Matematické pozadí MKP v řešení inženýrských úloh

Vysoká škola báňská – Technická univerzita OstravaZápadočeská univerzita v PlzniMATEMATICKÉ POZADÍ MKP V ŘEŠENÍINŽENÝRSKÝCH ÚLOHObsahJan SZWEDA,Zdeněk PORUBA,Roman SIKORA,Ondřej FRANTIŠEK1. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Obsah2. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮Szweda J., Poruba Z., Sikora R., František O.Matematické pozadí MKP v řešení inženýrských úloh◭◮Zavřít dokumentc○ Szweda Jan, Poruba Zdeněk, Sikora Roman, František Ondřej, 2012ISBNKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

PředmluvaPři řešení inženýrských úloh jsou velmi často zmiňovány a rovněž užívány postupy založenéna metodě konečných prvků. Principy metody konečných prvků byly popsány inženýrya matematiky již ve 40. letech 20. století, avšak skutečné rozšíření a praktické využití tétometody bylo podmíněno nástupem výpočetní techniky. V tomto období byli inženýři nuceni,pro správné zadání úlohy počítači v podobě programu, proniknout až na samou podstatumetody konečných prvků, tedy užít principy a rovnice od základu popisující tuto metodu,tzn. postupovat stejně, jak je ukázáno v předkládaném studijním textu. S dalším rozmachemvýpočetní techniky se cesty matematiků a inženýrů začaly pomalu rozdělovat. Přicházelykomerční výpočetní programy pracující sice s metodou konečných prvků, ale které také stáleméně dovolovaly a dovolují uživateli "vidět"užitý matematický aparát. Úlohou matematiků,na druhé straně, bylo a je vytvářet algoritmy, které stále rychleji a efektivněji řeší požadovanýmatematický problém, který je vlastně přepisem technického problému, řešenéhoinženýry, do řeči čísel. Současný, stále prudší rozvoj výpočetní technicky a numerických metodvzniklou propast mezi inženýrským a matematickým pohledem stále prohlubuje. Cílemautorů této publikace je inženýrskému oku poodhalit matematické pozadí metody konečných3Obsah3. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

prvků s důrazem na provázanost mezi skutečným inženýrským problémem a matematickýmaparátem užitým k jeho řešení. Naopak matematikům odhaluje "zhmotnění"jimi řešenýchmatematických úloh.Velkým problémem z pohledu inženýrského vnímání je rovněž způsob zápisu a čtení celéřady matematických nástrojů a operací. Autoři se tedy snažili o co nejjednodušší způsobzápisu matematických statí tak, aby za nimi bylo možno rozeznat fyzikální pozadí řešenéhoproblému.Skriptum vzniklo v rámci projektu Matematika pro inženýry 21. století a svým obsahemdoplňuje soubor materiálů pro studium matematiky, které je již od počátku směrováno nauplatnění v soudobém prostředí numerického řešení úloh.Text byl vysázen pomocí sázecího systému TEX ve formátu pdf L A TEX 2ε.Obsah4. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮V Ostravě 30. července 2012AutořiZavřít dokumentKonec4Celá obrazovka ⧸︀ Okno

Orientace v textuKaždá kapitola má svou pevnou strukturu, která by vám měla pomoci k rychlejší orientaciv textu. Při psaná můžete využít následující „stavební kameny“:Průvodce studiemProstřednictvím průvodce studiem vás chceme seznámit s tím, co vás v dané kapitole čeká,které části by měly být pro vás opakováním, na co je třeba se obzvláště zaměřit atd.CíleV části cíle se dozvíte, co všechno zvládnete a budete umět po prostudování dané kapitoly.PříkladŘešené příklady pomáhají k pochopení teoretických poznatků a slouží jako vzor pro řešenícvičení. Jejich konec je označen plným trojúhelníčkem ().Obsah5. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Pojmy k zapamatováníPojmy zde uvedené jsou většinou nové a zcela zásadní. To znamená tyto pojmy nejen pochopita umět ilustrovat na příkladech, ale také umět vyslovit jejich přesné definice.Zavřít dokumentKonec5Celá obrazovka ⧸︀ Okno

Testové otázky - autotestOdpovězením na tyto otázky si ověříte, zda jste daným pojmům porozuměli, zda si uvědomujeterozdíly mezi zdánlivě podobnými pojmy, zda dovedete uvést příklad ilustrujícídanou situaci atd.Tyto otázky jsou zpracovány formou autotestu, čímž si otestujete své znalosti a početnídovednosti z celého objemu látky.LiteraturaJedná se o literaturu použitou autory při vytváření tohoto studijního materiálu, nikoliv jeno literaturu doporučenou k dalšímu studiu. Pokud některou z uvedených publikací doporučujemezájemcům, pak je to v textu spolu s odkazem na daný titul jasně uvedeno.RejstříkRejstřík, uvedený na konci skript, poslouží ke snadné orientaci v textu.Obsah6. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Vložená videa - komentované řešení vybraných příkladůStudijní text je doplněn několika ukázkami řešení jednoduchých úloh ve vhodných MKP programech(viz Rejstřík: příklad řešení (video)), např. ukázka řešení odstupňovaného prutu.Tato videa jsou přiložena formou samostatných video souborů (formát wmv) a pro jejichspuštění přímo ze souboru pdf je potřeba dodržet podmínky instalace pdf prohlížeče uvedenéna web stránkách projektu.6Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

ObsahPředmluva 31 Aproximační technika metodou vážených reziduí 101.1 Vážená rezidua pro silnou formulaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.1 Metoda nejmenších čtverců . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.2 Galerkinova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.3 Zpřesnění aproximačního řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Vážená rezidua pro slabou formulaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3 Testové otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Aproximace po částech spojitou funkcí 262.1 Vlastnosti speciální aproximace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2 Užití pro slabou formulaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Galerkinova formulace metody konečných prvků . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.1 Aproximační funkce nad celou oblastí . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.2 Aproximační funkce a funkce tvaru elementu . . . . . . . . . . . . . 382.3.3 Váhové funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3.4 Vážená rezidua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3.5 Okrajové podmínky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487Obsah7. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

2.4 Testové otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 Prutové konstrukce 533.1 Prutový element - slabá formulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2 Aproximační polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3 Váhové funkce a její derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4 Setrvačný člen - matice hmotnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.5 Deformační člen - matice tuhosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.6 Okrajové podmínky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.7 MKP rovnice prutového elementu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.8 Příklad řešení prutové soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.9 Testové otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774 Intuitivně od inženýrského pohledu k MKP 814.1 Inženýrský a matematický přístup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.2 Členy namáhané osovými silami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3 Příklad řešení odstupňovaného prutu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.4 Testové otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925 Laplaceova a Poissonova rovnice 955.1 Odvození pro funkci dvou proměnných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.2 Vlastní metoda konečných prvků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.2.1 Diskretizace trojúhelníkovými elementy . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.2.2 Diskretizace bilineárními obdélníkovými elementy . . . . . . . . . . . 1085.2.3 Hraniční integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.3 Příklad řešení osově symetrické teplotní úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198Obsah8. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

5.4 Příklad řešení nesymetrické teplotní úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.5 Testové otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Literatura 124Rejstřík 127Obsah9. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonec9Celá obrazovka ⧸︀ Okno

10Kapitola 1Aproximační technika metodouvážených reziduíObsah10. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮Průvodce studiemV této kapitole se seznámíte s metodou vážených reziduí pro přibližné řešení algebraickýchdiferenciálních rovnic. Na příkladu algebraické diferenciální rovnice definujeme pojem váženárezidua, aproximační a testovací funkce a dle typu zvolené testovací funkce rozlišíme dva přístupyk metodě vážených reziduí. Rovněž si vysvětlíme pojmy silná a slabá formulace pro případ metodyvážených reziduí.◭◮CílePo prostudování této kapitoly budeme rozumět pojmům:Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximační technika metodou vážených reziduí 11∙ metoda vážených reziduí a vážený průměr reziduálu,∙ zkušební funkce, testovací funkce a její vliv na přesnost přibližného řešení,∙ merita nejmenších čtverců v metodě vážených reziduí,∙ Galerkinova metoda v metodě vážených reziduí,∙ silná formulace v metodě vážených reziduí,∙ slabá formulace v metodě vážených reziduí.Nyní se seznámíme s metodou vážených reziduí pro přibližné řešení algebraických diferenciálníchrovnic. V prvé řadě budeme uvažovat, že exaktní řešení diferenciální rovnicebude v celém intervalu řešení aproximováno spojitou funkcí.Obsah11. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximační technika metodou vážených reziduí 121.1. Vážená rezidua pro silnou formulaciMetoda vážených reziduí je užitečná při hledání aproximovaného (přibližně odhadovaného)řešení diferenciálních rovnic (dále také zkr. DR). Pro názornost výkladu předvedeme jejíprincip na řešení konkrétní zvolené diferenciální rovnice. Pro tento účel budeme uvažovatDR 1 pro hledanou funkci u(x) ve tvarud 2 u− u = −x (1.1)dx2 a hledat její řešení na intervalu 0 ≦ x ≦ 1 s nulovými okrajovými podmínkami na koncíchu(0) = 0, u(1) = 0. Na tomto místě nutno podotknout, že zvolená DR má známé přesnéexaktní řešení ve tvaruu(x) = C 1 e −x + C 2 e x + x, (1.2)kde pro zadané okrajové podmínky nabývají integrační konstanty následující hodnoty:Obsah12. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮C 1 =ee 2 − 1 , C 2 = − ee 2 − 1 .Výsledný tvar řešení zadané okrajové úlohy zvolené DR můžeme tedy zapsat rovnicíu(x) =e (︀e −xe 2 − e x)︀ + x. (1.3)− 11 Pro tento okamžik není fyzikální význam zvolené DR podstatný, a proto případné fyzikální konstantynabývají v rovnici jednotkových hodnot a byly vynechány i přes to, že nejsou bezrozměrné.Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximační technika metodou vážených reziduí 13Znalost přesného řešení DR není pro užití aproximačních metod nutná, ovšem je-li obecnýtvar řešení znám, pak je často vhodným vodítkem pro volbu adekvátního tvaru přibližnéhořešení.Prvním krokem při užití metody vážených reziduí je zavedení tzv. aproximační funkce(angl. trial function), kterou volíme tak, aby svým průběhem byla schopna vystihnouthledané řešení, a to včetně splnění požadovaných okrajových podmínek. Zvolená funkceobsahuje vždy neznámé koeficienty, jejichž velikosti budou určeny později. Pro zkušební,aproximační funkci můžeme např. použít˜u = ax(1 − x). (1.4)Funkce (1.4) představuje přibližné řešení uvedené DR. Toto přibližné (aproximační) řešeníse obvykle liší od řešení přesného. Aproximační, nebo někdy také zkušební funkce musíbýt ovšem zvolena tak, aby splňovala okrajové podmínky dané DR, a tedy musí platit˜u(0) = 0, ˜u(1) = 0. Funkce obsahuje jeden neznámý koeficient a, který je nutno dopočíst.Všeobecně lze říci, že přesnost aproximovaného řešení závisí na volbě zkušební funkce.Byla-li tedy zvolena nějaká aproximační funkce, lze pro ní vypočítat tzv. reziduál, a tozavedením aproximační funkce a jejich derivací do DR.Obsah13. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮DR:reziduál:0 = d2 u− u + x aprox.: ˜u = ax(1 − x) = ax − ax2dx2 R = d2˜ud˜u− ˜u + xdx2 dx = a − 2ax, d 2˜udx 2 = −2a (1.5)R = d2˜udx 2 − ˜u + x = −2a − ax(1 − x) + xZavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximační technika metodou vážených reziduí 14Jelikož se zvolená aproximační funkce ˜u liší od přesného řešení, její reziduál není rovennule pro všechny hodnoty x v rámci intervalu řešení. V dalším kroku bude dopočtenaneznámá konstanta a tak, aby zvolená aproximační funkce vyhovovala co nejlépe přesnémuřešení. Pro tento účel je tedy zvolena váhová funkce w (někdy testovací funkce, angl.test/weight function) a je sestaven vážený průměr reziduálu I na intervalu, na kterém jehledáno řešení. Pro nejlepší odhad hledané konstanty a bude hodnota váženého reziduálurovna nule, tedyI ==∫︁ 10∫︁ 10wR dx =∫︁ 10{︂ }︂d2˜uwdx 2 − ˜u + x dx =w {−2a − ax(1 − x) + x} dx = 0(1.6)V dalším kroku zkoumáme testovací funkci, jelikož výsledná přibližná řešení se budou lišitv závislosti na volbě tzv. testovací funkce, pro kterou je používáno také označení váhováfunkce. Metoda vážených reziduí bývá proto klasifikována podle způsobu volby testovacífunkce a pro demonstraci budou v následující kapitole uvedeny dva ze způsobů volby testovacífunkce (někdy říkáme také metoda vážení reziduí).Obsah14. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮1.1.1. Metoda nejmenších čtvercůU metody nejmenších čtverců je jako váhová funkce užita derivace reziduálu podle neznámýchkoeficientů a dle vztahuw = dRda . (1.7)Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximační technika metodou vážených reziduí 15Pro naší DR a zvolenou aproximační funkci dosazením obdržímew = dRda = d(−2a − ax + ax2 + x)= −2 − x + x 2 . (1.8)daDosadíme-li výsledek do rovnice integrálu váženého reziduálu (1.6) získáme vztah pro určeníhodnoty konstanty a∫︁ 10wR dx =∫︁ 10=(︀−2 − x + x2 )︀ (︀ −2a − ax + ax 2 + x )︀ dx =∫︁ 10(︀4a + 4ax − 3ax 2 − 2ax 3 + ax 4 − 2x − x 2 + x 3)︀ dx ==(︂4a + 2a − a − a 2 + a 5 − 1 − 1 3 + 1 )︂− 0 = 0, (1.9)4Obsah15. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮odkud vyčíslením získáme a = 65/282 ≈ 0, 2305 a pro zvolené přibližné řešení můžeme psát1.1.2. Galerkinova metoda˜u = 65 x (1 − x). (1.10)282U Galerkinovy metody je váhová funkce odvozena od tvaru zvolené aproximační funkce,a to její derivací dle vztahuw = d˜uda . (1.11)Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximační technika metodou vážených reziduí 16Pro naší DR a zvolenou aproximační funkci dosazením obdržímew = d˜u d(ax(1 − x))= = x(1 − x) = x − x 2 . (1.12)da daDosadíme-li výsledek opět do rovnice integrálu váženého reziduálu (1.6) získáme vztah prourčení hodnoty konstanty a:∫︁ 10wR dx =∫︁ 10(︀x − x2 )︀ (︀ −2a − ax + ax 2 + x )︀ dx ==∫︁ 10(︀−2ax + ax 2 + 2ax 3 − ax 4 + x 2 − x 3)︀ dx ==(︂−a + a 3 + a 2 − a 5 + 1 3 − 1 )︂− 0 = 0, (1.13)4odkud vyčíslením získáme a = 5/22 ≈ 0, 2272 a pro zvolené přibližné řešení můžeme psátObsah16. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮˜u = 5 x (1 − x). (1.14)22Získané aproximační výsledky můžeme srovnat jednak vzájemně, ale také s přesnýmřešením DR, např. na základě hodnoty u pro x = 0, 5, kdy obdržíme:Přesné řešení Aprox. nejmenší čtverce Aprox. Galerkin0,0566 0,0576 0,0568Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximační technika metodou vážených reziduí 171.1.3. Zpřesnění aproximačního řešeníZa účelem zpřesnění přibližného řešení lze aproximační funkci rozšířit o další členy, např.˜u = a 1 x(1 − x) + a 2 x 2 (1 − x). Tato aproximační funkce obsahuje dvě neznámé konstanty,jejichž hodnoty je nutno dopočítat. Při výpočtu opět uplatníme vážená rezidua a budemepostupovat stejně jako u první aproximační funkce, tedy nejdříve sestavíme reziduumR = d2˜u − ˜u + xdx2 aaprox.: ˜u = a 1x(1 − x) + a 2 x 2 (1 − x),d 2˜udx 2 = d2 (a 1 x(1 − x) + a 2 x 2 (1 − x))dx 2 = d(a 1 − 2a 1 x + 2a 2 x − 3a 2 x 2 )dx= (−2a 1 + 2a 2 − 6a 2 x)R = (−2a 1 + 2a 2 − 6a 2 x) − (a 1 x(1 − x) + a 2 x 2 (1 − x)) + x == a 1 (−2 − x + x 2 ) + a 2 (2 − 6x − x 2 + x 3 ) + x. (1.15)Pro výpočet dvou konstant a 1 , a 2 potřebujeme stejný počet testovacích funkcí, tedy dvě,které získáme dle příslušných metod parciálními derivacemi podle hledaných konstant. V případěmetody nejmenších čtverců obecně platí:=Obsah17. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮w i = ∂∂R∂∂a i, pro i = 1, 2, . . . , n , (1.16)Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximační technika metodou vážených reziduí 18kde R je reziduum a a i jsou neznámé konstanty v aproximační funkci ˜u. V uvedeném případělze psátw 1 = ∂∂R∂∂a 1= −2 − x + x 2 ,w 2 = ∂∂R∂∂a 2= 2 − 6x − x 2 + x 3 .V případě Galerkinovy metody je obecný předpis pro testovací funkci následující:w i = ∂∂˜u∂∂a i, pro i = 1, 2, . . . , n , (1.17)kde R je reziduum a a i jsou neznámé konstanty ve zvolené aproximační funkci ˜u. V uvedenémpřípadě lze psátw 1 = ∂∂˜u∂∂a 1= x(1 − x),w 2 = ∂∂˜u∂∂a 2= x 2 (1 − x).Následným dosazením obou váhových funkcí do vztahu pro vážené reziduály bychom obdrželiI 1 =I 2 =∫︁ 10∫︁ 10w 1 R dx =w 2 R dx =∫︁ 10∫︁ 10w 1{︂ d2˜udx 2 − ˜u + x }︂dx = 0,w 2{︂ d2˜udx 2 − ˜u + x }︂dx = 0.(1.18)Obsah18. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximační technika metodou vážených reziduí 19Integrací obou vztahů získáme dvě rovnice pro dvě hledané konstanty a 1 a a 2 , které lzez těchto rovnic vypočítat.1.2. Vážená rezidua pro slabou formulaciUvažujeme opět stejnou diferenciální rovnici (1.1), včetně intervalu řešení a okrajovýchpodmínek:d 2 u− u = −x, 0 ≦ x ≦ 1, u(0) = 0, u(1) = 0.dx2 Definování problému, jak bylo uvedeno doposud se nazývá silná formulace metody váženýchreziduí.∫︀Z předcházejících postupů je patrné, že silná formulace vyžaduje výpočet integráluw(d n ˜udx)dx obsahující člen s nejvyšším řádem derivace v DR. Aby bylo možno získat smysluplnépřibližné řešení takové DR, je nutné, aby výsledkem integrace byla nenulová, konečnánhodnota. Pro naší dříve zvolenou DR to vyžaduje, aby aproximační funkce byla dvakrát diferencovatelnáa 2. derivace měla nenulovou hodnotu.Za účelem snížení požadavku na diferencovatelnost aproximační funkce, aplikujeme nasilnou formulaci (1.6) integrační metodu per-partes:Obsah19. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮I =∫︁ 10{︂ }︂ ∫︁ 1d2˜uwdx 2 − ˜u + x dx =0{︂w d2˜udx 2 − w˜u + wx }︂dx, (1.19)Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximační technika metodou vážených reziduí 20kdy aplikací per-partes na první člen integrálu⃒ ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒∫︁ 1w d2˜uu = w v ′ = d2˜udx 2 dx = dx 2[︂↘= w d˜u 1 ∫︁0u ′ = dwd˜udx]︂ 1dw−0dx · d˜u dx (1.20)dx→ v = ⃒0dx dxmůžeme rovnici (1.19) zapsat ve tvaruI =I =[︂wdx]︂ d˜u 1 ∫︁ 1dw−0dx · d˜u0∫︁ 10∫︁1dx dx −(︂− dwdx · d˜udx − w˜u + wx )︂dx +0∫︁ 1w˜u dx +0[︂w d˜udx]︂ 10wx dx = 0(1.21)Jak je patrné z poslední rovnice, toto vyjádření integrálu vážených reziduí vyžaduje, abyaproximační funkce byla pouze jedenkrát diferencovatelná . Takový způsob formulace váženéhoprůměru reziduí se nazývá slabá formulace, a to právě proto, že požadavky na vlastnostiaproximační funkce jsou slabší. Ve vztazích slabé formulace, např. (1.21), se nově objevuječlen v hranatých závorkách, který má význam von Neumannovy podmínky na vnější hraniciuvažované oblasti.Na tomto místě je vhodné zdůraznit, že matematické úpravy, jenž byly provedeny prozískání slabé formulace byly úpravami ekvivalentními, a to znamená, že obě formy téhožproblému, tj. silná a slabá formulace jsou formami ekvivalentními a ani jedna není vůči tédruhé zatížená žádným zjednodušením ve smyslu snížení přesnosti řešení a obě formy takObsah20. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximační technika metodou vážených reziduí 21jsou vzájemně zaměnitelné. Obě formulace jsou v inženýrské praxi běžně používány, např.pohlédneme-li na úlohy z oblasti dynamiky tuhých těles, pak silná formulace představujedobře známé pohybové rovnice, kdežto slabá formulace představuje zákon o změně kinetickéenergie a podobné analogie bychom našli v každé z fyzikálních oblastí.Vlastnosti slabé formulace:∙ slabá formulace klade nižší nároky na nutný řád diferencovatelnosti aproximační funkcepro odhad řešení; přímým důsledkem této vlastnosti je fakt, že tím klesá i počet neznámýchkonstant, jejichž nalezení je předmětem konečného řešení.∙ řešení získané slabou formulací nesplňuje nutně rovnici silné formulace ve vyšších derivacích(které aproximační funkce slabé formulace obvykle neobsahuje); u napěťově-deformačníchúloh se tato vlastnost projevuje faktem, že při aproximaci pole posuvů není polenapětí na přechodu mezi elementy nutně spojité (pole posuvů přitom spojité je).První jmenovaná vlastnost spolu s dalšími přednostmi plynoucími z aproximace po částechspojitými funkcemi jsou po praktické stránce natolik přínosné, že slabá formulace je dness výhodou využívána pro řešení širokého spektra problémů, a to i s vědomím jistých úskalísouvisejících s jejím nasazením.Obsah21. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximační technika metodou vážených reziduí 221.3. Testové otázky1. V rovnici (1.1) je u funkcí:(a) casu,(b) proměnné x,(c) jedná se o konstantu.2. Rešením rovnice (1.1) je:(a) pouze hodnota funkce u v místě x = 0,(b) pouze hodnota funkce u v místech x = 0 a x = 1,(c) funkce u(x) popisující řešení v celém intervalu ⟨0, 1⟩.3. Je v určitých případech možné, aby byla aproximační funkce totožná s přesným řešenímdané diferenciální rovnice?Obsah22. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮(a) Ano.(b) Ne.(c) Ano, v případě, že se jedná o úlohu v lineární oblasti zatěžování.4. Zadané okrajové podmínky diferenciální rovnice musí zvolená aproximační funkce splňovat:(a) pouze tehdy, vyžadujeme-li přesné řešení diferenciální rovnice,(b) beze zbytku,Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximační technika metodou vážených reziduí 23(c) přesnost řešení nezávisí na splnění okrajových podmínek.5. V případě, že je reziduál roven nule ve všech místech uvažovaného intervalu řešení,znamená to, že:(a) zvolená aproximační funkce není schopna popsat danou diferenciální rovnici,(b) zvolená aproximační funkce popisuje přesné řešení diferenciální rovnice,(c) konstanta a ve zvolené aproximační funkci nemusí být počítána.6. Je možné, aby se testovací funkce při použití metody nejmenších čtverců a Galerkinovymetody rovnaly?(a) Ano, pouze v případě, že se jedná o lineární diferenciální rovnici prvního řádu.(b) Ne, jedná se o jiné metody.(c) Pouze v případě, že se nejedná o řešení diferenciální rovnice.7. Je-li vyžadováno řešení, které se více přiblíží skutečnému řešení diferenciální rovnice,je nutné:Obsah23. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮(a) zvýšit počet platných číslic ve výpočtech,(b) zvýšit řád polynomu aproximační funkce,(c) přesnost lze zvýšit pouze zavedením jiné metody pro výpočet váhové funkce.8. Obsahuje-li aproximační funkce n neznámých konstant, kolik váhových funkcí je nutnoodvodit?(a) n,(b) 2n,Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximační technika metodou vážených reziduí 24(c) 2 n .9. Je možné získat přibližné řešení dané diferenciální rovnice pouze s využitím silné formulace?(a) Ano.(b) Ne.(c) Pouze ve speciálních případech, kdy je diferenciální rovnice funkcí času.10. Kterou metodu integrace využíváme při sestavování slabé formulace?(a) Substituce.(b) Per-partes.(c) Záleží na typu zadané diferenciální rovnice.11. Je možno na základě známé slabé formulace zpětně odvodit tvar silné formulace?(a) Ano.(b) Ne.(c) Pouze ve speciálních případech, kdy se aproximované řešení úplně shoduje s řešenímpřesným.Obsah24. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮12. Užití slabé formulace:(a) nevykazuje žádné výhody oproti silné formulaci,(b) snižuje minimální nutný řád aproximační funkce,(c) zvyšuje přesnost řešení.Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximační technika metodou vážených reziduí 25Počet správně zodpovězených otázek:Získané body:Procento úspěšnosti:Obsah25. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

