liczy sie matematyka

ZGODNY
Z WYMAGANIAMI
od
2015
LICZY SIĘ
MATEMATYKA
Podręcznik
gimnazjum
2

Adam Makowski, Tomasz Masłowski, Anna Toruńska
LICZY SIĘ
MATEMATYKA
Podręcznik
2
gimnazjum

.
3
Spis treści .................................
Wstęp ........................................ 5
Jak korzystać z podręcznika ................ 6
Rozdział 1. Potęgi i pierwiastki ...............
1.1. Potęgi o wykładniku naturalnym
i całkowitym ............................. 11
1.2. Mnożenie i dzielenie potęg o tej samej
podstawie. Potęga potęgi ................ 19
1.3. Mnożenie i dzielenie potęg o tym samym
wykładniku .............................. 26
1.4. Notacja wykładnicza ..................... 30
Notacja wykładnicza – infografika ........ 36
1.5. Działania na potęgach ................... 38
1.6. Pierwiastek drugiego stopnia............. 45
1.7. Pierwiastek trzeciego stopnia............. 52
1.8. Pierwiastek z iloczynu i ilorazu............ 60
1.9. Działania na pierwiastkach ............... 67
Podsumowanie rozdziału 1. ................. 72
Rozdział 2. Koło i okrąg ...................... 5
2.1. Liczba π.................................. 77
2.2. Długość okręgu. Długość łuku okręgu . . . . 82
2.3. Pole koła. Pole wycinka kołowego ........ 89
Podsumowanie rozdziału 2. ................. 98
Rozdział 3. Twierdzenie Pitagorasa ...........
3.1. Twierdzenie Pitagorasa ................... 105
3.2. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia
Pitagorasa ............................... 117
3.3. Przekątna kwadratu.
Trójkąty o kątach 45°, 45°, 90°............. 123
3.4. Wysokość trójkąta równobocznego.
Trójkąty o kątach 30°, 60°, 90°............. 129
3.5. Zastosowania twierdzenia Pitagorasa..... 136
Podsumowanie rozdziału 3. ................. 142

4 .
Rozdział 4. Układy równań ...................
Układy równań – infografika.............. 148
4.1. Przykłady układów równań............... 151
4.2. Metoda podstawiania .................... 159
4.3. Metoda przeciwnych współczynników . . . 165
4.4. Liczba rozwiązań układu równań ......... 172
4.5. Zadania tekstowe ........................ 178
Podsumowanie rozdziału 4. ................. 188
Rozdział 5. Wielokąty i okręgi ................ 23
5.1. Okrąg opisany na trójkącie ............... 195
5.2. Prosta i okrąg ............................ 205
5.3. Okrąg wpisany w trójkąt ................. 213
5.4. Wielokąty i okręgi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Podsumowanie rozdziału 5. ................. 226
Rozdział 6. Figury podobne . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Skala – infografika ........................ 232
6.1. Skala podobieństwa ..................... 235
6.2. Trójkąty prostokątne podobne ........... 244
6.3. Wielokąty podobne ...................... 253
6.4. Pola wielokątów podobnych . . . . . . . . . . . . . 261
Podsumowanie rozdziału 6. ................. 266
Rozdział 7. Graniastosłupy i ostrosłupy .......
Wielościany – infografika ................. 272
7.1. Własności graniastosłupów .............. 275
7.2. Pole powierzchni i objętość
graniastosłupa ........................... 281
7.3. Własności ostrosłupów................... 288
7.4. Pole powierzchni i objętość
ostrosłupa ............................... 296
Podsumowanie rozdziału 7. ................. 302
Odpowiedzi ................................. 309
Indeks polsko-angielski ..................... 326

Wstęp
Autorzy i redakcja

Jak korzystać z podręcznika
Pytania dotyczące teorii
Zestaw zadań
podsumowujących
rozdział – zamkniętych
i otwartych
Wypunktowane cele lekcji
– tu podano umiejętności,
które będziesz zdobywać
podczas rozwiązywania
zadań z danego tematu
Zadania niebanalne,
wymagające błyskotliwego
rozwiązania
Zadania sprawdzające
opanowanie danego
tematu
Polsko-angielski
słowniczek
wybranych pojęć

Pamiętaj, Liczy się matematyka jest podręcznikiem wieloletnim,
dlatego nie pisz po nim – wszystkie rozwiązania zapisuj w zeszycie.
Inspirujące strony
wprowadzające
opisują praktyczne
zastosowania
matematyki
Wprowadzenie
zawiera zadania
przygotowujące
do realizacji materiału
z danego rozdziału
76
CZY PAMIETASZ?
Zadanie 1.
Dopasuj nazwy podane w ramce do elementów
oznaczonych numerami na rysunku.
promień cięciwa średnica środek okręgu
Zadanie 2.
Zadanie 3.
Radar AWACS-a
Airborne Warning and
Control Systemnia
i o promieniu 350 km.
z systemem
Zadanie 4.
Zadanie 5.
o -
i
pokazano na -
Zadanie 6.
a)
b)
Zadanie 7.
Zadanie8
8.
z
-
z
na
a
z
ABC BCD
.
a) b)
Ważne pojęcia
i informacje
do zapamiętania
Rozwiązane
przykłady ilustrują
dane zagadnienie
Dodatkowe
komentarze
w ramkach

1
Potęgi
i pierwiastki
Adam
rodzice
dziadkowie
pradziadkowie
prapradziadkowie
praprapradziadkowie
Adam przygotowuje drzewo genealogiczne swojej rodziny.
Pierwsze pokolenie przodków Adama to jego rodzice, czyli 2 osoby.
Drugie pokolenie to jego dziadkowie, czyli 2 ∙ 2 = 4 osoby.
Trzecie pokolenie to jego pradziadkowie, czyli 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8 osób.
Czwarte pokolenie to jego prapradziadkowie, czyli 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16 osób.

