n+1 - Matematika pro inženýry 21. století

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010[ Y ′]U[ Y ]aU⎡ U′⎡ ′1 ⎤ I1⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢.⎥ = ⎢.×⎥⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣U′⎦ ⎣ ′n+ 1In+1⎦⎡Ua ⎤ ⎡YaaY×⎢ ⎥=⎢⎢Ub⎥ ⎢YbaY⎢⎣U⎥⎦⎢c ⎣YcaYabbbcbYYYacbccc⎤ ⎡U⎥×⎢⎥ ⎢U⎥⎦⎢⎣Uabc⎤ ⎡I⎥=⎢⎥ ⎢I⎥⎦⎢⎣Iabc⎤⎥⎥⎥⎦Propojení (incidence) je definováno zřejmými vztahy (shoda napětí je znakem paralelnostiřazení obvodů)= U′1; U2= U′2;....;U = ′ = ;...; = ′ = ;...; = ′ =′kUkUaUmUmUcUrUrUbUn+ 1= Un+1U1;...;Pro proudy platí podle 1. Kirchhoffova zákona= I′1; I2= I′2;....;I = ′ + ;...; = ′ + ;...; = ′ +′kIkIaImImIcIrIrIbIn+ 1= In+1I1;...;Popis propojeného systému má nyní tvar[ Y ]U⎡ U1⎢⎢.⎢ .⎢⎢Uk⎢ .⎢⎢ .× ⎢Um⎢⎢ .⎢.⎢⎢Ur⎢⎢ .⎢ .⎢⎣Un⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=⎡ I⎢⎢.⎢ .⎢⎢ I⎢ .⎢⎢ .⎢ I⎢⎢ .⎢.⎢⎢ I⎢⎢ .⎢ .⎢⎣In1kmr⎤ ⎡ I′1⎥ ⎢⎥ ⎢.⎥ ⎢ .⎥ ⎢⎥ ⎢ I′k⎥ ⎢ .⎥ ⎢⎥ ⎢ .⎥ = ⎢ I′m⎥ ⎢⎥ ⎢ .⎥ ⎢.⎥ ⎢⎥ ⎢ I′r⎥ ⎢⎥ ⎢ .⎥ ⎢ .⎥ ⎢⎦ ⎣I′n+⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡0⎤⎢ ⎥⎢0⎥⎢ . ⎥⎢ ⎥⎢Ia⎥⎢0⎢⎢ .+ ⎢I⎢⎢0⎢.⎢⎢I⎢⎢⎢⎢⎣+ 1 + 110⎥⎥⎥⎥c⎥⎥⎥⎥b⎥⎥0⎥. ⎥⎥⎦Nyní vyjádříme proudy „s čárkou“ i proudy I a , I b , I c v „bázi“ U 1 až U n+1 . Vždyť platíU = U ′ = U ; U = U ′ = U ; U = U ′ = U atd.kkammcrrbZískáváme rovnost6

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010Výslednou matici [ Y ] Ulze získat přímo „projekcí“ rovnic= U ; U = U ; U U „do matice [ Y′ ] U“ (projekcí propojení – incidence – uzlůUk a m c r=bobou systémů). Do „velké“ matice vyznačíme propojení s „menší“ maticí [ Y a] U- do řádků isloupců. Nyní není nutné používat odlišení prvků „velké“ matice „čárkami“. Odpovídajícípřičítané parametry získáme v místech „incidence“ matic:1 2 . k (a) . m (c) . r(b) . n n+1=z1 Y 11 Y 12 . Y 1k Y 1m . Y 1r . Y 1n Y 1z2 Y 21 Y 22 . . . . . Y 2n Y 2z. . . . . . . . .k (a) Y k1 . Y kk +(Y aa ) Y km +(Y ac ) Y kr +(Y ab ) . Y kn Y kz.m (c) Y m1 . Y mk +(Y ca ) Y mm +(Y cc ) Y mr +(Y cb ) . Y mn Y mz.r (b) Y r1 . Y rk +(Y ba ) Y rm +(Y bc ) Y rr +(Y bb ) . Y rn Y rz. . . . . . . . .n Y n1 . Y nk Y nm Y nr . Y nn Y nzn+1=z Y z1 . Y zk Y zm Y zr . Y zn Y zzTímto způsobem přímo transformujeme „menší“ matici do báze matice „větší“. Pokud jepropojováno více systémů, postup analogicky opakujeme.1.5. 1. Propojení dvou různých systémů – incidenční maticePropojení obou systémů můžeme definovat pomocí incidenční matice. Zaveďmepomocnou incidenční matici [ T ], která popisuje jednoznačně vztah mezi bázemiUa; Ub; Uca U1až U n + 1. Vyjděme z rovností Uk= Ua; Um= Uc; Ur= Ub:⎡ U1⎤ ⎡00 0⎤⎡00 0⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢.⎥ ⎢0 0 0⎢ ⎥⎥⎢0 0 0⎥⎢ . ⎥ ⎢ . . . ⎥⎢.. . ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ Uk ⎥ ⎢10 0⎥⎢10 0⎥⎢ . ⎥ ⎢00 0⎥⎢00 0⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ . ⎥ ⎢ . . . ⎥ ⎡Ua ⎤⎢.. . ⎥⎢ U ⎥ = ⎢ ⎥ ×⎢ ⎥m0 0 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Ub ⎥tedy [ T ] = ⎢00 1⎥⎢ ⎥⎢ . ⎥ ⎢00 0⎥⎢⎣U ⎥c ⎦⎢00 0⎥⎢.⎥ ⎢. . .⎥⎢. . .⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ Ur⎥ ⎢01 0⎥⎢01 0⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢.⎥ ⎢0 0 0⎥⎢00 0⎥⎢ . ⎥ ⎢ . . . ⎥⎢.. . ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣Un+1⎦⎣00 0⎦⎣00 0⎦8

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010Lze dokázat, že transformovanou matici získáme následujícím způsobem:[ Y ] = [ T] × [ Y ] × [ T] TtUaUČtvercová matice [ Ya]rozměru 3x3 je tak transformována na matici rozměru (n+1)x(n+1).Výslednou admitanční matici propojených systémů nyní můžeme napsat ve tvaru[ Y ] = [ Y′] + [ Y ] = [ Y′] + [ T] × [ Y ] × [ T] TUtUUIncidenční matici lze ovšem konstruovat i druhým možným způsobem. Nyní vyjděmez rovností U = U ; U = U ; U = U :⎡U⎢⎢U⎢⎣Uabc⎤ ⎡0⎥=⎢⎥ ⎢0⎥⎦⎢⎣0a000...k100Zřejmě platí [ ] [ T ] T000T = ′ .b...001r000c...010m000...aU⎡ U1⎢⎢.⎢ .⎢⎢Uk⎢ .⎢0⎤⎢ .0⎥ ⎢⎥× Um⎢0⎥⎦⎢ .⎢.⎢⎢Ur⎢⎢ .⎢ .⎢⎣Un⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=[ T′]⎡ U⎢⎢.⎢ .⎢⎢U⎢ .⎢⎢ .× ⎢U⎢⎢ .⎢.⎢⎢U⎢⎢ .⎢ .⎢⎣Un+ 1+ 1Pro propojené systémy tedy získáme výslednou admitanční matici pomocí vztahuTT[ Y] = [ Y′] + [ Y ] = [ Y′] + [ T] × [ Y ] × [ T] = [ Y′] + [ T′] × [ Y ] × [ T ]′U U t U Ua UUa Upřičemž definice použitých symbolů je zřejmá z předchozího textu.Transformace matice [ Y] U as jiným počtem pólů bude analogická.Tímto způsobem lze získat admitanční modely elektronických struktur a řešit je, toznamená určit všechna uzlová napětí jako funkci proudů vstupujících do uzlů z externíchzdrojů proudu. Známe-li všechna uzlová napětí, můžeme pomocí Ohmova zákona dopočítat iproudy všemi obvodovými prvky zapojenými mezi uzly. Samozřejmě stejně lze určovat imodely propojených pasívních obvodů (lineárních).1kmr⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦9

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 20101.6. Určení prvků Y kl pasívního obvoduKonkrétní admitance (fyzické) mezi jednotlivými uzly označme pro rozlišení malýmipísmeny y lk . V reálném fyzikálním prostředí platí pro pasívní obvody vždy rovnost y kl = y lk .Na obr. 4 je znázorněna obecná situace (uvažujeme vždy všechny uzly obvodu) pro k ≠ l.UZEL lUZEL kI lI ky lky 1ky (n+1)kU lI 1I n+1UZEL 1UZEL (n+1)Obr. 4. Určování Y lk (U l ≠ 0, ostatní napětí jsou nulová); k ≠ lZřejmě platí, žeI1= I2= ... = Il−1= Il+1= ... = Ik−1= Ik+1= ... = In+1= 0protože nenulové napětí je pouze mezi uzly k a l. Z Ohmova zákona (zobecněný tvar proustálený harmonický stav) určíme, že (šipky napětí a proudu orientovány shodně, proto podlespotřebičové konvence použijeme znaménko kladné)I = U y = Ullkllylka z 1. Kirchhoffova zákona platízřejmě platí, žeIk= −Il= −Ulykl. Podle definice je YklIk/ Ul= , tedyYkl= I / Ukl= −ykl= − ylkPro pasívní obvody je prvek (meziuzlová admitance)prvků zapojených mezi uzly k a l (k ≠ l).Yklroven záporné hodnotě admitanceNa obr. 5 je znázorněna situace pro k = l. Na všech admitancích je nyní napětí U k az Ohmova zákona (šipky napětí a proudu na admitancích jsou nyní orientovány opačně, protopodle spotřebičové konvence použijeme znaménko mínus) určíme proudy jednotlivými prvkyobvodu:I1= −Uky1k; ... Ii= −Ukyik; ... I( n+ 1)= −Uky(n+1)k10

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010UZEL iUZEL kI iI ky iky 1ky (n+1)kU kI 1I n+1UZEL 1UZEL (n+1)Obr. 5. Určování Y kk (U k ≠ 0, ostatní napětí jsou nulová)Proud I k určíme z 1. Kirchhoffova zákona –je definován sumou všech ostatních proudů:Ik= −(In∑ + 11+ I2+ ... + Ik −1+ Ik + 1+ ... + In+1)= Ukyjk;j=1Nyní již snadno určíme, že platíj ≠ kYkk= Ik/ Uk=n∑ + 1j = 1yjk;j ≠ kPro pasívní obvod je prvek (uzlová admitance)které jsou do uzlu připojeny.Ykkurčen součtem všech admitancí yjk,Z udělaných úvah je zřejmé, že (y kl = y lk ) admitanční matice pasívního obvodu je vždysymetrická. Prvky na diagonále jsou dány sumou uzlových admitancí (znaménko plus), prvkymimo diagonálu jsou definovány odpovídajícími meziuzlovými admitancemi se znaménkemzáporným. Tento závěr platí pro uvedenou šipkovou konvenci.1.7. Určení prvků Y kl aktivního obvodu1.7.1 Klasický postup linearizace - např. [4]Klasickým aktivním prvkem elektronických obvodů je trojpól (elektronka, tranzistor),který je (při jednom vývodu referenčním) popsán pomocí dvou napětí a dvou proudů - obr.6.Závislosti mezi proudy a napětími jsou obecně nelineární a mohou být popsány funkcí dvouproměnnýchiiab==f ( u12af ( ua, ub, ub))11

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010Reálná měření probíhají vždy s jedním pólem referenčním, získáváme tedy obvykle pouzematici zkrácenou.Při linearizaci nás zajímá malá oblast napětí a proudů v okolí nějakého vhodnéhopracovního bodu u a0 , u b0 . To vyjádříme pomocí malých změn napětí ∆u a,b :uuab= u= ua0b0+∆u+∆uabaiaua[ Y ]aibubbuc= 0icc= −ia− ibObr. 6. Symbolická značka trojpólu; zde malápísmenka značí obecně časově proměnnéTyto malé změny napětí vyvolají odpovídající změny proudůiiab==f ( uf12( ua0a0+∆u, uaab0+∆u, ub0+∆ub+∆ub))Rozvineme-li rovnice v Taylorovu řadu a uvažujeme pouze derivace 1. řádu, obdržíme [4]⎛ ∂ ia∂ ia⎞i ≅+⎜ ∆ + ∆⎟af1(ua0,ub0) uaub⎝ ∂ ua∂ ub⎠ib≅f ( u2a0, ub0⎛ ∂ i) +⎜⎝ ∂ uba∆ua∂ i+∂ ubb∆ub⎞⎟⎠Členy ia0 ≅ f1( ua0,ub0),ib0≅ f2( ua0,ub0)určují klidové pracovní proudy. Musí být nalezenygraficky nebo numericky z nelineárních popisů zkoumaných trojpólů. Zbývající členypopisují odezvy proudů ∆i a,b na změny napětí ∆u a,b . Je zřejmé, že∆i∆iab∂ i≅∂ ua∂ i≅∂ ubaa∆u∆uaa∂ i+∂ ua∂ i+∂ ubbb∆u∆ubb12

