec. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της επιφάνειας Ε και του ό-γκου V της μπάλας, όταν t 1sec. (Θυμηθείτε ότι2E 4πrκαι4 V πr3 ).32. Ο όγκος V ενός σφαιρικού μπαλονιού που φουσκώνει αυξάνεται μερυθμό 100cm 3 /sec. Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η ακτίνα του r τη χρονικήστιγμή , που αυτή είναι ίση με 9cm;t 03. To κόστος παραγωγής, K (x) , και η τιμή πώλησης, Π(x), x μονάδωνενός βιομηχανικού προϊόντος δίνονται από τις συναρτήσεις1 3 2K ( x) x 20x 600x 1000 και Π( x) 420xαντιστοίχως. Να3βρείτε πότε ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους, P(x) Π(x) K(x), είναιθετικός.4. Δύο πλοία Π1 και Π2αναχωρούνσυγχρόνως από ένα λιμάνι Λ. Τοπλοίο κινείται ανατολικά μεΠ 1βό-ταχύτητα 15km/h και τορεια με ταχύτητα 20km/h.Π 2i) Να βρείτε τις συναρτήσεις θέσεωςτων και ΠΠ12Π 2Βορράςd=d(t)Λ Π 1Ανατολή


2442 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣii) Να αποδείξετε ότι η απόσταση d ( Π 1Π2) των δυο πλοίων αυξάνεταιμε σταθερό ρυθμό τον οποίο και να προσδιορίσετε.5. Ένα κινητό Μ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκοςτης καμπύλης y x , x 0 . Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο1 24ρυθμός μεταβολής της τετμημένης x του Μ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολήςτης τεταγμένης του y, αν υποτεθεί ότι x ( t) 0 για κάθεt 0 .Β΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Αν η επιφάνεια μιας σφαίρας αυξάνεται με ρυθμό 10cm 2 /sec, να βρείτετο ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται ο όγκος αυτής όταν r 85 cm.2. Έστω Τ το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ που ορίζουν τα σημεία O(0,0) ,A(x,0) και B( 0,ln x), με x 1 . Αν το x μεταβάλλεται με ρυθμό4cm/sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Τ, ότανx 5 cm.3. Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένακουτί στη ράμπα του διπλανούσχήματος και το κουτί κινείταιμε ταχύτητα 3m/s. Να βρείτεπόσο γρήγορα ανυψώνεται τοκουτί, δηλαδή το ρυθμό μεταβολήςτου y.4. Ένα αερόστατο Α αφήνει το έ-δαφος σε απόσταση 100m απόέναν παρατηρητή Π με ταχύτητα50m/min. Με ποιο ρυθμόαυξάνεται η γωνία θ που σχηματίζειη ΑΠ με το έδαφος τηχρονική στιγμή κατά την οποίατο μπαλλόνι βρίσκεται σε ύψος100m.ΦΠsθ100myAh5m5. Mία γυναίκα ύψους1,60m απομακρύνεταιαπό τη βάση ενός φανοστάτηύψους 8m με ταχύτητα0,8m/s. Με ποια ταχύτητααυξάνεται ο ί-σκιος της;8Οx1,6ΠΚsΣx


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2456. Ένα περιπολικό Α κινείται κατά μήκος1 3της καμπύλης y x , x 0 πλησιάζονταςτην ακτή και ο προβολέας3του φωτίζει κατευθείαν εμπρός (Σχήμα).Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένηςτου περιπολικού δίνεται απότον τύποα( t) α(t)να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένηςτου σημείου Μ της ακτήςστο οποίο πέφτουν τα φώτα του προβολέατη χρονική στιγμή κατά την οποία το περιπολικό έχει τετμημένη3 .7. Μία σκάλα μήκους 3m είναι τοποθετημένησ’ έναν τοίχο. Το κάτωμέρος της σκάλας γλυστράει στοδάπεδο με ρυθμό 0,1m/sec. Τηχρονική στιγμή t0, που η κορυφήτης σκάλας απέχέι από το δάπεδο2,5m, να βρείτε:i) Το ρυθμό μεταβολής της γωνίαςθ (Σχήμα).AyΟy 1 x333aAa ( , )3yB M ΟΑκτήii) Την ταχύτητα με την οποία πέφτει η κορυφή Α της σκάλας.x3mθΒx2 28. Ένα κινητό κινείται σε κυκλική τροχιά με εξίσωση x y 1 . Καθώςπερνάει από το σημείο 1 3 A , , η τεταγμένη y ελαττώνεται με ρυθ- 2 2 μό 3 μονάδες το δευτερόλεπτο. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένηςx τη χρονική στιγμή που το κινητό περνάει από το Α.2.5 TO ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣΣτην παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε ένα από τα πλέον βασικά θεωρήματα τουΔιαφορικού Λογισμού που είναι γνωστό ως Θεώρημα Μέσης Τιμής. Αρχικάδιατυπώνουμε το Θεώρημα του Rolle, το οποίο είναι ειδική περίπτωση του ΘεωρήματοςΜέσης Τιμής και στη συνέχεια διατυπώνουμε το Θεώρημα ΜέσηςΤιμής, το οποίο αποδεικνύεται με τη βοήθεια του Θεωρήματος του Rolle.ΘΕΩΡΗΜΑ (Rolle)


2462 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΑν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α,β] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα f ( α) f ( β)( α,β)τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α,β)τέτοιο, ώστε:f ( ξ)0καιΓεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα,τουλάχιστον, ξ ( α,β)τέτοιο, ώστε η εφαπτομένητης C στο M ( ξ,f ( ξ))να είναιπαράλληλη στον άξονα των x.fyΜ(ξ,f(ξ))Α(α,f(α))18Β(β,f(β))O α ξ ξ΄ β xΓια παράδειγμα, έστω η συνάρτησηf ( x) x2 4x 5 , x [1,3] . (Σχ. 19)y19Επειδή η f είναι συνεχής στο [1,3] , παραγωγίσιμηστο ( 1,3) , με f ( x ) 2x 4 καιf (1) 2 f (3) , σύμφωνα με το θεώρημαRolle, θα υπάρχει ένας αριθμός ξ (1,3)τέτοιος, ώστε f (ξ) 0 .Για την εύρεση του αριθμού ξ, έχουμε:2O1AMξ=2B3 xf ( ξ) 0 2ξ 4 0 ξ 2 .ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού Θ.Μ.Τ.)Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α,β]και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α,β)τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α,β)τέτοιο, ώστε:f (ξ)f ( β) f ( α)β α


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 247Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα,τουλάχιστον, ξ ( α,β)τέτοιο, ώστε η εφαπτομένητης γραφικής παράστασης της fστο σημείο M ( ξ,f ( ξ))να είναι παράλληλητης ευθείας ΑΒ.yM(ξ,f(ξ))A(a,f(a))20Β(β,f(β))Για παράδειγμα, έστω η συνάρτησηf ( x) x , x [0, 4] .Οa ξ ξ΄ β xΕπειδή η f είναι συνεχής στο [0, 4] και παραγωγίσιμηστο (0, 4) , με f ( x) , σύμ-12 xφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής, θα υπάρχειένας αριθμός ξ (0, 4) τέτοιος, ώστεf (4) f (0) 1f ( ξ) .4 0 2Για την εύρεση του αριθμού ξ, έχουμε:yΜ(1,1)1 1 1f ( ξ) ξ 1 ξ 1.2 2 ξ 2y Ο(0,0) 14x21Α(4,2)xΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1. Nα αποδειχτεί ότι:3 2*i) Η συνάρτηση f ( x) λx x ( λ 1) x , λ , ικανοποιεί τις υποθέσειςτου θεωρήματος του Rolle στο διάστημα [0, 1] .2*ii) Η εξίσωση 3λx 2x ( λ 1) 0 , λ έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στοδιάστημα (0,1) .ΑΠΟΔΕΙΞΗi) Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στοαφού είναι συνεχής στο [0,1] ως πολυωνυμική2 είναι παραγωγίσιμη στο ( 0,1) με f (x) 3λx 2x ( λ 1)και ισχύει f ( 0) f (1) 0 .[0,1]


2482 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ3 2*ii) Αφού, λοιπόν, για τη συνάρτηση f ( x) λx x ( λ 1)x , λ ισχύουν οιυποθέσεις του θεωρήματος Rolle, θα υπάρχει ξ (0,1) τέτοιο, ώστε f ( ξ) 0 ή,ισοδύναμα,3λξξ (0,1) θα είναι ρίζα της εξί-2σωσης 3λx 2x ( λ 1) 0 .2 2ξ ( λ 1) 0 . Επομένως, το22. Να αποδειχτεί ότι για τη συνάρτηση f ( x) αx βx γ , α 0 και γιαοποιοδήποτε διάστημα x , ], ο αριθμός x x , ) , που ικανοποιεί το[1x20(1x2συμπέρασμα του Θεωρήματος Μέσης Τιμής, είναι το κέντρο του διαστήματος[ x 1x1 x2, x2], δηλαδή είναι x0 .2ΑΠΟΔΕΙΞΗ(1x22Η συνάρτηση f ( x) αx βx γ είναι συνεχής στο [ x 1, x2] ως πολυωνυμική καιπαραγωγίσιμη στο x , ) , με f (x) 2αx β . Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημαμέσης τιμής υπάρχει x (Είναι όμως:f ( x) ,20x1 xf, τέτοιο, ώστεf ( x) f ( x )2 1 ( x0) . (1)x2 x1222) f ( x1) αx2 βx2 γ αx1 βx1 γ α(x2 x1)( x2 x1) β(x2 x1)x2 x1Επομένως, η σχέση (1) γράφεται:x2 x1( x2 x1)[α(x1 x2) β] α(x1 x2) β .x x2αx021x1 x2 β α(x1 x2) β x0 .23. Ένα αυτοκίνητο διήνυσε μία διαδρομή 200 χιλιομέτρων σε 2,5 ώρες. Νααποδειχθεί ότι κάποια χρονική στιγμή, κατά τη διάρκεια της διαδρομής, ηταχύτητα του αυτοκινήτου ήταν 80 χιλιόμετρα την ώρα.ΑΠΟΔΕΙΞΗΈστω x S(t) , t [0, 2,5] η συνάρτηση θέσης του κινητού. Αρκεί να δείξουμεότι υπάρχει t [0, 2,5] , τέτοια ώστε υ t ) S (t ) 80 .0(0 0Η συνάρτηση S είναι συνεχής στο [ 0, 2,5] και παραγωγίσιμη στο (0, 2,5). Επομένως,σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχειx2 x1t0 (0, 2,5) τέτοιο, ώστεS(2,5) S(0)200 0υ ( t0) S (t0) 80 χιλιόμετρα την ώρα.2,5 2,5ΑΣΚΗΣΕΙΣ


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 249Α΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Nα εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις ικανοποιούν τιςυποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα που αναφέρεται, καιστη συνέχεια, για εκείνες που ισχύει, να βρείτε όλα τα ξ ( α,β)γιατα οποία ισχύει f ( ξ) 0 .i) ( )2 2π f x x 2x 1 , [ 0,2]ii) f ( x) ημ3x, 0, 3 iii) f ( x) 1συν2x, [ 0, π ]iv) f ( x) | x | ,[ 1,1] .2. Να εξετάσετε, ποιές απ ό τις παρακάτω συν αρτήσεις ικανοποιούν τιςυποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα που αναφέρεταικαι στη συνέχεια, για εκείνες που ισχύει το θεώρημα, να βρείτεf ( β) f ( α)όλα τα ξ ( α,β)για τα οποία ισχύει f ( ξ).β α i) f ( x) x2 2x, [ 0,4]ii) f ( x) 3ημ2x, 0,π 2 2x 2 , x 1iii) f ( x) , [ 3,2]3 x x , x 1x3. Αν α β , να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f ( x) e και g( x) ln xικανοποιούν τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [ α,β] και στησυνέχεια ότι:αeβe eβ αΓια τη συνάρτηση1. Δίνεται η συνάρτησηα eβ1 ln β ln α 1και .β β α αg( x) ln x υποθέτουμε επιπλέον ότι 0 α β .Β΄ ΟΜΑΔΑΣf ( x) x 20x34 25x x 1i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( x) 0 έχει μια,τουλάχιστον, ρίζαστο διάστημα ( 1, 0)και μια, τουλάχιστον, στο διάστημα ( 0,1).3 2ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4x 60x 50x1 0 έχει μια, του-λάχιστον, ρίζα στο διάστημα ( 1,1).2. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) ( x 1)ημx. Να αποδείξετε ότι:2


2502 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣi) Η εξίσωση f ( x) 0 έχει μια, του λάχιστον, ρίζα στο ανοικτό διά-στημα ( 0,1).ii) Η εξίσωση εφx 1 x έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο ανοικτό διά-στημα (0,1)3. i) Δίνεται μια συνάρτηση f με f ( x) 1 για κάθε x . Να αποδείξετεότι η εξίσωση f ( x) x έχει το πολύ μια πραγματική ρίζα.x ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ημ x αληθεύει μόνο για x 0 .24. i) Να αποδείξετε ότιx1 x2 1, για κάθε x .2xii) Aν f είναι μία συνάρτηση παραγωγίσιμη στο , με f ( x) ,21xνα αποδείξετε ότι για όλα τα α, β ισχύει:1| f ( β) f ( α)| | β α | .25. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [ 0,4] και ισχύει2 f (x) 5 για κάθε x (0,4). Αν f ( 0) 1, να αποδείξετε ότι9 f (4) 21.6. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [ 1,1]και ισχύειf ( x) 1 για κάθε x (1,1). Αν f ( 1) 1και f ( 1) 1, να αποδείξετεότι f ( 0) 0 , εφαρμόζοντ ας το Θ.Μ.Τ. γι α την f σε καθένα από ταδιαστή ματα [1,0]και [ 0,1].7. Να αποδείξε τε με το θεώρη μα του Rolle ότι οι γραφικές παραστάσειςτων συναρτήσεωνxf ( x) 2 και2g ( x) x 2x1έχουν ακριβώς δυο κοινά σημεία τα A (0,1) , B(1, 2).2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣΤHΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣΤο Θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού θεωρείται μία από τιςσπουδαιότερες προτάσεις της ανάλυσης, αφού με τη βοήθειά του αποδεικνύονταιπολλά άλλα θεωρήματα. Θα χρησιμοποιήσουμε τώρα το Θ.Μ.Τ. για να α-ποδείξουμε τα επόμενα δύο βασικά θεωρήματα.ΘΕΩΡΗΜΑΈστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 251 η f είναι συνεχής στο Δ και f ( x) 0 για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ,τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.ΑΠΟΔΕΙΞΗΑρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτεΠράγματιx 1, x 2 Δ ισχύει f ( x1) f ( x2) . Αν x1 x2, τότε προφανώς f ( x1 ) f ( x2) . Αν x 1 x 2, τότε στο διάστημα [ x1,x2] η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεω-υπάρχει ξ x 1ρήματος μέσης τιμής. Επομένως,, x ) τέτοιο, ώστε2(2f ( x2 ) f ( x1)f ( ξ). (1)x xΕπειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει f ( ξ) 0 , οπότε, λόγω της (1),είναι f ( x1 ) f ( x2) . Αν x2 x1, τότε ομοίως αποδεικνύεται ό τι f ( x 1) f (x2) .Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι f x ) f ( ) . ■ΠΟΡΙΣΜΑ1(1x2Έστω δυο συναρτήσειςf , g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οιf , gείναι συνεχείς στο Δ και f ( x) g(x)για κ άθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ,τότε υπάρ χει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε x Δ να ισχύει:ΑΠΟΔΕΙΞΗf ( x) g(x) cΗ συνάρτηση f g είναι συνεχής στο Δ καιγια κάθε εσωτ ερικό σημείο x Δ ισχύει( f g) (x) f (x) g(x) 0 .Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα,η συνάρτηση f g είναι σταθερή στο Δ.Άρα, υπάρχει σταθερά C τέτοια, ώστε γιακάθε x Δ να ισχύει f ( x) g(x) c , οπότεf ( x) g(x) c .ΣΧΟΛΙΟ■Το παραπάνω θεώρημα καθώς και το πόρισμά του ισχύουν σε διάστημα και όχισε ένωση διαστημάτων.yy=g(x)+cy=g(x)22O x


2522 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΓια παράδειγμα, έστω η συνάρτησηf (x)1, 1 ,x 0.x 0Παρατηρούμε ότι, αν και f ( x) 0 για κάθε x ( ,0) (0, ), εντούτοις η fδεν είναι σταθερή στο ( , 0) (0,).ΕΦΑΡΜΟΓHΔίνεται μία συνάρτηση f για την οποία ισχύειi) Να αποδειχτεί ότι η συνάρτησηf ( x) f ( x)για κάθε x (1)f ( x)φ( x) είναι σταθερή καιxeii) Να βρεθεί ο τύπος της f, αν δίνεται επιπλέον ότι f (0) 1 .ΛΥΣΗi) Για κάθε x έχουμε:xx(1) f ( x) f (x)e f ( x)e f (x) f ( x)φ ( x) 0 ,xx 2 x e ( e )eΕπομένως, η φ είναι σταθερή στο .ii) Επειδή η φ είναι σταθερή, υπάρχειf ( x)ή, ισοδύναμα, c για κάθεe xx .Επειδή f ( 0) 1, έχουμε 1 c , οπότεΜονοτονία συνάρτησηςc τέτοιο, ώστε φ( x) c για κάθε x Επομένωςxf ( x) ce για κάθε x .xf ( x) e για κάθε x .


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 253Έστω η συνάρτηση f ( x) x2 . Παρατηρούμε ότιστο διάστημα (,0) , στο οποίο η f είναι γνησίωςφθίνουσα, ισχύει f ( x) 2x 0 , ενώ στο διάστημα( 0, ) , στο οποίο η f είναι γνησίως αύξουσα, ι-σχύει f ( x) 2x 0 . Βλέπουμε, δηλαδή, ότι υπάρχειμια σχέση ανάμεσα στη μονοτονία και στο πρόσημοτης παραγώγου της συνάρτησης. Συγκεκριμέναισχύει:y=x 2f΄(x)0O xΘΕΩΡΗΜΑΈστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστημα Δ. Αν f ( x) 0 σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίωςαύξουσασε όλο το Δ. Αν f ( x) 0 σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίωςφ θίνουσα σε όλο το Δ.ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αποδεικνύο υμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι f ( x) 0 .Έστω x 1, x 2 Δ με x1 x2. Θα δείξουμε ότι f ( x1) f ( x2) . Πράγματι, στο διά-στημα x , ] η f ικανοποιεί τις προϋποθέσε ις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχειξ ( x 1,[1x2x τέτοιο, ώστε)2f ( ξ)f ( x2) f ( x1)x2 x1, οπότε έχουμεf ( x2 ) f ( x1) f (ξ)(x2 x1)Επειδή f ( ξ) 0 και x x 0 , έχουμε f x ) f ( x ) 0 , οπότε2 1(2 1 Στην περίπτωση που είναι f ( x ) 0 εργαζόμαστε αναλόγως.f x ) f ( ) .(1x2■Για παράδειγμα:— η συνάρτηση f ( x) x , είναι γνησίως αύξουσαστο [ 0, ), αφού είναι συνεχής στο[ 0, )και ισχύει f ( x)1 0 για κάθε2 xx ( 0, ) .yΟy x24x


2542 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ— η συνάρτηση f ( x) x2 2xείναι γνησίωςαύξουσα στο [1, ) , αφού είναι συνεχής στο[ 1, )και f ( x) 2( x 1) 0 για κάθεx ( 1, ) , ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο(,1] , αφού είναι συνεχής στο (,1]καιf ( x) 2( x 1) 0 για κάθε x (,1).yΟ1225y=x 2 2xxy261— η συνάρτηση f ( x) είναι γνησίως φθίνουσασε καθένα από τα διαστήματα (,0),xκαι1( 0, ), αφού f ( x) 0 για κάθε2xx (, 0) και για κάθε x ( 0, ).Οy 1xxΣΧΟΛΙΟΤο αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ι-σχύει. Δηλαδή, αν η f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχωςγνησίως φθίνουσα) στο Δ, η παράγωγός τηςδεν είναι υποχρεωτικά θετική (αντιστοίχως αρνητική)στο εσωτερικό του Δ.3Για παράδειγμα, η συνάρτηση f ( x) x , αν και είναιγνησίως αύξουσα στο , εντούτοις έχει παράγωγοf ( x) 3xη οποία δεν είναι θετική σε όλο το2, αφού f ( 0) 0 . Ισχύει όμως f ( x) 0 για κάθεx .yΟy=x 327xΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1. Nα βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η συνάρτησηείναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα.ΛΥΣΗf ( x) 2x3 3x2 1Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη μετης f δίνεται στον παρακάτω πίνακαf (x) 6x2 6x 6x(x 1). Το πρόσημοx 0 1 f (x)+ 0 0 +


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 255Eπομένως, η συνάρτηση f:— είναι γνησίως αύξουσα στο (,0], αφού είναι συνεχής στο (,0]και ισχύειf ( x) 0 στο (, 0).— είναι γνησίως φθίνουσα στο [ 0,1] , αφού είναι συνεχής στο [0,1]και ισχύειf ( x) 0 στο (0,1).— είναι γνησίως αύξουσα στο [ 1, ), αφού είναι συνεχής στο [ 1, )και ισχύειf ( x) 0 στο ( 1, ).Το πρόσημο της f και το είδος μονοτονίας της f στα διαστήματα (, 0],[ 0,1] και [ 1, )συγκεντρώνονται συνοπτικά στον παρακάτω πίνακα:x 0 1 +f ΄(x) + 0 0 +f (x)f(0)f(1)2. i) Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση ( x) x συνx 2f , x [0,π]είναι γνησίωςαύξουσα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.ii) Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση συνx x 2 έχει ακριβώς μια λύση στο[0,π] .ΑΠΟΔΕΙΞΗi) Είναιf ( x) ( x συνx 2) 1ημx 0 , για κάθε [ 0, π].Επομένως, η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ 0, π]. Επειδή η f είναι συνεχής καιγνησίως αύξουσα, σύμφωνα με την παράγραφο 1.8, το σύνολο τιμών της είναιτο διάστημα [ f (0), f ( π)] [ 3,π 1].ii) Έχουμε:συνx x 2 x συνx 2 0 , f ( x) 0 , x [ 0, π].Επειδή το σύνολο τιμών της f είναι τοδιάστημα [ 3,π 1], που περιέχει το 0, θαυπάρχει ένα τουλάχιστονx (0,0π) , τέτοιοώστε f (x0 ) 0 . Επειδή επιπλέον η f είναιγνησίως αύξουσα στο [ 0, π], η x0είναι μοναδικήρίζα της f ( x) 0 στο διάστημα αυ-y1O2y=συνxπ/2x 02y=x2π28x


2562 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣτό. Η ρίζα αυτή, όπως φαίνεται και στο σχήμα 28, είναι η τετμημένη του σημείουτομής της y x 2 και της y συνx.ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Αν για τις συναρτήσεις f , g ισχύουν:f (x) g(x) και g (x) f (x)για κάθε x ,να αποδείξετε ότι η συνάρτησηφ2( x) [ f ( x)][g(x)]2είναι σταθερή.2. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων:i) f ( ) x 3 3 2x 3x 4ii) f ( x) 2x 3x12xiii)xf ( x)x2 13. Oμοίως των συναρτήσεων:24 x , x 12i) f ( x) ii) f ( x)|x 1| x 2 , x 14. Oμοίως των συναρτήσεων:xi) f ( x) ii) f ( x) ln x x iii) f ( x) ημx|ημx| , x [ 0,2π].xe55. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x) x 5x 6 καιg ( x) 2 x x 3.i) Να αποδείξετε ότι oι f , g είναι γνησίως αύξουσες.ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών τους.iii) Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις:x 5 5x 6 0 και 2 x x 3 0έχουν ακριβώς μία ρίζα την x 1.6. Να αποδείξετε ότι:i) H συνάρτηση f ( x) 1 ln( x 1)είναι γνησίως αύξουσα.e xii) Η εξίσωση e x 1 ln( x 1)έχει ακριβώς μία λύση την x 0 .Β΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Αν για μία συνάρτηση f που είναι ορισμένη σ’ όλο το ισχύει


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2572 f ( y)| ( x ) για όλα τα y | f ( x)yνα αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή.x, ,2. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση3f ( x) x 3x α είναι γνησίωςφθίνουσα στο διάστημα [ 1,1] .ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f στο διάστημα [1, 1 ] .3iii) Αν 2 α 2 , να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 3x α 0 έ-χει ακριβώς μία λύση στο διάστημα ( 1,1) .3. Η θέση ενός κινητού πάνω σε έναν άξονα τη χρονική στιγμή t δίνεταιαπό τη συνάρτηση:4 3 2x S(t) t 8t18t16t160, 0 t 5 .Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του κινητού και στη συνέχειανα απαντήσετε στα ακόλουθα ερωτήματα:i) Πότε το κινητό έχει ταχύτητα μηδέν;ii) Πότε το κινητό κινείται προς τα δεξιά και πότε προς τα αριστερά;iii) Πότε η κίνηση του κινητού είναι επιταχυνόμενη και πότε επιβραδυνόμενη;4. Η τιμή V (σε χιλιάδες δραχμές) ενός προϊόντος, t μήνες μετά την παραγωγήτου, δίνεται από τον τύπο225tV 50 .2( t 2)Να αποδείξετε ότι το προϊόν συνεχώς υποτιμάται χωρίς, όμως, η τιμήτου να μπορεί να γίνει μικρότερη από το μισό της αρχικής τιμής του.5. Να αποδείξετε ότι:3x 9xi) Η συνάρτηση f ( x) είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα απόx21τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της και να βρείτε το σύνολοτων τιμών της f σε καθένα από τα διαστήματα αυτά.ii) H εξίσωσηx3 αx2 9x α 0είναι ισοδύναμη με τηνf ( x) ακαι στη συνέχεια ότι έχει τρεις πραγματικές ρίζες για κάθε α .*6. Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η συνάρτηση3 2f ( x) αx 3x x 1είναι γνησίως αύξουσα στο .


2582 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ7. Να αποδείξετε οτι:i) H συνάρτηση f ( x) ημx xσυνxείναι γνησίως αύξουσα στο κλειστόδιάστημα 0,π . 2 ii) ημx xσυνx 0 , για κάθε x 0,π . 2 ημxiii) H συνάρτηση f ( x) είναι γνησίως φθίνουσα στο ανοικτόx διάστημα 0,π . 2 8. Να αποδείξετε ότι: i) H συνάρτηση f ( x) 2ημx εφx 3x, x 0,π είναι γνησίως αύξουσα. 2 ii) 2ημx εφx 3x, για κάθε x 0,π . 2 2.7 TOΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΗ έννοια του τοπικού ακροτάτουΣτο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφικήy29παράσταση μιας συνάρτησης fσ’ ένα διάστημα ( α,β]. ΠαρατηρούμεA(x 0 ,f(x 0 ))ότι στο σημείο x x 0η τιμήC fτης συνάρτησης είναι μεγαλύτερηαπό την τιμή της σε κάθε “γειτονικό”σημείο του x0 . Στην περίπτωσηO a x 0 x 1 x 2 βxαυτή λέμε ότι η f παρουσιάζει στοx0τοπικό μέγιστο. Το ίδιο συμβαίνει και στα σημεία x1και x2. Γενικά έχουμετον ακόλουθο ορισμό:ΟΡΙΣΜΟΣΜια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στοτοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ 0 , τέτοιο ώστεf x) f ( x ) για κάθε x A x δ,x ) .(0(0 0δf ( x 0x A 0Το x0λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το ) τοπικό μέγι-στο της f.