10
CZY PAMIETASZ?
a) b) c)0, 25 d) 9
16
Z
a) b) c)−0, 008 d)− 1 27
Z
2 23
4 25
2 2 3 dm 2 2 3 dm 2 2 3 dm
18
1
( 4)
3
( )
Z
a)12 2 b)( 06 ,)
2 c) −
d)28 3 e)( −83 , )
3 f) 1 3 7
Z
a)10 ⋅ 10 b)1⋅ 1 c)0⋅
0
d)10 ⋅10 ⋅10 e)1⋅1⋅1 f)0⋅0⋅0
Z
a) 2 2 2
( 5) b)( , )
−0 75 2 c) 1 1 3
3
( ) d)( , )
Z
a) b) c) d)
2
−14 3

1.1
Potęgi o wykładniku
naturalnym i całkowitym
W tym temacie dowiesz się:
czym jest potęgowanie,
jak podnieść liczbę do potęgi o wykładniku naturalnym,
jak podnieść liczbę do potęgi o wykładniku całkowitym.
PRZYKŁAD 1.
Z
a) 5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅ 5 b) 1 1
3
⋅ 1 1
3
⋅ 3
⋅ 3
c) ( −19 , ) ⋅ ( −19 , ) ⋅ ( −19 , ) ⋅ ( −19 , ) ⋅ ( −19
, )
Rozwiązanie:
a) 5⋅
5⋅5⋅5 ⋅5⋅ 5 = 5 6
6 czynników
b) 1 1 1 1
3
3
3
3
4 czynniki
4
1
3
⋅ ⋅ ⋅ = ( )
c) ( −19 , ) ⋅( −19 , ) ⋅( −19 , ) ⋅( −19 , ) ⋅( −19
, )
= ( −19
, ) 5
5 czynników
Iloczyn n czynników równych a zapisujemy jako a n i nazywamy na
a⋅a⋅...
⋅ a = a
n czynników
n
power
an,
an
a 0 = 1 ( a ≠ 0 ) i a 1 = a
0 0
exponent
base of power
ĆWICZENIE 1.
a) 100 ⋅100 ⋅100 ⋅100 ⋅100 ⋅ 100
1 1 1 1
b) 1 ⋅1 ⋅1 ⋅ 1
2 2 2 2
c) ( −32 , ) ⋅( −32 , ) ⋅( −32
, )

12 1. POTĘGI I PIERWIASTKI
PRZYKŁAD 2.
Z
a) −5 b) 2 5
Rozwiązanie:
3
a) ( − 5) = ( −5) ⋅( −5) ⋅( − 5)
= −125
b)
( ) = ⋅ =
2
2
5
2
5
2
5
4
25
Pamiętaj, aby podstawę potęgi,
będącą liczbą mieszaną, ułamkiem
zwykłym lub dziesiętnym, a także
liczbą ujemną zapisywać w nawiasie.
ĆWICZENIE 2.
Z
a) 1 b) −0 6
3 ,
PRZYKŁAD 3.
( )
O
a) 3 4 b) ( −1)
5 c) (,) 04 3 d) −1 5
Rozwiązanie:
a) 3 = 3⋅3⋅3⋅ 3 = 81
5
b) ( − 1) = ( −1) ⋅( −1) ⋅( −1) ⋅( −1) ⋅( − 1)
= −1
c) (,) 04 3 = (,) 04 ⋅(,) 04 ⋅ (,) 04 = 0064 ,
2 2
( ) = ( − ) = ( − ) ( ) ⋅ − = =
d) − 1 1 6 6 6 36
5 5 5 5 25
1 11
25
Przy podnoszeniu do potęgi liczby
mieszanej zamień ją najpierw
na ułamek niewłaściwy.
2
ĆWICZENIE 3.
O
4
1
a)
10
( ) b) ( )
−2 6 c) 0 200 d) ( −13 , )
3
a
kwadratem liczby a –
a
a
a –
a
a
a
a – a squared
a
a
a
a – a cubed
a
a⋅ a = a
2
a
a⋅a⋅ a = a
3

1.1. Potęgi o wykładniku naturalnym i całkowitym
13
PRZYKŁAD 4.
Z
a) 1000 b) −27
64
c)
125
d)
Rozwiązanie:
a) 1000 = 10 ⋅10 ⋅ 10 = 10 3
b) − 27 = ( −3) ⋅( −3) ⋅( − 3) = ( −3)
3
64 4 ⋅ 4 ⋅ 4 4 4 4 4
c) = = ⋅ ⋅ =
125 5 ⋅ 5 ⋅ 5 5 5 5 (
5 )
d) 0, 008= ( 02 , ) ⋅( 02 , ) ⋅ ( 02 , ) = ( 02 , )
3
ĆWICZENIE 4.
Z
8
a) b) −0, 125
c)
27
d)
PRZYKŁAD 5.
Z
a) b) c) d)
Rozwiązanie:
3 2
a)72 = 2⋅2⋅2⋅3⋅ 3 = 2 ⋅3
2 2
b) 100 = 2 ⋅2 ⋅5 ⋅ 5 = 2 ⋅5
c) 540 = 2⋅2⋅3⋅3⋅3⋅ 5 = 2 ⋅3 ⋅5
1 2 2
d) 882 = 2 ⋅3 ⋅3 ⋅7 ⋅ 7 = 2 ⋅3 ⋅7
ĆWICZENIE 5.
2 3 1
Z
a) b) c) d)
a ≠ 0
Rozkład liczby na czynniki
pierwsze:
a
− 1
1
= (
1
a )
1
=
a
n
1 1 1 1
...
a a a
a
n czynników
− = 1
a −1 a.
a ≠ 0 n
− = ( ) = ⋅ ⋅ ⋅
a n
a n
a n
wykonujemy kolejne
dzielenia przez najmniejsze
liczby pierwsze i zapisujemy
wyniki.
72 2
36 2
18 2
9 3
3 3
1
reciprocal of a number