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010Parciální derivace definují diferenční parametry trojpólu, které určujeme z jejichcharakteristik (popisů) v okolí pracovního bodu. Při vhodně zvoleném režimu lze považovatveličiny (vodivosti)∂ ia∂ ia∂ ib∂ ibgaa= ; gab= ; gba= ; gbb=∂ u∂ u∂ u∂ uabza nezávislé na změnách napětí ∆u a proudů ∆i. Jedná se o linearizovaný model v pracovnímbodě u a0 , u b0 .Časové průběhy napětí a proudů se při analýze obvodů zaměňují jejich komplexnímiobrazy (fázory) nebo operátorovými obrazy (I a ; I b ; U a ; U b ). Potom může být trojpól popsán(pro malé signály) vodivostními (obecně admitančními) rovnicemi (g aa → Y aa , g ab → Y ab , g ba→ Y ba , g bb → Y bb )IIab= g= gaabaUUaa+ g+ gabbbUUTomu odpovídá maticový zápis (zkrácená matice)bbab⎡I⎢⎣Iab⎤ ⎡g⎥ = ⎢⎦ ⎣gaabaggabbb⎤ ⎡⎥ × U⎢⎦ ⎣Uab⎤⎥;⎦⎡g⎢⎣gaa ab ⎤[ Y ] = ⎥ ⎦aZKRbaggbbPro dříve uvedený algoritmus přímé projekce je vhodný „tabulkový zápis“ zkrácené maticea ba g aa g abb g ba g bbzkrácená maticetrojpólu –referenční bod cTýž aktivní prvek však nemusí mít v jiném zapojení uzemněn (k referenční svorcevztažen) právě „vhodný“ uzel nebo nemá uzemněný žádný uzel. Jak získáme úplný souborparametrů (ovšem vždy ve stejné pracovním bodě)?Stačí získat úplnou matici. Ke zkrácené matici přidáme jeden řádek a jeden sloupec – uzelc odpojen od referenčního bodu. K doplnění prvků matice rozšířené použijeme základníchvlastností úplné matice o nulové sumě admitancí v řádcích i sloupcích - prvky doplníme tak,aby součet v každém řádku a v každém sloupci byl roven nule:a b ca g aa g ab – g aa –g abb g ba g bb – g ba – g bbc – g aa – g ba –g ab – g bb g aa + g ab + g ba + g bbúplná matice trojpólu – definována pomocíparametrů zkrácené matices referenčním bodem c13

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010Pokud je dále kterýkoliv uzel uzemněn, volíme jej za referenční a vždy eliminujemeodpovídající řádek a sloupec matice úplné - získáváme tak popis aktivního prvku se správným(požadovaným ) společným (referenčním) bodem.Pokud bude aktivní prvek vícepólový, úvahu analogicky rozšíříme. Pro čtyřpól (a, b, c, d)s referenčním uzlem d bude platit popiskdeproIIIabc= g= g= gaabacaUUUaaa∂ ijgjk=∂ ukj = a, b, ck = a, b, c+ g+ g+ gabbbcbUUUbbb+ g+ g+ gacbcccUUUccc1.7.2 Využití lineárních obvodových modelů zesilovacích struktur (Dodatek 2)Pokud známe lineární obvodové modely zesilovacích struktur, můžeme se vyhnoutklasickému postupu linearizace. Admitanční model získáme velmi jednoduše tak, že prozavedenou šipkovou konvenci vyjádříme všechny do obvodu vstupující proudy jako funkcivšech uzlových (pólových) napětí.NEINVERTUJÍCÍVSTUPI+ + = 0+U dZ oI oVÝSTUPoU +U--I - = 0-AU d =A(U + - U - )U oINVERTUJÍCÍVSTUPObr. 7. Lineární obvodový model idealizovaného diferenčního operačního zesilovačes reálným zesílením A (zesílení diferenčního napětí U d naprázdno) a výstupníimpedancí Z o ; vstupní proudy jsou idealizovány (rovny nule);obecně se jedná oreálný zdroj napětí řízený napětím14

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010Pro příklad určeme admitanční matici příslušnou diferenčnímu operačnímu zesilovači sezesílením A, výstupní impedancí Z o a nulovými vstupními proudy (idealizovaný parametr).Vzhledem k tomu, že výstupní napětí operačního zesilovače je vždy vztaženo k jehovnitřnímu referenčnímu bodu, sestavujeme pouze matici zkrácenou (i když formální získánímatice úplné je jednoduché). Bez ohledu na skutečnou obvodovou realizaci operačníhozesilovače, shora uvedený slovní popis dostatečně vystihuje obvodová struktura na obr. 7.Pro výstupní obvod platí (aplikace 2. Kirchhoffova zákona a Ohmova zákona)Uo( U )= Z I + A⋅Uoo+ −−Je snadné upravit všechny podmínky do „admitanční“ podoby:III+−o= 0 ⋅U= 0 ⋅U++= −A⋅Y+ 0 ⋅U+ 0 ⋅Uo⋅U+−−+ 0 ⋅U+ 0 ⋅U+ A⋅Yooo⋅U−+ Yo⋅Uokde Yo= 1/Zoje výstupní admitance operačního zesilovače.Platí tedy⎡I⎢⎢I⎢⎣I+−o⎤ ⎡ 0⎥ ⎢⎥=⎢0⎥⎦⎢⎣−AYo00AYo0 ⎤ ⎡U0⎥×⎢⎥ ⎢UY ⎥⎦⎢o ⎣U+−o⎤⎥⎥⎥⎦tedy admitanční matice (zkrácená; admitanční model) je+ - o+ 0 0 0- 0 0 0o – AY o AY o Y oadmitanční matice operačníhozesilovače (zkrácená)15

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 20101.8. Příklad 1Analyzujme strukturu na obr. 8. Máme určit přenos z uzlu 1 do uzlu 2.1Y 3Y 5Y 1 3 Y 254-+[ Y a] ZKRo2SPOLEČNÝ REF. BODObr. 8. Analýza struktury s operačním zesilovačem1) Po přiřazení čísel uzlům (všem) obvodu sestavíme matici pasívní části obvodu – obr. 9.1Y 3Y 5Y 1 3 Y 2Y 4425SPOLEČNÝ REF. BODObr. 9. Pasívní část obvodu z obr.8Na základě udělaných úvah zřejmě platí, žeY = = - to jsou všechny admitance připojené do uzlu 111Y1y13Y = 0 12- mezi uzly 1 a 2 není přímo připojena žádná admitanceY = −Y= − - admitance mezi uzly 1 a 313 1y1314= Y15= 0Y - žádné admitance mezi uzly16

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010Y = 0 21- mezi uzly 1 a 2 není přímo připojena žádná admitanceY22= Y3+ Y5= y23+ y24- to jsou všechny admitance připojené do uzlu 2atd.:1 2 3 4 51 Y 1 - Y 12 Y 3 + Y 5 - Y 3 - Y 53 - Y 1 - Y 3 Y 1 + Y 2 + Y 3 +Y 4 - Y 2 - Y 4 = [Y´] U4 - Y 5 - Y 2 Y 2 + Y 55 - Y 4 Y 42) Do matice rozměru 5x5 vepíšeme incidence (+), (-), (o) – k patřičným uzlům – a pomocí„incidencí“ přičteme prvky matice operačního zesilovače. Uzel 5 je spojen s referenčnímbodem, tedy 5. řádek a 5. sloupec se eliminují, ani nebylo nutné je vyplňovat:1 2 (o) 3 4 (-) 5 (+)1 Y 1 - Y 12 (o) Y 3 + Y 5 + Y o - Y 3 - Y 5 +AY o -AY o3 - Y 1 - Y 3 Y 1 + Y 2 + Y 3 +Y 4 - Y 2 - Y 4 = [Y] U4 (-) - Y 5 - Y 2 Y 2 + Y 55 (+) - Y 4 Y 4+ - o+ 0 0 0- 0 0 0o – AY o AY o Y o3) Je-li uzel 5 propojen na společný referenční bod, je celá struktura popsána zkrácenoumaticí (eliminuje se 5. řádek a 5. sloupec) – od začátku bylo možné pracovat přímo sezkrácenou maticí pasívní části obvodu. Uvažujeme-li pouze jediný (signálový) nenulový zdrojproudu I 1 do uzlu 1 (vstup obvodu), je admitanční model obvodu z obr.8 následující:1 2 (o) 3 4 (-)1 Y 1 - Y 1 U 1 I 12 (o) Y 3 + Y 5 + Y o - Y 3 - Y 5 +AY o U 2 03 - Y 1 - Y 3 Y 1 +Y 2 + Y 3 +Y 4 - Y 2 x U 3 = 04 (-) - Y 5 - Y 2 Y 2 + Y 5 U 4 017

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 20104) Sestavme pro ilustraci rovněž incidenční matici [ T ]:Ze základní identityU2Uo;U4= U−; U5== U+určíme⎡U⎢⎢U⎢U⎢⎢U⎢⎣U12345⎤ ⎡0⎥ ⎢⎥ ⎢0⎥ = ⎢0⎥ ⎢⎥ ⎢0⎥⎦⎢⎣1000100⎤1⎥⎥⎡U0⎥×⎢⎥⎢U0⎥⎢⎣U0⎥⎦+−o⎤⎥⎥⎥⎦⇒⎡0⎢⎢00⎤1⎥⎥[ T] = ⎢00 0⎥⇒[ T]⎢⎢0⎢⎣10010⎥0⎥0⎥⎦T⎡0=⎢⎢0⎢⎣00010000101⎤0⎥⎥0⎥⎦Odsud dálePŘEVOD DO ODPOVÍDAJÍCÍCH ŘÁDKŮ[ Y ] = [ T ] × [ Y ] × [ T ]t⎡ 0⎢⎢− AY= ⎢ 0⎢⎢ 0⎢⎣ 0oa0AY010o⎡0⎢0⎢T= ⎢0⎢⎢0⎢⎣10⎤Y⎥o⎥⎡00⎥×⎢⎥⎢00⎥⎢⎣00⎥⎦000100010⎤1⎥⎥⎡ 0 00⎥×⎢⎢0 0⎥0⎥⎢⎣−AYoAYo0⎥⎦⎡000 0 1⎢⎤⎢0 Yo0 1 0⎥= ⎢⎥0 0⎢0 0 0⎥⎦⎢00⎢⎣000⎤⎡00⎥×⎢⎥ ⎢0Yo⎥⎦⎢⎣0000AYo0 00 00 00010000100 ⎤− AY⎥o⎥0 ⎥⎥0 ⎥0 ⎥⎦1⎤0⎥⎥=0⎥⎦PŘEVOD DO ODPOVÍDAJÍCÍCH SLOUPCŮNyní určíme výslednou matici obvodu[ Y ] = [ Y ′] + [ Y ]t⎡ Y1⎢0⎢= ⎢−Y⎢⎢ 0⎢⎣ 01Y30+ Y−Y−Y0355Y + Y1−Y−Y213+ Y−Y2−Y43+ Y4Y0−Y−Y2+ Y052500−Y0Y44⎤ ⎡0⎥ ⎢⎥ ⎢0⎥+⎢0⎥ ⎢⎥ ⎢0⎥⎦⎢⎣00Yo000000000AY000o0 ⎤− AY⎥o⎥0 ⎥⎥0 ⎥0 ⎥⎦Po sečtení a eliminaci 5. řádku a 5. sloupce (uzel 5 propojen s referenčním uzlem) získávámeopět shora uvedený admitanční model elektronické struktury z obr.8.18

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 20101.9. Určení napěťového přenosuStanovení napěťového přenosu je v elektronickém obvodu nejčastější úlohou. Přenosz uzlu k do uzlu r definujeme jako podíl odpovídajících uzlových napětí:P = Uk→rrUkUzel k je vstupem (vstupním uzlem) struktury, uzel r je výstupem struktury.V praxi nejčastěji volíme k ≡ 1 a r ≡ 2 (řešení přenosu soustavy není pochopitelně funkcíprvotního přiřazení čísel uzlům) a do uzlu k často vstupuje jediný nenulový proud. Prouvedený příklad snadno určíme pomocí Cramerova pravidla, že přenos zkoumané struktury jepro ideální operační zesilovač, kdy A → ∞ , určen vztahemPU21→2= =Ulim1 A→∞⎡ Y1I1⎢0 0det⎢⎢−Y10 Y⎢⎣ 0 0⎡I10⎢0 Y3Y5Y0det⎢+ +⎢ 0 − Y3⎢⎣ 0 −Y51+ Y1−Y21−Y3+ Y− Y2Y + Y23−Y1−Y3+ Y−Y+ Y234+ Y−Y4Y520+ AY− Y2+ Y− YY52500+ AY−Y⎤⎥⎥⎥⎥⎦2+ Y50⎤⎥⎥⎥⎥⎦P1→2U=U21=Y Y23−Y1Y2+ Y ( Y + Y512+ Y3+ Y4)Vhodnou fyzikální volbou jednotlivých admitancí obvodu (Y 1 až Y 5 ) získáme různéinvertující filtry 2. řádu. Například při volbě ( p = jω;admitance rezistoru je G=1/R;admitance kapacitoru C je jω C ):Y ; Y = pC1= G1Y2= G2;Y3= G3;Y4= pC4;55obdržíme pro ideální operační zesilovač přenosUU21=p2C4C5− G1G2R31/( R2R3C4C5)= − ⋅2+ pC5( G1+ G2+ G3) + G2G3R1p + p(1/R1+ 1/ R2+ 1/ R3) + 1/( R2R3C4C5)Jedná se o invertující dolní propust 2. řádu. Srovnáme-li tuto přenosovou funkci s obvyklýmformalizovaným tvarem přenosu pro dolní propusti 2. řáduP DP 2ω20= P1→ 2= K0⋅2p + ξω0p2 + ω2019