26Kapitola 2Aproximace po částech spojitoufunkcíObsah26. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮Průvodce studiem◭◮V této kapitole se budeme věnovat vlastnostem aproximační funkce, budeme diskutovat požadavkyna tyto funkce, zavedeme po částech spojitou aproximační funkci, interval řešení rozdělímena dílčí subintervaly - provedeme diskretizaci požadovaného intervalu. Dále se budeme věnovatGalerkinově formulaci pro metodu konečných prvků a navrhneme systematizovaný způsob výpočtuvážených reziduí s užitím po částech spojitých aproximačních funkcí. Následovat budedefinování váhové funkce a v závěru kapitoly vše předvedeme názorně na příkladu.Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximace po částech spojitou funkcí 27CílePo prostudování této kapitoly budeme rozumět pojmům:∙ problematika výběru zkušební, tj. aproximační funkce,∙ užití po částech spojité zkušební funkce,∙ problematika rozdělení předmětného intervalu řešení na dílčí subintervaly - aproximace,∙ užití po částech spojité zkušební funkce pro slabou formulaci,∙ Galerkinova formulace metody konečných prvků,∙ systematizovaný způsob výpočtu vážených reziduí,∙ váhová funkce při Galerkinově přístupu k metodě konečných prvků.Obsah27. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximace po částech spojitou funkcí 282.1. Vlastnosti speciální aproximaceBez ohledu na vyjádření slabou či silnou formulací je přesnost aproximačního řešení silnězávislá na zvolené zkušební funkci. Avšak samotná volba vhodné zkušební funkce (nebo takéaproximační funkce) pro neznámé řešení dané DR není jednoduchý úkol. Problém je tímobtížnější, čím více proměnlivé je přesné řešení na zkoumaném intervalu a čím komplikovanějšíjsou okrajové podmínky. Za účelem minimalizace zmíněných obtíží lze zkušební funkcizapsat jako po částech spojitou funkci. Abychom popsali řešení v celém hledaném intervalumusíme použít systém takto zavedených funkcí, které se vzájemně doplňují, obvykle takto:˜u =n∑︁a i · φ i (x), (2.1)i=1kde n je celkový počet dílčích funkcí, kterými aproximujeme řešení. Současně n + 1 udávápočet úseků, na který je interval řešení rozdělen.Uvažujme případ po částech spojité lineární funkce zvolené takto:⎧⎪⎨ (x − x i−1 )/h i pro x i−1 ≦ x ≦ x i ,φ i (x) = (x i+1 − x)/h i+1 pro x i ≦ x ≦ x i+1 ,(2.2)⎪⎩0 v ostatních případech,Graf uvedené funkce je na obrázku obr. 2.1, na kterém si současně můžeme vysvětlit smyslzavedení po částech spojité funkce. Jak si můžeme povšimnout, jednotlivé větve zavedenéfunkce mají nenulovou hodnotu pouze na omezené části intervalu řešení. Na všech ostatníchmístech intervalu řešení je tato funkce nulová.Znamená to, že tato funkce bude popisovat řešení pouze v části, kde je nenulová. Přizvýšení počtu úseků požadujeme, aby se přesnost aproximovaného řešení zvyšovala.Obsah28. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximace po částech spojitou funkcí 2910 x i-1x ix i+1h ih i+1xObr. 2.1 Po částech lineární funkcePředstava, že nejlepší aproximační řešení obdržíme rozdělením intervalu na abnormálněvysoký počet takových úseků je ovšem zavádějící, a to hned z několika důvodů, např.: každánová podoblast intervalu řešení musí mít konečnou délku, tj. nemůže mít infinitezimálněmalý rozměr dx ; pak při vysokém počtu podoblastí dostáváme pro řešení vysoký řádsoustavy rovnic pro řešení koeficientů a i ; a v neposlední řadě pro malé podoblasti budemenarážet na numerické možnosti užitého HW a SW platformy a další.Aplikaci zmíněné po částech spojité zkušební funkce předvedeme na již dříve uvedenémpříkladu. Uvažujme okrajovou úlohu popsanou DR (1.1):d 2 u− u = −x, 0 ≦ x ≦ 1, u(0) = 0, u(1) = 0. (2.3)dx2 Pro tuto úlohu můžeme formulovat integrál pro vážená rezidua jednou z následujících forem∫︁ 1 {︂ }︂d2˜uI = wdx 2 − ˜u + x dx =0⏟ ⏞silná formulace∫︁ 1 (︂− dwdx · d˜u)︂dx − w˜u + wx0⏟ ⏞slabá formulace[︂dx + wdx]︂ d˜u 1.0(2.4)Obsah29. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximace po částech spojitou funkcí 302.2. Užití pro slabou formulaciV dalším řešení využijeme jedné z hlavních předností slabé formulace, a to že klade menšínároky na třídu aproximační funkce, pro kterou zvolíme po částech lineární průběh vesmyslu (2.1). Pro jednoduchost předpokládejme aproximaci ve tvaru˜u = a 1 · φ 1 (x) + a 2 · φ 2 (x), (2.5)kde a 1 , a 2 jsou neznámé koeficienty, které bude nutno v dalším určit tak, aby se zvolenáaproximace co nejvíce přibližovala přesnému řešení. Funkce φ 1 (x) a φ 2 (x) definujeme takto:⎧⎧⎪⎨ 3x 0 ≦ x ≦ 1 3⎪⎨ 0 0 ≦ x ≦ 1 3φ 1 (x) = 2 − 3x⎪⎩1 3 ≦ x ≦ 2 φ3 2 (x) =13x − 13203 ≦ x ≦ 1 ⎪⎩≦ x ≦ 2 (2.6)33 − 3x 2 3 ≦ x ≦ 1a jejich graf na intervalu řešení ⟨0, 1⟩ znázorňuje obr. 2.2.V rámci řešení dané DR je doména rozdělena na tři subdomény a jsou užity dvě po částechlineární funkce φ 1 (x), φ 2 (x). Přibližné řešení ˜u(x) poté zapíšeme s využitím aproximačníchfunkcí jako⎧a ⎪⎨ 1 φ 1 (x) + a 2 · 0 = a 1 (3x) 0 ≦ x ≦ 1 31˜u(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) = a 1 (2 − 3x) + a 2 (3x − 1)3⎪⎩≦ x ≦ 2 3(2.7)2a 1 · 0 + a 2 φ 2 (x) = a 2 (3 − 3x)3 ≦ x ≦ 1Obsah30. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximace po částech spojitou funkcí 31a 11a 20φ 1(x)u=a ~1φ 1+a 2φ 2φ 2(x)1/3 2/3 1xObr. 2.2 Přibližné řešení ˜u(x) pomocí funkcí φ 1 (x) a φ 2 (x)Pro případ Galerkinovy metody lze testovací funkci psát w i =⎧⎧w 1 (x) = ∂∂˜u ⎪⎨ 3x 0 ≦ x ≦ 1 3= 2 − 3x∂∂a 1 ⎪⎩1 3 ≦ x ≦ 2 , w3 2 (x) = ∂∂˜u ⎪⎨ 0 0 ≦ x ≦ 1 3=13x − 1203 ≦ x ≦ 1 ∂∂a3 2 ⎪⎩≦ x ≦ 2 (2.8)33 − 3x 2 3 ≦ x ≦ 1∂∂ ˜u∂∂a i:Obsah31. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Po dokončení této přípravné fáze, ve které byl zvolen tvar aproximace ˜u hledanéhovýsledku u a následně byla zvolena metoda pro získání váhových funkcí w můžeme přistoupitk vyjádření konečné podoby integrálu vážených reziduí pro slabou formulaci, viz (2.4).Uvažujme nejprve člen pro von Neumannovu okrajovou podmínku, tj.[︂wdx]︂ d˜u 1= w| x=1 · d˜u0dx⃒ − w| x=0 · d˜ux=1dx⃒ , (2.9)x=0Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximace po částech spojitou funkcí 32kde výrazy w| xoznačují hodnoty váhových funkcí pro příslušné souřadnice x a výrazy d˜u⃒dx xznačí hodnoty von Neumannových podmínek v těchto místech, tj. pro x = 0 a x = 1; jsouto místa na okrajích vyšetřované oblasti. K vyčíslení výrazu (2.9) bude nezbytná znalosthodnot váhových funkcí, které zjistíme dle vztahů (2.8) nebo také z grafů těchto funkcí naobr. 2.2. V našem případě pro obě krajní místa (x = 0 a x = 1) nabývají váhové funkcenulovou hodnotu, a proto pro tuto úlohu máme[︂w d˜udx]︂ 10= 0 · d˜udx⃒ − 0 · d˜ux=1dx⃒ = 0. (2.10)x=0Nyní, s uvážením výsledku (2.10), můžeme pokračovat v sestavení integrálu váženýchreziduí slabé formulace. Postupným uplatněním váhové funkce w 1 a w 2 ve vztahu (2.4)můžeme psát:I 1 =I 2 =∫︁ 10∫︁ 10(︂− dw 1dx · d˜u)︂dx − w 1˜u + w 1 x dx = 0(︂− dw 2dx · d˜u)︂dx − w 2˜u + w 2 x dx = 0(2.11)Obsah32. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximace po částech spojitou funkcí 33Jednotlivé členy v integrálech vážených reziduálů v tomto případě mají tvar:⎧⎪⎨ 3 0 ≦ x ≦ 1 3dw 1dx = 1−3⎪ 3 ≦ x ≦ 2 dw 23⎩ 203 ≦ x ≦ 1⎧⎪⎨ 3a 1 0 ≦ x ≦ 1 3d˜udx = 1−3a⎪ 1 + 3a 2 3 ≦ x ≦ 2 3⎩ 2−3a 2 3 ≦ x ≦ 1⎧⎪⎨ 0 0 ≦ x ≦ 1 3dx = 13⎪ 3 ≦ x ≦ 2 3⎩a jejich dosazením do rovnic pro vážená rezidua (2.11) tedy bude∫︁I 1 =1/30∫︁++2/31/3∫︁ 1[−(3)(3a 1 ) − 3x(3a 1 x) + x(3x)] dx+−323 ≦ x ≦ 1[−(−3)(−3a 1 + 3a 2 ) − (2 − 3x)(2a 1 − 3a 1 x + 3a 2 x − a 2 ) + x(2 − 3x)] dx+[−(0)(−3a 2 ) − (0)(3a 2 − 3a 2 x) + x(0)] dx = 0.(2.12)Obsah33. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮2/3Po integraci obdržíme pro I 1 a obdobně také pro I 2 vztahy:I 1 = − 569 a 1 + 5318 a 2 + 1 9 = 0,I 2 = 5318 a 1 − 56 9 a 2 + 2 9 = 0. (2.13)Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximace po částech spojitou funkcí 34Tímto jsme získali soustavu dvou lineárních rovnic pro dvě neznámé konstanty a 1 , a 2 . Řešenímvzniklé soustavy najdeme hodnoty konstant a 1 = 4369735 ≈ 0,0448; a 2 = 5549735 ≈ 0,0569,jejich zpětným dosazením do aproximace řešení máme:˜u = 4369735 φ 1(x) + 5549735 φ 2(x). (2.14)anebo uplatněním tvaru funkcí φ bude řešení ve tvaru (2.7) a po algebraické úpravě zlomkůbude:⎧436436⎪⎨ 9735(3x) =3245 x 0 ≦ x ≦ 1 3436554118 318 1˜u(x) =9735(2 − 3x) +9735(3x − 1) =3245x +9735 3⎪⎩≦ x ≦ 2 3(2.15)55419735(3 − 3x) =3245 (1 − x) 23 ≦ x ≦ 1Pozn.: V případě užití stejné aproximační funkce aplikované na silnou formulaci, bychomneobdrželi „smysluplné“ řešení, jelikož ∂∂2 ˜uje rovno nule v celém uvažovaném intervalu.∂∂x 22.3. Galerkinova formulacemetody konečných prvkůJak bylo ukázáno výše, užití po částech spojité funkce jako zkušební funkce skýtá mnohévýhody. Zvýšením počtu úseků (subdomén) lze zachytit komplikovanou funkci užitím superpozicejednotlivých, po částech spojitých funkcí. Hovoříme-li o metodě konečných prvků,pak tyto subdomény nazýváme konečnými prvky, nebo z anglického názvosloví elementy. 11 Označení element bude v tomto textu používáno častěji, a to proto, že prvek je použit pro označeníprvků matic.Obsah34. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximace po částech spojitou funkcí 352.3.1. Aproximační funkce nad celou oblastíTato část kapitoly popisuje systematizovaný způsob výpočtu vážených reziduí s užitím počástech spojitých lineárních aproximačních funkcí, které ale obecně nemusí být nutně lineární(lineární funkce jsou zde zvoleny zejména pro jednoduchost). V předešlé kapitole 1.1bylo předvedeno řešení s aproximací ve tvaru polynomu, a to včetně náznaku možného zpřesňovánípřibližného řešení zvyšováním řádu polynomické aproximační funkce (kap. 1.1.3),která může mít obecně tvar˜u(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 , . . . , a n x n . (2.16)Graf aproximačního řešení polynomickou funkcí je znázorněn v obr. 2.3 čerchovanou čároua je nezbytné poznamenat, že je to graf funkce definované nad celou řešenou oblastí (výhodya nevýhody této varianty byly diskutovány v kap. 1.1). Současně je ve stejném grafu zobrazenai druhá, v praxi mnohem častěji používaná, aproximace po částech spojitou funkcí –plná lomená čára ukazuje výsledek aproximace po částech spojitou lineární funkcí zvolenouve smyslu (2.1)n∑︁˜u = a i · φ i (x).i=1Tato aproximace, i přesto že je realizována lineárními funkcemi, může s jistou nepřesnostíaproximovat i nelineární průběh hledaného řešení 1 , viz obr. 2.3.V předcházejících pasážích byly po částech spojité funkce definovány jako funkce zobecněnýchkoeficientů a 1 , a 2 , viz např. (2.5), ovšem tyto koeficienty nemají konkrétní fyzikálnívazbu k samotnému problému a pro řešení jejich hodnot je nezbytné sestavení zcela individuálnímaticové rovnice pro každou úlohu samostatně, viz např. (2.13) (společný je pouze1 Přesnost aproximace lineární funkcí lze zvýšit jemnějším dělením oblasti na elementy.Obsah35. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximace po částech spojitou funkcí 36obecný postup takového řešení). Pro systematický zápis budou po částech spojité funkcepředefinovány jako funkce uzlových proměnných, kterými obvykle jsou hodnoty hledanéhořešení v uzlech. Tento přístup k formulaci aproximační funkce se v minulosti ukázal jakomílový krok vpřed a s výhodou se využívá dodnes. Hlavní výhoda tohoto postupu je opětpatrná z obr. 2.3, a to v jeho spodní části, která jednak ukazuje princip superpozice jednotkovýchfunkcí při sestavení řešení v celé oblasti (sloupec vpravo), ale také zde v těchto grafechvidíme, že průběhy dílčích částí jednotkových funkcí φ i (x) se v rámci každého elementuopakují. Tato skutečnost není náhodná a umožňuje najít maticové tvary rovnic integráluvážených reziduí pro jeden element a ty pak superponovat do celkové, tzv. globální rovnicepodle rozdělení oblasti na dílčí elementy.Obsah36. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximace po částech spojitou funkcí 37elem 1elem 2elem 3uzel 1uzel 2uzel 3uzel 4u 1 u 2u u 43~uu(x) ~aproximace polynomem– aproximace po částechspojitou lineární funkcíu 4u 1u ~2 u 3x u(x)10101010elem 1H i(x)H j(x)elem 2H i(x)o 1(x)o 2(x)elem 3o 3(x)H j(x) H i(x)o 4(x)H j(x)xxxx=u 1.o 1(x)+u 2.o 2(x)+u 3.o 3(x)+u 4.o 4(x)Obr. 2.3 Princip MKP aproximace řešení kombinací po částech spojitými funkcemiObsah37. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximace po částech spojitou funkcí 382.3.2. Aproximační funkce a funkce tvaru elementuUvažujeme nyní subdoménu, tzn. element (nebo konečný prvek) dle obr. 2.4, který má dvauzly, a to na každém konci jeden. V každém uzlu jsou zavedeny následující parametry tohotoelementu:a) souřadnice uzlu (pro 1D elementy postačí jedna souřadnice, tedy x i nebo x i+1 ),b) hodnota aproximovaného hledaného řešení ˜u(x) v uzlu, zde tedy u i nebo u i+1(je důležité si uvědomit, že jsou to hodnoty, tj. čísla nikoliv proměnné).xx i+1ux i+1iu iObsah38. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮Obr. 2.4 1D konečný prvek – zavedení souřadnic a uzlových hodnotAproximační funkci budeme předpokládat ve tvaru:˜u = c 1 x + c 2 (2.17)◭◮Uvedenou rovnici vyjádříme jako funkci uzlových proměnných. Jinými slovy konstanty c 1a c 2 nahradíme uzlovými proměnnými u i nebo u i+1 , a to tak, že vyjádříme hodnotu ˜u(x)v každém uzlu. Tímto získáme˜u(x i ) = c 1 x i + c 2 = u i(†)˜u(x i+1 ) = c 1 x i+1 + c 2 = u i+1(‡)(2.18)Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximace po částech spojitou funkcí 39a provedeme řešení této soustavy lineárních rovnic pro neznáme koeficienty c 1 , c 2 , tedyz (†)do (‡)zpět do (†)c 2 = u i − c 1 x ic 1 x i+1 + u i − c 1 x i = u i+1c 1 = u i+1 − u ix i+1 − x iu i+1 − u ix i + c 2 = u ix i+1 − x ic 2 = u i x i+1 − u i+1 x ix i+1 − x iDosazením zpět do zvoleného tvaru aproximační funkce (2.17) bude˜u(x) = u i+1 − u ix i+1 − x ix + u i x i+1 − u i+1 x ix i+1 − x i== u i+1 x − u i x + u i x i+1 − u i+1 x ix i+1 − x iObsah39. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮a následným přeuspořádáním pro vytknutí u i , resp. u i+1 získáme:˜u(x) = (x i+1 − x) u i + (x − x i ) u i+1x i+1 − x i== (x i+1 − x)x i+1 − x iu i + (x − x i)x i+1 − x iu i+1 = H 1 (x) · u i + H 2 (x) · u i+1 . (2.19)Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximace po částech spojitou funkcí 40Členy H i (x) jsou obecně nazývány funkcemi tvaru. V tomto případě můžeme hovořit o lineárníchfunkcích tvarua jejich graf je zachycen na obr. 2.5.H 1 (x) = (x i+1 − x)h iH 2 (x) = (x − x i)h i, kde h i = x i+1 − x i (2.20)1H 2(x)0x iH 1(x)x i+1Obr. 2.5 Lineární funkce tvaru H 1 (x), H 2 (x)xObsah40. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Funkce tvaru mají následující vlastnosti:∙ Funkce tvaru příslušná uzlu i má v tomto uzlu jednotkovou velikost a je nulová v ostatníchuzlech, tedy dle obr. 2.5 je H 1 (x) funkce příslušející levému krajnímu uzlu (souřadnicetohoto uzlu je x = x i ) a je pro ní typické, že nabývá následujících hodnot: H 1 (x i ) == 1, H 1 (x i+1 ) = 0; druhému uzlu přísluší funkce tvaru H 2 (x) a ta nabývá následujícíchhodnot H 2 (x i ) = 0, H 2 (x i+1 ) = 1, tj.H i (x j ) = δ i,j , (2.21)Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximace po částech spojitou funkcí 41kde δ i,j je Kroneckerovo delta, které má hodnotu 1 pokud i = j, jinak má hodnotu 0.∙ Suma hodnot všech funkcí tvaru pro libovolné místo elementu, tj. pro libovolnou hodnotusouřadnice x je rovna 1, zde tedy2.3.3. Váhové funkce2∑︁H i (x) = 1. (2.22)i=1Pro další postup řešení uvažovaného problému bude ještě nezbytné připravit tvary váhovýchfunkcí. Pro tento účel použijeme opět Galerkinovu metodu, podle níž se váhové funkceodvodí z tvaru aproximace, a to derivacemi podle jednotlivých konstant. V tomto okamžikujsou konstantami v aproximační funkci (2.19) hledané hodnoty řešení v uzlech u i a u i+1 .Váhové funkce tedy získáme následujícím způsobemw j = d˜udu j:w 1 = d˜udu i= H 1 (x) a w 2 = d˜udu i+1= H 2 (x). (2.23)Obsah41. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮2.3.4. Vážená reziduaŘešme nyní původní problém (2.3), tj. hledejme řešení následující DR včetně daných okrajovýchpodmínekd 2 u− u = −x, 0 ≦ x ≦ 1, u(0) = 0, u(1) = 0.dx2 Výslednou soustavu rovnic vážených reziduí ve smyslu slabé formulace (1.21) získáme postupnýmuplatněním všech váhových funkcí přes všechny elementy a superpozicí získanýchZavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximace po částech spojitou funkcí 42výsledků pro jednotlivé váhové funkce. Formálně můžeme užít následující zápisI j =n⋃︁∫︁x i+1i=1 x i(︂− dw jdx · d˜udx − w j ˜u + w j x)︂[︂d˜u 1dx + w j = 0, pro j = 1, . . . , m, (2.24)dx]︂0kde n je počet elementů, m je celkový počet váhových funkcí definovaných nad celou řešenoudoménou (tento počet je roven počtu nezávislých deformačních parametrů diskretizovanédomény, tj. počtu neznámých; zjednodušeně je to počet stupňů volnosti) a symbol ⋃︀ jepoužit pro superpozici dílčích složek reziduí váhové funkce w j přes jednotlivé elementy i.V dalším uvažujme naší oblast řešení ⟨0, 1⟩ diskretizovanou na tři stejně velké (dlouhé)elementy (n = 3) viz obr. 2.6.x 2x 1u 2u 1elem. n. 1x 4x 3 u 4 xu 3elem. n. 3elem. n. 2Obsah42. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Obr. 2.6 Rozdělení oblasti řešení ⟨0, 1⟩ na 3 prvkyUvažujme i-tý element (i = 1, 2 nebo 3). Integrál dle (2.24) lze pro tento element psátve tvarux∫︁i+1 (︂− dw jdx · d˜u)︂dx − w j ˜u + w j x dx (2.25)x iZavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximace po částech spojitou funkcí 43Dále uvažujme pro tento integrál zvolenou lineární aproximační funkci (2.17) upravenou dotvaru (2.19) a tomu odpovídající diferenciál d˜udx˜u(x) = H 1 (x) u i + H 2 (x) u i+1d˜udx = H′ 1(x) u i + H ′ 2(x) u i+1 . (2.26)Podle Galerkinovy metody byly pro zvolený tvar aproximace získány váhové funkce (2.23)a jejich derivace podle souřadnice polohy x tedy jsoudw 1dx = H′ 1(x)dw 2dx = H′ 2(x). (2.27)Následným uplatněním vztahů (2.26) a (2.27) v integrálu (2.25) obdržíme∫︁x i+1x ix i+1∫︁x i∫︁x i+1x ix i+1∫︁x i(︂− dw 1dx(︂− dw 2dx)︂d˜udx − w 1˜u + w 1 x dx)︂d˜udx − w 2˜u + w 2 x dx(︁)︁− H 1 ′ (H 1 ′ u i + H 2 ′ u i+1 ) − H 1 (H 1 u i + H 2 u i+1 ) + H 1 x dx(︁− H ′ 2 (H ′ 1 u i + H ′ 2 u i+1 ) − H 2 (H 1 u i + H 2 u i+1 ) + H 2 x)︁dxObsah43. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximace po částech spojitou funkcí 44po roznásobení a přeuspořádání bude:∫︁x i+1x ix i+1∫︁x i(︁)︁− H 1H ′ 1u ′ i − H 1H ′ 2u ′ i+1 − H 1 H 1 u i − H 1 H 2 u i+1 + H 1 x dx(︁− H ′ 1H ′ 2u i − H ′ 2H ′ 2u i+1 − H 1 H 2 u i − H 2 H 2 u i+1 + H 2 xpro což lze s výhodou uplatnit maticový zápis:)︁dx−x∫︁i+1x iH 1 ′ H′ 2 H 2 ′ H′ 2(︂[︂ H′1 H 1 ′ H 1 ′ H′ 2]︂ {︂ }︂ [︂ ]︂ {︂ }︂)︂ui H1 H· + 1 H 1 H 2 ui· dx +u i+1 H 1 H 2 H 2 H 2 u i+1x∫︁i+1 {︂H1x i}︂x dx.H 2Obě matice lze získat vhodným násobením vektoru funkcí tvarů a jejich derivací. Uplatněnímtéto úpravy spolu s vytknutím vektoru uzlových hodnot {u i u i+1 } T dostáváme−x∫︁i+1x i(︂{︂ H′1H ′ 2}︂ {︀H′1 H ′ 2{︂ }︂}︀ H1 {︀H1+H 2H 2}︀ )︂ {︂ u iu i+1}︂dx +x∫︁i+1 {︂H1x i}︂x dx, (2.28)H 2Obsah44. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮kde vektor hledaných hodnot {u i u i+1 } T lze dále vyjmout z integrálu, neboť jejich hodnotyjsou vůči diferenciálu dx konstantní:−x∫︁i+1(︂{︂ H′1{︀HH ′ ′1 H 22}︂ ′x i{︂ }︂}︀ H1 {︀H1+H 2H 2}︀ )︂ dx{︂uiu i+1}︂+x∫︁i+1 {︂H1x i}︂x dx. (2.29)H 2Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximace po částech spojitou funkcí 45Naznačenou integraci (2.29) budeme pro přehlednost zápisu provádět postupně po jednotlivýchsoučinech. První člen tedy bude:x∫︁i+1{︂ H′1{︀HH ′ ′1 H 22}︂ ′x i⎧x∫︁i+1⎪⎨}︀ − 1dx = h i⎪ ⎩x i⎫⎪⎬ {︂1 − 1 }︂1dx =⎪ ⎭ h i h ih i= 1 h 2 ix∫︁i+1[︂ 1 −1−1 1]︂dx = 1 [︂ ]︂ 1 −1,h i −1 1kde např. pro prvek 1, 1 matice byl proveden integrál, kde s využitím (2.20) mámeObsahx∫︁i+1x i1h 2 idx = 1 h 2 i∫︁x i+1x i1 dx = 1 h 2 iDruhý člen integrálu (2.29) provedeme následovně:[x] x i+1x i= 1 h 2 ih i = 1 h i.45. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮∫︁x i+1x i{︂H1H 2}︂ {︀H1⎧ ⎫x∫︁i+1⎪⎨x i+1 − x ⎪⎬ {︂}︀H 2 dx =h xi+1 i− x⎪ x − x ⎩ i ⎪ ⎭ h ix i h ix∫︁i+1 [︂= 1 h 2 ix i}︂x − x idx =h i(x i+1 − x) 2 ]︂ [︂(x i+1 − x)(x − x i ) 1/3 1/6(x − x i )(x i+1 − x) (x − x i ) 2 dx = h i1/6 1/3]︂,Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximace po částech spojitou funkcí 46kde např. pro prvek 1, 1 matice byl proveden integrál, kde s využitím (2.20) mámex∫︁i+1x i1h 2 i(x i+1 − x) 2 dx = 1 h 2 i[︂(xi+1 − x) 33 · (−1)= − 13h 2 i]︂ xi+1x i=[︀(xi+1 − x i+1 ) 3 − (x i+1 − x i ) 3]︀ = h3 i3h 2 i= h i3 .Poslední, třetí člen integrálu (2.29) provedeme následovně:x∫︁i+1 {︂H1x iH 2}︂x dx =∫︁x i+1x i⎧⎪⎨⎪ ⎩− x i+1 − xh ix − x ih i⎫⎪⎬⎪ ⎭x dx == 1 x∫︁i+1 [︂(xi+1 − x)h i (x − x i )x i]︂x dx = h i6[︂ ]︂(xi+1 + 2x i ).(2x i+1 + x i )Provedenou integrací byl integrál (2.25) pro jednotlivý element převeden do algebraickéhotvaru, který lze maticově zapsat výrazem⎡1+ h i− 1 + h ⎤ ⎧⎫i{︂ }︂h i− ⎢ h i 3 h i 6⎪⎨⎣− 1 + h i 1+ h ⎥ uii⎦ +6 (x i+1 + 2x i ) ⎪⎬u i+1 ⎪⎩ h ih i 6 h i 36 (2x i+1 + x i )⎪⎭ . (2.30)Obsah46. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximace po částech spojitou funkcí 47Pro náš uvažovaný případ, kdy interval řešení ⟨0, 1⟩ je rozdělen na tří elementy stejnédélky, dostáváme integrál (2.25) ve smyslu vztahu (2.29) pro jednotlivé elementy následujícívýrazy[︂ ]︂ {︂ }︂−3,1111 2,9444 u1+2,9444 −3,1111 u 2[︂ ]︂ {︂ }︂−3,1111 2,9444 u2+2,9444 −3,1111 u 3[︂ ]︂ {︂ }︂−3,1111 2,9444 u3+2,9444 −3,1111 u 4{︂ }︂ 0,0185,0,0370{︂ }︂ 0,0741,0,0926{︂ }︂ 0,1296.0,1481Za účelem vyjádření celkového integrálu vážených reziduí je potřeba výše uvedené výrazypro jednotlivé elementy superponovat, a to ve smyslu (2.24), čímž v tomto případě obdržímenásledující rovnici⎡⎤ ⎧ ⎧⎫⎢⎣−3,1111 2,9444 0 02,9444 −6,2222 2,9444 00 2,9444 −6,2222 2,94440 0 2,9444 −3,1111u 1⎪⎨⎫⎪0,0185 − u ⎬ ⎪⎨′ (0)⎪⎬⎥ u 2 0,1111⎦ += 0, (2.31)u ⎪⎩ 3 ⎪ 0,2222⎭ ⎪⎩⎪⎭u 4 0,1481 + u ′ (1)resp. po obvyklé úpravě, která předchází řešení neznámých uzlových hodnot nabude rovnicevážených reziduálů následující tvar:⎡⎤ ⎧ ⎧−3,1111 2,9444 0 0 u 1⎢ 2,9444 −6,2222 2,9444 0⎪⎨⎫⎪−0,0185 + u ⎬ ⎪⎨′ ⎫(0)⎪⎬⎥ u 2 −0,1111⎣ 0 2,9444 −6,2222 2,9444 ⎦ =. (2.32)u ⎪⎩ 3 ⎪ −0,2222⎭ ⎪⎩⎪⎭0 0 2,9444 −3,1111 u 4 −0,1481 − u ′ (1)Obsah47. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximace po částech spojitou funkcí 482.3.5. Okrajové podmínkyŘešením integrálu vážených reziduí jsme obdrželi maticový zápis vzájemných poměrů hodnotaproximovaného řešení v uzlech, které bude splněno pro libovolné okrajové podmínky(doposud nebyly k integraci použity). Nicméně pro konkrétní okrajovou úlohu bude výslednápodoba rovnic (2.31) vypadat poněkud odlišně, a to v závislosti na definovanýchokrajových podmínkách.V uvažovaném příkladě jsou v koncových bodech definovány Dirichletovy okrajové podmínky(u (x=0) = u 1 = 0, u (x=1) = u 4 = 0), tzn. že v těchto bodech jsou předepsány hodnotyhledaného řešení u(x) a současně to znamená, že v těchto bodech nejsou známy hodnotyVon Neumannových okrajových podmínek, tj. u ′ (x=0) a u′ (x=1). Výsledná podoba rovnicevážených reziduálů ovšem je nástroj, který umožňuje zjištění jak hodnot hledaného řešení˜u, tak i hodnoty komplementárních okrajových podmínek, tj. těch doplňkových k zadaným.Při programování daného výpočtu řešíme nejprve neznámé uzlové hodnoty, tzv. primárníneznámé obsažené ve sloupcovém vektoru na levé straně rovnice (2.32), zatímco sekundárníneznámé, tj. doplňkové okrajové podmínky obsažené na pravé straně (2.32) jsou vyřešenyaž následně. Zde při výpočtu primárních neznámých modifikujeme poslední rovnici (2.32)takto: ⎡⎤ ⎧ ⎧ ⎫1 0 0 0 u 1⎢2,9444 −6,2222 2,9444 0⎪⎨⎫⎪0⎬ ⎪⎨ ⎪⎬⎥ u 2 −0,1111⎣ 0 2,9444 −6,2222 2,9444⎦=, (2.33)u ⎪⎩ 3 ⎪ −0,2222⎭ ⎪⎩ ⎪⎭0 0 0 1 u 4 0tedy první a poslední rovnice je nahrazena zadanou Dirichletovou okrajovou podmínkou.Takový postup lze uplatnit jen v případě, že Dirichletovou podmínkou jsou předepsánynulové hodnoty v uzlech. Po této úpravě lze de facto v soustavě vynechat nahrazené řádky(neposkytují žádné nové informace) a také i sloupce, které by byly vynásobeny předepsanýmiObsah48. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximace po částech spojitou funkcí 49nulovými hodnotami (tyto sloupce se tímto automaticky vynulují, zde je to 1. a 4. sloupec,protože u 1 = 0, u 4 = 0). Takto obdržíme maticový zápis rovnice (2.32), jejíž řád odpovídáskutečnému počtu hledaných hodnot řešení v uzlech, v tomto případě máme[︂ ]︂ {︂ }︂−6,2222 2,9444 u22,9444 −6,2222 u 3{︂ }︂ −0,1111=. (2.34)−0,2222Řešením soustavy rovnic (2.34) získáme hledané hodnoty primárních neznámýchu 2 = 0,0448, u 3 = 0,0569,přičemž ostatní hodnoty řešení v uzlech jsou známy, jelikož byly předepsány okrajovýmipodmínkami: u 1 = 0, u 4 = 0. Výsledky lze zpět dosadit do původních (nahrazených) rovnicsoustavy (2.32) a odtud můžeme dopočítat hodnoty sekundárních neznámých u ′ (0) a u ′ (1).Jakmile jsou vypočteny neznámé uzlové hodnoty, lze psát řešení pro každý element, a toz odpovídajících uzlových hodnot řešení a příslušných funkcí tvaru a získat tak hodnotuvýsledku pro libovolnou souřadnici x.Obsah49. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximace po částech spojitou funkcí 502.4. Testové otázky1. Zvýšení počtu podoblastí, na které rozdělíme interval řešení má za následek:(a) vždy zvýšení přesnosti řešení,(b) zvýšení přesnosti v případě, že počet dělení na podoblasti nezpůsobí příliš vysokéřády matic a numerické nestability,(c) vždy neúměrné zvýšení časových nároků, proto se zvýšené přesnosti dosahuje jinýmimetodami.2. Velikost elementů musí být pro celý uvažovaný interval řešení(a) vždy stejná,(b) pro každý element různá, aby bylo dosaženo co nejvyšší přesnosti řešení,(c) každý element může mít obecně libovolnou velikost.3. Hodnoty c 1 a c 2 v rovnici (2.17) jsou:Obsah50. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮(a) funkce,(b) konstanty,(c) konstanty, pouze v případech, že je velikost elementů stejná v celém intervalu řešení.4. Funkce H 1 (x) v rovnici (2.20) je funkce:(a) rostoucí,(b) klesající,Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximace po částech spojitou funkcí 51(c) konstantní.5. Závisí funkce tvaru H 1 (x) na vzdálenosti uzlů uvažovaného elementu?(a) Ano.(b) Ne.(c) Ano pouze v případě, že elementy nemají stejnou délku.6. Je obecně nutné, aby součet funkcí tvaru H 1 (x) a H 2 (x) byl v libovolném místě elementuroven číslu 1?(a) Ano, aby ˜u popisovalo i případné konstantní řešení DR.(b) Ne, postačí, aby byl roven libovolné konstantě (potom by ovšem u i a u i+1 nenabývalypřímo hodnot řešení v uzlech).(c) Ne, součet nemusí být konstantní.7. V případě, že by interval řešení dle obr. 2.6 byl rozdělen na 4 elementy, byl by početfunkcí tvaru:Obsah51. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮(a) stále zachován, tj. 2: H 1 (x) a H 2 (x),(b) zvýšen na 3, tj. H 1 (x), H 2 (x) a H 3 (x),(c) snížen na 1, tj. H 1 (x).8. Dirichletova okrajová podmínka předepisuje:(a) hodnotu hledané proměnné v určitém uzlu,(b) hodnotu derivace hledané proměnné v určitém uzlu,(c) nemá návaznost na hledanou proměnnou.Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Aproximace po částech spojitou funkcí 529. V případě, že je známá derivace hledané proměnné v určitém bodě, potom:(a) je známá i Dirichletova okrajová podmínka v témže bodě,(b) lze předepsat von Neumannovu okrajovou podmínku v tomto bodě,(c) není možné určit ani Dirichletovu ani von Neumannovu okrajovou podmínku protento bod.10. V rovnici (2.31) je záporné znaménko u členu u ′ (0) dáno:(a) zápornou hodnotou prvku (1;1) matice soustavy,(b) zápornou hodnotou prvku (4;4) matice soustavy„(c) způsobem dosazení horní a dolní integrační meze určitého integrálu.Obsah52. strana ze 131Počet správně zodpovězených otázek:Získané body:Procento úspěšnosti:◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

