Matematické základy počítačové grafiky - Barborka - Vysoká škola ...

2.1 Křivka a její vlastnosti 37nazýváme jednotkovým tečným vektorem parametricky zadané křivky p(t).Tečný vektor v bodě p(t 0 ) lze zapsat i jakop ′ p(t 0 + h) − p(t 0 )(t 0 ) = lim, (2.13)h→0 hkde je hledaný tečný vektor určený pevným bodem p(t 0 ) a bodem p(t 0 + h), kterýse přibližuje (hodnota h se zmenšuje) k tomuto pevnému bodu.Tečna křivky je limitní polohou sečny (přímka určená dvěma průsečíky s křivkou,pro kterou platí, že její dva průsečíky s křivkou splynou v jediný bod dotyku). Tečnukřivky lze vyjádřit pomocí zvoleného pevného bodu na křivce p(t 0 ) a tečného vektorup ′ (t 0 ) jakoT (u) = p(t 0 ) + up ′ (t 0 ), kde u ∈ R . (2.14)Tečna křivky je nezávislá na zvolené parametrizaci křivky. Vektor p ′ (t 0 ) se nazývásměrový vektor přímky.Regulární křivka má v každém bodě jedinou tečnu měnící se v závislosti na změněpolohy bodu na křivce. Pokud v daném bodě p(t 0 ) existuje jediná tečna, nazvemetento bod regulárním bodem. V případě neregulární křivky můžou existovat bodymající více tečen, těmto bodům se říká singulární body.Poznámka 2.13. Jak je patrné, že z parametrické rovnice lze lehce vyjádřit tečnývektor a tečnu. Toho budeme později využívat při řešení křivek, které se vytvářínapojováním jednotlivých segmentů (částí) na sebe.2.1.3 Oskulační rovinaKaždá rovina procházející tečnou regulární křivky se nazývá tečnou rovinou. Pevnýbod p(t 0 ) se nazývá dotykovém bodem tečny. Daným bodem prochází svazek tečnýchrovin. Obdobně jako v případě tečny je oskulační rovina limitní polohou tečnýchrovin. V bodě p(t 0 ) mějme tečnu T . Tečnou T a dalším bodem p(t 0 + h) proložímetečnou rovinu α. Oskulační rovina křivky τ v bodě p(t 0 ) je limitní případ tečnéroviny křivky, procházející dalším bodem p(t 0 + h), kde h → 0.Musí tedy platitp ′′ (t 0 ) = dp′dt (t p ′ (t 0 + h) − p ′ (t 0 )0) = lim. (2.15)h→0 hOskulační rovina je tedy rovnoběžná s vektory p ′ (t 0 ) a p ′′ (t 0 ). Platí, že jestližejsou oba vektory lineárně nezávislé, existuje právě jedna oskulační rovina v boděp(t 0 ). V opačném případě je oskulační rovinou každá tečná rovina.Definice 2.14. Mějme regulární křivku p = p(t), t ∈ I a pevný bod křivky p(t 0 ).Rovinu danou bodem p(t 0 ) a lineárně nezávislými vektory p ′ (t 0 ) a p ′′ (t 0 ) nazývámeoskulační rovinou τ v bodě p(t 0 ).O(u, v) = p(t 0 ) + up ′ (t 0 ) + vp ′′ (t 0 ), kde u, v ∈ R . (2.16)