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010můžeme určit, že⎛⎞2C5⎜R2R3R3R2K = −== ⋅⎟0R3/ R1;ω01/( R2R3C4C5); 2ξ+ +2C.4 ⎝ R1R2R3⎠Vyšetřením extrémů modulu přenosu zjistíme, že na úhlovém kmitočtu22ωm= ω0 ⋅ 1−2ξje maximum modulu přenosu = ( R / R ) /(2ξ1−) , modulP DP 2 max 3 1ξ2( ω0) ( R3/ R1) /(2ξpřenosu na charakteristickém úhlovém kmitočtu ω0je P DP= ) , modulpřenosu pro ω → 00 je P ( 0) ( / )DP 2= R3R1- kvalitativní zobrazení viz obr. 10.PDP2RR31( R3/ R1) /(2ξ1−ξ2)(1R3/ R ) /(2ξ)ωm ω0ωObr. 10. Modul přenosu obvodu z obr. 8 pro: Y1= G1; Y2= G2; Y3= G3;Y4= pC4;Y5= pC5Předpoklad A → ∞ zavádí pojem ideální operační zesilovač. Vlastnosti elektronickéstruktury s ideálním operačním zesilovačem jsou definovány pouze pasívními prvkyelektronické struktury. V tomto smyslu představuje přenos na obr. 10 ideální (požadovaný)stav. Pro reálný operační zesilovač můžeme v nejjednodušším případě definovat pouzevýstupní vodivost ( Y0= G0= 1/R0), tak jak je tomu v admitančním modelu, a použít prozesílení model s jedním pólem přenosuω ωA= AA1T0⋅ = ; ωT=0⋅ω1p+ω1p+ω1Tyto vlastnosti ovlivní všechny vlastnosti struktury – v praxi vždy nepříznivě. Přenos obvodu(a další vlastnosti) se odchyluje od požadovaného ideálu. Výpočty jsou přiměřeně náročnější.Pokud chceme zahrnout i vstupní odpory operačního zesilovače (diferenční - R d ,souhlasný odpor invertujícího a neinvertujícího vstupu – R CM – předpokládá se stejnáhodnota), postupujeme podle již stanovených pravidel. Tyto odpory prostě dokreslíme doobvodu a považujeme je za součást pasívní části struktury – situace pro obvod z obr. 8 jeznázorněna na obr. 11.20

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 20101Y 3Y 5G CM = 1/ R CMY 1 3 Y 24G d = 1/ R dY 425G CM = 1/ R CMSPOLEČNÝ REF. BODObr. 11. Pasívní část obvodu z obr.8 doplněná o vstupní vodivosti operačního zesilovačeSnadno tak získáme odpovídající admitanční matici struktury, která zahrnuje vlastnostireálného operačního zesilovače (zesílení A, výstupní odpor R 0 , diferenční vstupní odpor R d avstupní souhlasné odpory R CM ):1 2 (o) 3 4 (-) 5 (+)1 Y 1 - Y 12 (o) Y 3 +Y 5 +G o - Y 3 - Y 5 +A.G o -A.G o3 - Y 1 - Y 3 Y 1 +Y 2 + Y 3 +Y 4 - Y 2 - Y 4 = [Y] U4 (-) - Y 5 - Y 2 Y 2 +Y 5 +G CM +G d - G d5 (+) - Y 4 - G d Y 4 + G CM + G d+ - o+ 0 0 0- 0 0 0o – A.G o A.G o G oAdmitanční model obvodu z obr.8 (uzel 5 propojen na společný referenční bod) je nyní:1 2 (o) 3 4 (-)1 Y 1 - Y 1 U 1 I 12 (o) Y 3 +Y 5 +G o - Y 3 -Y 5 +A.G o U 2 03 - Y 1 - Y 3 Y 1 +Y 2 +Y 3 +Y 4 - Y 2 x U 3 = 04 (-) - Y 5 - Y 2 Y 2 +Y 5 +G CM +G d U 4 0Jeho řešením získáváme analýzu obvodu se zahrnutými vlastnostmi reálného operačníhozesilovače.21

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 20101.10. Určení impedance (admitance) uzlu (vzhledem k externím obvodům)Obecně můžeme v lineárním obvodu určit impedanci Z Uk = 1/Y Uk každého uzlu (k) jakopodíl uzlového napětí U k a proudu I k , který je do uzlu přiváděn z externího zdroje. Všechnyostatní externí zdroje nahradíme pouze jejich vnitřními admitancemi G i . To znamená, žeideální zdroje proudu prostě odpojíme (má nulovou admitanci). Ideální zdroje napětínahradíme zkratem, protože jejich vnitřní impedance je nulová (admitance nekonečná).V praxi určujeme pouze impedanci vstupní Z VST (vstupního uzlu), která definuje chovánístruktury vůči zdroji signálu a impedanci výstupní Z VYS (výstupního uzlu), která definujechování struktury vůči zátěži (vůči navazujícímu obvodu). Při určování výstupní impedance jevýhodné pracovat na vstupu s reálným zdrojem signálu – místo zdroje signálu zařaditadmitanci G i , která definuje vnitřní admitanci reálného zdroje signálu. Její velikost totiž můžev některých strukturách výstupní admitanci významně ovlivnit.1.11. Příklad 2Pro ilustraci řešme jednoduchý obvod na obr. 12 – invertující zapojení operačníhozesilovače (Y o =G o = 1/R o ; sestavujeme přímo zkrácené matice). Uzel 1 je uzlem vstupním –buzen proudem I 1 , uzel 2 je uzlem výstupním. Popsaným způsobem určíme, že:1 2(o) 3(-)1 G 1 0 -G 1 U 1 I 12(o) 0 G 2 +(G o ) -G 2 + (A.G o ) x U 2 = 03(-) -G 1 -G 2 G 1 + G 2 U 3 01G 1G 2I 1( )3-2+[ Y a] ZKRoObr. 12. Invertující zapojení operačního zesilovačeSnadno určíme, že přenos struktury (z uzlu 1 do uzlu 2) jeU / U21=G G12− G+ G1o− G+ AGoG= −1⋅AG( G + G ) + G AGoG G + Go( 1+G / G ) + AGo122221o− G12222

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010Snadno určíme i vstupní impedanci (impedanci uzlu 1)⎡I10 − G1⎤det⎢G G G AG⎥⎢02+0−2+0⎥U ⎢ G G GZ⎣ 0 − + ⎥121 2 ⎦ 1VST= ==I1⎡ G10 − G1⎤ GI⎢G G G AG⎥1× det⎢02+0−2+0⎥⎢⎣− G − G G + G ⎥121 2 ⎦1 1 1RoR2... = + + = R1+ +G G + AG G + G A 1+A 1+A1oo221G1G⋅2+ GoG G2( G + G )o1 2+ G2AG+ G AG2oo=Určeme nyní výstupní impedanci (impedanci uzlu 2). Situace je znázorněna na obr. 13. Proodlišení situace je nyní proudům i napětím přidán index „m“. Admitanční model se měnínepatrně. V prvku „11“ matice navíc přičítáme vodivost modelující reálný zdroj signálu, měníse vektor budicích proudů.1G 2G 1 3-o+I 2m[ Y a] ZKR2G i1 2(o) 3(-)Obr. 13. Situace při určování výstupní impedance (impedance uzlu 2)1 G 1 + G i 0 -G 1 U 1m 02(o) 0 G 2 +(G o ) -G 2 + (A.G o ) x U 2m = I 2m3(-) -G 1 -G 2 G 1 + G 2 U 3m 0Výstupní impedance je23

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010ZVYSU=I=G G Gi12m2⎡G1+ Gi0 − G1⎤det⎢0 I2G2AG⎥⎢m− +0⎥⎢⎣− G10 G1+ G ⎥2=⎦= ... =⎡G1+ Gi0 − G1⎤I2m× det⎢0 G2G0G2AG⎥⎢+ − +0⎥⎢⎣− G1− G2G1+ G ⎥2 ⎦G1G2+ Gi( G1+ G2)+ G G G + G G G + G G G + AG G ( G + G )2mOdsud určímeZVYS1( A → ∞)= limA→∞G G G20ii1120+ G G G1i220012G G + G ( G + G )0012021 2 i 1 2=+ G G Gi+ G G Gi+ AG G ( G + G2012)0ZVYS( G0→ ∞)=limG0→∞G G Gi12+ G G G120G G + G ( G + G )12+ G G Gi10i122+ G G Gi0+ AG G ( G + G2012)= 0V praxi vždy platí G 0 >> G 1 , G 2 . Za této zjednodušující podmínky lze určit, že výstupníodpor celé struktury je definován vztahemR0ZVYS=R1+ Ri1+AR + R + R1i2Je-li struktura buzena z ideálního zdroje proudu, platíR → ∞ aiZVYS( RiR0→ ∞)=1+AStejný výsledek získáme ze situace na obr. 13, jestliže uzel 1 zůstane odpojen.Je-li struktura buzena z ideálního zdroje napětí, platí R = 0 aiZVYS( RiR= 0) =1+AR01R1+ R2Stejný výsledek získáme ze situace na obr. 13, jestliže uzel 1 připojíme k referenčnímu uzlu,tedy eliminujeme 1. řádek a 1. sloupec.Tyto výsledky jsou ve shodě s výsledky získané pomocí teorie zpětné vazby.24

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 20101.12. Buzení obvodu z ideálního zdroje napětíDoposud jsme předpokládali, že známými veličinami jsou externí proudy I k vstupující dojednotlivých uzlů, řešili jsme neznámá uzlová napětí U k . Co se stane, připojíme-li doněkterého uzlu místo zdroje proudu ideální zdroj napětí? Situaci demonstrujme bez újmy naobecnosti na řešení příkladu 2 z obr. 12 – viz obr. 14.U 1+[ Y a] ZKRObr. 14. Invertující zapojení operačního zesilovače – vstupní uzel buzenz ideálního zdroje napětí U 1ZNÁMÉNAPĚTÍ1I 1G 1G 2NEZNÁMÝPROUD3I v obvodu na obr. 14 jistě platí Ohmův a Kirchhoffovy zákony, platí všechny předchozíúvahy a postupy. Proto musí platit i stejný admitanční model (souvisí rovněž s principemsubstituce, náhrada zdroje napětí ekvivalentním zdrojem proudu, který tímto zdrojem protéká,nevede ke změně poměrů v obvodu)-o21 2(o) 3(-)1 G 1 0 -G 1 U 1 I 12(o) 0 G 2 +(G o ) -G 2 + (A.G o ) x U 2 = 03(-) -G 1 -G 2 G 1 + G 2 U 3 0Nyní je ovšem uzlové napětí U 1 veličinou známou a proud I 1 veličinou neznámou. Shorauvedený model převedeme pomocí základních ekvivalentních rovnicových úprav do tvaru(smíšená matice, nikoli již čistě admitanční)1 2(o) 3(-)1 -1 0 -G 1 I 1 - G 1 U 12(o) 0 G 2 +(G o ) -G 2 + (A.G o ) x U 2 = 03(-) 0 -G 2 G 1 + G 2 U 3 G 1 U 1⎡G⎢⎣ −Pokud budeme určovat pouze neznámá uzlová napětí, stačí řešit systém rovnic2+ Go− G2+ AGo⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎥ × U20⎢ ⎥ =G +⎢2G1G2⎦ ⎣U3 ⎦ ⎣G1U1⎤⎥⎦25

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010Odsud⎡ 0det⎢G UU⎣ 1 12=⎡G2+ Godet⎢⎣ − G2tedyG1U2/ U1= − ⋅G G2− G2+ AGo⎤G G⎥1+2 ⎦− G2+ AGo⎤G + G⎥1 2 ⎦1+ GoAGo− G= −U1G⋅G( 1+G1/ G2) + AGo212⋅G + G1oAGo− G( 1+G1/ G2) + AGo2To je stejný výsledek, jako jsme získali při předchozím řešení. Výpočet zbývajícíchneznámých veličin je již rutinní záležitostí.26