53Kapitola 3Prutové konstrukceObsahPrůvodce studiemV této kapitole aplikujeme veskrze teoretické poznatky ze dvou předcházejících kapitol na případprutové konstrukce. Zopakujeme způsob odvození integrálu vážených reziduí pro element prutovékonstrukce a budeme prezentovat řešení jak pro silnou, tak slabou formulaci. Aproximační funkcibudeme definovat jako aproximační polynom a vše budeme řešit v maticové formě. Opět pohovořímeo váhových funkcích a jejích derivacích pro řešený případ prutové konstrukce, následněpohovoříme o setrvačném členu a deformačních členu rovnice odvozené pro prutový elementv úvodu kapitoly. Oba členy vyjádříme pomocí uzlových parametrů, geometrických vlastnostíprvku a funkce tvaru. V závěru kapitoly pohovoříme o okrajových podmínkách.53. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 54CílePo prostudování této kapitoly budeme rozumět pojmům:∙ prutový element 1 ,∙ silná formulace pro prutový element,∙ slabá formulace pro prutový element,∙ aproximační polynom pro řešení prutového elementu,∙ funkce tvaru pro řešení prutového elementu,∙ váhová funkce a její derivace pro řešení prutové elementu,∙ setrvačný člen - matice hmotnosti,∙ deformační člen - matice tuhosti,∙ Dirichletova okrajová podmínka,∙ von Neumannova okrajová podmínka.3.1. Prutový element - slabá formulaceObsah54. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Uvažujme vybranou část jednoho členu prutové konstrukce 2 , pro níž provedeme uvolněnía sestavení tzv. pohybové rovnice, tj. aplikujeme Newtonův zákon síly1 V českém jazyce užíváme obvykle pojem prvek, např. metoda konečných prvků. Nicméně z důvoduodlišení významu prvek matice a prvek MKP je snahou autorů užívat pro druhý význam pojmu element.2 Prut zde označuje člen konstrukce, který přenáší pouze osové síly a deformuje se tedy pouze ve směrusvé délky.Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 55FdxF + ∂ F∂ x dxSObr. 3.1 Uvolnění elementu dx prutového prvkum · a = ∑︁ F,ρ S dx · d2 u ∂∂F(3.1)= F +dt2 ∂∂x dx − F,kde dále uplatníme konstitutivní vztah materiálu prutu vyplývající z Hookeova zákonaF∂∂uS= E ε a lineární člen geometrického vztahu pro poměrnou deformaci ε =∂∂x . Jejichužitím obdržímeF = SE ∂∂u ∂∂Fa∂∂x ∂∂x = ∂∂ (︂SE ∂∂u )︂,∂∂x ∂∂xρ S · d2 udt 2 = ∂∂∂∂x(︂SE ∂∂u∂∂x)︂. (3.2)V rovnici (3.2) se obecně předpokládá, že jak plocha příčného řezu S, tak i Youngův modulpružnosti v tahu E jsou funkcemi souřadnice x, tj. můžou být po délce prvku proměnné.Obsah55. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 56Slabou formulaci rovnice (3.2) definujeme pro celý uvažovaný prut délky L následovněR = ρ S · d2˜udt 2 − ∂∂ (︂SE ∂∂˜u )︂,∂∂x ∂∂xI =∫︁ L0wR dx,takže integrál vážených reziudií má v tomto případě podobu(3.3)I =∫︁ L0∫︁ L{︂w ρ S · d2˜udt 2 − ∂∂ (︂SE ∂∂˜u )︂}︂dx =∂∂x ∂∂x= w ρ S · d2˜udt 2 dx −0⏟ ⏞setrvačný člen∫︁ L(︂SE ∂∂˜u∂∂xw ∂∂∂∂x0⏟ ⏞deformační člen)︂dx.(3.4)Obsah56. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Pro přehlednost nyní připusťme, že konstrukce je v klidu a tedy na základě Newtonovýchzákonů bude setrvačný člen nulový a věnujme proto pozornost pouze členu deformačnímu.Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 57Slabou formulaci zde obdržíme analogicky k (1.20) aplikací integrace metodou per-partes:∫︁ Lw ∂∂ (︂SE ∂∂˜u )︂u = w v ′ = ∂∂ (︂SE ∂∂˜u )︂∂∂x ∂∂xdx =∂∂x ∂∂x↘=0⃒u ′ = dw∂∂˜u→ v = SE ⃒dx ∂∂x[︂= wSE ∂∂˜u L ∫︁−∂∂x]︂ Ldw ∂∂˜u · SE dx. (3.5)0dx ∂∂xZpětným dosazením do integrálu vážených residuí (3.4) nabude tento podobu∫︁ L⎛I = w ρ S · d2˜u [︂dt 2 dx − ⎝ wSE ∂∂˜u L ∫︁∂∂x]︂ L⎞dw ∂∂˜u− · SE0dx ∂∂x dx ⎠ =00∫︁ L= w ρ S · d2˜u ∫︁L[︂dt 2 dx + dw ∂∂˜u · SEdx ∂∂x dx − wSE ∂∂˜u L,∂∂x]︂0000(3.6)kde první integrál představuje setrvačnost a druhý integrál představuje tuhost uvažovanéhoprutu.Podobně jako u ostatních aplikací slabé formulace bude i zde je další řešení závislé nadvou faktorech:a) na volbě tvaru aproximační funkce pro ˜u,b) na volbě váhové funkce w, tj. na volbě způsobu vážení residuálů (např. metoda nejmenšíchčtverců, nebo Galerkinova metoda, aj.).Obsah57. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 583.2. Aproximační polynomTvar aproximace pro deformaci prutů obvykle volíme polynom prvního stupně, tzn. žedeformace prutů je aproximována lineární funkcí 1 . Zvolme tedy pro ˜u aproximaci ve tvaru(2.17), kterou pro jednoduchost zapíšeme maticově takto˜u(x) = c 0 + c 1 x = {︀ }︀ {︂ }︂1c 0 c 1 = {︀ c }︀ T {︀ }︀ {︀ }︀ T {︀ }︀x = x c . (3.7)xJak bylo ukázáno již dříve (2.17), je vhodné transformovat tvar aproximace (3.7) do podoby,ve které mají hledané koeficienty c i soustavy (3.7) přímou vazbu na hledané řešení ˜u. Tohodocílíme aplikací okrajových podmínek pro obecně zvolený element, tj. vyjádřením (3.7)pro oba jeho konce˜u(x = 0) = c 0 + c 1 · 0 = u i ,˜u(x = L) = c 0 + c 1 · L = u j .(3.8)Vzniklou soustavu rovnic (3.8) opět obvykle zapisujeme v maticové formě, tj.[︂ ]︂ {︂ }︂ {︂ }︂1 0 c0 ui= ,1 L c 1 u j[︀ ]︀ {︀ }︀ {︀ }︀A c = uuzl . (3.9)Obsah58. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮1 Pro prut namáhaný v oblasti elestických deformací, z materiálu s lineárním konstitutivním vztahemje lineární aproximace totožná s přesným řešením, tzn. že výsledky numerického řešení nebudou zatíženyaproximační chybou.Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 59a provedeme její řešení pro vektor neznámých koeficientů aproximačního polynomu {︀ c }︀ , takže{︀c}︀=[︀A]︀ −1 {︀uuzl}︀(3.10)pro tento případ nabude vyjádření konstant {︀ c }︀ následující podobu:{︂c0}︂ [︂ ]︂ {︂ }︂1 0 ui=.c 1 −1/L 1/L u jTento výsledek uplatníme zpátky ve vyjádření aproximačního polynomu (3.7), kdy po dosazeníobdržíme˜u(x) = {︀ x }︀ T {︀ }︀ {︀ }︀ T [︀ ]︀ −1 {︀ }︀ {︀ }︀ [︂ ]︂ {︂ }︂1 0 uic = x A uuzl = 1 x . (3.11)−1/L 1/L u jRoznásobením prvních dvou členů rovnice (3.11) docílíme původního záměru, tj. vyjádřitpřibližné řešení ˜u pomocí konstant, které přímo souvisejí se samotným hledaným řešením(zde a v MKP obecně jsou těmito konstantami přímo hodnoty řešení v uzlech u i , u j , symbolicky{︀ }︀u uzl ). Provedením zmíněného roznásobení bude{︂L − x˜u(x) =LxL}︂ {︂uiu j}︂což symbolicky zapisujeme opět maticovou formou= {︀ H i (x) H j (x) }︀ {︂ u iu j}︂==L − xL u i + x L u j, (3.12)˜u(x) = {︀ H(x) }︀ T {︀uuzl}︀, (3.13)Obsah59. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 60kde první člen na pravé straně rovnice značí vektor funkcí tvaru.u iuzel iu~Luzel ju ju(x)= ~ u iH i(x) +u jH j(x)u ju i0 x1 H i(x)Obsah01H j(x)x60. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮0xObr. 3.2 Grafické znázornění funkcí tvaru H(x) a jejich významu ve vztahu (3.13)V závislosti na úloze, kterou se chystáme řešit může nastat nutnost vyjádřit pomocízvolené aproximace deformace struktury také její derivace. Může se jednat o derivace podlesouřadnic (v tomto případě podle x), které např. u nosníků používáme k vyjádření úhlunatočení řezu, nebo jde o derivace podle času, kterými vyjadřujeme rychlosti a zrychleníZavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 61příslušného místa struktury. Jak je možné nahlédnout výše, bude nutné pro první integrál(3.6) vyjádřit časovou derivaci d2 ˜udt 2 , kdy s využitím (3.13) obdržímed 2˜udt 2 = d2dt 2 (︁ {︀H(x) }︀ T {︀uuzl}︀ )︁ .Při uvážení, vztahu pro funkce tvaru, které jsou závíslé pouze na souřadnicích v rámci elementu,a tudíž jsou na čase nezávislé a lze je vytknout před diferenciál, obdržíme následujícívztah pro d2 ˜udt 23.3. Váhové funkce a její derivaced 2˜udt 2 = {︀ H(x) }︀ T d 2 {︀ }︀u uzldt 2 . (3.14)V další řadě musíme zvolit metodu vážení residuí, kdy pro MKP se osvědčila Galerkinovametoda, podle které jsou váhové funkce odvozeny od tvaru samotné aproximace řešeníObsah61. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮w i = ∂∂˜u∂∂u i,kde i = 1, 2, . . . , velikost vektoru {︀ u uzl}︀(3.15)označuje pořadové číslo jednotlivých složek vektoru aproximačních konstant, v tomto případěvektoru hodnot řešení v uzlech {︀ u uzl}︀.Pro případ prutového elementu máme dvě váhové funkce w i , protože vektor uzlových hodnot{︀uuzl}︀má pouze dvě složky, a to ui a u j . Tyto váhové fukce jsou pro Galerkinovu metoduZavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 62typické tím, že mají tvar jednotlivých funkcí tvaru, protožew 1 =∂∂L − x(H i (x)u i + H j (x)u j ) = H i (x) =∂∂u i L ,w 2 =∂∂ (H i (x)u i + H j (x)u j ) = H j (x) = x (3.16)∂∂u j L .Letmým pohledem na tvary integrálů pro vážená rezidua (3.6) opět zjišťujeme, že i profunkce tvaru budeme muset najít jejich derivace. V tomto případě budeme funkce tvarudiferencovat podle jediné souřadnice x a výsledky můžeme psát ve tvarudw 1dx = dH i(x)= ddx dxdw 2dx = dH j(x)= d (︁ xdx dx L(︂ )︂ L − x= − 1 L L ,)︁= 1 (3.17)L .Tímto je uzavřená příprava k samotné aplikaci metody vážených reziduálů, takže nynímůžeme přistoupit k odvození dílčích matic a následně k sestavení výsledné rovnici slabéformulace.Obsah62. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮3.4. Setrvačný člen - matice hmotnostiPro výše zvolený tvar aproximace ˜u a k němu odvozené funkce tvaru můžeme pokračovatvyčíslením jednotlivých částí integrálu vážených reziduí. Tento proces provádíme ve smyslu(2.24) pro každý element, kde u jednotlivého elementu máme tolik složkových rovnic integráluvážených reziduí, kolik je váhových funkcí w pro tento element, tzn. tento početodpovídá počtu funkcí tvaru H(x) definovaných pro příslušný element.Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 63Pro první integrál (3.6) budeme pro náš element a s využitím (3.14) postupovat následovně∫︁ L0w ρ S · d2˜udt 2 dx = ∫︁(l)∫︁=(l)w ρ S · {︀H(x) }︀ T d 2 {︀ u uzl}︀dt 2 dx =w ρ S {︀ H(x) }︀ T dx · d 2 {︀ u uzl}︀dt 2 . (3.18)Uplatněním dříve zvolených váhových funkcí (pro zvolený aproximační polynom (3.7) mámedvě váhové funkce) se integrál (3.18) rozpadne na následující dva integrály∫︁w 1 ρ S {︀ H(x) }︀ T d 2 {︀ }︀ ∫︁u uzldx ·dt 2 = H i (x) ρ S {︀ H(x) }︀ T d 2 {︀ }︀u uzldx ·dt 2 ,(l)∫︁(l)(l)w 2 ρ S {︀ H(x) }︀ T d 2 {︀ }︀ ∫︁u uzldx ·dt 2 =(l)H j (x) ρ S {︀ H(x) }︀ T dx · d 2 {︀ u uzl}︀dt 2 ,a protože váhových funkcí je přesně tolik, kolik je funkcí tvaru, zobecňujeme posledně zapsanévztahy v maticové podobě takto:∫︁w ρ S · d2˜u ∫︁dt 2 dx = ρ S {︀ H(x) }︀ {︀ H(x) }︀ T d 2 {︀ }︀u uzldx ·dt 2 . (3.19)(l)(l)Obsah63. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 64Samotný integrál v rovnici (3.19) řešíme následovně:∫︁ρ S {︀ H(x) }︀ {︀ H(x) }︀ ∫︁ {︂ }︂T Hi (x) {︀Hidx = ρ S(x)H j (x)H j (x) }︀ dx = [M e ]. (3.20)(l)(l)Tento vztah (3.20) definuje rozložení a kvantifikaci setrvačných účinků pro (3.19), kterése děje tzv. maticí hmotnosti. Typické pro vztah (3.20), podle kterého sestavíme maticihmotnosti je, že tato vznikne součinem vektorů tvarových funkcí. Pro náš případ nabudevztah pro matici hmotnosti, s funkcemi tvaru dle (3.12), následující podobu:∫︁[M e ] =(l)ρ S {︀ H(x) }︀ {︀ H(x) }︀ ∫︁LT dx =0⎧⎪⎨ρ S⎪⎩L − xLxL⎫⎪⎬ {︂L − x⎪⎭L}︂xdx =Lkde pokud hustota ρ a plocha příčného řezu S budou po celou délku prvku konstatní,vytkneme je před integrál= ρ S∫︁ L0⎡(︂ L − x⎢⎣LL − xL)︂ 2· xLL − xL · x ⎤L⎥(︁ x)︁ 2⎦Ldx =ρ SL 2∫︁L0[︂ ]︂(L − x)2x(L − x)x(L − x) (x) 2 dxodkud po integraci každého členu zvlášť obdržíme výslednou podobu matice hmotnosti[︂ ]︂ 1/3 1/6[M e ] = m e , přičemž m1/6 1/3e = ρSL (3.21)Obsah64. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 65označuje celkovou hmotnost elementu.Na posledním vztahu (3.21), tj. vztahu pro matici hmotnosti prutového elementu, vidíme,že po diskretizaci kontinua na elementy se celková hmotnost nezmění, protože součetkoeficientů v matici je roven jedné. Koeficienty v matici hmotnosti pouze přiřazují jednotlivýmstupňům volnosti patřičné podíly setrvačné hmoty. Hlavní užití matice hmotnostitedy bude v dynamických úlohách, kde jejím prostřednictvím budeme schopni do výpočtuadekvátně zahrnout setrvačné účinky vlastní struktury, tj. konstrukce či strojního dílu.Nicméně tato matice najde uplatnění i v úlohách statických, u kterých požadujeme zahrnoutdo výpočtu vlastní tíhu struktury. Tuto podmínku můžeme realizovat D’Alambertovýmprincipem, pro který budeme uvažovat umístění struktury do prostředí beztíže a vliv vlastnítíhy simulujeme konstantním zrychlením struktury proti smyslu uvažovaného tíhového zrychlení.Tento postup je obvykle interně uplatňován při zatěžování řešené struktury vlastnítíhou.3.5. Deformační člen - matice tuhostiNyní se budeme věnovat řešení v pořadí druhého integrálu (3.6), kde budeme pro uvažovanýprutový element a zvolený aproximační polynom (3.13) postupovat následovně∫︁ L0∫︁dw ∂∂˜uSEdx ∂∂x dx = (l)∫︁=(l)dw ∂∂(︁ {︀H(x) }︀ T {︀ }︀ )︁SE uuzl dx =dx ∂∂xdwdx SE ∂∂ {︀ H(x) }︀ Tdx {︀ }︀u uzl . (3.22)∂∂xObsah65. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 66Podobně jako u členu setrvačného (první integrál (3.6)) pokračujeme i zde uplatněnímváhových funkcí, a protože máme pro zvolený aproximační polynom (3.7) dvě váhové funkce,rozpadne se integrál (3.22) na následující dva integrály∫︁(l)∫︁(l)dw 1dx SE ∂∂ {︀ H(x) }︀ Tdx {︀ ∫︁}︀u uzl =∂∂x(l)dw 2dx SE ∂∂ {︀ H(x) }︀ Tdx {︀ ∫︁}︀u uzl =∂∂x(l)dH i (x)dxdH j (x)dxSE ∂∂ {︀ H(x) }︀ T∂∂xSE ∂∂ {︀ H(x) }︀ T∂∂xdx {︀ u uzl}︀,dx {︀ u uzl}︀,a protože váhových funkcí je přesně tolik, kolik je funkcí tvaru, zobecňujeme posledně zapsanévztahy v maticové podobě takto:∫︁(l)∫︁dw ∂∂˜uSEdx ∂∂x dx = (l)Samotné řešení integrálu v rovnici (3.23) provádíme následovně:∫︁(l)SE ∂∂ {︀ H(x) }︀∂∂ {︀ H(x) }︀ Tdx =dx ∂∂x∫︁=(l)⎧⎪⎨SE⎪⎩SE d {︀ H(x) }︀∂∂ {︀ H(x) }︀ Tdx {︀ }︀u uzl . (3.23)dx ∂∂x∂∂H i (x)∂∂x∂∂H j (x)∂∂x⎫⎪⎬ {︂∂∂Hi (x)⎪⎭∂∂x}︂∂∂H j (x)dx = [K e ]. (3.24)∂∂xObsah66. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 67Roznásobením vektorů a následným řešením integrálů vzniklých ze vztahu (3.24) obdržímečtvercovou matici, která kvantifikuje vzájemné ovlivňování, resp. provázanost uzlových deformačníchparametrů daného elementu (tyto parametry jsou obsaženy ve vektoru uzlovýchhodnot {︀ u uzl}︀, viz (3.23)). Toto ovlivňování deformačních parametrů se děje přenosem silovýchúčinků skrz na skrz elementem a s tím související jeho vlastní deformací, a proto tatočtvercová matice bývá obvykle nazývána maticí tuhosti elementu, protože popisuje tuhostelementu vůči deformacím, které je možné vyjádřit kombinací hodnot vektoru uzlových deformačníchparametrů. Pro náš případ nabude vztah pro matici tuhosti, s derivacemi funkcítvaru dle (3.17), následující podobu:∫︁[K e ] =(l)SE ∂∂ {︀ H(x) }︀∂∂ {︀ H(x) }︀ Tdx =dx ∂∂x∫︁ L0⎧−1 ⎪⎨SEL⎪⎩ 1L⎫⎪⎬⎪⎭{︁ −1L1}︁dx =Lkde pokud plocha příčného řezu S a Youngův modul pružnosti v tahu E budou po celoudélku prvku konstatní, vytkneme je před integrál a současně roznásobením obou vektorůzískáme= SE∫︁ L0⎡1⎢⎣L 2−1⎤L 2L 2−1 1L 2⎥⎦ dx = SEL 2∫︁L0[︃ ]︃ 1 −1dx−1 1Obsah67. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 68a odtud buď integraci každého členu matice samostatně, nebo v tomto případě vytknutímmatice konstant před integrál a integraci ∫︀ L0dx = L obdržíme výslednou podobu maticetuhosti ve tvaru[︃ ]︃1 −1[K e ] = k e , přičemž k e = SE (3.25)−1 1Lznačí podélnou tuhost uvažovaného prutového elementu délky L, plochy průřez S a materiálus Youngovým modulem pružnosti E.3.6. Okrajové podmínkyPředcházejícími dvěma kapitolami (3.4 a 3.5) bylo ukázáno, jak uplatněním slabé formulacea aproximace řešení lze získat popis setrvačných a deformačních vlastností části kontinuapro tzv. element řešené oblasti (elementu ve smyslu MKP). Takto získané vyjádření uplatňujemepotom v konečné rovnici integrálu vážených reziduí, přičemž jak již bylo poukázánodříve, ani jeden z těchto členů není nijak ovlivněn okrajovými podmínkami, a proto jetakto získaný popis mechanických vlastností řešení oblasti použitelný pro libovolné okrajovépodmínky. Důsledkem této skutečnosti je fakt, že bez úpravy konečných rovnic váženýchreziduálů podle předepsaných okrajových podmínek, mají tyto rovnice nekonečně mnohořešení (musí být schopny popsat všechny varianty okrajových podmínek), což se ve fináleprojevuje tím, že matice soustavy je singulární. Tuto singularitu u napěťově–deformačníchúloh (tzv. strukturálních úloh) odstraníme pouze zamezením pohybu struktury jako tuhéhotělesa, tzn. vhodnými Dirichletovými okrajovými podmínkami, kterými předepisujeme hodnotyvybrané množiny hledaných primárních uzlových neznámých. (Dirichletovy okrajovépodmínky proto bývají nazývány podmínkami kinematickými.) Uplatněním DirichletovýchObsah68. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 69∂∂ ˜uokrajových podmínek úpravou rovnice vážených reziduí se upraví konečný tvar matice soustavy(matice bude pozitivně definitní) a rovnice bude mít jedno řešení. 1Druhý druh okrajových podmínek, tzv. von Neumannovy podmínky jsou zahrnuty vevyjádření integrálu vážených reziduí (3.6), neboť jsou obsaženy ve výsledném členu integraceper-partes: [︀ LwSE∂∂x]︀. Tyto okrajové podmínky bývají často nazývány buď silovými0nebo také deformačními podmínkami. Důvodem pojmenování je spojitost této podmínky∂∂ ˜us její významem ve strukturálních úlohách, kdy výrazem∂∂xpředepisujeme jako by hodnotu∂∂ ˜upoměrné deformace, nebo vezmeme-li v úvahu celý součin mimo váhovou funkci w, tj. SE∂∂xpak tento výraz má rozměr Newton a odpovídá velikosti síly působící na hranici ve směruuvažovaného ˜u (v tomto případě se bude jednat o normálové, resp. osové síly).Deklarovaný význam síly na hranici oblasti lze pro von Neumannovu okrajovou podmínkuodvodit postupem z dřívější kapitoly, viz (2.9). Uvažujme proto podrobně člen vonNeumannovy podmínky dle (3.6) a proveďme jeho další řešení[︂wSE ∂∂˜u∂∂x]︂ L0= w| x=L ·(︂SE ∂∂˜u∂∂x)︂x=L− w| x=0 ·(︂SE ∂∂˜u∂∂x)︂, (3.26)x=0kde s uvážením (3.2) můžeme psát[︂wSE ∂∂˜u L= w|∂∂x]︂x=L · F | x=L− w| x=0 · F | x=0. (3.27)0V rovnicích (3.26) a (3.27) označují výrazy w| xhodnoty váhových funkcí pro příslušné∂∂ ˜usouřadnice x a výrazy SE ⃒∂∂x x, resp. F | xznačí hodnoty (absolutní velikosti) von Neumannovýchpodmínek v místech x = 0 a x = L, viz obr. 3.3 a). Jsou to vždy místa na okrajích1 Pozitivně definitní vlastnost matice a jedno řešení rovnic vážených reziduí lze prokázat pro tzv. lineárníúlohy, tj. úlohy, které vedou na soustavu lineárních algebraických rovnic.Obsah69. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 70vyšetřované oblasti, která jsme již dříve pojmenovali termínem uzly a zpravidla je indexujemepísmeny abecedy i, j, . . . , p pro 8 uzlové elementy bez meziuzlů. Z důvodů, že všechnyveličiny v příslušném místě indexujeme stejně, píšeme obvykleF | x=L= F (x=L) = F j , F | x=0= F (x=0) = F i ,jak je také patrné z obr. 3.3 b). K vyčíslení výrazu (3.27) bude opět nezbytná znalosthodnot váhových funkcí, pro které dle (2.22) platí, že jejich součet je v každém místě oblastiroven 1. Nicméně tato informace není pro správnou práci s von Neumannovou podmínkoupostačující, protože jednotlivé váhové funkce určují, do které z rovnic integrálů váženýchreziuí příslušná hodnota von Neumannovy podmínky patří. Ať už z obr. 3.2, nebo obdobnýchpro předchozí tvary aproximace (obr. 2.1 a obr. 2.2) můžeme zjistit, že přímo v uzlu jenenulová pouze jedna z dílčích složek aproximačních funkcí, a tedy pro Galerkinovu metodupouze jedna z váhových funkcí. Tato váhová funkce je tomuto uzlu příslušná a ostatníváhové funkce, příslušné jiným uzlům, zde nabývají hodnotu nulovou, viz např. (2.21) neboa (3.13), resp. (3.16). Tato vlastnost váhových funkcí způsobí, že se příslušná hodnota vonNeumannovy podmínky projeví pouze ve vybrané rovnici integrálu vážených reziduí, a tovždy v rovnici příslušející patřičné váhové funkci w k , kde k označuje index příslušné váhovéfunkce. Tento index je zároveň shodný s označením příslušné hledané hodnoty primárníuzlové neznámé (obecně je to index příslušející patřičnému stupni volnosti uzlu).Obsah70. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 71a:u iuzel i10Luzel ju jH j(x)H i(x)b:c:F i>0 F j>0před deformacípo deformaciF i0Obsah71. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Obr. 3.3 Grafické znázornění von Neumannových okrajových podmínek a jejich fyzikálníhovýznamu ve vztahu (3.28)Rovnici von Neumannovy podmínky (3.27) můžeme proto symbolicky zapsat ve tvaru[︂wSE ∂∂˜u L= 1|∂∂x]︂w2 · F j − 1| w1 · F i = F j | w2− F i | w1, (3.28)0kde index u svislé závorky | w1 , resp. | w2 symbolicky značí příslušnost té které silové okrajovépodmínky k odpovídající rovnici integrálu vážených reziduí.Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 72Na tomto místě je vhodné vysvětlit i další, souhrnný význam výrazu von Neumannovyokrajovy podmínky. Tento lze vyvodit rozborem rovnice integrálu vážených reziduí (3.6), vekterá obsahuje tři členy: setrvačný člen, deformační člen a člen von Neumannovy okrajovépodmínky. Uvažujme situaci, kdy těleso nebude měnit svůj pohybový stav, potom setrvačnýčlen rovnice (3.6) bude nulový (tzn. že změna kinetické energie bude nulová). Budeme-li dálenavíc uvažovat těleso absolutně tuhé, pak i deformační člen bude nulový, protože energiena deformaci absolutně tuhého tělesa je nulová (těleso se nedeformuje). Pro takový případzůstane v rovnici (3.6) pouze člen von Neumannovy okrajové podmínky, který v součtumusí být roven nule, viz (1.6), nebo (1.21), protože I = 0. Lze tedy konstatovat, že člen vonNeumannovy podmínky představuje ve svém důsledku skalární složkovou rovnici statickérovnováhy vnějších sil. Pro uvažovaný prutový element, jak je znázorněn na obr. 3.3 b),bude na základě (3.28) platit, že kladnou hodnotu ∂∂u∂∂x = ε způsobí dvojice sil: akce F j v uzluj doprava a proti ní reakce 1 F i v uzlu i doleva, přičemž obě hodnoty F i , resp. F j budoukladné.3.7. MKP rovnice prutového elementuPředcházející podkapitoly (3.2 až 3.6) se postupně věnuji přípravě aproximační funkce a následnémuřešení jednotlivých členů rovnice integrálu vážených reziduí slabé formulace (3.6)pro prutový element. V každé z uvedených kapitol bylo dospěno k dílčím výsledkům, kterénám zpětným dosazením do (3.6) umožní sestavit výslednou MKP rovnici popisující chováníkontinua namáhaného pouze osovými silami.Pro účel sestavení zmíněné MKP rovnice prutového elementu vyjděme z posledního1 Označení akce a reakce je zde jen orientační, neboť v tomto okamžiku není známo kde je předepsanáDirichletova okrajová podmínka. V každém případě je toto označení libovolně zaměnitelné.Obsah72. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 73uvedeného tvaru slabé formulace (3.6), kam dosadíme za setrvačný člen ve smyslu (3.19)a (3.20), za deformační člen ve smyslu (3.23) a (3.23) a za von Neumannovu podmínku vesmyslu (3.28), čímž obdržímeI =∫︁ L0= m e6w ρ S · d2˜u ∫︁L[︂dt 2 dx + dw ∂∂˜u · SEdx ∂∂x dx − wSE ∂∂˜u L∂∂x]︂00[︃ ]︃]︃2 11 2· d2dt 2 {︂uiu j}︂+ k e[︃1 −1−1 1{︂ }︂ {︂ }︂ui −Fi· − ,u j F j(3.29)kde první řádek odpovídá integrálu váženému podle váhové funkce uzlu i, tj. w| x=0a druhýřádek integrálu váženému podle váhové funkce uzlu j, tj. w| x=L. Konstanty m e , k e označujíhmotnost, resp. podélnou tuhost uvažovaného elementu. Jelikož hledáme řešení, pro něžbudou rovnice vážených reziduí rovny nule upravujeme rovnici (3.29) do podoby, ve kteréjsou členy obsahující neznámé na levé straně a ostatní členy na straně pravé. Pro náš případnabude tedy rovnice (3.29) podobum e6[︃ ]︃2 11 2· d2dt 2 {︂uiu j}︂+ k e[︃1 −1−1 1]︃{︂ }︂ui·u j={︃−FiF j}︃. (3.30)Zde bude vhodné ještě chvíli věnovat pozornost vektoru pravé strany rovnice (3.30). Tentovektor je sám o sobě výsledkem zpracování von Neumennových okrajových podmínek, viz(3.28) a tomu odpovídají i znaménka jednotlivých sil vektoru pravé strany. Jak bylo nakonci kap. 3.6 uvedeno, představují jednotlivé členy von Neumannovy okrajové podmínkyvnější síly a jejich součet musí být pro statickou rovnováhu roven nule. Tedy vyjádření pravéstrany dle (3.30) odpovídá orientaci sil na obr. 3.3 b). Hlavní nevýhodou tohoto zápisu jeObsah73. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 74skutečnost, že jsou aplikovány dva systémy kladné orientace okrajových podmínek: jedenpro podmínky Dirichletovy obr. 3.3 a) a druhý pro podmínky von Neumannovy obr. 3.3 b).Pro praktické uplatnění je tento způsob práce s okrajovými podmínkami velmi nevhodný,a proto se oba systémy sjednocují, takže kladná orientace Dirichletových i von Neumanových(tj. např. uzlových posuvů a uzlových sil) jsou identické a jsou dány jednotným systémempro směry a orientace hledaných řešení u, tj. orientace dle obr. 3.3 a) a obr. 3.3 c). Pro taktozvolený systém kladných orientací okrajových podmínek dojde v (3.30) ke změně znaménkau složky F i a výsledná rovnice slabé formulace, tzn. výsledný tvar maticového zápisu MKProvnice prutového elementu jem e6[︃ ]︃2 11 2· d2dt 2 {︂uiu j}︂[︃ ]︃ {︂ }︂1 −1 ui+ k e ·−1 1 u j={︃FiF j}︃. (3.31)Sjednocením obou systémů orientace okrajových podmínek nedojde ale ke změně požadavku,aby součet sil vektoru pravé strany zůstal nulový, a proto ve výsledku bude jedna zesložek F i , F j záporná. O tom, která ze složek bude záporná ovšem rozhodnou až předepsanéDirichletovy okrajové podmínky.Postup, kterým byla získána výsledná rovnice slabé formulace prutového elementu (3.31)je opakovatelný i pro ostatní způsoby diskretizace kontinua, a proto lze konstatovat, žeobecně bude výsledek slabé formulace nabývat tvaru 1[︀ ]︀ d 2 {︀ }︀u uzlMe ·dt 2 + [︀ ]︀ {︀ }︀K e · uuzl = {︀ }︀F e . (3.32)1 Tento tvar vychází z Newtonova zákona síly pro elasticky deformovatelné 1D kontinuum, přičemž nebylyzahrnuty žádné členy popisující disipaci energie (tlumicí účinky). Případné distribuované zatížení budeintegrací dle pravidel slabé formulace přičteno k jednotlivým prvkům vektoru pravé strany, která tím alenezmění tvar sloupcového vektoru.Obsah74. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 75Pro tento uvažovaný případ vyjadřuji rovnice (3.30), resp.(3.32) pohybové rovnice kmitáníkoncových bodů lineární pružiny, jejíž hmotnost je rozložená rovnoměrně po délce pružiny.Pro statické úlohy bude vektor uzlových zrychlení roven nule (tímto zanedbáme vlastní tíhupružiny), nebo dle D’Alambertova principu bude roven zrychlení tíhovému, se záporně uvažovanouorientací. Tímto ovšem změní setrvačný člen svůj charakter z neznámé na hodnotuznámou, a proto může být převeden na pravou stranu rovnice (3.32), čímž bude do řešenízavedeno zatížení od vlastní tíhy. Bude-li např. vektor tíhového zrychlení orientován shodněs podélnými posuvy v uzlech, tj. shodně s posuvy u i a u j nabude rovnice (3.32) následujícípodobu[︀ ]︀ {︀ }︀Ke · uuzl = {︀ }︀F e + [︀ {︂]︀ M e · , (3.33)g}︂kde g značí hodnotu tíhového zrychlení.Obsah75. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 763.8. Příklad řešení prutové soustavyPopis úlohyV tomto ukázkovém příkladě vyřešíme osové síly ve všech členech prutové soustavy dleobrázku. Řešení provedeme metodou konečných prvků v programu ANSYS, prostředí MechanicalAPDL. Užitý program používá k řešení matematický aparát popsaný v této kapitole,matice tuhostí jsou určeny vztahem (3.25), výsledná maticová rovnice pro řešení jesestavena dle (3.33) (v tomto případě bez vlivu vlastní tíhy, poslední člen).Obsah76. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Videosoubor s ukázkou řešení soustavy tří prutů dle obrázku.PoznámkaZvláštností prezentované úlohy je fakt, že hledané osové síly nejsou závislé na fyzikálních vlastnostech prutů(průřezová plocha, materiálové vlastnosti), nicméně užitá metoda řešení je tzv. deformační, tj. osové síly jsouurčeny na základě posunutí koncových bodů prutů. K jejich určení je ovšem nutné tyto fyzikální vlastnostív MKP zadat. Toto je obecně platné pro staticky určité úlohy, kde se tuhostí těles nepodílí na poměrurozložení osových sil prutů, nebo reakcí obecně.Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 773.9. Testové otázky1. Rovnice (3.1) popisuje chování prutové konstrukce z hlediska:(a) pouze statického chování,(b) i statického chování,(c) dynamického chování, avšak pouze za předpokladu konstantní hustoty.2. Setrvačný člen v rovnici (3.4) je možno neuvažovat za předpokladu:(a) malých zatěžujících sil,(b) není-li požadováno řešení v závislosti na čase,(c) konstantního průřezu prutu.3. V případě, že délka elementu e 1 je poloviční vůči elementu e 2 , potom tuhost elementue 1 je oproti e 2 :Obsah77. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮(a) poloviční,(b) dvojnásobná,(c) čtvrtinová, protože tuhost je úměrná čtverci délky.4. Člen ρ S dx v rovnici (3.1) vyjadřuje:(a) zrychlení příslušného elementu,(b) objem příslušného elementu,(c) hmotnost příslušného elementu.Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 785. Po sestavení vztahu pro integrál vážených reziduí bude výsledek závislý na:(a) pouze tvaru aproximační funkce,(b) pouze na volbě váhové funkce,(c) jak na tvaru aproximační funkce, tak na užité volbě váhové funkce.6. V případě užití pouze lineárního vztahu mezi napětím a poměrnou deformací lze v případěprutové konstrukce:(a) dosáhnout pouze přibližných výsledku,(b) dosáhnout vždy přesných výsledku,(c) přesnost výsledku závisí na poctu elementu, na které je prut rozdělen.7. Počet váhových funkcí a funkcí tvaru je v případě řešení prutových konstrukcí:(a) stejný,(b) funkcí tvaru je 2× více,(c) funkcí tvaru je 2× méně.8. Je možno tvar matice hmotnosti dle (3.21) užít i v případě, že se průřez prutu po délcemění?(a) Ano.(b) Ne.(c) Ano, pouze v případě, že se s délkou nemění hustota.9. Rozměr matice tuhosti elementu je obecně dán:(a) počtem uzlů definujících element,Obsah78. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 79(b) počtem stupňů volnosti daného elementu,(c) počtem konstant v aproximační funkci.10. V případě, že po diskretizaci obsahuje úloha na intervalu řešení n stupňů volnosti,potom počet všech neznámých ve vzniklé soustavě rovnic:(a) vždy menší než n,(b) přesně roven n,(c) není možné určit, protože závisí na zadaných okrajových podmínkách a zatížení.11. Vypočteme-li hodnotu síly F i v rovnici (3.30) jako zápornou, znamená to, že:(a) se jedná o reakci,(b) síla působí proti směru zavedení znaménkové konvence pro daný element,(c) síla působí v tom směru, který způsobí zkrácení příslušného elementu.12. Vypočteme-li hodnotu síly F i v rovnici (3.31) jako zápornou, znamená to, že:(a) se jedná o reakci,(b) síla působí proti směru zavedení znaménkové konvence pro daný element,(c) síla působí v tom směru, který způsobí zkrácení příslušného elementu.Obsah79. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮13. Člen na pravé straně v rovnici (3.31) obsahuje:(a) pouze zadané vnější síly,(b) pouze neznámé reakce,(c) muže obsahovat jak zadané vnější síly, tak i reakce.14. Tuhost elementu k e v rovnici (3.25) je veličina :Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Prutové konstrukce 80(a) skalární,(b) vektorová,(c) nelze předem říci, závisí na počtu členů v aproximační funkci.15. Kladná hodnota poměrné deformace dle obr. 3.3 znamená, že se:(a) prut natáhne,(b) prut zkrátí,(c) zvětší se průřez prutu.16. Prodloužení prutu dle obr. 3.3 je dosaženo silami F i a F j . Jejich kladné hodnoty znamenají,že:(a) obě síly působí ve směru kladného směru znaménkové konvence,(b) obě síly způsobují kladnou hodnotu poměrné deformace prutu,(c) se prut posune ve směru kladné znaménkové konvence.Obsah80. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Počet správně zodpovězených otázek:Získané body:Procento úspěšnosti:Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

