ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου - eBooks4Greeks.gr

1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 3111— Αν X A B , τότε AX AA B , οπότε AX B .Ομοίως αποδεικνύεται και η (ii).ΣΧΟΛΙΟΓνωρίζουμε ότι για τον πολλαπλασιασμό των πραγματικών αριθμών ισχύει επιπλέονκαι η ιδιότητα: “αν α β 0 , τότε α 0 ή β 0 ”. Η ιδιότητα, όμως, αυτήδεν ισχύει για τον πολλαπλασιασμό των πινάκων, αφού π.χ. για τους πίνακες10 0 010 0 000A και B ισχύει11 χωρίς, ωστόσο,10 AB 11 10 00να είναι A O ή B O . Δηλαδή:“Μπορεί ένα γινόμενο πινάκων να ισούται με το μηδενικό πίνακα, χωρίς κανέναςνα είναι μηδενικός”.Στην περίπτωση όμως που ισχύει AB και ο ένας από τους πίνακες είναι α-ντιστρέψιμος, τότε ο άλλος είναι μηδενικός. Πράγματι, αν ο Α είναι αντιστρέψιμος,τότε έχουμε διαδοχικά:AB Aντίστροφος ενός2 2AπίνακαAB A1 1IB B .αβΈστω A ένας 2 2 πίνακας. Θα εξετάσουμε πότε αυτός αντιστρέφεται γ δκαι θα βρούμε τον αντίστροφό του.xyΓια να αντιστρέφεται ο Α, πρέπει και αρκεί να υπάρχει πίνακας X τέτοιος,ώστε να ισχύει AX I ή,zωισοδύναμα,αγβδxzy1 ω 001αx βz γx δzαy βω1 γy δω 001αx βz 1γx δz 0αy βω 0(Σ 1) και (Σ 2) γy δω 1Αρκεί, επομένως, τα συστήματα (Σ 1 ) και (Σ 2 ) να έχουν λύση. Τα συστήματααυτά έχουν