87_knyha

Î.². Ãëîá³í, Î.². Áóêîâñüêà,
Ä.Â. Âàñèëüºâà, ².À. ѳëüâåñòðîâà
Підручник для 9 класу
загальноосвітніх навчальних закладів

Шановні учні!
Цей підручник допоможе вам опанувати курс алгебри у 9 класі. У кожному
параграфі є теоретичний і задачний матеріал.
Підготовку до кожного уроку розпочніть з прочитання теоретичного
матеріалу і вивчення основного з нього. Жирним шрифтом виділено означення
та важливі математичні твердження. Їх треба пам’ятати і вміти застосовувати.
Зверніть увагу на велику кількість зразків виконання вправ.
Схожі завдання траплятимуться і в задачному матеріалі. Щоб перевірити
себе, дайте відповіді на запитання рубрики «Узагальнюйте міркуючи» ( )
і лише після цього розпочніть виконання домашнього завдання, номери
вправ до якого виділено червоним кольором. Кожний з вас знайде
посильні для себе завдання, оскільки підручник містить вправи трьох
рівнів складності.
Якщо ви хочете дізнатися факти, про які, можливо, раніше не
здогадувались, і побачити, як математика допомагає нам у житті,
розв’яжіть задачі з рубрики «Світ навколо нас» ( ). Матеріал з рубрики
«Дізнайтеся більше» розширить ваші знання з алгебри.
А щоб розвивати своє логічне мислення, нестандартний хід думок
та проявляти творчість, ми пропонуємо вам задачі з рубрики
«Мисліть творчо, логічно, системно» ( ).
У рубриці «Математика без кордонів» ( ) умову задач подано англійською
мовою. Перекладіть їх на українську, а потім розв’яжіть. І на
уроках математики можна покращувати свої знання з англійської мови!
Щоб підготуватися до контрольної роботи, розв’яжіть напередодні
«Орієнтовні завдання для тематичної контрольної роботи». А пригадати
матеріал, вивчений раніше, допоможуть «Тестові завдання на повторення».
Шановні вчителі!
Перед вами підручник з алгебри, що відповідає новій навчальній програмі
для загальноосвітніх навчальних закладів, зміст якого спрямовано
на розвиток мислення, його критичності та логічності.
У підручнику до багатьох задач запропоновано альтернативні способи
розв’язання. Це сприяє розвитку в учнів креативності мислення та прагнення
пошуку раціональних шляхів розв’язування завдань.
Навчальні тексти і система задач сприятимуть формуванню в учнів
ключових та математичної компетентностей. Одне з основних завдань
підручника – формування предметних компетентностей, сутнісний опис
яких подається у вимогах державного стандарту і навчальній програмі з
математики. Підручник також орієнтовано на вироблення ключових компетентностей,
зокрема загальнонавчальної (уміє вчитися), комунікативної
(правильно формулює і висловлює судження, аргументовано дискутує),
загальнокультурної (логічно міркує, цілеспрямований, має розвинені увагу,
пам’ять, інтуїцію, критичне і творче мислення).
3

4
Підручник включає завдання трьох рівнів складності, що дозволить
кожному учню підвищувати свою математичну компетентність, а вчителям
допоможе розвивати та активізувати пізнавальні можливості школярів.
До кожного розділу пропонуються завдання для тематичного оцінювання
та на повторення. Такий підхід дає змогу вчителю звернути увагу
учнів на цілісність курсу математики. Розширенню загальної ерудиції
восьмикласників сприятиме ознайомлення з історичними фактами та висловлюваннями
відомих учених-математиків.
Допоможе у роботі вчителя й рубрика «Мисліть творчо, логічно, системно»,
вправи якої дають змогу врахувати індивідуальні можливісті засвоєння
навчального матеріалу учнями та дозволяють підготувати майбутніх
учасників математичних олімпіад.
Зверніть увагу учнів на рубрику «Математика без кордонів». Завдання
із цієї рубрики дають змогу покращити знання англійської мови – мови
міжнародного спілкування. Пропонуючи завдання з рубрики «Світ навколо
нас», ви зможете ознайомити учнів з відомостями українознавчого
характеру.
Шановні батьки!
Ваші діти – учні 9 класу – це підлітки, з якими часто буває непросто.
Ви маєте допомогти своїй дитині стати дорослою людиною, навчити її
наполегливо вчитися і протистояти труднощам. Уміння вирішувати проблеми
допомагає підлітку сформуватися як особистості.
У ваших руках підручник, у якому відтворено вимоги сучасної освіти:
наявність прикладного й українознавчого задачного матеріалу, завдань до
тематичного контролю, за допомогою яких діти самостійно можуть підготуватися
до контрольної роботи і оцінити рівень своїх знань. У підручнику
є англомовний супровід термінології та задачі, умови яких подано
англійською мовою, що дозволить вашим дітям покращувати знання з
іноземної мови навіть на уроках математики. Теоретичний матеріал подано
у двох напрямках: здобуття математичної освіти та здобуття освіти за
допомогою математики. Ви разом з дитиною можете обрати шлях, яким
рухатиметеся за цим підручником.
Подумайте, чим буде займатися ваша дитина в години, вільні від навчання
й виконання домашніх завдань. Підліток повинен знати: часу на
неробство й нудьгу в нього немає. Підручник містить багато додаткового
матеріалу, тож ви легко зможете організувати за його допомогою роботу
дитини вдома.
Підтримуйте впевненість дітей у собі, у власних силах, у тому, що
навіть за певних недоліків (які є в кожного) у них є свої незаперечні
чесноти. Намагайтеся сформувати в дитини позицію впевненості: «Усе залежить
від мене. Причина невдач та успіхів у мені. Я можу домогтися
багато чого й усе змінити на краще, якщо зміню себе».
Автори

5
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ
НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ
ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
Якщо люди відмовляються вірити в
простоту математики, то це тільки
тому, що вони не розуміють всю складність
життя
Джон фон Нейман
Джон фон Нейман (1903 — 1957) —
американський математик угорського походження,
який зробив значний внесок у
розвиток багатьох галузей математики та
інших наук, а також у справу створення
перших електронних обчислювальних машин
і розробку методів їх застосування.
У цьому розділі ви пригадаєте про:
— властивості степеня з цілим показником;
— ірраціональні числа і дійсні числа;
— арифметичний квадратний корінь та його властивості;
k
— графіки та властивості функцій y = , y = x 2 та y= x ;
x
— квадратні рівняння та способи їх розв’язування;
— теорему Вієта та її застосування;
— квадратний тричлен і способи його розкладання на лінійні множники.
Степінь
Українською
Арифметичний квадратний
корінь
Основні поняття розділу
International
(English)
power
principal square root
Математичною
6 3 , (–2) 0 ,
5 , x − 3
⎛2⎞
⎜
⎝
⎟
3⎠
Обернена пропорційність inverse proportionality
k
y = x
Квадратне рівняння quadratic equation ax 2 + bx + c = 0,
a ≠ 0
Квадратична функція quadratic function y = x 2
−5

6
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
§1. Степінь із цілим показником.
k
Функція y = x
Ключові слова
степінь, основа степеня, показник
степеня
степінь із цілим показником
функція, графік функції
обернена пропорційність, гіпербола
Keywords
power, base, exponent
power with the integer exponent
function, graph of the function
inverse proportionality, hyperbola
Степінь із цілим показником
До цілих належать три види чисел: натуральні числа (їx називають
цілими додатними числами), їм протилежні (цілі від’ємні числа)
і число нуль. Тому для того, щоб дати означення степеня з цілим
показником розглядають три випадки.
1. Степінь із натуральним показником
Степенем числа а з натуральним показником n, більшим за 1, називають
добуток n множників, кожний з яких дорівнює а, і позначають
а n . Тобто, якщо n > 1, то а n = а · a · … · a (n множників).
Якщо n = 1, то а 1 = а.
Число а називають основою степеня, число n — показником степеня.
Знаходження степеня числа а називають піднесенням числа а до
степеня.
Приклад 1.
1) 1,2 1 = 1,2;
2) (–3) 3 = (–3) · (–3) · (–3) = –27;
3) 0 4 = 0 · 0 · 0 · 0 = 0;
4) 1 5 = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1;
5) (–1) 5 = (–1) · (–1) · (–1) · (–1) · (–1) = –1.
Зверніть увагу!
Якщо п — натуральне число, то 0 n = 0, 1 n = 1.
Якщо п — парне число, то (–1) n = 1.
Якщо п — непарне число, то (–1) n = –1.

2. Степінь із нульовим показником
Степінь будь-якого числа а, відмінного від 0, з нульовим показником
дорівнює 1. Тобто, якщо a ≠ 0, то a 0 = 1.
7
Приклад 2.
1) 4 0 = 1; 2) (–1,25) 0 = 1; 3)
⎛2⎞
⎜
⎝
⎟
5⎠
0
= 1 ; 4) –32,7 0 = –1.
3. Степінь із цілим від’ємним показником
Степінь будь-якого числа а, відмінного від 0, з показником (–n), де
n — натуральне число, дорівнює 1 .
n
a
Тобто, якщо a ≠ 0 і n – натуральне число, то а –n =
Зверніть увагу!
−n
⎛a⎞ ⎛b⎞
⎜ =
⎝
⎟ ⎜ ⎟
b⎠ ⎝a⎠
n
.
1 .
n
a
Приклад 3.
1) 4 –1 = 1 4 ; 3) (–3)–3 =
2)
−1
⎛3⎞
8 2
⎜ ⎟ = = 2 ; 4) (–1,25) –2 =
⎝8⎠
3 3
3 3
⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞
1
⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = − ;
⎝−3⎠ ⎝3⎠
27
−2 2 2
⎛ 5⎞ ⎛ 4⎞ ⎛4⎞
16
⎜− ⎟ = ⎜− ⎟ = ⎜ ⎟ = .
⎝ 4⎠ ⎝ 5⎠ ⎝5⎠
25
Зверніть увагу!
Вирази 0 0 і 0 –n , п — натуральне число, не мають
змісту.
Приклад 4. При яких значеннях змінної має зміст вираз:
1) (x – 2) 0 ; 2) (x 2 – 4) –7 ?
Розв’язання
1) Оскільки, за означенням степеня з нульовим показником, основа
степеня має бути відмінною від нуля, то заданий вираз має зміст,
якщо x – 2 ≠ 0, тобто при х ≠ 2.
2) Оскільки, за означенням степеня з цілим від’ємним показником,
основа степеня має бути відмінною від нуля, то заданий вираз
має зміст, якщо x 2 – 4 ≠ 0, тобто коли (x – 2)(x + 2) ≠ 0, отже, при
x ≠ 2 і x ≠ –2.
Відповідь: 1) при х ≠ 2; 2) при x ≠ 2 і x ≠ –2.

8
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
Основні властивості степеня із цілим показником
1) a m · a n = a m + n ;
2) a m : a n = a m – n , a ≠ 0;
3) (a n ) m = a n · m ;
4) (ab) n = a n b n ;
5)
⎛a⎞
⎜
⎝
⎟
b⎠
n
a
=
b
n
n
, b ≠ 0.
Приклад 5.
1) 5 –12 · 5 10 = 5 –12 + 10 = 5 –2 1
=
25 ;
2) (–4) –4 : (–4) –10 = (–4) –4 –(–10) = (–4) 6 = 256;
3) (–(–0,5) –2 ) 3 3
−6
3 −2 −6 ⎛ 1⎞
6
= ( −1) ⋅( ( − 0,5)
) =−− ( 0,5) =−⎜− =−− ( 2)
=−64;
⎝
⎟
2⎠
4)
−2 2
⎛ 3⎞ ⎛ 7 ⎞
⎜1 ⎟ = ⎜ ⎟ = 0,49; 5) –3 2 · (–3) –2 =
⎝ 7⎠ ⎝10⎠
Приклад 6. Обчисліть значення виразу
Розв’язання
2
(( ) )
( )
2
⎛ 1⎞
1
−9⋅⎜− = −9⋅ = −1.
⎝
⎟
3⎠
9
−3 5 2
2 ⋅3 ⋅36
3 −2
427 ⋅ ⋅6
2
−3 5
−3 5 2 −3 5 4 4 9
2 ⋅3 ⋅36 2 ⋅3 ⋅ 2⋅3
2 ⋅3 ⋅2 ⋅3 2⋅3
2
= = = = 23 ⋅ = 29 ⋅ = 18.
3 −2 2 3 3 −2 2 9 −2 −2 7
427 ⋅ ⋅6 2 ⋅(3 ) ⋅ 2⋅3
2 ⋅3 ⋅2 ⋅3 3
Відповідь: 18.
2 −1
−
Приклад 7. Розв’яжіть рівняння ( − x + ) = −( )
Розв’язання
.
1 −1
5 0,2 1:0,025 .
−
−
Перетворимо праву частину рівняння: ( x ) 1
−
2 −1 ( ) 1 −1
− 5x
+ 0,2 = − 40 , тоді
2 1
2
2
− 5x
= − 45;
x = 9 , звідки x =± 3.
Відповідь: ± 3.
2 1 −1
− 5 + 0,2 = − 40 . Отже,
1 1 , 5 2
= − х + 5 = − 40;
−
− 5x
+ 0,2 −40
k
Функція y = , її графік і властивості
x
k
Функцію вигляду y = , де k – число, k ≠ 0, називають оберненою
x
пропорційністю.

9
Графік оберненої пропорційності називають гіперболою.
k
Властивості функції y= , де k≠0
x
Графік функції
у
у
k>0
k 0
x > 0
y < 0
x < 0
5. Монотонність спадає на кожному із
проміжків області визначення
6. Координатні чверті,
I i III
у якиx лежить графік
7. Симетрія графіка Відносно початку координат,
відносно
прямиx y=±
x
Усі дійсні числа крім
0
Усі дійсні числа крім
0
x = 0
y = 0
x < 0
x > 0
зростає на кожному
із проміжків області
визначення
II i IV
Відносно початку координат,
відносно
прямиx y=±
x
8−
2x
Приклад 7. 1) Побудуйте графік функції: y = .
x
3
− 4 x
Розв’язання
Областю визначення функції будуть всі значення аргументу х, що
задовольняють умову x 3 −4x≠ 0або x( x+ 2)( x−2) ≠ 0. А це є всі дійсні
2
1 Асимптотою графіка функції називають пряму, до якої графік як завгодно близько
наближається, але не перетинає її (таке означення в майбутньому буде уточнене).

10
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
числа, крім чисел 0, –2 і 2. Скоротимо
дріб, яким задано функцію:
2
( − х )
( )
2
8−
2x
24 2
= = − .
3 2
x − 4x −х 4 −х
х
2
Одержана функція у =− є
х
оберненою пропорційністю. Отже,
для того, щоб побудувати графік
заданої функції треба побудувати
2
графік функції у =− і «виколоти»
з нього точки з абсцисами
х
x=− 2 та x= 2, тобто точки з
координатами ( −2;1) та ( 2; − 1 ).
зобра-
8−
2x
Графік функції =
4
жено на малюнку 1.1
2
y
x
3
− x
Мал. 1.1
2) Побудуйте графік функції:
⎧ 6
⎪ − , якщо x ≤2,
y = ⎨ x
⎪
⎩1 − 2 x, якщо x>
2;
Розв’язання
Областю визначення функції є
всі дійсні числа, крім числа 0.
Для того, щоб побудувати графік
заданої функції, треба побудувати
графіки двох функцій, кожна з
яких визначається на заданому
Мал. 1.2
проміжку, а саме: проводимо уявну
пряму через точку (2;0) паралельно до осі ординат. Ліворуч від неї,
6
тобто при х≤2 будуємо графік оберненої пропорційності y =− , а праворуч,
при х>2 відповідно графік лінійної функції y= 1− 2 х.
Графік
x
заданої функції зображено на малюнку 1.2.

11
УЗАГАЛЬНЮЙТЕ МІРКУЮЧИ
1. Поясніть, як від степеня з додатним показником перейти до степеня
з від’ємним показником.
2. Назвіть властивості оберненої пропорційності. Обґрунтуйте симетричність
графіка оберненої пропорційності відносно прямих у = х
та у = –х.
3. Цілим чи дробовим, додатним чи від’ємним числом є значення
виразу:
−2 −3
3 0 −5
−4 − ⎛1⎞ ⎛ 1⎞
1) −3 ; 2) ( −0,25 ) ; 3) −⎜ ; 4) ( −103,2 ) ; 5) ( −π)
; 6) 1 − .
⎝
⎟ ⎜ ⎟
5⎠ ⎝ 2⎠
РОЗВ’ЯЖІТЬ САМОСТІЙНО
РІВЕНЬ (LEVEL) І
Завдання 4—13 мають по чотири варіанти відповіді (А—Г), з яких
тільки один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді
−1
−
4. Обчисліть : ( 1 2 ) 1
− .
А 1 2
Б 2 В –2 Г −1
−5 −2
5. Спростіть вираз: 2 :( 2 ) 3
.
А 2 Б 1 2
В 1
Г
2 −10
1+ = − 2.
А –1,5 Б –3 В 1,5 Г 0,5
А A
6. Розв’яжіть рівняння: ( х) −1
7. Порівняйте вирази А та В , де ( ) 1 −1
A 2 , B 2
= B
Б порівняти не
можна
В A
1
8. Для яких значень змінної вираз ( 1) 0
−
= − = − .
> B
Г A<
B
x − + немає змісту?
А –1 Б 0 В 1 Г 0; –1
− 1 − 2 − 3
9. Розташуйте числа a= 0,3 ; b= 0,3 ; c= 0,3 у порядку спадання.
А c; a; b Б b; a; c В a; b; c Г c; b; a

12
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
А
4
0
7
0
−2
−
10. Виконайте дії ( ) ( )
1
1 4
Б 4 5
1,2 + 5:3 ⋅ 2 .
В 1 4
Г 3 4
11. Доберіть значення змінної, яке б задовольняло рівність
4 6
⋅ 2 = − 2 .
х − −
А –4 Б 4 В 1 Г – 1 4
4
12. Знайдіть значення аргументу, при якому значення функції
9
y =− дорівнює 6.
x
А 1,5 Б – 2 3
В –3 Г –1,5
13. В яких координатних чвертях лежить графік функції у =
А I, IV Б I, II В II, IV Г I, III
3
− ?
х
РІВЕНЬ (LEVEL) II
14. Обчисліть (Calculate):
1) –3 – 2 ; 3) 1 –2 · 3 –2 ; 5) (–5) 0 ; 7)
−1
2) (– 2) – 3 ⎛ 1⎞
; 4) ⎜2 ⎟ ; 6) (0,01) –2 ; 8)
⎝ 3 ⎠
⎛ 3⎞
⎜−
⎝
⎟
5⎠
−2
;
−3
⎛ 2⎞
⎜1 ⎟ .
⎝ 3 ⎠
15. Обчисліть (Calculate):
1) – 1 –123 ; 3) – 7 2 ; 5) (–0,5) –4 ; 7) (–3) –1 ; 9) –2p 0 ;
−3
0
−3
2) –2 –4 ⎛ 1⎞
⎛ 2 ⎞
; 4) ⎜−
⎝
⎟ ; 6) −
3⎠
⎜
⎝
⎟
13⎠ ; 8) ⎛ 2⎞
⎜−1 ⎟ ; 10) –1 –32 .
⎝ 3 ⎠
16. Порівняйте (Compare):
−86
−86
1) a =− 5 і b = ( − 5) ; 4)
−46
2) a = ( − 1,5) і
−5
3) a = 4 і
−47
b = ( − 1,3) ; 5)
−4
b = 5 ; 6)
−7
a = ( − 0,243) і
−10
a = (0,72) і
−78
a = 3 і
−9
b = ( − 0,243) ;
−11
b = (1,03) ;
117
b = 0,5 .
17. Спростіть вираз (Simlify the expression):
1) x –4 : x –5 ; 3) y 2016 · y –2016 ; 5) c –1 : c; 7) b 9 · b –14 : b –5 ;
2) x –8 : x 4 : x –12 ; 4) (c –5 ) 4 ; 6) (а 3 ) –10 ; 8) (–у –4 ) 5 .
18. Спростіть вираз (Simlify the expression):
1) a 3 · a –4 ; 3) y –4 : y 3 ; 5)
⎛ −6
( а )
⎝
−1
3
⎞
⎠
; 7) ( x
4 x −2
) 3
⋅ ;

13
2) x –7 · x 12 · x –6 ; 4) x 6 : x 11 ; 6) (–x –6 ) 3 4 −2
−
; 8) ( x : x ) 3
19. Виконайте дії і зведіть вираз до вигляду, що не містить степеня
з від’ємним показником:
1) (–1 –1 ) –4 ; 3) (–0,01 –3 ) –1 ; 5)
2) (2 –2 ) –3 ; 4)
−2 −2
⎛5⎞ ⎛5⎞
⎜ :
⎝
⎟ ⎜ ⎟
3⎠ ⎝2⎠
−3 −3
⎛ 1⎞ ⎛3⎞
⎜1 ⋅
⎝
⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎠ ⎝ 4 ⎠
; 7) ( 3,5)
− ⎛ ⎞
⋅ ⎜
⎝ ⎟
7⎠
6 2
; 6) (1,5) –3 : (0,5) –3 ; 8) (3 4 – 81) 0 .
20. Виконайте дії і зведіть вираз до вигляду, що не містить степеня
з від’ємним показником:
1) (5 –2 ) 2·5 3 ; 3) (5 –3 ) –4 : 5 10 ; 5) (2 –2 ) –7 : (2 –3 ) –5 ; 7) – 2 –4·(2 –2 ) –4 ;
2) (2 3 – 16) –4 ; 4)
− ⎛ ⎞
3 ⋅ ⎜
⎝ ⎟
3⎠
3 2
−4
21. Побудуйте графік функції
4
y =− . Використовуючи графік, зна-
x
йдіть:
1) y( − 2)
, y ( 0,5)
, y ( 4)
, ( 0)
y ;
; 6) (0,2) –4 · 5 –5 ; 8)
.
−7
−8 −6
⎛3⎞ ⎛ 1⎞
⎜ ⋅ 2
⎝
⎟ ⎜ ⎟
7⎠ ⎝ 3⎠
2) значення аргументу, при яких значення функції дорівнює 2; 4;
–8; –1;
3) значення аргументу, при яких значення функції є додатними;
22. Побудуйте графік функції
6
y = . Використовуючи графік, зна-
x
йдіть:
1) у(6), y( − 2)
, y( − 3)
, ( 0)
y ;
2) значення аргументу, при яких значення функції дорівнює 1,5;
4; –2; –8;
3) значення аргументу, при яких значення функції є від’ємними.
РІВЕНЬ (LEVEL) III
;
.
23. Обчисліть (Calculate):
1)
−1
⎛ 1⎞
⎜1 + ( −2,3) −2
⎝
⎟
3⎠
⎛⎛
⎜⎜
⎝⎝
1⎞
⎟
3⎠
−2
0 −2
−1
2) − ⋅6 −( −9,7) ⋅( 0,5)
; 3)
⎞
⎟
⎠
0 −3
;
5
−
−3
( 3 ) ⋅( 3 )
( )
2 −4
−3
⎛ 1⎞
0,3 ⋅⎜3 ⎝
⎟ 3 ⎠
−4
.

14
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
24. Обчисліть (Calculate):
(
3 ) −
( 4
2 ⋅ 2 )
1)
10
−3
( 2 )
2)
4 −5
−1
⎛ 1⎞
⎜1 + ( −2,3) −3
⎝
⎟
5⎠
1
1
−
−
; 3)
⎛
− −1 −1
1−( 1− 2
⎞
) + ( 1 + (1+
2 ) )
0 −2
;
25. Розв’яжіть рівняння (Solve the equation):
1 1
1) 5x − 3 −
−1
−1
2x
+ 3
− = − ; 2) ( x − 5) = 0,25; 3)
−1
= 1;
3x
−5
26. Розв’яжіть рівняння (Solve the equation):
( ) 1 1
x − −
− = −
1) 2 2 ;
− 1
= x 3)
2)9 x ;
⎝
1 1
x − −
1 −1
⎠
−
−
4) ( x ) 1
.
1 −2
4 + 2 = −2 .
1 1
x − −
(3 − 4) = 5 ; 4) (3 − 4) = 0,5 .
27. При яких значеннях змінної вираз немає змісту:
−
2
− ⋅ + ; 3) ( x 10x
25) 1
0 −
1) ( x 2) ( x 1) 1
2)
2 8
x −
( x 2 )
+ ; 4) ( 1 2) 0
+ + ; 5)
x + − ; 6)
−4
( x −2 − 1) ;
⎛x
− 3⎞
⎜
⎝
⎟
x + 1⎠
28. Знайдіть область визначення виразу (Find the domain of the
expression):
1)
2 0
( x − 1) ; 2)
⎛ x −1⎞
⎜
⎝
⎟
x + 2⎠
−5
0
−
; 3) ( x 1 ( x 2) ) 2
+ − − ; 4)
0
?
3 0
( x + 4 x)
.
29. Побудуйте графік функції (Plot the graph of the function):
1−
x
1) y =
x
2
− ; 2) 2x
− 6
y = ; 3)
x x
2
− 3 x
=
x + 2
y
x
2 x x
( ) 0
+ 2 −1
; 4)
⎛ 1 ⎞
y= 2x− ⎜
⎝ ⎟
3x
− 2⎠
30. Побудуйте графік функції (Plot the graph of the function) :
1)
2⎛
х −1⎞
y = ⎜ х ⎝
⎟ х + 2⎠
2х
+ 4
2) y =
х
2
+ 2 х
0
2
⎛x
− 4⎞
; 3) y = 2 + ⎜ ;
2
⎝ x −1
⎟
⎠
4 y 1 2
=− + − х − 1 .
х
; 4) ( ) 0
31. Визначте графічно кількість розв’язків системи рівнянь:
⎧xy
=−2,
⎧xy
= 3,
1) ⎨ 2) ⎨
⎩x
+ y = 2;
⎩y
+ x = 0.
32. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:
⎧xy
= 4,
⎧xy
= 5,
1) ⎨ 2) ⎨
⎩x
+ 2y
= 6;
⎩2x−
y=
3.
0
−1
.

15
33. Побудуйте графік функції (Plot the graph of the function):
⎧ 2 ⎧ 4
⎪ − , якщо х ≤2,
⎪ − , якщо х < 4,
1) y = ⎨ x
2) y = ⎨ x
⎪
⎩2x− 2, якщо х>
2;
⎩ ⎪ 2 −x, якщо х≥4.
34. Побудуйте графік функції (Plot the graph of the function):
⎧2 x, якщо х≤−2,
⎧6 ⎪
⎪ , якщо x ≤− 2,
1) y = ⎨3 2) y = ⎨x
⎪ , якщо х >− 2;
⎩x
⎩ ⎪ x− 1, якщо x> −2.
СВІТ НАВКОЛО НАС
35. Художник Віктор Васнецов розписував
Володимирський собор у Києві.
За 10 років він разом із помічниками
розписав чотири тисячі квадратних
аршин внутрішньої поверхні
собору, зобразив 15 великих композицій
і 30 окремих фігур, не рахуючи
дрібних зображень. Які числа можна
віднести до точних, а які — до наближених?
МИСЛІТЬ ТВОРЧО, ЛОГІЧНО, СИСТЕМНО
36. Відомо, що р, р+2, р+16 – прості числа. Знайдіть усі такі числа.
37. У трьох посудинах налита вода. Якщо 1 води з першої посу-
2
дини перелити у другу, потім 1 3
води, що зібралась у другій, перелити
у третю, і 1 4
води з третьої перелити у першу, то в кожній
посудині виявиться по 6 літрів води. Скільки води було у кожній посудині
спочатку?
38. Напишіть есе на тему «Я і математика».
МАТЕМАТИКА БЕЗ КОРДОНІВ
MATHEMATICS WITHOUT BORDERS
39. One room measures 3,56m by 2,96m. The second room measures
4,52m by 3,73m. How much carpet does James need to cover both floors?

16
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
§2. Раціональні вирази зі змінними
Раціональні рівняння
Ключові слова
дріб, чисельник, знаменник
додавання, віднімання,
множення, ділення
раціональне рівняння
область визначення рівняння
рівносильні рівняння
Keywords
fraction, numerator, denominator
addition, subtraction,
multiplication, division
rational equation
domain of the equation
equivalent equations
Раціональні вирази зі змінними
Вираз, який складено із чисел і змінних за допомогою дій додавання,
віднімання, множення, ділення або піднесення до степеня із
цілим показником, називають раціональним виразом.
−4
6a ⎛ x + 3 ⎞
Наприклад, вирази 2y+3; ;
2 2 ⎜ ⎟ є раціональними.
x − a ⎝2x
−1⎠
Раціональний вираз, який не містить ділення на вираз зі змінною,
називають цілим.
Наприклад, – 0,9р; 6а 2 – 3а – 2; 2 x − 3
ас ; п + 2т; – цілі вирази.
7,3
3
Одночлени і многочлени є цілими виразами.
Раціональний вираз, який містить ділення на вираз зі змінною, називають
дробовим виразом.
5
Наприклад, вирази
х − 1
, y+ 3 x−2
; є дробовими.
2
y − 4 y + 3
Дробові вирази ще називають дробами.
Числові значення змінних, при яких раціональний вираз має зміст
(тобто можна знайти відповідні числові значення виразу), називають
допустимими значеннями.
Усі допустимі значення змінних виразу називають областю допустимих
значень змінних або областю визначення виразу.

а −5
Наприклад, вираз
а 2
має зміст при всіх значеннях а, крім
− 4
а = – 2 та а = 2. Тому, областю визначення виразу будуть усі дійсні
числа, крім чисел –2 і 2.
Зверніть увагу!
1) Цілі раціональні вирази мають зміст при будь-яких значеннях
змінних, тому областю їх визначення є всі дійсні числа.
2) Існують вирази, область визначення яких не містить жодного
4х
числа, наприклад, .
2 2 2
5х −2х −3х
Умови, які накладаються під час знаходження області визначення
деяких раціональних виразів, наведені у наступній таблиці
17
Зверніть увагу!
Два дроби (два вирази) називають тотожно рівними, якщо їх відповідні
значення рівні між собою при всіх допустимих значеннях
змінної (змінних).
Заміну виразу тотожним йому виразом називають тотожним перетворенням
виразу.
Основна властивість дробу. Якщо чисельник і знаменник дробу на
області його визначення помножити або поділити на один і той самий
вираз, який тотожно не дорівнює нулю, то одержимо дріб тотожно
рівний заданому.

18
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
Правила виконання дій з раціональними дробами
Дії з раціональними дробами виконують за тими самими правилами,
що й дії із числовими дробами.
Скорочення раціональних дробів. Скоротити раціональний дріб –
означає поділити його чисельник і знаменник на спільний множник.
Можливість такого скорочення зумовлена основною властивістю дробу.
Для того, щоб скоротити раціональний дріб, треба:
1) розкласти чисельник і знаменник дробу на множники;
2) поділити чисельник і знаменник дробу на їхні спільні множники
(якщо вони є);
3) якщо спільних множників немає, то скорочення дробу не можливе.
3 2
3x
− 6x
Приклад 1. Скоротіть дріб:
.
2 2
2xy
− 4y
Розв’язання
Розкладаємо чисельник і знаменник дробу на множники, далі виконуємо
скорочення. Отже,
= = , за умови, що
3 2 2 2
3x −6x 3 x ( x−2) 3x
2 2 2 2
2xy −4y 2 y ( x −2) 2y
х – 2 ≠ 0 і у ≠ 0.

2
x
2
y .
3
Відповідь:
2
3a
5b
Приклад 2. Виконайте дії: 1) + ; 2) 4 − 3 +
12
2 2
2
5xy
4xy
x+ 2 x−2 x − 4
;
2 3
4ab 5xy 2bсy
3)
2 2
15dcy
⋅ 8ab
⋅ 3axb
; 3x+ 6y 5x+
10y
4) : .
x 2 −y 2 x 2 − 2xy+
y
2
Розв’язання
3a 5b 3a⋅4y 5b⋅ 5x 12ay 25bx 12ay + 25bx
1) + = + = + =
, за
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
5xy 4xy 5xy⋅4y 4xy ⋅5x 20xy 20xy 20xy
умови, що ху ≠ 0;
4 3 12 4( х− 2) 3( х+
2) 12
2) − + = − + =
2
x+ 2 x− 2 x − 4 ( х+ 2)( х−2) ( х− 2)( х+ 2) ( х+ 2)( х−2)
4( х−2) − 3( x+ 2)
+ 12 4x−8−3x− 6+ 12 x−2 1
= = = =
2 2 2
, за умови, що
x − 4 x − 4 x − 4 x + 2
x ≠±2;
2 3 2 3 2 4 2
4ab 5xy 2bсy 4ab⋅5xy⋅2bсy abcxy b
3) ⋅ ⋅ = = = , за умови,
що abcdxy ≠
2 2 2 2 2 3 2
15dcy 8ab 3axb
15dcy ⋅8ab ⋅3axb 9a b y xcd 9d
0;
4)
2 2
( 3x+ 6y)( x − 2xy+
y )
3x+ 6y 5x+
10y
:
= =
2 2 2 2 2 2
x −y x − 2xy+ y x − y 5x+
10y
2
( )( )
( )( )( )
3 x+ 2y x−y 3 x−y
= =
5 x− y x+ y x+ 2y 5 x+
y
12ay
+ 25bx
Відповідь: 1) ; 2)
2 2
20xy
Приклад 3. Спростіть вираз:
( )( )
( )
,
( )
1 b ; 3)
x + 2 9 d ; 4) 3 x−
y
5( x+
y)
за умови, що x≠± y; x≠−2 y.
⎛ 2 2
⎛a + 3a− 10⎞ ⎞ ⎛a + 2a⎞
⋅
2
⎜⎜ ⎝a
+ 7a+
10
⎟
⎠ ⎟ ⎜
⎝ 2 − a
⎟
⎝
⎠ ⎠
.
2
3
6
Розв’язання
2
3
6 6 6
⎛ 2 2
⎛a + 3a− 10⎞ ⎞ ⎛a + 2a⎞ ⎛( a− 2)( a+ 5) ⎞ ⎛a( a+
2)
⎞
⋅ = ⋅ =
2
⎜⎜ a + 7a+ 10
⎟ ⎟ ⎜
2 − a
⎟ ⎜
⎝( a+ 5)( a+ 2)
⎟
⎠
⎜
⎝ a−2
⎟
⎝⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠
⎠
6 6
6
( a−2) ⋅a ⋅ ( a+
2)
6
= a , при умові, що а ≠ ±2, а ≠ –5.
6 6
( a+ 2) ⋅( a−2)
Відповідь: а 6 , при умові, що а ≠ ±2, а ≠ –5.
.
19

20
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
Приклад 4. Спростіть вираз a −3 b −2 a −1 a −1 b −1 a −1 b −1
− ⎛ + − ⎞
⋅ +
−2 −2 −2 −1 −1 −2 −1 −1
b + a
⎜
⎝a − b a a + b a
⎟
⎠ .
Розв’язання
Зробимо такі заміни a –1 = m, b –1 = n. Після заміни отримаємо звичайний
раціональний вираз, який спрощуємо враховуючи порядок виконання
арифметичних дій.
3 2
2 2
m − n m ⎛ m+ n m− n ⎞ mm ( − n)
⎛ m+ n m−n
⎞
⋅
2 2 ⎜ +
2 2 ⎟ = + =
2 2
n + m ⎝m − mn m + mn⎠ n + m
⎜
⎝mm ( − n) mm ( + n)
⎟
⎠
( ) ⎛( m+ n) + ( m−n)
( ) 2( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
mm −n ⎞ mm − n n + m
=
2 2 ⎜
⎟ = ⋅ = 2.
2 2
n m mm ( n)( m n
2 2
+ ⎝ − + ) ⎠ n + m mm − n
Відповідь: 2, при умові, що а ≠ 0, b ≠ 0 і а ≠ b.
Раціональні рівняння
Рівняння f(x) = g(х), ліва і права частини якого є раціональними
виразами, називають раціональним.
Два рівняння f1( x) = g1( x)
та f2( x) = g2( x)
називають рівносильними ,
якщо вони мають одні й ті ж корені або обидва не мають коренів.
Наприклад, рівносильними є рівняння x 2 − 25 = 0 і x = 5 (обидва
мають одні й ті ж корені: –5 і 5). Рівняння x 3 1 x + 4 = − 9
не мають коренів, тому вони також є рівносильними. Рівняння
2
0
( x − 8) = ( x− 3)
і ( x 2 − 8)
= 1 не є рівносильними, оскільки перше рівняння
має єдиний корінь – число (–3), а друге рівняння має два корені:
–3 і 3.
− = − і ( )
Зверніть увагу!
Областю визначення рівняння f(x) = g(х) називають усі значення
змінної х, при яких мають зміст обидві частини рівняння.
Щоб розв’язати рівняння, його, як правило, намагаються замінити
рівносильним йому рівнянням, але простішим. Таку заміну рівняння
на рівносильне виконують не змінюючи області визначення, користуючись
такими властивостями рівнянь:
1. Якщо до обох частин рівняння f( x) = g( x)
додати один і той самий
вираз hx, ( ) який має зміст при усіх значеннях змінної з області
визначення даного рівняння, то отримаємо рівняння
fx ( ) + hx ( ) = gx ( ) + hx ( ) , рівносильне даному. Наприклад,
1) рівняння х 2 = 4 рівносильне рівнянню х 2 + 3х+ 8= 3х+ 12, їх
розв’язки числа 2 і −2.
2

2) рівняння х 2 = 4 не рівносильне рівнянню х 2 + х− 1= 4+ х− 1,
бо область визначення другого рівняння є всі значення змінної, що задовольняють
нерівність х ≥ 1. Коренем другого рівняння є лише число.
2. Якщо який-небудь доданок перенести з однієї частини рівняння
в другу, змінивши його знак на протилежний, то отримаємо рівняння,
рівносильне даному.
f x = g x помножити на один і той
3. Якщо обидві частини рівняння ( ) ( )
самий вираз hx, ( ) який має зміст і відмінний від нуля при усіх значеннях
змінної з області визначення даного рівняння, то отримаємо рівняння
fx ( ) ⋅ hx ( ) = gx ( ) ⋅ hx ( ) , рівносильне даному (див. приклад 3). Наприклад,
1) рівняння х 2 = 4 рівносильне рівнянню х 2 ( х 2 + 5) = 4( х
2 + 5) , бо
2
х + 5≠ 0 при всіх значеннях змінної;
2) рівняння х 2 = 4 не рівносильне рівнянню х 2 х− 5 = 4 х− 5 ,
бо друге рівняння має розв’язок х = 5, а числа 2 і −2 не його
розв’язком.
При розв’язуванні раціональних рівнянь, як правило, всі його члени
переносять у ліву частину, виконують спрощення і використовують
наступні умови рівності (не рівності) нулю добутку і частки многочленів:
1) добуток двох (або кількох) многочленів p(x) і q(x) дорівнює нулю,
якщо хоча б один із них дорівнює нулю на області визначення даного
рівняння. Корені рівняння виду p(x)q(x) = 0 знаходимо з умови:
p(x) = 0 або q(x) = 0;
2) добуток двох (або кількох) многочленів p(x) і q(x) не дорівнює
нулю, якщо жоден з них не дорівнює нулю;
3) частка двох многочленів p(x) і q(x) дорівнює нулю тоді і тільки
тоді, коли ділене p(x) дорівнює нулю, а дільник q(x) не дорівнює нулю,
звідки корені рівняння виду = 0 знаходимо з умови:
px ( )
qx ( )
p(x) = 0 і q(x) ≠ 0.
Наприклад, рівняння ( х+ 2) х− 3 = 0 має лише один розв’язок х = 3, бо
область визначення даного рівняння є всі дійсні числа з проміжка [ 3; ∞ ).
y + 3 3 21
Приклад 5. Розв’яжіть рівняння: − =
.
y− 4 y+ 3 ( y+ 3)( y−4)
Розв’язання
Перенесемо вираз у правій частині рівняння в ліву, змінивши знак
y + 3 3 21
на протилежний: − − = 0. Зведемо дроби в лівій час-
y− 4 y+ 3 y+ 3 y−4
( )( )
21

22
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
( )
2
y+ − ( y− ) −
тині рівняння до спільного знаменника: =
( y+ 3)( y−4)
2
( y ) ( y )
виконаємо тотожні перетворення:
( y+ 3)( y−4)
2
у + 6у+ 9− 3у+ 12−21 = 0
( y+ 3)( y−4)
у
2
+ 3у
= 0 . Корені рівняння
знаходимо з умов: уу ( 3) 0
= 0
, ,
( y+ 3 )( y−4
) ( y+ 3 )( y−4
)
+ = і ( y 3)( y 4)
0.
3 3 4 21 0 . Далі
+ 3 −3 −4 −21 = 0 ,
уу ( + 3)
+ − ≠ Враxовуючи область
визначення рівняння y≠−3 i y≠ 4 , коренем рівняння є значення y = 0.
Відповідь: 0.
Зверніть увагу!
Якщо перетворення рівняння порушували рівносильність, тоді
важливим етапом процесу розв’язування рівнянь є перевірка знайдених
коренів на їх належність до області визначення початкового
рівняння або їх перевірка підстановкою у початкове рівняння.
Приклад 6. Розв’яжіть рівняння :
0 2
2 ⎛ x− 1⎞
x + 3x 3x−9
1) х + 2x+ ⎜ = 1; 2) + = 1;
⎝
⎟
2 2
x + 2⎠
x + 6x+ 9 x −9
2
3) x − x+ x− 4 = x− 4 + 20.
Розв’язання
1) За означенням степеня з нульовим показником область визначення
рівняння х + 2x+ ⎜ ⎟ = 1 буде визначатись умовою х −1 ≠ 0 .
0
2 ⎛ x −1⎞
⎝x
+ 2⎠
х + 2
Тому це будуть всі числа, крім чисел –2 і 1. За тим же означенням
0
⎛ x −1⎞
2
2
⎜ ⎟ = 1. Отримуємо рівняння х + 2x+ 1= 1 або х + 2x= 0. Його корені
х = –2 і х = 0. Значення х = –2 не належить області визначення,
⎝x
+ 2⎠
тому рівняння має один корінь х = 0.
Відповідь: 0.
2) Областю визначення рівняння x 2
+ 3 x 3 x −9 + =
2 2 1 є всі дійсні
x + 6x+ 9 x −9
числа, крім чисел –3 і 3.
Виконаємо тотожні перетворення у лівій частині рівняння, отримаємо:
2
x + 3x 3x−9 xx ( + 3)
3( x−3)
+ −
2 2 1 = 0, + −
2
1 = 0,
x + 6x+ 9 x − 9 ( x + 3)
( x− 3)( x+
3)
x 3 x+ 3 − ( х+
3) 0
+ − 1= 0, = 0, = 0.
x+ 3 x+ 3 x+ 3 x+
3
( ) ( )

Отже, розв’язками рівняння є всі дійсні числа крім х = –3 і х = 3
Відповідь: будь-яке число, крім –3 і 3.
2
2
3) Рівняння x − x+ x− 4 = x− 4+ 20 та x − x= 20 не є рівносильними,
тому знайдені корені необxідно перевірити. Дійсно рівняння
2
x −x− 20 = 0 має розв’язками числа 5 та (–4), але задовольняє виxідне
рівняння лише число 5.
Відповідь: 5.
23
УЗАГАЛЬНЮЙТЕ МІРКУЮЧИ
40. Що називають областю визначення рівняння?
41. Які два рівняння називають рівносильними?
Чи рівносильні рівняння:
2
1) 3x− 2= 16 і 4x= 24; 2) x =− 4 і x=− 2; 3) 2x− 8= 0 і x − 4x= 0?
42. В результаті деякого перетворення з рівняння (а) отримали
рівняння (б). Назвіть виконане перетворення. Чи є рівняння (а) і (б)
рівносильним?
2
2
xx+ 1 = 2 (а), x + x= 2 (б); 3) x = 4 (а), x = 4x
(б);
1) ( )
2) 4x
− 1= 0 (а), 4x
+ 6= 7 (б); 4) 2x + 3 = 8+
3
x −4 x −4
РОЗВ’ЯЖІТЬ САМОСТІЙНО
РІВЕНЬ (LEVEL) І
(а), 2x
= 8 (б).
Завдання 43—52 мають по чотири варіанти відповіді (А—Г), з яких
тільки один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді.
43. Виконайте ділення х :
х
18 3 .
А 6 Б 1 6
В. 0,5 Г х 6
А x
6
44. Виконайте множення
6
Б
x
2
2
9 2x
⋅ .
3
x 3
6
В
x
3
Г x
9
А
45. Виконайте додавання
4x
+ 6
Б
6x
+ 18
x + 3
2x
+ 18
4 х
+
6
4x+ 12 2x+ 6
.
В 2 Г 1

24
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
А
46. Виконайте віднімання
1
−
2
a + a
Б
4−
3a
a
2
+ a
3 3a
−1
−
2
a + 1 a + a
.
2−
3a
В
2
a + a
2 2
47. Виконайте множення a − b 3
⋅
a .
2
a + ab b−
a
1
Г aa ( + 1)
a−
b
3( a+
b)
А 3
Б
В
Г –3
3( b−
a)
a−
b
48. Виконайте ділення x 2
− 1 x 1
:
+ . 2
5x
x
5
А Б x −1
В xx ( − 1)
5x
Г
xx ( −1)
5x
5
x −1
4
49. Спростіть вираз x − 3 2 x + 1
+ .
x−2 2−x
А 1 Б x – 1 В 2 Г x + 2
x − 2
3 x x
50. Розв’яжіть рівняння x + = 4x+
. У відповідь запишіть
x−2 x− 2
кількість розв’язків.
А 1 Б 2 В 3 Г жодного
51. Доберіть пару рівносильних рівнянь:
А
Б
В
( x 2)( x 2
2
+ + 2)
= 0 (2 − 4) x = 0 x − 5 = 0
2
x − 4
x: x=
1
x −5
= 0
2
x − 25
x − 2
=
2 0
x − 25
Г
x = 4
xx ( − 2) = 4( x−2)
52. При яких значеннях змінної вираз x 2
⎛ − 4⎞
⎜
⎝ x + 1
⎟
⎠
немає змісту?
А таких значень Б –1 В ±2 Г ±2; –1
не існує
Завдання 53—54 на встановлення відповідності
53. Встановіть відповідність між твердженями 1—4 та виразами А—Д:
1. Вираз, що є раціональним та цілим А
b
b −7
2. Вираз, який не існує при b = 0 Б
b + 3
b −7
0

3. Вираз, що приймає значеня 0 при b = 0 В
4. Вираз, що приймає ціле від’ємне значення при b = 5 Г
Д
b + 3
7
b + 3
b
b − 3
1+
b
54. Встановіть відповідність між виразами 1—4 та їхніми значеннями
А—Д при х = 0,5:
1.
2
x − 9
3+
x
А 1,5
2. (х – 5) 2 + 5(2х – 5) Б –2,5
25
3.
4.
x
x
2
3
+ 1
− x+
1
3x− 6 x ⋅
8x x 2 − 4x+
4
В –0,25
Г 0,25
Д –1,5
РІВЕНЬ (LEVEL) II
55. Чи рівносильні рівняння (Are the equations equivalent)?
2
1) (3 − 3) x= 0 і x: x= 1 ; 4) x − 25 = 0 і x = 5 ;
2
4 2
2) x − 8x+ 16= 0 і 3x= 12; 5) x + 4x + 1= 0 і 2x− 1 + 1= 0 ;
3) x − 3 = 1 і x 2
− 9
2 = 1
2 2 2 2
; 6) x + = 3x+ і x = 3x?
x − 3 x − 9
x x
56. Знайдіть значення виразу (Find the value of the expression):
1) x 2 – 2x + 1 при x = 21; 4) |x – 2| – |x + 7| при x = – 2;
2) x 4 – 6x 2 y 2 + 9y 4 3
при x = 0, y = – 1; 5) a − b при a = b = – 1;
a 2 − 2
3) x 2
+ 2 x + 1
x+ y+
z
при x = – 1; 6)
при x = – 3, y = 2, z = 1.
2
x −1
x 2 + y 2 + z
2
57. Знайдіть область визначення виразу (Find the domain of the
expression):
1) x 0 –3(x + 1) 0 ; 3) x − 4
2
0
π ; 5) 1−
x
2x
; 7)
2
9+
x
x − 4
;

26
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
3
2)
x
2
− 4
; 4) x + 4
x + 4
; 6) 2x
−7
; 8) x − 6
3
x − 9x
x + 8
.
58. Перетворіть на дріб вираз:
1) x − y x + y
b 15b−
25a
− 3) − ; 5) x 2 y 2 x 2
−4 −2
:
xy ;
3 2 2 3
xy xy
ab −5a 2 b 2 −25a
2 xy 3y
2
2
b 4a
y 3 y
2x+ 2y x −xy
2) − ; 4) − + ; 6)
⋅ .
2 2
2
2 2
2a −ab 2ab−b
y− 6 y+ 6 36 − y x − 2xy+
y 3x+
3y
59. Спростіть вираз (Simplify the expression):
3 4
a+ 1 a + b
x−3 3−y
1) − ; 3) − ; 5) b 3
+ 8 b −3
⋅
3 4 3 8
2 2
2 2
ab ab
xy −x xy −y
b −9 b − 2b+ 4
;
2
a b
2)
ab b
+ ; 4) 4 − 3 +
12
2
− b−
a x x x
2
+ 2 −2 − 4
; 6) x 2 x x 2
+ 4 + 4 4−
4 : .
2
16 − y 4 + y
60. Розв’яжіть рівняння (Solve the equation):
1) x 2
− 49 x −3 − 3
= 0 ; 2)
2 = 0 ; 3)
2x
+ 14
x − 6x
2
2
x − 3x
= 0 .
x −1 −2
61. Розв’яжіть рівняння (Solve the equation):
x −7
x −2 −3
1) = 0
= 0 ; 3) x 2
− 4 x + 4
2 = 0 .
3x
− 21
х− 5 х+
1
x − 2x
РІВЕНЬ (LEVEL) III
; 2)
( )( )
62. Спростіть вирази (Simplify the expression):
2
⎛ x− 2y 1 x+
2y
⎞ ( x+
2y)
1) ⎜ − :
2 2 2 2⎟⋅
;
2
⎝x + 2xy x −4y ( 2y−
x)
⎠ 4y
2 3 2
⎛ a a ⎞ ⎛ a a ⎞
2) −
: −
2 2 2 2
⎝
⎜
a+ n a + n + 2an⎠ ⎟
⎝
⎜
a+
n a −n
⎠
⎟ ;
2
⎛ 2a 4a ⎞ ⎛ 2a
1 ⎞
3) ⎜ − :
2 2 2 2
2a b 4a 4ab b
⎟ ⎜ + ⎟ ;
⎝ + + + ⎠ ⎝ 4a − b b − 2a
⎠
2
a− 2 ⎛ a a + 4 2 ⎞
4)
: − −
2 2 2
4a + 16a+ 16 ⎝
⎜
2a
− 4 2a − 8 a + 2a⎠ ⎟ .
63. Спростіть вираз (Simplify the expression):
2
⎛ a b ⎞ ab ⎛x 1) ⎜ +
2 2 ⎟⋅
; 3)
− 1 x + 1⎞
4x
4
⎝b −ab a −ab⎠ ⎜ + :
+
2
a+
b ⎝
⎟
x+ 1 x−1⎠
x − 2x+ 1
;
⎛ x y ⎞ x+
y 4xy
⎛ 1 1 ⎞
2) ⎜ − :
2 2
⎝xy −y x −xy
⎟ ; 4) :
⎠ 4
2 2 2 2 2 2
xy y x
⎜ +
⎝y x x 2xy y
⎟ .
− − + + ⎠

27
64. Обчисліть значення виразу (Find the value of the expression):
x − 3
1)
, якщо х = 2,001;
2
x − 5x+ 6
2 2
9b + a 6ab
2) +
a−3b 3b− a
, якщо а = 2013, b 1
= 2 ; 3
4a ⎛a+ 2 a−2⎞
3) :
a 2 ⎜ − ⎟ , якщо а = –2013;
− 4 ⎝a− 2 a+
2⎠
2 3
4) a + 2 a+ 4 a 8
:
− , якщо а = 10.
2
3a
− 4 9a
−16
65. Доведіть, що значення виразу
2
⎛ 3−a 2 ⎞⎛
a −3a
1 ⎞
⎜ − +
⎝
2 3 2 2
a − 2a+ 1 1−
a
⎟⎜ ⎠⎝a + 3a + 3a+ 1 a + 2a+
1⎠
⎟
є додатним при всіх допустимих значеннях змінної.
66. Розв’яжіть рівняння (Solve the equation):
2
2 4 x + 15
12 − x 3 6
1) − = ; 3) + = ;
2
2 2 2
x− 5 x+ 5 x − 25
x + 6x x −6x x −36
7 6 27 ( + 3y)
10 1 1
2) − = ; 4) + = .
2 2
3 2
y + 3y y − 3 9−y
x − x x − x x +1
67. Розв’яжіть рівняння (Solve the equation):
3x+ 5 x 1
1) = −
6x+ 3 2x−1 4x 2 − 1
;
2)
3)
4)
9x
+ 12 1 1
= − ;
3 2
x − 64 x + 4x
+ 16 4 − x
x+ 2 x+
3 1
= + ;
3 2
8x + 1 8x − 4x+
2 4x
+ 2
2x− 1 8 1+
2x
− = .
2 2 2
14x + 7x 3 −12x 6x −3x
68. Спростіть вираз (Simplify the expression):
−1 −2
z + 4 z −16 2
1)
: −
−2 −1 −1 −1
z − 6z + 9 2z −6 z − 4
;
−1 −1 −2
⎛ 2b −3 b −1 ⎞ b −2
2) ⎜
−
:
−2 −1 −2 −1 −3 −1
b 4b 4 b 2b ⎟
.
⎝ − + − ⎠ b −4b
69. Спростіть вираз (Simplify the expression):
−1 −2
x + 2 x −4 3
1)
: −
−2 −1 −1 −1
x − 2x + 1 3x −3 x − 2
;

28
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
−1 −1 −1
⎛ x −8 x ⎞ x −20
2) ⎜
− :
−2 −1 −2 2
x 10x 25 x 25
⎟
.
⎝ − + − ⎠ −1
x −5
( )
70. Побудуйте множину точок (x; y) на координатній площині, координати
яких задовольняють умові:
1) x − 2 = 0 ; 3) x 2 y 2
−
= 0 ; 5) x 2
− x + 9
2
y + 1
x − 4
y
26 = 0 ;
−1
2)
x − 5 = 0 ; 4) x 2 y 2
− − x − y = 0 ; 6)
y −1
x+
y
2 2
x + 4x+ 4−у
у − х
= 0 .
71. Дано звичайний дріб, чисельник якого на 4 більший за знаменник.
Якщо чисельник цього дробу залишити без змін, а знаменник
збільшити на 8, то отримаємо дріб, сума якого з даним дробом дорівнює
2 . Знайдіть чисельник даного дробу.
1
4
72. Перші 20 км шляху велосипедист рухався зі швидкістю, яка
на 5 км/год більша за швидкість, з якою він долав останні 20 км. З
якою швидкістю проїхав велосипедист другу половину шляху, якщо
на весь шлях він витратив 3 год 20 хв?
73. Моторний човен проплив 30 км проти течії річки і повернувся
назад за 3,2 год. Знайдіть швидкість течії, якщо власна швидкість
човна дорівнює 20 км/год.
74. По двох колах з однаковими діаметрами рівномірно крутяться
дві точки. Одна з них здійснює повний оберт на 4 с швидше, ніж
друга, а тому встигає зробити за 20 с на 7 обертів більше, ніж друга
точка за 18 с. Скільки обертів за 1 год здійснює перша точка?
СВІТ НАВКОЛО НАС
75. Дохід однієї сім’ї у вересні: зарплата батька –
12 000 грн, зарплата мами – 7 000 грн. Обов’язкові
витрати: оренда квартири – 6 400 грн, комунальні
платежі – 2 200 грн, витрати на харчування – 2 300
грн, оплата харчування в дитячому садку їх сина –
500 грн, витрати на бензин – 1 500 грн, витрати на
одяг – 2 000 грн, медичні витрати – 500 грн, витрати
на розваги – 1 000 грн. Скільки грошей сім’я може
відкласти в цьому місяці на покупку нової квартири?
Складіть перелік усіх доходів та усіх витрат вашої сім’ї упродовж
останнього місяця. Порівняйте витрати вашої сім’ї з доходами.