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 259Aν η ανισότητα(0f x) f ( x ) ισχύει για κάθε x A , τότε, όπως είδαμε στην παράγραφο1.3, η f παρουσιάζει στοf ( x0) .x 0 A ολικό μέγιστο ή απλά μέγιστο, τοx 0Στο διπλανό σχήμα παρατηρούμεότι στο σημείο x x 0η τιμή τηςσυνάρτησης είναι μικρότερη απότην τιμή της σε κάθε “γειτονικό”σημείο του x 0. Στην περίπτωσηαυτή λέμε ότι η f παρουσιάζει στοτοπικό ελάχιστο. Το ίδιο συμβαίνεικαι στα σημεία x 1και β. Γενικά,έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:ΟΡΙΣΜΟΣyOC f30xa x 0 x 1 βΜία συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στοτοπικό ελάχιστο, όταν υπάρχειδ 0, τέτοιο ώστεf x) f ( x ) , για κάθε x A x δ,x ) .(0(0 0δx 0 AΤο x0λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαχίστου, ενώ το f ( x 0) τοπικό ελάχιστοτης f.Αν η ανισότητα(0f x) f ( x ) ισχύει για κάθε x A , τότε, όπως είδαμε στην παράγραφο1.3, η f παρουσιάζει στοf ( x0) .x 0 A ολικό ελάχιστο ή απλά ελάχιστο, τοΤα τοπικά μέγιστα και τοπικά ελάχιστα της f λέγονται τοπικά ακρότατα αυτής,ενώ τα σημεία στα οποία η f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα λέγονται θέσειςτοπικών ακροτάτων. Το μέγιστο και το ελάχιστο της f λέγονται ολικάακρότατα ή απλά ακρότατα αυτής.Για παράδειγμα, η συνάρτησηπαρουσιάζει:2x, αν x 1f ( x) 1 , αν x 1 xi) στο x 0 τοπικό ελάχιστο, το f ( 0) 0 ,το οποίο είναι και ολικό ελάχιστο καιii) στοx 1 τοπικό μέγιστο, το f ( 1) 1 .Η συνάρτηση f αν και παρουσιάζει τοπικό μέγιστο, εντούτοις δεν παρουσιάζει(ολικό) μέγιστο.C fy1O131x


2602 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣΧΟΛΙΑi) Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο(Σχ.32α).yy32x 1x 2x 3x 4O x(a)maxminxa O x 1 x 2 x 3 x 4 β(β)ii) Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτεροαπό τα τοπικά μέγιστα, ενώ αν παρουσιάζει, ελάχιστο, τότε αυτό θα είναι το μικρότεροαπό τα τοπικά ελάχιστα. (Σχ. 32β). Το μεγαλύτερο όμως από τα τοπικάμέγιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε μέγιστο αυτής. Επίσης το μικρότεροαπό τα τοπικά ελάχιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε ελάχιστο της συνάρτησης(Σχ. 32α).Προσδιορισμός των τοπικών ακροτάτωνΜε μια προσεκτική παρατήρηση του σχήματος 32β βλέπουμε ότι αν σ’ ένα εσωτερικόσημείο x 0ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της η f παρουσιάζειτοπικό ακρότατο και επιπλέον είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε στοσημείο A( x 0, f ( x 0)) η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f είναι οριζόντια,δηλαδή ισχύει f ( x 0) 0 . Αυτό επιβεβαιώνεται από το παρακάτω θεώρημα,που είναι γνωστό ως Θεώρημα του Fermat.ΘΕΩΡΗΜΑ (Fermat)Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ καισημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στογωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε:f ( x 0) 0x 0και είναι παραx0ένα εσωτερικόΑΠΟΔΕΙΞΗΑς υποθέσουμε ότι η f παρουσιάζει στοτοπικό μέγιστο. Επειδή το x 0είναι εσωτερικόσημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ’ αυτό τοπικόμέγιστο, υπάρχει δ 0 τέτοιο, ώστε(0x0 δ,x δ) Δ καιf x) f ( x ) , για κάθε x x δ,x ) . (1)(0(0 0δx 0yf(x 0 )O33x 0 δ x 0 x 0 +δx


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 261Επειδή, επιπλέον, η f είναι παραγωγίσιμη στοΕπομένως,f (x0) limxx0f ( x) f ( xx x00) limxx0, ισχύει x 0f ( x) f ( xx xf ( x) f ( x0)— αν x ( x0 δ,x0) , τότε, λόγω της (1), θα είναι 0 , οπότε θαx x0έχουμεf ( x) f ( x0)f (x0 ) lim 0(2)xxx x0f ( x) f ( x0)— αν x ( x0 , x0 δ), τότε, λόγω της (1), θα είναι 0 , οπότε θαx x0έχουμεf ( x) f ( x0)f (x0 ) lim 0 . (3)xxx xΈτσι, από τις (2) και (3) έχουμε f ( x 0) 0 .Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη.ΣΧΟΛΙΟ0Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, τα εσωτερικά σημεία του Δ, στα οποία ηf είναι διαφορετική από το μηδέν, δεν είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων. Επομένως,όπως φαίνεται και στα σχήματα 29 και 30, οι π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς των τ ο π ι κ ώ ν α κ ρ ο τ ά τ ω ν μιας συνάρτησης f σ’ ένα διάστημα Δ είναι:1. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται.2. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται.3. Τα άκρα του Δ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της).Τα ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγόςτης είναι ίση με το μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ.Για παράδειγμα, έστω η συνάρτησηy343x, x 1f ( x) .2C f(x 2) , x 11Η f είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμηστο {1} με23x,f (x) 2(x 2) ,x 1.x 1Οι ρίζες της f ( x) 0 είναι οι 0 και 2.000■0O).1 2x


2622 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣEπειδή η f μηδενίζεται στα σημεία 0 και 2, ενώ δεν υπάρχει στο 1, τα κρίσιμασημεία της f είναι οι αριθμοί 0, 1 και 2. Όμως, όπως φαίνεται στο σχήμα, τασημεία 1 και 2 είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων, ενώ το σημείο 0 δεν είναι θέσητοπικού ακροτάτου. Άρα δεν είναι όλα τα κρίσιμα σημεία θέσεις τοπικών ακροτάτωντης f. Επομένως, χρειαζόμαστε ένα κριτήριο το οποίο να μας πληροφορείποια από τα κρίσιμα σημεία της f είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων αυτής. Σχετικάισχύει το παρακάτω θεώρημα:ΘΕΩΡΗΜΑΈστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημαίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής.x 0( α,β), με εξαίρεσηi) Αν f ( x) 0 στο ( α,x0) και f ( x) 0 στο ( x 0, β), τότε το f ( x 0) είναι τοπικόμέγιστο της f. (Σχ. 35α)ii) Αν f ( x) 0 στο ( α,x0) και f ( x) 0 στο ( x 0, β), τότε το f ( x 0) είναι τοπικόελάχιστο της f. (Σχ. 35β)iii) Aν η f (x) διατηρεί πρόσημο στο α,x ) ( x , ) , τότε το f x ) δεν είναι(0 0βτοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στοΑΠΟΔΕΙΞΗ( 0( α,β). (Σχ. 35γ).i) Eπειδή f ( x) 0 για κάθε x α,x ) και η f είναι συνεχής στο , η f είναιγνησίως αύξουσα στο( α,x0 ](0. Έτσι έχουμεf x) f ( x ) , για κάθε x α,x ] . (1)(0(0Επειδή f ( x) 0 για κάθε x ( x 0, β)και η f είναι συνεχής στο , η f είναιγνησίως φθίνουσα στο[ x 0, β). Έτσι έχουμε:f x) f ( x ) , για κάθε x [ x 0, β). (2)(0x 0x 0yf΄>0f΄0f΄


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 263yy35βf΄0f΄0Oa x 0 β xOa x 0 β xiii) Έστω ότιf ( x) 0 , για κάθε x α,x ) ( x , ) .(0 0βyf΄>0yf΄>035γf΄>0f΄>0Oa x 0 β xOa x 0 β xΕπειδή η f είναι συνεχής στοθα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από ταδιαστήματα ( α , x ] και [ x 0, β). Επομένως, γιαx 0x x x ισχύει0 1 02f ( x1 ) f ( x0) f ( x 2) . Άρα το f (x 0) δεν είναι τοπικό ακρότατο της f. Θα δείξουμε,τώρα, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, β) . Πράγματι, έστωx1, x2 ( α,β)με x1 x2.— Αν x , x ( α,x ] , επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( α,x ] , θα ισχύειf ( x 1)1 2f ( x 2) .0— Αν x x [x , ) , επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ x 0, β), θα ισχύειf ( x 1)1, 2 0βf ( x 2) .— Τέλος, αν x x , τότε όπως είδαμε f x ) f ( x ) f ( ) .1 0x2(1 0x2(1x2Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f x ) f ( ) , οπότε η f είναι γνησίωςαύξουσα στο ( α,β).Ομοίως, αν f (x) 0 για κάθε x α,) ( x , β). ■Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση( x 0 0f4 3( x) x 4xπου είναι ορισμένη στο . Η3 2f είναι παραγωγίσιμη στο , με f ( x) 4x12x. Οι ρίζες της f ( x) 0 είναιx 0 (διπλή) ή x 3 , το δε πρόσημο της f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:x 0 3 f (x) 0 0 +0


2642 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣύμφωνα με το παραπάνω κριτήριο, η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσαστο διάστημα (,3] , γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ 3, ) και παρουσιάζειένα μόνο τοπικό ακρότατο, συγκεκριμένα ολικό ελάχιστο για x 3 , τοf ( 3) 27.( 0ΣΧΟΛΙΑ ΄Οπως είδαμε στην απόδειξη του παραπάνω θεωρήματος στην πρώτη περίπτωσητο f x ) είναι η μέγιστη τιμή της f στο ( α,β), ενώ στη δεύτερη περίπτωσητο f x ) είναι η ελάχιστη τιμή της f στο ( α,β).( 0 Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα κλειστό διάστημα [ α,β], όπωςγνωρίζουμε (Θεώρημα § 1.8),η f παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο. Για τηνεύρεση του μέγιστου και ελάχιστου εργαζόμαστε ως εξής:1. Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της f.2. Υπολογίζουμε τις τιμές της f στα σημεία αυτά και στα άκρα των διαστημάτων.3. Από αυτές τις τιμές η μεγαλύτερη είναι το μέγιστο και η μικρότερη τοελάχιστο της f.3 2Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση f ( x) 2x15x 24x19, x [0, 5]. Έχου-2με f (x) 6x 30x 24 , x [0, 5]. Οι ρίζες της f ( x) 0 είναι οι x 1 , x 4 .Επομένως, τα κρίσιμα σημεία της f είναι τα x 1 , x 4 . Οι τιμές της f στακρίσιμα σημεία και στα άκρα του διαστήματος [0, 5] είναιf ( 1) 30 , f ( 4) 3 , f ( 0) 19 και f ( 5) 14 .Άρα, η μέγιστη τιμή της f στο [0, 5] είναι ίση με 30 και παρουσιάζεται γιαx 1 , ενώ η ελάχιστη τιμή της f είναι ίση με 3 και παρουσιάζεται για x 4 . Για να εφαρμόσουμε το προηγούμενο θεώρημα απαιτείται να προσδιορίσουμετο πρόσημο της f εκατέρωθεν του x0. Όταν ο προσδιορισμός αυτός δεν είναιεύκολος ή είναι αδύνατος, τότε το παρακάτω θεώρημα, του οποίου η απόδειξηπαραλείπεται, μπορεί να μας πληροφορήσει αν το x0είναι θέση τοπικού ακρότατου.ΘΕΩΡΗΜΑμείο του ( , ) στο οποίο η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη. Αν f ( x 0) 0 και f ( x 0) 0 , τότε το f x ) είναι τοπικό μέγιστο. Αν f ( x 0) 0 και f ( x 0) 0 , τότε το f x ) είναι τοπικό ελάχιστο.Για παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να βρούμε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης( 0( 0Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα ( , ) και ένα σηx0


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 265f ( x) x 2συνx, x [ 0, 2π).Έχουμεοπότε οι ρίζες τηςf f ( x) 12ημxκαι f ( x) 2συνx,είναι οι 5 και .6 6 Για x , είναι f 3 0 , ενώ για6 6 Έτσι έχουμε5 5x , είναι f 3 0 .6 6 α) 06 f και 06 f , οπότε το f είναι τοπικό μέγιστο της f. 6 5 5 5 β) f 0 και f 0 , οπότε το f είναι τοπικό ελάχιστο της f. 6 6 6 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1. Nα βρεθεί το [0, 3]x έτσι, ώστε το ορθογώνιοΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος να έχει μέγιστοεμβαδό.ΛΥΣΗΤο εμβαδό του ορθογωνίου είναιΓyΔ3623E ( x) ( AB)(AΔ) 2x(3 x ) 2x 6x.2Έχουμε E(x) 6x 6 6(x 1)(x 1). Οι ρίζεςτης E(x) 0 είναι οι x 1,x 1 . Η μονοτονίακαι τα ακρότατα της Ε φαίνονται στον παρακάτωπίνακαOB(x,0) A(x,0) xy=3x 2x 0 1 3E΄(x) + 0 4E(x) max0minΆρα, η μέγιστη τιμή του εμβαδού είναι ίση με 4 και παρουσιάζεται όταν x 1 .min0


2662 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ2. Έστω η συνάρτηση f ( x)x 1 lnx .i) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία καιτα ακρότατα.ii) Να αποδειχτεί ότι lnx x 1, για κάθεx 0 .ΛΥΣΗ1 x 1i) Έχουμε f ( x) 1 , x ( 0, ). Ηx xεξίσωση f ( x) 0 έχει μία μόνο ρίζα, τηνx 1 . Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:x 0 1 +f ΄(x) 0 +yy=x1y=lnx37O 1xf (x)0minx 1 παρουσιάζει ολικό ελάχιστο, για κάθε x ( 0, )ισχύ-ii) Επειδή η f γιαει:f ( x) f (0) x 1ln x 0Η ισότητα ισχύει μόνο όταν x 1 . ln x x 1.3. Μία βιομηχανία καθορίζει την τιμή πώλησης Π(x) κάθε μονάδας ενόςπροϊόντος, συναρτήσει του πλήθους x των μονάδων παραγωγής, σύμφωνα μετον τύπο Π( x) 40000 6x. Το κόστος παραγωγής μιας μονάδας είναι 4000δρχ. Αν η βιομηχανία πληρώνει φόρο 1200 δρχ.για κάθε μονάδα προϊόντος,να βρεθεί πόσες μονάδες προϊόντος πρέπει να παράγει η βιομηχανία, ώστε ναέχει το μέγιστο δυνατό κέρδος.ΛΥΣΗΗ είσπραξη από την πώληση x μονάδων παραγωγής είναιE(x) xΠ(x) x(40000 6x) 6x2 40000x.Το κόστος από την παραγωγή x μονάδων είναιK( x) 4000x.Το ολικό κόστος μετά την πληρωμή του φόρου είναι:K ολ( x) 4000x1200x 5200x.Επομένως, το κέρδος της βιομηχανίας είναιP( x) E(x) K ( x)ολ


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 267 6x 2 40000x 5200x 6x 2 34800x .Έχουμε P ( x) 12x 34800 , οπότε η P ( x) 0 έχει ρίζα την x 2900 .Η μονοτονία και τα ακρότατα της Ρ στο ( 0, ) φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:x 0 2900 +P΄(x) + 0 50460P(x) maxΕπομένως, το μέγιστο κέρδος παρουσιάζεται όταν η βιομηχανία παράγει 2900μονάδες από το προϊόν αυτό και είναι ίσο με 50460 χιλιάδες δρχ.ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. H παράγωγος μιας συνάρτησης f είναι3 2f (x) 3( x 1)( x 2) ( x 3) .Για ποιές τιμές του x η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και για ποιεςπαρουσιάζει τοπικό ελάχιστο;2. α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις:3 23i) f ( x) x 3x 3x1ii) g(x) x 3x 23 2iii) h(x) 2x 3x1.β) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών των εξισώσεων:3 3 2 3 1 33 2x x x 0 , x 3x 2 0 , 2x 3x1 0 .3. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις:


2682 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ22x, x 1x 2x1, x 1i) f ( x) ii) g( x).1x 2e, x 1x 4x 3 , x 14. Nα μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις:i) f x ex x( ) xii) f ( x) x , x 0 .5. Nα βρείτε τις τιμές των α, β για τις οποίες η συνάρτηση3 2f ( x) αx βx 3x1παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημείαx1 1 και x 2 1. Να καθορίσετε το είδος των ακροτάτων.6. Να αποδείξετε ότι, από όλα τα οικόπεδα σχήματος ορθογωνίου με εμβαδό400m 2 , το τετράγωνο χρειάζεται τη μικρότερη περίφραξη.7. Με συρματόπλεγμα μήκους 80m θέλουμε να περιφράξουμε οικόπεδοσχήματος ορθογωνίου. Να βρείτε τις διαστάσεις του οικοπέδου πουέχει το μεγαλύτερο εμβαδόν.8. Μία ώρα μετά τη λήψη x mgr ενός αντιπυρετικού, η μείωση της θερμοκρασίαςενός ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση T ( x) x ,32 x40 x 3 . Να βρείτε ποια πρέπει να είναι η δόση του αντιπυρετικού,ώστε ο ρυθμός μεταβολής της μείωσης της θερμοκρασίας ως προς x,να γίνει μέγιστος.9. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ του διπλανούσχήματος με πλευρά 2cm. Αν το τετράγωνοΕΖΗΘ έχει τις κορυφές τουστις πλευρές του ΑΒΓΔ,i) να εκφράσετε την πλευρά ΕΖ συναρτήσειτου x.ii) να βρείτε το x έτσι, ώστε το εμβαδόνE(x) του ΕΖΗΘ να γίνει ελάχιστο.Δ H ΓxxΖΕ(x)ΘxxA Ε B10. Το κόστος της ημερήσιας παραγωγής x μονάδων ενός βιομηχανικού1 3 2προϊόντος είναι K(x) x 20x 600x1000χιλιάδες δραχμές,30 x 105 . Η είσπραξη από την πώληση των x μονάδων είναι2E( x) 420x 2x χιλιάδες δραχμές. Να βρεθεί η ημερήσια παραγωγήτου εργοστασίου, για την οποία το κέρδος γίνεται μέγιστο.Β΄ ΟΜΑΔΑΣ


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2691. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) 2ημx x 3, x [ 0, π]i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και ακρότατα.ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωσηστο ( 0, π).1 3ημx x έχει ακριβώς μία ρίζα2 22. i) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτησηf ( x) ln x x 1και να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημό της.ii) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτησηφ ( x) 2xln x x2 4x 3iii) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεωνg( x) xlnx καιh ( x) 12x2 2xέχουν ένα μόνο κοινό σημείο στο οποίο έχουν και κοινή εφαπτομένη.3. Να αποδείξετε ότι για κάθε x 0 ισχύει32i) α) e x 1 xii) α)β)122e x 1x xβ)συνx 112x1ημx x x623iii) α) ( 1 x)ν 1 νx, ν με ν 2β)ν(ν 1)( 1x22 x)ν 1νx , ν με ν 3 .4. Να αποδείξετε ότι, αν για μια συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμηστο , ισχύειτότε η f δεν έχει ακρότατα.332 f ( x) 6 f ( x) 2x 6x1,


2702 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ5. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τιςγραφικές παραστάσεις δύο παραγωγίσιμωνσυναρτήσεωνf , g σ’ ένα διάστημα [ α,β]. Τοσημείο ξ ( α,β)είναι το σημείοστο οποίο η καρακόρυφηαπόσταση (ΑΒ)μεταξύ των CκαιC gπαίρνει τη μεγαλύτερηfτιμή.Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των C και C στα σημείαyf(ξ)g(ξ)A ( ξ,f ( ξ))και Β( ξ,g(ξ))είναι παράλληλες.6. Να αποδείξετε ότι η συνάρτησηf ( x)γ22 2 ( x α)( x β)( x ) , με α β γέχει τρία τοπικά ελάχιστα και δύο τοπικά μέγιστα.OfΑΒC fC gα ξ β x7. Με ένα σύρμα μήκους 4m κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνοπλευράς x m και ένα τετράγωνο πλευράς y m.i) Να βρείτε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων συναρτήσειτης πλευράς x του ισοπλεύρου τριγώνου.ii) Για ποια τιμή του x το εμβαδόν γίνεται ελάχιστο. 9 8. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x και το σημείο A , 0 . 2 i) Να βρείτε το σημείο Μ της που απέχει από το σημείο Α τη μικρότερηαπόσταση.C fii) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη τηςΑΜ.9. Όπως γνωρίζουμε, ο στίβοςτου κλασικού αθλητισμού αποτελείταιαπό ένα ορθογώνιοκαι δύο ημικύκλια. Αν η περίμετροςτου στίβου είναι 400m,να βρείτε τις διαστάσεις του,ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίουμέρους να γίνει μέγιστο.C fgστο Μ είναι κάθετη στην10. Η ναύλωση μιας κρουαζιέρας απαιτεί συμμετοχή τουλάχιστον 100 α-τόμων. Αν δηλώνουν ακριβώς 100 άτομα, το αντίτιμο ανέρχεται σε100 χιλιάδες δραχμές το άτομο. Για κάθε επιπλέον άτομο το αντίτιμοανά άτομο μειώνεται κατά 500 δρχ. Πόσα άτομα πρέπει να δηλώσουνσυμμετοχή, ώστε να έχουμε τα περισσότερα έσοδα.E(x)xx


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 271t111. Έστω Ε το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίουτου διπλανού σχήματος. Υποθέτουμεοτι τη χρονική στιγμή t 0είναι r1 3 cm και r2 5 cm και ότι για 0 η ακτίνα r αυξάνεται με σταθερόρυθμό 0,05cm/s, ενώ η ακτίνα r 2αυξάνεται με σταθερό ρυθμό 0,04cm/s. Να βρείτε:i) πότε θα μηδενιστεί το εμβαδόν τουκυκλικού δακτυλίου καιr 2r 1ii) πότε θα μεγιστοποιηθεί το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου.12.Θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα ΔΓκανάλι του οποίου η κάθετη διατομήΑΒΓΔ φαίνεται στο διπλανό σχήμα.2m2mi) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν τηςθ θδιατομής ΑΒΓΔ είναι ίσο μεΑ 2m ΒE 4ημθ(1 συνθ)ii) Για ποια τιμή του θ το εμβαδόν της κάθετης διατομής μεγιστοποιείται;13. Ένας κολυμβητής Κ βρίσκεταιστη θάλασσ α 100ft (1) μα-100 ftΚκριά από το πλησιέστεροσημείο Α μιας ευθύγραμμηςA x MΣακτής, ενώ το σπίτι του Σ300 ftβρίσκεται 300ft μακρυά απότο σημείο Α. Υποθέτουμε ότι ο κολυμβητής μπορεί να κολυμβήσει μεταχύτητα 3ft/s και να τρέξει στην ακτή με ταχύτητα 5ft/s.i) Να αποδείξετε οτι για να διανύσει τη διαδρομή ΚΜΣ του διπλανούσχήματος χρειάζεται χρόνο2 2100 x 300 xΤ ( x) .3 5ii) Για ποια τιμή του x o κολυμβητής θα χρειαστεί το λιγότερο δυνατόχρόνο για να φθάσει στο σπίτι του;(1) 1ft = 30,48 cm


2722 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ14. Ένας εργολάβος επιθυμείνα χτίσει ένα σπίτι στοδρόμο που συνδέει δύοεργοστάσια E1και E2ταοποία βρίσκονται σε α-πόσταση 12km και εκπέμπουνκαπνό με παροχέςΕ 1x Σ12kmΕ 2Ρ και 8P αντιστοίχως. Αν η πυκνότητα του καπνού σε μια α-πόσταση d από ένα τέτοιο εργοστάσιο είναι ανάλογη της παροχής καπνούτου εργοστασίου και αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου τηςαπόστασης d, να βρείτε σε ποια απόσταση x από το εργοστάσιο E1πρέπει ο εργολάβος να χτίσει το σπίτι για να έχει τη λιγότερη δυνατήρύπανση. (Παροχή καπνού μιας καπνοδόχου ενός εργοστασίου λέγεταιη ποσότητα του καπνού που εκπέμπεται από την καπνοδόχο στημονάδα του χρόνου).2.8 KΥΡΤΟΤΗΤΑ – ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΚοίλα - κυρτά συνάρτησης Έστω οι συναρτήσεις2f ( x) x και g( x) | x | (Σχ. 38).yy38y=f(x)y=g(x)ΟxΟx(a)(β)Οι πληροφορίες τις οποίες μας δίνει η πρώτη παράγωγος για τη συμπεριφοράκάθε μιας από τις δύο συναρτήσεις, όπως φαίνεται και στο σχήμα 38 είναι ίδιες.Δηλαδή οι συναρτήσεις,— είναι γνησίως φθίνουσες στο (,0]— είναι γνησίως αύξουσες στο [ 0, )— παρουσιάζουν τοπικό ελάχιστο για x 0 , το οποίο είναι ίσο με 0.Όμως, οι συναρτήσεις αυτές έχουν διαφορετικές γραφικές παραστάσεις. Δηλαδή,“ανέρχονται” και “κατέρχονται” με διαφορετικό τρόπο σε κάθε ένα από τα διαστήματα(,0] και [ 0, ). Επομένως, οι πληροφορίες που μας δίνει το πρό-


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 273σημο της πρώτης παραγώγου δεν είναι ικανές για τη χάραξη της γραφικής παράστασηςμιας συνάρτησης.Ας θεωρήσουμε τώρα τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεωνστο διάστημα [ 0, ).yy=x 2y39y xΟ+(a)Καθώς το x αυξάνεταιη εφαπτομένη της C fστρέφεται κατά τη θετικήφοράxΟ(β)Καθώς το x αυξάνεταιη εφαπτομένη της C gστρέφεται κατά τηναρνητική φοράxΠαρατηρούμε ότι καθώς το x αυξάνεται:— η κλίση f (x)της Cfαυξάνεται, δηλαδή η[ 0, ), ενώf είναι γνησίως αύξουσα στο— η κλίση της g(x)της Cgελαττώνεται, δηλαδή η g είναι γνησίως φθίνουσαστο [ 0, ).Στην πρώτη περίπτωση λέμε ότι η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνωστο [ 0, ), ενώ στη δεύτερη περίπτωση λέμε ότι η g στρέφει τα κοίλα προς τακάτω στο [ 0, ). Γενικά δίνουμε τον παρακάτω ορισμό:ΟΡΙΣΜΟΣΈστω μία συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς σ’ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί σ ιμ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ. Θα λέμε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν ηf είναι γνησίως αύξουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ. Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν ηf είναι γνησίως φθίνουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ.Εποπτικά, μία συνάρτηση f είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σε ένα διάστημαΔ, όταν ένα κινητό, που κινείται πάνω στη C f, για να διαγράψει το τόξο πουαντιστοιχεί στο διάστημα Δ πρέπει να στραφεί κατά τη θετική (αντιστοίχως αρνητική)φορά. (Σχ. 40)


2742 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣy40C f++O xΓια να δηλώσουμε στον πίνακα μεταβολών ότι μια συνάρτηση f είναι κυρτή(αντιστοίχως κοίλη) σε ένα διάστημα Δ, χρησιμοποιούμε το συμβολισμό (αντιστοίχως).ΣΧΟΛΙΟΑποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σ’ έναδιάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείοτου Δ βρίσκεται “κάτω” (αντιστοίχως “πάνω”) από τη γραφική της παράσταση(Σχ. 39), με εξαίρεση το σημείο επαφής τους. Η μελέτη μιας συνάρτησης ως προς τα κοίλα και κυρτά διευκολύνεται με τηβοήθεια του επόμενου θεωρήματος, που είναι άμεση συνέπεια του προηγούμενουορισμού και του θεωρήματος μονοτονίας.ΘΕΩΡΗΜΑ΄Εστω μια συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς σ’ ένα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμηστο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ. Αν f ( x) 0 για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναικυρτή στο Δ. Αν f ( x) 0 για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναι κοίληστο Δ.3Για παράδειγμα, η συνάρτηση f ( x) x (Σχ. 41),y41— είναι κοίλη στο (,0] , αφού f ( x) 6x 0 , γιαx (, 0) και η f είναι συνεχής στο ( , 0] ενώ,y=x 3— είναι κυρτή στο [ 0, ), αφού f ( x) 6x 0 , γιαx ( 0, )και η f είναι συνεχής στο [0, ).O x


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 275ΣΧΟΛΙΟΤο αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει. Για παράδειγμα,έστω η συνάρτηση f ( x) x (Σχ. 42).4Ε-πειδή ηf ( x) 4x3είναι γνησίως αύξουσα στο , η4f ( x) x είναι κυρτή στο . Εντούτοις, η f (x)δενείναι θετική στο , αφού f ( 0) 0 .Σημεία καμπήςyy=x 4O x3Στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) x(Σχ. 41) παρατηρούμε ότι,(α) στο σημείο O(0, 0) η γραφική παράσταση της f έχει εφαπτομένη και(β) εκατέρωθεν τουx 0 0 , η κυρτότητα της καμπύλης αλλάζει.42


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 275Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η γραφική παράσταση της f “κάμπτεται” στοσημείο O(0,0) . Το σημείο Ο λέγεται σημείο καμπής της C . Γενικά δίνουμετον παρακάτω ορισμό.ΟΡΙΣΜΟΣfΈστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημαίσως ένα σημείο του. Αν x 0( α,β), με εξαίρεση η f είναι κυρτή στο α , x ) και κοίλη στο ( x 0, β), ή αντιστρόφως, και(0 η C έχει εφαπτομένη στο σημείο A x , f ( )) ,f(0x0τότε το σημείο A( x0 , f ( x0)) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασηςτης f.(0x0Όταν το A x , f ( )) είναι σημείο καμπής της , τότε λέμε ότι η f παρουσιάζειστο καμπή και το λέγεται θέση σημείου καμπής. Στα σημεία καμπήςx 0x 0η εφαπτομένη της C f“διαπερνά” την καμπύλη. Αποδεικνύεται, επιπλέον, ότι:ΘΕΩΡΗΜΑΑν το A( x0 , f ( x0)) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της fκαι η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, τότε f ( x 0) 0 .C fΣύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, τα εσωτερικάσημεία ενός διαστήματος Δ στα οποία η f είναιδιαφορετική από το μηδέν δεν είναι θέσεις σημείωνκαμπής. Επομένως, ο ι π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς σ η με ί ω ν κ α μ π ή ς μιας συνάρτησης f σ’ ένα διάστημαΔ είναι:i) τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f μηδενίζεται,καιii) τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία δεν υπάρχειη f (Σχ. 43).yO43y=f(x)x 1 x 2 xΓια παράδειγμα, έστω η συνάρτηση3xf x) (x 2)(4, x 1, x 1(Σχ. 44)Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο {1 } με6xf (x) 12(x 2)2, x 1., x 1Έτσι έχουμε τον παρακάτω πίνακα:y144O 1 2 xC f


2762 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣx 0 1 2 f (x) 0 ++ 0 +f (x) κοίλη κυρτή κυρτή κυρτήΕπειδή η f μηδενίζεται στα σημεία 0 και 2, ενώ δεν υπάρχει στο 1, οι πιθανέςθέσεις των σημείων καμπής είναι τα σημεία 0, 1 και 2. Όμως, όπως φαίνεταιστον παραπάνω πίνακα και στο σχήμα, τα σημεία 1 και 2 δεν είναι θέσεις σημείωνκαμπής, αφού σ’ αυτά η f δεν αλλάζει κυρτότητα, ενώ το σημείο 0 είναιθέση σημείου καμπής, αφού στο O( 0, f (0)) υπάρχει εφαπτομένη της C και η fστο 0 αλλάζει κυρτότητα. Παρατηρούμε λοιπόν ότι από τις πιθανές θέσεις σημείωνκαμπής, θέση σημείου καμπής είναι μόνο το 0, εκατέρωθεν του οποίου ηf αλλάζει πρόσημο. Γενικά:fΈστω μια συνάρτηση f oρισμένη σ’ ένα διάστηματότε το η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του x 0και ορίζεται εφαπτομένη της C στο A x , f ( )) ,A( x0 , f ( x0))είναι σημείο καμπής.f(0x0( α , β)και x ( α,) . Αν0βΕΦΑΡΜΟΓHNα προσδιορισθούν τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση4 2f ( x) x 6x 5 ,-είναι κυρτή ή κοίλη και να βρεθούν τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης.ΛΥΣΗi) Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο , με f ( x) 12( x 1)(x 1). Το πρόσημοτης f φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα:x -1 1 +f ΄΄(x) + 0 0 +f (x)0 0Σ.Κ. Σ.Κ.Επομένως, η f είναι κυρτή σε καθένα από τα διαστήματα ( , 1]και [ 1, )καικοίλη στο διάστημα [1,1] .


