02 mirhak ve-emca 19-40-1.pdf 178.6 Kb

המרחק בין שתי נקודות‏(אורך קטע)‏בסעיף זה נלמד לחשב את המרחק בין שתי נקודות על פי שיעוריהן.‏הנוסחה למציאת המרחק dבין שתי הנקודות(x 1;y 1) ו-‏ (x ;y )2 22 22 1 2 1היא:‏ ) y d (x x ) (y נוכיח את הנוסחה.‏ נסמן במערכת ציריםאת הנקודותש-‏A(x;y) 1 1y y2) B(x 2; y ו-‏1 2A, x x1 2‏(ראה ציור).‏כךדרך נקודה נעביר ישר המקביללציר ודרך נקודה נעביר ישרBה-‏ xהמקביל לציר ה-‏ y.שני הישרים נפגשים בנקודההקטעהקטע. C(x 2;y 1)ACמקביל לציר ה-‏ , x לכן. AC x x2 1BCהמשולשלפיוהערות:‏מקביל לציר ה-‏ y. BC y y, לכן 2 1ABCהוא ישר-זווית(AC BC) )2AB (x 2x ) (y 2y )2 2 2(AB) (AC) (BC)א.‏ הנוסחה נכונה גם כאשר. נציב ונקבל:‏, לכן מתקיים משפט פיתגורס2 1 2 12 22 1 2 1AB (x x ) (y y )x xאו 1 2. y y1 2ב.‏ אפשר היה להוכיח את הנוסחה מבלי לדעת האםx 2x 1 שווה ל-‏וגם מבלי לדעת האםxy 2 xגדול,‏ קטן אוגדול,‏ קטן או שווה ל-‏ . y 1ו-‏במקרה כזה אורכי הניצבים היוג.‏ הנוסחה נכונה גם כאשר הקטע הנתון מקביל לאחד הצירים.‏.y y2 12 1עם זאת,‏ במקרה כזה ניתן לחשב את המרחק בין שתי הנקודותגם ללא הנוסחה.‏אם לשתי הנקודות יש אותו שיעורבין שיעור ה-‏ y הגדול יותר לשיעור ה-‏ yאם לא ידוע לאיזו נקודה שיעורyאם לשתי הנקודות יש אותו שיעורבין שיעור ה-‏ xyהגדול יותר לשיעור ה-‏ xאם לא ידוע לאיזו נקודה שיעור, x אז המרחק ביניהן הוא ההפרשהקטן יותר.‏גדול יותר,‏ ניעזר בערך מוחלט.‏, אז המרחק ביניהן הוא ההפרשהקטן יותר.‏yA(x;y) 1 1B(x;y) 2 2C(x 2;y 1)xxגדול יותר,‏ ניעזר בערך מוחלט.‏כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 19

y(5;4)(5;4)דוגמה:‏חשב את המרחק בין הנקודות(2;3) . ו-‏פתרון:‏(2;3)xנציב את שיעורי הנקודות בנוסחה.‏ נקבל:‏2 2 2 2d (5 2) (4 3) 3 1 10 3.16לסיכום,‏ המרחק בין שתי הנקודות הוא. 3.16תרגיליםבתרגילים הבאים נתונות שתי נקודות.‏ מצא את המרחק ביניהן.‏. (11;14)א.‏ (6;2) ,ב.‏. ( 7; 4), ( 9; 3).1קדקודי משולש הם:‏הראה שהמשולש. C(14; 1), B(9; 4), A(8; 3)ABCמהו קדקוד זווית הראש?‏הוא שווה-שוקיים.‏.2CByAxבמשולשהצלעוהצלעהקדקודABCABBCCנתון:‏. A(4;2)מקבילה לציר ה-‏ xמונחת על הישרנמצא על ציר ה-‏ . xא.‏ חשב את היקף המשולשב.‏ חשב את שטח המשולש. yx5. ABC. ABC.3נתונות הנקודותB( 2; 9), A(3;1)C(6;7) . ו-‏הוכח ששלוש הנקודות נמצאות על ישר אחד.‏פתור בשתי דרכים:‏(1) בעזרת חישוב המרחק בין כל שתי נקודות.‏(2) בעזרת חישובי שיפועים.‏.4ByAxהאנך מהנקודהA(1;8)חותך את הישר בנקודהלישרy 2x. Bמצא את המרחק של הנקודהמהישר הנתון ‏(המרחקAABשבציור).‏.5כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 20

BADCקדקודיו של משולשו-‏, A(4;4). AC. D. ABCהם ABCB(6;0)BD . C(10;1)הוא הגובה לצלעא.‏ מצא את שיעורי הנקודהב.‏ חשב את שטח המשולש.6.ו-‏ yx2המשוואה של אחת מצלעות משולש היאהמשוואות של שניים מגובהי המשולש הןא.‏ מצא את שיעורי הקדקודים של המשולש.‏ב.‏ חשב את שטח המשולש.‏. y4y35x10.7קדקודיו של משולש הםB(3;1), A(6;5)ו-‏. C(14; 1)א.‏ הוכח שהמשולש הוא ישר-זווית וחשב את שטחו.‏ב.‏ היעזר בטריגונומטריה וחשב את זוויותיו החדות של המשולש.‏.8קדקודי המשולשABCא.‏ חשב את גודל הזוויתהםב.‏ חשב את שטח המשולשB(10;3), A(2;1)C(4;7) . ו-‏. B היעזר במשפט הקוסינוסים.‏. ABCהיעזר בנוסחה לחישוב שטח על פי שתי צלעות וסינוס הזווית שביניהן.‏.9ו-‏ D(8;7) .קדקודיו של מרובע הםC(7;14), B(2;9), A(3;2)א.‏ הוכח שהמרובע הוא מעוין וחשב את שטחו.‏ב.‏ חשב את גובהו של המעוין.‏.10במקביליתומשוואת הצלעAB. y 4x5ABCDADמשוואת הצלעהיאאחד מקדקודי המקבילית נמצא בנקודהא.‏ מצא את משוואות הצלעותב.‏ חשב את שטח המקבילית.‏היאy 12x2. (9;10). DC ו-‏ BC.11ישר שמשוואתוישר שמשוואתומנקודהמנקודהy 2x5y 2x5בנקודהחותך את ציר ה-‏ y בנקודהחותך את ציר ה-‏ y . A. CACמורידים אנך לישרמורידים אנך לישרא.‏ חשב את שטח המרובעy 2x5y2x5. ABCDב.‏ חשב את הזווית ‏(החדה)‏ שבין אלכסוני המרובעהחותך אותו בנקודהחותך אותו בנקודה. B. D. ABCD.12כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 21