14 1. POTĘGI I PIERWIASTKI
PRZYKŁAD 6.
O
a) 2 b) 13 c) ( −5)
−4
d)
Rozwiązanie:
a) 2 1 1
=
2
b) 13 2 2
− 1 1
= (
13) 169
−
− 5 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4
4 4
1
= − 1
= − 1
−
⋅ − 1
5
⋅ − 1
5 5 5
⋅ − 1
5 5
=
−3 3
4 4 4 4 10
( ) = ( ) = ⋅ ⋅ = = 2
c) ( )
d) 3 4
e) ( , )
3
3
3
12 2 −2 2
− 6 5
5 6
ĆWICZENIE 6.
3
= ( ) = ( ) =
25
36
64
27
27
1
625
a) 113 −1
−
b) ( −15 , )
3 −
c) ( −23)
2 d)
3
3
(
4) − e) (, 12)
−2
Dla m ≠ 0 i n ≠ 0 zachodzi
−k
k
m n
zależność (
n
) = (
m)
.
1
(
3) −4
PRZYKŁAD 7.
O
a) 4 8 b) −4 7
Rozwiązanie:
c) ( −4)
5
d) ( −4)
6
e) 4 −6
f) ( − )
4 −3
a) 4 8 = 4⋅4⋅4⋅4⋅4⋅4⋅4⋅4
7 7
b) − 4 = ( −1) ⋅ 4 = ( −1) ⋅4⋅4⋅4⋅4⋅4⋅4⋅4
5
c) ( − 4) = ( −4) ⋅( −4) ⋅( −4) ⋅( −4) ⋅( −4)
6
d) ( − 4) = ( −4) ⋅( −4) ⋅( −4) ⋅( −4) ⋅( −4) ⋅( −4)
e) 4 6 6
− 1 1 1 1
4 4 4 4
1
4
1
4
1
4
= ( ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
−
f) ( − 4)
3 3
1 1
= −
4 4
( ) = ( − ) ( ) ⋅ − 1
4 ( ) ⋅ − 1
4

1.1. Potęgi o wykładniku naturalnym i całkowitym
15
ĆWICZENIE 7.
a) 101 8 b) −99 17 c) ( −12)
14
d) ( −4)
9 e) 28 f) ( −3)
−91
PRZYKŁAD 8.
a) 9 16 b) 2 25
Rozwiązanie:
a)
9 1 = 9
9 2 = 81
9 3 = 729
9 4 = 6561
9 16
b)
2 = 2
2 = 4
2 = 8
2 = 16
2 = 32
2 = 64
2 = 128
2 = 256
2 25
ĆWICZENIE 8.
a) 4 23 b) 7 90
ĆWICZENIE 9.
2⋅
5 31 .

16 1. POTĘGI I PIERWIASTKI
ZADANIA
1
a) 7⋅7⋅7⋅7⋅ 7
b) ( −3) ⋅( −3) ⋅( −3)
3 3 3 3
c) 2 ⋅2 ⋅2 ⋅ 2
4 4 4 4
d) ( −23 , ) ⋅( −23 , ) ⋅( −23 , ) ⋅( −23
, )
2
a) 7⋅7⋅a⋅a⋅a b) x⋅ x⋅ y ⋅ y ⋅ y ⋅ z ⋅ z ⋅ z ⋅ z
2 2
c) 52 , ⋅b⋅52 , ⋅b⋅52 , ⋅b ⋅52
,
d) − ⋅k
⋅ −
3 3
( ) ( ) ⋅ ⋅ − 2
k
3
3
a) −3 b) 4 5
4
5
6
a) 1 62 b) 0 301 c) 5 4 d) ( −4)
3
e) ( −6)
3 f) ( −1)
102 g) ( −193)
0 h) 100 4
7
a) 1 3 2
5
( 7) ( ) b) − 2
3
2
11
e) (
6
) f) ( , )
8
a) 1 −87
b)
−11 3
1
3
(
4) − c) ( − )
−
5 3 2
d) −
5
c) ( −25 , )
2 d) ( −12 , )
2
3
( 4)
g) −( −05 , )
4 h) −−
( ) −
3
−
e) ( −01 , )
6 f) 1 1 3
3
( ) −4
9
a) 4 7
4
( ) b) 1 2 5
3
( ) c) 2 2
− d) ( −19 , )
7
10
d
a) b) c) d)
e)
4
f)
g) 3 1
25
16
h) 2 7 81
11
a) b) c) −8 d)
e) −0, 027
f)
1
g)
125
h) 3 3 8

