slaidide sisu koondversioon

Eeldame, et funktsioon ϕ(x) on monotoonselt kasvav hulgal {x ∈ R: f(x) >0}. Siis leidub pöördfunktsioon ψ(y).F Y (y) = P(Y < y) = P(ϕ(X) < y) = P(X < ψ(y)) = F X (ψ(y)).Kui ψ on diferentseeruv, siis saame leida f Y (y)f Y (y) = dF Y (y)dy= dF X(ψ(y))dy= f X (ψ(y)) · ψ ′ (y).Olgu ϕ(x) on monotoonselt kahanev hulgal {x ∈ R: f(x) > 0}.F Y (y) = P(ϕ(X) < y) = P(X > ψ(y)) = 1 − P(X ψ(y))= 1 − P(X < ψ(y)) − P(X = ψ(y)) = 1 − F X (ψ(y))Kui ψ on diferentseeruv, siisf Y (y) = dF Y (y)dy= d(1 − F X(ψ(y)))dy= −f X (ψ(y)) · ψ ′ (y).Lause 4. Olgu X pidev juhuslik suurus jaotustihedusega f X (x), kusjuureshulk supp(f) = {x ∈ R: f(x) > 0} on lahtine. Kui funktsioon ϕ(x) on kasmonotoonselt kasvav või monotoonselt kahanev hulgal supp(f), siis juhuslikusuuruse Y = ϕ(X) jaotustihedus avaldub valemigaf Y (y) = f X (ψ(y)) · |ψ ′ (y)|,kus ψ(y) on funktsiooni ϕ(x) pöördfunktsioon.Näide (lognormaalne jaotus). Leida f Y (y), kui ln(Y ) ∼ N(µ, σ).X =ln(Y ) parajasti siis, kui Y = e X . Järelikult ϕ(x) = e x ja ψ(y) = ln(y) ningψ ′ (y) = 1/y (y > 0). Lause 1 põhjalf Y (y) = f X (ln y) · ∣ 1 ∣ = 1 ()y σ √ 2π exp (ln(y) − µ)2− · 12σ 2 y5