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 20102. ÚPRAVA MATIC PRO NUMERICKÉ ŘEŠENÍPokud by měl být problém řešen numericky, je nutno získaný admitanční model rozložitna reálné a imaginární části. Demonstrujme postup přímo na příkladu 1, budící proud máobecně reálnou i imaginární složkuI = I r+ jI1 1 i1Každé uzlové napětí je rovněž definováno reálnou a imaginární složkouU = U +krkjUikPotom admitanční model získaný v příkladu 1 můžeme zapsat ve tvaruG 1 - G 1 U r1 +j U i1 I r1 +j I i1G 3 +G o +jωC 5 - G 3 - jωC 5 +A.G o U r2 +j U i2 0- G 1 - G 3 G 1 +G 2 +G 3 + jωC 4 - G 2 x U r3 +j U i3 = 0- jωC 5 - G 2 G 2 + jωC 5 U r4 +j U i4 0a uvažujeme-li nejjednodušší možný model frekvenční závislosti zesílení operačníhozesilovačeA ≅A ⋅ω0jω1ωT= − jω; ω = A ⋅ωT01obdržíme ekvivalentní zápis (kruhová frekvence bude jistě parametrem výpočtu)⎧⎡G1⎪⎢⎪⎨⎢0⎪⎢−G⎪⎢⎩⎣0⎧⎡U⎪⎢⎨⎢U×⎪⎢U⎪⎢⎩⎣U1r1r2r3r4G30+ G− G03⎤ ⎡Ui⎥ ⎢⎥ + ⎢Uij⎥ ⎢Ui⎥ ⎢⎦ ⎣Uio12341− G− GG + G− G⎤⎫⎧⎡I⎥⎪⎪⎢⎥= ⎨⎢I⎬⎥⎪ ⎪⎢I⎥⎪ ⎪⎢⎦⎭⎩⎣I2r1r 2r3r 413+ G2300− GG2⎤ ⎡Ii1⎤⎫⎥ ⎢ ⎥⎪⎥ ⎢0⎥+ j ⎬⎥ ⎢ 0 ⎥⎪⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎣ 0 ⎦⎪⎭2⎤⎥⎥ +⎥⎥⎦⎡0⎢⎢0j⎢0⎢⎢⎣00ωC05−ωC500ωC04− ωC50Goω−ω0ωC5T⎤⎫⎥⎪⎥⎪⎬×⎥⎥⎪⎥⎪⎦⎭Označíme-li reálnou část admitanční matice jako matici [ Yr], imaginární část admitančnímatice jako matici [ Y i], reálnou část sloupce uzlových napětí jako [ Ur], imaginární částsloupce uzlových napětí jako [ ]iimaginární část sloupce budicích proudů jako [ Ii]{[ Y ] + j[ Y ]} × {[ U ] + j[ U ]} = [ I ] + j[ I ]ririrU , reálnou část sloupce budicích proudů jako [ ]i, můžeme vztah přepsat do podobyI ar27

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010Odsud určíme, že[ Y ] × [ U ] − [ Y ] × [ U ] + j{ [ Y ] × [ U ] + [ Y ] × [ U ]} = [ I ] + j[ I ]rriiicož vede k systému rovnic (už pouze v oboru reálných čísel)[ Yr] × [ Ur] −[ Yi] × [ Ui] = [ Ir][ Y ] × [ U ] + [ Y ] × [ U ] = [ I ]irriTento systém můžeme zapsat v blokové podobě⎡⎢⎣[ Yr] −[ Yi][ Y ] [ Y ]ir⎤⎥⎦×⎡⎢⎣[ Ur][ U ]i⎤ ⎡⎥ = ⎢⎦ ⎣i[ Ir][ ] ⎥ ⎤Ii⎦což v našem příkladu vede na tvarrriri⎡ G1⎢⎢ 0⎢⎢−G⎢ 0⎢⎢ 0⎢⎢ 0⎢0⎢⎢⎣0⎡U⎢⎢U⎢U⎢× ⎢U⎢U⎢⎢U⎢U⎢⎢⎣U1r1r2r3r4i1i2i3i4G30+ G− G00ωC035− ωC5o⎤ ⎡Ir1⎤⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢0⎥⎥ ⎢ 0 ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ 0= ⎥⎥ ⎢I⎥i1⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ 0 ⎥⎥ ⎢ 0 ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥⎦⎢⎣0 ⎥⎦G1− G− G+ G2− G00ωC013+ G243− ωC00− G5G220Goω−ω0ωC5T0000G0− G0110− ωCG30ωC0+ G− G0535oG100− ωC0− G− G+ G2− G13+ G243ωC50Goω+ω0− ωC00− GG225T⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ×⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦Tento matematický model je již řešitelný v oboru reálných čísel. Za upozornění stojískutečnost, že za běžných okolností jsou hodnoty výstupní vodivosti G o operačníhozesilovače velmi velké (až nekonečně). Stejně tak poměr ω Tω může pro malé hodnotyúhlového kmitočtu ω běžně dosahovat hodnot 10 6 .28

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010Pokud použijeme složitější model pro zesílení operačního zesilovače, který v sobě zahrnujei jeho „stejnosměrné“ vlastnosti (ω < ω 1 )ω ω ω − jωA = AA1T10⋅ = = ωT⋅ ; ω2 2 T=0⋅ω1jω+ ω1jω+ ω1ω1+ ωobdržíme matematický popis zkoumaného obvodu v podobě⎡ G1⎢⎢ 0⎢⎢−G⎢0⎢⎢ 0⎢⎢ 0⎢⎢ 0⎢⎣ 0⎡U⎢⎢U⎢U⎢× ⎢U⎢U⎢⎢U⎢U⎢⎢⎣U1r1r2r3r4i1i2i3i4G30+ G− G00ωC035− ωC5o⎤ ⎡Ir1⎤⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢0⎥⎥ ⎢ 0 ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ 0= ⎥⎥ ⎢I⎥i1⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ 0 ⎥⎥ ⎢ 0 ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥⎦⎢⎣0 ⎥⎦G1− G− G+ G− G0002ωC13+ G243− ωC0G ω ω2ω1+ ω− G5oGT220GoωTω−2 2ω1+ ω0ωC5120000G0− G0110− ωCG30ωC0+ G− G0535oG100− ωC0− G− G+ G2− G13+ G243ωC50GoωTω+2 2ω1+ ω0− ωC0G ω ωoT2ω1+ ω− GG22512⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ×⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦Tento systém je již řešitelný. Pro zvolené hodnoty kruhového kmitočtu ω je možné určitvšechna uzlová napětí, tedy i určit přenos a impedanci uzlu 1 jako funkci kruhového kmitočtu.Pokud bude nutné určit impedanci uzlu 2, pracujeme analogicky s admitančním modelemzískaným podle čl.1.9 (příklad viz čl.1.10).29

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 20103. ADMITANČNÍ MODEL PRO ŘEŠENÍ PŘECHODNÝCH DĚJŮ – LAPLACEOVATRANSFORMACE3.1. Nulové počáteční podmínkyŘešíme-li přechodný děj při nulových počátečních podmínkách (a tento případ je přiurčování přenosů velmi častý) lze snadno určit (Dodatek 1), že platí (pro shodnou orientaciproudové a napěťové šipky – tzv. spotřebičová konvence):pro rezistor R I( p)= G⋅U(p)⎛ 1 ⎞pro induktor L I ( p)= ⎜ ⎟ ⋅U(p)⎝ pL ⎠pro kapacitor C I ( p)= pC ⋅U(p)kde I ( p),U ( p)jsou obrazy proudů i(t)a napětí u (t).Po Laplaceově transformaci tak můžeme použít zobecněnou podobu Ohmova zákonaI( p)= Y(p)⋅U(p)kde Y ( p)je admitance (obrazová) prvků; Y ( p)G = 1/Rinduktor a Y ( p)= pC pro kapacitor.= pro rezistor; Y p)( 1 pL)( = proProtože Kirchhoffovy zákony jsou při Laplaceově transformaci zachovány, platí formálně(pro nulové počáteční podmínky) všechny předchozí úvahy s tím, že použijeme jednoduchousubstitucijω→ pa potom jsme schopni určit obrazy všech uzlových napětí pro známý obraz vstupníhobudicího proudu nebo napětí. Časové průběhy získáme zpětnou transformací.3.2. Příklad 3 - odezva dolní propusti 2. řádu na skokovou změnu vstupního napětíNa základě uvedených tvrzení je zřejmé, že obvod na obr. 8 má (při nulových počátečníchpodmínkách) formálně stejný (obrazový) admitanční model:1 2 (o) 3 4 (-)1 Y 1 - Y 1 U 1 (p) I 1 (p)2 (o) Y 3 + Y 5 + Y o - Y 3 - Y 5 +AY o U 2 (p) 03 - Y 1 - Y 3 Y 1 +Y 2 + Y 3 +Y 4 - Y 2 x U 3 (p) = 04 (-) - Y 5 - Y 2 Y 2 + Y 5 U 4 (p) 030

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010Pro Y1= G1, Y2= G2,Y3= G3,Y4= pC4,Y5= pC5a A → ∞ (ideální operačnízesilovač) je tedy formálně stejný i přenos (přesněji obrazový přenos)P DP 2( p)U( p)220= P1→ 2( p)= = K0⋅2U1(p)p + 2ξω0pω+ ω20přičemž stále platí2K0= −R3/ R1; ω0= 1/( R2R3C4C5); 2ξ=CC54⎛⋅ ⎜⎝RR2 32R1+RR32+RR23⎞⎟⎠Obraz výstupního napětí U 2 (p) je zřejmě definován vztahem2ω0U2( p)= U1(p)⋅ K0⋅22p + 2ξωp + ωkde U 1 (p) = [u 1 (t)] je obrazem známého vstupního napětí .0Použijeme-li jako vstupní signál skokové napětí o amplitudě A 1 , platí u1 ( t)= σ ( t)⋅ A1aσ ( t)⋅ A = A 1 /p. Potomtudíž U 1 (p) = L[ ]10U2( p)=A ⋅ K10⋅p ⋅ω2022( p + 2ξωp + ω )00Zpětnou transformací, např. [5, 2], zjistíme, že časová odezva elektronického obvodu je zadefinovaných podmínek dána vztahemu ( t)= A ⋅ K2sinh β =1ξ02⎡⋅ ⎢1−⎢⎣−1e−ξωotξ2⋅sinh−12( ωoξ −1⋅t+ β )⎤⎥ ;⎥⎦Pro ξ2 −1< 1 je výhodnější vztah upravit do podobyu ( t)= A ⋅ K2sin β =101−ξ⎡⋅ ⎢1−⎢⎣2e−ξωot1−ξ2⋅sin2( ωo1−ξ⋅t+ β )⎤⎥ ;⎥⎦Pro limitní hodnotu ξ = 1 lze pomocí základních úvah určit31

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010⎪⎧u2 ( t;ξ = 1) = lim⎨A1⋅ Kξ →1⎪⎩sin β... = A ⋅ K= 0; cosβ10⋅= 1; sin⎡⋅ ⎢1−⎢⎣−ωot[ 1−e ( ω ⋅t+ 1)]0e−ξωot1−ξ2⋅sin2( ωo1−ξ ⋅t+ β )⎤⎪⎫⎥⎬=⎥⎦⎪⎭222( ωo1−ξ ⋅t) ≅ ωo1−ξ ⋅t;cos( ωo1−ξ⋅t)o≅ 1 = ...3.3. Nenulové počáteční podmínkyPro nenulové počáteční podmínky platí obvodové modely na obr. 15 (Dodatek 1),admitance rezistoru se nemění, stále platí G = 1/R.I(p)I(p)U(p)Y(p)=1/pLi(0)/pU(p)Y(p) = pCC.u(0)Obr. 15. Modely induktoru L s počátečním proudem i(0) a kapacitoru C s počátečnímnapětím u(0) pro Laplaceovu transformaci; zdroje proudu i(0)/p a C.u(0) nejsounapětím U(p) ovlivňovány – nejsou funkcí přiloženého napětí; proudová šipkai(0)/p je ve shodě s původním směrem i(0); proudová šipka C.u(0) směřuje protipůvodnímu směru u(0)Zahrneme-li zdroje proudu, které definují počáteční stav obvodu, do standardníhoalgoritmu řešení, můžeme použít všechny shora stanovené postupy. Postup demonstrujme proelektronický obvod na obr. 16.CU 01i 1 (t)G 1G 23-+o2Obr. 16. Invertující zapojení operačního zesilovače – dolní propust 1. řádu32

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010V čase t = 0 je skokově připojen proud o konstantní úrovni I 1 a známe hodnotu napětí nakapacitoru C - U 0 . Potom pro Laplaceovu transformaci platí model na obr. 17, I1( p)= I1/ p :CU 0I 3 (p)pCI 2 (p)1I 1 /pG 1G 23-+o2Obr. 16. Invertující zapojení operačního zesilovače – dolní propust 1. řádumodel po Laplaceově transformaciRutinním způsobem stanovíme admitanční (obrazový) model, musíme si nyní ovšemuvědomit, že do uzlu 2 vstupuje proud I2( p)= CU 0 (proto znaménko + ve sloupci budicíchveličin) a z uzlu 3 vystupuje proud CU 0 , proto I3(p)= - CU 0 (a proto znaménko mínus vesloupci budicích veličin):1 2(o) 3(-)1 G 1 0 -G 1 U 1 (p) I 1 /p2(o) 0 G 2 +pC+(G o ) -pC - G 2 + (A.G o ) x U 2 (p) = CU 03(-) -G 1 -G 2 -pC G 1 + G 2 + pC U 3 (p) - CU 0Pro ideální operační zesilovač platí, že A →∞; pomocí Cramerova pravidla určíme za tétosituaceU2( p)=I= −G12− I1+p ⋅(pC + G )⎛ 1⋅⎜ −⎝ p1p + G22⎞+/ C⎟⎠CU0pC + G2U0p + G2− I1/ C=+p ⋅(p + G / C)/ C2Up + G02/ C= ... =Zpětnou transformací určíme, že časová odezva na skokovou změnu proudu je( 1−exp( −ωt)) + U ⋅ exp( −ω)u2 ( t)= −I1⋅ R2⋅0 00tkdeω = G C = 1/( R C)1/τje charakteristický kmitočet obvodu (τ – časová konstanta).0 2/2=33