1.1. Potęgi o wykładniku naturalnym i całkowitym
17
12
( −2)
2
2 2 2
1
− 2 2 1
−
2
2
2
1
(
2) − ( − )
−
( )
( ) −
2
2 −2
( )
2
1
2
13
14
Podnoszenie do kwadratu liczb kończących się cyfrą 5.
Aby podnieść do kwadratu liczbę kończącą się cyfrą 5, wystarczy obliczyć iloczyn liczby
stojącej przed piątką i liczby o jeden od niej większej, a na końcu wyniku dopisać liczbę 25.
Na przykład:
Aby obliczyć 35 2 , wystarczy wykonać działanie 3⋅ ( 3+ 1) = 12 i dopisać liczbę 25.
35 2 = 1225
Aby obliczyć 105 2 , wystarczy wykonać działanie 10 ⋅ ( 10 + 1) = 110 i dopisać liczbę 25.
105 2 = 11 025
15
a) 65 2 b) 115 2 c) 205 2 d) 995 2
16
a) b)
c) d)
17
a) 3 14 b) 3 15 c) ( −3)
14 d) −3 14
( )
1
( ) −
3
e) ( −3)
15 f) −3 15 1
g) −
3
i) 3 −14
j) ( −3)
−14
k) −
14
14
15
( )
1
( ) −
3
1
h) −
3
l) −−
18 xy.
a) xy
3 2 x =−2 y = 5 b) 2 x
2 + y
−3
x =−01 , y = 5 2
19
0
1 1
a) −
0 − 1 2
( + )
− 5
c) ( − 2)
+ 2
− 5
7 3
( ) b) 5 4
2
1 −3 3
1
( ) : − ( − ) e)
d) 1 10 2
4
( ) + ( ) + ( )
2
−2 −3 1 1
−4
3 4
15
( )
f) ( − ) 3 2
4 4 4
− + −
25 5 5

18 1. POTĘGI I PIERWIASTKI
20
a) b) c) d)
21
a) 5 9 b) 6 190 c) 9 13 d) 9 100
e) 4 16 f) 3 19 g) 7 162 h) 2 104
22
23
a) b) c) d)
24 xyzx 2 = 64 y 3 = 64z = 64.
44 33
25 3 + 4
CZY JUŻ POTRAFISZ?
1
2
2 1
A. 6 6
6
0
2 2 2 3
⋅ ( ) = B. 3 3 3 3
2 2 2
+ + =
2 2 2
C. ( 6 + 8)
= 6 + 8 D. 3 + 4 = 5
2
2 2016
A. B. C. D.
3 4 1 3
A. 3 1 2
169
C. 4 1 4
169 3
( ) B. 9
9 D. − ( )
4
(,) 01 − 2 ( −10)
3 −10 3 −
( −0, 001)
1 1
001 ,
3
5 −
4
3
−
( ) − −
4 0
: 2 ( 39 , ) .
2
( ) −
2

1.2
Mnożenie i dzielenie potęg
o tej samej podstawie.
Potęga potęgi
W tym temacie dowiesz się:
jak mnożyć potęgi o tej samej podstawie,
jak dzielić potęgi o tej samej podstawie,
jak potęgować potęgę.
PRZYKŁAD 1.
3 4
−4 −2
a) 2 ⋅ 2 b) 3 ⋅ 3 c) 5 ⋅ 5
7 −3
Rozwiązanie:
a) 2 3 ⋅ 2 4 = ( 2⋅2⋅2) ⋅( 2⋅2⋅2⋅ 2)
= 2⋅
2⋅2⋅2 ⋅2⋅2⋅
2 = +
2 = 2
3+
4 czynniki
3 4 7
−4 −2 1 1 1 1 1 −6
b) 3 ⋅ 3 =
4
⋅
2
= ⋅ =
6
= 3
3 3 3⋅3⋅3⋅3
3⋅3
3
− 1 1 1 1
1
c) 5 ⋅ 5 = 5 ⋅
3
= 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅5⋅5⋅5⋅5⋅ = 5⋅5⋅5⋅ 5 = 5
5
5 ⋅5 ⋅5
7 3 7 4
1 1 1
ĆWICZENIE 1.
Z
2 3
−3 −2
a) 5 ⋅ 5 b) 2 ⋅ 2 c) 7 − ⋅ 7
3 6
n m n+
m
a ⋅ a = a
a ≠ 0mn
PRZYKŁAD 2.
Z
6 8
7 −3
a) 4 ⋅ 4
b) 5 ⋅5 ⋅5
Rozwiązanie:
6 8 6+
8 14
a) 4 ⋅ 4 = 4 = 4
− − + ( − ) + − +
b) 5 ⋅5 ⋅ 5 = 5 ⋅5 ⋅ 5 = 5 = 5 = 5
7 3 7 3 1 7 3 1 7 3 1 5

20 1. POTĘGI I PIERWIASTKI
ĆWICZENIE 2.
Z
−5 7
12 4
1 1
a) 5 ⋅ 5
b) (
2) ⋅ (
2 )
PRZYKŁAD 3.
Z
a) ( −83) 21 ⋅( −83)
11
Rozwiązanie:
+
a) ( −83) ⋅( − 83) = ( − 83) = ( − 83)
= 83
21 11 21 11 32 32
−7 −5
b) ( −17) ⋅( −17)
−7 −5 − 7 + ( −5)
−12 −12
b) ( −17) ⋅( − 17) = ( − 17) = ( − 17)
= 17
ĆWICZENIE 3.
−6 −
a)( −125 , ) ⋅( −125
, )
8 −89 8
b)( −10) ⋅( −10) ⋅( −10)
PRZYKŁAD 4.
Z
7 5
−5 −2
a) 3 : 3 b) 2 : 2 c) 5 : 5
4 −3
Rozwiązanie:
7 1 1 1 1 1
7 5 3 3 ⋅3 ⋅3 ⋅3 ⋅3 ⋅3⋅3
7−5
a) 3 : 3 =
5
= = 3⋅ 3 = 3 = 3
3 3 ⋅3 ⋅3 ⋅3 ⋅3
1 1 1 1 1
7−5
czynników
2
1 1
−5 −2 −3
1 1
1 1 1 2 1 2 ⋅ 2 1
b) 2 : 2 =
5
:
2
=
5
⋅ = ⋅ =
3
= 2
2 2 2 1 2 ⋅2 ⋅2⋅2⋅2
1 2
− 1
+
c) 5 : 5 = 5 : = 5 ⋅ 5 = 5 = 5
4 3 4 4 3 4 3 7
5 3
ĆWICZENIE 4.
Z
7 5
−6 −3
a) 2 : 2 b) 7 : 7 c) 3 : 3
2 −4
2
n m n−
m
a : a = a
a ≠ 0mn
n
a n−
m
= a
m
a