29
МИСЛІТЬ ТВОРЧО, ЛОГІЧНО, СИСТЕМНО
76. Олена та Микола одночасно вийшли з дому до школи. У Олени
кожний крок коротший, ніж у Миколи на 20%, але вона робить на
19% більше кроків, ніж Микола. Хто з них прийде до школи раніше?
77. Складіть найбільше та найменше чотирицифрові числа з різними
цифрами, які діляться на 18.
78 Скільки потрібно використати доданків, кожний з яких дорівнює
а, щоб отримати в сумі а 4 ?
МАТЕМАТИКА БЕЗ КОРДОНІВ
MATHEMATICS WITHOUT BORDERS
79. What’s the Highest Greatest Common Factor of 36 and 84?
§3. Квадратні корені
Функції у = х 2 та у =
х
Ключові слова
квадратний корінь
square root
Keywords
арифметичний квадратний корінь
знак радикала, підкореневий
вираз
квадратична функція, парабола
графічний метод розв’язування
рівнянь
principal square root
radical sign, radicand
quadratic function, parabola
the graph method of equations’
solving
Квадратний корінь. Арифметичний квадратний корінь
Квадратним коренем з числа а називають число b, квадрат якого
дорівнює а, тобто b
2 = a.
Наприклад, квадратним коренем з числа 25 будуть числа 5 і –5
оскільки5 2 = 25і( − 5) 2 = 25.

30
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
Зверніть увагу!
З додатного числа можна добути два квадратні корені, які є протилежними
числами.
Квадратний корінь з нуля дорівнює нулю.
Квадратного кореня з від’ємного числа не існує.
Арифметичним квадратним коренем з невід’ємного числа а називають
невід’ємне число, квадрат якого дорівнює а, і позначають a .
2
Тобто ( а) = а, при умові, що а ≥ 0.
Наприклад, арифметичним квадратним коренем з числа 25 є тільки
одне число 5.
Властивості арифметичного квадратного кореня:
2
1) якщо a ≥ 0 , то ( a) = a;
2) якщо a ≥ 0 і b ≥ 0 , то a⋅ b = ab і навпаки ab = a ⋅ b ;
a a
3) якщо a ≥ 0 і b > 0 , то
b = b
і навпаки a a
= ;
b b
2
4) для будь-якого числа а справджується рівність a = а,
тобто
2
якщо a ≥ 0 , то a = а,
якщо a < 0 , то
2
a =−a;
5) справджується і таке твердження: якщо a ≥ 0 , то a= a 2 , якщо
a < 0 , то a=−
a 2 .
⎛
⎜
⎝
Приклад 1. Знайдіть значення виразу:
2 2
4
8
⎛ ⎞
1) ( 3− 10) − ( 10− 2)
; 3)( 3)
− ⎜ 2
⎝ ⎟
⎠ ;
2)5 20+ 2 45− 4 80 ; 4 )
( )
2 5 ⎞
+ ⎟⋅ 5+ 7 2−
7⎠
5−
2 .
Розв’язання
1) За властивістю 4 отримаємо:
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
3− 10 − 10− 2 = 3− 10 − 10− 2 = 10−3 − 10− 2 = −1.
Відповідь: –1.
2) Отже, за властивістю 1 маємо:
4
8
⎛ ⎞
2 4
2
( 3)
− ⎜ 2
⎝ ⎟ =
⎠
( 3) − ( 2) = 3− ( 2)
= 3− 2=
1.

Відповідь: 1.
3) Використовуємо властивість 2, тоді :
5 20+ 2 45− 4 80 = 5 4⋅ 5+ 2 9⋅5−4 16⋅ 5 = 5⋅ 2 5+ 2⋅3 5−4⋅ 4 5 = 0.
Відповідь: 0.
4) Доцільно спочатку звільнитися від ірраціональності у знаменниках
дробів, а далі виконати перетворення:
⎛2( 5 7) 5( 2 7)
⎞
⎛ 2 5 ⎞
− +
⎜ + ⋅( 5− 2)
= ⎜
+ ⎟⋅( 5− 2)
=
⎝
⎟
5+ 7 2− 7⎠ ⎜ 5−7 2−7
⎝
⎟
⎠
= − 5+ 7 − 2− 7 ⋅ 5− 2 = − 5+ 2 ⋅ 5− 2 = −3.
( ) ( ) ( ) ( )
Відповідь: –3.
Приклад 2. Спростіть вираз:
⎛ a b ⎞ ab
⎜ + ⎟⋅
.
⎝b− ab a− ab⎠
b+
a
Розв’язання
Зробимо такі заміни:
2
2
a = x, x> 0, тоді a= x і b = y, y> 0, тоді b=
y .
⎛ a b ⎞ ab
Отже, ⎜ + ⎟⋅
=
⎝b− ab a− ab⎠
b+
a
2 2
⎛ x y ⎞ xy ⎛ x y ⎞ xy x − y xy
⎜ + ⋅ = + ⋅ = ⋅ =
2 2
⎝y −xy x −xy
⎟
⎠ y+ x
⎜
y y x x x y
⎟
⎝ − − ⎠ y+ x xy y− x y+
x
( − )( + )
( )
x y x y xy
= ⋅ = −1.
xy y− x y+
x
Відповідь: –1.
( ) ( ) ( )
Функція y = x 2 , її графік і властивості
Функцію вигляду y= x 2 називають квадратичною.
Графік квадратичної функції називають параболою
(мал. 3.1).
Парабола складається з двох віток, на які
її поділяє точка (0; 0). Цю точку називають
вершиною параболи.
Мал. 3.1
31

32
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
Властивості функції y = x 2 :
1) Область визначення функції – всі дійсні числа.
2) Область значень – всі невід’ємні дійсні числа.
3) Значення функції дорівнює 0 при х = 0.
4) Графік функції симетричний відносно осі ординат, проходить
через початок координат та лежить у першій і другій координатних
чвертях (розташований у верхній півплощині).
5) Якщо х < 0 (вітка параболи, що лежить ліворуч), то більшому
значенню аргументу відповідає менше значення функції. У такому випадку
кажуть, що функція спадає.
6) Якщо х > 0 (вітка параболи, що лежить праворуч), то більшому
значенню аргументу відповідає більше значення функції. У такому
випадку кажуть, що функція зростає.
Функція y= x , її графік і властивості
Графіком функції y= x є вітка параболи (мал.3.2).
1) Область визначення функції – усі невід’ємні дійсні числа.
2) Область значень функції – усі невід’ємні дійсні числа.
3) Значення функції дорівнює 0 при x = 0.
Мал. 3.2
4) Графік функції «виходить» з початку
координат і лежить у першій координатній
чверті.
5) Більшому значенню аргументу відповідає
більше значення функції, тобто функція
зростає.
Приклад 3. Розв’яжіть графічно рівняння
x = 2x+ 3.
Розв’язання
2
Розв’язати рівняння графічно означає
знайти абсциси точок перетину графіків
функцій y= x 2 i y= 2x+ 3 (мал. 3.3). Як видно
з малюнка, графіки перетинаються у
Мал. 3.3

двох точках з абсцисами х = –1 та х = 3. Виконуємо перевірку коренів
підстановкою у виxідне рівняння.
Відповідь: –1; 3.
Зверніть увагу!
Корені рівняння, знайдені графічно, обов’язково слід перевірити
підстановкою у виxідне рівняння.
33
УЗАГАЛЬНЮЙТЕ МІРКУЮЧИ
80. Назвіть властивості арифметичного квадратного кореня.
81. Обґрунтуйте властивості арифметичного квадратного кореня.
82. Назвіть властивості функцій y= x 2 та y= х .
РОЗВ’ЯЖІТЬ САМОСТІЙНО
РІВЕНЬ (LEVEL) І
Завдання 83—94 мають по чотири варіанти відповіді (А—Г), з яких
тільки один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді.
83. Оберіть правильну рівність:
А − 25 = −5
Б 121 =± 11 В
9 3
4 = 2 Г
16 4
7 2
2 = 1
9 3
84. Якщо х = 7, у = 6, то значення х − 4y
дорівнює…
А 63 Б 5 В 5 Г 25
85. Між якими послідовними цілими числами міститься число 20 ?
А 3 і 4 Б 4 і 5 В 5 і 6 Г 2 і 3
86. Виконайте дію ( 3− 2 2)( 3+ 2 2)
.
А 1 Б –1 В –5 Г 5
10 2
87. Знайдіть значення виразу 2 ⋅ 3 .
А 96 Б 48 В 32 Г 192
88. Яке з рівнянь має корені?
А − x = 0 Б x = 2− 5 В x 4
2
= − Г ( − 5) = x
89. Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу 24 3 .
А 12 3 Б 8 3 В 21 3 Г 8
2

34
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
2 2
90. Спростіть вираз ( − ) + ( − )
7 2 1 2 .
А 6 Б 8 В 6− 2 2 Г 8−
2 2
91. Чому дорівнює значення виразу ( 12 + 3) 2
?
А 15 Б 11 В 4 3 Г 15 + 6 3
92. Внесіть під знак кореня 3 5 .
А 30 Б 35 В 75 Г 45
93. Який із виразів має зміст хоча б при одному значенні змінної?
А а 2
− Б ( 4) х
2
− + В x 1 11
− − = ± Г ( 2−
5) х
94. Якщо b≤ 0, то 7 b b 2 = ...
А –7b 2 Б 7b 2 В 7b 3 Г –7b 3
РІВЕНЬ (LEVEL) II
95. Знайдіть значення виразу (Find the value of the expression):
1) 64 ; 3) 0,49 ; 5) 0,0004 ; 7) 256 ; 9) 1,21 ;
2) 0,0225 ; 4) 6400 ; 6)
4
25 ; 8) 7
1 ; 10)
9
1
6 4
.
96. Визначте, чи правильна рівність:
1) 36 = 6 ; 3) − 169 = − 13 ; 5) 0,25 =− 0,5 ; 7) 576 = 24 ;
2)
1
2 = 1,5; 4) 16 81 12
4 = ; 6) 2
8 4
( − 7) = − 7 ; 8) x = x .
97. Обчисліть (Calculate):
1) ( − 5 3) 2
; 2) ( 10 0,6 ) 2
; 3) 49 − 16 ; 4) ( ) 2
98. Обчисліть (Calculate):
−2 6,4 − 10 0,09 .
1) ( − 3 4) 2
; 2) 9⋅ 0,25; 3) 2 36− 3 4 ; 4) 6 + 100 .
99. Обчисліть (Calculate):
1) 3 8− 2 50+ 4 18 ; 2) 2 75 0,1 300 27
100. Обчисліть (Calculate):
1) 242 − 3 200 + 5 8 ; 2) 1 98 2 72 0,5 8
7 3
2 2
− − ; 3) ( 3 2) ( 2 3)
+ − .
− + ; 3) ( ) 24
81 + 1 .

35
101. Обчисліть (Calculate):
1) 2 9+ ( 2 5) 2
;
2) ( −2 6,4 ) 2
− 10 0,09 ;
2 2 2
3) ( 2 3) ( 4,5) 3( 2 2,5)
− − + − .
102 Розв’яжіть рівняння (Solve the equations):
1) 2 x = 0; 2) −x − 9= 0; 3) 3 5x
2 2
+ = ; 4) ( х )
103. Розв’яжіть рівняння (Solve the equations):
1) x = 4 ; 2) x + 8= 0; 3) x − 4 = 3 2 ; 4) x = 2 2− 3.
2
− − 1 = 0.
104. Перетворіть в добуток за умови, що змінні набувають додатних
значень:
1) х − 5 ; 2) 5− 10 ; 3) 2а+ 2 ав ; 4) а⋅ а+ 27 ; 5) х− 4 ху+ 4у.
105. Скоротіть дріб (Reduce):
2
x − 3
y − 2 2
1) ; 2)
; 3)
x + 3
y − 8
7 x − 3 3
49x
− 27
; 4) 6 − 6
6
106. Скоротіть дріб (Reduce):
10 − 15 14 − 2
1)
; 2)
; 3) x− 2 xy+
y ; 4) a 2
− 2 2 a + 2
.
2
5
21 − 6
x−
y
a − 2
107. Внесіть множник під знак кореня:
1) 3 5; 4) 2 y x , якщо y < 0 ;
2) x 6 , якщо x ≥ 0 ; 5) 10 7 ;
3) − 5 6 ; 6) − 5y p , якщо y < 0 .
108. Виконайте дії, використовуючи формули скороченого множення:
1) ( 3+ 2)( 3− 2)
; 4) ( )
2
+ − ; 7) ( 2 3) 2
a b 2 ab
.
+ ;
2) ( 11 − 2 3)( 11 + 2 3 );
5) ( 2 6+ 1)( 2 6− 1)
; 8) ( 6− 3 2) 2
;
3) ( 3+ 5) 2
− 60 ; 6) ( 1+ x)( 1− x+ x)
; 9) ( 2 a)( a 2 a 4)
− + + .
109. Позбавтесь від ірраціональності у знаменнику дробу (Get rid
of irrationality in a denominator):
1) 3 + 3
3
; 2)
4
3+ 1
; 3) 2
; 4)
5+
4
2x−
y
.
y−
2x

36
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
110. Get rid of irrationality in a denominator:
1) 2 + 3 2
4 2
; 2)
1
10 − 3
; 3) 10
49 − с
; 4) .
3−
2 2 7 + с
111. Спростіть вираз (Simplify the expression):
1)
x− 4 x+ 4 x+
4
−
; 2)
5 x − 10 5 x+
10
x + 3 1 − ; 3)
x − 1 x+
x
112. Спростіть вираз (Simplify the expression):
1)
b − 6 2 +
4 − b 2 b− b
; 2) z 15 z−
25 x
−
; 3)
xz −5x
z−
25x
РІВЕНЬ (LEVEL) III
113. Simplify the expression:
2
1) x − 8x+ 16 , 2) ( z + 4) − 16z
,
2
a−2 b b−5
ab
− .
a+
b a−
b
2 2 2
якщо x < 4 ; якщо z < 4 .
114. Simplify the expression:
2
x −12 y 4 y
−
x−16y 4 xy − x
2 2
1) 4y + 12y+ 9 , 3) y + 10y+ 25 − y − 8y+ 16 ,
якщо y

37
119. Спростіть вираз (Simplify the expression):
5 1 4 y + 18 2 a 5 4a+
9
1) + − ; 3) + − ;
y − 3 y+
3 y − 9 2 a+ 3 3−2
a 4a
− 9
2)
1− 2 x x+ 3 x x+
3
+ :
2 x 1 4x
−1
8 x 4
⎛a a+
b b ⎞
2 b
− − + .
⎝ a+ b ⎠
a+
b
+ − ; 4) ⎜
ab⎟
: ( a b )
120. Обчисліть (Calculate):
⎛ 2 3 15 ⎞
⎜ + + 3+
5
⎝
⎟
3−1 3−2 3−
3⎠
−
1) ( ) 1
; 2)
1 3 4
− − .
7− 6 6− 3 3+
7
СВІТ НАВКОЛО НАС
121. Недержавний пенсійний фонд пропонує щорічний приріст суми
вкладених коштів на 5%. До досягнення пенсійного віку Анні Миколаївні
залишилося три роки. Вона планує протягом цих 3 років щорічно
вкладати у пенсійний фонд по 5 000 грн. Розрахуйте загальну
суму пенсійних виплат фонду, яку вона отримає будучі на пенсії.
МИСЛІТЬ ТВОРЧО, ЛОГІЧНО, СИСТЕМНО
122. У дев’ятому класі навчаються 25 учнів. На дискотеці кожний
з них одержав три повітряні кульки: зелену, синю та жовту. Чи зможуть
вони так помінятися кульками, щоб у кожного всі три кульки
виявились одного кольору?
123. Для яких простих чисел p число p+1 також буде простим?
124. В басейн розмірами 20×50 м налили 10 000 000 літрів води.
Чи можна в ньому влаштувати змагання з плавання?
МАТЕМАТИКА БЕЗ КОРДОНІВ
MATHEMATICS WITHOUT BORDERS
125. The table shows rates of depreciation over a three year period
for three different motorbikes. Helen bought a B260 for 63000hrn three
years ago. How much is her motorbike worth now?
Model Depreciation over 3 years
A125 37%
B260 45%
F400 47%

38
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
§4. Квадратні рівняння.
Квадратний тричлен
Ключові слова
квадратне рівняння, коефіцієнти
дискримінант
формула коренів квадратного
рівняння
зведене квадратне рівняння,
формули Вієта
квадратний тричлен, розкладання
квадратного тричлена на
множники
Keywords
quadratic equation, coefficients
discriminant
quadratic formula
monic quadratic equations,
Vieta’s formulas
quadratic polynomial,
factorization of the quadratic
polynomial
Рівняння виду ах 2 + bx + c = 0 де x – змінна, a, b, c – довільні
числа, причому a ≠ 0 називають квадратним рівнянням.
Числа a, b і c називають коефіцієнтами квадратного рівняння: a –
першим коефіцієнтом, b – другим коефіцієнтом, с – вільним членом.
Якщо хоча б один з коефіцієнтів b або c дорівнює нулю, то квадратне
рівняння називають неповним. Якщо всі коефіцієнти відмінні
від нуля, то квадратне рівняння називають повним.
Приклад 1. Розв’яжіть неповне рівняння:
2
1) 5x = 0;
2
2) 4x − 3x= 0;
2
3)3x + 4 = 0;
2
4)4x
− 5 = 0 .
Розв’язання
2
1) 5x = 0 ;
2
x = 0; x=
0.
2
2) 4x − 3x= 0; x( 4x− 3)
= 0; х= 0 або 4х− 3 = 0; x1 = 0, x2
= 0,75.
2 2 2 4
2
3) 3x + 4 = 0; 3x =− 4; х =− ; але x ≥ 0, отже, коренів немає .
3
2 2 5 5 5
4)4x − 5 = 0 ; x = ; x= ± = ± .
4 4 2
Відповідь: 1) 0; 2)0; 0,75; 3)коренів немає; 4) −
5 5
; .
2 2

Формула коренів квадратного рівняння
Для розв’язування повних квадратних рівнянь користуються фор-
− b±
b −4ac
мулою коренів квадратного рівняння x1,2
= .
2a
2
Вираз b − 4ac
називають дискримінантом квадратного рівняння і
позначають літерою D. Тоді формулу коренів квадратного рівняння
− b±
D
2
можна записати у такому вигляді: x 1,2
= , де D= b − 4ac.
2a
Від дискримінанта залежить кількість коренів квадратного рівняння:
− b+
D
1) якщо, то два корені: x 1
;
2a
x
=
2
2
−b−
D
= .
2a
2) якщо D = 0 , то один корінь (два однакових корені):
3) якщо D < 0 , то рівняння коренів немає.
b
x =− .
2a
Приклад 2. Розв’яжіть квадратне рівняння:
2 2 2 2
1) 3x −7x− 6 = 0; 2)3x + 4x+ 2= 0; 3)4x −3x− 2= 0; 4)25х − 20х+ 4 = 0.
Розв’язання
2
1) 3x
−7x− 6 = 0 .
1-й крок. Визначаємо значення коефіцієнтів даного квадратного
рівняння: a= 3; b= − 7; c= −6.
2-й крок. Знаходимо дискримінант:
2
( ) ( )
2 2
D= b − 4ac= −7 −4⋅3⋅ − 6 = 121= 11 .
− b±
D
3-й крок. Знаходимо корені рівняння за формулою x 1,2
= :
2a
7+ 11 7−11 2
x1 = = 3; x2
= = − .
6 6 3
2
2) 3x + 4x+ 2= 0, D= 16−4⋅3⋅ 2= − 8< 0. Рівняння коренів немає.
3)
x
1
2
4x −3x− 2= 0, D= 9+ 4⋅4⋅ 2=
41,
3+
41 3−
41
= , x2
= .
8
8
2 20
4) 25х − 20х+ 4 = 0, D= 400 −4⋅4⋅ 25 = 0, x = = 0,4.
50
2
Відповідь: 1) 3; − ; 2) коренів немає; 3) 3 + 41 , 3 − 41 ; 4) 0,4.
3
8 8
39

40
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
Зведені квадратні рівняння. Теорема Вієта
Якщо перший коефіцієнт a квадратного рівняння дорівнює 1, то
рівняння називають зведеним і записують у вигляді x 2 + px+ q= 0 .
Замінивши у формулі коренів квадратного рівняння a на 1, b на p,
c на q, отримаємо формулу коренів зведеного квадратного рівняння:
x
1,2
− p± p −4q
= .
2
2
Приклад 3. Розв’яжіть зведене квадратне рівняння x
2 + x− 12 = 0 .
Розв’язання
За формулою коренів зведеного квадратного рівняння
2 2
− p± p −4q
− 1± 1 + 4⋅12 − 1±
7
x1,2
= = = , x
1
=− 4 , x
2
= 3
2 2 2
Відповідь: –4; 3.
Для зведеного квадратного рівняння існує залежність між його коренями
та коефіцієнтами, що виражається теоремою Вієта:
Якщо числа х 1 і х 2 є коренями зведеного квадратного рівняння
2
x + px+ q= 0, то їхній добуток дорівнює вільному члену, а сума дорівнює
другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком.
Тобто x1⋅ x2
= q і x 1
+ x 2
= − p .
Безпосередньо з теореми Вієта випливають два наступні наслідки.
Нехай x
1
та x
2
корені зведеного квадратного рівняння
2
x + px+ q= 0 , тоді:
1) якщо вільний член рівняння q > 0 , то його корені мають однакові
знаки, а саме – знаки, протилежні знаку другого коефіцієнта р;
2) якщо вільний член рівняння q < 0 , то його корені мають протилежні
знаки, причому знак більшого з них за модулем, протилежний
до знаку другого коефіцієнта р.
Приклад 4. Визначить знаки коренів рівняння:
2
1) x − 5x+ 6= 0; 3) x
2 −x− 12 = 0 ;
2
2) x + 6x+ 5= 0; 4) x
2 + 3x− 10= 0.
Розв’язання
2
1) x − 5x+ 6= 0. Оскільки вільний член q = 6 додатний, а другий
коефіцієнт p = – 5 від’ємний, то обидва корені додатні.
2
2) x + 6x+ 5= 0. Оскільки і вільний член q = 5, і другий коефіцієнт
p = 6 додатні, то обидва корені від’ємні.

2
3) x x 12
0 . Оскільки вільний член рівняння q= -12, то його корені мають
протилежні знаки, причому більший з них за модулем додатний, тому, що
другий коефіцієнт р = -1 від’ємний.
2
4) x 3x 10
0 . Оскільки вільний член рівняння q= -10, то його корені мають
протилежні знаки, причому більший з них за модулем від’ємний, тому, що
другий коефіцієнт р =3 додатний.
Якщо корені зведеного квадратного рівняння є цілими числами, то,
використовуючи теорему Вієта, їх можна знайти усно. Для цього треба
діяти у такій послідовності.
1) Підібрати пари цілиx чисел, добуток яких дорівнює вільному члену.
2) Серед пар вибрати ту, сума чисел якої дорівнює другому коефіцієнту
з протилежним знаком.
2
Приклад 5. Розв’яжіть рівняння x x 12
0
Розв’язання
1) Підбираємо пари цілиx чисел, добуток якиx дорівнює (-12): (-1;12), (1;-
12), (-2;6), (2;-6), (-3;4),(3;-4).
2) Серед пар вибираємо ту, сума чисел якої дорівнює другому
коефіцієнту з протилежним знаком, тобто (-1). Пара (3;-4) задовольняє
вимогам.
Відповідь: -4; 3.
ДІЗНАЙТЕСЯ БІЛЬШЕ
Використовуючи теорему Вієта можна також знайти усно корені деяких
незведених (повних) квадратного рівнянь. Для цього треба діяти у такій
послідовності.
2
1. Ліву і праву частини квадратного рівняння ax bx c 0 помножити
2 2
2
на перший коефіцієнт: а a x аbx аc 0 або ( a x)
b(
аx)
аc 0 .
2
2. Зробити заміну ax = t і записати рівняння у вигляді t bt
аc 0 .
3. Розвязати усно отримане зведене квадратне рівняння.
41

4. Знайдені корені зведеного рівняння поділити на а.
Приклад 6. Розв’яжіть рівняння
1) 4x
2 9x 5
0
, 2)
Розв’язання
1) 4x
2 9x 5
0
.
3x
2 7x 6 0
.
2
а) Множимо обидві частини рівняння на 4: (4x)
9(4x)
20 0 .
2
б) Робимо заміну 4х = t і записуємо зведене квадратне рівняння t 9t
20 0.
в) Усно розв’язуємо отримане рівняння t 1 =-5, t 2 =-4.
Знайдені корені ділимо на 4: х 1
1, 25 , х 2 =-1.
Відповідь: -1,25; -1.
2) Множимо обидві частини рівняння на 3: 9x
2 21x
18 0, t 3x.
.Отже,
2
2
t 7t
18
0; t 1 =-2, t 2 =9; х
1
3 , х 2 = 3.
2
Відповідь:
3 ; 3.
Розглянемо ще декілька прикладів завдань, які можуть бути розв’язані за
допомогою теореми Вієта.
Приклад 7. Не обчислюючи корені x 1 і x 2 рівняння 2x
2 11x 13
0
3 3
1 x2
x2
x1
x
.
Розв'язання
, знайдіть
Дискримінант D 121
4
213
17 - додатне число. Отже, рівняння має корені.
Тому, ми можемо скористатися теоремою Вієта:
11
x 1 x2
;
2
13
x 1 x2
.
2
3 3
Перетворимо заданий вираз x x x так, щоб виділити вирази, що входять
1 2 2 x1
3 3
2 2
2 2
до теореми Вієта: x 1 x2
x2
x1
x1x2
x1
x2
x1x2
x1
x2
2
2x
x 2x
x x x
x x x x .
1 2 1 2 1 2 1 2 2
1
2
42

Підставляємо в останній вираз значення x1 x2
та x1 x2
, одержуємо, що
3
3 897
x
1
x2
x2
x1
112,125 .
8
Відповідь: 112 , 125 .
Приклад 8. При якому значенні а сума квадратів коренів рівняння
2
x a
1x
2a
0 дорівнює 9 ?
Розв'язання
Дане рівняння має корені якщо його дискримінант невід’ємний, тобто коли
a
1 2 8a
0. Якщо ця умова виконується, то згідно з теоремою Вієта
x1 x2
1
a ; x1 x2
2a
. Розглянемо суму квадратів коренів даного рівняння
2 2
2
2
2
x x x
x 2x
x 1
a 4a
a 2a
1. За умовою ця сума дорівнює 9,
1 2 1 2 1 2
2
2
тобто a 2a 1
9 або a 2a 8
0, звідки, a 4 ; a 2 . Перевіркою
1
встановлюємо, що умову задовольняє лише значення a 2 2 . Відповідь: 2.
2
Квадратний тричлен, його розкладання на лінійні множники
Многочлен вигляду
числа, називають квадратним тричленом.
ax
2 bx c , де x - змінна, a 0, b,
c - довільні
Значення змінної при якому значення квадратного тричлена дорівнює
нулю, називають коренем квадратного тричлена.
Якщо x 1 і x 2 - корені квадратного тричлена
ax
2 bx c , то його можна
2
розкласти на лінійні множники за формулою: ax bx c ax
x x
x
Якщо квадратний тричлен
ax
розкладають на множники за формулою
2
.
bx
c має тільки один корінь x 1 , то його
ax
2
2
bx c a( x x1)
;
Якщо квадратний тричлен не має коренів, то на множники його
розкласти не можна.
Наприклад,
2x
2 3x
9 2x
3x
1,5
x
32
x 3.
;
1
2
9x
2
1
6x
1
9
x
3
2
2
3x
1 .
43

Квадратний тричлен 4x 2 2x
1
на множники розкласти не можна, бо
його дискримінант від’ємний.
3x
Приклад 9. Спростіть вираз:
x
Розв'язання
2
2
5x
2
.
x 6
Розкладаємо чисельник і знаменник на множники:
1) 3x 2 5x 2 0,
x 1
1
3
, 2 2
1
x ;
3
x , 3 2 5 x 2 3 x x 2
2
2
2) x x 6
0, x 3, x 2 , x 6 x
3x
2
1
2
x .
Таким чином,
3x
x
2
2
5x
2
x 6
3
1
x x
2
3 3x
1
, 2
x
2x
3 x 3
x .
Відповідь:
3x
1
, x 2
.
x 3
Узагальнюйте міркуючи
126. Чи можна застосовувати формулу коренів квадратного рівняння до розв’язування
неповних квадратних рівнянь? Наведіть приклади.
127. Чи справджується теорема Вієта для квадратних рівнянь з від’ємним
дискримінантом?
128. Чи можна розкласти на множники квадратний тричлен, якщо його дискримінант
від’ємний або дорівнює нулю? Наведіть приклади.
129. З , ясуйте, які корені буде мати рівняння, для яких a b c 0 або a b c 0.
Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І ______________________________________________________
Завдання 130 - 140 мають по чотири варіанти відповіді (А-Г), з яких тільки
один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді
44

130. Яке з наведених рівнянь є квадратним?
А 5 – х 4 = х 2 Б х 2 = х 3 – 2 В 6 + х = 144+ х Г х 2 = 44
131. Визначте, яке з наведених рівнянь є рівносильними до рівняння
2
2
x1
2x 0
x
?
А. 3 2 2
2
2
x 5x 2 0 Б x 3x 2 0 В x 3x
2 0 Г x 3x
2 0
132. Які з чисел є коренями даного квадратного рівняння 4x 2 8x
0 ?
А 2; 0
Б 0 ; 2
В 4;
1
Г 4; 0
133. Складіть квадратне рівняння, корені якого дорівнюють – 4 та 6.
А х 2 + 2х – 24 =0 Б х 2 – 2х – 24 =0 В х 2 – 2х + 40 =0 Г х 2 – 24х + 2 =0
134 Добутком коренів квадратного рівняння х 2 – 2х – 4 = 0 є число…
А 1 Б -2 В 2 Г -4
135. Чому дорівнює сума коренів рівняння х 2 –2х–3=0?
А -2 Б -3 В 3 Г 2
136. Складіть зведене квадратне рівняння, коренями якого є два рівні корені,
що дорівнюють числу –2 .
А х 2 +2х=0 Б х 2 -4=0 В х 2 +4х+4=0 Г х 2 –4х+4=0
137.Умові задачі: «Одне число х, а друге на 3 більше, їхній добуток дорівнює
88» відповідає рівняння:
А х(х – 3) = 88 Б х + (х + 3) = 88 В х(х + 3) = 88 Г х – (х + 3) = 88
138. Умові задачі: «Площа прямокутника дорівнює 32 см 2 , сума суміжних
сторін — 12 см. Знайдіть сторони прямокутника» відповідає рівняння:
А х + 32 = х + 12 Б х(12 + х) = 32
32
В 12
х
139. Розкладіть на множники квадратний тричлен 3х 2 5х
2.
Г х(12 – х) = 32
А (3х-1)(2-х) Б (3х+1)(2-х) В (3х-1)(2+х) Г (3х+1)(х-2)
2
140. Скільки коренів має рівняння 4x
x 8
21
x 8
x ?
А два корені Б один корінь В жодного кореня Г три корені
Завдання 141 на встановлення відповідності
45

141. Установіть відповідність між заданими виразами (1-4) та виразами, що
їм тотожно дорівнюють (А-Д).
1
2
3
4
x
2 4
А
2 x
3
x 8
4 2x
x
2
1
х 2
Б 2 х
x 2
В х 2
2
4 4x
x
x
2 4x
4
Г
2 x
1
х 2
Д х 2
Рівень (Level) II ____________________________________________________
142. Розв’яжіть неповні квадратні рівняння (Solve the incomplete quadratic
equations):
2
1) х 4
; 2) 3х 2 4x
; 3) 2t 2 4
; 4) 4х 2 5
0; 5) 8х 2 5x
0 .
143. Розв’яжіть неповні квадратні рівняння (Solve the incomplete quadratic
equations):
2
1) x 0,
2; 2)
4
25
х 2 ; 3) 2 2 50 0
х ; 4) 3х 2 12х
0 ; 5) х 2 3x
.
144. Розв’яжіть квадратне рівняння (Solve the quadratic equation):
2
1) x 2x 8 0; 2) 2x 2 6x 1
0; 3) 2x 2 x 5 0; 4) 3x 2 4x 9 0 .
145. Розв’яжіть рівняння (Solve the equation):
1)
4 x
2
2
2
3x
2
3
; 3)
2
x 1
1
1
3 2
; 5)
2
2x
x
5
x
2
3x
3
;
2)
2 z 2 2
1
z
2x
; 4) 2 3 4
; 6)
7 2
5 7
146. Розв'яжіть рівняння (Solve the equation):
1) x 6 7
3x
x
2
2 2
x ; 3) y 4 961
4y
; 5) 4 3x
8
2) 5 2 3x
25
2
2
x
2
2x
3
x ;
x ; 4) 3x 5x
3 2x6x
5
2 ; 6) 1,5
3y 15 27
147. Solve the equation:
y .
.
46

1) 7 3 2
x 5 7x
32
x 4 5;
2х
2х
x ;
2
2
x 3) 2
x ; 4) x 3 x x xx
2
2
2
2) 2
3 ( x 3) x ( x 3)
148. Solve the equation:
x
( 2) (2 1)(2 1) 1 9.
2
2
1) x 12
0
x ;
3
x
2) 8x 12
0 ;
x
2 2
3) x 6 0
x ;
7
4) 2
2 x
x 6 0.
x
149. Solve the equation:
6 x
2 2
2
1) x 3 x 4 0; 2) 5x
0
x
2
x ; 3) 3 x 4 0
2
x ; 4) x 7x 12
0
150. Не обчислюючи коренів рівняння 3x
2 6x 5
0, знайдіть значення
1
виразів: 1) 1
1
x
2 2
x
2
; 2) x1 x2
x2
x1
; 3)
151. Розкладіть на множники (Factoring):
x1
x
2
; 4)
1
х2
x2
x1
х .
x .
1) 3х 3 – 9х 2 +6х; 2) у 3 + 4у 2 – 32у; 3) 12x 3 – 22x 2 – 20x; 4) 80my 2 – 12my – 8m.
152. Скоротіть дроби (Reduce the fractions):
1)
x
2
3x
21
4x
21
2y
2
3y
1
2)
2
1 y
; 3)
z
2
2
z 3z
4z
21
; 4)
2
12x
3
.
2
2x
9x
5
153. Скоротіть дроби (Reduce the fractions):
1)
3x
3x
2
2
2x
1
; 2)
4x
1
2y
y
2
2
7 y 6
3y
2
; 3)
2
2z
2z
12
; 4)
2
z z 6
3
x 8
.
2
2x
3x
2
154. Ділянку городу, що має форму прямокутника, одна сторона якого на 10 м
більша від другої, треба обгородити огорожею. Визначте довжину огорожі,
коли відомо, що площа ділянки дорівнює 1200 м 2 .
155. Периметр прямокутника 62 см. Знайдіть його сторони, коли площа
прямокутника 210 м 2 .
Рівень (Level) III ___________________________________________________
156. Розв'яжіть рівняння (Solve the equation):
47

1)
x 1 2 x 4 2x
2
; 2)
5 6 3
157. Розв'яжіть рівняння (Solve the equation):
1)
x
x
5
2 11x
12
x 2
2
3 10 3
158. Solve the equation:
; 2)
2
3x
4 2x
5x
1
5
x 7
2
2
x
2
2
( x 2)
1
5
5x
(5x
11)
6
3
4
2
.
2
;
2
2
1) x 6x
5 x 1
0; 2)
2
2
x x 6 x 3x
0.
159. Solve the equation:
2
2
2
2
1) x 5x
x 25 0 ; 2) x 4x
4 x 2x
0.
160. Solve the equation:
1) 4 13x
4 23x
4
x ;
2
2
3) 3x
2 x 3x
0
x ;
2
2) x 3x
4 x 3x
4; 2
2
4) 5 x 6 x 1
0
161. Solve the equation:
x 2
x 2
2
2
1) x 2x
7 0;
3)
2
x 7
2
x 7
2
2) 2x
35 ;
2
x 4) 2 3 2
x .
5x 3x 5 2x 1 2 5 2x
1 ;
x x x .
162. Розв’яжіть рівняння (Solve the equation):
x 3
x 3
1) 2 2 5x
4 0;
2
x 3) x x 2
8
x 3
8
x 3
2
2) 5x
24 ;
2 2 19 ;
x x 2x
10 .
2
x 4) 2
163. Побудуйте графік функції (Plot the graph of the function):
2
x 4x
5
1) y ; 2) y
x 1
x
3
2
2
4x
3x
; 3)
x x
2
x 3x
4
y
.
2x
8
164. Складіть квадратне рівняння з першим коефіцієнтом 2, корені якого на 4
2
менші за відповідні корені рівняння x 3x 8 0.
165. Складіть квадратне рівняння з першим коефіцієнтом 5, корені якого на 2
2
більші за відповідні корені рівняння x 5x 7 0 .
166. Спростіть вираз (Simplify the expression):
48

1)
2x
x
2
2
3x
2 2x
:
2
2x
3 x
2
5x
2 x 2
3x
2 x 3
; 2)
x
x
2
2
7x
10 x
3x
10 2x
2
2
x 6 x 3
5x
2 2x
1
167. Дано звичайний дріб, знаменник якого на 4 більший за чисельник. Якщо
чисельник цього дробу збільшити на 5, а знаменник зменшити на 3, то
отримаємо дріб, сума якого з даним дробом дорівнює
даного дробу.
3
2 . Знайдіть чисельник
7
168. Радіус одного з двох кругів, які мають спільний центр, на 5 см більший
радіуса другого круга. Площа кільця, утвореного цими кругами, становить
1,25 площі меншого круга. Знайдіть радіуси кругів.
169. Довжина прямокутника на 2 м більше його ширини. Якщо ширину
збільшити на 3 м, а довжину на 8 м, то площа збільшиться у 3 рази. Знайдіть
сторони прямокутника.
170. На облицювання стіни витратили 504 плитки. Причому в кожному ряду
плиток було на 3 менше, ніж кількість рядів. Скільки було рядів?
.
Світ навколо нас
171. Національний дендрологічний парк «Софіївка», що заходиться в Україні на околиці
м. Умань, заснований в 1796р. графом Потоцьким, а закінчений і подарований своїй
дружині Софії у 1802р. Скільки років створювався парк? Скільки років пройшло з
заснування цього шедевру ландшафтного дизайну?
Мисліть творчо, логічно, системно
49

172. У деякому царстві живуть піддані чесні, які завжди говорять тільки правду, та
брехуни, які завжди брешуть. Якось зустрілись декілька підданих з цього царства, і
кожний сказав усім іншим: «Ви всі — брехуни». Скільки чесних підданих могло бути
серед тих, хто зустрілися?
173. Довжина хвоста крокодила дорівнює третині довжини крокодила. Голова крокодила
має довжину 93 см і дорівнює четвертій частині довжини крокодила без хвоста. Чому
дорівнює довжина крокодила?
174. Розв’яжіть ребус: 3 1xy z36
(x, y, z — цифри; abc означає число, записане
цифрами a, b, c в указаному порядку).
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
175. The quantity T is given by: T = (P - 7) 2 + . Find the value of T when P = 4, Q = -0,2,
R = 0,3.
Орієнтовні завдання до тематичної контрольної роботи № 1
Тема. Повторення і систематизація навчального матеріалу з курсу
алгебра 8 класу
Початковий рівень
Завдання 1 4 мають по чотири варіанти відповіді, серед яких лише
ОДИН правильний. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь
Завдання 1 4 оцінюються у 1 бал
1. Скоротіть дріб
x
2
x 2
x 1
.
50

1
А
x 1
Б х+1 В х+2 Г x-2
2. Не обчислюючи коренів рівняння 2х
2 4х
1
0, знайдіть
1 1
х х
.
А 4 Б -4 В 1 Г -1
20
5
3. Обчисліть значення виразу .
12
4
5 25
А 5 Б 0 В 25 Г 1
4. Обчисліть значення виразу 100 49 .
А 70 Б 49 В 35 Г 17
1
2
Середній рівень
Завдання 5 передбачає встановлення відповідності. До кожного рядка,
позначеного цифрою, доберіть один відповідний, позначений буквою
Завдання 5 оцінюється у 1,5 бали
5. Установіть відповідність між виразом (1 – 3) та тотожно рівним йому
виразом (А Г) на області допустимих значень змінних
1.
2.
3.
x 36
6 x
2 А.
1
х 6
x 6
Б. 6 х
2
36 12x
x
x
2 В. х 6
12x
36
6 x
Г.
1
х
6
Завдання 6 9 розв’яжіть з повним поясненням
Завдання 6 8 оцінюються у 1,5 бали
5 5 5 5
6. Порівняйте числа: і 10 .
5 5 5 5
64 8х
7. Розв’яжіть рівняння x графічно.
2
8x
х
51

Достатній рівень
8. Знайдіть чотири послідовні цілі числа, якщо відомо, що сума квадратів двох
менших чисел на 14 більша за суму двох більших чисел.
Високий рівень
Завдання 9 оцінюється у 2 бали
9. Чому дорівнює сума
2
2
25 y 15 y 2.
2
2
25 y 15 y
, якщо відомо, що різниця
52

РОЗДІЛ I. НЕРІВНОСТІ
У цьому розділі ви дізнаєтесь про:
Однією з характерних особливостей вищої математики є
та визначна роль, яку в ній відіграють нерівності
Р. Курант
(1888-1972)
німецький і американський математик,
педагог і науковий організатор
нерівності та їх властивості;
системи та сукупності нерівностей і методи їх розв’язування;
застосування нерівностей до розв’язування текстових задач;
— методи розв’язування завдань, що містять лінійні нерівності з
параметром.
Основні поняття теми
Українською International (English) Математичною
a менше за b a is less than b а < b
a більше за b a is greater than b а > b
Числова нерівність numerical inequality 4 –100
Лінійна нерівність linear inequality 2x
6
Система нерівностей
system of the
Сукупність нерівностей totality of the
Лінійна нерівність з
параметром
х 3 1,
inequalities 2x
1
3
inequalities
linear inequalitу with a
parameter
х
3 1,
2x
1
3
2
2
a
1x
a 2a
1
53

§5. Числові нерівності
Ключові слова
а більше за b
а менше за b
а менше або дорівнює b,
а більше або дорівнює b
числова нерівність
подвійна нерівність,
строга нерівність
нестрога нерівність
Keywords
a is less than b,
a is greater than b
a is less than or equal to b
a is greater than or equal tob
numerical inequality
double inequality (compound inequality)
strict inequality
unstrict inequality
Життя людини важко уявити без постійного порівнювання числових
значень різноманітних величин. Наприклад, результатів вимірювань зросту,
ваги, артеріального тиску, частоти пульсу, кількості віджимань, підтягувань
чи присідань, розмірів цін на товари та послуги, показників економічного
розвитку, даних соціологічних досліджень та багато іншого.
Результати таких порівнянь виражаються одним з трьох можливих
співвідношень: «а більше за b» ( a b ), «a менше за b» ( a b ) або «a дорівнює
b» ( a b ). При цьому, різниця a - b між числами а і b буде додатна, якщо a b ,
від’ємна, якщо
твердження самостійно).
a b або дорівнюватиме нулю, якщо a b (перевірте це
Тому зміст кожного з наведених
природно розкрити за допомогою такого означення:
Означення 1.
Українською
співвідношень між числами а і b
Математичною
Число а більше числа b, якщо різниця a - b додатна а > b якщо, a - b > 0
Число а менше числа b, якщо різниця a - b
від’ємна
а < b, якщо a - b < 0
54

Число а дорівнює числу b, якщо різниця a - b а = b, якщо a - b = 0
дорівнює нулю
Зверніть увагу!
Для того, щоб порівняти два числа, потрібно записати їхню різницю і
визначити її знак.
Приклад 1. Порівняйте числа а та b, якщо:
1) а – b = (–2,7) 3 ; 2) а – b = (–1) 6n 2
; 3) а – b =
3
Розв’язання
Скористаємось означенням.
7
1) Оскільки різниця а – b = (–2,7) 3 0, то за означенням а > b.
7
7
3
.
2
2 3 3 3
3) Оскільки різниця а – b =
0 , то за означенням
3 2 2 2
а = b.
Зверніть увагу!
Крім знаків > («більше») і < («менше») використовують й інші знаки
нерівності.
1. Знак ≥ — «більше або дорівнює» (або «не менше»). Запис a ≥ b
означає, що a > b або a = b.
2. Знак ≤ — «менше або дорівнює» (або «не більше»). Запис a ≤ b
означає, що a < b або a = b.
7
7
7
Означення 2. Два числових вирази, сполучені знаком нерівності (>, 3,14..
55

Нерівності виду
a b, a b називають строгими нерівностями, а
нерівності виду a b,
a b — нестрогими.
Числові нерівності, як і числові рівності, можуть бути правильними або
неправильними.
Наприклад, числові нерівності 2,5 < 10 ,
2 3
3 ≤ 2 , π > 3,14 , 7 ≥ 7 ,
1 1
7 ≤ 7 є правильними, а нерівності -5 > 0, 2 ≤ 3 , 7 > 7 , 7 < 7 є
неправильними.
Якщо нерівності a < b і b < c правильні, то їх можна записати у вигляді
подвійної нерівності a < b < c. Пари правильних нерівностей a ≤ b і b < c , a
< b і b ≤ c , a ≤ b і b ≤ c у вигляді подвійних нерівностей запишуться
відповідно так:
a b c , a b c і a b c .
Наприклад, запис 2 b 3 означає, що b 2 i b 3 (читається «b більше
за -2, але менше за 3»). Запис
a 1
b 3c
означає, що b a 1i
b 3c
(читається
«b не менше за а + 1, але менше за 3с).
Зверніть увагу!
Правильний запис подвійних нерівностей має вигляд a < b < c – від меншого
числа до більшого (запис a > b > c та
a c b є не правильними ).
Приклад 2. Запишіть у вигляді подвійної нерівності співвідношення:
1) a < 2 і a >-1; 2) х > 3 і х ≤ 7; 3) m ≥ -2 0 і m ≤ 2 -1 .
Розв’язання
1) -1 < a < 2; 2) 3 < х ≤ 7; 3) -1 ≤ m ≤ 0,5.
Зверніть увагу!
56

Числові нерівності зручно ілюструвати на координатній прямій. При цьому
важливим є не відображення відстані між певними точками, а їx розміщення
одна відносно одної.
Зображуємо більше з двох чисел точкою, що лежить праворуч від точки, що
зображує менше число (менше з двох чисел точкою, що лежить ліворуч від
точки, що зображує більше число).
Приклад 3. Визначте, як розміщені на координатній прямій відносно одна
одної точки А(а) і В(b), якщо:
1) а – b = 2; 2) а – b = -0,45; 3) b – а = – 3 ; 4) b – а = 0.
Розв’язання
1) Оскільки а – b = 2 > 0, то за означенням, а > b. Тому точка А(а)
розташована праворуч від точки В(b).
2) а – b = -0,45 < 0 тому а < b. Точка А(а) розташована ліворуч від точки
В(b).
3) b – а = – 3 < 0, тому b < а . Точка А(а) розташована праворуч від точки
В(b).
4) b – а = 0 тому b = а. Точки А(а) і В(b) співпадають.
Доведення нерівностей на основі означення.
Приклад 4. Доведіть, що для будь-якого числа у нерівність:
( 6y
1)(
y 2) (3y
4)(2y
1)
є правильною. .
Доведення. Запишемо різницю лівої і правої частин нерівності і
визначимо її знак:
(6y
1)(
y 2) (3y
4)(2y
1),
6y
6y
2
11y
2 6y
2
11у
4
2
6 0.
у 12y
2 (6y
57
2
8у
3y
4)
Різниця є від’ємним числом, тому значення виразу, що стоїть у лівій

частині буде меншим за значення виразу , що стоїть у правій її частині.
Нерівність доведено.
a b
Приклад 5. Доведіть нерівність: ab,
якщо a 0 і b 0.
2
Доведення. Запишемо різницю лівої і правої частини нерівності і
визначимо її знак:
a b a b 2
ab
2
2
ab a 2 ab b
2
2
a b
0.
Різниця є невід’ємним числом для будь-яких невід’ємних чисел a і b,
a b
тому ab
2 або
коли a = b.
2
a b
ab
2 , причому рівність має місце лише у випадку,
Зверніть увагу!
a b
Нерівність ab,
a 0, b 0
2
арифметичним
a b
2
встановлює співвідношення між середнє
та середнім геометричним
ab (або середнім
пропорційним) чисел а і b. Її називають нерівністю Коші для двох
невід’ємних чисел.
Узагальнюйте міркуючи
172. Сформулюйте умови, при яких:
1) число х більше за число у; 2) число m менше за число n.
173. Наведіть приклади: правильної числової нерівності; неправильної числової
нерівності.
174. Відомо, що на числовій осі точка з координатою а лежить праворуч від точки з
координатою b. Як можна записати дане твердження за допомогою нерівності.
175. Продовжить твердження: якщо a b, b a, то…
58

Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І ______________________________________________
Завдання 176 - 185 мають по чотири варіанти відповіді (А-Г), з яких тільки
один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді
176. Cкільки цілиx чисел х, задовольняють нерівність 4,3
x 5,2 ?
А 9 Б 10 В 11 Г 12
177. Укажіть правильну числову нерівність.
А
10 8
Б
10 10
В
3 3
Г
5 2
178. Запишіть у вигляді подвійної нерівності співвідношення х >- 2 і х ≤ 5.
А 5 x 2
Б 2 x 5 В 2 x 5 Г 2 x 5
179. Запишіть у вигляді подвійної нерівності «х не менше за 3
2
, але не більше
за 4
3 ».
2 3
2 3
3 2
3 2
А x Б x В x Г x
3 4
3 4
4 3
4 3
180. Як розміщені на координатній прямій відносно одна одної точки А(а) і
В(b), якщо: a b 2 6 64?
А а ліворуч в Б а праворуч в В співпадають Г встановити не
можливо
181. Порівняйте вирази А та В, де A a
3a
5 i B a
4 2
.
А A B
Б A B
В A B Г порівняти не
можливо
182. Укажіть кількість чисел що кратні 6, які задовольняють нерівність
123 х 141 .
А 3 Б 4 В 5 Г жодного
183. Укажіть вірне твердження.
А
2год 23хв
223хв
Б
5хв 3с
503c
В
3доби 70год 2
Г
56см
: 2см
м 1м28см
59

184. Знайдіть добуток всіх цілих чисел, які задовольняють нерівність.
13 x 12
А
-2378000
Б
2378000
В
0
Г
-23780000
5
2 2
185. Розташуйте числа x 2 ; y 5
; z 5 у порядку спадання.
А
z ; x;
y . Б x ; z;
y В y ; z;
x
Г x ; y;
z
Рівень (Level) II ___________________________________________________
186. Порівняйте величини (Compare the properties):
1) 24 хв і 0,3 год; 2) 0,75 доби і 8 годин; 3) 3 год і 250 хв; 4)7000с і 1,5год.
187. Порівняйте числа х і у, якщо відомо, що (Compare the numbers x and y, if
you know that):
1) x y 5; 3) x y 3,76 0 4; 5) x y 7
;
2) x y 2 5 32; 4) x y 4; 6) x 5 y z,
z 5
.
188. Як розміщені на координатній прямій відносно одна одної точки А(а) і
В(b), якщо:
1) а – b = -2 2 ; 2) а – b = -1 -4 ; 3) b – а = 9 2 ; 4) b – а =1 23 -2 0 ?
189. Як розміщені на координатній прямій відносно одна одної точки А(а) і
В(b), якщо:
1) а – b = 2 3 -3 2 ; 2) а – b =34 0 -1 34 ; 3) b – а = 4 5 ; 4) b – а = -2 -3 ?
190. Порівняйте числа (Compare the numbers):
1)
1 1
3,12
i 3 ; 2) 5 і 5, 3; 3) 133141 і 137 2 ; 4) 29 2 24 2 і 27 2 22 2 .
8 3
191. Порівняйте числа (Compare the numbers):
1)
5 4 131 133 6 6
і ; 2) і ; 3)
7 9 129 131
19 29
і ; 4) ,27 17, 27
1
192. Розташуйте в порядку зростання числа: 1 ; –1,2; 1,14;
3
193. Розташуйте в порядку спадання числа: –0,55;
60
17 і .
1
1 ; –1,5; 1,0(2).
8
1 1 1
; ; 0,16; ; 0,1(7).
3 6 7