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010Samozřejmě můžeme určit odezvu systému i na skokovou změnu napětí U 1 ; obrazem jepotom U 1 /p. Proud (obraz) I 1 (p) nyní neznáme. Formálně i nyní platí1 2(o) 3(-)1 G 1 0 -G 1 U 1 /p I 1 (p)2(o) 0 G 2 +pC+(G o ) -pC - G 2 + (A.G o ) x U 2 (p) = CU 03(-) -G 1 -G 2 -pC G 1 + G 2 + pC U 3 (p) - CU 0Ekvivalentními úpravami získáme model v podobě-1 0 -G 1 I 1 (p) -G 1 U 1 /p0 G 2 +pC+(G o ) -pC - G 2 + (A.G o ) x U 2 (p) = CU 00 -G 2 -pC G 1 + G 2 + pC U 3 (p) -CU 0 + G 1 U 1 /pPomocí Cramerova pravidla získáme pro ideální operační zesilovač (A → ∞)a odsudU2G( p)= ... = −G12⋅U1⎛ 1⋅⎜ −⎝ p1p + G2⎞+/ C⎟⎠Up + G02/ CR2u2( t)= −U1⋅ ⋅0 00tR1( 1−exp( −ωt)) + U ⋅ exp( −ω)Fyzikální souvislost mezi oběma odezvami je pro ideální operační zesilovač jednoznačná.Podmínka A → ∞ znamená to, že napětí uzlu 3 je nulové pro libovolné výstupní napětí.V dané struktuře to znamená, že platíI =1U1/R1Pokud chceme použít reálnější model operačního zesilovače, platí (pro nulové počátečnípodmínky) vztahω ωA = AA1T0⋅ = ; ωT=0⋅ω1p + ω1p + ω1Výpočty budou ovšem přiměřeně obtížnější.34

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 20104. STABILITA (FREKVENČNÍ) ELEKTRONICKÉHO SYSTÉMUNa základě získaných admitančních modelů lze definovat i stabilitu elektronickéhosystému – a to bez aplikace formální terminologie používané v oblasti teorie zpětné vazby.Zpětné vazby jsou v reálném systému téměř vždy. Použitý algoritmus je do maticovéhomodelu zahrnuje „automaticky“, aniž je pojmenovává.V reálném obvodu je vždy některý uzel uzlem referenčním a v ustáleném harmonickémstavu je výsledná admitanční matice [ Y ( jω)] vždy maticí zkrácenou (nikoli úplnou). Jezřejmé, že systém má řešení (konečné hodnoty uzlových napětí) pouze tehdy, platí–li provšechna ωdet[ Y ( jω)] ≠ 0Platí –li pro některé ω n[ Y(jω)] 0det =nje zde systém nestabilní – vznikají oscilace, které jsou nežádoucí v případě zesilujícíchstruktur a filtračních struktur, ale jsou žádoucí u generátorů periodických signálů. Na obr. 10by se stav blízký nestabilitě projevil zvětšováním přenosu na frekvenci ω m .Problém stability se lépe diskutuje v laplaceovském modelu obvodu. Opět platí, že Y ( p)jejiž zkrácená obrazová matice obvodu. Kořeny p k výrazu (charakteristická rovnice)[ Y ( p)] 0det =pse objeví v originálu přenosů nebo uzlových napětí v exponentechk te . Má-li býtelektronická struktura stabilní, musí mít všechny kořeny zápornou reálnou část, musí ležetv levé otevřené polorovině σ + jω. Pouze v tom případě je odezva na jakýkoliv signálkonečná (v čase) – tedy systém je stabilní.Byla vypracována kritéria, podle nichž určujeme polohu kořenů charakteristické rovnicev komplexní rovině – kritéria stability [6]: Routhovo – Hurwitzovo, Michajlovovo-Leonhardovo a Nyquistovo. Tato kritéria umožňují stanovit, pro jaký interval frekvencí jeobvod nestabilní a z toho vyvodit možná technická (obvodová) řešení pro zajištění stabilityelektronické struktury (korekce frekvenčních vlastností struktury).35

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 20105. ZÁVĚRV materiálu byly demonstrovány některé vybrané aplikace maticového počtu tak, jak je lzepoužít při analýze lineárních elektronických obvodů. Byly voleny nejjednodušší možnépostupy a demonstrovány na elementárních příkladech z elektroniky.Je zřejmé, že sestavení správného modelu je vždy jen prvním, byť velmi důležitým,krokem. Je také zřejmé, že komplexní vyšetření každého elektronického obvodu vyžadujeznalost dalšího, značně rozsáhlého, matematického aparátu (např. rozvoj v Taylorovu řadu,rozklad na parciální zlomky, Laplaceova transformace, vyšetření extrémů funkce, ...).Metoda uzlových napětí byla zvolena proto, že její šipková konvence je velmi přátelskápro uživatele a na minimum omezuje „znaménkové“ chyby. Výsledný algoritmus analýzyobvodu je relativně jednoduchý, známe-li admitanční modely elektronických struktur(Dodatek 2).Obecnější, ale i obtížnější, přístup je zvolen například v [7]. Monotematicky seproblematikou zabývá např. [8 ], ovšem diskutovány jsou pouze elektronické prvky v té doběznámé (elektronky, tranzistory).Literatura[1] Punčochář, J.: Operační zesilovače - historie a současnost. BEN, Praha 2002, ISBN 80-7300-047-4.[2] Punčochář, J.: Lineární obvody s elektronickými prvky. VŠB - TU Ostrava, Ostrava, 2002.ISBN 80-248-0040-3.[3] Mohylová, J.: Lineární obvody s elektronickými prvky – sbírka příkladů. VŠB - TU Ostrava, Ostrava, 2002.ISBN 80-248-0098-5.[4] Sigorskij, V. P.: Matricy i grafy v elektronike. Energija, Moskva, 1968[5] Angot, A.: Užitá matematika pro elektrotechnické inženýry. SNTL, Praha, 1971[6] Čajka, J, Kvasil, J.: Teorie lineárních obvodů, SNTL, ALFA, Praha 1979[7] Zíma, V.: Maticové funkce v teorii obvodů. Slaboproudý obzor 31 (1970), č. 5, str. P13 – P20[8] Mayer, D.: Analýza elektrických obvodů maticovým počtem. ACADEMIA, Praha 1966[9] Reza, F. M., Seely, S.: Modern network analysis. McGraw-Hill Book Company, N. Y., 1959[10] Hlávka, J.: Střídavé proudy. SNTL, Praha, 1958[11] Hlávka, J.: Elektrotechnika I (fyzikální základy, část 1). . SNTL, Praha, 1968[12] Punčochář, J.: Admittance models of modern linear amplifying structures. Sborník vědeckých pracíVŠB – TU Ostrava, řada elektrotechnická číslo 1/2003, str. 151 -161, VŠB – TU Ostrava, 2003,ISBN 80 – 248 – 0223 – 6 (viz i Dodatek 2).36

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010DODATEK 1Základní pojmy z teorie lineárních obvodů se soustředěnými parametry(žádný parametr obvodu není funkcí obvodových veličin)Obvodové veličiny – obecně jsou funkcí času:1) u (t)- napětí2) i (t)- proudPro účely sestavení modelu elektrického obvodu definujeme:1) Zdroj napětí (ideální) – prvek obvodu, který dodává do obvodu energii a jeho napětí u (t)není funkcí zatěžovacího proudu i (t); pro okamžitý výkon platíp ( t)= u(t)⋅ i(t)≤ 0 , což při spotřebičové orientaci značí dodáváníenergie do obvodu.u (t)i (t)PROUDOVÁŠIPKANAPĚŤOVÁŠIPKA2) Zdroj proudu (ideální) – prvek obvodu, který dodává do obvodu energii a jeho proudi (t) není funkcí v obvodu vzniklého napětí u (t); pro okamžitývýkon platí p ( t)= u(t)⋅ i(t)≤ 0 , což při spotřebičové orientaciznačí dodávání energie do obvodu.i (t)PROUDOVÁŠIPKANAPĚŤOVÁŠIPKAu (t)Užitečné je definovat i reálné zdroje napětí a proudu a jejich ekvivalence (z hlediskapoměrů v obvodu).3) Zdroj napětí (s reálným výstupním odporem R i ) – prvek obvodu, který dodává do obvoduenergii a jeho výstupní (svorkové) napětí u (t)je funkcí zatěžovacího proudui (t)NAPĚTÍu n(t)NAPRÁZDNO u (t)R iNAPĚTÍVÝSTUPNÍ37

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010Pro výstupní napětí platíu( t)= u ( t)− RG , platí tedy, že proni⋅ i(t)= un( t)− i(t)/nezatížené výstupní svorky (stav naprázdno, i ( t)= 0 ), je u( t)= u ( t). V ustálenémharmonickém stavu platí U= U − Z ⋅ I = U − I / Y ; po Laplaceově transformaci platíniU ( p)= Un( p)− Zi( p)⋅ I ( p)= Un( p)− I ( p) / Yi( p). Ideální zdroj napětí nyní můžemedefinovat jako zdroj napětí s nulovým výstupním odporem.niin4) Zdroj proudu (s reálným výstupním odporem R i ) – prvek obvodu, který dodává do obvoduenergii a jeho výstupní (svorkový) proud i (t)je funkcí svorkového napětíPROUDi z(t)ZKRATOVÝi (t)R iPROUDVÝSTUPNÍu (t)Pro výstupní proud platí i( t)= iz( t)− u(t)/ Ri = iz( t)− u(t)⋅ Gi, platí tedy, že prozkratované výstupní svorky (stav nakrátko, u ( t)= 0 ), je i( t)= iz( t). V ustálenémharmonickém stavu platí I = Iz− Yi⋅U= Iz−U/ Zi; po Laplaceově transformaci platíI ( p)= Iz( p)− Yi( p)⋅U( p)= Iz( p)−U( p) / Zi( p). Ideální zdroj proudu nyní můžemedefinovat jako zdroj proudu s nekonečným výstupním odporem.5) Ekvivalence reálných zdrojů (Théveninův a Nortonův teorém)Pro lineární reálné zdroje lze snadno definovat ekvivalenci mezi zdrojem proudu a napětí.Stačí zajistit (lineární obvod je vždy definován lineární funkcí napětí a proudu) ekvivalencipouze ve dvou bodech modelu. Vhodnými body jsou právě stav naprázdno a stav nakrátko:i (t)i (t)(t) u nR iu (t)(t) i eR eu (t)naprázdno: i( t)= 0 : u(t)= u ( t)u(t)= R ⋅ i ( t)nakrátko: u( t)= 0 : i(t)= u ( t) / Ri(t)i ( t)Musí tedy platit:R = R ; i ( t)= u ( t)/ Reienn i=nTransformace reálného zdroje napětí na reálný zdroj prouduieee38

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010i (t)i (t)(t) i zu (t) u e(t)R iR eu (t)naprázdno: i( t)= 0 : u(t)= R ⋅ i ( t)u(t)u ( t)nakrátko:Musí tedy platit:zi z=u ( t)= 0 : i(t)= i ( t)i(t)= u ( t)/ RRe= R ; u ( t)= i ( t)⋅ RiezTransformace reálného zdroje proudu na reálný zdroj napětíieeePro účely sestavení modelu elektrického obvodu definujeme parametry obvodu:1) Odpor R – technická realizace rezistor (odporník) – mění elektrickou energii v teplo(Joule - Lenzův zákon); šipky napětí a proudu orientovány souhlasně –spotřebičová konvence; vždy platí p ( t)= u(t)⋅ i(t)≥ 0 , což definuje spotřebuelektrické energie.u (t)i (t)RTomuto symbolu je přiřazen operační vztah (Ohmův zákon)u( t)= R ⋅ i(t)nebo pro admitanční „přístup“ (proud je definován jako funkce napětí)kdei(t)1= R−−1G = R je vodivost.⋅ u(t)= G ⋅u(t)2) Kapacita C – technická realizace kondenzátor (kapacitor) – akumuluje elektrickou energiive formě elektrického pole; šipky napětí a proudu orientovány souhlasně –spotřebičová konvence; platí p ( t)= u(t)⋅ i(t)≥ 0 při akumulaci energie (to jespotřeba) a p ( t)= u(t)⋅ i(t)≤ 0 - energie je z kapacity odebírána, kapacita sev tomto intervalu chová jako zdroj. Kondenzátor může do obvodu dodat pouzeakumulovanou energii.u (t)i (t)C39