81Kapitola 4Intuitivně od inženýrského pohleduk MKPObsah81. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮Průvodce studiemV této kapitole si představíme inženýrský způsob řešení problému soustavy lineárních pružin.Na takovouto soustavu lze převést velké množství úloh řešených v technické praxi. Na základějednoduchých úvah a intuice odvodíme výsledky, které nám již jsou známy z předcházejícíchkapitol, kde byly využity povětšinou matematického přístupu. Vše prezentujeme na jednoduchémpřípadu namáhaných osových členů.◭◮CílePo prostudování této kapitoly budeme rozumět pojmům:Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Intuitivně od inženýrského pohledu k MKP 82∙ systém lineárních pružin,∙ osový člen,∙ inženýrský přístup k sestavení rovnic,∙ rovnice rovnováhy MKP.4.1. Inženýrský a matematický přístupNyní bude představeno intuitivní využití metody konečných prvků s použitím lineárníchpružin. Soustava lineárních pružin popisuje celou řadu inženýrských aplikací jako např.:osově namáhané členy, členy namáhané krutem, ale formálně identický zápis mají i soustavypro elektrické obvody, vedení tepla apod. V této kapitole si ukážeme inženýrský intuitivnípostup analytického řešení lineárního systému sestaveného z 1D členů.Obsah82. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Intuitivně od inženýrského pohledu k MKP 83Uvažujeme v první fázi pouze dvě tělesa T 1 a T 2 spojené lineární pružinou tuhosti k,viz obr. 4.1, na kterém budeme demonstrovat princip inženýrkého přístupu sestavení MKProvnic. Výchylky těles T 1 a T 2 označíme u 1 , resp. u 2 , přičemž na obě tělesa působí síly F 1a F 2 . V dalším budeme uvažovat, že výchylka tělesa T 2 je větší než výchylka tělesa T 1 , tedyu 2 > u 1 .F 1 k F 2T 1T 2u 1u 2ObsahObr. 4.1 Dvě tělesa spojená pružným členemF 1 FTD=k(u 2-u 1) F 21T 283. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮u 1u 2Obr. 4.2 Dvě tělesa spojená pružným členemProvedeme uvolnění těles, kde pružný člen nahradíme silou úměrnou jeho deformaci.Za předpokladu, že se nebude měnit pohybový stav těles, resp. jeho změna bude velmimalá a tudíž jí můžeme zanedbát, bude pro obě tělesa T 1 a T 2 platit rovnice statické rov-Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Intuitivně od inženýrského pohledu k MKP 84nováhy sil, který může být zapsán např. následovněTěleso T 1 : Těleso T 2 :F 1 + k(u 2 − u 1 ) = 0 F 2 − k(u 2 − u 1 ) = 0, (4.1)roznásobením závorek a přeuspořádáním budeku 1 − ku 2 = F 1 −ku 1 + ku 2 = F 2 ,což lze přehledně zapsat maticovou formou:[︂ ]︂ {︂ }︂k −k u1=−k k u 2{︂F1F 2}︂(4.2)Vznikl maticový zápis rovnic rovnováhy pro soustavu lineárních pružin. Pružinu lze chápatjako lineární konečnoprvkový element, který se deformuje podél své délky a pouze v tomtosměru přenáší sílu, tzv. osovou sílu. Čtvercová matice na levé straně (4.2) se nazývá maticetuhosti, protože vyjadřuje deformační tuhost elastického systému. Bez další úpravy rovnice(4.2), tzn. bez aplikace Dirichletových okrajových podmínek, je tato matice singulární.Z inženýrského pohledu souvisí tato singularita se skutečností, že řešený systém (dle obr. 4.1)má možnost volného posuvu jako celek vlevo vpravo. Odstraněním této možností pohybu, tj.aplikací právě zmíněných okrajových podmínek bude singularita matice odstraněna. Vektorpravé strany (4.2) představuje vektor elementárních uzlových sil.Ve druhé fázi uvažujme více realistický případ, a to systém skládající se ze 3 lineárníchpružin dle obr. 4.3, pro který uvolněním (obr. 4.4) a sestavením rovnic rovnováhy, postupemObsah84. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Intuitivně od inženýrského pohledu k MKP 85FF 2F 31F 4T 1T 2T 3T 4k1 k2 k3u 1u 2u 3u 4Obr. 4.3 Soustava čtyř těles spojených pružnými členyFF 2F 31F 4T 1T 2T 3Tk(u 42-u 1) k(u 3-u 2) k(u 4-u 3)u 1u 2u 3u 4Obr. 4.4 Uvolnění soustavy čtyř těles spojených pružnými členyjako (4.1), vznikne po úpravě následující soustava⎡⎤ ⎧ ⎧k 1 −k 1 0 0 u 1⎢−k 1 k 1 + k 2 −k 2 0⎪⎨⎫⎪F 1 ⎬ ⎪⎨⎫⎪ ⎬⎥ u 2 F⎣ 0 −k 2 k 2 + k 3 −k 3⎦ = 2. (4.3)u ⎪⎩ 3 ⎪ F ⎭ ⎪⎩ 3 ⎪ ⎭0 0 −k 3 k 3 u 4 F 4Obdobně jako v případě (4.2) je i zde matice tuhosti na levé straně rovnice maticí singulární,i důvody jsou stejné. V závislosti na odebraných stupních volnosti, tj. předepsanýchDirichletových okrajových podmínkách, může být soustava staticky určitá či staticky neu-Obsah85. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Intuitivně od inženýrského pohledu k MKP 86rčitá. Bude-li např. předepsána pouze okrajová podmínka u 1 = 0 bude soustava statickyurčitá, ale pokud budou okrajové podmínky v podobě např. u 1 = 0 a současně u 4 = 0 budesoustava staticky neurčitá.Z hlediska metody konečných prvků není však rozdíl mezi staticky určitou a neurčitousoustavu, jelikož je kromě rovnic rovnováhy splněna kompatibilita deformací. Jako příkladlze uvést staticky neurčitou soustavu s parametry k 1 = 20 · 10 6 N/m,k 2 = 30 · 10 6 N/m, k 3 = 10 · 10 6 N/m, F 2 = 1000 N, u 1 = 0, u 4 = 0, kde maticová formarovnic rovnováhy nabude podobu⎡⎤ ⎧ ⎧20 −20 0 010 6·⎢−20 50 −30 0⎣ 0 −30 40 −100 0 −10 10u 1F 1⎪⎨⎫⎪ ⎬ ⎪⎨⎥ u 2 1000⎦ =u ⎪⎩ 3 ⎪ ⎭ ⎪⎩u 4⎫⎪ ⎬. (4.4)0 ⎪ ⎭F 4Zanesením u 1 = u 4 = 0 vznikne⎡⎤ ⎧ ⎧ ⎫1 0 0 0 u 110 6·⎢−20 50 −30 0⎪⎨⎫⎪0 ⎬ ⎪⎨ ⎪⎬⎥ u 2 1000⎣ 0 −30 40 −10⎦= . (4.5)u ⎪⎩ 3 ⎪ 0 ⎭ ⎪⎩ ⎪⎭0 0 0 1 u 4 0Obsah86. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Řešením obdržíme následující hodnoty posunutí těles v uzlech u i , tj. hodnoty primárníchneznámých:u 1 = 0 m, u 2 = 36,36·10 −6 m, u 3 = 27,27·10 −6 m, u 4 = 0 mDosazením získaných výsledků posunutí do rovnovážných rovnic (neboli maticové formulacevážených reziduí) získáme hodnoty sekundárních neznámých, v tomto případě reakčních silZavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Intuitivně od inženýrského pohledu k MKP 87F 1 a F 4 :F 1 = −727,3 N, F 4 = −272,7 N.4.2. Členy namáhané osovými silamiJak již bylo řečeno, soustava lineárních pružin může nahrazovat množství inženýrskýchaplikací jako např. osově namáhaný člen, torzí namáhaný člen, aj. Pro ukázku takové úlohypoužijeme příklad dle obr. 4.5, kde je osazená tyč namáhána tahem osovou silou P a chcemezjistit celkové prodloužení tyče.L 1L 2L 3F 3F 4F 1k 1,A 1,E 1k 2,A 2,E 2k 3,A 3,E 3u 1u 2u 3F 2F 3Obsah87. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮F 2u 1u 2u 3k 1k 2k 3F 1F 4Obr. 4.5 Axiálně namáhaná osazená tyčZavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Intuitivně od inženýrského pohledu k MKP 88Řešení úlohy inženýrským přístupem vychází ze známého řešení deformace homogenníhotělesa konstantního průřezu od osové síly. Pro tuto základní úlohu známe řešení ve tvaruFΔl= σ = E ε = EA l ,F = EA Δl,l(4.6)kde E značí Youngův modul pružnosti, A velikost plochy příčného průřezu tělesa, l původnídélku namáhané části tělesa a Δl prodloužení namáhané části vlivem působící síly F . Totoprodloužení je totožné s deformačním posuvem konce, které je obvykle označováno u 1 , a tedyplatí Δl = u. Rovnici (4.6) můžeme potom zapsat následovněF = k u,kde k = EAl . (4.7)Ve smyslu řešení (4.7) převedeme úlohu dle obr. 4.5 na systém sériově řazených osověnamáhaných částí konstantích průřezů, pro které můžeme psát následující rovnice rovnováhyObsah88. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮F 1 + k 1 (u 2 − u 1 ) = 0F 2 − k 1 (u 2 − u 1 ) + k 2 (u 3 − u 2 ) = 0F 3 − k 2 (u 3 − u 2 ) + k 3 (u 4 − u 3 ) = 0F 4 − k 3 (u 4 − u 3 ) = 0(4.8)1 Veškeré závislé proměnné v řešení obvykle označujeme u, i na většině míst této publikace.Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Intuitivně od inženýrského pohledu k MKP 89převedením vnějších sil na pravou stranu a roznásobením závorek bude+k 1 u 1 − k 1 u 2 = F 1−k 1 u 1 + k 1 u 2 + k 2 u 2 − k 2 u 3 = F 2−k 2 u 2 + k 2 u 3 + k 3 u 3 − k 3 u 4 = F 3−k 3 u 3 + k 3 u 4 = F 4(4.9)a uplatněním maticového zápisu dostaneme konečnou podobu závislosti deformace na působícíchvnějších silách ve tvaru⎡⎤ ⎧ ⎧k 1 −k 1 0 0 u 1⎢−k 1 k 1 + k 2 −k 2 0⎪⎨⎫⎪F 1 ⎬ ⎪⎨⎫⎪ ⎬⎥ u 2 F⎣ 0 −k 2 k 2 + k 3 −k 3⎦ = 2, (4.10)u ⎪⎩ 3 ⎪ F ⎭ ⎪⎩ 3 ⎪ ⎭0 0 −k 3 k 3 u 4 F 4kde pro tuhosti jednotlivých částí platí k i = E i A il i, kdy pro obecnost předpokládáme, žekaždá část může být vyrobena z materiálu s odlišným Youngovým modulem pružnosti E i .Aplikací výsledného vztahu (4.10) na řešenou úlohu nabude pravá straná změněné podoby,neboť vnější silové zatížení působí pouze na koncích celého tělesa, tj.⎡⎤ ⎧ ⎧ ⎫k 1 −k 1 0 0 u 1⎢−k 1 k 1 + k 2 −k 2 0⎪⎨⎫⎪F 1 ⎬ ⎪⎨ ⎪⎬⎥ u 2 0⎣ 0 −k 2 k 2 + k 3 −k 3⎦ = . (4.11)u ⎪⎩ 3 ⎪ 0 ⎭ ⎪⎩ ⎪⎭0 0 −k 3 k 3 u 4 PRešení této rovnice provádíme obvyklým způsobem, kdy nejdříve aplikujeme Dirichletovypodmínky, zde máme u 1 = 0 a tedy uplatnění této podmínky vede na úpravu 1. řádkuObsah89. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Intuitivně od inženýrského pohledu k MKP 90maticové rovnice (4.11)⎡⎤ ⎧ ⎧ ⎫1 0 0 0 u 1⎢−k 1 k 1 + k 2 −k 2 0⎪⎨⎫⎪0 ⎬ ⎪⎨ ⎪⎬⎥ u 2 0⎣ 0 −k 2 k 2 + k 3 −k 3⎦ = ,u ⎪⎩ 3 ⎪ 0 ⎭ ⎪⎩ ⎪⎭0 0 −k 3 k 3 u 4 Ppo které lze vyřešit rovnici pro hledané hodnoty posunutí u i . Zpětným dosazením získanýchhodnot u i do (4.11) pak můžeme vyčíslit hodnotu reakční vazbové síly F 1 .Obsah90. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Intuitivně od inženýrského pohledu k MKP 914.3. Příklad řešení odstupňovaného prutuPopis úlohy - zadáníCílem úlohy je vyřešit přemístění bodů v místech působení zátěžných sil a určit velikostreakce ve vetknutí odstupňovaného prutu dle obrázku.ObsahVideosoubor s ukázkou řešení soustavy tří prutů dle obrázku.91. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮PoznámkaÚloha je mj. řešitelná užitím matematického aparátu popsaného v této kapitole, výsledná maticová rovniceje 3., resp. pro řešení pouze 2. řádu.Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Intuitivně od inženýrského pohledu k MKP 924.4. Testové otázky1. Pomocí rovnic (4.1) jsme schopni popsat:(a) pouze statický stav soustavy těles,(b) i časově závislé chování,(c) dynamické chování.2. Rovnice (4.1) byly odvozeny pro předpoklad, že výchylka u 1 > u 2 . Budou tyto rovniceplatit i pro opačný případ?(a) Ano.(b) Ne, je nutno provést nové odvození.(c) Ano, avšak pouze v případě, že výchylky u 1 a u 2 budou velmi malé.3. Hodnota determinantu matice levé strany v rovnici (4.2) bude rovna:Obsah92. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮(a) 0,(b) 1,(c) záporné konstantě.4. V případě předepsání dvou uzlových posunutí soustavě z obr. 4.3, bude tato soustava:(a) staticky určitá,(b) staticky neurčitá,(c) bude soustava charakterizována singulární maticí.Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Intuitivně od inženýrského pohledu k MKP 935. Statické řešení staticky neurčité prutové konstrukce je z pohledu metody konečnýchprvku:(a) náročnější než řešení geometricky stejné staticky určité úlohy,(b) méně náročné než řešení geometricky stejné staticky určité úlohy,(c) stejně náročné než řešení geometricky stejné staticky určité úlohy.6. V případě zatížení prostředního tělesa na obr. 4.5 více silami, je řešení pomocí metoduvedených v kap. 4:(a) nemožné,(b) pouze přibližné,(c) možné, bez vlivu na přesnost řešení.7. Síly F 1 a F 2 v rovnici (4.2) vyjadřují:(a) pouze zadané vnější síly,(b) pouze reakce,(c) jak vnější síly, tak i reakce.Obsah93. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮8. Je možné, aby síly v rovnici (4.2) byly pouze hodnoty vnějších zadaných sil a maticelevé strany byla regulární?(a) Ano.(b) Ne.(c) Záleží na charakteru soustavy.9. Je možné, aby při užití nástrojů uvedených v kap. 4 měnil prut svůj průřez po délce?Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Intuitivně od inženýrského pohledu k MKP 94(a) Ano.(b) Ne.(c) Ano, avšak pouze lineárně se vzrůstající jeho délkovou souřadnicí.10. V rovnici (4.11) jsou neznámé parametry umístěny:(a) na levé straně rovnice,(b) na pravé straně rovnice,(c) mohou být na levé i pravé straně rovnice.Počet správně zodpovězených otázek:Získané body:Procento úspěšnosti:Obsah94. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