194. Знайдіть суму всіх цілих чисел, які задовольняють нерівність (Find the
sum of all integer numbers, which satisfy the inequality):
1) 13 x 12; 3) 17 x 16 ; 5) 25 x 22 ;
2) 14,23 x 13; 4) 50 x 53; 6) 100 x 100 .
195. Відомо, що а < b, порівняйте числа:
1) а – 1 та b + 6; 2) а – 14 та b + 1; 3) b + 5 та а – 8.
196. Відомо, що а < b, порівняйте числа:
1) 5а та 5b + 1; 2) а – 14 та b + 1; 3) b + 5 та а – 8.
197. Ручка на 100% дорожча за зошит. На скільки відсотків зошит дешевший
за ручку?
198. В 9А класі учнів на 25% менше, ніж в 9Б. На скільки відсотків в 9Б класі
більше учнів, ніж в 9А?
199. Скільки існує натуральних чисел х, для яких виконується нерівність:
1) 1 x
1 ; 3) 3 x
4 ; 5) 1 x
1 ;
3 36 2 4 20 5 7 42 6
2) 3 x
4 ; 4) 1 x
1 ; 6) 2 x 1 ?
8 72 9 5 40 4 3
200. Напишіть три значення х, які задовольняють нерівність (Write three values
of the x, which satisfy the inequality):
1) 2 x 1; 2) 1 x 1 ; 3) 2 x 3 ; 4) 11 x 1.
3
8 7 5 5 12
201. Напишіть чотири значення х, які задовольняють нерівність (Write three
values of the x, which satisfy the inequality):
1) 1 x 1 ; 2) 8 9
8 9
x ; 3) x ; 4) 1 x 1 .
8 6 9 10
9 10 11 10
202. Збільшиться, чи зменшиться сума і на скільки, якщо:
4
1) один з доданків збільшити на 2 , а другий зменшити на 9
25 35 ;
2) один з доданків зменшити на
3) один з доданків зменшити на
5
4 6
, а другий збільшити на
3
2 11
, а другий зменшити на
203. Збільшиться, чи зменшиться різниця і на скільки, якщо:
1) зменшуване збільшити на
5
4 9
;
1
3 9
, а від’ємник збільшити на 11
12 ;
5
3 22
?
61

2) зменшуване збільшити на
3
2 , а від’ємник зменшити на 1
8 12 ;
3) зменшуване зменшити на 4
19
, а від’ємник збільшити на
15 20 ?
204. Доведіть нерівність (Prove the inequality):
1) 3(
x 1) x 4(2 x)
; 3) ( 6y 1)(
y 2) (3y
4)(2y
1)
;
2) x 5x
9 x
2 2
2
; 4) x 18x 90 0 .
205. Доведіть нерівність (Prove the inequality):
1) 4( x 2) ( x 3)
2 2
2x
; 3) 3( x 1)
2( x 3) 15x
7 ;
2) y 8 y 2 y
3 2
; 4) 4x 2 12x
10
0.
Рівень (Level) ІІІ ___________________________________________
206. Порівняйте числа (Compare the numbers):
2012 2019 2121 414141
1) і ; 2) і .
2017 2024
3131 515151
207. Порівняйте числа (Compare the numbers):
38 11
2121 212121
1) та ; 2) і .
39 12
3131 313131
208. Порівняйте числа а і b, відмінні від 0, якщо:
1) 0,6 числа а дорівнює 8 числа b;
15
2) 3 4 числа а дорівнює 5 6
числа b;
3) 70% числа а дорівнює 5 числа b.
7
209. Порівняйте числа а і b, відмінні від 0, якщо:
4
1) 1 числа а дорівнює 140% числа b;
9
2) 35% числа а дорівнює 1 3
числа b;
3) 45% числа а дорівнює 1 числа b.
2
210. Знайдіть значення виразу та порівняйте його з нулем:
62

1)
2,5 3,25 : 0,5
3,24 : 1,8 18,9 0,05
; 2)
7 3
0,044 6
12 4
.
0,02 0,56 0,020,44
211. Знайдіть значення виразу та порівняйте його з нулем:
3 5 7
; 2) 2
9,7 1,6 : 0,9
8 6 12
1,2 2,5 1,2 4,5 7 1,8
1)
.
1,125 80 1,1 80
212. Щоб виконати норму за зміну, яка складає 120 деталей, робітник повинен
виготовляти у середньому 15 деталей за годину. З якою продуктивністю
повинен працювати робітник, щоб за зміну виготовити більше норми, якщо
відомо, що він почав роботу із запізненням на півгодини?
Світ навколо нас
213. На планеті Земля проживає приблизно 7 000 000 000
людей. Кожні 100 осіб за 1 годину видихають приблизно 1
кг вуглекислого газу. Яку площу повинен займати ліс, щоб у
процесі фотосинтезу, перетворити вуглекислий газ, що
видихають 7000 000 000 людей на кисень? За 1 год 1 га лісу
поглинає 2 кг вуглекислого газу.
Мисліть творчо, логічно, системно
214. Скільки існує натуральних чисел менших 100, які не діляться ні на 5, ні на 7?
215. Скільки різних семицифрових чисел, кратних 5, можна записати за допомогою цифр 0,
2,7?
216. У деякому місяці три п’ятниці припали на парні числа. Яким днем тижня було 15 число
цього місяця?
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
217. The porridge and the ice-cream are mixed in the ratio 7:4. How much the porridge should
go with 10 bowls of the ice-cream?
63

§6. Властивості числових нерівностей
Ключові слова
Властивості нерівностей
Нерівності одного знаку
Нерівності протилежних знаків
Keywords
properties of the inequality
inequality with the same sign
inequality with the different sign
Розглянемо основні властивості числових нерівностей,
які часто
використовуються при розв’язуванні задач.
Українською
1. Якщо число а більше за число b, а число
Якщо
Математичною
a b і b c , то a c.
b більше за число с, то число а більше
за число с.
Якщо число а менше за число b, а число
Якщо
a b і b c , то a c.
b менше за число с, то число а менше за
число с.
Доведення. За умовою
a b і c
b , тому b 0
a і b c 0
. Різниці
додатні числа. Сума додатних чисел
a b і b c є число додатне, тому
b
b
c a c 0
a . Оскільки a c 0 , то за означенням число а
більше за число с, тобто
a c , що і треба було довести.
На координатній прямій точка В(b) знаходиться праворуч від точки С(с),
точка А(а) – праворуч від точки В(b). Отже, точка А(а) знаходиться
праворуч від точки С(с).
2. Якщо до обох частин правильної
нерівності додати або відняти одне й
Якщо
a b і с – будь-яке
дійсне число, то
64

те саме число, то отримаємо правильну
нерівність.
Доведення. За умовою
1) a c b c
;
2) a c b c
.
a b , тому різниця b 0.
довільне дійсне число. Запишемо різницю
1) a b a c c b a
c
b
c.
a Нехай с —
a b у такому вигляді:
Оскільки
a b 0 , то і
( a с)
( b с)
0. Отже, за означенням,
a c b c . Що і треба було
довести.
2) a b a c c b a
c
b
c.
Оскільки
a b 0 , то і
( a с)
( b с)
0. Отже, за означенням,
a c b c . Що і треба було
довести.
Наслідок. Якщо будь-який доданок перенести з однієї сторони правильної
нерівності в іншу, змінивши при цьому знак цього доданку на
протилежний, то отримаємо правильну нерівність.
Зверніть увагу!
Якщо до кожної частини правильної подвійної нерівності додати або
відняти одне й те саме число, то отримаємо правильну подвійну нерівність.
Математичною мовою ця властивість запишеться так:
Якщо
a b c і m — довільне дійсне число, то:
1) a m b m c m
; 2)
a m b m c m
3. Якщо обидві частини правильної
нерівності помножити або поділити на
одне й те саме додатне число, то
отримаємо правильну нерівність.
Доведення. За умовою
a b і 0
Якщо
1) bc ac ;
2)
a b .
c c
a b і c 0
, то:
c , тому a b
0 i c 0 тобто додатні
числа. Оскільки добуток таких чисел додатний, то bс
ac bc
0
a .
Оскільки остання різниця додатна, то, за означенням,
ac bc
, що і треба
65

було довести. Для доведення другої частини ділення на число с треба
замінити множенням на додатне число c
1 .
4. Якщо обидві частини правильної
нерівності помножити або поділити на
одне й те саме від’ємне число і змінити
знак нерівності на протилежний, то
отримаємо правильну нерівність.
Доведіть цю властивість самостійно
Зверніть увагу!
Якщо
Якщо
a b c і m > 0, то: 1) am bm cm
; 2)
a b c і m < 0, то: 1) сm bm am
; 2)
66
Якщо
1) bc
2)
a
m
c
m
a b і c 0
ac ;
a b
c c .
b
m
b
m
c
m
a
m
.
, то:
Наприклад, якщо 5 a 4,
то, виконавши відповідні арифметичні дії з
кожною частиною нерівності, отримаємо правильні числові нерівності:
1)
2 a 7 11.
2) 8 3 1
a ;
3) 20 4a 16 ;
4) 12 3a
15;
a
;
2
5) 2,5
2
a
.
2
6) 2 2, 5
Визначте самостійно, які дії виконувались у кожному з випадків 1) – 6).
5. Нерівності одного знаку можна почленно
додавати. При цьому отримуємо
нерівність того самого знаку.
Доведення. За умовою
a b і d
.
Якщо
a c b d .
Якщо
a c b d .
c , тому різниці b 0
a b і c d , то
a b і c d , то
a і c d 0
. Сума
додатних чисел додатна, тому ( a b)
(
с d)
a bc
d
( a c)
(
b
d)
0.
Оскільки остання різниця додатна, то, за означенням,
треба було довести.
Зверніть увагу!
a c b d
. Що і

Властивість 5 виконується також для трьох і більше нерівностей одного
знаку. Наприклад, якщо a < b, c < d і m < n, то a + c + m < b + d + n .
6. Нерівності одного знаку, в яких ліві та
праві частини - додатні числа, можна
почленно перемножати. При цьому
отримуємо нерівність того самого знаку.
Доведення. За умовою
a b , c d , b > 0, d > 0.
Якщо
a b і c d , а > 0,
b > 0, d > 0, то
Якщо
a c b d .
a b і c d , а > 0,
c > 0, d > 0, то
a c b d .
Помножимо обидві частини першої нерівності на с, а другої – на b. За
властивістю 3 отримуємо:
властивістю 1). Що і треба було довести.
Зверніть увагу!
ac bc і cb db . Отже, ac bd (за
Властивість 6 виконується також для трьох і більше нерівностей одного
знаку. Наприклад, якщо a < b, c < d і m < n і всі числа додатні, то
acm < bdn.
7. Нерівність, в якої ліва та права частини
додатні числа, можна почленно
підносити до степеню з натуральним
показником. При цьому отримуємо
нерівність того самого знаку.
Якщо
a b , а > 0,
b > 0, і n — натуральне
число, то
Якщо
n n
a b .
a b , а > 0,
b > 0, і n — натуральне
число, то
n n
a b .
Для доведення цієї властивості треба послідовно почленно перемножити
нерівність
a b на себе n разів. Виконайте це самостійно.
Зверніть увагу!
Якщо
a х b і c y d
, то:
1) a c x y b d ;
2) ac xy bd , якщо а, b, c, d – додатні числа.
67

Приклад 1 . Відомо, що 5 3
1)2a 3b ; 2)2
3b;
Розв’язання
a 3) a 3b
a і 4 5
2 .
b . Оцініть значення виразів:
1) Для оцінки виразу 2a 3b
першу нерівність помножимо на 2, а другу – на
3 і додамо отримані нерівності:
10
2a
6
12
3b
15
22 2a
3b
21.
2) Для оцінки виразу 2a 3b
першу нерівність помножимо на 2, а другу
на (-3) і додамо отримані нерівності:
10
2a
6
15
3b
12
25 2a
3b
18
.
3) У першому завданні було встановлено межі виразу, який стоїть під знаком
модуля: 22 2a
3b
21 . Враховуючи, що модуль числа завжди більше або
дорівнює нулю (властивість модуля), отримуємо остаточну відповідь:
0 2a
3b
22
.
6 x x 5
Приклад 2. Доведіть, що вираз
значень, якщо 2 4
Розв’язання
x .
1) Оскільки 2 x 4 , то 4 2
2) 7 x 5 1 тому 5 0
3) 0 x 2 6 означає, що 2 0
x 2
x , 2 6 8
набуває лише від’ємних
x . Отже 6 0
x . Отже добуток 6 x 5
0
x .
x .
x .
Таким чином, чисельник заданого дробу від’ємний, а знаменник додатний.
Тому вираз приймає від’ємне значення.
Відповідь: вираз має від’ємний знак.
Приклад 3. Знайдіть найбільше значення виразу xy , якщо відомо, що
3x 2y
12
.
Розв’язання
68

Перепишемо рівність 3x 2y
12
у вигляді
3 y x 6
2
. Помножимо ліву і
праву частину цієї рівності на х ≠ 0. Отримаємо
3 yx x 2 6 x .
2
Для
знаходження найбільшого значення виразу xy , виділимо у виразі
квадрат двочлена:
x
2
3
6x
2
3 2
2
3
x
4x (
x 4x
4) 4 x
2 6
3 2
2
2
2
.
3
x 2
6x
2
3
2
Оскільки перший доданок x 2 2 набуває лише недодатниx значень,
то значення виразу x
2 6
xy 3 2 2
буде найбільшим, коли перший доданок
дорівнює нулю. Отже, найбільше значення виразу дорівнює 6.
Відповідь: 6.
Узагальнюйте міркуючи
218. Сформулюйте властивості числових нерівностей.
219. Які дії можна виконувати з числовими нерівностями?
220. Розглянь малюнок і порівняйте а -n і b -n , якщо а > b>0 .
221. Чи є правильним твердження (Does the statement is
true):
1) якщо x y , то x y ; 3) якщо 0 x y , то x 2 xy
;
2) якщо y
x , то x y ; 4) якщо x y
, то
1 1
x y ?
Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І ______________________________________________
Завдання 222-233 мають по чотири варіанти відповіді (А-Г), з яких тільки
один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді
222. Відомо, що 2 a 6 . Оберіть правильну нерівність.
69

А 7 a 5 1
Б 7 a 5 1
В 1
a 5 7 Г 7 a 5 1
223. Відомо, що 2 a 6 . Оберіть правильну нерівність.
a
a
a
А 3 1
Б 1 3 В 1 3
2
2
2
224. Відомо, що 2 a 6 . Оберіть правильну нерівність.
a
Г 3 1
2
А 4 a 2 36 Б 0 a 2 36 В 0 a 2 4 Г 0 a
2 36
225. Відомо, що 3 a 4; 4 b 6 . Оберіть правильну нерівність.
А 3 a b 0 Б 7 a b 10
В 3 a b 10
Г 7 a b 2
226. Відомо, що 3 a 4; 4 b 6 . Оберіть правильну нерівність.
А 7 a b 10
Б 1 a b 2 В 1
a b 2 Г 9 a b 8
227. Відомо, що a 4;
b 5. Оберіть неправильну нерівність.
А a 2 16 Б b 8
228. Відомо, що x y
a В a b 9 Г ab 18
. Оберіть правильну нерівність.
А
2x 2y
Б x y
В x 3 y 3 Г
229. Відомо, що 2 6
x і 1 5
y . Оцініть xy .
А 6 xy 10 Б 3 xy 11 В 2 xy 15 Г 2 xy 30
230. Порівняйте числа х і у, якщо відомо, що x 4 y z,
z 4.
А
x y Б порівняти не
можна
В
1
x
x y
Г x y
231. Оцініть периметр рівностороннього трикутника зі стороною а см, де
3,4см
a 4,5см.
А
10,2см Р 12,
5см
Б
9,2см Р 13,
5см
В
10,2см Р 13,
5см
1
y
Г
13,5
м Р 10,
2см
232. Знайдіть найменше значення виразу х 2 2 3.
А -2. Б 2 В 3 Г -3
233. Знайдіть найбільше значення виразу 2 х 3 .
А 2 Б -2 В 3 Г -3
70

Рівень (Level) II _________________________________________________
234. Як розміщені на координатній прямій відносно одна одної точки А(а) і
В(b), якщо:
1) а – b = – 7; 2) а – b = 30,6; 3) b – а = – 1,3; 4) b – а = 0?
2
2
235. Оцініть вирази a ; a , якщо (Evaluate the expressions a ; a , if):
1)
2 a 3; 2)4
a 6;
3)
4 a 3; 4)
4 a 5.
236. Відомо, що a b . Порівняйте значення виразів (You know that a b .
Compare the value of the expressions):
1) a 4 і 4
2) a 3 і 1
b ; 3) 0,3a
і 0,3b
; 5) 6 5
a і 6b 6;
b ; 4) 2a 4 і 0,2b 5; 6) – 7a – 3 i – 7b – 4.
237.Оцініть периметр рівностороннього трикутника зі стороною 3,5
a 8, 7.
238. Оцініть периметр ромба зі стороною 7 a 8.
239. Оцініть периметр трикутника із сторонами a,b,c, якщо 3 5
4 c 6 .
240. Відомо, що (You know that) 7 y 4. Оцініть (Evaluate):
a , 4 b 8 ,
1) 5y
; 2) 35 5y; 3) y 5 4 ; 4)
2
y .
241. Відомо, що (You know that) 2 5
1) x y; 2) x y ; 3) ху.
242. You know that 2 5
x і 1 y 3
x і 4 3
. Evaluate:
71
y . Оцініть (Evaluate):
1) ху; 2) x y ; 3) y x ; 4) y x .
243. Порівняйте (-1) 2n · (а -n - b -n ) з нулем, якщо а > b>0 і n N .
244. Чи правильно, що (Is it right that) :
1) якщо а < 2, то а 2 > 2а; 3) якщо а < –5, то а 2 > –5а;
2) якщо а < 2, то а 2 < 2а; 4) якщо -5 –5а?
245. Чи є правильним твердження (Is the statement is true):
2
x 6x
9
1) якщо x 4 , то 8x 32 0 ; 3) якщо x 5,
x 3, то 0 ;
x 5

2) якщо 0 x 3 , то x 3
xx 2 2 0 ; 4) якщо 4 5
246. Чи є правильним твердження (Is the statement is true):
1) якщо x 2
, то 10x 20 0 ; 3) якщо 7
2) якщо 4
x , то 4x 5 0
247. Доведіть, що якщо 5
248. Доведіть, що якщо 5
x ; 4) якщо 1 3
a і 4
a і 4
b , тоді 3a
4b
30.
b , тоді 3a
2b
7.
x , то 4 x 5 0
5 2x
x 3
x 4
x .
x , то 0
3 x x 2
x 5
x , то 0
249. Оцініть довжину бічної сторони b рівнобедреного трикутника з
основою а і периметром Р, якщо
10cм a 24см
і 34см P 50см
.
250. У трикутнику зі сторонами а , b та с, де 2,3см ≤ а ≤ 2,4см,
3,2 см ≤ b ≤ 3,3 см та 4,5 см ≤ с ≤ 4,6 см, поєднані середини сторін.
Оцініть периметр утвореного трикутника.
0
0
251. У трикутнику зробили виміри двох кутів, а саме 50 58
98 102
0
0
B . Укажіть межі величини кута С.
;
.
A і
Рівень (Level) ІІІ ___________________________________________
252. Відомо, що (You know that) 4 a 7
2
1) a 6a 10
; 2)
7
.
7 2a
. Оцініть (Evaluate):
253. Відомо, що (You know that) 6 y 3. Оцініть (Evaluate):
1) y 4 3; 2)
4y
6 .
3
2y
254. You know that 2 6
1) a 3b
2
2 ; 2) a 2
b
a і 3 b 5
3
; 3)
2 2
a 3b
. Evaluate:
; 4) 2a 3b
.
255. Оцініть значення х, якщо відомо, що у — будь-яке число та виконується
умова:
2
1) x y 4y
5 ; 2) x y 2 9 ; 3) x y 6 і y 5; 4) x y 4.
72

256. Оцініть значення х, якщо відомо, що у — будь-яке число та виконується
умова:
1) x y 8 і y 9 ; 2) x y 6 і y 2 ; 3) x y 3; 4) x y 2 і y 5.
257. Знайдіть найбільше значення виразу xy , якщо відомо, що (Find the
maximum value of the expression xy, if you know that):
1) x y 2 2) 2x3y 12 .
258. Біля будинку посаджені липи і берези, причому їхня загальна кількість
більше за 14. Якщо кількість лип збільшити вдвічі, а кількість берез на 18, то
берез стане більше. Якщо ж кількість берез збільшити вдвічі, не змінюючи
кількість лип, то лип все одно буде більше. Скільки лип і скільки берез було
посаджено?
259. Теплохід за течією річки від А до В йде а днів, а від В до А він йде b днів.
Плоти від А до В пливуть с днів. Якому числовому інтервалу належать
значення с, якщо 3 5
a та 7 b 9?
260. На кінцевій зупинці в трамвай сіли пасажири і половина їх зайняли місця
для сидіння. Скільки людей сіли на зупинці в трамвай, якщо після першої
зупинки число пасажирів збільшилось на 8% і відомо, що трамвай вміщує не
більше 70 людей?
Світ навколо нас
261. Добовий раціон дорослої людини повинен містити 3 20 частини білків, 3 10
вуглеводів. Виразіть ці складові у відсотках.
жирів і
11
20
73

Мисліть творчо, логічно, системно
262. У трьох сім’ях чоловіки на 3 роки старші від своїх дружин. Відомо, що Іван на 3 роки
молодший від Надії, Федору і Марії разом 56 років, а Степану і Олені – 50 років. Хто з
ким одружений?
4
4
263. Знайдіть дві останні цифри числа 4 ?
264. Дізнайтеся більше про принцип Діріхле. В чому він полягає. Складіть задачу, яка б
розв’язувалась за допомогою принципу Діріхле.
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
265. The proportion of apple trees in my orchard is one in every four. If there are 32 trees in
the orchard, how many apple trees do I have?
§7. Числові множини. Числові проміжки
Ключові слова
множина, числова множина
переріз множин, об’єднання множин
числовий проміжок
об’єднання числових проміжків
переріз числових проміжків
Keywords
set, numerical set
intersection of the sets, union of the sets
numerical interval
union of the numerical intervals
intersection of the numerical intervals
Множина є одним з найважливіших понять сучасної математики.
Множину можна описати як сукупність (набір) деяких об’єктів, об’єднаних за
певною ознакою (властивістю). Наприклад, множина літер українського
алфавіту, множина учнів класу, множина коренів рівняння х 3 = 4х, множина
всіх парних натуральних чисел тощо.
Об’єкти, з яких складається множина, називають її елементами. Наприклад,
елементами множини літер українського алфавіту є літери, елементами
74

множини учнів класу є учні. Множини позначають великими літерами
латинського алфавіту, а елементи множин - маленькими.
Якщо а є елементом множини А, то це позначають так: a ∈ A і читають «а
належить множині А». Якщо елемент b не належить множині В, то це
позначають так: b ∉ B і читають «b не належить множині B». Наприклад, якщо
A є множиною всіх парних натуральних чисел, то 6 ∈ A, а 7 ∉ A.
Множину, яка не містить жодного елемента називають порожньою і
позначають так . Наприклад, порожньою є множина коренів рівняння
х 2 = - 1.
Задати множину можна двома основними способами.
Перший спосіб полягає в безпосередньому переліку елементів множини.
Наприклад, множину учнів даного класу задають списком у класному журналі;
множину коренів рівняння (х – 1)(х – 2)(х – 3) = 0 задають переліком її
елементів: А = {1; 2; 3}.
Для задання множини другим способом указують (описують) її
характеристичну властивість. Характеристична властивість множини – це
така властивість, яку має кожний елемент, що належить цій множині, і не має
жоден з елементів, що цій множині не належить.
Наприклад, у множині А непарних натуральних чисел кожний елемент х
цієї множини є непарним числом (характеристична властивість множини).
Тоді множину А можна записати так: A = {x | x – непарне число}. Ураховуючи,
що кожне непарне число х можна задати формулою x = 2n – 1, де n – будь-яке
натуральне число, то множину А можна записати і так:
A = {x|x = 2n – 1, n ∈ N}.
75

Множини можуть складатися з найрізноманітніших елементів : літер,
учнів, чисел, точок, фігур, предметів, рослин, тварин тощо. Якщо елементами
множини є числа, то таку множину називають числовою. Для деяких числових
множин введено спеціальні позначення.
Множину всіх натуральних чисел
позначають літерою N, множину всіх цілих чисел
– літерою Z, множину всіх раціональних чисел –
літерою Q, множину всіх дійсних чисел – літерою
R. Співвідношення між цими числовими
множинами наведене на діаграмі Ейлера-Венна (мал. 7.1) мал. 7.1
Множину всіх дійсних чисел х, що задовольняють нерівності a ≤ x ≤ b
або a < x < b, a < x ≤ b або a ≤ x < b, x < a або x > a, x a або x ≥ a та
x , називають числовим проміжком.
Зв'язок між числовими нерівностями та числовими проміжками
Зв'язок між числовими нерівностями та числовими проміжками наведені у
наступній таблиці 1.
Табл.1
Числова нерівність
Зображення на координатній
прямій
Позначення
a x b
[ a;
b]
а
a x b
( a;
b)
a x b
( a;
b]
а
а
b
b
b
a x b
a; b
x
x < a ( ;
a)
а x
x > a ( a;
)
x
x
x a
а
x
( ;
a]
76

а х a ;)
x
R ( ;
)
Зверніть увагу!
Якщо один або обидва кінці числового проміжку від а до b не належать
цьому проміжку, то на координатній прямій ці точки “виколюють”.
Приклад 1. Зобразіть на координатній прямій проміжок ( 3,5;2 ].
мал. 7.2
Означення. Перерізом числових множин А і В
називають множину С, яка складається з елементів, що
належать і множині А і множині В, позначають
C A B .
Перерізом двох числових проміжків називають їх
спільну частину (мал 7.3).
Приклад 2. Знайдіть множину С, якщо
1)
9;7,5 ,
B 1;8
А ; 2) А 1;0 , 2;4
C A B , де мал.7.3
В .
Розв’язання
1) Зобразимо проміжки на координатній прямій:
Отже, С= A B
9;7,5 1;8
= 1;7,5
.
мал. 7.4 Відповідь: 1;7,5 .
2)
x
Отже,
C A B 1;0 2;4
.
мал.7.5
Відповідь: немає розв’язків.
77

Приклад 3. Зобразіть на координатній площині переріз множин всі точки,
координати яких (х; y) задовольняють умови:
1) А ( x;
y)
| x 4 ;
B (
x;
y)
| y 2; 2) ( x;
y) | x 1 ;
B (
x;
y) | y 3
А .
Розв’язання
На малюнках 7.5 та 7.6 виконано зображення шуканого перерізу множин.
А
( x;
y) | x 4 ;
B (
x;
y) | y 2
А
( x;
y)
| x 1 ;
B (
x;
y)
| y 3
мал.7.7
мал.7.6
Означення. Об’єднанням числових множин А і В називають множину С,
яка складається з елементів, що належать хоча б одній з цих множин і
позначають
C A B (мал. 7.8).
Об’єднанням числових проміжків називається
множина, яка складається з чисел, які належать хоча б
одному з цих проміжків.
Приклад 4. Знайдіть множину С, якщо
1) А
9;7,5 ,
B
1;8 ; , 2) 1;0
Розв’язання
C A B
, де
А , В 2;4
. мал.7.8
1) Зобразимо проміжки на координатній прямій і знайдемо їх об’єднання:
Отже, С= A B = 9;8.
мал. 7.9 Відповідь: 9;8.
78

2)
мал.7.10
x
Отже, С=
A B = 1;0 2;4
.
Об’єднанням є два роз’єднані проміжки.
Відповідь: 1;0 2;4
.
Приклад 5. Зобразіть на координатній площині об’єднання множин A та В всі
точки, координати яких (х; y) задовольняють умови:
1) А ( x;
y)
| x 2 ;
B (
x;
y)
| y 4; 2) ( x;
y)
| x 2 ;
B (
x;
y)
| y 4
А .
Розв’язання
На малюнках 7.11 та 7.12 зображено шукане об’єднання множин.
А
( x;
y)
| x 2 ;
B (
x;
y)
| y 4
А
( x;
y)
| x 2 ;
B (
x;
y)
| y 4
мал.7.11
мал.7.12
Узагальнюйте міркуючи
266. Назвіть числові проміжки зображені на малюнках:
X
X
X
X
X
X
267. Чи завжди переріз двох числових проміжків є числовий проміжок? Наведіть приклади.
А об’єднання?
79

Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І _____________________________________________________
Завдання 268-277 мають по чотири варіанти відповіді (А-Г), з яких тільки
один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді
268. Доберіть правильну відповідність між проміжком, зображеними на
координатній прямій та числовою нерівністю.
А 1 Б 2 В 3 Г 4
269. Запишіть множину, що зображено на малюнку, за допомогою числової
нерівності.
А 1 x 4, 5 Б 1 x 4, 5 В 1 x 4, 5 Г 1 x 4, 5
270. Доберіть до нерівності 5 х 4 відповідний числовий проміжок.
А 5;4. Б 5;4
В 5;4
Г
5;4
271. Знайдіть суму цілих чисел, які належать проміжку 6;7,1 .
А 7 Б 13 В 12 Г 6
272. За допомогою координатної прямої, знайдіть найменше ціле число, що
належить перерізу проміжків
12,5; 4,2
і ,28; 13
80
4 .
А -12 Б 4 В 5 Г не існує
273. За допомогою координатної прямої, знайдіть найбільше ціле число, що
належить об’єднанню проміжків
10,8; 6,8
і ,5; 11
3 .
А 6 Б 7 В 10 Г 11
274. Знайдіть кількість елементів об’єднання множин А та В , якщо
А = x | x N, x 9, В = x | x N, x

А 5 Б 11 В 10 Г визначити не
276. Знайдіть: Z N .
можливо
А N Б Q В Z Г
277. Знайдіть: Z Q.
А N Б Q В Z Г
Рівень (Level) ІІ ____________________________________________________
278. Покажіть штриховкою на координатній прямій числові проміжки і
запишіть а) переріз проміжків; б) об’єднання проміжків.
1) 12;4
і 4,5;7 ; 4) ;1,8 і 1 ,8;; 7) ;3
і ;
3 ;
2) 5 ,4;
і 3;4; 5) 3 ;
і 3 ;; 8) 8,5;7,1 і ,7;
3) 5;8,8 і 5;9; 6) 4 ,3;
і ,4;
3 ; 9)(–∞; 9] і (–∞; 19].
5 ;
279. Покажіть за допомогою штриховки на координатній прямій об’єднання
та переріз проміжків:
1) [–4; 1] і [–2; 5]; 3) (–3; 3) і ( –7; 7); 5) (–∞; 8] і (9; ∞);
2) ;5
і 5 ;
; 4) 2 ;
і 2 ;
6) ;3
і ;
3 .
280.
Знайдіть суму та добуток цілих чисел, які належать проміжку (Find the
sum and the product of integer numbers, which belong to the interval):
1) 2;5
; 2) 4,1;
2; 3) 5;
3,7
; 4) 12,4;10,3
.
281. Find the sum and the product of integer numbers, which belong to the interval:
1) ,3
; 2) 5,3;3 ; 3) 8,2;8,3
; 4) 81,4;87,9
.
282. Зобразіть множину чисел, які задовольняють нерівність: а) на
координатній прямій; б) на координатній площині.
x ; 2) 3 x 5 ; 3) 1 x 7 ; 4) 2 x 0 ; 5) x 5 .
1) 4
283. Зобразіть множину чисел, які задовольняють нерівність: а) на
координатній прямій; б) на координатній площині.
x ; 2) 5 x 0 ; 3) 4 x 3 ; 4) x 4 ; 5) x 3.
1) 5
81

284. Зобразіть на координатній прямій проміжок і запишіть відповідну
нерівність (Show the interval on the coordinate line and write the inequality):
1) ;3
;4 6;0 ; 7) ;
5;5 ; 11) 2 ;;
; 3) ; 5)
2 ; 9)
2) 3;5
; 4) 2 ;; 6) 1;5 ; 8) 4;4; 10) ,5; 12) 4;5
.
285. Всі 32 учнів 9 класу вивчають або англійську, або німецьку, або обидві
мови. Скільки учнів цього класу вивчають обидві мови, якщо англійську
мову вивчають 20 учнів, а німецьку – 16?
286. У класі 33 учні. 20 з них займаються у математичному гуртку, 14 – у
фізичному, 7 учнів не відвідують ці гуртки. Скільки учнів займаються і в
математичному і фізичному гуртках?
Рівень (Level) ІІІ_________________________________________
287. Дано А = {х| 1≤ х ≤ 6}; В = {х| – 1 ≤ х ≤ 3}; С = {х| 2 ≤ х ≤ 5}. Знайдіть:
1) А U В U С; 2) C (AB) ; 3) (A C) ( B C) ; 4) (A C) ( B C) .
288. Дано А = {х| х ≥ 3}; В = { х| х ≥ 2 або х ≤ – 2}; С = { х|– 4 ˂ х ˂ 4}.
Знайдіть:
1) А U В U С; 3) А U (В ∩ С); 5) А ∩ (С U В);
2) А ∩ В ∩ С; 4) (А U В) U (А ∩ В); 6) (А ∩ С) (В ∩ С).
289. Дано: А = [–8; 8) , B = (1; + ∞), C = ( – ∞; 3 ]. Знайдіть:
1) B (A C) ; 4) C (A B) ; 7) (A B) ( A C) ;
2) B (A C) ; 5) C (A B) ; 8) (A B) ( B C) .
290. Зобразіть на координатній площині об’єднання та переріз множин A та В
всі точки, координати яких (х; y) задовольняють умови:
1) А
2) А
3) А
(
x;
у)
| x 2;
B (
х;
у)
| y 3 ;
4) А (
x;
у)
| x 1 ;
B (
х;
y)
| y 3 ;
(
x;
у)
| x 2 ;
B (
х;
y)
| y 2 ;
5) А (
x;
у)
| x 2 ;
B (
х;
y)
| y 3 ;
(
x;
у)
| x 3 ;
B (
х;
y)
| y 1 ;
6) А (
x;
у)
| x 2;
B (
х;
y)
| y 0.
Світ навколо нас
82

291. Деякі речення в романах української письменницісюрреалістки
Емми Андієвської сягають кількох сторінок.
Якщо кількість сторінок, що займає одне речення,
збільшити вдвічі та помножити на різницю кількості
сторінок і 10, то отримаємо число в 10 разів більше, ніж
вихідна кількість сторінок, що займає речення. Скількох сторінок сягають речення цієї
письменниці?
Мисліть творчо, логічно, системно
292. Чи існує восьмицифрове число, у записі якого всі цифри різні, і яке ділиться на всі свої
цифри? Відповідь обґрунтуйте
293. Діана запалює свічки кожні 10 хвилин. Кожна свічка горить продовж 40 хв, а потім
згасає. Скільки свічок будуть горіти через 55 хв після того як Діана запалить першу свічку?
294. На 97 картках написали числа 1, 2, 3, ..., 97. Потім картки перемішуються,
розкладаються чистими сторонами догори і на чистих сторонах знову пишуть числа 1, 2,
3, ..., 97. Для кожної картки числа, які записані на ній, додаються і 97 отриманих сум
перемножуються. Доведіть, що отримане в результаті число є парним.
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
295. Round off 6448,95 to:
1) the nearest thousand; 3) 1 decimal place;
2) the nearest ten; 4) the nearest whole number.
83

Орієнтовні завдання контрольної роботи №2
Тема. Числові нерівності. Числові множини. Числові проміжки
Початковий рівень
Завдання 1 4 мають по чотири варіанти відповіді, серед яких лише
ОДИН правильний. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь.
Завдання 1 4 оцінюються у 1 бал
1. Оцініть значення виразу 2x
, якщо 4 3
А
x .
6;1 Б 8;
2
В 6;8
Г 8;
6
2. Відомо, що a 4
. Який знак має вираз 2a
8?
А додатній Б від’ємний В дорівнює
нулю
Г визначити
неможливо
3. Як розміщені на координатній прямій відносно одна одної точки А(а) і
В(b), якщо: b 2 6
2 6
a ?
А а ліворуч в Б а праворуч в В співпадають Г встановити не
можливо
4. За допомогою координатної прямої, знайдіть найменше ціле число, що
належить перерізу проміжків
10,5; 6,49
і ; 7,8
6 .
А -10 Б 6 В 7 Г не існує
Середній рівень
Завдання 5 передбачає встановлення відповідності. До кожного рядка,
позначеного цифрою, доберіть один відповідний, позначений буквою.
Завдання 5 оцінюється у 1,5 бали
5. А = {1; 3; 4; 6; 7}, В = {2; 4; 5; 8}. Над цими множинами виконали
операції. Встановіть відповідність між одержаними множинами (1 - 3) та
елементами, з яких вони складаються (А - Г):
1) А ∩ В; А) {4};
2) А U В; Б) {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8};
84

3) (А ∩ В) U В В) {2; 4; 5; 8};
Г) {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}.
Завдання 6 9 розв’яжіть з повним поясненням.
Завдання 6 8 оцінюються у 1,5 бали
6. Порівняйте вирази: b
3 2 i b
2b
4.
7. Відомо, що 3 4
a і 1 5
b . Оцініть значення виразу a 2b
3 .
Достатній рівень
8. Зобразіть на координатній площині переріз та об’єднання множин всі точки,
координати яких (х; y) задовольняють умови:
А
( x;
y)
| 2
x 1 ;
B (
x;
y)
| 2
y 3.
Високий рівень
Завдання 9 оцінюється у 2 бали
9. Для преміювання 12 переможців спортивних змагань купили футбольні
м’ячі по ціні 50 грн і волейбольні м’ячі по ціні 40 грн. Скільки волейбольних
м’ячів можна купити, щоб ціна всієї покупки не перевищувала 500 грн?
85

§8. Нерівності зі змінною. Лінійні нерівності
Ключові слова
нерівність зі змінною
розв’язки нерівності
рівносильні нерівності
властивості нерівностей зі змінною
лінійна нерівність
Keywords
inequality with the variable
solutions of the inequality
equivalent inequalities
properties of inequalities with the variable
linear inequality
Крім числових нерівностей, існують нерівності, які містять одну або
декілька змінних.
Задача. Маса будівельної плити 600 кг. Яку кількість таких плит можна
перевезти за один раз вантажівкою, вантажопідйомність якої 2 700кг.
Розв’язання
Нехай х - кількість плит, які може перевезти вантажівка за один раз. Тоді
маса цих плит 600∙х і вона не може перевищувати 2700 кг. Математичною
моделлю умови цієї задачі буде така нерівність: 600 ∙ х ≤ 2700. Ця
нерівність містить одну змінну.
Одну змінну містять, наприклад, і нерівності
x - 7 < 2x, 7x + 2 > 1 – x, |x| ≤ 0, 3x
2 4 5х
2
. Такі нерівності,
називають нерівностями з однією змінною.
У нерівності змінна може набувати різних числових значень. При одних
з них нерівність зі змінною перетворюється на правильну числову нерівність,
а при інших – на неправильну.
Означення. Значення змінної, яке перетворює нерівність з однією
змінною на правильну числову нерівність називають розв’язком цієї
нерівності.
Наприклад, значення х 3, х 0, х -3 є розв’язками нерівності 2x
1
8
, тому що кожне з них перетворює її на правильну числову нерівність. Дійсно,
2 ∙ 3 + 1 < 8, 2 ∙ 0 + 1 < 8, 2 ∙(- 3) + 1 < 8, є правильними числовими
86

нерівностями. А значення х 10 не є розв’язком цієї нерівності, оскільки 2 ∙
10 + 1 < 8 є неправильною числовою нерівністю.
Усі розв’язки нерівності утворюють множину її розв’язків.
Множиною розв’язків нерівності з однією змінною
переважно є
множина, яка складається з одного або кількох числових проміжків, може
також бути множиною, що містить один чи кілька чисел, а може бути і
порожньою множиною.
Наприклад:
1) множиною розв’язків нерівності 2х 0 – об’єднання проміжків (-∞;0) (0;∞)
оскільки |x| завжди приймає тільки невід’ємні значення;
2
3) множина розв’язків нерівності х 4
порожня (нерівність розв’язків
не має), бо квадрат будь-якого числа завжди є числом невід’ємним.
Означення. Дві нерівності називають рівносильними, якщо вони
мають одні й ті самі розв’язки, тобто якщо кожний розв’язок
першої
нерівності є розв’язком другої, а кожний розв’язок другої нерівності є
розв’язком першої. Нерівності, які не мають розв’язків, також вважають
рівносильними.
Розв’язати нерівність — означає знайти всі її розв’язки або довести, що
їх немає (тобто, знайти множину її розв’язків, або показати, що ця множина
порожня).
Розв'язують нерівність, замінюючи її рівносильними їй, але простішими.
При цьому користуються наступними властивостями нерівностей (порівняйте
ці властивості з властивостями рівнянь).
87

Властивості нерівностей зі змінною
Якщо який-небудь доданок перенести з
однієї частини нерівності в другу, змінивши
його знак на протилежний, то отримаємо
нерівність, рівносильну даній.
Наприклад:
х – 2 < 4 рівносильна х < 6, ( -2 перенесли в
праву частину нерівності, змінивши знак на
протилежний)
Якщо обидві частини нерівності помножити
або поділити на одне й те саме додатне число,
то отримаємо нерівність, рівносильну даній.
Наприклад:
6 18
x рівносильна 3
x ,
(обидві частини нерівності поділили на 6 > 0)
Якщо обидві частини нерівності помножити
або поділити на одне й те саме від'ємне
число і змінити знак нерівності на
протилежний, то отримаємо нерівність,
рівносильну даній.
Властивості рівнянь
Якщо який-небудь доданок
перенести з однієї частини
рівняння в другу, змінивши
його знак на протилежний, то
отримаємо рівняння,
рівносильне даному.
Якщо обидві частини рівняння
помножити або поділити на
одне й те саме відмінне від
нуля число, то отримаємо
рівняння, рівносильне даному.
Наприклад:
4x 12 рівносильна нерівності x 3
,
(обидві частини нерівності поділили на -4 < 0).
Завершимо тепер розв’язання задачі, сформульованої на початку параграфа.
Розв’яжемо нерівність 600 ∙ х 2700. Поділимо обидві частини нерівності на
600. Отримаємо: х 4,5. Розв’язком нерівності є всі числа з проміжку (-∞;
4,5), а розв’язками задачі є числа 1, 2, 3, 4.
Відповідь: 1, 2, 3, 4.
88

Означення. Нерівності вигляду
Лінійні нерівності
ax b , ax b , ax b , ax b , де а і
b — будь-які дійсні числа, а х — змінна, називають лінійними нерівностями
з однією змінною.
Розглянемо розв’язання лінійних нерівностей для різних значень а.
ax b
Якщо a 0 Якщо a 0
Якщо a 0
то
b
x то
a
b
x b 0
b 0
a
табл.1
Відповідь:
b
a
;
Відповідь:
b
;
a
0 x b 0 x b
Відповідь:
розв’язків
немає
Відповідь:
;
табл.2
ax b
Якщо a 0 Якщо a 0
Якщо a 0
то
b
x то
a
b
x b 0
b 0
a
Відповідь:
b
a
;
Відповідь:
b
;
a
0 x b 0 x b
Відповідь:
розв’язків
немає
Відповідь:
;
табл.3
ax b
Якщо a 0 Якщо a 0
Якщо a 0
89

то
b
x то
a
b
x b 0
b 0
a
Відповідь:
b
; a
Відповідь:
b
;
a
0 x b 0 x b
Відповідь:
розв’язків
немає
Відповідь:
;
Розв’язання лінійних нерівностей
Приклад 1. Розв’яжіть нерівність: 1)
Розв’язання
ax b та ax b розгляньте самостійно.
3x 1 4 2х
; 2) 2 3 4x
2
x .
1) У праву частину нерівності перенесемо числа з протилежним знаком, а у
ліву ‒ доданки що містять змінну. Отримаємо: 3 2х
4 1
Відповідь: 5 ;
.
x , x 5.
2) Після перенесення доданків дістанемо рівносильну нерівність 3 2 4х 2х
звідки 2 5
x ; x 2, 5.
Відповідь: x 2, 5
.
Зверніть увагу!
,
Множини розв’язків нерівностей зручно записувати у вигляді числових
проміжків. Наприклад, множину всіх дійсних чисел, не більших за 2,5
Відповідь до прикладу 2) можна записати проміжком ;2,5
(«від мінус
нескінченності до 2,5 включно»).
Приклад 2. Туристи виїхали за течією річки на прогулянку моторним
човном і мають повернутися на базу не пізніше, ніж через 4 години.
Швидкість човна у стоячій воді дорівнює 12 км/год, а швидкість течії 2 км/год.
На яку відстань можуть від’їхати туристи щоб повернутися вчасно?
Розв’язання
90

Нехай найбільша відстань, на яку можуть від’їхати туристи, дорівнює х
км. Оскільки швидкість човна за течією 12 + 2 = 14( км/год), а проти течії
12 – 2 = 10 (км/год), то час руxу човна за течією
14 х год, а проти течії -
10
х
год. Вся погулянка буде тривати
х
14 10
х (год). Математичною моделлю умови
цієї задачі буде така нерівність: х х 4 . Розв’яжемо цю нерівність: зведемо
14 10
10х 14х
140
дроби до спільного знаменника: 4;
помножимо ліву і праву частину
нерівності на 140, отримаємо: 10х + 14х ≤560, 12 x ≤ 280; x ≤23 3
1 .
Відповідь: туристи можуть від’їхати на відстань, що не перевищує 23 3
1 км.
Приклад 3. Знайдіть область визначення виразу:
1)
4 5x
; 2) 3 2 3 2x1
2.
Розв’язання
1) Для виразу 4 5x
областю визначення є всі числа, що задовольняють умову
4 5x 0
.
Розв’яжемо цю нерівність: 5
4,
5x
4 ,
x x 0,8 .
Відповідь:
; 0,8 .
2) Для виразу 3 2 3 2 1
2
x областю визначення є всі числа, що
задовольняють умову 3 2 3 2 1
2 0.
3
x Розв’яжемо цю нерівність:
2 1
2x 2 1 0, 2x 2 1 3 2 1,
2х
3
( оскільки 2 1
х 1,5.
Відповідь: [-1,5;∞).
0),
91

Дізнайтеся більше!
Графічне розв’язування нерівностей
Щоб розв’язати нерівність f ( x)
g(
x)
графічно, треба:
1) в одній системі координат побудувати графіки функцій y f (x)
та
y g(x) ;
2) знайти абсциси точок перетину графіків цих функцій (при необхідності
зробити це точно, розв’яжіть рівняння f ( x)
g(
x)
3) визначити проміжки, на яких точки графіка функції y f (x), розташовані
нижче відповідних точок графіка функції y g(x)
y
(мал.8.1)
мал. 8.1
а
b
x
f ( x)
g(
x)
тобто
a x b
Приклад 1. Розв’яжіть графічно нерівність 0,5х ≤ –0,25х + 1,5.
1) Побудуємо в одній системі
координат графіки функцій
у = 0,5х та у = – 0,25х + 1,5 (мал.8.2).
2) Знайдемо абсцису точки їх перетину:
х = 2.
3) На проміжку (–∞; 2] точки графіка у
= 0,5х розташовані нижче
Мал.8.2
відповідних точок графіка у = –0,25х
+ 1,5.
Відповідь: (–∞; 2].
92

2
Приклад 2. Розв’яжіть графічно нерівність x 2x 3.
1) Перепишемо дану нерівність у вигляді
2
х 3 2х і побудуємо в одній системі
координат графіки функцій
2
y х та y 3 2х
(мал.8.3).
Мал.8.3
2) Знайдемо точку їх перетину: х 1 =-3,
х 2 =1.
3) На проміжку 3;1 точки графіка
у = 3 - 2х знаходяться вище відповідних
точок графіка у = х 2 .
Відповідь: 3;1 .
Приклад 3.
Мал.8.4
Розв’яжіть графічно нерівність
4 x
1
x
1) Будуємо два графіки: y i y x.
(мал.8.4)
2) Знаходимо точки їх перетину: х 1 =-2,
х 2 =2.
3) На проміжках ;0 2;
графіка
y
4
x
4
x
2 та точки
знаходяться нижче
відповідних точок графіка y x.
Відповідь. ;0 2;
2 .
Узагальнюйте міркуючи
296. Наведіть властивості нерівностей зі змінною, що використовуються при
розв’язуванні нерівностей.
1) З яких властивостей числових нерівностей вони випливають?
93

2) Які з них подібні, а які відмінні від відповідних властивостей рівнянь?
297. Обґрунтуйте рівносильність чи нерівносильність нерівностей:
1 1
1 1
1) –3х > 6 i x > –2; 2) 3х > –6 i x > –2; 3) x 5 i x 5; 4) x 4 i .
x 3 x 3
x 4
298. Наведіть нерівність зі змінною х:
1) яка не має жодного розв’язку; 3) розв’язком якої є тільки одне число (-3);
2) розв’язком якої є кожне дійсне число; 4) множиною розв’язків якої є проміжок (-∞; 4).
299. Скільки розв’язків може мати лінійна нерівність?
Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І __________________________________________________
Завдання 300 - 311 мають по чотири варіанти відповіді (А – Г), з яких тільки
один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді
300. Укажіть множину розв’язків нерівності 0 х 6 ?
А множина
додатніх
дійсних чисел
Б множина
невідємних
дійсних чисел
В множина
дійсних чисел
Г
301. Укажіть найбільше ціле число, яке є розв’язком нерівності 2,1
y 0,2 4
А -3 Б -2 В -1 Г 0
1
t .
2
302. Розв’яжіть нерівність 4
А (-∞; -8) Б ( -8;∞) В (-2; ∞) Г (-∞; -2)
303. Оберіть нерівність розв’язками якої є всі дійсні числа:
х Б х 4 2 0 В 0 x 0
3
А 1
х 3
304. Укажіть нерівність, множина розв’язків якої порожня:
Г
x
x
2
2
4
4
1
2
А х 2 2 0 Б х 2 2 0 В х 2 2 0 Г х
2 2 0
305. Розв’яжіть нерівність 6x 12
x
9 .
94

А x 3
Б x 3
В x 3 Г x 3
306. Укажіть нерівність, рівносильну нерівності x < 3:
А x + 3 < 0 Б x − 3 > 0 В 2x 6
Г 2x
6
307. Знайдіть область визначення виразу 4 2х
.
А [-2;∞) Б (-∞;-2] В (-∞; ∞) Г
308. Множиною розв’язків якої з наведених нерівностей є порожня множина?
А 3 0
х Б х 3 0 В 2 2 0
х Г х 3 0
309. Множиною розв’язків якої з наведених нерівностей є одне число?
А 5 0
х Б х 5 0 В 5 2 0
2
15 10x
310. Розв’яжіть нерівність 0 .
х Г х 5 0
А x 1, 5
Б x 1, 5
В x 1, 5 Г x 1, 5
311. На малюнку зображено графіки функцій y = f(x) та y = g(х), що визначені
на відрізку [-3;2]. Укажіть проміжки, на яких виконується умова f(x) g(x).
А Б В Г
[-3; -2]U[1; 2] [-3; -2] [1; 2] [ -2; 1]
Рівень II _______________________________________________________
312. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
1) 2x 0; 3) 8z 1, 6; 5) 2 x 6
; 7) 21y 4 3;
5
2) x 1;
4) 0,2x 1,
2;
7
6) x 1;
8) 7x 1
13
.
8
8
313. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
95

7
1) 35
9
2
1
x ; 3) z 8 ; 5) t 2 ; 7) 9 5
3
3 3
5
2) x 6; 4) 2x 11; 6) 1,7
x 1,
69 ;
1
8) 12 t 2 .
314. Чи рівносильні нерівності (Are the inequalities equivalent)?
1) 3х ≤ 0 та
11 11
5x
x x
1
2
2
x ;
; 3) 2x + 3 > 0 та 2x + 3 + (x – 8) > x – 8;
5
2x
9 x
3
9 x
2) 2х > 3 та
2
2
1 1
; 4) 3x + 3 > 0 та 3x + 3 + > . x x
315. Зобразіть а) на координатній прямій та б) на координатній площині
множину чисел, які задовольняють нерівність:
1) x 3; 3) x 2 ; 5) x 6; 7) 1 x 6 ; 9) 4 x 3 ;
2) x 2, 5; 4) x 5; 6) x 5
; 8) 3 x 0 ; 10) 1,5
x 3, 5.
316. Зобразіть а) на координатній прямій та б) на координатній площині
множину чисел, які задовольняють умову:
1) x 4 ; 3) x 3, 5 ; 5) 2 x 4 ; 7) 1 x 7 ; 9) 2,5
x 9;
2) x 2
; 4) 0 x 5; 6) 1 x 2 ; 8) 2 x 2 ; 10) 0 x 4.
317. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
1) 4(3x 2) 14
6(2x
1)
; 4) 2(3
4x ) 5x
3x
5
;
2) ( x 2)( x 2) ( x 4)
2 3x; 5) 6(1
x ) ( x 1)
7x
7 ;
3) 4(
x 1)
7 1
4( x 2)
; 6) 12x 2 (4x
2)(3x
1)
7x
8
.
318. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
1)
( 9
2
2
x 1)(4x
1)
1
(6x
1) ; 3) (3 2) 0,5x
(3x
2)(3x
2) 4, 5
96
x ;
2
2) 0,2(1
5x ) x 1,
4; 4) (2x 1)(3x
1)
6x
6x
7 .
319. Функція задана формулою у = 0,5х + 1. При яких значеннях х: 1) у = 0;
2) у ˃ 0; 3) у ˂ 0? Побудуйте графік функції та проілюструйте свою відповідь
на графіку.
320. Функція задана формулою у = – 0,5х + 2. При яких значеннях х функція
набуває додатних та при яких від’ємних значень? Знайдіть відповідь двома
способами: 1) розв’язавши нерівність; 2) побудувавши графік.
321. На малюнку зображено графік функції у = f(x), визначеної на проміжку

[– 2;6]. За графіком знайдіть множину розв’язків нерівності f(x) 2 .
322. На малюнку зображено графік функції y = f(x), що визначена на проміжку
[ - 3; 4]. За графіком знайдіть множину розв’язків нерівності f(x)≥4.
323. Знайдіть найбільший цілий розв’язок нерівності:
3x
2
4
2x
2
6
3x 1
2x
5 3
1) 2 ; 3) 6 ;
3x 2 5x
1
9 6
2) 1; 4)
1 x
2x
1
6 x 5
6
12
324. Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності:
2 3x
2
2 3x
3
1) 1
x
2x
1
5 x
5 3
2) ;
2
2
; 3) x
6x
9
x
4x
4 0;
2x 1
2x
2
5 3
4) 2.
325. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
0
1) 0;
x 3
3
5 2
2) 0;
x
x 2
3) 0; 5)
3
3 27
4)
x 5
2
0; 7) x 2 3;
2
2
x
3 0; 6) x 4 0; 8) x
4 x 4 0.
.
326. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
2
10 5x
2 21x
7x
2
2x
1
4 x
1) 0 ; 3) 3
; 5) 2
;
97

x 1 0
4 12x
x 3 0
8 4x
2) 0 ; 4) 0
0
4 4x
; 6) 0.
х 2
327. Знайдіть область визначення виразу (Find the domain of the expression):
1
1) 1 x ; 3) 2x
; 5) х 1 2
; 7) 3 х ; 9)
;
2
x 6x 9
1
x
2) 5 x ; 4) 2x 1; 6) 1 4x
; 8) ; 10) .
2 x
x 3
Рівень III _________________________________________________________
328. Розв’яжіть рівняння (Solve the equation):
2
1) x 3 x 1
0 ; 3) 9 x 1
0
2
2) x 2 x 1 0 ; 4) x x 2 0
2
x ; 5) 4x x 3 0
98
x ;
x ; 6) x x
2 x
329. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
1
2
1) 2x 3x
4x
4 2х
4 1 1 0.
2
1
1
0
x 1
1
; 3) 3x 3x
2
0 3
3
2) ( x ) ( x 1)
2x
5
x
1
3x
6
2
x 9 x 1
x ; 4) 2x
.
x 3 x 2
330. Знайдіть множину розв’язків нерівності:
1
1)
x
23
x 1
5
1 1 1
x x 5 2
0 ; 3) 3x
4x
6x
8x
16
6x.
9x
5
2
3
3 5x
3
8x
2
4
2) 2;
3
331. Знайдіть множину розв’язків нерівності:
1)
2)
x 1
5 2( x 1)
11
x x ; 3)
9 4 12
2y
1
y 3y
12
y
4
6
y 1
2
2
0
2
;
x 6 2x 1 3 8x
x ;
3 7 21
3 7x
10
x 1
2
7 8x
2
; 4) 13 14 .
332. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
1) 5 26(4
3x ) 0 ; 4) 4x 12
3 3 2
0 ;
2) 2 13(2 3x)
7(2 3x)
; 5) 6x 7 10 2 10x
21;

3) 3 10 6 3x 52
3 10; 6) 1 3 2 x 2 3
x .
333. Розв’яжіть нерівність графічно (Solve the inequality with the graph):
6
2
1) 5 x ; 3) x 2x 3; 5) x 6 x;
x
3
2
2) x 2 ; 4) x x 6;
6) x 12 x.
x
334. Розв’яжіть нерівність графічно (Solve the inequality with the graph):
2
1) x 4x 3 0;
8
3) x 2;
x
5) x 2 x ;
2) 15 x 2 2x
;
3
4) x 4 ;
x
Світ навколо нас
6) x x 6 0 .
335. У Вас є 10 000 ₴ та1000 $. Ви бажаєте проаналізувати ставки за депозитами, які
пропонують банки на українському ринку, і вибрати той банк, куди б Ви поклали свої
гроші. Проаналізуйте також рейтинги банків та лояльність клієнтів тощо. Зробіть
обґрунтований вибір.
Мисліть творчо, логічно, системно
336. Восьмеро друзів вирішили провести турнір з шахів так, щоб зіграли один з одним по
одній партії. Скільки партій буде зіграно?
337. Чи може число, в десятковому записі якого використано 100 одиниць та 100 двійок, а
решта цифр – нулі, бути точним квадратом?
338. Скільки різних добутків, кратних 10, можна утворити з чисел 2, 3, 5, 7, 9?
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
339. Which one is bigger: the total area of orange or the total area
of red?
99

§9. Системи та сукупності лінійних нерівностей з однією змінною
Ключові слова
система лінійних нерівностей
розв’язок системи нерівностей
сукупність лінійних нерівностей
розв’язок сукупності нерівностей
Keywords
systems of the linear inequalitу,
solution of inequalities system
totality of the linear inequalitу
solution of inequalities totality
Системи лінійних нерівностей
1
Знайдемо область визначення виразу: 2 х .
х 3
Заданий вираз є сумо двох доданків. Тому областю його визначення
буде спільна частина областей визначення виразів, які до нього входять.
Область визначення виразу 2 х визначається нерівністю 2 – х 0, a
1
область визначення виразу ‒ нерівністю – х – 3> 0. Отже областю
х 3
1
визначення виразу 2 х буде множина спільних розв’язків
х 3
нерівностей 2 – х 0 тa – х – 3> 0.
Якщо треба знайти спільні розв'язки двох або декількох нерівностей з
однією змінною, то говорять, що треба розв'язати систему нерівностей.
Систему нерівностей записують за допомогою фігурної дужки.
Таким чином, для знаходження області визначення заданого виразу
треба розв'язати систему нерівностей 2 x 0,
x 3 0.
Означення. Розв'язком системи нерівностей з однією змінною
називають значення змінної, яке є розв'язком кожної з нерівностей системи.
100

Наприклад значення х = ‒ 4 є розв'язком системи 2 x 0,
x 3 0.
оскільки
перетворює кожну нерівність системи на правильну числову нерівність:
2
( 4)
0,
( 4)
3 0.
А значення х = 2 не є розв'язком цієї системи оскільки перетворює на
правильну числову нерівність тільки першу нерівність системи 2 2 0,
2 3 0.
Розв'язати систему нерівностей означає знайти всі її розв'язки або
показати, що їх немає.
Щоб розв’язати систему нерівностей з однією змінною, треба
розв’язати кожну нерівність системи окремо і знайти переріз множин їх
розв’язків.
Для того, щоб розв’язати систему нерівностей 2 x 0,
x 3 0.
розв’яжемо кожну нерівність окремо: x 2,
x 2,
x 3,
звідки x 3.
Зобразимо множину розв’язків кожної нерівності проміжком на
координатній прямій і знайдемо їх переріз:
мал. 9.1
Перерізом є проміжок (-∞; -3). Цей проміжок буде розв’язком системи
1
нерівностей, а отже, і областю визначення виразу 2 х
х 3 .
Приклад 1. Розв’яжіть систему нерівностей:
Розв’язання
101
3
4
x
2
21
x
x 3 17 x
6x
10,
Виконаємо рівносильні перетворення кожної нерівності системи,
отримаємо:
5 .

