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十 大 数 学 家


代序致 二 十 一 世 纪 的 主 人钱 三 强时 代 的 航 船 将 很 快 进 入 21 世 纪 , 世 纪 之 交 , 对 我 们 中华 民 族 的 前 途 命 运 , 是 个 关 键 的 历 史 时 期 。 现 在 10 岁 左 右的 少 年 儿 童 , 到 那 时 就 是 驾 驭 航 船 的 主 人 , 他 们 肩 负 着 特 殊的 历 史 使 命 。 为 此 , 我 们 现 在 的 成 年 人 都 应 多 为 他 们 着 想 ,为 把 他 们 造 就 成 21 世 纪 的 优 秀 人 才 多 尽 一 份 心 , 多 出 一 份力 。 人 才 成 长 , 除 了 主 观 因 素 外 , 在 客 观 上 也 需 要 各 种 物 质的 和 精 神 的 条 件 , 其 中 , 能 否 源 源 不 断 地 为 他 们 提 供 优 质 图书 , 对 于 少 年 儿 童 , 在 某 种 意 义 上 说 , 是 一 个 关 键 性 条 件 。经 验 告 诉 人 们 , 往 往 一 本 好 书 可 以 造 就 一 个 人 , 而 一 本 坏 书则 可 以 毁 掉 一 个 人 。 我 几 乎 天 天 盼 着 出 版 界 利 用 社 会 主 义的 出 版 阵 地 , 为 我 们 21 世 纪 的 主 人 多 出 好 书 。 广 西 科 学 技术 出 版 社 在 这 方 面 作 出 了 令 人 欣 喜 的 贡 献 。 他 们 特 邀 我 国科 普 创 作 界 的 一 批 著 名 科 普 作 家 , 编 辑 出 版 了 大 型 系 列 化自 然 科 学 普 及 读 物 ——《 少 年 科 学 文 库 》。《 文 库 》 分 “ 科 学1


知 识 ”、“ 科 技 发 展 史 ” 和 “ 科 学 文 艺 ” 三 大 类 , 约 计 100 种 。《 文 库 > 除 反 映 基 础 学 科 的 知 识 外 , 还 深 入 浅 出 地 全 面 介 绍当 今 世 界 最 新 的 科 学 技 术 成 就 , 充 分 体 现 了 90 年 代 科 技 发展 的 前 沿 水 平 。 现 在 科 普 读 物 已 有 不 少 , 而 《 文 库 > 这 批 读物 特 有 魅 力 , 主 要 表 现 在 观 点 新 、 题 材 新 、 角 度 新 和 手 法 新 、内 容 丰 富 、 覆 盖 面 广 、 插 图 精 美 、 形 式 活 泼 、 语 言 流 畅 、 通 俗易 懂 , 富 于 科 学 性 、 可 读 性 、 趣 味 性 。 因 此 , 说 《 文 库 》 是 开 启科 技 知 识 宝 库 的 钥 匙 , 缔 造 21 世 纪 人 才 的 摇 篮 , 并 不 夸 张 。《 文 库 》 将 成 为 中 国 少 年 朋 友 增 长 知 识 、 发 展 智 慧 、 促 进 成 才的 亲 密 朋 友 。亲 爱 的 少 年 朋 友 们 , 当 你 们 走 上 工 作 岗 位 的 时 候 , 呈 现在 你 们 面 前 的 将 是 一 个 繁 花 似 锦 的 、 具 有 高 度 文 明 的 时 代 ,也 是 科 学 技 术 高 度 发 达 的 崭 新 时 代 。 现 代 科 学 技 术 发 展 速度 之 快 、 规 模 之 大 、 对 人 类 社 会 的 生 产 和 生 活 产 生 影 响 之深 , 都 是 过 去 无 法 比 拟 的 。 我 们 的 少 年 朋 友 , 要 想 胜 任 驾 驶2


时 代 航 船 , 就 必 须 从 现 在 起 努 力 学 习 科 学 , 增 长 知 识 , 扩 大眼 界 , 认 识 社 会 和 自 然 发 展 的 客 观 规 律 , 为 建 设 有 中 国 特 色的 社 会 主 义 而 艰 苦 奋 斗 。我 真 诚 地 相 信 , 在 这 方 面 ,《 少 年 科 学 文 库 》 将 会 对 你 们提 供 十 分 有 益 的 帮 助 , 同 时 我 衷 心 地 希 望 , 你 们 一 定 为 当 好21 世 纪 的 主 人 , 知 难 而 进 、 锲 而 不 舍 , 从 书 本 、 从 实 践 汲 取现 代 科 学 知 识 的 营 养 , 使 自 己 的 视 野 更 开 阔 、 思 想 更 活 跃 、思 路 更 敏 捷 , 更 加 聪 明 能 干 , 将 来 成 长 为 杰 出 的 人 才 和 科 学巨 匠 , 为 中 华 民 族 的 科 学 技 术 实 现 划 时 代 的 崛 起 , 为 中 国 迈入 世 界 科 技 先 进 强 国 之 林 而 奋 斗 。亲 爱 的 少 年 朋 友 , 祝 愿 你 们 奔 向 21 世 纪 的 航 程 充 满 闪光 的 成 功 之 标 。1991 年 11 月 于 北 京3


前言《 十 大 科 学 家 丛 书 是 《 少 年 科 学 文 库 中 的 丛 书 之 一 ,在 这 套 内 容 丰 富 、 规 模 庞 大 的 文 库 里 , 为 什 么 要 给 科 学 家 的故 事 留 下 重 要 的 一 个 席 位 呢 ? 只 要 看 一 看 当 前 的 书 刊 市场 , 我 们 便 不 难 找 到 这 个 问 题 的 答 案 。如 果 你 是 一 位 家 长 , 如 果 你 有 一 个 上 中 小 学 的 孩 子 , 如果 你 的 孩 子 陷 入 了 “ 追 星 族 ”、“ 发 烧 友 ” 的 狂 热 之 中 , 而 你 又想 改 变 孩 子 的 兴 趣 和 注 意 力 , 使 孩 子 树 立 正 确 的 人 生 观 和价 值 观 , 那 么 你 一 定 想 带 孩 子 到 书 市 去 转 一 转 , 为 他 ( 或 她 )选 购 几 本 具 有 正 确 价 值 取 向 、 能 鼓 励 人 们 奋 发 向 上 的 课 外读 物 。 这 时 候 , 你 也 许 会 感 到 失 望 和 沮 丧 。 你 会 发 现 适 合青 少 年 阅 读 的 这 类 图 书 实 在 太 少 太 少 。在 社 会 上 的 各 类 人 群 中 , 科 学 家 是 最 应 受 到 尊 敬 的 人群 之 一 。 他 们 的 力 量 最 大 , 能 改 变 人 们 的 观 念 , 改 变 生 产 和生 活 方 式 , 改 变 整 个 社 会 面 貌 ; 他 们 的 奉 献 精 神 最 强 , 是 他1


们 把 知 识 和 智 慧 酿 造 成 甘 霖 , 洒 向 全 世 界 , 造 福 全 人 类 ; 他们 的 思 想 境 界 最 高 , 对 自 然 规 律 的 刻 苦 探 索 和 深 邃 了 解 , 是他 们 毕 生 的 追 求 。 今 天 , 我 们 每 一 个 人 无 不 在 享 用 着 科 学的 恩 惠 , 我 们 没 有 理 由 不 去 歌 颂 科 学 家 的 功 德 , 没 有 理 由 不使 科 学 家 成 为 我 们 和 我 们 的 后 代 所 崇 敬 和 学 习 的 榜 样 , 没有 理 由 不 引 导 我 们 的 青 少 年 去 追 寻 科 学 家 的 脚 迹 , 发 扬 他们 的 精 神 , 继 承 他 们 的 事 业 。 正 是 出 于 这 种 考 虑 , 我 们 的 科普 作 家 和 出 版 家 们 才 对 《 十 大 科 学 家 》 丛 书 的 写 作 和 出 版 投入 了 极 大 的 热 情 。全 套 丛 书 共 分 10 册 , 较 为 系 统 地 介 绍 了 100 名 科 学 家的 生 平 事 迹 和 主 要 成 就 。 他 们 都 是 世 界 或 我 们 国 内 一 流 的科 学 家 和 发 明 家 。 他 们 的 名 字 已 被 永 远 镌 刻 在 人 类 科 技 发展 史 上 。 一 切 有 兴 趣 阅 读 这 套 丛 书 的 青 少 年 , 一 定 会 从 中获 取 力 量 , 获 取 智 慧 , 获 取 热 情 , 获 取 对 未 来 的 新 向 往 , 惟 有这 一 点 , 才 是 作 者 和 编 者 的 共 同 愿 望 。2周 文 斌1994. 元 .4. 于 北 京


目录欧 几 里 得 —— 数 学 界 的 一 代 宗 师 ……………… ( 1 )进 入 柏 拉 图 学 园 …………………………… ( 1 )千 古 一 奇 书 ………………………………… ( 4 )学 习 几 何 的 捷 径 …………………………… ( 6 )知 音 在 中 华 ………………………………… ( 8 )第 一 个 证 明 ………………………………… (10)天 涯 游 子 心 ………………………………… (13)碧 落 黄 泉 何 处 寻 ?………………………… (16)意 外 的 收 获 ………………………………… (19)钥 匙 ………………………………………… (22)智 者 的 “ 一 失 ”……………………………… (25)刘 徽 —— 心 目 中 没 有 “ 可 望 而 不 可 及 ”…………数 的 诱 惑 ……………………………………执 著 的 痴 情 …………………………………初 见 锋 芒 ……………………………………万 种 风 流 ……………………………………千 古 一 绝 割 圆 术 ……………………………1(29)(29)(32)(35)(38)(42)


东 方 阿 基 米 德 ………………………………搁 浅 …………………………………………天 有 多 高 ……………………………………测 量 学 先 驱 …………………………………觅 得 金 针 度 与 人 ……………………………奏 九 韶 —— 变 枯 燥 乏 味 为 妙 趣 横 生 ……………乱 世 才 子 ……………………………………中 华 数 书 两 姊 妹 ……………………………天 下 第 一 案 ……………………………………故 弄 “ 玄 虚 ”…………………………………一 鸣 惊 人 ……………………………………土 木 工 程 师 …………………………………继 承 与 发 展 …………………………………三 斜 求 积 ……………………………………一 错 再 错 ……………………………………留 与 后 人 评 说 ………………………………笛 卡 儿 —— 数 学 王 国 一 小 兵 ……………………分 道 扬 镳 ……………………………………勾 起 旧 日 情 愫 ………………………………梦 魂 所 寄 ……………………………………重 逢 故 友 ……………………………………伟 大 的 转 折 …………………………………美 妙 的 结 合 …………………………………2(46)(49)(51)(54)(58)(61)(61)(64)(66)(69)(71)(75)(77)(79)(83)(87)(89)(89)(92)(95)(97)(99)(103)


德 里 安 悲 剧 的 背 后 …………………………喜 剧 性 论 战 …………………………………上 帝 无 能 改 变 数 学 图 案 ……………………数 学 世 界 的 匆 匆 过 客 ………………………蒂 马 —— 业 余 数 学 家 之 王 ………………………在 遥 远 的 天 地 里 ……………………………奇 妙 的 自 然 数 ………………………………方 队 的 启 示 …………………………………形 形 色 色 ……………………………………神 秘 方 程 ……………………………………繁 花 似 锦 ……………………………………小 大 两 定 理 …………………………………会 下 金 蛋 的 母 鸡 ……………………………《 将 军 巡 营 》 解 ………………………………数 坛 奇 才 ……………………………………莱 布 尼 茨 ——“ 哲 学 ” 的 毕 生 追 求 者 ……………前 人 发 现 了 什 么 ……………………………峥 嵘 岁 月 ……………………………………坠 入 爱 河 ……………………………………在 帕 斯 卡 走 过 的 道 路 上 ……………………龙 的 国 度 ……………………………………神 秘 的 八 卦 …………………………………虚 无 缥 缈 的 数 ………………………………3(105)(108)(111)(113)(116)(116)(118)(121)(123)(126)(128)(131)(133)(136)(139)(143)(143)(146)(149)(151)(155)(158)(161)


数 学 家 步 入 新 奇 瑰 丽 的 时 代 ………………他 终 于 成 为 “ 哲 学 家 ”………………………平 地 风 波 ……………………………………欧 拉 —— 征 服 黑 暗 的 人 …………………………在 上 帝 家 做 客 ………………………………情 系 天 涯 ……………………………………伊 甸 园 的 果 子 ………………………………比 老 师 年 长 十 七 岁 的 学 生 …………………万 能 的 顾 问 …………………………………心 中 自 有 明 如 炬 ……………………………寻 找 雅 典 娜 …………………………………五 十 年 前 曾 相 识 ……………………………未 来 属 于 年 轻 一 代 …………………………历 尽 茫 茫 风 雨 路 ……………………………拉 格 朗 日 —— 最 大 的 愿 望 是 献 身 数 学 …………一 个 伟 大 的 形 象 ……………………………选 择 …………………………………………初 生 之 犊 ……………………………………遇 到 真 正 的 科 学 家 …………………………天 外 有 天 ……………………………………变 分 法 诞 生 记 ………………………………学 术 生 涯 ……………………………………可 惜 宇 宙 只 有 一 个 …………………………4(163)(166)(168)(172)(172)(176)(178)(181)(184)(187)(190)(192)(195)(198)(202)(202)(204)(206)(209)(211)(213)(216)(219)


向 人 类 智 慧 挑 战 ……………………………恩 师 欧 拉 ……………………………………高 斯 —— 在 数 学 世 界 里 处 处 留 芳 ………………您 算 错 了 ……………………………………最 底 下 那 块 石 板 ……………………………不 速 之 客 ……………………………………数 学 还 是 文 学 ………………………………认 识 数 学 的 最 好 途 径 ………………………由 力 卡 !……………………………………当 头 一 棒 ……………………………………一 个 伟 人 的 悲 剧 ……………………………天 文 学 家 慌 了 手 脚 …………………………名 垂 千 秋 ………………………………………希 尔 伯 特 —— 引 导 数 学 继 往 开 来 ………………向 往 自 由 ……………………………………博 士 论 文 导 师 ………………………………王 位 动 摇 了 …………………………………哥 廷 根 以 外 无 生 活 …………………………愉 快 的 教 学 …………………………………预 测 未 来 ……………………………………划 时 代 的 讲 演 ………………………………没 有 黄 金 ……………………………………无 所 畏 惧 的 人 ………………………………认 识 自 然 和 生 命 ……………………………(221)(224)(227)(227)(229)(232)(235)(238)(241)(243)(246)(249)(252)(256)(256)(259)(262)(264)(266)(269)(271)(274)(276)(279)5


欧 几 里 得 —— 数 学 界 的 一 代 宗 师世 俗 上 浮 光 掠 影 的 东 西 终 究 会 过 去 , 但 是 , 星 罗 棋 布 的天 体 图 案 却 是 永 恒 地 岿 然 不 动 。—— 欧 几 里 得 ——进 入 柏 拉 图 学 园提 到 数 学 , 人 们 总 要 追 溯 到 古 希 腊 时 代 。在 世 界 上 许 多 文 明 古 国 中 , 古 希 腊 占 据 很 重 要 的 位 置 。希 腊 人 在 文 化 方 面 的 发 展 以 及 在 科 学 技 术 方 面 惊 人 的 创 造力 为 人 类 增 添 不 少 光 彩 , 特 别 是 数 学 这 门 学 科 , 他 们 曾 经 为它 的 进 步 耗 费 大 量 心 血 , 做 出 了 卓 著 的 贡 献 。古 希 腊 的 地 理 范 围 很 大 , 除 了 现 在 的 希 腊 半 岛 之 外 , 还包 括 整 个 爱 琴 海 区 域 和 北 面 的 马 其 顿 , 并 且 含 有 意 大 利 半岛 等 地 。 雅 典 是 古 希 腊 的 政 治 、 文 化 、 哲 学 、 艺 术 、 文 学 、 科学 的 中 心 城 市 , 又 是 经 济 、 贸 易 活 动 和 交 通 枢 纽 , 繁 华 发 达 ,堪 称 一 时 之 盛 。教 育 是 一 切 学 科 向 前 推 进 必 不 可 少 的 手 段 , 创 办 讲 习1


所 教 书 育 人 自 然 就 是 培 养 人 才 的 一 种 常 见 形 式 了 。却 说 在 公 元 前 3 世 纪 至 6 世 纪 间 , 正 是 古 希 腊 文 化 的鼎 盛 时 期 , 在 为 数 众 多 的 各 种 讲 习 所 之 中 ,“ 柏 拉 图 学 园 ”最 负 盛 名 。 柏 拉 图 ( 公 元 前 427— 公 元 前 347) 是 著 名 哲学 家 苏 格 拉 底 ( 公 元 前 469— 公 元 前 399) 的 弟 子 , 他 早年 游 历 很 广 , 访 问 过 埃 及 和 意 大 利 南 部 , 并 曾 和 热 心 数 学的 毕 达 哥 拉 斯 学 派 的 成 员 接 触 过 , 引 起 他 对 数 学 的 兴 趣 ,因 此 他 的 哲 学 内 容 有 相 当 大 一 部 分 是 反 映 数 学 思 想 和 方 法的 , 被 称 为 “ 数 学 的 哲 学 ”。柏 拉 图 定 居 雅 典 , 在 城 郊 的 一 处 树 林 中 创 办 一 所 学 园( 世 人 称 为 “ 柏 拉 图 学 园 ”)。 由 于 他 本 人 学 识 渊 博 、 行 为 高尚 , 深 受 各 界 人 士 崇 敬 和 爱 戴 , 一 时 认 为 他 是 道 德 智 能 极 高的 圣 人 , 所 以 慕 名 去 学 园 拜 师 的 人 络 绎 不 绝 。为 了 使 学 生 们 绝 不 怀 疑 他 对 数 学 的 重 视 , 柏 拉 图 在 学园 的 门 口 挂 一 块 牌 , 上 面 写 着 :“ 不 懂 几 何 者 不 得 入 内 !” 就这 样 , 绝 大 部 分 的 求 学 者 到 了 门 口 就 只 好 自 惭 而 退 。柏 拉 图 去 世 后 , 他 的 传 人 继 承 他 的 办 学 宗 旨 , 自 成 一派 , 后 人 称 为 柏 拉 图 学 派 。在 求 知 心 切 的 青 年 当 中 , 有 一 人 名 叫 欧 几 里 得 ( 约 公 元前 330 元 公 前 275), 与 其 他 同 辈 人 一 样 , 对 “ 几 何 ” 一 词 是陌 生 的 。 但 是 , 为 了 跻 身 柏 拉 图 学 派 的 学 人 之 列 , 以 便 获 取更 多 的 知 识 , 他 决 心 潜 心 求 索 , 终 于 初 步 探 明 , 原 来 所 谓 几何 就 是 研 究 形 状 和 数 量 的 学 问 , 早 在 几 百 年 前 就 有 毕 达 哥2


拉 斯 ( 约 公 元 前 570— 公 元 前 500) 致 力 于 这 方 面 的 工 作 , 曾经 发 现 直 角 三 角 形 的 三 边 关 系 规 律 。 欧 几 里 得 进 一 步 了 解到 , 先 辈 们 还 应 用 几 何 理 论 成 功 地 测 量 出 金 字 塔 高 度 。欧 几 里 得 接 着 对 柏 拉 图 本 人 的 数 学 思 想 做 了 深 入 探究 , 得 知 柏 拉 图 认 为 打 开 宇 宙 之 谜 的 钥 匙 是 数 和 形 , 对 他 来3


说 , 神 不 断 在 绘 制 几 何 图 形 , 因 此 在 研 究 哲 学 之 前 首 先 必 须研 究 几 何 学 。 在 这 方 面 , 柏 拉 图 极 为 强 调 几 何 的 严 谨 性 , 他鉴 于 毕 达 哥 拉 斯 学 派 在 其 对 点 、 线 等 的 下 定 义 工 作 上 遇 到困 难 , 就 着 手 去 澄 清 这 些 基 础 本 质 , 例 如 他 曾 提 出 “ 点 是 线之 端 , 线 是 面 之 界 ” 等 。 柏 拉 图 学 派 的 成 员 有 许 多 杰 出 的 几何 学 家 , 如 攸 多 克 萨 斯 ( 约 公 元 前 408— 公 元 前 355) 曾 发 现“ 黄 金 分 割 ”( 将 已 知 线 段 分 为 两 部 分 , 使 其 中 一 部 分 是 全 线段 与 另 一 部 分 的 比 例 中 项 ) 等 。初 步 掌 握 了 几 何 , 欧 几 里 得 这 才 具 备 入 学 条 件 , 他 终 于进 入 柏 拉 图 学 园 。千 古 一 奇 书古 希 腊 历 经 战 乱 。 公 元 前 332 年 , 亚 历 山 大 大 帝 侵 吞了 埃 及 , 便 在 尼 罗 河 畔 建 立 一 座 新 城 —— 亚 历 山 大 里 亚 城 。九 年 后 , 亚 历 山 大 大 帝 去 世 , 将 领 间 发 生 内 讧 , 纷 纷 割 据 国土 , 埃 及 落 到 托 勒 密 手 中 , 亚 历 山 大 里 亚 被 定 为 国 都 。亚 历 山 大 里 亚 本 来 就 是 东 西 海 陆 交 通 枢 纽 , 文 化 、 经 济交 流 频 繁 , 现 在 有 了 托 勒 密 这 样 一 位 精 明 强 干 的 国 王 , 得 到他 的 精 心 经 营 之 后 , 很 快 便 成 为 一 座 文 化 名 城 。 这 个 城 市可 算 是 天 灵 地 杰 , 这 儿 藏 龙 卧 虎 , 真 是 个 人 才 荟 萃 、 群 英 云集 的 圣 城 ; 又 有 宏 伟 完 善 的 博 物 馆 、 图 书 馆 , 蕴 藏 着 古 代 东方 和 希 腊 的 优 秀 文 化 。4


一 座 文 明 城 市 是 离 不 开 教 育 机 构 的 , 遍 布 整 个 亚 历 山大 里 亚 城 的 众 多 黉 宫 中 , 讲 学 的 学 者 都 是 举 世 闻 名 的 、 才 能出 众 的 高 士 名 流 。 就 是 这 些 人 , 将 智 慧 的 种 子 播 撒 人 间 , 他们 献 身 于 人 类 的 目 的 就 是 要 驱 散 凋 蔽 、 愚 昧 、 贫 穷 和 闭 塞 的旧 日 , 揭 开 振 兴 、 进 步 、 富 强 和 开 放 的 新 篇 章 , 将 造 福 人 类 的重 任 承 担 起 来 。亚 历 山 大 里 亚 也 是 一 座 学 城 , 尽 管 托 勒 密 国 王 派 人 到处 广 征 人 才 , 一 时 也 是 群 贤 毕 至 、 少 长 成 集 , 但 并 非 所 有 学科 的 领 头 人 都 已 到 位 , 其 中 数 学 讲 授 人 就 尚 缺 乏 。 提 到 数学 , 选 聘 人 才 的 目 标 自 然 会 朝 向 柏 拉 图 学 园 。欧 几 里 得 作 为 柏 拉 图 学 派 的 优 秀 代 表 人 物 , 被 托 勒 密王 看 中 了 , 于 是 , 在 公 元 前 300 年 前 后 , 他 应 邀 来 到 亚 历 山大 里 亚 , 从 事 数 学 教 学 和 研 究 。欧 几 里 得 深 感 几 何 学 由 于 系 统 化 不 足 而 导 致 的 种 种 缺陷 , 于 是 在 教 学 之 余 潜 心 致 力 于 完 善 和 发 展 几 何 学 。 在 他之 前 , 古 希 腊 的 数 学 家 们 对 几 何 学 的 研 究 虽 然 卓 有 成 效 , 也出 过 像 毕 达 哥 拉 斯 、 柏 拉 图 等 那 样 有 影 响 的 人 物 , 但 是 , 前人 的 成 果 多 是 片 断 的 , 又 互 相 没 有 什 么 联 系 , 定 理 也 没 有 经过 严 谨 的 证 明 。 欧 几 里 得 总 结 了 前 人 的 成 果 , 加 以 分 析 、 纠偏 、 补 充 、 归 纳 、 综 合 , 并 创 造 性 地 进 行 释 疑 和 论 证 , 使 之 条理 化 和 系 统 化 , 再 加 上 自 己 多 年 研 究 的 收 获 , 写 成 千 古 巨 著《 几 何 原 本 》。这 是 一 部 独 一 无 二 的 奇 书 。 世 界 文 明 的 发 展 已 达 数 千5


年 , 还 没 有 任 何 一 部 科 学 论 著 , 在 读 者 的 广 泛 性 、 维 持 巩 固的 长 期 性 以 及 施 予 人 们 的 知 识 性 方 面 堪 与 它 相 比 拟 。 公 元15 世 纪 末 至 19 世 纪 末 ,《 几 何 原 本 》 竟 用 各 种 文 字 印 行 达一 千 版 以 上 。 而 在 15 世 纪 前 的 一 千 八 百 年 时 间 内 , 它 始 终统 御 着 几 何 世 界 。《 几 何 原 本 》 既 是 学 术 著 作 , 又 是 完 善 的 教 科 书 ; 对 数 学工 作 者 来 说 , 它 又 是 一 部 “ 经 典 ”。 两 千 多 年 来 , 学 校 使 用 的几 何 学 教 材 有 很 多 是 选 自 《 几 何 原 本 》 的 内 容 。学 习 几 何 的 捷 径“ 几 何 ” 是 什 么 ? 几 何 学 的 拉 丁 文 原 意 是 “ 土 地 、 测 量 ”,土 地 的 音 译 为 几 何 , 又 考 虑 中 文 的 几 何 有 数 量 、 大 小 的 意义 , 因 此 , 按 音 、 意 并 译 , 便 有 现 代 “ 几 何 学 ” 这 个 名 词 。古 希 腊 的 数 学 是 从 几 何 入 门 的 , 所 以 那 时 几 何 一 般 也是 泛 指 数 学 。 自 从 欧 几 里 得 收 徒 授 课 之 日 起 , 四 面 八 方 蜂涌 而 至 的 学 子 都 争 先 恐 后 地 趋 之 若 鹜 。 一 则 仰 慕 欧 几 里 得的 声 名 ; 二 则 因 为 数 学 是 门 新 学 科 , 学 点 知 识 以 充 实 自 己 的学 问 不 无 好 处 。数 学 的 吸 引 力 是 很 大 的 , 许 多 人 被 它 诱 惑 入 迷 , 决 意 苦下 功 夫 , 不 得 到 真 谛 绝 不 罢 休 ; 但 是 , 也 有 不 少 人 抱 着 侥 幸的 动 机 , 他 们 想 到 , 数 学 如 此 时 髦 , 说 不 定 学 会 了 就 能 升 官发 财 。6


欧 几 里 得 是 一 位 温 厚 的 教 育 家 , 对 有 志 钻 研 数 学 之 士总 是 循 循 善 诱 地 教 导 , 但 反 对 不 务 实 学 而 急 功 好 利 的 实 用观 点 , 他 主 张 “ 知 识 即 价 值 ”, 鄙 视 投 机 取 巧 的 作 风 。 有 一 个青 年 学 生 问 他 :“ 先 生 , 学 了 几 何 学 之 后 有 利 可 图 吗 ?” 欧 几里 得 当 即 交 给 他 几 个 铜 币 , 说 :“ 你 想 获 利 , 那 么 , 把 这 些 给你 就 行 了 。”那 时 , 有 许 多 人 不 想 付 出 辛 勤 刻 苦 的 代 价 , 而 希 望 找 个不 费 力 的 办 法 , 如 能 找 到 这 种 办 法 , 几 何 学 知 识 岂 不 垂 手 可得 ? 托 勒 密 王 曾 经 问 欧 几 里 得 :“ 几 何 之 法 , 更 有 捷 径 否 ?”欧 几 里 得 回 答 :“ 夫 几 何 一 途 , 若 大 道 然 , 王 安 得 蚀 辟 一 径耶 ?” 欧 几 里 得 一 贯 的 治 学 态 度 就 是 脚 踏 实 地 、 循 序 渐 进 地学 习 , 而 他 对 别 人 也 是 这 样 要 求 的 , 即 使 对 于 国 王 也 不 例外 。 在 国 王 垂 问 的 情 况 下 , 他 爽 朗 地 给 了 直 截 的 答 复 , 此后 ,“ 几 何 学 无 王 者 之 道 ” 遂 成 为 学 习 科 学 的 箴 言 。数 学 只 对 于 真 正 的 学 者 才 具 有 无 穷 的 魅 力 。 的 确 , 许多 献 身 数 学 的 人 也 想 找 出 某 种 捷 径 , 以 便 能 够 花 费 较 少 的时 间 和 精 力 就 能 掌 握 几 何 学 。 这 些 人 并 不 是 企 图 应 用 不 劳而 获 的 方 法 , 期 待 着 天 上 掉 下 馅 饼 , 仅 需 张 嘴 去 衔 来 就 可 以了 , 他 们 也 是 务 实 的 , 肯 付 出 辛 苦 代 价 , 只 不 过 存 在 一 种 心理 : 难 道 欧 几 里 得 的 《 几 何 原 本 》 是 天 衣 无 缝 吗 ? 如 果 将 它的 内 容 加 以 变 革 , 用 一 种 更 容 易 被 人 接 受 的 笔 法 写 作 , 不 也可 能 收 到 事 半 功 倍 之 效 吗 ?这 种 数 学 工 作 者 的 想 法 是 无 可 厚 非 的 , 不 过 ,《 几 何 原7


本 》 以 它 优 越 的 、 严 谨 的 、 用 公 理 法 建 立 起 演 绎 的 数 学 体 系使 那 些 人 的 设 想 和 努 力 化 成 泡 影 。1908 年 , 英 国 数 学 家 希思 在 他 评 注 的 《 几 何 原 本 》 序 中 表 达 一 种 人 们 的 倾 向 :“ 我 们 用 不 着 奇 怪 , 在 当 前 这 种 什 么 都 要 走 捷 径 的 时代 , 自 然 会 掀 起 一 场 摆 脱 欧 几 里 得 的 风 潮 …… 许 多 人 在 赶时 髦 , 想 写 出 ‘ 更 切 合 实 际 ’ 的 教 科 书 , 他 们 在 这 方 面 争 先 恐后 地 积 极 竞 争 ……”事 实 就 是 这 样 。 可 是 , 不 久 后 有 一 位 瑞 典 诗 人 贝 尔 曼写 道 :甚 至 到 现 在 一 想 到 欧 几 里 得 ,我 都 得 擦 擦 满 是 汗 水 的 前 额 。这 两 句 诗 反 映 出 多 少 有 志 之 士 的 绝 望 情 绪 呀 , 在 寻 求学 习 几 何 捷 径 的 道 路 上 , 他 们 全 都 伤 心 无 奈 地 被 《 几 何 原本 》 挡 驾 了 。星 移 斗 转 , 换 了 人 间 。 但 是 , 时 至 今 日 , 尽 管 欧 几 里 得的 年 代 离 我 们 相 当 遥 远 , 全 世 界 的 中 学 几 何 教 科 书 却 仍 然遵 循 《 几 何 原 本 》 的 道 路 行 进 。知 音 在 中 华欧 几 里 得 是 属 于 全 人 类 的 。 他 固 然 是 古 希 腊 人 , 但 是他 的 学 术 思 想 所 产 生 的 影 响 是 如 此 深 远 , 以 致 无 论 是 空 间或 时 间 , 都 不 能 阻 隔 它 的 传 播 超 越 国 界 。8


明 朝 万 历 年 间 , 我 国 科 学 家 徐 光 启 (1562—1633) 与 意大 利 传 教 士 利 玛 窦 (1552—1610) 合 作 , 用 四 年 时 间 ( 从1603 年 起 至 1607 年 ) 译 完 《 几 何 原 本 》 全 书 十 三 卷 中 的 前六 卷 ; 其 余 各 卷 直 到 清 朝 咸 丰 七 年 (1857) 才 由 李 善 兰(1811—1882) 与 英 国 传 教 士 伟 烈 亚 力 (1815—1887) 补 译 成汉 文 。 从 此 , 中 国 学 者 才 得 以 一 睹 它 的 丰 采 。原 来 ,《 几 何 原 本 》 共 十 三 卷 , 名 为 几 何 , 实 际 上 也 包 括数 论 等 其 它 数 学 分 支 。 主 要 内 容 如 下 :卷 一 : 从 一 系 列 定 义 、 公 设 和 公 理 开 始 , 谈 到 关 于 直 线和 由 直 线 构 成 的 平 面 图 形 的 几 何 学 , 包 括 全 等 形 的 一 些 常见 定 理 、 平 行 线 定 理 、 毕 氏 定 理 ( 即 我 国 的 勾 股 定 理 )、 初 等作 图 法 、 等 面 积 形 性 质 等 。卷 二 : 论 面 积 的 变 换 。卷 三 : 讨 论 圆 、 弦 、 切 线 以 及 与 圆 有 关 的 图 形 。卷 四 : 讨 论 圆 与 内 接 和 外 切 多 边 形 问 题 ; 正 多 边 形 的作 图 法 。卷 五 : 探 讨 关 于 比 例 的 理 论 , 并 且 把 它 推 广 到 各 种 量 。卷 六 : 研 究 相 似 形 。卷 七 : 算 术 , 包 括 求 最 大 公 约 数 和 最 小 公 倍 数 法 。卷 八 : 研 究 有 关 连 比 例 的 问 题 。卷 九 : 数 论 。卷 十 : 讲 述 不 可 通 约 量 的 理 论 。卷 十 一 : 立 体 几 何 。9


卷 十 二 : 穷 竭 法 的 应 用 。卷 十 三 : 讨 论 正 多 面 体 。徐 光 启 对 《 几 何 原 本 > 的 评 价 非 常 高 , 他 的 观 点 在 刊 刻这 部 书 的 汉 译 本 序 中 做 了 表 达 。 他 认 为 数 学 自 古 以 来 就 是一 门 重 要 的 学 科 , 所 幸 有 了 《 几 何 原 本 》, 它 作 为 研 究 数 学 的依 据 , 深 入 浅 出 , 甚 得 要 领 ; 他 与 利 玛 窦 谈 论 到 要 翻 译 一 些数 学 书 籍 时 表 示 , 如 果 不 翻 译 这 部 《 几 何 原 本 》, 那 么 其 它 书籍 也 就 不 必 译 了 。徐 光 启 探 究 《 几 何 原 本 》 要 义 , 可 谓 深 得 精 蕴 , 他 认 为 ,别 看 数 学 似 无 用 场 , 实 际 上 它 是 各 种 用 途 的 基 础 , 万 种 事 物都 是 离 不 开 它 的 , 于 是 , 他 写 道 :“ 盖 不 用 为 用 , 众 用 所 基 , 真可 谓 万 象 之 形 囿 ( 囿 —— 荟 萃 的 地 方 ), 百 家 之 学 海 。” 徐 光启 将 《 几 何 原 本 》 比 喻 为 大 森 林 : 你 若 是 要 建 房 , 可 以 随 心 所欲 去 取 材 料 , 做 栋 梁 的 大 材 有 , 做 椽 檩 的 小 材 也 有 。实 际 上 , 欧 几 里 得 已 经 通 过 《 几 何 原 本 》 深 入 一 届 又 一届 初 中 生 的 心 头 了 。第 一 个 证 明对 于 欧 几 里 得 来 说 , 毕 达 哥 拉 斯 是 一 位 很 熟 悉 的 人 物 。正 是 这 位 学 者 , 创 立 了 毕 达 哥 拉 斯 学 派 , 在 科 学 、 哲 学 方 面建 树 很 多 , 也 是 古 希 腊 学 人 的 骄 傲 。直 角 三 角 形 的 性 质 是 这 个 学 派 研 究 的 重 点 之 一 , 他 们10


找 到 直 角 三 角 形 的 三 边 关 系 规 律 , 说 明 “ 直 角 三 角 形 中 , 两 直角 边 的 平 方 和 等 于 斜 边 平 方 ” 的 定 理 就 是 他 们 首 先 发 现 的 。毕 氏 定 理 的 发 现 在 几 何 学 领 域 掀 起 一 场 从 理 论 上 探 索形 与 数 关 系 的 大 变 革 , 对 于 当 时 仅 具 雏 形 的 几 何 学 来 说 , 无疑 是 指 路 明 灯 , 毕 达 哥 拉 斯 为 这 一 辉 煌 成 果 欢 欣 鼓 舞 , 不 可言 状 。 传 说 他 认 为 这 样 大 的 成 绩 只 有 缪 斯 女 神 ( 缪 斯 女 神是 艺 术 九 女 神 的 通 称 ) 的 赐 予 才 能 获 得 , 于 是 便 宰 了 一 百 头牲 畜 酬 谢 女 神 , 并 大 大 地 庆 贺 一 番 。那 么 , 毕 达 哥 拉 斯 是 怎 样 得 到 这 条 定 理 的 ? 这 条 被 称为 定 理 的 “ 定 理 ” 是 不 是 正 确 ? 经 过 证 明 认 可 了 吗 ? 后 人 的这 些 疑 点 从 考 据 者 那 儿 没 有 得 到 线 索 , 悬 了 二 百 多 年 案 。欧 几 里 得 从 自 己 掌 握 的 几 何 学 原 理 中 找 到 了 答 案 , 他用 一 个 很 巧 妙 的 方 法 对 毕 氏 定 理 做 了 证 明 :见 图 1 , 在 直 角 三 角 形 A B C 的 三 边 向 外 作 正 方 形ACGF、CBKH 和 ABED; 连 CD、FB。因 AC=AF,AD=AB,∠FAB=∠CAD, 故 △FAB与 △CAD 全 等 。 作 CL∥AD。因 △F A B 的 面 积 等 于AF·AC, 即 等 于 正 方 形ACGF 面 积 之 半 , 而 △C AD 的 面 积 等 于AD·AM, 即 等于 长 方 形 AD LM 面 积 之 半 , 所 以 正 方 形 AC GF 与 长 方 形ADLM 的 面 积 相 等 。同 理 可 以 证 得 : 正 方 形 CB KH 与 长 方 形 BE LM 的 面11


积 相 等 。图 1于 是 , 正 方 形 ACGF 与 CBKH 的 面 积 和 等 于 长 方 形ADLM 与 BELM 的 面 积 和 ( 即 正 方 形 ABED 的 面 积 ) , 亦即 证 得 了 毕 氏 定 理 :AC2+BC2=AB2要 知 道 , 两 千 年 来 , 毕 氏 定 理 的 证 明 方 法 犹 如 百 树 干 树梨 花 开 , 统 计 数 目 , 也 有 八 百 种 以 上 , 其 中 当 然 不 乏 妙 趣 横生 的 高 见 , 远 远 胜 过 当 年 欧 几 里 得 的 方 法 。 可 是 , 第 一 个 证明 是 了 不 起 的 , 人 人 都 理 解 “ 第 一 个 ” 的 涵 义 , 食 用 番 茄 算 个12


什 么 事 哪 , 但 当 初 第 一 个 将 番 茄 纳 入 口 中 的 人 则 被 认 为 是具 有 非 凡 勇 气 的 英 雄 。天 涯 游 子 心一 则 含 谜 故 事 深 深 地 打 动 欧 几 里 得 :13


毕 达 哥 拉 斯 学 派 的 弟 子 某 甲 出 外 游 学 , 不 虞 身 染 重 病 ,兼 之 囊 中 羞 涩 , 沦 落 道 旁 。 一 个 老 者 路 遇 , 怜 他 羁 旅 异 乡 ,举 目 无 亲 , 便 搀 扶 回 家 服 侍 , 并 延 医 调 治 。 过 了 一 些 时 日 ,病 情 不 见 好 转 , 这 个 异 乡 孤 客 自 知 沉 疴 难 愈 , 便 取 出 一 枚 铜星 交 与 房 东 作 为 诀 别 纪 念 , 并 且 嘱 咐 他 可 将 它 悬 在 家 门 口 ,接 着 说 :“ 生 不 能 答 君 之 高 谊 , 死 当 有 所 报 也 。” 几 天 后 , 这 个飘 萍 断 梗 的 陌 生 人 离 开 了 人 间 。那 是 一 枚 五 角 形 的 铜 星 , 它 也 隐 含 着 客 人 的 身 世 。 终于 有 这 么 一 天 : 几 个 风 尘 仆 仆 的 外 乡 人 路 过 这 里 , 望 见 这 铜星 , 入 谢 主 人 , 再 拜 并 厚 报 而 去 。原 来 , 毕 达 哥 拉 斯 学 派 的 成 员 之 间 用 五 角 形 铜 星 作 为标 识 , 互 为 联 系 , 那 么 , 五 角 星 为 何 这 样 神 秘 , 它 有 什 么 奇 异的 性 质 呢 ?通 过 欧 几 里 得 应 用 数 学 手 段 探 索 的 结 果 , 他 揭 示 出 正五 边 形 的 一 个 有 趣 特 性 : 寓 含 着 “ 黄 金 分 割 ” 的 思 想 。当 年 , 攸 多 克 萨 斯 曾 发 现 黄 金 分 割 , 见 图 2, 在 已 知 线段 AB 上 取 点 H 以 得 到 :AH2=AB.HB图 2那 么 ,AB 分 割 为 AH 和 HB 的 结 果 便 是 “ 黄 金 分 割 ”, 所 分割 的 线 段 有 以 下 关 系 :14


AH∶ AB=HB∶ AH=-12≈0.618∶1比 值 0.618∶1 称 为 “ 黄 金 分 割 比 ”, 正 五 边 形 的 某 些 线段 之 比 也 符 合 黄 金 分 割 比 , 例 如 图 3 中 的 AD∶AB、B′E′∶AB′、AC′∶AB 和 AB′∶AD′ 等 。黄 金 分 割在 美 学 、 优 选法 以 及 许 多 生活 、 生 产 范 畴均 有 很 大 应 用范 围 。 欧 几 里得 是 用 纯 几 何方 法 得 到 的 ,《 几 何 原 本 》 卷二 命 题 11 这样 描 述 黄 金 分害 法 :“ 分 割 一已 给 直 线 , 使整 段 与 其 中 一 图 3分 段 所 成 长 方 形 等 于 另 一 分 段 上 的 正 方 形 。” 欧 几 里 得 所 用是 一 种 独 特 的 方 法 : 见 图 4, 设 AB 是 已 给 线 , 则 作 正 方 形ABDC, 取 AC 的 中 点 E; 连 EB; 在 CA 延 长 线 上 定 点 F, 使EF=EB; 作 正 方 形 AFGH, 便 得 黄 金 分 割 点 H。15


《 几 何 原 本 》 卷 四 命 题10 指 出 如 何 作 一 等 腰 三 角形 , 使 其 每 一 底 角 均 为 第 三角 的 二 倍 。 这 实 际 上 是 作正 五 边 形 的 方 法 , 例 如 图 3中 的 △AB′E′ 便 为 所 作 的三 角 形 。碧 落 黄 泉 何 处 寻 ?当 人 们 在 溶 溶 月 色 之中 聚 集 在 一 起 , 对 这 轮 当 空 图 4的 玉 盘 萦 心 观 测 、 评 头 品 足 时 , 自 然 会 发 现 月 有 阴 晴 圆 缺 ,就 像 人 有 悲 欢 离 合 那 样 , 也 不 足 为 奇 。 不 过 , 要 找 到 月 亮 盈亏 的 规 律 可 不 是 一 件 容 易 的 事 , 但 是 , 古 希 腊 人 的 确 也 是 为它 煞 费 苦 心 , 他 们 根 据 亏 缺 程 度 和 复 圆 时 间 做 出 记 录 性 的统 计 , 经 过 不 断 积 累 资 料 , 倒 是 找 到 规 律 , 确 定 了 周 期 性 的范 围 : 每 过 29 天 或 30 天 , 月 亮 就 要 复 圆 一 次 。这 个 发 现 对 天 文 学 家 来 说 , 可 能 无 足 轻 重 , 可 是 在 数 学家 眼 里 , 它 却 非 同 小 可 。 数 学 家 们 建 议 天 文 学 家 每 隔 相 同的 天 数 观 测 一 次 , 以 核 对 盈 亏 程 度 。 对 30 天 来 说 , 可 以 每隔 2 天 、3 天 、5 天 、6 天 或 10 天 、15 天 进 行 观 测 , 当 然 , 也 可以 每 天 测 一 次 ; 而 如 果 换 成 29 天 呢 ? 那 么 , 只 好 每 天 测 一16


次 了 。从 30 和 29 两 个 数 的 特 征 分 析 , 古 希 腊 人 确 定 , 对 于 像29 那 样 只 有 1 和 它 本 身 两 个 因 数 的 数 , 称 为 质 数 。欧 几 里 得 为 研 究 质 数 的 性 质 花 费 大 量 心 血 , 在 《 几 何 原本 》 卷 九 中 , 他 提 出 的 一 些 成 果 成 为 现 代 数 论 中 非 常 重 要 的基 础 理 论 , 例 如 “ 惟 一 分 解 定 理 ”: 一 个 大 于 1 的 自 然 数 能 以一 种 方 式 、 并 且 只 能 以 一 种 方 式 分 解 为 若 干 质 因 数 的 乘 积 。欧 几 里 得 并 证 明 了 质 数 有 无 穷 多 个 。既 然 质 数 有 无 穷 多 个 , 当 然 , 任 何 人 无 法 将 所 有 质 数 都写 出 来 , 而 且 , 对 于 一 个 相 当 大 的 数 , 鉴 别 它 是 不 是 质 数 也非 常 难 。对 于 自 然 数 , 毕 达 哥 拉 斯 学 派 曾 经 有 过 一 种 异 想 天 开的 说 法 : 数 1 是 所 有 数 的 起 源 , 数 2 是 第 一 个 阴 性 数 , 数 3是 第 一 个 阳 性 数 , 阴 阳 如 能 结 合 在 一 起 , 就 会 得 到 最 美 的数 。 这 种 说 法 本 身 就 是 一 个 谜 , 它 困 惑 了 人 们 将 近 200 年 ,到 欧 几 里 得 时 代 才 被 揭 破 : 原 来 6 可 写 成 6=1+2+3, 其中 2 和 3 是 它 的 真 因 数 ( 大 于 1 和 小 于 该 数 本 身 的 因 数 称为 真 因 数 )。 此 后 , 将 像 6 这 类 的 数 称 为 “ 完 美 的 数 ”, 后 来转 称 为 “ 完 全 数 ”, 定 义 为 : 如 果 某 数 等 于 1 和 它 的 全 部 真 因数 之 和 , 该 数 就 是 完 全 数 。欧 几 里 得 对 完 全 数 进 行 了 一 番 研 究 , 得 出 很 好 的 结 果 ,他 的 贡 献 表 现 在 确 定 以 下 定 理 :若 2p-l 为 质 数 , 则 (2p-1)2p-1 是 完 全 数 。17


当 时 他 只 知 道 6、28、496、8128 四 个 完 全 数 , 相 应 的 P值 为 2、3、5、7。人 们 沿 着 欧 几 里 得 的 足 迹 去 寻 找 其 它 完 全 数 , 可 是 踏破 铁 鞋 , 还 是 收 效 不 大 。 欧 几 里 得 之 后 约 两 千 年 , 法 国 数 学家 梅 森 (1588—1648) 毕 生 从 事 寻 找 型 质 数 的 研 究 ,且 有 实 效 , 所 以 后 人 称型 数 为 “ 梅 森 数 ”。 因 为 找 到为 质 数 的 梅 森 数 , 也 就 找 到 完 全 数 , 所 以 梅 森 的 目 标 便 是 去找型 质 数 (P 也 必 然 为 质 数 )。 实 际 上 , 梅 森 也 找 到了 符 合 这 种 要 求 的 数 , 如 当 P=17、19、31、89、107…… 时 的梅 森 数 便 是 。在 鉴 定 梅 森 数 是 不 是 质 数 的 过 程 中 , 数 学 家 们 为 进 行因 数 分 解 费 尽 了 心 机 , 例 如 是 个 76 位 数 , 已 经 分 解得 两 个 质 因 数 503 和 54217, 知 道 它 不 是 质 数 , 但 是 另 一 个因 数 13268…59697(69 位 数 ) 的 分 解 却 成 为 3 世 纪 以 来 一个 令 人 感 兴 趣 的 问 题 , 直 至 1982 年 才 借 助 计 算 机 分 解 出来 , 得 到 17823…89511(21 位 数 )、61676…01367(23 位 数 )和 12070…69681(26 位 数 ) 三 个 因 数 。可 见 , 判 别 梅 森 数 是 不 是 质 数 的 难 度 非 常 大 。 原 先 , 人们 以 为 质 数 的 梅 森 数 一 定 很 多 , 但 大 大 地 出 乎 意 料 之 外 , 近代 即 使 有 计 算 机 为 人 类 代 劳 , 陆 续 发 现 了 一 些 为 质 数 的 梅森 数 , 至 1985 年 的 资 料 , 也 只 知 道 仅 有 31 个 , 其 中 最 大 的一 个 是 它 是 六 万 五 千 多 位 的 数 。有 了 完 全 数 , 随 之 出 现 “ 互 完 数 ”( 或 称 “ 亲 和 数 ”): 若 二18


数 m n 中 任 一 个 的 真 因 数 之 和 等 于 另 一 个 数 , 则 称 m 和n为 一 对 互 完 数 。 如 220 和 284 是 一 对 互 完 数 。奇 怪 的 是 , 人 们 能 够 找 到 数 量 相 当 多 的 互 完 数 ( 至1989 年 , 已 发 现 55000 对 ), 却 仅 仅 找 到 为 数 那 么 少 的 完 全数 ( 表 现 在 为 质 数 的 梅 森 数 )。 可 是 , 数 学 家 们 不 肯 罢 休 , 寻找 完 全 数 的 努 力 仍 在 继 续 , 不 过 , 碧 落 黄 泉 两 茫 茫 , 未 来 出现 在 世 人 面 前 的 是 多 大 的 完 全 数 ( 是 由 相 当 大 的 梅 森 数 得到 ), 谁 也 说 不 清 楚 。意 外 的 收 获由 于 生 活 和 生 产 上 的 需 要 , 欧 几 里 得 在 讲 授 数 学 时 , 提出 如 何 求 最 大 公 约 数 和 最 小 公 倍 数 的 方 法 , 载 于 《 几 何 原本 > 卷 七 内 。那 时 流 行 的 这 类 问 题 非 常 多 , 都 用 欧 几 里 得 独 创 的 “ 辗转 相 除 法 ” 解 决 。 例 如 : 某 慈 善 家 以 6737 枚 铜 币 和 2811 升米 等 分 给 若 干 贫 民 ( 所 得 米 的 单 位 为 升 ), 分 完 后 余 铜 币 6枚 、 米 2 升 , 问 贫 民 的 最 多 人 数 是 多 少 ?显 然 , 这 是 求 6737-6=6731 和 2811-2=2809 的 最大 公 约 数 。 按 照 现 代 算 术 的 常 规 解 法 , 需 先 将 这 两 数 的 因数 分 解 出 来 , 可 是 , 分 解 这 样 的 两 个 数 并 不 是 容 易 的 事 , 如果 应 用 辗 转 相 除 法 , 那 么 , 也 就 迎 刃 而 解 了 。辗 转 相 除 的 过 程 如 下 :19


6731=2809× 2+11132809=1113× 2+5831113=583×1+530583=530×1+53530=53×10+0这 样 , 就 可 以 得 出 答 案 : 贫 民 的 最 多 人 数 为 53 人 。辗 转 相 除 法 用 于 求 最 小 公 倍 数 也 是 极 为 简 易 。 根 据 该二 数 乘 积 等 于 最 小 公 倍 数 与 最 大 公 约 数 的 乘 积 这 一 结 果 ,可 得 6731 与 2809 的 最 小 公 倍 数 为 6731× 2809÷ 53=356743。《 几 何 原 本 》 卷 七 的 命 题 1 写 道 :“ 两 不 等 数 , 辗 转 相 减 ,余 1 而 止 , 则 为 两 无 等 数 之 数 。”( 李 善 兰 和 伟 烈 亚 力 译 本 中“ 无 等 数 之 数 ” 指 互 质 的 数 ) 说 明 两 个 互 质 的 数 经 过 辗 转 相除 ( 过 去 或 称 “ 除 ” 为 “ 减 ”, 除 就 是 减 一 次 、 二 次 、 三 次 ……),能 够 得 到 最 后 余 1 的 结 果 。 起 初 , 人 们 只 把 这 命 题 当 作 一种 数 的 性 质 看 待 , 可 是 经 过 深 入 探 索 , 才 知 道 欧 几 里 得 在 这里 伏 下 一 个 非 常 巧 妙 的 方 法 , 可 以 解 决 当 时 希 腊 人 感 到 很头 痛 的 “ 蜂 蛛 同 箱 ” 问 题 : 一 个 箱 子 中 装 有 多 只 蜜 蜂 和 多 只蜘 蛛 , 它 们 共 有 46 只 脚 , 问 其 中 蜜 蜂 和 蜘 蛛 各 有 多 少 只 ?设 箱 中 的 蜜 蜂 和 蜘 蛛 的 只 数 分 别 为 和 , 则 可 列 出方 程6x+ 8y= 46即3x+4y=2320


按 欧 几 里 得 辗 转 相 除 法 :4=3× 1+ 1符 合 命 题 1:3 与 4 互 质 , 经 过 辗 转 相 除 ( 这 问 题 简 单 ,只 相 除 一 次 , 未 辗 转 ), 得 到 最 后 余 1 的 结 果 。 于 是 可 以 写出 1=4-3, 即 23=4×23+3(-23), 知 道 方 程 有 一 解 :x=-23,Y=23。因 为 方 程 ax+by=c 只 要 有 一 组 整 数 解 x=x0,y=Y0, 便 有 一 切 整 数 解 :x=xO-bt y=y0+at式 中 t 为 整 数 。 故 x=-23-4t,y=23+3t。 要 使 x为 正 整 数 , 那 么 就 有 t=-6、-7、-8……, 当 t=-6 和 -7 时 ,x=1 和 5,y=5 和 2。 当 t=-8……,y 为 负 值 ; 又题 意 蜜 蜂 有 “ 多 只 ”(1 只 以 上 ), 因 此 , 答 案 为 : 蜜 蜂 5 只 , 蜘蛛 2 只 。后 人 从 命 题 l 得 到 意 外 的 收 获 : 解 二 元 一 次 不 定 方 程的 方 法 。 可 是 , 谁 会 料 到 当 初 欧 几 里 得 是 早 已 经 提 示 过 这个 精 彩 的 方 法 ?“ 蜂 蛛 同 箱 ” 问 题 非 常 简 单 , 凑 数 也 能 凑 上 , 但 是 , 当 人们 接 触 到 “ 五 猴 分 桃 ” 问 题 时 , 才 惊 叹 欧 几 里 得 的 辗 转 相 除法 竟 然 具 有 如 此 巨 大 的 威 力 ! 这 问 题 大 意 是 :五 只 猴 子 分 一 堆 桃 子 , 怎 么 也 不 能 均 分 成 五 份 , 大 家 约定 , 先 去 睡 觉 , 明 天 再 说 。 夜 里 , 猴 甲 偷 偷 起 来 , 吃 掉 一 个 ,这 时 它 发 现 正 好 可 以 均 分 成 五 份 , 便 分 好 五 份 , 把 自 己 的 一21


份 藏 起 来 , 又 去 躺 下 了 ; 接 着 , 猴 乙 起 来 , 也 偷 吃 一 个 , 发 现余 桃 也 正 好 可 均 分 为 五 份 , 便 照 分 , 并 藏 起 自 己 的 一 份 ; 猴丙 、 丁 、 戊 照 样 炮 制 一 番 : 吃 掉 一 个 , 均 分 成 五 份 , 藏 起 自 己的 一 份 。 问 总 桃 数 最 少 为 多 少 个 ?钥 匙古 希 腊 是 数 学 的 故 乡 。 从 历 史 的 发 展 来 看 , 这 样 评 价古 希 腊 丝 毫 也 不 溢 美 或 夸 张 , 而 在 一 大 批 有 贡 献 的 数 学 家之 中 , 欧 几 里 得 尤 其 突 出 , 他 奠 定 了 几 何 学 基 础 , 并 且 在 学术 上 硕 果 累 累 。 欧 几 里 得 辛 勤 一 生 之 中 , 除 了 有 创 见 性 的著 作 传 世 之 外 , 他 还 是 一 个 教 育 家 , 不 惮 繁 琐 地 频 频 将 学 识传 授 给 年 轻 一 代 , 为 他 们 释 疑 解 难 。 当 时 , 社 会 上 遇 到 解 决不 了 的 问 题 , 人 们 立 即 会 想 起 他 , 他 也 乐 于 为 大 家 服 务 , 因此 , 欧 几 里 得 被 人 称 为 “ 钥 匙 ”。欧 几 里 得 在 几 何 学 上 的 贡 献 是 无 与 伦 比 的 , 他 是 奠 基人 , 是 播 种 者 , 他 垒 成 的 几 何 学 大 厦 至 今 雄 踞 天 下 。 许 多 人认 为 ,“ 欧 几 里 得 ” 与 “ 几 何 学 ” 应 该 看 作 是 同 义 语 。《 几 何 原 本 > 中 记 述 欧 几 里 得 的 许 多 创 见 , 至 今 熠 熠 生辉 :他 是 第 一 个 用 几 何 语 言 处 理 等 价 代 数 问 题 的 人 , 例 如a(b+c+d+… )=ab+ac+ad+…(a+6)2=a2+2ab+b222


图 5二 式 可 以 分 别 从 图 5 和 图6 表 现 出 来 。他 提 出 作 正 方 形 等 于已 知 长 方 形 的 方 法 : 见 图7, 若 已 知 长 方 形 为 ABEF,则 延 长 AB 至 C 使 BC=BE; 以 AC 为 直 径 作 圆 , 垂直 于 AC 的 线 段 BD 就 是求 作 正 方 形 的 边 长 。图 6他 生 动 地 利 用 比 例 理 论 讨 论 相 似 形 的 各 种 性 质 , 从 有关 相 似 形 的 第 一 个 定 义 即 可 见 一 斑 , 这 定 义 叙 述 “ 相 似 直 线图 形 是 对 应 角 相 等 且 对 应 边 成 比 例 的 那 些 图 形 ”。他 将 平 面 直 线 和 平 面 角 的 几 何 学 推 广 到 平 面 与 平 面 所构 成 的 角 上 , 讨 论 了 各 种 立 体 图 形 的 性 质 , 确 定 圆 锥 体 、 球体 是 旋 转 体 。他 应 用 穷 竭 法 证 明 了 诸 如 “ 诸 圆 彼 此 之 比 , 等 于 其 在 直23


径 上 做 出 的 正 方形 之 比 ”、“ 底 面为 三 角 形 , 高 相同 的 诸 棱 锥 体 彼此 之 比 , 等 于 它们 的 底 之 比 ”、“ 圆 锥 体 的 体 积是 外 接 圆 柱 体 体积 的 三 分 之 一 ”等 命 题 。 图 7他 说 明 如 何 作 内 接 于 球 的 五 种 正 多 面 体 , 并 通 过 巧 妙的 推 理 过 程 确 定 了 正 多 面 体 边 长 与 外 接 球 半 径 的 比 值 , 也证 明 了 正 多 面 体 只 能 有 那 五 种 : 正 四 、 六 、 八 、 十 二 、 二 十 面体 。欧 几 里 得 的 知 识 非 常 渊 博 , 除 了 《 几 何 原 本 》 之 外 , 他 还有 不 少 著 作 。 物 理 学 方 面 的 《 反 射 光 学 》 一 书 最 早 地 建 立 了反 射 定 律 , 天 文 学 方 面 有 《 现 象 》 一 书 ; 数 学 方 面 还 有 《 圆 锥曲 线 》、《 曲 面 · 轨 迹 》、《 论 图 形 的 剖 分 》、《 辨 伪 术 》( 书 中 含 有正 确 和 错 误 的 几 何 证 明 , 用 以 训 练 学 生 )、《 数 据 ( 供 复 习《 几 何 原 本 》 用 的 一 批 练 习 题 ) 等 。24


智 者 的 “ 一 失 ”《 几 何 原 本 》 一 开 头 , 在 卷 一 就 开 具 定 义 、 公 设 和 公 理 若干 条 。 按 照 古 典 数 学 的 论 点 , 公 理 是 经 过 人 们 长 期 实 践 而总 结 出 来 的 , 不 加 证 明 而 承 认 其 正 确 性 。 在 《 几 何 原 本 》 中 ,似 乎 公 设 仅 用 于 讨 论 几 何 , 而 公 理 对 数 学 的 各 个 领 域 都 适用 ; 但 在 近 代 的 公 理 方 法 中 , 公 设 和 公 理 不 加 区 分 , 大 多 数采 用 公 理 一 词 。欧 几 里 得 在 书 中 列 出 五 条 公 设 和 五 条 公 理 。 五 条 公 设是 :1. 从 每 一 点 到 另 一 点 可 引 直 线 。2. 有 限 的 直 线 可 以 无 限 延 长 。3. 以 任 一 点 为 中 心 , 可 用 任 意 半 径 作 圆 。4. 所 有 直 角 彼 此 相 等 。5. 若 两 直 线 与 第 三 直 线 相 交 , 且 在 一 侧 所 成 的 同 侧 内角 之 和 小 于 两 直 角 , 则 将 这 两 条 直 线 向 该 侧 延 长 后 必 定 相交 。五 条 公 理 是 :1. 等 于 同 一 个 量 的 量 互 等 。2. 等 量 加 等 量 , 其 和 亦 相 等 。3. 等 量 减 等 量 , 其 差 亦 相 等 。4. 彼 此 重 合 的 必 定 相 等 。25


5. 整 体 大 于 部 分 。以 上 十 条 公 设 和 公 理 中 , 除 第 五 条 公 设 之 外 , 其 它 九 条都 是 显 而 易 见 的 。 至 于 “ 第 五 公 设 ”, 可 用 图 8 说 明 : 若 两 直线 m 和 n 与 l 相 交 ,∠1 +∠2 小 于 两 直 角 , 那 么 , 直 线 m和 n 向 右 侧 延 长 后 必 定 相 交 。第 五 公 设 无论 从 说 词 繁 琐 或是 从 直 观 性 弱 这两 方 面 看 , 其 正确 性 应 该 进 一 步落 实 。 于 是 有 许多 人 对 欧 几 里 得的 这 条 公 设 提 出 图 8修 正 设 想 , 企 图 从 《 几 何 原 本 》 所 给 的 一 系 列 定 义 、 公 设 、 公理 出 发 , 予 以 严 格 的 证 明 , 使 这 一 公 设 变 成 定 理 。对 于 立 论 严 谨 的 数 学 家 们 来 说 , 产 生 以 上 想 法 是 无 可厚 非 的 。 但 是 , 原 先 人 们 并 没 有 怀 疑 这 一 公 设 所 叙 述 内 容的 正 确 性 , 然 而 , 进 行 一 番 激 烈 争 论 之 后 , 却 由 于 试 证 未 获成 功 , 反 倒 对 内 容 的 正 确 性 产 生 怀 疑 了 。《 几 何 原 本 》 提 出 23 条 定 义 , 第 23 条 是 平 行 线 定 义 :“ 平 行 线 是 在 同 一 平 面 上 向 两 边 无 限 延 长 时 永 不 相 交 的 两条 直 线 ”; 而 书 中 又 有 命 题 29:“ 一 条 直 线 与 两 条 平 行 的 直线 相 交 , 则 所 成 的 同 侧 内 角 之 和 必 为 两 直 角 。” 欧 几 里 得 在26


证 明 这 个 命 题 时 使 用 了 第 五 公 设 , 于 是 对 照 以 上 定 义 、 公设 、 命 题 之 后 , 人 们 转 念 : 看 来 , 过 直 线 外 一 点 能 作 出 与 该 线平 行 的 直 线 ( 永 不 相 交 ) 可 能 不 止 一 条 ?按 图 9, 设 想 圆 内 有 一 条 直 线 ( 弦 )m 以 及 线 外 的 一 点p, 显 然 , 过 p 所 作 不 与 m 在 圆 内 相 交 的 直 线 ( 诸 n) 有 无 穷多 条 。 那 么 , 如 果 将 圆 的 直 径 不 断 增 大 , 这 个 结 果 还 是 存 在的 ; 进 一 步 使 圆 的 直 径 “ 无 限 ” 增 大 , 就 更 加 令 人 扑 朔 迷 离了 。智 者 千 虑 , 或有 一 失 。 当 初 欧 几里 得 是 怎 样 看 待 第五 公 设 ( 后 人 或 称它 为 平 行 公 设 ) 的 ,当 然 无 人 得 知 。 不过 , 人 们 揣 测 , 他 确实 含 有 无 限 直 线 存在 的 思 想 ; 而 他 本人 也 可 能 尝 试 过 去 图 9证 明 那 条 公 设 ; 同 时 , 看 来 他 对 这 条 公 设 也 感 到 不 满 意 , 在证 明 《 几 何 原 本 > 的 命 题 时 只 使 用 过 一 次 这 条 公 设 。但 是 , 不 管 怎 么 说 , 由 于 欧 几 里 得 留 下 的 这 一 破 绽 , 确实 掀 起 一 场 大 风 波 。 世 界 上 许 多 著 名 数 学 家 都 被 吸 引 到 这一 争 论 中 去 , 他 们 之 中 有 的 为 了 使 这 条 公 设 变 为 定 理 , 甚 至27


献 出 了 毕 生 精 力 , 但 是 , 所 有 投 身 于 这 种 活 动 的 人 全 都 失 望了 。然 而 , 欧 几 里 得 九 泉 有 知 , 应 该 感 到 欣 慰 的 是 , 全 世 界的 学 者 都 没 有 责 备 他 , 反 而 更 加 敬 重 他 。 正 是 那 条 第 五 公设 , 使 几 何 学 在 众 人 的 擎 举 下 大 踏 步 地 前 进 了 , 到 19 世 纪 ,终 于 导 致 发 现 了 一 种 新 的 几 何 —— 非 欧 几 何 。现 今 , 对 于 欧 几 里 得 几 何 , 第 五 公 设 已 改 称 “ 平 行 公理 ”, 即 :“ 过 已 知 直 线 外 的 一 已 知 点 , 能 而 且 只 能 作 一 条 直线 平 行 于 该 已 知 直 线 。”28


刘 徽 —— 心 目 中 没 有“ 可 望 而 不 可 及 ”虽 天 圆 穹 之 象 犹 曰 可 度 , 况 泰 山 之 高 与 江 海 之 广 哉 ! 刘 徽数 的 诱 惑作 为 万 物 之 灵 的 人 类 , 在 茹 毛 饮 血 的 上 古 时 代 , 就 开始 去 探 索 数 的 应 用 。 最 初 , 人 们 只 能 用 手 指 头 比 划 一 至 十的 数 ; 据 说 , 后 来 出 了 一 个 圣 人 伏 羲 氏 , 开 始 教 大 家 “ 结 绳 ”为 数 , 又 发 明 了 九 九 乘 法 。如 此 说 来 , 伏 羲 氏 可 以 称 得 是 数 学 这 门 学 科 的 始 祖 了 。这 位 不 同 凡 响 的 开 拓 者 对 人 类 文 明 的 贡 献 之 大 是 不 可 估 量的 , 从 后 人 给 他 造 像 为 “ 伏 羲 氏 手 执 矩 ( 方 尺 ), 女 娲 氏 手 执规 ( 圆 规 )” 可 以 看 出 , 数 学 已 经 从 简 单 的 计 数 推 进 到 内 在 机理 的 联 系 了 。 至 于 那 个 女 娲 氏 , 传 说 是 伏 羲 氏 的 妹 妹 , 她 曾用 黄 土 造 人 , 并 炼 五 色 石 补 天 , 折 断 鳌 足 支 撑 大 地 , 治 平 洪水 , 因 为 她 “ 手 执 规 ”, 自 然 也 是 一 位 数 学 家 了 。少 年 刘 徽 从 小 就 听 说 过 有 关 伏 羲 氏 和 女 娲 氏 的 许 多 美29


妙 而 生 趣 盎 然 的 故 事 , 赞 叹 祖 先 们 神 奇 而 不 可 思 议 的 聪 慧 ,深 深 地 被 那 些 充 满 奥 秘 内 涵 的 传 说 所 吸 引 , 为 之 心 驰 神 往 。然 而 , 他 最 钟 情 的 要 算 是 伏 羲 氏 所 画 的 那 幅 “ 八 卦 ”( 图10) 了 , 这 个 奇 特 古 怪 的 图 形 之 所 以 能 够 使 他 入 迷 , 是 因 为有 人 告 诉 他 说 :“ 万 物 之 数 因 八 卦 而 起 也 。” 那 么 , 这 幅 图 形果 真 蕴 藏 着 如 此 强 大 的 威 力 吗 ? 实 在 是 令 人 捉 摸 不 透 。原 来 , 这 图 形 的 中 圆 叫 做 “ 太 极 ”, 黑 白 部 分 鱼 形 称 为“ 两 仪 ”, 正 八 边 形 的 各 边 三 叠 线 段 是 “ 八 卦 ”, 其 中 上 下 左 右四 卦 ( 即 乾 、 坤 、 离 、 坎 ) 的 内 层 两 叠 线 段 称 为 “ 四 象 ”。 古 老的 哲 学 著 作 《 易 》 从 数 的 观 点 阐 述 八 卦 的 意 义 :“《 易 》 有 太极 , 是 生 两 仪 ;两 仪 生 四 象 ;四 象 生 八 卦 。”按 照 这 种 分 割过 程 , 实 际 上已 经 寓 含 有 数学 中 的 等 比 数列 思 想 。在 研 读《 易 》 得 到 的 收获 中 , 刘 徽 对书 中 为 八 卦 所作 的 概 括 性 评 图 1030


价 “ 以 通 神 明 之 德 , 以 类 万 物 之 情 ” 特 别 感 兴 趣 , 这 是 表 明 ,八 卦 系 用 来 申 述 神 灵 创 造 世 界 的 功 德 , 解 释 事 物 的 自 然 规律 的 。 难 道 八 卦 有 这 样 巨 大 的 功 能 吗 ? 刘 徽 年 纪 幼 小 , 自然 无 法 理 解 , 但 是 , 有 一 点 是 清 楚 的 , 那 就 是 他 看 出 奇 妙 的太 极 、 两 仪 、 四 象 以 及 八 卦 的 神 秘 色 彩 , 于 是 , 发 掘 数 与 数 之间 的 关 系 便 无 形 中 成 为 他 暗 暗 地 埋 藏 于 内 心 的 种 子 , 一 旦气 候 得 宜 , 就 会 生 根 发 芽 了 。31