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010V každém fyzikálním prostoru je jednoznačná souvislost mezi nábojem q(t)a napětímu (t) . V lineárním prostoru je tento vztah definován konstantou C - kapacitou: q( t)= C ⋅ u(t).Platí zákon zachování náboje (kontinuity) – náboj se může měnit jedině tak, že dodefinovaného prostoru vstupuje proud, který definujeme vztahemi ( t)= dq(t) / dt = C ⋅ du(t)/ dt . Tak je symbolu na obrázku přiřazen operační vztah (model)i ( t)= C ⋅ du(t)/ dtnebo pro impedanční „přístup“ (napětí je definováno jako funkce proudu):kde u(0)1u(t)= i() dC∫ τ τje počáteční napětí na kapacitoru.t0+ u(0)3) Indukčnost L– technická realizace cívka (induktor) – akumuluje elektrickou energii veformě magnetického; pole šipky napětí a proudu orientovány souhlasně –spotřebičová konvence; platí p ( t)= u(t)⋅ i(t)≥ 0 při akumulaci energie (to jespotřeba) a p ( t)= u(t)⋅ i(t)≤ 0 - energie je z cívky odebírán chová se jakozdroj. Induktor může do obvodu dodat pouze akumulovanou energii.u (t)i (t)LV každém fyzikálním prostoru je jednoznačná souvislost mezi proudem i(t)amagnetickým tokem Φ (t). V lineárním prostoru je tento vztah definován konstantou L -indukčností: Φ ( t)= L ⋅ i(t). Platí Faradayův zákon – indukované napětí je dáno derivacímagnetického toku, u ( t)= dΦ(t) / dt = L ⋅ di(t)/ dt . Tak je symbolu na obrázku přiřazenoperační vztahu ( t)= L ⋅ di(t)/ dtnebo pro admitanční „přístup“:kde i(0)1i(t)= u() dL∫ τ τje počáteční proud induktorem.t0+ i(0)Reálné technické prvky modelujeme kombinací prvků ideálních (reálný rezistor může mítparazitní kapacitu a parazitní indukčnost, atd. ...).40

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010První Kirchhoffův zákon (pro proudy)Při řešení obvodu - sestavování obvodových rovnic - neznáme skutečnou orientaciproudových šipek (proudů ani napětí). Proto na začátku řešení volíme proudové šipky -volíme šipkovou konvenci pro daný problém (obvod). Tuto konvenci během řešeníneměníme. Je-li výsledek řešení kladný, shoduje se směr proudu (napětí) se směrem šipky. Jelivýsledek záporný, jde skutečný proud proti směru proudové šipky.Uvažujme plochu v rovině ohraničenou uzavřenou křivkou J (Jordanova křivka). KřivkouJ prochází konečný počet vodičů, kterými se může "pohybovat" náboj. Proud je definovánjako změna náboje „za čas“ – při změně náboje vždy protéká proud. Jednotkou proudu jeampér [A].i 1křivka Ji2i3i5i4Znázornění proudů procházejících křivkou JZ definice proudu platí postupněi = dq / dt , ..., i = dq / dt ,obecně i = dq dt . Odsud1155k k/určíme náboj prošlý vodičem k za dobu dt: dqk= ik⋅ dt . Zvolme konvenci: nábojivystupujícímu z plochy ohraničené křivkou J přiřadíme znaménko kladné (+); nábojivstupujícímu do plochy ohraničené křivkou J přiřadíme znaménko záporné (-). Potom vkaždém zkoumaném časovém intervalu dt musí být dodržen zákon zachování elektrickéhonáboje:−dq1−dq2+ dq3−dq4+ dq5= 0tedy i−i1dt −i2dt+ i3dt−i4dt+ i5dt= 0a tedy−i−i+ i −i+ i 01 2 3 4 5=Nejčastěji uzavírá křivka J právě jeden uzel. Obecně platí pro libovolný uzel (křivku J), doněhož je připojeno n vodičů:n∑k=1i k( t)= 0tedy suma všech proudů uzlu (křivky J) je rovna nule. Přitom proudům "vstupujícím"přiřadíme znaménko záporné, proudům "vystupujícím" přiřadíme znaménko kladné(dohodnutá konvence; při opačné konvenci bychom obdrželi naprosto stejný výsledek).41

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010Předchozí úvahy lze rozšířit i pro trojrozměrný prostor, křivka J bude nahrazenauzavřenou plochou S uzavírající prostor objemu V. Suma všech proudů procházejícíchplochou S musí být v každém časovém okamžiku rovna nule.Druhý Kirchhoffův zákon (pro napětí)Elektrické napětí mezi body 1 a 2 je rovno práci A [J] vykonané silami elektrického polepři přesunu náboje q [C] z bodu 1 do bodu 2 přepočtené (normované) na jednotkový náboj,tedyu t)≡ u A/q12(12=Jednotkou napětí je volt [V]. Je-li náboj přesouván zpět z bodu 2 do bodu 1, koná práciexterní síla, celková vykonaná práce při návratu do výchozího bodu je rovna nule (zákonzachování energie) – náboj se pohyboval po uzavřené křivce. A to je podstatou druhéhoKirchhoffova zákona: suma všech napětí v uzavřené smyčce je rovna nulen∑ u k( t)= 01přičemž napětím orientovaným souhlasně s orientací oběhové šipky přiřazujeme znaménkokladné (+); napětím orientovaným nesouhlasně s orientací oběhové šipky přiřazujemeznaménko záporné (-).Na spodním obrázku potom platí jednoduše ("tečkovaná" oběhová šipka)u1+ u2−u3−u4= 0Při opačné volbě oběhové šipky (vyznačena "plně") obdržíme výsledek, jehož význam jenaprosto stejný. Platí totiž nyní−u1−u2+ u3+ u4= 0což se po vynásobení číslem -1 shoduje s výsledkem předchozím.u 14 = u 414 u 12 = u 1u 43 = u 3OBĚHOVÁ ŠIPKA"TEČKOVANÁ"23u 23 = u 2Příklad aplikace 2. Kirchhoffova zákona42

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010Ustálený harmonický stav – využívá se skutečnosti, že derivování i integrování exponenciálnífunkce vede zase na exponenciální funkci (poznámka: V základní části textu se používaly propopisy fázorů proudů a napětí symboly „bez stříšky“ – pro jednoduchost zápisu).1) Základní vztahy± αe j = cosα± jsinαcosαsinα= ( e= ( ejαjα+ e− e− jα− jα) / 2) /(2 j)jϕu jωt( Um⋅ e ⋅ e ) = Im( uˆ())jϕu jωt( Um⋅ e ⋅e) = Re( uˆ())jϕi jωt( Im⋅ e ⋅ e ) = Im( iˆ())jϕi jωt( I ⋅ e ⋅ e ) = Re( iˆ())u( t)= U ⋅sin(ω t + ϕ ) = Imtmuu( t)= U ⋅ cos( ω t + ϕ ) = Retmui( t)= I ⋅ sin( ω t + ϕ ) = Imtmii( t)= I ⋅ cos( ω t + ϕ ) = Retmˆ - komplexor napětíj u jωtu(t)= Um⋅ eϕ⋅ eˆ- komplexor prouduj i jωti ( t)= Im⋅ eϕ ⋅ ej uUˆϕm= Um⋅ ej iIˆϕm= Im⋅ eUˆ= Uˆm/ 2 = ( Um/ 2)⋅ ej iIˆϕ= Iˆ/ 2 = ( I / 2)⋅ emim- fázor napětí (amplitudy)m2) Kirchhoffovy zákony- fázor proudu (amplitudy)jϕu= U ⋅ e= I ⋅ ejϕijϕu- fázor napětí (ef. hodnota)- fázor proudu (ef. hodnota)Musí platit 1. Kirchhoffův zákon pro ustálený stav a sinusový model, tedyn∑1Im ˆnnn( ) ( ˆ ) ( ˆ jωtjωti ( t)Im i ( t)= Im I ⋅ e ) = e Im ( Iˆ) = 0k= ∑ ∑∑kmkAle musí rovněž platit i „kosinový“ modeln∑1Re11nnn( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ jωtjωti ( t)Re i ( t)= Re I ⋅ e ) = e Re ( Iˆ) = 0k= ∑ ∑∑kmk11. Kirchhoffův zákon tedy platí i pro fázory amplitudDělíme-li vztah∑ n1( I ˆ ) = 0mk2 , zjišťujeme, že platí i pro fázory efektivních hodnot∑ n1( I ˆ ) = 0k111mkmk43

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010Pro 2. Kirchhoffův zákon určíme analogicky∑ n1( U ˆ ) = 0kUm3) Odpor: u( t)= R ⋅ i(t); u( t)= Umsin ωt; i( t)= sin ωt= GUmsin ωt= Imsin ωtRUmImUm GUIm= = GUm;= = Um⇒ I = = GUR2 2 ⋅ R 2RUV komplexním tvaru uˆ( t)= R ⋅iˆ(t); IRProud a napětí mají stále stejnou fázi – jsou ve fázi.jωtm jωtm⋅ e = ⋅ e ;Im =URm; atd.3) Kapacita: i ( t)= C ⋅ du(t)/ dtu( t)= Umsin ωti( t)= C ⋅ω⋅Ucosωt= C ⋅ω⋅Usin( ωt+ π / 2)Imm= ω⋅C⋅U; I / 2 = ω⋅C⋅U/ 2 ⇒ I = ω⋅C⋅Umma proud předbíhá napětí o úhel π/2, tedy ϕ = π / 2mmi.⇒V komplexním tvaru i ˆ(t)= C ⋅ duˆ(t)/ dt ;jϕjωtdij0jωtIm⋅e⋅e= C ⋅ ( Um⋅e⋅e) = jωCUdtIm= ωCUm;ϕi= π / 2atd.m⋅ejωt= ωCUm⋅ejπ/ 2⋅ejωt⇒14) Indukčnost: i( t)= ∫ u(τ ) dτLu( t)= Umsinωtt0UmUmi( t)= ⋅(−cosωt)= ⋅sin(ωt−π/ 2)⇒ωLωLUm UIm= ; I =ωLωLproud se zpožďuje za napětím o úhel π/2, tedy ϕ = −π / 2i.V komplexním tvaruiˆ( t)=1Lt∫0uˆ(τ ) dτ;44

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010Im⋅ ejϕi⋅ ejωt1Im= ⋅UωLatd.m=;1 j0jωt1jωt1− jπ/ 2∫Um⋅ e ⋅ e dt = ⋅Um⋅ e = ⋅Um⋅ e ⋅ eLjωLωLϕi= −π/ 2jωt⇒5) Impedance, admitance, zobecněný Ohmův zákonNyní již můžeme definovat impedanci Z a admitanci Y (komplexní). Nejčastěji se pracujepřímo s fázory efektivních hodnot – opět používáme souhlasnou orientaci napěťové aproudové šipky (spotřebičovou konvenci). Platí nyní zobecněný Ohmův zákon (v časovéoblasti se jedná o jiné fyzikální zákony – viz předchozí text)U ˆ = Z ⋅ Iˆ;Iˆ= Uˆ/ Z = Y ⋅Uˆ ; Y ⋅ Z = 1Z předchozího textu je zřejmé, že platí rovněžUˆm= Z ⋅ Iˆmuˆ( t)= Z ⋅ iˆ(t);;Iˆm= Uˆm/ Z = Y ⋅Uˆiˆ(t)= uˆ(t) / Zm= Y ⋅uˆ(t)UˆÎZ; Yprvek R C LZ R (jωC ) -1 jωLY 1/R=G jωC (jωL) -16) Příklad na modelově „úplnou“ impedanci – sériové řazeníVšemi prvky prochází stejný proud – znak sériového řazení.(t) u Ru C(t) (t)u Li (t) R Cu (t)LSériové řazení R, L, C –obecné časové veličinyPodle 2. Kirchhoffova zákona platí (v časové oblasti – obecné veličiny)1di(t)u(t)= uR( t)+ uC( t)+ uL( t)= R ⋅ i(t)+ i() d + u(0)+ L ⋅C∫ τ τ.dtPro ustálený harmonický stav platí stejný obrázek, funkce času nahradíme odpovídajícímifázory (efektivní hodnoty):t045

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010UˆRUˆCUˆLÎRCLSériové řazení R, L, C –ustálený harmonický stavUˆPodle 2. Kirchhoffova zákona platíUˆR Iˆ1Iˆj L Iˆ⎛ 1 ⎞= ⋅ + ⋅ + ω ⋅ = ⎜R++ jωL⎟⋅IˆjωC⎝ jωC⎠Celková (ekvivalentní) impedance obvodu na obrázku je dána součtem impedancí řazenýchdo série:Z = R + 1jωLjω C+Odpovídající admitance zobrazeného sériového řazení je:⎛ 1 ⎞Y = 1 / Z = 1⎜R++ jωL⎟⎝ jωC⎠Je-li znám proud, umíme určit fázor celkového napětí. Umíme určit i odpovídajícíkomplexor (nezapomenout na převod efektivní hodnoty na amplitudu). Je-li proud definovánjako „sin“, je časový průběh napětí roven imaginární složce komplexoru, je-li definován jako„cos“, je řešením reálná složka komplexoru.Schéma obvodu – propojení prvků obvodu – vždy jednoznačně definuje matematickýmodel obvodu. Každý prvek přiřazuje operační vztah mezi proudy a napětími, Kirchhoffovyzákony popisují propojení prvků.7) Příklad na modelově „úplnou“ admitanci – paralelní řazeníNa všech prvcích je stejné napětí – znak paralelnosti.i (t)u (t)RCLParalelní řazení R, L, C– obecné časové veličiny(t) i Ri C(t) (t)i LPodle 1. Kirchhoffova zákona platí (v časové oblasti – obecné veličiny)1i(t)= iR( t)+ iC( t)+ iL( t)= G ⋅ u(t)+ u() dL∫ τ τt0du(t)+ i(0)+ C ⋅dt46