3
4
x
2
21
x
6x
10,
3x
6 2 2x
6x
10,
2
x,
x
x 3 17 x 5 , 4x
3 17 x 5, 5x
25, x
Зобразимо множину розв’язків кожної нерівності проміжками на
координатній прямій:
2,
5.
мал. 9.2
Перерізом цих проміжків є проміжок 2 ;5
, який є розв’язком системи
Відповідь:
2 ;5
.
Зверніть увагу!
Розв’язРозв’язок системи нерівностей можна записувати у вигляді числового
проміжку або нерівності чи подвійної нерівності. Наприклад, замість
проміжку (-∞; -3) у відповіді можна записати нерівність x 3
, а замість
проміжку 2 ;5
‒ подвійну нерівність
2 5
х
.
Приклад 2. Зобразіть на координатній площині всі точки, координати яких
(х; y) задовольняють умову
x 3,
y 2.
мал.9.3
Розв’язання
Побудуємо на координатній площині графіки
рівнянь
х = -3 і у = -2. Пряму x 3
зобразимо
суцільною лінією (бо нерівність x 3
нестрога і значення абсцис точок, що
належать цій прямій, будуть її
розв’язками). Пряму y 2
зобразимо
пунктирною лінією (бо нерівність y 2
строга і значення ординат точок, що
належать цій прямій не будуть її
102

розв’язками). Заштрихуємо півплощину
що знаходиться справа від прямої x 3
. Абсциси точок цієї півплощини
задовольняють умову 3
x .
Заштрихуємо півплощину, що
знаходиться під прямою y 2
.,
Ординати точок цієї півплощини
задовольняють умову y 2.
Зображенням точок, координати яких
задовольняють умову
x
3,
y
2,
буде
спільна частина (переріз)
заштрихованих півплощин (мал. 9.3).
Зверніть увагу!
Розв’язанням системи нерівностей можна замінити розв’язання подвійної
нерівності. Наприклад, розв’язання нерівності a х c можна замінити
розв’язанням системи нерівностей a х;
х c.
Розв’язання всіх інших видів подвійних нерівностей зводиться до
розв’язання систем нерівностей аналогічно.
Приклад 3. Розв’яжіть нерівність: 2х
4 3 5x
7
3х.
Розв’язання
Замінимо розв’язання заданої подвійної нерівності розв’язанням системи
нерівностей
2x
4 3 5x,
3 5x
7
3x;
103

7x
7,
2x
10,
x
1,
x
5.
Зобразимо множину розв’язків кожної нерівності
проміжками на координатній прямій
мал. 9.4
Переріз проміжків ‒ порожня множина. Це означає, що система нерівностей,
а отже і задана подвійна нерівність, розв’язків не має.
Відповідь: немає розв’язків.
Сукупності нерівностей з однією змінною
Якщо треба знайти значення змінної, яке є розв'язком хоча б однієї з
двох або декількох нерівностей з однією змінною, то говорять, що треба
розв'язати сукупність нерівностей.
Сукупність нерівностей записують за допомогою квадратної дужки.
До розв’язання сукупності нерівностей зводиться, наприклад,
розв’язання нерівності |2x + 5| > 3.
Дійсно, для того, щоб виконувалась задана нерівність, вираз, що стоїть
під знаком модуля, має набувати значень або більших за 3, або менших за
- 3.
Таким чином, розв’язання нерівності |2x + 5| > 3 водиться до
розв’язання сукупності нерівностей
2x
5 3,
2x
5 3.
Означення. Розв'язком сукупності нерівностей з однією змінною
називають значення змінної, яке є розв'язком хоча б однієї з нерівностей
сукупності.
Розв’язати сукупність нерівностей означає знайти всі її розв’язки
або показати, що їх немає.
104

Для того, щоб розв’язати сукупність нерівностей з однією змінною,
треба розв’язати кожну нерівність окремо і знайти об’єднання множин їх
розв’язків.
Розв’яжемо сукупність нерівностей
2x
5 3,
2x
5 3.
Для цього розв’яжемо кожну нерівність сукупності окремо:
x
1,
x
4.
2x
2,
2x
8,
Множинною розв’язків першої нерівності сукупності буде проміжок
(-1; ∞), а другої ‒ проміжок (-∞; -4).
Множинною розв’язків сукупності нерівностей, а отже і нерівності
|2x + 5| > 3, буде об’єднання цих проміжків (-∞; -4)(-1; ∞) .
Приклад 4. Розв’яжіть сукупність нерівностей:
3х
1
2,
1)
2x
1
7;
4х
2 4 x,
2)
2x
1
x 7.
Розв’язання
1) Розв’яжемо кожну нерівність сукупності окремо і знайдемо
об’єднання множин отриманих розв’язків:
3х
1
2,
2x
1
7,
Відповідь:
; .
х
1,
x
4.
мал. 9.5
( ;1) [
4;
)
;
4х
2 4 x,
5х
2,
2)
2x
1
x 7,
x
8,
Відповідь: 8
; 0,4;
.
х
0,4,
x
8.
105
мал. 9.6
;
8
0,4;

Приклад 5. Зобразіть на координатній площині всі точки, координати яких
(х; y) задовольняють умову
мал.9.7
x
3,
y 2;
Розв’язання
Побудуємо на координатній
площині графіки рівнянь х = -3 і
у = -2. Пряму x 3
зобразимо
суцільною лінією, а пряму y 2
‒
пунктирною.
Заштрихуємо
півплощину, що знаходиться справа
від прямої x 3, абсциси всіх
точок якої задовольняють умову
x 3
. Заштрихуємо півплощину,
що знаходиться під прямою
y 2
, ординати всіх точок якої
задовольняють умову y 2.
Зображенням
точок, координати
яких задовольняють умову
x
3,
y 2;
буде об’єднання заштрихованих
півплощин (мал. 9.7).
Дізнайся більше!
Нерівності з однією змінною, що містять знак модуля
Розглянемо розв’язання нерівностей виду
деякі числа.
х а b або х а b
, де а і b
106

Пригадаємо, геометричний зміст вразу
х а : це відстань між точками а
та х на координатній прямій. Оскільки відстань між точками виражається невід’ємним
числом, то можемо зробити наступні висновки.
1. Якщо b 0.
а)
Для того, щоб розв’язати нерівність х а b треба на координатній
прямій знайти всі точки, віддалені від точки а на відстань менше за b
(мал. 9.8). З малюнка видно, що такими точками будуть точки, для яких
a-b

у свою чергу, рівносильна системі нерівностей
x a b,
x a b.
Таки чином
розв’язання нерівності
х а b
подвійної нерівності або системи нерівностей.
можна замінити розв’язанням записаних
Приклад 6. Розв’яжіть нерівність х 1 5.
Розв’язання
I cпосіб (геометричний) (на основі геометричного змісту модуля)
мал. 9.9
Для того, щоб розв’язати нерівність
х 1 5 треба на координатній прямій
знайти точки, віддалені від точки з координатою х=1 на відстань менше за
5 ( мал. 9.9 ). Такими точками будуть точки, що належать проміжку (–4; 6).
ІІ спосіб (аналітичний)
Розв’язання нерівністі х 1 5 замінимо розв’язанням системи
нерівностей
x 1
5,
x 1
5,
Відповідь: -4

Наведені умови можна записати у вигляді сукупності нерівностей
x
a b,
x
a b.
Таки чином розв’язання нерівності
х а
b
можна замінити розв’язанням
записаної сукупності нерівностей.
Приклад 7. Розв’яжіть нерівність: х 1 3.
Розв’язання.
I cпосіб (геометричний)
Представимо нерівність
х 1 3 у вигляді х ( 1)
3 .
Для того, щоб розв’язати нерівність х ( 1)
3 треба на координатній
прямій знайти всі точки, віддалені від точки -1 на відстань, не меншу за 3
(мал. 9.11). З малюнка видно, що такими точками будуть точки, для яких
координата х задовольняє умови x≤-4 або x≥2. Такими точками будуть
мал. 9. 11
ІІ спосіб (аналітичний)
точки, що належать об’єднанню
проміжків ;
4
2;
Замінимо розв’язання нерівністі х 1 3 розв’язанням сукупності
нерівностей
x
1
3,
x
1
3,
Відповідь: 4
2;
; .
x
2,
x 4.
Приклад 8. Розв’яжіть нерівності:
1) 4x 3 6
2x
; 2) 14x 2x
3; 3) x 2 5
x 3.
Розв’язання
109

1) Розв’язання нерівності 4x 3
62x
замінимо розв’язанням
сукупності нерівностей
4x
3 6 2x,
4x
3 2x
6,
x
1,5;
x 1,5.
мал. 9.12
Відповідь: ; 1,5
1,5;
.
2) Розв’язання нерівності 14x 2x
3
замінимо розв’язанням системи
1
1
4x
2x
3, x
, 1
нерівностей
3 x 2.
1
4x
2x
3, 3
x
2,
мал. 9.13
1
; 2
3
Відповідь:
1
;2 .
3
3) Розв’язання нерівності x 2 5
x 3
замінимо розв’язанням
сукупності нерівностей
x 2 5 x 3,
x 2 5 3 x,
x 2
x 2
x 2,
8 x,
x
2 x 2
x
2 x
2,
x
2 8 x,
0
x 4,
x
2 x 8, x
0,
x
5,
0
x 6,
x
0,
x
5.
Відповідь:
;5.
мал. 9.14
Узагальнюйте міркуючи
110

340. Яким сполучником української мови можна замінити знак: 1) системи; 2)
сукупності?
341. Яку треба виконати операцію над множинами розв’язків кожної з нерівностей при
розв’язуванні системи нерівностей
342. Яку треба виконати операцію над множинами розв’язків кожної з нерівностей при
розв’язуванні сукупності нерівностей?
343. Чи може множина розв’язків: 1) системи нерівностей; 2) сукупності нерівностей
містити тільки один елемент? Якщо так, то наведіть приклад такої системи та сукупності.
Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І ______________________________________________
Завдання 344 – 351 мають по чотири варіанти відповіді (А – Г), з яких
тільки один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді
х 5,
344. Доберіть розв’язок системи нерівностей x
А 0 Б -6 В -7 Г -4,2
345. Доберіть розв’язок сукупності нерівностей
3.
х 5,
x 2.
А 0 Б 5 В 4 Г -6,7
2x
4,
346. Розв’яжіть систему нерівностей x
А немає Б будь-яке В х = - 2 Г х ≥ - 2
розв’язків дійсне число
347. Розв’яжіть сукупність нерівностей
2.
x 2,
x 2.
А немає Б будь- яке
розв’язків дійсне число
348. Розв’яжіть нерівність 4 2 3х 5 .
В х = - 2 Г х ≥ - 2
111

А 2 х 1
Б 1
х 2 В 2 х 1
Г 1 х 2
349. Розв’язком якої системи нерівностей є
проміжок (5; ∞)?
А х 4,
х 5.
Б х 4,
х 5.
В х 4;
х 5
Г х 4;
х 5
350. Розв’язком якої сукупності нерівностей є множина всіх дійсних чисел?
х
1;
А
х 3;
х
1;
Б
х 3;
х
1;
В
х 3;
х
1;
Г
х 3.
351. Довжини двох сторін трикутника дорівнюють а = 8см і b =5см. Яку
довжину може мати третя сторона с цього трикутника?
А 3 с 12 Б 0 с 13 В с 13 Г 3 с 13
Завдання 352 – 354 на встановлення відповідності
352. Встановіть відповідність між заданими нерівностями, системами,
сукупностями нерівностей (1 – 4) та множинами їх розв’язків (А – Д):
1) 3
х 2; А) 2;
1
2)
3)
4)
х 2,
;
х 1
х 3,
;
х 1
х 3,
.
х 1
112
;
Б) 3 ; 2
;
В) ; 1
;
Г) 2;
1
;
Д) ; 3.
353. Встановіть відповідність між заданими нерівностями, системами,
сукупностями нерівностей (1 – 4) та множинами їх розв’язків (А – Д):
1) 1
х 3; А) 1 ; 3;
2)
х 3,
Б)
; 3
3;
;
х 1;

3)
4)
3,
х 3;
х В) 1 ; 3
3,
х 3.
;
х Г) ;
3 ;
Д) ;
3 .
354. Встановіть відповідність між заданими на координатній площині
множинами точок (1 – 4) та їх описом математичною мовою (А – Д):
А Б В Г Д
х = 2 та у ≥ 2 у = 2 та х ≥ 2 у = –2 та |х|≤
2
х = –2 та
|у| ≤ 2
у = 2 та х > 2
Рівень (Level) II _________________________________________________
355. Розв’яжіть систему нерівностей (Solve the system of the inequalities):
1) y 3,
y 2;
2) x 2,
x 2;
3) 2x
4,
x 2.
356. Розв’яжіть сукупність нерівностей (Solve the totality of the inequalities):
y
3,
1)
y 2;
x
2,
2)
x 2;
z 3,
3)
2z
9.
357. Розв’яжіть сукупність нерівностей (Solve the totality of the inequalities):
2
y
1
3,
1) 2)
x 2 2,
0,1x
3,7,
3
2y
8;
3)
10x
2,1.
4
x 6
x;
358. Розв’яжіть систему нерівностей (Solve the system of the inequalities):
1) y 2,
3y
6;
2) z 3,
2z
9;
3) 5,8 x 3,2,
x 1,2.
113

359. Розв’яжіть сукупність або систему нерівностей (Solve the totality or
system of the inequalities):
1) x 2,
x 2;
y
5,
2)
y 7;
2y
6,
3)
6y
2;
360. Розв’яжіть подвійну нерівність:
4) y 1
3,
2y
8.
1) 0 1,2
x 4, 8; 3) 1 3x 0; 5) 1 1
0,2 1,
8
4
y ;
5
2) 2 1
361. Розв’яжіть
4) 12 2x 12;
подвійну
t ;
6) 3 3
1,2
3
t .
нерівність.
1) 1,2
y 1
3, 7 ; 2
2
3) 2 x 4 ; 5) 1 2
0
3
x ;
5
2) 8 3x 1
7 ; 4) 8 5x 3 2 ; 6) 2x 1 5x
1
2 4x
.
362. Розв’яжіть подвійну нерівність:
16 x
4
8 4x
3
2 x
2
3 2
x .
3
1) 1 1; 2) 1 0; 3) 1,5
2, 5; 4) 0 1
363. Розв’яжіть сукупність нерівностей (Solve the totality of the inequalities):
x
2,
12
6x
18,
2 x 5,
4,2 x 9,7,
1) 2)
2 x 1; 3)
x 4,2;
2 x 3,
4)
4 2x
8,
x 3;
6 2 x 4.
364. Розв’яжіть завдання (Solve the task).
1) При яких значеннях b значення двочлена 2b + 2 належать проміжку [–6; 6];
2) при яких значеннях у значення дробу
365. Розв’яжіть завдання.
3 2у
5
належать проміжку (–4; 2)?
1) При яких значеннях х значення виразу 3 2x
належить проміжку ( 3;7)
?
2) При яких значеннях х значення дробу
x 6
3
належить проміжку [ 6;0]
?
2
3) При яких значеннях х значення функції y x 6 належить проміжку
3
( 2;4] ?
4) При яких значеннях х значення функції y 0,4x
8
належить проміжку
[ 4;8) ?
114

366. Знайдіть цілі розв’язки системи нерівностей:
x x 1
,
1) 5
6
2) 1,3( x 2) 2,5x
8,6,
2(1
x)
5 14 3( x 5);
0,4(5 x)
3( x 1,6)
0,6.
367. Розв’яжіть систему нерівностей (Solve the system of the inequalities):
1) 1
1
2x
2,
2) 0 1
3x
1,
3) 3 2x
3 1,
4) 1
3 5x
0,
3 5x
0; 3 4x
2; 1
4x
0;
4 2x
3.
368. Solve the system of the inequalities:
x 8
2,
4
1)
5 5x
4
3
1
x
1
;
2
3) ( x 2) 3( x 1)
3x
1,
2( x 1)
( x 4) 16;
2)
x x x x
3,5 ( x1,5) 6 4 x;
2
( 1) ( 10) 1 6 ,
4)
2x
3 4x
9
1,
6 9
3 4x
0,3 0,5.
6
369. Розв’яжіть систему нерівностей (Solve the system of the inequalities):
1) 2( x 1)
3( x 1)
6x,
6x
4 8 (2 x);
2)
2
x
7 x
2
xx
2 x
3
2
2
19.
;
3)
4)
52x
1 7x
2x
1 ,
x 2 31
x
7x;
3
6 1
2
8
x xx
4
3
x 1
x 3
3.
2 4
4,
370. Розв’яжіть сукупність нерівностей (Solve the totality of the inequalities):
x 2
3x
1
x 1
x 3
3 2
4x
10,
1) 2) , 2x
4,
3
4 2 4 3)
2x
4 4 3 x;
12
6 6x
10;
x x
9.
2 8
371. Розв’яжіть сукупність нерівностей (Solve the totality of the inequalities):
2
x 2x
1
1)
2 ,
3 4
8
6x
2( x 1);
2)
x 1
2 2x
1,
2 5
2
x
2
0;
3)
2
2x
1
x
,
6 15
2
x 1
0.
372. Опишіть математичною мовою множину точок координатної площини,
зображену на малюнку.
115

1)
5)
3)
4)
2)
6)
373. Знайдіть область визначення виразу (Find the domain of the expression):
x 5
2 2
1) 1
х - 2 x ; 4) x x 6x 9 ; 7) ;
15 3x
1 x
2x
6
2) + ; 5) ; 8) x 1 x
5
;
2 x x 3 4 x
3) 2x 10 6 2x
; 6) х 2 ; 9) 3 x
10
2
х 7
x .
374. Знайдіть область визначення виразу (Find the domain of the expression):
0
x 8 x 4
1) 1
2х
x 4; 3) 4 0,2x
x 3; 5) ; 7) 3 x;
2
4 x x 5
x 4
x 4
2) ; 4) 1
0,5x
; 6) 5 2
2
x
x 3x
2
x 3
375. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
1) x 1(
x 2) 0 ; 3) 3x 4 0
2
1
; 8)
3 x
0
1
x x 1 .
x ; 5) 4x 2 0
x ;
2) x 25
x 0 ; 4) 3 x x
5 0 ; 6) 7 x
12
0
x .
Рівень (Level) III _________________________________________________
116

376. Знайдіть всі значення х, що задовольняють умову:
x
7,
5 x 1,
x 5,
2x 8 4 6 x,
x
1,
1)
1 x 6, 2)
3)
4 x 6,
x
4 5,
4)
6 x 9;
x
8,
6x
12,
x
10;
2 x 5;
5x1 2x10.
377. Знайдіть всі значення х, що задовольняють умову:
x
6,
x 1,
3 x 8,
1)
4 x 3,
x
3,
2) x
2,
3)
x 5;
x
5,
x
4;
x 5;
378. Знайдіть всі значення х, що задовольняють умову:
4)
x
1,
x
9,
0
x 1,
x
4.
4x
3 x 1,
1) 7x
2 6x
4,
7 2x
x 2;
3)
2x
4 4x
6,
2 3x
10
7x,
3 x 3;
2)
x
2 2 6x,
5x
3 7 2x,
5 x 0;
4)
2x
1
3 2 1
2x
,
3
2
3 2 x 5 2x
1 ,
1
2x
32x
1 .
379. Знайдіть найменше ціле значення змінної , що задовольняє систему
нерівностей:
1
6x
2x
1
5 4x
8 9 ,
8 2 2
1)
(2x
6)
2(2x
5) 4( x 5) 4 ;
3
5
6x
4x
7,
7
2)
8x
3
2x
25.
2
380. Знайдіть найбільше ціле значення змінної, що задовольняє систему
нерівностей:
x 2x
1
2 x x 1
3,
4 6 12 2
1)
2x
1
x 1
x ;
2 5
3x
1
3 x 2 5 3x
1
,
4 8 2
2)
4x
1
x 1
4 5x
3 .
18 12 9
381. Знайдіть кількість цілих значень змінної, що задовольняють систему
нерівностей:
117

1)
4(
x 2) 5( x 6) 5 x 2 ,
0,6(1
3x)
0,1 0,3(1
6x)
3x;
382. Знайдіть область визначення виразу і спростіть його:
1)
2)
6х
12
x 3
x
2
1
x 1
2 x ;
x 2
x 13
;
x 3
3)
x 2
4)
(4x
1)(3x
2) 3x(4x
4) 28,
2) x 2 2x
1
2 0.
6 3
x 5 4;
10x
25
x
4 4 x x 12.;
6) 3x
9 18 6x
4x.
5)
x
383. Знайдіть область визначення виразу і спростіть його:
2
1) x 4x
4 2 2x
1; 3) 3 x 2 2x
6 x ;
2
2) 6x x 9 3 5x
21 4x
3; 4) 12 3x x x 4 2x
1.
2
1
x ;
384. На координатній площині зобразіть множину всіх точок, координати
(х, у) яких одночасно задовольняють дві умови: x 3 і y 2.
385. На координатній площині зобразіть множину всіх точок, координати
(х, у) яких одночасно задовольняють дві умови: x 2 і y 4.
386. На координатній площині зобразіть множину всіх точок, координати
(х, у) яких одночасно задовольняють дві умови: x 4 і y 2.
387. На координатній площині зобразіть множину всіх точок, координати
(х, у) яких одночасно задовольняють дві умови: x 2 і y 3.
388. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
1) 7 4
х ; 3) 1 x 23; 5) 17 2
2) 5 6
x ;
x ; 4) 32 x 1; 6) 17 1
x .
389. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
1) 2 x 1
x 4 ;
2) 1 3x
2 x ;
3) 2 x 4 x 0;
4)3x x4 4 0 ;
5) 6x 3x1 2 0;
6) x 2x1 5 0 .
390. Знайдіть область визначення виразу (Find domain of the expression):
1) 7(4
7x)
2)
+ 2 3x 3 3
2x
(3x
1)
2x
4
2 3x
1
; 3) x 32
3 x 6 3 : x 5;
; 4) 3 5 x 3 5 2 x.
118

Світ навколо нас
391. Пам’ятники видатному українському поетові Тарасу Шевченку
встановлені в 1200 місцях по всьому світові, найвищим з яких
вважається монумент у місті Ковелі на Волині. Його висота
становить понад 7 м, а об’єм — приблизно 2,2м 3 . Знайдіть масу
бронзи, яка знадобилась для виготовлення цього пам’ятника.
Мисліть творчо, логічно, системно
392. За схемою складіть умову до задачі та розв’яжіть її.
393. Велосипедист їхав з міста до села зі швидкістю 15км/год, а повертався назад зі
швидкістю 10км/год. Знайдіть середню швидкість руху велосипедиста.
394. У змаганнях брали участь 50 стрільців. Перший влучив 60 разів, другий — 80, третій
— середнє арифметичне кількості попадань перших двох, четвертий — середнє
арифметичне кількості попадань перших трьох. Кожний наступний влучав у мішень таку
кількість разів, яка дорівнює середньому арифметичному попадань всіх попередніх.
Скільки попадань здійснив 48 стрілець?
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
395. Convert the following fractions to the decimals:
2
; 7 ; −1 4 ; 8 ; 2 160
; − 5 .
5 16 50 125 400 64
119

Дізнайся більше!
§10* Розв'язування лінійних нерівностей з параметром
Ключові слова
лінійна нерівність з параметром
Keywords
linear inequalitiу with a parameter
Розв'язування лінійних нерівностей з параметром розглянемо на
прикладі нерівності ax 3 2.
У цій нерівності х – змінна, а – параметр
(деяке число, від якого залежить множина розв’язків нерівності).
Розв’язати нерівність з параметром означає знайти розв’язки
нерівності (значення х) для кожного значення параметра а.
Розглянемо послідовність розв’язання нерівності ax 3 2.
1) Представимо нерівність у вигляді аx 5.
2) Розглянемо три випадки:
a = 0 a>0 a0, то x a
5
;
якщо a b; aх < b; aх ≥b; aх ≤ b.
2. Розглянути випадок, коли коефіцієнт перед змінною х дорівнює нулю
і зробити висновок щодо множини розв’язків нерівності в цьому випадку.
3. Розглянути випадок, коли коефіцієнт перед змінною х додатний.
Зробити висновок щодо множини розв’язків нерівності в цьому випадку.
4. Розглянути випадок, коли коефіцієнт перед змінною х від'ємний.
Зробити висновок щодо множини розв’язків нерівності.
120

5. Записати відповідь, враховуючи усі розглянуті випадки.
Приклад 1. При всіх значеннях параметра p розв’яжіть нерівність:
2
p
2 x p 3p
2.
Розв’язання
1 крок. Перепишемо нерівність у вигляді: p
2x
p
2 p 1.
2 крок. Якщо p 2 0 (тобто р = 2), то нерівність перетворюється на 0 x 0
Це правильна числова нерівність, тож розв’язком будуть всі дійсні
числа
3 крок. Якщо p 2 0 (тобто р > 2), то коефіцієнт перед змінною х додатній
і можна поділити ліву і праву частини нерівності на (р - 2) без зміни знаку
нерівності
p
2 p 1 .
x
; p 1
p 2
х .
4 крок. Якщо p 2 0 (тобто р < 2), то коефіцієнт перед змінною х
від’ємний і можна поділити обидві сторони нерівності на (р - 2), змінивши
при цьому знак нерівності на протилежний і отже
p
2 p 1 .
x
; х p 1.
p 2
5 крок. Відповідь: якщо p 2,
то розв’язками нерівності є всі дійсні числа;
якщо p 2,
то х p 1;
якщо p 2,
то х p 1.
Приклад 2. Для кожного значення параметра а розв’яжіть систему
нерівностей: x 2 а,
x 2a
3.
Розв’язання
1. Якщо 2 а 2a
3, тобто а , то 2a
3 x 2 a.
1
3
1
3
,.
2. Якщо 2 а 2a
3, тобто а , то розв язків нерівність не має.
121

1
3
Відповідь: якщо а , то 2a
3 x 2 a;
якщо
а ,
3
1 ,.
то
розв
язків нерівність не має.
Приклад 3. При яких значеннях параметра а, розв’язки нерівності
2x 1 2a є розв’язками нерівності 4x 2a
1?
Розв’язання
Розв’яжемо кожну нерівність окремо, отримаємо:
для першої нерівності
2 1
x
a
2
, для другої
2 1
x
a .
4
Для того щоб,
розв’язки першої нерівності були розв’язками другої
2а
1
2а
1
нерівності необхідно виконання умови , тобто а 1,5 .
Відповідь: при а 1,5 .
2
4
Узагальнюйте міркуючи
396. Андрій, прочитавши теорію, перейшов до розв’язування нерівності ах < 5. Він
отримав відповідь: х < 5 . Ви з ним згодні?
a
397. При розв’язуванні нерівності а < x < –11 Марія прийшла до висновку, що
розв’язком є порожня множина. Для якого значення а її відповідь є правильною?
Запишіть повну відповідь до даної нерівності.
Розв’яжіть самостійно
Рівень II _____________________________________________________
122

398. Укажіть усі значення числа а при яких система нерівностей x
не має розв’язків.
399. При яких значеннях а система нерівностей має хоча б один
розв'язок?
х 4,
a.
1) х 3,
x a;
2) х 5,
x a;
3) х 7,
x a;
4) х а,
x 2;
5) х а,
x 3;
6) х 6,
x a.
400. При яких значеннях а система нерівностей не має розв’язків?
1) х 4,
x a;
2) х 2,
x a;
3) х 5,
x a;
4) х а,
x 2.
401. При яких значеннях параметра а система нерівностей має розв’язки?
1) x 4 0,
4x
2a;
2) 8x
16
0,
a 0,2x
0;
3) x 4,
ax 2;
4) x 1,
( a 1)
x 2;
5) 3( a x)
2 x,
8 x 6 2( x a);
6) 2( x a)
x,
4( x 1)
a 3x
6.
402. Для кожного значення параметра а розв’яжіть нерівність:
1) ax 2 ; 3) 3x
a 3
a ; 5) a 2x
a
2 2a
;
2) a 1x
0; 4) 4 2 2
a x a 16
; 6) 5
x
a 10a
25
a .
403. При яких значеннях параметра а розв’язком системи нерівностей
x
3,
ax
12
є проміжок: 1) ( ; 4)
; 2) 4;3; 3) ;3
; 4) ?
404. Для кожного значення параметра а розв’яжіть систему нерівностей:
1) x a 3,
2) x 4a
2,
x 2a
3; x 2 a;
3) x 6 3a,
4) x a,
5) x 2 a,
x 3a
2; x 2a
4; x 2a
3.
Рівень III ___________________________________________________
405. При яких значеннях параметра а нерівність не має розв’язків?
1) 1x
a 5
2
2
a ; 3) a 3ax
a 2 ; 5) 2ax
a 2
a ;
123

2
2) 9x
a 2
a ; 4) 9x
a 3
2
2
a ; 6) a
25x
3 a
406. При яких значеннях параметра а нерівність виконується при будьякому
значенні х?
2
2
1) a 4x
a 1; 3) 2ax
a 2
a ;
2
2
2
2) a 3ax
a
3; 4) 6a
9x
a 9
a .
407. При яких значеннях параметра а система нерівностей не має
розв’язків?
1) x 5 0,
2) 3x
6 0, 2x
8 0,
3)
x 1
a;
2x
1
a;
x 2;
a
2
4) 3 2x
1
a 1,
2a
x 12 4a?
408. При яких значеннях параметра а система x 4,
містить 6 цілих
x a 4
розв’язків?
.
409. При яких значеннях параметра а система x 6,
x 8 2a
містить 4 цілих
розв’язки?
410. При яких значеннях параметра а розв’язком системи нерівностей:
x
5a
4,
є відрізок довжиною 10?
x
1
8a
411. При яких значеннях параметра а розв’язком системи нерівностей:
7
2x
5 2a,
є відрізок довжиною 4?
2x
4 4a
412. Для кожного значення параметра а розв’яжіть нерівність:
1)
2
2
3ax 6a
; 3) a 3x
3
2a
a
2
; 5) a
2x
2a
a
;
2
2
2) a 2x
0; 4) a
1 x
a a ; 6) 1 ax
2 a a
413. Розв’яжіть нерівність при всіх значеннях параметра а:
( a 2) x a 3 4a
x 9 4a
1)
3
2
( a 1)
x a 1
x a 2 2a
6
2) .
4
3 6
2
10a
32
;
6
.
124

Світ навколо нас
414. Видатному поету і художнику Тарасу Шевченку встановлено 1384
пам’ятники у світі: 1256 в Україні та 128 за кордоном – у 35-ти державах.
Яку частину пам’ятників Шевченку встановлено в Україні? Відповідь
округліть до сотих.
Мисліть творчо, логічно, системно
415. Балко, Іванов та Семенко — робітники банку. Хтось з них — завідуючий, хтось —
касир, а хтось —контролер. Встановіть хто з них хто, якщо відомо, що касир не має ні
братів, ні сестер і найнижчий з усіх, а Семенко одружений на сестрі Балко і зростом
вищий за контролера.
416. Чи можна 27 телефонів з’єднати проводами так, щоб:
1) мати 6 телефонів, кожний з яких був би з’єднаний із трьома,
2) 7 телефонів, кожний з яких був би з’єднаний з п’ятьма,
3) 14 телефонів, кожний з яких був би з’єднаний із шістьма телефонами?
417. Користуючись діаграмою, придумайте умову до задачі та
розв’яжіть її .
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
418. Write down the first 15 square numbers.
Орієнтовні завдання до тематичної контрольної роботи №3
Тема. Лінійні нерівності. Системи лінійних нерівностей
Початковий рівень
125

Завдання 1 4 мають по чотири варіанти відповіді, серед яких лише
ОДИН правильний. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь.
Завдання 1 4 оцінюються у 1 бал
1. Оцініть значення виразу 2x 3y, якщо 3 2, 1 y 4
А 1;18
Б 18;
1
x .
В 18;1 Г 1
;18
2. Відомо, що a 6 . Яких значень може набувати вираз 12 2a
?
А лише
додатній
Б лише
від’ємний
В дорівнює
нулю
Г визначити
неможливо
3. Скільки розв’язків має рівняння x
23
x x 5 0?
А 0 Б 1 В 2 Г 3
4. Знайдіть область визначення виразу
А
1;4
4 x .
x 1
Б 1 ;4
В ; 1 4;
Г ;
1 4;
Середній рівень
Завдання 5 передбачає встановлення відповідності. До кожного
рядка, позначеного цифрою, доберіть один відповідний, позначений
буквою.
Завдання 5 оцінюється у 1,5 бали
5. Установіть відповідність між заданими системами та сукупностями
нерівностей (1 — 3) та множинами їх розв’язків (А — Г):
1
2
3
2,
х
1
х А Ø;
х Б
1 ; 2
2,
х
1
х В ;
1
2;
2,
х
2
Г 2
Завдання 6 9 розв’яжіть з повним поясненням
Завдання 6 8 оцінюються у 1,5 бали
126

6. Знайдіть натуральні розв’язки нерівності
1
x
3
2
2
7. Розв’яжіть графічно нерівність: x 4x 5
0.
2x
7 7x
2
6 3
.
Достатній рівень
8. Доведіть, що при всі дійсниx значенняx x виконується нерівність
2
2
x 6x
y 4y
15
0.
Високий рівень
Завдання 9 оцінюється у 2 бали
9. Рибаки пропливли річкою 12 км, частину шляху - за течією,
частину - проти. Визначте, яку відстань пропливли рибаки за
течією, якщо відомо, що в дорозі вони були менш ніж 3 години.
Власна швидкість човна 5 км / год, швидкість течії 3 км / год.
Завдання на повторення
Початковий рівень
Завдання 1 4 мають по чотири варіанти відповіді, серед яких лише
ОДИН правильний. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь.
Завдання 1 4 оцінюються у 1 бал
3 2
1
1. Обчисліть значення виразу 8x 12x
6x
1
при x = . 6
7
А 36
Б
27
8
2. Обчисліть: 27 12 75:10
3
.
8
В - 27
41
Г 216
А 3 Б 5 3
В 10 Г 1
127

3. Задайте формулою функцію у від х, якщо у - сума грошей, що
залишилися у хлопчика, який мав 10 грн і купив х зошитів по 0,5 грн.
А Б В Г
у = 10 – 0,5х у = 10 + 0,5х у = 5х Інша відповідь
3
4. Спростіть вираз: 2
b
2 2 6a
2
2
a .
b
А Б В Г
Інша відповідь 9а 6 в 10 6
10
1 a
1 b
10
6
9 b
9 a
Середній рівень
Завдання 5 передбачає встановлення відповідності. До кожного рядка,
позначеного цифрою, доберіть один відповідний, позначений буквою.
Завдання 5 оцінюється у 1,5 бали
5. Установіть відповідність між областю визначення виразів (1 - 3) та
кількістю значень змінних при яких вирази не існують (А – Г):
Вираз
Кількість значень змінної
2
0
x 9
А.1
1.
x
2
1
1
2 2
x
x 1
1
5
x 2 x 8
2. x
3.
Б. 3
x В. 4
Г. 2
Завдання 6 9 розв’яжіть з повним поясненням
Завдання 6 8 оцінюються у 1,5 бали
х 2 х 14
2 х 5
6. Побудуйте графік функції: у : x
3х
3х
6х
х 2 6х
7. Розв’яжіть рівняння:
2 1x
1x
x 5 4x
x1 x 1
.
2
.
Достатній рівень
8. Знайдіть значення виразу:
2
11
8,6 4,5 4,5
3
2 3
5
8,12 3 7,75
: ( 2,695)
5 40
.
128

Високий рівень
Завдання 9 оцінюється у 2 бали
9. Потяг мав проїхати 300 км. Проїхавши 1 3
шляху, він зупинився на 1
год, а потім продовжив рух із швидкістю на 10 км/год меншою за
початкову. Знайдіть швидкість потяга до зупинки, якщо в пункт
призначення він прибув через 8 год після виїзду.
Сторінка історії
Необхідність порівнювати число предметів одного виду з числом
предметів іншого виду виникла із зародженням обміну продуктами праці. На
цьому етапі виникли поняття «більше», «менше», «стільки ж» або
«дорівнює» (ще без відповідних символів).
В «Основах» Евкліда (ІІІ ст. до н. е.) доведено
нерівність, яку тепер прийнято записувати так:
.
Тільки під а і b тоді розуміли не довільні додатні числа, а довжини
відрізків; доведення пропонувалось суто геометричне і без знаків нерівності.
Архімед (III ст. до н. e.) довів подвійну
нерівність , яку тепер записують так:
10 1
3 3
71 7
129

Існує теорія, що знаки „ ; ;
;
” походять від
знака рівності, який виник як прообраз
важільних терезів.
Порушення рівноваги терезів міняло
положення верхнього коромисла. Вістря
добутого знака нерівності „ ” направлялося в
бік меншого числа, бо в цьому напрямі
зменшувалася відстань між коромислом
терезів та їх основою.
Знаки «» вперше запровадив англійський математик Т. Гарріот у
1631p. Хоча знаки нерівності запропоновано пізніше від знаку рівності,
використовуватися вони почали раніше, оскільки друкували їх,
користуючись буквою V, а знаку рівності «=» на той час у типографії ще не
було.
Знаки нестрогих нерівностей запровадив у 1670 р. англійський
математик Дж. Валліс. Тільки риску він писав над знаком нерівності.
У звичайному для нас вигляді знаки «≤» і «≥» запропонував у 1734 р.
французький математик П. Бугер.
130

РОЗДІЛ II.
КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ
Поняття функціональної залежності є основним
поняттям всієї вищої математики
О.Я. Хінчин
( 1894—1959)
радянський математик, фахівець з теорїї
ймовірностей та методики навчання математики
У цьому розділі ви дізнаєтесь про:
функції, їх види та властивості;
перетворення графіків функцій;
квадратичну функцію, її графік і властивості;
квадратні нерівності.
Українською
Основні поняття теми
International
(English)
Математичною
Функція function y = f(x); f (x) = x 3 +4
Графік функції
Перетворення графіків
функцій
graph of the function
conversion of functions
graph
Квадратична функція quadratic function f (x) = x 2 +4x + 5
Квадратна нерівність quadratic inequality 2x
2 x 7 0
131

§ 11. Числові функції
Ключові слова
Функція, графік функції
Область визначення функції
Область значень функції
Keywords
function, graph of the function
domain of the function
соdomain of the function
Існує багато величин таких, що зі зміною значень однієї величини
змінюються значення іншої. Наприклад, урожайність залежить від кількості
опадів; якість життя суспільства залежить від якості виконання державою
своїx функцій; безпека руxу наземного транспорту залежить від правильної
роботи світлофорів, площа круга залежить від його радіусу тощо.
Залежність між змінними описують за допомогою правила.
Правило, за яким кожному значенню змінної х із деякої множини Х
ставиться у відповідність єдине значення змінної у, називають функцією.
Змінну х називають незалежною змінною або аргументом функції, змінну у
називають залежною змінною або функцією.
Якщо змінні x та y набувають числових значень, то функцію називають
числовою.
Надалі будемо розглядати лише числові функції
Зазвичай функцію записують у вигляді y = ƒ(x), де ƒ(x) – вираз зі змінною
х, який задає правило відповідності між змінними х і у.
Областю визначення функції y = ƒ(x) називають множину усіх значень,
яких набуває незалежна змінна x і позначають D(y) або D(ƒ).
Областю значень функції y = ƒ(x) називають множину усіх значень, яких
набуває залежна змінна y і позначають E(y) або E (ƒ).
Функцію (правило відповідності) можна задавати декількома способами:
таблицею, формулою, графіком та ін.
Приклад 1.
Табличний спосіб
Приклад 1. Зміна температури тіла хворого впродовж доби відображена
у наступній таблиці:
132

Час доби, T (год) 9 12 15 18 21 24
Температура тіла, t (C°) 39 38,5 38,3 37,3 37,2 37
Ця таблиця задає функцію, аргументом якої є змінна T (час доби), а
функцією - змінна t (температура тіла хворого). Область визначення цієї
функції складається із множини чисел {9; 12; 15; 18; 21; 24}, а область
значень – {39; 38,5; 38,3; 37,2; 37}.
Аналітичний спосіб
Найчастіше функцію задають за допомогою формули, наприклад,
у = 1 ‒ 2х 2 , де х – аргумент, у – функція, або S = πR 2 , де R – аргумент, S -
функція . Якщо аргументу надати певне конкретне числове значення з області
визначення функції, то дістанемо відповідне значення функції.
Приклад 2. Нехай об’єкт рухається прямолінійно з постійною швидкістю
v = 3 км/год. Тоді відповідність між пройденим цим об’єктом шляхом і часом,
витраченим на його подолання, можна задати формулою t(s) = s . 3
Аргументом функції t(s) = s є змінна s (пройдений шлях), а змінна t
3
(витрачений час) – значення функції. Область визначення цієї функції ‒
множина всіх невід’ємних чисел (s 0), область її значень також множина всіх
невід’ємних чисел (t 0). Для того, щоб визначити за який час об’єкт пройде,
наприклад, 6 км, треба у формулу, якою задана функція, підставити значення
аргументу s = 6.
Графічний спосіб
Функція може бути задана за допомогою графіка. Графіком функції
можуть бути пряма, крива, ламана, множина окремих точок і т.д. Графічним
способом задання функції часто користуються в техніці і фізиці.
електрокардіограф кардіограма мал. 11.1
133

Наприклад, на малюнку 11.2 графічно задано
функцію залежності відстані s (значення функції)
від часу t (аргумент).
Область визначення функції - проміжок 0 t 5,
область значень функції - проміжок 0 s 10.
мал. 11.2
Графіком функції y = ƒ(x) є множина всіx тих і тільки тих точок (х, у)
координатної площини, для кожної з яких абсциса х – це значення аргументу,
а ордината у – відповідне значення функції.
Зверніть увагу!
Графік функції не обов’язково має бути неперервною лінією,
наприклад графік функції оберненої пропорційності.
Існують функції, які не мають графіка, наприклад функція Діріхле:
функція, яка визначена на множині дійсних чисел та набуває
значення 1 для всіх раціональних аргументів та значення 0 для всіх
ірраціональних аргументів.
Пригадаємо вже відомі вам числові функції
Функція Графік Область
Лінійна
функція
y kxb
визначення
D (y)
Область
значень
E (y)
;
;
134

Обернена
пропорційність
k
y , k 0.
x
Квадратична
; 00;
;0
0;
;
0
;
2
y x
Функція
y x
;
0 0
;
x 2
Приклад 1. Функцію задано формулою
x 1
Розв’язання
Знайти f 2
означає знайти значення функції при x 2 .
2 2
f 2 3
2 10.
2 1
Відповідь: 10.
Приклад 2. Функцію задано формулою
f x
3x.
Розв’язання
Підставимо у рівняння f x 3x
x 2
x 2
3x
3x,
тоді 0, x 2.
x 1
x 1
Відповідь: х = -2.
f х
3x
. Знайдіть: 2
f
х
замість х
3x
x
x
f вираз
2
1
f .
. Розв’яжіть рівняння
3x
x 2
x 1
. Отримаємо:
Приклад 3. Знайдіть область визначення функції
Розв’язання
x 3
у x 2 .
x 6
135

x 3
Для знаходження області визначення функції у x 2 на заданий
x 6
підкореневий вираз і знаменник дробу накладемо умови, які мають
виконуватися одночасно: x 2 0, x
2,
x 6 0; x
6.
2
;6) ( 6
Відповідь: (y) 2;6)
( 6
D .
Приклад 4. Знайдіть область значень функції f x x 2 3.
Розв’язання
Оцінимо значення виразу x 2 3.
За властивістю модуля x 2 0,
тоді x 2 3 3. Функція приймає
значення, які будуть більші або рівні 3. Тому (у) 3;
Відповідь: E (у) 3;
.
E .
2x
1, якщо x 2,
Приклад 5. Побудуйте графік функції y 6 , якщо x 2.
x
Користуючись побудованим графіком, знайдіть область значень функції.
Розв’язання
Областю визначення функції є всі дійсні числа.
Графік функції складається з двох частин:
І частина - на проміжку ;2)
будуємо графік
функції
6
y ;
x
ІІ частина - на проміжку 2;
) графік лінійної
функції y 2х
1.
мал. 11.3
Як бачимо з графіка областю значення
функції є проміжок
;3
.
Зверніть увагу!
Область визначення функції є проекція графіка функції на вісь абсцис.
136

Область значень функції є проекція графіка функції на вісь ординат.
Узагальнюйте міркуючи
419. Як знайти значення функції за заданим значенням аргументу? Чи можна знайти
значення аргументу за даним значенням функції?
420. Які переваги, на вашу думку, є у кожного зі способів задання функції?
421. Чи може:
1) одному значенню аргументу відповідати два значення функції?
2) одному значенню функції відповідати два значення аргументу?
422. Чи може: 1) область визначення; 2) область значень
функції складатися з одного числа?
Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І ______________________________________________
Завдання 423-431 мають по чотири варіанти відповіді (А-Г), з яких тільки
один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді.
423. Користуючись графіком, знайдіть значення
аргументу, якщо значення функції дорівнює −1.
А Б В Г
1 −3; 3 −1; 1 0
424. Яка з точок належить графіку функції у = 4х + 3?
А Б В Г
(−1; 1) (2; 11 ) (1; −1) (1; 1)
137

425. Користуючись графіком, знайдіть значення функції,
якщо аргумент дорівнює −1.
А Б В Г
1 0 −1 −3
426. Для функції y x знайдіть значення у, яке відповідає значенню х=9.
А Б В Г
3 81 0 Неможливо
визначити
427. Знайдіть значення функції у = −2х + 8, що відповідає значенню
аргументу 3.
А Б В Г
2 2,5 2 −2,5
428. Областю визначення якої з функцій є будь-які значення х?
у =
А Б В Г
x
x 2 9
10
x
2 1
y у=
3 4
x 1
x 1
5
у=
( x 1)(
x 4)
429. На малюнку зображено графік руху туриста.
Скільки часу тривав привал?
А Б В Г
1 год 3,5 год 2,5 год 5 год
430. Знайдіть область визначення функції y x 5 .
А Б В Г
138