1.2. Mnożenie i dzielenie potęg o tej samej podstawie. Potęga potęgi
21
PRZYKŁAD 5.
Z
6 3
a) 8 : 8
b) ( , ) 12
04
9
( 04 , )
c) ( − ) −
3 : ( − 3 )
Rozwiązanie:
6 3 6−
3 3
a) 8 : 8 = 8 = 8
b) ( , ) 12
04
9
( 04 , )
12 − 9 3
= (,) 04 = (,) 04
−21 11 −21 −11 −32 −32
c) ( −3) : ( − 3) = ( − 3) = ( − 3)
= 3
( ) ( ) = ( ) = ( ) = ( )
13 −12 13 −( − 12)
13 + 12 25
5 5 5
5 5
d) 1 : 1 1 1 1
6 6 6
6 6
21 11
( ) ( ) −
13 12
5 5
d) 1 : 1
6 6
ĆWICZENIE 5.
22 13
a) 4 : 4
b) ( −314
, )
( −314
, )
12
9
( ) ( ) −
12 13
−7 −13
1 1
c) 12 : 12
d) 2 : 2
5 5
PRZYKŁAD 6.
a) 2 2 3
−
( ) b) ( 10 3 )
2
Rozwiązanie:
2 3 3
2 2 2 2+ 2+ 2 2⋅3 6
( ) = ⋅ ⋅ = = =
3 czynniki
a) 2 2
2 2 2 2 2
( ) = ⋅ = = =
−3 2 −3 −3 − 3+ ( −3) 2⋅( −3)
−6
b) 10 10 10 10 10 10
ĆWICZENIE 6.
−
( ) b) ((,)
)
a) 5 2 2
01 2 4
-
n m nm ⋅
( a ) = a
a ≠ 0mn

22 1. POTĘGI I PIERWIASTKI
PRZYKŁAD 7.
( )
−
a) ( −4)
2 4 b) 5 4 −2⎞
3
⎝ ⎠
Rozwiązanie:
⎛
( )
−2 ( )
( ) 4 −2 ⋅4 −8 −8
= − = − =
a) ( −4) ( 4) ( 4)
4
⎛
( )
c) ( − )
⎝
4
−2 b) 5
⎞
3 4
( −2)
⋅3
4
−6
⋅( − )
= 5 5 5 5
⎝ ⎠ ( ) = ( ) = =
⎛
( )
4 6 −24
⎞
⎠
2 5 2 4
c) ( − )
⎞
⋅
⋅
2 = ( −2) ( 2) ( 2) ( 2)
2
⎝ ⎠
⎛
( )
( ) = ( − ) = − = − =
5 2 4 5 2 4 5 8 5 8 40 40
ĆWICZENIE 7.
a) ( −42 , )
5 3 b) (, 015)
4 3
( )
( ) − c) ⎛ −
9 7 −3⎞
( )
2
⎝
⎠
( )
⎛⎛
1
d) −
⎝
⎜
⎝
⎜ 4
−1
−2
⎞
⎠
⎟
⎞
⎠
⎟
−3
PRZYKŁAD 8.
a) 8 4 b) 27 5 c) 125 2 d) 32 6 e) 4 23
Rozwiązanie:
4 3
a) 8 2 4 12
= ( ) = 2
5 3
b) 27 3 5 15
= ( ) = 3
2 3
c) 125 5 2 6
= ( ) = 5
6 5
d) 32 2 6 30
= ( ) = 2
2 3 ( 2 3 ) 8 2 8 16
e) 4 = 4 = 4 = ( 2 ) = 2
2
Zauważ, że 4 3 2
≠ ( 4 ) 3
.
ĆWICZENIE 8.
a) 25 5 b) 81 7 c) 64 6 d) 16 4 e) 25 43
ĆWICZENIE 9.
3 33 ( 3 3 ) 3
.