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 277Επειδή η f μηδενίζεται στα σημεία 1, 1 και εκατέρωθεν αλλάζει πρόσημο, τασημεία A (1, 0) και B(1,0)είναι σημεία καμπής της C . Τα συμπεράσματα αυτάκαταχωρούνται στην τελευταία γραμμή του παραπάνω πίνακα.fΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία οι παρακάτω συναρτήσεις είναικυρτές ή κοίλες και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σημεία καμπήςτων γραφικών τους παραστάσεων5 4i) ( x) 3x 5x 2ii)23x 2g(x) .xf32. Ομοίως για τις συναρτήσεις:1x2i) f ( x) xeii) g(x) x (2 ln x 5)23x1, x 0iii) h( x) .3 2x 3x1, x 03. Oμοίως για τις συναρτήσεις:2xi) f ( x) eii) π π g ( x) εφx,x , 2 2 iii)v)h( x) x | x |iv) φ( x) | x | x , x 0ψ ( x) . x , x 04. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγουμίας συνάρτησης f στο διάστημα [ 1,10].yy=f΄(x)210-1 O 1 4 5 6 7 8 x


2782 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΝα προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα,γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη και τις θέσεις τοπικών ακροτάτωνκαι σημείων καμπής.5. Στο διπλανό σχήμα δίνεταιη γραφική παράστασηC της συνάρτησης θέσεωςx S(t) ενός κινητού πουκινείται πάνω σε έναν ά-ξονα. Αν η C παρουσιάζεικαμπή τις χρονικές στιγμέςκαι t , να βρείτε:t13Ox=S(t)x=S(t)t 2t 1 t 3 ti) Πότε το κινητό κινείται κατά τη θετική φορά και πότε κατά τηναρνητική φορά.ii) Πότε η κίνηση του κινητού είναι επιταχυνόμενη και πότε επιβραδυνόμενη.Β΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να βρείτε τα σημεία καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης:xf ( x)x 2 1και να αποδείξετε ότι δύο από αυτά είναι συμμετρικά ως προς το τρίτο.2. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης:έχει για κάθε τιμή τουα , ακριβώς ένα σημείο καμπής που βρίσκε-2ται στην παραβολή y x 2 .xαf ( x) 2e x23. Να αποδείξετε ότι για κάθε α (2, 2)η συνάρτηση4 3 2f ( x) x 2αx 6x 2x13 24. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x 3x 2 .είναι κυρτή σε όλο το .i) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικόελάχιστο και ένα σημείο καμπής.ii) Aν x 1, x 2είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων και x 3η θέσητου σημείου καμπής, να αποδείξετε ότι τα σημεία A ( x 1, f x )) ,B ( x f ( )) και Γ x , f ( )) είναι συνευθειακά.2, x2(3x3( 1


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2795. Έστω f μια συνάρτηση, δυο φορές παραγωγίσιμη στο [ 2, 2], για τηνοποία ισχύει22f ( x) 2 f ( x) x 3 0 .Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει σημεία καμπής.2.9 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L’ HOSPITALAσύμπτωτες Έστω η συνάρτησηΌπως είδαμε:lim f ( x) limx01f ( x) (Σχ. 45).xx01 .xΑυτό σημαίνει ότι, καθώς το x τείνει στο 0 απόθετικές τιμές, η γραφική παράσταση της f τείνεινα συμπέσει με την ευθεία x 0 . Στην περίπτωσηαυτή λέμε ότι η ευθεία x 0 είναι κατακόρυφηασύμπτωτη της . Γενικά:C fyΟy 1x45xΟΡΙΣΜΟΣΑν ένα τουλάχιστον από τα όρια lim f ( x), lim f ( x)είναι ήευθείαf.x x 0xx0xx0 , τότε ηλέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της Για την ίδια συνάρτηση παρατηρούμε ότι:1lim f ( x) lim 0 .xxxΑυτό σημαίνει ότι, καθώς το x τείνει στο , η γραφική παράσταση της fτείνει να συμπέσει με την ευθεία y 0 . Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθείαy 0 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της Cfστο .Επίσης παρατηρούμε ότι1lim f ( x) lim 0 .xxxΑυτό σημαίνει ότι, καθώς το x τείνει στο , η γραφική παράσταση της f τείνεινα συμπέσει με την ευθεία y 0 . Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθείαy 0 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της στο . Γενικά:Cf


2802 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΟΡΙΣΜΟΣΑνlim f ( x) (αντιστοίχως lim f ( x) )xx, τότε η ευθεία y λέγεται οριζόντιαασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο (αντιστοίχως στο ). Έστω η συνάρτησηy1f ( x) x 1xκαι η ευθείαg ( x) x 1(Σχ. 46).Επειδή1lim [ f ( x) g(x)] lim 0 , καθώςxxxτο x τείνει στο , οι τιμές της f προσεγγίζουντις τιμές της g. Δηλαδή, η γραφική παράστασηΟ1της f προσεγγίζει την ευθείαy x 1. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι ηευθεία y x 1είναι ασύμπτωτη (πλάγια) της C στοfC f46f(x)(x1)1 x . Γενικά:ΟΡΙΣΜΟΣΗ ευθεία y λx β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο , αντιστοίχως στο , αναντιστοίχωςΗ ασύμπτωτηy λx β είναι οριζόντια αν λ 0 , ενώ αν λ 0 λέγεται πλάγιαασύμπτωτη.lim [ f ( x) ( λx β)] 0 ,xlim [ f ( x) ( λx β)] 0 .xΓια τον προσδιορισμό των ασυμπτώτων μιας συνάρτησης ισχύει το παρακάτωθεώρημα, του οποίου η απόδειξη παραλείπεται.ΘΕΩΡΗΜΑΗ ευθεία y λx β είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο ,αντιστοίχως στο , αν και μόνο αναντιστοίχωςΣΧΟΛΙΑf ( x)lim λ και lim [ f ( x) λx] β ,xxxf ( x)lim λ και lim [ f ( x) λx] β .xxx


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2811. Αποδεικνύεται ότι:— Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 δεν έχουνασύμπτωτες.P(x)— Οι ρητές συναρτήσεις , με βαθμό του αριθμητή P(x) μεγαλύτεροQ(x)τουλάχιστον κατά δύο του βαθμού του παρονομαστή, δεν έχουν πλάγιεςασύμπτωτες.2. Σύμφωνα με τους παραπάνω ορισμούς, ασύμπτωτες της γραφικής παράστασηςμιας συνάρτησης f αναζητούμε:— Στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της στα οποία η f δενορίζεται.— Στα σημεία του πεδίου ορισμού της, στα οποία η f δεν είναι συνεχής.— Στο , , εφόσον η συνάρτηση είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής( α,) , αντιστοίχως ( , α).ΕΦΑΡΜΟΓHNα βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησηςΛΥΣΗ1f ( x) x .x*Επειδή η f έχει πεδίο ορισμού το και ειναι συνεχής σ’ αυτό, θα αναζητήσουμεκατακόρυφη ασύμπτωτη στο 0 και πλάγιες στο και .Είναιlim f ( x) x0καιlim f ( x) ,x0Άρα, η ευθεία x 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης τηςf.Eξετάζουμε, τώρα, αν υπάρχει στο ασύμπτωτη της μορφής y λx β . Έ-χουμε:2f ( x)x 1lim lim 1, οπότε λ 1 καιx 2x xx2 x 1 1lim ( f ( x) λx) lim x lim 0 , οπότε β 0 .xx xx x


2822 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΕπομένως, η ευθείατης f στο .Ανάλογα βρίσκουμε ότι η ευθείαπαράστασης της f και στο .Κανόνες de L’ Hospitaly x είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασηςy x είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικήςex 1Έστω η συνάρτηση f ( x) . Για να εξετάσουμε αν η ευθεία x 0 είναι κατακόρυφηασύμπτωτη της , χρειάζεται να υπολογίσουμε3xτοC flimx0e x1. (1)x3Παρατηρούμε ότι, αν εφαρμόσουμε τον κανόνα του ορίου πηλίκου, παρουσιάζεταιαπροσδιοριστία της μορφής 00 . Οι μέθοδοι που εφαρμόσαμε στο κεφάλαιοτου ορίου για την άρση της απροσδιοριστίας (απλοποίηση κτλ.) δεν εφαρμόζονταιστο πιο πάνω όριο.0 Για τα όρια πηλίκου που οδηγούν σε απροσδιόριστες μορφές , , ισχύουν0 τα επόμενα θεωρήματα (η απόδειξή τους παραλείπεται), που είναι γνωστά ωςκανόνες de l’ Hospital.ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο (μορφή 0 0 )Αν lim f ( x) 0 , lim g(x) 0 ,xx0xx0(πεπερασμένο ή άπειρο), τότε:x { , } και υπάρχει τοf ( x)limx x g(x)0f (x)limx x0g() . 0 xf (x)limxx0 g(x)Έτσι το παραπάνω όριο (1) υπολογίζεται ως εξής:Έχουμε:xlim(e 1) 0 , lim x 3 0x0x0καιxx( e 1) elim lim x 0 3 03 2( x ) x xΕπομένως:e x 1lim ,x0x3που σημαίνει ότι η ευθεία x 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασηςτης f.


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 283ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο (μορφή ) Ανlim f ( x) , lim g(x) , x { , } και υπάρχει τοxx0xx0(πεπερασμένο ή άπειρο), τότε:f ( x)limx x g(x)0f (x)limx x0g() . 0 xf (x)limxx0 g(x)Για παράδειγμα, ο υπολογισμός τουΈχουμε:καιΕπομένως:ΣΧΟΛΙΑe xlim γίνεται ως εξής:xxxlim e , lim x xxxx( e ) elim lim( x) xx 1e xlim .xx1. Το θεώρημα 2 ισχύει και για τις μορφές , . , . 2. Τα παραπάνω θεωρήματα ισχύουν και για πλευρικά όρια και μπορούμε, ανχρειάζεται, να τα εφαρμόσουμε περισσότερες φορές, αρκεί να πληρούνται οιπροϋποθέσεις τους.ΕΦΑΡΜΟΓEΣx4e1. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x 2 . Να αποδειχτεί ότι:xe 1i) Η ευθεία y x 2 είναι ασύμπτωτη της C στο ii) Η ευθεία y x - 2 είναι ασύμπτωτη της C στο .ffΑΠΟΔΕΙΞΗi) Αρκεί να δείξουμε ότιlim [ f ( x) ( x 2)] 0 .x


2842 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΠράγματι, έχουμεx 4e 40lim [ f ( x) ( x 2)] lim 0 .xxxe 10 1ii) Αρκεί να δείξουμε ότιlim [ f ( x) ( x 2)] 0 .xΠράγματι, έχουμεx 4e 4lim [ f ( x) ( x 2)] lim 4 lim 0 .xxx 1xxe e 12. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησηςxf ( x) .xeΛΥΣΗΕπειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο η γραφική της παράσταση δεν έχεικατακόρυφες ασύμπτωτες. Θα αναζητήσουμε, επομένως, ασύμπτωτες στο και στο . Για να είναι η y λx β ασύμπτωτη της Cfστο , αρκεί τα όριαf ( x)λ lim και β lim [ f ( x) λx]να είναι πραγματικοί αριθμοί. Επειδήx xxf ( x)xlim lim e , η Cfδεν έχει ασύμπτωτη στο .xx x Για να είναι η y λx β ασύμπτωτη της Cfστο , αρκεί τα όριαf ( x)λ lim και β lim [ f ( x) λx]να είναι πραγματικοί αριθμοί. Έχουμε:x xxf ( x)1λ lim lim 0 καιxxxx eβ lim [ f ( x) λx] limxxexxΆρα, η ευθεία ( x)limx( e x ) 1 lim 0 .xxey 0 , δηλαδή ο άξονας(Κανόνας De L’ Hospital)x x , είναι ασύμπτωτη της C στο .f


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 285ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Nα βρείτε (αν υπάρχουν) τις κατακόρυφες ασύμπτωτες των γραφικώνπαραστάσεων των συναρτήσεων:i)1 π π f ( x) ii) f ( x) εφx, x , x 2 2 2 iii)f ( x)x2 3x 2x 1iv) x , x 0f ( x) 1. , x 0 x2. Nα βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων τωνσυναρτήσεων:i)2x x 12f ( x)ii) f ( x) x 1 x .2x 13. Nα βρείτε τις ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων:i)2x x 2f ( x)ii)x 12x 32f ( x) iii) f ( x) x x .x 24. Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:i)ημxlimx0 ln( x 1)1 συνxii) limx04x2iii)x ημxlim .x0 1συνxB΄ ΟΜΑΔΑΣ21. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x 2x 2 και οι ευθείεςκαιε 2: y x 1ε. Να αποδείξετε ότιε1 : y x1i) H1είναι ασύμπτωτη της Cfστο , ενώ η ε 2είναι ασύμπτωτητης C στο .ii) Για κάθεf22x ισχύει x 2x 2 ( x 1) 0 και στη συνέχεια νααποδείξετε ότι η βρίσκεται πάνω από την ε κοντά στοκαι πάνω από τηνC fε 2κοντά στο .1


2862 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ2. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f όταν:2xi) f ( x) ii)x2ln xf ( x) .x3. Nα βρείτε τις τιμές των α, β , ώστε η συνάρτησηημx αf ( x) β x eνα είναι παραγωγίσιμη στο x0 0 .,,x 0x 0 x ln x , 0 x 14. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) 1x.1, x 1Να αποδείξετε ότι:i) η f είναι συνεχής ii)1f ( 1) .25. Δίνονται οι συναρτήσεις2ln(x 2x 2), αν x 1f ( x) x 1και0, αν x 1Να αποδείξετε ότι:2x, αν x 1g ( x) ln x.1 , αν x 1 xi) Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο x0 1, ενώii) Η g είναι συνεχής αλλά μη παραγωγίσιμη στο x0 1.6. Δίνεται η συνάρτησηi) Να υπολογίσετε τα όρια0, x 0f ( x) .x (1 e ) ln x , x (0,1]1 limx0xe xκαιlim x ln xx0ii) Nα αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0.iii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης τηςO(0, 0).C fστο σημείο


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2872.10 ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΣτην παράγραφο αυτή θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που αποκτήσαμεμέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησηςμε ικανοποιητική ακρίβεια. Η πορεία την οποία ακολουθούμε λέγεταιμελέτη της συνάρτησης και περιλαμβάνει τα παρακάτω βήματα:1ο Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f.2o Eξετάζουμε τη συνέχεια της f στο πεδίο ορισμού της.3ο Βρίσκουμε τις παραγώγους f και f και κατασκευάζουμε τους πίνακεςτων προσήμων τους. Με τη βοήθεια του προσήμου της f προσδιορίζουμε ταδιαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της f, ενώ με τη βοήθεια τουπροσήμου της f καθορίζουμε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίληκαι βρίσκουμε τα σημεία καμπής.4ο Μελετούμε τη “συμπεριφορά” της συνάρτησης στα άκρα των διαστημάτωντου πεδίου ορισμού της (οριακές τιμές, ασύμπτωτες, κτλ.)5ο Συγκεντρώνουμε τα παραπάνω συμπεράσματα σ’ ένα συνοπτικό πίνακα πουλέγεται και πίνακας μεταβολών της f και με τη βοήθειά του χαράσσουμε τηγραφική παράσταση της f. Για καλύτερη σχεδίαση της C fκατασκευάζουμε έ-ναν πίνακα τιμών της f.ΣΧΟΛΙΟ1) Όπως είναι γνωστό, αν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α είναιά ρ τ ι α, τότε η Cfέχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y y , ενώ αν είναι π ε ρ ιττ ή, η C fέχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ο. Επομένως, για τημελέτη μιας τέτοιας συνάρτησης μπορούμε να περιοριστούμε στα x A , μεx 0 .2) Αν μια συνάρτηση f είναι π ε ρ ι ο δ ι κ ή με περίοδο Τ, τότε περιορίζουμετη μελέτη της σ’ ένα διάστημα πλάτους Τ.C fΕΦΑΡΜΟΓEΣ1. Να μελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση4 3f ( x) x 4x 11 .


2882 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΛΥΣΗ1. H f έχει πεδίο ορισμού το .2. Η f είναι συνεχής στο ως πολυωνυμική.3. Έχουμεf (x) 4x3 12x2 4x2 ( x 3) .Οι ρίζες της f είναι οι x 3 , x 0 (διπλή)και το πρόσημό της δίνονται στο διπλανό πίνακα,από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματαμονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα.Έχουμε επίσηςx 0 3 +f ΄(x) 0 0 +f (x)16Τ.Ε.f (x) 12x2 24x 12x(x 2) .Οι ρίζες της f είναι οι x 0 , x 2 και τοπρόσημό της δίνονται στο διπλανό πίνακα,από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματαστα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη και βρίσκουμετα σημεία καμπής.x 0 2 +f ΄΄(x) + 0 0 +f (x)11 5Σ.Κ. Σ.Κ.4) Η συνάρτηση f δεν έχει ασύμπτωτες στο και , αφού είναι πολυωνυμικήτέταρτου βαθμού. Είναι όμως:καιlim ( xxlim ( xx44 4x 4x33 11) lim xx11) lim xx44 .5) Σχηματίζουμε τον πίνακα μεταβολών της f και χαράσσουμε τη γραφική παράστασητης f.y47x 0 2 3 +11f ΄(x) 0 0 +f ΄΄(x) + 0 0 + ++ +2 3f (x)O x11-5Σ.Κ.5Σ.Κ. 16Τ.Ε.-16


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2892. Να μελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτησηΛΥΣΗ1. H f έχει πεδίο ορισμού το {1 } .2. Η f είναι συνεχής ως ρητή.3. Έχουμε2x x 4f ( x) .x 1222 x x 4 (2x1)(x 1) x x 4 x 2x 3f (x) 221. x ( x 1)( x 1)Οι ρίζες της f είναι 1, 3 και το πρόσημότης δίνονται στο διπλανό πίνακα,από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματαμονοτονίας και τα ακρότατα.Έχουμε επίσηςx 1 1 3 +f ΄(x) + 0 0 +f (x)3Τ.Μ.22(2x 2)( x 1) 2( x 1)(x 2x 3) 8f (x) .43( x 1)( x 1)5Τ.Ε.Η f δεν έχει ρίζες και το πρόσημό της δίνεταιστο διπλανό πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμετα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτήή κοίλη.x 1 +f ΄΄(x) +f (x)4) Επειδή lim f ( x) ,x1lim f ( x) x1, η ευθεία x 1 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτητης C f.Εξετάζουμε τώρα αν υπάρχει στο ασύμπτωτη της μορφήςμε:2f ( x)x x 4lim lim 1, x 2x xx xοπότε λ 1και2 x x 4 4lim ( f ( x) λx) lim x lim 0 1,xx x x x 1οπότε β 0 .Επομένως, η ευθείαΑνάλογα βρίσκουμε ότι η ευθείαΕπίσης έχουμε:y x είναι ασύμπτωτη της C στο .fy λx β . Έχου-y x είναι ασύμπτωτη της C και στο .f


2902 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣxlim f ( x) limxx12 x 4 x καιlim f ( x) lim2x x 4x xx1 .5) Σχηματίζουμε τον πίνακα μεταβολών της f και χαράσσουμε τη γραφική τηςπαράσταση.y48x 1 1 3 +f΄(x) + 0 0 +f΄΄(x) + ++ +f(x)3Τ.Μ.5 Τ.Ε.5-1O 13xy=x-3-4x=1ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Nα μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις:3 2i) f ( x) x 3x 9x11ii)x 14 2f ( x) iii) f ( x) x 2x.x 12. Oμοίως τις συναρτήσεις:i)1f ( x) x ii)x2x x 2f ( x) .x 13. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτησηf ( x) x ημxστο διάστημα [ π, π].


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 291ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣΓ΄ ΟΜΑΔΑΣ11. i) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( x)x2και g ( x) x 3x 3 , x ( 0, )έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείοA(1,1) .ii) Να βρείτε τη σχετική θέση των C και C στο διάστημα ( 0, ).2. Αν f , g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο , μεff ( 0) g(0)και f ( x) g(x)για κάθε x ,να αποδείξετε ότιf ( x) g(x)στο (,0)και f ( x) g(x)στο ( 0, ).3. Ισοσκελές τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με ακτίνα 1. Αν θ είναι ηγωνία μεταξύ των ίσων πλευρών του τριγώνου, να αποδείξετε ότι το εμβαδόντου είναι E ( 1συνθ)ημθ. Να βρείτε την τιμή της γωνίας θ ( 0, π)γιατην οποία εμβαδόν του τριγώνου μεγιστοποιείται.g4. Ένα σύρμα μήκους 20m διατίθεται γιατην περίφραξη ενός ανθόκηπου σχήματοςκυκλικού τομέα. Να βρείτε τηνακτίνα r του κύκλου, αν επιθυμούμενα έχουμε τη μεγαλύτερη δυνατή επιφάνειατου κήπου.θΟr5. Δύο διάδρομοι πλάτους 1mτέμνονται κάθετα (Σχήμα ).Να βρείτε το μεγαλύτερο δυνατόμήκος μιας σκάλας πουμπορεί, αν μεταφερθεί οριζόντια,να στρίψει στη γωνία.Υπόδειξη:i) Να εκφράσετε τα ΟΑ, ΟΒσυναρτήσει της γωνίας θ,1mΑθΓ ΟΔ θΒ1m


2922 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣπ0 θ .21 1ii) Να αποδείξετε ότι ( ΑΒ) f ( θ).ημθσυνθiii) Να βρείτε την τιμή της γωνίας θ, για την οποία το ΑΒ γίνεται ελάχιστο.6. i) Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτησηln xf ( x) .xα1αii) Να αποδείξετε ότι α ( α 1)για κάθε α e .x 2iii) Να αποδείξετε ότι για x 0 ισχύει 2 x f ( x) f (2) και στησυνέχεια να αποδείξετε ότι η εξίσωσηλύσεις, τις x1 2 , x2 4 .22 x xέχει δύο ακριβώς7. i) Αν α, β 0 και για κάθεότι αβ 1.x ισχύει α x βx 2 , να αποδείξετεii) Αν α 0xκαι για κάθε x ισχύει α x 1 , να αποδείξετε ότια e .x8. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f ( x) e είναι κυρτή, ενώ ηg( x) ln xείναι κοίλη.ii) Να βρείτε την εφαπτομένη της C στο σημείο A(0,1)και τηςστο B(1, 0) .iii) Να αποδείξετε ότι:α) e x x 1 , x β) ln x x 1,x (0, ).Πότε ισχύουν οι ισότητες;iv) Η C βρίσκεται πάνω από την C .f9. i) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησηςf ( x) ex λx , λ 0 .ii) Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή τουgfλ 0e x λx , για κάθε x .για την οποία ισχύειiii) Για την τιμή του λ που θα βρείτε παραπάνω να αποδείξετε ότι ηευθεία y λx εφάπτεται της γραφικής παράστασης της συνάρτη-xσης g( x) e .Cg


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 29310. Δίνεται η συνάρτηση 2 1xημ , x 0f ( x) x .0, x 0yy=x 2 O xy=x 2Να αποδείξετε ότιi) Η f είναι παραγωγίσιμη στο x 00και στη συνέχεια ότι η ευθείαy 0 (ο άξονας x x ) είν αι η εφαπτομένη της Cfστο O ( 0,0) .ii) Ο άξον ας x x έχει με την Cfάπειρα κοινά σημεία, παρόλο πουεφάπτεται τηςCf.iii) Η ευθείαy x είναι ασύμ πτωτη της Cfστο και στο .11. A. Έστω μια συνάρτηση φ τέτοια, ώστεφ ( 0) 0 , φ ( 0) 0 και φ( x) φ(x) 0για κάθε x (1)Να αποδείξετεότι:i) Η συνάρτηση ψ( x) xβρείτε τον τύπο της.ii)φ ( x) 0 για κάθε22 [ φ ( x)][φ()] είναι σταθερή στο και ναx .Β. Έστω δύο συναρτήσεις f και g τέτοιες ώστε:f ( 0) 0 , f ( 0) 1 και f ( x) f ( x) 0 για κάθε x g ( 0) 1, g ( 0) 0 και g ( x) g(x) 0 για κάθε x .Να αποδείξετεότι:i) Οι συναρτήσεις φ(x) f ( x) ημxκαι ψ(x) g(x) συνxικανοποιούντις υποθέσεις (1) του ερωτήματοςΑ.


2942 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣii)f ( x) ημxκαι g( x) συνxγια κάθε x .12. Στο διπλανό σχήμα ο κύκλοςέχει ακτίνα 1cm και η ε εφάπτεταισε αυτόν στο σημείο Α. Τοτόξο ΑΜ είναι θ rad και το ευθ.τμήμα ΑΝ είναι θ cm. Η ευθείαΜΝ τέμνει τον άξονα x x στοσημείο P(x,0) . Να δείξετε ότι:P(x,0)yΟθΜN(1,θ)Α(1,0)xθσυνθ ημθi) x x(θ)θ ημθii) lim x(θ) 2.θ013. Ένας πεζοπόρος Π ξεκινάει απόένα σημείο Α και βαδίζει γύρω απόμια κυκλική λίμνη ακτίνας ρ 2 kmμε ταχύτητα υ 4 km/h. Aν S είναιτο μήκος του τόξου ΑΠ και τομήκος της απόστασης ΑΠ του πεζοπόρουαπό το σημείο εκκίνησηςτη χρονική στιμή t:4 km/hΠlθΟ 2 kmsΑA) Να αποδείξετε ότιi)Sθθ και 4ημ ,22ii) S 4t , θ 2tκαι 4ημt.Β) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης . Ποιος είναι ορυθμός μεταβολής της απόστασης , ότανα)2πθ , β) θ π και γ)34πθ ;314. Ένας αγρότης θέλει να προσλάβει εργάτες για να μαζέψουν 12500 κιλάντομάτες. Κάθε εργάτης μαζεύει 125 κιλά την ώρα και πληρώνεται1800 δρχ. την ώρα. Για το συντονισμό και επιστασία των εργατών οαγρότης θα προσλάβει και έναν επιστάτη τον οποίο θα πληρώνει 3000δρχ. την ώρα. Ο αγρότης, επιπλέον, θα πληρώσει στο σωματείο τωνεργατών εισφορά 3000 δρχ. για τον επιστάτη και κάθε εργάτη. Ναβρείτε πόσους εργάτες πρέπει να προσλάβει ο αγρότης για να του κοστίσειτο ελάχιστο δυνατόν και ποιο θα είναι το ελάχιστο κόστος.


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 295ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣΣε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμαΑ, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναιψευδής δικαιολογώντας συγχρόνως την απάντηση σας.Ι.1. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0,1] , παραγωγίσιμηστο ( 0,1) και f ( x) 0 για όλα τα x (0,1), τότεf (0) f (1).2. Αν η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο [ α,β]μεf ( β) f ( α), τότε υπάρχει x0 (α,β)τέτοιο, ώστεf ( x 0) 0 .3. Αν οι f , g είναι συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο [α, β] ,μεf ( α) g(α)και f ( β) g(β), τότε υπάρχει x ( , β)0αg( x 0τέτοιο, ώστε στα σημεία A( x 0, f (x0 )) και B(x 0, )) οιεφαπτόμενες να είναι παράλληλες.ΑΑΑΨΨΨ24. Αν f (x) ( x 1)( x 2) για κάθεx , τότε:α) το f (1) είναι τοπικό μέγιστο της f A Ψβ) το f (2) είναι τοπικό ελάχιστο της f Α Ψ5. α) Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησηςάρτιου βαθμού έχει πάντοτε οριζόντια εφαπτομένη. Α Ψβ) Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησηςπεριττού βαθμού έχει πάντοτε οριζόντια εφαπτομένη. Α Ψ3 26. Η συνάρτηση f ( x) αx βx γx δ με α , β,γ,δ καια 0 έχει πάντα ένα σημείο καμπής. Α Ψ7. Αν οι συναρτήσεις f , g έχουν στο σημείο καμπής, τότεκαι η h f g έχει στο x0 σημείο καμπής.Α Ψx 08. Δίνεται ότι η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο και ότιη γραφική της παράσταση είναι πάνω από τον άξονα x x .Αν υπάρχει κάποιο σημείο A ( x , f ( x )) της Cfτου οποί-00


2962 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣου η απόσταση από τον άξονα x x είναι μέγιστη (ή ελάχιστη),τότε σε αυτό το σημείο η εφαπτομένη της είναιοριζόντια.C fΑΨ9. Η ευθεία x 1 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικήςπαράστασης της συνάρτησης:2x 3x 2α) f ( x)x 1Α Ψ2x 3x 2β) g ( x)Α Ψ2( x 1)10.Αν γραφική παράσταση της συνάρτησης f δίνεται από τοπαρακάτω σχήμα, τότε:yO 14 xi) το πεδίο ορισμού της 1 είναι το (1, 4)Α Ψf ii) το πεδίο ορισμού της 1 είναι το [1, 4]Α Ψf iii) f ( x) 0 για κάθε x (1, 4)Α Ψiv) υπάρχει x 1, 4) : f (x ) 0 . Α Ψ0(0311. Η συνάρτηση f ( x) x x 1έχει:α) μια, τουλάχιστον, ρίζα στο (0,1)Α Ψβ) μια, ακριβώς, ρίζα στο ( 1,0)Α Ψγ) τρεις πραγματικές ρίζες Α Ψ12. Αν για τις παραγωγίσιμες στο συναρτήσεις f , g ισχύουνf ( 0) 4 , f ( 0) 3 , f ( 5) 6 , g(0) 5 , g(0) 1,g(4) 2 , τότε f g) (0) ( g f ) (0)Α ΨΙI.Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε τη σωστήαπάντηση


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2971. ΤοΑ) π πεφ h εφ 6 6limh0h33Β) 34ισούται με:Γ) 3 Δ) 0 Ε) 43 .1 12. Το limx h xισούται με:h0h121Α) Β) Γ) Δ)222xxx3x3. Αν f ( x) 5 τότε η f (x)ισούται με:3x1Α) 3x5Β)3xΔ) 35Ε). 5 3x ln1255 3x Γ)3ln 534. Αν f ( x) συν ( x 1)τότε η f (π)ισούται με:2 Ε) 0x2x3532Α) 3συν ( π 1)ημ(π 1)Β) 3συν ( π 1)22Γ) 3συν ( π 1)ημ(π 1)Δ) 3πσυν( π 1)2 35. Αν f ( x) ( x 1)τότε η έβδομη παράγωγος αυτής στο 0 ισούται με:Α) 1 Β) 1Γ) 0Δ) 27 Ε) δεν υπάρχει.6. Αν οι εφαπτόμενες των συναρτήσεων f ( x) ln x καιg( x) 2xστα σημεία με τετμημένη είναι παράλληλες, τότε το είναι:Α) 0 Β) 41x 0Γ) 21βxαx7. Αν f ( x) e , g(x) e και f ( x) f (x) g(x) , τότε το β ως συνάρ- g(x)τηση του α ισούται με:α 1Α)2α2αΔ)2α 1Β)Ε)Δ) 1 Ε) 2.2αα 12α.α 1α 1Γ)2α8. Αν f ( x) 0 για κάθε x [1,1]και f ( 0) 0 , τότε:Α) f ( 1) 1Β) f ( 1) 0x 02


2982 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΓ) f ( 1) 0Δ) f ( 1) 0 .ΙΙΙ.1. Να αντιστοιχίσετε καθεμιά από τις συναρτήσεις α, β, γ, δ σε εκείνηαπό τις συναρτήσεις Α, Β, Γ, Δ, Ε, Z που νομίζετε ότι είναι η παράγωγόςτης.____________________________________________________________y(a)y (β)1xy (γ)O xy (δ)O xO x_______________________________________________________y (Α)y (Β)y(Γ )O xO xO x-1y (Δ)y (Ε)y (Ζ)O xO xO x


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2992. Καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις να αντιστοιχίσετε στην ευθείαπου είναι ασύμπτωτη της γραφικής της παράστασης στο .ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΑΣΥΜΠΤΩΤΗ11. f ( x) x 2xΑ. y 212. f ( x) x1xeΒ. y x 133. f ( x) 2 x 2Γ. y x1Δ. y xΕ. y x