执 著 的 痴 情却 说 泱 泱 中 华 的 悠 久 历 史 , 可 以 上 溯 到 五 千 年 之 前 。约 在 公 元 前 11 世 纪 , 周 武 王 姬 发 灭 了 商 朝 , 建 立 周 朝 , 政 务由 他 的 弟 弟 姬 旦 辅 佐 , 姬 旦 励 精 图 治 , 功 绩 卓 著 , 被 尊 称 为周 公 。 周 公 曾 经 作 《 周 礼 , 教 人 学 六 艺 : 礼 、 乐 、 射 、 御 ( 驭 )、书 、 数 , 其 中 “ 数 ” 即 “ 九 数 ”, 汇 集 生 活 和 生 产 上 的 九 类 数 学问 题 , 加 以 综 合 讲 述 , 从 此 , 人 们 得 以 较 为 系 统 地 接 触 到 数学 。几 百 年 后 , 学 者 们 根 据 过 去 和 当 时 的 全 部 数 学 知 识 , 将问 题 的 性 质 和 解 法 分 为 九 大 类 , 拟 出 了 246 道 题 , 写 成 了 一部 内 容 极 为 丰 富 的 专 著 《 九 章 算 术 , 九 章 是 :一 、 方 田 : 主 要 是 讨 论 平 面 形 的 边 界 和 面 积 问 题 。二 、 粟 米 : 讲 述 粮 食 交 易 的 计 算 方 法 , 主 要 介 绍 比 例 算法 。三 、 衰 分 :“ 衰 ” 是 “ 衰 减 ” 的 意 思 , 在 这 里 作 “ 定 量 分 配 ”解 释 , 本 章 讲 述 配 分 比 例 和 等 差 、 等 比 数 列 等 问 题 。四 、 少 广 :“ 广 ” 就 是 “ 宽 ”, 这 章 讲 述 当 平 面 形 面 积 或 立体 形 体 积 已 知 时 , 如 何 求 得 边 长 或 圆 径 长 的 方 法 。五 、 商 功 : 以 施 工 的 工 程 量 为 题 , 介 绍 求 各 种 立 体 形 体积 的 方 法 。六 、 均 输 : 讲 述 根 据 距 离 远 近 以 及 人 口 条 件 等 运 送 物32


资 和 使 用 工 日 等 计 算 问 题 。七 、 盈 不 足 : 讲 述 解 盈 亏 类 问 题 的 算 术 方 法 。八 、 方 程 : 讲 述 一 次 方 程 组 的 解 法 。九 、 勾 股 : 讲 述 勾 股 弦 关 系 , 以 及 相 似 直 角 三 角 形 各 边比 例 关 系 的 计 算 。在 世 界 数 学 史 上 ,《 九 章 算 术 》 与 欧 几 里 得 的 《 几 何 原本 》 齐 名 , 东 西 辉 映 争 光 , 在 数 学 发 展 中 产 生 过 深 远 影 响 。经 过 历 代 数 学 家 们 不 断 完 善 、 补 充 、 修 订 ,《 九 章 算 术 》 约 在东 汉 初 期 ( 约 公 元 1 世 纪 ) 成 书 , 作 为 教 材 在 民 间 广 为 流 传 。刘 徽 在 幼 年 时 代 就 开 始 学 习 《 九 章 算 术 》 这 部 巨 著 , 可 是由 于 书 中 内 容 艰 深 , 所 介 绍 的 方 法 又 过 于 简 略 , 因 此 觉 得 很难 深 刻 理 解 。 于 是 , 便 有 人 劝 他 说 , 这 里 头 学 问 大 着 呢 , 还 是不 要 浪 费 精 力 去 研 究 , 要 知 道 , 那 是 “ 可 望 而 不 可 及 ” 的 啊 !然 而 , 真 是 “ 可 望 而 不 可 及 ” 吗 ? 刘 徽 不 那 么 看 。 他 的心 已 被 《 九 章 算 术 》 紧 紧 地 攥 住 , 此 生 此 世 , 无 法 两 相 分 离了 。长 大 了 , 生 活 知 识 丰 富 了 , 见 闻 和 思 路 开 阔 了 , 自 然 就有 条 件 做 进 一 步 的 深 入 探 讨 。 他 立 志 要 对 这 部 深 奥 的 著 作穷 纤 入 微 , 作 无 休 止 的 探 测 , 于 是 , 细 细 地 阅 读 , 认 真 地 思考 。 他 想 到 , 无 论 数 学 ( 那 时 的 “ 算 术 ” 实 际 上 就 是 现 代 的“ 数 学 ”) 有 多 难 , 总 是 有 一 定 规 律 性 的 , 就 象 宇 宙 中 的 “ 阴 阳割 裂 ”( 那 时 认 为 万 物 都 由 阴 和 阳 所 构 成 ) 那 样 , 只 要 深 入 探讨 数 学 方 法 的 根 源 , 没 有 解 决 不 了 的 课 题 。33


刘 徽 对 《 九 章 算 术 》一 往 情 深 , 并 不 是 毫 无根 据 的 空 头 相 思 , 他 坚定 地 抱 着 必 胜 的 信 念 去战 胜 面 临 的 巨 大 困 难 ,首 先 要 运 用 一 种 正 确 的科 学 方 法 , 那 就 是 必 须不 遗 余 力 地 去 寻 根 觅源 。 刘 徽 认 为 , 一 切 事物 都 可 以 比 喻 为 树 上 的枝 条 , 从 局 部 上 看 , 只 不过 是 孤 立 的 一 个 部 分 , 但 是 , 各 种 事 物 都 是 互 相 关 联 的 , 必然 归 并 于 树 的 躯 干 , 而 应 该 看 作 是 从 躯 干 这 一 端 发 展 出 去的 。 根 据 他 观 察 前 人 的 经 验 所 在 , 理 解 到 数 学 并 不 是 特 别难 学 的 , 而 为 什 么 能 够 钻 研 深 透 的 人 这 样 少 , 其 原 因 大 概 就是 忽 略 了 事 物 产 生 、 存 在 和 发 展 的 规 律 所 致 。刘 徽 矢 志 追 寻 《 九 章 算 术 》 的 精 蕴 , 历 经 数 十 年 , 终 于 完成 《 九 章 算 术 注 》, 从 其 著 作 的 序 中 可 以 见 到 他 多 年 的 抱 负和 对 《 九 章 算 术 》 的 倾 心 :“ 徽 幼 习 《 九 章 》, 长 再 详 览 。 观 阴阳 之 割 裂 , 总 算 术 之 根 源 , 探 赜 之 暇 , 遂 悟 其 意 。 是 以 敢 竭顽 鲁 , 采 其 所 见 , 为 之 作 注 。”34


初 见 锋 芒在 历 史 上 , 刘 徽 是 一 个 布 衣 学 者 , 默 默 无 闻 ; 但 是 , 在 学术 成 就 上 ,《 九 章 算 术 注 》 则 大 放 异 彩 , 光 华 照 人 。 后 人 是 从这 部 “ 注 ” 知 道 有 刘 徽 这 个 人 的 。刘 徽 的 身 世 履 历 、 生 卒 年 代 均 无 从 考 得 , 人 们 只 能 从《 隋 书 · 律 历 志 》 中 的 两 句 话 “ 魏 陈 留 王 景 元 四 年 , 刘 徽 注 《 九章 》” 中 探 寻 他 的 踪 迹 。 景 元 四 年 正 是 公 元 263 年 , 这 时 刘徽 已 年 事 较 长 ( 根 据 他 在 序 中 有 “ 徽 幼 习 《 九 章 》, 长 再 详 览 ”的 字 句 判 断 ); 又 “ 注 ” 中 有 “ 晋 武 库 中 汉 时 王 莽 作 铜 斛 ” 句 ,推 断 在 魏 亡 晋 兴 ( 公 元 266 年 ) 时 他 仍 在 作 注 , 这 样 , 刘 徽 当是 公 元 3 世 纪 魏 晋 期 间 的 人 。到 了 宋 朝 , 宋 徽 宗 为 了 弘 扬 数 学 , 追 封 历 代 著 名 数 学家 , 加 以 五 等 爵 , 如 “ 张 衡 西 鄂 伯 ”、“ 祖 冲 之 范 阳 子 ”、“ 刘 徽淄 乡 男 ” 等 , 按 爵 位 等 级 为 公 、 侯 、 伯 、 子 、 男 , 男 爵 为 末 等 , 故判 断 刘 徽 生 前 只 是 一 个 平 民 。 并 且 从 中 得 知 刘 徽 当 是 今 山东 临 淄 或 淄 川 一 带 人 。然 而 , 刘 徽 之 所 以 被 认 为 是 世 界 上 知 名 的 大 数 学 家 , 是以 他 的 学 术 成 就 为 依 据 的 。 通 常 对 一 部 书 作 注 , 其 手 法 无非 是 考 ( 考 证 )、 释 ( 解 释 )、 校 ( 校 讹 ), 属 于 一 般 层 次 ; 更 进 一步 的 注 则 能 针 对 书 的 内 容 进 行 分 析 、 评 点 , 提 出 注 者 一 己 之见 。 刘 徽 为 《 九 章 算 术 》 所 作 注 已 超 越 以 上 两 种 注 家 手 法 ,35


它 的 精 彩 之 处 在 于 开 拓 、 创 新 , 不 仅 提 出 丰 富 的 独 到 见 地 和精 辟 发 明 , 还 能 以 严 密 的 数 学 用 语 描 述 有 关 数 学 概 念 , 对 原著 中 的 许 多 结 论 给 出 严 格 的 证 明 , 这 就 大 大 地 增 添 “ 注 作 ”的 光 辉 。刘 徽 创 导 的 “ 以 盈 补 虚 术 ” 为 几 何 证 明 提 供 一 种 直 观 而严 密 的 方 法 , 思 路 非 常 新 颖 , 在 《 九 章 算 术 》 第 一 章 《 方 田 》 中首 露 锋 芒 。 三 角 形 求 积 公 式 “ 底 乘 高 之 半 ” 是 怎 么 得 到 的 ?且 看 刘 徽 的 巧 妙 证 明 :《 方 田 》 章 有 一 道 求 三 角 形 面 积 的 题 : 今 有 圭 田 广 十二 步 , 正 从 二 十 一 步 , 问 为 田 几 何 ?( 圭 —— 三 角 形 , 广—— 宽 , 正 从 —— 高 , 步 —— 长 度 的 单 位 , 也 作 为 面 积 单位 平 方 步 的 简 称 )。 答 日 : 一 百 十 六 步 。 术 日 : 半 广 以 乘正 从 。题 目 附 有 答 案 126 平 方 步 , 并 提 供 方 法 “ 取 宽 的 一 半乘 高 ”。 刘 徽 对 方法 的 证 明 是 “ 半广 者 , 以 盈 补 虚为 直 田 也 ” ( 直—— 长 方 形 ), 意思 是 说 : 为 什 么 取宽 的 一 半 呢 ? 是 用多 余 部 分 补 不 足 部分 成 为 长 方 形 面图 1136


积 。 从 图 11 可 以 看 出 , 高 AH 将 AABC 分 成 两 个 直 角 三角 形 ABH 和 AHC 后 , 如 取 BH 和 HC 的 中 点 M 和 N,作 长 方 形 MNQP, 那 么 , 这 个 长 方 形 的 面 积 就 等 于△XABC。 于 是 △ABC 可 按 长 方 形 MNQP 的 面 积 取 用 , 等于 AABC 的 半 广 (MN) 乘 正 从 (AH)。这 种 方 法 的 特 点 就 是 应 用 “ 割 补 ” 的 方 法 将 多 出 的 图 形( 盈 )ARBM 和 △ SNC 割 下 来 , 移 到 空 白 的 地 方 ( 虚 )△RAP 和 △SQA。同 样 , 梯 形 面 积 的 计 算 公 式 “ 并 两 邪 而 半 之 , 以 乘 正 从若 广 ”( 两 邪 —— 梯 形 的 两 底 , 并 两 邪 —— 将 两 邪 合 并 , 即 取两 邪 的 和 ), 也 可 以 从 图 12 推 导 出 , 即 将 两 底 和 的 半 数 看 作是 “ 广 ”, 算 出 长 方 形 面 积 。 刘 徽 注 中 说 :“ 并 而 半 之 者 , 以 盈补 虚 也 。 ”图 1237


万 种 风 流数 学 史 上 曾 经 发 生 过 许 多 起 有 趣 的 巧 合 , 往 往 两 个 人同 时 或 先 后 独 立 发 现 某 一 定 理 和 方 法 。 无 论 是 近 在 咫 尺 , 或是 远 在 天 涯 , 他 们 都 在 互 致 心 灵 上 的 默 契 。当 年 周 公 姬 旦 问 学 者 商 高 :“ 没 有 台 阶 可 供 我 们 上 天 ,又 没 有 一 把 合 格 的 尺 子 可 供 我 们 量 地 , 那 么 , 怎 么 确 定 天 有多 高 、 地 有 多 广 呢 ?” 商 高 回 答 说 :“ 办 法 是 有 的 , 那 就 是 利 用勾 、 股 、 弦 之 间 的 关 系 , 譬 如 说 勾 三 、 股 四 、 弦 五 。” 从 此 , 人 们知 道 有 了 一 个 数 学 定 理 : 勾 股 定 理 。 商 高 之 后 约 六 百 年 , 古希 腊 学 者 毕 达 哥 拉 斯 也 发 现 直 角 三 角 形 的 三 边 关 系 , 创 立了 毕 氏 定 理 。 接 着 , 我 国 三 国 时 代 的 赵 爽 和 古 希 腊 的 欧 几里 得 分 别 为 内 容 相 同 的 勾 股 定 理 和 毕 氏 定 理 做 了 几 何 证明 , 所 谓 “ 江 山 代 有 才 人 出 , 各 领 风 骚 数 百 年 ”。赵 爽 和 欧 几 里 得 万 万 没 有 想 到 , 在 他 们 身 后 , 一 支 异 军突 起 。 就 是 这 位 刘 徽 , 居 然 别 出 心 裁 , 应 用 以 盈 补 虚 术 , 三下 两 下 , 便 将 一 种 富 有 新 意 的 绝 妙 证 法 呈 现 在 读 者 面 前 , 令人 叹 服 不 已 。 在 《 勾 股 》 章 中 , 他 写 道 :“ 勾 自 乘 为 朱 方 , 股 自乘 为 青 方 , 令 出 入 相 补 , 各 从 其 类 , 因 就 其 余 不 移 动 也 。 合成 弦 方 之 幂 , 开 方 除 之 , 即 弦 也 。” 他 用 朱 色 的 正 方 形 面 积 表示 “ 勾 自 乘 ”, 用 青 色 的 正 方 形 面 积 表 示 “ 股 自 乘 ”, 将 这 两 块面 积 ( 盈 ) 分 割 成 若 干 块 , 再 在 空 白 的 地 方 ( 虚 ) 拼 补 起 来 , 恰38


好 能 够 组 成 一 个 “ 弦 自 乘 ” 的 正 方 形 , 于 是 可 以 断 定 , 将 勾 自乘 与 股 自 乘 的 和 开 方 , 便 得 弦 。 图 13 为 证 明 勾 股 定 理 所 用图 形 , 影 线 部 分 BCDE 和 加 点 部 分 AGFC 分 别 表 示 朱 方 和青 方 , 它 们 的 “ 盈 ”1、2( 朱 出 )、3、4、5( 青 出 ), 分 别 补 “ 虚 ”1′、2′( 朱 入 )、3′、4′、5′( 青 入 )。图 13因 此 , 以 盈 补 虚 术 也 称 为 “ 出 入 相 补 法 ”, 它 有 无 穷 奥妙 , 万 种 风 流 , 能 够 解 决 许 多 几 何 问 题 。 由 于 这 种 方 法 的 可爱 , 历 代 有 不 少 数 学 家 为 之 倾 倒 。图 14 示 另 一 种 以 出 入 相 补 法 证 明 勾 股 定 理 的 图 形 , 因39


朱 方 、 青 方 中 各 有 一 部 分 居 于 弦 方 之 内 ( 分 别 为 EDCB、AFGC), 所 以 刘 徽 称 “ 因 就 其 余 不 移 动 也 ”。用 出 入 相 补 法 解 “ 勾 股 容 方 、 圆 ” 问 题 更 是 妙 趣 横 生 , 这类 问 题 就 是 在 直 角 三 角 形 中 作 内 接 正 方 形 或 内 切 圆 , 已 知勾 、 股 二 数 求 正 方 形 的 边 长 或 圆 的 半 径 ( 实 际 上 已 知 勾 、 股二 数 , 也 就 知 道 了 弦 数 )。图 1 4图 15 的 左 图 是 取 两 个 直 角 三 角 形 组 成 的 长 方 形A CB D 分 割 后 拼 补 如 图 1 5 的 右 图 , 两 图 面 积 相 等 可 得ab=x(a+b), 故40


图 15x= aba+b图 1 6 的 上 图 也 是 取 两 个 直 角 三 角 形 组 成 的 长 方 形ACBD, 分 割 后 拼 补 如 图 16 的 中 图 , 两 图 面 积 相 等 可 得 ab=r(a+b+c), 故r=aba+b+c更 加 引 人 入 胜 的 是 , 如 果 把 图 16 的 中 图 右 端 部 那 两 个长 方 形 割 下 , 补 到 下 方 , 成 为 图 16 的 下 图 形 状 , 还 可 以 得 到2r=a+b-c, 如 果 用 d 表 示 内 切 圆 直 径 , 便 出 现 简 单 优美 的 公 式 :41


出 入 相 补 法 还 有 许 多 用 途 , 如 用 它 解 释 开 方 运 算 过 程的 几 何 意 义 等 。d=a+b-c图 1 6千 古 一 绝 割 圆 术世 界 上 有 许 许 多 多 形 状 各 异 的 图 形 , 但 是 , 古 代 中 国 数学 家 认 为 最 具 有 特 色 和 最 基 本 的 图 形 是 方 形 和 圆 形 , 于 是才 有 “ 伏 羲 氏 手 执 矩 , 女 娲 氏 手 执 规 ” 的 造 像 流 传 至 今 。人 们 委 实 对 方 形 和 圆 形 怀 有 深 深 的 感 情 , 它 们 在 世 上42


触 目 可 见 , 无 疑 是 人 类 最 熟 悉 的 。 可 是 , 刘 徽 作 为 一 位 大 数学 家 , 他 首 先 想 到 的 是 , 对 圆 的 性 质 , 人 们 究 竟 掌 握 多 少 呢 ?要 研 究 圆 的 特 征 , 必 然 需 要 推 导 出 圆 周 率 值 。 从 古 算书 《 周 髀 算 经 》( 约 成 书 于 公 元 前 2 世 纪 ) 中 , 刘 徽 看 出 方 形与 圆 形 的 密 切 关 系 , 那 本 书 中 写 道 :“ 数 之 法 出 于 圆 方 , 圆 出于 方 ”;“ 方 数 为 典 , 以 方 出 圆 ”。 看 来 , 圆 形 似 乎 是 从 方 形 推进 而 来 的 , 这 该 如 何 理 解 呢 ?《 九 章 算 术 》 所 用 的 圆 周 率 是 3。 刘 徽 在 做 注 时 看 到 书中 答 案 都 用 “ 周 三 径 一 ” 的 “ 古 率 ” 演 算 , 顿 起 疑 窦 。 他 首 先要 探 明 古 率 的 几 何 意 义 , 便 用 一 个 具 体 例 子 分 析 :“ 假 令 圆径 二 尺 , 圆 中 容 六 觚 之 一 面 , 与 圆 径 之 半 , 其 数 均 等 。 合 径率 一 而 外 周 率 三 也 。”“ 觚 ” 是 指 “ 正 多 边 形 ”。 他 想 , 如 果 圆 径 是 2 尺 , 那 么 ,内 接 正 六 边 形 的 边 长 正 好 等 于 半 径 , 就 是 说 , 若 半 径 为 1尺 , 正 六 边 形 的 周 长 为 6 尺 , 相 当 于 直 径 为 1 时 周 长 为 3。于 是 得 出 结 论 :“ 周 三 者 从 其 六 觚 之 环 耳 。” 意 思 是 说 , 古 率的 “ 周 三 ”, 实 际 上 求 出 的 是 正 六 边 形 的 周 长 。刘 徽 深 感 “ 学 者 踵 古 , 习 其 谬 失 ”( 学 习 数 学 的 人 按 照 古法 算 , 都 跟 着 错 了 ) 的 流 弊 , 便 决 心 去 寻 找 一 种 正 确 的 理 论根 据 , 并 且 认 为 “ 不 有 明 据 , 辩 之 斯 难 ”( 没 有 正 确 的 理 论 根据 , 就 难 以 说 服 人 )。经 过 努 力 , 刘 徽 终 于 创 立 了 驰 名 古 今 中 外 的 “ 割 圆 术 ”,他 指 出 : 圆 内 接 正 多 边 形 的 边 数 无 限 增 多 , 则 正 多 边 形 的 面43


积 趋 于 圆 面 积 。首 先 , 根 据 正 六 边 形 的 边 长 求 正 十 二 边 形 的 边 长 ; 然后 , 根 据 正 十 二 边 形 的 边 长 求 正 二 十 四 边 形 的 边 长 ; 类 推地 , 用 一 般 形 式 表 示 , 则 是 根 据 ln 求 l2n(l 为 正 多 边 形 的 边长 , 脚 标 n 和 2n 表 示 边 数 )。刘 徽 按 图 17 将 有 关 线 段 分 别 称 为 “ 勾 、 股 、 弦 、 小 勾 、 小股 、 小 弦 ”, 其 中 “ 勾 ” 与 “ 小 股 ” 是 一 样 的 , 为, 而 “ 小 弦 ” 则是 l2n,“ 弦 ” 为 圆 的 半 径 r, 于 是 便 有图 1744


或 写 为l2n=再 用 S 表 示 面 积 , 当 有S2n=n· rln2对 于 正 六 边 形 , 因 16=r, 故l12= =O.517638rS24=12· r2 ·0.517638r=3.105828r2若 用 s24 作 为 近 似 的 圆 面 积 , 则 推 算 圆 周 率 为3.105828.S24刘 徽 按 S24、S48、S96 算 至 S192,“ 得 幂 三 百 一 十 四 寸 六百 二 十 五 分 寸 之 六 十 四 , 即 一 百 九 十 二 觚 之 幂 也 ”。 其 中“ 幂 ” 是 “ 面 积 ”, 亦 即 取 半 径 为 1 尺 (10 寸 ) 时 , 面 积 为S192=314 64 平 方 寸625S192 是 小 于 圆 面 积 的 , 他 又 算 得 314 169 平 方 寸 大 于625圆 面 积 , 于 是 有3 881462500 < π


以 满 足 要 求 , 所 以 便 取 为 3.14, 并 用 分 数 表 示 这 个 数 。后 人 称 为 “ 徽 率 ”。事 实 上 , 割 圆 术 之 所 以 成 为 千 古 一 绝 , 并 不 在 于 计 算 圆周 率 的 精 确 度 如 何 , 而 在 于 蕴 藏 于 其 中 的 极 限 思 想 。 刘 徽写 道 :“ 割 之 弥 细 , 所 失 弥 少 。 割 之 又 割 , 以 至 于 不 可 割 , 则与 圆 合 体 , 而 无 所 失 矣 !” 同 时 , 他 对 于 方 与 圆 之 间 的 关 系 也表 达 了 精 辟 的 论 述 :“ 凡 物 类 形 象 , 不 圆 则 方 。 方 圆 之 率 , 诚著 于 近 , 则 虽 远 可 知 也 。”东 方 阿 基 米 德在 极 限 思 想 中 萌 动 着 微 积 分 , 这 的 确 伟 大 的 发 现 。 但是 , 刘 徽 的 成 果 并 非 一 枝 独 秀 , 实 际 上 , 在 他 之 前 约 五 百 年 ,古 希 腊 数 学 家 阿 基 米 德 已 有 类 似 的 贡 献 夺 步 在 先 。刘 徽 与 阿 基 米 德 在 极 限 思 想 上 的 默 契 是 最 动 人 和 饶 有兴 味 的 , 可 以 说 是 “ 心 有 灵 犀 一 点 通 ”。 在 苦 求 圆 周 率 的 过程 中 , 他 们 俱 各 历 尽 艰 辛 , 最 终 却 都 汇 聚 到 应 用 无 限 分 割 的原 理 这 一 点 上 来 , 可 以 说 是 不 谋 而 合 。 不 过 , 侄 具 体 做 法上 , 两 人 各 有 自 己 的 特 点 , 其 技 巧 各 有 千 秋 , 索 为 历 代 数 学家 所 叹 服 。刘 徽 使 圆 内 接 正 多 边 形 的 边 数 逐 步 增 多 , 从 而 导 致 正多 边 形 的 面 积 与 圆 面 积 趋 同 , 于 是 得 到 以 下 结 果 :46


阿 基 米 德 则 同 时 利 用 圆 内 接 正 多 边 形 和 外 切 正 多 边 形的 面 积 去 逼 近 圆 面 积 , 得 出 结 果 :另 一 方 面 , 在 弓 形 面 积 求 解 方 法 上 , 他 们 二 人 又 不 约 而同 地 应 用 了 极 限 思 想 , 依 然 如 出 一 辙 , 只 不 过 阿 基 米 德 所 研究 的 是 抛 物 线 弓 形 面 积 , 而 刘 徽 则 为 圆 弧 线 弓 形 面 积 。 在解 决 这 类 数 学 问 题 时 , 通 常 人 们 只 注 意 到 他 们 创 见 极 限 思想 的 伟 大 , 却 很 少 看 到 递 推 方 法 的 高 明 , 因 为 对 于 某 一 种 观念 , 虽 然 构 思 新 颖 , 但 如 缺 乏 必 要 的 具 体 实 现 手 段 , 便 落 于空 谈 , 而 他 俩 却 都 在 一 种 新 思 路 的 指 导 下 运 用 巧 妙 的 手 段 ,实 是 难 能 可 贵 。一 为《 九 章 算 术 》 有 “ 弧 田 问 ”( 弧 田 —— 弓 形 面 积 ) 二 则 , 其“ 今 有 弧 田 , 弦 三 十步 , 矢 十 五 步 。 问 为 田几 何 ?”这 是 已 知 弦 、 矢 去3 881462500 < π


绍 的 解 法 是 :“ 以 弦 乘 矢 , 矢 又 自 乘 , 并 之 , 二 而 一 。” 照 图 18的 标 示 符 号 , 则 弓 形 面 积 计 算 公 式 为S= bh+h22这 是 一 个 很 粗 略 的 近 似 公 式 。 刘 徽 指 出 , 只 有 当 圆 周率 采 用 3, 而 验 算 半 圆 面 积 时 , 它 才 是 对 的 , 若 弓 形 愈 小 , 则误 差 愈 大 , 他 说 :“ 若 不 满 半 圆 者 , 益 复 疏 阔 。” 于 是 , 便 提 出一 种 解 决 这 种 图 形 的 求 面 积 方 法 :“ 割 弧 术 ”。按 割 弧 术 的 运 算 步 骤 , 是 先 根 据 弦 长 和 矢 高 求 出 圆 的半 径 , 然 后 以 矢 高 为 勾 、 半 弦 为 股 , 求 得 “ 小 弧 ”( 小 弓 形 ) 的弦 ( 按 图 19, 小 弓 形 DFB 的 弦 为 DB), 即DB=图 1 948


再 以 小 弧 的 半 弦 为 勾 、 半 径 为 弦 ( 这 里 的 弦 为 直 角 三 角形 的 斜 ), 求 出 股 ; 用 半 径 减 股 , 即 得 小 弧 的 矢 。 就 是这 样 , 弓 形 的 粗 略 面 积 就 是 △ABD+2△DFB 的 面积 。 但 这 比 真 值 还 小 四 个 更 小 的 弓 形 面 积 ( 四 个 弓 形BF)。 接 着 , 刘 徽 运 用 他 的 极 限 思 想 , 提 出 :“ 割 之 又 割 , 使至 极 细 ”, 按 照 继 续 分 割 的 原 理 , 最 终 可 以 求 得 足 够 精 确 的面 积 值 。就 问 题 的 复 杂 性 而 言 , 求 物 抛 线 弓 形 面 积 比 圆 弧 线弓 形 面 积 要 复 杂 得 多 , 可 见 阿 基 米 德 的 学 识 水 平 比 刘 徽 略胜 一 筹 。 然 而 , 他 俩 对 问 题 求 解 的 实 质 是 一 样 的 , 因 此 , 有人 称 刘 徽 为 “ 东 方 阿 基 米 德 ” 可 以 说 是 恰 如 其 分 的 。搁 浅刘 徽 在 许 多 复 杂 的 问 题 面 前 显 示 出 非 凡 的 才 华 , 在 注释 《 九 章 算 术 》 的 过 程 中 做 了 大 量 创 见 性 发 挥 , 然 而 , 限 于 当时 的 数 学 水 平 , 刘 徽 毕 竟 无 能 解 决 书 中 存 在 的 所 有 问 题 。《 少 广 》 章 的 最 后 两 道 题 委 实 将 他 难 住 了 。这 两 道 题 的 内 容 一 样 , 都 是 已 知 球 的 体 积 求 直 径 。 举其 中 一 道 于 下 :“ 今 有 积 四 千 五 百 尺 , 问 为 立 圆 径 几 何 ?”49


“ 立 圆 ” 就 是 球 , 这 题 目 是 问 : 已 知 球 的 体 积 为 4500 立方 尺 , 直 径 是 多 大 呢 ?书 中 介 绍 的 解 题 方 法 称 为 “ 开 立 圆 术 ”:“ 置 积 尺 数 , 以十 六 乘 之 , 九 而 一 , 所 得 开 立 方 除 之 , 即 丸 径 。”( 丸 —— 立圆 , 即 球 )。 以 D 和 V 分 别 表 示 球 的 直 径 和 体 积 , 则 有一 般 地 。 有D=那 么 ,16 和 9 两 个 数 的 来 源 何 在 呢 ? 刘 徽 认 为 : 圆 面积 是 外 切 正 方 形 面 积 的 四 分 之 三 ( 取 圆 周 率 为 3), 直 径 和高 相 等 的 圆 柱 体 体 积 是 外 切 正 方 体 体 积 的 四 分 之 三 ; 可 是 ,是 说 , 球 的 体 积 是 外 切 正 方 体 体 积 的 十 六 分 之 九 了 。·刘 徽 指 出 上 述 结 论 是 错 误 的 , 说 “ 此 意 非 也 ”, 那 么 ,“ 何以 验 之 ?” 他 用 一 种 非 常 巧 妙 的 方 法 揭 示 《 九 章 算 术 》 中 计 算球 体 积 的 公 式 错 误 所 在 , 但 是 , 他 自 己 却 没 有 能 力 推 导 出 正确 的 公 式 。D=即 V= 916 D3半 径 r 表 示 , 则 为《 九 章 算 术 》 中 用 π=3, 故 V= πD3; 或 以 球 的πr3.作 者 按 圆 柱 体 与 球 的 体 积 比 为 12 比 9( 与 之 比 ), 那 就50


对 刘 徽 来 说 , 就 是 要 尽 力 在 注 中 对 原 著 错 误 处 加 以 斧正 , 而 自 己 觉 得 难 以 解 决 的 , 便 虚 心 地 将 问 题 提 出 , 或 指 出解 决 问 题 的 途 径 。 就 已 知 球 的 体 积 求 直 径 这 一 问 题 来 说 ,他 想 : 如 果 去 画 一 些 不 正 确 的 图 形 或 提 些 不 成 熟 的 看 法 , 恐怕 理 论 上 会 有 错 误 , 那 么 , 只 好 将 这 个 疑 难 问 题 暂 时 搁 下 ,等 待 以 后 能 够 解 释 的 人 去 回 答 了 , 于 是 他 说 :“ 欲 陋 形 措 意 ,惧 失 正 理 。 敢 不 阙 疑 ? 以 俟 能 言 者 。”刘 徽 虚 怀 若 谷 , 从 不 似 是 而 非 地 对 解 不 决 了 的 问题 含 糊 其 辞 , 故 历 来 为 后 人 所 推 崇 和 敬 重 。 尽 管 使 这 个 求球 径 的 问 题 暂 时 搁 浅 , 但 这 段 往 事 却 给 后 人 留 下 一 则 数 坛佳 话 。刘 徽 所 等 待 的 “ 能 言 者 ” 在 二 百 年 后 才 出 现 , 他 便 是 祖冲 之 的 儿 子 祖 ( 日 恒 )。 根 据 祖 ( 日 恒 ) 创 立 的 原 理 :“ 界 于 二 平 行 平 面之 间 的 两 个 立 体 , 被 任 一 平 行 于 这 二 平 面 的 平 面 所 截 , 如 果两 个 截 面 的 面 积 常 相 等 , 则 这 两 个 立 体 的 体 积 相 等 。” 结 合刘 徽 在 推 翻 《 九 章 算 术 》 错 误 结 论 过 程 中 所 做 的 一 些 工 作 ,最 终 得 到 正 确 的 答 案 。天 有 多 高自 古 以 来 , 人 们 仰 望 一 碧 无 际 的 天 空 , 总 会 对 浩 茫 深 邃的 苍 穹 发 出 疑 问 : 神 秘 莫 测 的 “ 天 ” 哪 , 你 到 底 有 多 高 ?甚 至 像 周 公 这 样 的 圣 人 , 也 曾 经 产 生 过 类 似 的 遐 想 , 他51


不 是 也 向 商 高 问 过 怎 么 测 量 天 高 吗 ? 可 是 当 时 商 高 并 没 有提 供 具 体 办 法 。后 来 赵 爽 想 到 , 太 阳 是 挂 在 天 上 的 , 它 离 我 们 这 儿 多高 , 天 就 有 多 高 。 于 是 , 他 拟 制 了 一 幅 《 日 高 图 》( 图 20), 在图 2 0地 面 竖 立 两 根 高 度 相 等 的 杆 AB 和 CD, 它 们 被 日 照 的 影 子为 BE 和 DF; 在 图 上 截 取 DG=BE, 就 求 得 ABDC 的 面 积等 于 HIJK; 既 然 ABCD 的 长 、 宽 以 及 GF( 即 IJ) 是 已 知52


的 , 也 就 容 易 求 出 太 阳 的 高 度 HG 了 。固 然 , 由 于 地 面 不 是 平 的 , 而 且 杆 高 和 杆 间 距 离 相 对 于 日高 过 于 微 小 , 所 以 测 得 的 日 高 是 不 准 确 的 。 但 是 , 赵 爽 却 为后 人 提 供 一 种 极 为 先 进 的 测 高 望 远 之 术 。刘 徽 景 仰 赵 爽 的 大 胆 设 想 , 他 把 上 述 方 法 定 名 为 “ 重 差术 ”, 重 就 是 重 复 ,“ 差 ” 是 日 照 影 子 长 短 的 差 值 , 说 明 只 需 测两 次 求 日 影 的 差 , 就 可 以 算 出 距 离 。 他 认 为 , 重 差 术 用 于 测日 高 固 然 不 准 , 但 是 , 用 于 测 量 一 座 山 、 一 座 塔 的 高 度 却 是游 刃 有 余 ; 特 别 是 用 于 测 “ 可 望 而 不 可 及 ” 的 景 物 更 是 别 开生 面 , 譬 如 说 , 在 大 陆 要 隔 海 测 海 岛 高 度 就 可 以 用 这 种 方法 , 能 够 尽 得 其 妙 。刘 徽 立 志 将 测 日 高 法 的 原 理 加 以 改 造 , 从 应 用 于 实 际的 目 标 出 发 , 难 点 集 中 到 那 些 能 够 望 见 、 但 不 能 到 达 的 测 量问 题 上 , 于 是 , 将 自 己 研 究 心 得 写 成 《 重 差 》 章 , 附 缀 于 《 九 章算 术 》 末 章 《 勾 股 》 之 后 。《 重 差 》 的 第 一 道 题 为 《 望 海 岛 》, 立 意 新 颖 , 构 思 巧 妙 。原 文 为 :“ 今 有 望 海 岛 , 立 两 表 齐 高 三 丈 , 前 后 相 去 干 步 , 令 后 表与 前 表 参 相 直 。 从 前 表 却 行 一 百 二 十 三 步 , 人 目 着 地 , 取 望岛 峰 , 与 表 末 参 合 。 从 后 表 却 行 一 百 二 十 七 步 , 人 目 着 地 取望 岛 峰 , 亦 与 表 末 参 合 。 问 岛 高 及 去 表 各 几 何 ? 答 : 岛 高四 里 五 十 五 步 ; 去 表 一 百 二 里 一 百 五 十 步 。”据 题 意 画 成 图 样 如 图 21。 题 目 的 意 思 是 说 : 现 在 要 测53


图 21量 海 岛 , 立 两 根 高 度 都 为 3 丈 的 杆 , 两 杆 相 距 1000 步 , 使 后杆 和 前 杆 与 岛 成 一 直 线 。 从 前 杆 往 回 走 123 步 , 人 的 眼 睛着 地 , 向 岛 峰 望 去 , 正 好 杆 顶 也 在 视 线 上 。 从 后 杆 往 回 走127 步 , 人 的 眼 睛 着 地 , 向 岛 峰 望 去 , 杆 顶 也 在 视 线 上 。 问岛 高 和 岛 离 杆 各 多 少 ? 答 : 岛 高 4 里 55 步 , 岛 离 前 杆 为102 里 150 步 。古 代 的 1 里 是 300 步 ,1 步 =6 尺 =0.6 丈 , 据 图 21 即可 算 出 h=4 里 55 步 ,d =102 里 150 步 。将 图 2l 与 图 20 对 照 , 即 可 看 出 , 刘 徽 测 岛 高 的 方 法 实际 上 也 就 是 赵 爽 测 日 高 的 方 法 。 不 过 , 这 只 是 《 重 差 》 的 开端 , 而 更 精 彩 的 部 分 还 在 后 头 呢 !测 量 学 先 驱刘 徽 的 《 重 差 》 问 世 后 , 立 即 引 起 社 会 上 广 泛 注 目 , 唐 朝选 定 数 学 教 科 书 时 , 将 它 列 为 《 算 经 十 书 之 一 , 另 印 单 行54


本 。 因 为 其 中 第 一 道 题 为 《 望 海 岛 》, 所 以 将 书 名 《 重 差 》 改为 《 海 岛 算 经 》。刘 徽 本 人 将 《 重 差 》 视 为 得 意 之 作 , 他 在 《 九 章 算 术 注 》序 中 用 多 半 篇 幅 叙 述 其 创 作 过 程 和 意 义 , 而 且 明 确 指 出 :“ 凡 望 极 高 、 测 绝 深 而 兼 知 其 远 者 必 用 重 差 ”。 从 刘 徽 本 意和 《 重 差 内 容 看 , 他 所 从 事 的 工 作 实 际 上 属 于 测 量 学 , 在 当时 的 条 件 下 , 可 以 认 为 是 高 水 平 的 , 他 自 己 抱 有 十 足 的 信心 , 他 认 为 “ 虽 天 圆 穹 之 象 犹 日 可 度 , 又 况 泰 山 之 高 与 江 海之 广 哉 !” 说 : 天 的 圆 拱 大 小 都 能 量 得 出 , 那 么 , 量 泰 山 的 高度 及 江 海 的 范 围 也 就 不 在 话 下 了 。《 海 岛 算 经 精 选 九 道 题 , 列 举 九 种 典 型 情 况 的 测 量 问题 , 设 计 了 不 同 条 件 下 应 该 如 何 安 设 测 量 工 具 的 方 法 , 并 且应 用 灵 活 有 趣 的 数 学 原 理 去 求 出 测 量 结 果 。 当 时 , 所 用 的测 量 工 具 是 非 常 简 单 的 , 只 有 木 杆 、 方 尺 、 测 绳 等 , 但 刘 徽 却能 把 握 它 们 的 特 点 , 解 决 许 多 难 题 。刘 徽 将 重 差 术 发 挥 得 淋 漓 尽 致 , 他 的 思 路 深 广 得 很 , 并不 局 限 于 前 人 的 结 果 , 因 此 能 够 展 现 自 己 的 才 华 , 进 一 步 拟些 更 加 复 杂 的 题 目 。 例 如 图 22 所 示 的 《 望 松 》 题 , 要 求 测 出山 上 一 棵 松 树 的 高 度 , 如 按 照 一 般 做 法 , 可 仿 效 图 21, 求 出山 高 , 又 求 出 树 顶 离 地 面 的 高 , 相 减 即 得 。 但 是 , 刘 徽 并 不拘 泥 于 一 般 做 法 , 他 巧 妙 地 利 用 几 个 有 关 数 据 , 只 测 一 次 就把 松 树 的 高 度 确 定 出 来 了 ( 他 测 得 松 树 高 度 为 12 丈 2 尺 8寸 )。55


图 2 2至 于 测 深 , 刘 徽 使 用 两 把 矩 ( 方 尺 ), 称 为 “ 累 矩 法 ”。 例如 , 他 遇 到 要 测 量 谷 深 的 问 题 , 按 图 23, 便 在 岸 上 竖 两 把矩 , 根 据 观 测 所 得 的 有 关 数 据 , 通 过 一 系 列 推 算 , 得 到 谷 深 :图 24 是 更 加 复 杂 的 情 况 , 要 想 测 量 河 流 的 宽 度 , 他 到河 岸 去 竖 两 把 矩 , 测 得 有 关 数 据 后 , 推 导 出 河 流 宽 度 为《 海 岛 经 》 有 极 其 丰 富 的 测 量 学 内 容 , 都 是 应 用 灵 活机 动 的 技 巧 来 解 决 “ 可 望 而 不 可 及 ” 问 题 , 它 提 供 了 测 量 高 、远 、 深 、 广 的 各 种 方 法 。 刘 徽 归 纳 他 的 方 法 说 :“ 度 高 者 重56


表 , 测 深 者 累 矩 , 孤 离 者 三 望 , 离 而 又 旁 求 者 四 望 。 触 类 而长 之 , 则 虽 幽 遐 诡 伏 , 靡 所 不 入 。” 意 思 是 说 : 测 量 高 度 利 用两 根 杆 , 测 量 深 度 用 两 把 矩 , 数 据 不 足 的 测 三 次 , 数 据 不 足而 需 求 别 的 指 标 时 测 四 次 。 根 据 具 体 类 型 灵 活 掌 握 , 再 神秘 的 难 题 也 能 解 决 。刘 徽 用 重 差 术 进 行 测 量 的 造 诣 之 深 大 大 超 过 当 时 的 西方 , 即 使 是 16、17 世 纪 西 方 的 测 量 术 , 比 起 他 来 , 也 是 望 尘莫 及 。《 海 岛 算 经 》 中 有 许 多 构 思 独 特 的 题 目 , 即 使 是 具 有先 进 测 量 学 理 论 的 今 天 , 仍 是 非 常 引 人 入 胜 和 耐 人 寻 味 的 。刘 徽 在 测 量 学 术 上 有 如 此 杰 出 的 贡 献 , 被 推 崇 为 测 量 学 先图 2357


图 24驱 是 当 之 无 愧 的 。觅 得 金 针 度 与 人“ 今 有 鳖 臑 , 下 广 五 尺 , 无 袤 , 上 袤 四 尺 , 无 广 , 高 七 尺 。问 积 几 何 ? 答 曰 : 二 十 三 尺 少 半 尺 。 术 日 : 广 袤 相 乘 , 以 高乘 之 , 六 而 一 。”这 是 《 九 章 算 术 》 中 《 商 功 》 章 的 一 道 求 体 积 题 。 鳖 臑 下部 有 宽 无 长 , 上 部 有 长 无 宽 , 这 是 一 种 什 么 样 的 图 形 呢 ? 真是 令 人 费 解 !要 是 道 破 了 , 便 不 是 什 么 神 秘 的 图 形 , 它 不 过 是 一 种 底面 为 直 角 三 角 形 而 有 一 棱 与 底 面 垂 直 的 锥 体 , 形 似 “ 鳖 肘 ”58


而 已 。 根 据 书 中 的 “ 术 ”, 求 积 公 式 是 “ 宽 、 长 相 乘 , 再 乘 高 ,被 6 除 。”可 是 ,《 九 章 算 术 》 并 没 有 “ 道 破 ”, 于 是 , 人 们 在 研 究 该书 的 数 理 精 义 时 , 遇 到 类 似 疑 难 之 处 , 当 百 思 不 得 一 解 之余 , 便 会 埋 怨 作 者 , 说 是 “ 鸳 鸯 绣 出 从 君 看 , 不 把 金 针 度 与人 ”。刘 徽 所 进 行 的 工 作 就 是 去 寻 觅 “ 金 针 ”, 以 便 交 付 世 人 ,让 大 家 都 知 道 “ 鸳 鸯 ” 是 怎 么 绣 出 来 的 。 他 研 究 《 九 章 算 术 》坚 持 了 很 长 时 间 , 他 认 为 基 本 功 是 很 重 要 的 , 因 此 从 阴 阳 割裂 、 算 术 根 源 开 始 , 逐 渐 深 化 ; 他 分 析 数 学 内 容 , 深 悟 “ 事 类相 推 , 各 有 攸 归 , 故 枝 条 虽 分 而 同 本 干 者 , 知 发 其 一 端 而已 。” 这 样 的 哲 理 真 谛 ; 他 又 根 据 数 学 这 门 学 科 的 特 点 , 制 订一 套 研 究 方 法 :“ 又 所 析 理 以 辞 , 解 体 用 图 , 庶 亦 约 而 能 周 ,通 而 不 黩 , 览 之 者 思 过 半 矣 !” 意 思 是 说 , 问 题 解 法 的 理 论 分析 , 要 用 明 确 的 语 言 表 达 出 来 ; 空 间 形 体 的 具 体 分 解 , 要 用几 何 图 形 显 示 出 来 , 这 样 才 能 做 到 既 简 且 明 , 便 于 理 解 而 判断 准 确 , 读 者 一 看 , 便 明 白 一 大 半 了 。《 九 章 算 术 》 本 身 提 供 了 许 多 数 学 方 法 , 刘 徽 都 把 它 们详 细 解 剖 , 使 读 者 看 后 能 够 举 一 反 三 。 例 如 他 在 注 中 对 原书 关 于 不 同 分 母 的 分 数 相 加 或 相 减 情 况 的 处 理 , 提 出 一 种“ 齐 同 术 ”:“ 凡 母 互 乘 子 谓 之 齐 , 群 母 相 乘 谓 之 同 。 同 者 , 相与 通 同 共 一 母 也 ; 齐 者 , 子 与 母 齐 , 势 不 可 失 本 数 也 。” 明 确地 提 供 分 数 相 加 或 相 减 的 通 分 方 法 。 以 后 他 又 将 齐 同 术 予59


以 发 挥 引 申 , 用 于 解 方 程 组 : 要 消 去 两 个 代 数 等 式 中 的 某 一项 , 必 须 先 使 二 等 式 中 要 消 去 的 那 项 数 字 相 同 , 其 各 项 与 它相 齐 , 然 后 进 行 加 减 相 消 。《 九 章 算 术 》 中 《 粟 米 》 章 第 一 术 是 “ 今 有 术 ”:“ 以 所 有 数乘 所 求 率 为 实 , 以 所 有 率 为 法 , 实 如 法 而 一 。” 即今 有 术 实 际 上 就 是 四 项 比 例 算 法 , 而 刘 徽 却 对 它 有 特殊 的 深 刻 认 识 , 说 “ 此 都 术 也 ”( 都 术 —— 通 法 ), 他 阐 述 一 系列 见 解 , 将 它 演 化 推 广 , 巧 妙 地 作 为 一 种 普 遍 方 法 , 应 用 于许 多 种 类 型 的 题 目 , 成 为 多 题 一 解 的 范 例 。刘 徽 对 方 程 理 论 、 开 立 方 术 等 也 有 独 到 见 解 。 他 勇 于探 索 的 精 神 特 别 表 现 在 苦 寻 金 针 的 行 动 上 , 为 此 , 千 秋 万 代永 志 后 人 心 上 。所 求 数 =所 求 率 × 所 有 数所 有 率60


秦 九 韶 —— 变 枯 燥 乏 味为 妙 趣 横 生( 数 之 为 用 ) 大 则 可 以 通 神 明 、 顺 性 命 , 小 则 可 以 经 世务 、 类 万 物 , 讵 容 以 浅 近 窥 哉 ?—— 秦 九 韶 ——乱 世 才 子公 元 13 世 纪 到 来 时 , 南 宋 君 臣 偏 安 一 隅 , 灯 红 酒 绿 , 醉生 梦 死 , 把 国 事 、 政 务 抛 到 九 霄 云 外 。 这 时 , 北 方 的 蒙 古 族厉 兵 秣 马 , 虎 视 眈 眈 , 在 宋 宁 宗 开 禧 二 年 , 即 公 元 1206 年 ,终 于 导 致 成 吉 思 汗 建 立 蒙 古 汗 国 的 现 实 。眼 见 赵 宋 气 数 将 尽 , 北 军 步 步 南 逼 , 而 朝 廷 却 依 然 无 所作 为 , 于 是 盗 匪 四 起 , 官 叛 民 变 , 神 州 大 地 一 派 凋 蔽 衰 落 景象 。1202 年 , 四 川 巴 州 太 守 秦 季 栖 喜 得 贵 子 。 这 孩 子 从 小聪 明 伶 俐 , 很 得 父 母 欢 心 , 秦 太 守 为 官 多 年 , 虽 无 特 殊 功 绩 ,倒 也 政 通 人 和 。 公 务 之 余 , 诗 酒 自 娱 , 尤 其 在 教 习 儿 子 方 面更 是 下 大 功 夫 , 只 盼 望 将 来 能 够 早 登 龙 门 。61


然 而 , 好 景 不 长 。1219 年 , 四 川 北 部 一 带 宋 军 作 乱 , 攻克 巴 州 等 地 , 秦 季 栖 弃 城 逃 走 , 带 领 全 家 到 达 南 宋 首 都 临 安( 今 杭 州 市 )。 不 久 , 他 在 临 安 先 后 任 工 部 郎 中 和 秘 书 少 监等 官 职 。1225 年 , 被 任 命 为 四 川 潼 川 府 知 府 。古 人 说 : 祸 兮 福 所 倚 。 秦 季 檩 仓 皇 离 开 巴 州 时 , 一 路 上流 离 颠 沛 , 不 胜 苦 楚 ; 到 临 安 时 又 以 失 职 的 待 罪 之 身 去 吏 部报 到 , 心 想 仕 途 到 此 也 就 结 束 了 。 可 是 , 不 曾 料 到 , 朝 廷 看重 他 的 才 学 , 却 做 了 京 官 ; 另 一 方 面 , 他 的 爱 子 九 韶 也 得 以游 历 各 地 , 大 开 眼 界 , 在 长 知 识 的 年 纪 中 , 与 京 都 天 文 历 法家 、 建 筑 师 等 人 多 有 接 触 , 大 大 地 丰 富 了 科 学 技 术 知 识 , 为一 生 从 事 的 科 技 活 动 打 下 坚 实 基 础 。秦 九 韶 , 字 道 古 , 因 随 父 亲 两 度 在 四 川 居 住 , 一 般 考 证为 四 川 安 岳 人 ; 但 由 于 他 的 先 世 祖 居 山 东 滋 阳 、 曲 阜 一 带 ,所 以 自 称 为 “ 鲁 郡 ” 人 。青 年 时 代 的 秦 九 韶 对 文 学 、 武 术 、 游 艺 等 均 有 广 泛 兴趣 , 在 临 安 时 与 著 名 词 人 李 梅 亭 交 往 , 学 到 一 手 华 丽 的 骈 俪诗 词 , 颇 得 时 人 称 赞 。1225 年 跟 随 父 亲 回 四 川 后 , 先 在 乡里 为 义 兵 首 领 , 接 着 又 当 过 县 尉 ; 李 梅 亭 曾 推 荐 他 回 临 安 担任 校 尉 官 , 但 他 没 有 接 受 而 仍 留 在 四 川 。1236 年 , 蒙 古 军 队 南 下 四 川 , 秦 九 韶 开 始 东 撤 , 曾 在 湖北 等 地 做 官 , 后 来 定 居 于 湖 州 ( 今 浙 江 吴 兴 );1244 年 任 建康 府 ( 今 南 京 ) 通 判 ; 约 1254 年 被 任 命 为 建 康 沿 江 制 置 司 参议 , 以 后 又 在 浙 江 、 广 东 等 地 做 过 地 方 官 。62


秦 九 韶 一 生 宦 游 各 地 , 见 闻 广 博 , 兼 之 他 思 想 活 跃 、 生性 技 巧 , 因 此 接 受 各 门 学 科 知 识 都 来 得 快 。 他 又 肯 动 手 、 动脑 , 勤 于 钻 研 , 所 以 星 象 、 音 律 、 算 术 以 及 营 造 等 事 莫 不 精63


究 , 至 于 游 戏 、 毬 、 巴 、 弓 、 剑 等 也 都 样 样 在 行 , 对 文 学 的 修 养功 底 很 深 。当 时 , 秦 九 韶 可 以 称 得 上 是 一 位 通 才 、 全 才 , 无 论 是 社会 科 学 或 自 然 科 学 , 是 文 学 或 武 艺 , 他 都 事 事 在 意 , 无 不 通晓 , 实 是 不 可 多 得 的 才 子 。中 华 数 书 两 姊 妹临 安 城 内 鱼 龙 混 杂 , 三 教 九 流 无 所 不 容 , 秦 九 韶 年 轻 气盛 , 好 学 不 倦 , 什 么 都 想 学 , 却 又 学 不 过 来 。 不 过 , 在 众 多 学科 中 , 他 首 先 看 重 数 学 , 数 学 的 功 能 是 无 穷 的 , 万 般 事 物 全离 不 开 它 , 他 认 为 , 数 学 的 作 用 “ 大 则 可 以 通 神 明 、 顺 性 命 ,小 则 可 以 经 世 务 、 类 万 物 ”, 怎 么 可 以 小 看 它 呢 ?当 时 , 朝 廷 之 中 担 任 天 文 、 历 法 职 务 的 官 员 都 对 数 学 有一 定 造 诣 , 秦 九 韶 常 常 利 用 可 能 的 机 会 去 拜 访 那 些 老 先 生 ,请 求 赐 教 ; 后 来 又 遇 到 一 位 隐 居 的 数 学 家 , 从 他 那 儿 得 益 非浅 , 使 数 学 知 识 大 有 长 进 。1244 年 , 秦 九 韶 任 建 康 府 通 判 时 , 因 母 亲 病 故 , 便 回 湖州 守 孝 , 丁 忧 期 间 , 主 要 从 事 数 学 研 究 ,1247 年 9 月 , 写 成《 数 书 九 章 》 一 书 。秦 九 韶 在 《 数 书 九 章 》 脱 稿 时 , 回 顾 写 作 过 程 , 觉 得 当 时受 蒙 古 军 侵 扰 , 年 年 都 在 兵 乱 中 度 过 , 正 是 由 于 忧 患 重 重 ,经 历 过 许 多 实 际 生 活 , 才 体 验 出 原 来 所 有 事 物 全 离 不 开 数64


学 的 现 实 , 便 立 意 进 一 步 探 索 数 学 的 奥 秘 , 颇 有 心 得 , 于 是 ,就 写 成 这 部 著 作 。《 数 书 九 章 》 是 一 部 划 时 代 的 著 作 , 其 内 容 有 许 多 开 创性 成 果 , 所 谓 “ 能 道 前 人 所 未 道 ”, 因 此 , 几 百 年 来 为 中 外 学者 普 遍 重 视 , 而 秦 九 韶 本 人 也 就 成 为 世 界 数 学 界 名 流 , 跻 身于 具 有 开 拓 性 发 明 的 大 数 学 家 之 列 。《 数 书 九 章 着 重 于 实 际 应 用 。 据 秦 九 韶 在 书 序 中 的 表白 , 他 认 为 , 要 说 是 数 学 可 以 通 神 明 、 顺 性 命 , 这 方 面 自 己 体会 肤 浅 ; 可 是 对 于 一 些 小 问 题 , 也 就 是 日 常 耳 目 所 接 的 问题 , 倒 也 积 累 了 不 少 。 于 是 , 他 精 选 了 81 道 题 , 分 成 9 类 ,介 绍 解 题 方 法 , 列 出 算 草 或 画 图 示 意 。 这 部 书 的 特 点 之 一是 作 者 善 于 结 合 当 地 生 活 和 生 产 需 要 , 使 枯 燥 乏 味 的 数 学变 得 妙 趣 横 生 , 惹 人 喜 爱 和 乐 于 接 触 , 他 说 过 , 这 些 应 用 题虽 然 不 足 于 供 天 下 人 全 部 用 途 , 但 也 可 作 为 消 遣 。为 了 继 承 前 人 成 果 , 秦 九 韶 熟 读 《 九 章 算 术 》, 并 理 解 深透 。 在 提 炼 、 发 挥 的 基 础 上 , 突 出 了 对 《 九 章 算 术 》 的 理 论 性升 华 , 因 此 , 后 人 将 这 两 部 巨 著 比 拟 为 中 华 数 书 两 姊 妹 。《 数 书 九 章 》 内 容 丰 富 、 论 说 新 颖 , 又 由 于 这 81 道 题 构思 风 趣 、 引 人 入 胜 , 所 以 深 受 历 代 学 者 的 喜 爱 。《 数 书 九 章 》共 九 章 , 分 述 九 类 问 题 , 它 们 是 :一 、 大 衍 : 大 衍 是 哲 学 名 词 , 借 用 于 讲 述 一 次 同 余 式 组问 题 。二 、 天 时 : 讲 天 文 、 历 法 以 及 气 象 中 的 数 学 问 题 。65


三 、 田 域 : 各 种 田 亩 的 面 积 计 算 问 题 。四 、 测 望 : 各 种 测 量 问 题 。五 、 赋 役 : 各 种 赋 税 和 用 工 的 数 学 问 题 。六 、 钱 谷 : 征 购 粮 食 和 建 设 仓 库 的 数 学 问 题 。七 、 营 建 : 土 木 建 筑 工 程 中 的 数 学 问 题 。八 、 军 旅 : 军 营 、 阵 形 的 布 置 和 军 需 供 应 的 数 学 问 题 。九 、 市 易 : 商 业 方 面 的 交 易 和 利 息 的 有 关 计 算 问 题 。天 下 第 一 案米 店 失 盗 了 。 总 共 被 偷 去 多 少 米 , 老 板 也 说 不 清 楚 , 他向 县 官 报 案 时 说 :“ 我 的 米 用 三 个 箩 装 , 每 箩 正 好 都 装 满 , 数量 一 样 , 可 是 记 不 得 是 多 少 。 现 在 靠 左 墙 那 箩 只 乘 下 一 合 ,中 间 那 箩 剩 一 升 四 合 , 靠 右 墙 那 箩 剩 一 合 。” 不 久 后 将 小 偷抓 到 了 , 县 官 审 讯 这 甲 、 乙 、 丙 三 贼 , 问 他 们 各 偷 去 多 少 , 都回 说 , 拿 回 家 就 开 始 吃 , 说 不 上 吃 了 多 少 。 再 问 :“ 你 们 是 怎么 偷 的 ?” 甲 说 :“ 那 天 晚 上 , 我 摸 到 一 个 马 勺 , 便 往 左 箩 里 舀米 , 每 次 都 舀 满 了 装 进 布 袋 。” 乙 说 :“ 我 踢 着 一 只 木 鞋 , 用 它在 中 箩 里 舀 米 装 袋 , 每 次 也 都 舀 满 。” 丙 说 :“ 我 碰 到 一 个 漆碗 , 往 右 箩 里 舀 米 装 袋 , 每 次 也 都 舀 满 。” 于 是 , 县 官 派 人 把这 三 件 物 品 找 来 , 进 行 标 定 的 结 果 是 : 马 勺 装 满 为 一 升 九合 , 木 鞋 装 满 为 一 升 七 合 , 漆 碗 装 满 为 一 升 二 合 。 就 这 样 ,县 官 断 出 米 店 失 盗 的 米 数 , 也 分 别 得 出 甲 、 乙 、 丙 三 贼 所 偷66


的 米 数 。以 上 是 一 则 关 于 县 官 断 案 的 故 事 。 由 于 古 今 中 外 多 少清 官 贤 吏 , 他 们 曾 经 破 解 了 那 么 多 疑 难 案 子 , 可 是 从 来 也 没有 遇 到 过 类 似 这 样 数 学 入 案 的 讼 例 , 所 以 这 个 案 件 可 以 称得 是 “ 天 下 第 一 案 ”。其 实 , 这 则 故 事 是 秦 九 韶 讲 的 , 他 也 提 出 断 案 的 方 法 和过 程 。人 们 注 意 到 , 如 果 知 道 每 箩 原 来 所 装 米 数 , 那 么 问 题 可以 迎 刃 而 解 , 可 是 老 板 却 说 记 不 得 是 多 少 。 另 外 , 箩 的 体 积又 相 当 大 , 虽 说 “ 每 箩 正 好 都 装 满 ”, 但 也 很 难 说 当 初 装 “ 满 ”到 什 么 程 度 , 看 来 , 重 新 标 定 至 以 合 为 单 位 的 误 差 必 然 很大 。 因 此 , 秦 九 韶 在 拟 定 这 道 名 为 《 余 米 推 数 》 的 题 时 , 不 去追 求 每 箩 原 来 所 装 的 米 数 。实 际 上 , 这 是 要 求 回 答 这 样 一 个 问 题 :某 数 被 19、17、12 除 得 的 余 数 分 别 为 1、14、1, 求 该 数 。按 现 代 数 学 语 言 , 设 N 为 每 箩 米 数 ,X、Y 为 某 正 整 数 ,便 有N=12·19x+l=17y+14即 要 求 解 以 下 方 程 :228x-17y=13于 是 , 问 题 也 可 改 写 为 :某 数 被 228、17 除 得 的 余 数 分 别 为 l、14, 求 该 数 。约 在 公 元 1 世 纪 至 3 世 纪 间 , 我 国 有 一 部 《 孙 子 算 经 》67


曾 提 出 一 种 解 决 这 类 问 题 的 方 法 , 应 用 一 则 后 来 被 称 为 “ 中国 剩 余 定 理 ” 的 定 理 :若 某 数 N 分 别 被 d1、 d2、……dn 除 得 的 余 数 为 R1、R2、……R。 则 N 可 表 示 为 下 式 :N=K1R1+K2R2+…+KnRn-ql式 中 K1——d2、 d4……dn 的 公 倍 数 , 而 被 d1 除 得 的 余数 为 1;K2——d1、d3、……dn 的 公 倍 数 , 而 被 d2 除 得 的 余数 为 1;Kn——d1、d2、……dn-1 的 公 倍 数 , 而 被 dn 除 得 的余 数 为 1;q—— 根 据 题 意 确 定 的 整 数 ;l——d1、d2、……dn 的 最 小 公 倍 数 。应 用 这 则 定 理 在 于 求 出 K1、K2、……, 人 们 为 探 明 它们 的 求 法 经 历 了 将 近 一 千 年 , 直 至 秦 九 韶 在 《 数 书 九 章 》 中介 绍 他 发 明 的 “ 大 衍 求 一 术 ” 问 世 , 这 才 如 见 天 日 。对 于 《 余 米 推 数 》 题 ,K1(17 的 倍 数 , 而 被 228 除 得 的 余数 为 1) 等 于 2737,K2(228 的 倍 数 , 而 被 17 除 得 的 余 数 为1) 等 于 1140( 读 者 如 对 大 衍 求 一 术 感 兴 趣 , 可 参 阅 本 书 作者 所 著 《 不 定 方 程 趣 谈 》 一 书 , 该 书 为 1979 年 辽 宁 人 民 出 版社 出 版 ), 代 入 中 国 剩 余 定 理 得N=2737×1+1140×14-q·228·1768


即 N=18697-3876q( 应 取 正 数 )秦 九 韶 在 《 数 书 九 章 》 中 给 出 答 案 :“ 共 失 米 九 石 五 斗 六升 三 合 ; 甲 偷 米 三 石 一 斗 九 升 二 合 ; 乙 偷 米 三 石 一 斗 七 升 九合 ; 丙 偷 米 三 石 一 斗 九 升 二 合 。” 系 取 N 的 最 小 值 :q=4,N=3193 合 。故 弄 “ 玄 虚 ”在 一 座 圆 形 城 堡 前 , 两 个 朋 友 相 遇 了 。“ 这 座 圆 城 的 周 长 和 直 径 是 多 少 呢 ?” 甲 忽 然 向 乙 提 出问 题 , 使 得 乙 不 知 所 措 —— 常 在 城 里 走 动 , 却 从 来 没 有 想 过这 问 题 。于 是 , 甲 提 议 采 取 测 量 的 方 法 解 决 : 出 北 门 往 正 北 三 里处 不 是 有 一 棵 大 树 吗 ? 我 们 二 人 一 起 出 南 门 便 朝 东 走 , 一边 走 、 一 边 往 西 北 方 向 回 看 , 一 直 走 到 恰 好 能 望 见 那 棵 大 树为 止 , 那 么 , 就 能 够 算 出 城 径 是 多 少 ; 再 用 城 径 乘 以 圆 周 率( 可 近 似 地 取 为 古 率 了 ), 也 就 得 到 周 长 了 。秦 九 韶 根 据 以 上 设 想 拟 了 一 道 《 遥 度 圆 城 》 题 :“ 问 有 圆城 不 知 周 径 , 四 门 中 开 。 北 外 三 里 有 乔 木 , 出 南 门 便 折 东 行九 里 , 乃 见 木 。 欲 知 城 周 、 径 各 几 何 。 圆 用 古 法 。”根 据 秦 九 韶 的 答 案 , 城 的 直 径 为 9 里 。 他 所 给 的 最 后方 程 是 一 个 不 含 奇 次 项 的 十 次 方 程 , 解 十 次 方 程 叫 做 “ 开 玲珑 九 乘 方 ”。 方 程 为69


x10+15x8+72x6-864x4-11664x2-34992=0不 想 在 《 数 书 九 章 》问 世 五 百 多 年 后 , 清 代数 学 家 李 锐 (1769—1817) 却 指 出 “ 此 题 非 甚难 者 , 乃 取 至 九 乘 方 , 盖未 得 其 要 也 ”。 意 思 是说 , 这 题 并 不 难 , 却 建 立了 十 次 方 程 , 是 因 为 他没 有 掌 握 建 立 方 程 的 要领 。 于 是 , 李 锐 提 出 他的 方 法 : 见 图 25, 出 北门 A, 向 北 走 三 里 有 乔木 B; 出 南 门 C, 一 出 门就 往 东 , 走 九 里 至 D 见木 , 即 BD 为 圆 城 的 切线 。 如 果 求 出 直 径 x,也 就 得 到 周 长 了图 25见 图 25 的 下 图 , 切 点 为 E, 则 因 △BCD 与 △BEO 相似 , 故 有BD∶BO=CD∶EO即 ∶(a+ )=b∶70


整 理 得x4+2ax3+a2x2-4ab2x-4a2b2=0这 样 , 用 a=3、b=9 代 入 得 方 程 :x4+6x3+9x2-972x-2916=0解 得 x=9, 即 城 径 9 里 , 城 周 27 里 。于 是 , 李 锐 用 四 次 方 程 代 替 秦 九 韶 的 十 次 方 程 , 确 实 是简 单 多 了 。不 过 , 李 锐 如 果 进 一 步 观 察 这 个 四 次 方 程 , 便 可 知 道 ,当 z= 一 n 时 , 等 式 左 边 等 于 零 , 可 去 掉 因 子 X+a, 那 么 ,四 次 方 程 则 可 简 化 为 三 次 方 程 :x3+ax2-4ab2=0用 a=3、b=9 代 入 得 方 程 :x3+3x2-972=0既 然 如 此 , 那 么 , 如 果 秦 九 韶 不 是 像 李 锐 所 说 的 那 样“ 未 得 其 要 ”, 也 就 是 在 故 弄 “ 玄 虚 ”, 到 底 是 怎 么 回 事 ? 另 一方 面 , 他 又 是 用 什 么 办 法 得 到 那 个 十 次 方 程 的 呢 ?一 鸣 惊 人话 说 北 宋 期 间 , 任 宰 相 的 才 子 王 安 石 在 某 年 秋 天 写 首《 咏 菊 》 诗 , 头 两 句 是 :西 风 昨 夜 过 园 林 吹 落 黄 花 满 地 金正 好 苏 东 坡 去 王 家 做 客 , 看 了 这 诗 句 , 心 想 , 菊 花 在 深71


秋 开 放 , 与 春 天 开 花 的 桃 、 李 不 同 , 只 会 在 枝 上 枯 萎 , 哪 能 被西 风 吹 落 ? 分 明 是 作 者 缺 乏 生 活 经 验 。 于 是 , 便 续 了 两 句 :秋 花 不 比 春 花 落 说 与 诗 人 仔 细 吟王 安 石 见 了 也 不 声 响 。 不 久 , 苏 东 坡 被 派 去 黄 州 工 作 ,亲 眼 看 到 那 儿 的 菊 花 却 是 被 风 吹 落 地 的 , 顿 时 恍 然 大 悟 。一 件 作 品 的 形 成 通 常 需 要 作 者 经 过 深 刻 构 思 才 能 得到 , 他 人 切 不 可 未 经 慎 重 理 解 就 妄 加 评 点 。 幸 好 , 王 安 石 向后 人 做 了 交 待 , 免 除 对 他 脱 离 实 际 的 讥 议 。 然 而 , 秦 九 韶 则不 同 , 他 的 《 遥 度 圆 城 》 的 解 法 中 为 什 么 弃 简 就 繁 , 并 没 有 剖白 , 果 真 是 没 有 找 到 更 加 简 化 的 方 法 吗 ?明 显 地 看 出 , 他 那 十 次 方 程 降 为 五 次 方 程 是 轻 而 易 举的 , 只 需 用 y 代 替 x2 即 可 , 但 他 为 什 么 又 不 这 样 做 呢 ?秦 九 韶 的 本 意 究 竟 如 何 , 不 得 而 知 , 因 为 他 没 有 留 给 后人 以 建 立 方 程 的 步 骤 或 思 路 。 不 过 , 有 一 种 比 较 合 理 的 解释 似 乎 容 易 被 人 们 所 置 信 , 这 种 解 释 联 系 到 他 的 一 项 重 大创 见 。对 于 解 高 次 方 程许 多 前 人 有 过 深 入 探 索 的 经 历 , 秦 九 韶 总 结 和 发 扬 了 以 往的 开 方 法 , 有 系 统 地 应 用 到 任 意 次 方 程 的 有 理 或 无 理 根 的求 解 上 去 , 形 成 一 套 完 整 的 体 系 —— 后 人 称 为 “ 秦 九 韶 求 实根 法 ”。72


秦 九 韶 将 自 己 的 方 法 称 为 “ 正 负 开 方 术 ”, 这 个 影 响 深刻 的 发 明 一 鸣 惊 人 , 解 决 了 许 多 实 际 应 用 问 题 。 而 在 西 方 ,同 样 方 法 是 英 国 人 霍 纳 (1786—1837) 在 1819 年 首 次 发 表的 , 称 为 “ 霍 纳 法 ”, 比 秦 九 韶 晚 572 年 。秦 九 韶 在 《 数 书 九 章 》 中 构 造 了 21 个 用 方 程 求 解 的 题目 , 这 些 题 目 牵 涉 到 26 个 二 次 或 高 于 二 次 的 数 字 方 程 , 方程 原 题 实 用 、 有 趣 , 也 包 括 《 遥 度 圆 城 》 这 个 十 次 方 程 。 那么 , 人 们 有 理 由 揣 测 , 秦 九 韶 是 为 了 举 一 个 相 当 高 次 的 例子 , 特 地 造 出 一 个 十 次 方 程 , 以 说 明 应 用 正 负 开 方 术 解 高 次方 程 的 普 遍 意 义 ( 关 于 “ 秦 九 韶 求 实 根 法 ”, 可 参 阅 本 书 作 者所 著 《 中 华 古 数 学 巡 礼 》 一 书 , 该 书 为 1984 年 辽 宁 人 民 出 版社 出 版 )。至 于 那 个 十 次 方 程 是 用 什 么 办 法 得 到 的 , 对 秦 九 韶 来说 , 拟 就 《 遥 度 圆 城 》 这 道 题 就 是 煞 费 苦 心 的 。 不 过 , 秦 九 韶智 慧 过 人 , 又 “ 性 极 机 巧 ”, 能 够 设 计 这 样 一 个 方 程 , 也 是 在人 们 意 料 之 中 。 人 们 设 想 , 他 可 以 用 x2 表 示 三 次 方 程 中的 x, 便 有x6+3x4-972=0这 样 , 他 可 以 用 任 意 一 个 含 四 次 项 的 因 子 去 乘 以 上 方程 , 而 他 是 用 (x2+6)2 去 乘 的 , 便 有(x2+6)2(x6+3x4-972)=0展 开 后 得 到 前 面 那 个 十 次 方 程 。但 是 , 这 种 构 思 毕 竟 牵 强 附 会 , 于 是 , 有 不 少 人 对 《 遥 度73