95Kapitola 5Laplaceova a Poissonova rovniceObsahPrůvodce studiemV této kapitole nahlédneme do problematiky řešení vícerozměrných problémů. Představímedvě rovnice Laplaceovu a Poissonovu řešící celou řadu inženýrských aplikací. Opět pohovořímeo okrajových podmínkách, a dvě zmíněné rovnice budeme řešit pomocí metody konečnýchprvků. Pro úlohu diskretizace předmětné oblasti definujeme trojúhelníkové a obdélníkové elementy,aproximační funkci, testovací funkci, funkci tvaru a nakonec odvodíme matici tuhostitrojúhelníkového a obdélníkového elementu.95. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮CílePo prostudování této kapitoly budete rozumět pojmům:∙ vícerozměrná úloha,Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 96∙ Laplaceova rovnice,∙ Poissonova rovnice,∙ fyzikální význam Laplaceovy a Poissonovy rovnice,∙ trojúhelníkový element,∙ obdélníkový element,∙ diskretizace trojúhelníkovými elementy,∙ diskretizace obdélníkovými elementy,∙ hraniční integrál,∙ matice tuhosti rovinného prvku.Obsah96. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 97Pomocí parciálních diferenciálních rovnic (PDR) lze popsat mnoho různých fyzikálníchprocesů. K jejich řešení lze použít více metod. V následující části odvodíme konečnoprvkovouformulaci těchto rovnic.5.1. Odvození pro funkci dvou proměnnýchLaplaceova rovnice má tvar:zatímco Poissonova rovnice má tvar:∇ 2 u(x, y) = 0, (5.1)∇ 2 u(x, y) = g(x, y). (5.2)Protože Poissonova rovnice je obecnější než Laplaceova, jak lze vidět výše, budeme v dalšíchúvahách pracovat s Poissonovou rovnicí. Poissonova rovnice v kartézském souřadnémsystému bude mít v n-rozměrném prostoru se souřadnicemi x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n tvar:∂∂ 2 u∂∂x 2 + ∂∂2 u1 ∂∂x 2 + · · · + ∂∂2 u2∂∂x 2 n= g(x 1 , x 2 , . . . , x n ). (5.3)Obsah97. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮V klasické Euklidovské rovině popsané souřadnicemi x, y pak bude mít rovnice (5.2) tvar:∂∂ 2 u∂∂x 2 + ∂∂2 u= g(x, y),∂∂y2 kde u(x, y) je hledaná funkce a g(x, y) je funkce proměnných souřadnic x a y.V případě rovnice vedení tepla v ustáleném stavu si u(x, y) můžeme představit jako teplotuv místě x, y uvnitř oblasti a g(x, y) jako funkci související s vnitřními zdroji, nebo hltičiZavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 98tepla.Uzavřená oblast Ω má hranici Γ, na které jsou dány okrajové podmínky. Pro dvou-dimenzionální(rovinnou) oblast Ω jsou okrajové podmínky:∙ Dirichletova podmínka , neboli hlavní okrajová podmínkakde ¯u je známá hodnota proměnné u(x, y) na části hranice Γ u .u = ¯u, (5.4)∙ von Neumannova podmínka, neboli přirozená okrajová podmínkakde ¯q je známá hodnota proměnné q(x, y) na části hranice Γ q .∂∂u= ¯q, (5.5)∂∂nV případě představy rovnice vedení tepla si můžeme představit u jako teplotu, ¯u jako předepsanouteplotu na hranici Γ u oblasti Ω a ¯q jako předepsaný tepelný tok hranicí Γ q do neboven z oblasti Ω. Při správné volbě jednotek není ani nutno psát žádné koeficienty. Γ u , Γ qjsou hranice pro hlavní a přirozené okrajové podmínky a n je jednotkový vektor ve směruvnější normály. Pro dobře zadaný problém hraničních hodnot platí, že na celé hranici jezadaná nějaká okrajová podmínka, tzn.:Obsah98. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Γ u ∪ Γ q = Γ a zároveňΓ u ∩ Γ q = 0,(5.6)Zavřít dokumentkde symbol ∪ znamená sjednocení, ∩ průnik a Γ je celá hranice oblasti Ω.Integrace vážených reziduálů diferenciální rovnice a okrajových podmínek má tvar (vizKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 99dříve):∫︁I =Ω(︂(︂ ∂∂ 2 )︂ )︂ ∫︁uw∂∂x 2 + ∂∂2 u∂∂y 2 − g(x, y) dΩ −Γ qw(︂ )︂ ∂∂udΓ (5.7)∂∂nZa účelem získání slabé formulace této rovnice je použito integrace po částech, jak ukazujenásledující příklad. Uvažujte dvoudimenzionální (plošnou) oblast Ω s hranicí Γ.yy 2Γ 1Γ 2y 1x 1Obr. 5.1 Symbolické grafické znázornění 2D oblasti Ω a její hranic Γ 1 , Γ 2Z předchozí rovnice (5.7) budeme nejdříve uvažovat první člen ∫︀ (︁ )︁Ω w ∂∂ 2 udΩ, a pomocí∂∂x 2Fubiniovy věty získáme∫︁Ω(︂ ∂∂ 2 )︂uw∂∂x 2 dΩ =∫︁ y 2y 1⎛⎝∫︁ x 2x 1x 2xw ∂∂2 u∂∂x 2 dx ⎞⎠ dy, (5.8)kde x 1 , x 2 , y 1 a y 2 jsou minimální a maximální hodnoty ve směrech x a y.Obsah99. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 100Poznámka 5.1. Fubiniova věta je matematická věta, která umožňuje za určitých požadavkůna oblast vypočítat vícerozměrný integrál pomocí více po sobě jdoucích integrací.Získané integrály pak označujeme jako vícenásobné, tzn. dvojnásobný, trojnásobný atd.Protože podle pravidel o derivaci součinu platíd ∂∂u(wdx ∂∂x ) = ∂∂w∂∂x · ∂∂u∂∂x + w · ∂∂2 u∂∂x 2lze integrál (5.8) upravit na tvar∫︁ y 2⎛∫︁ x ⎞2⎝ w ∂∂2 u∂∂x 2 dx ⎠ dy = −y 1x 1∫︁ y 2∫︁y 1x 2x 1n∂∂w∂∂x · ∂∂u ∫︁y 2 [︂∂∂x dxdy + w · ∂∂u ]︂ x2dy. (5.9)∂∂xx 1y 1nObsah100. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮dΓdyυdΓdydy = dΓ . cosυdy = dΓ . n xdxdxZavřít dokumentObr. 5.2 Vyznačení elementu dΓ na hranici oblasti Ω; geometrie detailu v souřadnicích x, yKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 101Jako element oblasti můžeme napsat dΩ = dxdy a při použití vztahu pro normálovývektor dy = n x dΓ přejde rovnice (5.9) na tvar∫︁ y 2⎛∫︁ x ⎞2∫︁⎝ w ∂∂2 u∂∂x 2 dx ⎠∂∂wdy = −∂∂x · ∂∂u ∫︁∂∂x dΩ + w · ∂∂u ∫︁∂∂x n x dΓ − w · ∂∂u∂∂x n x dΓ,y 1x 1ΩΓ 2Γ 1nebo kombinací obou křivkových integrálů dostaneme přehlednější zápis∫︁ y 2⎛∫︁ x ⎞2∫︁⎝ w ∂∂2 u∂∂x 2 dx ⎠∂∂wdy = −∂∂x · ∂∂u ∮︁∂∂x dΩ + w · ∂∂u∂∂x n x dΓ, (5.10)y 1x 1přičemž kladný směr křivky Γ je proti směru hodinových ručiček.Podobně upravíme i druhý člen rovnice (5.7) ∫︀ Ω w (︁∂∂ 2 u∂∂x 2 )︁dΩ a můžeme tedy psát∫︁Ω(︂ ∂∂ 2 )︂ ∫︁uw∂∂x 2 + ∂∂2 u∂∂y 2 dΩ = −ΩΩ(︂ ∂∂w∂∂x · ∂∂u∂∂x + ∂∂w∂∂y · ∂∂u )︂ ∮︁dΩ +∂∂yΓΓ(︂ ∂∂uw∂∂x n x + ∂∂u )︂∂∂y n y dΓ,Obsah101. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮kde po uplatnění vztahu∂∂u∂∂n = ∂∂u∂∂x n x + ∂∂u∂∂y n ydostaneme Greenovu větu, která snižuje řád PDR∫︁ (︂ ∂∂ 2 )︂ ∫︁ (︂uw∂∂x 2 + ∂∂2 u∂∂w ∂∂u∂∂y 2 dΩ = −∂∂x ∂∂x + ∂∂w )︂ ∮︁∂∂udΩ +∂∂y ∂∂yΩΩΓw(︂ )︂ ∂∂udΓ. (5.11)∂∂nZavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 102Tedy původní integrál (5.7), lze přepsat na tvar:∫︁ (︂ ∂∂w ∂∂uI = −∂∂x ∂∂x + ∂∂w )︂ ∫︁∮︁∂∂udΩ − w g(x, y) dΩ +∂∂y ∂∂yΩΩΓw(︂ )︂ ∂∂udΓ. (5.12)∂∂nPři řešení pomocí metody konečných prvků bude mít první objemový integrál tvar maticea další dva (druhý objemový a křivkový) budou mít tvar vektoru. V případě rovnicevedení tepla má druhý objemový integrál význam vnitřních zdrojů tepla (či hltičů) uvnitřoblasti a křivkový integrál znamená tepelný tok skrz hranici.5.2. Vlastní metoda konečných prvků5.2.1. Diskretizace trojúhelníkovými elementyDiskretizace oblasti Ω j rovnici lze provést použitím 2D konečných prvků . Jedním z nejpoužívanějšíchje prvek ve tvaru trojúhelníku se třemi uzly (v každém vrcholu jeden).Obsah102. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Trojúhelník má tři uzly a hodnotu funkce u mezi nimi lze popsat nejjednodušeji lineárnífunkcí u = a 1 + a 2 x + a 3 y, což v maticovém tvaru zapsat⎧ ⎫⎨ a 1 ⎬u(x, y) = { 1 x y } · a 2⎩ ⎭ , (5.13)a 3Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 103yy3 u 3(x 3, y 3)y 2Γ 1y 1Γ 2x 1x 2x1u 1(x 1, y 1)2u 2(x 2, y 2)xObr. 5.3 Diskretizace oblasti Ω na elementy; umístění elementu v souřadnicích x, ykde hledáme hodnoty aproximačních koeficientů a 1 , a 2 , a 3 (obecně a i ). Pro uzlové body 1,2 a 3 platí:⎧ ⎫ ⎡⎤ ⎧ ⎫⎨ u 1 ⎬ 1 x 1 y 1 ⎨ a 1 ⎬u 2⎩ ⎭ = ⎣ 1 x 2 y 2⎦ · a 2⎩ ⎭ , zkráceněu 3 1 x 2 y 2 a 3(5.14)Obsah103. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮{u} = [x] · {a},kde x i , y i jsou souřadnice i-tého uzlu a u i je hodnota proměnné u v i-tém uzlu. Řešíme-likoeficienty a i pak lze podle Cramerova pravidla vypočíst⎧ ⎫ ⎡⎤ ⎧ ⎫⎨ a 1 ⎬a 2⎩ ⎭ = 1 x 2 y 3 − x 3 y 2 x 3 y 1 − x 1 y 3 x 1 y 2 − x 2 y 1 ⎨ u 1 ⎬a 3 2 D ⎣ y 2 − y 3 y 3 − y 1 y 1 − y 2⎦ · u 2⎩ ⎭ , (5.15)x 3 − x 2 x 1 − x 3 x 2 − x 1 u 32Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 104kde D je determinant matice [x] jeho polovina je pak plocha A trojúhelníkového prvku.Jedná se o kladnou hodnotu jsou-li prvky číslovány proti směru hodinových ručiček. Provýpočet pomocí metody konečných prvků musí být pořadí uzlů stejné pro každý prvek v celéoblasti. Dosazením rovnice (5.15) do (5.14) získáme pro výpočet proměnné u v libovolnémmístě daného prvku vztahu(x, y) = H 1 (x, y) u 1 + H 2 (x, y) u 2 + H 3 (x, y) u 3 =⎧ ⎫⎨ u 1 ⎬= { H 1 (x, y) H 2 (x, y) H 3 (x, y) } · u 2⎩ ⎭ =u 3= {H(x, y)} T · {u}kde je pro přehlednost užito následující substituce:A = D 2H 1 (x, y) = 12A [(x 2y 3 − x 3 y 2 ) + (y 2 − y 3 )x + (x 3 − x 2 )y]H 2 (x, y) = 12A [(x 3y 1 − x 1 y 3 ) + (y 3 − y 1 )x + (x 1 − x 3 )y]H 3 (x, y) = 12A [(x 1y 2 − x 2 y 1 ) + (y 1 − y 2 )x + (x 2 − x 1 )y], (5.16)(5.17)Ve vztazích (5.16) a (5.17) značí A plochu trojúhelníkového prvku, zatímco funkce H i (x, y)se obecně nazývají funkce tvaru a v uzlech pro ně platí3∑︁H i (x j , y j ) = δ i,ji=13∑︁H i = 1, (5.18)kde δ i,j je Kroneckerovo delta, které má hodnotu 1 pokud i = j, jinak má hodnotu 0.i=1Obsah104. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 105Řešená oblast je rozdělena na určitý počet konečných prvků pomocí lineárního trojúhelníkovéhoelementu. Jak je vidět na obrázku skutečná hraniční křivka oblasti je aproximovanápomocí po částech lineární hranice. Pro větší přesnost aproximace může být buď zjemněnasíť při zachování lineárního typu elementu, nebo může být použit jiný typ elementu, prokterý nebude aproximační funkce lineární, ale bude to polynom vyššího řádu, který budelépe kopírovat hraniční křivku.yyy 2Γ 1y 1Γ y21x x 1xx 1x 2Obr. 5.4 Hranice Γ oblasti Ω v modelu diskretizovaném na elementyx 2105. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮y 2ObsahPro lineární trojúhelníkový element je matice prvku (tzv. matice tuhosti) vypočtena násle-Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 106dujícím způsobem.∫︁[K e ] =Ω e⎛⎧⎪⎨⎜⎝⎪⎩∫︁=Ω e∂∂H 1∂∂x∂∂H 2∂∂x∂∂H 3∂∂x⎫⎪⎬⎪⎭{︂∂∂H1∂∂x∂∂H 2∂∂x⎧⎪⎨+∂∂H 3∂∂x∂∂H 1∂∂y∂∂H 2∂∂y∂∂H 3∂∂y}︂+⎫⎪⎬{︂ ∂∂H1∂∂y∂∂H 2∂∂y∂∂H 3∂∂y⎞}︂dΩ =⎟⎠⎪⎩ ⎪⎭(︂ ∂∂∂∂x {H(x, y)} · ∂∂∂∂x {H(x, y)}T + ∂∂ )︂∂∂y {H(x, y)} · ∂∂∂∂y {H(x, y)}T dΩ. (5.19)Po dosazení za H 1 , H 2 , H 3 a provedení parciálních derivací a integrace získáme matici tuhostiprvku⎧⎫⎨ k 1,1 k 1,2 k 1,3 ⎬[K e ] = k 2,1 k 2,2 k 2,3⎩⎭ , (5.20)k 3,1 k 3,2 k 3,3Obsah106. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 107kde jednotlivé prvky matice k i,j mají tvark 1,1 = 1 (︀(x3 − x 2 ) 2 + (y 2 − y 3 ) 2)︀ k 2,2 = 1 (︀(x1 − x 3 ) 2 + (y 3 − y 1 ) 2)︀4A4Ak 3,3 = 1 (︀(x2 − x 1 ) 2 + (y 1 − y 2 ) 2)︀4Ak 1,2 = 14A ((x 3 − x 2 )(x 1 − x 3 ) + (y 2 − y 3 )(y 3 − y 1 )) k 1,2 = k 2,1 (5.21)k 1,3 = 14A ((x 3 − x 2 )(x 2 − x 1 ) + (y 2 − y 3 )(y 1 − y 2 )) k 1,3 = k 3,1k 2,3 = 14A ((x 1 − x 3 )(x 2 − x 1 ) + (y 3 − y 1 )(y 1 − y 2 )) k 2,3 = k 3,2Pro lineární prvek jsou parciální derivace uvnitř integrálu konstanty (matice), čili výsledekintegrálu je jen integrand (matice) vynásobená plochou prvku.Příklad 5.2. 1 Pro prvek s uzly číslovanými proti směru hodinových ručiček o souřadnicích1 (0,0), 2 (1,0) a 3(0,1) bude mít matice prvku s těmito uzly pro Poissonovu rovnici podobu⎡1 −0, 5⎤−0, 5[K e ] = ⎣ −0, 5 0, 5 0 ⎦ ,−0, 5 0 0, 5přičemž plocha tohoto trojúhelníkového prvku činí A = 0, 5.Druhá část v integrálu (5.12) tedy ∫︀ Ωw g(x, y) dΩ vede pro daný lineární trojúhelníkový⎫prvek na tvar∫︁Ω⎧⎨⎩H 1 (x, y)H 2 (x, y)H 3 (x, y)⎬g(x, y) dΩ. (5.22)⎭Obsah107. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 108y0,10,01,0xObr. 5.5 Příklad trojúhelníkového prvku pro sestavení matice tuhosti [K e ]Analytická integrace této rovnice může být obtížná v závislosti na funkci g(x, y) a protoje většinou použita nějaká metoda numerické integrace. Tím jsou vyřešeny první dvě částiintegrálu I (5.12).5.2.2. Diskretizace bilineárními obdélníkovými elementyFunkce tvaru pro tento prvek je odvozena z následující interpolační funkce u = a 1 + a 2 x ++ a 3 y + a 3 xy, což obdobně jako (5.13) lze zapsat maticovou formou⎧a 1 ⎪⎨⎫⎪ ⎬au(x, y) = { 1 x y xy } · 2= {x} T · {a}. (5.23)a ⎪⎩ 3 ⎪ ⎭a 4Aplikací předchozího postupu, tj. uplatněním vztahu (5.23) na hodnotu proměnné u v rohovýchuzlech elementu, následnou inverzí (obdobně jako (5.14, 5.15) a zpětným dosazenímObsah108. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 1092(-b,c)3(-b,-c)y1(b,c)x4(b,-c)Obr. 5.6 Bilineární obdélníkový prvekvektoru koeficientů {a} do (5.23)), a úpravou nabudou funkce tvaru pro tento typ elementupodobuH 1 (x, y) = 14bc [(b − x)(c − y)] H 3(x, y) = 1 [(b + x)(c + y)]4bcH 2 (x, y) = 14bc [(b + x)(c − y)] H 4(x, y) = 1, (5.24)4bc [(b − x)(c + y)]kde b je polovina šířky a c polovina výšky prvku, tedy obsah obdélníku je A = 4bc.Funkce tvaru lze obdržet i jako dvě sady jedno-dimenzionálních funkcí ve směrech x a yv podoběΦ 1 (x) = 1 (b − x)2b Ψ 3(y) = 1 (c − y)2cΦ 2 (x) = 1 2b (b + x) Ψ 4(y) = 1 . (5.25)2c (c + y)Funkce tvaru obdržené jak je ukázáno výše se nazývají Lagrangeovy funkce tvaru.Obsah109. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 110Příklad 5.3. 2 Chceme vypočítat matici tuhosti elementu pro Poissonovu rovnici při použitíbilineární funkce tvaru, kterou obdobně jako u prvku trojúhelníkového (5.19) obdržímetakto∫︁[K e ] =Ω e⎛⎧⎪⎨⎜⎝⎪⎩∫︁=Ω e∂∂H 1∂∂x∂∂H 2∂∂x∂∂H 3∂∂x∂∂H 4∂∂x⎫⎪⎬⎪⎭{︂∂∂H1∂∂x⎧⎪⎨+⎪⎩∂∂H 2∂∂x∂∂H 1∂∂y∂∂H 2∂∂y∂∂H 3∂∂y∂∂H 4∂∂y∂∂H 3∂∂x⎫⎪⎬⎪⎭∂∂H 4∂∂x{︂ ∂∂H1∂∂y}︂+∂∂H 2∂∂y∂∂H 3∂∂y∂∂H 4∂∂y⎞}︂dΩ =⎟⎠(︂ ∂∂∂∂x {H(x, y)} · ∂∂∂∂x {H(x, y)}T + ∂∂ ∂∂y {H(x, y)} · ∂∂∂∂y {H(x, y)}T )︂dΩ. (5.26)Uvnitř integrálu dostaneme matici 4×4. V matici nejsou jen konstanty, a proto je třebapřevést dvojný integrál na dvojnásobný pomocí Fubiniovy věty. Pro obdélníkovou oblast toObsah110. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 111není obtížné a můžeme se o tom přesvědčit např. pro prvek matice k 1,1 , pro který platí∫︁ (︂ ∂∂H1k 1,1 =∂∂x · ∂∂H 1∂∂x + ∂∂H 1∂∂y · ∂∂H )︂1dΩ, kde H 1 (x, y) = 1 [(b − x)(c − y)].∂∂y4bcΩ ePo dosazení parciálních derivací a použití Fubiniovy věty budek 1,1 =∫︁ b ∫︁ c116 b 2 c 2 (︀(y − c) 2 + (x − b) 2)︀ dxdy−b−c(5.27)= b2 + c 23 b c .Stejnou proceduru provedeme pro všech 16 prvků, ovšem ve skutečnosti stačí mnohemméně, protože mnoho součinů se opakuje a matice tuhosti je ve výsledku symetrická. Projednotlivé prvky matice tuhosti [K e ] obdržíme integrací tyto výrazy:[K e ] =⎡⎢⎣⎤k 1,1 k 1,2 k 1,3 k 1,4k 2,1 k 2,2 k 2,3 k 2,4⎥k 3,1 k 3,2 k 3,3 k 3,4k 4,1 k 4,2 k 4,3 k 4,4k 1,1 = b2 + c 2= k 2,2 = k 3,3 = k 4,43 b ck 1,2 = b2 − 2c 2= k 2,1 = k 3,4 = k 4,3⎦ , kde 6 b ck 1,3 = b2 + c 2= k 3,1 = k 2,4 = k 4,26 b ck 1,4 = c2 − 2b 26 b c= k 4,1 = k 2,3 = k 3,2(5.28)Obsah111. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 112Druhá část v integrálu (5.12) tedy ∫︀ Ωw g(x, y) dΩ bude mít pro obdélníkový prvek naoblasti Ω e podobu∫︁ b ∫︁ c−b−c⎧⎪⎨⎪⎩H 1 (x, y)H 2 (x, y)H 3 (x, y)H 4 (x, y)⎫⎪⎬g(x, y) dxdy (5.29)⎪⎭a obtížnost jeho výpočtu zde závisí především na funkci g(x, y), většinou se použije některáz metod numerické integrace.5.2.3. Hraniční integrálV integrálu (5.12) řešíme třetí část, tedy člen ∮︀ (︂ )︂ ∂∂uΓ w dΓ. Po rozdělení na prvky, lze∂∂nhraniční integrál přepsat na integraci po hranici jednotlivých prvků prvků:∮︁ (︂ )︂ ∂∂u ∑︁∫︁ (︂ )︂ ∂∂uw dΓ = w dΓ (5.30)∂∂n∂∂nΓ qV tomto integrálu značí Γ q oblast hranice s přirozenou okrajovou podmínkou a Γ qe její částtvořenou vybraným prvkem. Suma tedy obsahuje všechny prvky na hranici oblasti Ω, nakterých je předepsána přirozená okrajová podmínka, tzv. (von Neumannova podmínka).Pro zjednodušení můžeme u jednoho prvku uvažovat hranici rovnoběžnou s osou x. Natéto hranici je dán konstantní tok, který je považován za kladný ve směru vnější normály.Zde je pro diskretizaci použit lineární trojúhelníkový prvek se dvěma uzly na hranici. Prointerpolaci jsou použity jednorozměrné lineární funkce tvaru. V tomto případě je hraničníintegrálΓ qeObsah112. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 113ypředepsané ∂ u∂ npředepsané ∂ u∂ nxObr. 5.7 Okrajová podmínka pro hraniční integrályu ku i, x i∂u∂n =konst.u j, x jxObsah113. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Obr. 5.8 Trojúhelníkový element : okrajová podmínka pro hraniční integrál∫︁Γ qew(︂ )︂ ∂∂udΓ = ¯q∂∂n∫︁ x jx i⎧⎪⎨⎪ ⎩x j − xx j − x ix − x ix j − x i⎫⎪⎬dx = ¯q x {︂j − x i 1⎪ ⎭ 2 1}︂(5.31)Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 114Tento sloupec je přidán do umístění asociovaných s uzly i a j. Podobně to bude platiti tehdy je-li hranice rovnoběžná s osou y jen délka příslušné hrany prvku bude y j − y i .Příklad 5.4. 3 Uvažujme o vedení tepla ve dvoudimenzionální oblasti trojúhelníkovéhotvaru, která je rozdělena na čtyři lineární trojúhelníkové prvky, viz obr. 5.9. Na jedné částihranice je předepsán nulový tok (tepla), na druhé části je dán konstantní tepelný tok 2 a natřetí části hranice je předepsána teplota 0. Skutečné hodnoty je vždy možno přepočítat tak,aby odpovídaly rovnici, stačí jen vhodná volba jednotek.4∂u∂n =0u=04∂u∂n =2triangulaceoblastiy∂u∂n =0uz.3uz.631 24uz.1 uz.2 uz.42 2u=0uz.52 2∂u∂n =2xObsah114. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Obr. 5.9 Diskretizace geometrie úlohy vedení teplaV oblasti je šest uzlů. Každý prvek matice je možno obdržet ze dříve uvedených rovnicpro lineární trojúhelníkový prvek. Globální a lokální trojúhelníkový prvek je vidět na obrázcích.Globální číslování uzlů se používá pro identifikaci který uzel je přiřazen kterémuprvku, zatímco lokální číslování souvisí s číslováním ve funkci tvaru. V lokálním číslování seZavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 115bude vždy jednat o uzly 1, 2, 3 pro každý element. Matice je podobná elementu, pro kterýbyla odvozena dříve (posunuté uzly).6 33 33 243 1 5 25 1 5 331 21 1 2 2 2 3 2 1 4 2Obr. 5.10 Lokální a globální číslování uzlů⎡[K e ] = ⎣1 −0, 5 −0, 5−0, 5 0, 5 0−0, 5 0 0, 5Ke každému uzlu pak dáme do příslušného řádku a sloupce součet, který je v jednotlivýchlokálních maticích (1;2;3); (5;3;2); (2;4;5); (3;5;6), čímž vytvoříme globální matici. Napříkladprvek globální matice [K e ], jehož indexy jsou (3;3) je součtem hodnot: 0,5 (z elementu 1; 2;3) + 1 (z elementu 5; 3; 2) + 0,5 (z elementu 3; 5; 6), zatímco např. prvek s indexy (3;4)má hodnotu nula, protože uzel 3 se nevyskytuje společně s uzlem 4 v ani jednom elementu,⎤⎦ ,Obsah115. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 116tj. v ani jedné z lokálních matic.⎡⎤0, 5 −0, 5 0 0 0 0−0, 5 2 −1 −0, 5 0 0[K e ] =0 −1 2 0 −1 0⎢ 0 −0.5 0 1 −0, 5 0⎥⎣ 0 0 −1 −0.5 2 −0.5⎦0 0 0 0 −0, 5 0, 5(5.32)Systém sloupcových vektorů získáme z integrace (součtu) na hranici a předepsané teploty.Tok je dán na šikmé a na svislé hranici, kdežto na vodorovné hranici je předepsána teplota.Tok na hranici pak převedeme do uzlů. Tok na hranici mezi uzly 4-5 a 5-6 je 2; tok na hranic1-3 a 3-6 je nulový a na zbývající části hranice je neznámý. Pokud tento tok rozdělíme nauzly pak v každém uzlu je dán součtem na hranici po obou stranách od uzlu. Tok v uzlu1 je součtem neznámého toku a nulového a je tedy neznámý, tok v uzlu 5 je součtem 2+2tedy 4 podobně v ostatních uzlech. Toky v uzlech 1, 2 a 4 jsou neznámé.{F } T = {︀ F 1 F 2 0 F 4 4 2 }︀ (5.33)Obsah116. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Protože teplota v místech 1, 2 a 4 je známa můžeme sestavit podobně vektor teplot, kdeteploty v místech 3, 5 a 6 jsou neznámé a právě tyto řešíme.{u} T = {︀ 0 0 u 3 0 u 5 u 6}︀(5.34)Určení neznámých teplot, tedy hodnot u 3 , u 5 a u 6 je zapotřebí vyřešit maticovou rovnici[K] · {u} = {F }, (5.35)Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 117F6=2+0=2∂uuz.6∂n =0F 6=0+0=0uz.34uz.53 F 5=2+2=4uz.11 2uz.2 uz.4F 1=0+?=?F 4=2+?=?F 2=?+?=?u=0∂u∂n =2ObsahObr. 5.11 Grafické ztvárnění údajů MKP rovniceV našem případě se jedná o rovnici (soustavu lineárních rovnic)⎡⎤ ⎧ ⎧0, 5 −0, 5 0 0 0 0 0−0, 5 2 −1 −0, 5 0 00[K e ] =0 −1 2 0 −1 0⎪⎨⎫⎪ ⎬ ⎪⎨u ⎢ 0 −0.5 0 1 −0, 5 0· 3=⎥ 0⎣ 0 0 −1 −0.5 2 −0.5⎦u ⎪⎩ 5 ⎪ ⎭ ⎪⎩0 0 0 0 −0, 5 0, 5 u 6F 1F 20F 442⎫⎪⎬⎪⎭(5.36)117. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentV tomto případě lze rovnici řešit i klasicky, ale pro vyšší počty prvků je snadnější použítpočítačové řešení.KonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 118Výsledek pro náš řešený případ jsou teploty ve všech uzlech (ve třech uzlech byly dány).Ve skutečně řešených případech budou matice mnohem rozsáhlejší.{u} T = {︀ 0 0 3 0 6 10 }︀ (5.37)Obvyklá podmínka na hranici je přestup tepla v závislosti na rozdílu teplot. Toto lze vyjádřitrovnicí pro tepelný tok∂∂u∂∂n = α (u − u 0) (5.38)kde α je součinitel přestupu tepla a u 0 je předepsaná teplota okolí. To znamená, že tepelnýtok je úměrný rozdílu teplot mezi povrchem a okolím.Pro Laplaceovu či Poissonovu rovnici platí princip maxima, což pro případ úlohy vedenítepla znamená, že nejvyšší teplota oblasti může být buď na počátku děje nebo na hranicioblasti (bez vnitřních zdrojů tepla). Pro ustálené vedení tepla bez vnitřních zdrojů tepla(Laplaceova rovnice) musí být nejvyšší teplota někde na hranici oblasti a nikdy ne uvnitř.Proto získáme-li řešení Laplaceovy rovnice, které dává maximum uvnitř oblasti, a ne na jejíhranici, je třeba hledat chybu v postupu řešení.Důsledkem principu maxima je, že okrajová úloha má pro dobře zadané okrajové podmínkyjen jediné řešení.Obsah118. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 1195.3. Příklad řešení osově symetrické teplotní úlohyPopis úlohy - zadáníPředmětem řešení je výpočet rozložení teplotního pole v řezu ocelové trubky dle obrázku.Vnější průměr činí 50 mm, vnitřní 25 mm. Na vnějším povrchu trubky je uvažována teplota22 ∘ C, na vnitřním povrchu působí tepelný tok o velikosti 8 W.Obsah119. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Videosoubor s ukázkou řešení soustavy tří prutů dle obrázku.PoznámkaÚloha je mj. řešitelná užitím matematického aparátu popsaného v této kapitole, řád výsledné maticovérovnice konkrétně zvoleném způsobu síťování, tj. počtu uzlů resp. stupňů volnosti.Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 1205.4. Příklad řešení nesymetrické teplotní úlohyPopis úlohy - zadáníPředmětem řešení je výpočet rozložení teplotního pole v řezu ocelové trubky dle obrázku.Vnější průměr činí 50 mm, vnitřní 25 mm. Na vnějším povrchu trubky je zetížen kombinacíokrajových podmínek: na většině obvodu je uvažována teplota 22 ∘ C a na zbylé části působítepelný tok o velikosti 80 W.Obsah120. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Videosoubor s ukázkou řešení soustavy tří prutů dle obrázku.PoznámkaÚloha je mj. řešitelná užitím matematického aparátu popsaného v této kapitole, řád výsledné maticovérovnice konkrétně zvoleném způsobu síťování, tj. počtu uzlů resp. stupňů volnosti.Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 1215.5. Testové otázky1. V trojrozměrném Euklidovském prostoru lze Laplaceovu rovnici zapsat způsobem:(a) ∇ 2 u(x, y, z) = 0, resp. ∇ 2 u = 0(b) ∂∂2∂∂x 2 u(x, y, z) + ∂∂2∂∂y 2 u(x, y, z) + ∂∂2∂∂y 2 u(x, y, z) = 0,(c) oběma uvedenými způsoby.2. Zjistěte, zda funkce u(x, y) = x 2 − y 2 je řešením Laplaceovy rovnice ∇ 2 u(x, y) = 0.(a) Ano.(b) Ne přímo, ale lze ji na takovou funkci převést.(c) Ne.3. Pro funkci u(x, y) = x 2 + x cos(y) určete 2. parciální derivaci podle x, tj.∂∂ 2∂∂x 2 u(x, y).(a) 2x + cos(y).(b) 2 − sin(y).(c) 2.4. Řešení Laplaceovy rovnice uvnitř oblasti je možné za předpokladu, že na hranici oblastijsou předepsány okrajové podmínky. Pro dobře zadanou úlohu platí:(a) na celé hranici je zadaná Dirichletova podmínka, tzn. je známa hodnota řešení nahranici oblasti,Obsah121. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 122(b) na celé hranici je zadaná von Neumannova podmínka, tzn. je známa derivace řešeníve směru vnější normály,(c) v každém bodě hranice je zadaná právě jedna z podmínek, buď Dirichletova nebovon Neumannova.5. Převod dvojného integrálu na dvojnásobný:(a) Není možný nikdy.(b) Lze pro jakoukoliv oblast převést pomocí Fubiniovy věty.(c) Lze převést pomocí Fubiniovy věty jen splňuje-li oblast určité požadavky.6. Pro Kroneckerovo delta δ 1,3 platí:(a) δ 1,3 = 0,(b) δ 1,3 = 1,(c) δ 1,3 = −1.7. Vztah mezi potenciálem φ(x, y, z) elektrostatického pole a rozložením náboje ρ(x, y, z)pro stacionární stav určuje rovnice ∇ 2 φ = − ρ(x,y,z)ε 0, kde ε 0 je permitivita vakua. O jakourovnici se jedná:(a) Laplaceovu,(b) Poissonovu,(c) Dirichletovu.8. Trojúhelníkový prvek s uzly o souřadnicích 1 (0,0), 2 (1,0) a 3 (0,1) s aproximační funkcíu(x, y) = a 1 + a 2 x + a 3 y má plochu:Obsah122. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Laplaceova a Poissonova rovnice 123(a) 1,(b) 2,(c) 0,5.9. Po částech spojitá funkce znamená, že funkce:(a) má spojitou derivaci,(b) má konečný počet bodů nespojitosti,(c) je spojitá v intervalu (−∞, ∞) s vynecháním konečného počtu intervalů konečnédélky.10. Aproximujeme-li 2D oblast pomocí trojúhelníkových elementů, pak hranice oblastibude:(a) po částech lineární,(b) po částech spojitá,(c) nespojitá v každém svém bodě.Obsah123. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Počet správně zodpovězených otázek:Získané body:Procento úspěšnosti:Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