3002 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΗ έννοια της παραγώγουΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑΟι αρχαίοι Έλληνες ονόμαζαν εφαπτομένη μιας καμπύλης την ευθεία πουέχει ένα μόνο κοινό σημείο μ’ αυτήν, χωρίς να την τέμνει και την κατασκεύαζανμε βάση γεωμετρικές ιδιότητες που απορρέουν απ’ αυτόν τονορισμό. Έτσι ήταν γνωστός ο τρόπος κατασκευής εφαπτομένων στον κύκλοκαι τις κωνικές τομές (έλλειψη, παραβολή, υπερβολή). Επίσης, μεπροσφυγή σε κινηματικές μεθόδους, ο Αρχιμήδης είχε επινοήσει μέθοδοκατασκευής της εφαπτομένης μιας καμπύλης που είναι σήμερα γνωστή ως“έλικα του Αρχιμήδη”.Η επόμενη εξέλιξη στο ζήτημα αυτό έγινε στις αρχές του 17ου αιώνα, ό-ταν άρχισε η συστηματική εφαρμογή αλγεβρικών μεθόδων στη γεωμετρία.Το επόμενο παράδειγμα δείχνει τον τρόπο με τον οποίο η Άλγεβρα εφαρμόζεταιστον προσδιορισμό της εφαπτομένης μιας παραβολής.2yΈστω y f ( x) x η εξίσωσημιας παραβολής με κορυφή τηνεαρχή των αξόνων και M ( x y 1Ν0, y0)ένα σημείο της, στο οποίο ζητείταινα κατασκευαστεί μια εφαπτο-y Μ0Σ(x 1 )μένη ε. Η κατασκευή αυτή μπορείO T P(x 0 ) xνα γίνει αν προσδιορίσουμε έναάλλο χαρακτηριστικό σημείο τηςx 1 =x 0 +hε, όπως π.χ. το σημείο Τ στο οποίοτέμνει τον άξονα των τετμημένων.Θεωρούμε ένα άλλο σημείο τηςπαραβολής, το N ( x 1, y 1) , πολύ γειτονικό του Μ, τέτοιο ώστε x 1 x 0 h(το h θεωρείταιεδώ μια απειροελάχιστη μεταβολή του x0). Στην περίπτωσηαυτή τα ορθογώνια τρίγωνα ΜΡΤ και ΝΣΤ μπορούν να θεωρηθούνκατά προσέγγιση όμοια και άρα θα ισχύει κατά προσέγγιση η αναλογίαN . Αν θέσουμε ΤΡ s , τότε διαδοχικά θα ισχύει:ΜΡ ΤΡyy10s hsή h y y01 s 1ήh y0y ήsy1 0Το πρώτο μέλος αυτής της κατά προσέγγιση ισότητας γράφεται:y1 y0y0 . (1)h s2 2 22 2f ( x1) f ( x0) f ( x0 h) f ( x0) ( x0 h) x0x0 2x0h h x0 2x0 hhhhhy0και έτσι η (1) γίνεται 2x0 h . Αν τώρα θέσουμε, όπως οι μαθηματι-sκοί του 17ου αιώνα,h 0βρίσκουμε από την τελευταία ότι02x0 y ήs


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 3010s y . Γνωρίζοντας λοιπόν το σημείο επαφής M ( x 0, y0) , προσδιορίζουμεαπό την τελευταία το μήκος TP s που μας δίνει αμέσως το σημείο2x0Τ. Η ευθεία ΜΤ είναι η ζητούμενη εφαπτομένη της παραβολής. Η προηγούμενηδιαδικασία ήταν ένας από τους δρόμους που οδήγησαν ιστορικά,στην έννοια της παραγώγου.Κανόνες παραγώγισηςΣτο δεύτερο μισό του 17ου αιώνα, οι μαθηματικοί είχαν κατορθώσει ναμετασχηματίσουν όλη τη μακροσκελή διαδικασία παραγώγισης σε εφαρμογήορισμένων κανόνων και τύπων, με τη βοήθεια κατάλληλα επιλεγμένωνσυμβόλων. Πρωτοπόροι προς αυτήν την κατεύθυνση υπήρξαν οι I.Newton και ο G. Leibniz. O Leibniz συμβόλιζε την απειροελάχιστη μεταβολήμιας ποσότητας x με dx (διαφορικό του x) . έτσι, π.χ. για τη συνάρτησηy x του προηγούμενου παραδείγματος, η αντίστοιχη μεταβολή2του y (διαφορικό του y) ήταν:dy d22 2 22 22( x ) ( x dx) x x 2xdx ( dx) x 2xdx ( dx).Παραλείποντας την πολύ μικρή (συγκρινόμενη με τις άλλες) ποσότητα2(dx)προέκυπτε η dy 2xdx(εδώ η παράγωγος 2xονομάζονταν “διαφορικόςσυντελεστής”) και τελικά ηdydx 2x , ένας συμβολισμός που διατηρείταιμέχρι σήμερα, χωρίς όμως να έχει νόημα πηλίκου. Με τον τρόποαυτό ο Leibniz απέδειξε το 1677 τον κανόνα για τον υπολογισμό της μεταβολήςτου γινομένου δύο μεταβλητών x και y, που αποτελεί μια “πρωτόγονη”μορφή του σημερινού κανόνα της παραγώγου ενός γινομένου συναρτήσεωνd(xy) ( x dx)(y dy) xy xy xdy ydx dxdy xy xdy ydx dxdy .Παραλείποντας και εδώ την πολύ μικρή ποσότητασχέσηd( xy) xdy ydx .dxdy , παίρνουμε τηΜε την εισαγωγή και καθιέρωση αυτών των κανόνων και συμβολισμών, ηέννοια της παραγώγου εξελίχθηκε σ’ ένα εξαιρετικά αποτελεσματικό εργαλείοκαι διεύρυνε σε μεγάλο βαθμό τις εφαρμογές της μαθηματικής α-νάλυσης. Παράλληλα όμως, οι ασάφειες που επισημάναμε αποτελούσανμια διαρκή πρόκληση για τους μαθηματικούς που αντιμετώπιζαν με κριτικόπνεύμα τα θεμέλια της επιστήμης τους. Ο πρώτος αυστηρός ορισμόςαυτής της έννοιας, που στηρίζεται στην έννοια του ορίου, δόθηκε γιαπρώτη φορά το 1823 από τον A.L. Cauchy:


3022 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ“Όταν η συνάρτηση y f (x) παραμένει συνεχής σ’ ένα διάστημα της μεταβλητήςx και δοθεί σ’ αυτή τη μεταβλητή μια τιμή που ανήκει σ’ αυτό τοδιάστημα, τότε κάθε απειροελάχιστη αύξηση της μεταβλητής παράγει μιααπειροελάχιστη αύξηση της συνάρτησης. Συνεπώς, αν τεθεί x i , τότε οιδυο όροι του πηλίκου διαφορώνy f ( x i) f ( x)xiθα είναι απειροελάχιστες ποσότητες. Αλλά ενώ αυτοί οι δυο όροι θα προσεγγίζουνεπ’ άπειρον και ταυτόχρονα το όριο μηδέν, το πηλίκο μπορεί νασυγκλίνει προς κάποιο άλλο όριο, θετικό ή αρνητικό, Αυτό το όριο, ότανυπάρχει έχει μια ορισμένη τιμή για κάθε συγκεκριμένο x, αλλά μεταβάλλεταιμαζί με το x.Η μορφή της νέας συνάρτησης που θα εκφράζει το όριο του λόγουf ( x i) f ( x)iθα εξαρτάται από τη μορφή της δοσμένης συνάρτησης y f (x).Για να ξεχωρίσουμε αυτήν την εξάρτηση, δίνουμε στη νέα συνάρτηση τοόνομα παράγωγος συνάρτηση και τη συμβολίζουμε, με τη βοήθεια ενόςτόνου, y ή f (x)”.Με αφετηρία αυτόν τον ορισμό, ο Cauchy υπολόγισε τις παραγώγους τωνβασικών συναρτήσεων και απέδειξε τους κανόνες της παραγώγισης. Π.χ.για τον ιδιαίτερα σημαντικό κανόνα της παραγώγου μιας σύνθετης συνάρτησης,έδωσε την ακόλουθη απόδειξη:“Έστω z μια δεύτερη συνάρτηση του x, συνδεόμενη με την πρώτηy f (x)μέσω του τύπου z F(y) . Η z ή F[ f ( x)]είναι αυτή που ονομάζεται συνάρτησημιας συνάρτησης της μεταβλητής x και αν οι απειροελάχιστες και ταυτόχρονεςαυξήσεις των x, y και z συμβολιστούν με x , y , z αντίστοιχα,τότε θα είναιzF(y y) F(y)F(y y) F(y)y . (1)xxyxΑπό αυτήν, περνώντας στα όρια, έχουμεz F ( y) y F [f ( x)] f (x)” (*)(*) Ένα αδύνατο σημείο αυτής της απόδειξης, που αφορά την ισότητα (1), είναι ότι για μικρές, μη μηδενικέςτιμές του x , μπορεί να ισχύει y f ( x x) f ( x) 0 .


3ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣΛΟΓΙΣΜΟΣ3.1 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΑρχική συνάρτησηΠολλές φορές στην πράξη παρουσιάζονται προβλήματα, που η λύση τους απαιτείπορεία αντίστροφη της παραγώγισης. Τέτοια προβλήματα είναι για παράδειγματα παρακάτω:— Η εύρεση της θέσης S(t) ενός κινητού τη χρονική στιγμή t, αν είναι γνωστήη ταχύτητά του υ(t) που, όπως γνωρίζουμε, είναι η παράγωγος της συνάρτησηςθέσης x S(t) .— Η εύρεση της ταχύτητας υ(t) ενός κινητού τη χρονική στιγμή t, αν είναι γνωστήη επιτάχυνσή του γ(t) που, όπως γνωρίζουμε, είναι η παράγωγος της συνάρτησηςυ υ(t) .— Η εύρεση του πληθυσμού N(t) μιας κοινωνίας βακτηριδίων τη χρονική στιγμήt, αν είναι γνωστός ο ρυθμός αύξησης N (t) του πληθυσμού.Το κοινό χαρακτηριστικό των προβλημάτων αυτών είναι ότι, δίνεται μια συνάρτησηf και ζητείται να βρεθεί μια άλλη συνάρτηση F για την οποία να ισχύειF ( x) f ( x)σε ένα διάστημα Δ. Οδηγούμαστε έτσι στον παρακάτω ορισμό.ΟΡΙΣΜΟΣΈστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αρχική συνάρτηση ήπαράγουσα της f στο Δ (1) ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμηστο Δ και ισχύειF ( x) f ( x), για κάθε x Δ .(1) Αποδεικνύεται ότι κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημα Δ έχει παράγουσα στο διάστημα αυτό.


3043 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ32Για παράδειγμα, η συνάρτηση F( x) x είναι μια παράγουσα της f ( x) 3xστο3 2, αφού ( x ) 3x. Παρατηρούμε ότι και όλες οι συναρτήσεις της μορφήςG(x) x33( x c) 3xΘΕΩΡΗΜΑ c F( x) c , όπου2c , είναι παράγουσες της f στο , αφού. Γενικά ισχύει το παρακάτω θεώρημα:Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσατης f στο Δ, τότε όλες οι συναρτήσεις της μορφήςείναι παράγουσες της f στο Δ καιG( x) F(x) c , c , κάθε άλλη παράγουσαG της f στο Δ παίρνει τη μορφήG( x) F(x) c , c .G( x) F(x) c , όπου c , είναι μια παράγου-ΑΠΟΔΕΙΞΗ Κάθε συνάρτηση της μορφήςσα της f στο Δ, αφούG ( x) ( F(x) c) F (x) f ( x), για κάθε x Δ . Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της f στο Δ. Τότε για κάθεF ( x) f ( x)και G( x) f ( x), οπότεG ( x) F (x), για κάθε x Δ .x ΔισχύουνΆρα, σύμφωνα με το πόρισμα της § 2.6, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστεG( x) F(x) c , για κάθε x Δ . ■Αόριστο ολοκλήρωμαΤο σύνολο όλων των παραγουσών μιας συνάρτησης f σ’ ένα διάστημα Δ ονομάζεταιαόριστο ολοκλήρωμα της f στο Δ, συμβολίζεταιζεται “ολοκλήρωμα εφ του x ντε x”. Δηλαδή,όπου F μια παράγουσα της f στο Δ.Για παράδειγμα,f ( x)dx F(x) c , c ,συν xdx ημx c , αφού ( ημx) συνx.f ( x)dx και διαβά-


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 305Από τον τρόπο που ορίστηκε το αόριστο ολοκλήρωμα προκύπτει ότι:Για κάθε συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, ισχύειf ( x)dx f ( x) c , c Η διαδικασία εύρεσης του αόριστου ολοκληρώματος είναι αντίστροφη πορείατης παραγώγισης και λέγεται ολοκλήρωση. Η σταθερά c λέγεται σταθερά ολοκλήρωσης.Από τον πίνακα των παραγώγων βασικών συναρτήσεων βρίσκουμε τον παρακάτωπίνακα αόριστων ολοκληρωμάτων.Οι τύποι του πίνακα αυτού ισχύουν σε κάθε διάστημα στο οποίο οι παραστάσειςτου x που εμφανίζονται έχουν νόημα.ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ1. 0dx c6. ημxdx συνx c2. 1dx x c17.dx εφ x cσυν2 x113.dx ln | x | c8.xdx σφx c2ημ x4.x α dx5.συνxdxx α 1 cα 1, α 1 ημ x c10.9.e x dxα x dx e x cα x c ln αΣυνέπεια του ορισμού του αόριστου ολοκληρώματος και των κανόνων παραγώγισηςείναι οι εξής δύο ιδιότητες:Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν παράγουσα σ’ ένα διάστημα Δ, τότε λ f ( x)dx λ f ( x)dx ,*λ ( x) g(x))dx f ( x)dx ( fg(x)dxΣύμφωνα με τους παραπάνω τύπους έχουμε για παράδειγμα:3x3224xdx 4xdx 4 x 3ημx 2e) dx 3ημxdx( 2e 3cημxdx 2 e 3συνx 2ex xxdxdxc


3063 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ3x 13x1dxx x x dx dx 31122x dx xdx3 12 23 12 23 x x c 2x 2x c3 1.2 2ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1. Nα βρεθεί συνάρτηση f τέτοια, ώστε η γραφική της παράσταση ναδιέρχεται από το σημείο A(2,3) και να ισχύει f ( x) 2x1, για κάθε x .ΛΥΣΗΕπειδή f ( x) 2x1, έχουμε διαδοχικά:( x)dx (2xf 1)dxf2( x) c1 x x c2,c 1, c 22 f ( x) x x c c ,21c 1, c 2f ( x) x2 x c ,c .Για να διέρχεται η f από το σημείο A(2,3) πρέπει και αρκεί f ( 2) 3 ή, ισοδύναμα,2 2 2 2 c 3 , δηλαδή c 1 . Επομένως, f ( x) x x 1.2. Η είσπραξη E(x) , από την πώληση x μονάδων ενός προϊόντος(0 x 100) μιας βιομηχανίας, μεταβάλλεται με ρυθμό E( x) 100 x (σεχιλιάδες δραχμές ανά μονάδα προϊόντος), ενώ ο ρυθμός μεταβολής του κόστουςπαραγωγής είναι σταθερός και ισούται με 2 (σε χιλιάδες δραχμές ανάμονάδα προϊόντος). Να βρεθεί το κέρδος της βιομηχανίας από την παραγωγή100 μονάδων προϊόντος, υποθέτοντας ότι το κέρδος είναι μηδέν όταν η βιομηχανίαδεν παράγει προϊόντα.ΛΥΣΗΑν P (x) είναι το κέρδος και K(x)είναι το κόστος παραγωγής για x μονάδεςπροϊόντος, τότεP( x) E(x) K(x),


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 307οπότεΔηλαδήοπότεκαι άραP( x) E(x) K (x) 100 x 2 98 x .P( x) 98 x ,P (x)dx (98 x)dx2xP(x) 98x2 c, c .΄Οταν η βιομηχανία δεν παράγει προϊόντα, το κέρδος είναι μηδέν, δηλαδή ισχύειP( 0) 0 ,οπότε c 0 . Επομένως,2xP(x) 98x .2Άρα, το κέρδος από 100 μονάδες προϊόντος είναι2100P(100) 98100 9800 5000 4800 (σε χιλιάδες δραχμές).2ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα2i) ( x 3 x x 1 ημx συνx)dxii) dxx3x 8iii)3 x xdxiv) dxx 2v) e x 3 συν2xdx x 1vi) συν21 dx2x ημ x vii)x 3 dx .x 2


3083 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ2. Nα βρείτε τη συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού το διάστημα ( 0, ),για την οποία ισχύει1f ( x) και f ( 9) 1.x3. Να βρείτε τη συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f ( x) 3 ,και f ( 0) 4 .f ( 1) 64. Να βρείτε τη συνάρτηση f , για την οποία ισχύει f (x) 12x2 2 καιη γραφική της παράσταση στο σημείο της A(1,1) έχει κλίση 3.5. Ο πληθυσμός N(t) , σε εκατομμύρια, μιας κοινωνίας βακτηριδίων, αυ-1 t / 20ξάνεται με ρυθμό N (t) e ανά λεπτό. Να βρείτε την αύξηση20του πληθυσμού στα πρώτα 60 λεπτά.6. Μια βιομηχανία έχει διαπιστώσει ότι για εβδομαδιαία παραγωγή x ε-2ξαρτημάτων έχει οριακό κόστος x 5x (χιλιάδες δραχμές ανά μονάδαπροϊόντος). Να βρείτε τη συνάρτηση κόστους της εβδομαδιαίαςπαραγωγής, αν είναι γνωστό ότι τα σταθερά εβδομαδιαία έξοδα τηςβιομηχανίας, όταν δεν παράγει κανένα εξάρτημα, είναι 100 (χιλιάδεςδραχμές).7. Μια νέα γεώτρηση εξώρυξης πετρελαίου έχει ρυθμό άντλησης που δίνεταιαπό τον τύπο R( t) 20 10t t , όπου R(t) είναι ο αριθμός,3 24σε χιλιάδες, των βαρελιών που αντλήθηκαν στους t πρώτους μήνεςλειτουργίας της. Να βρείτε πόσα βαρέλια θα έχουν αντληθεί τους 8πρώτους μήνες λειτουργίας της.Β΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Η θερμοκρασία Τ ενός σώματος, που περιβάλλεται από ένα ψυκτικόktυγρό, ελαττώνεται με ρυθμό καe , όπου α, κ είναι θετικές σταθερέςκαι t ο χρόνος. Η αρχική θερμοκρασία T (0) του σώματος είναιT0 α , όπου Τ0η θερμοκρασία του υγρού η οποία με κατάλληλο μηχάνημαδιατηρείται σταθερή. Να βρείτε τη θερμοκρασία του σώματοςτη χρονική στιγμή t.2. Ένας βιομήχανος, ο οποίος επενδύει x χιλιάδες δραχμές στη βελτίωση.της παραγωγής του εργοστασίου του, αναμένει να έχει κέρδος P(x)χιλιάδες δραχμές από αυτή την επένδυση. Μια ανάλυση της παραγωγήςέδειξε ότι ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους P(x) , που οφείλεται


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 309 x / 2000στην επένδυση αυτή, δίνεται από τον τύπο P( x) 5,8 e . Ναβρείτε το συνολικό κέρδος που οφείλεται σε αύξηση της επένδυσηςαπό 4000000 σε 6000000 δραχμές.3. Από την πώληση ενός νέου προϊόντος μιας εταιρείας διαπιστώθηκεότι ο ρυθμός μεταβολής του κόστους K(t) δίνεται από τον τύποK ( t) 800 0, 6t(σε χιλιάδες δραχμές την ημέρα), ενώ ο ρυθμός μεταβολήςτης είσπραξης E(t) στο τέλος των t ημερών δίνεται από τοντύπο E ( t) 1000 0,3t (σε χιλιάδες δραχμές την ημέρα). Να βρείτε τοσυνολικό κέρδος της εταιρείας από την τρίτη έως και την έκτη ημέραπαραγωγής.4. Έστω f , g δύο συναρτήσεις με f ( 0) g(0), f ( 1) g(1)1καιf (x) g(x)για κάθε x . Να αποδείξετε ότι:i) f ( x) g(x) x , για κάθεx .ii) Aν η συνάρτηση g έχει δύο ρίζεςα, β με α 0 β , τότε η συνάρτησηf έχει μια τουλάχιστον, ρίζα στο (α, β).3.2 MEΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣΟ πίνακας των αόριστων ολοκληρωμάτων, που δώσαμε παραπάνω, δεν είναι αρκετόςγια να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα μίας οποιασδήποτε συνάρτησης, ό-2πως π.χ. τα ολοκληρώματα 2xx 1dxκαι xe x dx . Σε τέτοιες περιπτώσεις ουπολογισμός γίνεται απλούστερος με τη βοήθεια των παρακάτω μεθόδων ολοκλήρωσης.Μέθοδος ολοκλήρωσης κατά παράγοντεςΗ μέθοδος αυτή εκφράζεται με τον τύπο:f ( x)g(x)dx f ( x)g(x) f (x)g(x) dxπου είναι συνέπεια του κανόνα παραγώγισης του γινομένου δύο παραγωγίσιμωνσυναρτήσεων f , g σε ένα διάστημα Δ.Πράγματι, για κάθε x Δ , έχουμε( f ( x)g(x)) f (x)g(x) f ( x)g(x),οπότεf ( x)g ( x) ( f ( x)g(x)) f (x)g(x).


3103 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΕπομένωςή, ισοδύναμα, ( x)g(x)dx ( f ( x)g(x))dx f f ( x)g(x)dxf ( x)g(x)dx f ( x)g(x) c f ( x)g(x)dx . (1)Επειδή το ολοκλήρωμα του δεύτερου μέλους της (1) περιέχει μια σταθερά ολοκλήρωσης,το c μπορεί να παραλειφθεί, οπότε έχουμε τον παραπάνω τύπο. ■Ο παραπάνω τύπος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων με τηνπροϋπόθεση ότι το ολοκλήρωμα του β΄ μέλους υπολογίζεται ευκολότερα.Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα xe x dx . Έχουμε:xxx xx xxedx xe ) dx xe edx xe e ( c .Αν, τώρα, δοκιμάσουμε να υπολογίσουμε το παραπάνω ολοκλήρωμα, αλλάζονταςτους ρόλους των x και e ,xβρίσκουμε2 x 2 2x2x xxxe dx e dx e 2x2xe dx .Το τελευταίο, όμως, ολοκλήρωμα είναι πιο σύνθετο από το αρχικό.ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1. Nα υπολογιστούν τα ολοκληρώματα2 xi) x e dxii)xημ2xdxiii) (4x3 1)lnxdxiv) e x ημ2xdx.ΛΥΣΗi) Έχουμε2 x2 x2 x 2 x 2 xxe dx x( e ) dx x e (x ) edx x e 2 x exx22x(e ) dx x ex2xe 2xexxdx 2exdx2 x x x e 2xe 2ex c .Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώματα της μορφής


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 311P(x)e*όπου P(x) πολυώνυμο του x και α .ii) Έχουμεx 2xdxx(συν2x)dx xσυν2xσυν2xdx xσυν2x ημ2xαx11 11 1ημ c .22 22 4Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώματα της μορφής*όπου P(x) πολυώνυμο του x και α .iii) ΈχουμεdxP ( x)ημ(αx)dx ,P ( x)συν(αx)dx3444(4x1) ln xdx (x x) ln xdx ( x x) ln x (x 1x)dxx ( x4 x) ln x ( x31)dx ( xΜε τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώματα της μορφήςP ( x) ln( αx)dx ,44x x) ln x 4 x c .*όπου P(x) πολυώνυμο του x και α .iv) ΘέτουμεI xe ημ(2x)dx , οπότε έχουμεI exx( e ) ημ(2x)dx e ημ(2x) 2 exημ(2x) 2x( e ) συν(2x)dxxx e ημ(2x) 2eσυν(2x) 4 exxημ2xdxσυν(2x)dxxx e ημ(2x) 2eσυν(2x) 4I.Επομένως,xx5I e ημ(2x) 2eσυν(2x) c1,οπότε1 x 2 xI e ημ(2x) e συν(2x) c .5 5Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώματα της μορφής


3123 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣe α x )e α x )ημ ( βx dx , συν ( βx dx*όπου α, β .2. Ο πληθυσμός P(t), 0 t 20 , μιας πόλης, που προέκυψε από συγχώνευση10 κοινοτήτων, αυξάνεται με ρυθμό (σε άτομα ανά έτος) που δίνεται από τονt/10τύπο P ( t) te , 0 t 20 , όπου t είναι ο αριθμός των ετών μετά τη συγχώνευση.Να βρεθεί ο πληθυσμόςP(t)της πόλης t χρόνια μετά τη συγχώνευση,αν γνωρίζουμε ότι ο πληθυσμός ήταν 10000 κάτοικοι κατά τη στιγμή τηςσυγχώνευσης.ΛΥΣΗΈχουμεP(t)dt 10te 10e1/10dt(e t / 10) tdt t 10 et /10t / 10dtοπότε 10tet / 10100et / 10 c ,Ότανt / 10 t / 10P( t) 10te100e c , για κάποιο c .t 0 , ο πληθυσμός είναι 10000. Συνεπώς:00P (0) 10000 10e0100e c 10000 c 10100 .΄Αρα, ο πληθυσμός της πόλης, t χρόνια μετά τη συγχώνευση, είναιΟλοκλήρωση με αντικατάστασηt / 10 t /10P ( t) 10te100e10100.Με τη μέθοδο αυτή υπολογίζουμε ολοκληρώματα που έχουν ή μπορούν να πάρουντη μορφή f ( g(x))g(x)dx . Η μέθοδος ολοκλήρωσης με αντικατάστασηεκφράζεται με τον ακόλουθο τύπο:f ( g(x))g(x)dx f ( u)du ,όπου u g(x)και du g(x)dxΟ παραπάνω τύπος χρησιμοποιείται με την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωμαf ( u)du του δευτέρου μέλους υπολογίζεται ευκολότερα.


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 313Η απόδειξη του τύπου αυτού στηρίζεται στο γνωστό κανόνα παραγώγισης σύνθετηςσυνάρτησης. Πράγματι, αν F είναι μια παράγουσα της f, τότεF ( u) f ( u), (1)οπότεF ( g(x)) f ( g(x))και άρα ( g(x))g(x)dx F(g(x))gf ( x)dx( F ( g(x))) dx(αφού ( F(g(x)) F (g(x))g(x)) F(g(x)) c F( u) c , (όπου u g(x)f ( u)du(λόγω της (1))■Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμαu x 2 1 και2xdu ( x2 1)dx 2xdx, οπότε το ολοκλήρωμα γράφεται:22x x 1dxudu u / 2 du2 u31 3 / 2c2 2 2( x 1)3 / c3x21dx. Θέτουμε232 3( x 1) c .ΕΦΑΡΜΟΓEΣ1. Nα υπολογισθούν τα ολοκληρώματαi) xe dxx 2(1 e )ii) εφxdx .


3143 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΛΥΣΗxxxi) Θέτουμε u 1 e , οπότε du (1 e ) dx e dx . Επομένως,xedudx x 22( 1e ) uημxii) Έχουμε εφxdx dx συνxdu ( συνx)dx ημxdx , έχουμε:u21 1du c u 1ex c. Επομένως, αν θέσουμε u συνx , οπότε1εφxdx du ln | u | c ln | συνx| c . u2. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματαi) πημ(2 x ) dx ii) 16 dx1 2x2 99iii) x(x 1)dx .ΛΥΣΗi) ΘέτουμεΕπομένως,ii) Θέτουμεππu 2x , οπότε du ( 2x ) dx 2dx.66π 1ημ(2x ) dx 6 2πημ( 2x )6 2dx12ημudu11 π συνu c συν(2x ) c .22 6u 1 2x, οπότε du ( 12x)dx 2dx.Επομένως,iii) Θέτουμε1dx du u 1 1ln | | x 11 2 2 u 2u x 2 1, οπότεdu 2xdx. Άραc1 ln |12x | c .21002 99 1 99 1 u 1 2 100x( x 1)dx u du c ( x 1) c .2 2 100 2003. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματαi) 2x 1 dxii) 2x 3x 72x 5x6 dx .2x 5x6


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 315ΛΥΣΗi) Η συνάρτηση2x1f ( x)έχει πεδίο ορισμού το {2, 3}και γράφεται2x 5x 62x1f ( x).( x 2)( x 3)Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς Α, Β έτσι, ώστε να ισχύει2x1A B ( x 2)( x 3) x 2 x 3, για κάθε x {2, 3}.Με απαλοιφή παρονομαστών έχουμε τελικά:( A B 2) x 3A 2B1, για κάθε x {2, 3}.Η τελευταία ισότητα ισχύει για κάθε x {2, 3}, αν και μόνο ανA B 2 3A 2B100A 5ή, ισοδύναμα, . B 7Επομένως,2x1 5 7 5dx dx2x 5x 6 x 2 x 3 x 2 x 73dx 5 ln | x 2 | 7 ln | x 3 | c .Με τον ίδιο τρόπο εργαζόμαστε για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων της μορφήςκx λ2dx , με β 4αγ 02αx βx γii) Αν εκτελέσουμε τη διαίρεση του πολυωνύμουx2 5x 6 , βρίσκουμε ότιΕπομένως,xx22 3x 7 1 5x 6 x2x22x1. 5x 62x 3x 7dx 2x 5x 6 1dx2x1dx2 x 5x 6 3x 7με το πολυώνυμο x 5 ln | x 2 | 7 ln | x 3 | c (λόγω του (i)).Mε τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώματα της μορφήςP(x)dx ,2αx βx γ


3163 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ2όπου P(x)πολυώνυμο του x βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 και β 4αγ 0 .ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα2i) e x22xx dx ii) ( 3x 2x1)e dx iii) x 3 ln xdxiv) 2x 2 ημ2xdxv) 4xσυν2xdxvi) ln xdx ,vii) ln2xx dx viii) e x συν2xdxix)2. Nα υπολογίσετε τα ολοκληρώματαe x ημxdx23i) ημ3xdxii) (4x 16x 7) ( x 2)dxiii) x 32( x 6x)v) x x 1 dx .4dxiv) 2x2 x3dx3. Nα υπολογίσετε τα ολοκληρώματαxi) ex xeημedxii) e dx x1iii) 1dxx ln xiv) ( exex 1) ln( exdx1) 1 ημxv) dx .2xB΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματαi) ημ2x dx21 συν xημxii) εφx ln(συνx)dx iii) συνxedx .


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 3172. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματαi) 3x 11 dx ii) xdx3 4x x2x 1iii) x ln( x2 1)dx .3. Nα υπολογίσετε τα ολοκληρώματαi) x2 22ln x dxii) (lnt)dt iii) e2x xσυνedx .4. Nα υπολογίσετε τα ολοκληρώματαxi) εφxdxκαιdx2 συν xii) συνxdx2ημ x1και συνxdx2ημ xiii) 33ημ xdx και συν xdx .5. Με τη βοήθεια των τύπων1 συν2ημ 2 αα και2να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:1 συν2συν 2 αα 2i) 22ημ xdx ii) συν xdx iii) ημ2 xσυν 2 xdx .6. Mε τη βοήθεια των τύπων2ημασυνβ ημ( α β) ημ( α β),2συνασυνβ συν( α β) συν( α β)2ημαημβ συν( α β) συν( α β)να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:i) ημxσυν2xdxii) συν3xσυν5xdxiii) ημ2xημ4xdx7. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματαi) 2x 3 dxii) 3x 22x 3x2 dx2x 3x2iii) 3x 2x dx2x 3x2iv) 2x 1dx2.