. 40. 36.87 . 19.05. (10; 4)10. א.‏. 40. B .3 א.‏. 22, (5;9).5תשובות:‏ .1 א.‏ . 13ב.‏יח"ר.‏ב.‏2. קדקוד זווית הראש הוא,.7 א.‏ (2;4).9 א.‏ . 47.73 ב.‏ . 9. 26.57 . 12.6 א.‏ (7.2;2.4) ., 63.43 . 25.20.8.57ב.‏ 20ב.‏יח"ר.‏א.‏א.‏ב.‏ב.‏יח"ר.‏ב.‏א.‏12. ב.‏21y x5.5,y 4x26.11. 4 2המרחק בין שתי נקודות –מציאת נעלמים.10yA(8;13)y2x1דוגמה:‏מצא נקודה על הישררשום את שתי האפשרויות המתקבלות.‏פתרון:‏נסמן נקודה כלשהיהנמצאת על הישרשמרחקה מהנקודההוא.y2x1. B.10Bומרחקה מהנקודה (13;8)Aאת שיעור ה-‏ xהואבנקודהy2x1x 1 נסמן ב-‏נקודה Bשלה הואנמצאת על הישרומכאן, לכן שיעור ה-‏ y.10. x 1B. B(x ;2x 1)1 1A2x11נתון שהמרחק בין הנקודהבשלב הראשון נביע את המרחקלנקודההואAB באמצעות2 21 1נקבל:‏ 113) AB (x 8) (2xאיברים דומים נקבל:‏. לאחר פתיחת סוגריים וכינוס21 1. AB 5x 64x 208כעת נשווה את המרחק ל-‏ 10.21 15x 64x 208 1025x 64x 208 100נקבל:‏. כדי לפתור את המשוואה,‏ נעלה בריבוע21 1B(t;2t 1)ומכאן . 5x 64x 108 0את שני האגפים.‏ נקבל:‏אוהפתרונות של המשוואה הם:‏‏(הערה:‏ לפני ההעלאה בריבוע שני האגפים חיוביים,‏ לכן אין צורךבבדיקת הפתרונות כפי שמבצעים בדרך כלל במשוואות עם שורשים).‏. B(2;5)A(8;13). x 21x1 21 1x110.8B(10.8;22.6) . עבורx1עבור 10.8נקבל:‏לסיכום,‏ קיימות שתי נקודות על הישרנקבל:‏שמרחקן מהנקודהxy2x1. (2;5)(10.8;22.6)הוא10. הנקודות הןו-‏A(8;13)מצא נקודה על ציר ה-‏ y שמרחקה מהנקודה (19;8) הוא 10.רשום את שני הפתרונות האפשריים.‏.13כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 22

.10A. A(10;12)yx4נתונה הנקודהעל הישרמצא את שיעורי הנקודות האלה.‏קיימות שתי נקודות שמרחקן מהנקודההוא.14. B(9;4), A(5;2)yנתון הישר x1ונתונות שתי נקודות:‏מצא נקודה על הישר הנמצאת במרחק שווה משתי הנקודות.‏.152A. B(1; 4)נתונות הנקודות (10;4)Aמצא נקודה על ציר ה-‏ xמהנקודהו-‏‏(שתי אפשרויות).‏שמרחקה מהנקודהגדול פיממרחקהB.16מצא נקודה על חלקו השלילי של ציר ה-‏ yמהנקודהומציר ה-‏הנמצאת במרחק שווה. xB(4; 2).17על הישר, 4x 3y 14 מצא נקודה הנמצאת במרחק שווה משני הצירים.‏הבחן בין שני מקרים.‏.18yx2.16על ישרהצירים הוא, מצא נקודה שסכום מרחקיה מציר ה-‏ yומראשית.19(9;8) ו-‏ (1;0)על ציר ה-‏ xהואמצא נקודה,‏ שסכום מרחקיה מהנקודות. 24.20(0;b)b. ( 4;14)מצא באיזה תחום צריך להיותלנקודהמאשר לנקודהכדי שהנקודהתהיה קרובה יותר(3;7).21: B ו-‏ A. B(2;k) ו-‏ A( 3;6)kנתונות שתי נקודות:‏מצא לאילו ערכים של המרחק בין הנקודותא.‏ שווה ל-‏ 13. ב.‏ קטן מ-‏ 13. ג.‏ גדול מ-‏ . 13.22. (6;5)..15b 11. k6. (16; 20). (14; 14).21, (2;6)(2;2).14.18. (0;13). (0; 5)(0;25)תשובות:‏ 13.אואואו(15;0) או 6;0) ( ..20.17. ( 4;0). ( 7.166; 5.166)(4;0), (6;8)א.‏אוג.‏k 18 או. 6k18 ב.‏ . k 6k 18.16.19.22כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 23