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010Pro ustálený harmonický stav platí opět stejný obrázek, funkce času nahradímeodpovídajícími fázory (efektivní hodnoty):ÎUˆRCLParalelní řazení R, L, C –ustálený harmonický stavÎRPodle 1. Kirchhoffova zákona platíÎ ÎC LIˆ= G ⋅Uˆ+jωC ⋅Uˆ+1⋅UˆjωL⎛= ⎜G+⎝jωC+1 ⎞⎟ ⋅UˆjωL⎠Celková (ekvivalentní) admitance obvodu na obrázku je dána součtem admitancí řazenýchparalelně:1Y = G + jωC+jωLOdpovídající impedance zobrazeného paralelního řazení je:Z= 1 / Y= 1⎛⎜G+⎝jωC+1 ⎞⎟jωL⎠Laplaceovský modelx ( t)= u(t)nebo i(t)∞−pt⎧ ⎫L { x(t)} = X ( p)= ∫ x(t)⋅edt;L{ K ⋅x(t)} = K ⋅X( p);L⎨∑Kixi(t)⎬=∑KiXi(p)0⎩ i ⎭ i⎧dx(t)⎫X ( p)L⎨⎬ = pX ( p)− x(0);L{ x(t)dt}=⎩ dt∫⎭pkde p = σ + jω je komplexní kmitočet (proměnná)x(t) je originál funkce (předmět)X(p) je obraz funkce x(t)K je konstanta (zde R; R -1 ; L; L -1 ; C; C -1 )47

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 20101) Kirchhoffovy zákonynPlatí-li ∑i k( t)= 0 a ∑u k( t)= 0 , platí po transformacik = 1k = 1nn∑k = 1Ik( p)= 0;n∑k = 1Uk( p)= 0kde I k( p)a ( p)jsou odpovídající obrazy časových průběhů proudů a napětí.U k2) Odpor: u( t)= R ⋅ i(t); po transformaci platíU( p)= R⋅I(p)kde I ( p)a U ( p)jsou odpovídající obrazy časových průběhů proudů a napětí.3) Kapacita:i ( t)= C ⋅ du(t)/ dt ;jestliže I ( p)a U ( p)jsou odpovídající obrazy časových průběhů proudů a napětí, potom potransformaci( p ⋅U( p)− (0))I ( p)= C ⋅ u1Nebo ze vztahu u(t)= i() d + u(0)C∫ τ τ dostáváme1 u(0)U ( p)= ⋅ I ( p)+pC pTento vztah je identický se vztahem předchozím.t0Kapacitě pak můžeme přiřadit admitanční model podle obrázku (vhodný pro metoduuzlových napětí)I(p)U(p)ZDROJ PROUDU, KTERÝ MODELUJEPOČÁTEČNÍ PODMÍNKUu(t)i(t)CpCU(p)⇒Y(p) = pCC.u(0)Admitanční model kapacity C ( proud jefunkcí napětí); u(0) – počáteční napětí –výchozí orientace definována šipkou u(t)I ( p)= pC ⋅U( p)−C⋅u(0);Y(p)= pC48

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010Impedanční model kapacity je na následujícím obrázkuI(p) U(p)ZDROJ NAPĚTÍ, KTERÝ MODELUJEPOČÁTEČNÍ PODMÍNKUu(t)i(t)CI(p)/pCZ(p) = (pC) -1⇒u(0)/pImpedanční model kapacity C ( napětí jefunkcí proudu); u(0) – počáteční napětí –výchozí orientace definována šipkou u(t)1 u(0)1U ( p)= ⋅ I(p)+ ; Z( p)=pC p pC4) Indukčnost:u ( t)= L ⋅ di(t)/ dtjestliže I ( p)a U ( p)jsou odpovídající obrazy časových průběhů proudů a napětí, potom potransformaci (impedanční model)( p ⋅ I ( p)− (0))U ( p)= L ⋅ inebo pro admitanční „přístup“:t1i(t)= u() d + i(0)L∫ τ τ0obdržíme1 i(0)I ( p)= ⋅U( p)+pL pIndukčnosti pak můžeme přiřadit admitanční model podle obrázku (vhodný pro metoduuzlových napětí)I(p)ZDROJ PROUDU, KTERÝ MODELUJEPOČÁTEČNÍ PODMÍNKUu (t)i (t)LU(p)/pL⇒Y(p)=1/pLi(0)/pU(p)Admitanční model indukčnosti L( proud je funkcí napětí); i(0) –počáteční proud – výchozí orientacedefinována šipkou i(t)U ( p)i(0)1I( p)= + ; Y ( p)=pL p pL49

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010Impedanční model indukčnosti je na následujícím obrázkuu (t)i (t)L⇒I(p) U(p)Z(p)=pLpLI(p)L.i(0)ZDROJ NAPĚTÍ, KTERÝ MODELUJEPOČÁTEČNÍ PODMÍNKUImpedanční model indukčnosti L( napětí je funkcí proudu); i(0) –počáteční proud – výchozí orientacedefinována šipkou i(t)U( p)= L ⋅ p ⋅ I(p)− i(0); Z ( p)= pL( )5) Impedance, admitance (obrazové), zobecněný Ohmův zákonNyní již můžeme definovat impedanci Z(p) a admitanci Y(p) (obrazovou) – definujívztahy mezi obrazy napětí a proudů; opět používáme souhlasnou orientaci napěťové aproudové šipky (spotřebičovou konvenci). Platí nyní zobecněný Ohmův zákon (v časovéoblasti se jedná o jiné fyzikální zákony – viz předchozí text)U ( p)= Z ( p)⋅ I(p);I(p)= U ( p) / Z(p)= Y ( p)⋅U( p);Y ( p)⋅ Z(p)= 1U ( p)I ( p)Z(p)Y(p)prvek R C LZ(p) R (pC ) -1 pLY(p) 1/R=G pC (pL) -1pro nulové počáteční podmínkyJe zřejmé, že všechna pravidla určená pro ustálený harmonický stav platí formálně i poLaplaceově transformaci po substituci jω→ p . Pokud jsou počáteční podmínky nenulové,jsou modelovány příslušnými zdroji, které při analýze obvodu do výpočtu zahrnujeme.Musíme si ovšem uvědomit, že řešením získáváme obrazy proudů a napětí, časové průběhymusíme získat zpětnou transformací.50

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010DODATEK 2Admitanční modely základních elektronických prvků[Punčochář, Mohylová: TELO, Chapter 2, quiescent point of basic active tripoles(BJT, FET, triode); their admittance models]ADMITTANCE MODEL OF GENERAL ACTIVE THREE – TERMINAL DEVICE(We will suppose that input current is not function of a voltage u 23 ; i 1

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010Admittance models of modern linear amplifying structuresJosef Punčochář 11 Katedra teoretické eletrotechniky FEI VŠB – Technická Univerzita Ostrava, 17. listopadu 15,708 33 Ostrava-PorubaJosef.Puncochar@vsb.czAbstract: Generalized nodal voltage analysis is very simple and useful in the analysis oflinear active networks. It is evident that for the nodal voltage analysis of networks withmodern integrated electronic devices it would be known their admittance models (matrices).That is why we will determine the admittance matrices of some modern electronic devices:operational amplifier, current conveyors, current feedback (transimpedance) amplifier,transadmitance amplifier and Norton amplifier. The signal models in this paper provide ameans of checking device parameters such as voltage gain, output resistances,transimpedance, transconductance, etc. that is specified on the manufacturer’s data sheets.Key words: nodal voltage analysis, admittance model, amplifier, conveyor1 IntroductionIn order to analyze a linear electronic network we can define it as an active n-terminal (linear)and passive part of the circuit connected in parallel.The revision of basic rules of the generalized voltage analysis and nullor nodal analysis isin [8, 9, 6, 7, etc.] From the revision it is evident that a description of modern integratedelectronic devices is needed. That is why we are going to determine their admittance matricesand nullor models. We prefer the signal models with parameters that are specified on themanufacturer’s data sheets.2 Operational amplifier (OA)OA is well known modern device. OA´s structures and properties you may find almosteverywhere then in [2, 5] also.2.1 Matrix model of OAThe assignment and sign convention for input (U + , U - ) and output (U o ) voltages and currents(I + , I - , I o ) of differential amplifiers is shown in Fig.1. The simplified model (for I + = I - = 0) ofdifferential amplifiers is shown in Fig.1b. We can easy determine equationsI + = 0.U + + 0.U - + 0.U OI - = 0.U + + 0.U - + 0.U OI O = (U O -AU d )/R O = -AG O U + + AG O U - + G O U OInput impedances (if I + and I - ≠ 0) of the OA we can „put in the passive part“of the analyzedcircuit.52

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010U +I + = 0U dU -I - =0+-(a)R oU oI oU d(b)(+)(-)R oI oAU d =A(U + -U - )(o)U oA matrix form (model) of equations isFig. 1. a) A differential amplifier; b) a signal model(+) ( - ) (o)(+) 0 0 0 U + I +(-) 0 0 0 U - = I - (1)(o) -AG o AG o G o U o I oThe eq.(1) describes the matrix admittance model of the differential amplifier with an outputresistance R o = 1/G o and a voltage gain A. If the amplifier is ideal (ideal OA) than A→∞ andU + = U - , e.g. [8].If only one input is needed (+ or -) we can non request input connect to the reference pointand the corresponding raw and column of the matrix must be omitted.2.2 An example of a calculus with the OA modelA practical configuration of the narrow band-reject (notch) filter is in Fig.2. Basic rules of thegeneralized nodal voltage analysis are e.g. in [6, 7, 11]. After numbering of nodes we candetermine the admittance model of the circuit in Fig.2b:1(+) 2(o)(-) 31(+) G+(0) 0+(0)+(0) -G U 1 I 12(o)(-) 0+(-AG o )+(0) pC+(G o )+(AG o )+(0)+(0) -pC U 2 = 0 (2)3 -G -pC 2G+pC U 3 0where R o = 1/G o is the output resistance and A is voltage gain of the real operational amplifierOZ2.Solving matrix set of equations (1) give us the input impedance of the circuit in Fig.2b:Z IN = U 1 /I 1 = [G o (1+A)(2G+pC) + 2pGC]/{G o [G 2 (1+A) + pGC] + pG 2 C }== | G o → ∞ | = (2R +pCR 2 ) .1/[1+ pRC/(1+A)] (3)In general, A is determined by many poles and zeros; however, in order to assure stability inclosed-loop feedback configuration, most modern op amps are designed to have only onedominant negative real pole at p = -ω 1 so that a suitably accurate op amp model is (p=jω forsteady53

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010R 1U iR 1R 2 = R SC SR SOZ1U oI 1U RL =U 1(1)ROZ2I 1U 3C(3)RU 2”I 1R S =2RL e =C L R 2L eU RL(a)(b)Fig. 2. a) Notch-filter and b) the realization of L e and R s - the synthetic inductor withseries resistancestate solution) A( p) = A 0ω1( p + ω1) ≅ ωTp , where ω T is unity gain-bandwidth frequencydefined as ω T = A 0 ⋅ ω1; ω 1 is, of course, the 3 dB frequency of the op amp gain. For ω

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010I YU YU XI X(a)K VK V U YK C I XZ XCURR. MIRRORZ zI ZU ZU Z Y ZI YU Y Y I ZZXU XI X(b)U ZFig. 3. a) Signal model of the three-port second-generation current conveyor; b) symbol of currentconveyor signal model is shown in Fig.3a.The ground (reference) terminal provides a reference point for the three others. The simplifiedsignal model is shown in Fig.3a.The terminal Y is the input of a voltage amplifier (voltage gain K V is 1 or -1 for the idealcase), input current I Y = 0 for the ideal case.The terminal X is the output of the voltage amplifier; I X is the current through an outputimpedance Z X of the voltage amplifier. Z X is zero for the ideal case, consequentlyU X = K V U Yfor the ideal case.Table 1. Different types of three-port second -generation current conveyorsK V K C NAMED SYMBOL1 1 conventional positive current conveyor CCII+1 -1 conventional negative current conveyor CCII--1 1 inverting positive current conveyor ICCII+-1 -1 inverting negative current conveyor ICCII-The output current I Z (Z - output terminal) will mirror the current I X (by means of currentmirrors; K C - current gain):I Z = K C I XAn admittance Y z = 1/Z z (zero for the ideal case) represents real properties of the currentsource (Fig.3a).All possibilities are summarized in a table 1.3.1 Matrix model of conveyorsFrom the Fig.3a we can easy determine equationsI X = (U X - K V U Y )/Z X = Y X U X - K V Y X U Y + 0.U ZI Y = 0.U X + 0.U Y + 0.U ZI Z = K C I X + U Z /Z Z = K C Y X U X - K C K V Y X U Y + Y Z U ZThe matrix form of these equations is55