3183 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ3.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣΓενικάΣτο προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε ότι, όταν γνωρίζουμε τη συνάρτηση θέσηςy S(t) ενός κινητού, μπορούμε να βρούμε την ταχύτητα και την επιτάχυνσητου κινητού. Πολλές φορές, όμως, είναι γνωστή η ταχύτηταυ υ(t) ή η επιτάχυνσηα α(t)του κινητού και ζητείται η θέση του. Για παράδειγμα:— Aν ένα κινητό κινείται ευθυγράμμως με σταθερή ταχύτητα c, για να προσδιορίσουμετη θέση του y S(t) , αρκεί να λύσουμε ως προς y την εξίσωσηy c . (1)— Aν σε ένα σώμα μάζας m ασκείται δύναμη F F(t), τότε το σώμα κινείται μεεπιτάχυνση α α(t)η οποία, σύμφωνα με το 2ο νόμο της μηχανικής, δίνεται απότον τύπο F mα ή, ισοδύναμα, F my, όπου y S(t)η συνάρτηση θέσης τουσώματος. Επομένως, για να προσδιορίσουμε τη θέση y S(t)του σώματος, αρκείνα λύσουμε την εξίσωσηm y F . (2)Εξισώσεις όπως οι (1) και (2) λέγονται διαφορικές εξισώσεις. Γενικά,ΟΡΙΣΜΟΣΔιαφορική εξίσωση λέγεται κάθε εξίσωση που περιέχει τη μεταβλητή x, μιαάγνωστη συνάρτηση y f (x) και κάποιες από τις παραγώγους της y, y,... .Για παράδειγμα, οι εξισώσειςείναι διαφορικές εξισώσεις.y 2x , y 2y, y y 0Η μεγαλύτερη από τις τάξεις των παραγώγων που εμφανίζονται στην εξίσωσηονομάζεται τάξη της διαφορικής εξίσωσης. Έτσι οι εξισώσεις y 2x καιy 2y είναι διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως, ενώ η y y 0 είναι δευτέραςτάξεως.Κάθε συνάρτησητης εξίσωσης.y f (x)Για παράδειγμα, η συνάρτησηy 2x, αφού y ( x2 ) 2x.που επαληθεύει τη διαφορική εξίσωση λέγεται λύση2y xείναι μια λύση της διαφορικής εξίσωσηςΤο σύνολο όλων των λύσεων μιας διαφορικής εξίσωσης λέγεται γενική λύσητης εξίσωσης.


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 319Για παράδειγμα, η γενική λύση της εξίσωσηςΣυχνά ζητάμε εκείνη τη λύσημια αρχική συνθήκηy0 f) (x 0y 2xείναι η y x2 c , c .y f (x) της διαφορικής εξίσωσης που ικανοποιεί. Για να βρούμε τη λύση αυτή, βρίσκουμε πρώτατη γενική λύση της εξίσωσης και με τη βοήθεια της αρχικής συνθήκης προσδιορίζουμετη ζητούμενη λύση.Για παράδειγμα, η λύσηy f (x)της διαφορικής εξίσωσηςy 2x, που ικανοποιείτην αρχική συνθήκη f ( 1) 2 , είναι η συνάρτηση y x 2 1 , αφού από τηγενική λύση y x2 c , για x 1 και y 2 είναι c 1 .Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε μόνο με δυο ειδικές μορφές διαφορικών εξισώσεωνπρώτης τάξεως: Τις εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές και Tις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως.Διαφορικές εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητέςΈχει αποδειχτεί πειραματικά, ότι ο ρυθμός μεταβολής, ως προς το χρόνο, τουπληθυσμού y P(t)μιας κοινωνίας, η οποία δεν επηρεάζεται από εξωτερικούςπαράγοντες, είναι ανάλογος του πληθυσμού. Δηλαδή, ισχύειP ( t) α P(t),όπου α θετική σταθερά.Αν ο αρχικός πληθυσμός της κοινωνίας είναι , δηλαδή P( 0) P , για ναP00βρούμε τον πληθυσμό P(t) ύστερα από χρόνο t, θα λύσουμε την παραπάνω διαφορικήεξίσωση.Επειδή y P( t) 0 , η εξίσωση γράφεταιP(t) α ,P(t)οπότε ολοκληρώνοντας και τα δυο μέλη της, έχουμε διαδοχικά:P ( t)dt P(t)α dtln P(t) αt c .P(t) eΕπειδή P( 0) P0, είναι c P 0, οπότεPαt c11,, με c ec .αt1( t) ceαt( t) P 0e .P


3203 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΗ παραπάνω διαφορική εξίσωση λέγεται διαφορική εξίσωση με χωριζόμενεςμεταβλητές. Γενικά,OΡΙΣΜΟΣΔιαφορική εξίσωση με χωριζόμενες μεταβλητές λέγεται κάθε εξίσωση τηςμορφήςα( y) y β(x)(1),όπου y f (x) η άγνωστη συνάρτηση, α (y)συνάρτηση του y και β(x)συνάρτησητου x.Για να λύσουμε την εξίσωση αυτή ολοκληρώνουμε και τα δύο μέλη της ως προς x.Έχουμεα ( y)ydxβ(x)dx .Επειδήy f (x) , είναι dy f ( x)dx ydx, οπότε έχουμεα ( y)dy β(x)dx . (2)Αν A (y) είναι μια παράγουσα α (y)και B (x)μια παράγουσα της β(x), τότε η(2) γράφεταιA( y) B(x) c , c . (3)Από την τελευταία εξίσωση προσδιορίζουμε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης.ΣΧΟΛΙΟΗ ισότητα (2) μας επιτρέπει να γράφουμε τη διαφορική εξίσωση (1) στην “άτυπη”μορφή τηςα ( y)dy β(x)dxκαι να ολοκληρώνουμε τα μέλη της, το μεν πρώτο μέλος της ως προς y, το δεδεύτερο μέλος της ως προς x.ΕΦΑΡΜΟΓHNα λυθούν οι διαφορικές εξισώσειςi) 2 y xy 0 , x 0 και y 02ii) y 2xy , y 0iii) x - yy 0 , y 0 .ΛΥΣΗ


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 321i) H εξίσωση γράφεται διαδοχικά1 2yy x1ydy 2 ,dx x1 2dy dx .y x1dy yln y2dxx2 ln | x |c , c 2 1ln x c1y e2ln x c1 ec1e2ln x cx21, c 0 .2*Άρα, y cx , όπου x , c 0 (Σχ. 1).y>0yO1c=2c=1c 1 2xii) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικάdy 22xydxdy2xdx2y .dy2 y 2 xdx1 2 x cyyOc=1c=02xΆραy1 , όπου c (Σχ. 2).x c2iii) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικάdyx y dx 0yc=9c=43ydy xdxydy xdx2y2 2x c21Oc=1123xx2 y2 c , c 0Άρα,y2 c x , c 0 (Σχ. 3).


3223 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΓραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεωςΑπό τη Φυσική γνωρίζουμε ότι στο διπλανόL4κύκλωμα ισχύει ο κανόνας του Kicrhhoff. Δηλαδή,dI ( t)L R I ( t) V ( t). (1) RIdtΓια να προσδιορίσουμε την ένταση, I ( t) , τουρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα, είναι ανάγκηνα λύσουμε τη διαφορική εξίσωση (1). Η εξίσωση αυτή λέγεται γραμμικήδιαφορική εξίσωση πρώτης τάξεως. Γενικά:ΟΡΙΣΜΟΣΓραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξεως λέγεται κάθε εξίσωση τηςμορφήςy α( x)y β(x),όπου y f (x) είναι η άγνωστη συνάρτηση και α (x), β(x)συναρτήσεις του x.Για την επίλυση της εξίσωσης αυτής:— Αναζητούμε μια παράγουσα A (x) της συνάρτησης α(x)και έπειταA( x)— Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της εξίσωσης με e .Έτσι, έχουμε διαδοχικάyeyeA(x)A(x)y α(x)e A(x)eA(x)A(x) y β(x)e y β(x)eA(x)A(x)A(x)A(x)A(x)e ( e ) y β(x)e( yeA(x)A(x)( ye ) β(x)e) dxβ(x)eA ( x)A(x)dxyeA ( x ) B(x) c ,A(x)όπου B(x) μια παράγουσα της β(x)e .ΕΦΑΡΜΟΓH1. Να λυθεί η διαφορική εξίσωσηy 2 y 2 .ΛΥΣΗ


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 323Επειδή μια παράγουσα της α ( x) 2 είναι η A( x) 2x, πολλαπλασιάζουμε και ταδυο μέλη της εξίσωσης μεxe 2 . Έτσι, έχουμε διαδοχικάye2x2x 2ey 2( yee) ( e2x)2 x 2xyex e2x c2 2xy 1ce ,c .ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Nα λύσετε τις διαφορικές εξισώσεις:2i) y 4xy , y 0ii) y y x , y 01iii) y 2xyiv) y ey συνx.2. Να λύσετε τις διαφορικές εξισώσεις:i) y 2y 3ii)y 2y e xiii)y y 2xiv) y 2 xy x .2 23. Nα βρείτε τη λύση της διαφορικής εξίσωσης y 2xy , y 0 , τηςοποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο A (0, 3) .4. Να βρείτε τη λύση της διαφορικής εξίσωσης y 2 3yπου ικανοποιείτη συνθήκη y( 0) 2 / 3 .5. Να λύσετε τις διαφορικές εξισώσεις:1 1i) y y , αν y ( 0) 322συν x συν xii) ( x 1)y y ln x , αν y ( 1) 10 .Β΄ ΟΜΑΔΑΣ


3243 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ1. Η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος Ι σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα ικανοποιείτην εξίσωση I ημt. Αν I( 0) 0 , να βρείτε την έντασηdIdtI(t) .y 2x2. Να βρείτε τη λύση της διαφορικής εξίσωσης ye y e , η οποίαδιέρχεται από το σημείο A(2, 2) .13. Να λύσετε τη διαφορική εξίσωση y y x .x4. Η κλίση της εφαπτομένης μιας γραμμής (C)με εξίσωση y y(x),y 0 στο σημείο M ( x,y)είναι ίση με2xy . Να βρείτε την εξίσωσητης (C) , αν είναι γνωστό ότι διέρχεται από το σημείο A(0,1).5. Έστω α , β,λ σταθερές, με α λ 0 . λti) Να λύσετε την εξίσωση y αy βe .ii) Ανy y(t)lim y( t) 0 .tείναι μια λύση της εξίσωσης, να αποδείξετε ότι ισχύει6. Έχει αποδειχτεί πειραματικά ότι ο ρυθμός μεταβολής της θερμοκρασίαςθ ενός σώματος, όταν αυτό βρεθεί σε περιβάλλον σταθερής θερμοκρασίαςΤ με θ T , είναιdθdt k( θ Τ ), k 0 .Να βρείτε τη θερμοκρασία(t) , ανθ ( 0) θ0θ .7. Ο πληθυσμός P P(t) μιας χώρας μεταναστεύει με σταθερό ρυθμόm 0 . Δίνεται ότι ο ρυθμός αύξησης του πληθυσμού Ρ, αν δεν υπήρχεη μετανάστευση, θα ήταν ανάλογος του Ρ.i) Να δικαιολογήσετε ότι ο πληθυσμός Ρ ικανοποιεί την εξίσωσηP kP m , k 0 σταθερά.ii) Να βρείτε τη συνάρτηση P P(t), αν P( 0) P0iii) Να αποδείξετε ότι:— Aν m kP 0, τότε ο πληθυσμός αυξάνεται.— Aν m kP 0, τότε ο πληθυσμός μειώνεται.


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 325— Aν m kP 0, τότε ο πληθυσμός παραμένει σταθερός.8. Έστω y y(t) το ύψος και V V (t)ο όγκος του νερού μιας δεξαμενήςτη χρονική στιγμή t. Η δεξαμενή αδειάζει από μια κυκλική οπήεμβαδού α που βρίσκεται στον πυθμένα της. Σύμφωνα με το νόμο τουTorricelli ο ρυθμός μεταβολής του όγκου του νερού είναιdVdt α2gy, g 10 m/s 2.i) Αν η δεξαμενή είναι κυλινδρική μεύψος 3,6m, ακτίνα 1m και η ακτίνα τηςοπής είναι 0,1m, να αποδείξετε ότι το yικανοποιεί την εξίσωση, αν είναι γνω-5y y50ii) Να βρείτε το ύψος y(t)στό ότι τη χρονική στιγμήξαμενή ήταν γεμάτη.t 0 η δε-iii) Πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να α-δειάσει τελείως η δεξαμενή; (Δίνεται ότι ο όγκος του κυλίνδρου2είναι V πr υ ).9. Ένας βηματοδότης αποτελείταιαπό μια μπαταρίακαι έναν πυκνωτή,καρδιάενώ η καρδιά παίζει τορόλο της αντίστασης,όπως φαίνεται στο σχήμα.΄Οταν ο διακόπτης S QRβρίσκεται στη θέση Ρ, οπυκνωτής φορτίζεται ε- P SCνώ, όταν βρίσκεται στηθέση Q, ο πυκνωτής εκφορτίζεταικαι προκαλείE 0ηλεκτρικό ερέθισμα στηνκαρδιά. Κατά τη διάρκεια αυτή στην καρδιά εφαρμόζεται ηλεκτρεγερ-τική δύναμη Ε που ικανοποιεί την εξίσωσηdE 1 E , t1 t t2.dt RCόπου R, C σταθερές. Να βρείτε την E (t), αν E( t1) E0.υV(t)y(t)


3263 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ10. Σύμφωνα με τον κανόνα τουΚirchhoff για το κύκλωμα του διπλανούσχήματος ισχύειdIL RI E(t) .dti) Aν R 12Ω, L 4H ,E 60V ,α) να βρείτε την ένταση I(t) του ρεύματος, t sec μετά το κλείσιμο τουκυκλώματος.β) να βρείτε το lim I(t). Τί συμπεραίνετε;tii) Aν στο κύκλωμα αντί για μπαταρία που δίνει σταθερή ηλεκτρεγερτικήδύναμη Ε χρησιμοποιήσουμε μια γεννήτρια που δίνει E( t) 60ημ3t, ναβρείτε την ένταση I(t) .3.4 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΕμβαδόν παραβολικού χώρουΈστω ότι θέλουμε να βρούμε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη2γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x) x , τον άξονα των x και τις ευθείεςx 0 και x 1 (Παραβολικό χωρίο Σχ. 5).yy56y=x 2 y=x 211ΩO1xO 1 x1v2v. . .v1vΜια μέθοδος να προσεγγίσουμε το ζητούμενο εμβαδόν είναι η εξής:Χωρίζουμε το διάστημα [0,1] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα, μήκουςάκρα τα σημεία:1Δx , μεν


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 327x0 0 ,1x1 ,ν2x2 , ………….….,νν 1 νx ν 1 , x ν 1.νν Σχηματίζουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα υποδιαστήματα αυτά και ύψη τηνελάχιστη τιμή της f σε καθένα από αυτά. (Σχ. 6). Μια προσέγγιση του εμβαδούπου ζητάμε είναι το άθροισμα, ε ν, των εμβαδών των παραπάνω ορθογωνίων.Δηλαδή, το:1 1 1 2 1 ν 11ε ν f ( 0) f f f ν ν ν ν ν ν ν1 0ν 2 22 1 1 ν 2 ν ν ν21 22 2 [1 2 ( ν 1)3ν]21 ( ν 1)ν(2ν1)2ν 3ν1 .32ν 66ν Αν, τώρα, σχηματίσουμε τα ορθογώνιαμε βάσεις τα παραπάνω υποδιαστήματα καιύψη την μέγιστη τιμή της f σε καθένα απ’αυτά (Σχ. 7), τότε το άθροισμαy1y=x 27 1 1 2 1 ν 1Ε ν f f f ν ν ν ν ν ντων εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναιμια ακόμη προσέγγιση του ζητούμενου εμβαδού.Είναι όμως, 1 1 2 1 ν 1Ε ν f f f ν ν ν ν ν νO 1 x1v2v. . .v1v1 1 ν ν 2 2 ν 22 ν ν 1 2 2 2(1 2 ν2 )3ν 1 ν(ν 1)(2ν1)2ν 3ν1 .3ν 66ν2


3283 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΤο ζητούμενο, όμως, εμβαδόν Ε βρίσκεται μεταξύ των ε και E . Δηλαδή ισχύειε Ε νΕ ν, οπότεlim ε Ε lim Ε .ννννννΕπειδήlim ενν lim Ενν1 , έχουμε31Ε .3 Αν, τώρα, σχηματίσουμε τα ορθογώνιαμε βάσεις τα παραπάνω υποδιαστήματα[ xκ1,xκ] , κ 1, 2, ..., ν και ύψη την τιμή τηςσυνάρτησης σε οποιοδήποτε ενδιάμεσο σημείοξκ, κ 1, 2,...,3, ..., ν , καθενός διαστήματος,(Σχ. 8), τότε το άθροισμαSν1 f ( ξν111) f ( ξ 2) f ( ξ ν)νντων εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναιμια ακόμη προσέγγιση του ζητούμενου εμβαδού.Επειδή f ( xκ 1) f ( ξ κ ) f ( xκ) γιακ 1, 2, ..., ν , θα είναιy8y=x 21f(ξ k ). . .. . .O ξ 1 ξ 2 ξ k ξ v 1 xοπότε θα ισχύει1ν1 1f ( xκ 1) f ( ξκ) f ( xκ) ,ν νεν S Ε .ννΕίναι όμως,lim ενν lim Eνν Ε . Άρα θα ισχύειS ννlim Ε .Ορισμός εμβαδούΈστω f μια συνεχής συνάρτηση σε έναδιάστημα [ α,β], με f ( x) 0 για κάθεx [ α,β]και Ω το χωρίο που ορίζεταιαπό τη γραφική παράσταση της f, τονάξονα των x και τις ευθείες x α ,x β .Για να ορίσουμε το εμβαδόν του χωρίουΩ (Σχ. 9) εργαζόμαστε όπως στο προηγούμενοπαράδειγμα. Δηλαδή:yOy=f(x) 9α=x 0 ξ 1 x 1 ξ 2 x 2 ... x k-1 ξ k x k ... x ν-1 ξ ν x ν=βf(ξ ν )Ω f(ξ k )f(ξ 1 ) f(ξ 2 )xΔx β av


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 329 Χωρίζουμε το διάστημα [ α,β]σε ν ισομήκη υποδιαστήματα, μήκουςβ αΔx , με τα σημεία α x0 x1 x2... xνν β . Σε κάθε υποδιάστημα [ xκ 1,xκ] επιλέγουμε αυθαίρετα ένα σημείο ξ κκαι σχηματίζουμετα ορθογώνια που έχουν βάση Δ x και ύψη τα f ( ξ κ) . Το άθροισματων εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναιSν f ( ξ1 ) Δx f ( ξ2) Δx f ( ξν) Δx [ f ( ξ1)f ( ξν)] Δx . Yπολογίζουμε το lim Sν.Αποδεικνύεται ότι τουπάρχει στο και είναι ανεξάρτητο από την επιλογήτων σημείωνξ κνlim Sνν. Το όριο αυτό ονομάζεται εμβαδόν του επιπέδου χωρίου Ωκαι συμβολίζεται με Ε(Ω) . Είναι φανερό ότι Ε( Ω) 0 .Η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματοςΈστω μια συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς στο [ α,β]. Με τα σημείαα x x x ... xσε ν ισομήκη υποδια-β αστήματα μήκους Δx .νβχωρίζουμε το διάστημα[ α β]0 1 2ν,y10y=f(x)Oa=x 0 ξ 1 x 1ξ2ξ kxx 2 x v-1 ξ v x v =βΣτη συνέχεια επιλέγουμε αυθαίρετα ένα ξκ [ xκ1,xκ] , για κάθε κ { 1, 2,..., ν},και σχηματίζουμε το άθροισμαSν f ( ξ1 ) Δx f ( ξ2) Δx f ( ξκ) Δx f ( ξν) Δxτο οποίο συμβολίζεται, σύντομα, ως εξής:Sν νκ 1f ( ξ ) Δxκ(1) .(1) Το άθροισμα αυτό ονομάζεται ένα άθροισμα RIEMANN.


3303 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣAποδεικνύεται ότι,ν “Το όριο του αθροίσματος Sν, δηλαδή το lim f ( ξκ) Δx (1) υπάρχει στο νκ 1και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των ενδιάμεσων σημείων ”.Το παραπάνω όριο (1) ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνεχούς συνάρτησηςf από το α στο β, συμβολίζεται μεκαι διαβάζεται “ολοκλήρωματης f από το α στο β”. Δηλαδή,Το σύμβολοα βαf ( x)dx f ( x)dx lim f ( ξκ) Δxβννκ 1ξ κοφείλεται στον Leibniz και ονομάζεται σύμβολο ολοκλήρωσης.Αυτό είναι επιμήκυνση του αρχικού γράμματος S της λέξης Summa (άθροισμα).Οι αριθμοί α και β ονομάζονται όρια της ολοκλήρωσης. Η έννοια “όρια” εδώδεν έχει την ίδια έννοια του ορίου του 2ου κεφαλαίου. Στην έκφρασητο γράμμα x είναι μια μεταβλητή και μπορεί να αντικατασταθεί με οποιοδήποτεάλλο γράμμα. Έτσι, για παράδειγμα, οι εκφράσεις f ( x)dx , βf ( t)dt συμβολίζουντο ίδιο ορισμένο ολοκλήρωμα και είναι πραγματικός αριθμός, σε αντίθεσημε το f ( x)dx που είναι ένα σύνολο συναρτήσεων. βαα βαf ( x)dxΕίναι, όμως, χρήσιμο να επεκτείνουμε τον παραπάνω ορισμό και για τις περιπτώσειςπου είναι α β ή α β , ως εξής: αβααf ( x)dx f ( x)dxf ( x)dx 0αβΑπό τους ορισμούς του εμβαδού και του ορισμένουολοκληρώματος προκύπτει ότι:Αν f ( x) 0 για κάθε x [ α,β], τότε το ολοκλήρωμα βαf ( x)dx δίνει το εμβαδόν E(Ω)του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφικήπαράσταση της f τον άξονα x x και τιςευθείες x α και x β (Σχ. 11). Δηλαδή,Επομένως,αβf ( x)dx E(Ω).y 11y=f(x)ΩO αβ xΑν f ( x) 0 , τότε f ( x)dx 0 .αβ


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 331ΕΦΑΡΜΟΓHNα αποδειχθεί ότιΑΠΟΔΕΙΞΗαβc dx c( β α), για οποιοδήποτε c .αi) Αν α β , τότε cdx 0 c(α α) c(β α).αii) Ανα β , τότε, επειδή ηf ( x) c είναι συνεχής στο [ α,β], έχουμεαββcdx f ( x)dxα lim[(f ( ξ ) Δx f ( ξ2) Δx f ( ξν)) Δ1 νxβ α lim [ f ( ξ ) f ( ξ2) f ( ξνν1 ν β α lim( c c c)νν β α limνc c(β α)νν )]]iii) Ανα β , τότεαβαcdx cdx c( α β) c(β α).βΣΧΟΛΙΟ βΑν c 0 , τότε το cdx εκφράζει το εμβαδόναενός ορθογωνίου με βάση β α και ύψος c(Σχ. 12).y12y=cO αβ xΙδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματοςΜε τη βοήθεια του ορισμού του ορισμένου ολοκληρώματος αποδεικνύονται ταπαρακάτω θεωρήματα.


3323 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΘΕΩΡΗΜΑ 1οΈστω f , g σ υ ν ε χ ε ί ς συναρτήσεις στο [ α,β]καικαι γενικά ΘΕΩΡΗΜΑ 2οαββλ f ( x)dx λ f ( x)dx [ ( x) g(x)]dx f ( x)dx αβαβαβf g(x)dx f ( x) μg(x)]dx λ f ( x)dx α[ λ μg(x)dxαβαβαβλ, μ . Τότε ισχύουνΑν η f είναι σ υ ν ε χ ή ς σε διάστημα Δ καια, β,γ Δ , τότε ισχύειαβγf ( x)dx f ( x)dx f ( x)dxαγβ3Για παράδειγμα, αν f ( x)dx 3και f ( x)dx 7, τότε340004f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx 3 7 4 .304 3004ΣΗΜΕΙΩΣΗΑν f ( x) 0 και α γ β (Σχ. 13), η παραπάνωιδιότητα δηλώνει ότι:αφούκαιΕ( Ω) Ε(Ω1 ) Ε γα( Ω2Ε ( Ω1 ) f ( x)dx , Ε ( Ω2 ) f ( x)dxβΕ ( Ω) f ( x)dx .α)γβy13y=f(x)Ω 1 Ω 2O α γ β xΘΕΩΡΗΜΑ 3οΈστω f μια σ υ ν ε χ ή ς συνάρτηση σε ένα διάστημα [ α,β]. Αν f ( x) 0 γιακάθετότεx [ α,β]και η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό,αβf ( x)dx 0 .


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 333ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ411. Aν f ( x)dx 9 , f ( x)dx 11 και f ( x)dx 13 , να βρείτε τα ολοκληρώματα:34183i) f ( x)dxii)4 8 4f ( x)dx 3iii) f ( x)dxiv) .1 8 f ( x)dx32. Να αποδείξετε ότι3. Να υπολογίσετε το κ έτσι, ώστε31e1 1ln tdt ln dt .e tκ 21x 4 5dx dx 221x 1κx 14. Αν f ( x)dx 5 και g( x)dx 2να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:31( 2 f ( x) 6g(x))dx13i) ii) .13 .1( 2 f ( x) g(x))dx33.5 H ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F(x) f ( t)dt xαΟ υπολογισμός ενός ολοκληρώματος βαf ( x)dxκατευθείαν από τον ορισμό είναισυνήθως μία δύσκολη και πολύ κοπιαστική διαδικασία. Στην παράγραφο αυτήθα αναζητήσουμε τρόπο υπολογισμού ολοκληρωμάτων χωρίς τη χρήση του ορισμού.Σ’ αυτό θα μας βοηθήσει το γνωστό, ως θ ε μ ε λ ι ώ δ ε ς θ ε ώ ρ η μ ατ ο υ ο λ ο κ λ η ρ ω τ ι κ ο ύ λ ο γ ι σ μ ο ύ. Η απόδειξη του θεωρήματος αυτούστηρίζεται στο επόμενο θεώρημα, το οποίο μας εξασφαλίζει την ύπαρξη παράγουσαςμιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ.


3343 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΘΕΩΡΗΜΑΑν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείοτου Δ, τότε η συνάρτησηxF ( x) f ( t)dt , x Δ ,είναι μια παράγουσα της f στο Δ. Δηλαδή ισχύει:xf ( t)dt f ( x) , για κάθε x Δ .a Για παράδειγμαx22ημ tdt x ημ x και ln tdt ln x0 .0 ΣΧΟΛΙA Εποπτικά το συμπέρασμα του παραπάνωyθεωρήματος προκύπτει (Σχ. 14) ως εξής:x hxF ( x h) F(x) f ( t)dtΆρα, για μικράοπότε Εμβαδόν του χωρίου Ω. f ( x) h , για μικρά h 0 .h 0είναιF(x h) F(x) f ( x),hF(x h) F(x)F (x) lim f ( x)h0hαOαF(x)xf(x)y=f(x) Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησηςπροκύπτει ότι:g(x) f ( t)dt f ( g(x)) g(x) ,α με την προϋπόθεση ότι τα χρησιμοποιούμενα σύμβολα έχουν νόημα.Για παράδειγμα,3 x 3 32 2 ln tdt (ln x ) (x ) (3ln x)3x 9xln x0 ΘΕΩΡΗΜΑ (Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού)β14xΈστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημαγουσα της f στο [ α,β], τότε[ α,β]. Αν G είναι μια παρά-αβf ( t)dt G(β) G(α)


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 335ΑΠΟΔΕΙΞΗΣύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, η συνάρτησηF ( x) f ( t)dtαxείναι μιαπαράγουσα της f στο [ α,β]. Επειδή και η G είναι μια παράγουσα της f στο[ α,β], θα υπάρχει c τέτοιο, ώστεG( x) F(x) c . (1)Από την (1), γιαΕπομένως,x α , έχουμε G ( α) F(α) c f ( t)dt c c , οπότε c G(α).G( x) F(x) G(α),ααοπότε, γιακαι άραx β , έχουμεG ( β) F(β) G(α)f ( t)dt G(α)αβαβf ( t)dt G(β) G(α). ■Πολλές φορές, για να απλοποιήσουμε τις εκφράσεις μας, συμβολίζουμε τη διαφοράG( β) G(α)με [ G ( x)]αβ, οπότε η ισότητα του παραπάνω θεωρήματος γράφεταιβββ f ( x)dx [ G(x)]α[ f x dxα ( ) ] .αΓια παράδειγμα,130π2 x xdx 2 31921 42πημ xdx [ συνx]0 συνπ συν0 21e1edx [ln x]1 ln e ln1 1 .xΕΦΑΡΜΟΓH1. Δίνεται η συνάρτησηF(x)x22t1dt


3363 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣi) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της F.ii) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα η F.ΛΥΣΗi) Η συνάρτηση f ( t) t2 1έχει πεδίο ορισμού το σύνολο( , 1][1, ).Για να ορίζεται η F, πρέπει τα άκρα 2, x του ολοκληρώματος να ανήκουν στοίδιο διάστημα του πεδίου ορισμού της f. Άρα, πρέπει x [ 1, ), οπότε το πεδίοορισμού της F είναι το σύνολο [ 1, ).ii) Για x [ 1, )έχουμε:x 2 F (x) t 1dt x221.Επειδή η F είναι συνεχής στο [ 1, )και ισχύει F ( x) 0 για κάθεx ( 1, ), ησυνάρτηση F είναι γνησίως αύξουσα στο [ 1, ), οπότε παρουσιάζει ελάχιστοτο F( 1) 0 .Μέθοδοι ολοκλήρωσης Ο τύπος της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες για το ορισμένο ολοκλήρωμαπαίρνει τη μορφήββ x)g(x)dx [ f ( x)g(x)] f ααf ( ( x)g(x)dx ,όπου f , gείναι συνεχείς συναρτήσεις στο [ α,β].αβΓια παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμαΙ π / 20xσυνxdx. Έχουμε:I π / 2π / 2/ 2x( ημx)dx [xημx]π ( x)0[0xημ x]π / 20 0π / 2[ xημx]συνπ π 2 1 .2 20ημxdxπ / 2π / 2[x]0 0ημxdx Ο τύπος ολοκλήρωσης με αλλαγή μεταβλητής για το ορισμένο ολοκλήρωμαπαίρνει τη μορφή


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 337αβf ( g(x))g(x)dx f ( u)du ,όπου f , gείναι συνεχείς συναρτήσεις, u g(x), du g(x)dx καιu1 g(α), u2 g(β).u2u1Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμαΈχουμε:I 1eln xdx .xAν θέσουμεI e1ln x(lnx)dxu ln x , τότε du (ln x)dx, u ln1 0 και u ln e 1 . Επομένως,12 1 2u 1I udu .0 2 210ΕΦΑΡΜΟΓHNα υπολογισθούν τα ολοκληρώματα2x2 x 1i) dxx1ΛΥΣΗii)14x 1dxx222x x 1x2xi) ΄Εχουμε dx dx dx 1x 1x 1x 51iii) | x - 2 | dx .22122xdx dx 112 x 2 44x 1xii) Έχουμε dx dx 1x 1x 2111 dxx121dxx1 5[ x]2[ln x]2 2 1ln 2 ln 2 .11 2 2141dxx 41x1/ 2dx 14x1/2dx3 / 2 x 3 / 2 411/ 2 x 1/2 412 3x3414 20[ 2 x] .1 3