х ≥ −5 х ≤ −5 х ≥ 5 х ≤ 5
431. Знайдіть множину значень функції, графік якої
зображено на малюнку.
А Б В Г
[−10; 10] [−4; 4] [2; 10] [−2; 2]
Рівень (Level) II ___________________________________________________
16
432. Функція задана формулою f (x) = . x
1) Що означають записи f (2) і f (−8)?
2) Чому дорівнюють значення виразів f (2) і f (−8) ?
3) Яка область визначення функції?
4) Який із даних графіків є графіком цієї функції?
433. Чи належить графіку функції y = х 3 точки:
1) (0;3); 2) (-9;3); 3) (9;0); 4) (5;2); 5) (1; 2); 6) (1;16); 7) (4;-1).
434. Знайдіть значення аргументу для функції у = −2х + 8, якщо:
1) у = 0; 2) у = 8; 3) у = -2; 4) у = 10.
435. За графіком функції знайдіть:
1) область визначення; 3) найбільше значення функції; 5) f(2);
2) область значень; 4) найменше значення аргументу; 6) х при f(x) = 8.
139

436. Побудуйте графік у = х 2 на проміжку 2; 2
.
437. Побудуйте графік у = х на проміжку 3;2
.
438. Побудуйте графік функції у х
1) D (y) 0;1
4;
; 2) E(y) = ;3
1 .
, для якої:
439. Для заданих функцій знайдіть координати точок перетину графіка з
осями координат:
2
1) у х
7;
2) у 0,5х
4,5;
3) у 5 х ; 4) у 4 х 4.
440. Для заданих функцій знайдіть координати точок перетину графіка з
осями координат:
1) y3x 1; 3) y x 4 ; 5)
2)
2
y x x
5 6; 4)
y
x 1
y ;
x 1
3
x 8; 6) 1 2
y x x .
441. Знайдіть область визначення функцій (Find domain of the functions):
1)
y
2
1 1
x
x 1
; 2) x 2
y
x
4 x
; 3) 3x
y
2
x 4x 4
; 4) x 1
y ; 5) x
1
y
.
x 2 x1 x2
442. Знайдіть область визначення функцій (Find domain of the functions):
1)
y
2
x
1
; 2) y
2
x 1
; 3) y ; 4) y
x
112
x1 x2
9 x
2
; 5)
y
443. Знайдіть область визначення функцій, заданих формулою:
x
.
x 3 14 x
4
1) y
2
x 1
; 5 x
2); y 3)
x
2 3x
1
y x 3 ; 4)
2 x
444. Знайдіть область визначення функцій, заданих формулою:
2
1
x
y .
x 2
1
4 x
1) y ; 2)
2
5 x
x 3
x
2
x
2x
9 0
y ; 3) y x
4 2
; 4) y 6 x .
2
140

445. Знайдіть область значень функцій (Find codomain of the functions):
1) y = 2x – 3; 2) y = - x 2 -4; 3) y =
1
x 2
5
; 4) y = x 1 2; 5) y = - x +5.
446. Знайдіть область значень функцій (Find codomain of the functions):
1) y = 7 – 7х; 2) y =
24
x 2 2
447. Функцію задано формулою
; 3) y = 2x 2 +3; 4) y = - 3 1
x ; 5) y = x 2 16
.
x 2
f ( x)
2x
. Знайдіть: 2
x 1
f f 2, f a. Знайдіть D f . Розв’яжіть рівняння: f x 2x
2
448. Функцію задано формулою ( x)
x 2x
x 1
.
f , 1
f ,
g . Знайдіть: g 4, 0
2
g g1
, g b
. Знайдіть D g. Розв’яжіть рівняння: gx 2 x .
g ,
449. Задано функцію
2x
4, якщо х 1,
y 0,5x
0,5, якщо 1
х 5,
x 4, якщо х 5.
Знайдіть значення аргументу, при яких: 1) f ( x)
0; 2) f ( x)
1, 3) f ( x)
2
.
Рівень (Level) ІІІ ___________________________________________________
450. Побудуйте графік функції: 1)
y
2
6x
54
9x
x
3
; 2)
y
x 6x 8 2x x
x
2 x
2 2
.
451. Побудуйте графік функції
2x
1, якщо x 2,
6 , якщо x 2.
x
побудованим графіком, знайдіть область значень функції.
452. Побудуйте графік функції
8
, якщо x 2,
x
2 x, якщо 2 x 2,
8
, якщо x 2.
x
побудованим графіком, знайдіть найбільше значення функції.
Користуючись
Користуючись
141

2x
3, якщо x 1,
4,
якщо x 1.
453. Задано функцію f x
Знайдіть: f 3, 2
f 3 2 f
2, f 2
454. Функцію
Діріхле. Знайдіть:
3
7
f . Розв’яжіть рівняння: f ( x)
x .
f ,
1, якщо х раціональне число,
D( x)
називають функцією
1,
якщо х ірраціональне число
2
2
1) D 2 2D
; 3) 2
5 2
5
D ;
2) D 2 ( a ) ; 4) D 2 D(0)
.
2
455. Задано функцію f ( x)
x x 7 . Знайдіть значення с, при якому
f ( c)
f ( c 2) .
2
456. Задано функції f ( x)
x 5x
1
і g ( x)
2x
3. Знайдіть значення b, при
якому f ( b)
g(
b 2 1)
.
457. Задано функції
2
x x
f ( x)
і
2
x
g(
x)
2
2
x
. Чи виконуються рівності:
1) f ( 1 x)
g(1
x)
x; 2) f ( x)
g(1
x)
0; 3) f ( 2x
1) 4g(2
x)
4 7x
?
Світ навколо нас
458. Вважається, що у 1929 році вперше у світі у Монако
провели міські автоперегони. Але насправді у Львові з
1927р вже проводились перегони по колу вулицями
міста - 100 кіл, 305 кілометрів. На цих перегонах були і
рекорди – в 1933 року тріумфував на перегонах
норвежець Бйорнстад, він встановив рекордний час,
пройшовши одне коло за 2 хвилини 2 секунди. Знайдіть
середню швидкість з якою він рухався містом.
Мисліть творчо, логічно, системно
142

459. Корона важить 600 г і складається зі сплаву золота, міді, олова й заліза. Золото і мідь
2
3
3
складають разом , золото і олово - , золото і залізо - від загальної ваги корони.
3
4
5
Визначте вагу кожного металу окремо.
460. Чи можна за допомогою двох відер ємністю 6 л та 10 л, набрати 8 л води?
461. Придумайте математичний ребус за темою та розв’яжіть його.
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
462. Five years ago Kate was 5 times as old as her son. In 5 years her age will be 8
less than three times her Son's age at that time. How old is Kate and her son?
§12. Основні властивості функцій
Ключові слова
властивості функції
нуль функції
зростаюча функція, спадна функція
монотонна функція
найбільше і найменше значення функції
Keywords
properties of the function
zero of the function
increasing function, decreasing function
monotonic function
maximum and minimum of the function
Аналітичний та графічний способи задання функцій широко
використовується в наукових дослідженнях, розв’язуванні технічних,
економічних, геологічних, медичних та інших проблем.
Наприклад, в геології використовують графіки зміни середньорічних
значень числа землетрусів (мал. 12. 1) та енергії землетрусів (мал. 12. 2).
143

мал. 12. 1 мал. 12.2
Аналіз цих графіків дає можливість зробити висновки про сейсмічну
активність на різних глибинах.
Багато природних та виробничих явищ і процесів можна описати за
допомогою математичних моделей у вигляді функцій. Тому дослідження
основних властивостей функцій та побудова їх графіків є одним з основних
методів пізнання навколишнього світу.
До основних властивостей функцій належать: область визначення,
область значень, нулі функції, проміжки знакосталості, монотонність.
Пригадайте!
Областю визначення функції y = ƒ(x) називають множину усіх значень,
яких набуває незалежна змінна x і позначають D(y) або D(ƒ).
Якщо функцію задано аналітично (формулою y = ƒ(x)), а область її
визначення не вказано, то вважають, що вона співпадає з областю
визначення виразу в правій чистині цієї формули.
Для знаходження області визначення функції, в залежності від її
вигляду, накладаються певні умови, наведені у наступній таблиці.
№ Вигляд функції Умови
1 f x
y
gx
g x 0
144

2 y f x 0
f x 0
3 f x
y
gx
0
f
g
x
x
0,
0.
n
4 y f x , n
N
f x 0
5 f x
y
gx
n
, n N
f
g
x
x
0,
0.
6 y f x
f x
0
7 f x
y
gx
f
g
x
x
8 y f x gx
f x
gx
9 y f x gx
f x
gx
10 f x
f x
y
gx
gx
0
0,
0.
0,
0.
0,
0.
145

Приклад 1. Знайдіть область визначення функції:
1
у = 3x
2 .
x 2 3x
Розв'язання
Областю визначення даної функції буде спільна частина областей визначення
2
х ;
3
1
3х
2 0; 3х
2;
кожного з виразів 3x 2 та , тобто:
x 2 2
х
0;
3x х
3х
0; х(
х 3) 0; х
3
мал. 12.3
Відповідь: D(y) =[ 3
2 ; 3) (3; +∞).
[ 3
2 ; 3) (3; +∞)
Дізнайтеся більше!
Знаходження області визначення функції y f x
у деяких випадках дозволяє
знайти корені рівняння f x 0 ,
не розв’язуючи його. Зокрема, якщо область
визначення виявиться множиною, що складається із скінченної кількості
окремих чисел, то для того, щоб знайти корені рівняння , достатньо перевірити,
чи перетворюється це рівняння на правильну числову рівність при підстановці
у нього кожного з цих чисел з області визначення.
3
Наприклад, знайдемо корені рівняння 2 3x 6 x 2 x x 3x
2 0 .
3
Спочатку знайдемо для функції f x 2 3x 6 x 2 x x 3x
2 область
3x
6 0, x
2,
2
x 0, x
2,
визначення x 2.
:
Таким чином, область визначення складається з єдиного числа 2. Отож, якщо
рівняння має корінь, то ним може бути тільки значення х2. Перевіримо це
3
припущення: 2 3 2 6 2
2 2 2 3
2 2 2 6 6 0 8 6 2 0
Отже, х 2 корінь рівняння
.
146

Пригадайте!
Областю значень функції y = ƒ(x) називають множину усіх значень, яких
набуває залежна змінна y і позначають E(y) або E (ƒ).
Приклад 2. Знайдіть область значень функції:
1) у x 2 9;
2) у = x 2 9;
2
3) y x 2x
3.
Розв'язання
1) Оскільки 2 2
x 0 для всіх значень х, то x 9 9 . Отже, E y 9;
.
2
2
2) Оскільки x 9 9 , для всіх значень х, то 9 9
Отже, E y 3;
.
3) Виділимо у заданому виразі квадрат двочлена:
2
2
2
y x 2x
3 ( x 2x
1)
2 ( x 1)
2 .
Оскільки ( 1)
2 2
x 0 для всіх значень х, то ( 1)
2 2
Отже, (y) 2;
E .
Відповідь: 1) E y 9;
;
2) y 3;
;
x .
2
x , x 9 3.
E 3) (y) 2;
E .
Означення. Нулями функції називають значення аргументу, при яких
значення функції дорівнює нулю.
Нулями функції y f () x є корені рівняння f( x) 0 .
Зверніть увагу!
Нулі функції - це абсциси точок перетину графіка функції з віссю Ох.
Приклад 3. Знайдіть нулі функції:
2
x 3x4
1) y4x 1; 2) y .
2
x 16
Розв’язання
1) Спочатку знайдемо область визначення функції: D y ;
. Далі
розв’яжемо рівняння: 4x
1
0; x 0,25.
147

2) Знайдемо області визначення функції: D y ; 4)
( 4;4)
(4; .
2
х 3х
4
Розв’яжемо рівняння: 0
2
х 16
х = 4 не належить до області визначення функції
Отже, x 1.
2
; x 3x 4 0;
x ; x 1.
1
4
2
Відповідь: 1)0,25; 2) -1.
Приклад 4. На малюнку 12.4 зображено графік
функції y
цілі нулі функції.
f x
на проміжку
4;6
. Знайдіть
Розв'язання
мал. 12.4
Областю визначення функції є заданий проміжок
4;6
. Нулями функції є
абсциси точок перетину графіка функції з віссю Ох. Графік має 3 точки
перетину з віссю Ох, але абсциса тільки однієї є цілим числом.
Відповідь: х = - 3.
Означення. Проміжками знакосталості функції називають проміжки, на
яких функція зберігає свій знак.
мал. 12.5
Зверніть увагу!
Для того, щоб знайти проміжки, на яких функція y f () x набуває
додатних значень, треба розв’язати нерівність ( x)
0
f .
Для того, щоб знайти проміжки, на яких функція y f () x набуває
від’ємних значень, треба розв’язати нерівність ( x)
0
f .
148

Приклад 5. Знайдіть проміжки знакосталості функції у = 2х + 4.
Розв’язання
Спочатку знайдемо область визначення функції: y ;
D .
Для того, щоб знайти проміжки, на яких функція у = 2х + 4 набуває
додатних значень, треба розв’язати нерівність: 2x
4 0; x 2.
Для того, щоб знайти проміжки, на яких функція у = 2х + 4 набуває
від’ємних значень, треба розв’язати нерівність: 2x
4 0; x 2.
Відповідь: функція набуває додатних значень на проміжку
набуває від’ємних значень на проміжку
( ; 2
.
2 ; функція
;
Монотонність
Означення. Функцію
називають зростаючою на заданому
проміжку, якщо меншому значенню аргументу з цього проміжку відповідає
менше значення функції.
Графічно
Аналітично
Для будь-яких значень з проміжку a;b
таких що , виконується нерівність
.
Означення. Функцію
називають спадною на заданому
проміжку, якщо більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає
менше значення функції.
Графічно
Аналітично
Для будь-яких значень з проміжку
a; b
таких, що , виконується
нерівність .
149

Проміжки на яких функція є зростаючою або спадною називають
проміжками монотонності функції.
мал. 12.6
Означення. Функцію, яка зростає або спадає на всій області визначення,
називають монотонно зростаючою або монотонно спадною.
Наприклад, функція
функція
у х є монотонно зростаючою,
у
1
х
є монотонно спадною,
а функція, графік якої наведено на малюнку 12.6 не є монотонною на області
визначення.
Приклад 6. Дослідіть на монотонність функцію f(x) = х 3 .
Розв’язання
1) Нам відомо, що задана функція монотонна, тобто зростає або спадає на всій
області визначення. Виберемо такі значення х 1 та х 2 , що х 1< х 2 , наприклад,
х 1 = 2, х 2 =3 .
2) Порівняємо значення функції у вибраних точках:
f(2) = 2 3 = 8; f(3)= 3 3 = 27;
f(x 1 ) < f(x 2 ) .
Меншому значенню х відповідає менше значення f (x).
За означенням така функція є зростаючою.
Відповідь: функція монотонно зростає.
150

Зверніть увагу!
Наведений спосіб можна застосовувати для визначення спадання чи
зростання лише монотонних функцій.
Особливої уваги під час дослідження потребують функції, які мають
точки розриву. Наприклад, функція у = 1 х
має два проміжки існування і тому,
необхідно розглядати монотонність на двох окремих проміжках. Ця функція
спадає на проміжках (-∞; 0) та (0; +∞). Об’єднувати ці проміжки знаком не
можна, бо під час об’єднання надається можливість взяти аргументи
одночасно з обох проміжків та порівнювати значення функції для них, що
призводить до хибних висновків.
Дізнайтеся більше!
У певних випадках для того, щоб визначити є функція зростаючою чи спадною
на деякому проміжку, можна скористатися наступною властивістю:
Якщо функції y f x
та y gx
зростають (або спадають) на проміжку
X, то на цьому проміжку зростає (або спадає) функція y f x gx
.
Доведення. Розглянемо випадок, коли функції
y f x
та y gx
зростають.
Для доведення нам треба показати, що для будь-яких
1
x 2
x1 X, x2
X таких, що
x буде вірною числова нерівність, то f x
gx
f x
g .
1 1
2
x2
Оскільки функції y f x
та y gx
зростають на проміжку Х, то для будьяких
x
1
X , x2
X і таких, що x1 x2
виконуються умови
151

f
f
g
f
x
f x
i gx
g . Додамо ці дві числові нерівності:
1 2 1
x2
x
f x
1
x1
gx2
x
gx
f x
f x
.
1
2
2
1
2
За властивістю додавання числових нерівностей нерівність
f
x
gx
f x
g
буде правильною. Що і треба було довести.
1 1 2
x2
Наприклад, з’ясуємо чи є функція
Областю визначення даної функції є проміжок
На цьому проміжку кожна з функцій
Тому функція
y 5x
3 x 4x
також
y 5x
3 x 4x
монотонною?
0 ;.
3
y 5x , y x та y 4x
зростає.
зростає на проміжку 0 ; .
Найбільше та найменше значення функції на проміжку
Розглянемо функцію, графік якої зображено на малюнку, на трьох
проміжках [-6;6], [-6;0], [0;6]. Визначимо найбільше та найменше значення,
яких набуває ця функція на кожному із заданих проміжків. З графіка функції
встановлюємо, що:
1) на проміжку [-6;6]
у = 7 найбільше значення функції ,
у = -3 найменше значення функції ;
2) на проміжку [-6;0]
у = 7 найбільше значення функції ,
у = -3 найменше значення функції ;
3) на проміжку [0;6]
мал. 12.7 у = 4 найбільше значення функції ,
у = -1,5 найменше значення функції.
152

Дослідження властивостей функції, заданої графічно
Приклад 7. На малюнку зображено графік зміни температури повітря
протягом доби. Визначте властивості функції, заданої цим графіком.
Розв’язання
мал. 12.8
Область визначення: 0
;24.
Область значень:
7;5.
Нулі функції: t =8, t = 22.
Проміжки, на яких функція набуває додатних значень: ( 8;22)
.
Проміжки, на яких функція набуває від’ємниx значень: ;8 22;24
0 .
Проміжки монотонності: функція спадає на проміжках ;2 16;24
функція зростає на проміжку 2
;16.
Найбільше значення функції на області визначення: 5.
Найменше значення функції на області визначення : -7.
0 і ;
Узагальнюйте міркуючи
463. Зростаючою чи спадною буде на заданому проміжку функція якщо:
1) більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції?
2) більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції?
3) більшому значенню функції відповідає більше значення аргументу?
4) більшому значенню функції відповідає менше значення аргументу?
153

464. Чи може найбільше значення функції на деякому проміжку не бути найбільшим
значенням функції на всій області визначення?
465. Наведіть приклади функцій із фізики. Які з них зростаючі, спадні ?
Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І ______________________________________________
Завдання 466 - 477 мають по чотири варіанти відповіді (А-Г), з яких тільки
один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді.
466. Знайдіть область значень функції, графік якої зображено на малюнку.
А Б В Г
[−3; 1] [−2; 3] [1; 4] [−3; 4]
467. Знайдіть область визначення функції, графік якої зображено на
малюнку.
А Б В Г
[−3; 2] [−2; 2] [−3; 3] [−2; 3]
468. Яке з чисел є нулем функції у = 3х 2 – 2х – 1?
А Б В Г
2 -1
1
1
3
3
469. Знайдіть нулі функції у = 7х 2 - 9х.
А Б В Г
2
7
7
2
0; 1
0; 0; 0; 1
7
9
9 7
154

470. Знайдіть нулі функції
2
x x
y . x 1
А Б В Г
0; 1 −1 0 1
471. Знайдіть нулі функції, графік якої зображено на малюнку.
А Б В Г
{−8; −5; −2; 2; 7} {−8; −3; 0; 5; 8} {0} {−3; 0; 5; 8}
472. На малюнку зображено графік функції у = х 2 + 2х.
Знайдіть розв’язок нерівності х 2 + 2х ≤ 0.
А Б В Г
(−2; 0) [−2; 0] [−1; 0] (−∞; −2]U[0;
+∞)
473. На малюнку зображено графік функції у = х 2 + 4х + 3. Укажіть найменше
значення функції на області її визначення.
А Б В Г
−1 −2 −3 0
474. Вкажіть проміжок спадання функції, графік якої зображено на малюнку.
А Б В Г
(−3; 7) [0; 6] [−3; −1] [−3; 7]
475. Серед наведених графіків оберіть графік монотонно спадної функції.
155

А Б В Г
476. Вкажіть проміжок зростання функції, графік якої зображено на
малюнку.
А Б В Г
(−1; 3] (−2; 1) [−3; 2] [−2; 1]
477. У якої з наведених функцій область визначення збігається з областю
значень ?
А Б В Г
у = х 2
y x
у= x у=2x 0
Рівень (Level) II ___________________________________________________
478. Знайдіть область визначення функції (Find domain of the function):
2
4x
2
1
1) f ( x)
2x
x ; 4) h ( x)
2 ; 7) h x 3 x x ;
x 3x
2
2
x 3x
1
x 2
2) f ( x)
; 5) f ( x)
x 5 7 x ; 8) f ( x)
;
4
x 2 9
3) 2
2
x 3
g ( x)
x 5 ; 6) g x 2 x 2x
4 ; 9) g( x)
2x 0
.
3x
2
479. Знайдіть область визначення функції (Find domain of the function):
4
2
x 2
1
1
x
4
1) y x ; 3) у
2 ; 5) у ; 7) у
3 x 5
2
1
x
x 3 ;
x
2
2) y x 3
; 4) у 3
2
x x 3
; 6) 2 ( 2 ) 3 x
у x x ; 8) у . x 3
156

480. Знайдіть нулі функції, графік якої зображено на
малюнку.
481. Знайдіть нулі функції:
1) y x 1 x 1
; 3) y 4 3x; 5)
x 1
y
x 1
2
x 4
y
x 2
x 1
x 1
;
x 5
y
x 25
; 7) y
2
3
2
2) y x 1; 4) y x 9; 6)
; 8) 2
482. Знайдіть нулі функції:
1) y 5x
7 ;
2
3) y x 5x
24 ; 5) y ( 4 x)(3x
5)
x ;
2) y 3x
2 10x
; 4)
2
x 9
у
2 ; 6)
x 2x
3
2
25 x
у .
x 5
483. Знайдіть точки перетину графіка функції y f (x)
з осями координат:
1) y 9 4x; 4) y x
3 2x
2 3x
; 7) y x x 2 ;
2
2) y( x 2) ; 5)
3)
2
x 6x
y x
2 ; 6)
36
2
x 5x
4
y
2
; 8)
2x
3x
1
2
x 3x
10
y
2 ; 9)
x 25
4 2
3x
x 2
y
;
5x
4
2
7 2 x x
y
2 .
x 3
484. Запишіть найбільше і найменше значення функції на заданому проміжку
(Find the maximum and the minimum of the function):
.
485. Знайдіть найменше, або найбільше значення функції на області
визначення (Find the minimum or the minimum of the function):
1) у = (х+3) 2 ; 4) у = 4 х 2; 7) у = х 2 + 4х + 4; 10) у = х 4 ;
2)
y
2
4 x ; 5 ) у = 4
х ; 8 ) у =- х2 + 6х -8; 11) у =
2
16 х ;
3) у = (х-3) 2 -2; 6) у = 3
х 1; 9) у = х 2 -10х +21; 12) у = х 2 25 .
486. Серед наведених графіків оберіть графіки монотонно спадних функцій.
157

1) 2) 3) 4)
487. Запишіть проміжки зростання і спадання функцій, графіки яких
зображено на малюнках:
1) 2) 3)
488. Відомо, що функція y = f(x) є монотонно спадною. Порівняйте:
1 1
1) f (3) і f (-3); 2) f (-2) і f (-3,5); 3) f і f .
2 3
489. Відомо, що функція y = g(x) є монотонно зростаючою. Порівняйте:
2 2 8
1) g(1) і g(0,1); 2) g
і g ; 3) g i g
7 .
3 5 15
12
490. Відомо, що функція y = h(x) зростає на проміжку (−∞; 2], і спадає на
проміжку [2; +∞). На якому з малюнків зображено графік цієї функції?
491. Визначте, зростаючою чи спадною є монотонна функції:
1
1) у = 2х + 5; 2) y= х ; 3) у =4 – x; 4) y , якщо x 1.
?
x 1
492. На малюнках зображено графік функції у = f(x). Користуючись графіком,
знайдіть:
1) область визначення функції; 4) проміжки знакосталості;
2) область значень функції; 5) проміжки зростання і спадання функції;
3) нулі функції; 6) найбільше і найменше значення функції
на заданому проміжку.
158

Мал. 1 Мал. 2
Мал. 3. Мал. 4
493. На малюнках (а - г) зображено графік функції у = f(x). Користуючись
графіком, знайдіть:
1) область визначення функції; 4) проміжки знакосталості;
2) область значень функції; 5) проміжки зростання і спадання функції;
3) нулі функції; 6) найбільше і найменше значення функції
на заданому проміжку.
а) б)
в) г)
494. Відомо, що функція y f (x)
спадна на D ( f ) [1;15]. Розв’яжіть:
159

1) рівняння f ( 2x
1) f (11)
; 2) нерівність f ( x)
f (16 3x)
.
495. Відомо, що функція y g(x)
зростає на D ( g)
[4;20]
. Розв’яжіть:
1) рівняння g( 3x
5) g(14)
; 2) нерівність g( x)
g(30
5x)
.
Рівень (Level) ІІІ ___________________________________________
2
496. Доведіть, що: 1) функція x 2x
3
2х 1
2) функція у зростає на проміжку ;1
;
х 1
3) функція у 3 2х
спадна на проміжку ;0
.
497. Доведіть, що: 1) функція у x
2 4x
х 2
2) функція у зростає на проміжку
;1 ;
х 1
3) функція у х 2 зростає на проміжку 2 ;.
498. Розв’яжіть рівняння:
у спадна на проміжку ;1
;
зростаюча на проміжку ;2
1) 4 2
x 2x 4 2 1 x ; 3) x 3 x 3 3x 2 3 x ;
2)
4
x
2
2
x
2 3x
8; 4) 3x
3 2 2x
100x
99x
1.
499. Розв’яжіть рівняння:
;
1)
x 1
2017 x
2017
2000x
2016
17;
3) x
3
5x
10
4
4 2x
8;
2)
6x
x
2
6
9 5x
13;
x
4)
3x
6
4 2x
3x
6.
500. Розв’яжіть нерівність f ( g(
h(3x
2)))
f ( g(
h(2x
3)))
, якщо f x)
2
x
g( x)
4 3x
, h ( x)
x 3.
501. Розв’яжіть нерівність f h f ( x)
f h(2)
, якщо f ( x)
5
2x
( ,
, h ( x)
x 2.
502. а) Відомо, що функція y = f(x) монотонна. Доведіть, що рівняння f (x)=a,
де а – деяке число, має не більше одного кореня.
б) Використовуючи твердження а), розв’яжіть рівняння:
1) x
3 10 x ; 2) 2x 3 x 3
0 ; 3) 5 3 3 4
3
x x 0; 4) 2x 3x
2x
30.
503. Розв’яжіть рівняння:
3 1
1) 2x x 7 5x
15; 2) x 4 x 11
x 12 3) x x x 2 .
x
160

Світ навколо нас
504. Людині на добу потрібно 960 л кисню. Стільки кисню за добу виділяє 5 дерев. Яка
кількість дерев повинна рости у Вашому місті (селі), щоб забезпечити всіх його жителів
достатньою кількістю кисню?
Мисліть творчо, логічно, системно
505. З опівдня до опівночі Вчений Кіт спить під дубом, а з опівночі до
полудня розповідає казки. На дубі він повісив плакат: «Через
годину я буду робити те ж саме, що робив дві години тому».
Скільки годин на добу цей напис правильний?
506. Обчисліть (не використовуючи калькулятор): 2009 2011 1.
507. Після того, як Наталка з’їла половину слив з банки, рівень
компоту знизився на одну третину. На яку частину (від одержаного
рівня) знизиться рівень компоту, якщо вона з’їсть половину слив,
що залишилась?
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
508. K (4;1), D (-2;1). Add two more points to make a square. Write down the coordinates of the
corners of the square.
Орієнтовні завдання до тематичної контрольної роботи № 8
Тема. Числові функції та їх властивості
Початковий рівень
Завдання 1-4 мають по 4 варіантів відповіді, серед яких лише один правильний.
Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь
Завдання 1 4 оцінюються у 1 бал
161

1. Знайдіть область визначення функції
х 3
у ?
х 3
А Б В Г
3; 3 3;
; 3 3;
3; 3 3;
3 ;
2. Знайдіть область значень функції у = х 2 + 4?
А Б В Г
4 ;
0 ;
;
4
;
3. Знайдіть нулі функції
2
х 3х
2
у .
х 2
А Б В Г
1 1; 2 2 –2; 2
4. Який з графіків є графіком функції?
А Б В Г
Середній рівень
Завдання 5 передбачає встановлення відповідності. До кожного рядка,
позначеного цифрою, доберіть один відповідний, позначений буквою
Завдання 5 оцінюється у 1,5 бали
5 . Установіть відповідність між функцією (1 3) та її властивістю (А Г).
Функція
Властивість
2
1 y x
А зростає на всій області визначення
2 y x
Б спадає на всій області визначення
y 2
В графік симетричний відносно (0;0)
3 x
162

Г графік симетричний відносно вісі
ординат
Завдання 6-9 – завдання відкритої форми з розгорнутою відповіддю. Висновки,
зроблені у розв’язанні, повинні бути достатньо обґрунтованими.
Завдання 6 8 оцінюються у 1,5 бали
6. На малюнку зображено графік функції у = f(x). Користуючись графіком,
знайдіть:
1) область визначення функції;
2) область значень функції;
4) нулі функції;
5) проміжки знакосталості;
6) проміжки зростання і проміжки спадання функції.
Достатній рівень
7. Відомо, що функція y h(x)
спадає на D ( h)
[
4;12]
. Розв’яжіть:
1) рівняння h ( 37x)
h(
18)
; 2) нерівність h( x 2) h(10
5x)
2
у х 2 .
х 1
х х 2
8. Побудуйте графік функції 2
.
Високий рівень
Завдання 9 оцінюється у 2 бали
6
9. Знайдіть множину значень функцій: y .
x 3 9
163

§ 13. Перетворення графіків функцій
Ключові слова
Графік функції
Перетворення графіків функції
Паралельне перенесення
Симетрія
Keywords
graph of the function
transformation of functions graph
parallel moved
symmetry
Вивчати властивості функцій зручно за їх графіками. Тому важливо вміти
будувати графіки функцій. Ви вже вмієте будувати графіки деяких функцій за
точками. Цей спосіб дозволяє будувати графіки будь-яких аналітично заданих
функцій, але він досить громіздкий. Існує й інший спосіб побудови графіків
функцій. Він полягає у застосуванні до відомого графіка деякої функції певних
перетворень. Наприклад, маючи графік функції у =
х , можна одержати
графік функції у = 2 х 5 .
Побудова графіків функцій
y f ( x)
а та y f ( x)
а , де а > 0
Покажемо, спочатку, як за графіком функції у=х 2 побудувати графіки
функцій у=х 2 +2 та у=х 2 -1.
Складемо таблицю значень цих функцій для одних і тих самих значень
аргументу х.
х -3 -2 -1 0 1 2 3
у=х 2 9 4 1 0 1 4 9
у=х 2 + 2 11 6 3 2 3 6 11
у=х 2 - 1 8 3 0 -1 0 3 8
З таблиці видно, що при одних і тих самих значеннях х, значення функції у=
х 2 + 2 завжди на 2 більші за відповідні значення функції у=х2 , а функції у=
х 2 – 1 на 1 менші. Це означає, що кожна точка графіка функції у= х 2 + 2
лежить на 2 одиниці вище відповідних точок графіка функції у=х 2 , а кожна
164

точка графіка функції у= х 2 -1 – на 1 одиницю нижче відповідних точок
графіка функції у=х 2 .
Отже, графіком функції у= х 2 + 2 буде парабола, яку отримують з
параболи у= х 2 в результаті її зміщення вздовж осі Оу вгору на 2 одиниці
(мал.13.1), а графік функції у= х 2 – 1 отримують в результаті зміщення
параболи у= х 2 вздовж осі Оу на 1 одиницю вниз (мал. 13.2). Таке
перетворення графіка називають його паралельним перенесенням.
Взагалі, графік функції y = f (x) + а (або y = f (x) – а), де а > 0
отримують паралельним перенесенням графіка функції у = f(x) вздовж осі
ординат на a одиниць вгору (або вниз) .
Зверніть увагу!
При паралельному перенесенні вздовж осі ординат на а одиниць вгору або
вниз кожна точка x
р; f ( x
р
)
Р x
; f ( x ) а
1
р
р
Р графіка функції y f (x)
переходить у точку
графіка функції y f x)
а
( або в точку Р x
; f ( x ) а
графіка
2 р р
функції
y f ( x)
а .
Тобто значення абсцис усіх точок графіка функції
y f (x) залишаються незмінними, а значення ординат кожної точки
відповідно збільшуються або зменшуються на а.
Приклад 1. Побудуйте графіки функцій:
1 х
1) y 2; 2) х 2
y .
165

Розв’язання
1
y . х
1) Побудова графіка функції 2
На координатній площині будуємо гіперболу
y
1
х
(штрих-пунктиром).
1 х
Графіком функції
y 2
буде гіпербола, яку отримують з графіка функції
1
y
х в результаті його паралельного
перенесення вздовж осі Оу вгору на 2 одиниці
(мал. 13.3).
Отриманий графік має дві асимптоти:
вертикальну x =0 і горизонтальну y=2.
мал. 13.3
2) Побудова графіка функції х 2
y
.
На координатній площині будуємо графік функції
y х (штрихпунктиром).
Графіком функції
y х 3
буде вітка
параболи , яку отримують з графіка функції
y х
в результаті його паралельного
перенесення вздовж осі Оу вниз на 2
мал. 13.4 одиниці (мал. 13.4).
Побудова графіків функцій y f ( x a)
та y f ( x a)
, де а > 0
Перетворення, в результаті якого з графіка функції y f (x)
можна
отримати графіки функцій y f ( x a)
та y f ( x a)
прикладі побудови графіків функцій у = (х + 2) 2 та у = (х – 1) 2 .
166
розглянемо на
З’ясуємо, попередньо, при яких значеннях аргументу х значення
функцій у = (х + 2) 2 та у = (х – 1) 2 дорівнюють значенням функції у = х 2 .
Складемо таблицю:

у х у х1 х2 у х1 х2 у х1 х2
у = х 2 0 0 1 -1 1 4 -2 2 9 -3 3
у = (х + 2) 2 0 -2 1 -3 -1 4 -4 0 9 -5 1
у = (х – 1) 2 0 1 1 0 2 4 -1 3 9 -2 4
Аналізуючи дані таблиці помічаємо, що усі три функції набувають одних
і тих самих значень (0, 1, 4, 9), коли значення аргументу функції у = (х + 2) 2
(-2, -3, -1, -4, 0, -5, 1) завжди на 2 менші за відповідні значення аргументу
функції у=х 2 (0, -1, 1, -2, 2, -3, 3), а значення аргументу функції у = (х – 1) 2
(1, 0, 2, -1, 3, -2, 4) завжди на 1 більші.
Це означає, що кожна точка графіка функції у=(х+2)2 лежить на 2 одиниці
лівіше відповідних точок графіка функції у=х 2 , а кожна точка графіка функції
у= (х-1) 2 – на 1 одиницю правіше відповідних точок графіка функції у=х 2 .
Таким чином, графіком функції у = (х+2)2 буде парабола, яку отримують
з параболи у= х 2 в результаті її паралельного перенесення вздовж осі Ох
вліво на 2 одиниці (мал. 13.5), а графік функції у= (х – 1) 2 отримують в
результаті паралельного перенесення параболи у= х 2 вздовж осі Ох на 1
одиницю вправо (мал.13. 6 ).
мал. 13.5 мал. 13.6
Взагалі, графік функції y f ( x a)
(або y f ( x a)
), де а > 0
отримують паралельним перенесенням графіка функції у = f(x) вздовж осі
абсцис на a одиниць вліво (або вправо) .
167

Зверніть увагу!
При паралельному перенесенні вздовж осі абсцис на а одиниць вліво або
вправо, кожна точка Р x
р; f ( x
р
) графіка функції f (x)
Р x
а;
f ( x ) графіка функції y f ( x а)
або в точку x
а;
f ( x )
1 р
р
y переходить у точку
Р графіка
2 р
р
функції y f ( x а)
. Тобто значення ординат усіх точок графіка функції
y f (x) залишаються незмінними, а значення абсцис кожної точки
відповідно зменшуються або збільшуються на а.
Приклад 2. Побудуйте графіки функцій: 1) y х 2 ; 2)
Розв’язання
y 1
х 2
.
1) Побудова графіка функції y х 2
.
На координатній площині будуємо
графік функції
пунктиром).
y х (штрих -
мал. 13.7
Графіком функції
y х 2
буде вітка параболи, яку отримують з графіка
функції
y х
в результаті його
паралельного перенесення вздовж осі Ох вправо на 2 одиниці (мал. 13.7).
2) Побудова графіка функції
y 1
х 2
.
На координатній площині будуємо гіперболу
y
1
х
(штрих -пунктиром).
168

Графіком функції
1
х 2
y буде гіпербола, яку
1
отримують з графіка функції y в результаті його
х
паралельного перенесення вздовж осі абсцис на 2
одиниць вліво (мал. 13.8).
Отриманий графік має дві асимптоти: вертикальну x
=2 і горизонтальну y=0.
мал. 13.8
Зверніть увагу!
Для того, щоб із графіка функції y f (x)
отримати графік функції
y f ( x)
а
(або
y f ( x)
а
), де а > 0, можна вісь абсцис перенести на а
одиниць вниз (або вгору).
Для того, щоб із графіка функції y f (x)
отримати графік функції
y f ( x а) (або y f ( x а)
), де а > 0, можна вісь ординат перенести на а
одиниць вправо (або вліво.).
Приклад 3. Побудуйте графік функції y ( х 2)
2 1.
Розв’язання
І крок. Будуємо графік функції
2
y х .
ІІ крок. Будуємо графік функції
2
y ( х 2) . Для цього графік функції
2
y х
переносимо на 2 одиниці вправо.
ІІІ крок. Будуємо графік функції
y ( х 2)
2
1. Для цього графік функції
2
y ( х 2) переносимо на 1 одиницю
вниз (мал. 13.9). мал. 13.9
169

І крок. Будуємо графік функції
ІІ спосіб
2
y х .
ІІ крок. Будуємо графік функції
2
y х -1. Переносимо графік
на 1 одиницю вниз) .
2
y х
ІІІ крок . Будуємо графік функції у
= (х 2 - 2) – 1. Переносимо графік
2
y х на 2 одиниці вправо (мал.
13.10).
Зверніть увагу!
Міняти порядок перетворень можна.
Така зміна не призводить до зміни графіка функції.
мал. 13.10
Побудова графіка функції y f (x)
Розглянемо функції y = x 2 та y = –x 2 . Складемо таблицю значень цих
функцій для одних і тих самих значень аргументу х.
х -3 -2 -1 0 1 2 3
у=х 2 9 4 1 0 1 4 9
у=‒х 2 ‒9 ‒4 ‒1 0 ‒1 ‒4 ‒9
170

З таблиці видно, що при одних і тих самих
значеннях х, значення функції у= ‒х 2 протилежні
відповідним значенням функції у= х 2 . Тому
графіки цих функцій симетричні відносно осі Ох
(мал. 13. 11 ).
мал. 13. 11
Таким чином, графіком функції у= ‒х 2 буде парабола, яку отримують з
параболи у=х 2 в результаті її симетричного відображення відносно осі
абсцис.
Взагалі, графік функції y =‒ f (x) отримують симетричним
відображенням графіка функції у = f(x) відносно осі Ох .
Зверніть увагу!
При симетричному відображенні відносно осі абсцис кожна точка Р x
р; f ( x
р
)
y f (x переходить у точку x
; f ( x )
графіка функції )
Р графіка функції
1 р р
y f (x) . Тобто кожну точок графіка функції y f (x )
можна отримати, замінивши кожну точку графіка функції y f (x)
на точку з
тією ж абсцисою і ординатою, помноженою на -1.
Побудова графіка функції y = kf(x ), де k > 0
Проаналізуємо формули, що задають функції y = x 2 ,
y = 2x 2 та у =
1 х
2
. При одних і тих самих значеннях аргументу х, значення
4
функції y =2x 2 будуть у два рази більші за значення функції y = x 2 , а значення
171

1 х
4
2
функції у = у ‒ у 4 рази менші. Тобто, кожну точку графіка функції y =2x
2
можна отримати, замінивши кожну точку графіка функції y = x2 на точку з
тією ж абсцисою і ординатою, помноженою на 2 ( мал. 13. 12),
а кожну точку графіка функції у =
1 х
2
‒ замінивши кожну точку графіка
функції y = x
2
на точку з тією ж абсцисою і ординатою, помноженою на 4
1
13. 13).
4
( мал.
мал. 13.12 мал. 13.13
Взагалі, графік функції y = kf (x), де k > 0, можна отримати, замінивши кожну
точку графіка функції y = f (x) на точку з тією ж самою абсцисою, а ординатою,
помноженою на k.
Перетворення, при якому із графіка функції y f (x)
отримують графік
функції y kf (x)
називають розтягненням графіка функції y f (x)
від осі
1
абсцис у k разів , якщо k 1, або стисненням графіка до осі абсцис у k
разів, якщо 0 k 1 .
Приклад 4 . Побудуйте графіки функцій:
1
1) y х ; 2)
3
3
y
х
172

Мал. 13.14
Розв’язання
1
1) Побудова графіка функції y х
3
I крок. На координатній площині будуємо графік
функції
y х (пунктиром).
ІІ крок. Вибираємо на побудованому графіку декілька точок і будуємо до
кожної з них відповідну точку з тією самою абсцисою, і зменшеною у 3 рази
ординатою.
ІІІ крок. З’єднуємо побудовані точки плавною лінією (мал. 13.14).
Мал. 13.15
2) Побудова графіка функції
3
y
х
.
І крок. На координатній площині будуємо гіперболу
1
y (пунктиром).
х
осі Оу.
ІІ крок. Вибираємо на побудованому графіку
декілька точок і будуємо до кожної з них відповідну точку з тією самою
абсцисою, і збільшеною у 3 рази ординатою.
ІІІ крок. З’єднуємо побудовані точки плавною лінією (мал. 13.15).
Приклад 5. Побудуйте графіки функцій:
1) y x 2 1; 2)
Розв’язання
y 4
x 2
; 3) y 2(
x 1)
2 1 .
1. Виконаємо побудову графіка функції y x 2 1
по крокам:
1) Будуємо графік функції y x.
2) Будуємо графік функції y x 2.
Для цього паралельно переносимо
графік функції
y x вздовж осі Ох на 2 одиниці ліворуч (мал. 13.16).
173

3) Будуємо графік функції y x 2 1.
Для цього паралельно переносимо
графік функції y x 2 вздовж осі Оу на 1 одиниці вниз (мал. 13.17).
мал. 13.16 мал. 13.17
Дозволяється переставляти другий та третій кроки.
2. Виконаємо побудову графіка функції y 4
x 2
по крокам.
1
1) Будуємо графік функції y .
x
4
2) Будуємо графік функції y . Для цього виконуємо розтягнення графіка
x
функції
1
y у 4 рази від осі абсцис (мал. 13.18).
x
3) Будуємо графік функції
графік функції
4
y x 2 .
Для цього паралельно переносимо
4
y вздовж осі Ох на 2 одиниці праворуч (мал. 13.19).
x
Мал. 13.18 мал. 13.19
Зміна порядку перетворень не призводить до зміни графіку.
174

3. Побудову графіка функції y 2(
x 1)
2 1
подамо у вигляді схеми:
у
x
2
розтягнення у 2 рази
від
осі абсцис
у 2х
2
y 2x
2
симетричне відображен ня відносно
осі абсцис
y 2x
2
y 2x
паралельне перенесення в праворуч
2 на 1 одиницю
y 2(
x 1)
2
y 2
паралельне перенесення
2 на 1 одиницю вгору
2
x
1
y 2x
1 1.
Зміна порядку перетворень не призводить до зміни графіку.
Спробуйте перевірити це самостійно.
Дізнайтеся більше!
Розглянемо як побудувати графік функцї y f (x)
, якщо відомий
функції y = f (x).
За означенням модуля:
f ( x),
f ( x)
f ( x),
якщо
f ( x)
0;
якщо f ( x)
0.
графік
175

Значення функцій y f (x)
та y = f (x) будуть співпадати, коли f ( x)
0 і
будуть протилежними числами, коли f ( x)
0. Тому, для побудови графіка
функції y f (x)
треба:
1) побудувати графік функції y = f (x);
2) частини графіка функції у = f(x), які лежать нижче від осі Ox,
симетрично відобразити відносно осі Ох.
Зауважимо, що враховуючи властивості модуля графік y f (x)
буде
завжди розташований у І та ІІ координатних чвертях.
Приклад 7. Побудуйте графік функції y х 2 4 .
мал. 13.25 мал. 13.26
Узагальнюйте міркуючи
509. Задайте формулою функцію, графік якої одержали внаслідок паралельного
перенесення параболи у = х 2 вздовж осі Oy:
1) на 2 одиниці вгору; 2) на 1,5 одиниці вниз; 3) спочатку на 3 одиниці вгору, а потім
на 5 одиниць вниз.
510. Задайте формулами наступні перетворення графіка функції y = f (x).
1) симетрія відносно осі Ох, а потім паралельне перенесення вздовж осі Ох на 5
одиниць вліво;
2) розтягнення у 4 рази вздовж осі Оу і паралельне перенесення вздовж осі Оу на 2
одиниці вниз.
511. При якому значенні b графік функції у = х 2 + b проходить через точку: 1) В (0;-7);
2) С (0; 1,8); 3) D (0;10); 4) E(0;0).
512. Графік функції у = √x + m проходить через точку Р (5; 5). Чому дорівнює т?
176

513. Визначте порядок виконання перетворень графіка функції виду y kfx
a
b
(розгляньте декілька можливиx випадків).
Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І ______________________________________________
Завдання 514 – 522 мають по чотири варіанти відповіді (А – Г), з яких тільки
один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді
514. Графік якої функції зображено на малюнку?
А Б В Г
у = (х+1) 2 2
y ( x 1) у = х 2 + 1 у = х 2 −1
515. Графік якої з наведених функцій зображено на малюнку?
А Б В Г Д
y x 4 y x 4 y x 4 y x 4 y 4 x
516. Графік якої з наведених функцій зображено на малюнку?
А Б В Г Д
1
y 1 x
1
1 1
y y 1 y 1
x 1
x
x
y
1
1
x
177

517. Укажіть графік функції y x
1 2 3.
518. Графік функції f x
точку проходить графік функції
y проходить через точку М (1;1). Через яку
y 3 f
x
?
А Б В Г
1
1
К (1; ) К ( ; 1)
3
3
К (-3; 1) К (1; -3)
519. Графік функції f x
значенні числа а графік функції y f x
a
y проходить через точку М (2;-1). При якому
обов’язково проxодить через
точку К( 5;-1)?
А Б В Г
2,5 3 -5 -3
520. Графік функції
2
y x відобразили симетрично відносно осі абсцис, а
потім паралельно перенесли на 3 одиниці вгору. Графік якої функції
отримали?
А Б В Г
y x 2 3 y x
3 2
y x
3 2
y x
2 3
178

521. Знайдіть область визначення функції y f x
2 3
визначення функції
y f x
є відрізок 4;6
.
А Б В Г
2;8
1;9
6;4
7;3
, якщо область
522. Знайдіть область значень функції y f x
2 3
функції
y f x
є відрізок 4;6
.
А Б В Г
, якщо область значень
2;8
1;9
6;4
7;3
Завдання 523 на встановлення відповідності
523. Встановіть відповідність між геометричними перетвореннями графіка
функції
перетворень (А-Д):
y х (1-4) та функціями, одержаними в результаті таких
1) графік функції y х
стиснули у 3 рази до
А) y 3 х
осі Оx;
2) графік функції y х
осі Оx;
розтягнули у 3 рази від
3) графік функції y х
В)
зсунули праворуч на 3
y х 3
одиниці ;
4) графік функції y х
Б)
y
1
3
догори на 3 одиниці . Г) y х 3
х
Д) y х 3
Рівень (Level) II _________________________________________________
524 . Побудуйте графік функції (Plot the graph of the function):
1) y x 2 2
; 3)
2
y 2x ; 5) x
2 4
179
1
y ;
2
y ; 7) x
1 2

2) y x
2 4 ; 4) y 0,5x
1 2
; 6) y 0,5x
2 2 ; 8) y 0,5(2 x)
2 2
.
525. Побудуйте графік функції (Plot the graph of the function):
1) y x
1 2
;
2
3) y 1
x ; 5) y 2x
2 1; 7) y x
1 2 2 ;
2) y x
2 4 ; 4) y 0,5x
1 2
; 6) y 2x
2 2; 8) y 2(
x 1)
2 1.
526. Plot the graph of the function:
1) y x 2;
3) x 2 1;
5) y 3 x 1 ;
2) y x 2 1;
4) y 2 x 2;
6) y 0,5
2 x 1
.
527. Побудуйте графік функції (Plot the graph of the function):
):
1) y 1 x;
3) y x 1 2;
5) y x 1 2;
2) y x 2 1;
4) y x 2 1 ; 6) y 0,5
1 x 1.
528. Побудуйте графік функції (Plot the graph of the function):
1) y 1
x 2
; 2) 4
y ; 3) 1
x 3
y 4
x 2
.
529. Побудуйте графік функції (Plot the graph of the function):
1) y 2
x 2
; 2) y 3
x 1
; 3) 2
y 2
3
. x
530. Розв’яжіть графічно систему рівнянь (Solve the system of equations:
graphically):
2
2
x 8,
, y
x 3, y
x 1
1,
1)
3)
y
x 2; 2)
2
y
2 ;
y
x 3; 4) 4
y
.
x
x 1
531. Розв’яжіть графічно систему рівнянь (Solve the system of equations:
y y
x
1
graphically):
2
x 8,
1)
y
x
6;
y y
x
2
2)
y
3
x
6
;
2
,
y
x 4,
3)
y
x
2;
532. Знайдіть область визначення функції y f x 31
визначення функції
y f x
є відрізок 8;4
.
533. Знайдіть область значень функції y 2 f x
21
функції
y f x
є відрізок 4;6
.
y
x 1
1,
4) 4
y
.
x 1
, якщо область
, якщо область значень
180

534. Знайдіть область визначення функції y f x 21
визначення функції
y f x
є відрізок 2;8
.
535. Знайдіть область значень функції y 0,5
f x 21
функції
y f x
є відрізок 8;12
.
536. За малюнком знайдіть значення числа а.
, якщо область
, якщо область значень
1) 2)
537. За малюком знайдіть значення числа k.
1) 2)
538 . На малюнку зображено графік функції y f (x).
Побудуйте графік функції:
1) y f ( x 2)
; 5) y f ( x 1)
;
2) y f ( x)
1; 6) y f ( x)
2 ;
3) y 0,5
f ( x)
; 7) y 2 f ( x)
;
4) y f ( x 2) 1;
8) y 2 f ( x 2) 1.
181

539. На малюнку зображено графік функції y f (x).
Побудуйте графік функції
1) y f ( x 1)
; 5) y f ( x
1)
;
2) y f ( x)
1; 6) y f ( x)
2;
3) y 0,5
f ( x)
; 7) y 2 f ( x)
;
4) y f ( x 1)
1;
8) y 2 f ( x 1)
2.
Рівень (Level) ІІІ _______________________________________________
540. Графік функції f x
y проходить через точку М (6;-8). При якому
значенні числа а та числа k графік функції y kf x
a
4
проxодить через точку К( 12;-16)?
541. Графік функції f x
обов’язково
y проходить через точку М (-8;-12). При якому
значенні числа а та числа k графік функції y kf x
a
2
проxодить через точку К( 4;-8)?
542. Побудуйте графік функції (Plot the graph of the function):
2x
3x 1
2 x
1) y ; 3) y ; 5) y
x 3
x
2 ;
1
x x 6
4x
1
4 x
х 2
2) y ; 4) y ; 6) у .
3 x
x 1
2
х 5х
6
543. Побудуйте графік функції (Plot the graph of the function):
2
х 7x
6
1) у
2
; 2)
х 8х
12
Світ навколо нас
2
2х
7 х 1
у .
2
х 3х
4 х 4
обов’язково
544. Кожна тонна розлитої у воді нафти вкриває тонкою плівкою приблизно 12 км 2 водної
поверхні й забруднює близько 1000 000 тонн води. Яка територія і яка маса води
забрудниться, якщо:
1) під час промивання танкера гарячою водою у море злили 1,5 тонни нафти;
2) під час аварії танкера тоннажністю 25 000 тонн, якщо у воду потрапив 1% нафти?
182

Мисліть творчо, логічно, системно
545. Музичний театр оголосив конкурс для роботи в оркестрі. Спочатку передбачалось, що
кількість місць для скрипалів, віолончелістів та трубачів розподілиться в відношенні
1,6:1:0,4. Але в результаті скрипалів було прийнято на 25% більше, а віолончелістів на 20%
менше, ніж передбачалося. Скільки скрипалів, скільки віолончелістів і скільки трубачів
було прийнято на роботу, якщо всього було прийнято 32 людини?
547. На годиннику 10 година. Через скільки хвилин після
цього моменту стрілки вперше утворять розгорнутий кут?
546. Складіть задачу моделлю до якої буде граф,
зображений на малюнку і розв’яжіть її.
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
548. If today is Tuesday, what day of the week will it be 100 days from today?
183