圆 城 》 的 建 立 方 程 思 路 进 行 探 讨 , 用 图 26 的 方 法 是 比 较 精彩 的 一 例 :设 圆 的 直 径 为 x 2 , 过 O 作 C D 的 平 行 线 O G , 由△OEB 与 △GOB 相 似 知又 从 △GOB 与 △DCB 相 似 知由 OG 的 两 种 表 达式 得 到x4(X2+2a)2(x2+a)-4ab2(x2+2a)2=0用 a=3、 b=9 代 入就 得 到 以 上 秦 九 韶 提 供的 十 次 方 程 。 但 是 , 这种 方 法 也 难 说 能 与 秦 九韶 的 愿 意 相 符 合 。 图 2 674


土 木 工 程 师秦 九 韶 早 年 跟 随 父 亲 到 了 京 都 , 这 临 安 城 里 车 水 马 龙 ,极 尽 人 间 繁 华 。 当 时 , 他 虽 然 也 算 是 一 个 公 子 哥 儿 , 多 少 感染 一 些 官 宦 人 家 子 弟 的 习 气 , 可 是 , 他 是 个 有 心 人 , 对 社 会上 各 种 生 活 和 景 观 事 事 在 意 。临 安 给 人 的 一 种 特 殊 印 象 , 就 是 房 屋 建 筑 鳞 次 栉 比 , 那些 堂 榭 楼 台 的 雕 梁 画 栋 , 委 实 令 人 目 不 暇 给 , 对 于 秦 九 韶 这样 一 个 好 学 勤 问 的 青 年 , 关 于 土 木 建 筑 的 机 理 和 学 识 , 自 然不 肯 放 过 。 他 的 父 亲 在 临 安 时 , 当 过 一 段 时 期 的 工 部 郎 中( 相 当 于 现 代 建 设 部 的 中 级 干 部 ), 这 正 是 他 学 习 房 屋 建 筑设 计 和 施 工 技 术 的 极 好 机 会 。 因 为 工 部 职 掌 天 下 城 郭 、 宫室 、 舟 车 、 山 泽 、 苑 囿 、 河 渠 之 政 , 而 工 部 郎 中 又 是 具 体 管 理营 缮 等 方 面 工 作 的 , 因 此 , 秦 九 韶 既 有 机 会 阅 看 到 民 间 难 觅的 建 筑 书 籍 、 接 触 朝 廷 中 广 闻 博 见 的 建 筑 设 计 大 师 们 , 又 有机 会 观 赏 到 京 都 各 处 的 著 名 建 筑 物 、 到 施 工 工 地 去 了 解 各项 营 造 技 术 。 就 这 样 , 秦 九 韶 积 累 了 丰 富 的 土 木 建 筑 知 识 ,在 理 论 和 实 践 方 面 均 有 很 深 造 诣 。在 城 池 、 高 台 的 建 造 结 构 上 , 秦 九 韶 采 用 坚 固 可 靠 又 合乎 力 学 概 念 的 “ 石 基 、 木 骨 、 土 心 、 砖 包 ” 型 式 , 为 了 使 读 者 有定 量 认 识 , 他 在 《 数 书 九 章 第 七 章 中 专 论 营 建 计 算 ; 对 于 通往 高 台 的 梯 道 , 他 设 计 了 螺 旋 盘 道 , 根 据 具 体 布 置 的 特 征 ,75


详 细 介 绍 了 周 长 、 梯 宽 、 平 台 规 格 、 履 高 等 的 尺 寸 指 标 , 并 对梯 道 的 转 向 、 升 坡 等 布 设 也 做 相 应 描 述 ; 塔 的 构 造 是 秦 九 韶熟 悉 的 , 他 突 出 地 采 用 塔 心 木 为 主 要 承 重 构 件 的 方 案 ; 秦 九韶 还 很 注 重 推 广 建 造 浮 桥 的 经 验 , 他 想 到 “ 行 师 遇 水 , 须 计篾 缆 , 搭 造 浮 桥 ”, 专 门 拟 就 了 《 陡 岸 测 水 》 题 , 论 述 有 关 计 算事 宜 。 称 为 土 木 工 程 师 , 他 是 当 之 无 愧 的 。房 屋 建 筑 是 秦 九 韶 最 拿 手 的 项 目 , 在 《 数 书 九 章 》 的 《 临台 测 水 题 中 , 附 有 建 筑 物 的 侧 视 图 , 有 直 棂 窗 、 栏 杆 、 台 基石 等 各 细 部 描 绘 。 后 来 , 他 在 湖 州 定 居 时 , 选 择 一 处 环 境 优美 的 所 在 , 自 己 设 计 和 建 造 了 一 座 七 开 间 的 住 宅 , 装 饰 非 常精 美 , 有 砖 砌 的 瓦 脊 、 两 晕 ( 屋 脊 两 端 鸱 吻 )、 搏 风 ( 屋 顶 山 墙的 装 饰 ) 等 。在 建 筑 施 工 方 面 , 对 材 质 选 用 、 工 料 预 算 以 及 运 输 计 程等 也 都 有 别 出 心 裁 的 独 到 见 地 。 在 施 工 过 程 中 , 他 会 经 常将 遇 到 的 问 题 与 数 学 联 系 起 来 , 并 巧 妙 地 拟 就 兴 味 盎 然 的趣 题 , 例 如 有 一 道 《 推 计 土 功 》 题 是 这 样 的 :有 一 项 筑 堤 任 务 , 要 求 筑 宽 2 丈 的 堤 一 段 , 由 甲 、 乙 、丙 、 丁 四 县 平 均 分 摊 。 各 县 民 工 数 由 该 县 财 力 多 少 确 定 , 按每 770 贯 出 一 名 计 ; 已 知 甲 、 乙 、 丙 、 丁 各 县 财 力 分 别 为138600 贯 、146300 贯 、192500 贯 、184800 贯 。 规 定 每 名 民工 每 日 修 堤 的 底 面 积 应 达 60 平 方 尺 ; 并 说 明 民 工 先 到 的 县先 动 工 。 现 在 已 知 施 工 进 度 为 : 当 甲 、 乙 两 县 完 工 时 , 丙 县尚 差 51 丈 , 丁 县 差 18 丈 , 这 两 个 数 都 不 到 他 们 各 自 一 日 的76


工 作 量 。 问 堤 段 任 务 的 总 长 是 多 少 ?这 道 题 可 归 结 为 这 样 的 问 题 :某 数 为 18 和 19 的 倍 数 , 被 25、24 除 得 的 余 数 分 别 为17、6, 求 该 数 。于 是 , 秦 九 韶 所 发 明 的 大 衍 求 一 术 就 派 上 用 场 了 。 不过 , 题 目 的 答 案 有 无 穷 多 个 , 而 一 般 情 况 下 是 取 最 小 的 那 个数 。继 承 与 发 展某 日 , 秦 九 韶 与 友 人 在 一 楼 台 上 饮 酒 赋 诗 , 观 赏 周 围景 色 。 在 酒 酣 耳 热 之 际 , 步 出 户 外 , 凭 栏 眺 望 , 谈 起 前 人有 关 测 高 望 远 之 术 , 兴 味 甚 浓 。 对 于 刘 徽 的 名 著 《 海 岛 算经 》, 他 是 神 通 心 至 的 , 他 认 为 ,《 海 岛 算 经 》 的 学 术 水 平固 然 很 高 , 但 它 拘 于 “ 用 矩 之 道 ”, 有 一 定 的 局 限 性 , 而如 果 能 够 加 以 灵 活 变 通 , 并 予 扩 充 发 展 , 那 么 , 必 定 会 有更 广 泛 的 应 用 性 。于 是 , 他 即 兴 地 指 着 楼 台 外 那 道 小 河 说 :“ 就 拿 小 河 的流 水 看 , 如 果 水 位 高 低 经 常 变 化 , 要 知 道 水 面 升 降 和 漫 堤 的情 况 , 只 需 有 少 量 固 定 标 志 的 尺 寸 , 人 在 楼 台 上 , 便 可 以 随时 测 出 所 要 求 的 有 关 数 据 。” 当 时 , 他 拟 了 一 道 《 临 台 测 水 》题 ( 见 图 27):水 边 有 一 座 城 台 , 台 高 (AB)3 丈 , 在 上 面 建 楼 ; 在 护 坡77


上 打 桩 , 桩 离 台 脚 (CB)1 丈 2 尺 , 露 出 地 面 (CD)5 尺 , 顶 端与 台 脚 齐 平 。 涨 水 时 , 水 位 达 到 与 台 脚 一 样 的 高 度 。 现 在不 知 道 水 退 去 多 少 , 有 一 个 人 从 楼 上 栏 杆 空 隙 处 挑 出 一 根竿 子 , 竿 的 端 部 (A) 与 台 脚 构 成 垂 直 方 向 , 望 到 水 边 (G),视 线 通 过 竿 的 端 部 , 这 时 , 人 站 立 的 地 方 离 竿 端 (AE)4 尺 1寸 5 分 , 眼 睛 离 楼 面 的 高 度 (FE)5 尺 。 那 么 , 水 退 去 的 深度 和 台 脚 至 水 边 的 斜 长 分 别 为 多 少 呢 ?图 27秦 九 韶 给 出 的 答 案 是 : 水 退 去 的 深 度 为 15尺 , 台78


脚 至 水 边 的 斜 长 为 41 尺 。秦 九 韶 继 承 了 前 人 的 测 望 术 , 并 发 挥 自 己 的 创 造 性 , 在《 数 书 九 章 》 第 四 章 中 专 论 有 关 测 望 的 数 学 问 题 。 他 除 了 引用 重 差 术 的 理 论 之 外 , 着 重 地 沟 通 了 测 望 术 与 代 数 学 之 间的 关 系 , 特 别 是 加 强 了 数 字 高 次 方 程 解 法 的 研 究 , 如 《 遥 度圆 城 题 中 所 构 造 的 十 次 方 程 便 是 一 例 。对 于 测 望 术 的 示 例 , 类 似 《 遥 度 圆 城 处 理 方 式 的 并 非个 别 , 例 如 在 《 望 敌 圆 营 》 题 解 中 , 他 得 到 一 个 数 字 复 杂 的 四次 方 程 :-x4+1534464x2-526727577600=0显 然 , 这 个 方 程 不 含 奇 次 项 , 可 降 为 二 次 方 程 求 解 , 但秦 九 韶 却 不 这 样 做 。不 过 , 在 《 望 敌 圆 营 》 题 内 , 由 于 秦 九 韶 在 建 立 方 程 的 步骤 过 程 中 有 疏 误 , 所 以 虽 然 求 出 的 根 值 720 是 正 确 的 , 却 不是 本 题 的 解 。三 斜 求 积临 安 城 是 南 宋 的 政 治 、 经 济 、 文 化 、 科 学 中 心 , 虽 然 宋 朝气 数 将 尽 , 统 治 阶 层 日 益 没 落 腐 败 , 但 是 正 常 吏 治 仍 然 是 要进 行 的 , 州 府 的 建 设 方 案 和 措 施 还 是 依 靠 朝 廷 的 有 司 给 予指 导 。79


当 时 , 天 下 的 田 地 面 积 要 进 行 普 查 测 量 , 就 联 系 到 计 算田 亩 的 问 题 。 对 于 三 角 形 面 积 , 历 来 的 传 统 方 法 是 按 照 《 九章 算 术 》 的 “ 圭 田 求 积 ” 的 公 式 计 算 , 这 公 式 就 是 人 们 熟 知 的“ 底 乘 高 的 一 半 ”。在 《 九 章 算 术 》 问 世 前 几 百 年 , 早 已 经 传 有 “ 过 直 线 外 一点 作 该 线 垂 线 ” 的 技 术 , 确 定 三 角 形 某 边 的 高 是 不 成 问 题的 。 但 是 , 在 实 践 中 逐 渐 发 现 “ 圭 田 求 积 ” 公 式 的 局 限 性 : 测量 “ 高 ” 的 操 作 过 程 繁 琐 , 又 容 易 出 现 较 大 误 差 ; 还 有 某 种 困难 条 件 , 譬 如 说 , 这 块 土 地 上 有 障 碍 物 ( 树 、 土 堆 、 水 坑 等 ) 无法 作 出 垂 线 , 就 不 能 得 到 三 角 形 面 积 。在 与 进 京 的 地 方 官 接 触 时 , 秦 九 韶 不 止 一 次 地 听 到 基层 人 员 诉 说 的 苦 衷 , 于 是 他 想 , 如 果 避 开 作 垂 线 的 工 序 , 径用 三 角 形 的 三 边 长 度 计 算 , 那 就 方 便 多 了 。 秦 九 韶 根 据 “ 三角 形 的 三 边 长 度 一 旦 确 定 , 三 角 形 本 身 也 就 确 定 ” 这 样 一 个原 理 , 经 过 悉 心 研 究 , 终 于 推 导 成 一 个 用 三 边 表 示 的 三 角 形面 积 计 算 公 式 , 写 进 《 数 书 九 章 》 的 第 三 章 中 。 他 拟 了 一 道著 名 的 《 沙 田 求 积 》 题 , 全 文 如 下 :“ 问 沙 田 一 段 , 其 小 斜 一 十 三 里 , 中 斜 一 十 四 里 , 大 斜 一十 五 里 。 里 法 三 百 步 。 欲 知 为 田 几 何 ?”秦 九 韶 将 三 角 形 的 三 边 分 别 称 为 小 斜 、 中 斜 和 大 斜 , 绘一 幅 图 ( 见 图 28); 说 明 1 里 等 于 300 步 , 求 得 答 案 为 “ 田 积三 百 一 十 五 顷 ”(1 顷 =100 亩 ,1 亩 =240 平 方 步 )。秦 九 韶 推 导 的 “ 三 斜 求 积 ” 公 式 后 来 被 称 为 “ 秦 九 韶 公80


式 ”, 以 现 代 数 学 符 号 表 示 :S 为 面 积 ,a、b、C 为 三 边 ,就 是以 a、b、c 取 值 为 13、14、15( 不 一 定 按 大 、 中 、 小 的 顺序 ), 代 入 公 式 即 得 S=84。图 28的 海 伦 公 式 比 较 , 形 式 上 不 如 后 者 优 美 , 但 在 某 些 应 用 范围 , 却 表 现 出 解 题 能 力 的 独 特 性 。19 世 纪 美 国 数 学 游 戏 大师 洛 伊 德 (1841—1911) 在 一 篇 《 湖 泊 的 难 题 》 文 中 写 道 :“…… 莱 克 坞 拍 卖 市 场 正 在 拍 卖 一 块 土 地 , 可 是 由 于 在 交 易中 出 现 了 一个 不 寻 常 的难 题 , 使 我空 手 而 归 。…… 这 是 有三 块 正 方 形的 田 地 , 中 间还 有 一 个 三角 形 的 内 湖( 图 29, 图 中81图 29


未 标 明 面 积 单 位 ), 既 然 湖 泊 与 土 地 要 同 时 拍 卖 , 我 和 其 他竞 争 者 一 样 , 都 想 算 一 算 它 的 面 积 究 竟 有 多 大 。…… 计 算并 不 难 , 我 的 结 果 是 一 个 不 尽 小 数 , 而 卖 主 却 说 是 整 数 。 就这 样 相 持 不 下 。……”据 以 下 海 伦 公 式 , 需 无 求 出 a、b、c 和 P( 三 角 形 周 长之 半 ), 这 几 个 数 便 不 是 整 数 。用 海 伦 公 式 求 得 S 等 于 10.988…… 而 用 秦 九 韶 公 式计 算 过 程 简 单 很 多 , 且 能 得 到 整 数 ( 是 准 确 的 数 )11。《 沙 田 求 积 题 提 供 了13、14、15 三 个 数 , 它 们 能 使S 成 为 整 数 84, 这 也 是 极 不容 易 的 。 后 人 将 边 长 为 相 继自 然 数 、 面 积 为 整 数 的 三 角形 称 为 “ 秦 九 韶 三 角 形 ”, 那三 边 的 数 称 为 “ 秦 九 韶 数 ”。构 造 “ 秦 九 韶 三 角 形 ” 表明 秦 九 韶 的 高 度 智 慧 , 如 果 利 用 “ 秦 九 韶 公 式 ” 作 一 番 巧 妙的 演 化 , 就 可 以 求 得 各 组 “ 秦 九 韶 数 ” 为 3、4、5,13、14、15,51、52、53,193、194、195,…… 相 应 的 “ 秦 九 韶 三 角 形 ” 面 积为 6,84,1170,16296,……82


一 错 再 错秦 九 韶 生 性 机 灵 , 思 想 敏 捷 , 他 的 许 多 名 题 都 是 触 景 即兴 而 就 , 妙 趣 横 生 。 但 是 , 往 往 由 于 求 成 心 切 , 思 索 欠 周 , 将题 目 和 解 法 确 定 下 来 之 后 , 未 能 进 一 步 做 慎 重 的 校 核 , 以 致屡 屡 出 现 疏 误 , 使 得 后 人 对 他 的 著 作 作 注 时 费 煞 脑 筋 , 这 也是 他 作 为 一 位 大 数 学 家 所 欠 缺 的 一 面 。一 日 , 秦 九 韶 漫 游 佛 寺 , 在 一 座 高 塔 前 面 , 听 得 众 人 议论 纷 纷 , 大 意 是 说 , 这 座 塔 太 老 旧 了 , 再 不 维 修 , 不 久 后 就 会倒 塌 , 可 是 , 最 重 要 的 是 更 换 塔 心 木 , 人 又 不 能 进 危 塔 中 测量 , 那 么 , 塔 心 木 得 按 多 高 备 料 呢 ?秦 九 韶 听 着 , 经 过 一 段 时 间 的 思 考 , 认 为 这 问 题 还 是 好解 决 , 他 拟 了 一 道 《 表 望 浮 图 》 题 ( 表 一 竿 , 浮 图 一 塔 ), 并 且画 了 一 幅 《 望 塔 图 》( 图 30), 叙 述 题 文 大 意 如 下 :要 换 塔 心 木 , 不 知 它 有 多 高 , 怎 么 办 呢 ? 可 以 利 用 离 塔心 6 丈 处 的 一 根 竿 , 虽 然 不 知 道 竿 高 , 但 离 地 9 尺 2 寸 起 ,在 竿 上 钉 有 扒 钉 , 直 至 竿 顶 , 共 钉 14 枚 ; 每 枚 长 5 寸 , 相 邻两 钉 的 下 端 之 间 距 离 为 2 尺 5 寸 ; 人 沿 塔 、 竿 直 线 后 退 , 退到 人 目 、 竿 顶 、 塔 尖 在 一 视 线 上 时 , 人 离 竿 3 丈 ; 这 时 , 又 望塔 盖 的 下 端 , 视 线 截 第 七 枚 ( 从 上 往 下 算 ) 扒 钉 的 上 端 ; 又 知人 目 离 地 4 尺 8 寸 , 塔 心 木 下 料 长 度 要 多 出 3 尺 供 榫 卯 剪截 用 。 问 塔 的 全 高 、 塔 盖 高 、 塔 心 木 下 料 长 分 别 为 多 少 ?83


图 30从 秦 九 韶 所 绘 的 《 望 塔 图 》 看 , 视 线 的 位 置 是 错 误 的 。按 题 所 述 , 这 两 条 视 线 应 交 会 于 人 目 , 但 图 中 所 画 却 交 于 地面 。计 算 图 应 如 图 31, 所 求 三 数 是 x、Y 和 z(z 应 另 加 3CD·BF尺 )。 这 样 ,y 等 于 ; 可 是 , 秦 九 韶 却 误 BF 为 EF. 一BE错 再 错 , 以 致 答 案 也 不 对 了 。 可 惜 如 此 灵 活 生 动 的 一 道 题 ,却 由 于 作 者 的 疏 忽 成 为 败 笔 。84


图 31在 《 数 书 九 章 》 中 , 还 有 一 些 构 思 新 颖 的 题 目 , 在 推导 或 演 算 过 程 中 有 这 样 或 那 样 的 纰 漏 出 现 , 这 都 是 秦 九 韶粗 心 大 意 或 学 识 不 够 所 致 。《 圆 罂 测 雨 》 题 的 大 意 是 : 图32 的 圆 罂 积 雨 水 深 h, 那 么 , 折 算 为 平 地 的 深 应 为 多少 ?这 道 题 的 解 法 和 答 案 都 是 错 误 的 。 甚 至 连 更 简 单 的 一道 《 竹 器 验 雪 》 题 , 其 解 法 和 答 案 也 是 错 的 , 这 题 见 图33, 大 意 是 : 竹 箩 内 积 雪 深 h, 那 么 , 折 算 为 平 地 的 深 应为 多 少 ?其 它 如 《 望 山 远 近 》、《 望 敌 圆 营 》、《 陡 岸 测 水 》 等 题 , 也有 程 度 不 同 的 错 误 。85


图 3 2图 3 386


留 与 后 人 评 说秦 九 韶 以 他 才 华 洋 溢 的 一 生 贡 献 给 数 学 , 深 得 后 世 数学 家 们 的 推 崇 。 他 之 所 以 能 跻 身 世 界 名 数 学 家 之 林 , 是 因为 在 许 多 开 拓 性 的 理 论 和 实 践 问 题 上 , 他 有 独 到 的 见 解 , 并创 造 性 地 发 挥 自 己 的 论 点 ; 他 的 许 多 成 果 具 有 先 声 夺 人 的效 果 , 因 此 , 使 当 时 的 中 国 某 些 数 学 方 法 得 以 在 世 界 同 行 中处 于 遥 遥 领 先 的 地 位 。秦 九 韶 的 力 作 《 数 书 九 章 》 继 承 并 发 扬 了 《 九 章 算 术 》 问世 以 来 的 我 国 数 学 传 统 , 内 容 丰 富 多 彩 , 论 点 别 致 , 能 够 推陈 出 新 。 尤 其 难 能 可 贵 的 是 , 他 能 够 道 前 人 所 未 道 , 多 有 创造 发 明 , 其 中 大 衍 求 一 术 、 正 负 开 方 术 、 秦 九 韶 数 等 各 具 特色 , 几 百 年 来 一 直 为 人 们 所 乐 道 。秦 九 韶 在 数 学 研 究 方 面 突 出 实 用 性 , 取 材 大 都 得 自 社会 经 济 、 文 化 、 科 学 、 技 术 各 范 畴 , 他 深 入 民 间 和 官 场 实 际 ,很 了 解 人 们 需 要 的 是 什 么 , 因 此 , 善 于 将 枯 燥 乏 味 的 数 学 用妙 趣 横 生 的 笔 法 表 述 出 来 , 这 点 是 其 他 任 何 数 学 家 都 比 不上 的 。 而 且 由 于 他 的 努 力 , 其 作 品 作 为 应 用 数 学 的 范 例 , 它的 内 在 意 义 已 远 远 地 超 出 纯 数 学 的 有 限 天 地 , 为 后 人 提 供的 数 学 思 想 更 是 富 有 高 度 价 值 的 一 种 启 发 。秦 九 韶 的 名 著 《 数 书 九 章 》 说 理 透 彻 、 构 思 巧 妙 , 深 受 读者 的 喜 爱 , 就 该 著 作 本 身 而 言 , 它 已 取 得 极 大 成 功 。 但 是 ,87


局 限 于 当 时 条 件 和 他 本 人 性 格 的 影 响 , 它 也 发 生 过 一 些 差错 。 有 人 说 , 一 部 洋 洋 十 余 万 字 的 著 作 , 所 涉 及 的 数 字 又 极繁 复 , 当 然 , 鲁 鱼 亥 豕 在 所 难 免 。 这 是 一 种 不 合 适 的 宽 容 ,因 为 对 数 学 家 来 说 , 严 谨 二 字 最 为 重 要 , 丝 毫 错 误 都 是 不 应该 原 谅 的 。 不 过 , 经 过 历 代 注 家 厘 定 , 所 有 错 误 都 已 经 指明 , 并 提 出 改 正 方 案 。《 数 书 九 章 》 题 文 所 记 大 致 是 真 实 的 , 不 单 是 事 件 本 身 ,而 且 所 用 数 值 也 约 略 符 合 实 际 情 况 ( 例 如 某 些 建 筑 数 据 )。但 是 , 也 有 个 别 题 目 为 了 计 算 需 要 而 采 取 虚 构 数 字 ( 例 如 三角 形 田 地 的 边 长 取 用 15 里 ), 有 人 提 出 《 圆 罂 测 雨 》 题 的 答数 过 大 ( 一 次 降 雨 量 超 过 杭 州 三 十 年 间 全 日 最 大 降 水 量 数倍 ), 是 脱 离 实 际 , 不 过 , 这 类 苛 求 似 也 不 必 要 。秦 九 韶 的 《 数 书 九 章 》 传 世 至 今 , 仍 然 熠 熠 生 辉 。 至 于其 中 缺 陷 如 何 , 作 为 千 秋 功 罪 , 留 与 后 人 评 说 吧 !秦 九 韶 才 能 出 众 , 免 不 了 招 致 一 些 人 的 嫉 妒 , 但 他 自 己行 为 也 不 检 点 , 又 与 当 时 的 奸 臣 有 瓜 葛 , 因 此 进 入 仕 途 后 时常 遭 到 谴 责 , 甚 至 谩 骂 。1260 年 , 他 受 到 政 治 上 的 牵 连 , 被贬 谪 至 梅 州 ( 今 广 东 梅 县 ) 当 地 方 官 , 正 好 要 离 家 的 那 一 天 ,大 堂 上 的 主 梁 突 然 中 断 。 这 根 梁 的 跨 度 有 七 丈 , 是 他 非 常大 胆 的 一 项 设 计 , 选 用 进 口 上 等 木 材 ( 一 本 书 中 介 绍 秦 九 韶在 湖 州 建 造 “ 极 其 宏 敞 ” 的 住 宅 时 , 这 根 梁 所 用 木 材 是 “ 求 海筏 之 奇 材 ”) 制 造 。 主 梁 中 断 , 家 人 都 说 这 是 不 祥 之 兆 , 可 算是 一 种 巧 合 , 第 二 年 (1261 年 ), 他 就 在 梅 州 去 世 了 。88


笛 卡 儿 —— 数 学 王 国 一 小 兵正 如 阳 光 普 照 万 物 , 我 们 的 智 慧 和 学 识 在 处 理 各 种 不同 对 象 时 也 是 一 视 同 仁 的 。—— 笛 卡 儿 ——分 道 扬 镳“ 后 会 有 期 !” 梅 森 再 一 次 紧 紧 地 拥 抱 着 比 自 己 小 八 岁的 同 学 笛 卡 儿 , 然 后 转 过 身 去 , 恋 恋 不 舍 地 移 动 脚 步 , 跨 上街 头 的 那 座 小 桥 。笛 卡 儿 茫 然 地 望 着 桥 的 那 一 端 , 在 熙 来 攘 往 的 人 群 中 ,那 个 亲 切 的 身 影 消 失 了 。在 昂 儒 的 拉 弗 莱 希 , 他 俩 同 在 当 地 耶 稣 会 学 校 学 习 , 成为 同 窗 好 友 。 这 座 平 平 淡 淡 的 城 镇 小 桥 , 是 多 么 值 得 留 恋和 记 忆 的 啊 ! 少 年 笛 卡 儿 和 青 年 梅 森 的 黄 昏 有 多 半 是 在 这儿 度 过 的 , 对 知 识 的 追 求 成 为 他 们 二 人 志 同 道 合 的 源 泉 , 但是 , 他 们 还 是 小 孩 子 , 这 五 光 十 色 的 世 界 里 蕴 藏 着 那 么 多 奇境 , 他 们 连 百 万 分 之 一 的 景 色 都 未 曾 窥 见 , 而 对 科 学 的 爱 慕89


却 是 何 等 情 急 和 情 深 呀 , 他 们 互 相 切 磋 、 勉 励 , 期 待 在 长 大成 人 后 不 至 于 辜 负 自 己 的 韶 光 年 华 。然 而 , 人 有 悲 欢 离 合 , 此 事 古 难 全 。 无 论 梅 森 心 里 有 多么 不 愿 意 与 幼 弟 般 的 笛 卡 儿 离 别 , 但 他 的 学 业 已 经 结 束 , 自然 得 向 更 高 层 次 的 目 标 进 发 。“ 那 么 , 你 今 后 有 什 么 打 算 呢 ?” 尽 管 笛 卡 儿 还 是 个 年 仅十 一 岁 的 孩 子 , 但 是 在 与 挚 友 分 手 时 , 也 会 像 一 个 大 人 似 地问 起 对 方 的 前 程 。“ 我 希 望 将 来 成 为 一 个 学 识 渊 博 的 神 甫 。” 这 也 许 是 在小 笛 卡 儿 意 料 之 中 的 回 答 。 笛 卡 儿 心 目 中 的 梅 森 哥 哥 是 好样 的 , 是 有 志 气 的 , 这 正 符 合 当 时 的 风 气 : 凡 有 志 之 士 , 不 是致 力 于 宗 教 , 就 是 献 身 于 军 事 。“ 那 么 , 我 自 己 呢 ?” 笛 卡 儿 也 有 自 己 的 抱 负 , 他 想 :“ 也许 我 将 来 会 成 为 一 名 出 色 的 兵 士 ?”可 是 , 老 笛 卡 儿 对 儿 子 的 期 望 却 与 之 大 相 径 庭 , 从1596 年 3 月 31 日 小 笛 卡 儿 呱 呱 坠 地 的 那 天 开 始 , 身 为 著名 律 师 的 父 亲 就 有 意 地 将 儿 子 培 养 成 能 够 师 承 父 志 的 法 学家 。笛 卡 儿 降 生 于 法 国 西 部 土 伦 省 的 小 城 拉 哈 耶 , 八 岁 时被 送 入 拉 弗 莱 希 的 耶 稣 会 学 校 学 习 了 八 年 , 随 后 进 普 瓦 界大 学 。 他 果 然 不 负 父 亲 所 望 ,1616 年 大 学 毕 业 后 便 到 巴 黎当 了 律 师 。笛 卡 儿 从 小 就 喜 欢 书 , 博 览 各 门 学 科 的 著 作 , 他 曾 自90


述 :“ 别 人 学 的 ,我 都 学 了 。 我 并不 以 此 而 满 足 。那 些 被 认 为 是 最奇 怪 、 最 不 寻 常的 各 种 学 科 的书 , 凡 是 我 能 搞到 的 , 我 都 把 它们 读 完 。” 然 而 ,他 不 满 足 于 书 本上 的 知 识 , 他 要走 出 去 , 去 到 沸腾 的 生 活 中 寻 找学 问 , 去 探 索 大自 然 , 去 了 解 人 和 社 会 , 因 此 , 他 又 曾 经 这 样 说 过 :“ 我 把 自己 余 下 的 青 春 用 在 旅 途 上 。 我 研 究 宫 廷 的 军 队 里 的 人 。 我和 各 种 不 同 社 会 地 位 、 不 同 性 格 的 人 交 往 。 我 又 收 集 各 种经 验 , 并 在 命 运 安 排 的 各 种 境 遇 中 考 验 我 自 己 。 凡 我 所 体会 到 的 一 切 我 都 详 细 研 究 , 目 的 是 从 中 引 出 有 益 的 东 西 。”就 这 样 , 笛 卡 儿 放 弃 了 律 师 职 业 , 他 决 心 走 入 生 活 , 以便 将 书 本 上 的 知 识 更 好 地 与 实 践 相 结 合 , 使 所 获 得 的 知 识臻 于 完 善 和 全 面 。于 是 , 在 1617 年 5 月 , 笛 卡 儿 投 身 奥 伦 治 公 爵 的 军 队 ,91


立 志 在 军 旅 生 涯 中 展 示 才 华 。勾 起 旧 日 情 愫情 投 意 合 , 这 是 建 立 友 情 最 起 码 的 条 件 , 笛 卡 儿 和 梅 森也 不 例 外 。 他 们 二 人 天 生 地 对 数 学 表 现 出 特 殊 的 兴 趣 感 ,都 称 得 上 是 数 学 迷 。 在 相 处 的 日 子 里 , 尽 管 笛 卡 儿 年 纪 幼小 , 但 是 一 遇 到 某 些 解 不 了 的 课 题 , 便 会 悉 心 钻 研 , 常 常 思索 到 寝 食 俱 废 ; 梅 森 也 是 如 此 , 不 过 , 他 肩 负 着 双 重 任 务 , 不但 自 己 学 习 , 还 得 经 常 为 笛 卡 儿 释 疑 。 就 这 样 , 他 们 之 间 的结 交 可 以 说 是 以 数 学 为 桥 梁 的 , 对 笛 卡 儿 来 说 , 他 已 经 与 数学 结 下 不 解 的 情 缘 , 难 舍 难 分 了 。多 么 诱 人 的 数 学 啊 ! 笛 卡 儿 与 它 魂 牵 梦 绕 , 作 为 法 律系 学 生 、 作 为 律 师 , 一 直 到 了 作 为 士 兵 的 年 代 , 他 始 终 没 有将 它 冷 淡 。也 就 是 在 笛 卡 儿 投 笔 从 戎 的 那 个 月 份 ——1617 年 5月 , 奥 伦 治 公 爵 的 队 伍 正 驻 屯 在 荷 兰 南 部 的 布 勒 达 城 。 这天 , 笛 卡 尔 在 公 暇 之 余 , 见 营 房 之 外 风 和 日 丽 , 便 信 步 街 头 ,观 赏 异 域 景 致 , 果 然 川 流 不 息 的 红 男 绿 女 别 有 一 番 情 调 , 不觉 流 连 忘 返 。笛 卡 儿 漫 无 目 标 地 踯 躅 闹 区 , 忽 然 听 得 前 方 人 声 鼎 沸 ,出 于 好 奇 心 , 便 随 着 人 流 趋 前 探 询 。 只 见 众 人 在 一 堵 墙 壁前 围 观 一 张 榜 文 , 在 指 手 画 脚 、 议 三 论 四 。 那 招 贴 是 用 荷 兰92


文 写 的 , 这 个 法 国 大 兵 自 然 “ 目 不 识 丁 ”, 情 急 之 际 , 拉 着 旁边 的 人 问 了 起 来 , 可 是 荷 兰 人 又 不 懂 法 国 话 , 任 凭 他 嗷 嗷 大喊 , 却 无 片 语 回 报 。等 到 他 猛 然 省 悟 过 来 时 , 自 己 也 不 禁 哑 然 失 笑 了 : 你呀 , 好 糊 涂 ! 法 国 人 看 不 懂 荷 兰 字 , 难 道 荷 兰 人 会 听 懂 你 的法 国 话 ?他 无 可 奈 何 地 转 过 身 。 只 见 有 一 人 正 分 拨 人 群 , 迎 他走 来 , 这 人 拍 拍 他 的 肩 膀 , 指 着 墙 上 贴 的 那 张 榜 文 说 :“ 喂 ,小 伙 子 , 让 我 告 诉 你 , 那 上 面 写 的 是 什 么 事 。”在 笛 卡 儿 面 前 的 这 位 “ 知 音 ” 使 他 喜 出 望 外 , 真 可 谓 是“ 他 乡 遇 故 里 ”, 其 乐 不 可 名 状 。 他 端 详 着 这 个 在 荷 兰 国 土上 说 法 国 话 的 长 者 , 潇 洒 大 方 , 谈 吐 清 雅 , 俨 然 一 派 学 者 风度 , 不 由 得 肃 然 起 敬 , 当 下 回 话 :“ 请 先 生 指 点 。”原 来 , 当 时 数 学 家 对 一 时 解 答 不 了 的 问 题 都 采 取 向 广众 征 答 的 方 法 求 解 , 通 常 称 为 “ 挑 战 ”, 在 欧 洲 已 蔚 成 风 气 。当 笛 卡 儿 得 知 这 是 数 学 挑 战 书 之 后 , 不 觉 技 痒 , 便 请 对 方 翻译 并 做 下 记 录 。那 位 “ 翻 译 ” 注 视 着 这 个 跃 跃 欲 试 的 兵 士 , 不 以 为 然 地照 做 了 。仅 用 不 长 时 间 的 揣 摩 , 数 学 难 题 就 被 揭 破 了 。 竟 有 这样 的 奇 迹 ? 当 笛 卡 儿 将 答 案 交 给 那 位 “ 翻 译 ” 时 , 后 者 顿 然一 惊 , 转 而 又 盛 加 赞 许 , 便 邀 请 这 个 年 轻 人 到 家 中 叙 谈 , 果然 话 语 投 机 。 从 此 两 人 缔 交 , 笛 卡 儿 一 有 闲 空 , 就 成 这 家 的93


座 上 客 。这 位 “ 翻 译 ” 就 是 当 地 有 名 的 多 特 大 学 校 长 毕 克 门 , 也是 一 位 数 学 界 名 流 。 毕 克 门 不 惑 地 问 笛 卡 儿 :“ 你 既 然 在 数学 方 面 有 如 此 才 能 , 何 不 脱 离 军 界 , 专 门 就 习 数 学 ?”这 一 问 使 得 笛 卡 儿 啼 笑 皆 非 , 当 下 哑 口 无 言 。 是 啊 !他 也 在 反 问 自 己 : 这 是 为 什 么 呢 ? 本 来 自 己 是 与 数 学 缠 绵缱 绻 的 , 却 为 何 弃 它 而 去 ? 而 如 今 进 入 行 伍 还 不 多 时 , 难 道又 要 改 变 初 衷 , 重 新 返 回 昔 日 曾 经 为 之 焚 膏 继 晷 的 数 学 奇境 中 去 ? 应 该 怎 样 抉 择 呢 ?但 是 , 不 管 怎 么 说 , 笛 卡 儿 本 来 对 自 己 的 水 平 并 未 估 计94


过 高 , 经 过 此 事 , 他 相 信 自 己 看 来 是 有 数 学 才 能 的 。 于 是 ,从 此 之 后 , 他 益 发 认 真 地 对 待 数 学 的 探 索 和 研 究 了 。梦 魂 所 寄数 学 可 以 说 是 一 门 绝 无 仅 有 的 奇 妙 的 学 科 , 说 它 简 单吧 , 的 确 简 单 而 普 及 , 人 人 都 懂 得 一 些 ; 说 它 复 杂 吧 , 可 真 复杂 而 高 深 , 有 些 命 题 历 经 数 百 年 而 不 得 破 秘 。 从 另 一 个 角度 看 , 在 所 有 自 然 科 学 的 学 科 中 , 去 研 究 它 是 最 简 便 的 , 例如 物 理 学 研 究 需 用 仪 表 、 化 学 研 究 需 要 药 剂 、 地 理 学 研 究 得去 旅 游 , 天 文 学 少 不 了 望 远 镜 、 生 物 学 离 不 开 显 微 镜 …… 至于 数 学 , 只 需 纸 笔 就 足 够 了 , 也 免 除 了 房 室 、 场 地 的 限 制 , 对环 境 、 条 件 无 苛 求 , 随 时 随 地 都 可 以 通 过 思 索 、 手 写 去 探 求和 发 现 千 变 成 化 的 玄 机 妙 理 。当 然 , 对 任 何 学 科 的 研 究 , 熟 悉 它 们 的 历 史 以 及 前 人 成果 是 必 不 可 少 的 , 也 要 具 备 一 副 清 醒 而 敏 锐 的 脑 子 。 笛 卡儿 深 知 这 一 点 , 他 从 幼 童 以 至 青 、 少 年 时 代 一 直 是 嗜 书 成癖 , 也 曾 广 读 博 览 , 以 使 学 力 根 深 蒂 固 ; 至 于 天 资 如 何 , 因 人各 异 , 况 且 有 勤 能 补 拙 的 措 施 , 笛 卡 儿 得 天 独 厚 , 聪 明 机 灵 ,自 是 研 究 数 学 不 可 多 得 的 天 才 , 他 又 能 奋 勉 自 励 , 这 样 , 来日 驰 骋 数 学 原 野 的 众 多 勇 士 之 中 , 必 定 缺 少 不 了 他 。对 于 数 学 这 样 一 门 奇 妙 的 学 科 , 研 究 它 具 有 特 殊 的 简便 性 , 这 就 使 得 笛 卡 儿 在 戎 马 倥 偬 之 际 仍 能 与 它 厮 磨 。 只95


要 有 一 息 闲 余 , 他 的 脑 子 就 要 开 动 起 来 , 总 是 在 无 休 止 地 思考 着 , 从 这 个 问 题 转 向 另 一 个 问 题 , 这 也 已 经 成 为 习 惯 。1619 年 , 笛 卡 儿 所 在 军 队 驻 扎 在 德 国 慕 尼 黑 之 北 的 诺伊 堡 , 这 地 方 傍 着 多 瑙 河 , 风 光 旖 旎 , 看 不 尽 赏 心 悦 目 的 秀丽 景 色 , 精 神 大 为 振 奋 。 在 这 儿 几 个 月 时 间 内 , 他 终 日 沉 迷于 数 字 、 符 号 、 图 形 之 中 , 同 时 , 又 在 醉 心 地 考 虑 到 哲 学 与 数学 究 竟 存 在 着 什 么 样 的 联 系 , 终 于 确 定 , 必 须 寻 找 在 一 切 领域 里 建 立 真 理 的 方 法 , 可 是 , 这 是 不 可 思 议 的 难 点 , 这 种 构想 总 在 折 磨 着 他 , 使 他 的 心 情 总 是 处 于 极 度 紧 张 和 兴 奋 之中 。笛 卡 儿 所 思 考 的 建 立 真 理 的 方 法 联 系 到 一 切 事 物 的 变化 因 素 , 他 从 生 活 的 细 微 之 处 见 到 一 种 因 素 对 另 一 种 因 素的 影 响 , 这 现 象 启 发 他 使 用 哲 学 的 观 点 去 研 究 数 学 。 要 在数 学 内 涵 的 条 件 下 找 出 各 种 影 响 因 素 之 间 的 联 系 , 也 许 , 这样 就 可 以 开 拓 出 一 条 前 人 未 曾 踏 出 的 路 径 , 朝 着 那 条 道 走 ,可 能 光 明 就 在 前 头 。1619 年 11 月 10 日 晚 , 笛 卡 儿 在 脑 子 相 当 活 跃 的 情 况下 入 睡 , 就 在 这 个 夜 里 , 长 期 积 蓄 在 脑 际 的 材 料 得 到 归 纳 、分 类 和 筛 选 , 一 一 涌 现 在 梦 境 之 中 。 接 连 出 现 的 三 个 梦 , 使他 悟 出 数 学 的 巨 大 力 量 , 原 来 自 己 所 寻 找 的 建 立 真 理 的 方法 就 在 于 无 限 扩 大 数 学 的 应 用 , 他 清 楚 地 看 到 , 数 学 方 法 超出 它 的 对 象 之 外 , 他 认 为 :“ 数 学 方 法 是 一 个 知 识 工 具 , 比 任何 其 它 由 于 人 的 作 用 而 得 来 的 知 识 工 具 更 为 有 力 , 因 而 它96


是 所 有 其 它 知 识 工 具 的 源 泉 。”第 二 天 , 他 回 忆 梦 境 的 启 示 , 自 觉 从 此 开 始 懂 得 这 “ 惊人 发 现 的 基 本 原 理 ”, 他 所 说 的 “ 基 本 原 理 ” 实 质 上 就 是 提 倡建 立 数 学 方 法 , 进 一 步 去 开 垦 若 干 尚 未 被 发 现 的 处 女 地 。在 这 短 短 的 两 年 多 时 间 内 , 笛 卡 儿 的 参 军 初 志 被 动 摇了 。 与 毕 克 门 校 长 的 邂 后 相 交 , 以 及 “ 河 畔 悟 梦 ” 促 使 他 改变 自 己 的 生 活 , 选 择 了 另 一 条 人 生 道 路 , 致 力 于 科 学 哲 理 的探 索 。 于 是 , 他 在 1621 年 脱 离 军 队 , 到 荷 兰 、 瑞 士 等 地 游 学多 年 , 旋 又 回 到 巴 黎 , 潜 心 钻 研 望 远 镜 等 光 学 器 械 的 构 造 和制 作 , 以 应 当 时 蓬 勃 兴 起 的 天 文 学 的 需 要 。重 逢 故 友笛 卡 儿 孩 提 时 的 同 窗 故 友 梅 森 按 照 他 自 己 的 初 衷 走 进预 定 的 生 活 圈 子 里 去 了 。1611 年 , 他 刚 满 23 岁 就 进 了 修道 院 , 决 心 在 孤 寂 、 淡 泊 的 精 神 世 界 里 静 静 地 思 考 一 些 问题 , 企 望 着 能 用 自 己 的 才 华 造 福 人 类 。但 是 , 正 像 笛 卡 儿 当 初 志 愿 入 伍 而 后 退 出 一 样 , 梅 森 成为 修 道 士 之 后 , 也 曾 一 度 动 摇 初 志 , 而 准 备 改 弦 易 辙 。 不过 , 教 会 与 军 队 的 约 束 条 件 大 不 相 同 , 进 得 来 , 却 出 不 去 , 教规 像 一 把 巨 钳 , 将 梅 森 紧 紧 地 夹 住 了 。原 来 , 梅 森 是 一 位 热 心 拥 护 科 学 的 人 , 仅 凭 这 一 点 , 就与 教 会 的 宗 旨 格 格 不 入 。 面 对 既 成 事 实 , 他 只 能 在 忙 碌 的97


教 务 之 余 , 为 科 学 事 业 的 发 展 竭 尽 绵 薄 了 。笛 卡 儿 与 梅 森 离 别 之 后 , 仍 然 互 致 尺 素 , 鱼 雁 频 返 , 偶尔 也 在 巴 黎 会 晤 , 因 此 对 梅 森 的 工 作 也 很 了 解 。梅 森 是 一 座 “ 桥 梁 ”, 他 对 科 学 所 做 的 主 要 贡 献 就 在 于沟 通 科 学 家 们 的 思 想 。 当 时 , 还 没 有 什 么 有 效 的 科 学 刊 物和 国 际 会 议 能 够 用 来 交 流 科 学 成 就 , 梅 森 经 常 收 集 最 新 资料 , 写 出 大 量 书 信 , 分 寄 给 各 地 科 学 家 ; 对 方 也 时 常 将 各 类消 息 向 他 传 递 。 就 这 样 , 一 种 丰 富 多 彩 的 科 学 通 信 活 动 蓬勃 地 展 开 了 , 经 过 一 段 时 间 的 积 累 , 已 收 得 丰 盛 硕 果 , 在 全欧 科 学 界 得 到 广 泛 重 视 , 影 响 面 愈 来 愈 大 了 。笛 卡 儿 全 力 支 持 梅 森 的 工 作 , 不 时 致 函 勉 励 , 也 在 可 能的 条 件 下 传 送 信 息 。 但 是 , 梅 森 对 笛 卡 儿 的 期 望 很 大 , 甚 至想 到 , 或 许 有 这 么 一 天 , 二 人 在 剪 烛 西 窗 、 共 话 当 年 之 余 , 能够 长 时 间 地 携 手 并 进 , 为 共 同 的 理 想 奋 斗 终 生 。重 逢 聚 首 的 日 子 终 于 到 来 。1625 年 , 笛 卡 儿 回 到 巴黎 , 在 梅 森 所 在 的 修 道 院 里 互 吐 离 情 别 绪 。 可 是 , 当 梅 森 恳切 地 请 求 他 留 下 来 协 助 处 理 案 头 那 些 堆 积 如 山 的 书 信 时 ,笛 卡 儿 却 说 :“ 梅 森 , 你 应 该 知 道 , 我 只 不 过 是 数 学 王 国 的 一 名 小 小的 兵 卒 啊 !”梅 森 当 然 知 道 , 笛 卡 儿 并 未 曾 把 全 部 心 力 投 向 数 学 , 而其 它 学 科 如 物 理 学 、 生 物 学 等 , 尤 其 是 哲 学 , 它 们 都 在 深 深地 吸 引 着 他 , 他 甚 至 把 哲 学 看 做 是 指 导 一 切 科 学 基 础 的 学98


科 。当 时 , 他 正 在 埋 头 于 必 须 进 行 非 常 繁 琐 计 算 的 “ 梅 森数 ” 研 究 , 并 且 有 了 可 喜 的 端 倪 , 于 是 , 他 对 笛 卡 儿 表 示 了 一种 新 的 愿 望 : 我 们 不 是 有 许 多 数 学 界 朋 友 吗 ? 何 不 如 组 成一 个 数 学 集 团 , 共 同 促 进 数 学 发 展 ? 此 外 , 梅 森 从 数 的 研 究中 看 到 “ 数 论 ” 的 前 景 , 他 希 望 笛 卡 儿 能 分 拨 一 部 分 精 力去 从 事 有 关 数 的 研 究 。当 时 , 笛 卡 儿 的 确 想 在 巴 黎 定 居 下 来 , 因 为 这 儿 有 他 志同 道 合 的 朋 友 , 社 会 上 还 有 许 多 学 富 五 车 的 高 士 名 流 , 至 于其 它 科 学 研 究 条 件 , 也 是 远 胜 于 别 的 地 区 的 。 于 是 , 他 俩 着手 倡 建 的 数 学 集 团 形 成 了 , 其 中 有 他 们 的 朋 友 迈 多 治(1585—1647, 曾 著 有 《 光 学 》、《 圆 锥 曲 线 》 等 书 ), 还 有 知 名数 学 家 笛 沙 格 (1591—1661, 射 影 几 何 奠 基 人 ) 等 人 , 这 些 人经 常 聚 会 , 互 道 心 得 , 切 磋 学 术 问 题 , 并 处 理 对 外 界 交 流 事务 , 颇 有 收 效 。笛 卡 儿 也 接 受 梅 森 要 他 对 数 的 研 究 做 些 工 作 的 建 议 ,若 干 年 之 后 , 他 致 梅 森 的 信 中 还 给 出 一 对 亲 和 数 9363584和 9437056。伟 大 的 转 折1928 年 , 笛 卡 儿 感 到 巴 黎 的 都 市 气 氛 太 浓 , 尘 嚣 过 甚 ,便 接 受 友 人 的 劝 告 , 移 居 荷 兰 , 一 则 换 个 清 静 环 境 , 二 则 由99


于 当 时 荷 兰 也 是 人 才 荟 萃 之 地 , 得 有 机 会 在 学 术 研 究 方 面更 上 一 层 楼 。 从 此 , 他 在 荷 兰 埋 头 研 究 哲 学 和 数 学 , 从 事 著述 达 20 年 之 久 。任 何 一 位 从 事 数 学 研 究 的 人 , 首 先 要 “ 过 ” 古 希 腊 数 学这 一 “ 关 ”, 这 已 是 不 成 文 的 规 定 , 笛 卡 儿 也 不 例 外 。 很 长 一段 时 间 内 , 他 在 考 虑 有 关 尺 规 作 图 的 问 题 , 突 出 地 从 两 方 面入 手 :第 一 , 如 果 求 作 的 条 件 不 能 表 现 为 一 种 简 单 的 关 系 式 ,那 么 , 应 怎 样 解 决 这 个 作 图 问 题 呢 ? 例 如 , 某 几 何 问 题 归 结到 求 作 一 个 未 知 长 度 x, 而 x 应 满 足 方 程 x2=ax+b2(a、b 为 已 知 长 度 )。 遇 到 这 类 作 图 问 题 时 , 笛 卡 儿 认 为 , 必 须先 假 定 问 题 已 经 解 决 , 而 用 字 母 作 为 符 号 去 表 示 作 图 所 必需 的 已 知 和 未 知 的 线 段 , 根 据 这 些 线 段 之 间 的 关 系 解 出 未知 线 段 , 即 将 未 知 线 段 剥 离 出 来 。于 是 , 按 照 二 次 方 程 的 求 根 公 式 , 上 例 方 程=ax+ 的 解 就 是x=( 其 中 另 有 一 解 是 负 根 , 舍 去 )这 样 , 题 目 已 明 朗 化 , 就 可 以 作 图 如 图 34: 按 已 知 线 段和 b 为 直 角 边 作 直 角 三 角 形 ABC, 延 长 斜 边 AB 至 D,那 么 ,DA 即 是 所 求 作 的 x。100


图 3 4在 现 代 数 学 教 科 书 中 , 这 种 方 法 称 为 “ 代 数 分 析 作 图法 ”。 从 以 上 作 图 过 程 看 , 笛 卡 儿 的 思 路 是 用 代 数 方 法 去 解几 何 问 题 , 他 用 这 种 方 法 对 数 学 中 的 形 与 数 做 了 初 步 结 合 。第 二 , 如 果 求 作 的 图 属 于 “ 不 确 定 问 题 ”( 以 区 别 于 以 上那 类 “ 可 确 定 问 题 ”—— 其 解 是 唯 一 的 ), 那 么 , 问 题 就 趋 于复 杂 化 了 , 按 以 上 解 方 程 的 方 法 无 法 确 定 一 个 结 果 , 就 需 要将 该 方 程 按 不 定 方 程 处 理 了 。 例 如 , 求 作 直 角 三 角 形 , 使 它的 斜 边 等 于 已 知 长 度 a。令 两 直 角 边 长 度 为 x 和 y, 就 有x2+y2=a2见 图 35, 以 长 度 a 取 为 斜 边 , 能 够 作 出 无 穷 多 个 直 角三 角 形 ABC1、ABC2、ABC3、ABC4……, 这 些 直 角 三 角 形的 两 条 直 角 边 分 别 为 满 足 上 式 要 求 的 x 和 y。 这 样 , 从 Cl到 C2、 到 C3、 到 C4 形 成 一 个 运 动 过 程 , 这 些 点 的 运 动 轨 迹也 就 是 所 作 符 合 方 程 x2+Y2=a2 的 图 形 了 。101


图 35x2+Y2=a2 是 一 个 不 定 方 程 , 笛 卡 儿 称 x 和 y 这 样 的量 为 “ 未 知 和 未 定 的 量 ”, 后 来 人 们 改 称 为 “ 变 量 ”。笛 卡 儿 在 数 学 中 引 入 “ 变 量 ”, 完 成 数 学 史 上 一 项 划 时代 的 变 革 , 这 是 一 个 伟 大 的 转 折 , 后 来 , 恩 格 斯 对 笛 卡 儿 的革 新 思 想 给 予 极 高 的 评 价 , 他 在 《 自 然 辩 证 法 》 一 书 中 写 道 :“ 数 学 中 的 转 折 点 是 笛 卡 儿 的 变 量 。 有 了 变 量 , 运 动 进 入 了数 学 ; 有 了 变 量 , 辩 证 法 进 入 了 数 学 。” 正 因 为 数 学 本 身 有 了变 量 , 数 学 体 现 出 辩 证 关 系 的 存 在 ; 同 时 , 数 学 的 发 展 和 应用 从 此 进 入 一 个 崭 新 的 、 更 加 理 想 化 的 时 期 。102


美 妙 的 结 合人 们 记 得 , 数 学 的 发 祥 地 古 希 腊 为 西 方 数 学 的 发 展 提供 了 理 论 和 实 践 的 牢 固 基 础 。 古 希 腊 人 在 数 学 方 面 的 主 要成 就 是 从 几 何 学 开 始 的 , 毕 达 哥 拉 斯 、 欧 几 里 得 、 阿 基 米 德等 人 都 是 研 究 几 何 的 代 表 人 物 。 当 时 , 学 者 们 甚 至 存 在 一种 偏 见 , 认 为 数 学 的 精 髓 就 是 几 何 学 , 它 具 有 变 化 无 穷 的 特点 , 被 公 认 为 正 统 的 数 学 内 容 。 对 于 像 阿 基 米 德 那 样 的 博学 之 士 , 虽 然 偶 尔 也 涉 足 代 数 学 , 能 够 拟 出 如 < 群 牛 问 题 > 那样 的 千 古 名 题 , 但 是 他 主 要 的 研 究 仍 立 足 于 几 何 学 。在 数 学 向 着 广 度 和 深 度 发 展 的 同 时 , 必 然 会 遇 到 数 和量 的 问 题 , 而 由 于 纯 几 何 学 的 局 限 性 , 于 是 , 一 个 新 的 独 立分 支 代 数 学 便 应 运 而 生 , 以 丢 番 图 为 代 表 的 数 学 家 们 突 破了 以 几 何 学 为 骨 干 的 数 学 形 式 , 另 树 代 数 学 一 帜 。在 笛 卡 儿 之 前 , 几 何 学 与 代 数 学 并 驾 齐 驱 , 各 显 神 通 。那 么 , 现 在 数 学 中 有 了 变 量 概 念 , 传 统 的 思 想 自 然 就 会 产 生质 的 飞 跃 , 人 们 不 禁 要 问 : 要 求 对 x2+y2=a2 作 图 究 竟 意味 着 什 么 呢 ?诚 然 , 图 35 给 出 了 许 多 符 合 题 目 要 求 的 直 角 三 角 形 ,它 们 的 特 征 是 得 到 各 直 角 三 角 形 中 的 直 角 顶 点 C1、C2、C3、C4……, 于 是 , 要 求 对 x2+y2=a2 作 图 岂 不 是 就 是 要人 们 将 诸 C 点 的 轨 迹 线 画 出 来 ? 那 么 , 进 一 步 明 确 地 说 ,103


如 轨 迹 线 是 曲 线 形 式 , 这 种 作 为 几 何 图 形 的 曲 线 就 等 同 于作 为 代 数 表 达 式 的 方 程 了 ; 换 句 话 说 , 曲 线 是 可 以 用 方 程 来表 示 的 , 人 们 可 以 说 ,x2+y2=a2 是 一 条 曲 线 ( 有 的 方 程 不一 定 只 代 表 “ 一 ” 条 )。1637 年 6 月 8 日 , 一 部 划 时 代 的 文 学 和 哲 学 经 典 著 作《 更 好 地 指 导 推 理 和 寻 求 科 学 真 理 的 方 法 论 》 问 世 , 这 是 笛卡 儿 苦 心 孤 诣 的 心 血 结 晶 , 他 在 本 书 的 末 尾 加 上 三 个 附 录 :《 折 光 学 》、《 论 流 星 》 和 《 几 何 学 》。笛 卡 儿 在 《 几 何 学 》 中 建 立 了 “ 坐 标 系 ”( 当 时 还 没 有 “ 坐标 ” 这 个 名 称 。“ 坐 标 ” 一 词 是 莱 布 尼 茨 在 1692 年 首 先 创 用的 , 他 还 在 1694 年 正 式 使 用 “ 纵 坐 标 ” 一 词 ), 他 用 两 条 互 相垂 直 的 直 线 作 为 基 准 , 以 确 定 平 面 上 的 点 , 根 据 这 些 点 的 特征 , 将 一 个 几 何 图 形 表 示 成 变 量 的 方 程 , 通 过 对 方 程 的 研 究来 获 得 相 应 图 形 的 性 质 。 于 是 , 有 关 几 何 图 形 性 质 的 研 究就 可 以 归 结 到 对 方 程 性 质 的 研 究 上 去 , 从 而 建 立 起 几 何 学与 代 数 学 的 联 系 , 让 它 们 互 相 渗 透 、 互 相 胶 结 、 互 相 依 存 , 并且 起 着 相 辅 相 成 的 作 用 。就 这 样 , 笛 卡 儿 将 形 与 数 进 行 统 一 , 这 种 美 妙 的 结 合 使数 学 大 放 异 彩 , 无 论 从 理 论 上 , 或 是 从 应 用 上 , 都 树 立 了 新的 里 程 碑 。 同 时 , 在 采 用 坐 标 方 法 的 同 时 , 运 用 代 数 方 法 去研 究 几 何 对 象 的 数 学 就 称 为 “ 解 析 几 何 学 ”, 对 此 , 恩 格 斯 在《 自 然 辩 证 法 一 书 中 也 有 高 度 评 价 :“ 最 重 要 的 数 学 方 法 基本 上 被 确 定 了 , 主 要 由 笛 卡 儿 创 立 了 解 析 几 何 , 由 耐 普 尔 制104


定 了 对 数 ……”笛 卡 儿 从 天 文 和 地 理 的 经 纬 制 度 出 发 , 指 出 了 平 面 上的 点 与 “ 实 数 对 ”(x,y) 之 间 的 关 系 。 他 还 进 一 步 考 虑 二 元方 程 f(x,Y)=0 的 性 质 : 满 足 方 程 的 x 和 y 值 有 无 穷 多 ,当 x 变 化 时 ,y 也 随 之 变 化 , 这 种 一 一 对 应 的 x 和 y 值 可以 定 出 许 多 点 , 这 些 点 就 构 成 了 曲 线 。 这 样 , 一 个 方 程 就 可以 通 过 几 何 的 直 观 和 方 法 去 处 理 ; 反 之 , 又 可 以 用 代 数 方 法处 理 方 程 而 得 到 曲 线 的 性 质 。 数 学 曾 经 是 从 出 现 几 何 学 开始 升 堂 入 室 的 , 而 几 何 学 本 身 又 以 它 的 巨 大 潜 力 统 御 数 学那 么 长 时 期 , 有 过 悠 久 而 辉 煌 的 历 史 , 如 今 再 引 进 代 数 学 ,处 理 问 题 就 更 加 得 心 应 手 了 。德 里 安 悲 剧 的 背 后在 古 希 腊 的 德 里 安 岛 上 , 一 次 瘟 疫 流 行 , 半 数 以 上 的 居民 倒 下 去 了 。 一 部 数 学 著 作 开 头 就 这 样 描 述 :“ 这 个 地 区 像 死 水 一 潭 , 寂 寞 凄 凉 , 即 使 偶 尔 有 个 具 有铁 石 心 肠 的 人 在 此 路 过 , 望 见 那 荒 无 人 烟 、 萧 条 冷 落 的 景 象也 会 伤 心 掉 泪 的 。 原 野 上 是 如 此 缺 乏 生 机 , 以 致 飞 禽 走 兽也 难 见 到 一 二 , 充 其 量 只 不 过 是 有 几 只 乌 鸦 在 光 秃 秃 的 树桠 上 , 不 时 呀 呀 地 惨 叫 , 发 出 那 种 通 常 被 认 为 不 祥 的 、 可 憎的 声 音 ……”于 是 , 幸 存 者 拥 向 太 阳 神 阿 波 罗 的 殿 堂 , 请 求 赶 走 瘟 疫105


之 神 。 接 着 , 祭 司 接 受 神 谕 , 要 居 民 们 将 庙 里 的 祭 坛 体 积 加大 一 倍 作 为 交 换 条 件 。 尽 管 祭 坛 是 如 此 简 单 的 立 体 形 ——正 方 体 , 但 是 , 人 们 却 无 能 为 力 。就 这 样 , 瘟 疫 仍 然 无 情 地 肆 虐 着 备 受 摧 残 的 人 们 ……以 上 那 个 古 老 的 故 事 称 为 “ 德 里 安 悲 剧 ”, 它 道 出 岛 民遭 受 瘟 疫 侵 害 的 苦 楚 , 但 是 , 它 从 另 一 个 角 度 提 醒 人 们 注意 : 尤 其 可 悲 的 是 , 号 称 万 物 之 灵 的 人 类 居 然 解 决 不 了 这 样一 个 简 单 的 数 学 命 题 , 那 就 是 “ 画 出 体 积 为 一 已 知 正 方 体 两倍 的 正 方 体 的 一 边 ”。假 如 已 知 正 方 体 的 一 边 为 a、 所 求 作 正 方 体 的 一 边 为x, 那 么 , 题 目 意 味 着 要 求 解 决 的 作 图 应 符 合 x3=2a3.数 学 家 们 提 出 许 多 方 案 , 但 无 论 他 们 如 何 绞 尽 脑 汁 、 索遍 枯 肠 , 也 得 不 到 正 确 答 案 。 因 为 按 照 传 统 的 规 定 , 必 须 符合 尺 规 作 图 原 则 , 但 所 有 方 案 都 或 明 显 或 隐 晦 地 违 背 了 这个 原 则 , 于 是 , 用 直 尺 ( 不 刻 度 的 ) 和 圆 规 对 这 道 题 作 图 的 希望 破 灭 了 。可 是 , 那 些 存 在 这 样 或 那 样 破 绽 的 方 案 中 , 却 体 现 出 不少 新 奇 而 巧 妙 的 独 特 思 路 。 古 希 腊 数 学 家 门 内 马 斯 ( 约 公元 前 375~ 公 元 前 325) 自 称 有 解 决 这 个 作 图 的 方 法 , 他 只说 过 一 句 话 :“ 有 两 条 抛 物 线 的 交 点 就 足 够 了 。”门 内 马 斯 是 系 统 地 研 究 圆 锥 曲 线 的 先 驱 , 而 实 际 上 在古 希 腊 时 期 , 人 们 已 有 抛 物 线 概 念 , 被 称 为 “ 数 学 之 神 ” 的 阿基 米 德 甚 至 能 够 求 出 抛 物 线 弓 形 面 积 , 因 此 后 人 相 信 门 内106


马 斯 的 话 , 可 是 , 对 其 中 机 理 一 直 是 百 思 不 得 一 解 。终 于 , 按 照 笛 卡 儿 的 坐 标 系 理 论 , 人 们 摸 到 了 门 内 马 斯的 脉 搏 , 他 所 指 的 两 条 抛 物 线 的 方 程 应 该 是 x2=ay 和 y2=2ax, 解 这 两 个 方 程 , 得 到 的 交 点 坐 标 便 可 满 足 x3=2a3的 条 件 。然 而 , 最 熟 悉 坐 标 系 性 质 和 最 善 于 应 用 坐 标 系 特 点 的还 是 笛 卡 儿 本 人 。 他 不 以 为 然 地 认 定 , 要 找 到 那 两 条 抛 物线 的 交 点 , 只 应 用 其 中 的 一 条 就 可 以 了 ; 至 于 另 一 条 , 可 以用 形 式 上 简 单 得 多 的 圆 来 代 替 。于 是 , 他 取 两 条 抛 物 线 方 程 的 和 , 得 到图 36107


这 是 一 个 圆 心 坐 标 为 (a, )、 半 径 为 a 的 圆 , 它 通过 两 抛 物 线 的 交 点 。 因 此 , 要 取 得 x3=2a3。 的 结 果 , 仅 需作 这 个 圆 以 及 上 述 两 抛 物 线 中 的 一 条 即 可 , 按 现 代 使 用 的直 角 坐 标 系 绘 示 于 图 36, 图 中 的 OB 等 于 a, 即 x3=2a3。 图 中 各 线 另 有 一 交 点 O, 不 符 题 意 , 予 以 舍 弃 。既 然 门 内 马 斯 时 代 还 没 有 坐 标 几 何 , 人 们 尚 不 清 楚 他是 怎 样 将 几 何 图 像 与 代 数 方 程 结 合 看 待 的 , 只 好 对 他 的 成果 暂 寄 疑 海 。 在 德 里 安 悲 剧 的 背 后 , 许 多 数 学 方 法 异 彩 纷呈 , 人 们 也 从 中 景 瞻 到 笛 卡 儿 坐 标 系 的 翩 翩 风 采 。喜 剧 性 论 战大 自 然 经 常 显 示 出 非 凡 的 天 才 ,“ 光 行 最 速 ” 便 是 它 的杰 作 之 一 。 关 于 光 的 反 射 原 理 , 欧 几 里 得 已 在 《 反 射 光 学 》一 书 中 , 指 出 “ 入 射 角 ” 等 于 “ 反 射 角 ” 这 样 一 种 法 则 , 以 后 又经 古 希 腊 学 者 海 伦 ( 约 公 元 1 世 纪 或 2 世 纪 人 ) 加 以 发 扬 光大 。 这 个 法 则 意 味 着 光 是 遵 循 大 自 然 的 最 优 设 计 , 用 最 快的 速 度 行 进 。从 图 37 可 以 看 出 , 光 从 A 点 照 到 镜 面 MN, 然 后 反 射至 B 点 , 它 如 要 用 最 快 的 速 度 行 进 , 那 么 , 所 走 的 路 程 必 然最 短 。 可 以 证 明 , 只 有 当 入 射 角 ∠1 等 于 反 射 角 ∠2 时 , 才能 使 光 程 最 短 , 结 果 是 使 光 行 最 速 。108


图 3 7光 从 A 点 经 过 入 射 和 反 射 过 程 到 达 B 点 , 是 在 同 一 介贡 中 行 进 , 固 然 有 以 上 结 果 , 而 笛 卡 儿 考 虑 的 情 形 却 要 复 杂得 多 , 他 问 自 己 :“ 如 果 不 在 同 一 介 质 中 行 进 , 情 况 会 是 怎 样呢 ?”经 过 一 番 钻 研 之 后 , 得 出 了 光 的 折 射 定 律 :式 中 V1、V2 分 别 为 光 在 第 一 、 第 二 介 质 中 的 速 度 ;i和 r 则 为 入 射 角 和 折 射 角 , 有 如 图 38 所 示 , 图 中 的 AB 为两 介 质 的 界 面 。笛 卡 儿 将 这 个 成 果 写 入 《 更 好 地 指 导 推 理 和 寻 找 科 学真 理 的 方 法 论 》 一 书 的 附 录 《 折 光 学 》 中 。 不 过 , 荷 兰 人 斯 涅尔 在 1626 年 早 已 发 现 以 上 折 射 定 律 , 只 是 当 时 尚 未 发 表 ;笛 卡 儿 的 《 折 光 学 》 则 是 1637 年 问 世 的 , 所 以 , 他 是 不 是 独109


立 地 发 现 这 条 定 律 尚 难 断 定 。 可 是 , 这 条 定 律 的 出 现 却 引起 一 场 论 战 。那 时 , 与笛 卡 儿 同 时 代的 一 位 数 学 家费 马 却 看 出《 折 光 学 》 中 证明 折 射 定 律 的破 绽 , 便 对 它进 行 攻 击 性 的 图 38非 难 。 可 是 , 费 马 本 人 的 论 点 也 免 不 了 有 纰 缪 , 于 是 , 一 场笔 锋 交 战 开 始 了 。 许 多 数 学 家 都 被 卷 入 这 场 喜 剧 性 的 论 战中 去 , 甚 至 形 成 派 别 , 互 不 相 让 , 争 论 范 围 后 来 扩 大 到 谁 先发 现 坐 标 几 何 、 曲 线 的 切 线 、 极 值 以 及 立 体 轨 迹 等 问 题 , 以致 荷 兰 数 学 家 毕 克 门 ( 当 年 曾 与 笛 卡 儿 在 布 勒 达 城 邂 逅 的多 特 大 学 校 长 ) 在 论 战 一 开 始 就 站 出 来 为 笛 卡 儿 辩 解 ( 只 是毕 克 门 不 幸 就 在 1637 年 这 年 辞 世 )。起 先 , 他 们 两 人 是 用 尖 刻 辛 辣 的 讽 刺 语 言 对 峙 , 当 费 马对 笛 卡 儿 的 《 几 何 学 》 予 以 批 评 时 , 后 者 却 反 唇 说 , 费 马 几 乎没 有 做 什 么 , 充 其 量 是 做 出 一 些 不 费 力 气 、 不 需 要 预 备 知 识就 能 得 到 的 东 西 , 而 他 自 己 则 在 《 几 何 学 》 中 用 了 关 于 方 程性 质 的 全 部 知 识 。 经 过 几 年 的 你 来 我 往 的 不 休 争 论 之 后 ,这 两 人 的 态 度 趋 于 缓 和 。110