3383 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣiii) Επειδή2 x| x 2 | x 2,,x 2, έχουμεx 25 2 | dx (2 x)dx 12225 x x 9 9| x ( x 2) dx 2x 2x 9 .12 2 2 2 22152ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Nα υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:22i) ( 3x 2x1)dxii)01ex 1dx3xπ / 2 1 iii) (συνx 2ημx)dxiv) x dx .0 x 2. Nα αποδείξετε ότι3. Να αποδείξετε ότι2 1x37xxdx 2 dx21x 5 22x 5β132222 f ( x)f (x)dx ( f ( β)) ( f ( α)).α4. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από τα σημείαA (0, 0) και B(1,1 ) , να βρείτε την τιμή του ολοκληρώματος f ( x)dx ,0εφόσον η f είναι συνεχής στο [0,1].5. Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεωνσυνx2i) F( x) 1 t dtii) F ( x)12. 1x2συνθdθθ6. i) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f ( x) ln( x x2 1)1


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 339ii) Να αποδείξετε ότι 0111x2dx ln(1 2) .xΒ΄ ΟΜΑΔΑΣ4 61. Αν tg( t)dt x x για κάθε x , να βρείτε το g(1) .0πt2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f x 1 συν2( ) e dt είναι σταθερή.x3. Αν 2 tf ( x)dt , να προσδιορίσετε τα διαστήματα μονοτονίας και0 teτα τοπικά ακρότατα της f.4. Aν F( x) x xf ( t)dt , να βρείτε την F (x).05. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 1t2 1σταθερή στο ( 0, )και να βρείτε τον τύπο της.1 26. Να βρείτε το h2lim 5 t dt .h0h 27. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα6i) xx 2 4 dx4π / 2xxx1/ x11F( x) dt dt είναιt21ii) [ημ(συνx x)ημx ημ(συνx x)]dx .018. Nα υπολογίσετε τα ολοκληρώματα22i) ( x |x 1|) dx ii) f ( x)dx , αν032iii) | x 3x 2 | dx .0π π x,f ( x) ημx, π x 00 x π9. Nα υπολογίσετε τα ολοκληρώματαi) e2ln xdx1 x11ii) xe x dxiii) x ln( 9 xiv) 2 2) dxe x συν2xdx.00π /0


3403 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣπ / 2π / 22210. Αν I xημxdx , J , να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα0 xσυνxdx0I J , I J , Ι, J.11. Έστω μια συνάρτηση f με f συνεχή και για την οποία ισχύειΑνπ0( f ( x) f (x)) ημxdx 2 .f ( π) 1 , με τη βοήθεια της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες, ναυπολογίσετε το f (0) .12. Έστω οι συναρτήσεις f , g , μεf ( α) g(α) 0 και f ( β) g (β)f , g συνεχείς στο, να αποδείξετε ότιβΙ f ( ( x ) g ( x) f (x)g(x)) dx g (β)(f ( β) g(β)).α[ α,β]. Αν3.6 ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΟΥΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥΜε τη βοήθεια του θεμελιώδους θεωρήματος του ολοκληρωτικού λογισμού μπορούμε,τώρα, να αποδείξουμε το παρακάτω θεώρημα που είναι γνωστό ως Θ ε ώρ η μ α Μ έ σ η ς Τ ι μ ή ς Ο λ ο κ λ η ρ ω τ ι κ ο ύ Λ ο γ ι σ μ ο ύ.ΘΕΩΡΗΜΑΑν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στοξ ( α,β)τέτοιο, ώστε[ α,β], τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,αβf ( x)dx f ( ξ)(β α)ΑΠΟΔΕΙΞΗΘεωρούμε τη συνάρτησηF ( x) f ( t)dt . Η συνάρτηση αυτή είναι παραγωγίσιμηστο [ α,β]και ισχύειxαF ( x) f ( x). Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα μέσηςτιμής του διαφορικού λογισμού υπάρχει ξ ( α,β)τέτοιο, ώστεF(β) F(α)F ( ξ). (1)β αΕίναι όμως,βF ( ξ) f ( ξ), F ( β) f ( t)dt και F(α) f ( t)dt 0 .α α α


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 341Επομένως, η ισότητα (1) γράφεταιΣΧΟΛΙΟβαββ f ( t)dtαf ( ξ) ή, ισοδύναμα,β αf ( t)dt f ( ξ)(β α). ■ f ( x)dxαΟ αριθμός f ( ξ) λέγεται μέση τιμή της συνάρτησης f στο [ α,β]καιβ α_συμβολίζεται με f .y_Γεωμετρικά, η μέση τιμή f μιας μη αρνητικής συνάρτησηςf στο διάστημα [ α,β]παριστάνει το ύψοςy=f(x)fτου ορθογωνίου που έχει βάση το [ α,β]και εμβαδόνίσο με το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεταιαπό τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x xκαι τις ευθείες x α και x β (Σχ. 15).O α ξβ15xΕΦΑΡΜΟΓΗΈστω η συνάρτησηf ( x) x . Να βρεθεί ξ (0, 9) έτσι ώστε_f ( ξ ) f .ΛΥΣΗ99 2 3 / 2 _ xdx x0 3 0 18Έχουμε f 2 .9 9 9Επομένως, αρκεί να βρεθεί ξ (0, 9)έτσι, ώστε f ( ξ) 2 . Έχουμεf ( ξ) 2 ξ 2 ξ 4 .Άρα, το ζητούμενο ξ είναι το 4.ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ_1. Nα βρείτε τη μέση τιμή f της συνεχούς συνάρτησης f στο διάστημα[ 0,1] , αν δίνεται ότι ( f ( x) 1)dx 0 .10


3423 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ2. Αν η f είναι συνεχής στο [ α,β], κ σταθερά και ( f ( x) κ)dx 0 , νααποδείξετε ότι η μέση τιμή της f στο [ α,β]είναι κ.3. Να βρεθεί η μέση τιμή της μεταβλητής x στο διάστημα [ α,β].αβΒ΄ ΟΜΑΔΑΣ211. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x) x και g(x) , ορισμένες σ’ ένα2x_διάστημα [ α,β], α 0 . Να υπολογίσετε τις f , g και να αποδείξετε_ότι f g 1.l2. Η ταχύτητα υ του αίματος σ’ένα αγγείο ακτίνας R και μήκους , σε απόσταση r από τονR r u(r)κεντρικό άξονα του αγγείου είναιυ(r) ( R r ) , όπου ΡABP 2 24nη διαφορά πιέσεως μεταξύ των άκρων A, B του αγγείου και n το ιξώδεςτου αίματος (σταθερά).α) Να βρείτε τη μέση ταχύτητα του αίματος, όταν r [ 0, R].β) Να βρείτε τη μέγιστη ταχύτητα και να τη συγκρίνετε με τη μέση ταχύτητα3. Έστω f μια παραγωγίσιμη στο [ 0,1] συνάρτηση, με f ( x)dx f (1) .Να αποδείξετε ότι ηC fέχει μια, τουλάχιστον, οριζόντια εφαπτομένη.103.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Στην παράγραφο 4.4 είδαμε ότι, αν μια συνάρτησηf είναι συνεχής σε ένα διάστημα [ α,β]και f ( x) 0 για κάθε x [ α,β], τότε το εμβαδόντου χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράστασητης f , τις ευθείες x α , x β και τονάξονα xx (Σχ. 16) είναιE ( Ω) f ( x)dxαβyOαy=f(x)Ωβ16x


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 343Για παράδειγμα, το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεταιαπό τη γραφική παράσταση τηςf ( x) x , τον άξονα xxκαι τις ευθείες x 0 ,x 1 (Σχ. 17) είναι ίσο μεy1yx1710xdx10x1/ 2 2 3 / 2 2dx x . 3 310O1x Έστω, τώρα, δυο συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο διάστημα [ α,β]μεf ( x) g(x) 0 για κάθε x [ α,β]και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις γραφικέςπαραστάσεις των f , g και τις ευθείες x α και x β (Σχ. 18α).yy=f(x)yy=f(x)y18Ωy=g(x)y=g(x)Ω 1Ω 2O x(α)O(β)xO x(γ)Παρατηρούμε ότιΕπομένως,βββ(1 2 f ( x)dx g(x)dx ( f ( x) .αααΕ Ω) Ε(Ω ) Ε(Ω ) g(x))dxβE ( Ω) ( f ( x) g(x))dx(1)αΓια παράδειγμα, το εμβαδόν του χωρίου Ωπου περικλείεται από τις γραφικές παραστάσειςτων συναρτήσεων f ( x) x 2 καιyy=x 219g( x) x2(Σχ. 19) είναι ίσο με: 1 2E ( Ω)[ f ( x) g(x)]dx 1 2( x 2 x2 ) dxΩy=x+2123 x x 9 2x 2 3 . 22 Ο τύπος (1) βρέθηκε με την προϋπόθεση ότι:2 O 1x


3443 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ(i) f ( x) g(x)για κάθε x [ α,β]και(ii) οι f , g είναι μη αρνητικές στο [ α,β].Θα αποδείξουμε, τώρα, ότι ο τύπος (1) ισχύει και χωρίς την υπόθεση (ii). Πράγματι,επειδή οι συναρτήσεις f , g είναι συνεχείς στο [ α,β], θα υπάρχει αριθμόςc τέτοιος ώστε f ( x) c g ( x) c 0 , για κάθε x [ α,β]. Είναι φανερό ότι τοχωρίο Ω (Σχ. 20α) έχει το ίδιο εμβαδόν με το χωρίο Ω (Σχ. 20β).yy20y=f(x)+cΩy=f(x)Ωα Oβ xy=g(x)(α)Επομένως, σύμφωνα με τον τύπο (1), έχουμε:αy=g(x)+cO β x(β)Άρα,β [( f ( x) c) ( g(x) c)]dx ( f ( x)Ε ( Ω) Ε(Ω)g(x))dx .αβE ( Ω) ( f ( x) g(x))dxααβ Με τη βοήθεια του προηγούμενου τύπου μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόντου χωρίου Ω που περικλείεται από τονάξονα xx , τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησηςg, με g ( x) 0 για κάθε x [ α,β]y21και τις ευθείες x α και x β (Σχ. 21).αβ xOΠράγματι, επειδή ο άξονας x x είναι η γραφικήπαράσταση της συνάρτησης f ( x) 0 ,ΩέχουμεβE ( Ω) ( f ( x) g ( x))dxαβ [ g ( x)]dx g(x)dx .ααβy=g(x)Επομένως, αν για μια συνάρτηση g ισχύει g ( x) 0 για κάθε x [ α,β], τότεβE ( Ω) g(x)dxα


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 345Για παράδειγμα, το εμβαδόν του χωρίου Ω πουπερικλείεται από τη γραφική παράσταση τηςg( x) x 2 1 και τον άξονα x x (Σχ. 22) είναιίσο με122E ( Ω) ( x 1)dx (1 x ) dx1113 x 4 x . 3 311-1yOΩ-1122y=x 2 +1x Όταν η διαφορά f ( x) g(x)δενδιατηρεί σταθερό πρόσημο στο [ α, β] ,όπως στο Σχήμα 23, τότε το εμβαδόντου χωρίου Ω που περικλείεται απότις γραφικές παραστάσεις των f , gκαι τις ευθείες x α και x β είναιίσο με το άθροισμα των εμβαδών τωνχωρίων Ω , Ω και . Δηλαδή,12Ω 3yOΩ 1α γy=g(x) y=f(x)Ω 3Ω 2δ β23xΕ (Ω) (Ω ) Ε(Ω ) (Ω )Ε1 2Ε3 γα( f ( x) g(x))dx( g ( x) f ( x))dx ( f ( x) g(x))dx δγ | ( x) g(x)| dx | f ( x) g(x)| dx | f ( x) γαγδf g(x)| dxδβδβαβ| f ( x) g(x)| dxy24Επομένως,βE ( Ω) | f ( x) g(x)| dxα-2 -1Ο1 xΓια παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το εμβαδόντου χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές3παραστάσεις των συναρτήσεων f (x) x ,g( x) x και τις ευθείες x 2, x 1 . (Σχ. 24).Αρχικά βρίσκουμε τις ρίζες και το πρόσημο τηςδιαφοράς f ( x) g(x)στο διάστημα [ 2,1].Επειδήf ( x) g(x) x3 x x( x2 1) x(x 1)(x 1) ,έχουμε τον ακόλουθο πίνακα:y=xy=x 3


3463 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΛαμβάνοντας, τώρα, υπόψη τον παραπάνω πίνακα, έχουμεx 2 1 0 1f ( x) g(x) 0 + 0 0E Ω) | f ( x) g(x)| ( g(x) f ( x))dx ( f ( x) g(x))dx 1 21( ( g(x) f ( x))dx2 1 20133 x x ) dx ( x x)dx 03( ( x x ) dx110102 x 24x 4 124 x 42x 2 012 x 24x 4 1011 .4ΣΧΟΛΙΟΣύμφωνα με τα παραπάνω τοείναιίσο με το άθροισμα των εμβαδών τωνχωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξοναxx μείον το άθροισμα των εμβαδών τωνχωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξοναxx (Σχ. 25) βαf ( x)dxyΟa25+ + β xΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1. Nα βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικέςπαραστάσεις των συναρτήσεων f ( x) ημx, g( x) συνxκαι τις ευθείες x 0και x 2π .ΛΥΣΗΑρχικά βρίσκουμε τις ρίζες και τοπρόσημο της διαφοράς f ( x) g(x)στο διάστημα [ 0, 2π]. Στο διάστημααυτό έχουμεf ( x) g(x) ημx συνx εφx 1yΟπ/4y=ημxπy=συνx5π/42π26xπ x ή45πx 4Επομένως, για το πρόσημο της διαφοράςκόλουθο πίνακα:f ( x) g(x) ημx συνxέχουμε τον α-


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 347x 0π45π42 πf ( x) g(x) 0 + 0 Λαμβάνοντας, τώρα, υπόψη τον πίνακα αυτόν, έχουμε2πΕ(Ω) | f ( x) g(x)| dx0π / 4 ( ημx συνx)dx (ημx συνx)dx ( ημx05π/ 4π / 42π5π/ 4[ συνx ημx]ημπ / 45π/ 42π[συνx ημx]π / 4[συνx x]5π/ 40συνx)dx 2 12 2 12 4 2 .2. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράστασητης f ( x) lnx, τον άξονα των x και την εφαπτομένη της Cfστο σημείοA(e,1) .ΛΥΣΗστο ση-Η εξίσωση της εφαπτομένης τηςμείο A(e,1) είναιC fy27ε : y 1 f (e)(x e). (1)1Επειδή f ( x) (ln x) , έχουμεxΕπομένως, η (1) γράφεται:11y 1 ( x e) y x .ee1f ( e) .e1εΟ 1 e xy=lnxΤο ζητούμενο εμβαδόν Ε είναι ίσο με το εμβαδόντου τριγώνου μείον το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τητον άξοναxxκαι τις ευθείες x 1 καιE x e , δηλαδήe e ee x211 e1xdx ln xdx [ x ln x]1 x dx0e1 e2 0 1x21x e2 e0[x ln x]e1[x]e1e 2 .22 2 23. Να υπολογιστεί το εμβαδόν Ε του κυκλικού δίσκου x y ρ .C f


3483 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΛΥΣΗΤο ημικύκλιοσυνάρτησηςxC 1f ( x)αφού για y 0 είναιΑνE 12 y2είναι γραφική παράσταση τηςρ ρ22 x2, x [ ρ,ρ],2 2 y ρ x .είναι το εμβαδόν του ημικυκλίου, τότεE 2E1. Επειδή f ( x) 0 για κάθε x [ ρ,ρ],έχουμερE 1yρy ρ x(c 1 )282 2ρΟ x(c 2 )ρρΕ ρ2 x2 ρ1dx . (1)Επειδήώστεx π π ρ x ρ , έχουμε 1 1 . Επομένως, υπάρχει θ ρ , 2 2 τέτοιο,x ημθ. (1)ρ π π Έτσι, έχουμε x ρημθ, θ , 2 2 , οπότε dx ρσυνθdθ. Επιπλέον, για x ρππείναι θ και για x ρ είναι θ . Επομένως,22π / 2Ε 22 2 221ρ ρ ημ θ ρσυνθdθρ 1 ημ θ συνθdθπ/ 2π / 2π/ 2π / 2π/ 2π / 2π/ 2 ρ 2 συν2θσυνθdθ ρ2συν 2θdθ(Επειδή συνθ 0 )π / 2π / 2 συν2θημ22 2θθ πρ ρdθ ρπ / 22 2 4 π/ 2212.2Άρα Ε 2Ε πρ .12 2x yΜε τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι το εμβαδόν της έλλειψης 12 β2αίσο με παβ .είναι


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 349ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Nα υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφικήπαράσταση της συνάρτησης f ( x) x 2x 3 , τις ευθείες x 0 ,2x 2 και του άξονα των x.2. Nα υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφικήπαράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα των x και τις ευθείεςπου δίνονται κάθε φορά:i)3f ( x) x , 0 ,x x 27 ii)1f ( x) , x 0 ,2συν xπx .33. Nα υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφικήπαράσταση της συνάρτησης f ( x)x 3xκαι τον άξονα των x. 2 34. Nα υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικέςπαραστάσεις των συναρτήσεων f ( x) x και g( x) 2x x2.5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφικήπαράσταση της συνάρτησης2f ( x) 4 x και την ευθείαx y 2 0 .Β΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Έστω η συνάρτησηf ( x) 3x2i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C fστο σημείο τηςA(1, 3) .ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τηγραφική παράσταση της f, την εφαπτομένη της στο Α και τον άξονατων x.2. Nα υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφικήπαράσταση της f ( x) , τις ευθείες x 1,x 22x 3 , x 1 2 x , x 1και τον άξονα των x.


3503 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ3. Nα βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική2x 4x 3 , x 2παράσταση της συνάρτησης f ( x) και τον άξονα 2x 5 , x 2των x.4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικέςπαραστάσεις των συναρτήσεωνf ( x) x 1και1g ( x) x .35. i) Nα υπολογίσετε το εμβαδόν, E(λ) , του χωρίου που περικλείεταιeαπό τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( x) ,xg( x) ln x , τον άξονα των x και την ευθεία x λ , λ e .ii) Nα βρείτε το όριο lim Ε(λ).λyy=3 xy=x6. Nα υπολογίσετε το εμβαδόν τουγραμμοσκιασμένου χωρίου τουδιπλανού σχήματος.y=3Ο 13 xy7. Να υπολογίσετε το εμβαδόν τουγραμμοσκιασμένου χωρίου του διπλανούσχήματος.Ay=x 2 2x+2Ο 3 xy=x 2 1


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 3518. Δίνεται η συνάρτησηf ( x) ημxyi) Να βρείτε τις εξισώσειςτων εφαπτομένων τηςC στα σημεία O(0, 0)fκαι A(π, 0) .O(0,0)A(π,0)xii) Να βρείτε το εμβαδόντου χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f καιτις εφαπτόμενες στα σημεία Ο και Α.9. i) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τηγραφική πράσταση της συνάρτησηςστο σημείο (1,1) και τον άξονα των x.f ( x)x , την εφαπτόμενή τηςii) Να βρείτε την ευθείαισεμβαδικά χωρία.x α , η οποία χωρίζει το χωρίο αυτό σε δύο10. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικέςπαραστάσεις των συναρτήσεων1f ( x) ln x , g( x) lnxκαι τηνευθεία y ln 2 .11. i) Nα βρείτε συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεταιαπό το σημείο A (0, 2) και η κλίση της στο σημείο M ( x,f ( x))είναι 2x 3 .ii) Ποιο είναι το εμβαδόν του χωρίου που ορίζουν ητων x.12. Έστω η συνάρτηση f ( x) ( x 1)(x 3).C fκαι ο άξοναςi) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασηςτης f στα σημεία Α, Β που η Cfτέμνει τον άξονα των x.C fii) Αν Γ είναι το σημείο τομής των εφαπτομένων, να αποδείξετε ότι ηχωρίζει το τρίγωνο ΑΒΓ σε δύο χωρία που ο λόγος των εμβαδώντους είναι2 .1


3523 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣΓ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. i) Να χρησιμοποιήσετε την αντικατάσταση u π x για να αποδείξετεότι0ππxf ( ημx)dx π f (ημx)dx2 0ii) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα xημx dx .3 ημ 2 x0π1/ 22. i) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 1x ii) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 3. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα0π / 2π / 3ημ1du( u 1)(u 2)και στη συνέχεια τα ολοκληρώματα:συνxi) dx(ημx 1)(ημx 2)1t2ν14. Αν Iν dt , ν , 1t20ii)21dx1dx .x( ei) Να υπολογίσετε το άθροισμα I νΙ1, ν νii) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα , , I .xI0I12xedx .x 1)( e 2)5. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο , να αποδείξετε ότι( du .x x uf u)(x u)du f ( t)dt 0 0 06. Δίνεται η συνάρτηση x 2F( x)f ( t)dt , όπου f ( t) u 1du.11t


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 353i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f και F.ii) Να αποδείξετε ότι η F είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή.7. Δίνονται τα ολοκληρώματα2F( x)e συν tdt και x t 2G( x)e ημ tdt , x . x t0i) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματαF( x) G(x)και F( x) G(x)και στη συνέχεια τα ολοκληρώματα F (x) και G(x).ii) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματαI 2 ππt 2t 2e συν tdt και J e ημ tdt .8. Το χωρίο που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησηςf ( x) x1και την ευθεία y 5 χωρίζεται από την ευθείαy α 2 1, α 0 , σε δύο ισεμβαδικά χωρία. Να βρείτε την τιμή του α.9. i) Να βρεθεί το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από τηγραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x) 12x, τον άξονα των xκαι τις ευθείες x 1 , x λ , λ 0 .1ii) Να βρεθούν οι τιμές του λ έτσι, ώστε Ε ( λ) .2iii) Nα βρεθούν τα lim E(λ)και lim E(λ).λ 0λ10. Έστω f , g δύο συναρτήσεις συνεχείς στο [ α,β]. Να αποδείξετε ότι:i) Αν f ( x) g(x)για κάθε x [ α,β], τότε f ( x)dx g(x)dx .ii) Αν m η ελάχιστη και Μ η μέγιστη τιμή της f στο [ α,β], τότεβ02 πm ( β α) f ( x)dx M ( β α)α iii) Με τη βοήθεια της ανισότητας εφ x x για κάθε x 0,π , να 2 ημx αποδείξετε ότι η συνάρτηση f ( x) , x 0,π είναι γνησίωςx 2 φθίνουσα και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι:παβαβ


3543 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣα)3 3 ημx3ππ για κάθε x 2πx π , και 6 3 π / 33 ημx1β) dx .4 xπ / 62iv) Nα αποδείξετε ότι η συνάρτησηείναι γνησίως φθίνουσαστοe x 1 x[ 0, )για κάθε2f ( x) ex2και στη συνέχεια, με τη βοήθεια της ανισότηταςx , να αποδείξετε ότι:2 xα) 1x e 1 για κάθε x [0,1]και2 1β) e x dx 1 .3 0ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣΙ.Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α,αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναιψευδής δικαιολογώντας συγχρόνως την απάντησή σας.1. Ισχύει( f ( x) g(x))dx f ( x)dx g(x)dxΑ Ψ ββααα2. Ισχύει f ( x) g(x)dx f ( x)dx g(x)dxΑ Ψ3. Αν , τότε f ( x)dx 0 . Α Ψ4. Αν f ( x)dx 0 , τότε κατ’ ανάγκη θα είναι f ( x) 0 γιακάθε x [ , ] . Α Ψ5. Αν f ( x) 0 για κάθε x [ , ] , τότε f ( x)dx 0 . Α Ψβ


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 3556. Αν f ( x)dx 0 , τότε κατ’ ανάγκη θα είναιf (x) 0 για κάθε x [ , ] .ΑΨ44 27. ( x 1)dx ( x x 1)dx , για κάθε0 / 40 / 4 0 . Α Ψ28. ln(1 ημ x)dx 2 ln συνxdx. Α Ψ 9. f ( x)dx xf ( x) xf ( x)dx . Α Ψe10.ln xdx 1 1 1ln dt . Α Ψe t1011. Aν ( f ( x)1)dx 0 τότε f 1. Α Ψ12. Αν f ( x)dx 0 , τότε f ( ) 0 για κάποιο ( , ) . Α Ψ13. Αν f ( x)dx 0 και η f δεν είναι παντού μηδέν στο[ , ] , τότε η f παίρνει δυο, τουλάχιστον, ετερόσημεςτιμές. Α Ψ1 1314. Το ολοκλήρωμα ( x x)dx παριστάνει το εμβαδόν τουχωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση τηςσυνάρτησης f ( x) x3 x και τον άξονα των x.Α ΨΙΙ.Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση1. Αν f ( x) ημπxκαι f ( 0) 0 , τότε το f (1) ισούται μεΑ)11 22 , Β) , Γ) , Δ) .ππ ππ12. To ολοκλήρωμα dx 4 xστο ( 4, )είναι ίσο με


3563 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΑ) ln( 4 x) c , Β)Γ) ln( x 4) c , Δ) ln( 4 x) c , ln( x 4) c . 1 3. Το ολοκλήρωμα x dx x 2στο ( 0, )είναι ίσο με 1 3 x x 1 1 Α) c , Β) 2x 1 ,23 x x 33(1 ln x)x 1Γ) c , Δ) 2x c ,33 x3 1 x x Ε) 11 c .23 x 1 124. Το ολοκλήρωμα | x 1|dx είναι ίσο με4 42 5Α) , Β) 0, Γ) , Δ) , Ε) .3 33 35. Το ολοκλήρωμα ln xdx είναι ίσο με1Α) cx , Β) ln 2 x c2, Γ) x (ln x 1 ) ln 3 x, Δ) c .36. Έστω f , g δυο παραγωγίσιμες συναρτήσεις με συνεχείς παραγώγουςστο [ α, β] . Αν f ( x) g(x)για κάθε x [ α,β], τότε κατ’ ανάγκη θαισχύει:Α) f ( x) g(x), [ α,β]x , Β) ( x)dx α αβf g(x)dxβΓ) f ( x)dx g(x)dx , x [ α,β],αΔ) f ( x)dx g(x)dx .βαβy7. Το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένουχωρίου του διπλανούσχήματος είναι ίσο με-3 O5x


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 357 53 35Α) f ( x)dx , Β) f ( x)dx .050Γ) ( x)dx f ( x)dx , Δ) f ( x)dx f ( x)dx .3f 008. Aν f ( x) g(x)για κάθε x [1,1]και f ( 0) g(0) 2 , τότε για κάθεx [1,1] ισχύει:Α) f ( x) g(x) 2 , Β) ( f ( x) g(x))dx 4 .11Γ) f ( x) g(x), x [1,1]Δ) Οι C , C έχουν κοινό σημείο στο [1,1].fg359. Έστω η συνάρτησηF(x) x f ( t)dtόπου f η συνάρτηση του διπλανούσχήματος. Τότε η F (1) είναι ίση με1y2C fΑ) 0, Β) 1, Γ) 2, Δ) 21 .O 1 3 x10. Έστω η συνάρτηση f του διπλανούσχήματος. AνyE ( Ω1 ) 2 , Ε Ω ) 1 και Ε ( Ω 3) 3(2τότε το βαf ( x)dxείναι ίσο μεΑ) 6, Β) 4 , Γ) 4,Oαγ δΩ1Ω 2Ω 3βxΔ) 0, Ε) 2.011. Έστω η συνάρτηση F(x) x f ( t)dt ,όπου f η συνάρτηση του διπλανούσχήματος. Τότε2Α) F( x) x ,y2O1x2x,0 x 1Β) F(x) , 2, 1 x22x, 0 x 1x, 0 x 1Γ) F(x) , Δ) F(x) .2x,1 x2x1,1 xΙΙΙ.


3583 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ1. Ποιο από τα παρακάτω σχήματα αντιπροσωπεύει τη γραφική παράστασημιας λύσης της διαφορικής εξίσωσης xy y , με x, y 0 .yyyO xO xO x(Α) (Β) (Γ)yyO xO x(Δ)(Ε)2. Ποια από τα παρακάτω ολοκληρώματα είναι καλώς ορισμένα;1 1 πΑ) dx , Β)0 x 1 ημ/ 2xdx , Γ)0 π εφ xdx0 1 ln xdx 20 0Δ) , Ε)1 1x , Δ) dx .x 21 dx3. Να εντοπίσετε το λάθος στις παρακάτω πράξεις:1Άρα dx 1 x1 1 1dx ( x) dx x x1dxxx 1 x 1 xx21 1 dx . x, οπότε 0 1! 1 x dx x dx4. Να εντοπίσετε το λάθος στις παρακάτω πράξεις0 1


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 35911I dx 211x 111112u 1 2 udu ΄Αρα1 111u2du 11I . (Θέσαμε x οπότε dx )2uudu .I Iοπότε I 0 . Αυτό, όμως, είναι άτοπο, αφού11I dx 0 , 2 11x1επειδή 021 x5. Θεωρούμε τη συνάρτηση0F( x) x f ( t)dt ,για κάθε x [1,1].όπου f η συνάρτηση του διπλανούσχήματος. Να συμπληρώσετετα παρακάτω κενά.y42O234C f6xF(0) , F(2) ,F(3) , F(4) , F(6) .