§ 14. Квадратична функція, її графік і властивості
Ключові слова
квадратична функція
парабола
вершина параболи
Keywords
quadratic function
parabola
vertex of the parabola
Означення. Функція , яку можна задати формулою виду у = ax 2 + bx + c,
де а 0, називається квадратичною.
Наприклад квадратичними є функції
у
2
2
2
2
3х
2х
1;
у х 2х;
у 2х
; y 4 x .
Квадратична функція описує багато процесів. Наприклад, залежність
пройденої відстані від часу при прямолінійному рівноприскореному русі
2
at
задається квадратичною функцією: S v0t
.
2
Графіком квадратичної функції є парабола.
Форму параболи приймає:
струмінь води, направлений вгору під кутом (мал. 14.1);
веселка, що з’являється у небі після дощу (мал. 14.2);
арки в архітектурі та будівництві (мал 14.3).
мал. 14.1 мал. 14.2 мал. 14.3
Пригадайте!
Графіком квадратичної функції y = x 2 є парабола
(мал. 14.4)
184

мал. 14.4
Побудувати графік функції y = ах 2 + bх + с можна на основі властивостей
цієї функції або за допомогою геометричних перетворень.
Побудова графіків за допомогою геометричних перетворень
y = ах 2 + bх + с
1. Виділимо повний квадрат:
2 2
ах 2 с
+ bх + с = а х
x b 2
a а
= а 2 b b b с
x 2 х
2 2
2a
4a
4a
а
=
b
x
2a
2
2
b 4ac
.
2
4a
2
b b 4ac
Позначимо - хв;
у
2 в
2a
4a
.
Тоді формулу у = ax 2 2
+ bx +с можна подати так : y аx
.
x в
y в
2. Застосуємо геометричне перетворення у загальному вигляді для графіка
квадратичної функції у = х 2 .
Сxема побудови даного графіка:
1) у = х 2 ,
2) у = ах 2 ,
3) y аx
2
x в
2
4) y аx
x в
yв
.
Приклад 1. Побудуйте графік функції у = х 2 + 4х +5.
Розв’язання
х 2 + 4х +5 = (х 2 + 4х + 4) + 1= (x + 2) 2 +1
y = (x + 2) 2 +1
Використаємо геометричні перетворення для побудови графіка (мал. 14.5):
1. y = x 2 ;
185

2. y = (x + 2) 2 ;
3. у = (x + 2) 2 + 1.
мал. 14.5
Побудова графіка квадратичної функції на основі властивостей
y = ах 2 + bх + с
1. Визначимо напрям віток.
Якщо а > 0, то вітки параболи напрямлені вгору,
якщо а < 0, то вниз.
2. Знайдемо нулі функції, що вкажуть координати перетину графіка з віссю
абсцис. Для цього необхідно розв’язати рівняння ax 2 + bx +с=0.
b D b D
Якщо D 0 , маємо дві точки перетину з Оx: ;0 ;
;0 .
2 2
a a
b
Якщо D 0, маємо точку дотику з Оx: ;0 2a
Якщо D 0 , графік не перетинає вісь Оx.
3. Знайдемо нулі аргументу, що вкажуть на координати перетину з віссю
ординат , а саме 0 ;c.
.
186

4. Знайдемо координати вершини параболи (х в ; у в ), що обчислюється за
формулою: абсциса вершини
b
x в
або
2a
x в
x 1
x 2
2
ордината вершини
b
2 4ac
y в
або y ( )
4a
в
f x в
1 y x 2 x 1
Приклад 2. Побудуйте графік функції
.
3
1. Визначаємо напрямок віток параболи:
1 y x 2 x 1, а =
3
1
< 0, то вітки параболи напрямлені вниз.
3
2. Розв’язуємо рівняння 1 x 2 x 1 2
0 , x 3x 3 0, 9 12 3
0
3
Отже графік не перетинає вісь Оx.
D .
3. Знаxодимо нулі аргументу, які вкажуть на координати точки перетину з віссю
ординат, а саме 0;
1
.
4. Знаходимо координати вершини параболи (х в ; у в ):
x
в
b
a
2
1,5; y
в
1
.
4
5. При побудові графіка враховуємо, що графік
квадратичної функції симетричний відносно прямої
x 1,5 (мал. 14.6). мал. 14.6
в
Властивості квадратичної функції у = ax 2 + bx + c, а 0
а > 0 а < 0
1. D(y) = R
1. D(y) = R
2. Е(у) = [у в ; +∞)
2. Е(у) = (−∞; у в ]
(у в — ордината вершини параболи)
3. а) Функція зростає на проміжку 3. а) Функція зростає на проміжку
[х в ; +∞)
(−∞;х в ]
б) Функція спадає на проміжку б) Функція спадає на проміжку
187

х (−∞; х в ]
[х в ; +∞)
(х в — абсциса вершини параболи)
4. а) Якщо D > 0, то
4. а) Якщо D > 0, то
у > 0 на проміжкаx (−∞; х l ) , у > 0 на проміжку (х 1 ; х 2 ),
(x 2 ;+∞),
у < на проміжкаx (−∞; x 1 ) , (x 2 ; +∞)
у < 0 на проміжку (x 1 ; x 2 )
б) Якщо D = 0, то у > 0
при х х 1 х 2
(х 1 , х 2 – нулі функції)
б) Якщо D = 0, то у < 0
при х х 1 х 2
в) Якщо D < 0, то у > 0 НА ВСІЙ
ЧИСЛОВІЙ ПРЯМІЙ
в) Якщо D < 0, то у < 0 НА ВСІЙ
ЧИСЛОВІЙ ПРЯМІЙ
Зверніть увагу!
Графік квадратичної функції симетричний відносно прямої x=x в , тобто
пряма x=x в є його віссю симетрії.
2
Приклад 3. Побудуйте графік функції y x 2x
3 . Дослідіть властивості цієї
функції за схемою:
188

1) область визначення; 2) точки перетину графіка функції з осями координат; 3)
проміжки знакосталості функції; 4) проміжки зростання і спадання функції; 5)
найбільше і найменше значення функції; 6) область значень функції.
Розв’язання
Побудову графіка виконаємо за алгоритмом.
1. Визначаємо напрямок віток параболи:
2
y x 2x
3 , a = 1, b = -2, c = -3.
a = 1> 0, отже вітки параболи напрямлені вгору.
2. Знаxодимо нулі функції, що вказують координати точок перетину графіка з
віссю абсцис.
2
Розв’яжемо рівняння x x 3 0 , x 1,
x 3.
Отже, маємо дві точки
перетину з Оx, а саме:
1;0 ;
3;0
.
2
1 2
3. Знаxодимо нулі аргументу, що вкажуть на координати точки перетину з віссю
ординат , а саме 0;
3.
4. Знаходимо координати вершини параболи (х в ; у в ).
b
x в
2a
b
2 4ac
y в
4a
x
в
1;
y 4.
в
5. При побудові графіка враховуємо, що графік
квадратичної функції симетричний відносно прямої
x x в
1. (мал. 14.7)
2
Дослідження функції y x 2x
3 .
1. D y
R ;
2. Координати точок перетину з осями: 0; 3 , 3;0 , 1;0 .
3. у > 0 на проміжкаx (−∞; -1) , (3;+∞),
мал. 14.7
у < 0 на проміжку (-1; 3)
4. Функція зростає на проміжку 1; ,
функція спадає на проміжку ;
5. Найменше значення функції: -4.
Найбільшого значення не існує.
;1
189

6. E y 4;
.
1 y 2 .
2
Приклад 4. Побудуйте графік функції x 2 x 2
1. Визначаємо напрямок віток:
1 y x 2 2 x 2
2
; a =
2
1 > 0. Отже вітки параболи напрямлені вгору.
2. Знаxодимо нулі функції, які вкажуть координати перетину графіка з віссю
абсцис. Розв’яжемо рівняння 2 x 2 0,
1 x 2
2
x 4 x 4 0 ; D 0 x 2 .
2
Графік дотикається Оx в точці (2;0)
3. Знаxодимо нулі аргументу, які вкажуть на координати точки перетину з
віссю ординат , а саме 0
;2
4. Знаходимо координати вершини параболи (х в ; у в )
x
1
x2
x в
2; ув
0.
5. При побудові графіка враховуємо, що графік
квадратичної функції симетричний відносно прямої
x 2 (мал. 14.8).
x в
мал. 14.8
2
Приклад 5. Дана квадратична функція y ax bx c . Відомо, що y 5 y3
y8. Знайдіть х.
y x
Розв’язання
,
Використаємо властивість симетрії графіка квадратичної функції, а саме: якщо
y
Відповідь: – 10.
5 3
2
x 8
2
5 y3
і yx y8, то x в
; 2 х 8; x 10.
Узагальнюйте міркуючи
549. Які функції називаються квадратичними ? Що є графіком квадратичної функції ?
550. За допомогою якої формули можна знайти координати вершини параболи.
551. Куди напрямлені вітки параболи, що є графіком функції у = ах 2 + bх + с, якщо функція
набуває:
190

1) найбільшого значення, яке дорівнює 3;
2) найменшого значення 3?
Чи є в цієї функції проміжки, на яких вона додатна? від'ємна?
Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І ______________________________________________
Завдання 552-563 мають по чотири варіанти відповіді (А-Г), з яких тільки один
є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді
552. Графіком якої із функцій є парабола?
А Б В Г
6
y
у=6х
x
y x 2
x
y 6
6
553. Графіком якої з функцій є парабола, вітки якої напрямлені вниз?
А Б В Г
у = 2х 2 − 3х y 2x
3 у = −2х 2 + 3х у = х 2 − 2х − 3
554.Знайдіть абсцису вершини параболи, яка є графіком функції у = х 2 −4х−5.
А Б В Г
−4 4 2 −2
555.Знайдіть координати вершини параболи у = х 2 − 2х − 3.
А Б В Г
(−4; 1) (−1; 0) (0; −1) (1; −4)
556.Укажіть формулу, що задає функцію, графік якої зображено на малюнку.
А Б В Г
у = −(х − 1)(х + 3) у = (х − 1)(х + 3) у = (х + 1)(х − 3) у = −(х + 1)(х − 3)
557. На якому з малюнків зображено графік функції у = (х + 3) 2 ?
А Б В Г
191

558. Вершина якої з парабол належить осі абсцис?
А Б В Г
у = х 2 + 1
2
y ( x 1) у = х 2 – 1 у = (х − 1) 2 + 1
559.Вершина якої з парабол належить осі ординат?
А Б В Г
у = (х − 2) 2 y x 2 2 у = (х + 2) 2 у = (х − 2) 2 + 1
560. При якому значенні х функція у = 2х 2 + 12х − 5 набуває найменшого
значення?
А Б В Г
−3 −5 3 5
561.На малюнку зображено графік функції у = - х 2 + 6х – 5. Знайдіть множину
розв’язків нерівності –х 2 + 6х – 5 ≥0.
А Б В Г
(1;5 ) (−∞; 1) (5; +∞) [1; 5] (−∞; 1] [5;+∞)
562. На малюнку зображено графік функції у = х 2 − 6х + 8. Укажіть проміжок
спадання функції.
А Б В Г
[2; 4] [3; +∞) (−∞; 4] (−∞; 3]
563. За графіком квадратного тричлена ах 2 + bх + с визначте знаки а, b, с і D, де
D- дискримінант квадратного тричлена.
192

А Б В Г
a0, a0,
с>0 і D0 і D>0
a0,
с0
a0
Рівень (Level) II ___________________________________________________
564. Опишіть, які перетворення виконані над графіком функції у = х 2 , щоб
отримати графік:
1) y = -х 2 +1; 2) у = 2х 2 ; 3) y = 2(x – 1) 2 + 1; 4) у = - (х + 1) 2 – 2.
565. Який із наведених графіків відповідає рівнянню у = х 2 – 2х? Відповідь
обґрунтуйте.
566. Укажіть координати вершини та напрям віток параболи (Provide the
coordinates of ne node and the direction of the parabola axes):
1) у = х 2 – 1; 3) у =- (х + 2) 2 ; 5) у = -х 2 – 4x+3; 7) у = -2х 2 +6x;
2) у = -2х 2 + 5; 4) у = -3(х + 1) 2 – 4; 6) у = 2х 2 + 5x-2; 8) у =х 2 – 4x .
567. Укажіть координати вершини та напрям віток параболи (Provide the
coordinates of ne node and the direction of the parabola axes):
1) у = х 2 +4; 3) у =- x 2 -2x; 5) у = -3х 2 +6x+1; 7) у = -х 2 – 4x+3;
2) у = -6х 2 -12; 4) у = -(х + 1) 2 ; 6) у = 2х 2 -8x-5; 8) у =-х 2 +x .
193

568. Визначте координати точки перетину з віссю ординат параболи (Identify the
coordinates of the intersection with the ordinate axis of a parabola):
1) у = 3х 2 –7х + 2; 2) у = -х 2 + 3; 3) у = 2х – 3х 2 ; 4) у = -х 2 – 4x+3.
569. Визначте координати точки перетину з віссю ординат параболи (Identify the
coordinates of the intersection with the ordinate axis of a parabola):
1) у = -3х 2 –х + 2; 2) у = -х 2 - 3; 3) у = 3х – 2х 2 ; 4) у = 4х 2 – 3x+3.
570. Побудуйте графік функції (Plot the graph of the function):
1) y x
2 2x
; 3) y x( 2x
3)
; 5) 2 2 2
y x 5x
2 ; 7) y x
2x
4 ;
2) y
y ; 6) 1 y x 2 2 x 3; 8) y 2x
2 3x
2 .
3
2
1
x ; 4) 2x
1 x 3
571. Побудуйте графік функції (Plot the graph of the function):
1) y x
2 3; 3) y 2x
2 2
3x
; 5) y ( x 1)(
x 3)
; 6) y x 4x
4 ;
2) y
2
4 x ; 4) 2 xx
3
2
2
y ; 6) y x
6x
9
; 7) y x 2x
2 .
572. Дослідіть функцію
y
2
9 х за схемою:
1) область визначення;
2) точки перетину графіка функції з осями координат;
3) проміжки знакосталості функції;
4) проміжки зростання і спадання функції;
5) найбільше і найменше значення функції;
6) область значень функції.
573. На параболі
y x x
2
2 5 6 знайдіть точки, у яких абсциса і ордината рівні.
574. На параболі
y x x
2
4 4 1 знайдіть точки, у яких різниця абсциси і
ординати дорівнює 1.
2
575. Дано квадратичну функція f x ax bx c . Відомо, що f 4 f 20
f
5 f x
. Знайдіть х.
,
2
576. Дано квадратичну функцію g x ax bx c . Відомо, що g 5 g17
g 13
g x
. Знайдіть х.
,
194

577. Знайдіть область значень функції y 2x
2 x 3 , якщо вона визначена на
проміжку: 1) [ 3; 2]
; 2) ( 1;3 ]; 3) 0;4)
2;5 .
( ; 4)
Рівень (Level) IIІ ___________________________________________________
578. Графік квадратичної функції
2
y ax bx
3 парабола з вершиною у точці
А(2; -1). Знайдіть значення параметрів а та b.
579. Графік квадратичної функції
2
y 2x bx c
парабола з вершиною у точці
А(-1; 5). Знайдіть значення параметрів b і с.
580. Графік квадратичної функції
2
y ax bx c парабола з вершиною у точці
А, яка проходить через точку В. Знайдіть значення параметрів а, b і с, якщо: 1)
А(3; 4), В(1;0); 2) А(1; 9), В(1;5); 3) А(1; 0), В(2;3).
581. При якому значенні параметра а пряма х 2 є віссю симетрії параболи
2
y ax a x
(2 1) 3?
582. Знайдіть точку перетину параболи 2
якщо віссю симетрії параболи є пряма х3.
y a 3 x 2ax a 1 з віссю ординат,
583. При яких значеннях параметра а найменше значення функції
y 2x
2 ax a 2 дорівнює 0?
584. При яких значеннях параметра а найбільше значення функції
2
y ( a 2) x ( a 4) x 1
дорівнює 3,25?
2
585. Знайдіть значення параметра а, при якому парабола y ( a 4) x 2a
2
дотикається осі абсцис. Знайдіть на цій параболі точки, які мають рівні
координати.
2
586. Ордината вершини параболи y 2x
bx c дорівнює 1,125, а точка
перетину з віссю ординат – А(0;1). Знайдіть точки перетину параболи з прямою
y 2x
2 .
195

2
587. Точка А(1;8) є вершиною параболи y ax bx 6 . Знайдіть точки
перетину параболи з осями координат і проміжки монотонності функції.
2
588. Графік функції y ax bx c проходить через точку М(2; 8) і має вершину
1 1
у точці Р ; 2
. Знайдіть проміжки знакосталості функції і проміжки
6 12
монотонності.
Світ навколо нас
589. Вам необхідно оплатити банківським переказом суму 3640 грн. Комісія банку, що
знаходиться біля вашого будинку 1% від суми, а комісія банку, яка знаходиться за 10 км від
вашого будинку 0,1%. Затрати на бензин 8л на 100 км. Ціна на бензин 22 грн/л. Підрахуйте,
що є економічно вигідніше?
Мисліть творчо, логічно, системно
590. Придумайте умову до задачі, для розв’язання якої доведеться добувати квадратній корінь
з числа.
591. Розмістіть цифри 1, 2, 3, 4 в клітинках 6-клітинкової пірамідки( в основі якої є три
клітинки, над ними є дві клітинки (але ліва клітинка містить цифру 5, а зверху є тільки одна
клітинка(містить цифру 8) так, щоб кожна цифра, яка розміщена зверху на двох клітинках,
дорівнювала б сумі цифр, що записані в цих клітинках.
592. Борис має мішечки з цукерками їх п'ять. Всі вони мають різну масу від 1 до 5 кілограмів.
Мішечки позначили великими латинськими буквами і зважили. Виявилось, що А та В разом
заважили більше, ніж С, Д та Е; а при другому зважуванні: В та С разом заважили стільки ж,
як Е. Знайдіть масу кожного мішечка.
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
593. Write your mass in pouds using the graph .
196

§ 15. Квадратна нерівність
Ключові слова
квадратна нерівність
метод інтервалів
Keywords
quadratic inequality
interval method
2
Нерівність виду ax bx c 0 , де а – довільне дійсне число, крім 0, b R ,
c R , х – змінна називається квадратною, де “ ” один із знаків “, , ”.
Графічний спосіб розв’язування квадратної нерівності
Зображаємо схематично графік квадратичної функції у ax
2
bx c для
цього:
I крок. Визначаємо напрямок віток (на це вказує коефіцієнт а).
2
II крок. Розв’язуємо рівняння ax bx c 0 та з’ясовуємо як
розташований графік відносно вісі Ох, (на це вказує значення дискримінанту).
III крок. Використовуючи схематичний графік, визначаємо інтервали
знакосталості функції та вибираємо проміжки, що задовольняють умову
квадратної нерівності.
Узагальнимо випадки розв’язків квадратних нерівностей і представимо їx у
таблиці.
№ Графік, а 0
нерівність розв’язок
1
2
D < 0 а) ax bx c 0 Немає розв’язків
2
б) ax bx c 0 Немає розв’язків
2
в) ax bx c 0 ;
2
г) ax bx c 0
;
2
2
а) ax bx c 0 Немає розв’язків
2
б) ax bx c 0 x х 1
2
в) ax bx c 0 ; х
1
х1;
2
г) ax bx c 0 ;
ax x
а)
2
bx c 0
197
1; x 2

3
ax x
1; x 2
ax ; х
1
х2;
ax х ;
б)
2
bx c 0
в)
2
bx c 0
г)
2
bx c 0
;
1
х2
Зверніть увагу!
2
Нерівність ax bx c 0 завжди можна привести до вигляду, де а 0 .
Приклад 1. Розв’яжіть нерівність:
1) 3x 2 5x
2 0; 2
2) x 4
; 3) 4x 2 4х 1
0.
Розв’язання
1) Нерівність 3x 2 5x
2 0 рівносильна нерівності 3x 2 5x 2 0 .
І крок. У нерівності 3x 2 5x 2 0 коефіцієнт а = 3 > 0.
Отже вітки параболи у 3x
2 5x
2 будуть напрямлені вгору.
ІІ крок. Знайдемо розташування параболи відносно вісі Ох.
Для цього розв’яжемо рівняння
3x
2
D 5
5x
2 0;
2
43(
2)
49 0;
Знайдемо х 1 і х 2 .
Отже
Зверни увагу!
Так як нерівність 3x 2 5x 2 0 строга,
то точки перетину з віссю Ох виколюємо.
b
х1
2a
b
x2
2a
D
D
5 7
6
1
;
3
5 7
2.
6
198

Отже, розв’язком нерівності 3x 2 5x 2 0 є проміжок на якому функція
у 3x
2 5x
2 набуває від’ємних значень. Тобто проміжок
1 2 ;
3 .
Відповідь:
1 2 ;
3 .
2
2
2 ) Нерівність x 4
рівносильна нерівності х 4 0.
2
І крок. У нерівності х 4 0 коефіцієнт
x
а = 1 > 0. Отже вітки параболи у х 2 4 будуть напрямлені
вгору.
ІІ крок. Знайдемо розташування параболи відносно вісі Ох.
Для цього розв’яжемо рівняння
2
4 0;
( х 2)( х 2) 0;
х
1
2;
х
2
2.
2
Розв’язком нерівності x 4 0 є проміжок на якому функція у x 2 4 набуває
невід’ємних значень. Тобто проміжки
Відповідь: 2
2;
; .
;2
або ;
2 .
3) І крок. У нерівності 4x 2 4х 1
0 коефіцієнт
а = 4 > 0. Отже вітки параболи у 4х
2 4х
1
будуть
напрямлені вгору.
ІІ крок. Знайдемо розташування параболи відносно вісі Ох.
Для цього розв’яжемо рівняння
4x
(2х
1)
х
1,2
2
4х
1
0;
2
1
.
2
0;
Розв’язком нерівності 4x 2 4х 1
0 є
проміжки на яких функція
199

у 4x
2 4х
1
набуває недодатних значень. Таку умову задовольняє лише точка
х = 2
1 .
Відповідь: х = 2
1 .
Зверніть увагу!
Можна не змінювати знак нерівності і будувати сxематично відповідну
квадратичну функцію, враховуючи напрямок віток та знак дискримінанту.
Приклад 2. Розв’яжіть нерівність: 1)−2х 2 −3х + 5 > 0; 2) –х 2 +2х – 5 0.
Розв’язання
Схематично зображуємо графік функції
у = −2х 2 − 3х + 5 . Це парабола, вітки якої напрямлені донизу,
що перетинає вісь Ох у точках х 1 = −2,5 і х 2 = 1. Нерівність
строга, тому зображуємо корені «виколотими» точками на осі
Ох (вони не будуть входити до множини розв’язків).
Розв’язком нерівності є проміжок, де функція приймає додатні
значення.
Відповідь:
2,5;1 .
2) Графіком функції у = −х 2 + 2х − 5 є парабола, вітки якої
напрямлені донизу, і яка не перетинає вісь Ох, оскільки
рівняння −х 2 + 2х − 5 = 0 коренів не має (D = -16 0). Всі точки
параболи розміщені нижче осі Ох, тому множиною розв’язків
нерівності −х 2 + 2х – 5 < 0 є множина всіх дійсних чисел, тобто
(−∞;+∞).
2
Приклад 3. При яких значеннях параметра а нерівність ( a 2) x 2( a 1)
x a 2 0
немає розв’язків ?
200

Розв’язання
Розглянемо квадратичну функцію
2
f x ( a 2) x 2( a 1)
x a 2 , де a 2 .
Графічною ілюстрацією буде парабола з вітками до гори,
що не перетинає вісь абсцис .
Мають виконуватися такі умови: a 2 0, i D 0.
Знайдемо дискримінант: D 417
2a
.
a
2 0, a
2,
Отримаємо систему нерівностей:
417
2a
0, a
8,5,
Початкова нерівність не має розв’язків, якщо a 8,5.
Випадок коли 2
тобто має розв’язки 2
Відповідь: a 8,5.
a 8,5.
a не задовольняє умову, бо нерівність набуде виду 2x 4 0
x .
Дізнайся більше!
Метод інтервалів.
Розв’язування раціональниx нерівностей
Метод інтервалів – простий спосіб розв’язання раціональних та дробовораціональниx
нерівностей. Так називаються нерівності, що містять раціональні
(або дробово-раціональні) вирази.
Наприклад,
3x
2
4x
2 0;
2x
3
x 5
x 1
;
2 x
5 2
2
x x
3x
4
x
3
2
0;
3
x
3 2x
4x
x
3
0.
Метод ґрунтується на тому, що неперервна на проміжку функція може змінювати
знак тільки в тих точках, де її значення дорівнює нулю (але може й не змінювати).
201

Алгоритм застосування методу інтервалів
P(
x)
I крок. Представте нерівність у виді 0 , де P (x)
і Q (x)
многочлени,
Q(
x)
якщо Q(x)1, то маємо нерівність x
0
II крок. Розгляньте функцію
P .
P(
x)
f x
. Щоб розв’язати раціональну нерівність
Q(
x)
P(
x)
0
Q(
x)
необxідно дослідити функцію
x
y f на знакосталість, для цього :
1) знайдіть область визначення функції;
2) знайдіть нулі функції;
3) отриманими нулями розбийте область визначення на проміжки;
4) визначте знак функції на кожному з проміжків, обчисливши значення
функції в будь-якій точці цього проміжку;
5) об’єднайте проміжки, на яких функція f(x) задовольняє нерівність, у
множину розв’язків.
Приклад 3. Розв’яжіть нерівність:
x
3x
1 x 2
2
x
2
x
1 x
3
1)
0; 2)
3
Розв’язання
1) Розглянемо функцію x x
3x
1 x 2
f .
202
0;
Знайдемо область визначення функції: D f R .
x 1
3)
x 3
x
x
4
.
3
Позначимо нулі функції x ; x 2; x 3 на координатній прямій. Нерівність
1
1
2 3
строга, отже ці точки будуть виколоті.
Точки розбивають область визначення функції на проміжки знакосталості.
Досліджуємо знак функції на кожному з проміжків (для цього використовуємо
довільні «пробні точки»).
При x > 2 розглянемо f 4 7 3
2 0, тому x 0
f на цьому проміжку;
при 1< x < 2 з’ясуємо знак f 1 ,5 4,5 0,5
0,5 0 , тому x 0
при -3 < x < 1 розглянемо f 0 31
2 0 , тому x 0
при x < -3 з’ясуємо знак f
4 1
5
6 0 , тому x 0
f на цьому проміжку;
f на цьому проміжку;
f на цьому проміжку.

Маємо:
Вибираємо проміжки, де функція приймає додатних значень.
Відповідь:
3;1
2;
.
2) Розглянемо функцію x
2
x
2
3
x
1 x
3
f
.
Знайдемо D(f): f ;1
1;3
3;
D .
Позначимо область визначення та нулі функції, а саме x 2 на координатній
прямій.
Дослідимо знак функції на кожному проміжку аналогічно прикладу а.
Виберемо проміжки, де функція приймає невід’ємних значень і об’єднаємо їх.
; 1 3;
2
.
Відповідь:
; 1 3;
2
.
3) Виконаємо тотожні перетворення та зведемо нерівність
x 1
x 3
x 4
x 3
до виду
P(
x)
Q(
x)
0.
Отже,
x 1
x 3
x 4
;
x 3
x 1
x 4
x 3 x 3
0;
11x
9
x
3x
3
0.
Розглянемо функцію
11x
9
f x
.
x
3x
3
f ;
3
3;3 3;
D .
f
9
11
x 0,
якщо x .
Досліджуємо знак на кожному із 4 проміжків.
Маємо:
203

9
;
11
Відповідь: 3 ;3 .
Узагальнюйте міркуючи
594. Складіть алгоритм розв’язання квадратної нерівності графічним способом. У чому суть
графічного способу розв’язання квадратної нерівності ?
595. Складіть умови при якиx квадратна нерівність не має розв’язків; має один розв’язок.
596. Чим відрізняється строга нерівність від нестрогої нерівності.
Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І ______________________________________________
Завдання 597-605 мають по чотири варіанти відповіді (А-Г), з яких тільки один
є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді
597. При яких значеннях х функція у = х 2 −4x набуває від’ємних значень? У
відповідь вкажіть суму найбільшого цілого від’ємного та найменшого цілого
додатного розв’язку.
А 4 Б 3 В 0 Г Суму знайти
не можна
598. Укажіть кількість цілиx розв’язків нерівності x
5x 4 0.
А 11 Б 10 В 9 Г 8
599. Скільки натуральних розв’язків входить до області визначення функції
y
2
9 x ?
А Нескінчена Б 4 В 3 Г 2
множина
600. Знайдіть найменше ціле значення х, при якому функція у=3х+2−2х 2
приймає додатні значення.
204

А −1 Б 1 В 0 Г 1,5
601. На рисунку зображено графік функції у=х 2 −6х+8. Укажіть проміжок де
функція приймає недодатні значення.
А [2; 4] Б [4; +∞) В (−∞; 2] Г (2; 4)
602. Розв’яжіть нерівність х 2 − 4х + 4 ≤ 0.
А Немає
розв’язків
Б 2 В (−∞;+∞ ) Г -2
603. Розв’яжіть нерівність х 2 − 2х + 4 > 0.
А Немає
розв’язків
Б 4 В (−∞;+∞ ) Г 2
604. Доберіть графічну ілюстрацію до графіка функції y 2 xx
4.
605. Розв’яжіть нерівність
1
0.
x 5
А (; 5) Б (; 5) В (; 5)(5; ) Г (5; )
Рівень (Level) II ___________________________________________________
606. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
1) x
2
3x;
2) 16
x
2
;
3) x
2
9;
4) 3x
2
6x;
5)
0,3x
2
2,7;
6)9 x
2
0.
607. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
2
1) 5 x
;
2) 5x
2
x 0; 3)2,3x
1,7
x
2
0;
4)8
x
2
;
5)
x
2
x;
6)
2
x
2 0.
205

608. Знайдіть цілі розв’язки нерівності (Find integer solutions of the inequality):
1) 2x 2 9 ; 2) 3x 2 21; 3) 2x 2 9x
0 ; 4) 4x 2 12x
0 ; 5) 3x 2 10x 3 0 .
609. Solve the inequality:
2
1) x 6x 8 0; 3)
2)
x
2
4x32 0; 4)
2
2x
7x
3 0
; 5)
2
2x
3x
2 0
; 6)
610. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
1)
2)
x
x
2
2
6x5 0 ; 3)
2
7x
3x1 0; 5)
7x18 0 ; 4) 3x 2 x 14
0; 6)
x
2
x
x
2
2
6x9 0 ; 7)
4x 4 0 ; 8)
2
16x
8x1 0 ;
2
x
2x3 0.
10x 25 0; 7) 25x 2 10x
1
0 ;
2
4x
4x
1 0
; 8)
2
2x
3x
3 0
.
611. Знайдіть цілі розв’язки нерівності (Find integer solutions of the inequality):
1) 2x 2 12x
72 0; 2) 4x 2 5x 1
0; 3) 3x 2 12x
12
0; 4) 16x 2 8x 1
0.
612. Знайдіть множину розв’язків нерівності (Find the set of the inequalities
solutions):
2
1) ( 2x 3)(5x
1)
2x
0, 4; 3)
(2 3) 11x
19
x
;
2) x ( x 7) ( x 2)( x 2)
; 4) ( x 5)( x 7) 2( x 1)(
x 3 ) .
613. Find the set of the inequalities solutions:
1)
x
2
3x
( x 2)
x 1
2
3
2
7x
9
4
; 3)
x(
x 2) x 1
( x 1)
4 3 6
2
x(
x 3)
12
;
x(
x 2)
2
x
2
2x
3
x
2
x 1
6
2
x 2
6
2
2x
x
3
x 3
9
2) 1; 4) 2.
614. Яку множину утворюють абсциси точок графіка функції у=3х 2 −13х+11, які
знаходяться не вище відповідних точок графіка функції у=х 2 +4х−4?
615. Яку множину утворюють абсциси точок графіка функції у=−2х 2 −4х+15, які
знаходяться не нище відповідних точок графіка функції у=3х 2 +8х−2?
x
2
Рівень (Level) IIІ ___________________________________________________
616. Знайдіть область визначення функції (Find the domain of the function):
2x
1
2 3x
1
5x
2
1) y ; 2) y 5 19x
4x
x
2 2 ; 3) y 7x
2 3x
.
6x
4 x 3x
9 5x
617. Find the domain of the function:
206

2
x 5
2x
11
2x
1) y x 8x
9
; 3) y
2
2
;
2
( x 6) 7x
x
x 9x
8 50 0,5x
3
2
0
( 2x
13)
2
3x
2x
1
( x 1)
2) y
x 0, 5x
; 4) y
2
2
.
2
5x
50 x
4 x 24 x 5x
618. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
1) 3x
45
2x 0
2 2
x ; 4) (2x 1)(4
x)
( x 3x
2) 0;
2) 7 3x2
x 11 0
2
3 2
x ; 5) ( x 2x
1)(2
2x)
( x 3x
2) 0 ;
3 2
3) 2
94
x x
3 0
2
2
x ; 6) 2x
3x
2x
1 0
619. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
1) 63
x 135
x 2 0
x .
2
2 3 2
x ; 3) (2x 5x
2)(4 x ) ( x 3x
2) 0 ;
2) 1 3 2 2 2
2 4 3 3
x x x 0 ; 4) (3x
5x
2)(6 x ) ( x x)
0
620. Solve the inequality:
x .
3
x 1
x 2
1
x
1) 0
2
x 4x
4
2) 0
2
2x
x 1
2
2
2
1
2x
3x
x 8x
7
; 3) 0
2
; 5) 0
2
2x
3x
2
4x
4x
1
;
x
9 x 3
2
x 6x
; 4) 0
2
; 6)
2
3x
х x 3
( х 1)
2
( x
2
4x
3)
0 .
621. Solve the inequality:
1)
2)
2
16
x x 3
2
x
1x
3x
4
4
x
3
2
x 1
5 4x
0 ; 3) 2 ; 5) 4
2 ;
4x
3
3x
x 4
x 1
1 5
15
; 4) 1; 6) 1
2
5 1 x
2 x 2 x
4 3x x
.
622. При яких значеннях параметра а нерівність виконується при всіх значеннях
змінної ?
2
2
1) x 2a
1x
a 0 ; 3) (2 ) x 3x
a 6 0
2
2
2) 3ax
18a
36 0
a ;
x ; 4) 1x
2 4x
a 4 0
a .
623. При яких значеннях параметра а нерівність немає розв’язків ?
2
2
1) ( a 2) x 2(3 a)
x 3a
9
0 ; 3) ( 5) x ( a 7) x 4a
20 0
a ;
2
2
2) 2a 1x
22a
1x
a 3 0; 4) ( 2) x ( a 4) x a 2 0
a .
207

624. При яких значеннях параметра а рівняння g ( x)
0 має два різні корені,
якщо:
2
2
1) g ( x)
( a 3) x 4( a 1)
x a 1; 2) ( x)
(2a
3) x 2(2a
3) x 2a
3
g .
625. При яких значеннях параметра а рівняння f ( x)
0 не має коренів, якщо:
2
2
1) f ( x)
ax 2( a 1)
x 3a
1; 3) ( x)
( a 2) x 2( a 2) x а 3
f ;
2
2
2) f ( x)
( a 4) x 2( a 4) x 4а
1; 4) ( x)
(2a
5) x 2(2a
5) x 2а
7
f
.
Світ навколо нас
626.
Перебуваючи на відпочинку в Угорщині у туристів закінчилася
готівка, але у них є доларова банківська картка. Вони мають
оплатити в магазині 30 євро. Здійснивши оплату через банківську
карту, долари конвертуються в гривню, а потів в євро. Скільки євро
на цій операції втратить турист, якщо в банку долар можна продати
за 22 грн, а євро купити за 26,4 грн або за 1,1 $ .
Мисліть творчо, логічно, системно
627. Музиканти влаштували на величезній площі флешмоб. Спочатку вони, граючи,
вишикувались в квадрат, а потім перешикувались в прямокутник, причому кількість шеренг
збільшилась на 5. Скільки музикантів взяло участь у флешмобі?
628. У кожній клітинці клітчатої дошки 7×11 сидить жук. У певний момент усі жуки
переповзають в одну із сусідніх клітинок, що мають з ними спільну сторону. Доведіть, що
після цього якась клітинка буде порожньою.
629. Складіть кросворд на тему: «Квадратична функція. Її графік і властивості».
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
208

630. Alex and Sam also build tables. Together they make 10 tables in 12 days. If Alex is working
alone, he can make 10 ones in 30 days. How long would it take Sam to make 10 tables if he is
working alone?
Орієнтовні завдання до тематичної контрольної роботи
Тема. Квадратична функція. Її графік та властивості
Початковий рівень
Завдання 1 4 мають по чотири варіанти відповіді, серед яких лише
ОДИН правильний. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь.
Завдання 1 4 оцінюються у 1 бал
1. Визначте напрям віток та координати вершини параболи у = –2х 2 + 8х – 1.
А Б В Г
Вітки вниз,
(–2; 7)
Вітки вниз,
(2; –25)
Вітки вниз,
(2; 7)
Вітки вгору,
(2; 7)
2. Розв’яжіть нерівність 2х 4 0
х .
А Б В Г
; 2
4;
2 ; 4
; 2 4;
2
; 4
2
3. Дана квадратична функція f x ax bx c . Відомо, що f 4 f 20
f
5 f x. Знайдіть х.
А Б В Г
21 16 11 29
4. Вершина якої з парабол належить осі ординат
,
А Б В Г Д
у = (х - 3) 2 + 2 у = - (х - 3) 2 – 2 у = х 2 + 3 у = (х + 3) 2 у = -(х + 3) 2
209

Середній рівень
Завдання 5 передбачає встановлення відповідності. До кожного рядка,
позначеного цифрою, доберіть один відповідний, позначений буквою.
Завдання 5 оцінюється у 1,5 бали
5. Побудуйте графік функції y х
2 8х
9. Користуючись графіком, встановіть
відповідність між названими проміжками (1-3) та числовими проміжками (А-Г),
що їм відповідають:
1) проміжки спадання функції; А) ; 4;
2) проміжки, на яких функція набуває
невід’ємних значень.
3) проміжки, на яких функція набуває від’ємних
значень;
Б) (–; –9] і [1; +);
В) ; 4;
Г) 9 ;1
.
Завдання 6 9 розв’яжіть з повним поясненням
Завдання 6 8 оцінюються у 1,5 бали
6. Знайдіть а та в, якщо точка А ( -4; 2) є вершиною параболи у х2
4aх
b
.
7. Знайдіть область визначення функції:
1)
y
6x
x
2
;
2) y
x
2
2
4 x
3x
;
4
3) y
x
2
18x
81.
Достатній рівень
8. Яким числом може бути коефіцієнт а в рівнянні у = ах 2 + 6х + с, якщо ця
функція спадає на проміжку:
1) х 3 ;
; 2) х ; 3
210
?
Високий рівень
Завдання 9 оцінюється у 2 бали
9. Знайдіть всі значення параметра а, при яких рівняння х 2 2а
1х
а2
3а
0
має два різних додатних кореня.

Завдання на повторення
Початковий рівень
Завдання 1 4 мають по чотири варіанти відповіді, серед яких лише
ОДИН правильний. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь.
Завдання 1 4 оцінюються у 1 бал
1. Обчисліть значення виразу 10 28 63 15 7 .
А Б В Г
6 7
7 7
8 7
4 7
2
2. Знайдіть область значень функції x
6x
9
y .
А Б В Г
(; 3] (; 0] (; +) (3; 9]
3. ЗНО. На якому рисунку зображено ескіз графіка функції y x 2 ?
4. Функцiя y f x
є спадною на промiжку ;
. Укажiть правильну
нерiвнiсть.
f
А Б В Г Д
1 f 1 f 1 f 8 f 1 f 0 f 1 f 0 f 1 f 10
Середній рівень
211

Завдання 5 передбачає встановлення відповідності. До кожного рядка,
позначеного цифрою, доберіть один відповідний, позначений буквою.
Завдання 5 оцінюється у 1,5 бали
5. На рисунку зображено графік функції y f x
,
яка визначена та зростає на проміжку 1;
.
Установіть відповідність між твердженнями
(1 3) та їх продовженнями (А Д).
Вид перетворення графіка
y f x перетинає вісь
1 Графік 1
Оу
2. Графік y f x
1
Ох
3. Графік y 2 f x
Оу
перетинає вісь
перетинає вісь
Координати точок перетину
А у точці з ординатою у1
Б у точці з абсцисою х2
В у точці з абсцисою х0
Г у точці з ординатою у4
Завдання 6 9 розв’яжіть з повним поясненням.
Завдання 6 8 оцінюються у 1,5 бали
2
(3x
1)(
x 2) 2x
x 8 (1 x)
6. Розв’яжіть нерівність:
6
9 4
2
.
7. Спростіть вираз:
2
2a 4a 2a
1
:
2 2 2 2
.
2a b 4a 4ab b 4a b b 2a
Достатній рівень
8. При яких значеннях параметра а пряма x 4
є віссю симетрії параболи,
2
що задана рівнянням (2a
3) x ( a 1)
x 3
y ?
Високий рівень
Завдання 9 оцінюється у 2 бали
2
9. При яких значеннях параметра а нерівність ( a 4) x ( a 4) x 2a
1
0
не має розв’язків ?
212

Сторінка історії
Слово «функція» (від латинського «здійснення»,
«виконання») вперше зустрічається в 1673 р. в листі
німецького математика Г. Лейбніца до Х. Гюйгенса.
Під терміном функція він розумів зміну довжини
відрізка за деяким законом. Лейбніц також ввів поняття
«змінна» та «стала».
Г. Лейбніц
У ході листування Г. Лейбніц і його учень — швейцарський математик Й.
Бернуллі (1667—1748) поступово приходять до розуміння функції як
аналітичного виразу й у 1718 р. дають таке означення: «Функцією змінної
величини називається кількість, складена деяким чином зі змінної і сталих».
У 18 столітті під функцією розуміють формулу, що пов’язує одну змінну з
іншою. У своїй книзі «Введення в аналіз» (1748 р.)
Л. Ейлер, що був учнем Бернуллі, формулював
означення функції так: «Функція змінної кількості є
аналітичне вираження, складене деяким способом з
змінної кількості і чисел чи постійних кількостей».
Ейлер же ввів і прийняті зараз позначення для
функцій.
Л. Ейлер
Сучасне означення числової функції, у якому це поняття
вже звільнялося від способу задання, було дане
М. Лобачевским. У роботі “Про зникання
тригонометричних рядків” (1834) М. Лобачевский писав:
“Загальне означення вимагає, щоб функцією від х називати
число, яке дається для кожного х і разом з х поступово
М. Лобачевський змінюється. Значення функції може бути дане або
213

аналітичним виразом, або умовою, яка дає засіб
випробовувати всі числа і вибирати одне з них; або, нарешті, залежність може
існувати і залишатися невідомою …”
214

РОЗДІЛ ІІІ. Системи рівнянь
Хто з дитячих років займається математикою,
той розвиває увагу, тренує свій мозок, свою волю,
виховує наполегливість і завзятість у досягненні
мети
Маркушевич О. І.
Маркушевич Олексій Іванович (1908 – 1979) –
радянський математик і педагог, організатор
народної освіти та педагогічної науки, доктор
фізико-математичних наук, професор, реформатор
математичної освіти
У цьому розділі ви дізнаєтесь про:
систему двох рівнянь з двома змінними;
систему двох рівнянь з двома змінними як математичну модель
прикладної задачі;
способи розв’язування систем двоx рівнянь з двома змінними.
Українською
Система рівнянь
Основні поняття теми
International
(English)
system of the equations
Математичною
2 2
x
y 3,
6x
4y
2.
215

§ 16. Системи та рівнянь з двома змінними
Ключові слова
cистеми рівнянь
розв’язок системи рівнянь
спосіб підстановки
спосіб заміни змінної
спосіб додавання
Keywords
system of the equations
solution of the equations’ system
substitution method
variables change method
add method
У 7-му класі ми розглядали лінійні рівняння з двома змінними, наприклад
2х + 3у = 5. Розв’язком такого рівняння є не одне число, а пара чисел, причому
записують цю пару саме в порядку (х; у).
Розв’язком рівняння з двома змінними називають кожну пару чисел
(х; у), які задовольняють дане рівняння.
Кілька рівнянь з двома змінними х та у утворюють систему, якщо
потрібно знайти усі такі пари чисел (х; у), які задовольняють кожному з даних
рівнянь.
Розв’язком системи рівнянь з двома змінними х і у називають
впорядковану пару чисел (х; у), яка є розв’язком кожного рівняння системи.
Наприклад,
пара 2;
1
є розв’язком системи x 2y
0,
2
x y 5,
кожного рівняння системи, тобто
216
тому, що вона є розв’язком
6
2 3 0,
Пара 6;
3
не є розв’язком цієї системи, тому що 2
6
3 5.
Розв’язати систему рівнянь означає знайти множину її розв’язків.
Система рівнянь, яка має принаймні один розв’язок називається
сумісною; система, множина розв’язків якої порожня, називається
несумісною, або суперечливою.
2
2
2
2
Системи рівнянь, які мають однакові множини розв’язків, називають
рівносильними. Якщо система рівнянь має скінчене число розв’язків, то вона
1
1
0,
5.

називається визначеною і невизначеною, якщо множина її розв’язків
нескінченна.
Розглянемо систему двох лінійних рівнянь з двома змінними:
a1x
b1
y c1,
a2x
b2
y c2.
За значеннями коефіцієнтів, можна визначити сумісна чи несумісна
система лінійниx рівнянь не розв’язуючи її.
а1
b
1
;
1) система має єдиний розв’язок, коли
а2
b2
а1
b1
c1
2) система не має розв’язку, коли ;
а b c
3) система має безліч розв’язків, коли
2
2
а
а
2
b
c
1 1 1
.
2
b2
c2
Нагадаємо, що у 7 класі ми навчилися розв’язувати систему лінійниx рівнянь
трьома способами:
1) способом підстановки;
2) способом алгебраїчного додавання;
3) графічним способом.
Спосіб підстановки.
Спосіб підстановки полягає в тому, що обирають одне з рівнянь системи,
в ньому виражають одну змінну через іншу та підставляють знайдений вираз
в інше рівняння системи. Система, в яку входить новоутворене рівняння і
рівняння, з якого визначалася змінна, буде рівносильна даній.
Приклад 1. Розв’яжіть систему рівнянь: 2x
2
xy 3y
2x
y 3.
2
2,
Розв'язання
З другого рівняння виразимо змінну y через x, далі виконаємо підстановку
змінної y у перше рівняння.
217

2
2
2x
xy 3y
2,
y
3 2x,
2
2x
y 3, 2x
x(3
2x)
3(3 2x)
x
1,
x
1,
y
1,
x
3,125,
x
3,125,
y
3 2x,
y
3,25.
2
2
8x
33x
25 0,
2 0, y
3 2x,
Зверніть увагу! Якщо сума коефіцієнтів квадратного рівняння
2
ax bx c 0, a 0 дорівнює нулю, то його коренями будуть 1 і c a
. (Доведіть це
самостійно). Корені рівняння 8x 2 33x 25 0 обчислили усно (користуючись
поданим твердженням).
Відповідь: 1 ;1 ,
3,125;
3,25.
Спосіб алгебраїчного додавання
Спосіб алгебраїчного додавання грунтується на двох твердженнях:
1) Якщо одне з рівнянь системи помножити на деяке, відмінне від нуля
число, то отримаємо систему, рівносильну даній.
2) Якщо одне з рівнянь системи замінити сумою цього рівняння та іншого
рівняння системи, то отримаємо систему, рівносильну даній.
Приклад 2.
Розв'язання
Розв’яжіть систему рівнянь
218
12 x
7 y 14,
18x
21y
7.
Перевіримо спочатку, чи має система розв’язки. Оскільки
система має єдиний розв’язок.
12 7
18
21
Знайдемо розв’язки системи способом алгебраїчного додавання.
Помножимо обидві частини першого рівняння на 3 (зрівняємо модулі
коефіцієнтів при змінній у).
Отримаємо систему
36x
21y
42,
18x
21y
7.
Додамо почленно рівняння системи.
, то

Отримаємо: 18х = – 35,
35
x .
18
Підставимо знайдене значення х у друге рівняння системи:
35
–18∙( ) + 21у = 7; 21у = –28; у =
18
ІІ спосіб
28 4
.
21 3
Помножимо обидві частини другого рівняння на 2 (зрівняємо модулі
коефіцієнтів при змінній х).
Одержимо систему:
36x
21y
42,
36x
42y
14.
Додамо почленно рівняння цієї системи, матимемо:
21у = –28, у =
35 4
Відповідь: ( ; ).
18 3
28 4
.
21 3
Приклад 3. Розв’яжіть систему рівнянь:
1) 12x
7 y 13,
2)
6x
3,5 y 7;
Розв'язання
12 x
7 y 14,
6x
3,5 y 7.
12 7 13
1) Перевіримо спочатку, чи має система розв’язки. Оскільки ,
6 3,5 7
то система розв’язків не має.
12 7 14
2) Перевіримо існування розв’язків системи. Оскільки: , то
6 3,5 7
система має безліч розв’язків.
Для того, щоб записати загальний вигляд розв’язків цієї системи надамо
змінній х довільного числового значення t. Підставимо значення t у перше
рівняння системи і знайдемо відповідне йому значення змінної у: 7у = 12t
12t
14
– 14, тобто y .
7
219

Відповідь: (t;
12t
14
), де t – будь-яке дійсне число.
7
Спосіб заміни змінних
Спосіб заміни змінних полягає у тому, що ми замінюємо деякий вираз, що
повторюється в першому і другому рівнянні іншою буквою (вводимо змінну).
4
6
8,
x y
Приклад 4 . Розв’яжіть систему рівнянь:
5
2 1
.
x y 2
Розв’язання
1 1
4 6 8,
x y
Запишемо дану систему у вигляді:
1 1 1
5
2 .
x y 2
1
a,
x
Введемо заміну:
1
b.
y
4a
6b
8, 4a
6b
8,
19 1
Розв’яжемо систему: 1 3 19a , a .
5a
2b
,
2
15a
6b
, 2 2
2
1
Підставимо знайдене значення для а в рівняння 5a 2b
і знайдемо b:
2
1 1
5
2b , 2b
2,
b 1.
2 2
1
a
,
Отже, 2 Робимо обернену заміну.
b 1.
1
a,
1
1
x
,
x 2
Оскільки
1 то
b,
1
1,
y
y
Відповідь: (2; −1).
x
2,
y
1.
220

Зверніть увагу!
В деяких системах заміна робиться тільки в одному з рівнянь системи, після
чого рівняння спрощується і система зводиться до сукупності більш простих
систем.
Приклад 5. Розв’яжіть систему рівнянь
Розв'язання
У першому рівнянні виконаємо замінну
x y 5
,
y x 6
2 2
x
y 5.
x t , тоді система набуде вигляду:
y
x y
,
y x 6
2 2
x
y 5,
ІІ спосіб
x
t,
y
1 5
t
,
t 6
2 2
x
y 5,
x
ty,
2 2
x
y 5,
2
t
,
3
t
1,5,
2
x y,
3
4
2 2
y y 5,
9
x
1,5 y,
2 2
2,25y
y 5,
5
2
Подамо перше рівняння у вигляді x2 −y 2
( чисельник замінюємо на 5).
Отримаємо систему:
xy
6,
2 2
x
y 5.
xy
y
4,
x
1,5 y,
y
2,
x
3,
y
2,
x
3.
= 5 . Врахуємо умову другого рівняння
6
Виражаємо одну змінну через іншу і підставляємо у друге рівняння.
Виконайте далі самостійно.
Відповідь: (3; 2), (−3; −2).
Узагальнюйте міркуючи
631. Згадайте графічний спосіб розв’язування систем лінійниx рівняннь від двох змінних.
У чому його суть ? Що графічно задають рівняння системи? Що з графічної точки зору
221

означає: система лінійниx рівнянь має один розв’язок; система має безліч розв’язків;
система немає розв’язків?
632. Які перетворення з рівняннями системи можна виконувати, щоб не порушити
рівносильність системи?
633. У чому суть методу заміни замінних?
Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І ______________________________________________
Завдання 634 – 640 мають по чотири варіанти відповіді (А – Г), з яких тільки
один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді
634. Розв'яжіть систему рівнянь х 3у
1,
7х
6у
88.
Для отриманого розв’язку
(х 0 ; у 0 ) вкажіть частку х 0 : у 0 .
А Б В Г
0,3
10
6 1
3
5
х у 2,
635. Розв'яжіть систему рівнянь 2х
3у
19.
(х 0 ; у 0 ) вкажіть добуток 7х 0·(1+ у 0 ).
А Б В Г
120 140 130 110
636. Знайдіть розв’язок системи y x 3,
.
x 2y
2
Для отриманого розв’язку
А Б В Г
(−8; −5) (−2; −5) (−5; −8) (−5; −2)
637. Яка з поданих систем рівнянь не має розв’язку?
А Б В Г
x
y 2 x
y 3 x
y 2 x
y 2
x
y 2
0
x y 3 x
y 2
x
0 y 2
638. Знайдіть розв’язок системи рівнянь y x 2,
x y 6.
А Б В Г
(4; −2) (2; −4) (−4; 2) (−2; 4)
639. Розв’яжіть систему рівнянь y x 3,
3x
y 5.
222