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010X Y ZX Y X - K V Y X 0 U X I XY 0 0 0 U Y = I Y (9)Z K C Y X - K C K V Y X Y Z U Z I ZEquation (9) thus describes all four different types of three-port current conveyors from thetable 1.3.2 An example of a calculus with the CC modelAs an example, consider a combination of (I)CCII(+,-) and five admittances [5] shown inFig.4. This circuit is able to realize 2-nd order ARC filters if we choose suitable (right)admittances Y i . First we number nodes (Fig.4). There is only one signal current source I 1 inthe circuit. We use the admittance matrix from the Eq. (9) for Y z = 0 and basic rules ofgeneralized nodal voltage analysis, e.g. [7].I 1R 1(1)(4)Y(I)CCII(+;-)Y 4(3) (2)U +I +(+)I -KR O1CFAKU +R o2-ZI -I o(o)Y 2X Z Y 5Y 3U -(-)U oFig. 4. 2-nd order RC filterFig.5. Signal model of CFAThe admittance matrix „with (I)CCII(+;-)“ is:1; Y 2; Z 3 4 ; X1; Y G 1 0 0 0 U 1 I 12; Z -K C K V Y X Y 4 +Y 5 -Y 4 K C Y X U 2 03 0 -Y 4 Y 2 +Y 3 +Y 4 -Y 2 U 3 = 04 ; X -K V Y X 0 -Y 2 Y 2 +Y x U 4 0Solving this set of equations for Y x = G x → ∞ (R x = 0) give us voltage transfer function ofthe analyzed circuitUKY[ Y (1 + K ) + K Y ]2V 2 4 C C 3= (10)1 Y5(Y2+ Y3+ Y4) + Y2Y4(1 + K C ) + Y3Y4UOnly for K C = - 1 we can get the known ideal resultU2−Y2Y3= KV⋅U1Y5(Y2+ Y3+ Y4) + Y3Y4It is evident that K V can not change the basic function of the analysed circuit, it changes only„main sign“of a transfer function.56

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 20104 Current feedback amplifier (CFA, transimpedance)Selected example and signal model of CFA is described in [5, 10, 6].The assignment and signconvention for input and output voltages and currents is shown in Fig.5.A terminal (+) is an input of a voltage follower (ideal case K =1, in general case K ≠ 1).An input current I + =0 for the ideal CFA. A terminal (-) is an output of the follower; I - is thecurrent through an output resistance R O1 of the follower. R O1 is zero for the ideal CFAconsequently U + = U - for the ideal case.The output voltage U o will follow the current I - thanks to a transimpedance Z (and currentmirrors, of course), see [5]. An output resistance R O2 represents real properties of the voltagesource controlled by I - (zero for the ideal CFA).4.1 Matrix model of CFAFrom the Fig.5 we can easy determine equations (we suppose I + =0; G O1 = 1/R O1 ; G O2 =1/R O2 ; K is voltage gain of the follower)I + = 0.U + + 0.U - + 0.U OI - = (U - - KU + )/R O1 = | for K =1| = -G O1 U + + G O1 U - + 0.U OI O = (U O -(-ZI - ))/R O2 = -G O1 G O2 ZU + + G O1 G O2 ZU - + G O2 U OA matrix form (model) of the equations is(+) (-) (o)(+) 0 0 0 U + I +(-) -G o1 G o1 0 U - = I - (11)(o) -G o1 G o2 Z G o1 G o2 Z G o2 U o I o4.2 An example of calculus with matrix model of CFAAs an example, consider the combination of CFA and two admittances [5] shown in Fig.6.First we number nodes (Fig.6). There is only one signal current source I 1 in the circuit. Weuse the admittance matrix from the Eq. (11) and basic rules of generalized nodal voltageanalysis .1 (+) 2(o) 3(-)1(+) 0 + (0) 0 + (0) 0 + (0) U 1 I 12(o) 0 + ( -G o1 G o2 Z) G 2 + (G o2 ) -G 2 + (G o1 G o2 Z) x U 2 = 03(-) 0 + (-G o1 ) -G 2 + (0) G 1 +G 2 + (G o1 ) U 3 0R 11U 1R 23CFA(o)I 1 U 2(+)U d(-)I -I +CURRENT SOURCE I OG oG m U dI oG o U o(o)U oFig.6. Noninverting amplifier with the CFAFig.7. The idealized signal model of the TAA57

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010Solving this set of equations for G o1 , G o2 → ∞ (R o1 , R o2 = 0) give us voltage transfer functionof the analyzed circuit:U 21= (1 + R 2 / R1)⋅(12)U1+R / Z1Go1,Go2→∞5. Transadmitance amplifier (TAA, OTA)2An idealized signal model of TAA (zero input currents I + and I - ) is in Fig.7 - voltagecontrolled(U d ) current-source (I O ) [5]. G m is mutual conductance - commonly transadmitanceY m (jω).5.1 Matrix model of TAAFrom the Fig.7 it can be easy determined thatI + = 0.U + + 0.U - + 0.U OI - = 0.U + + 0.U - + 0.U OI O = -G m U d +G O U O = -G m (U + -U - ) + G O U O = -G m U + + G m U - + G O U OHence a matrix model is(+) (-) (o)(+) 0 0 0 U + I +(-) 0 0 0 U - = I - (13)(o) -G m G m G o U o I o5.1 An example of calculus with the matrix model of TAAAn interesting circuit we can see in Fig.8. The TAA is described by matrix (13), the voltagefollower matrix model we easy determine from the matrix (1) - see Fig.1b and connectinverting input to the earth: (+) → a; (o) → b; G o → G oVF; A → 1; (-) - this input is omitted,thus row and column (-) is omitted, too. Then matrix description of the follower is(a) (b)(a) 0 0 U a = I a (14)(b) -G oVF G oVF U b I bcontrol G mOTAo 1 aVFb3I 1C v2R AI xXU xRFig.8. Controlled resistance R X (node X ≡ 1) or first order high pass filter58

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010In the first step we suppose that frequency is large enough and the capacitor C V has negligibleinfluence on circuit properties - 1/(ω C v ) >1. A nextcircuit element is an inverting amplifier ( input resistance R IN , voltage gain A, outputresistance R O ), by another name a current-controlled voltage-source: U O = -AR IN I B , I B = I - - I +.6.1 Matrix model of NAFrom Fig.9 we can determine equations (g d = 1/r d ; G IN = 1/R IN )I + = U + /r d = g d U + + 0.U - + 0.U oI - = I + + I B = g d U + + U - /R IN = g d U + + G IN U - + 0.U oI o = [U o - (-AU - )]/R O = 0.U + + AG o U - + G o U o59

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010where r d represents a signal resistance of transistors T1 and T2 in the operating point; r d ≈26mV/I DC , I DC is the quiescent current of the transistors.U -(-)(+)U +I -I +T1IT2CURRENT MIRRORI BR INR oI o-AU - =-AR IN I BCURR.-CONTROLLEDVOLTAGE-SOURCEFig.9. The signal model of the NAU o(o)I 1 R 113R +R 2Fig.10. The signal model of an invertingamplifier with the NA2A matrix form of the equations is(+) (-) (o)(+) g d 0 0 U + I +(-) g d G IN 0 U - = I - (18)(o) 0 AG o G o U o I o6.2 An example of calculus with the matrix model of NAAn signal model of an inverting amplifier with the NA is in Fig.10. From the practical pointof view it is zero voltage across the resistor R + , thus it can be omitted - the (+) input isconnected to the earth, directly.After numbering of nodes we can determine the admittance model of the circuit in Fig.10:1 2 (o) 3 (-)1 G 1 0 -G 1 U 1 I 12 (o) 0 G 2 + G o -G 2 +AG o U 2 = 03 (-) -G 1 -G 2 G 1 +G 2 +G IN U 3 0Usually it is valid G o >> G 2 and AG o >> G 2 , and we can easy determine that a transferfunction of the circuit isU2/ U7. Conclusion1R 21= − ⋅(20)R 1+(1 + R / R + R / R ) / A1212INIn the matrices models we can easy define frequency responses, too. We can do substitutions:A → A(jω); G m → Y m (jω); Z → Z(jω); K → K(jω); etc. Other applications of some matricesand nullor models can be found in [4, 6, 7].It is really evident that there are no outstanding difficulties involved in incorporating thedescribed devices (models) into the framework of conventional linear network theory.60

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010Usefulness of the signal models with parameters that are specified on the manufacturers´ datasheets is evident, too.AppendixLet us revise basic rules of the generalized nodal voltage analysis:1) First we determine the admittance matrix of the circuit „without“active n-terminal[„passive part“ of the circuit - I i are exciting currents, U i are nodal voltages, Y 11 , ..., Y mmare elements of the admittance matrix; Y kk are sums of admittances of elements connectedto the k-th node - they are always positive; Y rs are sums of admittances of elementsconnected between the r-th and s-th nodes - all these elements are negative].2) Now we rewrite matrices of the active n-terminals in the same system of nodes (in theadmittance matrix „without“ active n-terminals).3) In „places of coincidences“ we add the respective matrix elements from the matrices ofactive n-terminals.4) The resultant admittance matrix, thus, the circuit equations, describe the linear activenetwork and we can solve the problem - the analysis of circuit with active n-terminals bymeans of Crammer’s rule.61

Punčochář, J.: Problematika maticového počtu při analýze lineárních obvodů; únor 2010References1. Davies, A, C.: The Significance of Nullators, Norators, and Nullors in Active- network Theory. TheRadio and Electronic Engineer, November 1967.2. Dostál, J.: Operational Amplifiers. ELSEVIER SCIENTIFIC PUBLISHNG COMPANY. Amsterdam -Oxford - New-York 1981.3. Kvasil, J.: Mikroelektronické transformační bloky. SNTL, Praha 1981.4. Mohylová, J.: Lineární obvody s elektronickými prvky - Sbírka příkladů. VŠB - TU Ostrava, Ostrava2002, ISBN 80-248-0098-5.5. Punčochář, J.: Operační zesilovače v elektronice. BEN, Praha 1996 (1. a 2. vydání), 1997 (3.vydání),1999 (4. vydání), 2002 (5. vydání), ISBN 80-901984-3-0 (1. až 3. vydání), ISBN 80-86056-37-6 (4.vydání), ISBN 80-7300-059-8 (5. vydání).6. Punčochář, J.: Operační zesilovače - historie a současnost. BEN, Praha 2002, ISBN 80-7300-047-4.7. Punčochář, J.: Lineární obvody s elektronickými prvky. VŠB - TU Ostrava, Ostrava 2002. ISBN 80-248-0040-3.8. Punčochář, J.: Nullor Nodal Analysis as a Result of a Nodal Analysis With Ideal OP Amps. 21 stSEMINAR on fundamentals of electrotechnics and circuit theory (SPETO). GLIWICE - USTROŇ,1998. ISBN 83-85940-20-0.9. Punčochář, J.: Current Conveyors in Linear Circuit Theory. 22nd SEMINAR on fundamentals ofelectrotechnics and circuit theory (IC-SPETO 99). GLIWICE - USTROŇ, 1999, ISBN 83-85940-21-9.10. Punčochář, J.: Current-feedback (transimpedance) amplifiers in linear circuit theory. 8 th ScientificConference Theoretical Electrical Engineering and Electrical Measurement. Technical UniversityKošice, 1999.11. Punčochář, J.: Zobecněná metoda uzlových napětí. Seminář teorie obvodů (STO-6), MODERNÍSMĚRY VÝUKY ELEKTROTECHNIKY A ELEKTRONIKY, Katedra elektrotechniky a elektroniky VABrno, Brno 1997.12. Punčochář, J.: Analysis of Sallen and Key Low-Pass Filters with Real Operational Amplifiers.Transactions of the VŠB - Technical University of Ostrava Electrical Engineering Series, ročník V,číslo 1. Ostrava 1999. ISBN 80-7078-740-6.13. Punčochář, J.: Pásmová zádrž se syntetickou indukčností. Sdělovací technika 1980, č.2.14. Punčochář, J.: Maximální vstupní napětí pro zádrže RC. Sdělovací technika 1984, č.10.15. Punčochář, J.: Narrow band-reject filter with a real operational amplifier. Radioelektronika 2000.Bratislava, 2000, ISBN 80-227-1389-9.16. Punčochář, J.: The universal admittance model of the three-port second generation current conveyors(CCII, ICCII). 24th SEMINAR on fundamentals of electrotechnics and circuit theory (IC-SPETO 2001).GLIWICE - USTROŇ, 2001, ISBN 83-85940-23-5.17. Punčochář, J.: Modern integrate electronic devices in linear circuit theory. 23rd SEMINAR onfundamentals of electrotechnics and circuit theory (IC-SPETO 2000). GLIWICE - USTROŇ, 2000,ISBN 83-85940-22-7.Publikováno v:Sborník vědeckých prací VŠB – TU Ostrava, řada elektrotechnická číslo 1/2003, str. 151 -161, VŠB – TU Ostrava, 2003, ISBN 80 – 248 – 0223 – 662