3603 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑΑρχική συνάρτηση - Αόριστο ολοκλήρωμαΗ αυτονόητη σημασία των προβλημάτων που συνδέονται με τον υπολογισμόεμβαδών και οι ιδιαίτερες δυσκολίες που παρουσιάζουν, οδήγησαντους μαθηματικούς από την αρχαιότητα στην επινόηση γενικών μεθόδωνμέτρησης εμβαδών, ιδιαίτερα επιφανειών που περικλείονται από καμπύλες.Καθοριστική στο ζήτημα αυτό υπήρξε η συμβολή των αρχαίων Ελλήνωνκαι ιδιαίτερα του Αρχιμήδη. Οι ιδέες του Αρχιμήδη πάνω στο πρόβληματου εμβαδού υπήρξαν η αφετηρία της δημιουργίας του σύγχρονου ολοκληρωτικούλογισμού. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί ο τρόπος υπολογισμούτου εμβαδού μιας επιφάνειας που περικλείεται από ένα τμήμα παραβολήςκαι ένα ευθύγραμμο τμήμα (παραβολικό χωρίο).Έστω ένα παραβολικόχωρίο με βάση ΑΒ καικορυφή Ο (το σημείοτης παραβολής που έχειτη μέγιστη απόστασηαπό τη βάση). Ο Αρχιμήδης,O 3O 1O 4Oφέρνοντας τιςχορδές ΟΑ και ΟΒ, δημιουργείδυο νέα παραβολικάχωρία με βάσεις AAO και O 2BO ισχύει η σχέσηΟΑ, ΟΒ και κορυφές O 1,O 2αντίστοιχα. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας γεωμετρικές ιδιότητες τηςπαραβολής, αποδεικνύει ότι για τα εμβαδά των τριών τριγώνων OAB ,O 1(2OAB) 4[( O1 AO) ( O BO)]. (1)Συνεχίζοντας την ίδια διαδικασία στα νέα παραβολικά χωρία, βρίσκει ότικαι(1 3 1 4 1OO AO) 4[( O AO ) ( O O )](2)(2O2 BO) 4[( O5O2O) ( O6BO )](3)Με τον τρόπο αυτό, το εμβαδόν Ε του παραβολικού χωρίου μπορεί να προσεγγιστεί(“εξαντληθεί”) από ένα άθροισμα εμβαδών εγγεγραμμένων τριγώνωνως εξής:E OAB)[(O AO ) ( O O O)][(OAO ) ( O O )] (3 1 4 11 4 1O [( O5O2O) ( O6BO2)]


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 3611 1 1 ( OAB ) ( OAB) ( O1 AO) ( O2BO)4 4 41 1 ( OAB ) ( OAB) [( O1 AO) ( O2BO)]4 41 1 ( OAB ) ( OAB) ( OAB)4 4 2Όπως είναι φανερό, πρόκειται για το άθροισμα των (απείρων) όρων μιαςφθίνουσας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο το ( ) και λόγο1 . Το άθροισμα αυτό δίνεται σήμερα από το γνωστό τύπο4 ( ) 4 ( ) .1 1 314Το εμβαδόν λοιπόν του παραβολικού χωρίου είναι ίσο με τα 34 του εμβαδούτου τριγώνου που ορίζουν τα άκρα της βάσης και η κορυφή της παραβολής(*)Όπως στα προβλήματα ακροτάτων και εφαπτομένων έτσι και στο πρόβληματου εμβαδού, οι ιδέες των αρχαίων Ελλήνων γνώρισαν παραπέρα εξέλιξημετά την ανάπτυξη της Άλγεβρας και την εφαρμογή της σε γεωμετρικά προβλήματα.Στη διάρκεια του 17ου αιώνα διαπιστώθηκε ότι ο υπολογισμόςτων εμβαδών μπορεί να γίνει με μια διαδικασία αντίστροφη προς αυτήν τηςπαραγώγισης.Ορισμένο ολοκλήρωμα - Η έννοια του εμβαδούΧαρακτηριστικό παράδειγμα της νέας μεθόδου αντιμετώπισης προβλημάτωνυπολογισμού εμβαδών κατά τον 17ο αιώνα αποτελεί ο τρόπος με τονοποίο ο J. Wallis ανακάλυψε το 1655 μια νέα αναλυτική έκφραση για τοεμβαδόν του κύκλου και τον αριθμό π.(*) Η διατύπωση στο έργο του Αρχιμήδη “Τετραγωνισμός ορθογωνίου κώνου τομής” είναι: “παν τμάμα περιεχόμενονυπό ευθείας και ορθογωνίου κώνου τομάς επίτριτον εστι του τριγώνου του βάσιν έχοντος ταν αυτάν καιύψος ίσον τω τμάματι”. Ο Αρχιμήδης στην πραγματικότητα εργάστηκε λίγο διαφορετικά αποφεύγοντας τηνέννοια του απείρου, χρησιμοποίησε πεπερασμένο πλήθος όρων του παραπάνω αθροίσματος και έδειξε ότι τοζητούμενο εμβαδό ισούται με 4 ( ) αποκλείοντας (με απαγωγή σε άτοπο) τις περιπτώσεις να είναι μεγαλύτεροή μικρότερο από3αυτό.


3623 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΟ Wallis θεώρησε έναημικύκλιο διαμέτρουMΛ 2R , χώρισε τηνακτίνα του ΟΒ σε ίσαΔ ΖΗτμήματα μήκους α καιαπό κάθε σημείο διαίρεσηςύψωσε μια κάθετη(βλ. σχήμα). Όπως είναιγνωστό από την Ευκλείδειαγεωμετρία, κάθεαA R O Γ Ε Θ Bμια από αυτές τις κάθετεςείναι μέση ανάλογητων δύο τμημάτων στα οποία χωρίζει τη διάμετρο ΑΒ. Π.χ., για την κάθετηΓΔ, που είναι ύψος προς την υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου ΔΑΒ,ισχύει2 2 2( R )(R ) R 2 22 22 2δηλ. R . Όμοια προκύπτει R 4 , R 9κ.ο.κ. Αφού υπολόγισε με τον τρόπο αυτό όλες τις (πεπερασμένου πλήθους)κάθετες που “εξαντλούν” το τεταρτημόριο ΟΜΒ, ο Wallis πραγματοποίησεμια “μετάβαση στο άπειρο” με τον εξής συλλογισμό:“Ο λόγος του αθροίσματος όλων αυτών των καθέτων προς το άθροισμα τωνμεγίστων τιμών τους (δηλ. των ακτίνων) είναι ίδιος με το λόγο του τεταρτημορίου(το οποίο “εξαντλούν” αυτές οι κάθετες) προς το τετράγωνο μεπλευρά την ακτίνα (δηλ. το τετράγωνο ΟΜΛΒ, το οποίο “εξαντλούν” οι α-κτίνες-προεκτάσεις των καθέτων)”.Διατυπωμένο σε συμβολική γλώσσα, το συμπέρασμα αυτό του Wallis γίνεταιR2 02R2 α2RR R R 2 4α2τεταρτημόριο( ΟΜΒ)τετράγωνο( ΟΜΛΒ)1πR42R2π (1)4Αυτό το μίγμα Γεωμετρίας, Άλγεβρας και “πρωτόγονου” απειροστικού λογισμού,ισοδυναμεί ουσιαστικά με τη σύγχρονη σχέση102 1x dx .42 2Πράγματι, αν θεωρήσουμε R 1 (δηλ. το μοναδιαίο κύκλο x y 1 ) καιδιαιρέσουμε την ακτίνα (δηλ. το διάστημα [0,1] σε ν ίσα τμήματα μήκουςτο καθένα1 , τότε το πρώτο μέλος της προηγούμενης ισότητας (1) γίνεταιv


3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 3631 0 1 2 1 1 2 2 1 22 1 1 . Αυτό όμως όπως θα δούμε παρακάτω είναι το κατώτερο άθροισμα της συ-2νάρτησης f ( x) 1x (που προκύπτει από την εξίσωση του κύκλου), ωςπρος την προηγούμενη διαμέριση του διαστήματος [0,1] , και το όριό τουόταν , είναι το1021x dx . Η έννοια του ολοκληρώματος, όπως και οι άλλες θεμελιώδεις έννοιες τηςανάλυσης, έγιναν αντικείμενο συστηματικής κριτικής και ορίστηκαν μελογική αυστηρότητα στη διάρκεια του 19ου αιώνα. Η έννοια του ολοκληρώματοςπου χρησιμοποιούμε σήμερα στο σχολείο, στηρίζεται στον επόμενοορισμό του συμβόλου f ( x)dx που έδωσε ο Β. Riemann το 1854:“Θεωρούμε μια ακολουθία τιμών x1 , x2,...,x 1που βρίσκονται ανάμεσα σταα και β κατά σειρά μεγέθους και συμβολίζουμε χάριν συντομίας το x1 με1, το x2 x1με 2,...το x 1με και τα γνήσια θετικά κλάσματα με . Τότε η τιμή του αθροίσματοςiS f ( 11) 2f ( x1 22) 3f ( x2 33) f ( x1 )1 θα εξαρτάται από την εκλογή των διαστημάτων iκαι των ποσοτήτων i.Αν έχει την ιδιότητα, ανεξαρτήτως της εκλογής τωνiκαιi, να τείνειπρος ένα σταθερό όριο Α καθώς όλα τα iγίνονται απειροελάχιστα, τότε ητιμή αυτή ονομάζεται f ( x)dx . Αν δεν έχει αυτή την ιδιότητα, τότε το f ( x)dxδεν έχει κανένα νόημα”.


3643 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ


ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝA΄ ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ)1 ΠΙΝΑΚΕΣ –ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ§ 1.1 A΄ Ομάδας1. i) 3 7 ii) π.χ. το στοιχείο α12μας πληροφορεί ότι η ομάδα«ΝΙΚΗ» έχει 6 νίκες.01 2 32. 1 0 1 2A .21 0 132 1 03. .i) x 1,y 1ii) δεν υπάρχουν4. x e .5.πx ,45πx .42.614 . 2 2 3. x 7, y 8 , ω 8 .4. i)ii) 13511 413518133 ,141182 2 2 λ λ 2λiii) .2 2 23λ λ λ 6 218 5. i)4 2ii)1220 66 60§ 1.2 A΄ Ομάδας 11 11. i) ,181 31113 15 17ii) ,1113 15 17 1 1 1 111115 2iii) 0 0 0, 810 12iv) δεν ορίζονται.iii)iv) 3 16. i) Χ ii)3 17.8.1016 4 180 .132840106 1α 2 , β 1, γ 3 ,§ 1.2 B΄ Ομάδας 62. 431Χ .4 2 δ 1.10 0 v)0 1 0,00 12α12x2κ2β2y12λ2γ2ω2μ11 i) x 1, y 1ii) x 2 ,202. X ,0230Y . 0 3 y 0 .


366ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ9153. . 3 1 33429 414. .2430 37220198 154 66 5. i) 88 44 132 132 3180028620 22260 9540 ii) .127206360 19080 19080§ 1.3 A΄ Ομάδας1. i) [ 12],69046023000 6 3ii) , .0012 6iii) 3167 3215142 29 201013 3 2,911 41 4 13 17iv) , BA δεν ορίζεται.1817 811 00 2. i)1 0 1ii)0 0 2 20 2 11 iii)13 2. 2 4 60000003. Παρατηρήστε ότι οι αμοιβές στιςδύο εταιρείες είναι:60.50 75.40 και 30.50 60. 40αντιστοίχως4. Να αποδείξετε ότι AB I .1 2 35. A ,ο Β δεν αντιστρέφεται12Γ1 συνθ ημθημθ .συνθ ημασυνα6. i) -συναημαii) Πολλαπλασιάστε και τα 2-μέλητης εξίσωσης, από αριστερά, μετον αντίστροφο του πίνακα: ημασυνα 0Χ 1§ 1.3 B΄ Ομάδαςσυνα ,οπότε έχουμεημασυν2α . ημ2α3 2550 1. i) x 5 , y 0 ii) A ,501004A2. x 3 .125 250250 .50011113. και .01 0 14. Να γίνουν οι πράξεις.5. i) Ο πίνακας Α αντιστρέφεται διότι έχειορίζουσα διάφορη του μηδενός και112είναι A 2 3 1 ii) Aποδείξετε ότι A A 2I.6. i) πράξεις, ii) και iii), να χρησιμοποιήσετετην (i).21302230 7. i)3345 3600ii) 3345 δρχ. και 223047104925δρχ.


ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3678. i) Παρατηρήστε ότιν2ρνA Αν3ii) Β ( Β ) , ν 2ρκαι Βν 2ρ1 .9. i) Α( x)A(x) I ii) x 0 .10. i) Πράξεις ii) y xiii) Παρατηρήστε ότιM12 A(1).3 Αν 2 ρ Β Β ,M A(1) , οπότε11. i) A AA I , A ( Α ) μεii)ν 2ρ καιν 2ρ 1. 2Χ 1iii) 6Ι 5Α .11 1 1 112. i) A 12 11ii) α) X β)0141γ) X .1313. i) Πράξειςνν2ρ2ρΑ ( Α ) Α 1X 1ii) Nα γράψετε: 1992 3. 664§ 1.4 Α΄ Ομάδας1989 3.663 .11 1. Οι πίνακες των γραμμικών μετασχηματισμώνείναι οι 1 111 , και1112αντιστοίχως.Το σημείοA(1,0)1224μεαντιστοιχίζεται στα( 1, 1) , ( 1,1 ) και (1,2)αντιστοίχως.Όμοια: το B (0,1) στα ( 1,1), (1,2 ) και(2,4) .11122. i) ii) .23 1 13. Το O(0,0) αντιστοιχίζεται στο O(0,0) .ΤοA(3,4)στοA ( 10, 3) .Στη συνέχεια αποδείξετε ότι( OA) ( OA).02 3 14 i) ii) Aποδείξετε ότι01 2 1A Δ// ΒΓ και Α Β//ΔΓ . Στη συνέχειαδείξτε ότι η Α Δδεν είναικάθετη στην Α Β.5. i) Α ( 5, 5)ii) 5x 2y 1 .6. i) Στροφή περί την αρχή των αξόνων Οπκατά γωνία θ .6ii) Ομοιοθεσία με κέντρο την αρχή τωναξόνων Ο και λόγο λ 2 0.iii) Συμμετρία με άξονα την y x καιστη συνέχεια συμμετρία ως προς κέντροτην αρχή των αξόνων Ο.iv) Ομοιοθεσία με κέντρο ομοιθεσίαςτην αρχή των αξόνων Ο και λόγολ 2 0 και στη συνέχεια συμμετρίαως προς κέντρο την αρχή τωναξόνων Ο.v) Συμμετρία ως προς άξονα συμμετρίαςτην ευθεία y x και στη συνέχειασυμμετρία ως προς άξονα συμμετρίαςτον άξονα των x.vi) Συμμετρία ως προς κέντρο την αρχήτων αξόνων Ο, συμμετρία ως προςάξονα συμμετρίας τον άξονα x καιτέλος συμμετρία ως προς άξονα τηνευθεία y x .§ 1.4 B΄ Ομάδας1. i) Αρκεί να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένεςτης εικόνας του τυχαίουσημείου Μ του επιπέδου με το γραμμικόμετασχηματισμό Τ επαληθεύουντην y 2x.ii) ( 2y,y), y .


368ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝiii) ΤοA(1,1)δεν έχει πρότυπο διότι, ανείχε θα έπρεπε να επαληθεύει τηνy 2x .2. i) x x yy x , και υπολογίστε τις αποστάσεις(ΑΒ) και ( ΑΒ).ii) Να βρείτε την εικόνα του x1 x2y1 y2M , μέσου του ΑΒ 2 2 με το γραμμικό μετασχηματισμό Τ.iii) Χρησιμοποιείστε το γνωστό τύπο113. i) ,10 1E( OAB ) | det( OA,OB)| .2ii) Ομοίως.1y x .34. i) Υπολογίστε τις συντεταγμένες τουM x 0 , y) , συμμετρικού του( 0( 0M x 0 , y ) ως προς άξονα συμμετρίαςτην ευθείατων x 0 , y 0 .x10xii) .y00yiii)x0 y00x1yx1/2 1/ 2xiv) .y1/2 1/ 2yx5. i) Είναι x καιαy xσυναρτήσειyy , οπότε …βii) ( OA BΓ) 2( ΟΑΓ)|det( OA,OΓ)| .§ 1.5 – 1.6 Α΄ Ομάδας3. i) ( 3, 1,2)iii) ( 2 y,y,3,4),4. i) ( 1, 1,1)y . 2 1 1 1 ii) z , z , z , z . 3 3 3 3 iii) Αδύνατο.5. i) ( 1,1 z,z,0),x ii) ( 3 3z 3,2 z 2, z,),όπουiii) Αδύνατο.z, ω 6. i) (2,1/ 2) ii) Αδύνατο.§ 1.5 – 1.6 Β΄ Ομάδας1. ( , , ) (2,1, 1).22. y x 3x 2 .3. Nα λύσετε το σύστημα με αγνώστουςημ , συν , εφ . 54. ( x , y, ) 4, , ω . 2 5. 3 z 1/2X 2 z ω , z .6. i) Αν 1, 2 , αδύνατο. Αν 1 ή 2 , άπειρες λύσεις.ii) Αν 3 μια λύση την: 2 164 2 8 10 ,, . 3 3 3 Αν 3 και 10 , άπειρες λύσειςτης μορφής ( 2 ,4 2, ),ω .iii) Αν k 2, αδύνατο, ενώ ανμοναδική λύση την (0,1) .k 2ii) ( 3 3,4 2, ), ω


ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 369§ 1.7 Α΄ Ομάδας1. i) 3000 ii) 0 iii) 1iv) αβ( β α) v) 1vi) 0.2. i) x 1 ή x 1ii) x 1iii) x 0,1,23. i) x 2 , y 3iv) x , κ .2ii) x 1,y 1/ 2 , 3/ 2iii) x 0 , y 0 , z 0 iv) x 0 .4. i) 2 ή 1 ii) 1 ή 2 .§ 1. 7 Β΄ Ομάδας1. i) Αν κ 1 και κ 2, τότε έχει λύση κ 1 την 0 , , . κ 11κ Αν κ 1,είναι αδύνατο, ενώ ανκ 2 , έχει λύσεις τις ( 2 y , y,1),y .ii) Aν 1, τότε έχει λύση την2λ 4 λ 2λ 3 λ 2, ,. 3(λ 1)3( λ 1)λ 1Ανλ 1, έχει λύσεις τις 1 1 y, y, , y , ενώ αν 2 2 λ 1 , είναι αδύνατο.2. Αν λ 1,τότε έχει λύση την( 0,0,0) .Αν 1, έχει λύσεις τις ( 3, 2, ),ω , ενώ αν 1έχ ει λύσεις τις( 3 ,2, ), ω .3. i) Διέρχονται από το A ( 1, 1)ii) Σχηματίζουν τρίγωνοiii) 1 // 2και η 3 τέμνει αυτές στασημεία (1,2) (1/ 2,1/ 2)iv) 1 // 2// 3.4. i) Η ορίζουσα του συστήματος είναιίση με τη διακρίνουσα της εξίσωσης,οπότε …ii)Άπειρες λύσεις.5. Οι τρεις ισότητες σχηματίζουν ομογενέςσύστημα γραμμικό του τύπου 3 3 μεορίζουσα μηδέν, οπότε …6. i) Λύστε το σύστημα των δυο τελευταίωνεξισώσεων.ii)Λύστε το σύστημα2x y λ . x y λ7. i) 1 ή 1ii) Αν 1, έχει λύσεις της μορφής( 3y, y) , y , ενώ αν 1, έ-χει λύσεις της μορφής (y,y),y .Γ΄ ΟμάδαςΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ1oυ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ1. i) Πράξεις ii) A( x)A(x) A(0)iii) Επαγωγή2. i) Πράξεις ii) AB I3. i) Πράξειςii) Να γίνουν οι πράξεις:( αΙ βJ ) ( αΙ βJ)( αΙ βJ ) ( αI βJ)4. Να αποδείξετε ότιxσυν2φ y ημ2φημ2φ x . συν2φyΘέτουμε διαδοχικά όπου θ το 0,3π .4π π , ,2 4


370ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ5. i) Αρκεί να αποδείξετε ότι οι εικόνες4 7 2των σημείων Μ1( x1,y1)και M 2( x2,y )δ) 2 2 3iε) 1+i στ)2 i3 3ταυτίζονται μόνο όταν το M 1 συμπίπτειμε το M 2 .2 17. α) αδύνατο β) x , y 5 52 2 11 19. α) x y ή y y εκτός του O(0, 0)6. α) i β) -1 γ) 2i 42 21 xαβxii) T 1 : .1yγδ yγ) x , y 026. Η ορίζουσα του συστήματος είναι 8. α) 0 β) 2iD ( ) κ.τ.λ.9. α) 57iβ) 49iγ) 4i7. Η ορίζουσα του συστήματος είναιD ( συν ημ)(1 ημ)(1 συν).δ) 11 ε) i στ) 010. α) ως προς άξονα x x β) ως προς κέντρο8. Αν 1, οι ευθείες συμπίπτουν, ενώ ανO (0,0) γ) ως προς άξονα y y . 1, τότε 1 //2και η 3 τις τέμνει.9. Αν 1, τότε το σύστημα έχει μοναδικήλύση την ( 0,0,0) , ενώ αν 1, έχει11. z2 z1.12. α) y 3β) x x και y y γ) διχοτόμοιάπειρες λύσεις της μορφής (x,0,0) , μεx .δ) x 1.10. Το ομογενές σύστημα:1 3(3 λ)x αy 013. α) 1,2 β) 1 i 2 γ) i2 2 αx ( λ 1)y 0έχει και μη μηδενικές λύσεις, οπότε 14. β 12, γ 26.22D 2 3 0 .11. i) x 2 , y § 2.1 - 2.2 Β΄ Ομάδαςii) 1ή 2 .α β1. 0.γ δ2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ§ 2.1 - 2.2 Α΄ Ομάδας2. 23. 04. -2, 0, 231. α) 6 β) .21 35. α) 0, 1, i2 22. α) x 1, y 2β) –2 γ) x 15,β) 0, 1 , i .6. z x yi κτλ.y 27 .7. β αi i( α βi)κτλ.4. α) yyβ) xxγ) y x .8. α) z x yi κτλ. β) αρκεί να δείξετε ότι5. α) 3 4iβ) 36iγ) 0 δ) 2 23iu u,v vε) 318iστ) 25 ζ) 1 7i.


ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 371β)2 2 1x y ή x x εκτός του O(0,0)49. Αν z2 x 2 y2i, τότεx 2 22 2 y 1.2 25 3§ 2.3 Α΄ Ομάδας1. 2, 2 , 5, 5, 5, 4, 1, 8, 5,2. 2, 1, 1, 1.13. α) z β) 2γ)3310 .52 2224. α) x y 1β) x (y 1)122γ) ( x 1)(y 2) 9δ) Κυκλικό δακτύλιο2 2ε) Εκτός κύκλου x y 2.5. α) Στη μεσοκάθετο του τμήματος με άκραΑ(-1,0), Β(0,2).β) Στο ημιεπίπεδο που ορίζεται από τημεσοκάθετο του ΑΒ και το Β όπου Α(0,1)και Β(-1,0).6. Ο μοναδιαίος κύκλος7. 2i, 6i8. | w1 | 2.9. | z|2 zzκτλ.§ 2.3 Β΄ Ομάδας1. Αν z x yi , τότε Re( z) x , Im( z) yκτλ.2. w wκτλ.3. w w κτλ.4. w wκτλ.5. Αρκεί | w|16. | z|17. 48.1 15 15 60 y x , , 4 8 34 342110. α) | z | 1zz1β) z1z , 1z2z κτλ.§ 2.4 Α΄ Ομάδας π π 1. α) 2συνiημ 3 3 π π β) 2συν-iημ- 3 3 4π4πγ) 2συνiημ 3 3 2π2πδ) 2συνiημ 3 3 ε) 4συν0iημ0στ) 4συνπ iημπ.2. α) 12 2(1i)β) 10iγ) i5 5 33 13. α) i β) 6 i γ) i .2 24 484. α) 4 4 3iβ) 3 γ) 1.5. i .6.7.1i3.2ν νπ2 1 συν .68. Στροφή κατά γωνία9.10. 2 και3 13 1, .2 2 2 2π .22π 4π ή 2 και .3 312


372ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ§ 2.4 Β΄ Ομάδας1. α) 1 και νθ β) -12. Να γράψετε τους 1 i, 1 iσε τριγωνομετρικήμορφή.3. Να εργαστείτε με διανυσματικές ακτίνες.4. α) 3 y x 1 , x 032 2β) y x , y 02 22 1γ) x y , εκτός του O(0,0) . 2 41 2100 1055. α) 5 i β) i .29 296. Να εφαρμόσετε το θεώρημα του DeMoivre.7. α) | w | 2β) 2 i 2 .8.3 .39. Πρέπει 0.§ 2.5 Α΄ Ομάδας1. α) Κορυφές ισοπλεύρου τριγώνουβ) Κορυφές τετραγώνουγ) Κορυφές κανονικού εξαγώνου.3π3π2. α) i συνiημκτλ.2 2 4π 4π 2κπ 2κπ β) z 3 3κ2 συνiημ, 4 4 κ 0,1,2,3 5π 5π 2κπ 2κπ γ) z 6 6κ3 συνiημ 5 5 κ 0,1,2,3, 43. α)2(1i)π πσυνiημκτλ.2 4 41i3 5π5πβ) συνiημκτλ.2 3 3γ) 6464(συνπ iημπ)κτλ.3 224. α) z 3z 4z8( z 1)(z 4 z 8)0.β) Να θέσετε z 2 w , i , 2i .5. 2 i,6. 4237. Η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την:x 6 1 , x 1.8. Οι ρίζες είναι -3 και i 3 .§ 2.5 Β΄ Ομάδας π π 1. α) Είναι 1 i 2συν iημ 4 4 z β) Η εξίσωση γράφεται 1 3 1i z 1.2. Η εξίσωση γράφεται2 22( z 1)( z z 1)(z z 1)0κτλ.773. Έχουμε z 10z συνπ iημπκτλ.4. ι5. 1, i, -1, -i6. Να πάρετε τα μέτρα και των δύο μελώντης εξίσωσης.7. α) 2, 4, -4, β) p=4, q 16.2128. α) 2iεφθβ) x y 1συνθ2 29. Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα( x4 1)( x 5 1)0κτλ.


ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 373ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ22x y1. β) 1.22 1 1 α β 8. Να εξισώσετε το πραγματικό και το φανταστικόμέρος του αθροίσματος11 2z ν 1 z z ... 0 με το μηδέν.2 22. x y 1.3. α) y 3x7β) y 3x9 27 9 γ) A , 10 10 4. α) Τα εσωτερικά σημεία του κύκλου μεκέντρο 2 15K , 3 3 και ακτίνα ρ 3β) Τα σημεία της παραβολής y 2 4x.6. Να πάρετε τα μέτρα και των δύο μελώντης εξίσωσης.7. α) Οι τιμές του τριωνύμου είναι ομόσημεςτου αβ) Είναι γινόμενο δύο συζυγών παραστάσεων.Β΄ ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ)1 ΟΡΙΟ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ4. α) 200, 69cm β) 195,23 cm.2x 3 25. E(x) (20 x ) με16 36x (0,20) .§ 1.1 - 1.2 Α΄ Ομάδας 6. i) f ( A) {2,0}ii) f (A) 1. i) A {1,2} ii) A [1,2 ]iii) f ( A) [2, ) iv) f ( A) [0, ).iii) A [ 1,0) (0,1] iv) A (,0).2. i) x ( ,1) (3, )ii) x (1,1) iii) x 0 .3. i) x 0 ii) x 1.7. i) είναι ίσες στο [ 0, )ii) είναι ίσες στο*iii) είναι ίσες στο [ 0,1) (1, ).


374ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ8. Eίναι( f g)(x)112x,( f g)(x) ,x(1 x)x(1 x)22.500K(x) 8x2 , x 0 και τοxκόστος είναι 300 942 δρχ.1 x f 1x( fg)(x) , ( x)12 xg x2.2x , 0 x 13. Ε(x). 2x1,1 x 329. ( f g)(x) 2 x , ( f g)(x) ,xx2 1( fg)(x) ,xfg10. i) ( gof )( x)|x | , x x 1(x) . x 1ii) ( gof )( x)|συνx| , x iii) ( gof )( x) 1 , x .11. ( gof )( x) x 2 1,x ( ,1][1, )( fog )( x) x 1, x [ 2, ).12. i) Είναι σύνθεση των h(x) x 2 1καιg( x) ημx.ii) Είναι σύνθεση των h( x) 3x,g( x) ημxκαι φ( x) 2x 2 1.iii) Είναι σύνθεση των συναρτήσεωνh( x) 2x, g( x) e 1και ( x) ln x .iv) Είναι σύνθεση των συναρτήσεωνh( x) 3x, g( x) ημxκαι( x) x§ 1.1 - 1.2 Β΄ Ομάδας1. i)ii)2 x1,f ( x)x 2, 2x,f ( x)2x 4,.x0 x 11 x 20 x 11 x 21,x [0,1)[2,3)iii) f ( x).0,x [1,2)[3,4)2 4. E(x) 2x10x,0 x 5 ,p( x) 20 2x, 0 x 5 .x,x 15. i) f ( x)1,1 x 1 καιx,x 1ii)f ( ) [1, ).ημx,f ( x) 0,f ( A) [0,1] .6. i) f ( x) x 2 1ii)iii)7. 1.x [0,π]καιx ( π,2π]f ( x) 1f ( x) ημxή f ( x) ημx.8. α) πράξεις β) πράξεις.9. i) N ( t) 10 2( t 9 t 20)ii) 16 χρόνια.§ 1.3 Α΄ Ομάδας1. i) f γνησίως φθίνουσα στο (,1]ii) f γνησίως αύξουσα στο ( 2, ).iii) f γνησίως φθίνουσα στο .iv) f γνησίως φθίνουσα στο (,1].2. i) Είναι 11 καιx .ii) Δεν είναι 11 .iii) Δεν είναι 1 1 .x 1 x 2f ( x) ,3


ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3751iv) Είναι 1 1 και f ( x) 1x ,x 0 .1v) Είναι 1 1 και f ( x) 1e ,x .vi) Είναι 1 1 καιx 1.vii) Είναι 1 1 καιx (1,1) .viii) Δεν είναι 11 .11f ( x) ln ,x 1f131x( x) ln ,1x3. Οι συναρτήσεις f , και ψ αντιστρέφονται,ενώ η g δεν αντιστρέφεται.4. i), ii), iii) να εφαρμόσετε ιδιότητες τωνανισοτήτων.§ 1.4 Α΄ Ομάδας1. i) lim f ( x) 0 , f ( 3) 2x 3ii) lim f ( x) 2 , f ( 2) 4 .x2iii) Δεν υπάρχει όριο στα x 1 ,0 x0 2 , f ( 1) 1 , δεν ορίζεται η fστο 2.iv) Δεν υπάρχει όριο στα x 0 1x 0 2 ενώ lim f ( x) 2, f (1) 1 ,x3f ( 2) 2 και δεν ορίζεται στο 3.2. i) 1 ii) 1 iii) δεν υπάρχειiv) δεν υπάρχει.3. i) 4 και 2 ii) δεν υπάρχει.4. i) ψευδής ii) ψευδής iii) ψευδήςiv) Αληθής v) ψευδής vi) Αληθής.5. 3 ή 2.§ 1.5 Α΄ Ομάδας2011. i) 5 ii) 1 iii) 2 iv) 0 v) 2x,vi) 2 vii) 3 9 viii) 0.2. i) 43 ii) 1733. i) 8/3 ii)12iii) 6.iii) 214. i) 1/6 ii) 1/ 2 iii)5. i) δεν υπάρχει ii) 2.38iv) 27.iv) 121 .6. i) 3 ii) 1 iii) 2 iv) 0 v) 1vi) 4.7. i) 2 ii) 0 iii) 1 / 2 .8. i) 1 ii) 1.9. 4/ 3 και 2 .§ 1.5 Β΄ Ομάδας1. i) 7 /12 ii) 0 iii) 1 / 2 .2. i) δεν υπάρχει ii) 5 iii) 7 iv) 3.3. i) 0 ii) 1 iii) 1.4. i) 2 ii) 0.§ 1.6 Α΄ Ομάδας1. i) ii) iii) δεν υπάρχει.2. i) δεν υπάρχει ii) δεν υπάρχειiii) δεν υπάρχει.§ 1.6 Β΄ Ομάδας1. .2. i) Αποδείξτε ότιii)limεφx και limεφx .πx 2Ομoίως.πx 23. Για 2, lim f ( x) 3/ 2 .x1Για 0, lim g(x) 2 .x0


376ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ4. i) 0 ii) iii) .§ 1.7 Α΄ Ομάδας1. i) ii) iii) 0 iv) .v) 1/ 2 vi) 0 vii) 0 viii) 2.2. i) ii) iii) iv) .v) 0.3. i) 1 ii) 0 iii) 1 iv) 0v) 1vi) .§ 1.7 Β΄ Ομάδας1. i) Για 1, lim f ( x) ,x 1 , lim f ( x) ,x 1 , lim f ( x) 0 .xii) Για 1, lim f ( x) 2 ,x 0 , lim f ( x) και,lim f ( x) ,xμ ( ,0) (1, ).μ (0,1x )2. Για 1 lim f ( x) ,Ώστεx 1 lim f ( x) καιx 1 lim f ( x) 5/ 2.αν λ 1xlim f ( x) υπάρχει στο μόνοx3. 1 .4. i) 1 ii) 3 1 iii) .§ 1.8 Α΄ Ομάδας1. i) 1 και 3,5 ii) 1.2. i) συνεχής ii) συνεχής iii) συνεχής.3. i) Μη συνεχής στο 1 .ii) Μη συνεχής στο 2.iii) Μη συνεχής στο 1.iv) Συνεχής.4. i) Μη συνεχής στο 1 ii) συνεχής.5. Είναι όλες συνεχείς ως σύνθεση συνεχώνσυναρτήσεων.6. Για τη συνάρτηση f ( x) ημx x 1ναεφαρμόσετε το Θεώρημα του Bolzanoστο [ 0, ].7. i) 0 ii) α 1iii) α 1iv) 1.8. Να εφαρμόσετε διαδοχικά το Θεώρηματου Bolzano στα [ , ]και [ , ] .9. Εργαστείτε όπως στο σχόλιο του ΘεωρήματοςBolzano.10. i) [ 1,0] ii) ( 0,2)iii) [1,2 )iv) (1,2] .§ 1.8 B΄ Ομάδας1. 1 .2. ( 4, 1)ή ( 3, 8).3. i) f (0) lim f ( x) 0x 0ii) lim g(x) 1 , lim g(x) 1 , oπότεg(0)x0x 0x0lim g(x) 1.4. Εφαρμόσετε Θεώρημα Bolzano για τησυνάρτηση ( x) f ( x) g(x)στο[0,1] .5. α) Θεώρημα Bolzano για τη συνάρτησηf ( x) ( x 2)( xστο [1,2] .41) ( xβ)Όμοια για τη συνάρτησηxf ( x) e ( x 2) ( x 1)lnx .61)(x 1)6. i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωσηf ( x) g(x)στο ( 0, )έχει μιαακριβώς λύση.


ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 377ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωσηf ( x) g(x)στο ( 0, )έχει μιαακριβώς λύση.7. i) α) x 1 ή 1 β) Η συνάρτηση fστο (1,1)δεν μηδενίζεται και είναισυνεχής.γ)2f ( x) 1x x [1,1] ήf ( x) 1x x [1,1]2ii) α) x 0 β) η f στο (,0) συνεχήςκαι δεν μηδενίζεται. Ομοίως και στο( 0, )γ) f ( x) x ή f ( x) xήf (x) |x | ή f (x) | x | .8. i) OB: y x , : y x1.ii) Να αποδείξετε ότι οι εξισώσειςf ( x) x 0 και f ( x) x 1 0στο [0,1] έχουν κάποια λύση.220 0)9. i) d d( x) ( x x ) ( f ( x) y ,ii)x [ , ] .Να εφαρμόσετε το Θεώρημα μέγιστηςκαι ελάχιστης τιμής για την dστο [ , ].2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ§ 2.1 A΄ Ομάδας1. i) 0 ii) 2 iii) 02. i) 0 ii) Δεν παραγωγίζεταιiii) 1 iv) 13. g( 0) f (0) .4. i) Δεν είναι συνεχής στο 0 και άρα δενπαραγωγίζεταιii) Δεν παραγωγίζεται στο 1.5. Από την άσκηση 1i) y 1 ii) y 2x 3 iii) y 0 .Aπό την άσκηση 2i) y 0 ii) Δεν ορίζεταιiii) y x 1iv) y x 1.§ 2.1 Β΄ Ομάδας1. f ( 0) 1.2. f ( 1) 3 .3. f ( 0) 1 .4. f ( 0) 1/ 2 .5. Με κριτήριο παρεμβολής βρίσκουμε ότιf ( 0) 1 .6. lim f ( x) 0 , οπότεx0f ( 0) 0 και μεκριτήριο παρεμβολής βρίσκουμεf (0) 1 .7. i) lim f ( x) 0 , οπότε f ( 0) 0.x08. i) Είναιf ( x0 h) f ( x0)f ( x0 ( h)) f ( x0) h hκ.τ.λ.ii) Είναιf ( x0 h) f ( x0 h)hf ( x0 h) f ( x0) f ( x0 h) f ( x0),hκ.τ.λ.9. i) το Β. ii) το Γ.iii) t 2 , αλλάζει το A, t 4 το Β καιt 5 κανέναiv) το Β v) το Β vi) το Α.§ 2.2 Α΄ Ομάδας1. i) 4ii) 1 / 61iii) iv) 1/ e v) 2.22. i) Δεν παραγωγίζεται στο 1.


378ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝσυνx,x 0ii) f (x) . 1, x 0iii) Δεν παραγωγίζεται στο 2.iv) Δεν παραγωγίζεται στο 2/3.3. f ( x ) f (x x x άτοπο αφού1 2)1 x 231 x 1x , ενώ για την f (x) x υπάρχουντα ( x , ) , ( x , ) .1231 x 1 1, x ( 2,0) 2, x (0,2)4. f (x) 0, x (2,4) .4, x (4,6) 4/3, x (6,9)5. Ευθ. τμήμα με κλίση 2 για x [0,2] ,ευθύγραμμο τμήμα με κλίση 1 , γιαx [2,4] και ευθ. τμήμα με κλίση 1 γιαx [4,8] .§ 2.2 B΄ Ομάδας1. 1, .2. Η εξίσ. εφαπτ. της C f στο ( ,f ( ))είναι1 y x η οποία διέρχε-2 2ται από το ( ,0).33. ( 2, 8) και f ( 2) 4 f ().4. i) Είναι ( 2,0),ii) 2. 1 , . § 2.3 Α΄ Ομάδας6 31. i) f (x) 7x 4x 6ii)f ( x) 6x2 1x3 2 0 , και 3 2iii) f (x) x x x 1iv) f ( x) ημx 3συνx22. i) f (x) 3x 6x1.xii) f ( x) e (ημx συνx).4xiii) f ( x) .2 2(1 x )1ημx συνxiv) f ( x).2(1 συνx)v) f ( x) x(ημ2x xσυν2x)x1 e lnx x3. i) f ( x) .2(ln x)ii)iii)4συν2xf ( x) .2ημ 2xσυνx ημxf ( x).xe4( x 1)iv) f (x) .2 2( x 1)4. 4x 3, x 0i) f (x) 1 6 1x 0, x ενώ δεν παραγωγίζεται στο 0.ii)2x συνx,x 0f (x) . 1, x 05. i) ( 2, 4) και (2,4). 1 ii) 1 , . e iii) ( 1, 2) , (1,2 ) .6.4f (x) ,2( x 1)x {1 } και4g (x)2( x 1), x [ 0, ){1} .2


ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 379Οι συναρτήσεις f , gδεν είναι ίσεςαφού δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού. 1 7. f ( 1) g (1) 2 1. 2 8. 2 .9. i) ( 2,3) και (2,7).ii) 2 3 10,32 3 10 ,310. y 2x1 καιy 2x1.3 45 και9 3 45 .9 11. 1, 1 , 0 .24(x 1)12. i) f (x).7 3x (3x 4)ii)2f (x) , x ( 1, ).33 x 1 1 2xiii) f ( x) συν .22 21x (1 x )iv) (1 x )f ( x) .2x(1 x )xv) f (x) e ( 2x).13. i) f ( 2) 20 .ii)iii)5f ( 4) .6 1 1 6 3f . 6 12 48iv) f ( 3) 5 .ln14. i) f ( x) x 2ln x .x22x 15x3ii) f (x) 2 5ln 2 .iii)x1 f ( x) (ln x)ln(lnx) . ln x συνx2iv) f (x) e (συνx ημ x).15. f ( x) ημ2xκαιf ( x) 2συν2x, οπότε ισχύει η ισότητα.§ 2.3 B΄ Ομάδας1. Το κοινό σημείο είναι το (1,1) και ισχύειf ( 1) g(1) 1.2. Τα κοινά σημεία είναι (1,1) και( 2, 8) .Η y 3x 2 εφάπτεται στο (1,1) .3. 0 , 1.4. Η y x 1στο σημείο(1,0) .3εφάπτεται της5. f ( x) x 4x 9x 4 .2C g6. Έστω ότι υπάρχει το2f ( x) x x σε αδύνατο σύστημα.και καταλήγουμε7. i) Προσθέτουμε και αφαιρούμε στοναριθμητή την ποσότητα xf ( ).8.9. i)ii) Προσθέτουμε και αφαιρούμε στον α-ριθμητή την ποσότητα e x f (α). Ναλάβετε υπόψιν ότι τοx lime xείναι η παράγωγος της h(x) eα. 5 9 13 , , , .8 8 8 8 ex xστο2xf ( x) , x 0 και δεν παραγωγίζεταιστο 0. Η εξίσωση της3 42 xεφαπτομένης στο (0,0) είναι ηx 0 .


380ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝii)34xf ( x) , x 0 και3 83 xf ( 0) 0 . Η εξίσωση της εφαπτομένηςστ ο ( 0,0 ) είναι η y 0.10. Η εξίσωση της εφαπτομένης της στοA( 1, f (1)) είναι ηC gy x 1 που εφάπτεταιτης στο ( 0,g(0)).11. i) f ( 0) 1 .C fii) Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι ηy x 1 που σχηματίζει με τους άξονεςισοσκελές τρίγωνο.§ 2.4 A΄ Ομάδας1. E( 1) 48cm 2 /s2.V ( 1) 72cm 3 /s25 cm/s.813. x ( 20 220,20 220 ).4. i) x( t) 15t, y( t) 20t.ii)5. (2,1) .d( t) 25 km/h.§ 2.4 B΄ Ομάδας1. 425 cm 3 /s.2. ( 2ln5 2) cm2 /s.3. 0,75 m/s.4. 0,25 rad/min.5. 0,2 m/s.μονάδες μήκους6. 2 .μονάδα χρόνου7. i)ii)1 rad/sec.252,75 m/s.258. 3 3 m/s.§ 2.5 A΄ Ομάδας1. i) 1 ii) 6πiii) 2π2. i) 2 ii) 4πήπ2iv) δεν ισχύει.iii) ξ ( 3,1)και ξ 1.3. Έχουμε1 ln β lnαg(x0 ) καιx β α0 a x β οπότε 0§ 2.5 Β΄ Ομάδας01 1 1 .β x α1. i) Θ. Bolzano στα διαστήματα [1,0] και[0,1] .ii) Θ. Rolle στο , ] όπου x 1 , x οιρίζες της f στα διαστήματακαι (0,1) .2. i) Θ. Rolle στο [0,1] .[ x1 x22ii) εφx 1x f (x) 0ρίζα στο (0,1) .0( 1, 0)που έχει3. i) Υποθέτουμε ότι η εξίσωσηf ( x) x 0 έχει 2 ρίζες x 1 , x 2 καιεφαρμόζουμε Θ. Rolle για τη συνάρτησηg( x) f ( x) x , x x 1 , x ] .[ 2ii) Εφαρμογή του ερωτήματος i) μεxf ( x) ημ .2x 124. i) (|x | 1) 0 .21x 2ii) Θ.Μ.Τ. στο [ α,β].5. Θ.Μ.Τ. στο [0,4] .


ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3816. Δείξτε ότι f ( 0) 0 και f ( 0) 0.1 2 ρ37. Υποθέτουμε ότι έχουν τρία κοινά σημείαμε τετμημένες ρ ρ και εφαρμόζουμεΘ. Rolle για τηνφ( x) f ( x) g(x) στα διαστήματαρ , ] , ρ , ρ 3 ] .[ 1 ρ2[ 2§ 2.6 A΄ Ομάδας1. φ( x) 0 ,x , οπότε φ( x) c .2. i) Γνησίως αύξουσα στο .ii) Γνησίως αύξουσα στα διαστήματα( , 1], [ 2, )και γνησίως φθίνουσαστο διάστημα [1,2] .iii) Γνησίως αύξουσα στo [ 1,1]καιγνησίως φθίνουσα στα διαστήματα( , 1]και [ 1, ).4 i) Γνησίως αύξουσα στο διάστημα(,1] και γνησίως φθίνουσα στο[ 1, ).ii) Γνησίως αύξουσα στο(0,1]γνησίως φθίνουσα στο [1,).iii) Γνησίως αύξουσα στοκαι 0,π , γνη- 2 π σίως φθίνουσα στο ,π και σταθερήμε τιμή μηδέν στο [ π,2π] 2 .45. i) f (x) 5( x 1) 0 και1g ( x) 1 0 , x ( 0, ).xii) Η f έχει σύνολο τιμών το , ενώ η gτο διάστημα ( 3,).iii) Το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών τωνσυναρτήσεων και είναι γνησίως αύξουσες.x 16. i) f ( x) e 0 .1xii)f ( 0) 0 και η f γνησίως αύξουσα.§ 2.6 Β΄ Ομάδας1. Με εφαρμογή του κριτηρίου παρεμβολήςβρίσκουμε ότι f ( x 0 ) 0 , x .2. i)2f (x) 3( x 1) 0 για κάθεx (1,1) .ii) [ α 2, α 2]iii) Το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών της fκαι είναι γνησίως φθίνουσα στο( 1,1) .3. i) t 1 ή t 4 .ii) Αριστερά ότανότανt (4,5) .0t (0,4)και δεξιάiii) Επιταχυνόμενη στα διαστήματα[0,1] και [3,5] και επιβραδυνόμενηστο (1,3).100t4. V ( t) 03( t 2)lim V ( t) 25 και το σύνολο τιμών τηςtV είναι το (25, 50] .2( x 3)5. i) f ( x) 0 για κάθε2 2( x 1)x {1,1} .2ii) Όταν x ανήκει σε καθένα των διαστημάτων( , 1), ( 1,1) , ( 1, )6. α 3 .η f παίρνει τιμές στο και επειδή ηεξίσωση γράφεται ισοδύναμαf ( x) α με α , έχει 3 ρίζες. 7. i) f ( x) xημx 0 , x 0,π . 2 ii) Ισχύει f ( x) f (0),x 0,π 2 αφού f γνησίως αύξουσα στο 0,π . 2 συνx x ημxiii) f ( x) 02xλόγω του ερωτήματος ii).


382ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ(συνx1)(2συνx1)8. i) f ( x) 02συν x22 7. Είναι E(x) x40x, x (0,40) καιμέγιστο το E (20) 400 .για x 0,π . 2 8.4 mgr.3ii) Επειδήf ( 0) 0 και η f είναι γνησίωςαύξουσα στοf ( x) f (0) .§ 2.7 Α΄ Ομάδας 0,π , ισχύει 2 1. Στο x 1 τοπικό μέγιστο και στο x 3τοπικό ελάχιστο .2. α) i) Γνησίως αύξουσα στο .ii) Τοπικό μέγιστο το g( 1) 4 καιτοπικό ελάχιστο το g (1) 0.iii) Tοπικό μέγιστο το h( 0) 1καιτοπικό ελάχιστο το h (1) 2.β) i) Μια ρίζα στο ως συνεχής καιγνησίως αύξουσα.ii) Μια ρίζα στο ( ,1], μια στο[ 1,1] και μια στο [ 1, ).iii) Μια ρίζα στο [ 1, ).3. i) Το f ( 0) 0 τοπικό ελάχιστο, τοf (1) 1 τοπικό μέγιστο.ii) Eλάχιστο το g( 2) 1.4. i) Ελάχιστο το f ( 0) 1.1e 1 1 ii) Ελάχιστο το f . e e 5. 1 ,f (1)f ( 1) α β 0 31., τοπικό μέγιστο τοκαι τοπικό ελάχιστο 400 6. Είναι p( x) 2x , x 0 και x ελάχιστο το p( 20) 80 .229. i) ( EZ) 2x 4x 4 . ii) 1.10. 30 μονάδες.§ 2.7 Β΄ Ομάδας 1. i) Γνησίως αύξουσα στο 0,π και 3 π γνησίως φθίνουσα στο ,π . 3 π ii) Μια ακριβώς ρίζα στο ,π . 3 2. i) H f είναι γνησίως αύξουσα στο( 0, ) .ii) Γνησίως φθίνουσα στο[1,) . Ελά-γνησίως αύξουσα στοχιστο το φ ( 1) 0.iii) Κοινό σημείο(1,0) , κοινή εφαπτομένητηνy x 1.(0, 1]και3. i) α) Η f ( x) e x 1 είναι γνησίωςαύξουσα στο [0,) οπότεf ( x) f (0) .xx 1 2β) Η g( x) e 1x x είναι2γνησίως αύξουσα στο [ 0, ).1 2ii) α) Αν f ( x) συνx1x , τότε2f ( x) συνx1οπότε η f γνησίως αύξουσα στο .Άρα f ( x) f (0), οπότε και fγνησίως αύξουσα στο .β) Με τη βοήθεια του ερωτήματοςα) βρίσκουμε ότι η1 3g( x) ημx x x , x 6


ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 383iii) α) Ανείναι γνησίως αύξουσα στο[ 0, ).f ( x) ( 1 x)ν 1 νx , x 0τότενf ( x) ν[(1 x)1 1] 0 .β) Με τη βοήθεια του ερωτήματοςα) βρίσκουμε ότι η συνάρτησην ν(ν 1)2g(x) (1 x)1νx x2είναι γνησίως αύξουσα στο [ 0, ) .4. Η f (x) 0 είναι αδύνατη στο .5. Θεωρούμε την h( x) f ( x) g(x),οπότε f ( ξ) g(ξ)με ξ x 1 , x ) .( 26. Είναι f ( α) f ( β) f (γ) 0 και Θ.Rolle στα διαστήματα [ α,β] και [ β,γ].47. ii) x (9 4 3) 0, 75 m.112 9 8. i) ( MA) x x και M (4,2) . 2 9.ii) λ εφ λ 1. ΑΜ200 και 100.π10. Οι εισπράξεις είναιΕ( x) x(150.000 500x).E ( x) 0 , οπότε x 150 .11. i) t 200 s ii) t 55, 6 s.12. i)AB ΓΔE ΗΒ , όπου ΗΒ ύψος2τραπεζίου. Είναι ΗΒ 2ημθκαιΗΓ 2συνθ.ii)πθ .313. ii) 7,5.14. Η πυκνότητα του καπνού είναιr r 1 r 22p 8 p k k , k .22x (12 x)Σε 4 km από το εργοστάσιο Ε 1 .§ 2.8 Α΄ Ομάδας1. i) Κοίλη στο (,1], κυρτή στο[ 1, ) και το (1,0) σημείο καμπής.ii) Κοίλη στα ( , 2], (0,2] , κυρτήστα [ 2,0) και [ 2, ) , ενώ τα σημείακαμπής είναι 2 , και 5 4 5 2 , . 4 2. i) Κοίλη στο (,2] , κυρτή στο 2 [2, ) , ενώ το 2 , είναι σημείο e καμπής.. ii) Κοίλη στο ( 0, e], κυρτή στο [ e,),( e,3e) είναι σημείο κα-ενώ τομπής.. iii) Κοίλη στο (,0]2, [ 1, ), κυρτήστο [0,1], και τα (0,1) , (1,3 ) σημείακαμπής. 3. i) Kυρτή στα 2 , , 2 κοίλη στο 2 , 2 222 ,,2 και τα 2 1 / 2, e , 2 2 1/2, e σημεία2καμπής. π ii) Kοίλη στο , 0 και κυρτή στο 2 0,π , ενώ το (0,0) είναι σημείο 2 καμπής.iii) Κοίλη στο (,0], κυρτή στο[ 0, ) και το (0,0) σημείο καμπής.


384ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝiv) Κοίλη στο (,0], κυρτή στο[ 0, )και το (0,0) είναι σημείοκαμπής.v) Kυρτή στο (,0] , κοίλη στο[ 0, )και το (0,0) σημείο καμπής.4. - γνησίως αύξουσα στα [ 1,1] , [4,8].- γνησίως φθίνουσα στα [ 1,4] , [8,10]. - κοίλη στα [ 0,2] , [ 5,6]και [7,10].- κυρτή στα [ 1,0] , [ 2,5]και [6,7].- Τα 1 , 4, 10 είναι θέσεις τοπικώνελαχίστων. - Τα0, 2, 5, 6, 7καμπής.είναι θέσεις σημείων5. i) Όταν t [ 0, t2]κινείται αριστερά καιόταν t [ t 2 , )δεξιά.ii) Επιταχυνόμενη όταν t [ t 1 , t3]καιεπιβραδυνόμενη όταν το t ανήκει σταδιαστήματα 0, t ] και [ t 3 , t].§ 2.8 Β΄ Ομάδας1.[ 1 3A 3, , B(0,0) και 4 3Γ 3, . Τα A, Γ έχουν αντίθετες 4συντεταγμένες.2. ( α,2 α ) .23. f ( x) 0 για κάθε x .4. i) Tοπικό μέγιστο το f ( 0) 2 , τοπικόελάχιστο το f (2) 2 και σημείοκαμπής το (1,0) .ii) λ ΑΒ λ 2 .ΑΓ5. H f δεν μηδενίζεται στο [2,2] .§ 2.9 Α΄ Ομάδας1. i) x 2 . ii)πx ,2iii) δεν υπάρχουν iv) x 0 .2. i) y 1 . ii) y 0 στο .3. i) y x , x 1.ii) y x 2 , x 2 .iii)1y x στο και21y x στο .24. i) 1. ii) 21 . iii) 0.§ 2.9 B΄ Ομάδας1. i) lim ( f ( x) ( x1)) 0 ,xlim ( f ( x) ( x 1)) 0 .xπx .2 - Τα 1,8 είναι θέσεις τοπικών μεγίστων.ii) H f είναι κυρτή στο και άραβρίσκεται πάνω από την ε 1 κοντάστο και πάνω από την κοντάστο .2. i) y 0 . ii) y 0 .3. α 1 , β 1.4. Χρησιμοποιείστε τους κανόνεςde L’ Hospital.5. Χρησιμοποιείστε τους κανόνεςde L’ Hospital.6. i) 1, 0. iii) x 0 .§ 2.10 Α΄ Ομάδας21. i) Είναι f (x) 3( x 2x 3) ,f ( x) 6x 6 και να κάνετε τονπίνακα μεταβολών της f.ε 2


ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3852ii) f (x) ,2( x 1)4f (x) , ασύμπτωτες3( x 1)y 1 , x 1 και να κάνετε τον πίνακαμεταβολών της f.2 x 122. i) f ( x) , f (x) , ασύμπτωτεςx 0 και y x και να κά-3xxνετε τον πίνακα μεταβολών της f.ii) Ομοίως.3. f ( x) 1συνx, f ( x) ημxκαι νακάνετε τον πίνακα μεταβολών της f στο[ π,π].Γ΄ ΟμάδαςΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ2oυ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ1. i) f ( 1) g(1).ii) Να πάρετε τη διαφοράφ( x) g(x) f ( x)και να εξετάσετετο πρόσημό της.2. Να πάρετε τη συνάρτησηφ( x) f ( x) g(x).3. E( θ) συν2θ συνθ. Μέγιστο το π 3 33 Ε .41 24. Το εμβαδόν του τομέα είναι Ε r θ25. iii)2ή Ε( r) 10r r . Μέγιστο τοE(5) 25 .πθ και το μήκος της σκάλας4είναι 2 2 2, 8 m.1ln x2ln x 36. i) f ( x) , f (x)23xxκαι να κάνετε τον πίνακα μεταβολώντης f.ii) H f είναι γνησίως φθίνουσα στο[ e , ), οπότεα1f ( α) f ( α 1) α ( α 1)iii) Nα λογαριθμήσετε την ισότηταx 22 x . Η f είναι γνησίως αύξουσαστο ( , e], οπότε παίρνει τηντιμή x 2 μια φορά. Ομοίως στο[ e , )παίρνει την τιμή x 4 μιαφορά.7. i) Να πάρετε τη συνάρτησηxxf ( x) α β και να εφαρμόσετετο θεώρημα του Fermat.ii) Να πάρετε τη συνάρτησηxf ( x) α x 1και να εφαρμόσετετο Θ. Fermat.x8. i) f ( x) e 0 , g ( x) 1 0 .2xii) y x 1και y x 1.iii) η f είναι κυρτή, ενώ η g είναι κοίλη.iv) Να πάρετε τη διαφοράf ( x) g(x).9. i) λ( 1 ln λ). ii) λ eiii)Θεωρείστε τη διαφοράπου είναι η f (x) .αg(x) λx1*10. i) f ( 0) 0 ii) x , κ .κπiii) lim ( f ( x) x) 0xlim ( f ( x) x) 0 .xκαι11. Α. i) ψ ( x) 0 , x , οπότε ψ(x) cii) φ ( x) 0 και φ( x) 0 , x .Β. ii) Να λάβετε υπόψιν το ερώτημα Α.


386ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ12. i) det( PM , PN) 0 .7. 352 χιλ.ii) Να εφαρμόσετε τους κανόνεςde L’ Hospital.13. A. i)Αν ΟΔ το ύψος του τριγώνου ΟΠΑ,θ lτότε ημ 2 4ii) S υt , οπότεB. l ( t) 4συνt.S 4tα) 2 km/h β) 0 km/h γ) 2 km/h.14. Συνολικό κόστος300.000K ( x) 180.000 3000( x 1).xΠρέπει να προσλάβει 10 εργάτες.3 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣΛΟΓΙΣΜΟΣ§ 3.1 A΄ Ομάδας4x1. i) συνx ημx c42xii) x ln | x | c26 5 / 2iii) x c53x 2iv) x 4x c3v) e x 1 3 ln | x | ημ2x c2vi) εφ x σφx cvii) x ln | x 2 | c .2. f ( x) 2 x 5 .3 23. f ( x) x 3x 4 .24.f ( x) x x 3x 2.5. 19 εκατ.42§ 3.1 Β΄ Ομάδας1. kt T ( t) e T2. 997.600 δρχ.3. 814.400 δρχ.4. f ( x) g(x) c 1 κ.τ.λ.§ 3.2 Α΄ Ομάδας1. i) x 2x 2) cii)iii)iv)v)vi)vii)viii)ix)e x ( 21 2e x 240(6x 10x 7) c1 4 xx ln x c4 1624( x1/2)συν2x xημ2x c2 xημ2x συν2xlnx x cln x 1 cx x1512e xe x12 . i) συν3x c3ii)iii)iv)1(432x c(συν2x 2ημ2x) c(ημx συνx) c .24x 16x 7)126( x 6x)2(233 c x 3 2) 1 / c c2 3 / 2v) ( x 1) (3x 2) c .156.3x 5xK ( x) 100.3 223. i) συνe x cii) ln(e x 1)c


ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 387iii)iv)2ln x cln(ln(e x 1)) c1v) συν cx .§ 3.2 B΄ Ομάδας1. i) ln(1 συν x) cii)21 [ln(συνx)]2iii) e ημx c .23 / 2 c2 3x 2. i) 1 c39 x ii)x21 c1 22iii) ( x 1)[ln(x1)1] c .2ii)iii)1 1x ημ2x c2 41 1x ημ4x c .8 21 16. i) συνx συν3x c2 6ii)iii)1ημ2x41ημ2x4116112ημ8x cημ6x c .7. i) ln | x 3x 2 | cii)xiii)2iv)2 5ln | x 1 | 8ln | x 2 | c2 3x ln | x 1 | 4ln | x 2 | c .1ln2x 1 c .x 13x 2 23. i) (ln x ) c3 3ii) t(lnt)2 2tlnt 2t c§ 3.3 Α΄ Ομάδας1. i) y212x cii)y2 x2 ciii)xxe ημ e συνe c .4. i) ln | συνx | cii)xκαιxεφx ln | συνx | c 1cημx 1 σφ x cημxiii)συν 3 x συνx c3ημ xημx c . 31 15. i) x ημ2x c2 43καικαι2xiii) y ce iv) y ln( ημx c).3 2x2. i) y ce ii)x 2xy e ce2xiii) y 2x ce 2iv) xy ce2 1/ 2 .33. y 2 x2 124. y .345. i) y 1εφxexlnx x 21ii) y .x 1


388ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ§ 3.3 B΄ Ομάδας1.11 tI ( t) (ημt συνt) e .222. y 2 2x .3. y x cx . 22x4. y e2. 1 c5. y( t) .tt e et6. t) T ( T ) e .( 02. Eφαρμόζουμε ιδιότητες.4. 15. i) ημx |ημx|συν xii) 2x6. i)1x 2 1ii) χρησιμοποιείστε το (i).§ 3.5 B΄ Ομάδας1. 10.7. ii)m m κtP( t) p0 e, 0.κ κ dV8. i) 100 πydtii) 5 y ( t) t 6 100 iii) t 120 5t t19. E(t)E eRc0 .sec.c10. i) α) I ( t) 5 , β) 53teii)5c( ) .4eI t (ημ3tσυν3t)3t§ 3.4 A΄ Ομάδας1. i) 11ii) 4 iii) 2iv) 15.12. ln ln1lnt.t3. 4 .4. i) 22 ii) 12§ 3.5 A΄ Ομάδας1. i) 6 ii)23 iii) 1 iv)e22. f ( x) 0 .3. Τοπ. ελάχιστο το f ( 2) 0 .x04. f ( t)dt xf ( x).5. F ( x) 0 , x ( 0, ).6. De l’ Hospital.7. i) 4 2 2 3 ii) συν1 .8. i) 35ii)9. i) 4 ii)10.29 . 3.622 iii)2e 2e11 .69 1iii) 5ln10 ln9 ,iv) 1 / ( e 2 1).2 2 522 1 1, , ,8 2 16 411. f ( 0) 1 .12. κατά παράγοντες.§ 3.6 Α΄ Ομάδας1. f 1 . .221614.


ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 389§ 3.6 B΄ Ομάδας1 3 69. α) τ.μ. β) x .3 31.2. α)2 f ,32PR6nl2β)1g .2PRυ μεγ .4nl10.13ln 2 .2211. i) f ( x) x 3x 2 ii)1 τ.μ.6§ 3.7 Α΄ Ομάδας1.14 τ.μ..312. i) y 2x 2 , y 2x 6ii)E 41 3, E 22 3.2. i)3.4.5.3 5 τ.μ. ii) 3 τ.μ.49 τ.μ.237 τ.μ.12125 τ.μ.6§ 3.7 B΄ Ομάδας1. y 6x 3 ,82. 4 2 τ.μ.33.4.3 τ.μ.41 τ.μ.61E τ.μ.45. i) 1e (ln1)ii) .6.7.2 3 τ.μ.ln3 27 τ.μ.48. i) y x , y x ii) 2 .42Γ΄ ΟμάδαςΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ3oυ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ1. ii) ln3.42. i) ln 3 ii) ln 3 .3. ln | u 1 | ln | u 2 | ci) ln | ημx 1 | ln | ημx 2 | cxii) ln( e 1) ln( e 2) c .14. i)2 21 1ii) ln 2 , (1 ln 2),2 2x1 1ln 2 .2 45. Τα μέλη της ισότητας έχουν ίσεςπαραγώγους.6. i) D [ 1, )D [ 1, ).f7. i) F ( x) G(x) e x 1,xe1F( x) G(x) (συν2x 2ημ2x)553ii) ( e 2I e 1), J e ( e 1).55F8. 3 4 .


390ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ9. i) 0 1, ( ) 1 1, 1 1, ( ) 1.ii) 2 iii) και 1.10. i) ( f ( x) g(x))dx 0 .

More magazines by this user
Similar magazines