Matematické základy počítačové grafiky - Barborka - Vysoká škola ...

1.2 Změna souřadné soustavy 3Vektor y reprezentuje bod, který je afinním obrazem bodu, který je reprezentovánvektorem x. Jestliže přímo známe matici A a vektor t, pak lze transformaci podlepředpisu (1.2) již jednoduše provést. Někdy je ale situace komplikovanější v tomsmyslu, že je transformace zadána jinak než přímo hodnotami A, t. V takovémpřípadě je obvyklé, že se hodnoty A, t na základě zadání určí a pak se opět využijevztahu (1.2). Typickými postupy, které vedou k určení potřebných hodnot, sebudeme v dalším textu zabývat podrobněji.1.2 Změna souřadné soustavyVelmi častým případem afinní transformace mezi dvěma prostory stejné dimenzeje změna souřadné soustavy a odpovídající transformace souřadnic bodů. Opět sezde omezíme na afinní (případně euklidovské) prostory trojrozměrné, protože tybudeme dále potřebovat v převážné většině případů. Zobecnění závěrů zde uvedenýchpro prostory s libovolným počtem dimenzí je ale snadné (máte-li chuť, můžete seo zobecnění po přečtení textu pokusit, není to ale nezbytně nutné).V grafických systémech se změna souřadné soustavy provádí dosti často. Někdyse jedná o vnitřní záležitost systému (pro uživatele neviditelnou), kdy je změnasouřadné soustavy součástí nějakého výpočetního postupu nebo jeho odvození. Jindymůže být manipulace se souřadnou soustavou patrná i pro uživatele. Jako příkladlze uvést tzv. modelovací transformace, s jejichž pomocí uživatel systému vytváříscénu (může pomocí ní zadávat např. umístění objektů ve scéně, jejich velikost atd.).Po prostudování této podkapitoly budete umět transformace souřadných soustavrealizovat.Transformace souřadnic způsobená pouhým posunutím počátku souřadné soustavyje triviální. Nechť (p x , p y , p z ) jsou souřadnice nového počátku souřadné soustavy.Transformaci souřadnic z původní do nové souřadné soustavy pak popisujevztah (1.2), v němž A je jednotková matice a vektor t je t = (−p x , −p y , −p z ).Věnujme se nyní poněkud komplikovanějšímu případu. Počátek nyní při změněsouřadné soustavy ponecháme beze změny. Změníme ale osy soustavy. Předpokládejme,že původní souřadná soustava měla bázové vektory v 1 , v 2 , v 3 (bázové vektoryjsou vektory jednotkové délky udávající směry souřadných os). Bázové vektory novésouřadné soustavy jsou w 1 , w 2 , w 3 . Můžeme si myslet, že bázové vektory obou soustavvyjadřujeme vzhledem k nějaké další (už třetí) referenční souřadné soustavě.Řekněme, že máme bod X, který je v původní souřadné soustavě reprezentovánvektorem x = (x 1 , x 2 , x 3 ). Úkolem je zjistit souřadnice bodu X vzhledem k novésouřadné soustavě. Tyto souřadnice budou vyjádřeny vektorem, který označíme ˜x.Polohový vektor bodu X (vzhledem k oné myšlené třetí referenční souřadné soustavě)můžeme vyjádřit jako součet3∑︁x i v i . (1.3)i=1