124Literatura[1] Rektorys, K. et al. Přehled užité matematiky I. Praha : SNTL, 1988. 607 s.[2] Kolář, V. Technical physical and mathematical principles of the finite element method.Praha : Academia, 1971.[3] Kolář, V.; Kratochvíl, J.; Leitner, F.; Ženíšek, A. Výpočet plošných a prostorovýchkonstrukcí metodou konečných prvků. Praha: SNTL, 1979.Obsah124. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮[4] Przemieneicki, J. S. Theory of Matrix Structural Analysis. New York: McGraw-Hill,1968.[5] Hughes, T. J. R. The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite ElementAnalysis. Engelwoods Cliffs: Prentice Hall, 1987.[6] Bathe, K. J. Finite Element Procedures. Engelwoods Cliffs: Prentice Hall, 1996.[7] Smith, I. M.; Griffiths, D. V. Programming the Finite Element Method. Chichester:John Willey & Sons, 1998.Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Literatura 125[8] Crisfield, M. A. Finite Elements and Solution Procedures for Structural Analysis. Swanesa:Pineridge Press, 1986.[9] Likeš, J.; Machek, J. Matematická statistika. Praha: SNTL, 1988.[10] Björck, A. Numerical Methods for Least Squares Problems. Philadelphia: SIAM Publications,1996 .[11] Vitásek, E. Numerické metody. Praha : SNTL, 1987. 514 s.[12] Babuška, I.; Práger, M.; Vitásek, M. Numerické řešení diferenciálních rovnic. Praha:SNTL, 1964.[13] Bittnar, Y.; Řeřicha, P. Metoda konečných prvků v dynamice konstrukcí. Praha: SNTL,1981.Obsah125. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮[14] Kolář, V.; Němec, I.; Kanický, V. FEM - principy a praxe metody konečných prvků.Praha: Computer Press, 1997.[15] Rektorys, K. Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematickéfyziky. Praha: Academia, 1999.[16] Zienkiewicz, O. C. The Finite Element Method in Engineering Science. London: Mc-Graw Hill, 1971.Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Literatura 126[17] Huebner, K. H.; Dewhirst, D. L.; Smith, D. E.; Byrom T. G. The Finite ElementMethod For Engineers. John Wiley & Sons, 2001. ISBN 0-471-37078-9.[18] Evans, L. C. Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence,1998. ISBN 0-8218-0772-2.[19] Langhaar, H. L. Energy Methods in Applied Mechanics. New York: John Willey & Sons,1962.[20] Washizu, K. Variational Methods Elasticity and Plasticity. Oxford: Pergamon Press.1982.[21] Zienkiewicz, O. C.; Taylor, R. L. The Finite Element Method. London: McGraw-Hill,1989.Obsah126. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮[22] Crandall, S. H. Engineering Analysis. New York: McGraw–Hill, 1956.[23] Finlayson, B. A. The method of Weighted Residuals and Variational Principles. NewYork: Academic Press, 1972.[24] Fletcher, C. A. J. Computational Galerkin Methods. Berlin: Springer–Verlag, 1984.[25] Macneal, R. H. Finite Elements: Their Design and Performance. New York: MacelDekker, 1994.Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