1.2. Mnożenie i dzielenie potęg o tej samej podstawie. Potęga potęgi
23
ZADANIA
1
13 2
a) 2 ⋅ 2
b) 18 − 4 ⋅ 2
18 ⋅ 18 c) ( −01 , ) ⋅ ( −01
, )
3 −7
5 19
5 19
e) x ⋅ x
f) x ⋅ x ⋅ x g) ( −x) ⋅( −x)
−
16 25
5 9 2
d) −4 ⋅4 ⋅4
−2 −7
h) x ⋅ x
2
8 3
a) 7 : 7
b) ( , ) 19
24
17
( 24 , )
c) 5 −9 5 −1
1 1
: d) 2 : 2
7 7
9 5
x
e) x : x
f)
x g) ( − ) 23
x : ( − x ) − 1
h) x −8
2 x
( ) ( ) −
3 3 8 3 6
A. B. C. D.
4
( ) b) ⎛
(( − ) )
a) 3 2 4
( ) − f) ⎛
x 3 5 ⎞
( )
4
e) x 2 7
⎝
⎝
( )
4 8 5 ⎞
0 c) ( − )
⎠
⎠
( )
3 4 5 ⎛ 1
d) −
⎝
⎜ 2
g) 13 2 5 h) ( −x)
34
3 8
⎞
⎠
⎟
3 3
5
8 3
a) 7 : 7
5
7 ⋅ 7
6 5 3
b) 6 ⋅ 6 : 6
7 2
6 : 6
c) 5 8 5 −2
⋅ ⋅ 5
11
5
12 −3 −4
d) 3 ⋅ 3 : 3
3 2
3 ⋅ 3
6
5 4
2 5
a) 3 ⋅ 9
b) 8 ⋅ 4
c) (,) 0 1 :(, 0 001)
8 −4 −2
4 7
−2
( ) ⋅
e) 2 ⋅ 16 : 8 f) 2 : 2 2
6
g)
6 2
( ) ( ) ⋅
2 4
d) 32 ⋅2 ⋅2
3 −2
2
1 1
4 1 5
: 5 h) 3 ⋅ 9
5 25
(
3) − :
7
100 4 01 2 3
4
5 4
2
, −10 ⋅10
0, 01 ⋅ 100 10 6 −2
:( 0,)
1
( ) − ( )
8
( ) −
a) 2 18 b) 3 15
c) 2 28 d) 8 16 .
9 10 12 10 6
10 17 26 17 13

24 1. POTĘGI I PIERWIASTKI
26 − 38
11 4 18 8 ⋅ 2
12 3 13 = 1 594 3233 14 3 11 .
13
5 ? 12 21
a) 3 ⋅3 ⋅ 3 = 3
?
2
( ) =
5
( )
⎛
−2
?
1 ⎞ 6
b) 3
⎝
⎜ 3 ⎠
⎟ =
d) 16 : 8 2
e) 2 2 2 2
14
a)
b)
3 4
c) 8 ⋅ 2 : 2 = 2
? : 4 ⋅ ( 2 ) 3 = 10
f) 5 15 5 −2 ?
5 −3
⋅ ( ) ⋅ = 1
8y 3 3xy 2
?
Pole:
7
24y
Pole: 18x 5 y
6
15
4 3
a) 2 ⋅ 3 ⋅ 8
32 ⋅ 3
4
b) 3 ⋅ 2 ⋅ 11
3
6 ⋅ 2
3 4 2
⋅ ( )
c) 5 2
25 ⋅ 8
2
16
a) 25 6 b) 4 15 c) 9 32 d) 121 12 e) 169 19 f) 125 6
17
2 34 2 3 4
3 4
⋅
( ) 2 4 3 2 2
⎛
−
⎛
(( − , )
⎞ ⎞
⎜ 1 2345 ) ⎟ .
⎜
2 0 4 13
18
⎝⎝
⎠ ⎟
⎠
SPRAWDŹ W INTERNECIE
Gra 2048
Wyszukaj w internecie grę 2048 (jest
ona również dostępna jako aplikacja na
telefon) wykorzystującą własności kolejnych
potęg liczby 2.
Zapisz wszystkie liczby, które można uzyskać
w tej grze (aż do wygranej).
Ile co najmniej ruchów (działań mnożenia)
trzeba (teoretycznie) wykonać, aby uzyskać
liczbę 2048?
2048
PUNKTY
REKORD
804 33800
MENU WYNIKI
Następne wyzwanie: 5000 punktów
128 16 2 4
8 4
2

1.2. Mnożenie i dzielenie potęg o tej samej podstawie. Potęga potęgi
25
2 016 ⎛
2 0 1 ⎞
( )
6
19
⎜ ⎟ .
⎝ ⎠
20
21
1 2 7 8
22 1+ 3 + 3 + ... + 3 + 3
CZY JUŻ POTRAFISZ?
1
5 5 5
A. 3 ⋅ 3 = ( 3 ) 2 8
−3
−3 B. ( 2 ) = ( 2 )
8
C. 11 7 −5
11
=
9 −3
11 11
D. 7 7 5
⋅
3
7
2 16 5 2 5
A. B. 2 5 C. 4 5 D. 8 5
1
7
= ( ) −
3
7 5 11
( −5) ⋅5 : 5 −
9
: 5 8
5
A. B. −5 −16
C. −1 D.
4
( 2 6 ) 4
32 4 64 5 4 9 8 9
5
2

7.3 Własności ostrosłupów
W tym temacie dowiesz się:
co to jest ostrosłup prawidłowy,
jak rysować ostrosłupy,
jakie własności mają ostrosłupy prawidłowe.
pyramid
Zauważmy, że spodek wysokości ostrosłupa może leżeć wewnątrz podstawy, na krawędzi
podstawy lub poza podstawą.
Wysokość ostrosłupa jest prostopadła do jego podstawy.

289
7.3. Własności ostrosłupów
a
a
a
a
a
a
right pyramid
regular pyramid
regular tetrahedron

290 7. GRANIASTOSŁUPY I OSTROSŁUPY
1.
2.
3.
1 2 3
Ostrosłup prosty czworokątny i dwie z jego siatek.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny i dwie z jego siatek.
PRZYKŁAD 1.
a) b) c)
Rozwiązanie:
a)

7.3. Własności ostrosłupów
291
b)
c)
ĆWICZENIE 1.
a)
b)
c)
Ostrosłup o podstawie n-kąta ma:
k = 2 n krawędzi,
w = n +1 wierzchołków,
s = n +1 ścian.
PRZYKŁAD 2.
Rozwiązanie:
a 2 = 3 2 + 4
2 a =
abcdd
b = a = c = d =
ĆWICZENIE 2.