המרחק בין שתי נקודות –צורות גיאומטריותבמשולש שווה-שוקייםהצלע(AB AC) ABCy 2xנתון:‏. B(5;5). C, A(3;6)ACמונחת על הישר. מצא את שיעורי הנקודה.23במשולש שווה-שוקייםא.‏ מצא את שיעורי הקדקוד. C( 1;14), B(3;16) נתון:‏ (AB AC) ABCב.‏ מצא את משוואת הגובה לשוק, A אם נתון שהוא נמצא על הישר.y 9. AC.24. C(0;2), B( 4; 2), AB AC 58במשולש שווה-שוקייםמצא את שיעורי הקדקודABC. Aנתון:‏.25. ( C 90 )ABCנתון:‏הוא משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים. B(4;1), C(8;3)מצא את שיעורי הנקודהA‏(שני פתרונות).‏.26ABCDאורך הצלעהוא מלבן ששניים מקדקודיו הםA( 3; 2)ו-‏. D( 4;2)הוא AB. 2 17מצא את שיעורי הקדקודיםBו-‏ . C רשום את שתי האפשרויות.‏.27ABCDעל הישרהואהוא מלבן הנמצא כולו ברביע הראשון.‏ הצלעABAB אורך הצלע , A(1;4)A , שיעורי הקדקוד 3x 4y 19BC5ואורך הצלעהואהםמונחת15. מצא את שיעורי הקדקודים האחרים.‏.28בריבועABCDהצלעמונחת על הישר. נתון:‏ 2) B(11; .y 2xADמצא את שיעורי הקדקוד. D רשום את שני הפתרונות האפשריים.‏.29הקדקודים של הבסיס הקטן בטרפזאחד מקדקודי הבסיס הגדול,‏ שאורכומצא את שיעורי הקדקודABCD10, הוא(1;3)A הם. D(1; 3)B(7;4) . ו-‏. C.30ABCDהוא טרפז שווה-שוקייםנתונים הקדקודיםמצא את שיעורי הקדקוד. (AD BC ,AB CD)B(7;5) , A(5;4)ו-‏. C(10; 4). D.31כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 24

. x3y10. 5 2במשולש שווה-שוקיים , ABC הבסיס BCקדקוד המשולש הואמצא את שיעורי הנקודותמונח על הישר(8;6)A , ואורך שוק המשולש הוא. C ו-‏ B.32. A(4;3) ABC. xy50, 2 2 נמצא על הישר קדקוד זווית הראש במשולש שווה-שוקייםהבסיס של משולש זה שאורכוהואמצא את שיעורי הקדקודים האחרים במשולש שווה-השוקיים.‏.33הנקודה (1;2)Cהיא קדקוד הזווית הישרה במשולש ישר-זוויתושווה-שוקיים.‏ משוואת היתר במשולש זה היא . 2x 3y 6מצא את שיעורי הקדקודים האחרים של המשולש.‏.34. 5. C90ABCC(2;1) , B(0;2)המשולשנתון:‏הוא ישר-זווית,‏מצא את שיעורי הקדקודושטח המשולש הוא. A הבחן בין שני מקרים.‏.35AC והצלע , y2xBC32AB ABCy 4x12yx2במשולשמונחת על הישרעל הישרהצלע. אורך הצלעמונחת על הישר. הגובה היורד מ-‏ Aהואלצלעמונח. מצא את שיעוריBCהקדקודים של המשולש ‏(מצא את שני הפתרונות האפשריים).‏.36, P(9;7)במשולש , ABC נתון:‏שיפוע הגובה לצלע(11;9)A , נקודת המפגש של הגבהים היאהוא 1, ואורך הצלע הוא. 12BC. C ו-‏ BACמצא את שיעורי הנקודות.37C(4;4).yx13B(5;0). (4;9).24. (2;4)(4;8)תשובות:‏ 23.אואואוא.‏ב.‏ו-‏או. (7;1). (0; 3).27. D(10;16), (1;3).32. (10; 1), C(14;13)(6;7), B(5;1).26 . (3; 5).28. (4;1) .31 . (9;3) .30.35 .51 813 21 ; 1213, ;13 13. C( 12;0). ( 1; 2)ו-‏אואו. C(0;12)(4;5), B(4;8), A(2;4). C(5;15),4) C(4; אואו (15;17)B.34 . (7;2), B(0;0)C(17;3)( 7;5).25B( 11; 4)(7;14), (5;0), A(2;4), B(5;3).29.33.36.37כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 25

yA(1;6)MB(3;2). B(3;2) ו-‏ A(1;6). ABABדוגמה:‏קצות הקטעהנקודההם בנקודותהיא אמצע הקטע. MMמצא את שיעורי הנקודהפתרון:‏xניעזר בנוסחאות לאמצע של קטע.‏xA xB13xM 22 2נקבל:‏yA yB62yM 42 2הנקודה המבוקשת היא (4;2)M .yA(2;5)C(4; 1)Bx. A(2;5) נתון:‏ . AB. 6x B. 7 y BC(4; 1)דוגמה:‏הנקודהמצא את שיעורי הנקודההיא אמצע הקטעAB. BCפתרון:‏הנקודההיא אמצע הקטעלכןולכן:‏ומכאןומכאן2x4 B25y1 B2. B(6; 7), x, y לכןCCxyAA x2 y2BB(1)(2)הנקודה המבוקשת היאByCA. AB. A(t;t 7). B(m;2m 18)x.C.yx7y2x18, ABAדוגמה:‏הנקודההנקודהנמצאת על הישרB נמצאת על הישרהנקודה 2;1) C(נמצאת על הקטע. B ו-‏ Aכך ש-‏ . AC BCמצא את שיעורי הנקודותAC BCפתרון:‏על פי הנתוןהנקודהנמצאת על הישר, כלומר הנקודההיא אמצע הקטע, לכן נוכל לסמןyx7y2x18Aהנקודה Bנמצאת על הישר, לכן נוכל לסמןכל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 27