А Б В Г
(1; 2) (2; 1) (−4; 7) (1; −2)
640. Яка пара чисел є розв’язком системи 2x
3y
4,
3x
2y
7.
А Б В Г
(2; 1) (−1; −2) (−1; 2) (1; 2)
Завдання 641 на встановлення відповідності
641. Встановіть відповідність між кількістю розв’язків систем (1 – 3) та
системами (А – Д):
1 Система рівнянь не має А х
у 3,
розв'язку
х
у 6;
2 Система має беліч розв'язків Б х
у 3,
х
2у
3;
3 Система має розв'язок, одним В х
у 3,
із значень змінних є нуль
3х
3у
6;
Г х
у 3,
2х
2у
6.
Рівень (Level) II ___________________________________________________
642. Розв’яжіть графічно систему рівнянь (Solve the system of the equations:
graphically):
1) x 2y
3,
2) 4x
6y
5,
2x
y 1;
2x
3y
1
0.
643. Розв’яжіть графічно систему рівнянь (Solve the system of the equations:
graphically):
1) 3x
2y
5,
2) x 2y
7,
4x
y 3; 4x
8y
28.
644. Розв’яжіть систему рівнянь (Solve the system of the equations):
1) 4x
3y
2,
2) 3,3x
2,2y
4,4,
3x
2y
1; 2,7x
4,5 y 5,6.
645. Розв’яжіть систему рівнянь (Solve the system of the equations):
223

x y
1,
1) 5 15 2) 3x
2y
1,
6x
2y
35; 9x
6y
3.
646. Визначте, чи має система рівнянь розв’язки і укажіть їx кількість.
1) 9x
7y
13,
3) 2x
9y
4,
5) 5x
8y
4,
6x
5y
17; 5x
7y
2; 20x
32y
36;
2) 4x
5y
3,
4) 6x
2y
7,
6) 8x
12y
7,
12x
15y
11;
3x
y 3,5;
2x
3y
1,75.
647. Доведіть, що система лінійних рівнянь має безліч розв’язків, запишіть
загальний вигляд розв’язків цієї системи .
1) x y 3,
2) 2x
y 1,
3) x 4y
3,
4) 5x
3y
2,
2x
2y
6; 8x
4y
4; 0,25x
y 0,75; 15x
9y
6.
Рівень (Level) ІІІ ___________________________________________
648. Розв’яжіть системи рівнянь способом підстановки:
1) 2 2
x y 6x
2y
0,
x y 8 0;
2) 2
xy y 3x
1,
2x
y 1;
3) 2
x 2xy
y 3,
x 3y
1;
4) 2
2x
5y
y 6 0,
2x
y 11 0.
649. Розв’яжіть системи рівнянь способом підстановки:
1)
2 2
4x
9y
x 40y
19,
2x
3y
5;
2 2
2x
3y
5x
2y
26,
3)
x
y 4 0;
3x
2 xy y 3x
0,
2x
2 xy 8x,
2)
4)
3y
x 8;
x
2y3
3 0;
650. Розв’яжіть системи рівнянь способом заміни змінних:
5
6
x y 3x
2y
52,
x y
3
6,
x y 1
x 2y
2
1)
2)
4
3
29;
3x
2y
x y
3
2.
x y
x 2y
2 x y 1
651. Розв’яжіть системи рівнянь способом заміни змінних:
224

1)
1
x y
1
x y
1
x y
1
x y
1
,
3
2
;
3
2)
5 10
3x
2y
3x
2y
3 5
3x
2y
3x
2y
7,
4.
652. Розв’яжіть систему рівнянь (Solve the system of the equations):
5 4 1
2
x
y
2x
35 2y,
,
2
2
x xy y xy 6
1)
2)
2
x y
2y
3 2x;
7 3 6
.
2
2
x xy y xy 5
653. Знайдіть всі значення параметра а, при яких система рівнянь має єдиний
розв’язок:
1) 2x
y a,
( a 1)
x 4y
3;
2) ( a 2) x 3y
5 a,
( a 2) x (2a
1) y 3.
654. Знайдіть всі значення параметра а, при яких система рівнянь не має
розв’язків:
1) 3x
2y
a 2,
( a 1)
x (2 a)
y 4;
2) ax 2y
6,
(3a
2) x ( a 4) y 2.
655. Знайдіть всі значення параметра а, при яких система рівнянь має безліч
розв’язків:
1) ( a 2) x ay 3,
2ax
2y
6;
2)
(
a 2) x y 1,
6x
7
ay
2.
Світ навколо нас
656. Британські вчені знайшли на дні Чорного моря єдину в світовому океані підводну
річку. Річка переносить колосальні обсяги води – 22 000 м 3 /c. Якщо б ця річка перебувала
на суші, то, посідала б шосте місце в світі за цим показником. Довжина річки становить 37
морських миль, ширина – більше півмилі, а швидкість течії води – 4 милі на годину.
Переведіть ці значення величин у км та км/год.
Мисліть творчо, логічно, системно
225

657. За малюнком придумайте умову задачі
та розв’яжіть її.
1111
658. Відомо, що 11 . Знайдіть
101
значення виразу, не виконуючи ділення
3333 6666 .
101 303
659. Найбільший спільний дільник двох
натуральних чисел дорівнює 72, а найменше
спільне кратне їх дорівнює 1296. Знайдіть всі такі пари чисел.
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
660. 98% of 200 cats like the taste of a mouse. Convert 98% to a decimal and find out how many
cats like the taste of a mouse.
§ 17. Системи однорідних та симетричних рівнянь
Ключові слова
Однорідний многочлен
Симетричний многочлен
Keywords
homogeneous polynomial
symmetric polynomial
Розглянемо спосіб розв’язування систем виду:
2
2
a1x
b1
xy c1
y 0,
1)
2
2
a2x
b2
xy c2
y d2;
a 0; a 0; b 0; b 0; c
1
2
1
2
1
0; c
2
0,
a1x
2)
a2x
2
2
b xy c y
1
2
1
2
2
b xy c y
2
d ,
У лівій частині рівнянь систем записані однорідні многочлени другого
степеня, тобто многочлен усі одночлени якого з ненульовими коефіцієнтами
мають другий степінь.
Розглянемо етапи розв’язування зазначениx систем на конкретних
прикладаx.
1
d
2
.
226

x
Приклад 1. Розв’яжіть систему рівнянь
х
2
2
ху 6у
2
5уx
2у
0,
2
26.
Розв'язання
Перше рівняння можна розглядати як квадратне рівняння відносно змінної
x, тоді D y 2 4 6y
2 25y
2 5 y 2
y 5y
2
. Отже, x
3y;
2 . Отримали
1,2
y
сукупність двоx систем для розв’язування яких використовуємо метод
підстановки:
x
3y,
2
x
5yx
2y
x
2y,
2
x
5yx
2y
2
2
26,
26,
x
3y,
2
9
y 15y
x
2y,
2
4y
10y
2
2
2y
2y
2
2
x
3y,
2
y
1,
26,
x
2y,
2 13
26, y
0.
2
Друга система не має розв’язків , а розв’язками першої системи є такі пари
чисел
3;1 ,
3;
1.
Відповідь:
3;1 ,
3;
1.
2
2
2x
3xy
y 3,
Приклад 2. Розв’яжіть систему рівнянь
2
2
x 2xy
2y
6.
Розв'язання
Щоб використати попередній спосіб для розв’язування даної системи,
необxідно виконати перетворення, яке допоможе знищити вільний член.
Помножимо перше рівняння системи на (- 2) і виконаємо почленне додавання
рівнянь. Маємо:
2
2x
3xy
y
2
x 2xy
2y
2
2
3,
6;
2
2
4x
6xy
2y
6,
2
2
x 2xy
2y
6;
2
2
3x
8xy
4y
0,
2
2
x 2xy
2y
6.
Перше рівняння розглядаємо як квадратне рівняння відносно змінної x,
тоді D 64y
2 4 3
4y
2 16y
2 4 y 2
. Отже, x
у
8y
4y
2 8y
4y
; x2 2у.
6 3
6
1
Отримали сукупність двоx систем, для розв’язування яких
використовуємо метод підстановки:
227

x
2y,
2
x
2yx
2y
2
x
y,
3
2
x
2xy
2y
2
2
6;
6;
Відповідь: (2; 1), (−2; −1).
x
2y,
2 2 2
4y
4y
2y
6;
2
x
y,
3
4
2 4 2 2
y y 2y
6,
9 3
228
x
2y,
2
y
1;
2
x
y,
3
2
y
27
0;
x
2,
y
1;
x
2,
y
1.
Многочлен з двома змінними х і у називається симетричним, якщо при
заміні х на у, а у на х він не змінюється. Многочлени x + y і xy називають
основними симетричними многочленами з двома змінними. Розглянемо
спосіб розв’язання систем, що містять симетричні многочлени:
2 2 3 3
x
y ; xy;
x y ; x y .
Приклад 3. Розв’язати систему рівнянь: x y 1,
xy 2.
Розв'язання
І спосіб
Виразимо у через х з першого рівняння, підставимо знайдений вираз для
у у друге рівняння та розв’яжемо квадратне рівняння з одним невідомим.
ІІ спосіб
Використаємо формули Вієта. Для цього будемо вважати, що х і у – корені
деякого допоміжного квадратного рівняння t 2 + pt + q = 0 із змінною t.
Коефіцієнти р і q визначаються з умови задачі за допомогою формул Вієта: p =
−(x + y) = 1 та q = xy = −2.
Допоміжне рівняння має вигляд t 2 + t −2 = 0.
Його корені: t 1 = −2 і t 2 = 1. Ці корені дають дві пари (x; y), що задовольняють
вихідну систему рівнянь, а саме (−2; 1) і (1; −2).
Зверніть увагу, що разом з розв’язком (−2; 1) ми одержали і
“симетричний” йому розв’язок (1; −2). Це зумовлено тим, що вихідна система
рівнянь містила лише симетричні рівняння.
Відповідь: (−2; 1) і (1; −2).
Приклад 4. Розв’яжіть систему рівнянь
2 2
x y xy 13,
xy x y 7.

Розв'язання
Системи рівнянь, що містять симетричні многочлени доречно
розв’язувати за допомогою основниx симетричниx многочленів.
Неxай x y u,
xy v.
2 2
2
2
Далі виражаємо x y x
y 2xy
u 2v
.
Система набуде вигляду:
2 2
x
y xy 13,
xy
x y 7;
2
u
2v
v 13,
u
v 7;
v
7 u,
2
u
u 20 0;
v
7 u,
u
5,
u
4.
x
y 5,
Повертаємось до змінниx x та y: xy
12;
x
y 4,
xy
3.
2
Першому рівнянню за теоремою Вієта відповідає рівняння t 5t
12
0 , яке
2
не має розв’язків. Другому рівнянню відповідає рівняння t 4t
3 0 , де
t ; t 1. Отримали пари розв’язків (1; 3), (3; 1).
1
3
2
Відповідь: (1; 3), (3; 1).
Зверніть увагу!
Якщо система симетричних рівнянь має розв’язок (х; у), то вона має і
розв’язок (у; х).
Узагальнюйте міркуючи
661. Згадайте як визначається степінь одночлена, многочлена.
662. Які многочлени називаються однорідними? Наведіть приклади.
663. Які многочлени називаються симетричними? Наведіть приклади.
229

Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І ______________________________________________
Завдання 664 – 670 мають по чотири варіанти відповіді (А – Г), з яких тільки
один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді
664.Укажіть одночлен третього степеня.
А Б В Г
2 2
3x y
1,2x 2
3
y 4
x
665. Укажіть одночлен найбільшого степеня.
А Б В Г
2 2
3x y
1,2x 2
3
y 4
x
666. Укажіть одночлен найменшого степеня.
А Б В Г
2 2
3x y
1,2x 2
3
y 4
x
667. Укажіть однорідний многочлен.
А Б В Г
2 2
3x 4y
2x
3x 2 2 2
2 2
4 2xy
3x 4y
2xy
3 x 4y
2x
668. Укажіть симетричний многочлен.
А Б В Г
3x 3y
5xy
3x 3y
5xy
3x 3y
3xy
3x 5y
5xy
669. Відомо, що x y 5,
xy 2.
2 2
Знайдіть x y .
А Б В Г
25 27 23 21
670. Відомо, що x y a,
xy b.
Виразіть многочлен x
y
xy a та b .
А Б В Г
a 2 3b a b
2
a 2b
2 a 2 2b
2 y 3
2 y 3
2 y 3
Рівень (Level) II ___________________________________________________
671. Розв’яжіть систему рівнянь (Solve the system of the equations):
2
2
2
2
x 3ху
2у
0,
x ху 6у
0,
1) 3)
2 2
х у 20;
2 2 2
х 5у
2у
4;
y
2) y
2
2
2
2ху
3x
0,
2
2x
ху 4;
2
2
2x
3ху
у 0,
4)
2 2
х у 12
0.
230

672. Розв’яжіть систему рівнянь (Solve the system of the equations):
2
2
x ху 2у
37,
2 2
x 2у
17,
1) 3)
2 2
2х
у 2ху
26;
2
х 2ху
3;
2
2
x 3ху
у 1,
2)
2 2
3х
3у
ху 13;
3x
4) 5х
2
2
5ху
4у
3у
2
2
38,
9ху
15.
673. Розв’яжіть систему рівнянь (Solve the system of the equations):
1) 2 2
x xу y 5,
x
1 у 1
10,
3 3 3 3
3)
x х y y 17;
x y xy 1
3;
2) 3 3
xy(
х 1)(
у 1)
72,
x у 19,
4)
( x 1)(
y 1)
2;
2 2
х y xу 6.
674. Розв’яжіть систему рівнянь (Solve the system of the equations):
3 3
x у 19,
1) ( xy 8)( x y)
2;
x
xу y 5,
) 3 3 3
x
х y y 49.
2 3
Рівень (Level) ІІІ ___________________________________________
675. Розв’яжіть систему рівнянь (Solve the system of the equations):
2
2
3x
5xy
22y
0,
1)
2 2
x y y 2y
2xy
1;
231
2
2
5x
7xy
6y
0,
2)
2 2
x y y 2y
2xy
1;
676. Розв’яжіть систему рівнянь (Solve the system of the equations):
6 6
4 4
x у 17,
x у 65,
1)
2)
2 2
х у 5;
4 2 2 4
х x y у 13.
677. Розв’яжіть систему рівнянь (Solve the system of the equations):
1) 5 7
x y 32,
7 5
3) x y 128;
( x 2y)(
x y)
4,
( x 2y)(
x y)
12;
2) 8 6
2
x y 64,
xy x 9,
6 8
4) x y 256;
3
xy xy 18.
678. Розв’яжіть систему рівнянь способом алгебраїчного додавання або
віднімання:
2
2
у x 5x,
x x 1
у,
1) 3)
2
х y 5y;
2
у y 1
x;
x
2)
2
х у
y у
2
2
6;
x,
2
x y 2,
4)
2
х у 2.

Світ навколо нас
679. У 1993 році в країні інфляція становила 30% на місяць (ціни збільшувалися щомісяця
на 30 %, рахуючи від попереднього значення). На скільки відсотків зросли ціни за 4 місяці?
Мисліть творчо, логічно, системно
35 23
680. Якою повинна бути остання цифра числа а, якщо відомо, що число a 13 кратне 5?
681. Велосипедист їхав з міста до села зі швидкістю 15км/год, а повертався назад зі
швидкістю 10км/год. Знайдіть середню швидкість руху.
682. В змаганнях брали участь 50 стрілків. Перший влучив 60 разів, другий — 80, третій —
середнє арифметичне кількості попадань перших двох, четвертий — середнє арифметичне
кількості попадань перших трьох. Кожний наступний влучав у мішень таку кількість разів,
яка дорівнює середньому арифметичному попадань всіх попередніх. Скільки попадань
здійснив 48 стрілок?
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
683. Plot the graph of y=x 2 -x-6 (use x-values from -4 to 5). Use your graph to solve the equation
x 2 – x – 6 = 0.
§ 18. Розв’язування задач за допомогою систем рівнянь
Задача
розв’язок задачі
Ключові слова
problem
Keywords
solution of the problem
Задачі розв’язують за допомогою системи рівнянь чи нерівностей тоді,
коли декілька величин є невідомими, але в умові сказано як вони пов’язані між
собою. В цьому випадку невідомі величини позначають через х та y, за умовою
складаємо декілька рівнянь і розв’язують систему рівнянь.
232

Зверніть увагу!
Розв’язуючи текстові задачі необxідно враховувати область визначення
змінниx, а саме природні або фізичні обмеження, які звичайно в тексті задач
не наведено.
Задача 1. Знайдіть розміри підлоги зали, якщо її площа 48м 2 , а довжина
діагоналі 10м.
Розв’язання
Виконаємо малюнок, як модель до умови задачі.
Нехай один із вимірів підлоги дорівнює
x
y
х, а другий у.
За теоремою Піфагора:
х 2 + у 2 = 10 2 – І рівняння
Використовуючи формулу для
обчислення площі прямокутника S = a∙b, маємо : 48 = ху – ІІ рівняння
Рівняння можна об’єднати у систему, тому що змінні задовольняють
умову однієї задачі.
2 2
x
y 100,
xy
48;
Розв’яжемо систему декількома способами.
І спосіб
2 48 2
x ( ) 100,
4
2
х
х 100х
2304
0;
2
х 0 ;
48
y ;
х
х
Заміна: х 2 = а а 2 - 100а + 2304 = 0,
D = 10000 - 4∙2304 = 10000 – 9216 = 784 = 28 2 ,
a 1 = (100 – 28): 2 = 36,
a 2 = (100 +28):2 = 64.
x 2 = 36; x 1 = - 6 – сторонній корінь, x 2 = 6 (м);
48 48
у
1
8 (м)
х 6
або
x 2 = 64; x 3 = - 8 – сторонній корінь, x 4 = 8 (м);
48 48
у
2
6 (м)
х 8
ІІ спосіб
233

2
2
х
2ху
у ( х у)
2 2
2 2
x
y 100,
х
у 100,
ху
48;
xy
48; 2ху
96;
х
0, y 0;
Відповідь: виміри підлоги зали 6м та 8 м.
2
196,
x
y 14,
x
6,
xy
48; y
8.
степеня.
Розв’язати цю задачу допоміг малюнок та система рівнянь другого
Задача 2. Щоб ліквідувати запізнення на 24 хв, поїзд на перегоні
завдовжки 180 км збільшив швидкість на 5 км/год порівняно зі швидкістю за
розкладом. Якою є запланована швидкість поїзда?
Розв’язання
S (км) V(км/год) t (год)
За планом 180 х
Фактична 180 у
180
х
180
у
Нехай запланована швидкість поїзда х км/год, а фактична швидкість y
км/год. Поїзд збільшив свою швидкість на 5 км/год. Отже, у = х+5 – І рівняння
Щоб ліквідувати запізнення, поїзду довелося даний відрізок шляху проїхати
180 180 24
швидше, тобто витратити на 24 хв менше часу: – = – ІІ рівняння.
х у 60
Рівняння можна об’єднати у систему, тому що змінні задовольняють
умову однієї задачі.
у х 5,
у х 5,
Маємо систему: 180 180 24
, 180
180 2
,
х у 60 х х 5 5
180 180 –
х х 5
2 180( х 5) 180x
0,4х(
х 5)
= ; 0 ; x >0; х≠-5
5 х(
х 5)
х 2 +5 х – 2250 = 0;
х = 45 (км/год).
Відповідь: 45км/год.
234

Узагальнюйте міркуючи
684. Які задачі розв’язують за допомогою систем рівнянь?
685. Наведіть приклад задачі, яку допомагає розв’язати система рівнянь.
686. Які моделі допомагають скласти систему рівнянь чи нерівностей?
Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І ______________________________________________
Завдання 687 – 688 мають по чотири варіанти відповіді (А – Г), з яких
тільки один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді
687. За допомогою якої системи можна розв’язати задачу: «Знайдіть два числа
сума яких дорівнює 12, а сума квадратів 74»?
А Б В Г
х у 12,
2
(
х у)
74;
х у 12,
2
(
х у)
74;
х у 74,
2 2
х
у 12;
х у 12,
2 2
х
у 74.
688. За допомогою якої системи можна розв’язати задачу: «Знайдіть виміри
прямокутника, якщо його діагональ дорівнює 13, а площа 60 см 2 .»
А Б В Г
х
у 13,
ху 60;
х
2
у
2
13,
ху 60;
х
2
у
2
ху 60;
13,
Інша відповідь
688. За допомогою якої системи можна розв’язати задачу: «Добуток двох
чисел дорівнює 2,25. Знайдіть ці числа, якщо одне з них на 4 більше за друге».
А Б В Г
х 4 у,
ху
2,25;
ху 4,
х
2,25 у;
х
у 2,25,
х у 4;
Інша відповідь
235

Рівень (Level) II _________________________________________________
689. Знайдіть катети прямокутного трикутника, якщо їх сума 17, а гіпотенуза
дорівнює 13.
690. Знайдіть катети прямокутного трикутника, якщо їх сума 19, а гіпотенуза
дорівнює √185.
691. Один з катетів прямокутного трикутника на 1 см менше гіпотенузи і на 1
см більше другого катета. Знайти периметр трикутника.
692. Для перевезення 60 т вантажу потрібна деяка кількість машин. Оскільки
на кожну машину було завантажено на 1 т більше, ніж планувалося, то дві
машини виявилися непотрібними. Скільки машин було використано для
перевезення?
693. Два автомобілі одночасно виїхали з одного міста в інше, відстань між
якими 560 км. Швидкість першого на 10 км/год більша за швидкість другого,
і тому він витратив на весь шлях на годину менше. Знайдіть швидкість
кожного автомобіля.
694. З міста в село, відстань між якими 450 км, виїхали одночасно два
автомобілі. Один з них мав швидкість на 10 км/год більшу, ніж інший, і тому
прибув у село на 30 хв швидше. Знайдіть швидкість кожного автомобіля.
695. Власна швидкість човна 18 км/год. Шлях 20 км за течією річки човен
пропливає на 15 хв швидше, ніж проти течії. Знайдіть швидкість течії річки.
696. Човен власна швидкість якого 18 км/год, проплив 30 км за течією і 16 км
проти течії, затративши на весь шлях 2,5 год. Знайдіть швидкість течії.
697. Дано двоцифрове натуральне число, сума квадратів цифр якого дорівнює
45. Якщо до цього числа додати 27, то отримаємо число, що записане тими
самими цифрами, але у зворотному порядку. Знайдіть дане число.
698. Дві бригади повинні виготовити по 450 деталей, причому перша
виготовляє за годину на 5 деталей більше, ніж друга. Тому друга бригада
виконала завдання на 1 год пізніше, ніж перша. Скільки деталей щогодини
виготовляла кожна бригада?
236

Рівень (Level) ІІІ ___________________________________________
699. Катер проплив 22 км за течією річки і 36 км проти течії за час, потрібний
для того, щоб проплисти 6 км на плоту. Знайдіть швидкість течії, якщо власна
швидкість катера дорівнює 20 км/год.
700. З двох пунктів, відстань між якими 20 км, вийшли одночасно назустріч
один одному два туристи і зустрілися через 2 год. Визначте, з якою швидкістю
йшов кожний турист, якщо одному на подолання всього шляху знадобилося
на 1 год 40 хв більше, ніж іншому.
701. З пункту А в пункт В виїхав автомобіль і одночасно з пункту В в пункт А
виїхав велосипедист. Після зустрічі вони продовжували свій шлях.
Автомобіль, доїхавши до пункту В, негайно повернув назад і наздогнав
велосипедиста через 2 год після моменту першої зустрічі. Скільки часу після
першої зустрічі їхав велосипедист до пункту А, коли відомо, що до моменту
другої зустрічі він проїхав 2/5 усього шляху від В до А?
702. Від пристані за течією річки одночасно відправились катер та пліт. Катер
спустився по річці на 96 км і повернувся назад, прибувши на пристань через
14 год. Визначте власну швидкість катера, якщо відомо, що катер,
повертаючись назад, зустрів пліт на відстані 24 км від пристані.
703. Туристи спустилися на човні від п. А на 20 км за течією річки, а потім
повернулися в п. А, витративши на всю поїздку 7 год. Повертаючись назад, на
відстані 12 км від п. А студенти зустріли пліт, який пропливав біля п. А в той
самий час, коли вони відправилися на маршрут. Визначте швидкість, з якою
рухався човен за течією і швидкість течії річки.
704. Сума цифр двоцифрового числа у 6 разів менша за це число. Добуток
цього числа на число, записане тими самими цифрами у зворотному порядку,
дорівнює 2430. Знайдіть це число.
705. Число одиниць двоцифрового числа на 5 менше від числа його десятків.
Добуток цього числа на суму його цифр дорівнює 648. Знайдіть це число.
237

706. Двоцифрове число в два рази більше від добутку його цифр. Число,
записане тими самими цифрами в зворотному порядку, відноситься до даного
числа, як 7:4. Знайдіть це число.
Світ навколо нас
707. Загальний опір ділянки кола описується такими співвідношеннями: при
1
паралельному з’єднанні = 1 + 1 + 1 та
R R 1 R 2 R 3
при послідовному: R = R 1 +R 2 + R 3
Задайте формулою загальний опір ділянки кола, зображеної на малюнку,
якщо відомо, що R 1 = 5 Ом, R 2 = х Ом , R 3 = 4R 2 .
Мисліть творчо, логічно, системно
708. Троянди посаджені на клумбі квадратної форми. Відстань між кущами в ряду
дорівнює 80 см, а між рядами – 1м 20 см. Скільки кущів троянд на клумбі, якщо в
кожному ряді 18 кущів?
709. 3 курки за 3 дні знесли 3 яйця. Скільки яєць знесуть 12 курей за 12 днів, якщо вони
будуть нести таку саму кількість яєць за такий же час?
710. Яке число має стояти замість знаку питання?
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
238

711. Andrew and Max play in the same soccer team. Last Sunday Andrew scored 3 more goals
than Max, but together they scored less than 9 goals. What is the possible number of goals
Andrew scored?
Орієнтовні завдання до тематичної контрольної роботи № 6
Тема. Системи рівнянь
Початковий рівень
Завдання 1 4 мають по чотири варіанти відповіді, серед яких лише
ОДИН правильний. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь.
Завдання 1 4 оцінюються у 1 бал
2x3y
7,
1. Скільки розв’язків має система рівнянь
6y
4x
14?
А 0; Б 1; В 3; Г більше 3
2. Яка з систем є математичною моделлю до задачі «Площа приміщення
складає 54 м 2 , а периметр 30м. Знайдіть розміри приміщення».
А xy 54,
Б xy 27,
В xy 54,
Г xy 27,
x y 30. x y 30. x y 15. x y 15.
3. Установіть графічно кількість розв’язків системи xy 1,
x 3y
0.
А 0 Б 1 В 2 Г 3
х
у 1,
4. Яка пара чисел є розв’язком системи рівнянь 2 2
х
у 9
А (-3; 4); Б (5; - 4); В (4; 3); Г (- 5;4)
Середній рівень
Завдання 5 передбачає встановлення відповідності. До кожного рядка,
позначеного цифрою, доберіть один відповідний, позначений буквою.
Завдання 5 оцінюється у 1,5 бали
239

5. Установіть відповідність між заданими рівняннями з двома змінними та
(1 — 3) та їх розв’язками (А — Г):
2 2
1 y 5
x А (2;3)
2 xy y 3
Б (-2;-3)
3 y xy 11
x В (-2;3)
Г (2;-3)
Завдання 6 9 розв’яжіть з повним поясненням
Завдання 6 8 оцінюються у 1,5 бали
6. Розв’яжіть графічно систему рівнянь: y x 5,
2
y x 3x
2.
7. Знайдіть всі значення параметра m, при кожному з яких система
4x
my 8,
mx
9y
12
рівнянь має безліч розв’язків.
Достатній рівень
8. Розв’яжіть систему рівнянь
2х
х
2
2
ху
у
2
4ху
4у
28,
2
0.
Високий рівень
Завдання 9 оцінюється у 2 бали
9. Число одиниць двоцифрового числа на 3 більше від числа його десятків.
Добуток цього числа на суму його цифр дорівнює 324. Знайдіть це число.
Завдання на повторення
Початковий рівень
Завдання 1 4 мають по чотири варіанти
відповіді, серед яких лише ОДИН правильний.
Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь.
Завдання 1 4 оцінюються у 1 бал
1. На малюнку зображено ескіз графіка функції
240
2
y ax bx c .

Порівняйте коефіцієнти a, b i c з нулем.
А Б В Г
a
0,
a
0,
a
0,
a
0,
b
0,
b 0,
b 0,
c
0
0,
c
0
b
c
0
c
0
x
2. Розв’яжіть нерівність 0 .
x 9
А) (0;9); Б) [0; 9); В) (9;9); Г) (; 9);
3. Знайдіть вісь симетрії функції y 3x
2 12x
7 .
А Б В Г Д
х6 х4 х2 х4 х2
4. Розв’яжіть рівняння x 1 x 2 x 5 0 .
А Б В Г
1; 2 5 1; 2; 5 Немає
розв’язків
Середній рівень
Завдання 5 передбачає встановлення відповідності. До кожного рядка,
позначеного цифрою, доберіть один відповідний, позначений буквою.
Завдання 5 оцінюється у 1,5 бали
5. Установіть відповідність між функціями (1 3) і проміжками (А Г), які є
множинами значень цих функцій, якщо множина значень функції
E f 4;10
.
1 y 2 f x
3 y f x
3 y 2
f x
А
2;5 Б 6;12 В 8;20 Г 2;8
1
2
y f x
241

Завдання 6 9 розв’яжіть з повним поясненням
Завдання 6 8 оцінюються у 1,5 бали
x4x1
6. Укажіть число цілих розв’язків нерівності
0
x2 2
x7
20;10 .
х у ху
5;
7. Розв’язати систему рівнянь
х
2 у2
ху 7.
на проміжку
Достатній рівень
x 2y
1 x 2y
( x 2y)
8. Спростіть вираз: :
2
2 2
2
2
x 2xy
x 4y
(2y
x)
4y
2
.
Високий рівень
Завдання 9 оцінюється у 2 бали
9. 4 кг огірків і 5 кг помідорів коштували 44 гривні. Після того як огірки
подорожчали на 50 %, а помідори подешевшали на 40 %, за 4 кг огірків і 5 кг
помідорів заплатили 39 гривень. Знайдіть початкову вартість одного кілограма
огірків і початкову вартість одного кілограма помідорів.
242

Сторінка історії
Задач, які розв’язуються за допомогою систем
лінійних і квадратних рівнянь з двома змінними вперше
зустрічаються на Вавилонських глиняних дощечках.
Вавилоняни знали формули для розв’язання таких видів
систем рівнянь:
x + y = a, x – y = a, x + y = a, x – y = a,
xy = b; xy = b; x 2 + y 2 = b; x 2 + y 2 = b.
Інші системи рівнянь вони зводились до цих за допомогою спеціальних
прийомів. Вони використовували виділення квадрата двочлена, заміну
змінних, введення додаткової змінної.
Систем лінійних рівнянь присвячені VII і VIII книги
“Математики в дев’яти книгах”, що вважається
найдавнішим китайським математичним твором (263 р.).
Також у VІІІ книзі викладено метод “фан-чен” – метод
розв’язування систем п лінійних рівнянь з п невідомими.
Вершиною розвитку індійської математики є праця
відомого математика і астронома Бхаскари “Вінець системи” (
1150 р.). У них викладені приклади розв’язування систем
нелінійних рівнянь та окремих рівнянь 3 і 4 степенів.
243

РОЗДІЛ IV. ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ
Метод розв’язування достойний, якщо з самого початку
ми можемо передбачити – і в подальшому підтвердити
це,– що, використовуючи цей метод, ми досягнемо
мети.
Готфрид Вільгельм фон Лейбніц
Готфрид Вільгельм фон Лейбніц (1646 – 1716) -
німецький філософ, логік, математик, фізик, мовознавець
та дипломат
У цьому розділі ви дізнаєтесь:
• про числові послідовності та способи їx задання;
• про арифметичну та геометричну прогресії та їх властивості;
• про формули обчислення сум членів арифметичної та геометричної
прогресій;
• про практичне застосування властивостей арифметичної та геометричної
прогресій;
• про спосіб перетворення нескінчених десяткових періодичний дробів у
звичайні.
Основні поняття розділу
Українською International
Математичною
(English)
Числові послідовності sequence of the 10, 40, 25, 55, 40, …
numbers
Арифметична arithmetic progression 2, 4, 6, 8, 10, 12, …
прогресія
Геометрична
прогресія
geometric progression 2, 4, 8, 16, 32, 64, …
244

§ 19. Числові послідовності
Ключові слова:
Числові послідовності
Перший член числової послідовності
Скінченні числові послідовності
Нескінченні числові послідовності
Члени послідовності
Keywords:
numerical sequence
initial term of the numbers’ sequence
finite sequence of the numbers
infinite sequence of the numbers
term of the sequence
Часто у повсякденному житті нам зустрічаються послідовності деяких
об’єктів. Наприклад,
послідовність подій, що з нами трапляються,
послідовність днів тижнів, які ми проживаємо, послідовність учнів у списку
класного журналу, послідовність днів у місяці, сторінок у книзі тощо.
Об’єкти, які пронумеровані поспіль натуральними числами 1, 2, 3, ... , n
… утворюють послідовності. Ці об’єкти називаються членами
послідовності.
числовою.
Якщо членами послідовності є числа, то таку послідовність називають
Означення. Числова функція, визначена на усій множині натуральних
чисел або на деякій підмножині її перших елементів, називається числовою
послідовністю і позначають у такий спосіб:
y
f
n
, або y n
, або y
n .
Наприклад,
функція у(n) = 19n, де nN задає
послідовність чисел кратних 19:
19, 38, 57, 76, … ,
I член II член III член IV член числової послідовності
y (1) = y 1 = 19,
y (2) = y 2 = 38, …. , y (n) = y n = 19n
245

Числа f (1)
, f (2)
, f (3)
, ..., f (n)
, ... називають відповідно першим, другим,
третім, ..., n – им , ... членами послідовності і позначають: f ( 1) y1
, f ( 2) y2
f ( 3) y ,..., f ( n)
yn
, ...
, 3
У загальному випадку члени послідовності, як правило, позначають
малими буквами з індексами внизу, тобто
a , b , y тощо. Кожний індекс
n
n
n
вказує порядковий номер члена послідовності.
Означення. Якщо послідовність задана на множині перших п
натуральних чисел, то її називають скінченною. Наприклад, скінченною є
множина трицифрових натуральних чисел кратних 12.
Означення. Якщо послідовність задана на множині всіх натуральних
чисел, то її називають нескінченною послідовністю, а у записі це показують
трьома крапками після останнього записаного члена послідовності.
Наприклад, нескінченною є множина парних натуральних чисел.
Способи задання числовиx послідовностей
Зверніть увагу !
Для задання послідовностей, як і для задання функцій, потрібно вказати
1) область визначення; 2) спосіб, за допомогою якого можна знайти будьякий
член послідовності.
Оскільки числова послідовність є функцією, то задавати її можна (як і
функцію) словесно, переліком, аналітично та графічно.
Словесне задання числової послідовності
Щоб задати словесно числову послідовність слід зазначити властивість її
членів.
Наприклад.
246

1) Послідовність простих чисел. Члени цієї послідовності є простими
числами : 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17, … .
2) Послідовність десяткових наближень числа 2 . Члени цієї
послідовності є наближеними значеннями числа 2 при округлені до
одиниць, десятих, сотих тощо : 1 , 1,4 , 1,41 , 1,414 , 1,4142 , ….
Задання числової послідовності переліком її членів
Задати числову послідовність переліком можна, вказавши всі її члени.
Таким способом можна задати лише скінченні послідовності.
Наприклад, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90.
Члени цієї послідовності кратні 10 першої сотні.
Скінченну
послідовність можна задати таблицею, у якій навпроти
кожного члена послідовності вказують його порядковий номер.
Наприклад
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a
n 11 22 33 44 55 66 77 88 99
В даному випадку членами послідовності є двоцифрові числа, що кратні 11.
Аналітичний спосіб задання числової послідовності
Аналітично задають послідовність за допомогою формул. Послідовності
можуть задаватися формулою п-го члена послідовності або рекурентною
формулою.
2
Якщо послідовність задано формулою п-го члена, наприклад n 2n
1
247
a n
,
то за цією формулою можна знайти будь-який член послідовності, знаючи
його номер.
Зверніть увагу !
Основна вимога до формул : кожному значенню n повинно
відповідати єдине числове значення члена послідовності.

Приклад 5. Знайдіть перші чотири члени послідовності, заданої формулою:
2
1) a n
n 2n
1; 2)
Розв’язання
2n 3
n 1
b n .
1) Якщо n 1 то a 1
2;
2) Якщо n 1 то b ;
1
0,5
якщо n 2 то a 2
1;
якщо n 2 то b 2
;
якщо n 3 то a 2 3
;
якщо n 3 то b ; 3
якщо n 4 то a4 7.
якщо n 4 то b . 4
1
1
3
3
4
Приклад 6. Скільки додатних членів містить числова послідовність що задана
формулою
Розв’язання
y n
41 3n
?
Для того щоб з’ясувати скільки додатніx членів містить задана
послідовність потрібно розв’язати нерівність:
числа.
41
3
41 3n 0; n або n 13 .
2
3
Оскільки n є натуральним числом, то 13 членів послідовності додатні
Відповідь: 13.
Приклад 7.
a 2 2 n
n 3n
4, a 81.
Розв’язання
Знайдіть номер члена a
k послідовності а
k
248
n
, якщо:
Для того щоб число 81 було членом послідовності, необхідно, щоб
виконувалося рівність: a 81 або 2n 2 3n 4 81 . Остання рівність є рівнянням
n
щодо n. Якщо розв’язанням даного рівняння є натуральне число, то а k є членом
цієї послідовності.

n , 2 2 3n
77 0, n 7;
5,5
2 2 3n 4 81
Відповідь: 7.
n ; n 7.
Якщо числова послідовність задана за допомогою рекурентної формули,
наприклад y 3 1
2 ,, то за цією формулою можна обчислити n -й член
n
y n
послідовності, якщо відомі її попередні члени. Перший член, чи буває і кілька
перших членів, задаються обов’язково, наприклад y
1
2.
Рекурентна формула (від лат. recurrens, родовий відмінок recurrentis —
той, який повертається) , формула зведення, тобто формула, яка зводить
обчислення n-го члена довільної послідовності (в основному числової) до
обчислення декількох попередніх її членів
Приклад 8. Знайдіть перші чотири члени послідовності, заданої рекурентно:
Розв’язання
y 3 2 1 , y 2.
n
y n
1
Знайдемо формули першиx чотирьоx членів послідовності:
y y 2, y 3y
2, y 3y
3.
2
3
1 3 2 4 3
Отже, y2 32 2 4, y3 3 2 10, y4
3 2 28 .
Графічний спосіб задання числової послідовності
Спосіб задання числової послідовності, при якому члени послідовності
зображують точками числової прямої або координатної площини, називають
графічним.
Наприклад.
Наприклад:
а
1
а
2
а
3
a
4
а
n
n
1 2 3 4
Означення. Послідовність а називають зростаючою, якщо кожний її
n
a
n
а
4
а
2
а
1
член, починаючи з другого, більший за попередній, тобто
a
a
n1 n .
249

n
Означення. Послідовність а називають спадною, якщо кожний її член,
починаючи з другого, менший за попередній, тобто
a
a
n1 n .
Приклад 9. Доведіть, що послідовність
2n 9
n 3
a n є спадною.
Розв’язання
Розглянемо різницю двоx довільниx послідовниx членів цієї
послідовності:
a
k 1
a
k
2 k 1 9 2k
9 2k
11 2k
9
k 1 3 k 3 k 4 k 3
2k
11k
3 2k
9k
4
k
4k
3
2k
2
6k
11k
33 2k
2
8k
9k
36
k
4k
3 k
4k
3
3
0 .
Різниця приймає від’ємні значення для всіx натуральниx
виконується нерівність a
k 1
ak
.
k . Отже,
Відповідь: послідовність спадна.
Узагальнюйте міркуючи
712. Що називається числовою послідовністю? Коли числову послідовність вважають
заданою ?
713. За допомогою яких формул можна задати числову послідовність аналітично?
714. Наведіть приклад зростаючої та спадної послідовностей.
Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І _________________________________________________
250

Завдання 715 – 726 мають по чотири варіанти відповіді (А – Г), з яких тільки
один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді.
715. Знайдіть перший член послідовності 3n
2.
А 1 Б -1 В -2 Г 2
716. Скільки членів послідовності ( a n ) розташовано між членами a 15 і a
41.
А 24 Б 26 В 25 Г 23
717. Неxай дано деяку послідовність ( b n
) . Укажіть номер члена послідовності,
що передує двадцятому члену.
А 18 Б 19 В 20 Г 21
718. Неxай дано деяку послідовність ( b n
) . Укажіть номер члена
послідовності, що слідує за тридцять другим членом.
А 34 Б 33 В 32 Г 31
719. Укажіть перший член послідовності, упорядкованої з натуральниx чисел,
кратниx 5 .
А 10 Б 15 В 5 Г 20
720. Укажіть перший член послідовності, упорядкованої з натуральниx чисел,
остача від ділення якиx на 7 дорівнює 3 .
А
9
Б
10
В
11
Г
12
721. Знайдіть номер члена a
k послідовності а n
, якщо: a n
3n
32, a
k
7 .
a n
А 13 Б 12 В 11 Г 10
722. Укажіть формулу загального члена послідовності натуральних чисел,
кратних 7 .
А n+7 Б n-7 В 7n Г n 7
723. Укажіть формулу яка задає послідовність, перші чотири члени якої
дорівнюють 5,9,13,17,......
А a n
5n
4 Б a n
3n
2 В a n
4n
1
Г 5n
3
724. Укажіть другий член послідовності, яку задано рекурентно:
b
1
1;
b n 1
5bn
2.
251
a n

А 7 Б 8 В 6 Г 5
725. Укажіть формулу яка задає послідовність, перші п’ять членів якої
1
4
2 3
9 16
4 5
25 36
дорівнюють ; ; ; ; ?
n 1
Б
n
А a n 2
1
a n
В
n
n
a n
Г
n
1 2
a n
1
n 1
726. Для нескінченно послідовності 3;
3;3; 3;...;
підберіть відповідну
формулу n-го члена.
А 1 n
n
n1
2
Б 1 n В 1 1 3
n
Г
3 n
Рівень (Level) II ___________________________________________________
727. Знайдіть перші чотири члени послідовності, заданої формулою ( Find the
first four in-termed sequences, which is defined by the formula):
2
1) a n
n 2n
1; 3)
2)
4 n
n
; 4) zn (1)
n
n
x n
2
2n 3
2
b n
; 5) c n n 2
n 1
n ;
; 6) b
1
252
2n
n
n .
n 1
728. Знайдіть перші чотири члени послідовності, заданої формулою (Find the
first four in-termed sequences, which is defined by the formula):
2
1) a n
n n 2 ; 3)
2 ) a
2 n
n
;
x n
2
n 2n
1 n
; 5) y n
4
2 ;
n
n
n
4) zn ( 1)
n
1
; 6) b
1
729. Числова послідовність задана аналітично. Знайдіть:
1) a3 a6
, якщо a 2 n2
n
1; 3)
3 2
2
b3
2
n
n .
n 2
b , якщо b 2 2 n
n n 1;
2) c
3
ck
2, якщо c n
3n
8 ; 4) d
2k
2d
k 1 , якщо d n 3 n
1.
730. Числова послідовність задана аналітично. Знайдіть:
2
1) x4 x3
, якщо x n
n 2n
2; 3) y3 2y5
2) ( x3 x1)
: x2
, якщо х n
n n
, якщо
2 ; 4) x 3) : x
1
(
2 3
2n 1
y n
; n 1
, якщо
х )
n
n
(1 .

731. Знайдіть номер члена a
k послідовності а
n
, якщо:
1) a 2 2 n
n 5n
1, a 323 ; 3)
2)
8n 16
2 n 4
k
2
n 1
a n
, a
k
8 ;
n 4
2
a n , a 4 ; 4) a n
n n 2, a 22.
k
732. Знайдіть номер члена a
k послідовності а
1)
2)
2 n
a n
, a n
2 k
1; 3)
10
8n 16
2 n 4
n
5n
a n
, a n
k
4, 2;
1
, якщо:
2
a n , a
k
4 ; 4) a n
n 2n
3, a k
9
.
733. Послідовність
n
2
виконується нерівність: a a 56 0 ?
734. Послідовність
n
a
2
k
4a
32.
k
735. Послідовність
n
a k
5k
17 .
а задана формулою 3n
1. При яких значеннях n
n
n
a n
а задана формулою a n
n
2 2n
. Знайдіть k, якщо
2
а задана формулою n 3n
2 . Знайдіть k, якщо
736. Знайдіть члени послідовності 3n
2, які задовольняють умову
2
2a a 5 .
n1 n
a n
a n
k
Рівень (Level) III __________________________________________________
737. Знайдіть кількість від’ємних членів послідовності a 4 2 n
n 15n
9 .
738. Знайдіть кількість додатних членів послідовності
34 15n
a n
.
3 n 59
739. Знайдіть кількість членів послідовності n
2 n , які задовольняють
умову 20 b 56.
n
b n
253

740. Знайдіть кількість членів послідовності
задовольняють умову 53 b n
125
.
b n
2
5 2n
n , які
741. Знайдіть кількість членів послідовності
умову c 12 .
n
c n
4n
2 n
, які задовольняють
n 1
742. Знайдіть перший від’ємний член послідовності:
2n 41
x n
.
3 n 38
743. Знайдіть перший додатний член послідовності: y 3 2 n
n 16n
20 .
744. Знайдіть перші чотири члени послідовності, заданої рекурентно.
1) y 2 1
3, 2
n
y n
y ; 2) 1 y
1
2
1
n
y , y 1.
n
n
1
745. Знайдіть перші чотири члени послідовності, заданої рекурентно:
2
1) y
n
yn
1
yn
2
2yn
3, y 0, y 1, y 1;
1
2
n
2) y
n1 ( 1)
yn
yn
1, y 1, y 2 .
1
2
3
746. Знайдіть найбільший член послідовності (Find the largest term of the
sequence):
a ; 3) c n
2 3n
;
n
1) 1 2
n
2
2
2) a n
n
8n
4 ; 4) b n
n
10n
2 .
747. Знайдіть найменший член послідовності (Find the smallest term of the
sequence):
n
2
1) a ( 1)
1; 3) c n
n 12n
13
;
n
2) b 2 2 n
n 8n
5; 4) b 5 2 n
n 30n
1.
748. Доведіть, що послідовність монотонна і вкажіть вид монотонності:
1
5n
6n 2
1) a n
3 4n
; 3) a n
; 5) a n
;
3 n 2
2 n 1
2) 2 2 2
a n
n 6n
2 ; 4) a n
n 2n
2 ; 6) a 2 2 n
n n 3 .
Світ навколо нас
254

749. Дізнайтеся:
- xто такий Леонардо Пізанский;
- про особливості чисел Фібоначчі ;
- що таке золотий переріз;
- що спільного між золотим перерізом і числами
Фібоначчі;
- про числа Фібоначчі в мистецтві та архітектурі;
- про зв'язок між числами Фібоначчі та природою .
Мисліть творчо, логічно, системно
750. Відшукайте закономірність та виберіть з другого стовпчика число, що слід поставити
замість знака питання.
7
22x
4 7
3x 9 5x
4 2x
3 x
25; 41; 54; 63; 76 54
11
9; 32; 77; 46; 55 ?
751. У дев’ятикласника Петра упала книжка і з неї вилетіли 27 аркушів. Петро знайшов
суму номерів всіх 54 сторінок, що випали з книги і отримав 2010. Чи правильно Петро
підрахував цю суму?
752. О шостій годині ранку настінний годинник пробив 6 ударів. Спостерігач
помітив, що час, який пройшов від першого удару до останнього дорівнював 30 с.
Скільки часу буде тривати бій годинника о 12 годині дня?
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
753. A rectangle has a perimeter of 18 inches. The long side is 1 inch more than three times the
small side. How long is the small side?
§20. Арифметична прогресія
255

Ключові слова
Арифметична прогресія
Загальна формула n-го члена
Різниця арифметичної прогресії
Стала величина
Послідовні члени арифметичної прогрсії
Keywords
arithmetic progression
general formula of the n-th term
common difference of the arithmetic
progression
constant
consecutive terms of arithmetic progression
Рівновіддалені члени
equidistant term
Властивості членів арифметичної прогресії property of arithmetic progressions term
Означення. Арифметичною прогресією називається числова
послідовність, в якій кожен наступний член відрізняється від
попереднього на одне й те саме число. Це число називають
називають кроком або різницею прогресії і позначають d .
Арифметичну прогресію можна задати рекурентно: a a d,
n ,
n
1 n
N
де число
d
a n1 a і є різницею арифметичної прогресії.
n
При d 0 арифметична прогресія є зростаючою; при d 0 спадною; при
d 0 – постійною.
Зверніть увагу !
Різниця арифметичної прогресії може бути будь-яким числом :
З прикладами арифметичної прогресії ми зустрічаємося у
повсякденному житті, так :
цілим , дробовим , ірраціональним.
зведення багатоповерхового будинку - приклад арифметичної прогресії
(щоразу висота будівлі збільшується на 3 метри);
рівноприскорений рух - арифметична прогресія (швидкість тіла
щосекунди змінюється на однакову величину).
256

деякі вклади в банках збільшуються за схемами простих відсотків
(збільшення початкового внеску в арифметичній прогресії).
Наприклад. На початку року інвестор розміщує на рахунку в банку суму
20 000 грн під 5%. Тоді через рік він одержить суму 20000+1000 грн, яка
дорівнює початково інвестованим коштам плюс нараховані відсотки . Через
два роки сума на рахунку складатиме: 20000+1000+1000 грн. і т.д.
Формула n–ого члена арифметичної прогресії
Проаналізуймо закономірність утворення членів арифметичної
послідовності: a a d a a 2d,
a a 3d,
, an a n
1d
.
2 1
,
3 1
4 1
1
Зверніть увагу на залежність між коефіцієнтом при різниці прогресії d та
номером члена послідовності.
a n
a ( n 1)
d
1
– формула n–ого члена арифметичної прогресії.
Розглянемо типові приклади застосування даної формули.
Приклад 1. В арифметичній прогресії a 7, d 2 . Знайдіть a
6 .
257
1
Розв’язання
За формулою n–ого члена арифметичної прогресії a n
a1 ( n 1)
d
a 7 5 2 .
3
обчислимо шостий член послідовності:
6
Відповідь: -3.
Приклад 2. В арифметичній прогресії a 86, d 4 . Починаючи з якого
номера, її члени будуть від’ємними?
Розв’язання
За умови 86 n
1
4
a n і a 0 , тобто
n
1
4
0, 86 4n
1 , 22,5 .
86
n
n
1
Починаючи з 23 номера члени послідовності будуть від’ємні.
Відповідь: з 23 номера.
Приклад 3. При якому значенні x числа 2x 3; x 4; x
2 2 є послідовними

членам арифметичної прогресії ?
Розв’язання
За умовою числа 2x 3; x 4; x
2 2 є послідовними членам
арифметичної прогресії, тоді кожен наступний член відрізняється від
попереднього на сталий доданок, тобто 4 2
3
2
2
x x x 4
x .
2
2
Розв’яжемо останнє рівняння: 7 x x x 2, x 9; x 3 або x 3.
Відповідь: 3; - 3.
Приклад 4. В арифметичній прогресії a
22
32,
a7
5. Знайдіть різницю
прогресії.
Розв’язання
Задані члени є членами однієї арифметичної прогресії, тому рівняння
об’єднуємо в систему:
d 1,8 .
Відповідь: 1,8.
32
a1
21d
,
5
a1
6d.
Віднімемо рівняння системи, отримаємо
Приклад 5. В арифметичній прогресії a a 17.
Обчисліть: 1) a19 a 25
; 2) a 22 .
Розв’язання
13 31
1) Представимо рівність a a 17 через перший член та різницю прогресії,
13 31
тобто
a13 a31
a1
12d
a1
30d
2a1
42d
. Отже, за умовою 2a
1
42d
17
.
Обчислимо
a19 a25
a1
18d
a1
24d
2a1
42d
. Вочевидь a13 a31
a19
a25
,
Отже,
a
19
a25
17.
258

2) За умовою a a 17 або 2a
1
42d
17
13 31
( п.1) . Обчислимо двадцять другий
член прогресії за формулою n-го члена отже,
a a 21d
. Цей результат у
22 1
2 рази менший від суми a13 a 31
, тобто a
22
8,5.
Відповідь: 1) 17; 2) 8,5.
Приклад 6. Запишіть формулу загального члена арифметичної прогресії :
1)
3,
2, 7, 2) 3a
1,
3a
4, 3a
7,
Розв’язання
За умовою задано
нескінченні арифметичні прогресії, для того щоб
записати формулу n-го члена треба вказати значення першого член а 1
послідовності та значення різниці.
1) a 3;
d 2
3 5,
тоді a 3 5n
1 або a 5n
8.
1
n
2) a 3a
1;
d 3a
4 3a
1 3,
тоді a 3a
1
3n
1 або a 3a
3n
2.
1
Відповідь: 1)
a n
5n
8;
2) 3a
3n
2.
a n
Дізнайтеся більше!
Властивості арифметичної прогресії
Теорема 1. Будь-який член арифметичної прогресії, починаючи з другого,
дорівнює середньому арифметичному двох рівновіддалених від нього членів
anm
anm
прогресії, тобто an
, або an
am
2a
nm
(n та m одночасно
2
2
парні, або одночасно непарні)
Доведення
За умовою члени послідовності утворюють арифметичну
прогресію, тоді виразимо члени
Отримаємо :
a
n m
a
2
n m
a
1
a
n
n m
i anm
через a
1
i d.
n
m 1d
a n
m 1d
2a
2n
1
2
1
1
2
n
1
n
d
a
n 1d
259

Але останній запис є формулою n-го члена. Отже,
a
n
a
nm
a
2
nm
.
Теорема 2. Сума двох членів скінченої арифметичної прогресії,
рівновіддалених від її кінців є величиною сталою, тобто
a
1
an
ak
an
1k
.
Доведення
За умовою члени послідовності утворюють арифметичну
прогресію, тоді виразимо всі члени рівності
a1 an
ak
an
1k
через a i .
Отримаємо: a an a a n
d
2a
n
1 (1)
a
k
a
1 1 1
1
1
d
k
d
a n
1
k 1d
2a
n
1 (2)
n
1k
a1
1
1
1
d
1
d
Отже,
a
1
an
ak
an
1k
.
Приклад 7. В арифметичній прогресії a a 17.
Обчисліть: 1) a19 a 25
; 2) a 22 .
Розв’язання
260
13 31
Запропонуємо другий спосіб розв’язання задачі. За властивістю членів
арифметичної прогресії маємо ланцюжок рівностей:
a a a a a a a a 17. Отже, a a i a 8,5.
1 43 13 31 19 25 22 22
Правильні обернені твердження:
19 25
17
22
1) якщо будь-який член числової послідовності, починаючи з
другого, дорівнює середньому арифметичному двох будь-яких
рівновіддалених від нього членів послідовності, то така числова
послідовність є арифметичною прогресією;
2) якщо сума будь-яких двох членів скінченої числової послідовності,
рівновіддалених від її кінців є величиною сталою, тобто
a1 an
ak
an1
k
const , то така послідовність є
арифметичною прогресією.