数 学 问 题 在 猛 烈 的 抨 击 和 众 手 高 擎 下 前 进 了 , 提 高 了 ,更 加 分 清 真 伪 了 , 论 战 双 方 包 括 旁 观 者 全 都 受 到 极 大 裨 益 ,说 明 笛 卡 儿 和 费 马 两 人 之 间 长 达 十 年 的 争 执 总 算 没 有 白 白虚 掷 时 光 , 最 后 , 他 俩 互 相 仰 慕 , 成 为 好 友 。 在 笛 卡 儿 去 世后 , 费 马 于 1660 年 撰 写 的 一 篇 文 章 里 , 虽 然 指 出 《 几 何 学 》中 的 一 个 错 误 , 但 他 宣 称 自 己 非 常 佩 服 笛 卡 儿 的 天 才 , 说 即使 笛 卡 儿 有 误 , 他 的 工 作 甚 至 比 别 人 没 有 错 误 的 工 作 更 有价 值 。 他 俩 交 往 的 故 事 一 时 被 引 为 数 坛 美 谈 。上 帝 无 能 改 变 数 学 图 案1628 年 , 笛 卡 儿 移 居 荷 兰 的 第 一 年 , 即 完 成 《 思 想 的 指导 法 则 》 一 书 , 他 认 为 “ 通 过 持 续 不 断 的 思 维 活 动 观 察 若 干一 般 的 原 理 , 深 刻 考 虑 它 们 的 相 互 关 系 , 同 时 清 楚 地 、 尽 可能 多 地 列 举 出 它 们 的 这 些 关 系 , 这 样 做 是 有 益 的 。 我 们 的认 识 将 因 此 而 愈 加 真 实 , 我 们 的 思 想 也 将 因 此 而 更 加 开阔 。” 笛 卡 儿 的 思 想 就 是 这 样 始 终 贯 穿 着 事 物 之 间 不 无 联 系的 概 念 , 而 这 种 辩 证 法 雏 论 立 即 触 动 教 会 的 传 统 理 论 基 石 ,因 为 教 士 们 认 为 , 无 论 是 什 么 样 的 事 物 , 都 是 受 上 帝 的 安排 , 而 按 上 帝 的 意 旨 行 动 。 显 然 , 笛 卡 儿 的 观 点 与 教 会 坚 持的 唯 心 主 义 格 格 不 入 。当 时 欧 洲 各 国 的 政 治 活 动 是 受 教 会 全 面 控 制 的 , 科 学家 受 到 极 大 压 抑 , 而 科 学 的 发 展 又 经 常 会 冲 击 教 会 那 些 根111


本 就 站 不 住 脚 的 论 点 , 因 此 , 笛 卡 儿 被 认 为 是 大 逆 不 道 的 人物 也 就 不 足 为 奇 了 。在 科 学 家 心 目 中 ,“ 上 帝 ” 实 际 上 是 一 个 象 征 着 “ 造 物主 ” 的 代 名 词 , 造 物 主 的 存 在 意 味 着 大 自 然 能 够 有 这 样 或 那样 的 形 成 和 发 展 。 基 于 这 种 观 点 , 笛 卡 儿 说 , 他 相 信 本 人 已经 证 明 了 上 帝 的 存 在 , 因 而 感 到 很 高 兴 ; 不 过 , 他 告 诫 人 们说 ,《 圣 经 》 并 不 是 科 学 知 识 的 来 源 , 我 们 只 凭 理 性 就 足 以 证明 上 帝 的 存 在 , 还 说 , 我 们 应 该 只 承 认 自 己 所 能 了 解 的 东西 。笛 卡 儿 对 几 何 学 有 特 殊 的 偏 爱 , 在 《 思 想 的 指 导 法 则 》一 书 中 写 道 :“ 用 几 何 图 形 去 表 达 这 类 事 情 是 极 为 有 利 的 ,因 为 没 有 什 么 东 西 比 几 何 图 形 更 容 易 进 入 人 们 的 思 维 。” 他执 拗 地 声 称 , 自 然 界 预 先 规 定 的 数 学 图 案 就 是 上 帝 也 无 能改 变 。 他 的 这 种 信 念 大 大 地 刺 痛 了 教 会 头 面 人 物 , 因 为 那些 人 认 为 “ 上 帝 总 是 在 不 断 地 干 预 着 宇 宙 的 活 动 ”, 而 笛 卡儿 则 大 胆 地 否 定 了 教 会 的 这 一 基 本 信 条 。由 于 笛 卡 儿 有 悖 时 宜 的 观 点 和 论 述 , 以 及 他 那 刚 愎 自用 的 “ 桀 骜 不 驯 ” 态 度 激 怒 了 教 会 当 权 者 , 因 此 ,《 思 想 的 指导 法 则 》 没 有 得 到 出 版 的 机 会 。 梅 森 闻 知 这 消 息 之 后 大 为不 平 , 虽 经 四 处 奔 走 , 出 版 的 愿 望 仍 然 未 能 实 现 。接 着 , 在 1633 年 , 第 二 部 著 作 也 写 成 了 , 这 部 名 为 《 宇宙 论 》 的 书 稿 中 提 出 一 个 宇 宙 漩 涡 理 论 , 是 用 来 说 明 行 星 是如 何 转 动 不 息 而 且 保 持 在 它 们 绕 日 的 轨 道 中 的 。 梅 森 在 看112


到 书 稿 后 大 为 赞 赏 , 但 是 他 认 为 其 中 的 一 些 内 容 与 哥 白 尼的 日 心 说 暗 合 , 必 为 教 会 所 不 容 , 应 慎 重 考 虑 后 交 付 出 版 ;梅 森 以 自 己 身 居 教 廷 的 职 位 卑 下 , 未 能 为 老 友 出 力 而 深 感负 疚 之 情 。 这 时 , 笛 卡 儿 也 想 到 不 久 前 因 提 倡 地 动 说 被 教廷 判 罪 的 伽 利 略 , 至 今 仍 身 系 缧 绁 , 为 了 避 免 招 惹 是 非 , 便只 好 暂 时 将 书 稿 束 之 高 阁 ( 没 有 想 到 , 这 一 放 便 是 31 年 , 直到 1664 年 才 得 刊 行 。 令 人 痛 心 的 是 , 笛 卡 儿 本 人 在 生 前 无缘 见 到 自 己 的 书 )。1644 年 , 笛 卡 儿 发 表 了 《 哲 学 原 理 》 一 书 , 专 论 物 理 科学 ( 特 别 是 运 动 定 律 和 漩 涡 理 论 ), 此 书 也 包 含 有 《 宇 宙 论 》的 一 些 材 料 , 他 相 信 这 次 已 经 写 得 使 教 会 容 易 接 受 些 了 。1648 年 , 笛 卡 儿 的 知 己 梅 森 去 世 , 使 他 哀 恸 不 已 。1649 年 , 他 受 瑞 典 女 王 柯 丽 丝 婷 娜 的 邀 请 , 前 往 斯 德 哥 尔摩 任 女 王 的 教 师 , 不 幸 数 月 后 便 患 肺 炎 逝 世 , 时 为 1650 年2 月 11 日 。教 会 并 没 有 放 过 离 开 人 世 的 笛 卡 儿 , 在 他 死 后 不 久 , 就把 他 的 书 列 入 《 禁 书 目 录 》, 并 且 当 在 巴 黎 为 他 举 行 葬 礼 的时 候 , 阻 止 给 他 致 悼 词 。 他 的 早 期 作 品 《 思 想 的 指 导 法 则 》一 书 也 是 在 他 身 后 若 干 年 才 获 得 出 版 的 机 会 。数 学 世 界 的 匆 匆 过 客数 学 研 究 给 笛 卡 儿 以 无 穷 乐 趣 , 而 笛 卡 儿 对 数 学 的 贡113


献 也 不 是 泛 泛 可 比 的 。 他 的 《 几 何 学 》 的 实 质 是 在 讲 形 和 数的 统 一 , 其 中 前 两 卷 专 论 解 析 几 何 , 第 三 卷 专 论 当 时 流 行 的代 数 分 析 。 在 这 个 基 础 上 , 人 们 认 为 , 单 纯 地 使 用 坐 标 系 并不 构 成 数 学 在 这 个 阶 段 的 变 革 , 而 笛 卡 儿 真 正 取 得 的 进 展则 是 证 明 了 几 何 问 题 可 以 归 结 为 代 数 形 式 的 问 题 , 因 此 在求 解 时 可 以 运 用 代 数 的 全 部 方 法 。笛 卡 儿 的 成 果 所 得 到 的 效 能 是 非 常 明 显 的 , 由 于 代 数语 言 远 较 几 何 语 言 富 有 启 发 性 , 所 以 在 问 题 改 变 形 式 之 后 ,只 要 进 行 一 些 代 数 变 换 , 就 可 以 发 现 许 多 出 乎 预 料 的 性 质 。此 外 , 由 于 笛 卡 儿 采 用 代 数 语 言 来 表 示 几 何 性 质 , 这 就 使 他有 可 能 提 出 许 多 定 理 的 简 单 证 明 , 而 某 些 定 理 若 用 传 统 的几 何 方 法 处 理 , 有 时 难 度 是 相 当 大 的 。在 《 几 何 学 》 中 还 提 出 一 种 作 曲 线 的 切 线 的 方 法 , 就 这问 题 的 本 质 而 言 , 它 是 微 分 学 中 的 基 本 问 题 , 在 17 世 纪 , 有不 少 著 名 数 学 家 都 曾 为 了 讨 论 它 的 概 念 而 卷 入 “ 切 线 问 题 ”的 论 战 中 去 。 当 时 , 虽 然 《 几 何 学 》 对 这 问 题 的 叙 述 比 较 含糊 , 但 是 后 来 在 他 的 《 书 信 集 > 中 看 到 他 的 观 点 是 :“ 切 线 是当 两 个 交 点 重 合 时 的 割 线 , 亦 即 将 切 线 看 成 是 割 线 处 于 极限 位 置 者 。” 这 种 对 切 线 的 描 述 实 是 入 木 三 分 。笛 卡 儿 对 代 数 学 也 作 了 某 些 有 价 值 的 贡 献 , 他 首 创 的平 方 根 号 、 用 末 尾 几 个 字 母 表 示 未 知 数 等 , 都 成 为 现 今 数 学上 的 习 惯 用 法 ; 在 《 几 何 学 第 三 卷 中 , 他 探 究 了 方 程 的 根 的性 质 , 其 中 论 及 方 程 各 项 系 数 的 符 号 与 正 负 根 个 数 的 关 系 ,114


就 是 现 代 方 程 论 中 的 “ 笛 卡 儿 正 负 号 法 则 ”; 他 还 引 入 了 待定 系 数 的 原 理 ……笛 卡 儿 对 数 学 的 贡 献 如 此 巨 大 , 但 是 , 在 他 的 一 生 中 ,并 没 有 把 太 多 的 时 间 花 于 数 学 。 他 不 过 是 数 学 世 界 上 一 位匆 匆 的 过 客 , 以 致 后 人 说 他 “ 只 是 偶 然 地 成 为 数 学 家 ”, 可是 , 他 对 数 学 有 很 深 刻 的 认 识 , 明 确 宣 称 , 科 学 的 本 质 是 数学 。笛 卡 儿 学 识 渊 博 , 兴 趣 是 广 泛 的 , 他 是 一 位 杰 出 的 哲 学家 , 又 是 生 物 学 家 和 物 理 学 家 , 在 1641 至 1644 年 期 间 出 版的 《 形 而 上 学 的 沉 思 》、《 哲 学 原 理 》 等 著 作 都 体 现 他 的 研 究成 果 。笛 卡 儿 一 生 所 追 求 的 是 “ 方 法 ”—— 建 立 真 理 的 方 法 ,这 是 他 哲 学 思 想 的 基 本 点 。 他 说 :“ 方 法 就 是 把 我 们 应 注 意的 事 物 进 行 适 当 的 整 理 和 排 列 ”, 又 说 :“ 当 一 个 问 题 被 提 出来 以 后 , 我 们 应 当 立 即 看 一 看 , 首 先 研 究 另 外 一 些 问 题 是 否更 为 有 利 , 那 另 外 的 问 题 是 哪 些 问 题 , 以 及 按 什 么 顺 序 进 行研 究 最 合 适 。” 他 时 常 蕴 于 脑 中 有 异 乎 寻 常 的 独 特 思 路 , 例如 他 从 提 供 物 质 世 界 的 知 识 这 个 意 义 上 说 , 并 不 认 为 代 数是 一 门 科 学 , 而 把 代 数 看 成 是 进 行 寻 求 未 知 量 和 推 理 的 有力 方 法 。人 们 想 到 , 如 果 笛 卡 儿 不 是 数 学 世 界 一 过 客 , 即 使 能 够多 逗 留 一 些 时 日 , 也 必 定 对 那 个 世 界 造 福 万 千 。115


费 马 —— 业 余 数 学 家 之 王我 确 实 发 现 了 这 个 巧 妙 的 证 明 。—— 费 马 ——在 遥 远 的 天 地 里数 论 是 数 学 领 域 中 最 能 引 起 人 们 浓 厚 兴 趣 的 一 个 分支 , 这 个 纯 数 学 理 论 的 学 科 既 粗 浅 又 深 奥 。 说 它 粗 浅 , 无 非是 讨 论 自 然 数 这 样 人 人 都 熟 悉 的 内 容 ; 说 它 深 奥 , 有 许 多 问题 ( 譬 如 说 确 定 一 个 数 是 不 是 质 数 ) 历 经 两 千 多 年 ( 一 直 到现 在 ) 也 莫 辨 是 非 或 找 不 到 答 案 。数 论 虽 然 滥 觞 于 古 希 腊 , 又 由 历 代 世 界 各 国 数 学 家 增添 不 尽 风 光 , 但 是 , 公 认 对 数 论 作 出 最 大 贡 献 并 给 这 门 学 科以 巨 大 推 动 力 的 则 是 17 世 纪 的 法 国 人 皮 埃 尔 · 费 马 , 他 被誉 为 “ 数 论 之 父 ”。那 么 , 费 马 何 许 人 也 ? 是 哪 所 大 学 的 数 学 教 授 ? 是 哪个 科 学 研 究 院 的 院 士 ? 都 不 是 。 他 是 一 位 律 师 , 自 然 科 学与 他 的 专 业 相 去 千 里 , 因 此 , 后 人 说 他 是 在 遥 远 的 天 地 里 研116


究 数 学 。在 古 今 中 外 为 数 众 多 的 数 学 家 之 中 , 能 够 独 当 一 面 , 而取 得 大 量 开 拓 成 就 的 颇 不 乏 人 , 但 是 , 他 们 之 中 的 大 多 数 都是 专 业 的 数 学 工 作 者 , 或 则 兼 为 理 工 科 、 自 然 科 学 的 学 者 。历 史 上 的 社 会 科 学 工 作 者 卒 成 大 数 学 家 者 为 数 甚 寥 , 除 中国 的 秦 九 韶 之 外 , 费 马 也 是 其 中 一 人 。1601 年 8 月 20 日 , 费 马 出 生 于 法 国 南 部 土 鲁 斯 附 近的 一 个 皮 革 商 家 庭 , 他 幼 小 聪 慧 , 喜 爱 浏 览 各 学 科 图 书 , 长大 后 攻 读 法 律 , 当 过 律 师 、 法 官 , 并 是 土 鲁 斯 议 会 的 议 员 。费 马 一 生 清 廉 公 正 , 治 事 缜 密 , 深 受 社 会 上 各 阶 层 人 士的 敬 重 和 爱 戴 ; 他 博 学 广 识 , 在 文 字 学 和 语 言 学 方 面 也 有 很深 造 诣 。 费 马 十 分 珍 惜 时 间 , 不 肯 让 光 阴 等 闲 虚 度 , 一 有 闲暇 , 就 认 真 思 索 各 类 问 题 , 并 积 极 与 科 学 界 好 友 联 系 、 讨 论和 请 教 , 在 数 学 方 面 , 他 与 当 时 的 名 流 笛 卡 儿 、 帕 斯 卡(1623—1662) 等 人 过 从 甚 密 , 以 互 相 切 磋 数 学 奥 秘 为 乐 。费 马 在 将 近 30 岁 时 才 开 始 接 触 数 学 , 一 直 到 64 岁 逝世 时 止 , 用 30 多 年 的 业 余 时 间 广 泛 研 究 了 几 何 、 数 论 等 理论 , 并 为 解 析 几 何 、 概 率 论 、 微 积 分 的 问 世 奠 定 了 基 础 。 他是 一 位 业 余 的 数 学 爱 好 者 , 但 是 , 他 在 数 学 上 的 贡 献 则 远 远超 过 许 多 著 名 的 专 业 数 学 工 作 者 , 因 此 , 后 来 被 称 为 “ 业 余数 学 家 之 王 ”。费 马 是 一 位 谦 虚 好 静 的 忠 厚 长 者 , 他 无 意 发 表 自 己 的著 述 , 因 此 生 平 除 了 少 数 片 断 短 文 流 传 之 外 , 没 有 完 整 的 论117


著 行 世 。 他 的 大 部 分 研 究 成 果 是 在 他 遗 物 的 故 纸 堆 中 觅见 , 或 则 从 他 阅 看 过 的 书 籍 中 页 边 、 条 缝 或 “ 天 地 ” 空 白 处 的批 注 得 到 , 另 有 一 些 见 诸 他 与 朋 友 们 往 来 的 书 信 中 。1665 年 1 月 12 日 , 费 马 在 土 鲁 斯 辞 世 。奇 妙 的 自 然 数对 一 般 未 涉 足 数 论 的 入 来 说 , 自 然 数 是 最 平 凡 不 过 的 ,不 就 是 1、2、3、4、…… 吗 ? 尽 管 自 然 数 有 无 穷 多 个 , 但 它 是118


人 人 熟 悉 的 , 毕 竟 不 会 有 什 么 出 奇 之 处 。可 是 , 持 上 述 看 法 的 人 如 果 稍 稍 回 顾 一 下 历 史 , 就 可 以了 解 自 然 数 的 一 二 性 质 , 要 知 道 , 古 老 的 欧 几 里 得 著 作 中 早就 有 过 对 自 然 数 奥 妙 的 论 述 , 譬 如 说 质 数 、 完 全 数 等 , 那 都是 充 满 神 秘 色 彩 的 , 直 到 今 天 (20 世 纪 末 ), 人 们 对 它 们 的特 性 还 是 摸 不 透 。 可 以 说 , 它 们 已 经 困 惑 了 世 人 两 千 多 年 ,还 不 知 道 今 后 的 哪 个 年 代 , 才 能 松 脱 它 们 对 世 人 束 缚 的 绳索 呢 !费 马 已 经 看 到 自 然 数 中 蕴 含 着 多 么 丰 富 的 知 识 , 他 意识 到 , 也 许 人 类 的 智 慧 永 远 破 不 了 上 帝 通 过 自 然 数 编 构 的谜 。 费 马 对 古 希 腊 人 从 几 何 学 角 度 开 始 研 究 数 学 有 自 己 的见 解 , 他 认 为 数 学 发 展 的 雏 期 , 这 也 许 是 一 条 必 经 的 道 路 ,可 是 , 单 纯 地 偏 爱 几 何 学 也 有 其 局 限 性 。 他 觉 得 , 受 欧 几 里得 影 响 而 故 步 自 封 是 极 不 可 取 的 , 以 前 数 学 家 们 用 几 何 观点 来 处 理 算 术 问 题 是 对 真 正 算 术 的 陌 生 , 而 算 术 应 该 有 自己 的 特 殊 园 地 —— 整 数 论 , 来 讨 论 有 关 自 然 数 的 性 质 以 及存 在 于 其 中 的 规 律 性 。对 自 然 数 的 认 识 不 是 一 朝 一 夕 就 能 深 透 , 但 是 , 在 诸 多杂 乱 无 章 的 棘 丛 中 , 首 先 得 理 出 一 条 途 径 , 这 途 径 当 然 应 从自 然 数 的 分 类 起 步 。自 然 数 分 为 三 类 :1, 质 数 , 合 数 。 进 行 研 究 的 最 起 码 应达 到 的 目 标 就 是 分 清 某 数 到 底 是 质 数 或 是 合 数 , 这 对 于 数值 较 小 的 自 然 数 容 易 解 决 , 对 于 很 大 的 自 然 数 就 是 个 难 事119


了 。 从 另 一 方 面 讲 , 要 找 出 许 多 合 数 是 容 易 的 , 寻 求 质 数 的踪 迹 则 远 远 不 是 费 马 时 代 ( 甚 至 一 直 到 20 世 纪 的 今 天 ) 的学 者 所 能 胜 任 。费 马 的 心 思 是 : 推 导 一 个 公 式 , 希 望 它 能 表 达 所 有 质数 , 看 来 是 一 种 奢 望 ; 那 末 , 退 一 步 说 , 如 果 能 够 找 到 一 个 公式 去 表 达 部 分 质 数 , 那 也 很 好 。可 是 , 质 数 的 分 布 是 如 此 缺 乏 规 律 性 , 以 致 于 使 费 马 感到 无 从 入 手 , 而 且 即 使 列 出 某 某 公 式 , 也 无 法 证 明 它 能 表 达质 数 的 准 确 性 。 这 样 , 只 好 找 出 某 某 公 式 , 再 以 “ 猜 测 ” 的 形式 出 现 , 然 后 等 待 时 机 证 明 。费 马 考 虑 到 以 下 一 条 定 理 :“ 如 果 2m+1 是 质 数 , 那 么 m=2n。”很 容 易 证 得 m 不 能 有 奇 数 真 因 数 , 即 m 应 表 示 为2n。他 猜 测 , 这 条 定 理 的 逆 也 会 成 立 , 即“ 一 切 形 如 22+1 的 数 都 是 质 数 ”他 验 算 了 n=0、l、2、3、4、 的 情 形 , 得 到 3、5、17、257、65537 诸 数 , 它 们 果 然 都 是 质 数 。后 人 称 形 如 22+1 的 数 为 费 马 数 。 能 不 能 保 证 所 有费 马 数 都 是 质 数 呢 ? 他 本 人 是 没 有 把 握 的 。 然 而 , 在 费 马身 后 67 年 时 , 瑞 士 数 学 家 欧 拉 却 把 这 个 猜 测 推 翻 了 。 欧 拉指 出 ,22+1 是 一 个 合 数 , 而 不 是 质 数 。1 2 0


接 着 , 更 加 复 杂 的 226+1 也 被 发 现 是 合 数 :226+1=18446744073709551617, 有 因 数 274177。n 值 再 大 一 些 的 费 马 数 就 不 容 易 分 解 因 数 了 , 有 的 知道 它 是 合 数 , 但 却 写 不 出 真 因 数 ( 如 n=14); 还 有 的 不 知 道它 究 竟 是 合 数 还 是 质 数 ( 如 n=24)。方 队 的 启 示将 受 检 阅 或 在 操 练 的 队 伍 摆 成 方 队 ( 即 使 每 行 和 每 列的 人 数 相 等 ) 的 由 来 已 久 , 人 们 已 经 无 法 追 根 溯 源 。 但 是 ,有 心 人 认 为 , 这 可 能 是 古 代 军 事 学 家 的 杰 作 , 也 许 方 队 在 训练 士 兵 和 布 置 作 战 陈 形 上 有 某 种 特 点 , 渐 渐 沿 习 下 来 , 方 队( 或 称 为 方 阵 ) 也 就 成 为 传 统 举 行 典 礼 时 所 用 的 队 形 , 它 的花 样 和 名 目 不 时 得 到 翻 新 。奇 妙 的 自 然 数 给 方 队 的 构 成 增 添 不 少 生 趣 , 研 究 自 然数 的 性 质 时 , 费 马 发 现 前 人 的 工 作 有 许 多 可 供 借 鉴 之 处 , 这本 来 也 是 不 足 为 奇 的 , 科 学 的 发 展 自 应 是 从 低 级 到 高 级 , 上一 代 的 成 果 被 下 一 代 应 用 , 而 下 一 代 又 有 责 任 去 完 善 上 一代 的 成 果 。 费 马 兴 致 勃 勃 地 去 研 究 各 种 方 队 组 成 的 可 能 性及 其 变 化 的 特 征 , 例 如 某 数 能 不 能 组 成 方 队 ? 为 什 么 ? 一个 方 队 怎 样 变 成 两 个 方 队 ? 是 否 多 大 的 方 队 都 能 自 由 变换 ? 几 个 相 同 的 方 队 加 上 多 大 的 数 可 以 另 行 组 成 一 个 大 方121


队 ? 诸 如 此 类 , 不 一 而 足 。数 学 给 古 老 的 方 队 理 论 注 入 新 的 生 命 , 从 整 数 论 的 观点 看 , 方 队 研 究 是 讨 论 完 全 平 方 数 问 题 。 例 如 从 毕 氏 定 理衍 生 的 “ 毕 达 哥 拉 斯 数 ”, 它 表 述 直 角 三 角 形 中 两 直 角 边 和斜 边 都 是 自 然 数 , 若 以 c2=a2+b2 表 示 毕 氏 定 理 , 则 有a=2pmn,b=p(m2-n2),c=P(m2+n2)式 中 p、m、n 均 为 自 然 数 ,m>n.如 取 p=5、m=7、n=4, 便 得3252=2802+1652上 式 说 明 : 一 个 每 边 325 人 的 方 队 可 以 变 换 为 两 个 方队 , 它 们 每 边 的 人 数 分 别 为 280 人 和 165 人 。费 马 沿 着 前 人 的 足 迹 前 进 , 但 是 他 的 目 标 是 愈 险 、 愈 奇的 境 界 。1640 年 12 月 25 日 , 他 致 梅 森 的 信 中 提 出 一 个 定理 :“4k 是 +l 形 的 质 数 能 够 唯 地 表 达 为 两 个 平 方 数 之 和 。”证 明 这 个 定 理 并 不 容 易 , 可 惜 费 马 没 有 留 下 证 明 方 法 ,只 是 在 19 年 之 后 (1659 年 ), 他 给 朋 友 卡 克 维 的 信 中 说 到证 明 方 法 是 “ 无 限 递 降 法 ”, 具 体 证 明 过 程 仍 未 留 下 。 这 是个 正 确 的 事 实 , 可 以 形 成 定 理 , 直 至 1749 年 , 才 由 欧 拉 做 出证 明 。费 马 又 断 言 , 没 有 一 个 4k-1 形 的 质 数 能 表 达 为 两 个平 方 数 之 和 。费 马 发 挥 以 上 定 理 的 特 征 , 得 出 一 系 列 有 趣 的 结 果 :4k+l 形 的 质 数 的 平 方 是 两 个 ( 而 且 只 有 两 个 ) 直 角 边 为 自122


然 数 的 直 角 三 角 形 的 斜 边 ; 它 的 立 方 是 三 个 ( 而 且 只 有 三个 ) 这 种 直 角 三 角 形 的 斜 边 ; 它 的 四 次 方 是 四 个 ( 而 且 只 有四 个 ) 这 种 直 角 三 角 形 的 斜 边 ; 它 的 五 次 方 、 六 次 方 …… 也都 是 类 似 的 情 况 。 例 如 , 对 于 4k+l 形 的 质 数 17, 可 以 表达 为, 而 有以 上 各 式 的 平 方 数 表 示 方 队 人 数 , 实 际 上 , 由 于 数 字 很大 , 它 们 已 无 法 布 阵 , 这 时 , 费 马 是 将 方 队 引 入 数 学 范 畴 了 。形 形 色 色自 然 数 的 变 化 和 内 在 奥 秘 令 人 赏 心 悦 目 , 费 马 陶 醉 其中 , 也 乐 在 其 中 。 他 所 要 解 决 的 问 题 是 多 方 面 的 , 有 的 是 些相 当 繁 复 的 数 字 , 例 如 以 上 取 作 为 直 角 三 角 形 的 斜 边 ,能 够 得 到 四 个 直 角 边 为 自 然 数 的 直 角 三 角 形 , 式 中 所 显 示的 各 直 角 边 的 数 相 当 大 , 是 如 何 获 得 的 呢 ?费 马 解 决 各 种 问 题 都 要 依 循 着 一 定 的 路 线 , 使 用 相 当的 技 巧 。 为 此 , 他 需 要 建 立 为 数 众 多 的 形 形 色 色 定 理 或 公123


式 , 同 时 , 还 要 深 入 研 究 自 然 数 的 种 种 特 性 。 例 如 , 对 于 4k+1 形 的 质 数 , 又 有 以 下 性 质 :它 本 身 和 它 的 平 方 都 只 能 以 一 种 方 式 表 达 为 两 个 平 方数 之 和 ( 例 如), 它 的 立 方 和 四 次方 都 能 以 两 种 方 式 表 达 ( 例 如), 它 的 五 次 方 和 六 次 方 都 能以 三 种 方 式 表 达 等 等 。对 于 方 队 理 论 , 费 马 还 指 出 : 若 等 于 两 平 方 数 之 和 的 一个 质 数 乘 以 另 一 个 也 是 这 样 的 质 数 , 则 其 乘 积 将 能 以 两 种方 式 表 达 为 两 个 平 方 数 之 和 。 即 : 设 两 质 数 分 别 为则 有或进 一 步 得 出 : 第 一 个 质 数 乘 以 第 二 个 质 数 的 平 方 , 则 乘积 将 能 以 三 种 方 式 表 达 为 两 个 平 方 数 之 和 , 即同 样 地 , 第 一 个 质 数 乘 以 第 二 个 质 数 的 立 方 , 则 乘 积 将能 以 四 种 方 式 表 达 为 两 个 平 方 数 之 和 等 等 。有 了 以 上 形 形 色 色 的 定 理 和 公 式 , 再 配 合 以 构 造 毕 达哥 拉 斯 数 的 有 关 式 子 , 那 么 , 将 表 达 为 两 个 平 方 数 之124


和 也 就 不 难 了 。关 于 将 质 数 表 达 为 两 个 平 方 数 之 和 , 费 马 又 加 以 推 广 ,找 到 一 系 列 将 质 数 表 达 为的 类 似 定 理 。 例 如 6k+1 形 的 质 数 可 以 表 达 为;8k+1 和 8k+3 形 的 质 数 可 以 表 达 为; 奇质 数 能 够 唯 一 地 表 达 为 两 个 平 方 数 之 差 等 等 。在 方 队 理 论 研 究 中 , 费 马 得 到 后 来 被 称 为 “ 费 马 商 ” 的式 子 :他 指 出 , 只 有 两 个 质 数 能 使 以 上 式 子 成 为 平 方 数 , 那 就是 P=3 和 P=7。费 马 所 研 究 的 是 自 然 数 , 所 以 他 所 说 平 方 数 都 是 指 “ 完全 平 方 数 ”, 即 自 然 数 的 平 方 。 因 此 , 这 里 所 谓 完 全 平 方 数有 别 于 通 常 所 指 的 有 理 数 平 方 。 例 如 , 费 马 指 出 :“ 对 于则 不 可 能 是 一 个 平 方 数 。” 这 条 定 理 说 明 ,如 直 角 三 角 形 的 三 边 符 合 毕 达 哥 拉 斯 数 , 那 么 它 的 面 积 数不 可 能 是 自 然 数 的 平 方 ( 定 理 中 a、b、c 当 然 是 指 自 然 数 )。费 马 熟 悉 各 种 与 方 队 理 论 有 关 的 方 程 解 , 例 如 他 指 出 ,仅 有 唯 一 自 然 数 解 , 即 x=5; 而二 解 , 即 z=2 和 z=11。有125


神 秘 方 程1657 年 2 月 , 费 马 致 友 人 弗 烈 尼 科 尔 的 一 封 信 中 提 到以 下 一 个 方 程 :方 程 中 的 d 是 非 平 方 数 的 自 然 数 。他 说 , 关 于 这 个 方 程 , 有 一 个 定 理 :在 d 是 自 然 数 而 非 平 方 数 时 有 无 穷 多个 解 ”在 这 封 信 内 , 他 并 向 所 有 数 学 家 挑 战 。这 个 表 现 形 式 简 单 的 方 程 看 起 来 平 淡 无 奇 , 却 蕴 藏 着无 限 美 妙 景 色 。 原 来 早 在 公 元 7 世 纪 , 印 度 数 学 家 柏 拉 默古 塔 曾 经 遇 到 一 次 方 队 排 列 , 当 时 , 一 位 将 军 麾 下 的 所 有 兵士 正 好 排 成 92 个 相 同 的 方 队 , 操 练 时 , 将 军 也 加 入 队 伍 , 于是 , 只 增 加 这 一 个 人 , 便 能 够 排 成 一 个 大 方 队 。那 么 , 这 位 将 军 所 率 领 兵 士 一 共 有 多 少 人 呢 ? 这 相 当于 求 解 方 程。 柏 拉 默 古 塔 说 :“ 谁 要 是 能 用 一年 时 间 解 出 这 个 方 程 , 他 就 可 以 算 是 真 正 的 数 学 家 。” 实 际上 , 一 些 人 并 没 有 花 费 一 年 时 间 , 就 解 出 x=1151、Y=120。可 是 , 费 马 认 为 , 这 个 解 是 不 全 面 的 , 充 其 量 只 是 它 的最 小 值 解 , 而 方 程 是 有 无 穷 多 个 解 的 。126


从 柏 拉 默 古 塔 的 口 气 分 析 , 这 类 方 程 的 解 是 有 相 当 大的 难 度 。 的 确 是 这 样 , 但 那 个 方 程 还 算 是 简 单 的 ; 如 果 将92 换 成 94, 那 就 复 杂 多 了 : 的 最 小 值 解 是 x=2143295、Y=221064。柏 拉 默 古 塔 提 出 的 方 程 并 非 独 一 无 二 。 费 马 还 知 道 一个 非 常 精 彩 的 趣 题 —— 阿 基 米 德 的 《 群 牛 问 题 》, 它 导 致 这种 类 型 方 程 的 出 现 , 而 使 所 有 数 学 家 束 手 无 策 已 达 两 千 余年 。《 群 牛 问 题 》 梗 概 如 下 :太 阳 神 饲 养 一 群 牛 , 有 牡 牛 和 牝 牛 , 分 白 、 黑 、 花 、 棕 四色 。 在 牡 牛 中 , 白 牛 比 棕 牛 多 出 的 数 , 正 好 是 黑 牛 的 一 半 加三 分 之 一 ; 黑 牛 比 棕 牛 多 出 的 数 , 又 正 好 是 花 牛 的 四 分 之 一加 五 分 之 一 ; 花 牛 比 棕 牛 多 出 的 数 , 却 正 好 是 白 牛 的 六 分 之一 加 七 分 之 一 。 在 牝 牛 中 , 自 牛 数 是 全 部 ( 包 括 牡 、 牝 牛 ) 黑牛 数 的 三 分 之 一 加 四 分 之 一 ; 黑 牛 数 是 全 部 花 牛 数 的 四 分之 一 加 五 分 之 一 ; 花 牛 数 是 全 部 棕 牛 数 的 五 分 之 一 加 六 分之 一 ; 棕 牛 数 是 全 部 白 牛 数 的 六 分 之 一 加 七 分 之 一 。 问 : 牛群 中 诸 色 牡 、 牝 牛 至 少 各 为 多 少 头 ? 如 果 全 部 白 牡 牛 和 黑牡 牛 能 排 成 一 个 方 队 , 棕 牡 牛 和 花 牡 牛 能 够 摆 成 一 个 等 边三 角 形 队 , 那 么 , 诸 色 牡 、 牝 牛 又 是 多 少 头 呢 ?《 群 牛 问 题 > 的 解 需 要 有 一 定 程 度 的 技 巧 , 前 半 部 虽 然也 很 难 , 但 毕 竟 能 解 得 出 ; 而 后 半 部 却 引 出 一 个 方 程 , 根 值之 大 是 没 法 书 写 出 来 的 。 这 方 程 是127


费 马 归 纳 了 柏 拉 默 古 塔 、 阿 基 米 德 等 人 建 立 的 这 种 类型 方 程 , 并 继 1657 年 那 封 信 之 后 , 在 1658 年 又 写 一 封 信 ,声 称 他 是 用 “ 无 限 递 投 法 ” 解 x2-dy2=l 型 方 程 的 。费 马 提 出 的 x2-dy2=1 型 方 程 本 来 被 人 称 为 “ 费 马方 程 ”, 但 欧 拉 在 1732 年 误 称 为 “ 佩 尔 方 程 ”。 人 们 虽 然 知道 佩 尔 只 不 过 是 在 修 订 某 一 翻 译 版 本 的 < 代 数 > 中 引 用 前 人的 解 法 , 而 由 于 欧 拉 的 名 气 太 大 , 都 未 改 口 , 今 人 不 知 详 情 ,也 或 有 沿 用 “ 佩 尔 方 程 ” 这 个 名 词 的 。人 称 “ 费 马 方 程 ” 为 神 秘 方 程 。 至 于 费 马 提 出 的 那 个 定理 , 后 来 被 欧 拉 和 拉 格 朗 日 所 解 决 。1759 年 , 欧 拉 通 过 把表 成 一 个 连 分 式 , 给 出 了 一 种 解 法 , 甚 具 特 性 。繁 花 似 锦在 数 学 领 域 的 广 阔 园 地 里 。 数 论 这 一 分 支 之 所 以 异 彩纷 呈 、 奇 香 扬 , 固 然 是 由 于 众 多 数 学 家 的 精 心 栽 培 , 但 是 ,历 代 评 论 家 都 认 为 , 这 所 有 一 切 , 应 该 归 功 于 费 马 。 就 是 这位 伟 人 , 他 唤 起 人 们 对 数 论 的 高 度 兴 趣 , 他 本 人 又 在 扶 犁 执耨 , 辛 勤 耕 耘 , 换 得 来 繁 花 似 锦 。 他 提 出 数 量 相 当 多 的 定理 , 在 现 今 的 一 切 数 论 书 籍 中 都 离 不 开 它 们 。“ 数 论 是 属 于 费 马 的 ”, 这 句 话 恰 如 其 分 。 费 马 喜 欢 按照 古 希 腊 人 的 习 惯 称 他 所 研 究 的 学 科 为 “ 算 术 ”, 可 以 毫 不夸 张 地 说 , 现 代 算 术 是 从 费 马 开 始 的 , 在 这 片 原 野 上 驰 骋 的128


人 们 都 唯 他 马 首 是 瞻 。1640 年 6 月 , 费 马 在 致 梅 森 的 一 封 信 中 提 出 三 条 定理 , 并 且 宣 称 , 这 三 条 定 理 是 他 关 于 数 的 性 质 的 研 究 基 础 ,它 们 是 :1. 若 n 是 合 数 , 则 -1 亦 是 合 数 。2. 若 n 是 奇 质 数 , 则 -2 可 被 2n 除 尽 。3. 若 n 是 奇 质 数 , 则 除 了 2kn+1 这 种 形 式 的 数 之外 ,2n-1 不 能 被 其 它 质 数 除 尽 。 例 如 -1=2047, 其 因数 为 23 与 89( 即 2×1×11+1 与 2×4×11+1)。远 在 毕 达 哥 拉 斯 年 代 , 人 们 就 非 常 重 视 数 与 图 形 之 间的 关 系 。 毕 达 哥 拉 斯 学 派 实 际 上 并 不 把 数 与 几 何 上 的 点 区分 开 来 , 因 此 他 们 从 几 何 角 度 把 一 个 数 看 做 是 扩 大 了 的 一个 点 或 很 小 的 一 个 球 。 他 们 把 数 描 述 成 形 , 用 卵 石 粒 排 列的 形 状 来 进 行 分 类 , 例 如 图 39 示 三 角 形 数 1、3、6、10、……, 四 方 形 数 ( 即 平 方 数 或 正 方 形 数 )1、4、9、16、…… 五 边形 数 1、5、12、……费 马 提 出 一 个 很 难 的 关 于 多 角 形 数 ( 或 称 多 边 形 数 ) 的定 理 , 他 断 言 : 每 一 个 自 然 数 是 k 个 k 角 形 数 之 和 。按 图 39 具 体 地 说 就 是 : 凡 自 然 数 都 是 三 个 三 角 形 数 或四 个 四 方 形 数 或 五 个 五 边 形 数 之 和 ( 包 括 每 边 的 数 为 ,n=0), 亦 即 凡 自 然 数 要 么 是 数 列0,1,3,6,10,…… 中 的 三 个 数 , 要 么 是 数 列0,1,4,9,16,…… 中 的 四 个 数 , 要 么 是 数 列129


图 390,1,5,12,22,…… 中 的 五 个 数 之 和 。由 于 一 般 k 角 形 数 是 n+-m)(k-2)/2, 因 此 , 相应 地 , 三 角 形 数 、 四 方 形 数 、 五 边 形 数 为n(n+1)/2、 、n(3n-1)/2后 来 , 高 斯 证 明 了 k=3 的 情 形 , 欧 拉 和 拉 格 朗 日 证 明了 k=4 的 情 形 ( 他 们 将 自 然 数 改 为 非 负 整 数 , 即 包 括 零 )。而 当 法 国 数 学 家 柯 西 (1789—1857)1815 年 在 巴 黎 科 学 院宣 读 他 已 证 得 “ 每 一 个 自 然 数 是 k 个 k 角 形 数 之 和 ” 的 论 文时 , 全 欧 洲 数 学 界 都 沸 腾 起 来 了 。130


小 大 两 定 理1732 年 , 欧 拉 曾 经 说 道 :“ 我 从 一 个 优 美 的 定 理 推 出 了某 一 结 果 , 虽 然 我 不 会 证 明 它 , 但 我 肯 定 它 是 正 确 的 : 若 a和 b 均 不 能 被 质 数 n+1 整 除 , 则 可 被 n+l 整 除 。”当 时 , 欧 拉 所 指 那 一 个 优 美 的 定 理 就 是 费 马 的 一 个 定理 。 在 费 马 所 发 现 众 多 定 理 中 , 这 是 最 重 要 的 两 个 之 一 , 另一 个 比 这 个 尤 为 重 要 , 因 此 , 这 个 定 理 称 为 “ 费 马 小 定 理 ”,而 另 一 个 称 为 “ 费 马 大 定 理 。”“ 费 马 小 定 理 ” 叙 述 如 下 :若 户 为 质 数 , 且 a 与 P 互 质 , 则 -1 可 被 P 整 除 。即aP-1 -1=kp(k 为 自 然 数 )这 个 定 理 是 费 马 在 1640 年 10 月 18 日 致 友 人 贝 西 的信 中 提 出 的 , 也 可 以 叙 述 为 :除 。 即若 P 为 质 数 , 而 a 为 任 何 自 然 数 , 则-a 可 被 P 整-a=k1P(k1 为 自 然 数 )费 马 通 常 并 没 有 将 定 理 的 证 明 留 给 后 人 , 这 个 “ 费 马 小定 理 ” 是 由 欧 拉 在 1736 年 证 明 的 。 在 数 论 研 究 中 , 费 马 小定 理 的 应 用 范 围 很 广 。“ 费 马 大 定 理 ” 是 一 个 充 满 传 奇 色 彩 的 定 理 。131


公 元 3 世 纪 的 古 希 腊 数 学 家 丢 番 图 是 研 究 数 论 的 先驱 , 著 有 《 算 术 》 一 书 , 那 时 “ 算 术 ” 一 词 专 指 “ 数 的 理 论 ” 而言 , 与 实 用 的 “ 计 算 技 术 ” 有 明 显 区 别 。费 马 手 头 就 有 一 部 法 文 版 《 算 术 >, 他 去 世 后 。 人 们 整理 遗 物 时 发 现 他 在 该 书 某 页 上 写 有 旁 注 :“ 另 一 方 面 , 要 把一 个 立 方 数 分 为 两 个 立 方 数 , 一 个 四 次 方 数 分 为 两 个 四 次方 数 , 照 样 地 , 将 一 个 大 于 二 的 乘 方 数 分 为 同 样 指 数 的 两 个乘 方 数 , 都 是 不 可 能 的 。 我 确 实 发 现 了 这 个 巧 妙 的 证 明 , 但因 为 这 里 篇 幅 太 小 , 写 不 下 。” 这 段 话 相 当 于 提 出 一 个 命 题 :当 n>2 时 , 没 有 正 整 数 解 。在 写 旁 注 的 那 处 正 文 是 “ 将 一 个 平 方 数 分 为 两 个 平 方数 ”, 丢 番 图 说 明 将 16 分 成 和 ( 即+ ) 的 过 程 , 相 当 于 在 研 究因 此 , 后 人 都 认 为 费 马 是 从联 想 到的 。 可 是 , 那 个 巧 妙 的 证 明 呢 ? 费 马 照 例 没 有 给 后人 留 下 。 于 是 , 数 学 家 们 认 为 , 对 费 马 本 人 来 说 , 既 然 他 已经 有 了 证 明 , 这 个 命 题 称 为 “ 定 理 ” 自 然 无 可 厚 非 ; 不 过 , 严谨 的 数 学 家 们 谁 也 提 不 出 证 明 方 法 , 却 又 因 为 没 有 见 到 费马 的 证 明 , 信 不 过 , 所 以 , 大 家 认 为 , 这 只 不 过 是 一 个 “ 猜 想 ”而 已 。 这 样 , 就 有 人 建 议 ,“ 费 马 大 定 理 ” 改 称 为 “ 费 马 猜 想 ”似 乎 更 加 合 适 。然 而 , 持 不 同 看 法 的 人 说 :“ 你 们 没 有 见 到 费 马 的 证 明 ,132


不 等 于 他 没 有 证 明 ; 那 么 , 既 然 信 不 过 , 你 就 举 一 个 实 例 或做 出 反 证 将 这 个 命 题 推 翻 了 也 罢 。”三 百 多 年 过 去 了 , 世 界 上 所 有 数 学 家 , 包 括 那 些 驾 驭 某个 时 代 的 数 学 大 师 在 内 , 都 被 费 马 击 败 了 。 他 们 既 没 有 能力 证 明 “ 费 马 大 定 理 ”, 又 提 不 出 将 这 个 “ 定 理 ” 推 翻 的 论 据 。会 下 金 蛋 的 母 鸡那 些 无 可 奈 何 地 硬 要 把 “ 费 马 大 定 理 ” 改 称 为 “ 费 马 猜想 ” 的 人 , 不 想 去 检 点 自 己 的 “ 无 能 ”, 却 要 给 自 己 作 开 脱 性的 自 我 精 神 安 慰 。 于 是 有 人 臆 断 地 说 : 这 怎 么 能 称 之 为 “ 定理 ” 呢 ? 也 许 他 在 写 旁 注 时 , 曾 经 一 闪 念 , 有 一 个 什 么 证 明的 想 法 , 而 后 来 认 识 到 那 个 想 法 是 错 误 的 ; 几 乎 可 以 肯 定 ,他 并 不 打 算 将 这 段 旁 注 公 诸 于 世 , 因 此 , 他 也 就 没 有 机 会 再回 头 来 删 除 或 修 正 这 条 旁 注 。 难 道 不 是 这 样 吗 ?主 观 地 排 除 费 马 曾 经 有 过 证 明 的 事 实 是 不 公 正 的 , 也没 有 理 由 说 费 马 的 智 慧 绝 不 可 能 胜 过 他 身 后 三 百 多 年 的 所有 优 秀 数 学 家 。 对 于 他 的 那 个 “ 巧 妙 的 证 明 ”, 人 们 还 是 发现 了 珠 丝 马 迹 : 费 马 给 卡 克 维 的 一 封 信 中 说 他 已 用 “ 无 限 递降 法 ” 证 明 了 n=4 的 情 形 。虽 然 , 那 封 信 中 并 未 给 出 全 部 证 明 细 节 , 但 是 , 这 种 提示 一 字 千 钧 , 仅 凭 这 细 微 的 线 索 ,1676 年 , 弗 列 尼 科 尔 对n=4 的 情 形 做 了 证 明 , 这 个 证 明 发 表 在 他 去 世 后 出 版 的133


《 论 直 角 三 角 形 的 数 字 》 一 书 中 。后 来 人 们 知 道 ,“ 无 限 递 降 法 ” 也 适 用 于 n=3 的 情 形 ,只 不 过 证 明 过 程 比 n=4 的 情 形 要 复 杂 得 多 。证 明 n=4 的 情 形 是 很 重 要 的 。 因 为 如 果 定 理 对 于 某一 个 n 是 真 的 , 那 么 对 n 的 任 何 倍 数 mn 也 是 真 的 : 因 为假 设 无 正 整 数 解 , 将 写 成后 也 就 可 以 看 出 它 是 无 正 整 数 解的 。任 何 一 个 大 于 2 的 正 整 数 如 果 不 被 4 整 除 , 就 一 定 被某 奇 质 数 整 除 。 因 此 , 只 要 证 明 n=4 时 以 及 n 是 任 一 个奇 质 数 时 定 理 成 立 , 那 么 定 理 就 对 任 何 正 整 数 n 都 成 立 。费 马 曾 用 他 创 造 的 奇 特 的 “ 无 限 递 降 法 ” 证 明 过 “4k+1 形 的 质 数 能 够 唯 一 地 表 达 为 两 个 平 方 数 之 和 ”、“ 边 长 为自 然 数 的 直 角 三 角 形 的 面 积 数 不 可 能 是 自 然 数 的 平 方 ” 等 ,它 又 在 证 明 费 马 大 定 理 的 过 程 中 发 挥 了 作 用 。 那 么 , 很 难说 , 他 没 有 其 它 奇 特 方 法 可 以 去 彻 底 地 证 明 费 马 大 定 理 。现 在 , 摆 在 有 志 于 探 索 费 马 大 定 理 的 数 学 家 面 前 的 道路 只 有 两 条 , 要 么 证 明 它 的 真 实 性 , 要 么 提 出 论 据 将 它 推翻 。迄 今 为 止 , 不 知 有 多 少 数 学 家 为 它 枯 肠 索 遍 、 心 血 绞尽 , 但 是 , 一 切 努 力 都 是 枉 然 。 由 于 费 马 大 定 理 的 形 式 简明 , 内 容 易 懂 , 甚 至 有 不 少 只 学 过 初 等 数 学 的 中 学 生 也 涉 足其 间 , 结 果 是 徒 劳 地 浪 费 了 大 量 的 时 间 和 精 力 。 在 许 多 科134


学 院 的 历 次 悬 赏 征 答 中 , 也 有 人 寄 托 一 种 侥 幸 心 理 , 想 到 当年 欧 拉 推 翻 费 马 一 个 猜 测 “ 费 马 数 都 是 质 数 ” 的 往 事 , 指 望从 这 方 面 打 开 缺 口 , 但 是 , 无 例 外 地 , 他 们 全 都 失 败 了 。于 是 , 有 人 将 “ 费 马 大 定 理 ” 改 称 “ 费 马 最 后 定 理 ”, 之 所以 称 为 “ 最 后 ” 定 理 , 只 是 由 于 至 今 还 被 大 家 “ 留 ” 着 , 留 到“ 最 后 ”—— 既 没 有 人 能 够 证 明 它 , 又 没 有 人 能 够 将 它 推 翻 。那 么 , 解 决 费 马 大 定 理 究 竟 有 什 么 实 际 意 义 呢 ? 数 学家 们 也 回 答 不 了 。 但 是 , 人 们 确 信 , 在 解 决 这 个 问 题 的 过 程中 , 必 将 伴 随 数 学 新 思 想 和 新 方 法 的 出 现 , 从 而 促 进 数 学 的新 进 展 。 事 实 上 , 德 国 数 学 家 库 麦 (1810—1893) 就 在 1844年 创 立 了 也 许 比 费 马 大 定 理 本 身 还 要 重 要 的 “ 理 想 数 论 ”,这 可 作 为 由 研 究 这 个 定 理 能 产 生 副 产 品 的 明 证 。 德 国 数 学家 希 尔 伯 特 曾 在 本 世 纪 开 头 时 说 :“ 费 马 最 后 定 理 是 只 会 下金 蛋 的 母 鸡 , 如 果 我 们 将 它 宰 杀 , 就 得 不 到 金 蛋 了 。”如 今 ,“ 我 确 实 发 现 了 这 个 巧 妙 的 证 明 ” 这 句 话 已 成 为至 理 名 言 。 作 为 座 右 铭 或 警 句 , 并 不 是 画 饼 充 饥 , 它 将 继 续激 励 后 来 者 去 建 立 必 胜 的 信 念 。 至 于 众 多 进 取 者 之 中 谁 将脱 颖 而 出 , 世 人 且 在 拭 目 以 待 。费 马 大 定 理 中 的 n 是 大 于 2 的 任 意 自 然 数 , 但 是 人 们既 得 不 到 普 遍 证 明 , 就 只 好 取 n 为 具 体 数 求 证 。 到 1986年 , 其 结 果 也 只 限 于 2


费 马 大 定 理 都 是 非 常 遥 远 的 。《 将 军 巡 营 》 解三 座 兵 营 分 别 设 置 在 大 片 开 阔 地 的 三 处 , 将 军 经 常 要去 巡 视 。 他 从 自 己 的 指 挥 所 出 发 , 到 达 第 一 兵 营 后 回 到 指挥 所 ; 再 去 到 第 二 兵 营 后 回 到 指 挥 所 ; 最 后 又 去 到 第 三 兵 营后 回 到 指 挥 所 。 一 天 , 他 忽 然 想 到 要 把 指 挥 所 搬 到 少 走 路程 的 地 方 , 却 拿 不 定 主 意 , 不 知 指 挥 所 应 放 在 哪 儿 才 合 适 。这 则 民 间 传 说 引 起 许 多 人 的 兴 趣 , 进 行 研 究 这 个 问 题的 大 有 人 在 。 经 历 了 不 知 多 少 年 , 谜 底 始 终 没 有 被 揭 开 , 便一 直 成 为 悬 案 , 称 为 《 将 军 巡 营 》 问 题 。以 每 座 兵 营 为 一 个 点 , 三 座 兵 营 作 为 顶 点 , 便 构 成 一 个三 角 形 。 那 么 , 指 挥 所 可 拟 作 三 顶 点 以 外 的 另 一 个 点 , 于 是问 题 可 以 叙 述 为 : 试 确 定 一 点 , 使 它 至 三 顶 点 往 返 的 距 离 和为 最 小 。往 返 的 距 离 和 最 小 , 相 应 地 , 单 程 的 距 离 和 也 最 小 。 这样 ,《 将 军 巡 营 》 问 题 实 质 上 就 是 “ 试 求 一 点 , 使 它 到 已 知 三角 形 的 三 顶 点 距 离 之 和 为 最 小 。” 这 样 一 个 极 值 问 题 。根 据 那 则 民 间 传 说 提 出 这 个 极 值 问 题 的 就 是 费 马 , 后人 从 他 致 意 大 利 物 理 学 家 托 里 拆 利 (1608—1647) 的 信 中 见到 它 。对 于 这 类 几 何 极 值 的 问 题 , 费 马 相 当 熟 悉 它 的 解 法 。136


最 简 明 的 解 法 是 应 用 “ 等 角 特 征 ” 原 理 。 见 图 40, 如 果 三 角形 ABC 中 有 一 点 P, 那 么 , 当 ∠APB=∠ BPC=∠ CPA=120° 时 , 这 点 便 是 费 马 所 提 出 求 解 的 那 个 点 , 即 P 点 是 到A、B、C 三 点 距 离 之 和 最 小 的 点 。 若 另 取 一 点 P′, 必 有AP+BP+CP


怎 样 确 定 费 马点 ? 见 图 41, 分 别以 二 三 角 的 二 边 为一 边 , 向 形 外 作 等边 二 角 形 ABC′、A′BC、AB′C, 则AA′、BB′、CC′ 的任 两 线 交 点 便 是 费马 点 ( 实 际 上 是 三图 41线 汇 交 于 一 点 P),这 点 也 叫 三 角 形 的 “ 正 等 角 中 心 ”。不 过 , 托 里 拆 利 却 别 出 心 裁 地 用 另 一 种 方 法 来 定 费 马点 。 图 41 是 用 共 点 线 考 虑 的 , 而 托 里 拆 利 则 按 共 点 圆 考虑 , 分 别 作 三 个 等 边 二角 形 ABC′、A′BC、AB′C 的 外 接 圆 , 则 三圆 汇 交 于 一 点 P( 图42), 这 是 费 马 点 , 也 叫“ 托 里 拆 利 点 ”, 那 三 个圆 则 称 为 “ 托 里 拆 利圆 ”。一 般 作 法 是 采 用折 衷 办 法 , 即 仅 作 一 个 图 42138


等 边 三 角 形 , 用 一 个 圆和 一 条 直 线 来 确 定 费马 点 。 如 图 43 的 圆( 等 边 三 角 形 A′BC 的外 接 圆 ) 与 AA′ 的 交 点P 就 是 所 要 求 求 的 点 。数 坛 奇 才人 们 常 说 , 现 代 数学 是 始 于 解 析 几 何 和微 积 分 两 大 发 明 , 而 费马 在 这 两 方 面 都 有 很 图 4 3多 建 树 , 对 它 们 的 问 世 起 了 积 极 的 奠 基 作 用 。 人 们 公 认 , 解析 几 何 是 笛 卡 儿 、 微 积 分 是 牛 顿 和 莱 布 尼 茨 创 始 的 , 但 是 ,费 马 的 崇 拜 者 坚 持 让 费 马 的 名 字 加 入 创 始 人 之 中 , 甚 至 说 ,如 果 没 有 费 马 先 行 , 微 积 分 的 出 现 恐 怕 要 推 迟 很 长 一 段 时间 , 因 此 , 微 积 分 的 发 明 人 应 该 是 法 国 人 , 而 不 是 英 国 人 或德 国 人 。大 凡 一 项 重 大 成 果 , 都 是 经 过 几 代 人 长 期 奋 斗 取 得 的 ,只 有 到 了 一 定 程 度 , 自 然 就 会 瓜 熟 蒂 落 , 而 通 常 科 学 界 也 不会 埋 没 前 人 的 贡 献 。费 马 在 笛 卡 儿 之 前 , 确 实 是 已 系 统 地 引 入 了 直 线 坐 标 ,139


他 在 1636 年 春 写 的 短 文 《 平 面 与 立 体 轨 迹 引 论 》 中 阐 述 属于 解 析 几 何 的 基 本 原 理 时 写 道 :“ 每 当 我 们 在 最 后 的 方 程 中求 出 两 个 未 知 数 时 , 我 们 就 有 一 条 轨 迹 , 那 是 直 线 或 曲 线 。直 线 是 简 单 唯 一 的 ; 曲 线 的 种 类 甚 多 , 包 括 圆 、 抛 物 线 、 椭 圆等 。” 他 并 且 确 定 了 各 种 轨 迹 的 方 程 , 以 现 代 记 号 表 示 , 就是 :140


过 原 点 的 直 线 方 程; 任 意 直 线 的 方 程; 圆 的 方 程 ; 椭 圆 方 程 ; 双曲 线 方 程抛 物 线 方 程不 过 , 当 时 他 所 使 用 的 坐 标 形 式 还 是 比 较 原 始 的 。 所用 的 是 一 种 斜 坐 标 , 纵 坐 标 轴 与 横 坐 标 轴 构 成 一 倾 斜 角 ; 而且 不 用 负 数 。当 时 , 费 马 肯 定 : 轨 迹 方 程 如 是 一 次 的 , 就 代 表 直 线 ; 如是 二 次 的 , 就 代 表 圆 锥 曲 线 。费 马 对 微 积 分 的 贡 献 也 是 从 研 究 曲 线 的 切 线 体 现 出 来的 , 他 认 为 切 线 是 当 两 个 交 点 重 合 时 的 割 线 , 他 用 以 描 述 求切 线 的 方 法 也 就 是 现 代 所 用 的 方 法 。 所 以 , 费 马 实 际 上 已为 微 积 分 的 出 现 做 了 准 备 工 作 。提 到 微 积 分 , 自 然 要 联 系 到 极 值 理 论 。 费 马 有 关 切 线问 题 的 论 述 就 记 载 在 他 1637 年 的 手 稿 《 论 最 大 值 和 最 小 值的 方 法 》 中 , 那 里 面 记 述 了 他 创 立 的 一 种 求 极 值 的 方 法 , 也就 是 现 代 微 积 分 学 中 的 求 导 数 法 。费 马 巧 妙 地 将 几 何 光 学 的 基 本 原 理 应 用 到 极 值 理 论 中来 , 在 1657 年 和 1662 年 的 信 件 中 提 出 著 名 的 “ 最 小 时 间 原理 ”, 很 大 程 度 地 发 挥 了 “ 光 程 最 短 ” 和 “ 光 行 最 速 ” 原 理 。 他与 笛 卡 儿 关 于 折 射 定 律 的 十 年 喜 剧 性 论 战 曾 经 脍 炙 人 口 。费 马 是 概 率 论 早 期 的 创 立 者 之 一 。 在 这 问 题 上 , 他 与帕 斯 卡 通 信 讨 论 有 关 赌 博 的 “ 点 的 问 题 ” 其 实 是 概 率 论 的 嚆141


矢 , 解 法 有 独 到 之 处 。1636 年 , 费 马 曾 给 出 一 对 亲 和 数 17296 和 18416。费 马 在 数 学 领 域 中 涉 足 甚 广 , 所 做 的 又 多 是 开 创 性 工作 , 成 果 斐 然 , 委 实 是 一 位 少 见 的 数 坛 奇 才 。142


莱 布 尼 茨 ——“ 哲 学 ” 的毕 生 追 求 者宇 宙 多 么 美 好 , 其 内 在 规 律 何 等 奥 秘 ! 但 是 , 人 类 的智 慧 终 究 能 够 将 它 们 揭 示 出 来 。—— 莱 布 尼 茨 ——前 人 发 现 了 什 么公 元 14 至 16 世 纪 间 , 欧 洲 地 区 经 历 着 文 化 和 思 想 领域 的 一 个 蓬 勃 发 展 时 期 , 史 学 家 们 认 为 这 标 志 着 古 代 文 化的 复 兴 , 便 称 这 个 时 期 为 文 艺 复 兴 时 期 。 在 这 期 间 , 文 艺复 兴 运 动 突 出 地 表 现 在 科 学 、 文 化 和 艺 术 水 平 的 迅 速 上升 , 而 人 们 对 知 识 的 渴 求 则 寄 予 高 涨 的 热 情 。哥 特 腓 力 德 · 威 尔 赫 · 莱 布 尼 茨 在 1646 年 7 月 1 日 出生 。 这 时 , 文 艺 复 兴 运 动 带 来 的 变 革 日 益 明 显 地 出 现 在 人们 的 社 会 生 活 之 中 , 资 本 主 义 生 产 开 始 发 展 和 向 前 推 进了 , 同 时 , 人 们 也 意 识 到 , 摆 脱 愚 昧 和 落 后 现 象 正 是 当 务之 急 , 目 前 最 需 要 的 就 是 知 识 , 迫 切 地 需 要 它 !威 尔 赫 的 家 乡 在 德 国 东 部 的 莱 比 锡 市 , 这 既 是 一 座 商143


业 城 , 又 是 一 座 文 化 城 , 他 的 父 亲 老 莱 布 尼 茨 是 当 地 大 学的 德 育 哲 学 教 授 , 学 识 渊 博 , 在 学 术 界 深 孚 众 望 。 小 威 尔赫 有 幸 降 生 在 这 样 一 个 家 庭 里 , 更 何 况 是 在 这 样 一 个 时代 , 当 然 , 从 小 就 抱 有 强 烈 地 追 求 知 识 的 欲 望 。那 么 , 知 识 是 什 么 ? 小 威 尔 赫 从 父 亲 那 儿 得 知 知 识 就是 “ 哲 学 ”。 哲 学 这 个 词 可 以 追 溯 到 两 千 多 年 前 遥 远 的 古希 腊 时 代 , 实 际 上 , 它 是 “ 爱 智 慧 ” 的 同 义 语 ; 至 于 哲 学家 这 个 称 谓 , 则 是 “ 热 爱 知 识 者 ” 的 意 思 。 哲 学 是 一 切 知识 的 概 括 , 无 论 是 法 津 、 道 德 、 宗 教 、 自 然 …… 都 包 含 在内 , 归 根 结 底 , 它 是 讨 论 人 们 怎 样 看 待 整 个 世 界 或 社 会 的学 问 。在 一 个 五 岁 幼 童 的 心 田 里 , 追 求 “ 哲 学 ” 的 种 子 被 播下 了 。 可 悲 的 是 , 六 岁 那 年 , 他 的 父 亲 兼 启 蒙 教 师 过 早 地谢 世 。 从 此 , 除 了 学 校 之 外 , 家 里 丰 富 的 藏 书 也 成 为 “ 哲学 ” 的 传 播 者 。 莱 布 尼 茨 十 四 岁 的 那 年 , 他 几 乎 浏 览 了 父亲 留 下 的 全 部 图 书 , 尽 管 有 不 少 内 容 对 他 是 极 为 陌 生 的 ,但 是 他 清 楚 地 知 道 , 要 了 解 前 人 究 竟 发 现 了 什 么 , 必 须 从那 些 白 纸 黑 字 中 去 寻 找 , 而 且 , 只 有 熟 悉 先 行 者 的 足 迹 走向 , 才 能 为 自 己 确 定 继 续 前 进 的 道 路 。逐 渐 成 长 起 来 的 少 年 莱 布 尼 茨 面 对 五 光 十 色 的 社 会 以及 异 彩 纷 呈 的 各 科 学 问 感 到 无 可 适 从 了 , 他 开 始 认 识 到 知识 的 “ 无 涯 ”, 也 对 自 己 的 浅 薄 感 到 自 轻 。 可 是 , 他 很 快就 意 识 到 正 因 为 本 身 的 无 知 , 才 必 须 更 加 刻 苦 地 、 多 方 面144


地 去 汲 取 知 识 的 营 养 。 同 时 ,15 世 纪 德 国 数 学 家 尼 古 拉主 教 的 著 名 观 点 “ 博 学 者 最 无 知 ” 又 给 他 以 一 种 哲 理 启示 , 正 如 同 古 老 的 中 国 铭 言 “ 学 而 后 知 不 足 ” 那 样 , 诱 发他 内 在 的 渴 望 情 绪 , 日 益 奋 进 地 为 追 求 知 识 而 从 不 稍 懈 微145


怠 。莱 布 尼 茨 的 一 生 都 是 在 这 种 求 知 不 息 的 思 想 和 行 为 支配 下 生 活 的 。 直 到 晚 年 , 他 还 是 认 为 , 自 己 终 生 努 力 的 主要 动 机 就 是 要 寻 求 获 得 知 识 的 普 遍 方 法 。 的 确 , 他 在 许 多领 域 中 成 功 了 , 最 终 成 为 饮 誉 全 球 的 大 科 学 家 , 但 是 , 作为 一 ‘ 位 大 科 学 家 , 他 有 什 么 秘 诀 吗 ?也 许 , 孜 孜 不 倦 地 毕 生 追 求 着 “ 哲 学 ”, 这 就 算 是 他的 秘 诀 。峥 嵘 岁 月天 赋 、 勤 奋 以 及 旺 盛 的 求 知 欲 使 莱 布 尼 茨 的 学 业 长 进大 大 地 胜 过 所 有 同 学 , 根 据 师 长 们 的 评 价 和 建 议 , 他 用 差不 多 比 同 龄 人 缩 短 三 年 的 学 程 结 束 中 学 生 活 。1661 年 秋天 , 十 五 岁 的 莱 布 尼 茨 考 上 莱 比 锡 大 学 , 攻 读 法 律 专 业 。但 是 , 吸 引 这 位 少 年 大 学 生 的 学 科 远 远 不 止 法 律 一门 , 他 的 兴 趣 遍 及 史 学 、 哲 学 、 语 言 学 、 生 物 学 、 神 学 、地 质 学 、 物 理 、 数 学 、 国 际 关 系 学 等 。 幼 年 时 代 发 愿 要 了解 前 人 所 发 现 的 一 切 , 看 来 是 完 全 不 可 能 的 , 象 征 人 类 文明 的 知 识 财 富 实 在 是 太 多 太 多 , 可 是 他 想 , 正 因 为 存 在 有取 之 不 尽 、 用 之 不 竭 的 源 泉 , 自 己 尤 其 不 应 该 辜 负 大 好 的青 春 年 华 。1665 年 , 莱 布 尼 茨 以 优 异 的 成 绩 从 莱 比 锡 大 学 毕 业146


了 , 他 的 毕 业 论 文 是 与 逻 辑 推 理 有 关 的 理 论 , 由 于 答 辩 顺利 , 获 得 哲 学 学 士 学 位 。 然 而 , 他 不 满 足 目 前 的 水 平 , 于是 , 便 进 阿 尔 特 道 夫 大 学 继 续 进 修 。1666 年 , 莱 布 尼 茨 完 成 了 一 份 一 般 推 理 方 法 的 论 文《 论 组 合 的 艺 术 》, 企 图 将 理 论 的 全 部 真 理 性 归 纳 形 成 统 一领 域 , 提 出 要 建 立 一 种 所 有 人 都 能 理 解 的 “ 概 念 性 普 遍 语言 ”, 利 用 它 来 进 行 推 理 , 使 整 个 推 理 过 程 具 有 类 似 数 学运 算 的 性 质 , 以 消 除 日 常 语 言 中 的 不 确 定 性 。《 论 组 合 的艺 术 》 的 内 容 能 够 将 哲 学 的 逻 辑 性 贯 穿 于 数 学 理 论 之 中 ,既 新 颖 而 又 有 创 见 , 莱 布 尼 茨 立 即 据 此 被 授 予 博 士 学 位 ;同 时 , 鉴 于 他 知 识 广 博 , 又 善 于 思 考 和 分 析 , 富 于 独 到 见解 , 教 授 们 一 致 推 荐 他 担 任 本 校 教 授 。1667 年 秋 , 莱 布 尼 茨 教 授 应 邀 到 荷 兰 讲 学 , 旅 途 的所 见 所 闻 使 他 耳 目 一 新 , 眼 界 大 为 开 阔 。 他 想 , 大 学 的 校园 犹 如 樊 笼 一 般 , 怎 么 可 以 将 自 己 当 做 鸟 儿 , 被 禁 锢 在 其中 呢 ? 就 在 从 荷 兰 归 国 途 中 , 他 到 达 德 国 西 南 部 的 美 因兹 , 结 识 了 当 地 政 界 的 一 名 官 员 波 义 纳 伯 , 波 义 纳 伯 对 这位 年 轻 学 者 谈 吐 之 中 的 旁 征 博 引 , 以 及 对 时 政 的 观 点 和 论述 是 那 样 具 有 独 到 见 解 大 为 惊 奇 , 立 即 将 他 推 荐 给 美 因 兹选 帝 侯 菲 力 浦 。莱 布 尼 茨 在 美 因 兹 小 作 游 历 , 对 法 政 进 行 一 番 调 查 研究 , 然 后 返 回 阿 尔 特 道 夫 大 学 。1669 年 , 他 辞 去 大 学 的教 职 , 到 菲 力 浦 身 边 供 职 , 决 心 为 整 个 社 会 服 务 , 以 实 现147