על פי נוסחת אמצע קטע מתקיים הקשר הבאנציב ונקבל:‏בין שיעורי ה-‏ : x. yC. tm4yAו-‏ . m. B( 5;8) y2tB2tm, כלומר2:. xCxA x2כמו כן,‏ מתקיים הקשר הבא בין שיעורי ה-‏ y. t2m91t 72m18, כלומר2Bנציב ונקבל:‏קיבלנו מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמיםA(1; 6). m 5פתרון המערכת הוא , t 1נקבל ששיעורי הנקודות המבוקשות הםו-‏תרגיליםא.‏מצא את נקודת האמצע של הקטעים שקצותיהם נתונים להלן:‏. ( 6; 8)ב.‏ 8) ( 5; ,. (12; 7), (0;3).1הנקודה Pשיעורי הנקודותהיא אמצע הקטעו-‏. AB בכל אחד מהסעיפים הבאים נתונים.: B מצא את שיעורי הנקודה . PP( 5 1;3 1)2 4, A( 3; 7)A. P(8;3)א.‏ A(5;1) ,ב.‏.2A P Q RB. ABB(11;16)A(3;4)ABהנקודותאת הקטעו-‏נקודות החלוקה הןחילקו ל-‏ 4הן קצות הקטעקטעים שווים.‏‏(ראה ציור).‏ו-‏ . Rו-‏ RQ , PQ , Pמצא את שיעורי הנקודות.3(6;5)הנקודות (8;4)ו-‏מחלקות קטע לשלושה קטעים שווים.‏מצא את שיעורי הנקודות של קצות קטע זה.‏.4AC(3;5)נקודההנקודהנמצאת על ציר ה-‏ yהיא אמצע הקטעמצא את שיעורי הנקודות. נקודה B נמצאת על ציר ה-‏ . x. AB. B ו-‏ A.5yACBx. yxבציור מתוארים הישרים x 9דרך הנקודהו-‏(4;7)C מעבירים ישר נוסף החותךאת הישרים הנתונים בנקודותכך שנקודההיא אמצע הקטעB ו-‏ A בהתאמה,‏. AB. B ו-‏ ACמצא את שיעורי הנקודות.6כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 28

B ו-‏ A(6;5)ABנמצאת על ציר ה-‏ yנתון קטע שבומצא את שיעורי הנקודה , B אם נתון שהישר.2y 5x 3חוצה את הקטע . AB.7. C(19;8), B(1; 2)קדקודי משולש הם:‏ (14;7)A ,א.‏ מצא את משוואות שלושת התיכונים של המשולש.‏ב.‏ הראה ששלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת ומצא את שיעורינקודת המפגש.‏.8. B(4; 7) נתון:‏ . y 3x5. y x15ABAB. Aבמשולש ABCמשוואת התיכוןמשוואת הצלעלצלעהיאהיאCDא.‏ מצא את שיעורי הקדקוד. SADC Sב.‏ הוכח:‏ BDC.910. מצא את משוואת האנך האמצעי לקטע שקצותיו (2;5) ו-‏ (4 ;11) .. C(14;3), B(2; 3)קדקודי משולש הם:‏ (9;8)A ,א.‏ מצא את נקודת המפגש של האנכים האמצעיים לצלעות המשולש.‏ב.‏ הסבר מדוע הנקודה שמצאת בסעיף א'‏ נמצאת במרחקים שווים. C ו-‏ Bמהנקודות , A.11yBDEA. BCDE,במשולש ABCמשוואת התיכוןמשוואתהיאהוא אנך אמצעי לצלע. y 5 x4 AD3 3. y 1x43 3. y 1 x9 AB2 2היאDEמשוואת הצלעהיא.12Cxמצא את שיעורי הקדקוד . COB. 3x 2y 5 0- O ) OAB7x 10y10במשולשהיאמצא את שיעורי הקדקודראשית הצירים),‏ משוואת הגובה לצלע, ומשוואת התיכון לצלע זו היא. B.13. C(12; 2), B(4;0), A(6;4)קדקודי משולש ABCהם:‏מצא את המשוואות של שלושת קטעי האמצעים במשולש.‏.14כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 29

A(8;7)במשולש ABCאמצעי הצלעותנתון. המשוואה של קטע האמצעים,‏ המחבר את.. המשוואה של קטעו-‏ , BC היא yx2y12x1.5ACAB ו-‏ , AC היאהאמצעים,‏ המחבר את אמצעי הצלעותמצא את שיעורי הקדקודים C ו-‏ . B.15(8;9) ו-‏ (4;1) .נקודות האמצע של צלעות משולש הן (2 ;7) ,מצא את משוואות צלעותיו של המשולש.‏.16A(5;1) . B(9; 3) , נקודת המפגש של אלכסוני. D ו-‏ Cבמקבילית ABCDהמקבילית היאנתון:‏(5;8)M . מצא את שיעורי הקדקודים.17. C(9;20), B(21; 4) , A(5;2): ABCD. Dנתונים שלושה מקדקודי מקביליתמצא את שיעורי הקדקוד הרביעי.187y x 26ABABCDy x 2במקביליתהיאמשוואת הצלעהיא. נקודת מפגש האלכסונים במקבילית היאומשוואת הצלע. ( 3;2). CD ו-‏ BC. ACADא.‏ מצא את אורך האלכסוןב.‏ מצא את המשוואות של הצלעות.19הנקודה Aנמצאת על הישרהיא אמצע הקטע. y 2x הנקודה B נמצאת על הישר. AB. B ו-‏ A. הנקודה C(2;1)yx2מצא את שיעורי הנקודות.20BADCAC ו-‏ AB, y 2x2 בהתאמה.‏ABCy3x9במשולשמשוואות הצלעותו-‏הןAD הוא תיכון לצלעמצא את השיעורים של קדקודי המשולש.‏. D(3;2) נתון:‏ . BC.21BCBACC ו-‏ AABCy13x3במשולשהיאשיעורי קדקוד. משוואת הצלעהם(2;7) . משוואת התיכון לצלע.y2x2מצא את שיעורי הקדקודיםהיאשל המשולש.‏.22. ו-‏ B. P(0;1)Aנתונים הישרים 2x y 8 0 ו-‏ x 3y100דרך Pעובר ישרבהתאמה,‏ כך ש-‏והנקודה, החותך את הישרים הנתונים בנקודותהיא אמצע הקטע. AB מצא את משוואת הישרP.23כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 30