292 7. GRANIASTOSŁUPY I OSTROSŁUPY
ZADANIA
1
A. B. C. D.
2
3
4
A.
B.
C.
D.
5 ksw
ksw
s + w − k
a)
b)
c)
d)
6
a)
b)
c)
7
a)
b)
c)
8
a)
b)
c)

7.3. Własności ostrosłupów
293
9
A.
B.
C.
D.
E.
PRAWDA / FAŁSZ
PRAWDA / FAŁSZ
PRAWDA / FAŁSZ
PRAWDA / FAŁSZ
PRAWDA / FAŁSZ
10
a) b) c) d)
11
A. B. C. D.
12
126 cm

294 7. GRANIASTOSŁUPY I OSTROSŁUPY
13
14
15
16
17
18
19
20 AEFHABCDEFGH

7.3. Własności ostrosłupów
295
CZY JUŻ POTRAFISZ?
1 Który z
A. B. C. D.
2 z
A. B. C. D.
3 i
A. i
B. i
C. i
D. i
4 o -
i
5

7.4
Pole powierzchni
i objętość ostrosłupa
W tym temacie dowiesz się:
jak obliczać pole powierzchni i objętość ostrosłupa.
P
P
P
Pc = Pp + Pb
P b
P p
PRZYKŁAD 1.
Rozwiązanie:
2
P p = 7 = 49
7⋅
10
P b = 4 ⋅ = 140
2
Pc = Pp + Pb
= 49 + 140 = 189
ĆWICZENIE 1.

7.4. Pole powierzchni i objętość ostrosłupa
297
Podział sześcianu na 3 ostrosłupy
Na sześcian składają się trzy identyczne ostrosłupy o podstawie kwadratowej i takiej samej
wysokości – zatem równej objętości. Wobec tego objętość każdego z tych ostrosłupów
stanowi jedną trzecią objętości sześcianu.
H
1
V = ⋅ Pp
⋅ H
3

298 7. GRANIASTOSŁUPY I OSTROSŁUPY
PRZYKŁAD 2.
Rozwiązanie:
4⋅
6
P p = = 12
2
1
V = ⋅12 ⋅ 7 = 28
3
ĆWICZENIE 2.
ZADANIA
1
A. 75 3
4
25 3
B. C. D.25 3
4
2
A. B. C. D.
3
4
5
6
7

7.4. Pole powierzchni i objętość ostrosłupa
299
8
50 3
9
10
11
12
13
14
15
16
a)
b)

300 7. GRANIASTOSŁUPY I OSTROSŁUPY
17
18
19
CENA
15,50 zł
CENA
7 zł
20
1 2 2
V = h( x + xy + y )
3
21

7.4. Pole powierzchni i objętość ostrosłupa
301
22
-
23 o no
w -
-
na
i
SPRAWDŹ W INTERNECIE
Czworościan foremny jest najprostszą bryłą
platońską. Sprawdź w internecie, co to są bryły
platońskie.
CZY JUŻ POTRAFISZ?
1
o 3 3
A. 27 3 B. 27 3
C. 12 3 D. 27
4
2 o o
A. 18 B. C. 6 D.
3
o 4 2 oraz
A. 4 6 B. 16 2 C. 2 14 D. 4 2
4 na
5
w a

302
PODSUMOWANIE ROZDZIAŁU 7
Zanim przystąpisz do rozwiązywania zadań, sprawdź, czy umiesz odpowiedzieć
na poniższe pytania.
Jak obliczyć pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa?
Jak obliczyć pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa?
Jak narysować siatkę graniastosłupa prostego?
Jak narysować siatkę ostrosłupa?
Jakie własności mają graniastosłupy prawidłowe?
Jakie własności mają ostrosłupy prawidłowe?
Jak zamieniać jednostki objętości?
Jak wykorzystywać własności graniastosłupów i ostrosłupów w zadaniach
nawiązujących do realiów codziennego życia?
W zadaniach 1.–3. dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
1
A.12
3
cm
B.18
3
cm
C.20
3
cm
D.40
3
cm
2
A.
B.
C.
D.
3
A.F B.F C.F D.F

303
4
a) b)
5 p
a) b)
6
7
8
9 8 ⋅ 10 6 cm 3
10
11

304
12
a) b)
13
a) b)
14
a) b)
19,3
10,5
g
g
–
cm 3 –
cm 3
15
15 cm
4 cm

305
16
PŁATKI
ŚNIADANIOWE
20%
GRATIS
PŁATKI
ŚNIADANIOWE
10 cm
8 cm 5 cm 8 cm 5 cm
17
18
BCDM
19
20

306
21
5 cm
25 cm
1 m
5 cm
25 cm
22
23
24
25
a) b)

307
26 i z
o
a) b)
27 z
na
a) Z o
na
b) Z o z
o a z o
28
z o -
-
29
-
30 i
-

7 Graniastosłupy
i ostrosłupy

Wielościany
a
c
a
a
a
b
Sześcian
to prostopadłościan, którego
wszystkie krawędzie mają jednakową
długość. Jego ściany są kwadratami.
Pc = 6 . Pp = 6a 2
V = a 3
Prostopadłościan
to graniastosłup, którego wszystkie ściany
są prostokątami.
Pc = 2Pp + Pb = 2(ab + bc + ac)
V = abc