多 年 来 一 直 萦 回 于 脑 际 的 学 以 致 用 的 愿 望 。 在 美 因 兹 , 他发 挥 出 自 己 的 特 长 , 极 力 从 事 法 政 的 改 革 工 作 。 经 过 一 段时 间 的 社 会 调 查 , 整 理 了 大 量 资 料 , 将 分 析 和 改 进 意 见 汇成 上 万 言 书 面 材 料 , 呈 请 选 帝 侯 决 断 ; 同 时 , 将 大 量 论 文寄 往 英 国 皇 家 学 院 、 巴 黎 科 学 院 以 及 欧 洲 其 它 学 术 团 体 ,抒 发 自 己 对 社 会 变 革 的 见 解 。1671 年 冬 , 菲 力 浦 百 里 挑 一 地 选 中 莱 布 尼 茨 担 任 外交 官 。 从 此 , 他 得 有 充 分 机 会 频 繁 地 涉 足 巴 黎 、 伦 敦 等 欧洲 人 才 荟 萃 的 城 市 , 结 识 许 多 知 名 学 者 , 去 聆 听 他 们 的 精辟 论 见 ; 同 时 , 他 还 有 机 会 考 察 异 国 的 社 会 、 风 土 、 人情 , 于 是 , 脑 中 贮 藏 的 知 识 更 加 充 实 , 眼 前 的 视 野 益 发 宽广 了 。1676 年 , 莱 布 尼 茨 应 汉 诺 威 选 帝 侯 腓 特 烈 公 爵 的 聘请 , 来 到 汉 诺 威 。 这 个 风 光 秀 丽 的 德 国 北 方 城 市 立 即 成 为他 意 中 的 居 留 地 , 他 先 后 担 任 过 图 书 馆 馆 长 、 宫 廷 参 事等 , 始 终 是 不 知 疲 倦 地 投 入 这 项 、 又 着 手 另 一 项 的 研 究 ,他 不 断 地 创 新 、 改 革 , 硕 果 累 累 。1700 年 , 德 国 成 立 柏 林 科 学 院 , 他 被 委 派 担 任 第 一任 院 长 ; 此 后 , 他 仍 常 居 汉 诺 威 , 兼 事 历 史 编 纂 工 作 , 直至 1716 年 11 月 14 日 去 世 。148


坠 入 爱 河早 在 莱 布 尼 茨 在 为 美 因 兹 选 帝 侯 服 务 的 岁 月 里 , 这 位风 度 翩 翩 的 外 交 官 便 引 起 众 多 社 会 名 流 的 注 目 , 而 朋 友 们善 意 的 关 怀 首 先 表 现 在 要 帮 他 建 立 一 个 称 心 的 小 家 庭 , 美因 兹 的 大 家 闺 秀 、 小 户 碧 玉 。 温 柔 美 貌 而 饱 学 多 才 的 女 郎比 比 皆 是 , 可 是 莱 布 尼 茨 却 冷 若 冰 霜 。他 有 自 己 独 特 的 人 生 观 , 要 知 道 , 人 的 一 生 是 多 么 短促 , 如 果 不 能 分 秒 必 争 地 去 充 分 利 用 这 有 限 时 间 , 那 将 会引 起 多 大 的 遗 恨 ! 有 那 么 多 的 事 等 待 着 去 做 啊 , 怎 么 能 去考 虑 成 立 家 庭 , 让 无 休 止 的 家 务 去 拖 累 呢 ?其 实 , 他 另 有 所 钟 , 早 已 坠 入 爱 河 。 数 学 —— 多 么 令人 倾 慕 的 女 神 ! 他 的 心 中 只 有 她 。 他 相 信 , 只 有 她 才 能 与自 己 结 下 不 解 之 缘 , 白 头 偕 老 , 这 点 是 坚 定 不 移 的 。当 他 还 是 莱 比 锡 大 学 的 学 生 时 , 数 学 就 已 牢 牢 地 攫 取他 的 心 。 初 入 数 学 之 门 的 徒 弟 首 先 接 触 的 便 是 那 部 洋 洋 大观 的 欧 几 里 得 《 几 何 原 本 》, 它 的 伟 大 历 史 意 义 在 于 它 是用 公 理 法 建 立 起 演 绎 的 数 学 体 系 的 最 早 典 范 , 莱 布 尼 茨 深知 , 对 于 一 名 大 学 生 来 说 , 倘 若 漏 掉 “ 欧 几 里 得 几 何 学 ”这 一 课 , 将 是 终 生 遗 憾 。 当 时 , 莱 比 锡 大 学 的 老 师 并 未 能给 学 生 们 满 意 的 教 习 讲 解 , 那 么 , 作 为 几 何 学 的 爱 好 者 ,就 只 好 去 另 寻 名 师 指 点 了 。149


那 时 , 耶 拿 大 学 的 教 授 厄 哈 德 · 维 格 尔 被 认 为 是 对 欧几 里 得 几 何 学 最 有 造 诣 的 权 威 , 莱 布 尼 茨 便 想 方 设 法 经 常去 耶 拿 旁 听 。 虽 然 耶 拿 距 莱 比 锡 仅 五 十 多 公 里 , 但 对 这 名大 学 生 来 说 , 是 多 么 劳 累 和 不 容 易 ! 他 的 诚 心 使 维 格 尔 深受 感 动 , 便 约 定 于 假 期 在 家 中 专 门 接 待 莱 布 尼 茨 , 单 独 为他 授 课 。在 维 格 尔 特 殊 指 导 下 , 莱 布 尼 茨 完 成 了 远 远 超 出 法 律系 范 围 的 专 业 , 他 深 深 爱 上 数 学 , 并 且 与 它 须 臾 不 可 分离 。 但 是 , 尽 管 他 与 维 格 尔 交 往 是 早 在 1663 年 间 的 事 ,过 了 若 干 年 后 , 他 却 说 过 “1672 年 以 前 我 还 是 基 本 不 懂数 学 ” 这 样 的 话 。 那 么 ,1672 年 发 生 过 什 么 事 呢 ?就 在 这 一 年 ,26 岁 的 莱 布 尼 茨 在 毕 生 事 业 的 发 展 中经 历 一 次 大 的 转 斤 , 这 就 是 他 在 巴 黎 与 许 多 知 名 科 学 家 ,特 别 是 与 荷 兰 数 学 家 、 物 理 学 家 、 天 文 学 家 惠 更 斯(1629—1695) 的 会 晤 , 这 位 蜚 声 全 欧 的 科 学 家 对 他 有 决定 性 的 影 响 。那 年 , 惠 更 斯 43 岁 , 是 英 国 皇 家 学 会 的 第 一 位 外 国会 员 , 在 各 学 科 的 研 究 方 面 成 果 斐 然 。 他 俩 一 见 如 故 , 大有 相 见 恨 晚 之 感 。 莱 布 尼 茨 衷 心 地 饮 佩 这 位 伟 大 学 者 的 豁达 风 度 , 对 于 各 种 学 识 机 理 不 但 能 做 精 辟 论 述 , 并 且 毫 无保 留 地 用 最 简 单 、 迅 速 的 方 式 表 达 出 来 ; 而 惠 更 斯 则 用 期待 的 眼 光 注 视 着 这 位 求 知 不 懈 的 青 年 , 从 对 方 敏 锐 的 思 维和 虚 心 好 学 的 态 度 看 得 出 : 此 人 是 位 难 得 的 人 才 , 前 程 未150


可 限 量 !在 惠 更 斯 的 影 响 和 指 导 下 , 莱 布 尼 茨 看 到 无 垠 的 数 学天 地 , 知 道 笛 卡 儿 、 费 马 、 帕 斯 卡 的 许 多 成 果 , 了 解 当 前数 学 的 发 展 趋 向 , 于 是 , 进 一 步 确 立 深 入 研 究 数 学 的 信念 。1673 年 , 他 在 伦 敦 逗 留 几 个 月 的 时 间 内 , 又 会 晤 了许 多 英 国 数 学 界 知 名 人 士 , 包 括 英 国 皇 家 学 会 秘 书 奥 丁堡 ; 同 时 , 鉴 于 他 对 数 学 、 力 学 等 学 科 的 造 诣 和 成 果 , 莱布 尼 茨 被 选 为 英 国 皇 家 学 会 会 员 , 这 对 于 那 时 年 仅 27 岁的 外 国 青 年 来 说 , 委 实 是 获 得 殊 荣 。至 此 , 莱 布 尼 茨 与 数 学 之 间 如 胶 似 漆 的 缱 绻 情 感 已 不是 任 何 力 量 所 能 分 开 的 了 。在 帕 斯 卡 走 过 的 道 路 上在 欧 洲 数 学 界 , 帕 斯 卡 并 不 是 一 个 陌 生 的 名 字 ( 实 际上 是 姓 氏 ), 这 位 天 才 的 早 慧 数 学 家 在 圆 锥 曲 线 、 概 率 论以 及 椭 圆 积 分 等 方 面 都 有 广 泛 的 建 树 , 尤 其 是 他 曾 经 制 成机 械 计 算 机 、 提 出 二 项 式 展 开 的 各 项 系 数 排 列 图 《 帕 斯 卡三 角 形 》, 为 此 而 名 噪 一 时 。莱 布 尼 茨 从 惠 更 斯 那 儿 了 解 到 帕 斯 卡 的 许 多 往 事 , 读了 帕 斯 卡 的 一 些 遗 著 , 关 于 《 帕 斯 卡 三 角 形 》, 他 也 是 在巴 黎 才 听 说 的 。 帕 斯 卡 于 1662 年 去 世 时 年 仅 39 岁 , 惠 更斯 在 谈 到 故 友 时 , 无 限 伤 感 地 叹 息 说 :“ 唉 , 他 过 早 地 离151


开 了 这 个 世 界 , 人 类 多 么 不 幸 啊 !”关 于 计 算 机 , 早 在 青 年 时 代 , 莱 布 尼 茨 就 有 了 初 步 认识 , 他 曾 经 说 道 :“ 让 一 些 杰 出 的 人 才 像 奴 隶 般 地 把 时 间浪 费 在 计 算 工 作 上 , 是 不 值 得 的 。 如 果 利 用 计 算 机 , 这 件工 作 便 可 以 放 心 交 给 其 他 任 何 人 去 做 。” 的 确 , 人 类 是 生活 在 一 个 数 值 繁 乱 的 世 界 里 , 不 光 是 数 学 家 要 进 行 繁 琐 的计 算 工 作 , 所 有 生 活 和 生 产 活 动 也 不 例 外 , 特 别 是 当 时 的天 文 学 家 , 最 感 到 头 疼 的 事 , 无 过 于 对 许 多 位 的 数 进 行 计算 。 因 此 , 莱 布 尼 茨 想 构 造 一 台 计 算 机 , 并 不 是 一 时 冲动 、 心 血 来 潮 , 他 说 。 该 给 天 文 学 家 们 松 绑 了 。1642 年 , 年 仅 19 岁 的 年 轻 数 学 家 帕 斯 卡 首 创 了 一 台机 械 式 计 算 机 ,在 计 算 工 具 的 形式 方 面 开 拓 一 条具 有 革 命 性 意 义的 道 路 , 它 是 利用 拨 件 、 齿 轮 、摇 环 以 及 读 数 窗等 部 件 组 成 的 ,能 够 解 决 加 减 运算 。 莱 布 尼 茨 深深 地 理 解 帕 斯 卡设 计 思 想 的 先 进152


性 和 远 见 性 , 但 他 对 前 人 的 成 果 从 来 是 不 满 足 的 , 总 是 把目 标 放 在 更 加 遥 远 的 地 方 , 立 意 进 一 步 改 进 这 类 机 械 式 计算 机 , 使 它 具 有 乘 除 运 算 的 功 能 。但 是 , 从 加 减 过 渡 到 乘 除 , 机 械 构 造 的 原 理 和 形 成 必须 大 为 改 进 , 莱 布 尼 茨 决 心 去 熟 悉 机 械 技 术 , 并 且 到 处 访问 和 请 教 机 械 专 家 , 力 求 得 到 内 行 人 的 帮 助 。1671 年 , 莱 布 尼 茨 利 用 工 余 时 间 设 计 的 “ 乘 法 计 算机 ”( 逆 运 算 便 是 除 法 ) 终 于 问 世 , 并 且 立 即 引 起 全 欧 科学 界 的 极 大 震 动 。 人 们 公 认 , 这 项 工 作 是 一 个 划 时 代 的 伟大 创 举 , 不 单 纯 是 将 人 类 的 动 作 交 给 机 械 去 完 成 的 问 题 ,更 重 要 的 是 开 创 和 体 现 了 用 机 械 代 替 人 们 思 维 的 独 特 思想 。 事 实 上 , 它 成 为 近 代 计 算 工 具 的 嚆 矢 。莱 布 尼 茨 同 样 地 被 诱 人 的 《 帕 斯 卡 三 角 形 >( 图 44)所 深 深 吸 引 , 在 图 上 匦 出 等 边 直 角 三 角 形 , 斜 边 的 数 按 序排 列 竟 是 二 项 式 展 开 后 各 项 的 系 数 , 例 如 n=4, 在 图 中 得 到 1 、4 、6 、4 、1 五 个 数 , 于 是 便 有不 过 , 莱 布 尼 茨 并 不 知 道 , 在 帕 斯 卡 之 前 约 400 年 ,东 方 文 明 古 国 中 国 的 数 学 家 扬 辉 在 著 作 中 已 经 提 到 过 这 个结 果 。 然 而 , 莱 布 尼 茨 却 有 更 加 新 颖 的 构 思 , 他 的 脑 际 形或 一 幅 调 和 数 构 造 的 《 调 和 三 角 形 》( 图 45), 后 人 称 它为 《 莱 布 尼 茨 三 角 形 》。如 果 将 《 帕 斯 卡 三 角 形 》 的 斜 边 平 放 , 那 么 , 上 面 两153


图 4 4个 数 的 和 是 下 面 相 应 的 数 ;《 莱 布 尼 茨 三 角 形 》 与 之 相 反 ,它 在 上 面 的 那 个 数 分 解 为 下 面 两 个 数 , 亦 即 下 面 两 个 数 的和 是 上 面 相 应 的 数 。莱 布 尼 茨 三 角 形 与 当 时 困 惑 着 欧 洲 数 学 家 的 “ 无 穷 级数 ” 有 密 切 关 系 , 说 明 这 类 级 数 的 某 些 性 质 。 莱 布 尼 茨 为此 做 出 了 很 大 贡 献 。154


图 45龙 的 国 度在 世 界 的 东 方 , 那 儿 屹 立 着 一 个 文 明 古 国 。 这 是 一 个充 满 着 神 秘 色 彩 的 国 度 , 龙 —— 一 种 想 象 中 的 、 在 云 端 矫. 游 的 飞 天 动 物 是 她 的 象 征 , 中 国 就 是 她 的 名 字 , 在 那 儿 生活 的 人 们 勤 劳 、 勇 敢 、 聪 明 、 善 良 …… 莱 布 尼 茨 从 小 就 知道 这 一 切 , 时 常 为 她 心 驰 神 往 。155


那 个 国 家 离 欧 洲 太 遥 远 了 , 但 是 , 莱 布 尼 茨 确 信 , 不管 地 理 位 置 如 何 被 山 海 所 隔 , 人 类 毕 竟 是 要 想 方 设 法 互 相接 触 , 交 流 心 声 的 。 他 终 于 见 到 一 部 介 绍 中 国 的 书 籍 《 马可 · 波 罗 行 记 》, 作 者 马 可 · 波 罗 是 意 大 利 旅 行 家 , 三 百 五十 年 前 曾 经 去 过 那 个 名 叫 中 国 的 国 家 , 在 那 儿 当 了 十 七 年官 , 足 迹 遍 布 整 个 国 土 。 这 部 书 中 揭 示 那 个 神 秘 国 家 的 风土 人 情 以 及 文 化 、 科 学 、 技 术 、 哲 学 和 伦 理 学 等 。 莱 布 尼茨 的 心 无 时 不 在 对 那 个 国 家 产 生 无 穷 的 遐 想 , 他 时 常 想 ,世 界 上 的 各 国 科 学 文 化 是 应 该 互 相 交 流 的 , 而 从 事 学 术 交往 时 绝 对 不 可 以 将 中 国 遗 忘 , 他 甚 至 设 想 建 立 一 所 “ 世 界科 学 院 ”, 主 要 目 的 是 加 强 欧 洲 学 者 与 中 国 同 行 间 的 合 作 。莱 布 尼 茨 以 无 缘 亲 赴 那 个 遥 远 的 国 家 考 察 而 深 感 遗 憾 。1689 年 , 莱 布 尼 茨 在 罗 马 结 识 了 在 中 国 住 过 六 年 、并 准 备 再 度 赴 华 的 意 大 利 神 甫 格 里 马 蒂 , 同 他 进 行 了 长谈 。 为 了 广 泛 收 集 有 关 科 学 技 术 资 料 , 莱 布 尼 茨 交 给 格 里马 蒂 一 份 清 单 , 开 列 内 容 包 括 火 药 制 造 、 养 蚕 、 纺 织 、 造纸 、 印 染 、 农 业 、 园 林 、 冶 金 、 化 学 、 医 学 、 航 海 , 以 及天 文 、 地 理 、 历 史 、 哲 学 和 语 言 文 字 、 风 土 人 情 、 生 活 方式 等 , 共 有 三 十 条 之 多 。1697 年 , 一 本 奇 特 的 书 《 康 熙 皇 帝 》 在 巴 黎 出 版 。莱 布 尼 茨 立 即 被 它 的 传 奇 式 描 述 深 深 地 吸 引 住 了 , 这 本 书的 奇 特 之 处 在 于 它 并 不 是 通 常 人 们 所 熟 悉 的 那 种 叙 事 式 形式 , 而 仅 仅 是 一 位 法 国 传 教 士 从 中 国 回 来 后 , 呈 上 法 王 路156


易 十 四 的 奏 折 。 莱 布 尼 茨 从 《 康 熙 皇 帝 》 书 中 看 到 远 隔 重洋 的 那 位 东 方 皇 帝 的 惊 人 天 赋 , 以 及 对 科 学 技 术 表 现 出 的空 前 热 心 。 他 由 衷 地 寄 于 钦 敬 和 崇 拜 之 情 , 而 且 进 一 步 设想 , 只 有 像 中 国 那 样 , 具 有 悠 久 文 明 历 史 的 国 家 , 才 有 可能 产 生 这 种 目 光 远 大 的 杰 出 人 物 。 莱 布 尼 茨 益 发 向 往 那 个国 度 的 一 切 了 。就 在 1697 年 这 一 年 , 莱 布 尼 茨 根 据 格 里 马 蒂 等 人 提供 的 素 材 , 出 版 了 一 本 名 为 《 中 国 的 最 新 消 息 》 的 文 集 ,他 在 其 中 提 出 和 论 述 了 欧 洲 与 中 国 在 文 化 和 科 学 领 域 里 ,相 互 学 习 和 进 行 真 正 平 等 交 流 的 重 要 观 点 。莱 布 尼 茨 认 为 , 与 《 康 熙 皇 帝 》 的 作 者 鲍 威 特 ( 此 人在 中 国 取 名 白 晋 ) 保 持 密 切 联 系 是 很 有 必 要 的 。 这 个 传 教士 于 1693 年 回 法 国 , 带 来 康 熙 皇 帝 送 给 路 易 十 四 的 礼 品 ,并 处 理 一 些 公 务 ; 到 1698 年 , 鲍 威 特 回 到 中 国 , 莱 布 尼茨 一 直 与 他 接 触 , 通 信 关 系 维 持 到 1702 年 。1698 年 , 莱 布 尼 茨 从 鲍 威 特 那 儿 得 知 中 国 有 一 部 古老 的 哲 学 著 作 :《 易 》, 这 部 书 在 公 元 前 12 世 纪 就 问 世 了 ,距 莱 布 尼 茨 时 代 已 经 两 千 多 年 。《 易 》 用 阴 阳 学 说 来 说 明事 物 的 矛 盾 、 对 立 面 、 肯 定 和 否 定 , 由 于 内 容 深 奥 , 鲍 威特 要 充 分 理 解 是 不 可 能 的 , 他 想 到 莱 布 尼 茨 的 智 慧 以 及 对科 学 求 知 不 懈 的 态 度 , 便 将 《 易 》 的 要 义 和 部 分 内 容 分 络给 莱 布 尼 茨 了 。不 料 ,《 易 》 中 的 一 幅 图 却 勾 起 莱 布 尼 茨 对 二 十 几 年157


前 一 则 往 事 的 回 忆 。神 秘 的 八 卦《 易 》 中 的 那 幅 画 就 是 “ 八 卦 图 ”, 它 带 着 令 人 难 以捉 摸 的 神 秘 色 彩 在 中 国 大 地 上 徉 徜 过 漫 漫 岁 月 , 中 国 数 学家 每 每 回 顾 各 项 成 果 时 , 都 会 溯 流 一 直 到 它 那 儿 。在 《 易 》 中 , 表 示 阴 、 阳 的 符 号 用 “ 划 ” 的 相 分 或 相连 区 别 : 阴 以 相 分 的 划 ( 两 条 短 线 段 ) 表 示 , 阳 以 相 连 的划 ( 一 条 长 线 段 ) 表 示 。 阴 、 阳 怎 么 能 生 成 八 卦 呢 ? 原 来《 易 》 中 将 符 号 “ 划 ” 称 为 “ 爻 ”, 相 分 的 划 是 阴 爻 , 相 连的 划 是 阳 爻 , 这 是 构 成 卦 的 基 本 元 素 ; 取 三 个 爻 叠 起 , 就生 成 “ 卦 ”, 它 们 的 形 式 可 以 从 图 10 见 到 。那 么 , 用 阴 爻 或 阳 爻 每 取 三 个 叠 起 排 列 , 能 组 成 几 种不 同 的 卦 呢 ?《 易 》 的 作 者 已 经 知 道 , 用 每 取 三 个 爻 的 方法 , 可 以 组 成 八 种 不 同 的 卦 , 这 就 是 “ 八 卦 ”, 它 们 各 有自 己 的 卦 名 , 如 乾 、 坤 、 离 、 坎 等 。莱 布 尼 茨 对 《 易 》 表 现 出 的 极 大 兴 趣 , 使 自 己 立 即 被卷 入 深 究 八 卦 机 理 的 漩 涡 中 去 了 。 但 是 , 指 望 一 位 远 隔 中国 数 万 里 之 遥 的 学 者 , 能 够 解 决 中 国 人 自 己 两 千 多 年 都 未解 释 清 楚 的 问 题 , 那 是 不 现 实 的 。 然 而 , 莱 布 尼 茨 以 一 名无 畏 的 探 索 者 的 姿 态 去 迎 接 历 史 的 挑 战 , 想 到 从 八 卦 的 某一 侧 面 去 阐 述 它 的 隐 秘 , 或 许 能 够 获 得 某 种 成 果 。158


他 反 复 琢 磨 阴 爻 和 阳 爻 这 两 种 爻 形 , 忽 然 想 到 “ 二 ”。是 啊 , 如 果 世 界 上 所 有 事 物 都 能 用 两 种 爻 来 表 示 , 那 么 ,“ 二 ” 意 味 着 什 么 呢 ? 于 是 , 他 回 想 起 二 十 几 年 前 的 一 项成 果 。 当 时 , 他 曾 经 预 言 , 世 界 上 的 数 , 无 论 它 有 多 大 ,都 可 以 用 两 个 数 码 表 示 , 这 数 码 是 0 和 1。莱 布 尼 茨 的 奇 怪 想 法 使 几 千 年 来 一 直 占 据 数 学 阵 地 的十 个 数 码 1、2、3、4、5、6、7、8、9 和 0 系 统 动 摇 了 ,他 所 采 用 的 系 统 是 最 简 单 的 计 数 制 系 统 , 必 须 进 行 逢“ 二 ” 进 位 的 规 定 , 因 此 , 有 0 和 1 两 个 数 码 也 就 够 了 。“ 二 进 制 计 数 制 ” 的 出 现 惊 动 了 许 多 数 学 界 名 流 , 人 何 不知 所 措 地 去 接 受 这 个 大 悖 常 理 的 挑 战 , 见 解 太 奇 怪 、 太 突然 了 , 这 创 举 与 传 统 习 惯 犹 如 方 凿 圆 枘 , 竟 是 如 此 格 格 不入 !为 了 通 俗 地 阐 明 二 进 制 计 数 制 的 机 理 和 作 用 , 莱 布 尼茨 于 1679 年 写 出 论 文 《 谈 二 进 制 算 术 》, 使 广 大 数 学 工 作者 思 路 大 为 开 豁 。莱 布 尼 茨 想 到 , 既 然 中 国 人 认 为 世 界 上 所 有 事 物 都 能用 两 种 爻 来 表 示 , 而 二 进 制 计 数 制 用 于 表 示 一 切 数 同 样 是两 个 数 码 , 那 么 , 这 两 套 不 同 概 念 的 机 理 就 可 能 有 某 种 联系 。 他 用 0 和 1 相 应 地 代 表 阴 爻 和 阳 爻 , 按 从 下 至 上 的 顺序 , 就 出 现 如 同 表 1 所 示 的 关 系 , 这 八 个 卦 所 属 的 二 进 制数 竟 相 应 于 十 进 制 数 的 0、1、2、3、4、5、6、7 八 个 数 ,他 顿 时 悟 出 八 卦 在 进 位 制 体 系 方 面 的 潜 在 机 理 。159


紧 接 着 , 鲍 威 特 又 从 中 国 寄 给 莱 布 尼 茨 另 两 幅 图 画 :《 伏 羲 六 十 四 卦 次 序 图 》 和 《 伏 羲 六 十 四 卦 方 位 图 》。 原来 , 这 种 卦 的 每 卦 是 由 六 个 爻 组 成 的 , 而 根 据 两 种 爻 组 合的 结 果 , 可 以 得 到 六 十 四 个 卦 形 。 按 照 莱 布 尼 茨 的 二 进 制数 规 律 , 六 十 四 卦 正 好 表 示 十 进 制 数 的 0 至 63 六 十 四 个数 。然 而 , 莱 布 尼 茨 本 人 万 万 没 有 想 到 , 他 创 立 的 二 进 制计 数 制 竟 然 会 在 二 百 多 年 后 的 电 子 计 算 机 系 统 中 大 显 身手 。 当 时 , 他 只 是 惊 慕 中 国 人 的 智 慧 水 平 , 而 为 了 对 中 国文 化 的 景 仰 , 在 计 算 机 基 本 定 型 时 , 便 将 复 制 品 赠 送 给 康熙 皇 帝 一 台 , 并 写 信 建 议 在 北 京 成 立 科 学 院 , 希 望 增 进 东西 方 的 科 学 文 化 交 流 。 不 过 , 他 的 一 片 诚 心 却 没 有 得 到 应有 的 回 音 。160


虚 无 缥 缈 的 数世 界 上 一 切 生 活 和 生 产 活 动 都 离 不 开 数 , 因 为 所 有 事物 莫 不 寓 有 数 。 自 从 出 现 人 类 以 来 , 就 没 有 停 顿 过 对 数 的研 究 , 但 是 , 几 千 年 过 去 了 , 以 人 类 的 高 度 智 慧 , 还 不 能揭 示 它 的 性 质 于 万 一 , 这 的 确 是 一 件 很 离 奇 的 事 。 可 是 ,有 什 么 办 法 呢 ? 人 们 在 惊 呼 数 的 奥 妙 之 余 , 就 不 得 不 把 它的 存 在 归 寄 于 万 能 的 上 帝 , 就 是 当 初 上 帝 创 世 时 , 就 是 用数 来 点 缀 天 、 地 的 , 以 致 于 天 空 上 布 满 数 也 数 不 清 的 星星 , 地 面 上 则 铺 撒 着 同 样 是 无 法 计 数 的 沙 粒 。起 初 , 人 们 只 承 认 正 数 , 因 为 它 看 得 见 , 摸 得 着 ; 至于 负 数 , 一 般 只 被 当 作 是 一 种 记 号 , 以 应 付 运 算 的 需 要 。中 国 的 《 九 章 算 术 》 一 书 的 作 者 们 首 创 “ 正 负 术 ”, 而 在欧 洲 , 负 数 是 通 过 阿 拉 伯 人 的 著 作 传 入 的 , 一 直 到 十 六 世纪 中 叶 , 数 学 家 们 还 把 它 说 成 是 “ 荒 谬 的 ”、“ 无 稽 的 ”、“ 虚 伪 的 零 下 ” 等 等 。1545 年 , 意 大 利 人 卡 尔 达 诺 (1501—1576) 在 其 名著 《 大 术 》 中 提 出 解 三 次 方 程 的 求 根 公 式 , 即 对 于 方 程, 都 可 以 化 成 缺 二 项 式 的 形 式, 从 而 得 到 其 中 的 一 个 根 值 为161


那 么 , 如 果 平 方 根 号 下 的 数 是 负 数 , 该 怎 么 办 呢 ?莱 布 尼 茨 时 代 在 卡 尔 达 诺 之 后 一 百 多 年 , 对 负 数 开 平方 这 样 的 数 仍 然 认 识 模 糊 , 它 究 竟 有 什 么 作 用 , 涵 义 是 什么 呢 ? 这 种 数 像 是 悠 悠 荡 荡 的 幽 灵 , 它 闯 进 数 学 领 域 中 来的 目 的 是 什 么 ? 这 都 是 个 谜 。 只 是 到 了 1637 年 , 人 们 才在 笛 卡 儿 的 《 几 何 学 》 一 书 中 第 一 次 见 到 负 数 平 方 根 的 名字 : 虚 数 , 确 切 地 表 达 这 个 虚 无 缥 缈 的 数 。莱 布 尼 茨 对 虚 数 的 理 解 也 不 深 刻 , 但 是 它 披 着 神 秘 色彩 的 外 衣 强 烈 地 吸 引 着 他 , 尽 管 他 对 飘 进 数 学 领 域 的 这 个幽 灵 具 有 多 大 神 通 还 摸 得 不 透 , 不 过 , 他 预 感 到 , 虚 数 在未 来 的 数 学 发 展 中 必 将 大 放 异 彩 , 一 定 能 派 上 很 大 用 场 。经 过 一 番 研 究 之 后 , 在 1702 年 , 他 对 虚 数 提 出 一 种 出 人意 料 的 评 价 , 使 人 们 耳 目 一 新 。 他 说 :“ 虚 数 是 上 帝 心 态 奔 放 的 奇 异 创 造 , 它 是 介 于 存 在 和不 存 在 之 间 的 两 栖 物 。”莱 布 尼 茨 看 到 虚 数 的 作 用 , 也 初 步 涉 足 它 与 实 数 之 间关 系 的 研 究 , 他 居 然 运 用 巧 妙 的 解 题 方 法 , 解 决 了 一 个 棘手 的 复 数 开 方 和 的 问 题 ( 复 数 —— 实 数 与 虚 数 之 和 )。复 数 的 开 方 和 竟 然 会 等 于 一 个 正 数 的 开 方 , 真 是 奇 得不 可 思 议 , 可 是 , 事 实 上 , 他 利 用 复 数 平 方 的 方 法 得 到 以下 结 果 :上 式 是 数 学 史 上 有 名 的 “ 莱 布 尼 茨 问 题 ”。162


数 学 家 步 入 新 奇 瑰 丽 的 时 代早 在 古 希 腊 和 古 中 国 时 期 , 极 限 思 想 就 在 数 学 家 的 理论 和 实 践 中 形 成 , 其 中 最 有 代 表 性 的 首 推 阿 基 米 德 的 穷 竭法 和 刘 徽 的 割 圆 术 ; 此 后 , 许 多 数 学 家 , 如 费 马 、 笛 卡 儿等 人 对 “ 切 线 问 题 ” 的 讨 论 、 对 函 数 极 值 的 研 究 等 等 , 似乎 都 贯 穿 一 条 线 , 是 为 了 适 应 力 学 、 天 文 学 以 及 一 系 列 物理 课 题 的 解 决 而 出 现 。 莱 布 尼 茨 前 些 年 与 惠 更 斯 交 往 中 ,已 经 预 感 到 或 早 或 晚 必 有 新 的 数 学 方 法 脱 颖 。莱 布 尼 茨 了 解 到 当 时 欧 洲 学 术 界 正 在 努 力 寻 求 某 种 普遍 性 理 论 方 法 , 以 处 理 诸 如 曲 线 的 切 线 、 速 度 与 时 间 和 距离 的 变 量 关 系 、 极 值 、 曲 线 及 其 围 成 的 面 积 或 扩 充 为 体 积等 类 型 的 问 题 。 他 在 研 究 曲 线 的 切 线 问 题 时 发 挥 自 己 的 思想 , 确 定 了 一 种 名 为 “ 纵 坐 标 差 分 法 ” 的 切 线 作 法 , 并 于1677 年 6 月 21 日 致 函 牛 顿 , 介 绍 这 种 方 法 。 这 时 , 他 研究 曲 线 的 切 线 问 题 已 经 获 得 相 当 可 观 的 进 展 , 对 于 那 时 欧洲 许 多 知 名 数 学 家 来 说 , 莱 布 尼 茨 远 远 地 走 在 别 人 前 面 ,是 绝 大 多 数 人 都 望 尘 莫 及 的 。那 么 , 求 曲 线 的 切 线 意 着 什 么 呢 ?就 这 个 问 题 本 身 来 说 , 无 论 从 数 学 或 物 理 学 方 面 看 ,它 都 是 极 为 重 要 的 , 例 如 作 透 镜 设 计 时 , 必 须 知 道 光 线 射入 透 镜 的 角 度 , 而 最 重 要 的 角 就 是 光 线 同 曲 线 的 法 线 间 的163


夹 角 , 既 然 法 线 是 与 切 线 相 垂 直 的 , 那 么 , 求 曲 线 的 切 线对 于 透 镜 的 设 计 来 说 , 其 重 要 性 就 可 想 而 知 了 。然 而 , 求 曲 线的 切 线 还 具 有 更 加深 刻 的 意 义 , 那 就是 : 切 线 是 割 线 对曲 线 上 某 点 的 趋 近极 限 。 见 图 46, 如果 直 线 与 曲 线 有 两个 相 邻 的 交 点 P 和Q , 当 Q 点 沿 着曲 线 无 限 接 近 于 P( 从 Q 至 Q1、Q2…) 点 时 , 直 线 PQ 的 极 限 位 置 PT 即这 条 曲 线 上 经 过 P 点 的 切 线 。 于 是 , 求 曲 线 的 切 线 就 从另 一 侧 面 反 映 了 极 限 思 想 。莱 布 尼 茨 面 临 一 场 严 重 的 挑 战 , 他 要 彻 底 解 决 切 线 问题 , 必 须 创 造 一 种 全 新 的 数 学 方 法 , 于 是 , 他 将 “ 纵 坐 标差 分 法 ” 向 前 推 进 一 步 , 一 种 新 方 法 “ 微 分 学 ” 终 于 问世 。 实 际 上 , 在 致 函 牛 顿 介 绍 纵 坐 标 差 分 法 之 前 , 他 写 了一 部 名 为 《 求 差 切 线 计 算 法 》 的 手 稿 , 其 中 已 表 露 出 微 分学 理 论 最 基 本 的 原 理 ;1677 年 7 月 11 日 , 他 在 另 一 部 手稿 中 进 一 步 予 以 引 申 , 推 出 一 些 运 算 法 则 。1684 年 ,《 学 艺 》 杂 志 发 表 了 一 篇 立 论 独 特 、 思 路 新1 64


颖 的 文 章 , 它 的 标 题 既 长 而 又 古 怪 :《 一 种 求 极大 极 小 和 切 线 的新 方 法 , 它 也 适用 于 分 式 和 无 理量 , 以 及 这 种 新方 法 的 奇 妙 类 型的 计 算 》莱 布 尼 茨 用他 的 智 慧 和 勤奋 , 通 过 这 篇 文章 向 全 人 类 宣告 : 微 分 学 来 到了 世 间 。紧 接 着 , 在 1686 年 ,《 学 艺 》 杂 志 发 表 了 他 的 另 一 篇同 样 是 具 有 划 时 代 意 义 的 文 章 , 它 提 供 给 人 们 “ 积 分 学 ”( 积 分 是 微 分 之 逆 )。 而 实 际 上 , 早 在 1675 年 10 月 29 日的 一 份 手 稿 中 , 他 已 经 给 出 了 一 部 分 积 分 公 式 。对 今 天 的 科 技 工 作 者 来 说 , 微 积 分 学 就 像 望 远 镜 之 于天 文 学 家 、 显 微 镜 之 于 生 物 学 家 那 样 重 要 , 可 见 莱 布 尼 茨创 立 微 积 分 学 对 人 类 的 贡 献 有 多 大 。 在 17 世 纪 很 长 一 段时 期 内 , 正 像 早 年 惠 更 斯 预 感 到 的 那 样 , 数 学 史 一 直 处 于神 秘 时 代 , 而 莱 布 尼 茨 , 就 是 这 位 大 数 学 家 , 他 探 入 那 个165


神 秘 时 代 , 撩 起 变 幻 奠 测 的 幕 布 , 使 全 世 界 的 学 者 都 看 到充 满 神 奇 色 彩 的 景 色 , 从 此 , 数 学 家 步 入 一 个 新 奇 瑰 丽 的时 代 , 许 多 传 统 的 棘 手 数 学 难 题 也 冰 消 雪 化 了 。他 终 于 成 为 “ 哲 学 家 ”从 幼 年 时 代 起 , 莱 布 尼 茨 就 建 立 一 种 朝 “ 哲 学 家 ” 奋斗 的 目 标 。 作 为 广 义 的 概 念 , 按 照 古 希 腊 人 的 说 法 ,“ 哲学 ” 囊 括 所 有 知 识 , 当 然 也 包 含 人 文 科 学 和 自 然 科 学 。 实际 上 , 作 为 一 名 大 数 学 家 , 他 是 无 愧 这 个 称 号 的 , 然 而 ,在 他 的 一 生 中 , 贡 献 给 人 类 的 何 止 这 一 学 科 的 成 就 ? 他 的多 才 多 艺 堪 与 我 国 宋 代 的 博 学 家 沈 括 (1030—1095) 相 媲美 。 他 终 于 成 为 一 名 真 正 的 “ 哲 学 家 ”。莱 布 尼 茨 作 为 “ 哲 学 ” 的 毕 生 追 求 者 , 无 时 无 刻 不 在分 析 和 思 考 的 天 地 遨 游 , 关 于 思 维 的 过 程 , 他 有 一 段 精 辟的 比 喻 , 对 后 人 很 有 启 发 意 义 , 在 他 的 《 短 文 与 文 摘 录 》中 写 道 :“ 马 里 欧 特 说 , 人 的 脑 子 像 个 袋 子 : 思 考 问 题 就 如 同要 从 袋 子 里 抖 出 东 西 一 样 。 所 以 , 毫 无 疑 问 , 是 否 能 想 出个 名 堂 来 , 在 一 定 程 度 上 要 取 决 于 机 会 。 我 愿 意 补 充 一点 , 即 人 的 头 脑 更 像 个 筛 子 : 思 考 问 题 犹 如 用 筛 子 去 筛 细微 的 东 西 。 晃 动 筛 子 时 , 正 在 搜 索 的 注 意 力 会 抓 获 那 些 看来 是 有 关 的 东 西 , 这 又 好 比 抓 小 偷 之 类 的 事 情 : 一 个 城 市166


长 官 让 全 市 居 民 通 过 一 道 大 门 , 而 被 窃 者 在 一 旁 观 察 。 同时 , 为 了 节 省 时 间 和 减 少 麻 烦 , 可 以 采 用 某 种 排 他 法 。 如果 被 窃 的 人 说 那 个 小 偷 是 个 男 的 , 而 不 是 女 的 ; 是 个 中 年人 而 不 是 青 年 人 或 孩 子 , 那 么 , 所 有 无 关 的 人 就 都 被 排 除了 , 他 们 就 不 必 过 那 道 门 。”( 马 里 欧 特 ——17 世 纪 的 法国 物 理 学 家 )莱 布 尼 茨 在 哲 学 问 题 上 非 常 注 意 形 式 逻 辑 , 他 认 为 ,具 体 地 运 用 形 式 逻 辑 这 一 思 维 科 学 是 比 较 深 、 难 的 , 因 此设 想 一 种 比 数 量 的 代 数 更 宽 广 的 科 学 , 旨 在 使 它 行 使 起 来更 有 点 像 通 常 的 代 数 , 但 可 以 用 于 一 切 数 学 领 域 中 的 推理 。 基 于 这 种 设 想 , 他 才 着 手 去 创 造 计 算 机 。 关 于 这 件事 , 他 的 思 想 和 方 法 都 获 得 成 功 , 他 的 信 心 并 不 是 盲 目的 , 从 以 下 几 句 话 便 可 以 看 出 :“ 一 个 解 法 称 为 是 完 善 的 ,如 果 我 们 从 一 开 头 就 能 预 见 甚 至 证 明 , 沿 着 这 个 方 法 做 下去 , 就 一 定 能 达 到 我 们 的 目 的 。”当 然 , 莱 布 尼 茨 对 逻 辑 学 的 认 识 是 初 步 的 , 但 是 , 重大 的 意 义 在 于 他 的 工 作 具 有 开 拓 性 。 在 他 的 代 数 中 , 已 经直 接 或 间 接 地 有 了 这 样 一 些 概 念 , 即 现 代 常 说 的 逻 辑 加法 、 乘 法 、 等 同 、 否 定 和 空 集 等 等 。即 使 在 数 学 范 畴 内 , 莱 布 尼 茨 也 是 一 名 博 学 者 , 除 了发 明 微 积 分 之 外 , 在 许 多 数 学 分 支 都 留 下 足 迹 ;1693 年 ,他 拟 定 了 线 性 方 程 组 的 完 整 解 法 , 由 此 导 致 行 列 式 的 产生 ;1678 年 , 他 证 明 了 n=4 情 形 的 费 马 大 定 理 ; 他 是1 6 7


“ 位 置 几 何 学 ” 的 命 名 者 ( 后 来 由 欧 拉 提 出 这 个 几 何 学 分支 )…… 他 是 数 学 语 言 和 符 号 的 大 师 ,“ 函 数 ”、“ 纵 坐 标 ”的 定 名 以 及 微 积 分 学 和 代 数 学 的 许 多 符 号 的 建 立 都 是 他 的功 绩 。莱 布 尼 茨 不 但 自 己 拥 有 知 识 , 还 把 知 识 的 传 播 看 做 是一 件 大 事 , 他 对 于 科 学 著 作 非 常 认 真 , 把 它 看 做 是 普 及 知识 的 重 要 手 段 , 在 《 数 学 笔 记 》 中 写 道 :“ 我 打 算 把 书 写成 这 样 : 让 学 习 的 人 总 是 能 够 看 清 他 所 学 知 识 的 内 在 道理 , 甚 至 使 发 明 的 本 源 能 够 显 露 出 来 。 因 此 这 样 写 , 学 习者 便 能 明 了 一 切 , 仿 佛 就 是 他 自 己 发 明 的 一 样 。”平 地 风 波的 确 , 微 积 分 的 出 现 使 数 学 发 展 进 入 一 个 变 革 时 期 ,它 的 神 奇 力 量 风 靡 了 整 个 欧 洲 的 科 学 技 术 界 , 当 然 , 微 积分 创 立 人 莱 布 尼 茨 因 此 而 身 价 百 倍 也 是 理 所 当 然 的 。1687 年 , 英 国 皇 家 学 会 出 版 了 牛 顿 的 划 时 代 巨 著《 自 然 哲 学 的 数 学 原 理 》, 其 中 引 出 了 一 种 令 人 感 兴 趣 的 、构 思 新 颖 的 “ 流 数 术 ”。 想 不 到 这 部 著 作 问 世 后 , 竟 由 于这 个 奥 秘 莫 测 的 流 数 术 而 在 学 术 界 引 起 一 场 轩 然 大 波 。原 来 牛 顿 称 连 续 变 量 为 “ 流 动 量 ”, 而 这 些 流 动 量 的导 数 则 被 称 为 “ 流 数 ”, 导 数 又 涉 及 微 积 分 的 基 本 概 念 ,于 是 , 发 明 微 积 分 的 居 先 权 问 题 便 被 一 些 好 事 者 提 出 来168


了 。流 数 术 最 早 出 现 于 牛 顿 手 写 的 一 页 文 件 中 , 日 期 是1665 年 5 月 20 日 , 而 在 1675 年 10 月 26 目 的 莱 布 尼 茨 手稿 中 已 出 现 微 分 、 积 分 符 号 , 看 来 牛 顿 发 现 微 积 分 比 莱 布尼 茨 早 10 年 ; 可 是 , 从 发 表 公 开 时 间 看 , 牛 顿 却 比 莱 布尼 茨 晚 3 年 。 根 据 以 上 事 实 ,1699 年 , 瑞 士 人 丢 利 埃 首先 挑 起 事 端 , 他 认 为 1673 年 莱 布 尼 茨 访 问 过 伦 敦 , 以 后又 同 熟 悉 牛 顿 工 作 的 人 频 繁 通 信 , 因 此 , 莱 布 尼 茨 很 可 能是 个 剽 窃 者 。一 场 风 暴 向 莱 布 尼 茨 袭 击 而 来 , 他 不 得 不 浪 费 宝 贵 的时 间 参 与 这 场 无 聊 的 争 论 , 于 1700 年 5 月 份 的 《 学 艺 》杂 志 上 撰 文 反 驳 。 但 是 , 树 欲 静 而 风 不 止 , 直 至 他 的 晚 年1714 年 , 无 奈 又 写 了 一 本 书 《 微 分 法 的 历 史 和 起 源 》, 其中 他 用 第 三 者 的 身 份 谈 到 他 自 己 :“ 在 莱 布 尼 茨 建 立 这 种新 运 算 的 专 用 概 念 之 前 , 它 肯 定 没 有 进 入 任 何 其 他 人 的 心灵 ; 通 过 他 的 运 算 法 则 , 就 可 以 把 想 象 力 从 不 断 地 参 照 图形 中 解 放 出 来 ……”诚 然 , 莱 布 尼 茨 与 英 国 皇 家 学 会 的 成 员 经 常 进 行 学 术交 流 , 但 是 , 这 对 于 学 术 活 动 的 正 当 性 来 说 , 是 无 可 指 摘的 。 就 是 牛 顿 本 人 , 也 是 乐 于 与 莱 布 尼 茨 互 致 心 得 的 交换 , 特 别 是 皇 家 学 会 秘 书 奥 丁 堡 , 从 来 都 是 以 能 够 充 当 这两 位 伟 大 学 者 之 间 的 桥 梁 感 到 荣 幸 。实 际 上 , 牛 顿 对 这 位 杰 出 的 同 代 人 莱 布 尼 茨 的 态 度 是169


非 常 诚 恳 的 , 他 在 《 自 然 哲 学 的 数 学 原 理 》 的 第 一 版 中 就曾 毫 不 含 糊 地 承 认 了 莱 布 尼 茨 的 天 才 。 而 莱 布 尼 茨 呢 ? 他说 牛 顿 的 信 常 使 他 深 受 感 动 。 他 俩 经 常 相 互 切 磋 学 术 心得 , 他 们 之 间 的 友 情 是 深 厚 和 融 洽 的 , 两 人 都 具 备 一 名 正直 的 科 学 家 所 应 有 的 宽 阔 胸 怀 , 因 此 能 够 无 保 留 地 将 自 己的 研 究 成 果 通 报 给 对 方 , 丝 毫 也 没 有 嫉 妒 和 互 相 抵 触 的 心理 和 行 动 。莱 布 尼 茨 和 牛 顿 去 世 之 后 , 他 们 的 信 徒 分 为 大 陆 派 和英 国 派 两 大 派 , 争 端 延 续 了 一 百 多 年 , 双 方 都 蒙 受 巨 大 的损 失 , 它 不 仅 延 缓 了 数 学 进 展 , 而 且 埋 没 了 许 多 优 秀 的 人才 。历 史 上 任 何 一 项 重 大 理 论 的 完 成 , 都 是 经 过 多 少 代 人辛 勤 努 力 的 结 果 , 无 论 是 牛 顿 或 莱 布 尼 茨 , 也 都 是 继 承 前人 成 果 再 加 上 自 己 创 见 取 得 成 功 的 。 后 人 认 为 , 牛 顿 主 要是 从 力 学 的 概 念 出 发 , 而 莱 布 尼 茨 则 主 要 是 从 几 何 学 为 思路 起 步 的 , 他 俩 携 手 并 进 , 殊 途 同 归 , 因 此 , 发 明 微 积 分的 荣 誉 理 应 由 二 人 共 享 。莱 布 尼 茨 与 牛 顿 同 时 代 ( 牛 顿 比 莱 布 尼 茨 长 4 岁 ),德 国 与 英 国 又 近 若 比 邻 , 这 种 数 学 史 上 不 幸 的 风 波 也 可 以说 是 意 外 的 误 会 吧 !其 实 , 莱 布 尼 茨 所 经 历 的 类 似 巧 合 还 不 止 这 一 桩 。 在对 圆 周 率 的 研 究 方 面 ,1674 年 , 他 曾 经 导 出 一 个 表 达 式 :170


当 他 得 到 这 个 式 子 ( 后 人 将 这 圆 周 率 表 达 式 称 为 莱 布尼 茨 级 数 ) 时 , 欣 喜 的 心 情 不 可 名 状 , 立 即 将 有 关 资 料 寄给 奥 丁 堡 。 不 料 , 他 却 收 到 对 方 这 样 的 回 信 :“ 您 的 这 项发 现 的 确 是 值 得 钦 佩 的 , 不 过 , 早 在 三 年 前 , 英 国 人 格 列哥 里 已 经 有 了 这 个 结 果 ……” 莱 布 尼 茨 本 人 深 知 , 在 通 往某 项 科 学 目 标 的 道 路 上 , 往 往 都 有 为 数 众 多 的 同 行 人 , 虽然 有 捷 足 先 登 者 , 但 也 有 迟 到 一 步 的 , 大 家 都 该 明 白 这 种哲 理 。171


欧 拉 —— 征 服 黑 暗 的 人因 为 宇 宙 的 结 构 是 最 完 善 的 , 而 且 是 最 明 智 的 上 帝 所创 造 , 所 以 , 如 果 在 宇 宙 里 没 有 某 种 极 大 或 极 小 的 法 则 ,那 就 根 本 不 会 发 生 任 何 事 情 。—— 欧 拉 —在 上 帝 家 做 客1707 年 4 月 15 日 , 瑞 士 巴 塞 尔 城 的 欧 拉 家 一 派 欢 庆气 氛 , 牧 师 保 尔 。 欧 拉 的 事 业 后 继 有 人 了 , 怎 不 叫 他 喜 上眉 梢 ?老 欧 拉 给 这 天 呱 呱 坠 地 的 儿 子 起 名 为 列 昂 哈 德 , 他 看着 那 双 朝 奇 妙 的 世 界 张 望 的 小 眼 睛 , 心 想 , 就 凭 我 保 尔 祖传 家 教 , 这 孩 子 将 来 准 是 一 名 出 类 拔 萃 的 教 门 后 起 之 秀 .二 十 年 后 , 说 不 定 阿 尔 卑 斯 山 另 一 侧 的 罗 马 教 廷 还 会 选 他前 去 供 职 呢 !但 是 , 天 下 事 往 往 朝 着 并 非 人 愿 的 方 向 发 展 , 尽 管 保尔 将 自 己 的 期 望 和 在 教 会 中 的 影 响 极 力 施 加 给 儿 子 , 这 个172


孩 子 的 兴 趣 却 不 在 于 此 。 神 学 —— 一 门 莫 名 其 妙 的 学 科 虽然 有 它 独 特 的 理 论 , 神 奇 的 圣 经 故 事 和 博 爱 平 等 的 教 义 确实 也 使 不 少 虔 诚 的 教 徒 入 迷 , 然 而 , 小 欧 拉 , 这 个 天 生 的叛 逆 者 却 无 动 于 衷 。 他 是 现 实 观 的 , 对 任 何 自 然 现 象 或 社会 潮 流 的 发 生 都 要 问 个 为 什 么 , 而 令 他 感 到 失 望 的 是 , 许173


多 疑 问 无 法 从 神 学 得 到 解 释 , 或 者 解 释 得 牵 强 得 很 , 难 以使 人 置 信 , 渐 渐 地 , 神 学 对 他 的 吸 引 力 丝 毫 也 不 存 在 了 ,取 代 它 的 自 然 是 另 一 门 学 科 。列 昂 哈 德 与 其 他 同 龄 的 孩 子 一 样 , 有 着 强 烈 的 求 知欲 。 保 尔 曾 经 向 当 地 数 学 家 雅 各 · 伯 努 利 (1654—1705)学 习 , 略 通 数 理 , 小 欧 拉 耳 濡 目 染 , 将 数 学 与 神 学 做 了 适当 比 较 之 后 , 毫 不 迟 疑 地 一 头 扎 进 那 些 离 奇 的 数 字 、 符号 、 图 形 中 去 了 。这 个 孩 子 从 小 喜 爱 数 学 , 并 且 能 够 解 决 一 些 初 等 数 学中 的 难 题 , 富 有 创 造 性 的 技 巧 , 表 明 他 对 这 门 学 科 所 具 有的 非 凡 潜 力 , 很 快 就 被 雅 各 的 弟 弟 、 巴 塞 尔 大 学 教 授 约翰 · 伯 努 利 (1667—1748) 所 赏 识 , 教 授 决 心 引 导 他 朝 数学 领 域 挺 进 。保 尔 逐 渐 地 看 出 儿 子 离 经 叛 道 的 行 为 , 伤 心 地 向 伯 努利 兄 弟 诉 说 自 己 希 望 破 灭 的 痛 苦 , 然 而 , 约 翰 却 对 保 尔 激动 地 大 声 叫 嚷 :“ 难 道 你 还 在 指 望 他 有 朝 一 日 成 为 罗 马 教 皇 的 一 支 胳膊 吗 ? 不 , 永 远 不 会 的 。 上 帝 已 经 为 他 的 前 程 做 好 安 排 ,他 必 须 是 数 学 家 , 也 准 是 空 前 的 第 一 流 数 学 家 !”保 尔 犹 豫 着 , 无 可 奈 何 地 摊 摊 手 。“ 列 昂 哈 德 该 回 自 己 的 家 了 , 你 知 道 古 希 腊 吗 ? 听 说过 数 学 之 神 阿 基 米 德 吗 ? 那 才 是 他 的 家 ! 噢 , 至 于 上 帝 ,对 了 , 这 些 时 候 列 昂 哈 德 只 不 过 是 在 上 帝 家 做 客 罢 了 。”174


约 翰 毫 不 让 步 地 坚 持 己 见 。保 尔 终 于 勉 强 地 屈 从 了 。1720 年 秋 天 ,13 岁 的 少 年 欧 拉 成 为 巴 塞 尔 大 学 一 名最 年 轻 的 学 生 。 朝 气 蓬 勃 、 求 知 不 懈 的 欧 拉 深 受 老 师 的 器重 , 他 能 够 回 答 老 师 的 许 多 提 问 , 又 经 常 将 自 己 的 疑 问 坦露 给 对 方 , 使 每 个 课 题 都 能 进 一 步 深 入 , 得 到 更 加 深 刻 的学 识 , 因 此 学 业 长 进 得 非 常 快 。伯 努 利 教 授 从 欧 拉 的 勤 奋 和 天 才 表 现 看 出 这 个 孩 子 未来 的 科 学 生 命 力 未 可 限 量 , 怀 着 对 人 类 前 途 的 高 度 责 任感 , 无 私 地 承 担 起 培 育 这 株 大 有 希 望 的 新 苗 的 义 务 , 给 予欧 拉 以 特 别 指 导 。 他 规 定 每 星 期 六 下 午 为 专 给 这 名 学 生 辅导 的 时 间 ; 让 自 己 的 两 个 儿 子 尼 古 拉 和 丹 尼 尔 随 时 帮 助 欧拉 学 习 数 学 、 其 它 自 然 科 学 学 科 , 以 及 各 种 社 会 科 学 知识 。欧 拉 辞 别 “ 上 帝 家 ” 回 到 自 己 的 “ 家 ” 了 。 对 科 学 追求 的 热 情 像 一 团 熊 熊 烈 火 在 他 的 心 中 燃 烧 , 他 不 分 昼 夜 、不 计 寒 暑 地 尽 情 吸 吮 着 蕴 藏 知 识 的 各 种 源 泉 , 而 他 那 勤 于思 考 、 善 于 分 析 的 脑 子 则 成 为 能 够 在 科 学 天 空 翱 翔 的 翅膀 。欧 拉 的 行 动 表 明 , 他 没 有 辜 负 伯 努 利 老 师 的 殷 切 期望 ,1724 年 ,17 岁 的 欧 拉 成 为 世 界 历 史 上 最 年 轻 的 硕 士 。175


情 系 天 涯1725 年 , 尼 古 拉 和 丹 尼 尔 哥 俩 受 俄 国 女 王 卡 德 琳 娜一 世 的 聘 请 , 前 往 新 创 建 的 圣 彼 得 堡 科 学 院 工 作 , 他 们 觉得 , 自 己 虽 然 掌 握 一 些 科 学 知 识 , 但 与 欧 拉 比 起 来 , 无 论在 研 究 方 法 或 是 学 术 成 就 方 面 , 都 远 远 不 及 欧 拉 。 于 是 ,他 们 向 卡 德 琳 娜 一 世 极 力 推 荐 , 接 受 欧 拉 进 科 学 院 。1727 年 , 欧 拉 来 到 圣 彼 得 堡 , 先 是 作 为 丹 尼 尔 的 助手 , 以 后 由 于 他 在 数 学 和 力 学 方 面 显 示 的 出 众 才 华 , 很 快就 独 当 一 面 。 他 在 学 术 讨 论 会 上 锋 芒 毕 露 , 在 各 种 场 合 发表 精 辟 见 解 , 常 见 妙 语 惊 人 、 四 座 叹 服 的 情 景 。祖 国 、 家 乡 , 多 么 亲 切 和 令 人 依 恋 的 所 在 啊 ! 但 是 ,科 学 是 无 国 界 的 , 如 果 出 自 为 全 人 类 造 福 , 那 么 , 异 国 他乡 又 算 得 了 什 么 ? 然 而 , 欧 拉 万 万 没 有 想 到 , 自 从 20 岁那 年 远 走 天 涯 之 后 , 再 也 就 没 有 机 会 听 到 巴 塞 尔 大 教 堂 传来 的 阵 阵 低 沉 而 肃 穆 的 钟 声 了 。圣 彼 得 堡 科 学 院 人 才 济 济 , 不 但 研 究 条 件 和 仪 器 设 备是 第 一 流 的 , 没 有 哪 一 个 国 家 的 研 究 机 构 能 够 比 得 上 它 ,而 且 又 有 眼 光 远 大 的 女 王 做 后 盾 。 当 时 , 全 欧 洲 科 学 家 都以 它 马 首 是 瞻 , 因 此 , 尼 古 拉 和 丹 尼 尔 能 够 受 聘 , 可 以 说是 莫 大 殊 荣 。年 轻 的 欧 拉 既 然 愿 意 进 圣 彼 得 堡 , 当 然 也 就 会 全 力 投176


进 这 空 前 火 热 的 科 学 研 究 行 列 , 要 知 道 , 圣 彼 得 堡 科 学 院是 一 个 沸 腾 的 集 体 啊 ! 只 可 惜 , 欧 拉 来 到 这 儿 时 , 尼 古 拉已 经 走 了 , 永 远 见 不 到 了 。 原 来 1726 年 ,31 岁 的 尼 古拉 , 这 位 受 人 尊 敬 的 、 在 概 率 论 方 面 有 卓 越 成 就 的 教 授 ,正 当 风 华 正 茂 的 龄 期 却 一 病 不 起 。好 友 尼 古 拉 天 不 假 年 、 赍 志 以 殁 的 消 息 传 到 巴 塞 尔时 , 欧 拉 悲 痛 万 分 。 但 是 , 那 时 的 欧 拉 想 到 青 山 何 处 不 埋骨 , 自 己 暗 下 决 心 , 异 日 若 得 有 幸 进 圣 彼 得 堡 , 誓 捐 微 躯报 事 业 !然 而 , 圣 彼 得 堡 科 学 院 的 事 业 也 并 非 一 帆 风 顺 , 就 在欧 拉 到 达 这 儿 后 不 久 , 女 王 就 去 世 了 , 俄 国 卷 入 统 治 者 权力 之 争 , 科 学 研 究 工 作 的 发 展 受 到 一 定 影 响 , 外 国 学 者 纷纷 归 去 。1733 年 , 丹 尼 尔 回 瑞 士 ,26 岁 的 欧 拉 接 替 他 ,担 任 数 学 教 授 , 并 领 导 数 学 研 究 所 工 作 。1741 年 , 欧 拉 应 普 鲁 士 国 王 腓 特 烈 大 帝 的 邀 请 , 到柏 林 科 学 院 任 物 理 数 学 所 所 长 , 直 至 1766 年 , 俄 国 女 王卡 德 琳 娜 二 世 恳 请 他 回 圣 彼 得 堡 为 止 , 一 共 在 柏 林 居 住 了二 十 五 年 。 此 后 , 他 一 直 居 住 在 圣 彼 得 堡 , 至 1783 年 逝世 。作 为 一 位 献 身 于 全 人 类 科 学 事 业 的 学 者 , 无 论 他 是 身在 何 处 , 都 不 会 因 为 国 界 将 他 隔 离 而 影 响 各 种 学 术 交 流 。事 实 上 , 欧 拉 从 弱 冠 到 皓 首 , 始 终 是 在 为 巴 塞 尔 、 为 圣 彼得 堡 , 也 为 柏 林 和 全 欧 洲 的 科 学 界 服 务 , 他 和 他 的 下 属177


们 , 每 完 成 一 项 成 果 都 要 让 各 地 数 学 家 分 享 。在 另 一 方 面 , 即 使 欧 拉 远 离 巴 塞 尔 、 圣 彼 得 堡 或 柏林 , 它 们 也 从 未 把 他 遗 忘 。 伯 努 利 老 师 、 丹 尼 尔 等 人 与 他几 十 年 鱼 雁 频 传 ; 晚 年 从 柏 林 回 圣 彼 得 堡 定 居 后 , 老 友 腓特 烈 大 帝 还 是 慰 勉 俱 到 ;1760 年 , 俄 国 军 队 入 侵 德 国 时 ,欧 拉 在 柏 林 , 他 的 家 产 遭 到 抢 掠 , 当 俄 国 将 军 得 悉 这 情 况时 , 立 即 宣 布 :“ 对 科 学 , 无 战 争 可 言 。” 并 给 予 欧 拉 加 倍赔 偿 ;1766 年 , 欧 拉 是 被 按 照 王 室 的 礼 遇 迎 回 圣 彼 得 堡的 , 女 王 拨 出 一 套 相 当 考 究 的 寓 所 给 他 , 配 备 了 十 八 名 侍从 , 并 赠 送 她 自 己 一 座 设 备 完 善 的 御 膳 房 。欧 拉 的 一 生 远 离 祖 国 , 但 是 , 俄 国 却 一 直 将 他 看 做 是自 己 人 。 时 至 今 日 , 前 苏 联 的 科 学 史 提 到 俄 罗 斯 数 学 的 发展 部 分 , 都 要 把 欧 拉 包 括 在 俄 国 数 学 家 行 列 之 中 , 因 为 ,在 前 苏 联 人 心 目 中 , 欧 拉 就 是 自 己 的 同 胞 。伊 甸 园 的 果 子在 浩 浩 茫 茫 的 苍 穹 深 处 , 那 儿 居 住 着 上 帝 和 他 的 神 仆们 , 他 们 尽 日 在 一 起 谈 论 着 下 界 的 凡 人 俗 事 , 对 世 人 表 现的 聪 明 智 慧 , 居 然 能 够 男 耕 女 织 , 大 加 赞 赏 。这 天 , 上 帝 忽 然 想 起 一 件 事 , 他 提 议 :“ 伊 甸 园 里 还 有 不 少 果 子 , 平 均 分 发 给 所 有 的 人 吧 !”说 不 上 总 共 有 多 少 个 果 子 , 也 不 知 道 有 多 少 人 , 反 正178


果 子 分 尽 了 , 一 个 不 多 , 一 个 不 少 。“ 真 有 意 思 !” 几 尊 神 祗 不 禁 惊 叫 起 来 。“ 人 , 真 是 够 聪 明 的 。” 上 帝 想 。“ 我 倒 要 再 试 试 看 ,他 们 的 智 慧 是 不 是 够 用 。”于 是 , 果 子 再 度 成 熟 时 , 又 一 次 将 伊 甸 园 里 的 果 子 分给 世 人 了 。 当 然 世 上 的 人 不 止 一 个 , 而 且 果 子 数 比 人 数 要多 出 几 百 倍 。“ 叫 那 些 凡 夫 俗 子 去 分 吧 !” 上 帝 洋 洋 自 得 地 对 神 仆们 说 。“ 分 发 给 多 少 人 我 们 就 不 管 啦 , 只 要 公 平 合 理 , 每人 所 得 的 个 数 都 一 样 , 而 且 可 不 能 只 集 中 发 给 单 独 一 个人 。”人 们 忙 碌 起 来 了 。 他 们 把 果 子 发 给 所 有 的 人 , 发 现 无法 均 分 。 这 时 , 有 一 个 人 站 出 来 , 朝 大 家 说 :“ 这 样 吧 ,我 不 要 了 , 由 你 们 大 家 分 , 也 许 能 够 平 均 分 尽 。”试 验 结 果 , 还 是 不 能 分 尽 。 另 一 个 人 说 :“ 我 也 不 要了 。” 但 仍 不 能 分 尽 。 为 了 达 到 平 均 分 尽 的 目 的 , 又 有 第三 、 第 四 、…… 个 人 声 称 他 们 放 弃 分 得 果 子 的 权 利 。 就 这样 , 这 些 果 子 进 行 了 几 万 万 次 的 分 发 , 历 经 数 万 年 , 还 没有 找 到 合 适 的 人 数 , 使 果 子 能 被 他 们 平 均 分 尽 。分 果 子 的 活 动 至 今 仍 在 延 续 着 , 看 来 希 望 渺 茫 得 很 ,人 们 不 时 遥 望 天 宇 , 总 想 找 到 上 帝 问 个 究 竟 : 这 是 怎 么 回事 呢 ?以 上 是 欧 拉 小 时 候 听 丹 尼 尔 讲 的 故 事 , 这 故 事 深 深 地179


印 入 少 年 欧 拉 的 脑 海 。 后 来 他 才 知 道 , 它 是 寓 玄 妙 的 机 理于 “ 果 子 的 数 目 ”, 人 们 要 寻 找 的 数 叫 做 质 数 —— 除 了 自然 数 1 和 该 数 本 身 之 外 , 没 有 其 它 自 然 数 能 成 为 它 的 因数 。可 是 , 上 帝 在 哪 儿 ? 欧 拉 终 于 理 解 了 , 上 帝 存 在 于 人们 的 心 头 , 他 是 智 慧 和 才 能 的 化 身 , 多 少 复 杂 的 宇 宙 结 构和 世 间 事 物 , 明 智 的 上 帝 都 能 创 造 出 来 , 他 无 所 不 能 , 他随 时 与 人 同 在 !1729 年 , 欧 拉 获 悉 费 马 的 一 项 猜 测 :一 切 形 如 +1 的 数 都 是 质 数 。的 确 。 当 ,z=0、1、2、3、4 时 是 对 的 , 可 是 , 当 n=5 时 , 费 马 本 人 并 未 验 算 , 是 对 的 吗 ?1732 年 , 欧 拉 在 一 篇 论 文 中 提 到+1= +1=4294967297=641× 6700417推 翻 了 费 马 的 猜 测 。 这 消 息 不 胫 而 走 , 轰 动 全 欧 , 当 时 人们 将 这 一 事 件 称 为 “ 欧 拉 旋 风 ”。后 来 欧 拉 说 :“ 数 学 这 门 科 学 , 需 要 观 察 , 也 需 要 实验 。” 对 探 求 圆 周 率 值 , 他 发 现当 时 , 未 能 给 定 严 格 证 明 , 不 免 有 些 不 放 心 , 于 是 , 他 对式 中 等 号 两 边 做 了 数 值 计 算 , 算 到 七 位 数 字 都 一 致 , 即 等号 左 边 等 于 1.644934…, 才 确 认 以 上 圆 周 率 表 达 式 是 可180


靠 的 。欧 拉 引 为 憾 事 的 是 ,《 伊 甸 园 的 果 子 》 这 则 故 事 最 终也 得 不 到 破 谜 , 不 过 , 他 曾 经 选 配 一 个 美 妙 的 二 次 三 项 式来 表 达 质 数 :式 中 x=0,1,2,3,…,40。这 式 子 是 欧 拉 在 1772 年 发 现 的 , 当 时 受 到 丹 尼 尔 的莫 大 赞 扬 。 实 际 上 , 如 用 y-39 代 替 式 中 的 x, 即 可 得 到下 式 :当 Y=0,1,2,3,…,79 时 , 可 得 到 连 续 80 个 质数 。 这 个 成 果 具 有 相 当 高 的 水 平 。比 老 师 年 长 十 七 岁 的 学 生18 世 纪 初 叶 , 普 鲁 士 派 往 俄 国 的 公 使 克 里 斯 天 · 哥 德巴 赫 (1690—1764) 成 为 俄 国 科 学 院 第 一 批 院 士 之 一 , 是由 于 他 在 数 论 方 面 的 建 树 良 多 , 声 名 显 赫 , 在 欧 洲 , 他 可以 算 是 首 屈 一 指 的 权 威 呢 !圣 彼 得 堡 科 学 院 成 立 时 , 他 立 即 注 意 到 伯 努 利 兄 弟 的贡 献 , 他 知 道 伯 努 利 家 族 在 欧 洲 是 有 名 的 数 学 世 家 , 雅各 、 约 翰 兄 弟 叔 侄 有 七 、 八 位 堪 称 为 数 学 家 的 人 物 , 那么 , 尼 古 拉 、 丹 尼 尔 是 将 门 虎 子 , 自 然 不 可 等 闲 视 之 。 可181


是 , 这 个 年 轻 人 欧 拉 肯 定 更 是 不 同 凡 响 , 他 居 然 能 在 伯 努利 家 族 中 站 住 脚 , 仅 仅 这 一 点 , 就 足 以 使 哥 德 巴 赫 必 须 刮目 相 看 。经 过 几 次 书 信 上 的 学 术 讨 论 交 往 , 哥 德 巴 赫 已 经 看出 , 不 久 的 将 来 , 驰 骋 数 学 天 地 的 魁 首 , 无 疑 地 必 是 这 个小 伙 子 。 欧 拉 精 湛 透 彻 的 论 述 、 严 谨 而 活 泼 的 文 风 , 行 行字 句 都 深 深 地 吸 引 和 打 动 着 这 位 载 誉 数 坛 的 院 士 。 本 来 ,哥 德 巴 赫 比 欧 拉 年 长 十 七 岁 , 又 是 蜚 声 全 欧 的 知 名 学 者 ,作 为 欧 拉 的 师 辈 并 不 过 分 。 可 是 , 在 哥 德 巴 赫 的 内 心 深处 , 却 蕴 藏 着 一 种 异 样 情 怀 , 他 惊 奇 地 发 现 , 在 逻 辑 思 维和 分 析 推 理 方 面 , 这 个 青 年 的 能 力 竟 然 远 远 地 超 出 自 己 。于 是 , 他 经 常 遇 到 疑 难 , 就 要 传 知 欧 拉 , 从 对 方 索 得 解 决方 法 和 汲 取 新 意 , 总 是 把 自 己 放 在 学 生 的 位 置 , 以 向 老 师求 教 的 姿 态 出 现 。雄 踞 数 学 宝 座 半 个 世 纪 的 费 马 数 覆 没 了 , 就 是 哥 德 巴赫 向 欧 拉 提 供 信 息 导 成 的 。1729 年 12 月 1 日 , 哥 德 巴 赫从 莫 斯 科 给 22 岁 的 欧 拉 发 出 一 封 信 , 问 道 :“ 你 知 道 费 马 在 一 本 书 的 注 中 提 出 的 一 个 质 数 表 达 式吗 ? 这 就 是 ‘ 一 切 形 如 +1 的 数 都 是 质 数 ’。 但 是 , 费马 本 人 说 , 这 是 证 明 不 了 的 ; 据 我 所 知 , 在 他 身 后 已 过 半个 世 纪 , 迄 今 还 没 有 人 能 证 明 它 。 虽 然 如 此 , 人 们 还 是 相信 它 。”实 际 上 , 正 如 哥 德 巴 赫 在 不 久 后 看 到 的 那 样 , 那 个 质182