(BC CD , AB AD) ABCDA(7;10) . C(4;1) , B(2;5) , מצא את שיעורי הנקודהבדלתוןנתונים הקדקודים:‏. D.24. ABCבמשולש שווה-שוקיים. C(6;9) , B(2; 3) נתון:‏ (AB AC) ABC. BC. ADx3y 4ADהוא הגובה לצלעא.‏ מצא את משוואת הגובהב.‏ הקדקודAנמצא על הישר. חשב את שטח המשולש.25x3y110במשולש שווה-שוקייםוהשוקBC מונח הבסיס , ABC-ABעל הישרמצא את שיעורי הקדקוד. 3x y 23 0 נתון:‏. Cעל הישר. A(5;8).26ABCנתון:‏הוא משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים. (AB AC). A מצא את שיעורי הנקודה . C( 3;2), B(5; 6).27א.‏ נתון משולשDE. ABCFהוא קטעהוא נקודה כלשהי על הצלעהוכח:‏ הקטעב.‏ במשולשאמצעים במשולש ‏(ראה ציור).‏. BC. AFDEABCמשוואת הצלע BCנתון:‏חוצה את הקטע. A(2;2)היא . 2x 3y 6 0מצא את משוואת קטע האמצעיםהמחבר את אמצעי הצלעותו-‏ . ACBCABהדרכה:‏ מצא נקודה כלשהי על הצלעוהיעזר בסעיף א'.‏BDFAEC.28במשולשנתון ABCאת אמצעי הצלעות(14;3)A . המשוואה של קטע האמצעים,‏ המחבר.yxו-‏ , AC היא 4. BCABמצא את משוואת הצלע.29, (4;5). (5;2)במרובעCD ו-‏ BC , ABABCDAC , בהתאמה.‏ אמצע האלכסון (7; 4)אמצעי הצלעותהם הנקודותו-‏ (0;11)מצא את קדקודי המרובע.‏הוא בנקודה.30במעוין, ABCD שניים מהקדקודים הםA(3;1). y2x5ו-‏משוואת אחד מאלכסוני המעוין היאא.‏ מצא את משוואת האלכסון השני של המעוין.‏ב.‏ מצא את שיעורי הקדקודיםג.‏ חשב את שטח המעוין.‏. B(7;4). D ו-‏ C.31כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 31

. ABCDו-‏ . Dו-‏ C(6;3) .Bהם שני קדקודים נגדיים של מעוין. BDC(3;1) ו-‏ A( 3;7)א.‏ מצא את משוואת האלכסוןב.‏ היקף המעוין הוא. 8 5 מצא את שיעורי הקדקודיםשני קדקודים נגדיים של ריבוע נמצאים בנקודות (1 ;4)Aא.‏ חשב את שטח הריבוע.‏ב.‏ מצא את שיעורי הקדקודים האחרים.‏.32.33שיעורי קדקוד אחד של משולש הםהם ו-‏ . אמצע הצלע שמולו הואמצא את שני הקדקודים האחרים של המשולש.‏(5;5) , ואורכי שתי הצלעות שלידו. (6;1)4113.34IyPו-‏ BLA. (I)IIxy2x10, (II) y x 4L דרך הנקודה . LP, (1 k)x 2y 5 4k 0Pנתונים שני ישרים:‏הישרים נפגשים בנקודהישר החותך את ציר ה-‏ y בנקודהומשוואתו היאהוא פרמטר.‏ דרך הנקודהעובר‏(ראה ציור),‏עובר ישר נוסףII. ABIP כך ש-‏ , Bkהחותך את הישרבנקודהבנקודהא.‏ מצא את ערך הפרמטרA ואת הישרהיא אמצע הקטע. kב.‏ מצא את גודל הזווית שבין הישר העובר דרך הנקודותובין הכיוון החיובי של ציר ה-‏ . x.35, P(5;7). B(9;3). (6;13). B(4;2).3, A(5;5). ( 8;13 12). (11;5)תשובות:‏ .1 א.‏ (6;5) .ב.‏א.‏ב.‏.6 . B(6;0).9 . (9;8)B 29 181 ;241 41, A(0;10). y3 x11,4 4.13 . C(3; 1).2 . ( 5 12; 8).5 . (2;11), (8;2)y 3x 35,.4 . R(9;13)א.‏ y 8א.‏ב.‏א.‏.. B(2;1). D(7;7), C(6;3), C(11;9).15 ..17 ., A(0;0) .20 . y 1 87x 7,. y1 .23 .4x1C(5;8). (3;0). D(2; 5), ( 1;3). 26.57 ( 1;8).27 . ( 8; 1), A(3;4).12 . (7;2)y2x17y11x43y x8.26.22,. ב.‏,. C(5; 8)y x7.11 .y x17א.‏ 116, B(1;12).8, Q(7;10). (0;13)y 3x27, y1 14x34, y2x16.19. D( 7;18), A( 1.4;4.8)א.‏או, C(12; 3).yx4, B(10;3).32 . 20 א.‏, A( 2;7).7.10.14.16.18.21. y2x82 ב.‏ . 26.25 . (8;3) .243 3.30 . yx3.29 . 2x 3y 2 0.28D(3;6) . ג.‏, C(7;9) ב.‏ . y1x712 2. 10 .33ב.‏א.‏ב.‏ א.‏ב.‏. k 2.5.35 . 314517; 117. (3; 2), (7;0)8 3 517;317ו-‏ (0;9)אוו-‏א.‏ב.‏(3;2).31. (1;5).34כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 32