127RejstříkAaplikace inženýrská, 87aproximace, 10deformace, 60speciální, 28tvar, 30, 31, 41, 58aproximační polynom, 58CCramerovo pravidlo, 103Ččíslování uzlůglobální, 114lokální, 114člendeformační, 56, 65namáhaný krutem, 82namáhaný osově, 82, 87namáhaný torzí, 87setrvačný, 56, 66Ddeformace, 89od osové síly, 88deformační parametr, 67derivaceaproximační funkce, 60funkce tvaru, 62parciální, 17podle času, 61podle konstant, 41podle souřadnic, 60, 62diskretizacekontinua, 65oblasti, 42Obsah127. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Rejstřík 128doména, 30Eelektrický obvod, 82element, 41, 42, 49, 621D, 38lineární, 84, 105oblasti, 101prutový, 54, 61, 65trojúhelníkový, 102Fformulacesilná, 12, 19, 29slabá, 19, 20, 29–32, 41, 56vlastnosti, 21formulceGalerkinova (MKP), 34funkceaproximační, 13, 15, 17, 30, 35, 36, 38,39, 105diferencovatelnost, 19, 20aproximační ˜u, 14, 57lineární, 58, 102po částech lineární, 28, 30po částech spojitá, 28, 34, 35testovací, 14, 18, 31tvaru, 38, 40, 49, 62, 104, 109Lagrangeovy, 109lineární, 40vlastnosti, 40uzlových proměnných, 36, 38váhová, 14, 18, 41, 61, 66váhová w, 14, 31, 57, 62zkušební, 28Hhodnotafunkce tvaruv uzlu, 40řešení v uzlu, 38, 41, 59v uzlu, 48, 86nulová, 48hraniceoblasti, 98, 100, 105, 116Iintegrace, 45integrálhraniční, 112KkoeficientyObsah128. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Rejstřík 129aproximační a, 14, 18, 29, 30, 35, 103soustavy c, 39, 58konečný prvek, 34Kroneckerovo delta, 41, 104Llineární pružina, 82Mmatice, 44, 102čtvercová, 67, 84globální, 115hmotnosti, 64, 65tuhosti, 65, 67, 84, 105, 106, 108, 110singulární, 84, 85maticový zápis, 46, 48, 49metodaGalerkinova, 15, 18, 31, 41, 57, 61konečných prvků (MKP), 34, 72, 102,104nejmenších čtverců, 14, 17, 57numerické integrace, 108, 112per-partes, 19, 57vážených reziduí, 11, 12, 19, 61MKP, 61, 81, 86modul pružnostiYongův, 55, 88Nneznáméprimární, 48, 86sekundární, 48, 86Ookrajová podmínka, 28, 41, 48, 58, 68, 98Dirichletova, 48, 84, 85, 89, 98nulová, 12von Neumannova, 31, 48, 98, 112Ppohybový stavtělesa, 83poměrná deformace, 55principD’Alambertův, 75D’Almbertův, 65maxima, 118prostorn-rozměrný, 97prutová konstrukce, 53prvek matice, 45globální, 115přesnost aproximace, 105Obsah129. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Rejstřík 130přesnost aproximovaného řešení, 13příklad řešení (video), 6odstupňovaný prut v tahu, 91prutová soustava, 76teplotní úlohaosově symetrická, 119rovinná úloha, 120Rreziduavážená, 18–20, 29, 31, 32, 35, 41, 47,48, 56, 57, 62, 98reziduál, 13, 14, 17vážený průměr I, 14rovnicediferenciální, 11, 16, 19, 28, 30, 41Laplaceova, 95, 97, 118parciální diferenciální, 97pohybová, 54Poissonova, 95, 97, 107, 110, 118rovnováhy, 86, 88statické rovnováhy, 84Řřáddiferenciíalní rovnice, 101soustavy rovnic, 29řešeníanalytické, 82aproximační, 16, 28, 29přesnost, 28zpřesnění, 17jediné, 118přesné, 13, 14, 16, 30přibližné, 11, 15, 16, 19, 30uzlové, 38v uzlu, 36, 48Ssetrvačnost, 57setrvačný účinek, 64, 65sílaosová, 84, 87reakční, 86soustavalineárních pružin, 84, 87staticky neurčitá, 86staticky určitá, 85soustava rovniclineární, 39stupeň volnosti, 65subdoména, 30, 34Obsah130. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Rejstřík 131systémlineární, 82Ttestové otázkyautotest, 22, 50, 77, 92, 121třídafunkceaproximační, 30tuhost, 57, 84tvaraproximace, 62trojúhelníkový, 102tyč namáhaná tahem, 87Uúlohadynamická, 65statická, 65uvolnění těles, 83, 84uzel, 102, 104, 114Vvedení tepla, 82, 97, 114vektor, 102aproximačních koeficientů, 59funkcí tvaru, 44, 60, 64normálový, 101uzlových hodnot, 44, 47, 61, 67uzlových sil, 84větaFubiniova, 99, 100, 110Greenova, 101vlastní tíha, 65výchylka tělesa, 83vztahkonstitutívní, matriálu, 55ZzákonHookův, 55Newtonův, 54, 56, 74zápismaticový, 58, 59, 63, 66, 84, 102, 108rovnnováhy, 86Obsah131. strana ze 131◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentKonecCelá obrazovka ⧸︀ Okno