Matematické základy počítačové grafiky - Barborka - Vysoká škola ...

2.1 Křivka a její vlastnosti 33∙ Prostorová křivka je popsána třemi spojitými funkcemi x, y, z : ⟨a, b⟩ → R 3jako množina bodů p(t) = (x(t), y(t), z(t)), kde t ∈ ⟨a, b⟩.Poznámka 2.2. Množina bodů {p(t), t ⊆ R} se nazývá obrazem křivky. Číslo tnazýváme parametr.Každému číslu t z intervalu I odpovídá na křivce p(t) příslušný bod P == [x(t), y(t), z(t)], jehož polohový vektor (vektor daný počátkem a příslušným koncovýmbodem, mající samozřejmě stejné souřadnice jako příslušný bod) p(t) je funkcíparametru t a bude dán vektorovou rovnicíp(t) = (x(t), y(t), z(t)) kde t ∈ I . (2.2)Poznámka 2.3. Pod pojmem bod (např. bod A = [4, 8, 1]) si můžeme představovati polohový vektor daného bodu, který získáme jako rozdíl bodové rovnice a počátkusouřadného systému. a = (4, 8, 1). Můžeme tedy podle potřeby popisovat bod oběmazpůsoby.Definice 2.4. Parametrická křivka zadána rovnicí p(t) je regulární, jestliže mánavíc nenulové první derivace pro všechny t ∈ I. Platí tedyp ′ (t) ≠ 0 pro všechna t ∈ I . (2.3)Řekneme, že pro křivku zadanou svou vektorovou rovnicí p(t) na intervalu I == ⟨a, b⟩, kde t ∈ ⟨a, b⟩, je bod p(a) (polohový vektor bodu) počátečním bodemkřivky. Bod p(b) je koncovým bodem křivky. Parametrickou křivku nazýváme uzavřenou,pokud je počáteční bod roven koncovému bodup(a) = p(b) . (2.4)Dodejme, že vektorovou rovnici křivky (2.2) lze také zapsat pomocí bodové rovniceP (t) = [x(t), y(t), z(t)] . (2.5)Poznámka 2.5. V našem případě, pokud nebude uvedeno jinak, budeme křivkupopisovat její vektorovou rovnicí p(t).Příklad 2.6. Zjistěte, zda se v případě křivky zadané vektorovou rovnicí p(t) == (t 2 , t 2 , 0), kde t ∈ (−∞, ∞) jedná o regulární křivku.Řešení. Jak je vidět ze zadání, jedná se o přímku v rovině z = 0. O regulární křivkuse jedná, pokud platí 2.3. V našem případě zkoumejme t = 0p ′ (0) = 2t + 2t + 0 = 0 .Pro zkoumané t = 0 vyjde výsledek rovnice 2.3 roven nule a nejedná se tedyo regulární křivku.☞