חלוקת קטע ביחס נתוןבסעיף הקודם למדנו כיצד לחשב שיעורי נקודת אמצע של קטע.‏כעת נראה כיצד ניתן לחשב שיעורי נקודה המחלקת קטע ביחס כלשהו.‏B(x;y) 2 2, B(x 2; y 2)PkA(x;y) 1 1כאשר נתון קטע שקצותיו הן הנקודות A(x;y) 1 1ו-‏ABונקודה נמצאת על הקטע ‏(ראה ציור משמאל)‏ומחלקת באותו ‏(חלוקה פנימית)‏xyPPkxk kyk x2 1y2 1PAP kPB כך ש-‏, אז מתקיים:‏, B(x 2; y 2)A(x;y) 1 1נוכיח את הנוסחאות.‏נסמן שתי נקודות:‏כמתואר בציור.‏כמו כן,‏ נסמן נקודהו-‏P(x;y)הנמצאת על הקטע AB‏(חלוקה פנימית)‏ ביחס שלומחלקת אותו, k:AP k.PB Aכלומרדרך נקודהלציר ה-‏ yנעביר ישר המקבילודרך נקודה Bשני הישרים נפגשים בנקודהנעביר ישרהמקביל לציר ה-‏ . x. C(x 1;y 2)PDדרך נקודה P(x;y)בנקודהנעביר ישרהמקביל לציר ה-‏ yוחותך את הקטעהמקביל לציר ה-‏ xוחותךyy ky. y k 1 2k. PE כמו כן,‏ נעביר ישר . D(x;y (2. E(x 1;y)AC. PE BCABCy1 y APAE, כלומרy yPB EC2(k )y y kyBCאת הקטעבמשולשבנקודהמתקיים:‏על-פי משפט תלס נקבל:‏נכפול את שני האגפים במכנה המשותף.‏, ky ky y y כלומר 1 22 1נקבל:‏ באופן דומה,‏ במשולשומכאןPkB(x;y) 2 2D CA(x;y) 1 1E. PD AC ABC xx2BPBD, כלומר . k x x AP CD1xעל-פי משפט תלס נקבל:‏מתקייםנכפול את שני האגפים במכנה המשותף.‏כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 33

x kx. x k 1 2x kx (k )x1 2, כלומרx x kx kxנקבל:‏ 1 2לסיכום,‏ שיעורי הנקודההם:‏ומכאן. x kx y ky;kk1 2 1 2PAPלמרות ש-‏x 2. AC : BC 2 : 3למרות ש-‏x 1שים לב!‏ x 1אתכופלים ב-‏ הוא קצה הקטעkx 2שמתאים ל-‏ ביחס הנתון.‏ כמו כן,‏ את כופלים ב-‏הוא קצה הקטע שמתאים ל-‏ ביחס הנתון.‏. B(10;1)A( 2;17)BPkABדוגמה:‏נתון קטעמצא נקודהשקצותיו בנקודות, C הנמצאת על הקטעו-‏AB כך שמתקיים:‏2xB3xA210 3( 2) x14C 2.823 5 5פתרון:‏נציב בנוסחה ונקבל:‏2yB3yAy21 317 53C 10.623 23 5לסיכום,‏ נקבל (10.6;2.8)C .. xC. yC1x A 4x14ו-‏ . Bכך ש-‏ . AC 4BCB:. x 17B1y A 4y14. yB 24B:ABA(2; 6)דוגמה:‏נתון קטע שקצותיו בנקודותהנקודה (18;14)Cמצא את שיעורי הנקודהנמצאת על הקטע. BAC 4. לכן , AC 4BCBC 1פתרון:‏על פי הנתוןעל פי הנוסחה מתקיים הקשר הבא בין שיעורי ה-‏ x12 4x 14 B5. x 2 , x 14Aנציב Cנקבל:‏ומכאןעל פי הנוסחה מתקיים הקשר הבא בין שיעורי ה-‏ y1( 6) 4y 18 B14. yA נקבל 6, yCנציב:‏ 18ומכאןלסיכום,‏ נקבל (24;17)B .כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 34

. ו-‏ k. B(9;26)A( 3;8)ABדוגמה:‏נתון קטעהנקודהשקצותיו בנקודותנמצאת על הקטעו-‏? AB. ABAC k.BC kCC( 1;11)באיזה יחס מחלקת הנקודהפתרון:‏נסמן את היחס המבוקש ב-‏את הקטעכלומרkנשים לב כי המטרה היא לחשב את היחסעל פי הנוסחה מתקייםהקשר הבא בין שעורי ה-‏ : xולא את הערך שלkxBx. xCk k9 ( 3). 1k ABAk. ו-‏ . C נקבל:‏15B, Aנציב את שיעור ה-‏ xשל הנקודותנכפול את שני האגפים במכנה המשותף.‏נקבל:‏ , k9k3 כלומר 10k 2יחס החלוקה הוא 1:5, כלומר הנקודהומכאןC מחלקת את הקטעAC 1. BC 5כך ש-‏kyBy. yCk 11 k268.k k. Aהערה:‏אפשר לחשב את היחס המבוקש גם על פי הנוסחהB ו-‏ . C נקבל:‏, A15, 15k 3 ומכאןנציב את שיעורי ה-‏ yשל הנקודותנכפול את שני האגפים במכנה המשותף.‏, 11k 11 26k 8נקבל:‏ כלומרניתן לראות שקיבלנו אותו יחס חלוקה.‏תרגיליםAP 1BP 2. B(2;16)ABנתונות שתי נקודות:‏ (7;14)A ,מצא נקודה Pהנמצאת על הקטעכך שמתקיים.1BP ל-‏ AP. 2. B( 12;21)ABנתונות שתי נקודות:‏ (4 , ;8)Aמצא נקודה Pהנמצאת על הקטעכך שהיחס ביןיהיה . 2:3.כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 35