Odpowiedzi
1. POTĘGI I PIERWIASTKI
1. 576 2. 1331 3. a) 1 b) 8 c) 0,5 d) 3 4. a) 0 b) 4 c) −0,2 d) − 1 5. 32,49 cm 2
4
3
6. 18 26
27 dm3 7. 2 5 m 8. 1 dm 9. a) 12 ⋅ 12 b) ( 06 ,) (,) 06
2 ( ) ⋅ c) − 1
4 ( ) ⋅ − 1
4
3 3 3
d) 28 ⋅28 ⋅ 28 e) ( −8, 3) ⋅( −8, 3) ⋅( −8, 3 ) f) ( 1 1 1
7) ( ⋅ 7) ( ⋅ 7) 10. a) 10 2 = 100 b) 1 2 = 1
c) 0 2 = 0 d) 10 3 = 1000 e) 1 3 = 1 f) 0 3 = 0 11. a) 5 19 b) 0, 5625 c) 2 10 d) −2,
744
25
27
12. a) 2⋅ 2⋅ 3 b) 2⋅3⋅3⋅ 3 c) 2⋅ 2⋅5⋅ 7 d) 2⋅ 2⋅ 2⋅5⋅5
1.1. Potęgi o wykładniku naturalnym i całkowitym
1. a) 100 6 b) 1 1 2
4
( ) c) ( , )
−32 3 2. a) 1 3
c) 0 d) −2, 197 4. a) 20 3 b) ( , )
2 3 1 1
d) 2 ⋅3 ⋅ 7 6. a)
113
8. a) 4 b) 9
1. a) 7 5 b) ( −3)
3 c) 2 3
3
4
2
d) ( −
3) ⋅ 2
k 3. a) ( )
4
1
( ) = 81
, ) ,
3
06 036
3. a)
( ) d) 4003 5. a) 3 4 b) 2 5
1
10000
3 2
b) 64
2 2
−0 5 3 c) 2 ⋅ c) 2 ⋅3 ⋅ 11
3
b) − 8 1
c) d) 81 7. dodatnia − a, c, e; ujemna − b, d, f
27 529
4
( ) d) ( , )
4
− 3 = 81 b) 4 3
5
−23 4 2. a) 7 2 ⋅ a 3 2 3 4
b) x ⋅ y ⋅ z c) (,)
( ) = 4. 2 2 2 2 2
52 4 ⋅ b
3
64
4 5 6 7 9 3 4 5 6
, , , , 5. 3 , 3 , 3 , 3
125
6. a) 1 b) 0 c) 625 d) −64 e) −216 f) 1 g) 1 h) 100 000 000 7. a) 2 2 b) − 32
49 243
c) 6,25 d) 1,44 e) 3 13 f) −1,331 g) −0,0625 h) 27 8. a) 1 b) 1 1 c) − 1 d) −15 5 36
64
3 125 8
e) 1 000 000 f) 81 9. a) 7 b) 3 c) 1 d) − 10 10. a) 1, −1 b) 6, −6 c) 20, −20
256 4 5 2 19
d) 1,2; −1,2 e) 0,4; −0,4 f) 2 5 , − 2 g) 7 5 4 , − 7 h) 13 4 9 , −13 11. a) 0 b) 1 c) −2 d) 4
9
2
( ) − = 2 2 = −
( ) −
e) −0,3 f) 100 g) 1 h) 3 12. ( −2)
2 = 1 1
, ( −2)
−2
1
= − = 2 − 2 = 1 5 2
2
2
2
2
15. a) 4225 b) 13 225 c) 42 025 d) 990 025 17. dodatnia − a, b, c, g, i, j, k, l;
ujemna − d, e, f, h 18. a) −200 b) 0,084 19. a) 1 b) 16 c) −31 31 d) 1570,5
25 32
e) 287 f) −2 18
2 3
2 2
20. a) 108 = 2⋅2⋅3⋅3⋅ 3 = 2 ⋅ 3 b) 441 = 3 ⋅3 ⋅7 ⋅ 7 = 3 ⋅ 7
25
2 3
3 4
c) 500 = 2 ⋅2 ⋅5 ⋅5 ⋅ 5 = 2 ⋅ 5 d) 648 = 2⋅2⋅2⋅3⋅3⋅3⋅ 3 = 2 ⋅ 3 21. a) 5 b) 6 c) 9
d) 1 e) 6 f) 7 g) 9 h) 6 22. 0, 1, 4, 5, 6 lub 9. 23. Wskazówka: Patrz zadanie 22.
24. x = 8 lub x = −8, y = 4, z = 2 lub z = −2 25. tak
1. C 2. D 3. B 4. ( 01 ,)
− 2 1
= 100 = , ( −10)
3 = −10 3 −
= ( −0, 001)
1 5. −7,75
001 ,
1.2. Mnożenie i dzielenie potęg o tej samej podstawie. Potęga potęgi
1. 5 5 , 2 5 , 7 3 2. a) 5 16 b) 1 2
( )
2
3. a) ( − 125 , ) = ( 125 , )
b) 7 −3
c) 3 6 5. a) 4 9 b) ( −314 , )
3 c) 12 6 d) 2 1 5
2
( )
2
( )
−14 −14
b) 10 −80
4. a) 2 2
25
( ) 6. a) 5 4 b) 10 8 7. a) ( , )
2
−4 2 15

327
Źródła ilustracji i fotografii
Okładka: (pionki) Pelfophoto/Shutterstock.com
Tekst główny:

328
Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne oświadczają, że podjęły starania, mające na celu dotarcie do właścicieli i dysponentów
praw autorskich wszystkich zamieszczonych utworów. Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, przytaczając
w celach dydaktycznych utwory lub fragmenty, postępują zgodnie z art. 29 ustawy o prawie autorskim. Jednocześnie
Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne oświadczają, że są jedynym podmiotem właściwym do kontaktu autorów tych
utworów lub innych podmiotów uprawnionych w wypadkach, w których twórcy przysługuje prawo do wynagrodzenia.