数 表 达 式 是 错 误 的 , 根 本 谈 不 上 证 明 二 字 , 它 被 欧 拉 推 翻了 。哥 德 巴 赫 与 欧 拉 的 友 谊 与 日 俱 增 , 两 人 相 互 切 磋 各 种课 题 达 十 多 年 之 久 , 例 如 :1741 年 8 月 19 日 , 哥 德 巴 赫 给 欧 拉 的 信 指 出 :“N=(3m+2) +3 对 于 任 何 整 数 m 和 n 都 不 可 能 是 某整 数 的 平 方 数 。” 欧 拉 认 为 这 问 题 提 得 好 , 是 令 人 欢 悦 的 ,便 做 出 证 明 , 并 回 敬 对 方 一 个 看 起 来 简 单 、 而 证 明 却 很 难的 定 理 : “ N=4mmn-m-n 对 于 任 何 正 整 数 m 和 n 都 不可 能 是 某 整 数 的 平 方 数 。”1743 年 9 月 28 日 , 欧 拉 曾 经 收 到 哥 德 巴 赫 的 一 封信 , 这 封 信 指 出 :“ 可 以 证 明 , 一 个 整 系 数 多 项 式不 可 能 对 于 x 取 任 何 整 数 值 都 成 为 质 数 ; 但 是 , 有 些 多项 式 可 以 得 到 相 当 多 的 质 数 , 例 如 对 于 f(x)= +19x-19, 当 x=1,2,3,…,46,47 时 只 有 四 个 合 数 ,即 x=19,25,36,38.” 得 到 欧 拉 的 认 同 。哥 德 巴 赫 向 欧 拉 提 出 的 所 有 求 教 题 都 得 到 了 解 决 , 只有 一 个 命 题 是 例 外 :1742 年 6 月 7 日 , 哥 德 巴 赫 致 欧 拉 的 信 中 提 出 了 将整 数 表 示 为 质 数 之 和 的 猜 想 , 他 写 道 :“…… 任 何 大 于 5的 整 数 , 想 必 都 是 三 个 质 数 的 和 。……” 这 个 猜 想 最 后 归结 为183


“ 每 一 个 ≥6 的 偶 数 都 是 两 个 奇 质 数 之 和 ”果 真 是 这 样 吗 ? 可 能 是 的 , 例 如 32=13+19,110=13+97,…… 不 过 , 当 这 个 偶 数 相 当 大 时 , 能 写 出 那 样 的两 个 奇 质 数 吗 ?他 们 两 人 经 过 长 时 间 反 复 讨 论 和 交 流 , 以 后 欧 拉 花 费相 当 多 的 精 力 , 致 力 于 这 项 命 题 的 研 究 , 但 是 , 他 要 证 明哥 德 巴 赫 猜 想 的 愿 望 始 终 没 有 实 现 。欧 拉 的 后 继 者 经 过 二 百 多 年 努 力 , 至 今 仍 未 得 到 彻 底解 决 。 这 个 问 题 实 在 太 难 了 , 人 们 认 为 , 如 果 能 够 证 明它 , 将 在 数 学 理 论 和 方 法 上 有 重 大 突 破 。 前 景 如 何 , 还 很难 预 料 。万 能 的 顾 问哥 尼 斯 堡 城 ( 前 苏 联 加 里 宁 格 勒 ) 曾 经 是 东 普 鲁 士 的首 都 , 它 位 于 普 勒 格 尔 河 的 两 条 支 流 之 间 , 这 地 区 风 光 如画 , 景 色 宜 人 , 委 实 是 个 好 去 处 , 而 那 条 古 老 的 普 勒 格 尔河 尤 其 富 有 诗 意 , 市 民 们 喜 欢 称 它 为 “ 通 向 自 由 的 大 门 ”。河 的 两 条 支 流 汇 合 后 流 入 波 罗 的 海 , 将 当 地 盛 产 的 矿石 、 木 材 等 源 源 输 出 。 就 在 这 个 汇 合 点 , 形 成 一 座 美 丽 的克 奈 芳 福 岛 , 岛 上 有 一 幢 教 堂 、 一 所 大 学 和 一 处 公 园 , 人们 建 造 了 七 座 桥 把 河 两 岸 和 岛 连 接 起 来 ( 图 47)。184


图 4 7大 学 生 都 喜 欢 到 公 园 里 温 习 功 课 , 作 健 身 活 动 或 漫 游散 步 , 也 时 常 到 岛 外 的 市 街 去 游 览 购 物 。 有 一 天 , 一 名 大学 生 忽 然 想 到 , 要 试 图 走 过 每 一 座 桥 , 而 仅 通 过 每 座 桥 一次 。 于 是 , 他 花 费 了 几 天 时 间 , 转 来 转 去 , 但 是 , 想 选 择这 样 一 条 路 线 的 尝 试 一 直 没 有 成 功 。 这 个 设 想 引 起 广 泛 的兴 趣 , 差 不 多 所 有 大 学 生 都 投 入 解 决 这 道 趣 题 的 行 列 , 可是 , 谁 也 无 能 为 力 。当 时 , 人 们 把 欧 拉 当 做 智 慧 的 象 征 , 相 信 他 是 万 能的 , 一 切 难 解 之 谜 到 他 手 中 就 会 冰 消 雪 化 , 自 然 地 把 希 望寄 托 在 他 身 上 —— 人 们 不 管 这 个 问 题 是 不 是 属 于 数 学 或 物理 学 的 范 畴 。当 求 教 信 递 到 欧 拉 案 上 时 , 他 立 即 看 出 这 可 以 归 属 于数 学 领 域 , 但 这 是 一 种 崭 新 的 几 何 学 分 支 。 他 认 为 , 人 们185


必 须 突 破 传 统 的 几 何 学 中 “ 量 ”( 长 短 、 大 小 等 ) 的 束 缚 ,认 真 地 考 虑 这 个 问 题 与 桥 的 长 度 及 其 准 确 位 置 无 关 这 样 一个 特 点 , 于 是 , 从 讨 论 顺 序 和 物 体 间 相 对 位 置 的 概 念 出发 , 经 过 几 天 的 思 考 , 宣 布 :“ 要 走 过 每 一 座 桥 , 而 仅 通 过 每 一 座 桥 一 次 , 是 不 可能 的 。”《 哥 尼 斯 堡 的 七 桥 问 题 > 提 出 一 种 新 的 几 何 学 分 支 ,在 我 国 称 为 “ 拓 扑 学 ”( 拓 扑 是 英 文 的 音 译 , 原 意 指 与 地形 、 地 势 相 类 似 或 有 关 的 学 科 )。欧 拉 也 是 一 个 凡 人 , 但 是 , 他 除 了 天 才 和 勤 奋 之 外 ,更 可 贵 的 是 具 有 全 心 全 意 为 人 类 服 务 的 献 身 精 神 , 对 于 一切 求 教 者 从 不 拒 于 门 外 , 这 样 , 他 的 学 识 才 能 使 他 成 为 人们 心 目 中 的 “ 万 能 的 顾 问 ”。从 柏 林 回 圣 彼 得 堡 , 一 踏 进 科 学 院 大 门 , 他 就 热 情 地接 待 一 位 踵 至 的 青 年 自 学 成 才 者 库 利 宾 。 这 是 一 位 著 名 的发 明 家 , 正 在 进 行 横 跨 涅 瓦 河 的 拱 桥 设 计 和 这 项 设 计 测 试的 计 算 , 遇 到 了 自 己 不 能 解 决 的 问 题 , 在 此 之 前 , 没 有 一位 科 学 院 院 士 乐 意 协 助 , 听 说 欧 拉 返 回 , 便 抱 着 最 后 一 线希 望 求 见 。欧 拉 顺 利 地 为 库 利 宾 排 除 了 困 难 。1774 年 , 圣 彼 得 堡 市 的 新 建 会 议 大 厦 在 紧 张 的 设 计中 , 建 筑 工 程 师 们 遇 到 一 个 棘 手 的 问 题 : 如 何 设 计 一 种 结构 形 式 最 先 进 合 理 、 材 料 用 量 最 省 、 强 度 性 能 最 优 、 占 据186


空 间 最 小 的 厅 柱 , 这 牵 涉 到 柱 的 “ 长 细 比 ” 对 受 力 性 能 有多 大 影 响 。 这 问 题 的 专 业 范 围 并 不 属 于 欧 拉 院 士 , 但 是 ,工 程 师 们 只 相 信 欧 拉 , 终 于 , 一 个 著 名 的 “ 欧 拉 公 式 ” 建立 起 来 了 , 二 百 年 后 的 今 天 , 建 筑 工 程 师 们 仍 然 离 不 开它 。欧 拉 的 一 生 解 决 许 多 数 学 和 物 理 学 之 外 的 科 学 技 术 问题 , 如 度 量 衡 的 标 准 化 、 船 桅 的 工 作 特 征 、 定 时 系 统 化等 。心 中 自 有 明 如 炬1735 年 , 哥 尼 斯 堡 城 出 现 的 关 于 如 何 通 过 七 桥 那 段精 彩 的 破 谜 始 末 风 魔 了 多 少 人 呀 ! 大 家 在 等 待 着 , 期 望 看到 欧 拉 关 于 这 个 问 题 的 理 论 论 述 , 可 是 , 它 却 姗 姗 来 迟 。当 论 文 《 哥 尼 斯 堡 的 七 桥 问 题 》 在 1736 年 发 表 时 ,人 们 痛 惜 地 获 悉 , 在 1735 年 已 解 决 的 这 个 问 题 , 论 文 为何 拖 了 一 年 才 写 出 , 是 因 为 28 岁 的 欧 拉 不 幸 因 病 导 致 右眼 失 明 了 。右 眼 失 明 了 ! 是 因 病 ? 也 许 是 的 。 但 是 , 无 休 止 的 演算 、 书 写 以 及 经 常 废 寝 忘 食 的 工 作 对 他 的 眼 睛 健 康 不 无 影响 ; 尤 其 是 由 于 他 为 了 取 得 天 文 学 的 某 些 数 据 而 经 常 观 测太 阳 方 位 , 视 力 迅 速 减 退 了 。人 们 常 用 爱 护 眼 珠 一 样 来 形 容 光 明 的 重 要 性 , 然 而 ,187


一 目 失 明 并 没 有 使 这 位 年 轻 的 教 授 陷 入 失 望 和 消 极 的 深渊 , 相 反 地 , 他 益 发 觉 得 生 命 的 可 贵 , 他 夙 兴 夜 寐 , 勤 勉奋 发 地 度 过 春 春 秋 秋 。 他 夜 以 继 日 、 不 知 疲 倦 地 埋 头 思考 , 不 断 创 新 , 从 繁 忙 的 业 务 生 涯 中 练 就 一 身 计 算 技 巧 ;他 为 了 寻 求 某 种 独 到 的 便 捷 方 法 , 经 常 彻 夜 不 眠 地 穷 追 到底 ; 他 总 是 从 堆 满 案 头 的 大 量 数 据 中 捡 取 点 滴 心 得 , 去 归纳 、 探 讨 和 整 理 ; 他 无 尽 无 休 地 去 实 验 、 踏 勘 , 力 图 使 自己 的 成 果 不 悖 客 观 规 律 。 除 了 计 算 之 外 , 他 尤 加 注 意 “ 分析 ”, 因 此 , 习 惯 于 从 乱 麻 般 的 思 路 中 理 出 头 绪 , 在 疑 难问 题 的 解 释 方 面 另 辟 蹊 径 , 并 由 此 开 拓 出 新 的 分 支 。于 是 , 在 俄 国 , 在 德国 , 在 他 的 祖 国 瑞 士 , 多少 数 学 难 题 在 他 的 脚 下 解决 了 , 多 少 新 的 领 域 经 他开 垦 出 来 。 他 用 将 近 30 年的 时 间 , 对 三 角 、 几 何 、代 数 、 数 论 、 微 积 分 、 无穷 级 数 、 微 分 方 程 、 变 分计 算 、 函 数 论 以 及 其 它 许多 方 面 都 做 出 杰 出 的 贡 献 ;对 于 数 学 家 视 为 高 不 可 攀 、望 而 生 畏 、 不 敢 问 津 的 一些 题 目 , 他 也 敢 于 持 戈 挺 进 , 例 如 费 马 大 定 理 , 他 证 得 了188


n=3 和 n=4 的 情 况 , 为 后 人 继 续 攻 占 这 个 堡 垒 铺 平 了前 进 的 道 路 。1766 年 , 欧 拉 仅 存 的 一 只 左 眼 也 只 能 依 稀 地 看 到 前方 不 远 的 景 物 , 在 能 够 朦 胧 地 看 到 东 西 的 日 子 里 , 他 抓 紧最 后 时 刻 , 在 一 块 大 黑 板 上 疾 书 他 发 现 的 公 式 , 以 及 各 种引 证 计 算 , 由 学 生 和 助 手 们 抄 录 下 来 , 并 按 他 的 口 授 内 容写 成 论 文 。然 而 , 无 情 的 风 霜 冰 雪 总 是 欺 凌 濒 于 凋 零 的 衰 草 , 天公 残 酷 之 极 , 就 在 这 一 年 , 终 于 最 后 夺 走 这 个 59 岁 老 人的 左 眼 。他 彻 底 地 告 别 了 光 明 。 一 个 年 届 花 甲 的 人 将 怎 样 在 黑压 压 的 世 界 度 过 风 烛 残 年 呢 ?命 运 在 向 他 挑 战 。 然 而 , 他 的 心 中 自 有 亮 光 闪 闪 , 这就 是 一 名 真 正 的 科 学 家 对 人 类 前 程 的 责 任 感 。 他 用 坚 强 意志 回 答 黑 暗 之 神 的 挑 战 , 虽 然 昼 夜 的 概 念 对 他 来 说 已 经 模糊 不 清 , 但 是 脑 子 仍 然 属 于 他 , 他 要 用 它 来 进 行 更 加 伟 大壮 观 的 活 动 , 为 人 类 的 未 来 创 建 如 花 似 锦 的 前 程 。欧 拉 双 目 失 明 的 消 息 震 惊 全 欧 洲 的 科 学 家 , 人 们 在 伤心 惋 惜 之 余 , 自 然 会 想 到 数 学 进 展 的 损 失 。 但 是 , 对 欧 拉本 人 来 说 , 与 黑 暗 搏 斗 , 这 就 是 他 惟 一 的 出 路 , 除 此 之外 , 别 无 选 择 。189


寻 找 雅 典 娜自 从 毕 达 哥 拉 斯 发 现 直 角 三 角 形 中 三 边 关 系 的 “ 毕 氏定 理 ” 起 , 在 漫 长 的 两 千 多 年 时 间 内 , 人 们 对 这 个 定 理 的深 入 探 索 一 直 没 有 停 止 , 在 研 究 “ 毕 达 哥 拉 斯 数 ”( 即 满足 于 直 角 三 角 形 的 三 边 都 为 整 数 ) 时 , 找 到 了 将 一 个 数 表为 两 个 整 数 平 方 和 的 规 律 , 譬 如 3893 这 个 数 可 以 写 为接 着 , 人 们 又 找 到 哪 些 数 可 以 表 为 三 个 整 数 平 方 和 的规 律 。后 来 , 发 现 一 切 非 负 整 数 均 可 表 为 四 个 整 数 ( 包 括 整数 零 ) 平 方 和 , 可 是 要 证 明 这 个 结 论 是 困 难 的 。1725 年 , 丹 尼 尔 即 将 离 开 巴 塞 尔 赴 圣 彼 得 堡 时 , 对欧 拉 说 :“ 去 寻 找 雅 典 娜 罢 , 相 信 你 会 找 到 的 。”雅 典 娜 是 谁 ? 原 来 她 是 希 腊 神 话 中 众 神 之 王 宙 斯 的 女儿 , 智 慧 女 神 。命 题 “ 每 个 自 然 数 都 可 表 为 四 个 整 数 平 方 和 ” 已 经 折磨 丹 尼 尔 好 几 年 了 , 现 在 他 将 证 明 这 个 命 题 的 希 望 寄 托 在欧 拉 身 上 , 他 认 为 , 只 有 欧 拉 , 才 胜 任 这 个 命 题 的 证 明 。欧 拉 从 丹 尼 尔 那 儿 知 道 ,1621 年 , 法 国 数 学 家 巴 切特 (1581—1638) 曾 从 1 起 , 一 直 验 证 到 325, 都 说 明 这个 命 题 是 正 确 的 , 可 就 是 证 明 不 了 : 费 马 虽 然 曾 经 声 称 能190


用 自 己 发 明 的 无 限 递 降 法 作 出 证 明 , 然 而 他 又 没 有 提 供 任何 细 节 : 一 代 数 豪 笛 卡 儿 也 说 过 这 一 定 理 无 疑 是 正 确 的 ,可 是 一 提 到 怎 样 证 明 时 , 他 却 摇 头 说 :“ 实 在 太 难 了 , 我不 敢 动 手 去 找 证 明 的 途 径 。”丹 尼 尔 为 了 描 述 证 明 这 个 命 题 的 难 度 , 提 醒 欧 拉 :“ 除 非 找 到 雅 典 娜 , 否 则 , 你 是 不 会 成 功 的 。”欧 拉 束 装 进 发 了 。 但 是 前 路 迢 迢 , 尘 沙 漫 漫 , 要 渡 过汹 涌 的 恶 水 险 滩 , 跨 越 崎 岖 的 层 峦 叠 嶂 啊 !欧 拉 很 快 就 认 识 到 自 己 是 无 能 为 力 的 , 基 本 功 差 得 远呢 ! 自 己 所 掌 握 的 知 识 无 论 从 广 度 或 是 深 度 看 , 都 是 远 远不 足 的 , 因 此 , 首 要 的 不 是 去 求 证 , 而 应 该 是 打 牢 基 础 ,做 好 准 备 。五 年 之 后 , 即 1730 年 , 欧 拉 开 始 研 究 这 个 连 笛 卡 儿都 望 而 却 步 的 问 题 。但 是 , 雅 典 娜 的 芳 踪 杳 然 。欧 拉 毫 不 气 馁 , 不 沮 丧 , 在 13 年 之 后 , 终 于 找 到 了一 条 大 有 希 望 的 线 索 , 这 就 是 : 两 个 四 平 方 数 之 和 的 乘 积仍 为 四 平 方 数 之 和 。 即在 以 后 的 日 子 里 , 他 从 未 间 断 这 一 问 题 的 研 究 , 再 接再 厉 , 又 过 了 八 年 (1751 年 ), 证 得 另 一 条 极 有 价 值 的 基191


本 结 果 , 即 :存 在 x 和 Y, 使 +1 可 被 任 一 质 数 P 整 除 :如 k 为 正 整 数 , 则 方 程有 解 。然 而 , 他 还 是 未 能 如 愿 地 证 明 那 个 21 年 来 总 在 脑 际萦 绕 的 命 题 。1766 年 , 欧 拉 双 目 失 明 了 , 人 们 同 情 地 猜 测 , 欧 拉将 在 数 坛 上 销 声 匿 迹 。 但 是 , 这 个 年 迈 的 数 学 家 没 有 倒下 , 他 用 不 可 思 议 的 毅 力 和 经 过 千 锤 百 炼 的 脑 子 , 在 漫 漫的 黑 暗 岁 月 里 , 凭 着 记 忆 和 心 算 探 索 前 进 。1773 年 ,66岁 的 欧 拉 终 于 证 得 “ 一 切 非 负 整 数 均 可 表 为 四 个 整 数 平 方和 ” 这 条 定 理 , 当 时 , 全 欧 数 学 界 都 震 动 了 。丹 尼 尔 在 贺 信 中 写 道 :“ 拨 开 隔 绝 仙 凡 的 渺 渺 星 云 ,登 上 远 离 人 间 的 宫 阙 天 坛 , 我 终 于 听 见 那 琼 佩 锒 铛 , 望 见你 倩 影 姗 姗 。……”四 十 三 年 哪 ! 在 历 史 长 河 中 只 是 微 小 的 涓 滴 , 可 是 ,对 欧 拉 来 说 , 那 是 何 等 漫 长 和 艰 难 的 岁 月 啊 ! 然 而 , 雅 典娜 的 倩 影 终 于 出 现 了 。五 十 年 前 曾 相 识自 从 1766 年 返 回 圣 彼 得 堡 之 后 , 欧 拉 再 也 没 有 与 老192


友 腓 特 烈 大 帝 见 过 面 ( 即 使 有 机 会 聚 首 , 欧 拉 也 看 不见 !), 但 是 , 他 们 时 通 音 问 , 使 深 厚 的 感 情 得 以 继 续 和 巩固 。一 天 , 在 一 次 盛 大 的 阅 兵 典 礼 上 , 照 例 要 由 官 兵 们 排出 几 种 方 阵 队 形 。 腓 特 烈 大 帝 想 排 出 一 种 别 出 心 裁 的 花样 : 从 六 支 部 队 中 各 选 出 六 个 不 同 军 衔 的 军 官 , 如 上 校 、中 校 、 少 校 、 上 尉 、 中 尉 、 少 尉 各 一 人 , 排 成 6×6 的 方阵 , 要 使 每 行 、 每 列 都 有 各 部 队 、 各 军 衔 的 军 官 。普 鲁 士 王 朝 的 大 臣 、 学 者 虽 然 足 智 多 谋 , 但 是 谁 也 解决 不 了 这 个 看 起 来 颇 为 简 单 的 问 题 , 最 后 , 腓 特 烈 大 帝 只好 写 信 向 欧 拉 请 教 。欧 拉 从 来 没 有 遇 到 过 这 类 问 题 , 而 且 这 时 已 经 是 双 目失 明 多 年 的 老 人 , 但 是 这 个 有 趣 的 题 目 如 此 深 深 地 打 动 他的 心 , 他 仿 佛 年 轻 了 许 多 , 回 到 那 精 力 充 沛 、 所 向 披 靡 的年 代 , 他 毫 不 迟 疑 地 将 解 答 这 道 题 认 作 是 时 代 给 予 的 考验 。年 逾 古 稀 的 欧 拉 锐 气 不 减 当 年 , 他 开 始 思 考 这 个 问 题的 答 案 , 在 脑 子 里 布 置 许 多 符 号 、 数 字 , 绘 制 一 幅 又 一 幅方 阵 图 形 。 然 而 , 时 光 无 情 地 流 逝 , 欧 拉 利 用 相 当 多 时 间去 思 考 、 分 析 、 运 算 , 始 终 未 能 攻 克 这 座 堡 垒 。可 是 ,3×3、4×4、5×5、7×7、8×8、9×9 型 的方 阵 是 存 在 的 呀 , 例 如 5×5 的 方 阵 , 若 以 A、B,C、D、E 表 示 五 支 部 队 , 以 a 、b 、c 、d 、e 表 示 五 种 军 衔 ,193


就 可 以 排 出 如 同 图 48 的 方 阵 , 每 行 、 每 列 都 有 各 部 队 、各 军 衔 的 军 官 , 而 且 排 列 的 方 案 还 不 止 这 两 种 。长 期 的 困 惑 使 他 恍 然 大 悟 :“ 也 许 这 是 不 可 能 解 决 的 ?”“ 严 谨 的 治 学 态 度 使 他 习 惯 于 寻 根 觅 源 , 他 认 为 , 如 果图 48不 能 解 决 , 那 也 应 该 证 明 它 !往 后 的 日 子 里 , 他 竭 尽 心 智 , 证 明 方 法 还 是 没 有 找到 , 他 只 好 提 出 一 个 “ 猜 想 ”:当 为 (4k+2)×(4k+2) 的 方 阵 时 无 解( 其 中 k=0,1,2,3,…)发 表 这 个 “ 结 论 ” 是 在 1782 年 , 欧 拉 时 年 75 岁 。第 二 年 , 在 他 弥 留 之 际 , 忽 然 想 起 1732 年 推 翻 费 马猜 测 一 事 。 无 限 感 慨 地 叹 息 : 让 后 来 者 效 仿 当 年 我 的 所 作所 为 , 揭 开 “ 三 十 六 军 官 ” 问 题 之 谜 吧 !大 江 后 浪 推 前 浪 。1901 年 , 法 国 人 泰 利 证 明 k=1时 , 欧 拉 猜 想 是 正 确 的 ; 而 欧 拉 自 己 容 易 知 道 ,k=0 时194


也 是 正 确 的 。 到 1959 年 , 真 相 大 白 了 , 数 学 家 玻 色 和 史里 克 汉 德 彻 底 推 翻 了 欧 拉 猜 想 : 原 来 除 了 欧 拉 已 研 究 过 的k=0,1 之 外 ,k=2,3,4,… 的 方 阵 都 有 办 法 构 造 出来 。历 史 上 有 许 多 巧 合 的 趣 事 , 整 整 过 去 了 半 个 世 纪 , 五十 年 前 的 往 事 又 重 现 了 。 当 年 , 费 马 仅 以 k=0,1,2,3,4 对 +1 进 行 验 算 , 便 猜 测 形 如 +1 的 数 都 是 质数 , 这 个 猜 测 被 欧 拉 推 翻 了 , 而 除 了 以 上 那 五 个 数 之 外 ,竟 然 还 没 有 再 出 现 一 个 质 数 。 五 十 年 后 , 欧 拉 则 仅 以 k:0,1 检 验 自 己 的 猜 想 , 同 样 被 别 人 推 翻 了 , 而 且 除 了 这两 个 数 之 外 , 并 没 有 一 个 符 合 欧 拉 猜 想 的 情 况 再 出 现 。欧 拉 的 一 生 解 决 过 许 多 复 杂 的 数 学 问 题 , 如 果 他 有 足够 的 时 间 , 很 难 说 他 对 方 阵 的 研 究 就 止 于 此 , 可 惜 ,“ 三十 六 军 官 ” 问 题 的 提 出 实 在 是 太 晚 了 。未 来 属 于 年 轻 一 代后 人 称 欧 拉 为 “ 分 析 学 的 化 身 ”, 他 的 众 多 数 学 、 力学 和 其 它 著 作 中 , 最 有 影 响 的 可 算 是 1748 年 出 版 的 《 无穷 小 分 析 引 论 》 一 书 。 当 时 , 数 学 家 们 将 微 积 分 扩 大 到 无穷 级 数 、 常 微 分 方 程 、 偏 微 分 方 程 、 微 分 几 何 以 及 变 分 法等 分 支 , 称 为 “ 分 析 学 ”, 由 于 欧 拉 对 这 方 面 有 特 殊 的 贡献 , 所 以 才 被 誉 为 “ 化 身 ”。195


岁 月 无 情 地 流 逝 , 使 欧 拉 感 到 人 生 的 短 暂 , 因 此 , 他总 是 主 动 挑 起 解 决 那 些 艰 深 的 、 高 等 的 课 题 的 担 子 , 这 需要 花 费 多 少 精 力 和 时 间 呀 !但 是 , 他 还 是 要 挤 出 一 部 分 时 间 去 挪 作 他 用 。 他 时 常想 到 , 任 何 事 业 都 必 须 后 继 有 人 , 才 能 绵 延 接 续 地 进 行 下去 , 而 未 来 毕 竟 属 于 年 轻 一 代 , 所 以 , 他 从 来 没 有 忘 记 初等 的 、 普 及 的 数 学 传 播 工 作 。 他 有 丰 富 的 写 作 经 验 , 常 常用 富 有 文 艺 特 色 的 生 动 语 言 为 中 小 学 生 撰 写 科 普 小 品 。 作为 全 欧 知 名 的 院 士 和 教 授 , 这 样 一 位 大 名 鼎 鼎 的 数 学 大 师竟 然 从 事 别 人 所 不 屑 一 顾 的 雕 虫 小 技 , 不 是 既 浪 费 又 有 失身 份 吗 ?欧 拉 不 那 么 看 , 反 而 把 对 普 及 低 浅 数 学 知 识 当 做 老 一辈 人 义 不 容 辞 的 天 职 。 他 常 用 德 、 英 、 俄 、 法 文 同 时 发 表引 人 入 胜 的 数 学 趣 题 , 并 勉 励 学 生 扩 大 知 识 面 , 尽 量 了 解当 代 世 界 各 地 兴 起 的 科 学 进 展 。 当 有 人 劝 他 要 把 精 力 用 于研 究 更 艰 深 的 学 术 时 , 他 总 是 笑 着 回 答 :“ 我 们 必 须 ‘ 毋忘 青 少 年 ”’。 由 于 他 的 带 头 , 那 时 欧 洲 各 国 的 科 普 创 作 活动 达 到 空 前 的 繁 荣 。欧 拉 在 《 各 种 几 何 证 明 》 的 札 记 中 叙 述 许 多 专 门 问题 , 如 后 来 被 称 为 欧 拉 圆 、 欧 拉 直 线 、 欧 拉 点 等 的 问 题 ,引 起 读 者 对 几 何 产 生 浓 厚 的 兴 趣 。 即 使 在 双 目 失 明 的 岁 月里 , 他 也 还 是 十 分 热 情 地 为 青 少 年 撰 写 科 普 读 物 ,1767年 和 1770 年 分 别 口 授 助 手 写 成 《 通 用 算 术 》 和 《 代 数 》196


二 书 , 这 些 书 说 理 透 彻 、 文 情 并 茂 、 生 趣 盎 然 。以 下 录 《 代 数 》 中 的 三 道 习 题 , 可 见 一 斑 :一 、 驴 子 驮 着 几 百 磅 重 物 , 气 喘 吁 吁 地 慢 步 向 前 。它 实 在 是 太 累 了 , 这 么 重 的 东 西 压 在 背 上 , 真 是 够 受 的 !它 回 头 一 看 , 骡 子 跟 在 后 面 , 也 是 三 步 一 停 , 看 来 该是 吃 不 消 了 。“ 咳 , 主 人 真 是 够 狠 的 , 给 我 这 么 大 重 量 ; 再 说 , 他还 有 点 偏 心 眼 , 给 你 的 重 量 大 概 要 比 我 轻 一 些 。 喂 , 骡 老弟 , 要 是 把 你 的 重 量 给 我 一 百 磅 , 那 么 , 我 驮 的 就 是 你 的两 倍 啦 !” 驴 子 忿 忿 不 平 地 对 骡 子 发 牢 骚 。只 见 骡 子 上 气 不 接 下 气 地 回 话 :“ 你 还 说 风 凉 话 ! 驴老 兄 , 要 是 把 你 的 重 量 给 我 一 百 磅 , 我 驮 的 可 就 是 你 的 三倍 了 。”一 个 过 路 人 听 到 驴 与 骡 互 相 埋 怨 的 对 话 , 不 胜 诧 异 ,心 里 暗 自 盘 算 : 那 么 , 这 两 匹 牲 口 各 驮 多 少 磅 重 物 呢 ?二 、 老 人 辗 转 病 榻 已 经 几 个 月 了 , 他 想 , 去 见 上 帝 的日 子 已 经 不 远 , 便 把 孩 子 们 找 到 床 前 , 铺 开 自 己 一 生 积 蓄的 钱 财 , 然 后 对 老 大 说 :“ 你 拿 去 100 克 朗 吧 !”当 老 大 从 一 大 堆 钱 币 中 取 出 100 克 朗 后 , 父 亲 又 说 :“ 再 拿 剩 下 的 十 分 之 一 去 吧 !”于 是 , 老 大 照 拿 了 。轮 到 老 二 , 父 亲 说 :“ 你 拿 去 200 克 朗 和 剩 下 的 十 分197


之 一 。”老 三 分 到 300 克 朗 和 剩 下 的 十 分 之 一 , 老 四 分 到 400克 朗 和 剩 下 的 十 分 之 一 , 老 五 、 老 六 、…… 都 按 这 样 分 法分 下 去 。在 全 部 财 产 分 尽 之 后 , 老 人 用 微 弱 的 声 调 子 们说 :“ 好 啦 , 我 可 以 放 心 地 走 了 。”老 人 去 世 后 , 兄 弟 们 各 自 点 数 自 己 的 钱 数 , 却 发 现 所有 人 分 得 的 遗 产 都 相 等 。 那 么 , 父 亲 的 遗 产 总 数 是 多 少 ?有 几 个 儿 子 ? 每 人 各 分 得 多 少 呢 ?三 、“ 那 么 , 你 买 的 猪 、 山 羊 、 绵 羊 各 多 少 只 呢 ?” 某甲 听 了 朋 友 某 乙 的 介 绍 后 问 道 。某 乙 也 搞 不 清 楚 这 三 种 牲 畜 的 数 目 , 他 只 记 得 它 们 一共 有 100 只 , 是 花 100 克 朗 买 的 ; 而 每 只 猪 价 格 是 三 个 半克 朗 , 每 只 山 羊 一 又 三 分 之 一 克 朗 , 一 克 朗 可 买 两 只 绵羊 。 既 然 两 个 人 都 不 知 道 它 们 的 数 目 , 那 就 得 一 只 一 只 地清 点 了 。历 尽 茫 茫 风 雨 路漫 漫 黑 夜 笼 罩 着 欧 拉 的 世 界 , 他 只 能 依 靠 别 人 的 扶 持行 走 了 , 堆 满 室 内 大 摞 大 摞 手 稿 也 只 能 由 别 人 来 分 门 别类 , 整 理 待 用 。 凭 着 记 忆 , 依 赖 他 人 朗 读 和 自 己 摸 索 书写 , 靠 着 那 副 运 行 不 息 的 脑 子 , 去 驱 除 内 心 的 苦 闷 和 焦198


虑 。 他 难 分 昼 夜 地 奋 力 进 击 , 将 一 切 数 字 、 符 号 、 公 式 和图 形 …… 全 都 储 藏 在 脑 海 里 , 然 后 不 停 顿 地 搅 拌 、 筛 选 、精 炼 和 加 工 …… 因 为 对 他 来 说 ,“ 昼 ” 与 “ 夜 ” 的 概 念 已经 形 同 陌 路 , 也 不 必 像 通 常 人 们 的 生 活 那 样 , 当 黑 夜 来 临时 , 即 使 工 作 还 在 紧 张 阶 段 , 也 必 须 将 它 们 撂 下 。可 是 ,“ 命 运 ” 对 他 的 捉 弄 并 不 适 可 而 止 , 接 踵 而 来的 另 一 不 幸 事 件 毁 掉 了 欧 拉 教 授 的 大 量 心 血 , 使 他 步 入 另一 个 困 境 。1771 年 的 一 天 , 一 场 大 火 席 卷 科 学 院 的 房 区 ,火 借 风 势 , 迅 速 冲 进 欧 拉 住 宅 ,64 岁 的 带 病 老 人 , 此 刻正 在 思 考 一 则 重 要 课 题 , 沉 醉 于 新 的 意 境 , 完 全 不 知 道 外界 发 生 什 么 情 况 。火 已 燃 眉 , 在 这 千 钧 一 发 之 际 , 忽 然 , 一 个 顶 着 湿 棉套 的 人 猛 地 窜 进 火 中 , 一 把 背 起 欧 拉 就 朝 外 跑 , 到 达 安 全地 带 时 , 回 头 一 望 , 整 座 房 屋 淹 没 在 火 海 之 中 了 。这 是 为 欧 拉 做 家 务 的 一 个 仆 人 , 他 冒 着 生 命 危 险 将 主人 抢 救 出 来 了 , 不 幸 的 是 , 欧 拉 的 书 库 以 及 大 量 研 究 成 果却 全 都 化 为 灰 烬 。欧 拉 使 尽 平 生 力 气 , 挣 脱 命 运 布 设 的 羁 绊 , 站 起 来了 , 迎 着 风 雪 , 顶 着 逆 流 , 挺 起 胸 膛 , 又 向 大 自 然 纵 深 进发 了 。 他 没 有 倒 下 , 而 是 用 那 惊 人 的 达 观 性 格 嘲 弄 施 加 给自 己 的 灾 难 , 继 续 与 黑 暗 展 开 殊 死 的 决 斗 , 为 了 揭 开 蒙 蔽人 们 的 神 奇 之 幕 , 为 了 开 拓 荒 漠 大 地 , 他 忘 掉 疲 劳 和 残疾 , 勇 往 直 前 , 义 无 反 顾 。199


1776 年 , 欧 拉 的 爱 妻 柯 黛 玲 永 远 离 开 了 他 , 他 为 失去 这 个 几 十 年 来 甘 苦 与 共 的 伴 侣 悲 伤 欲 绝 , 但 是 他 得 忍 受悼 亡 之 痛 , 继 续 奋 进 , 因 为 他 意 识 到 自 己 的 时 间 也 不 多了 。他 凭 着 记 忆 和 心 算 , 口 授 一 篇 又 一 篇 论 文 、 一 部 又 一部 著 作 。 他 的 记 忆 力 很 强 , 加 上 从 小 就 训 练 有 素 的 心 算 能力 , 为 他 创 造 了 在 黑 暗 中 飞 翔 的 起 码 条 件 。 他 能 够 复 述 青年 时 代 笔 记 的 内 容 , 而 且 心 算 并 不 限 于 简 单 的 运 算 , 就 是高 等 数 学 的 数 据 也 同 样 可 用 心 算 去 完 成 。 在 漫 漫 的 长 夜里 , 他 做 了 正 常 明 眼 人 难 以 做 到 的 许 多 事 , 用 顽 强 的 毅 力和 耐 性 进 行 研 究 、 创 新 , 从 不 稍 懈 微 怠 。欧 拉 充 沛 的 精 力 和 战 胜 大 自 然 的 信 念 保 持 到 生 命 的 最后 一 刻 ,1783 年 9 月 18 日 , 他 在 庆 祝 计 算 气 球 上 升 定 律成 功 的 盛 会 上 , 安 详 地 离 开 了 人 间 。 当 时 , 法 国 数 学 家 康多 塞 叹 息 说 :“ 他 只 有 停 止 了 生 命 , 才 能 停 止 计 算 。”欧 拉 从 19 岁 至 76 岁 的 五 十 多 年 时 间 内 , 创 立 数 不 清的 数 理 论 述 , 他 在 创 建 纯 粹 理 论 的 同 时 , 还 应 用 这 些 数 学工 具 去 解 决 大 量 天 文 、 物 理 、 力 学 以 及 生 产 技 术 等 方 面 的实 际 问 题 , 他 的 工 作 远 跨 多 学 科 。 他 是 变 分 法 的 奠 基 人 、复 变 函 数 论 的 先 驱 、 理 论 流 体 力 学 的 创 始 人 …… 现 今 , 在许 多 学 科 中 都 留 下 了 以 他 的 姓 氏 为 名 的 科 技 词 汇 , 如 “ 欧拉 风 ”、“ 欧 拉 力 ”、“ 欧 拉 法 ”、“ 欧 拉 相 关 ”、“ 欧 拉 数 ”、“ 欧 拉 坐 标 ” 等 等 , 以 及 不 可 胜 数 的 “ 欧 拉 方 程 ”、“ 欧 拉200


定 理 ”、“ 欧 拉 公 式 ” 等 。欧 拉 被 称 为 数 学 语 言 大 师 , 在 数 学 书 上 , 人 们 常 可 看到 他 创 始 的 符 号 :π、e、△χ、i、f(χ)、sin、COS、tan、Σ……欧 拉 写 作 勤 奋 , 是 最 多 产 的 科 学 家 , 他 在 黑 暗 的 最 后17 年 间 , 还 口 述 著 了 多 部 书 和 约 400 篇 论 文 。 他 不 倦 的一 生 创 作 了 886 件 书 籍 和 论 文 , 圣 彼 得 堡 科 学 院 为 了 整 理他 的 遗 著 , 足 足 忙 碌 了 47 年 !十 八 世 纪 下 半 叶 , 法 国 数 学 家 拉 普 拉 斯 (1749—1827) 曾 经 对 青 年 学 生 们 说 :“ 读 读 欧 拉 , 他 是 我 们 一 切人 的 老 师 。” 这 两 句 话 也 表 述 许 多 科 学 家 的 心 声 。201


拉 格 朗 口 —— 最 大 的 愿 望是 献 身 数 学喜 欢 分 析 的 人 将 高 兴 地 看 到 力 学 变 为 它 的 一 个 新 的 分支 , 并 将 感 激 我 扩 大 了 它 的 领 域 。—— 拉 格 朗 日 ——一 个 伟 大 的 形 象在 欧 洲 的 数 学 发 展 过 程 中 ,17 世 纪 被 称 为 天 才 的 世纪 , 才 人 辈 出 ;18 世 纪 则 被 称 为 发 明 的 世 纪 , 开 创 性 的硕 果 累 累 。 拉 格 朗 日 生 活 在 蓬 勃 沸 腾 的 18 世 纪 , 也 有 过春 风 得 意 马 蹄 疾 的 时 日 , 发 表 不 尽 的 真 知 灼 见 , 那 么 , 他是 得 到 什 么 启 示 和 鼓 舞 , 才 义 无 反 顾 地 终 生 献 身 数 学 呢 ?大 凡 一 位 伟 人 , 总 有 自 己 经 过 千 思 万 虑 选 择 的 崇 拜 和信 仰 的 对 象 , 这 样 才 能 抉 择 一 生 的 奋 斗 目 标 。 可 是 , 拉 格朗 日 从 小 并 不 认 为 自 己 有 朝 一 日 能 成 为 叱 咤 风 云 的 什 么 大人 物 而 名 垂 千 秋 , 然 而 , 他 的 心 目 中 委 实 也 有 一 盏 指 路 明灯 , 不 是 救 世 主 , 不 是 万 能 的 上 帝 , 而 是 一 位 数 学 天 地 的先 行 者 —— 古 希 腊 科 学 家 阿 基 米 德 。202


从 小 好 读 诗 书 的 拉 格 朗 日 对 阿 基 米 德 怀 有 一 种 特 殊 的景 仰 心 情 , 这 位 伟 人 对 科 学 的 贡 献 不 亚 于 鼎 鼎 大 名 的 牛顿 , 可 是 他 的 成 就 是 在 什 么 基 础 上 获 得 的 呢 ? 拉 格 朗 日 不久 前 听 说 过 牛 顿 有 一 段 谦 虚 的 表 白 :“ 如 果 说 我 所 见 较 远 ,那 是 因 为 我 站 在 巨 人 的 肩 上 。” 是 以 前 人 的 劳 动 成 果 喻 为巨 人 的 肩 。 他 将 阿 基 米 德 与 牛 顿 做 一 对 比 , 觉 得 虽 然 阿 基米 德 也 是 站 在 巨 人 的 肩 上 , 但 这 个 巨 人 的 身 躯 较 之 一 千 多年 后 的 牛 顿 所 说 的 巨 人 却 要 矮 小 得 多 , 这 样 , 阿 基 米 德 的贡 献 就 更 加 难 能 可 贵 了 。有 一 位 意 大 利 学 者 这 样 评 价 阿 基 米 德 :“ 与 其 说 是 人 , 不 如 说 是 神 。”拉 格 朗 日 认 为 , 将 阿 基 米 德 推 崇 为 数 学 之 神 是 非 常 合适 的 , 这 尊 神 并 不 是 木 雕 泥 塑 的 偶 像 , 而 是 有 血 有 肉 的 精神 支 柱 , 只 要 是 科 学 家 , 谁 都 应 该 、 也 必 然 崇 拜 和 信 仰他 。拉 格 朗 日 的 一 生 表 明 , 以 阿 基 米 德 作 为 奋 发 上 进 的 楷模 , 无 时 无 刻 不 以 这 位 伟 人 的 作 为 激 励 自 己 , 正 是 他 毕 生献 身 数 学 的 原 动 力 。阿 基 米 德 在 科 学 上 的 成 就 卓 著 ; 在 品 德 上 、 对 祖 国 和人 民 的 无 限 爱 心 上 以 及 事 业 心 和 责 任 感 上 , 始 终 贯 穿 着 一种 无 形 的 高 尚 气 质 。 这 些 都 是 拉 格 朗 日 十 分 钦 佩 和 仰 慕 的因 素 。拉 格 朗 日 认 为 , 阿 基 米 德 在 数 学 思 想 发 展 中 的 最 重 要203


贡 献 是 注 重 建 立 数 学 与 科 学 技 术 的 联 系 。 数 学 本 来 是 从 生产 和 科 学 技 术 的 实 际 问 题 中 产 生 的 , 然 而 , 随 着 数 学 发 展中 抽 象 化 程 度 的 增 长 , 却 出 现 了 一 种 把 数 学 同 科 学 技 术 割裂 开 来 的 思 想 倾 向 , 阿 基 米 德 勇 敢 地 力 挽 狂 澜 , 才 扭 转 这种 倾 向 。拉 格 朗 日 注 意 到 , 阿 基 米 德 把 数 学 知 识 广 泛 应 用 于 物理 、 天 文 和 工 程 机 械 中 各 种 问 题 所 起 的 积 极 作 用 , 反 过来 , 在 应 用 过 程 中 又 促 进 了 数 学 的 发 展 ( 阿 基 米 德 经 常 显示 出 用 力 学 方 法 解 决 数 学 问 题 的 才 能 )。拉 格 朗 日 决 心 发 扬 阿 基 米 德 的 思 想 方 式 , 不 断 地 努 力和 进 取 , 按 阿 基 米 德 的 方 向 另 辟 蹊 径 , 终 于 , 到 达 了 另 一些 美 妙 的 境 地 。 他 的 得 意 之 作 —— 将 力 学 变 成 分 析 学 的 一个 分 支 便 是 为 阿 基 米 德 锦 上 添 花 的 明 例 。选 择钱 财 与 科 学 二 者 选 一 , 拉 格 朗 日 毫 不 犹 豫 地 要 了 后者 。1736 年 1 月 25 日 , 拉 格 朗 日 生 于 意 大 利 的 都 灵 。 祖父 是 法 国 人 , 祖 母 是 意 大 利 人 , 因 此 后 人 或 说 他 是 法 国人 , 或 说 他 是 意 大 利 人 。在 当 时 , 他 所 在 的 家 庭 是 受 人 羡 慕 的 家 庭 , 轻 裘 肥马 , 锦 衣 玉 食 ; 城 里 有 公 寓 , 乡 间 有 别 墅 ; 车 水 马 龙 , 宾204


客 如 云 。 总 之 , 这 是 一 个 富 有 人 家 。 在 一 般 人 眼 里 , 攀 附这 儿 的 主 人 自 然 大 有 好 处 , 也 难 怪 老 拉 格 朗 日 得 意 忘 形 ,面 对 满 座 亲 朋 , 四 起 谀 声 , 每 每 在 飘 飘 然 欲 仙 之 余 , 就 更加 体 验 钱 财 的 能 量 , 益 发 加 紧 事 业 的 扩 充 , 期 望 自 己 的 努力 能 收 到 “ 百 尺 竿 头 , 更 进 一 步 ” 的 效 果 了 。拉 格 朗 日 小 时 候 , 父 亲 的 教 诲 就 总 在 耳 边 回 荡 :“ 要努 力 学 习 呀 , 长 大 之 后 继 承 我 的 事 业 。” 这 叫 什 么 事 业 啊 ?小 拉 格 朗 日 一 听 到 “ 事 业 ” 这 词 语 就 满 心 厌 烦 , 可 是 父 亲却 不 厌 其 烦 地 向 儿 子 频 频 灌 输 那 一 套 生 财 有 术 的 哲 理 , 无非 是 囤 积 居 奇 、 买 空 卖 空 等 那 种 经 商 艺 术 。 要 知 道 , 学 校里 的 老 师 是 肯 定 不 懂 的 , 若 是 能 将 自 己 的 丰 富 经 验 传 给 儿子 , 让 他 从 小 就 掌 握 其 中 一 些 奥 秘 , 做 为 父 亲 , 也 就 尽 其职 责 了 。可 是 , 儿 子 是 忤 逆 的 , 有 时 他 也 会 用 反 击 的 语 气 顶 撞几 句 , 说 些 “ 君 子 爱 财 , 取 之 有 道 ” 之 类 的 话 。父 亲 为 儿 子 选 择 了 道 路 , 但 作 为 长 辈 的 关 怀 和 期 待 是徒 劳 的 。 拉 格 朗 日 心 目 中 的 神 就 是 阿 基 米 德 , 这 点 绝 不 含糊 ; 在 他 稍 稍 长 大 时 , 无 意 中 读 了 哈 雷 (1656—1742, 英国 天 文 学 家 ) 写 的 一 篇 关 于 牛 顿 在 微 积 分 方 面 贡 献 的 文 章《 在 解 决 求 光 学 玻 璃 镜 的 焦 点 问 题 时 , 近 代 代 数 优 越 性 的一 个 实 例 》, 使 他 眼 界 大 为 开 豁 , 对 数 学 产 生 更 大 兴 趣 ,献 身 数 学 成 为 最 大 愿 望 , 立 志 也 益 发 坚 定 和 不 可 动 摇 了 。终 于 , 父 亲 —— 一 个 富 有 的 投 机 商 在 最 后 一 次 生 意 交205


易 中 彻 底 破 产 了 。 对 拉 格 朗 日 来 说 , 这 是 好 事 还 是 坏 事呢 ? 他 晚 年 回 忆 这 件 事 时 认 为 , 这 是 他 一 生 中 最 大 的 幸运 ; 否 则 , 自 己 可 能 是 腰 缠 万 贯 的 大 财 主 , 而 另 一 方 面 ,也 就 不 会 把 毕 生 心 血 献 给 数 学 。既 然 道 路 已 经 选 定 , 就 不 再 犹 豫 了 。 从 此 , 拉 格 朗 日将 全 部 精 力 投 向 发 展 数 学 的 事 业 , 它 是 如 此 神 圣 高 尚 , 充满 青 春 活 力 , 当 然 , 昔 日 父 亲 所 选 定 的 “ 事 业 ” 是 无 法 与之 比 拟 的 。对 数 学 的 热 爱 引 发 他 奋 进 不 止 , 他 在 学 期 间 , 几 乎 读遍 前 人 成 果 的 有 关 书 籍 , 浩 瀚 的 数 学 海 洋 向 他 展 现 了 无 垠的 境 界 , 使 他 神 往 不 置 。 他 勤 于 思 索 、 分 析 的 治 学 风 格 又为 他 创 造 开 拓 新 领 域 的 条 件 , 很 快 就 由 于 对 许 多 问 题 有 独特 见 解 而 做 出 不 少 贡 献 , 深 受 数 学 界 耆 宿 们 的 青 睐 , 咸 谓此 子 将 来 必 成 大 器 。1755 年 ,19 岁 的 拉 格 朗 日 成 为 都 灵 炮 兵 学 校 的 数 学教 授 。 当 时 , 他 在 那 个 时 代 已 经 是 小 有 名 气 的 “ 数 学 家 ”了 。初 生 之 犊数 学 是 一 门 枯 燥 的 、 抽 象 的 学 科 , 对 于 不 熟 悉 数 学 的许 多 人 都 会 这 样 看 待 。 可 是 , 真 正 的 数 学 家 并 不 这 么 想 ,他 们 从 理 论 和 实 践 两 方 面 的 探 索 中 体 验 到 相 反 的 结 果 , 那206


就 是 , 数 学 是 妙 趣 盎 然 的 、 应 用 范 围 广 泛 的 学 科 。一 个 分 支 的 形 成 往 往 可 以 溯 源 到 某 个 美 妙 的 故 事 , 例如 当 年 欧 拉 解 决 了 《 哥 尼 斯 堡 的 七 桥 问 题 》, 也 就 出 现 了拓 扑 学 。 早 在 求 学 时 期 , 拉 格 朗 日 就 听 说 过 一 则 兴 味 无 穷的 古 老 传 说 :古 希 腊 城 邦 国 家 芬 尼 城 泰 雅 王 的 女 儿 荻 朵 公 主 不 甘 寂寞 , 立 志 远 游 异 国 , 但 得 不 到 国 王 首 肯 , 于 是 用 计 从 父 亲身 边 逃 走 。 她 历 经 艰 险 , 都 以 智 慧 制 胜 , 最 后 来 到 地 中 海的 南 岸 北 非 。 公 主 愿 意 用 珠 宝 作 价 购 买 土 地 建 造 别 墅 , 当地 居 民 欺 负 她 年 少 无 知 , 便 说 :“ 就 这 些 吗 ? 我 看 只 够 一张 犍 牛 皮 围 成 的 地 盘 。” 但 是 , 交 易 还 是 谈 妥 了 , 聪 明 的荻 朵 将 牛 皮 剪 切 成 非 常 细 的 长 条 , 将 它 们 连 接 起 来 去 围 成一 块 面 积 。 她 选 择 的 那 块 土 地 的 一 面 靠 海 , 海 岸 线 是 直线 , 只 需 去 围 陆 地 的 一 面 ; 当 时 她 决 定 , 牛 皮 条 的 总 长 应围 成 一 个 半 圆 。 北 非 的 土 著 看 到 被 一 张 牛 皮 围 去 了 那 么 大块 土 地 , 已 经 后 悔 莫 及 , 但 是 他 们 不 知 道 公 主 为 什 么 要 把面 积 围 成 半 圆 形 , 宁 可 用 卖 土 地 的 财 宝 奉 还 , 恳 请 公 主 教给 他 们 其 中 奥 秘 。后 来 人 们 才 知 道 , 原 来 这 个 问 题 称 为 “ 等 周 问 题 ”,说 明 在 长 度 一 定 的 封 闭 曲 线 中 , 什 么 曲 线 围 成 的 面 积 最大 。拉 格 朗 日 从 有 关 资 料 看 到 , 对 于 那 则 流 传 了 约 两 千 年的 故 事 所 引 出 的 等 周 问 题 , 从 开 始 一 直 到 17 世 纪 末 , 数207


学 家 们 实 际 上 并 没 有 做 出 多 少 有 效 的 工 作 。 但 是 , 人 们 都理 解 深 入 研 讨 等 周 问 题 的 艰 难 性 , 而 且 也 预 感 到 随 着 解 决这 个 问 题 而 来 的 , 必 然 是 一 个 新 的 数 学 分 支 。就 在 数 学 家 们 面 临 等 周 问 题 的 挑 战 , 而 深 深 陷 入 困 境时 , 一 支 异 军 突 起 , 欧 拉 通 过 微 分 方 程 和 分 析 学 方 法 得 到解 决 。 在 1736 年 到 1744 年 之 间 , 他 做 了 大 量 工 作 , 终 于将 他 的 成 果 写 进 1744 年 出 版 的 《 寻 求 具 有 某 种 极 大 或 极小 性 质 的 曲 线 的 技 巧 》 一 书 中 , 他 应 用 那 时 被 称 赞 是 极 为广 泛 的 、 简 单 而 又 漂 亮 的 公 式 结 束 了 他 的 书 ; 而 且 , 他 处理 了 大 量 例 子 来 证 明 他 的 方 法 的 方 便 和 一 般 性 。欧 拉 不 愧 为 当 时 欧 洲 数 学 界 众 望 所 归 的 大 师 , 人 们 为他 的 成 果 欢 呼 , 确 信 除 了 他 , 不 会 有 第 二 个 人 能 够 对 这 个问 题 做 出 贡 献 。但 是 , 一 件 意 外 的 事 件 发 生 了 。1755 年 ,19 岁 的 拉格 朗 日 读 了 欧 拉 的 著 作 之 后 , 忽 然 拍 案 而 起 , 他 看 出 那 件作 品 所 介 绍 的 方 法 并 不 是 人 们 所 赞 扬 的 “ 简 单 而 又 漂 亮 ”,必 须 加 以 改 进 才 适 用 于 实 际 条 件 。蜚 声 数 坛 的 欧 拉 研 究 等 周 问 题 是 从 1736 年 起 , 那 年 ,拉 格 朗 日 才 降 生 人 间 。 而 如 今 , 这 个 青 年 居 然 敢 于 向 深 孚众 望 的 前 辈 开 刀 , 他 写 信 给 欧 拉 , 直 指 对 方 成 果 的 不 足 之处 , 并 且 毫 不 留 情 地 反 对 人 们 以 “ 简 明 ” 赞 扬 的 溢 美 谀辞 , 信 中 写 道 :“ 您 的 方 法 并 不 完 全 具 有 在 纯 分 析 的 一 个问 题 上 所 希 望 有 的 那 种 简 明 性 。”208


遇 到 真 正 的 科 学 家自 从 微 积 分 问 世 之 后 , 数 学 方 法 有 了 巨 大 变 革 , 那 就是 用 分 析 方 法 处 理 问 题 。 通 常 情 况 下 ,“ 数 学 分 析 ” 被 用作 微 积 分 的 同 义 语 ; 在 更 多 的 场 合 中 , 数 学 分 析 是 微 积分 、 级 数 论 、 函 数 论 、 微 分 方 程 、 积 分 方 程 等 学 科 的 总称 , 也 叫 做 分 析 数 学 。 当 时 , 欧 拉 是 数 学 界 首 屈 一 指 的 数学 分 析 权 威 , 有 “ 分 析 学 的 化 身 ” 的 誉 称 , 其 造 诣 之 深 自不 待 言 。 现 在 , 恰 恰 就 在 分 析 学 的 关 节 上 被 拉 格 朗 日 不 轻不 重 地 当 头 一 棒 , 那 心 里 会 有 什 么 滋 味 呢 ?欧 拉 称 得 上 是 一 位 真 正 的 科 学 家 。 在 他 的 身 上 , 丝 毫也 看 不 到 有 世 俗 的 那 种 所 谓 “ 自 尊 心 ” 的 痕 迹 。 拉 格 朗 日的 来 信 虽 然 措 辞 颇 有 不 恭 之 处 , 可 是 这 算 得 了 什 么 呢 ? 值得 赞 许 的 是 这 个 青 年 能 够 单 刀 直 入 地 切 中 要 害 。 而 作 为 一位 名 教 授 , 此 时 此 刻 , 应 该 做 的 是 什 么 呢 ? 他 忽 然 想 起 七年 前 故 世 的 老 师 约 翰 · 伯 努 利 教 授 。 是 啊 , 大 江 后 浪 推 前浪 , 人 类 就 是 在 这 种 环 境 下 向 前 推 进 的 , 难 道 不 是 这 样吗 ?欧 拉 满 心 欢 喜 地 邀 请 拉 格 朗 日 到 柏 林 科 学 院 面 谈 , 而拉 格 朗 日 呢 ? 与 欧 拉 的 一 夕 会 晤 , 立 即 被 教 授 那 种 敏 锐 的目 光 、 虚 心 的 态 度 以 及 平 易 近 人 的 作 风 屈 服 了 , 他 感 到 惭愧 而 羞 涩 , 甚 至 近 于 腼 腆 了 。 但 是 , 拉 格 朗 日 很 快 就 恢 复209


常 态 , 无 拘 无 束 地 与 欧 拉 谈 吐 无 间 了 。古 今 历 史 上 有 许 多 忘 年 交 的 佳 话 , 但 科 学 家 们 在 学 术上 鱼 水 相 得 的 友 情 则 莫 过 于 拉 格 朗 日 与 欧 拉 的 交 谊 了 , 他们 促 膝 长 谈 数 日 , 大 有 相 见 恨 晚 的 感 触 。 拉 格 朗 日 表 述 自己 所 引 进 的 纯 分 析 方 法 新 意 隽 永 , 使 欧 拉 大 为 惊 奇 , 他 预料 到 , 异 日 驰 骋 分 析 学 天 地 的 后 继 者 , 非 此 人 莫 属 了 。 对拉 格 朗 日 而 言 , 能 够 亲 聆 这 位 誉 满 全 欧 、 声 名 卓 著 的 大 师给 自 己 “ 偏 得 ” 的 教 诲 , 真 是 千 载 难 逢 ; 欧 拉 的 博 学 广识 、 精 辟 论 解 以 及 诚 恳 亲 切 的 话 语 深 深 地 印 入 青 年 拉 格 朗日 的 脑 际 , 真 可 谓 “ 与 君 一 席 话 , 胜 读 十 年 书 ”。19 岁 的 拉 格 朗 日 初 出 茅 庐 , 对 自 己 的 创 见 性 发 现 充210


满 信 心 , 他 已 经 为 等 周 问 题 进 行 过 许 多 工 作 , 用 纯 分 析 理论 得 到 了 一 个 一 般 的 方 法 , 对 于 范 围 很 广 的 同 类 问 题 , 这方 法 是 系 统 而 统 一 的 。 于 是 , 他 总 结 对 这 课 题 的 研 究 成果 , 写 成 《 论 确 定 不 定 积 分 公 式 的 极 大 和 极 小 的 一 个 新 方法 》 呈 请 欧 拉 审 阅 斧 正 。拉 格 朗 日 这 篇 文 章 的 手 稿 立 意 清 新 , 果 然 一 针 见 血 地打 破 欧 拉 经 过 十 九 载 艰 辛 历 程 建 立 起 来 的 格 局 。 但 是 , 年轻 的 拉 格 朗 日 毕 竟 经 验 不 足 , 一 些 观 点 还 是 存 在 问 题 , 欧拉 建 议 他 继 续 探 索 和 完 善 , 并 且 为 他 提 供 必 要 的 参 考 资 料 。天 外 有 天拉 格 朗 日 所 知 道 的 等 周 问 题 体 现 一 种 新 的 数 学 思 想 ,正 如 他 所 作 的 论 文 内 容 那 样 , 引 出 极 大 和 极 小 理 论 的 一 个新 方 法 。 他 也 读 过 一 些 前 人 著 作 , 了 解 到 数 学 家 们 研 究 这个 问 题 已 经 历 了 几 十 个 春 秋 。原 来 , 早 在 1697 年 , 瑞 士 的 雅 各 · 伯 努 利 就 曾 向 数 学界 提 出 过 挑 战 , 内 容 包 括 几 种 情 形 的 相 当 复 杂 的 等 周 问题 , 当 时 , 应 战 的 人 踊 跃 得 很 , 其 中 也 有 弟 弟 约 翰 。 哥 哥曾 对 弟 弟 戏 言 , 说 是 如 果 能 够 解 决 这 个 问 题 , 就 奖 赏 五 十个 金 币 。 可 惜 , 弟 弟 没 能 得 到 奖 赏 , 后 来 是 由 挑 战 者 自 己宣 布 答 案 的 。约 翰 · 伯 努 利 教 授 将 接 力 棒 交 给 学 生 欧 拉 , 欧 拉 手 握211


接 力 棒 起 飞 了 , 终 于 导 致 他 在 1744 年 使 那 部 寻 找 极 大 或极 小 性 质 的 技 巧 的 力 作 问 世 。 由 此 , 欧 拉 在 当 时 被 赞 誉 为“ 活 着 的 最 伟 大 的 数 学 家 ”。如 今 , 欧 拉 看 到 这 名 后 起 之 秀 的 创 见 和 勇 气 , 惊 叹 他的 才 识 之 高 。 这 个 拉 格 朗 日 居 然 敢 于 摒 弃 伯 努 利 兄 弟 和 欧拉 的 某 些 权 威 性 论 证 , 与 当 代 大 师 欧 拉 一 争 高 低 , 真 是 后生 可 畏 。可 是 , 拉 格 朗 日 涉 世 未 深 , 学 识 毕 竟 有 限 , 他 太 年 轻啊 ! 欧 拉 决 心 将 自 己 的 论 点 和 全 部 设 想 向 这 个 青 年 敞 开 无遗 , 并 悉 心 指 导 对 方 以 提 高 其 基 础 理 论 水 平 。拉 格 朗 日 从欧 拉 那 儿 得 知 ,等 周 问 题 只 是 一类 新 问 题 中 的 一个 侧 面 , 这 类 所 谓 新 问 题 虽 然也 是 研 究 极 大 、 极 小 理 论 的 ,但 是 与 传 统 的 变 量 与 变 量 之 间的 极 大 、 极 小 理 论 迥 然 不 同 ,它 归 结 于 变 量 与 函 数 之 间 的 极大 、 极 小 问 题 , 蕴 含 着 一 种 新的 数 学 思 想 。拉 格 朗 日 由 此 而 豁 然 开 朗 ,他 这 时 才 彻 悟 前 非 : 原 来 , 如 果212


孤 立 地 看 待 等 周 问 题 , 虽 然 问 题 能 够 得 解 , 但 不 能 从 中 开 拓出 一 条 有 创 见 性 的 道 路 , 只 可 落 得 就 题 解 题 的 狭 窄 结 果 。 而那 些 被 称 之 为 大 师 的 数 学 家 们 则 是 何 等 注 重 “ 方 法 ” 啊 !拉 格 朗 日 想 到 先 贤 笛 卡 儿 终 身 探 求 的 “ 方 法 ”, 对 照欧 拉 的 启 发 , 终 于 认 识 到 自 己 的 浅 薄 。 学 识 有 涯 而 天 外 有天 , 这 种 哲 学 观 点 逐 渐 地 在 拉 格 朗 日 脑 际 形 成 , 他 要 重 新认 识 自 己 , 对 自 己 作 出 恰 如 其 分 的 评 价 , 绝 不 把 井 蛙 之 见妄 送 大 雅 之 堂 , 这 多 么 自 惭 形 秽 啊 !拉 格 朗 日 现 在 明 白 了 : 等 周 问 题 应 与 同 它 一 类 的 问 题( 如 最 速 降 线 问 题 、 短 程 线 问 题 ) 一 并 考 虑 , 以 便 找 到 统一 诸 多 问 题 的 实 质 性 结 论 , 这 样 , 才 可 以 踏 出 新 路 。从 欧 拉 那 儿 , 拉 格 朗 日 这 才 得 知 , 这 类 问 题 并 不 是 昨夕 今 朝 的 事 , 半 个 世 纪 以 来 , 有 多 少 先 辈 都 曾 经 为 它 付 出心 血 啊 ! 这 些 探 索 者 之 中 还 包 括 牛 顿 、 莱 布 尼 茨 这 样 的 一代 宗 师 !欧 拉 所 给 予 拉 格 朗 日 的 帮 助 不 止 是 传 递 前 人 的 信 息 ,并 提 供 必 要 的 资 料 , 使 基 本 上 还 是 孤 陋 寡 闻 的 拉 格 朗 日 大开 眼 界 , 而 使 拉 格 朗 日 终 生 铭 感 的 则 是 , 在 恩 师 欧 拉 的 教诲 下 , 自 己 才 能 顺 着 一 条 充 满 希 望 的 大 道 步 入 人 生 。变 分 法 诞 生 记17 世 纪 末 , 由 于 微 积 分 理 论 的 崛 起 , 存 在 于 变 量 与213


变 量 之 间 的 极 大 、 极 小 问 题 得 到 彻 底 解 决 , 数 学 界 为 此 欢欣 鼓 舞 。正 当 人 们 额 手 称 庆 之 际 , 有 人 向 刚 刚 静 止 的 水 面 扔 进一 颗 不 大 不 小 的 石 子 , 却 掀 起 一 场 轩 然 大 波 :1696 年 , 瑞 士 巴 塞 尔 城 一 名 29 岁 的 医 生 向 全 欧 数 学家 挑 战 :“ 设 在 垂 直 平 面 内 有 任 意 两 点 , 一 个 质 点 受 地 心引 力 的 作 用 , 自 较 高 点 下 滑 至 较 低 点 , 不 计 摩 擦 , 问 沿 着什 么 样 的 路 线 滑 , 所 花 时 间 最 短 ?”这 个 问 题 可 以 取 屋 顶 排 水 设 喻 : 如 果 屋 脊 与 屋 檐 的 位置 不 变 , 做 成 什 么 样 的 坡 形 , 排 水 最 快 ? 外 行 人 从 简 单 的生 活 经 验 出 发 , 可 能 会 直 观 地 迅 速 得 出 答 案 , 认 为 理 所 当然 地 应 将 屋 面 做 成 直 线 状 坡 形 。但 是 , 敏 感 的 数 学 大 师 们 立 即 预 感 到 这 个 问 题 的 潜 在力 量 , 眼 见 一 种 新 颖 的 数 学 思 想 正 在 萌 动 , 也 许 不 久 之后 , 会 有 意 想 不 到 的 特 异 分 支 在 数 学 领 域 中 破 土 而 出 。 当时 , 连 数 学 界 泰 斗 54 岁 的 牛 顿 和 50 岁 的 莱 布 尼 茨 等 人 都被 卷 入 这 场 智 力 争 斗 的 漩 涡 , 许 多 人 也 成 功 地 解 答 了 这 个后 来 被 称 为 “ 最 速 降 线 ” 的 问 题 。然 而 , 那 位 医 生 对 应 战 者 的 工 作 结 果 并 不 满 意 , 因 为他 的 初 衷 原 本 就 不 是 就 题 解 题 的 征 答 , 而 是 期 待 从 某 人 巧妙 的 论 证 过 程 中 得 到 一 种 找 出 解 决 同 类 问 题 的 途 径 , 可是 , 他 失 望 了 。其 实 , 那 些 数 学 大 师 们 全 都 理 解 医 生 的 原 意 , 他 们 由214


于 年 事 已 高 , 或 由 于 为 研 究 其 它 课 题 而 忙 碌 , 只 好 将 深 深的 遗 憾 留 给 那 位 医 生 。那 位 医 生 约 翰 · 伯 努 利 后 来 成 为 巴 塞 尔 大 学 的 数 学 教授 。 当 时 , 他 将 解 决 这 类 问 题 的 希 望 寄 托 在 得 意 门 生 欧 拉身 上 , 并 告 诉 欧 拉 说 , 连 同 等 周 问 题 、 短 程 线 问 题 ( 求 曲面 上 所 给 两 点 间 长 度 最 短 的 线 ), 它 们 属 于 这 类 问 题 的 三典 型 。1728 年 , 伯 努 利 建 议 欧 拉 从 事 短 程 线 研 究 , 没 想到 , 当 时 年 仅 21 岁 的 欧 拉 很 快 就 解 决 了 。实 际 上 , 就 这 三 个 问 题 本 身 说 , 此 时 已 经 解 决 。 可 是它 们 的 普 遍 解 法 在 哪 里 呢 ? 由 于 它 们 的 广 度 、 深 度 以 及 内在 机 理 过 于 复 杂 , 很 多 人 都 望 而 却 步 , 以 致 于 在 人 们 心 目中 , 那 是 高 不 可 攀 的 , 前 景 遥 远 而 渺 茫 。欧 拉 经 1728 年 至 1755 年 之 间 的 不 懈 努 力 取 得 一 定 成果 , 但 自 知 解 法 复 杂 而 难 于 系 统 化 。 就 在 此 时 , 出 现 了 拉格 朗 日 。 为 了 不 使 这 位 青 年 重 踏 前 人 就 题 解 题 的 老 路 , 欧拉 为 他 指 明 方 向 , 同 时 竭 尽 全 力 去 具 体 地 帮 助 他 进 行 研究 。1759 年 , 欧 拉 夙 兴 夜 寐 、 苦 心 孤 诣 地 钻 研 了 31 年 的那 类 问 题 终 于 水 到 渠 成 , 曙 光 就 在 眼 前 了 。 他 把 那 类 问 题的 解 法 取 名 变 分 法 , 最 后 的 论 文 也 已 完 成 , 即 将 于 近 日 送柏 林 科 学 院 发 表 。但 是 , 正 巧 此 时 , 他 收 到 拉 格 朗 日 呈 交 老 师 批 改 的 这方 面 论 文 , 阅 看 之 后 , 欣 喜 备 至 , 立 即 回 信 盛 赞 拉 格 朗 日215