ו-‏ B(13;26) , מצא 4על קטעאת הקטע ל-‏ 5נקודות המחלקותA( 7; 4) שקצותיו , ABקטעים שווים.‏.3הנקודהנתון:‏P, A(2;5)מחלקת את הקטעכך שמתקיים. AP : PB 2 : 5. BAB(15;4 . )P מצא את שיעורי הנקודה.4הנקודהנתון:‏P, B(2;5)מחלקת את הקטעABכך שמתקיים(8;6)P . מצא את שיעורי הנקודה. AP 3BP. A.5קצהו האחד של קטע הוא הנקודההנקודה. ( 7;3)P(5;9)מחלקת את הקטע ביחס של. 2:3מצא את הקצה השני הקטע ‏(הבחן בין שני מקרים).‏.6P(8;11). B(29; 3)הנקודהו-‏נמצאת על הקטעA( 4;19) שקצותיו בנקודות , ABמצא באיזה יחס מחלקת הנקודה את הקטע.‏.7הנקודהP(1;b)נמצאת על הקטעו-‏. B(11; 7)א.‏ מצא באיזה יחס מחלקת הנקודהב.‏ מצא אתA( 5;17) שקצותיו הם , AB. ABP. bאת הקטע.8תשובות:‏. ( 19;40).4. (9;20), (5;14), (1;8), ( 3;2).3. (0;6).2. (10;10)(23;18).6.1. (18;17).5או.8 . AP:BP 4:7.7 . (13;13)א.‏. AP : BP 3: 5 ב.‏ . 8בעיות עם נקודת מפגש התיכונים במשולשנקודת המפגש של התיכונים במשולש מחלקת כל תיכון לשני קטעים,‏כך שהקטע הקרוב לקדקוד גדול פיהחלוקה הוא2. 1:2מהקטע הקרוב לצלע,‏ כלומר יחסנקודת מפגש התיכונים במשולש נקראת מרכז הכובד במשולשושיעוריה הם ממוצע השיעורים של שלושת קדקודי המשולש,‏כלומר אם נקודהMהיא מפגש התיכונים במשולשABC, xmx x x3A B Cבחלק מהתרגילים נוסחאות אלה שימושיות מאוד.‏מתקיים:‏ymy y y3A B Cכל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 36

BF, 1:2AMD. (3;2)ו-‏ , BCBy2x4. M(11;8)ABAB. y13x1ABCדוגמה:‏במשולשומשוואת הצלעמשוואת הצלעהיאהיאBCנקודת מפגש התיכונים במשולש היאמצא את השיעורים של קדקודי המשולש.‏פתרון:‏הנקודה Bהיא נקודת החיתוך בין הישריםלכן שיעוריה הם פתרון המערכתפתרון המערכת הואנסמן ב-‏ Eאת אמצע הצלע(2;3) , לכן שיעורי הנקודההםתיכון ל-‏ . AC. C ו-‏ ABE כלומר , ACנציג שתי דרכים למציאת שיעורי הקדקודיםדרך א'‏ –לכןנקודת מפגש התיכונים במשולש מחלקת כל תיכון ביחסEM. ניעזר בנוסחה לחלוקת קטע ביחס נתון.‏BM . ACEC1x B 2X ExM1213 2x. x 11 EE 1531y B 2y E. yM1212 2y . y 8 EE 1112E(15;11)על פי הנוסחה מתקיים:‏12נציב ונקבל:‏על פי הנוסחה מתקיים:‏נציב ונקבל:‏נקבל:‏ומכאןומכאן. E(15;11)תיכון ל-‏ , AC לכן הנקודההוא אמצע הקטע. A(t;2t 4) נסמן:‏ . y2x4. B(m; 13m 1) נסמן:‏ . y13x1ABEהנקודההנקודהנמצאת על הישרC נמצאת על הישרנציב בנוסחת אמצע קטע.‏xA x15tm. כלומר tm30 , כלומר , xE222t 4 13m 1yA yC. 2t 1 11, כלומר3m 25yE22Cנקבל:‏כמו כן,‏קיבלנו את המערכת:‏ומכאן y2x4y 1 3x 1 tm302t 1 3m 25. C(21;8) ו-‏ A(9;14). m21C ו-‏ Aפתרון המערכת הוא , t 9נקבל ששיעורי הקדקודיםהםכל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 37