的 成 就 , 同 时 觉 得 自 己 的 论 点 和 方 法 稍 逊 一 筹 , 便 决 定 压下 自 己 的 论 文 不 予 发 表 , 转 去 协 助 拉 格 朗 日 补 充 和 完 善 论文 。在 欧 拉 的 指 导 和 推 荐 下 , 终 于 使 23 岁 的 青 年 拉 格 朗日 获 得 创 立 变 分 法 的 巨 大 声 誉 。固 然 , 扶 掖 后 生 本 来 就 是 老 一 辈 人 的 天 职 , 但 是 , 欧拉 的 风 范 却 赢 得 了 全 欧 洲 数 学 家 的 景 仰 。 人 们 建 议 , 在 数学 史 上 写 明 变 分 法 是 欧 拉 和 拉 格 朗 日 共 同 创 立 的 。拉 格 朗 日 成 功 了 , 他 理 解 这 一 荣 誉 的 份 量 和 意 义 有 多大 , 回 想 近 四 年 的 日 日 夜 夜 , 他 陷 入 一 种 深 深 的 情 谊 海 洋之 中 。 这 是 长 者 对 后 生 、 师 长 对 门 徒 , 或 是 什 么 其 它 关 系的 情 谊 ? 他 想 , 也 许 这 仅 仅 是 人 与 人 之 间 的 关 系 ……学 术 生 涯拉 格 朗 日 在 相 当 年 轻 时 就 驰 名 于 欧 洲 数 坛 , 他 的 天 才和 勤 奋 常 常 表 现 在 公 共 场 合 和 文 章 论 著 上 , 人 们 听 他 妙 语联 珠 、 见 他 满 纸 金 玉 , 在 钦 佩 、 惊 奇 之 余 , 还 会 感 到 有 一种 享 受 感 。在 炮 兵 学 校 执 教 期 间 , 他 稍 有 闲 暇 , 就 要 纵 情 研 究 新的 数 学 思 想 和 方 法 , 但 总 觉 得 有 一 种 未 尽 人 意 之 条 件 , 那就 是 缺 乏 人 才 和 资 料 的 集 中 和 交 流 。1758 年 , 在 当 地 有识 之 士 的 支 持 下 , 他 开 始 创 建 都 灵 科 学 院 , 并 经 常 为 院 办216


的 《 都 灵 杂 录 》 期 刊 积 极 撰 稿 。 在 六 年 的 期 间 内 , 他 写 了许 多 具 有 极 高 价 值 的 文 章 , 论 著 内 容 涉 及 到 微 积 分 在 物 理学 和 天 文 学 问 题 上 的 重 要 应 用 , 以 及 数 论 、 变 分 、 偏 微 分方 程 的 解 等 等 范 围 广 泛 的 题 目 。1764 年 , 巴 黎 科 学 院 提出 月 球 天 平 动 问 题 , 悬 赏 征 答 , 要 求 用 万 有 引 力 解 释 月 球何 以 自 转 , 并 永 远 以 同 一 面 对 着 地 球 等 论 点 , 在 诸 多 数 学家 逐 鹿 之 中 , 拉 格 朗 日 一 举 夺 魁 , 获 得 奖 金 ; 他 的 成 功 鼓舞 了 科 学 院 , 接 着 提 出 更 难 的 木 星 四 卫 星 运 动 理 论 ,1766年 , 他 再 次 力 挫 群 雄 , 再 度 获 得 巴 黎 科 学 院 奖 励 。就 在 这 一 年 ——1766 年 , 拉 格 朗 日 满 30 岁 , 他 已 经炉 火 纯 青 , 成 为 蜚 声 全 欧 的 一 名 数 学 界 权 威 。 同 年 , 在 柏林 科 学 院 任 物 理 数 学 所 所 长 的 欧 拉 受 俄 国 女 王 敦 聘 , 就 要回 圣 彼 得 堡 科 学 院 工 作 了 , 普 鲁 士 国 王 腓 特 烈 大 帝 挽 留 不住 , 行 前 , 就 请 欧 拉 推 荐 一 位 合 适 的 继 任 者 , 并 声 称 :“ 欧 洲 最 大 之 王 希 望 欧 洲 最 大 的 数 学 家 到 他 宫 廷 中 来 ”。 欧拉 毫 不 迟 疑 地 指 定 拉 格 朗 日 接 替 所 长 职 位 , 并 说 明 全 欧 惟有 此 君 胜 任 该 职 。1766 年 至 1786 年 , 拉 格 朗 日 一 直 在 柏 林 科 学 院 从 事研 究 工 作 , 深 受 腓 特 烈 大 帝 的 赏 识 。拉 格 朗 日 是 在 1759 年 被 选 为 柏 林 科 学 院 院 士 的 , 此后 , 在 1772 年 被 选 为 巴 黎 科 学 院 院 士 , 在 1776 年 被 选 为圣 彼 得 堡 科 学 院 院 士 。 他 才 华 洋 溢 , 在 许 多 数 学 领 域 中 均有 大 量 建 树 , 除 了 他 自 己 勤 奋 努 力 和 具 有 高 度 责 任 感 之217


外 , 各 个 科 学 研 究 院 为 他 提 供 了 许 多 方 便 条 件 ; 另 一 方面 , 他 也 为 那 些 科 学 研 究 院 充 实 了 极 为 丰 富 的 成 果 。1786 年 , 腓 特 烈 大 帝 去 世 。 次 年 , 拉 格 朗 日 应 法 王路 易 十 六 的 邀 请 , 移 居 巴 黎 , 并 为 改 革 度 量 衡 制 度 不 遗 余力 , 在 就 任 米 制 委 员 会 主 任 期 间 做 出 不 少 贡 献 。拉 格 朗 日 在 数 学 分 析 、 代 数 方 程 理 论 、 变 分 法 、 分 析力 学 与 天 体 力 学 、 偏 微 分 方 程 积 分 法 、 球 面 天 文 学 、 制 图学 等 方 面 均 取 得 了 重 要 的 成 果 。拉 格 朗 日 在 数 学 研 究 方 面 所 接 触 的 领 域 都 是 比 较 高 深的 , 尤 其 注 重 数 学 分 析 , 他 得 出 了 泰 勒 级 数 的 余 项 公 式 、有 限 增 量 公 式 和 内 插 公 式 , 著 有 《 解 析 函 数 论 》、《 函 数 讲义 》 等 ; 在 代 数 方 面 , 他 建 立 了 方 程 理 论 , 得 出 了 代 数 方程 根 的 近 似 计 算 法 、 代 数 方 程 根 的 分 离 法 、 方 程 组 的 消 元法 、 方 程 根 的 分 解 法 以 及 所 谓 拉 格 朗 日 级 数 ; 还 有 微 分 方程 方 面 、 数 论 方 面 …… 的 许 多 成 果 。18 世 纪 后 期 , 数 学 界 产 生 了 一 种 “ 世 纪 末 ” 的 情 绪 ,认 为 在 这 一 世 纪 内 , 已 经 由 欧 拉 、 达 朗 贝 尔 (1717—1783, 法 国 数 学 家 )、 拉 格 朗 日 等 人 把 主 要 数 学 问 题 全 部解 决 了 , 数 学 这 一 领 域 似 乎 已 经 “ 穷 竭 ”, 这 样 ,19 世 纪的 数 学 家 们 只 好 去 研 究 一 些 次 要 的 问 题 了 。 可 是 , 拉 格 朗日 不 这 么 看 , 他 心 目 中 的 数 学 就 像 是 广 阔 浩 瀚 的 海 洋 , 是无 边 无 际 的 , 他 对 达 朗 贝 尔 互 相 勉 励 地 说 :“ 难 道 数 学 会衰 落 吗 ?”218


可 惜 宇 宙 只 有 一 个数 学 是 一 门 万 能 的 学 科 , 天 地 间 的 万 般 事 物 离 开 了 它就 无 法 “ 运 转 ”, 这 一 点 已 经 为 历 代 数 学 家 们 所 深 知 , 而且 即 使 是 寻 常 百 姓 , 也 无 人 不 领 受 到 它 的 德 泽 恩 惠 。可 是 , 数 学 却 总 是 作 为 一 种 依 附 物 而 存 在 于 其 它 学 科之 中 , 例 如 天 文 学 、 物 理 学 等 的 某 项 新 发 现 , 本 来 是 利 用数 学 方 法 建 立 起 来 的 , 但 从 来 没 有 人 说 到 它 应 该 归 功 于 数学 。 当 年 牛 顿 明 明 写 过 《 自 然 哲 学 的 数 学 原 理 》 这 一 名著 , 人 们 也 是 从 那 里 面 看 到 经 典 力 学 的 基 本 定 律 —— 牛 顿运 动 三 定 律 以 及 宇 宙 中 星 际 存 在 吸 引 力 的 万 有 引 力 定 律 ,可 是 很 少 有 人 能 领 会 到 那 是 依 靠 数 学 的 巨 大 力 量 才 获 得的 。在 不 断 完 善 的 “ 数 学 分 析 ” 犹 如 虎 背 之 翼 , 使 数 学 更能 搏 击 风 云 了 。 拉 格 朗 日 的 脑 际 出 现 一 种 全 新 的 想 法 , 他要 反 客 为 主 。 他 看 到 分 析 方 法 的 强 大 力 量 , 于 是 便 去 进 行一 种 人 们 始 料 不 及 的 工 作 : 让 力 学 来 为 数 学 服 务 。1788 年 , 他 的 构 思 变 成 现 实 :《 分 析 力 学 》 一 书 问 世了 。 这 是 一 部 划 时 代 著 作 , 它 扩 大 和 完 善 了 牛 顿 的 工 作 ,被 认 为 是 牛 顿 之 后 的 一 大 经 典 力 学 著 作 , 后 人 评 论 是 “ 它奠 定 了 现 代 力 学 的 基 础 ”、“ 将 动 力 学 这 门 学 科 推 进 到 登 峰造 极 的 地 步 ”。 拉 格 朗 日 把 新 发 展 的 数 学 分 析 应 用 于 质 点219


和 刚 体 力 学 中 , 同 时 , 变 分 法 也 发 挥 自 己 的 美 妙 作 用 ; 他指 出 力 学 这 门 学 科 可 以 整 个 地 建 立 在 单 独 一 个 原 理 之 上 ,即 最 小 作 用 原 理 ( 变 分 法 的 理 论 基 础 ) 之 上 。 他 用 其 最 小作 用 原 理 对 动 力 学 规 律 作 了 成 功 的 描 述 , 启 示 着 这 概 念 可以 应 用 到 物 理 学 的 其 它 分 支 上 去 。 通 过 力 学 途 径 , 他 应 用分 析 方 法 论 证 了 牛 顿 关 于 物 质 和 运 动 的 种 种 公 设 , 认 为 它们 都 符 合 自 然 经 济 原 理 。实 际 上 ,《 分 析 力 学 》 是 拉 格 朗 日 在 19 岁 时 就 开 始 酝酿 的 , 出 书 时 他 已 52 岁 , 这 部 不 朽 名 著 化 费 了 他 大 半 生的 心 血 。 这 部 著 作 的 精 彩 之 处 是 应 用 全 新 的 数 学 分 析 方法 , 他 介 绍 说 :“ 我 们 已 经 有 了 力 学 方 面 的 各 种 专 著 , 但是 本 书 的 写 法 是 全 新 的 。 我 曾 致 力 于 将 力 学 这 门 学 科 , 以及 解 决 与 它 有 关 的 问 题 的 技 巧 , 化 归 为 一 般 性 的 公 式 , 这些 公 式 的 简 单 推 导 就 给 出 解 决 每 一 个 问 题 所 必 需 的 全 部 工作 。”拉 格 朗 日 对 于 自 己 的 这 部 杰 作 不 无 得 意 , 他 在 序 言 中写 道 :“ 我 在 其 中 所 阐 明 的 方 法 , 既 不 要 作 图 , 也 不 要 求几 何 的 或 力 学 的 推 理 , 而 只 是 一 些 遵 照 一 致 而 正 规 的 程 序的 分 析 运 算 。 喜 欢 分 析 的 人 将 高 兴 地 看 到 力 学 变 为 它 的 一个 新 的 分 支 , 并 将 感 激 我 扩 大 了 它 的 领 域 。”拉 格 朗 日 别 出 心 裁 地 将 力 学 纳 入 数 学 领 域 内 , 这 是 一种 破 天 荒 的 奇 特 构 想 , 但 他 这 样 做 了 , 而 且 有 了 可 观 的 成效 。 于 是 , 他 遗 憾 地 说 :“ 真 可 惜 , 宇 宙 只 有 那 么 一 个 ,220


而 牛 顿 已 经 发 现 了 它 的 规 律 , 牛 顿 可 算 是 一 个 最 侥 幸 的 人啊 !”《 分 析 力 学 》 建 立 了 一 个 优 美 和 谐 的 力 学 体 系 , 写 得又 很 得 体 入 时 , 以 致 19 世 纪 的 爱 尔 兰 数 学 家 哈 密 顿(1805—1865) 誉 它 为 一 种 “ 科 学 诗 ”, 后 来 又 有 一 位 作 家说 它 把 宇 宙 描 写 成 一 个 由 数 字 和 方 程 组 成 的 有 节 奏 的 旋律 。向 人 类 智 慧 挑 战代 数 方 程 的 出 现 可 以 追 溯 到 公 元 前 6 世 纪 以 前 , 那 时的 古 希 腊 、 古 印 度 、 古 中 国 等 都 对 它 的 发 展 做 过 有 益 的 贡献 。 最 初 , 人 们 轻 而 易 举 地 解 决 了 一 、 二 次 方 程 的 解 , 于是 , 自 然 地 会 接 着 去 探 求 三 次 方 程 、 四 次 方 程 以 及 更 高 次的 代 数 方 程 的 解 法 。数 学 家 们 预 料 到 解 三 次 方 程 应 该 也 是 不 成 问 题 的 , 用不 着 大 动 干 戈 。 可 是 , 他 们 做 的 是 错 误 的 估 计 , 虽 然 对 于具 体 的 数 字 方 程 也 能 找 到 求 得 实 数 根 的 方 法 ( 例 如 秦 九 韶创 造 的 正 负 开 方 术 等 ), 不 过 , 这 是 不 能 使 人 满 足 的 , 因为 人 们 要 解 决 的 是 找 到 一 种 求 解 三 次 方 程 的 普 遍 求 根 公式 , 而 这 种 公 式 却 总 是 “ 犹 抱 琵 琶 半 遮 面 ”, 似 乎 得 到 了 ,但 又 消 失 了 。怎 样 解 三 次 方 程 ? 这 个 问 题 困 惑 了 数 学 家 两 千 年 , 终221


于 “ 千 呼 万 唤 始 出 来 ”, 在 16 世 纪 , 由 意 大 利 数 学 家 解 决了 ; 他 们 又 接 踵 地 解 决 了 四 次 方 程 的 解 。数 学 家 们 向 五 次 方 程 以 至 更 高 次 的 代 数 方 程 解 的 目 标挺 进 了 。 莱 布 尼 茨 、 欧 拉 等 大 学 者 也 无 例 外 地 被 卷 入 为 达到 这 个 目 标 而 不 懈 地 奋 进 的 漩 涡 , 但 是 , 他 们 全 都 失 败了 。作 为 数 学 全 才 的 拉 格 朗 日 当 然 不 会 袖 手 旁 观 。 他 看 到前 人 ( 如 牛 顿 。 他 还 不 知 道 有 秦 九 韶 ) 成 功 地 解 决 了 数 字方 程 的 解 , 深 受 鼓 舞 , 但 是 , 摆 在 面 前 的 问 题 要 艰 难 得多 , 这 种 代 数 解 法 必 须 是 经 过 有 限 次 加 、 减 、 乘 、 除 和 开方 运 算 来 求 代 数 方 程 根 的 精 确 解 法 , 换 言 之 , 能 不 能 建 立一 种 可 以 普 遍 应 用 的 求 根 公 式 呢 ?自 从 三 次 、 四 次 方 程 的 根 式 解 问 世 之 后 , 岁 月 又 匆 匆地 流 逝 一 百 多 年 , 在 这 期 间 , 寻 求 五 次 和 更 高 次 代 数 方 程解 的 努 力 毫 无 收 获 。 拉 格 朗 日 与 他 的 前 辈 大 师 的 遭 遇 一样 : 怀 着 极 大 兴 趣 去 研 究 这 个 问 题 , 付 出 了 相 当 多 的 时 间和 精 力 , 企 图 找 到 一 种 解 五 次 和 五 次 以 上 方 程 的 方 法 , 结果 照 样 一 无 所 获 。面 对 这 个 悬 而 未 决 如 此 多 年 的 命 题 , 拉 格 朗 日 惊 呼 :“ 它 好 像 是 在 向 人 类 的 智 慧 挑 战 !” 接 着 , 他 只 好 做 出 一 种猜 测 性 的 结 论 : 用 代 数 运 算 解 一 般 的 、 高 于 四 次 的 方 程 看来 是 不 可 能 的 。 于 是 , 他 判 断 说 , 或 者 是 这 个 问 题 超 越 了人 的 智 力 范 围 , 或 者 是 根 的 表 达 式 的 性 质 必 定 不 同 于 当 时222


所 知 道 的 一 切 。然 而 , 他 还 是 对 前 人 用 来 解 四 次 和 四 次 以 下 方 程 的 全部 方 法 进 行 了 彻 底 研 究 , 他 看 出 , 他 们 所 用 的 全 部 手 段 都可 归 结 为 一 种 程 序 相 同 的 方 法 。 当 时 , 拉 格 朗 日 给 自 己 提出 一 个 任 务 : 分 析 解 三 次 方 程 和 四 次 方 程 的 各 种 解 法 , 看看 这 些 方 法 对 于 解 更 高 次 的 方 程 能 提 供 什 么 线 索 。 结 果 他发 现 , 对 于 二 次 、 三 次 或 四 次 方 程 , 借 助 于 一 个 低 一 次 的“ 预 解 式 ”, 便 可 以 获 得 方 程 的 解 , 但 当 应 用 解 五 次 以 下 方程 的 类 似 方 法 去 解 五 次 方 程 时 , 预 解 式 却 是 六 次 的 , 这样 , 就 使 他 想 到 , 四 次 以 上 方 程 也 许 是 不 能 用 代 数 运 算 来解 的 ?1770 年 , 拉 格 朗 日 发 表 了 《 关 于 代 数 方 程 解 法 的 思考 》, 开 始 认 识 到 根 的 排 列 与 置 换 理 论 是 解 代 数 方 程 的 关键 所 在 , 这 就 开 创 了 用 置 换 群 理 论 来 研 究 代 数 方 程 的 新 阶段 。拉 格 朗 日 企 图 找 到 能 导 致 次 数 低 于 五 次 的 五 次 方 程 预解 式 的 努 力 没 有 成 功 , 但 是 , 他 的 思 路 却 为 19 世 纪 初 数学 家 们 彻 底 解 决 四 次 以 上 方 程 求 解 的 理 论 ( 高 于 四 次 的 方程 一 般 不 可 能 有 代 数 解 法 ) 铺 平 了 道 路 , 他 的 工 作 实 际 上代 表 人 类 智 慧 回 答 了 关 于 代 数 方 程 理 论 的 挑 战 。223


恩 师 欧 拉欧 拉 作 为 一 位 “ 真 正 的 科 学 家 ”, 对 拉 格 朗 日 的 成 长和 毕 生 前 途 具 有 决 定 性 影 响 , 变 分 法 的 诞 生 以 及 以 后 拉 格朗 日 接 替 欧 拉 在 柏 林 科 学 院 所 担 任 职 务 等 一 些 事 例 都 足 以说 明 这 一 点 。在 欧 拉 的 心 目 中 , 这 名 学 生 才 华 出 众 , 将 来 在 学 术 理论 方 面 必 然 超 过 自 己 , 这 也 正 是 他 所 期 望 的 。 是 的 , 人 类本 来 就 应 该 是 在 这 样 情 况 下 前 进 的 , 欧 拉 时 刻 感 念 恩 师 约翰 · 伯 努 利 对 自 己 的 期 望 , 觉 得 自 己 也 必 须 这 样 对 待 拉 格朗 日 , 这 不 也 是 科 学 家 的 天 职 吗 ?拉 格 朗 日 没 有 辜 负 恩 师 欧 拉 的 心 意 , 果 然 名 师 出 高徒 , 而 且 处 处 表 现 青 出 于 蓝 、 而 胜 于 蓝 的 事 迹 。1748 年 , 欧 拉 所 著 《 无 穷 小 分 析 引 论 》 一 书 曾 经 誉噪 一 时 , 如 今 , 拉 格 朗 日 的 《 分 析 力 学 》 则 将 欧 拉 的 理 论向 前 大 大 地 推 进 了 一 步 , 开 创 了 数 学 分 析 发 展 的 新 阶 段 ;当 年 , 欧 拉 花 费 四 十 三 年 时 间 证 得 “ 一 切 非 负 整 数 均 可 表为 四 个 整 数 平 方 和 ”, 事 实 上 , 拉 格 朗 日 依 据 欧 拉 的 思 路已 在 欧 拉 之 前 三 年 (1770 年 ) 得 到 成 功 的 证 明 , 只 不 过他 的 证 明 比 不 上 欧 拉 的 简 单 ; 欧 拉 曾 经 证 明 费 马 大 定 理 的n=3 和 n=4 情 形 , 但 n=3 情 形 的 证 明 过 程 有 缺 陷 , 后来 由 拉 格 朗 日 完 善 ; 欧 拉 曾 创 造 用 连 分 式 解 费 马 方 程 的 方224


法 ,1766 年 , 拉 格 朗 日 证 明 了 费 马 方 程 解 的 “ 存 在 性 ”,使 欧 拉 倍 加 欣 喜 ; 欧 拉 曾 列 出 有 关 彗 星 轨 道 的 公 式 “ 彗 星描 绘 轨 道 弧 所 需 的 时 间 仅 取 决 于 弧 弦 及 弧 端 点 焦 半 径 之和 ”, 后 来 拉 格 朗 日 加 以 论 证 肯 定 , 并 说 , 这 公 式 显 示 彗星 运 动 理 论 中 最 美 妙 和 最 有 意 义 的 发 现 ; 欧 拉 发 现 “ 两 个四 平 方 数 之 和 的 乘 积 仍 为 四 平 方 数 之 和 ” 而 建 立 的 “ 欧 拉恒 等 式 ” 已 为 人 们 所 叹 绝 , 后 来 拉 格 朗 日 在 此 基 础 上 发 挥的 “ 拉 格 朗 日 恒 等 式 ” 引 人 入 胜 , 比 前 者 更 加 精 彩 ……欧 拉 回 圣 彼 得 堡 之 后 , 仍 与 拉 格 朗 日 鱼 雁 频 仍 , 学 术交 流 不 断 。1783 年 , 拉 格 朗 日 获 悉 欧 拉 去 世 , 悲 痛 欲 绝 ,决 心 师 承 欧 拉 的 学 术 思 想 和 未 竟 事 业 , 对 欧 拉 的 “ 强 项 ”数 学 分 析 更 加 发 挥 得 淋 漓 尽 致 , 特 别 是 敢 于 作 客 观 评 论 ,澄 清 了 人 们 对 数 学 分 析 所 存 在 不 切 实 际 的 过 高 盲 目 推 崇 ,他 说 :“ 虽 然 分 析 学 也 许 比 旧 的 几 何 学 的 方 法 要 优 越 , 但是 在 某 些 问 题 中 , 后 者 却 显 得 更 胜 一 筹 , 其 原 因 是 ……”1733 年 , 圣 彼 得 堡 科 学 院 在 政 权 统 治 者 的 干 预 下 辞退 外 国 学 者 , 惟 独 留 下 欧 拉 ;1789 年 , 巴 黎 革 命 政 府 曾下 令 将 所 有 外 国 人 驱 逐 出 境 , 由 于 拉 格 朗 日 是 意 大 利 血统 , 被 列 入 应 驱 逐 名 单 , 但 是 , 拉 格 朗 日 的 科 学 成 就 和 学者 风 度 受 到 人 们 的 极 大 尊 敬 , 因 此 当 局 特 别 声 明 , 驱 逐 外国 人 的 法 令 对 拉 格 朗 日 例 外 。 这 对 师 生 的 遭 遇 颇 有 相 似 之处 , 他 们 都 以 自 己 的 作 为 赢 得 声 誉 。恩 师 欧 拉 的 高 风 亮 节 始 终 是 拉 格 朗 日 的 学 习 楷 模 。 欧225


拉 一 生 远 离 祖 国 , 把 科 学 成 果 看 成 是 全 人 类 的 财 富 , 所以 , 他 无 论 身 在 何 处 , 都 不 会 因 为 国 界 将 他 隔 离 而 影 响 学术 交 流 。 在 这 方 面 , 拉 格 朗 日 也 有 同 样 观 点 。 但 是 , 一 件震 惊 欧 洲 科 学 界 的 意 外 事 件 沉 重 地 冲 击 了 拉 格 朗 日 :1794年 5 月 8 日 , 法 国 把 自 己 的 伟 大 科 学 家 —— 化 学 家 拉 瓦 锡(1743—1794) 送 上 断 头 台 , 其 罪 状 只 不 过 是 牵 涉 到 一 件被 控 告 的 “ 包 税 公 司 ” 案 件 , 而 真 正 的 原 因 据 说 是 当 时 拉瓦 锡 对 政 治 “ 始 终 表 现 消 极 态 度 ”。当 时 , 拉 格 朗 日 对 友 人 说 :“ 砍 掉 他 的 头 颅 只 需 要 一瞬 间 , 可 是 , 也 许 我 们 要 等 一 个 世 纪 , 才 能 有 像 他 这 样 的一 个 脑 袋 。” 鉴 于 拉 瓦 锡 的 下 场 ,1795 年 , 拉 格 朗 日 决 心离 开 法 国 。 就 在 这 年 , 巴 黎 成 立 高 等 师 范 学 院 , 他 留 恋 学术 生 涯 , 遂 打 消 离 法 念 头 ; 接 着 ,1797 年 , 巴 黎 理 工 科大 学 又 继 之 成 立 , 他 就 兼 任 这 两 所 学 校 的 教 授 。这 两 所 学 校 对 拉 格 朗 日 具 有 相 当 大 的 吸 引 力 , 它 们 后来 成 为 法 国 科 学 的 温 床 , 培 养 出 一 大 批 世 界 第 一 流 科 学家 。 正 像 恩 师 欧 拉 那 样 , 拉 格 朗 日 也 成 为 众 多 学 者 的 “ 恩师 ”, 直 到 1813 年 4 月 10 日 逝 世 之 日 , 他 始 终 不 渝 地 呕心 沥 血 , 为 “ 为 人 师 表 ” 的 事 业 竭 尽 全 力 。226


高 斯 —— 在 数 学 世 界 里 处 处 留 芳—— 你 自 然 , 我 的 女 神 , 我 对 你 的 认 识 是 多 么 有 限 !—— 高 斯 ——您 算 错 了田 野 静 悄 悄 , 从 周 围 农 舍 窗 户 透 出 的 灯 光 时 明 时 灭 地闪 动 着 。老 高 斯 在 门 外 看 到 的 就 是 这 些 。 可 不 是 吗 ? 几 千 年 过去 了 , 也 许 从 来 没 有 人 对 白 天 与 黑 夜 为 什 么 如 此 循 环 不 息发 生 兴 趣 , 当 然 , 那 是 上 帝 的 安 排 , 天 经 地 义 。不 过 , 今 天 的 夜 晚 似 乎 来 得 格 外 早 , 至 少 弗 列 得 利 奇有 这 样 的 感 觉 。 这 个 孩 子 总 往 舅 舅 家 跑 , 那 儿 有 什 么 呢 ?噢 , 手 摇 纺 车 、 五 光 十 色 的 丝 线 、 一 架 陈 旧 的 脚 踏 织 锦 机…… 还 有 舅 妈 的 疼 爱 、 可 口 的 点 心 …… 吗 ? 可 是 , 那 儿 有舅 舅 , 对 弗 列 得 利 奇 来 说 , 他 才 是 最 重 要 的 。 他 织 得 一 手好 锦 缎 , 飞 禽 走 兽 全 是 活 的 , 奇 花 异 葩 都 是 香 的 , 树 林 簌簌 响 , 溪 涧 潺 潺 流 哪 ! 他 什 么 都 会 , 都 肯 教 给 这 个 刚 满 六227


岁 的 小 外 甥 。 别 听 他 唱 起 歌 来 总 走 调 , 跳 起 舞 象 野 熊 , 背诵 那 首 古 老 的 、 人 人 都 熟 悉 的 诗 篇 《 我 听 见 水 在 流 》 下 句不 接 上 句 , 应 用 起 乘 法 、 除 法 常 常 出 错 , 但 是 , 在 小 弗 列得 利 奇 心 目 中 , 舅 舅 多 才 多 艺 , 样 样 精 通 。小 弗 列 得 利 奇 可 不 是 一 个 讨 人 嫌 的 孩 子 , 尽 管 他 总 缠着 舅 舅 问 这 问 那 , 但 从 来 不 去 妨 害 舅 舅 做 活 , 相 反 地 , 有时 还 是 个 得 力 的 助 手 呢 ! 这 会 儿 , 看 看 他 那 聚 精 会 神 地 数着 织 机 上 的 经 线 条 数 的 姿 态 , 便 知 这 个 “ 伙 计 ” 可 不 含糊 。夜 幕 低 低 地 下 垂 。 不 管 弗 列 得 利 奇 愿 意 不 愿 意 , 是 该回 家 了 。一 阵 西 风 掠 面 而 过 , 倚 门 悬 望 的 老 高 斯 感 受 到 一 股 寒气 袭 来 , 转 身 回 屋 , 把 门 扉 掩 上 了 。“ 饭 菜 早 就 冰 凉 了 。” 妻 子 在 嘟 囔 着 。终 于 , 房 门 被 推 开 , 冷 风 带 着 小 弗 列 得 利 奇 卷 进 屋内 , 背 后 跟 着 腓 特 烈 舅 舅 。“ 卡 尔 , 我 看 弗 列 得 利 奇 是 该 上 学 了 !” 用 过 晚 餐 后 ,腓 特 烈 认 真 地 说 出 这 句 话 。“ 大 哥 , 你 不 是 教 会 他 不 少 知 识 了 吗 ? 我 看 那 就 够 用了 。” 老 高 斯 也 是 认 真 地 回 答 。“ 哈 哈 , 那 叫 什 么 知 识 呀 , 就 说 算 数 吧 , 我 倒 是 要 当弗 列 得 利 奇 的 学 徒 啦 !” 腓 特 烈 爽 朗 的 笑 声 掩 盖 过 这 间 木屋 , 惊 动 了 在 厨 房 忙 乎 的 妹 妹 , 等 她 出 来 想 问 个 究 竟 时 ,228


这 儿 又 恢 复 了 平 静 。老 高 斯 沉 默 了 。 他 回 忆 起 去 年 的 一 个 夜 晚 , 那 天 , 在建 筑 工 地 忙 碌 了 一 整 天 , 总 算 将 工 程 完 竣 了 , 那 么 , 总 共花 在 这 项 工 程 的 砖 、 石 灰 …… 的 数 量 是 多 少 呢 ? 他 辅 开 帐本 , 喃 喃 地 自 报 数 值 核 算 着 ……当 他 好 不 容 易 算 出 结 果 时 , 不 想 在 一 旁 的 弗 列 得 利 奇却 纠 正 说 :“ 爸 爸 , 您 算 错 了 ! 应 该 是 ……” 再 核 算 一 遍 ,果 然 是 错 了 。“ 就 凭 这 件 事 , 倒 是 该 让 孩 子 去 上 学 。” 老 高 斯 思 忖着 。 可 是 , 他 又 转 念 :“ 唉 , 我 这 个 泥 瓦 匠 , 终 日 劳 累 ,勉 强 养 家 糊 口 , 哪 有 余 钱 供 他 呢 ?”腓 特 烈 当 然 看 得 出 妹 夫 在 想 什 么 , 他 果 敢 地 做 了 决断 :“ 好 , 就 这 样 定 了 。 还 有 我 呢 , 难 道 我 不 是 一 名 出 色的 织 锦 师 吗 ?”就 这 样 , 弗 列 得 利 奇 在 七 岁 这 年 头 终 于 跨 进 村 里 那 座小 学 校 的 大 门 。最 底 下 那 块 石 板在 广 袤 的 德 意 志 大 地 上 , 小 小 的 不 伦 瑞 克 城 并 不 那 么显 眼 , 可 人 们 对 它 也 不 陌 生 , 要 知 道 , 从 柏 林 西 行 去 汉 诺威 , 那 是 必 经 的 一 个 站 , 再 往 前 不 远 , 也 就 到 达 目 的 地了 。229


行 旅 商 贾 常 在 不 伦 瑞 克 驻 足 , 这 样 , 就 用 不 着 去 喧 闹嚣 杂 的 汉 诺 威 街 区 客 店 争 得 拥 挤 的 一 席 之 地 , 于 是 , 它 也就 自 然 地 形 成 近 代 所 谓 的 卫 星 城 。 不 伦 瑞 克 本 来 就 是 民 康物 阜 的 小 城 , 由 于 卫 星 城 所 起 的 作 用 , 日 益 繁 荣 兴 盛 , 市面 井 井 有 条 , 行 人 如 织 , 郊 区 乡 村 的 农 民 日 出 而 作 、 日 入而 息 , 俱 各 自 得 其 乐 。公 元 1777 年 4 月 30 日 , 卡 尔 · 弗 列 得 利 奇 · 高 斯 诞 生了 。 从 此 , 那 座 不 显 眼 的 不 伦 瑞 克 城 逐 渐 被 人 刮 目 相 看 ,人 们 都 说 , 原 来 那 儿 藏 龙 卧 虎 哪 , 真 是 一 处 天 灵 地 杰 的 好所 在 啊 !小 高 斯 十 岁 了 。 每 天 清 晨 , 他 挎 着 书 包 走 过 长 满 青 草的 田 埂 前 往 村 头 上 学 时 , 总 要 低 声 唱 一 段 儿 歌 , 或 者 是 朗诵 几 句 古 代 诗 篇 , 脚 底 一 蹦 一 跳 , 步 伐 甭 说 有 多 轻 快 !包 括 高 斯 在 内 的 所 有 孩 子 都 喜 欢 听 老 师 讲 故 事 , 可是 , 难 道 枯 燥 乏 味 的 算 术 课 也 有 美 妙 的 故 事 吗 ? 有 的 , 布特 纳 老 师 之 所 以 受 到 学 生 们 的 欢 迎 , 也 许 就 是 因 为 他 脑 子里 贮 藏 那 么 多 有 趣 的 故 事 , 随 时 随 地 都 会 配 合 课 本 内 容 冒出 一 两 个 听 起 来 津 津 有 味 的 库 存 品 呢 ! 噢 , 原 来 2 和 3 是最 美 妙 的 数 ;13 这 个 数 太 可 恶 了 ; 遥 远 的 中 国 人 在 几 千年 前 就 知 道 将 1 至 9 九 个 数 排 成 方 阵 , 使 各 横 行 、 纵 列 、斜 线 的 每 三 个 数 得 到 相 等 的 和 , 他 们 怎 么 知 道 呢 ? 据 说 ,那 张 方 阵 图 是 从 河 里 爬 出 的 一 只 神 龟 背 上 揭 下 来 的 。这 天 , 布 特 纳 老 师 一 进 教 室 便 给 学 生 布 置 一 道 课 堂 作230


业 :“1 加 2、 加 3、 加 4, 一 直 加 到 100, 总 数 是 多 少 ?”于 是 , 忙 碌 的 学 生 开 始 一 个 数 一 个 数 去 加 。 只 隔 一 两分 钟 , 正 当 大 家 开 始 紧 张 地 计 算 时 , 有 人 将 石 板 交 到 老 师的 讲 桌 上 , 这 就 是 坐 在 前 排 的 高 斯 。这 时 , 布 特 纳 正 在 后 几 排 观 察 学 生 们 的 算 稿 , 漫 不 经心 地 朝 前 一 瞥 , 心 想 , 这 个 全 班 最 小 的 学 生 准 是 瞎 写 了 什么 或 交 了 白 卷 。 过 了 很 久 , 别 的 学 生 才 陆 续 地 将 各 自 的 石板 叠 在 上 面 。 最 后 , 布 特 纳 走 到 讲 桌 前 , 叫 唤 高 斯 站 立着 。“ 弗 列 得 利 奇 , 你 说 说 , 你 为 什 么 不 按 老 师 的 要 求 解题 ?” 他 一 边 说 着 , 一 边 抽 出 最 底 下 那 块 石 板 , 高 举 起 来 ,对 着 睁 大 眼 睛 的 全 班 学 生 , 说 :“ 大 家 看 ——”这 时 , 他 的 目 光 落 在 石 板 上 , 陡 然 , 被 那 上 面 写 着 的数 字 “5050” 惊 呆 了 。 这 是 准 确 的 答 案 , 高 斯 没 有 错 。 好一 会 儿 , 他 大 声 地 对 着 高 斯 , 也 是 对 着 全 班 同 学 说 :“ 我 , 我 说 不 按 老 师 的 要 求 解 题 , 是 指 不 应 用 老 师 教给 你 们 的 方 法 解 题 。 刚 , 刚 才 我 说 得 有 点 不 太 清 楚 。” 布特 纳 说 话 时 显 得 有 点 口 吃 。“ 我 想 , 老 师 教 给 我 们 一 个 数 一 个 数 加 起 来 的 方 法 当然 是 对 的 , 只 不 过 慢 了 些 。” 高 斯 从 容 不 迫 地 回 答 。“ 因 为第 一 个 数 和 末 尾 那 个 数 、 第 二 个 数 和 末 尾 第 二 个 数 、 第 三个 数 和 末 尾 第 三 个 数 等 等 , 它 们 的 和 都 是 一 样 的 , 等 于 一百 零 一 , 一 共 有 五 十 对 这 样 的 数 , 所 以 总 数 是 一 百 零 一 乘231


以 五 十 , 就 是 五 千 零 五 十 。”教 室 里 鸦 雀 无 声 。 如 果 有 人 注 意 坐 在 最 后 排 的 一 位 青年 , 就 会 听 到 微 细 的 叹 息 声 。“ 真 是 太 妙 了 。” 那 人 轻 轻 地吐 出 这 几 个 字 。不 速 之 客不 伦 瑞 克 公 爵 维 尔 亨 的 宽 容 大 度 、 礼 贤 下 士 风 范 遐 迩闻 名 , 虽 然 他 所 管 辖 地 区 并 不 大 , 但 是 由 于 他 励 精 图 治 、宣 化 教 养 , 因 此 政 通 人 和 , 倒 是 一 派 太 平 景 象 , 举 国 上 下常 以 他 的 业 绩 作 为 楷 模 。最 要 紧 的 事 莫 过 于 “ 择 天 下 英 才 而 育 之 ”, 维 尔 亨 公爵 深 知 这 一 点 , 所 以 , 振 兴 教 育 始 终 是 他 心 目 中 的 当 务 之急 。 在 他 的 督 促 指 导 下 , 几 所 中 、 小 学 都 办 得 生 机 勃 勃 ,他 自 己 也 与 学 校 的 教 师 们 过 从 甚 密 , 时 常 组 织 大 家 在 一 起交 流 切 磋 教 学 经 验 。 维 尔 亨 有 一 个 未 实 现 的 愿 望 , 那 就是 , 有 朝 一 日 , 不 伦 瑞 克 人 的 子 弟 也 有 几 名 进 哥 廷 根 的 。人 人 都 知 道 “ 进 哥 廷 根 ” 的 含 义 , 是 指 去 上 哥 廷 根 大学 。 哥 廷 根 城 是 德 国 人 的 骄 傲 , 那 儿 群 贤 毕 至 、 少 长 咸集 , 名 流 学 者 如 云 , 一 个 多 么 令 人 向 往 的 去 处 !一 天 , 维 尔 亨 与 一 些 教 师 聚 会 时 , 有 人 谈 到 布 特 纳 老师 的 一 名 高 足 , 说 :“ 这 学 生 姓 高 斯 , 具 有 非 凡 的 天 才 ,又 有 锲 而 不 舍 的 勤 学 精 神 , 思 路 敏 捷 , 成 绩 超 群 , 异 日 必232


成 大 器 。” 向 公 爵 推 荐 高 斯 的 是 布 特 纳 的 助 手 巴 特 尔 斯 ,他 补 充 说 :“…… 那 天 , 我 就 坐 在 教 室 的 最 后 排 。…… 布特 纳 老 师 欣 喜 过 望 , 立 刻 从 藏 书 中 挑 选 一 本 最 好 的 算 术 书送 给 他 。 最 近 , 布 特 纳 老 师 说 :‘ 他 超 过 我 , 我 已 经 没 有什 么 可 以 教 给 他 的 了 。”’维 尔 亨 点 头 赞 许 , 要 求 在 高 斯 进 中 学 时 重 点 培 养 。巴 特 尔 斯 比 高 斯 年 长 八 岁 , 是 个 好 学 的 青 年 , 他 俩 终于 成 为 亲 密 的 师 生 、 学 友 。高 斯 在 教 师 们 的 关 怀 、 培 育 下 , 学 业 大 有 长 进 , 可 是他 从 来 不 满 足 课 堂 上 、 课 本 里 的 东 西 , 渴 求 知 识 的 愿 望 使他 变 成 了 一 个 “ 读 书 迷 ”, 从 书 本 中 , 他 去 尽 力 吸 吮 营 养 ,加 以 消 化 、 分 解 , 充 实 自 己 的 脑 海 。现 在 , 他 长 大 了 , 迈 进 生 命 的 第 14 个 年 头 。这 天 , 他 醉 心 于 一 本 新 书 的 情 节 , 边 走 边 看 书 , 不 知不 觉 错 了 路 线 , 有 人 拦 住 去 路 。“ 孩 子 , 你 这 是 往 哪 儿 去 呢 ?” 那 人 拍 拍 他 的 肩 膀 ,问 道 。高 斯 抬 起 头 。 一 位 服 饰 华 丽 的 妇 人 站 在 他 的 面 前 , 探询 的 目 光 友 好 而 和 善 。 他 深 深 地 施 了 一 个 礼 , 回 答 :“ 夫 人 , 我 是 在 回 家 的 路 上 哪 !”“ 可 是 , 这 儿 是 你 的 家 吗 ?”高 斯 朝 前 望 去 , 不 远 处 的 前 方 和 右 方 都 横 着 闪 烁 亮 光的 金 属 栏 杆 。 他 大 惊 失 色 : 每 天 是 沿 着 围 栏 外 侧 走 过 , 而233


今 天 竟 误 闯 到 里 面 来 了 。 公 爵 的 庄 园 ! 尽 管 那 儿 没 有 人 看守 , 但 是 , 这 一 带 居 民 都 清 楚 , 未 经 许 可 , 是 不 准 入 内的 。高 斯 转 过 身 , 待 要 退 出 , 可 一 切 都 晚 了 。234


“ 我 看 看 这 本 书 。” 那 妇 人 顺 手 取 过 高 斯 的 书 , 翻 了翻 , 指 着 上 面 的 几 页 文 字 加 以 询 问 。高 斯 对 书 中 问 题 了 解 得 如 此 透 彻 , 再 加 上 他 那 彬 彬 有礼 的 举 止 谈 吐 , 惹 得 对 方 ( 原 来 她 就 是 公 爵 夫 人 !) 满 心欢 喜 , 并 立 即 被 引 见 给 维 尔 亨 公 爵 。公 爵 对 高 斯 进 行 一 番 考 查 之 后 大 为 赞 赏 , 以 自 己 管 区的 属 下 有 如 此 优 异 的 “ 神 童 ” 兴 奋 不 已 ; 进 一 步 了 解 的 结果 得 悉 , 原 来 这 个 孩 子 就 是 四 年 前 巴 特 尔 斯 所 推 荐 的 那 名品 学 兼 优 的 学 生 , 尤 为 器 重 。“ 今 天 下 午 六 时 , 请 你 们 一 家 到 庄 园 来 , 我 与 你 们 共进 晚 餐 。” 维 尔 亨 在 高 斯 告 别 时 郑 重 地 要 他 传 达 这 个 约 会给 卡 尔 。当 卡 尔 得 知 公 爵 将 负 责 弗 列 得 利 奇 今 后 学 习 的 一 切 费用 , 并 要 做 出 最 合 适 的 安 排 时 , 男 儿 眼 里 难 得 见 到 的 泪 水夺 眶 而 出 , 意 外 的 垂 青 感 动 得 他 半 晌 说 不 出 话 来 。然 而 , 维 尔 亨 公 爵 的 心 情 比 卡 尔 还 要 激 动 , 他 庆 幸 这位 不 速 之 客 的 出 现 , 并 信 心 十 足 地 预 料 , 期 望 不 伦 瑞 克 人进 哥 廷 根 的 现 实 指 日 可 待 了 。数 学 还 是 文 学高 斯 15 岁 的 那 年 , 维 尔 亨 公 爵 送 他 入 卡 罗 琳 学 院 深造 。 在 那 儿 , 他 顿 然 体 验 到 天 地 的 博 大 , 世 界 上 五 彩 缤235


纷 、 斑 驳 陆 离 , 有 多 少 令 人 神 往 的 旖 旎 风 光 啊 ! 他 开 始 接触 牛 顿 、 欧 拉 、 拉 格 朗 日 等 大 师 的 著 作 了 , 它 们 吸 引 着他 , 使 他 惊 叹 而 流 连 忘 返 , 眼 界 大 为 开 阔 。从 不 伦 瑞 克 往 西 到 汉 诺 威 只 有 一 步 之 遥 , 在 汉 诺 威 折向 南 行 不 远 便 可 抵 达 哥 廷 根 。 高 斯 终 于 使 维 尔 亨 实 现 为 之朝 思 暮 想 的 目 标 , 总 算 没 有 辜 负 公 爵 的 一 片 苦 心 。公 元 1795 年 , 高 斯 就 读 于 哥 廷 根 大 学 。 这 年 , 一 个与 大 学 生 学 科 关 系 并 不 密 切 的 问 题 闯 入 他 的 脑 海 : 中 学 时代 进 行 物 理 试 验 时 , 他 发 现 每 个 同 学 对 同 一 目 的 物 所 做 观测 的 结 果 都 有 差 异 , 那 么 , 谁 得 到 的 数 值 最 精 确 呢 ? 必 须有 个 科 学 的 判 定 方 法 , 这 是 个 什 么 样 的 方 法 呢 ?原 来 , 任 何 物 理 测 量 都 不 是 绝 对 准 确 的 。 不 同 观 测 者对 同 一 量 的 测 量 , 即 使 测 量 是 在 尽 可 能 接 近 相 同 的 条 件 下进 行 的 , 也 必 然 显 示 出 细 微 的 差 异 , 这 是 由 于 各 种 因 素 ,包 括 观 测 者 本 人 的 因 素 所 致 , 例 如 对 某 一 仪 表 的 读 数 , 目光 角 度 的 不 同 也 会 导 致 差 异 。 为 了 尽 可 能 地 消 除 由 于 各 类原 因 产 生 的 一 些 误 差 , 需 从 一 堆 各 不 相 同 的 测 量 结 果 中 确定 一 个 最 可 靠 的 数 值 。 上 述 问 题 落 在 高 斯 手 中 , 他 是 绝 对不 肯 贸 然 撂 下 的 , 就 在 他 18 岁 的 那 一 年 (1795 年 ), 一个 崭 新 的 方 法 “ 最 小 二 乘 法 ” 被 发 现 了 。即 将 进 入 大 学 二 年 级 了 , 高 斯 必 须 决 定 毕 生 奋 斗 的 目标 , 是 攻 读 数 学 还 是 文 学 呢 ?文 学 , 尤 其 是 德 国 古 典 文 学 , 具 有 诱 人 的 力 量 , 它 的236


存 在 使 多 少 世 人 为 之 陶 醉 啊 ! 高 斯 从 小 就 喜 爱 文 学 , 从 中汲 取 情 趣 、 接 受 陶 冶 、 健 全 身 心 , 在 这 方 面 , 他 也 具 有 相当 水 平 。 那 么 , 数 学 呢 ? 他 经 历 过 的 童 年 和 少 年 时 代 , 以及 所 正 处 的 青 年 时 代 , 不 是 始 终 与 它 息 息 相 关 吗 ? 怎 么 忍心 与 它 割 舍 ?现 在 他 站 在 十 字 路 口 , 何 去 何 从 呢 ? 既 然 “ 鱼 ” 与“ 熊 掌 ” 两 者 不 可 兼 得 , 那 就 必 须 做 出 当 机 立 断 的 抉 择 了 。最 小 二 乘 法 的 发 现 为 他 向 数 学 靠 近 建 立 了 信 心 , 但是 , 还 不 足 以 将 他 的 爱 心 全 部 转 向 过 去 , 因 为 他 对 文 学 的感 情 并 非 泛 泛 , 不 可 能 轻 易 与 它 分 手 。就 在 高 斯 犹 豫 不 决 而 与 两 者 之 一 难 舍 难 分 的 痛 苦 时刻 , 一 个 前 所 未 有 的 作 图 问 题 待 他 解 决 , 于 是 , 在 他 面 临重 大 的 彷 徨 关 头 , 一 锤 定 音 了 。远 在 两 千 多 年 前 , 欧 几 里 得 就 指 出 , 使 用 直 尺 和 圆规 , 可 以 画 出 正 三 、 四 、 五 和 十 五 边 形 , 以 及 通 过 反 复 二等 分 这 些 边 所 求 得 的 多 边 形 , 而 对 于 其 余 正 多 边 形 则 束 手无 策 , 例 如 作 正 七 、 九 、 十 一 、 十 四 和 十 七 边 形 等 , 认 为那 也 许 是 不 可 能 的 。 高 斯 看 到 欧 几 里 得 时 代 以 后 两 千 多 年间 竟 没 有 解 决 这 问 题 , 觉 得 非 常 惊 奇 , 经 过 一 番 努 力 , 他应 用 自 己 创 立 的 解 形 如-1=0 的 二 项 方 程 的 代 数 理论 , 判 定 正 十 七 边 形 是 可 以 作 出 的 。高 斯 用 几 何 与 代 数 相 结 合 的 巧 妙 方 法 , 于 1796 年 3月 到 底 得 到 一 个 叱 咤 风 云 的 结 果 : 用 直 尺 和 圆 规 作 出 圆 内237


接 正 十 七 边 形 。正 十 七 边 形 的 作 图 成 功 使 高 斯 自 己 得 到 极 大 鼓 舞 , 振奋 不 已 , 于 是 , 从 此 更 进 一 步 树 立 了 征 服 数 学 的 坚 定 信念 , 终 于 决 定 放 弃 对 古 典 文 学 的 研 究 , 而 投 身 数 学 领 域 。后 来 , 为 了 纪 念 高 斯 的 这 一 重 大 成 就 , 哥 廷 根 大 学 建 立 了一 个 以 正 十 七 边 形 棱 柱 为 底 座 的 高 斯 纪 念 像 , 供 世 人 千 秋瞻 仰 。认 识 数 学 的 最 好 途 径与 高 斯 同 年 代 的 法 国 数 学 家 拉 普 拉 斯 曾 经 对 青 年 学 生们 说 :“ 读 读 欧 拉 , 他 是 我 们 一 切 人 的 老 师 。” 那 么 , 高 斯对 欧 拉 有 什 么 认 识 呢 ?高 斯 从 来 不 放 过 欧 拉 成 果 的 精 髓 , 哪 怕 是 一 个 小 小 的问 题 。人 们 记 得 , 当 年 费 马 想 用 一 个 式 子 表 述 质 数 而 提 出“ 费 马 数 ” +1, 可 是 , 他 失 误 了 , 是 欧 拉 , 推 翻 了 费马 的 猜 测 , 指 出 费 马 数 并 不 能 作 为 寻 求 质 数 的 阶 梯 。时 过 境 迁 。 费 马 数 的 扬 抑 已 经 成 为 人 们 记 忆 中 的 历史 , 昔 日 噪 及 一 时 的 欧 拉 旋 风 如 同 过 眼 云 烟 那 样 被 人 淡忘 。 如 此 说 来 , 费 马 数 并 不 具 有 什 么 实 际 意 义 了 ?不 , 高 斯 并 不 那 么 看 。 单 纯 地 对 待 费 马 数 风 波 , 那 就偃 旗 息 鼓 了 , 但 是 , 高 斯 作 出 正 十 七 边 形 , 这 一 个 何 等 重238


大 的 收 获 呀 ,17—— 一 个 多 么 奇 妙 的 质 数 ! 它 竟 然 就 是 当n=2 时 的 费 马 数 。确 实 , 如 果 不 是 高 斯 , 那 么 , 自 欧 拉 推 翻 费 马 的 这 个猜 想 之 后 , 费 马 数 自 然 是 要 被 束 之 高 阁 的 。 可 是 , 出 现 了喜 欢 寻 根 溯 源 的 高 斯 , 情 况 便 完 全 不 同 了 , 不 灭 的 余 烬 又重 新 燎 着 , 照 亮 了 数 学 家 前 进 的 道 路 。对 于 费 马 数 , 当 n=0、n=1 时 为 3、5, 而 正 三 、五 边 形 原 是 能 够 作 出 图 的 , 这 么 说 , 也 许 世 人 已 找 到 的 仅有 五 个 为 质 数 的 费 马 数 与 正 多 边 形 作 图 都 有 关 系 ? 果 真 是这 样 吗 ?欧 拉 关 于 费 马 数 的 研 究 对 高 斯 的 启 发 非 小 , 经 过 继 续努 力 , 终 于 导 致 一 个 重 要 的 高 斯 定 理 的 产 生 , 这 个 定 理称 :凡 边 数 为 质 数 的 费 马 数 的 圆 内 接 正 多 边 形 , 都 可 以 用直 尺 和 圆 规 作 图 。适 应 以 上 定 理 的 正 多 边 形 共 有 五 种 , 即 边 数 为 3、5、17、257 和 65537。除 了 欧 拉 关 于 费 马 数 的 研 究 之 外 ,“ 欧 拉 二 次 互 反 律 ”同 样 引 起 高 斯 的 极 大 兴 趣 , 甚 至 达 到 如 醉 如 痴 的 地 步 。那 是 在 欧 拉 晚 年 , 他 听 说 一 则 故 事 : 在 一 次 操 练 时 ,所 有 士 兵 共 有 多 少 人 , 谁 也 不 知 道 , 但 正 好 可 以 排 成 一 个方 阵 ; 现 在 , 要 从 中 抽 掉 a 人 , 并 将 剩 余 的 人 排 成 每 行m 人 的 队 伍 , 却 正 好 排 成 满 行 , 问 这 个 问 题 怎 样 解 决 ?239


从 这 则 故 事 的 引 伸 ,1783 年 , 欧 拉 提 出 一 条 著 名 定理 , 即 后 来 被 称 为 “ 欧 拉 二 次 互 反 律 ” 的 定 理 , 它 的 内 容是 :若 m,n 是 两 个 不 同 的 奇 质 数 , 那 么 m、a 中 只 要有 一 个 是 形 如 4k+1 的 数 , 则 如 =my+a 有 解 或 无解 ,=ay+m 相 应 地 亦 有 解 或 无 解 ;m、a 都 是 形 如4k+3 的 数 , 则 知 =my+a 有 解 或 无 解 , =ay 十 m相 应 地 却 为 无 解 或 有 解 。可 是 , 年 迈 的 欧 拉 已 经 来 不 及 去 证 明 这 个 定 理 了 ( 就在 1783 年 , 欧 拉 离 开 了 人 间 )。这 个 定 理 是 如 此 重 要 和 美 妙 , 自 然 深 深 地 吸 引 高 斯 ,他 为 欧 拉 未 能 完 成 它 的 证 明 惋 惜 不 已 , 决 心 继 承 欧 拉 的 未竟 工 作 。高 斯 看 出 二 次 互 反 律 的 意 义 深 远 , 称 它 为 “ 黄 金 定理 ”, 就 在 1796 年 做 出 证 明 , 当 时 他 才 19 岁 。 证 明 二 次互 反 律 又 是 高 斯 一 生 中 最 得 意 的 杰 作 之 一 , 在 他 的 一 生 中曾 用 八 种 不 同 的 方 法 去 证 明 它 。 后 来 德 国 数 学 家 克 罗 内 克评 论 高 斯 的 证 明 时 说 :“ 真 想 不 到 , 一 个 这 么 年 轻 的 人 能 够 独 自 取 得 如 此 丰硕 的 成 果 , 尤 其 是 对 一 一 个 崭 新 的 学 科 提 出 如 此 深 远 而 结 构严 谨 的 论 述 。”然 而 , 后 来 高 斯 却 说 :“ 学 习 欧 拉 的 著 作 乃 是 认 识 数 学 的 最 好 途 径 , 没 有 什240


么 别 的 可 以 代 替 它 。”尤 里 卡 !高 斯 惊 人 的 早 慧 历 来 为 他 所 处 的 年 代 以 及 后 代 许 多 数学 家 所 赞 叹 , 但 是 , 他 富 有 开 拓 性 的 各 种 成 就 却 与 勤 奋 努力 分 不 开 , 在 学 生 时 代 , 他 好 学 不 倦 和 进 取 不 止 的 精 神 就为 教 师 和 同 学 所 垂 青 和 仰 慕 。 他 所 进 行 的 研 究 工 作 甚 多 是触 及 前 人 久 未 解 决 的 悬 案 , 或 是 自 己 开 创 的 理 论 新 领 域 ,普 遍 具 有 相 当 高 的 难 度 。对 正 十 七 边 形 的 作 图 、 证 明 二 次 互 反 律 只 是 高 斯 早 期成 果 的 一 点 小 插 曲 , 而 同 样 精 彩 的 表 演 也 见 于 他 证 得 费 马的 一 项 命 题 : 凡 自 然 数 都 是 三 个 三 角 形 数 之 和 。费 马 身 后 有 多 少 优 秀 数 学 家 为 它 所 倾 倒 啊 ! 但 是 , 经过 了 一 百 多 年 , 却 在 1796 年 由 19 岁 的 高 斯 解 决 了 。 他 在同 年 7 月 10 日 的 日 记 中 写 下 心 情 激 动 的 记 述 :“ 尤 里 卡 ! 数 =Δ+Δ+Δ”“ 尤 里 卡 ” 就 是 “ 我 找 到 了 ” 的 意 思 , 当 初 阿 基 米 德在 就 浴 时 悟 出 浮 力 定 律 , 就 是 带 着 欣 喜 若 狂 的 心 情 高 喊“ 尤 里 卡 , 尤 里 卡 ……” 奔 出 澡 堂 的 。然 而 , 尤 里 卡 的 意 义 远 不 在 于 高 斯 的 这 种 心 情 进 发 现象 。 由 于 证 明 了 这 个 美 妙 的 命 题 , 高 斯 对 数 论 倍 加 青 睐 ,甚 至 达 到 偏 爱 的 程 度 ; 同 时 , 对 数 论 的 研 究 益 发 信 心 十 足241


了 。首 先 , 他 对 同 余 理 论 进 行 探 讨 , 并 作 大 范 围 的 发 挥 ,拟 定 了 著 名 的 同 余 符 号 , 予 以 实 际 应 用 。 他 给 同 余 式 下 了定 义 : “ 如 果 数 口 可 以 除 尽 b、 C 二 数 之 差 , 就 说 b、c 对于 a 是 同 余 的 ; 否 则 就 说 是 非 同 余 的 。 口 称 为 模 , 在 前 一情 形 下 b 和 C 二 数 中 每 个 数 称 为 另 一 数 的 剩 余 , 在 后 一 种情 形 中 则 称 为 非 剩 余 。” 于 是 , 他 提 到 记 法 :“ 今 后 我 将 用符 号来 表 示 两 个 数 的 同 余 式 , 模 则 放 在 括 弧 内 , 如一 般 地 说 , 高 斯 记 法 就 是 现 在 所 用 的 形 式 。 当 a、b和 m 是 整 数 时 , 如 果 a—b 恰 可 被 rn 整 除 , 或 者 如 果 a和 b 被 m 除 时 具 有 相 同 的 余 数 , 则 可 将 同 余 式 写 成中 国 古 代 流 行 的 “ 剪 管 术 ” 可 以 用 来 通 俗 地 说 明 高 斯记 法 的 意 义 。 剪 管 术 实 际 上 是 一 则 有 趣 的 神 话 故 事 : 一天 , 王 母 娘 娘 把 织 女 找 来 , 交 给 四 条 很 长 很 长 的 中 空 线 ,这 种 线 其 实 就 是 玉 制 的 薄 管 ( 以 现 代 穿 电 线 所 用 的 细 塑 料管 做 比 喻 , 再 恰 当 不 过 了 ), 她 对 织 女 说 :“ 这 四 条 线 是 一样 长 的 , 拿 去 作 为 编 织 珠 帘 的 辅 助 材 料 吧 !” 根 据 珠 帘 花样 的 需 要 , 织 女 把 这 四 条 “ 管 线 ” 分 别 按 每 2、5、7、9寸 一 段 一 段 剪 下 来 , 发 现 每 条 管 线 相 应 地 余 下 1、2、3、4 寸 。 珠 帘 织 成 后 , 王 母 娘 娘 突 然 问 织 女 :“ 我 给 你 的 每条 线 最 短 的 有 多 长 呢 ?” 织 女 不 但 手 巧 , 而 且 心 灵 , 掐 指242


片 刻 , 便 报 出 数 来 , 为 33 丈 零 七 寸 。按 现 代 数 学 方 法 , 剪 管 术 的 故 事 相 当 于 求 解 不 定 方 程x=2y+1=5z+2=7w+3=9v+4而 应 用 高 斯 记 法 , 就 是然 后 通 过 一 元 一 次 同 余 方 程 解 法 求 解 。对 于 高 斯 来 说 ,“ 尤 里 卡 ” 何 止 “ 凡 自 然 数 都 是 三 个三 角 形 数 之 和 ”, 它 的 意 义 已 大 大 超 越 这 项 命 题 了 。 同 余式 理 论 的 发 展 、 所 有 形 如 8k+3 的 数 都 是 三 个 奇 平 方 数 ,的 和 ,…… 许 多 数 论 问 题 都 由 于 那 次 “ 尤 里 卡 ” 而 产 生了 。高 斯 说 过 的 以 下 几 句 话 足 以 表 达 他 的 心 情 :“ 数 学 是科 学 的 女 王 , 而 数 论 则 是 数 学 的 女 王 。 它 常 屈 尊 去 为 天 文学 和 其 它 自 然 科 学 效 劳 , 但 在 所 有 的 关 系 中 , 它 都 堪 称 第一 ”高 斯 的 论 点 和 成 果 向 来 以 高 度 严 密 性 著 称 , 这 与 他 在中 学 时 代 听 到 的 一 则 故 事 不 无 关 系 , 那 则 故 事 说 :老 人 眼 看 就 不 行 了 , 于 是 , 他 把 两 个 儿 子 叫 到 病 榻 前说 : “ 那 块 珍 宝 , 知 道 吗 ? 那 是 无 价 之 宝 , 归 你 们 二 人 所有 了 , 每 人 轮 流 保 管 一 年 吧 !” 哥 俩 按 父 亲 弥 留 之 际 的 遗243


嘱 办 了 。 但 是 , 就 所 有 权 说 , 似 乎 每 人 所 得 的 应 是 珍 宝 的; 不 过 , 谁 也 得 不 到 它 , 那 么 , 所 得 应 是 0; 可 是 , 有时 却 能 拥 有 它 的 整 体 , 那 就 是 说 , 所 得 应 是 1。 到 底 是、0 或 1 , 哪 个 数 正 确 呢 ?真 是 难 为 那 位 比 萨 大 学 教 授 格 兰 弟 (1671—1742)哪 , 居 然 会 挖 空 心 思 地 编 构 出 这 样 一 则 令 人 捉 摸 不 定 、 莫辨 是 非 的 故 事 。 可 是 , 要 知 道 他 是 遇 到 麻 烦 的 呀 1 1703年 , 有 人 请 教 他 :1-1+1-1+1-1+1-1+…… 是 多 少呢 ?格 兰 弟 用 以 下 式 子 说 明 答 案 应 是当 z=l 时 , 可 写 成然 而 , 那 人 告 诉 他 , 答 案 似 乎 应 该 是 0, 看 看 下 式 便知 :1-1+1-1 十 1-1+1-1+……=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+……=0+0+0+0+……=0接 着 , 那 人 又 告 诉 他 , 另 有 他 人 说 答 案 是 1, 根 据 下式 确 定 :244


1-1+1-1+1-1+1-1+……1=1-(1-1)-(1-1)-(1-1)-(1-)-……=1正 因 为 有 以 上 三 种 似 是 而 非 的 结 果 , 格 兰 弟 才 道 来 那则 形 象 生 动 的 故 事 。高 斯 从 这 则 故 事 领 悟 到 持 数 严 谨 的 重 要 性 , 他 还 认 识到 , 如 果 不 加 鉴 别 地 引 用 某 些 数 学 论 点 就 可 能 导 致 荒 谬 的结 论 。 因 而 他 毕 生 的 全 部 工 作 都 是 在 追 求 严 密 性 的 过 程 中进 行 的 。1801 年 , 高 斯 酝 酿 多 年 的 名 著 《 算 术 探 究 > 问 世 了 。这 部 书 共 分 七 章 , 都 是 属 于 讨 论 数 论 的 范 畴 , 头 四 章 专 讲各 种 不 同 情 况 下 的 同 余 式 理 论 , 第 五 和 第 六 两 章 讨 论 二 元和 三 元 二 次 不 定 方 程 的 整 数 解 , 最 后 一 章 《 论 等 分 圆 周 方程 > 是 全 书 的 精 华 , 它 是 研 究 如 何 将 一 圆 周 分 成 若 干 等 份的 问 题 , 亦 即 作 若 干 边 正 多 边 形 的 问 题 , 在 他 19 岁 那 年已 解 决 。 对 于 第 七 章 , 他 做 了 着 重 说 明 :“ 作 为 这 一 部 分之 内 容 的 圆 周 分 割 理 论 或 正 多 边 形 的 作 图 理 论 , 并 不 完 全属 于 算 术 的 内 容 …… 但 是 对 几 何 学 家 说 来 , 这 些 结 果 和 由此 发 展 起 来 的 新 真 理 同 样 令 人 感 到 意 外 , 我 希 望 他 们 能 愉快 地 加 以 理 解 。”《 算 术 探 究 》 灌 输 了 高 斯 的 大 量 心 血 , 他 自 己 尽 量 做到 无 疵 可 摘 , 反 复 检 查 , 再 三 核 对 , 力 求 完 善 无 误 , 但 在序 言 中 仍 然 不 乏 谦 恭 之 辞 , 以 就 教 于 各 位 数 学 先 辈 。245


《 算 术 探 究 》 立 即 使 高 斯 置 身 于 第 一 流 的 数 学 家 之列 , 它 在 数 论 领 域 中 揭 开 了 一 个 热 烈 活 动 的 时 期 。 至 于 高斯 本 人 , 他 犹 如 少 年 及 第 , 春 风 得 意 马 蹄 疾 , 他 成 功 了 !但 他 没 有 陶 醉 。当 时 , 数 学 权 威 人 士 都 集 中 在 巴 黎 科 学 院 , 为 了 争 得指 导 性 意 见 , 他 便 向 巴 黎 科 学 院 寄 赠 该 书 。 出 乎 意 料 之外 , 受 理 审 阅 的 那 位 老 先 生 听 说 作 者 是 一 个 年 仅 24 岁 的青 年 , 并 不 认 真 看 待 , 即 将 原 著 退 回 , 而 且 在 意 见 表 中 写了 许 多 讪 笑 的 言 词 。巴 黎 科 学 院 当 事 者 过 激 的 傲 慢 态 度 引 起 高 斯 的 无 比 反感 和 愤 怒 , 同 时 感 到 自 尊 心 受 到 极 大 损 害 。 可 是 , 高 斯 所受 的 这 当 头 一 棒 , 却 使 数 学 界 无 端 蒙 受 不 可 弥 补 的 损 失 ,因 为 从 此 以 后 , 高 斯 有 许 多 重 要 成 果 都 不 愿 意 公 开 发表 。一 个 伟 人 的 悲 剧后 人 怎 样 评 价 《 算 术 探 究 》 呢 ? 人 们 认 为 , 这 部 书 奠定 了 近 代 数 论 的 基 础 , 应 列 为 历 史 上 最 有 代 表 性 的 数 学 著作 之 一 , 它 在 数 论 上 的 贡 献 堪 与 欧 几 里 得 的 《 几 何 原 本 》在 几 何 学 上 的 贡 献 相 媲 美 。 可 以 说 , 这 书 给 数 论 研 究 揭 开了 一 个 新 纪 元 , 在 以 后 一 百 年 左 右 的 时 间 里 , 这 个 领 域 中几 乎 所 有 发 现 都 可 以 直 接 追 溯 到 高 斯 的 研 究 范 畴 里 去 。246


既 然 《 算 术 探 究 》 有 如 此 高 水 平 , 难 道 巴 黎 科 学 院 的数 学 家 视 而 不 见 ? 仅 仅 只 是 由 于 高 斯 是 个 名 不 见 经 传 的 年轻 人 就 断 然 拒 绝 接 受 ?高 斯 行 文 , 一 向 以 精 炼 完 美 著 称 , 他 说 过 “ 瑰 丽 的 大厦 建 成 后 , 应 拆 除 杂 乱 无 章 的 脚 手 架 ”。 这 固 然 是 好 事 ,但 是 过 于 简 洁 , 却 给 后 人 理 解 某 些 问 题 的 发 展 过 程 和 思 想方 法 以 及 具 体 内 容 造 成 困 难 。 因 此 , 德 国 数 学 家 雅 可 比(1804—1851) 曾 说 :“ 他 的 证 明 是 僵 硬 地 冻 结 着 , 人 们 必须 将 它 们 融 化 出 来 。” 挪 威 数 堂 家 阿 贝 尔 (1802—1829)则 说 : “ 高 斯 像 只 狐 狸 , 用 尾 巴 扫 砂 子 来 掩 盖 自 己 的 足迹 。”也 许 , 巴 黎 科 学 院 的 数 学 家 对 高 斯 的 成 果 并 没 有 充 分认 识 , 才 予 以 摈 弃 , 可 是 , 作 为 数 学 伟 人 的 高 斯 , 不 能 用宽 容 大 度 的 胸 怀 去 容 纳 异 己 , 实 是 历 史 上 的 一 大 悲 剧 。 他认 为 如 果 发 表 了 那 些 别 人 尚 难 理 解 的 东 西 ,“ 黄 蜂 就 会 围着 耳 朵 飞 ”,“ 引 起 比 俄 喜 亚 人 ( 喻 蠢 人 ) 的 叫 喊 ”, 他 总是 去 避 免 “ 无 谓 ” 的 争 论 , 而 忽 略 了 许 多 科 学 成 就 都 是 在争 论 之 中 臻 于 完 善 的 。由 于 高 斯 过 于 谨 慎 从 事 , 推 迟 了 非 欧 几 何 的 出 现 , 也给 数 学 进 展 造 成 一 定 损 失 。自 从 欧 几 里 得 建 立 几 何 学 基 础 以 来 , 人 们 咸 以 《 几 何原 本 》 为 经 典 , 但 是 其 中 的 第 五 条 公 设 远 不 如 其 它 公 设 简单 明 白 , 因 此 , 是 不 是 可 以 证 明 这 条 公 设 历 来 是 数 学 家 们247


研 究 的 重 要 课 题 。 高 斯 的 同 学 、 匈 牙 利 数 学 家 发 克 斯 · 鲍耶 (1775— 1856) 致 力 第 五 公 设 的 证 明 , 历 时 数 载 , 毫 无收 获 。 1804 年 , 他 曾 经 将 试 证 资 料 寄 给 高 斯 , 高 斯 指 出错 误 之 处 ; 那 时 , 高 斯 已 认 识 到 证 明 是 不 可 能 的 , 并 且 有了 新 的 思 路 。 1815 年 , 高 斯 在 《 哥 廷 根 学 报 》 发 表 的 一篇 书 评 中 暗 示 过 非 欧 几 何 的 雏 影 , 以 后 在 某 些 文 章 和 致 友人 的 信 件 中 又 几 次 提 到 过 。非 欧 几 何 是 传 统 的 欧 几 里 得 几 何 之 外 的 一 个 新 体 系 ,难 于 被 人 们 所 接 受 , 因 此 , 高 斯 怕 “ 引 起 比 俄 喜 亚 人 的 叫喊 ”, 始 终 不 愿 正 面 公 开 发 有 自 己 的 成 果 。 许 多 年 后 , 发克 斯 的 儿 子 约 翰 · 鲍 耶 (1802— 1860) 创 立 非 欧 几 何 的 学说 , 并 写 出 论 文 , 作 为 其 父 亲 著 作 《 数 学 原 理 摘 记 》 的 附录 发 表 。 高 斯 看 到 这 篇 论 文 , 对 小 鲍 耶 出 众 才 能 评 价 很高 , 但 他 致 函 老 鲍 耶 说 , 他 不 能 赞 扬 这 篇 论 文 , 因 为 如 果这 样 做 , 就 等 于 夸 耀 他 本 人 三 十 年 前 的 工 作 。 为 此 , 约翰 · 鲍 耶 伤 透 了 心 , 他 一 生 都 带 着 难 以 磨 灭 的 沉 重 心 情 活着 , 而 这 位 对 数 学 发 展 做 出 巨 大 贡 献 的 数 学 家 , 在 去 世 之后 , 有 人 给 他 下 个 评 语 :“ 此 人 的 一 生 没 有 什 么 意 义 。”几 乎 与 此 同 时 , 俄 国 数 学 家 罗 巴 契 夫 斯 基 (1792—1856) 也 发 表 开 创 非 欧 几 何 的 理 论 。 高 斯 少 年 时 代 的 好 友巴 特 尔 斯 主 持 过 喀 山 大 学 的 数 学 讲 座 , 罗 巴 契 夫 斯 基 曾 是他 的 学 生 。 高 斯 对 罗 巴 契 夫 斯 基 也 是 赞 誉 备 至 , 可 就 是 在非 欧 几 何 遭 到 非 难 时 , 没 有 公 开 地 支 持 他 。248


非 欧 几 何 得 到 世 人 的 承 认 是 在 创 立 人 高 斯 、 罗 巴 契 夫斯 基 、 鲍 耶 去 世 之 后 。 试 想 , 曾 经 被 推 崇 为 “ 数 学 家 之王 ” 的 高 斯 如 果 肯 站 出 来 , 那 么 , 靠 他 的 声 望 和 数 学 界 对他 的 信 任 感 , 非 欧 几 何 的 命 运 绝 对 不 会 落 得 如 此 乖 蹇 。天 文 学 家 慌 了 手 脚在 茫 茫 的 宇 宙 中 , 星 宿 是 各 有 定 位 的 , 根 据 观 测 结果 , 天 文 学 家 们 深 信 不 疑 。1781 年 之 前 , 人 们 只 知 道 五大 行 星 , 即 水 星 、 金 星 、 火 星 、 木 星 和 土 星 , 在 太 阳 系中 , 它 们 离 太 阳 的 距 离 分 别 如 图 49 所 示 , 设 地 球 与 太 阳之 间 的 平 均 距 离 为 10, 那 么 , 按 长 度 比 例 计 , 各 行 星 离太 阳 的 距 离 就 按 序 如 图 中 所 示 的 3.9、7.2、10、15.2、52、95.4( 其 中 包 括 地 球 共 六 个 行 星 )。图 4 9近 似 地 , 可 按 以 下 六 个 数 取 整 :4,7,10,16,52,100于 是 , 从 水 星 开 始 计 算 距 离 , 各 行 星 离 水 星 的 距 离 就按 序 如 图 50 所 示 , 分 别 为 :249


3,6,12,48,96图 5 01772 年 , 柏 林 天 文 台 台 长 、 德 国 天 文 学 家 波 德(1747—1826) 总 结 前 人 经 验 , 整 理 发 表 了 一 个 “ 波 德 定律 ”, 提 供 各 行 星 间 的 相 对 距 离 , 就 是 以 上 序 列 。这 样 的 序 列 表 明 , 如 果 在 12 与 48 之 间 加 一 个 24,则 每 一 项 都 是 前 一 项 的 二 倍 。 事 实 上 , 这 序 列 的 数 与 实 际距 离 非 常 接 近 , 可 从 图 49 和 图 50 比 较 看 出 。 按 这 种 序 列写 下 去 , 就 有3,6,12,24,48,96,192……1781 年 , 天 王 星 被 发 现 , 它 与 太 阳 的 实 际 距 离 为192, 即 离 水 星 188, 这 个 数 按 波 德 定 律 计 算 的 192 甚 为接 近 ( 后 来 知 道 波 德 定 律 不 适 用 于 天 王 星 以 远 的 海 王 星 、冥 王 星 等 ), 人 们 觉 得 波 德 定 律 可 行 , 于 是 , 注 意 力 便 集中 于 寻 找 离 水 星 “24” 处 那 颗 空 缺 的 行 星 了 。天 文 学 家 足 足 忙 碌 了 20 年 , 那 颗 行 星 的 踪 迹 杳 然 。但 是 , 功 夫 不 负 苦 心 人 , 终 于 在 19 世 纪 的 第 一 个 晚 上 ,即 1801 年 1 月 1 日 晚 上 , 意 大 利 天 文 学 家 皮 亚 齐(1746—1826) 在 核 对 星 图 的 作 业 时 , 偶 然 在 “24” 位 置250


上 发 现 了 一 颗 素 未 谋 面 的 陌 生 行 星 , 可 是 第 二 天 已 向 西 移动 , 以 后 他 连 续 观 测 了 40 天 , 一 直 到 2 月 11 日 , 自 己 也因 劳 累 病 倒 , 与 那 颗 行 星 暂 别 了 。那 时 皮 亚 齐 是 在 西 西 里 岛 , 便 把 观 测 结 果 写 信 通 报 全欧 天 文 学 家 , 请 求 动 员 更 多 的 力 量 去 寻 找 那 颗 行 星 。 遗 憾的 是 , 由 于 当 时 战 事 发 生 , 地 中 海 被 封 锁 , 因 此 , 一 直 到1801 年 9 月 , 大 陆 上 的 天 文 学 家 才 得 到 消 息 , 大 受 震 动 ,全 都 慌 了 手 脚 , 虽 然 做 了 很 大 努 力 , 但 天 宇 渺 渺 , 芳 踪 已难 寻 觅 。于 是 , 出 现 一 个 摆 在 天 文 学 家 面 前 急 待 解 决 的 问 题 :怎 样 根 据 皮 亚 齐 提 供 的 极 少 量 数 据 来 计 算 出 该 星 体 运 行 轨道 呢 ?24 岁 的 高 斯 极 有 兴 趣 地 参 加 了 解 决 这 个 问 题 的 行 列 ,他 花 费 了 几 个 星 期 的 时 间 , 终 于 创 导 了 一 种 只 需 有 限 观 测数 据 就 能 确 定 该 星 运 行 轨 道 的 方 法 。 人 们 追 循 高 斯 算 出 的轨 道 跟 踪 , 果 然 在 1801 年 12 月 7 日 找 到 那 颗 久 违 的 行星 , 它 的 实 际 位 置 在 离 水 星 “23.7” 处 。这 是 人 类 发 现 的 第 一 颗 小 行 星 , 被 取 名 为 “ 谷 神 星 ”。1802 年 , 高 斯 又 用 改 进 了 的 方 法 计 算 出 第 二 颗 小 行 星“ 智 神 星 ” 的 运 动 轨 道 , 在 这 次 计 算 中 考 虑 了 太 阳 系 其 它行 星 所 产 生 的 摄 动 影 响 。251


名 垂 千 秋1807 年 , 高 斯 受 聘 为 哥 廷 根 大 学 教 授 , 并 担 任 新 建天 文 台 台 长 , 除 了 短 期 任 汉 诺 威 和 丹 麦 政 府 的 科 学 顾 问 之外 , 基 本 上 是 在 母 校 执 教 , 直 到 1855 年 2 月 23 日 逝 世 为止 。 他 的 一 生 是 奋 斗 不 息 的 一 生 , 也 是 为 数 不 多 的 、 具 有强 烈 开 拓 精 神 的 数 学 家 之 一 。 他 知 多 言 少 以 及 埋 头 苦 干 、不 抢 风 头 的 品 质 也 堪 为 后 人 的 楷 模 。高 斯 学 识 渊 博 , 不 单 对 于 数 学 贡 献 甚 大 , 其 它 学 科 如天 文 学 、 磁 学 、 测 量 学 等 也 多 有 建 树 , 他 一 生 中 发 表 了155 种 论 著 , 还 有 不 少 著 作 未 正 式 问 世 , 是 他 去 世 后 由 别人 整 理 出 版 的 。 他 开 创 的 哥 廷 根 学 派 培 养 出 几 代 卓 越 的 数学 家 , 如 黎 曼 (1926—1866)、 克 莱 茵 (1849—1925)、 希尔 伯 特 等 犹 如 群 星 璀 璨 , 以 致 该 派 学 人 常 自 豪 地 宣 称 :“ 哥 廷 根 以 外 无 生 活 ”。 而 他 本 人 则 被 赞 誉 说 :“ 在 数 学 世界 里 , 高 斯 处 处 留 芳 。”高 斯 逝 世 时 , 当 时 的 汉 诺 威 公 爵 发 行 了 一 种 纪 念 币 ,上 面 写 着 :“ 汉 诺 威 数 学 家 之 王 ”。 无 需 解 释 , 人 们 知 道 这指 的 就 是 高 斯 。沃 特 豪 森 在 为 高 斯 所 致 的 讣 告 中 说 :“ 他 总 是 努 力 使 其 研 究 成 果 成 为 完 善 的 艺 术 品 。 除 非他 做 到 这 点 , 否 则 他 决 不 罢 休 。 因 此 , 他 从 不 出 版 达 不 到252


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他 所 希 望 的 形 式 的 作 品 ……”的 确 , 他 总 是 把 每 一 种 数 学 讨 论 压 缩 成 最 简 洁 、 优 美的 形 式 , 从 下 例 可 见 一 斑 :1836 年 8 月 , 他 的 好 友 舒 马 赫 来 信 说 , 关 于 通 过 椭圆 外 一 点 作 它 的 切 线 , 勒 姆 柯 尔 有 一 种 方 法 ( 图 51 的 上图 ): 过 P 点 画 出 任 意 四 条 割 线 PAlBl、PA282、PA383、PA484; 连 A182、A281 交 于 C 点 , 连 A3P4、A483 交 于 D 点 , 连 C、D 交 椭 圆 的 点 Ql、Q2 即 是 切点 , 从 而 可 得 切 线 PQl、PQ2。舒 马 赫 说 :“ 这 是 很 漂 亮 的 解 法 。 不 过 , 我 看 有 三 条割 线 就 够 了 , 因 为 这 样 也 能 得 到 C、D 两 点 。”( 图 51 的中 图 )可 是 , 收 到 信 六 天 后 , 高 斯 致 舒 马 赫 的 信 中 却 说 :“ 其 实 , 只 需 两 条 割 线 就 能 得 到 C、D 两 点 。”( 图 51 的下 图 )数 学 研 究 需 要 思 想 高 度 集 中 , 高 斯 时 常 沉 浸 在 无 比 美妙 的 静 谧 环 境 里 。1807 年 , 他 的 妻 子 临 终 前 , 他 正 在 专心 致 志 地 埋 头 于 某 一 命 题 的 探 讨 , 有 人 告 诉 他 , 夫 人 快 咽气 了 , 可 是 , 他 却 说 :“ 去 跟 她 说 , 请 她 稍 等 一 会 儿 , 我马 上 就 好 了 。”高 斯 的 家 庭 很 不 幸 , 先 后 两 个 妻 子 都 在 年 纪 轻 轻 时 死去 ; 他 有 过 六 个 子 女 , 可 只 有 一 个 死 在 他 的 后 头 。高 斯 灵 敏 的 思 维 一 直 保 持 到 生 命 的 最 后 一 刻 , 他 晚 年 自254


学 俄 语 达 到 写 作 水 平 , 有 许 多 创 见 是 在 年 逾 古 稀 时 完 成 的 。图 51255


希 尔 伯 特 —— 引 导 数 学 继 往 开 来我 们 必 须 知 道 。 我 们 必 将 知 道 。—— 希 尔 伯 特 ——向 往 自 由在 数 学 发 展 的 进 程 中 , 哥 尼 斯 堡 城 是 非 常 令 人 神 往 的去 处 , 当 年 欧 拉 就 是 在 这 儿 首 创 拓 扑 学 的 。1862 年 1 月 23 日 , 这 座 古 老 的 城 市 又 增 添 了 新 的 色彩 。 就 在 这 天 , 一 个 非 同 小 可 的 天 才 人 物 诞 生 了 , 他 的 姓名 是 大 卫 · 希 尔 伯 特 。小 希 尔 伯 特 出 生 在 一 个 具 在 典 型 的 严 父 慈 母 的 家 庭 。父 亲 是 法 官 , 给 予 儿 子 的 早 期 教 诲 自 然 是 循 规 蹈 矩 的 正 当品 行 , 准 时 、 节 俭 、 勤 奋 、 遵 纪 守 法 、 信 守 义 务 等 都 是 必不 可 少 的 起 码 要 求 ; 按 照 老 希 尔 伯 特 的 期 望 , 儿 子 将 来 一定 克 绍 箕 裘 , 成 为 一 名 出 色 的 法 官 。 母 亲 虽 然 出 身 商 贾 之门 , 但 却 由 于 知 书 达 礼 而 颇 具 大 家 闺 秀 的 风 范 , 她 对 哲 学和 天 文 学 有 兴 趣 , 而 尤 其 迷 恋 质 数 , 常 常 讲 些 “ 第 一 等256


数 ” 的 故 事 给 幼 小 的 儿 子 听 ; 在 夏 夜 里 , 小 希 尔 伯 特 在 梦幻 般 的 众 多 星 座 下 面 听 母 亲 讲 述 各 路 星 神 的 传 说 , 真 是 如醉 如 痴 , 而 母 亲 所 谓 的 那 种 第 一 等 数 原 来 就 是 质 数 , 它 更是 深 深 地 渗 入 他 纯 真 的 、 白 纸 般 的 心 灵 之 中 , 也 许 , 母 亲的 爱 、 母 亲 的 期 望 全 都 灌 注 在 这 样 无 形 的 期 待 之 中 了 。在 希 尔 伯 特 少 年 时 代 , 德 国 人 如 果 希 望 将 来 成 为 牧师 、 大 学 教 授 或 某 一 方 面 的 专 家 , 都 是 上 预 科 学 校 去 打 好基 础 , 实 际 上 这 就 是 小 学 和 中 学 学 程 。 他 的 双 亲 为 他 选 择一 所 声 誉 极 高 的 皇 家 腓 特 烈 预 科 学 校 , 可 是 , 希 尔 伯 特 却并 不 满 意 , 因 为 这 学 校 的 课 程 因 循 守 旧 , 死 记 硬 背 的 内 容太 多 。 的 确 , 某 些 学 科 是 需 要 将 大 部 分 内 容 强 塞 进 脑 子 中去 的 , 譬 如 说 拉 丁 语 便 是 ; 而 另 一 些 学 科 呢 ? 那 是 灵 活的 、 自 由 的 , 譬 如 说 数 学 , 不 用 说 , 它 变 化 多 端 、 不 拘 泥于 呆 板 的 记 忆 ; 希 尔 伯 特 希 望 自 己 是 翱 翔 蓝 天 的 飞 鸟 , 是翻 波 逐 浪 的 游 鱼 , 可 惜 , 这 所 学 校 太 令 人 失 望 了 , 于 是 ,他 决 意 转 学 去 另 一 所 学 校 。1879 年 5 月 , 预 科 学 校 最 后 一 学 期 开 始 时 , 希 尔 伯特 转 到 威 廉 预 科 学 校 , 这 学 校 很 注 重 数 学 , 这 是 一 门 非 常适 合 他 的 心 意 又 能 给 他 带 来 无 穷 乐 趣 的 学 科 。 短 短 的 一 个学 期 里 , 他 的 整 副 脑 子 都 舒 展 开 了 , 几 乎 所 有 的 课 : 德语 、 拉 丁 语 、 希 腊 语 、 神 学 、 物 理 学 …… 都 得 “ 优 等 ”,数 学 更 好 , 得 “ 超 等 ”; 在 获 取 文 凭 的 毕 业 考 试 中 , 他 的笔 试 成 绩 异 常 出 众 , 以 致 被 破 例 地 免 去 了 口 试 。 毕 业 证 书257


背 面 的 评 语 栏 上 写 道 :“ 对 数 学 表 现 出 极 浓 厚 的 兴 趣 , 而且 理 解 深 刻 : 他 用 非 常 好 的 方 法 掌 握 了 老 师 讲 授 的 内 容 ,并 能 有 把 握 地 、 灵 活 地 应 用 它 们 。”在 当 时 的 德 国 , 哥 尼 斯 堡 大 学 颇 有 名 气 , 当 希 尔 伯 特即 将 成 为 这 所 大 学 的 学 生 时 , 他 毫 不 犹 豫 地 报 学 数 学 专业 , 父 亲 的 期 望 和 初 衷 —— 学 法 律 被 抛 去 九 霄 云 外 了 。哥 尼 斯 堡 大 学 的 生 活 对 希 尔 伯 特 来 说 如 鱼 得 水 , 它 的色 彩 如 此 浪 漫 而 充 满 自 由 , 恰 恰 适 应 他 的 性 格 。 在 这 里 ,学 生 想 学 什 么 就 选 修 什 么 课 , 不 点 名 , 平 时 也 不 考 试 ( 直到 为 取 得 学 位 才 考 一 次 ); 第 二 学 期 起 , 还 可 以 到 其 它 大学 去 听 课 。 就 这 样 , 当 许 多 同 学 利 用 “ 自 由 ” 气 氛 去 将 时间 花 费 在 饮 酒 和 斗 剑 上 时 , 希 尔 伯 特 则 自 由 地 集 中 全 部 精力 学 完 积 分 学 、 矩 阵 论 、 曲 面 几 何 的 曲 率 论 ……, 并 争 取机 会 到 处 聆 听 名 数 学 教 授 的 精 辟 创 见 : 集 合 论 、 单 变 量 代258


数 函 数 的 算 术 理 论 、 数 论 、 函 数 论 、 数 学 物 理 方 法 , 以 及当 时 最 时 髦 的 不 变 量 理 论 ……希 尔 伯 特 得 遂 心 愿 了 , 他 可 自 由 地 选 择 最 适 合 自 己 所追 求 目 标 的 课 程 攻 读 。 转 瞬 之 间 , 八 个 学 期 的 大 学 生 涯 结束 , 此 时 , 羽 毛 已 经 初 丰 了 。博 士 论 文 导 师对 于 有 抱 负 的 青 年 来 说 , 大 学 毕 业 后 接 踵 而 至 的 目 标便 是 向 博 士 学 位 挺 进 , 希 尔 伯 特 也 不 例 外 。 第 一 步 当 然 要选 择 论 文 题 目 , 他 深 知 这 一 步 的 重 要 性 , 因 此 , 早 作 酝 酿并 已 成 竹 在 胸 , 根 据 前 不 久 自 己 喜 爱 的 一 个 课 题 ——“ 连分 数 的 一 种 推 广 ” 研 究 进 程 , 如 今 即 将 瓜 熟 蒂 落 , 于 是 ,便 携 这 个 选 题 征 求 论 文 导 师 的 意 见 。早 在 公 元 前 5 世 纪 , 古 希 腊 哲 学 家 安 那 萨 哥 拉 斯 提 出“ 化 圆 为 方 ” 问 题 起 , 历 经 两 千 多 年 , 人 们 前 赴 后 继 , 始终 找 不 到 一 种 解 决 途 径 。 这 个 问 题 要 求 “ 画 出 面 积 为 一 已知 圆 的 正 方 形 ”, 看 起 来 并 不 复 杂 , 可 是 如 同 德 里 安 悲 剧产 生 的 “ 立 方 倍 积 ” 问 题 一 样 , 困 惑 了 人 们 ( 其 中 包 括 最优 秀 的 数 学 家 ) 这 么 长 时 间 。1882 年 , 德 国 数 学 家 林 德 曼 (1852—1939) 一 鸣 惊人 , 他 证 明 圆 周 率 的 超 越 性 ( 具 有 超 越 性 的 数 : 不 是 某 一个 具 有 整 系 数 的 代 数 方 程 的 根 ), 从 而 说 明 “ 化 圆 为 方 ”259


问 题 是 无 法 解 决 的 , 至 此 , 追 索 这 个 问 题 解 法 的 千 军 万 马才 偃 旗 息 鼓 。希 尔 伯 特 有 幸 在 声 名 显 赫 的 林 德 曼 教 授 门 下 拜 读 , 同样 地 , 林 德 曼 也 有 幸 得 希 尔 伯 特 这 样 的 英 才 而 育 之 。 当下 , 林 德 曼 接 过 希 尔 伯 特 交 来 的 论 文 草 稿 , 沉 吟 了 片 刻 ,问 道 :“ 你 知 道 莱 布 尼 茨 所 推 导 圆 周 率 表 达 式 的 往 事 吗 ? 他将 这 成 果 寄 去 英 国 皇 家 学 会 之 后 才 获 悉 三 年 前 已 有 人 夺 步在 先 ; 还 有 高 斯 , 他 见 到 鲍 耶 关 于 创 立 非 欧 几 何 学 说 的 材料 时 , 说 到 , 这 已 是 他 三 十 年 前 的 工 作 了 。”希 尔 伯 特 一 怔 ! 莱 布 尼 茨 和 高 斯 是 德 国 人 的 骄 傲 , 他们 的 轶 闻 早 在 青 年 学 生 之 间 传 诵 过 , 可 是 , 老 师 为 什 么 要提 到 这 些 ? 难 道 ……“ 可 是 , 希 尔 伯 特 , 你 着 手 研 究 连 分 数 的 这 种 推 广 时 ,为 什 么 没 有 事 先 给 我 打 一 个 招 呼 ?” 教 授 不 无 惋 惜 地 接 着说 :“ 这 个 选 题 不 能 用 。 因 为 雅 可 比 早 就 给 出 这 种 推 广 !”希 尔 伯 特 对 自 己 的 国 人 先 辈 雅 可 比 当 然 是 熟 悉 的 , 他读 过 雅 可 比 许 多 创 造 性 的 著 作 , 其 中 有 若 干 数 论 、 线 性 代数 、 变 分 学 、 微 分 方 程 等 方 面 的 重 要 发 现 , 可 是 , 惭 愧 得很 , 连 分 数 的 这 种 推 广 却 遗 漏 了 。花 费 大 量 时 间 和 精 力 得 到 的 成 果 本 来 已 是 水 到 渠 成 ,如 今 却 像 一 丁 点 泡 沫 付 诸 东 流 了 。几 天 之 后 , 林 德 曼 教 授 唤 希 尔 伯 特 到 书 房 , 颇 带 些 安260


慰 性 的 口 吻 说 :“ 数 学 史 上 的 重 复 本 来 不 足 为 奇 。 当 年 莱 布 尼 茨 与 牛顿 就 曾 经 同 时 发 明 微 积 分 ; 还 有 ,1653 年 , 法 国 人 帕 斯卡 曾 经 发 现 ‘ 算 术 三 角 形 ’, 殊 不 知 , 早 在 帕 斯 卡 之 前 一百 多 年 , 我 国 数 学 家 阿 披 亚 纳 斯 (1495—1552) 已 经 知 道这 个 三 角 形 , 他 在 1527 年 出 版 的 一 部 算 术 书 封 面 上 就 绘有 这 样 一 幅 ‘ 三 角 形 ’ 图 。”林 德 曼 教 授 再 没 有 多 说 什 么 。 知 徒 莫 如 师 , 青 年 希 尔伯 特 要 走 的 路 长 着 呢 ! 相 信 这 名 优 秀 学 生 会 知 道 该 怎 样 去迈 出 自 己 的 脚 步 。随 后 , 林 德 曼 提 议 换 用 代 数 不 变 量 理 论 中 的 问 题 作 为261


论 文 题 目 。 这 种 理 论 与 笛 卡 儿 的 解 析 几 何 有 关 , 它 说 明 :当 一 个 图 形 相 对 于 坐 标 轴 的 位 置 改 变 时 , 图 形 本 身 的 形 状和 大 小 若 不 改 变 , 则 相 应 代 数 形 式 的 某 些 性 质 亦 保 持 不变 。希 尔 伯 特 理 解 老 师 的 意 图 和 苦 心 : 选 题 应 恰 到 好 处 ,有 一 定 难 度 , 又 有 希 望 解 决 。希 尔 伯 特 不 负 教 授 的 期 望 , 出 色 地 完 成 论 文 写 作 , 并于 1884 年 得 到 人 人 羡 慕 的 博 士 学 位 。王 位 动 摇 了希 尔 伯 特 与 通 常 学 者 们 的 晋 升 台 阶 一 样 , 从 助 教 到 了讲 师 , 他 觉 得 当 务 之 急 是 充 实 自 己 。 除 了 书 本 、 杂 志 、 论文 之 外 , 他 一 有 时 间 , 便 去 走 访 各 地 , 拜 会 知 名 数 学 家 ,于 是 , 巴 黎 、 柏 林 、 莱 比 锡 …… 都 有 了 他 的 足 迹 , 那 些“ 高 山 仰 止 ” 型 的 教 授 如 克 莱 茵 、 庞 加 莱 (1854—1912)也 得 以 幸 会 就 教 了 。作 为 一 名 讲 师 , 他 所 选 择 的 课 目 既 要 传 授 知 识 给 学生 , 也 要 起 到 提 高 自 己 水 平 的 作 用 , 因 此 , 他 决 定 不 教 重复 的 课 , 于 是 , 数 论 、 行 列 式 论 、 流 体 动 力 学 …… 都 成 为他 为 母 校 的 学 生 ( 也 是 校 友 ) 开 过 的 课 。然 而 , 他 最 感 兴 趣 又 常 熟 习 的 不 变 量 理 论 自 然 就 成 为优 先 选 择 的 课 目 了 。 在 这 方 面 , 他 总 也 忘 不 了 不 久 前 克 莱262


茵 的 再 三 吩 咐 :“ 你 一 定 要 去 埃 尔 兰 根 一 趟 , 找 到 我 的 朋友 戈 尔 丹 , 他 是 当 今 公 认 的 ‘ 不 变 量 之 王 ’。 我 想 , 他 会帮 助 你 的 。”1888 年 初 , 希 尔 伯 特 为 自 己 安 排 一 次 旅 行 , 选 好 的路 线 能 够 依 次 访 问 二 十 一 位 国 内 最 优 秀 的 数 学 家 , 其 中 也包 括 戈 尔 丹 。 他 致 友 人 的 信 中 戏 把 自 己 称 为 “ 熟 习 不 变 量理 论 的 封 臣 ”, 说 “ 不 变 量 之 王 ” 将 在 埃 尔 兰 根 接 受 觐 见 。戈 尔 丹 比 希 尔 伯 特 年 长 二 十 五 岁 , 又 是 不 变 量 理 论 的专 家 , 在 长 辈 的 教 诲 下 , 希 尔 伯 特 似 乎 体 验 到 了 一 种 过 去从 未 有 过 的 新 的 境 界 。 他 已 经 接 触 过 “ 戈 尔 丹 问 题 ”( 人们 为 了 纪 念 这 位 不 变 量 理 论 的 先 行 者 , 将 一 个 仍 未 解 决的 、 该 理 论 中 最 著 名 的 问 题 命 名 为 戈 尔 丹 问 题 ), 如 今 这个 问 题 则 唤 起 了 他 那 几 乎 无 法 思 议 的 完 美 想 象 力 , 他 被 戈尔 丹 问 题 迷 住 了 , 无 论 走 到 哪 儿 , 怎 么 也 放 不 下 它 。早 在 与 希 尔 伯 特 此 次 相 会 的 二 十 年 前 , 戈 尔 丹 已 经 解决 了 不 变 量 理 论 中 的 许 多 类 型 问 题 , 他 所 采 用 的 方 法 虽 然较 为 繁 琐 , 但 随 后 而 来 的 问 鼎 者 还 是 沿 着 他 的 思 路 前 进 。当 戈 尔 丹 本 人 正 在 为 “ 戈 尔 丹 问 题 ” 竭 尽 心 智 时 , 分 别 不久 的 希 尔 伯 特 却 给 他 寄 来 解 决 这 个 问 题 的 印 刷 件 。希 尔 伯 特 独 辟 蹊 径 , 采 用 一 种 异 样 手 法 , 简 明 而 利落 , 使 戈 尔 丹 惊 讶 不 置 , 他 不 禁 高 喊 :“ 这 分 明 是 神 学 , 哪 能 算 是 数 学 呀 !”几 乎 没 有 人 能 够 看 清 希 尔 伯 特 工 作 的 意 义 , 甚 至 林 德263


曼 教 授 也 说 希 尔 伯 特 的 方 法 是 令 人 不 快 的 、 有 害 而 古 怪 。1890 年 , 希 尔 伯 特 将 完 整 的 研 究 成 果 寄 由 《 年 鉴 》发 表 , 这 时 人 们 才 如 大 梦 初 醒 , 普 遍 地 认 识 到 并 接 受 了 希尔 伯 特 工 作 所 产 生 的 革 命 性 影 响 。 随 后 , 戈 尔 丹 给 出 了 希尔 伯 特 的 一 个 定 理 的 另 一 种 证 法 , 并 向 他 致 敬 说 :“ 如 果不 是 你 建 立 的 那 种 完 全 正 确 的 概 念 和 方 法 , 我 无 论 如 何 也得 不 到 这 种 证 明 ”。“ 不 变 量 之 王 ” 的 王 位 动 摇 了 。 岂 止 是 “ 动 摇 ”? 当 时人 们 认 为 戈 尔 丹 王 国 的 城 堡 已 被 夷 为 平 地 , 而 且 再 也 无 法重 建 。 于 是 , 戈 尔 丹 心 悦 诚 服 地 将 王 位 退 让 给 年 轻 的 希 尔伯 特 , 他 愉 快 而 自 我 解 嘲 地 说 :“ 我 自 己 一 直 确 信 , 神 学 也 有 它 的 价 值 。”哥 廷 根 以 外 无 生 活当 年 , 高 斯 作 为 小 小 的 不 伦 瑞 克 市 民 进 哥 廷 根 , 就 这件 事 本 身 而 言 , 那 是 不 值 得 大 惊 小 怪 的 。 可 是 , 几 十 年后 , 风 云 变 幻 莫 测 , 就 是 这 个 泥 瓦 匠 的 儿 子 , 建 立 了 哥 廷根 数 学 精 神 , 它 符 合 市 政 厅 底 层 墙 壁 上 镌 刻 的 箴 言 :“ 哥廷 根 以 外 无 生 活 ”。进 哥 廷 根 ! 这 自 然 也 是 希 尔 伯 特 的 愿 望 。 对 淡 泊 名 利的 这 位 学 者 来 说 , 他 绝 不 抱 有 “ 入 龙 门 而 身 价 百 倍 ” 的 想法 , 但 是 , 哥 廷 根 大 学 是 属 于 那 些 叱 咤 风 云 的 数 学 家 的 ,264


有 高 斯 、 狄 利 克 雷 (1805—1859)、 黎 曼 等 大 师 的 身 影 ,仅 凭 这 一 点 , 就 足 以 对 它 产 生 无 穷 的 向 往 之 情 。1886 年 , 克 莱 茵 教 授 应 哥 廷 根 大 学 之 聘 时 , 希 尔 伯特 正 好 在 莱 比 锡 大 学 下 榻 , 特 地 上 街 买 了 一 册 小 笔 记 本 ,在 扉 页 上 涂 就 一 首 即 兴 诗 , 其 中 有 “ 光 明 降 临 了 , 万 物 欣欣 向 荣 , 哥 廷 根 给 予 我 们 的 犹 如 唤 起 青 春 的 回 忆 。” 等 诗句 。在 哥 尼 斯 堡 大 学 工 作 十 一 年 的 希 尔 伯 特 经 历 了 大 多 数年 轻 人 在 这 个 时 期 应 做 的 事 情 : 成 立 家 庭 、 事 业 上 的 奋 斗以 及 职 位 的 升 迁 等 等 。 他 成 名 了 , 那 么 , 一 名 具 有 真 才 实学 的 学 者 还 有 什 么 新 的 追 求 呢 ?就 在 希 尔 伯 特 解 决 “ 戈 尔 丹 问 题 ” 有 了 结 果 时 , 连 林德 曼 老 师 都 对 他 的 方 法 感 到 困 惑 不 置 , 可 是 , 克 莱 茵 的 慧眼 却 认 识 到 希 尔 伯 特 工 作 的 威 力 , 他 断 定 :“ 这 非 常 简 单 ,在 逻 辑 上 是 不 可 抗 拒 的 。” 他 顿 时 意 识 到 : 希 尔 伯 特 需 要哥 廷 根 , 哥 廷 根 也 不 能 缺 少 希 尔 伯 特 。机 会 终 于 到 来 。1894 年 秋 天 , 哥 廷 根 大 学 空 出 一 个教 授 席 位 ,12 月 初 , 克 莱 茵 在 强 手 如 林 的 竞 争 中 使 出 浑身 解 数 , 必 欲 得 希 尔 伯 特 不 可 。 同 时 , 致 函 希 尔 伯 特 征 求意 见 , 肯 定 地 说 , 如 果 争 取 到 教 授 席 位 , 你 可 断 然 不 要 谢绝 。在 克 莱 茵 心 目 中 , 希 尔 伯 特 的 作 为 可 从 以 下 邀 请 信 函的 片 段 看 出 :“ 我 们 的 科 学 团 体 需 要 你 这 样 的 人 , 这 是 因265


为 你 的 研 究 方 向 , 你 丰 富 而 强 有 力 的 数 学 思 想 , 还 有 你 仍然 处 于 富 有 创 造 活 力 的 年 龄 , 我 指 望 你 将 给 这 里 的 数 学 学派 增 添 新 的 内 部 实 力 。 甚 至 , 也 许 你 还 会 产 生 出 使 我 返 老还 童 的 影 响 。”1895 年 3 月 , 希 尔 伯 特 来 到 哥 廷 根 。 整 整 一 百 年 前 ,德 国 数 学 家 的 光 辉 典 范 高 斯 开 始 迈 进 哥 廷 根 大 学 的 校 门 ,接 着 就 用 他 的 智 慧 和 勤 奋 写 出 数 学 发 展 史 新 页 。 对 于 希 尔伯 特 , 这 个 巧 合 不 无 具 有 激 励 奋 进 的 作 用 。希 尔 伯 特 幼 年 时 代 听 喜 爱 质 数 的 母 亲 说 过 这 样 的 两 句名 言 : “ 上 帝 创 造 了 自 然 数 , 其 余 的 一 切 才 是 人 做 的 工作 。” 心 里 早 已 埋 下 对 数 论 深 深 的 爱 。 他 明 白 高 斯 将 数 论描 述 成 “ 仓 库 ” 的 涵 义 , 因 为 在 那 里 面 贮 藏 着 取 之 不 竭 的美 妙 的 真 理 , 而 他 自 己 则 把 数 论 看 做 是 一 幢 出 奇 的 、 美 丽而 和 谐 的 大 厦 , 无 疑 地 , 踏 着 高 斯 的 足 迹 前 进 , 走 向 高 斯所 想 走 而 又 未 尽 的 前 程 , 正 是 希 尔 伯 特 作 为 后 继 者 所 瞄 准的 目 标 。在 人 才 荟 萃 、 设 备 优 越 的 哥 廷 根 大 学 , 希 尔 伯 特 凭 借自 己 天 才 与 勤 奋 的 结 合 , 不 惟 是 数 论 , 而 且 在 代 数 数 域 、群 论 、 椭 圆 函 数 …… 许 多 方 面 都 更 加 炉 火 纯 青 了 。愉 快 的 教 学希 尔 伯 特 进 哥 廷 根 大 学 意 味 着 一 位 新 的 大 数 学 家 的 到266


来 , 这 一 点 是 学 生 们 没 有 立 即 看 出 来 的 , 但 是 , 用 不 了 多久 , 情 况 就 截 然 不 同 了 。 起 初 , 这 个 中 等 个 儿 、 动 作 敏捷 、 说 话 谦 逊 、 蓄 着 淡 红 胡 须 的 人 , 在 人 们 的 眼 光 里 , 根本 不 像 个 教 授 , 然 而 , 当 他 的 满 腹 经 纶 逐 渐 倾 吐 出 来 之后 , 印 象 取 人 的 评 价 也 随 着 云 消 雾 散 了 。希 尔 伯 特 要 讲 课 , 要 从 事 研 究 和 写 作 , 对 他 来 说 , 时间 比 珠 宝 都 珍 贵 。 但 是 , 他 的 授 课 内 容 却 是 经 常 充 实 的 ,除 了 基 本 理 论 之 外 , 还 得 及 时 给 讲 义 补 充 一 些 最 新 的 课 目发 展 状 况 。 这 样 , 固 然 时 间 又 要 多 花 一 些 , 但 有 时 却 能 得到 意 想 不 到 的 收 效 , 听 起 来 也 增 添 生 趣 , 容 易 吸 收 。希 尔 伯 特 有 他 自 己 讲 课 的 艺 术 和 风 格 , 一 般 讲 得 比 较慢 , 有 时 需 要 反 复 讲 , 以 保 证 每 个 人 都 能 听 懂 ; 他 习 惯 于267


在 新 课 开 始 前 扼 要 回 顾 一 下 上 堂 课 讲 过 的 内 容 ( 这 种 做 法类 似 于 预 科 学 校 的 讲 课 技 巧 , 素 为 其 他 教 授 所 瞧 不 起 );他 从 来 都 是 认 真 地 备 课 , 因 此 , 说 来 简 练 、 自 然 、 逻 辑 严谨 , 而 对 细 节 内 容 则 不 拘 一 格 , 因 此 , 在 课 堂 上 常 常 即 兴发 挥 , 充 满 精 彩 的 表 演 形 式 。在 课 程 讨 论 会 上 , 希 尔 伯 特 总 是 在 聚 精 会 神 地 听 , 不时 纠 正 错 误 ; 平 时 态 度 随 和 , 很 容 易 与 学 生 们 打 成 一 片 ,以 致 于 他 那 哥 尼 斯 堡 口 音 听 起 来 特 别 亲 切 。 这 种 无 形 中 建立 起 来 的 师 生 情 谊 使 学 生 们 对 他 敬 而 亲 之 , 人 人 感 到 选 修他 的 课 分 明 就 是 享 受 , 始 终 情 绪 愉 快 。希 尔 伯 特 风 趣 幽 默 的 性 格 时 常 掺 进 课 堂 的 气 氛 , 他 设喻 生 动 , 深 入 人 心 , 例 如 在 讲 “ 无 限 集 合 论 ” 时 , 对 无 穷大 的 概 念 , 学 生 们 一 时 难 以 理 解 , 他 便 举 以 下 例 子 说 明 :旅 馆 里 通 常 要 把 房 间 编 号 :1 号 房 ,2 号 房 ,3 号 房…… 现 在 这 家 旅 馆 已 经 客 满 , 却 来 了 一 位 新 旅 客 求 宿 。如 果 这 是 一 家 房 间 数 有 限 的 旅 馆 , 那 么 , 经 理 只 好 断然 谢 绝 这 位 新 顾 客 求 宿 的 要 求 。 设 想 这 是 一 家 房 间 数 无 限的 旅 馆 , 那 么 , 经 理 可 以 从 容 地 接 纳 这 位 顾 客 , 立 即 广 播通 知 :“ 请 1 号 房 的 客 人 移 住 2 号 房 , 请 2 号 房 的 客 人 移住 3 号 房 , 请 3 号 房 的 客 人 移 住 4 号 房 …… 以 此 类 推 , 请各 位 房 客 移 住 到 比 现 在 所 住 房 号 大 一 号 的 房 间 里 去 。” 这样 , 就 可 以 安 排 那 位 新 旅 客 住 进 已 腾 出 来 的 1 号 房 了 。现 在 设 想 这 家 旅 馆 经 营 的 房 间 数 是 无 限 个 , 已 经 客268


满 , 却 来 了 无 限 多 位 新 旅 客 求 宿 , 这 时 , 经 理 仍 可 以 丝 毫不 感 为 难 地 广 播 通 知 :“ 请 1 号 房 的 客 人 改 住 2 号 房 , 请2 号 房 的 客 人 改 住 4 号 房 , 请 3 号 房 的 客 人 改 住 6 号 房…… 以 此 类 推 , 请 各 位 房 客 改 住 到 比 现 在 所 住 房 号 大 一 倍号 码 的 房 间 里 去 。” 于 是 , 腾 出 来 的 房 间 全 是 房 号 为 奇 数的 , 这 样 , 无 限 多 位 新 旅 客 就 可 以 都 被 留 宿 了 。预 测 未 来1900 年 , 一 个 令 人 眼 花 缭 乱 而 充 满 希 望 的 世 纪 展 现在 人 们 的 面 前 , 怎 样 点 缀 它 呢 ? 它 将 用 什 么 样 的 神 奇 色 彩表 露 自 己 的 丰 姿 绰 影 , 这 是 数 学 家 们 所 急 于 窥 探 的 。 然而 , 这 毕 竟 是 未 来 , 只 有 高 瞻 远 瞩 、 雄 才 大 略 的 伟 人 才 能做 出 正 确 的 判 断 , 以 便 给 同 行 者 指 明 前 进 方 向 。希 尔 伯 特 在 数 学 领 域 中 广 闻 博 识 的 全 才 日 益 被 全 欧 数学 界 所 公 认 。 在 哥 廷 根 大 学 , 他 所 开 的 课 程 涉 及 范 围 之广 , 他 在 数 学 界 的 崇 高 威 望 , 他 所 研 究 课 题 之 多 , 他 所 解决 问 题 的 独 创 性 , 以 及 许 多 诸 如 《 几 何 基 础 》、《 数 的 概念 》 等 论 著 , 这 些 都 是 当 时 数 学 家 望 尘 莫 及 的 。 基 于 这 样的 条 件 , 将 于 1900 年 夏 天 在 巴 黎 举 行 的 第 二 次 国 际 数 学家 代 表 大 会 筹 备 部 门 提 前 向 他 发 出 邀 请 信 , 并 希 望 他 在 会上 做 一 主 要 发 言 。希 尔 伯 特 充 分 意 识 到 这 则 发 言 的 影 响 性 有 多 大 , 他 想269


到 新 世 纪 刚 刚 出 现 , 那 只 不 过 是 一 张 白 纸 , 而 人 们 的 责 任是 要 在 那 上 面 绘 出 最 美 和 最 具 吸 引 力 的 图 画 。这 些 年 来 , 数 学 各 分 支 都 浸 入 他 的 脑 海 , 空 前 的 广 泛性 使 他 目 不 暇 给 , 高 水 平 的 思 路 比 比 皆 是 , 写 些 论 文 或 作些 发 言 也 是 信 手 拈 来 的 事 。 然 而 , 他 要 慎 重 地 思 考 , 他 看到 辉 煌 的 数 学 史 , 数 不 清 的 先 辈 们 建 造 成 宏 伟 瑰 丽 的 大厦 , 多 么 需 要 后 来 人 去 装 饰 和 点 缀 呀 ! 一 种 承 前 启 后 、 继往 开 来 的 责 任 感 油 然 而 生 。对 展 望 未 来 , 用 一 种 富 有 时 代 气 息 的 数 学 家 风 度 去 迎接 新 世 纪 , 这 才 是 青 春 , 这 才 会 产 生 活 力 。 于 是 , 他 想到 , 也 许 可 以 讨 论 一 下 新 世 纪 数 学 发 展 方 向 , 指 出 一 些 数学 家 们 应 集 中 力 量 加 以 解 决 的 重 要 问 题 , 那 么 , 这 种 题 材究 竟 是 否 可 行 呢 ?他 周 围 的 朋 友 一 致 认 为 , 最 有 吸 引 力 的 题 材 莫 过 于 展望 数 学 的 未 来 了 , 这 就 更 加 增 强 他 的 信 心 。 但 是 , 这 是 一项 规 模 浩 大 的 工 程 , 要 加 倍 深 思 熟 虑 , 因 此 , 一 直 到 六 月份 , 讲 演 稿 还 没 有 写 出 来 , 这 时 , 会 议 日 程 表 已 经 发 出 ,无 法 列 入 他 的 讲 演 题 目 。上 帝 —— 人 们 心 目 中 万 能 的 神 灵 , 他 创 造 了 世 界 , 在天 地 万 物 发 展 的 进 程 中 , 充 分 依 靠 他 为 数 众 多 的 仆 从 ——先 知 们 , 构 造 了 一 幅 幅 美 妙 的 图 案 。 而 如 今 的 希 尔 伯 特呢 ? 在 数 学 王 国 里 , 自 己 就 要 充 当 一 名 先 知 了 , 在 漫 长 而遥 远 的 未 来 一 百 年 中 , 是 否 能 够 准 确 地 看 到 前 方 的 鲜 花 和270


荆 棘 , 无 误 地 判 断 被 重 重 关 山 阻 隔 的 彼 厢 景 色 , 这 是 对 他学 识 、 才 能 的 严 峻 考 验 。希 尔 伯 特 所 选 择 的 讲 演 内 容 具 有 相 当 大 的 风 险 , 他 心里 明 白 , 很 有 可 能 这 是 决 定 数 学 界 未 来 进 展 方 向 的 成 败 之举 。 但 是 , 预 测 未 来 并 不 是 凭 空 臆 造 , 那 是 一 种 从 历 史 的回 顾 得 到 的 启 示 , 需 要 智 慧 , 需 要 勇 气 , 这 样 , 他 仿 佛 看到 茫 茫 大 海 中 的 远 岸 遥 灯 。到 七 月 中 旬 , 一 包 讲 演 稿 的 清 样 终 于 寄 出 了 。 题 目 很简 单 , 就 叫 《 数 学 问 题 》, 它 将 在 巴 黎 大 会 上 露 面 , 同 时在 哥 廷 根 科 学 协 会 上 发 表 。希 尔 伯 特 不 是 空 想 家 , 他 始 终 是 务 实 、 求 是 的 。 是 否能 够 在 那 么 多 名 流 高 士 面 前 取 得 成 功 , 很 难 预 料 , 但 是 ,他 对 自 己 的 工 作 充 满 信 心 , 自 料 不 会 怯 场 。划 时 代 的 讲 演1900 年 8 月 6 日 上 午 , 第 二 次 国 际 数 学 家 代 表 大 会在 巴 黎 开 幕 了 。希 尔 伯 特 的 演 说 安 排 在 开 幕 式 上 进 行 , 这 是 一 种 殊荣 , 但 是 由 于 他 本 人 的 迟 疑 , 只 好 改 在 8 月 8 日 上 午 。希 尔 伯 特 登 上 讲 坛 了 。 作 为 教 授 , 这 位 38 岁 的 哥 廷根 学 者 当 然 有 丰 富 的 讲 演 经 验 , 不 过 , 这 次 有 别 于 以 往 的任 何 一 次 , 它 的 重 大 意 义 在 于 数 学 的 未 来 将 在 这 儿 展 示 ,271


预 测 准 确 或 疏 误 都 会 给 数 学 世 界 带 来 巨 大 的 影 响 。虽 然 会 议 并 没 有 规 定 讲 演 者 非 要 应 用 法 文 不 可 , 希 尔伯 特 还 是 准 备 了 一 份 法 文 的 讲 演 摘 要 , 分 发 给 与 会 者 。台 下 听 众 见 到 一 副 明 亮 的 蓝 眼 睛 , 它 透 过 闪 亮 的 眼 镜片 正 在 放 射 出 纯 真 而 又 坚 定 的 目 光 ; 这 位 老 练 的 讲 演 者 外表 看 起 来 平 淡 无 奇 , 但 是 人 们 却 强 烈 地 感 触 到 他 那 刚 强 的品 格 和 卓 越 的 才 智 所 酿 成 的 气 氛 。“ 我 们 当 中 有 谁 不 想 揭 开 未 来 的 帷 幕 , 看 一 看 在 今 后的 世 纪 里 我 们 这 门 学 科 发 展 的 前 景 和 奥 秘 呢 ? 我 们 下 一 代的 主 要 数 学 思 潮 将 追 求 什 么 样 的 特 殊 目 标 ? 在 广 阔 而 丰 富的 数 学 思 想 领 域 , 新 世 纪 将 会 带 来 什 么 样 的 新 方 法 和 新 成果 ?” 希 尔 伯 特 的 这 几 句 开 场 白 立 即 将 听 众 带 到 一 个 激 动人 心 的 、 豁 然 开 朗 的 境 界 中 去 。“ 历 史 告 诉 我 们 , 科 学 的 发 展 具 有 连 续 性 。” 希 尔 伯 特接 着 说 下 去 :“ 我 们 知 道 , 每 个 时 代 都 有 它 自 己 的 问 题 ,这 些 问 题 后 来 或 者 得 以 解 决 , 或 者 由 于 无 所 裨 益 而 被 抛 到一 边 并 代 之 以 新 的 问 题 。”希 尔 伯 特 说 :“ 一 个 伟 大 时 代 的 结 束 , 不 仅 促 使 我 们追 溯 过 去 , 并 且 把 我 们 的 思 想 引 向 那 未 知 的 未 来 。” 他 认为 :“ 正 如 人 类 的 每 项 事 业 都 追 求 着 确 定 的 目 标 一 样 , 数学 研 究 也 需 要 自 己 的 问 题 。 正 是 通 过 这 些 问 题 的 解 决 , 研究 者 锻 炼 其 钢 铁 般 的 意 志 和 力 量 , 发 现 新 方 法 和 新 观 点 ,达 到 更 为 广 阔 和 自 由 的 境 界 。”272


希 尔 伯 特 指 出 , 一 个 重 大 而 富 有 成 效 的 数 学 问 题 应 具备 这 样 三 个 基 本 特 征 :第 一 , 具 有 清 晰 性 和 易 懂 性 。 这 是 因 为 清 楚 、 易 于 理解 的 问 题 能 够 吸 引 人 的 兴 趣 , 而 涵 义 不 清 或 难 于 理 解 的 问题 使 人 望 而 却 步 。第 二 , 应 具 有 相 当 难 度 , 而 又 不 是 完 全 无 从 下 手 解 决的 。 这 种 问 题 具 有 诱 惑 力 , 且 不 至 于 使 我 们 劳 而 无 功 。第 三 , 应 是 意 义 深 远 的 。 这 样 , 它 才 能 像 一 盏 指 路 明灯 , 照 亮 那 通 向 隐 藏 着 真 理 的 曲 折 路 径 。于 是 , 希 尔 伯 特 公 布 了 他 认 为 应 在 20 世 纪 解 决 的 23个 问 题 。 这 些 问 题 是 他 经 过 半 年 多 的 思 考 , 从 前 辈 人 遗 留下 来 的 和 当 代 人 新 提 出 的 纷 繁 众 多 的 数 学 问 题 之 中 , 精 心挑 选 出 来 的 , 问 题 中 包 括 算 术 公 理 的 相 容 性 、 某 些 数 的 无理 性 与 超 越 性 、 质 数 问 题 、 计 数 演 算 的 严 格 基 础 等 等 。 希尔 伯 特 确 信 , 通 过 对 这 些 问 题 的 研 究 解 决 , 必 将 大 大 推 动20 世 纪 数 学 的 发 展 。同 时 , 希 尔 伯 特 给 与 会 者 一 种 坚 定 的 信 念 : 数 学 中 没有 “ 不 可 知 ”。 他 满 怀 希 望 地 预 料 到 “ 每 一 个 确 定 的 数 学问 题 必 定 能 得 到 一 个 准 确 的 回 答 : 或 者 给 所 提 问 题 以 实 际的 肯 定 答 案 ; 或 者 证 明 问 题 是 不 可 解 的 , 因 此 所 有 企 图 证明 它 成 立 的 努 力 必 然 失 败 。”后 人 将 这 23 个 问 题 称 为 “ 希 尔 伯 特 问 题 ”。 它 好 像 是通 往 未 来 的 窗 口 , 透 过 遮 纱 可 以 隐 约 看 到 数 学 发 展 的 趋273


势 。 事 实 上 , 希 尔 伯 特 可 以 说 是 这 个 世 纪 的 数 学 领 头 人 ,这 23 个 问 题 一 提 出 , 就 受 到 数 学 界 的 普 遍 关 注 , 其 中 有些 问 题 竟 成 为 许 多 数 学 家 终 生 奋 斗 的 目 标 。 直 到 现 在 (20世 纪 只 剩 最 后 七 年 ), 尚 有 8 个 问 题 仍 然 未 得 到 彻 底 解 决 ,也 还 是 人 们 注 意 的 焦 点 。没 有 黄 金匈 牙 利 人 常 常 为 曾 经 出 现 过 杰 出 的 数 学 家 约 翰 · 鲍 耶而 感 到 无 比 自 豪 。 这 位 知 名 的 数 学 家 是 非 欧 几 何 的 创 始 人之 一 , 对 几 何 学 的 发 展 做 过 重 大 贡 献 。约 翰 · 鲍 耶 的 父 亲 发 克 斯 · 鲍 耶 是 高 斯 的 同 学 和 终 生 密友 , 对 数 学 研 究 也 有 卓 著 成 果 。1905 年 , 匈 牙 利 科 学 院 为 了 纪 念 鲍 耶 父 子 的 功 绩 ,决 定 颁 发 一 种 奖 金 , 数 额 是 一 万 金 克 朗 , 奖 名 就 叫 “ 鲍 耶奖 ”。 这 种 奖 从 1905 年 开 始 , 每 五 年 评 选 一 次 , 将 授 予 那样 一 位 数 学 家 , 他 在 过 去 25 年 中 所 取 得 的 成 就 为 数 学 的进 步 做 出 了 最 巨 大 的 贡 献 。评 选 委 员 会 成 员 由 匈 牙 利 科 学 院 指 定 , 第 一 次 评 选 委员 共 四 名 , 其 中 包 括 克 莱 茵 。 在 评 选 委 员 会 投 入 工 作 之前 , 人 们 就 预 料 到 奖 金 得 主 呼 声 最 高 的 必 是 庞 加 莱 ( 法 国人 ) 和 希 尔 伯 特 二 人 , 也 只 有 他 们 二 人 才 能 够 受 而 无 愧 地得 奖 。 果 然 不 出 所 料 , 全 欧 洲 各 国 数 学 界 推 荐 的 名 单 中 也274


仅 仅 有 这 两 位 。庞 加 莱 从 1879 年 起 就 在 克 恩 大 学 和 巴 黎 大 学 任 教 ,而 当 时 希 尔 伯 特 还 只 是 预 科 学 校 的 一 名 学 生 。 庞 加 莱 的 研究 涉 及 数 学 、 物 理 学 和 力 学 的 许 多 领 域 , 在 数 学 方 面 , 他首 创 微 分 方 程 的 定 性 理 论 和 组 合 拓 扑 学 , 研 究 了 微 分 方 程的 周 期 解 和 渐 近 解 , 证 明 了 某 些 级 数 的 渐 近 性 质 , 创 立 了自 守 函 数 的 理 论 , 对 积 分 曲 线 族 的 奇 异 点 进 行 了 分 类 ……在 庞 加 莱 与 希 尔 伯 特 二 人 之 中 择 一 , 四 位 委 员 一 致 投了 庞 加 莱 的 票 。 但 是 , 委 员 会 表 示 了 对 希 尔 伯 特 最 崇 高 的敬 意 , 委 员 们 一 致 议 定 , 在 那 份 提 交 给 科 学 院 的 、 说 明 他们 所 作 选 择 的 报 告 中 , 将 用 与 评 述 庞 加 莱 的 工 作 相 同 的 份量 阐 明 希 尔 伯 特 的 贡 献 。克 莱 茵 深 感 惋 惜 地 向 希 尔 伯 特 通 报 :“ 没 有 黄 金 , 但有 荣 誉 ”, 他 认 为 , 奖 金 之 所 以 落 入 庞 加 莱 之 手 , 起 决 定作 用 的 因 素 是 这 个 法 国 人 已 经 走 遍 “ 数 学 科 学 的 整 个 活 动范 围 ”。 同 时 , 他 预 言 :“ 希 尔 伯 特 迟 早 会 像 庞 加 莱 一 样 走遍 一 个 广 阔 的 领 域 !”事 实 上 , 目 前 希 尔 伯 特 正 在 “ 走 ”, 但 是 , 不 是 为 名 ,也 不 是 为 利 , 荣 誉 和 黄 金 与 科 学 家 的 时 代 责 任 感 相 比 较 ,前 者 是 太 微 不 足 道 的 。1910 年 秋 , 第 二 次 鲍 耶 奖 的 评 奖 工 作 开 始 了 。 这 次庞 加 莱 是 评 选 委 员 会 秘 书 , 他 为 希 尔 伯 特 的 工 作 准 备 了 一份 全 面 而 生 动 的 报 告 , 强 调 了 希 尔 伯 特 的 工 作 特 点 , 诸275


如 : 探 索 范 围 之 广 阔 、 研 究 问 题 之 重 要 , 方 法 简 洁 、 优美 , 叙 述 清 晰 明 了 , 绝 对 严 密 , 著 作 明 快 、 易 读 等 等 。 庞加 莱 所 准 备 的 报 告 中 还 特 别 提 到 希 尔 伯 特 为 培 育 人 才 所 做的 努 力 和 取 得 的 效 果 。接 着 , 庞 加 莱 的 报 告 详 细 列 举 希 尔 伯 特 的 成 就 , 同 时阐 述 这 些 成 就 的 深 远 意 义 , 于 是 , 报 告 中 出 现 了 许 多 具 体数 学 内 容 , 诸 如 : 关 于 戈 尔 丹 问 题 的 证 明 、 关 于 自 然 对 数的 底 以 及 圆 周 率 超 越 性 的 新 证 明 、 关 于 代 数 数 域 的 工 作 、关 于 积 分 方 程 论 方 面 的 工 作 等 等 。评 选 委 员 会 审 查 和 核 对 了 庞 加 莱 所 拟 的 报 告 , 认 为“ 由 于 思 想 的 深 刻 性 、 方 法 的 创 造 性 以 及 证 明 的 严 密 逻 辑性 , 大 卫 · 希 尔 伯 特 对 数 学 的 发 展 业 已 做 出 了 巨 大 贡 献 。”一 致 通 过 将 第 二 次 鲍 耶 奖 授 予 希 尔 伯 特 的 决 定 。希 尔 伯 特 的 确 走 遍 一 个 广 阔 的 领 域 , 五 年 前 克 莱 茵 的预 言 终 于 成 为 现 实 了 。无 所 畏 惧 的 人1914 年 8 月 , 卷 入 第 一 次 世 界 大 战 的 国 家 已 有 十 几个 , 野 心 勃 勃 的 德 皇 威 廉 二 世 为 了 掩 盖 他 的 军 国 主 义 路线 , 起 草 了 一 个 “ 告 世 界 文 明 ” 的 宣 言 , 列 举 了 “ 敌 人 的谎 言 和 诽 谤 ”, 并 逐 条 加 以 反 驳 。 然 后 , 他 让 最 著 名 的 科学 家 和 艺 术 家 在 其 上 签 名 , 表 示 拥 护 。 在 爱 国 的 外 衣 下 ,276


许 多 人 或 是 受 蒙 蔽 , 或 是 慑 于 皇 威 , 都 俯 首 贴 耳 地 签 了名 , 其 中 也 有 克 莱 茵 。当 时 , 只 有 两 位 科 学 家 拒 绝 签 名 , 一 是 爱 因 斯 坦 , 另一 位 便 是 希 尔 伯 特 。 希 尔 伯 特 从 头 到 尾 推 敲 宣 言 的 每 个 句子 , 不 时 喃 喃 自 语 :“ 这 不 对 吧 ……” 最 后 , 他 表 示 : 由于 不 能 判 断 宣 言 上 所 说 的 话 是 否 都 是 事 实 , 因 此 不 予 签名 。希 尔 伯 特 忍 辱 负 重 。 他 被 斥 责 为 卖 国 贼 , 当 十 一 月 份开 学 时 , 许 多 血 气 方 刚 的 学 生 不 再 听 他 的 课 了 。不 久 , 威 廉 二 世 的 伎 俩 被 戳 穿 , 人 们 才 如 梦 初 醒 。 克莱 茵 也 后 悔 自 己 当 初 为 什 么 不 把 那 份 宣 言 的 内 容 认 真 揣摩 , 可 是 , 这 一 切 已 成 事 实 , 虽 然 他 是 一 位 深 受 敬 重 的 前辈 , 巴 黎 科 学 院 还 是 将 他 从 院 士 行 列 中 开 除 出 去 。 同 时 ,希 尔 伯 特 正 气 凛 然 的 无 私 无 畏 精 神 却 博 得 广 泛 的 赞 誉 , 巴黎 科 学 院 以 有 希 尔 伯 特 这 样 的 院 士 而 引 以 为 荣 。希 尔 伯 特 坚 持 正 义 的 高 尚 品 德 使 他 成 为 科 学 家 的 楷模 。 只 要 是 真 理 , 他 就 要 勇 往 直 前 , 义 无 反 顾 。 他 正 直 和诚 实 的 风 格 和 表 现 是 一 贯 的 , 从 不 考 虑 个 人 得 失 , 因 此 他无 所 畏 惧 。当 时 , 德 国 妇 女 在 学 术 研 究 方 面 备 受 歧 视 , 希 尔 伯 特不 顾 外 界 抨 击 , 坚 决 反 对 男 尊 女 卑 的 做 法 , 力 主 选 贤 任能 。 在 争 取 优 秀 女 数 学 家 爱 米 · 诺 德 (1882—1935) 一 事中 , 他 表 现 出 非 凡 的 果 敢 精 神 , 在 数 学 史 上 留 下 不 灭 的 一277


页 。诺 德 的 父 亲 是 “ 不 变 量 之 王 ” 戈 尔 丹 的 朋 友 , 她 得 戈尔 丹 的 悉 心 指 导 , 成 长 为 一 名 学 识 丰 富 的 数 学 博 士 。1915年 , 她 的 父 亲 退 休 , 母 亲 病 故 , 弟 弟 又 应 征 入 伍 , 在 这 样困 难 的 家 庭 条 件 下 , 她 不 得 不 只 身 前 往 哥 廷 根 谋 求 职 业 。希 尔 伯 特 和 克 莱 茵 立 即 看 出 这 位 青 年 博 士 是 女 中 奇才 , 所 以 两 人 都 决 定 要 让 她 留 在 哥 廷 根 。 但 是 要 为 诺 德 争取 讲 师 的 资 格 却 不 是 一 件 容 易 的 事 , 尽 管 人 人 都 承 认 她 有较 高 的 学 术 水 平 , 但 保 守 势 力 仍 占 上 风 , 他 们 说 :“ 一 个女 人 怎 么 能 做 讲 师 呢 ? 如 果 让 她 当 讲 师 , 以 后 就 会 成 为 教授 , 成 为 评 议 会 成 员 , 难 道 能 允 许 一 名 女 人 进 入 大 学 评 议会 吗 ?”希 尔 伯 特 力 排 众 议 , 他 愤 怒 地 质 问 :“ 难 道 评 议 会 是澡 堂 吗 ?”于 是 , 他 断 然 不 顾 千 夫 所 指 , 决 定 以 希 尔 伯 特 教 授 的名 义 开 一 些 课 , 但 让 诺 德 女 士 主 讲 。在 希 尔 伯 特 的 培 养 下 , 战 后 哥 廷 根 最 富 有 成 果 的 研 究圈 子 之 一 , 是 以 诺 德 为 中 心 开 展 活 动 的 ,1919 年 , 她 终于 获 得 了 讲 师 职 位 。1922 年 , 她 成 为 一 位 “ 非 正 式 的 特别 教 授 ”, 这 是 承 认 她 具 备 教 授 水 平 , 也 做 教 授 工 作 , 但没 有 教 授 职 位 和 待 遇 。事 实 上 , 她 在 微 分 不 变 式 、 抽 象 代 数 等 方 面 已 成 为 领头 人 , 而 且 被 公 认 她 在 哥 廷 根 后 起 之 秀 中 , 将 是 对 于 未 来278


数 学 的 发 展 影 响 最 大 的 一 位 时 , 仍 然 不 能 成 为 哥 廷 根 科 学会 的 成 员 。 希 尔 伯 特 有 感 于 此 , 在 一 次 会 议 上 激 动 地 说 :“ 这 些 年 来 , 我 们 到 底 选 进 科 学 会 几 个 有 真 才 实 学 的 人 呢 ?等 于 零 , 等 于 零 呀 !”希 尔 伯 特 的 慧 眼 如 炬 , 在 他 的 关 怀 下 , 诺 德 终 于 成 为第 一 流 数 学 家 。1935 年 , 诺 德 在 一 次 手 术 中 离 开 人 间 ,当 时 , 爱 因 斯 坦 致 《 纽 约 时 报 的 信 中 说 道 :“ 根 据 现 代权 威 数 学 家 们 的 判 断 , 诺 德 女 士 是 迄 今 为 止 女 性 中 最 重 要的 富 于 创 造 性 的 数 学 天 才 ……但 是 , 人 们 不 禁 要 问 : 如 果 没 有 希 尔 伯 特 不 顾 一 切 地保 举 , 这 将 是 什 么 样 的 “ 天 才 ” 呢 ?认 识 自 然 和 生 命第 一 次 世 界 大 战 终 于 结 束 了 。 由 于 德 国 在 这 次 大 战 中充 当 的 角 色 , 战 后 , 德 国 数 学 家 一 直 没 有 收 到 任 何 会 议 的邀 请 , 但 是 ,1928 年 意 大 利 数 学 家 决 心 面 对 现 实 而 邀 请德 国 学 校 和 数 学 组 织 参 加 在 波 伦 亚 举 行 的 国 际 会 议 时 , 一些 持 有 民 族 观 点 的 德 国 数 学 家 却 站 出 来 反 对 。在 科 学 进 步 的 关 键 时 刻 , 希 尔 伯 特 大 声 疾 呼 :“ 数 学不 分 种 族 …… 对 于 数 学 来 说 , 整 个 文 明 世 界 就 是 一 个 国家 。”于 是 , 他 毅 然 率 领 一 个 由 67 名 数 学 家 组 成 的 代 表 团279


赴 波 伦 亚 出 席 会 议 。 在 开 幕 式 上 ,66 岁 的 希 尔 伯 特 风 采不 减 当 年 , 他 用 铿 锵 有 力 的 语 调 表 述 他 的 一 贯 观 点 :“ 作为 数 学 家 , 我 们 是 站 立 在 精 确 科 学 研 究 的 高 山 之 巅 , 除 了义 不 容 辞 地 担 当 起 繁 荣 数 学 —— 我 们 无 比 热 爱 的 这 门 学 科的 崇 高 职 责 之 外 , 我 们 别 无 其 它 选 择 。” 整 个 会 场 都 沸 腾了 , 欢 呼 声 掩 盖 全 欧 洲 以 致 整 个 世 界 , 这 种 热 烈 的 情 绪 绝不 仅 仅 是 对 一 位 德 高 望 重 的 长 者 致 意 , 而 此 刻 人 们 看 到 的是 一 尊 作 为 中 流 砥 柱 的 巨 大 “ 神 ” 像 ( 当 年 戈 尔 丹 就 是 用神 学 表 示 对 希 尔 伯 特 数 学 的 钦 佩 )。 同 时 , 人 们 也 看 到 数学 的 未 来 前 景 , 正 是 这 样 一 种 充 满 必 胜 信 念 的 精 神 , 必 将引 导 数 学 继 往 开 来 。1930 年 1 月 23 日 , 希 尔 伯 特 满 68 岁 , 达 到 规 定 的退 休 年 龄 。 在 告 别 讲 坛 的 最 后 几 节 洋 溢 着 纪 念 意 义 的 课 堂上 , 他 又 一 次 讲 授 了 不 变 量 。 哥 廷 根 大 学 的 教 授 和 学 生 都理 解 这 位 老 人 的 心 情 : 正 是 这 个 使 他 成 名 的 课 程 , 带 动 他走 进 繁 花 似 锦 的 数 学 园 地 ; 如 今 , 他 的 一 系 列 成 果 已 化 作缕 缕 青 烟 , 纷 扬 飘 散 异 香 于 世 界 的 各 个 角 落 , 他 播 下 的 种子 也 已 经 到 处 开 花 结 果 了 。哥 尼 斯 堡 , 亲 爱 的 故 乡 ! 你 的 儿 女 虽 然 远 离 膝 下 , 但他 们 毕 竟 是 要 叶 落 归 根 的 。 希 尔 伯 特 退 休 的 这 一 年 , 荣 誉像 雪 片 飞 来 , 但 最 使 他 惬 意 的 一 件 则 是 来 自 故 乡 : 哥 尼 斯堡 市 政 委 员 会 决 定 授 予 他 “ 荣 誉 市 民 ” 的 称 号 。这 年 秋 天 , 他 返 回 阔 别 已 久 的 故 乡 , 在 接 受 荣 誉 市 民280


称 号 的 集 会 上 , 他 在 坚 定 有 力 的 演 说 中 向 乡 亲 们 表 露 了 自己 驰 骋 科 学 天 地 一 生 的 基 本 信 念 :“ 认 识 自 然 和 生 命 是 我 们 最 崇 高 的 任 务 。”古 时 候 , 亚 历 山 大 王 子 曾 经 抱 怨 说 :“ 父 王 将 会 征 服一 切 , 再 没 有 什 么 会 留 给 我 们 去 攻 克 。” 但 是 , 希 尔 伯 特深 知 , 他 的 同 行 们 无 需 存 有 亚 历 山 大 的 担 忧 , 因 为 数 学 这个 世 界 是 无 穷 无 尽 的 。正 因 为 如 此 , 退 休 并 没 有 使 他 停 止 求 索 奋 进 的 脚 步 。1943 年 2 月 14 日 ,81 岁 高 龄 的 希 尔 伯 特 —— 数 学 王国 中 的 功 勋 名 将 与 世 长 辞 了 。20 世 纪 即 将 过 去 了 , 他 的 后 继 者 们 从 来 都 以 站 在 数学 峰 巅 的 这 位 巨 人 马 首 是 瞻 , 人 们 经 常 会 从 那 些 高 深 的 数学 专 著 中 看 到 他 显 赫 的 名 字 : 希 尔 伯 特 曲 线 、 希 尔 伯 特 不变 积 分 、 希 尔 伯 特 空 间 、 希 尔 伯 特 方 体 、 希 尔 伯 特 变 换 、希 尔 伯 特 不 等 式 、 希 尔 伯 特 类 域 、 希 尔 伯 特 子 群 …… 以 及各 种 希 尔 伯 特 定 理 、 希 尔 伯 特 公 式 、 希 尔 伯 特 方 程 等 等 。人 们 在 他 身 后 这 样 评 价 他 :“ 世 界 难 得 有 一 位 数 学 家的 工 作 不 是 以 某 种 途 径 导 源 于 希 尔 伯 特 的 工 作 的 。”希 尔 伯 特 是 执 拗 的 , 但 他 勇 敢 、 乐 观 、 自 信 , 人 们 将他 在 一 次 演 说 中 的 结 束 语 镌 刻 在 他 的 墓 碑 上 , 这 就 是 :“ 我 们 必 须 知 道 。 我 们 必 将 知 道 。”281

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