דרך ב'‏ –ניעזר בנוסחה למפגש התיכונים במשולש.‏xA xB xC. xM311t3m. tm, כלומר 303yA yB yC. yM32 2t4 13m1, כלומר . 2t 13m 258 3tעל פי הנוסחה מתקיים:‏נציב ונקבל:‏על פי הנוסחה מתקיים:‏נציב ונקבל:‏קיבלנו מערכת של שתי משוואות עם הנעלמיםלזו שהתקבלה בדרך א'.‏ פתרון המערכת הואו-‏ , m המערכת זהה. m21, t 9גם בדרך זו נקבל (14;9)A ו-‏ (8;21)C .. (6;14)(10;3)קדקודיו של משולש הם (2 ;8) ,ו-‏מצא את שיעורי נקודת מפגש התיכונים של המשולש.‏.9(7 ;8) , ונקודת המפגש של התיכוניםשני קדקודיו של משולש הם (4;3 (במשולש היאו-‏(2;3) . מצא את שיעורי הקדקוד השלישי של המשולש.‏.104) ( 7; . אמצע אחת הצלעות. (1;1)אחד מקדקודי משולש הוא בנקודההוא בנקודה (1.5;4 (ונקודת מפגש התיכונים היא הנקודהמצא את שני הקדקודים האחרים של המשולש.‏.11. . (x 1;y 1)x x x y y y1 2 3 1 2 3;3 3, (x 2;y 2)קדקודי משולש נמצאים בנקודות (3 x) y;3 ,הוכח:‏ נקודת מפגש התיכונים של המשולש היא. M(3;6). B(2;1)שני קדקודים של משולש הם (7;5)A ,נקודת החיתוך של התיכונים במשולש היאמצא את המשוואות של צלעות המשולש.‏.12.13. ABC. PQRQ( 5;9). ABC. ABCMR ו-‏ Q , Pהיא נקודת מפגש התיכונים במשולשא.‏ הוכח כיהן נקודות האמצע של הצלעות במשולשהיא גם נקודת מפגש התיכונים במשולש, P(7; 2)ABCMו-‏ב.‏ נקודות האמצע של צלעות המשולשהן(1;4)R . מצא את נקודת המפגש של התיכונים במשולש.14כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 38

במשולשA שיעורי הקדקוד , ABCהיוצאים מהקדקודים B ו-‏ Cמצא את שיעורי הקדקודיםהםהם5) , A(2; ומשוואות התיכונים4x 5y 0 ו-‏x3y0‎ , בהתאמה.‏. C ו-‏ B.15המשוואות של שניים מהתיכונים במשולש הןו-‏.y62xאחד מקדקודי המשולש הוא בנקודהyx2. (6;4)מצא את שני הקדקודים האחרים של המשולש.‏.16ו-‏y2x1‎ .שתיים מצלעותיו של משולש מונחות על הישריםyx4נקודת מפגש התיכונים במשולש זה היא בראשית הצירים.‏מצא את קדקודי המשולש ואת משוואת צלעו השלישית.‏.17הקווים התיכונים במשולש נפגשים בנקודההן. M(0;2)משוואות הישרים שעליהם נמצאות שתיים מצלעותיו של המשולש. 4x y 9 0, 5x 4y 15 0מצא את משוואת הישר שעליו נמצאת הצלע השלישית של המשולש.‏.18במשולש שווה-שוקיים,‏ משוואת התיכון לאחת השוקייםהיא.y 4.5x 5.5משוואת חוצה-זווית הראש היאוקדקוד זווית הראש הוא בנקודהמצא את משוואות הצלעות של המשולש.‏,y3x32. (15;13).19חלוקת קטע ביחס נתון –בעיות נוספות. (2;1)BAABCDבדלתון קדקוד נמצא על ציר ה-‏ y וקדקודמשוואת האלכסון הראשי היאבנקודה. y2x15. PC 13APACהאלכסונים נחתכים בנקודה. P נתון:‏מצא את השיעורים של שאר קדקודי הדלתון.‏.20yPBCMQבמשולשהנקודההנקודהABCPQנתוןמחלקת אתמחלקת את. b 0, a 0, C(0;0), B(0;b)כך ש-‏‎1:2‎ . CP:BPCQ:AQ1:2, A(a;0)BCACAPכך ש-‏.Mהיא נקודת החיתוך שלמצא באיזה יחס מחלק הנקודהאת הקטעAxו-‏ . BQM. AP.21כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 39

yAEDCB. C(6;13)x, B(16;5)BC, A(2;3)במשולש ABCנתון:‏מעבירים ישר המקביל לצלעוחותךאת הצלעות האחרות ‏(ולא את המשכיהן)‏E ו-‏ DDEבנקודותהאורך של‏(ראה ציור).‏. 10.25. DEהואמצא את משוואת הישרהיעזר בפרופורציה או דמיון משולשים.‏.22. AB4DC. EEבטרפז ABCDאורך הבסיס הגדולאלכסוני הטרפז נפגשים בנקודהא.‏ באיזה יחס מחלקת הנקודהב.‏ נתון:‏הוא פיאת הקטעמאורך הבסיס הקטן. C? BD(3;2)D . מצא את שיעורי הנקודה, B(10;15), A(4;13).23B. D( 1;2), C( 6;7), A(5;10)AB CDבטרפז ABCDשבומצא את שיעורי הקדקודנפגשים בנקודהנתון:‏, B אם נתון שהמשכי השוקיים של הטרפזCyAx. A. (14; 22)ABC. C( 6;15)קדקודיו של משולשהם:‏, B( 18; 3), A(6;9)מצא את האורך של חוצה-זוויתהדרכה:‏ היעזר במשפט חוצה-זווית.‏.24.25. AAE ו-‏ BCAD, ABC, B( 6;24)במשולשנתון:‏הוא התיכון לצלעהוא חוצה-זווית. E(8;26), D(15;27)מצא את שיעורי הקדקוד. y אם נתון שהוא על ציר ה-‏ , A.26,yx12, ( 3;7). (26;11),y2x3.17. (0;6).13, y1 .193x32. D(10;5), ( 2;0). BE:DE1:4. ( 1;7), (11;0).16 . C(3;1). x 5y30, C(8; 1).11 . (4;9), B( 5;4).18, A(0;15).23.15.10. 9x 5y 4 0.20. 8x 10y 79 0.. (8;5). 2;2 23.9, (9; 17)y1.75x13.25תשובות:‏א.‏ב.‏(0;42) או (0;2) ..26. x 2 .14 ב.‏,, ( 6;10)y8x107.22 . AM : MP 3:1. 16.25. (2;13).21.24כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 40