Зверніть увагу !
Арифметична прогресія – це лінійна функція, задана на множині
натуральниx чисел
Розглянемо функцію
y kx
b
. Якщо змінна x набуває лише
натуральниx значень, то отримаємо арифметичну прогресію, а саме:
k b; 2k
b;
3k
b;
Цікаво, що кутовий коефіцієнт k – є різницею прогресії а a k .
1
b
Узагальнюйте міркуючи
754. Яку послідовність називають арифметичною прогресією?
755. Що таке різниця арифметичної прогресії?
756. Як задати n-ий член арифметичної прогресії :
1) рекурентно; 2) через перший член прогресії та різницю?
757. Дана скінченна послідовність: 5; -1; -7; -13; -19; -25.
1) Перевірте, чи є ця послідовність арифметичною прогресією. Чи можна це перевірити
графічно?
2) Назвіть її перший член та різницю.
3) Задайте її рекурентною формулою.
4) Задайте формулою загального члена.
Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І ____________________________________________________
261

Завдання 758 -770 мають по чотири варіанти відповіді (А-Г), з яких тільки
один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді.
758. В арифметичній прогресії a 5, d 2.
Знайдіть a .
1
А -7 Б 7 В 3 Г-3
759. В арифметичній прогресії a 5, d 2.
Знайдіть a .
1
А -11 Б 11 В -1 Г-7
760. В арифметичній прогресії a , a 3.
Знайдіть d .
3
1 4
А -4 Б 4 В 2 Г -2
761. В арифметичній прогресії a , a 21.
Знайдіть d .
6
3 14
4
2
А 3 Б -3 В 2 Г -2
762. Відомо, що формула загального члена арифметичної прогресії ( a n
) має
вид 5n
1.
a n
Число 36 є її членом. Укажіть його номер.
А 8 Б 7 В 6 Г 5
763. Серед поданиx послідовностей укажіть арифметичну прогресію:
А
-2;2;-2;2
Б
-2;6;-18;54
В
-2;2;6;8
764. В арифметичній прогресії a
3
7, d 3.
Знайдіть a
1 .
А
13
Г
-2;5;12;19
Б
1
В
16
Г
-1
765. Скільки членів послідовності ( a n
) розташовано між членам a
14 і a
32 .
А 18 Б 17 В 16 Г 15
766. Укажіть членом якої арифметичної прогресії є число 23, якщо
формула загального члена має вид:
А a n
4n
2 Б a n
5n
1 В a n
6n
1
Г 3n
2
a n
767. Яка з даних послідовностей ( a n
) є арифметичною прогресію:
А
a
n
7n
2;
Б a
n
n 2
;
2n
1
В a
n
2n
2
5n;
Г
a
n
4n
1 ?
262

768. Встановіть відповідність між формулами загального члена арифметичної
прогресії 1-3 та числовими значеннями різниці А-Г:
1. a n
3n
4
А 4
2. a n
4n
3
Б –4
3. a n
3n
4
В –3
Г 3
769. В арифметичній прогресії a a 18. Знайдіть a .
3 7
А
10
Б
18
В
9
770. В арифметичній прогресії a a 18. Знайдіть a .
3 7
2
a 8
5
Г
36
А
5
Б
18
В
9
Г
6
Рівень (Level) ІІ ___________________________________________________
771. Знайдіть перші чотири члена арифметичної прогресії (а n ), якщо (Find the
first four terms of the arithmetic progression):
1) a1 2 , d 0,4 ; 2) a1 4,5 , d 1,5 .
772. Знайдіть перші п’ять членів арифметичної прогресії (а n ), якщо (Find the
first five terms of the arithmetic progression):
1) a3 6 , d 3; 2) a4 8 , d 0,3.
773. Знайдіть різницю арифметичної прогресії а
n
, якщо (Find the common
difference of the arithmetic progression ):
1) a3 6 , a5 14 ; 2) a4 14 , a10 26 .
774. Знайдіть різницю арифметичної прогресії а
n
, якщо (Find the common
difference of the arithmetic progression):
1) a7 13 , a2 13 ; 2) a8 43, a11 17 .
775. Знайдіть перший член арифметичної прогресії, якщо (Find the first term of
the arithmetic progression):
1) 6
16 a , 1,2 d ; 2) 9
50 a , 2 d .
263

776. Знайдіть перший член арифметичної прогресії, якщо (Find the first five term
of the arithmetic progression):
1) a5 26 , a8 14 ; 2) a3 14 , a6 5 .
777. Знайдіть номер члена арифметичної прогресії 13,6, 14,2, 14,8, …, який
дорівнює 22,6.
778. Знайдіть номер члена арифметичної прогресії 4, 11, 18; …, який дорівнює
165.
779. Знайдіть номер члена арифметичної прогресії 9,3, 9,7, 10,1, …, який
дорівнює 16,1.
780. Знайдіть номер члена арифметичної прогресії 8,2, 7,9, 7,6, …, який
дорівнює 6,4.
781. Скільки додатних членів містить арифметична прогресія (How many
positive terms are there in this arithmetic progression)
5,7, 5,3, 4,9, …
782. Знайдіть перший від’ємний член арифметичної прогресії
15,4, 14,6, 13,8, ….
783. Чому дорівнює перший додатний член арифметичної прогресії
10,4, 9,8, 9,2, ….?
784. Скільки від’ємних членів містить арифметична прогресія (How many
negative terms are there in this arithmetic progression):
5,1, 4,6, 4,1, …?
785. Скільки додатних членів містить арифметична прогресія (How many
positive terms are there in this arithmetic progression):
3, 2,6, 2,2, …?
786. Знайдіть перший додатний член арифметичної прогресії
15,9, 15,3,
14,7, ….
787. Послідовність (b n ) – арифметична прогресія. Знайдіть: n, якщо
b
n
1,47 , b
1
1, 23, b
2
1, 2 .
264

788. Послідовність (b n ) – арифметична прогресія. Знайдіть: n, якщо b 8, 6 ,
b 4,3 6 , d 0, 3.
789. При яких значеннях х числа x 1,
утворюють арифметичну прогресію?
2
x і 3 13
x у вказаному порядку
790. Знайдіть різницю спадної арифметичної прогресії, якщо відомо, що три її
послідовних члени дорівнюють 3x 2 5, 2x 7 і
2
3 x .
791. Сторони прямокутного трикутника утворюють арифметичну прогресію з
різницею 6. Знайдіть площу трикутника.
792. Сторони прямокутного трикутника утворюють арифметичну прогресію з
різницею 4. Знайдіть найменшу висоту трикутника.
793. В арифметичній прогресії a7 a15 16,4 . Обчисліть a 11 .
794. В арифметичній прогресії a6 a12 14,6 . Обчисліть a
9 .
795. В арифметичній прогресії a5 a12 29, a11 a7
17 . Обчисліть різницю
прогресії.
796. В арифметичній прогресії a4 a11 27, a10 a6
15 . Обчисліть різницю
прогресії.
Рівень (Level) ІІІ ___________________________________________________
797. При діленні восьмого члена арифметичної прогресії на другий член у
частці отримуємо 2 і в остачі 8, а сума третього, четвертого і шостого членів
прогресії дорівнює 51. Знайдіть сьомий член цієї прогресії.
798. При діленні дев’ятого члена арифметичної прогресії на її четвертий член
у частці отримуємо 2 і в остачі 6, а добуток третього і шостого членів цієї
прогресії дорівнює 406. Знайдіть кількість членів прогресії, які задовольняють
2
умову a 7a
30 0 .
n
n
799. При діленні сьомого члена арифметичної прогресії на четвертий член у
частці отримуємо 3 і в остачі 1, а сума другого, п’ятого і дев’ятого членів
прогресії дорівнює 24. Знайдіть 13 член цієї прогресії.
n
265

800. При діленні дев’ятого члена арифметичної прогресії на другий член у
частці отримуємо 5, а при діленні тринадцятого члена на шостий у частці
отримуємо 2 і в остачі 5. Знайдіть суму членів прогресії, які належать проміжку
( 23;82,1] .
801. Чи є членом арифметичної прогресії (с n ) число р, якщо:
1
с
1
с5
1 , с
3
1
с5
1
1
3
, p30?
802. Знайдіть номер члена арифметичної прогресії (a n ), який дорівнює числу р,
якщо: a a 6 ,
3 9
7
a
3
a9
8 , p 2,25 .
16
803. Знайдіть числа, які є одночасно членами двох арифметичних прогресій:
3, 7, 11, ..., 407 і 2, 9, 16, ..., 709. Укажіть їx кількість.
804. Знайдіть числа, які є одночасно членами двох арифметичних прогресій:
2, 7, 12, ..., 167 і 4, 11, 18, ..., 228. Укажіть їx кількість.
805. Доведіть, що числа а, b, c не можуть бути членами однієї арифметичної
прогресії (не обов’язково послідовними), якщо:
1) a 2 , b 2 , c 4 ; 2) a 2 , b 3 , c 5 .
Світ навколо нас
806. Лампа розжарювання розрахована на 1000 год
роботи. Термін роботи люмінесцентної лампи в
середньому 8000 год роботи, а світлодіодної лампи
20 000 год роботи. Дізнайтесь вартість кожної з цих ламп
потужністю 60Вт і розрахуйте витрати на купівлю
лампочок для освітлення вашої оселі продовж 5 років.
Мисліть творчо, логічно, системно
266

807. Чи може число, складене з 600 шестірок і деякої кількості нулів, бути квадратом
цілого числа?
1 1 1
808. Числа a, b, c такі , що a b c 7,
0,7.
Знайдіть значення
a b b c c a
a b c
виразу .
b c a c a b
809. Два велосипедиста на тренуванні рухаються зі сталою швидкістю по колу в одному
напрямі. Перший велосипедист проходить трасу на 3 хв швидше другого і наздоганяє
другого кожні 30 хв. За який час перший велосипедист проходить трасу?
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
810. There are more girls than boys among 8 pupils. How many girl pups could
there be?
§21. Сума n першиx членів арифметичної прогресії
Ключові слова
Keywords
Сума n першиx членів арифметичної прогресії arithmetic series
Розповідають, що незвичайні здібності видатного
німецького математика Карла Фрідріха Гаусса (1777-
1855) почали виявлятися вже в ранньому віці.
Якось він здивував учителя, миттєво обчисливши
суму перших ста натуральних чисел. Він, очевидно,
помітив, що в послідовності 1, 2, 3, 4, ..., 97, 98, 99, 100
сума першого і останнього числа дорівнює 101 (1 + 100
= 101), другого і передостаннього — теж 101 (2 + 99 = 101), третього від
початку і третього від кінця — теж 101 (3 + 98 = 101) і т.д. Всього таких сум
можна утворити 50 (остання — 50 + 51). Отже, сума перших ста натуральних
чисел дорівнює 101 • 50 = 5050. Узагальнимо спостереження Ф.Гаусса.
267

s
Розглянемо суму п перших членів арифметичної прогресії
a1 a ... . Доведемо, що :
n 2
a n
Доведення
a1
an
2a
n d
1) sn
n ; або 2) s n
1
( 1)
n .
2
2
Запишемо суму s
n
a a ... a
1 2
n двома способами: у прямому і
зворотному порядку розміщення доданків. Маємо:
S n = a 1 + a 2 + a 3 + …+ a n-2 + a n-1 + a n та S n = a n + a n-1 + a n-2 +... + a 3 + a 2 + a 1.
Додамо почленно ці дві рівності. Маємо:
2 S n = (a 1 + a n )+ (a 2 + a n-1 )+(a 3 + a n-2 )+…+ (a n-2 + a 3 )+(a n-1 + a 2 )+( a n + a 1 ).
За доведеною властивістю кожна із сум у дужках дорівнює а 1 + а n .
Кількість таких сум дорівнює n.
Отже, 2S п = (а 1 + а n )n.
s
n
a
1
a
2
n
n
- формула суми перших n членів арифметичної
прогресії
Зауважимо, що за цією ж формулою можна знайти суму усіх членів скінченної
арифметичної прогресії.
Формулу 2) доведіть самостійно.
Приклад 1. Знайти суму членів арифметичної прогресії з 7-го по 26-й
включно, якщо перший член дорівнює 39, а різниця дорівнює – 2.
Розв’язання
I спосіб. Можна знайти суму перших 26 членів і суму перших 6 членів
арифметичної прогресії, різниця між ними і буде розв’язком задачі.
Нехай ( a n
) - дана арифметична прогресія. За умовою a 39, d 2.
2a
n d
Знайдемо суми S
26
i S
6 за формулою s n
1
( 1)
n .
2
268
1

Розглянемо різницю:
2a1
25d
2a
5d1
S26
S6
26 6
(2a1
25d)
13
(2a1
5d)
3
2
2
26a
325d
6a
15d
20a
310d
20 39
310 (
2)
780 620 160.
Відповідь: 160.
1
1
1
II спосіб. Шукану суму також можна знайти як суму перших 20-ти членів
арифметичної прогресії з тією ж різницею і першим членом, що дорівнює а 7 .
Маємо,
S
S
20
20
a
7
( a
Відповідь:160.
1
a26
20;
2
6d
a 25d)
10
(2a
1
1
31d
) 10
(2 39 31
( 2))
10
(78 62) 10
160.
Приклад 2. Знайти суму перших 20 членів арифметичної прогресії. Якщо
сума першого, четвертого і сьомого дорівнює 45, а добуток четвертого і
шостого 315.
системи:
Розв’язання
Нехай ( a n
) - дана арифметична прогресія. Подамо данні умови у виді
a
a
1
a
a
a6
315,
4
4
7
45,
a1
a1
3d
a1
6d
45,
(
a1
3d)(
a1
5d)
315,
3a1
9d
45,
(
a1
3d)(
a1
5d)
315,
a1
3d
15,
15(
a1
5d)
315,
різницею рівнянь отже,
a
a
1
1
3d
15,
5d
21,
2d
6,
a 1
21
5d,
d
3,
a 1
6.
перше рівняння системи замінимо
2 6 19 3
2
Далі за формулою суми маємо : S
20 (57 12) 10
690.
20
Відповідь: 690.
Приклад 3. (ЗНО) Одним із мобільних операторів було запроваджено
акцію «Довше розмовляєш – менше платиш» з такими умовами: плата за
з’єднання відсутня; за першу хвилину розмови абонент сплачує 30 к., а за
кожну наступну розмови – на 3 к. менше, ніж за попередню; плата за 11
хвилину та всі наступні хвилини розмови не нараховуються; умови дійсні для
269

усіх мобільних операторів країни. Скільки за умовами акції коштуватиме
абоненту цього мобільного оператора розмова тривалістю 15 хв?
Розв’язання
Задача на арифметичну прогресію. Використаємо формулу суми n
першиx членів арифметичної прогресії:
У нашому випадку : a1 = 30, d = −3, n =10.
2 30 9 3
s
10
10
2
165(к.)
s n
2a
1
( n 1)
d
n
2
Відповідь: 1.65 грн.
Приклад 4. Розв’яжіть в натуральних числах рівняння:
1 9009.
3 6 9 ...
3 x
Розв’язання
Ліва частина рівняння є сумою членів скінченною арифметичної
прогресії, де 3, a 3x
1 , d 3
a
n . Знайдемо кількість членів прогресії за
1
формулою a n
a n
1d
, тобто 3x 1
3
3n
1
отже, x 1
Далі
S
1
n .
a a 3 3 1 1 n
x
n,
x 1
n 9009.
Розв’яжемо останнє рівняння:
2
2
x
2
x
1 3003, x 78.
Другий корінь рівняння (-77) не підходить, бо не є натуральним числом.
Відповідь: 78.
Зверніть увагу!
Сума
перших n членів арифметичної прогресії є квадратичною функцією
виду
від натурального аргументу.
2
Розглянемо функцію виду: y ax bx,
a 0. Якщо змінна x набуває лише
2
натуральниx значень отримаємо функцію S n
an bn
. Доведемо, що
отримана функція від натурального аргументу задає суму арифметичної
270

прогресії. Знайдемо різницю арифметичної прогресії:
n n 1 Sn
Sn
1
Sn
1
Sn
2
2
2
2
bn 2an
1 bn
1 an
2 bn
2
n
2n
1 n
2 2a
d a a
S S S
an
b
Отже,
d 2a
- постійна величина. Доведено.
2
2
2
an
2n
1 n
2
n
2
n1
n2
Приклад 5. Сума n першиx членів арифметичної прогресії визначається
за формулою
Розв’язання
За умовою
S n
3n
2 7n
S n
3n
2 7n
. Знайдіть різницю арифметичної прогресії.
- сума першиx n членів арифметичної прогресії, тоді
a S ; a S S 2. Отже, d a a 6.
1 1
4
2 2 1
Відповідь: 6.
2 1
Узагальнюйте міркуючи
811. Яку властивість скінченної арифметичної прогресії використовують для
встановлення формули суми n перших її членів?
812. Запишіть у зошиті два варіанти формули суми n перших членів арифметичної
прогресії. В якому випадку, на ваш погляд, доцільніше використовувати один з них, а в
якому випадку — інший?
813. Обчисліть S
15 , якщо a 1
3,
a 15
23.
814. Яка з формул є формулою знаходження суми n- першиx членів арифметичної
прогресії?
1) S
n
2) S
2a
n
1
( a
nd;
1
( n 1)
d)
n;
Розв’яжіть самостійно
3) S
n
4) S
n
a1
( n 1)
d
n;
2
2a1
( n 1)
d
n.
2
Рівень (Level) І _____________________________________________________
271

Завдання 815 – 826 мають по чотири варіанти відповіді (А – Г), з яких тільки
один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді.
815. ( a n
) арифметична прогресія, де a1 5;
d 3.
Обчисліть S 4
.
А -34 Б -19 В -38 Г -28
816. В арифметичній прогресії a
1
a9
10
. Обчисліть S
9 .
А 45 Б 50 90 Г 100
817. Сума n першиx членів арифметичної прогресії визначається за формулою
S n
2n
2 6n
. Знайдіть перший член арифметичної прогресії.
А -4 Б 4 В 6 Г -2
818. Арифметична прогресія має n членів. Відомо, що S n = 0; a 1 = 13; d = -1.
Знайдіть кількість членів прогресії.
А 13 Б 14 В 27 Г 25
819. Обчисліть суму 10 + 11 + 12 +…+ 18 + 19 + 20.
А 150 Б 155 В 160 Г 165
820. В арифметичній прогресії a 9 = 10. Знайдіть S 17 .
А 153 Б 90 В 85 Г 170
821. В арифметичній прогресії a 4 + а 11 = - 10. Знайдіть S 14 .
А -70 Б -140 В -150 Г -35
822. Знайдіть суму всіx двоцифровиx парниx чисел .
А 2430 Б 5400 В 2700 Г 3850
823. Знайдіть суму перших двадцяти членів арифметичної прогресії, якщо:
a 1 + a 20 = 42.
А 420 Б 210 В 140 Г 820
824. Знайдіть суму натуральниx чисел кратниx 5,небільшиx за 100.
А 1000 Б 500 В 1050 Г 2010
825. Яка з формул є формулою знаходження суми n-членів арифметичної
прогресії?
А Sn 3n
1
Б 3 2 2
Sn n 1
В Sn 3 n Г Sn 3 n n
826. Яка з формул знаходження суми n-членів арифметичної прогресії задає
найбільший перший член прогресі?
А
2
2
Sn 2 n n Б Sn 3 n n В Sn n
2 2
4n
Г Sn 5 n n
272

Рівень (Level) II ___________________________________________________
827. В арифметичній прогресії
членів прогресії.
828. В арифметичній прогресії a 7; d 3.
Обчисліть 9
a 1
4;
a 2
12;
Sn
244
. Знайдіть кількість
1
829. В арифметичній прогресії загальний член задано формулою b n
12 5n
.
Обчисліть S
14 .
830. В арифметичній прогресії загальний член задано формулою b n
4n
2.
Обчисліть S
20 .
831. В арифметичній прогресії a 7
8;
a 11
12,8.
Обчисліть S
10 .
832. В арифметичній прогресії a
7
18,5;
a17
26,
5. Обчисліть S
12 .
833. Обчисліть (Calculate): 1,3+3,8+6,3+…+11,3.
834. Обчисліть (Calculate): 2,6+3,8+5+…+13,4.
835. Знайдіть перший член арифметичної прогресії (Find the first term of the
n
arithmetic progression) a , якщо (if) a30 14, а S30 225 .
836. Знайдіть перший член арифметичної прогресії a n , якщо a40 26 , а
S40 880 .
837. За вільного падіння тіло проходить за першу секунду 6 м, а за кожну
наступну на 9,8 м більше. З якої висоти кинуто тіло, якщо землі воно
торкнулось через 10 секунд після початку падіння?
838. Тіло кинули з висоти 930 м, землі воно торкнулось через 10 с. При цьому
тіло проxодило за кожну секунду, починаючи з другої на 9,8 м більше ніж за
попередню. Скільки метрів тіло пролетіло за першу секунду?
839. Знайдіть число n і суму 20 перших членів арифметичної прогресії (с n ),
якщо c 4
20 , c 60, 2
n
d .
S .
273

840. Знайдіть число n і суму 30 перших членів арифметичної прогресії (с n ),
якщо c 4
15 , c 75, 3
n
d .
841. Знайдіть суму 16 перших членів арифметичної прогресії (а n ), якщо a6 1 ,
a9 4,9 .
842. Знайдіть суму 11 перших членів арифметичної прогресії (b n ), якщо b 9
7 ,
b19 23.
843. Знайдіть суму:
1) всіх трицифрових непарних чисел;
2) всіх натуральних чисел, кратних п’яти, які не перевищують 261;
3) всіх трицифрових парних натуральних чисел, кратних 3.
844. Знайдіть суму:
1) всіх натуральних чисел, кратних 7, які не перевищують 251;
2) всіх непарних трицифрових натуральних чисел, які діляться на 9 націло.
845. Хворий приймає ліки за наступною схемою: у перший день він приймає 5
крапель, а в кожен наступний день - на 5 крапель більше, ніж у попередній.
Прийнявши 40 крапель, він 3 дні п'є по 40 крапель ліків, а потім щодня
зменшує прийом на 5 крапель, довівши його до 5 крапель. Скільки пляшок
ліків потрібно купити хворому, якщо у кожній міститься 20 мл ліків (що
складає 250 крапель)?
846. Посадка в таксі (в яку входить 3 км пробігу) коштує 30 грн. Кожен
наступний кілометр оплачується з розрахунку 15 грн/км. Відстань поїздки
30 км. Розрахуйте вартість поїздки.
847. Для нагородження переможців у міській олімпіаді з математики було
виділено декілька призів. Вартість найбільшого призу складала 300 грн, а
вартість наступного призу зменшувалась на одну і ту ж саму суму до самого
найменшого в 60 грн. Скільки учасників олімпіади отримали призи, якщо на
усі призи було витрачено 7200 грн?
848. Андрійко розклав на столі 200 цукерок так, що в кожному наступному
ряду їх було на 4 менше, ніж у попередньому, а найменший ряд містив дві
274

цукерки. Скільки цукерок було у найдовшому ряду?
Рівень (Level) ІІІ ________________________________________________
849. Обчисліть суму всіх двоцифрових натуральних чисел, які при діленні на
5 дають в остачі 2.
850. Знайдіть суму всіх натуральних чисел, менших 188, які при діленні на 4
дають остачу 1.
851. Знайдіть суму всіх натуральних чисел, не кратних 6, які не
перевищують 311.
852. Знайдіть суму всіх натуральних парних чисел, не кратних 5, які не
перевищують 248
853. Знайдіть формулу n-ого члена арифметичної прогресії b
n , якщо сума її
n перших членів дорівнює
S n
n
2 3n
.
854. Знайдіть формулу n-ого члена арифметичної прогресії b
n , якщо сума її
n перших членів дорівнює
S n
2
2 n n .
855. У спадній арифметичній прогресії a4 a8 28, a4a8
180 . Обчисліть S
10 .
856. У спадній арифметичній прогресії a4 a7 29, a4a7
190. Обчисліть S
10 .
857. Знайдіть перший член арифметичної прогресії, різниця якої дорівнює 15,
а сума її перших тринадцяти членів дорівнює 1206.
858. Знайдіть перший член арифметичної прогресії, різниця якої дорівнює
16, а сума її перших сімнадцяти членів дорівнює 544.
859. Знайдіть суму 39 перших членів арифметичної прогресії а
n
, якщо
а а а а а а 84 .
2 5 19 21 25 48
860. Знайдіть суму п’яти перших членів арифметичної прогресії а
n
, якщо
а а 3а
4а
50.
1
2
2 3 4
275

861. Відомо, що в арифметичній прогресії (а n ) a3 a6 a10 a21 16 . Знайдіть
S .
19
862. Відомо, що в арифметичній прогресії (а n ) a4 a7 a11 a22 18. Знайдіть
S .
21
863. Розв’яжіть рівняння (Solve the equation):
1)
2)
2
2
2
2
x
x 1
x
2x
3
x
3x
5
... x
20x
39
x
1 x
4
x
7
... x
28 155.
4500;
864. Розв’яжіть в натуральних числах рівняння (Solve equation in natural
numbers):
8 3n
1)3 6 9 ... 3( n 1)
4
5,5 7 ... 137 ;
2
n 1
n 2 n 3 1
2) ... 3.
n n n n
865. При діленні тринадцятого члена арифметичної прогресії на третій член у
частці отримуємо 3, а при діленні вісімнадцятого члена на сьомий член у
частці отримуємо 2 і в остачі 8. Знайдіть кількість членів цієї прогресії, якщо
їх сума дорівнює 2232.
866. Задано дві арифметичні прогресії. Перший і п’ятий члени першої
прогресії дорівнюють відповідно 7 і (5). У другої прогресії перший член
дорівнює 0, а останній член дорівнює 3,5. Знайдіть суму членів другої
прогресії, якщо відомо, що треті члени обох прогресій рівні між собою.
Світ навколо нас
867. 96% енергії, яку споживає лампа
розжарювання йде на нагрівання оточуючого
середовища. Люмінесцентні і світлодіодні лампи
не виділяють такої кількості тепла, що дозволяє
використовувати в світильниках паперові чи
тканинні матеріали. Люмінісцентні лампи у 5 разів менше нагрівають оточуюче
276

середовище, а світлодіодні у 10. Який відсоток енергії, що споживає кожна з ламп іде на
освітлення?
Мисліть творчо, логічно, системно
868. Підходячи до магазину, Олег і Денис посперечалися. Олег стверджував, що до входу
в магазин більше 25м, а Денис - що більше 20м. Потім з’ясувалося, що лише хтось один
був правий. То на якій же відстані від магазину вони посперечалися?
869. Розгадайте ребуси:
870. У класі 41 учень. Під час карантину у виконанні завдань один із них зробив 13
помилок, а всі інші – менше. Довести, що знайдуться 4 учні, які зробили однакову
кількість помилок.
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
871. Joe enters a race where he has to cycle and run. He cycles a distance of 25 km, and then runs
for 20 km. His average running speed is half of his average cycling speed. Joe completes the race
in less than 2½ hours, what can we say about his average speeds?
Орієнтовні завдання до тематичної контрольної роботи №7
Тема. Арифметична прогресія
Початковий рівень
Завдання 1 4 мають по чотири варіанти відповіді, серед яких лише
ОДИН правильний. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь.
Завдання 1 4 оцінюються у 1 бал
1. Знайдіть другий член послідовності 3n
2.
А -5 Б -1 В -2 Г -4
2. Знайдіть номер члена a
k послідовності а n
, якщо: a n
5n
8, a
k
27 .
277
a n

А 6 Б 7 В 8 Г 9
3. Укажіть формулу загального члена послідовності натуральних чисел ,
що діляться на 5 з остачею 3 .
А 5n+1 Б 5n+2 В 3n+5 Г 5n+3
4. ( a n
) арифметична прогресія. a1 2; d 3.
Обчисліть S 4
.
А 20 Б 10 В -10 Г -20
Середній рівень
Завдання 5 передбачає встановлення відповідності. До кожного рядка,
позначеного цифрою, доберіть один відповідний, позначений буквою.
Завдання 5 оцінюється у 1,5 бали
5. Встановіть відповідність між формулами загального члена арифметичної
прогресії 1-3 та числовими значеннями різниці А-Г:
1. a n
6n
1
А 7
2. a n
4n
3
Б –1
3. a n
5n
2
В –5
278
Г 5
Завдання 6 9 розв’яжіть з повним поясненням
Завдання 6 8 оцінюються у 1,5 бали
6. Знайдіть суму 20 перших членів арифметичної прогресії b
n
, якщо
b5 0,8 , b11 5.
7. Знайдіть суму всіх натуральних чисел, менших 167, які при діленні на 4
дають остачу 3.
Достатній рівень
8. (ЗНО) Робітники отримали замовлення викопати криницю. За перший
викопаний у глибину метр криниці їм платять 50 грн, а за кожний наступний
– на 20 грн більше, ніж за попередній. Скільки грошей (у грн) сплатять
робітникам за викопану криницю завглибшки 12м ?

Високий рівень
Завдання 9 оцінюється у 2 бали
2
2
2
2
9. Розв’язати рівняння: 2x
1
x
x 4
x
7
... x
19x
64 429
x .
§ 22. Геометрична прогресія
Ключові слова
Геометрична прогресія
Знаменник геометричної прогресії
Keywords
geometric progression
common ratio of the geometric progression
Нескінченна спадна геометрична прогресія infinitу decreasing geometric series
Означення. Геометричною прогресією називається числова
послідовність, у якій перший член відмінний від нуля, а кожен член,
починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме
відмінне від нуля число. Це число називають знаменником геометричної
прогресії і позначають q. Отже,
Зверніть увагу!
Арифметичній прогресії, на відміну від геометричної, ніяких обмежень на
перший член та різницю не накладають.
b
З визначення геометричної прогресії випливає, що
b
q
b
.
b
n1
q
n1 n – рекурентна формула геометричної прогресії, де 0
n
b , q 0.
n
279

Зверніть увагу !
Для того, щоб задати геометричну прогресію
, достатньо знати її
перший член і знаменник.
Якщо q 1, то всі члени прогресії рівні між собою. У цьому випадку
геометрична прогресія є сталою послідовністю, яка розглядається рідко. Таку
послідовність також можна вважати арифметичною прогресією із різницею,
що дорівнює нулю.
Проаналізуємо закономірність утворення членів геометричної прогресії:
2
3
b b q,
b b q , b b q , , b
2
1
3
1
4
1
n
b q
1
.
n1
Існує залежність між показником степеня знаменника та номером
члена послідовності, можна помітити певну закономірність, а саме: показник
на одиницю менше за номер.
Отже,
n1
b
n
b1
q – формула n-ого члена геометричної прогресії.
Приклад 1. Перший член геометричної прогресії дорівнює 8, а її знаменник
дорівнює
Розв’язання
1
. Знайдіть п’ятий член прогресії.
2
За умовою,
b
1
8; q
1
2
. Для знаходження п’ятого члена даної прогресії
використаємо формулою п-го члена геометричної прогресії .
4 1 1
Отже, b
5 b
1 q
8 .
2 2
Відповідь:
2
1 .
4
Приклад 2. Дана геометрична прогресія
формулу n-го члена геометричної прогресії.
280
: -2; 8; -32; 128; … . Задайте

Розв’язання
b 8
q
1
.
b 2
2
Знаходимо спочатку знаменник прогресії: 4
n
2
4 1
b
.
n
n
Відповідь:
2
4 1
b .
n
1
Приклад 3. У геометричній прогресії b , b 0, 2 . Знайдіть q .
4
25 7
Розв’язання
Знайдемо знаменник прогресій q, для цього складемо систему рівнянь:
3
3
b
4
b1
q , 25 b1
q
Поділимо друге рівняння на перше, отримаємо:
6
6
b7
b1
q , 0,2 b1
q .
q
3
0,2
25
1
125
1
5
Відповідь: .
,
1
q .
5
Приклад 4. При якому значенні х числа 3x 2, x 2 і x 8 є послідовними
членами геометричної прогресії?
Розв’язання
За умовою числа 3x 2, x 2 і x 8 є послідовними членам
геометричної
прогресії, тоді кожен наступний член відрізняється від
попереднього на сталий множник, тобто:
x 2 x 8
,
3x
2 x 2
2
2x
18x
20 0, x
Відповідь: 1; -10.
2
x
2 3x
2x
8,
2
9x
10
0, x
1
x
2
10,
x
4x
4 3x
2
1.
2
22x
16,
Приклад 5. Знайдіть кількість членів геометричної прогресії (х n ), якщо:
Розв’язання
x
1
3, x
2
12, x
n
3072 .
281

За умовою, x
1
3, x
2
12 , тоді q=4 . Для знаходження номера n-ого
члена даної прогресії скористаємося формулою
. Отже
x
n
n1
n1
n1
5
x1 q 3
4 3072, 4 4 , n 6.
Відповідь: 6.
З прикладами геометричної прогресії ми зустрічаємося у повсякденному
житті :
Всі організми володіють інтенсивністю
розмноження в геометричній прогресії ;
Геометрична прогресія відіграє велику
роль у машинобудуванні. За законом
геометричної прогресії побудовано розмірність
металорізальних верстатів та інструментів,
встановлено нормальні діаметри і довжини в
машинобудуванні. Тому геометрична прогресія
становить математичну основу стандартизації
різноманітної промислової продукції;
В архітектурі, будівельній справі
використовуються колони. Вони мають форму не
циліндра, а зрізаного конуса. Сила тиску в
горизонтальних шарах колони зростає у напрямку до
нижньої основи. Для збереження рівномірності від
тиску довжини колони потрібно збільшувати площі її
поперечних перерізів. Площі поперечних перерізів, рівновіддалених один від
одного, становлять геометричну прогресію;
Вклади в банках збільшуються за схемами складних відсотків у
геометричній прогресії.
282

Дізнайтеся більше!
Властивості геометричної прогресії
Теорема 1. Квадрат кожного члена геометричної прогресії, починаючи з
другого, дорівнює добутку двох рівновіддалених від нього членів прогресії,
2
тобто b
b b
.
n
nk
nk
Доведення. За умовою члени послідовності утворюють геометричну
прогресію, тоді виразимо члени
Отримаємо :
b
nk
b
nk
b
. q
q
b
. q
b
n k
i bn
k
через b
1
i q.
n1
2 2
b
q
b
.
2 nk
1
nk
1
2 2( n1)
1 1
1
n
2
b
Отже, .
n
bnk
bnk
Зазначимо, що ця властивість стосується послідовностей у яких більше двоx
членів.
Теорема 2. Добуток двох членів скінченої геометричної прогресії,
рівновіддалених від її першого і останнього членів є сталою, яка дорівнює
добутку першого і останнього членів, тобто
(Доведіть самостійно)
b
k
b
b b
nk
1 1 n .
Приклад 6. Відомо, що b
13
b31
36.
Обчисліть: 1) b19 b 25
; 2) b 22 .
Розв’язання. За властивістю членів геометричної прогресії маємо
2
ланцюжок рівностей: b b
b b
b b
( b ) 36.
Отже b b
i b 6.
19 25
36
22
1 43 13 31 19 25 22
Узагальнюйте міркуючи
872. Яку послідовність називають геометричною прогресією?
873. Що таке знаменник геометричної прогресії?
283

874. Як задати n-ий член геометричної прогресії
1) рекурентно; 2) через перший член прогресії та знаменник?
875. Як знайти знаменник геометричної прогресії, якщо відомі:
1) перший і другий члени; 2) сьомий і третій члени?
876. Сформулюйте властивості членів геометричної прогресії.
Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І _________________________________________________
Завдання 877 - 887 мають по чотири варіанти відповіді (А-Г), з яких тільки
один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді.
877. Укажіть, яка з наведених послідовностей є геометричною прогресією:
А
4;-2;4;-2;…;
Б
4;0;4;0;…;
В
4;-1;4;-1;…;
Г
4;-4;4;-4;…
878. У геометричній прогресії відомі значення b 4, q 2.
Знайдіть b .
1
А -2 Б -8 В -0,5 Г 2
879. У геометричній прогресії відомі значення членів b i b 16.
Знайдіть q
3
8
4
А -2 Б -8 В -0,5 Г 2
880. У геометричній прогресії відомі значення членів b i b 32.
Знайдіть q .
6
8
8
2
А 2 Б -2 В ±2 Г не існує
881. Відомо, що формула загального члена геометричної прогресії ( b n
) має
вид
bn
3
2
n1
Число 96 є її членом. Укажіть його номер.
А 4 Б 5 В 67 Г 5
882. Між числами 12 і 27 вставте число, щоб утворилась геометрична
прогресія.
284

А
-18
883. Числа 3
; b5;
b6;
b8
Знайдіть b5 b6
.
Б
15
В
7,5
b є членам геометричній прогресії
n
Г
21
b b b 16
, де
3 8
А 16 Б 8 В 32 Г 4
884. Числа 6
; b8
; b10
b є членам геометричній прогресії b
значення добутку b10 b6
, якщо
b
8
8.
n
.
Знайдіть
А 64 Б 16 В 32 Г 15
885. Числа 6
; b8
; b10
b
10
b6
64
.
b є членам геометричній прогресії
b
n .
Знайдіть b 8 , якщо
А 8
Б 32 В 8 Г -8
886. При якому значенні х числа 3х - 1, 6х + 2 і 12х + 4 є послідовними членами
геометричної прогресії?
А
1
Б
2
В
3
Г
4
887. Укажіть формулу n-го члена геометричної прогресії, якщо b 2;
q 0, 5
n
А
n
2
0,
b 5
Б
В
n1
n1
b n
2
0,5 b
n
2
0,5
18
Завдання 888 на встановлення відповідності
888. Встановіть відповідність між формулами загального члена
b
n
1
Г
0,5
n
2 1
геометричної прогресії 1 – 3 та числовими значеннями знаменника А – Г:
n1
1. b 2 3
А 2
n
n
2. b 3 2
Б –2
n
3. n
b 2
3
В –3
n
Г 3
Рівень (Level) ІІ ___________________________________________________
285

889. Знайдіть три перших члени геометричної прогресії (а n ), якщо (Find the
first three term of the geometric progression, if):
1)
1
9 a ,
2)
2
8 a ,
1
q ; 3) 1
3
1
q ; 4) 2
4
1
a , q 5 ;
125
1
a , q 9 .
27
890. Знайдіть знаменник геометричної прогресії а
n
, якщо (Find common
ratio of the geometric progression, if):
1 2
1) a4 5, a5 8; 3) a7
, a6
;
3 9
2) a2 4 , a6 64; 4) a4 9 , a6 36 .
891. Знайдіть перший член геометричної прогресії b
n , якщо (Find the first
term of the geometric progression, if):
2
1) b3 6 , q 2 ; 3) b4
,
9
1
q ;
3
3
2) b5 128 , q 2 ; 4) b4
, q 0,2 .
25
892. Знайдіть члени геометричної прогресії ( x n
) , які позначені буквами:
1) х 1 ; x 2 ; 6; 2; x 5 ; x 6 ; 3) х 1 ; 18; x 3 ; 3; x 5 ; x 6 ;
1 1
2) ; х2 ; ; x4 ; x 5 ; 2; 4) 3 ; х 2 ; x 3 ; 18 2 ; x 5 ; 108 2 .
16 4
893. Між числами 2,5 і 40 вставте три таких числа, щоб вони разом із даними
числами утворювали геометричну прогресію.
894. Між числами 3 і 96 вставте чотири таких числа, щоб вони разом із
даними числами утворювали геометричну прогресію.
895. При якому значенні х числа 3x 2, x 2 і x 8 є послідовними
членами геометричної прогресії?
896. При якому значенні х числа 6x 16 , 2x 4 і 2x 6 є послідовними
членами геометричної прогресії?
286

897.Знайдіть третій член геометричної прогресії b , якщо b4 b1 9 і
b2 b3 b4 6 .
898. Знайдіть третій член геометричної прогресії n
b5 b6 b7 567 .
n
b , якщо b4 b7 756 і
899. Знайдіть чотири числа, що утворюють геометричну прогресію (х n ), якщо:
1) x x 49 і x x 14; 2) x x 56 і x x 108 .
1 4
2 3
900. У геометричній прогресії (b n ) відомо, що :
1) b 5 . Знайдіть значення добутку b11 b9
;
10
2) b 3. Знайдіть значення добутку b b
.
8
5 7
b12
901. У геометричній прогресії (b n ) відомо, що :
1) b
15
b17
32.
Знайдіть значення b
16 ;
2) b
6
b10
b11
27. Знайдіть значення b
9 .
1 4
2 3
Рівень (Level) ІІІ ____________________________________________
902. Сума перших трьох членів геометричної прогресії дорівнює 98. Якщо до
першого члена прогресії додати 4, до другого 2, а від третього відняти 16, то
отримані три числа складають арифметичну прогресію. Знайдіть дані числа.
903. Сума перших трьох членів геометричної прогресії дорівнює 84. Якщо до
першого члена прогресії додати 8, до другого додати 6, а від третього відняти
8, то отримані три числа складають арифметичну прогресію. Знайти дані
числа.
904. Сума перших трьох членів арифметичної прогресії дорівнює 90. Якщо
від першого члена прогресії відняти 8, від другого відняти 6, а до третього
додати 8, то отримані три числа складають геометричну прогресію. Знайдіть
дані числа.
905. Сума перших трьох членів арифметичної прогресії дорівнює 90. Якщо
від першого члена прогресії відняти 6, від другого відняти 2, а до третього
287

додати 16, то отримані три числа складають геометричну прогресію. Знайти
дані числа.
906. Знайдіть четвертий член геометричної прогресії, що складається з семи
членів, якщо сума трьох перших її членів дорівнює 26, а трьох останніх
дорівнює 2106.
907. Сума трьох перших членів геометричної прогресії дорівнює 28, а сума
трьох наступних членів дорівнює 3,5. Знайдіть восьмий член прогресії.
908. Знайдіть три числа, що утворюють зростаючу геометричну прогресію,
7
якщо їх сума дорівнює 21, а сума обернених їм чисел дорівнює . 12
909. Знайдіть три числа, що утворюють спадну геометричну прогресію, якщо
сума цих чисел дорівнює 74, а сума їхніх квадратів дорівнює 1924.
Світ навколо нас
910. Світловий потік люмінесцентної
лампи потужністю 20 Вт приблизно
дорівнює світловому потоку лампи
розжарювання потужністю 100 Вт. У
скільки разів віддача люмінесцентної
лампи більша, ніж у лампи
розжарювання? На скільки відсотків
використання люмінесцентної лампи
дозволяє знизити споживання
електроенергії без втрати звичного рівня освітленості кімнати?
Мисліть творчо, логічно, системно
911. Перший член послідовності дорівнює 439, кожен наступний дорівнює сумі цифр
попереднього, помноженій на 13. Знайти 99 член цієї послідовності.
912. У послідовності цифр 123456789101112131415… вкажіть цифру яка стоїть на 1001-му
місці.
288

913. На столі стоять два наполовину заповнених однакових стакани: один з молоком,
інший з кавою. Зі стакану з молоком ложку молока переливають в стакан з кавою,
змішують, і ложку отриманої суміші переливають назад в стакан з молоком. Чого в
результаті буде більше: молока в стакані з кавою чи кави в стакані з молоком?
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
914. The velocity v m/s of a ball thrown directly up in the air is given by v = 30 – 5t, where t is
the time in seconds. At what times will the velocity be between 5 m/s and 15 m/s?
§23. Сума членів геометричної прогресії
Ключові слова
Keywords
Суми n першиx членів геометричної прогресії geometric series
Сума нескінченної геометричної
прогресії
Сума n першиx членів геометричної прогресії
Розглянемо скінченну геометричну прогресію, тоді сума n членів цієї
прогресії буде визначатися за формулою:
289
s
n
b
b
b
b
b
1 2 3
...
n1
n .
Виконаємо тотожні перетворення формули суми, для цього ліву і праву
частини рівності помножимо на q≠0, отримуємо:
s q b b b ...
b
b q . Далі розглядаємо різницю:
s
S
n
(
1 2 3
n 1
n
)
n
n
snq
b1 b2
b3
... bn
1
bn
( b1
b2
b3
...
bn
1
bn
) q,
n
q b 1
q
1
1 Якщо q≠1, то
Формулу
s
n
b
геометричної прогресії.
1
n
b1
q 1
s
n
, якщо q=1 s b .
q 1
n
1
n
n
q 1
де q≠1 називають формулою суми n першиx членів
q 1

Приклад 1. Знайдіть кількість членів геометричної прогресії (х n ), якщо
x 1
, 4
54
x 2
, 31
3
s
n
1 .
27 54
Розв’язання
Якщо відомі значення четвертого і третього членів, тоді знаменник
2
x4 1 x3
32
геометричної прогресії q , a x 27
1
.
2
2
Далі за формулою
x3
4 q 1 27
4
n
b1
q
1
s
n
знайдемо кількість членів геометричної прогресії, отже,
q 1
n
1
32
1
85
4
,
54 1
27
1
4
Відповідь: 4
1
4
n
1
,
256
n 4.
Приклад 2. (Математика та біологія) Бактерія, потрапивши в живий
організм, до кінця 20-ї хвилини ділиться на дві бактерії, кожна з них до кінця
наступних 20 хвилин ділиться знову на дві і т.д. Знайдіть число бактерій, що
утворюються з однієї бактерії до кінця доби.
Розв’язання
У добі 1440 хвилин, кожні двадцять хвилин з'являється нове покоління -
за добу 72 покоління. За формулою суми n перших членів геометричної
прогресії, у якої b 1 =1, q=2, n=72, знаходимо, що
S 72 =2 72 -1= 4 722 366 482 869 645 213 696 - 1= 4 722 366 482 869 645 213 695.
Відповідь: 4 722 366 482 869 645 213 695.
Приклад 3. (З підручнику Мaгницького «Aрифметикa» (1703)) Дехто продав
коня за 156 рублів. Aле покупець повернув товaр, вважаючи, що цінa зaвеликa.
Тоді продaвець зaпропонувaв йому купити лише цвяшки до підков коня.
Цвяшків у кожній підкові 6, а цінa булa зaпропоновaнa тaкa: зa перший цвяшок
— чверть копійки, зa другий — півкопійки, зa третій — одну копійку і тaк дaлі.
290

Покупець вирішив, що при тaких підрaхункaх він зaплaтить зa коня не більше
як 10 рублів і погодився нa умову. Скільки заплатив за коня покупець?
Розв’язання
Підрaхуємо, скільки йому потрібно зaплaтити зa 24 цвяшки, тобто
знaйдемо суму 24 перших членів геометричної прогресії, перший член якої —
копійки, a знaменник прогресії дорівнює числу 2. Ця сумa дорівнює мaйже
42 тисячaм рублів.
Сума нескінченної геометричної прогресії при | q |

Зверніть увагу !
Формулу
застосовують лише для обчислення суми усіх членів
нескінченної геометричної прогресії, у якої | q |

За умовою b 1 = 9; b 2 = -3, отже, q =
b 2 =
b 3
1
1
. Маємо нескінченну геометричну
прогресію, у якої | q | < 1. За формулою
S
b1
1 q
знаходимо:
9 93
27
S 6,75.
1 4 4
1
3
Відповідь: 6,75
Приклад 2. (Задача жарт) Один з учнів, викликаний до дошки, має йти від
свого місця до дошки по прямій. Перший крок він робить довжиною 1 м,
другий ½ м, третій 1/4 м і и т. д. так, що довжина наступного кроку в два
рази менша довжини попереднього. Чи дійде учень до дошки, якщо відстань
місця учня до дошки по прямій 2,5 м?
Розв'язання
За умовою b 1 = 1; b 2
1
, отже, q =
2
b
b
2
1
= 2
1 . Маємо нескінченну
геометричну прогресію, у якої | q | < 1. За формулою
S
b1
1 q
знаходимо:
1 1
2
S 2.
1
1
1
2
Відповідь: учень не дійде до дошки.
Приклад 3. Запишемо число 0,2(14) у вигляді звичайного дробу.
Розв'язання
Запис 0,2(14) означає нескінченний періодичний дріб 0,21414.... Його
можна подати як нескінченну суму
2 14 +
10 1000
14
+ 100000
+ … .
Доданки починаючи з другого суми є членами нескінченної геометричної
14 14
прогресії, у якої b 1 = , q = 1000 100000
14
: 1000
1
= , | q | < 1. Тоді ця сума
100
дорівнює:
b1 0,014 14
S . Тому 0,2(14) = 0,2+
1
q 0,99 990
14
990
212 106
.
990 495
293

106
Відповідь: . 495
Узагальнюйте міркуючи
915. Яку геометричну прогресію називають нескінченно?
1 1 1 1
916. Дано геометричну прогресію (b n ): 1; ; ; ; .
3 9 27 54
b1
1) Чи можна суму даної послідовності обчислити за формулою S 1 q
Чому?
2) За якою формулою слід обчислити суму всіх членів даної послідовності?
?
1 1 1 1
917. Дано геометричну прогресію (c n ): 1; ; ; ; ; ... .
3 9 27 54
1
1) Чи можна суму всіх членів даної прогресії знайти як значення виразу ?
1
1
3
Чому? Знайдіть цю суму.
2) Знайдіть суму перших чотирьох членів даної прогресії. Порівняйте її з
числом, отриманим у попередньому розрахунку. Як можна пояснити
результати порівняння?
Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І ____________________________________________________
Завдання 918 -929 мають по чотири варіанти відповіді (А-Г), з яких тільки
один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді.
294

918. Укажіть, яка з наведениx послідовностей є нескінченно спадною
геометричною прогресією.
А
1 1 1 1 ; ; ;
3 9 27 54
Б
1 1 1 1
;- ; ; .
9 27 54 108
В
Г
1 1 1 1 1 1
1; ; ; ; ... . ; ; ;...
3 9 27
108 54 27
919. Знайдіть суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії :
1;
2
1
;
4
1
;
8
1
; ...
.
А
Б
0,5 2
В
Визначити
неможливо
Г
1,875
920. Знайдіть суму членів спадної геометричної прогресії : 1;
2
1
;
4
1
;
8
1
.
А
1,875
Б
2
В
295
1,5
Г
1,75
921. Сума членів нескінченно спадної геометричної прогресії зі знаменником
1
q дорівнює 7. Знайдіть перший член прогресії.
7
А 6 Б 8 В 7
Г 7
6
922. Укажіть формулу суми n першиx членів геометричної прогресії.
А
S
b 1
q
n
1
n
Б
q 1
S
n
b 1
q
1
q
n
1
В S n
b1
1 q
Г
S
n
b1
1
q
1
q
923. Укажіть формулу суми n першиx членів геометричної прогресії b n
,
якщо: 2; q 3
b .
1
n
n
1 3
1 3
1 3
1 3
А s n
Б s n
В s n
Г s n
4
2
4
2
924. Подайте нескінченний десятковий дріб 1 , 6
у вигляді звичайного.
2
2
1
3
А 1 Б 1 В 1 Г 1
3
5
3
4
9
925. Подайте звичайний дріб у вигляді нескінченного десяткового дробу.
11
А 0,(818) Б 0,(81) В 0,8(18) Г 0,8(1)
2 2
926. Розв’яжіть рівняння 1 x x ... , x 1.
3
n
n
n

927. Знайдіть знаменник нескінченно спадної геометричної прогресії
n
якщо:
А -0,5 Б 0,5 В 0,3 Г-0,3
b ,
1
b 1
1;
b 4
.
8
А 0,5 Б -0,5 В 0,125 Г -0,125
928. Знайдіть суму нескінченно спадної геометричної прогресії b
n
,що задана
в № 927.
А 2
Б
1
8
1 В
7
9
Г 3
2
929. Знайдіть суму нескінченно спадної геометричної прогресії b
n
, якщо
відома формула n-го члена:
n 1
1
b
n
2
.
2
А 8 Б 2 В 4 Г 6
Рівень (Level) II _______________________________________________
930. Знайдіть суму чотирьох перших членів геометричної прогресії (b n ), якщо
(Find the sum of first four terms of the geometric progression, if):
1
b
1
, q 3 .
9
931. Знайдіть суму чотирьох перших членів геометричної прогресії (b n ), якщо
(Find the sum of first four terms of the geometric progression, if):
b4 2;
q
0,5
.
932. Знайдіть суму п’яти перших членів геометричної прогресії (b n ), якщо (Find
the sum of first five terms of the geometric progression, if):
b5 16;
b8
1024
.
933. Знайдіть суму п’яти перших членів геометричної прогресії (а n ), якщо (Find
the sum of first five terms of the geometric progression, if):
a3 25
a
,
5
100
.
934. Знайдіть суму п’яти перших членів геометричної прогресії (а n ), якщо (Find
the sum of first five terms of the geometric progression, if):
a4 27 a
,
2
3 .
296

935. Одна рослина кульбаби займає на землі площу 1 кв. метр і дає на рік
близько 100 одиниць летючого насіння.
1) Скільки км 2 площі покриють всі нащадки однієї особини кульбаби через
10 років за умови, що вона розмножується безперешкодно в геометричній
прогресії?
2) Чи вистачить цим рослинам на 11-й рік місця на поверхні суші земної
кулі?
936. Стародавня індійська легенда. Цар стародавньої Індії Шерам запросив
до себе винахідника шахів Сета і запитав, яку б нагороду хотів би він отримати
за винахід настільки мудрої гри. Тоді Сета попросив царя на перший клітку
шахівниці покласти 1 зерно, на другу - 2 зерна, на третю - 4, на четверту - 8 і
т.д., тобто на кожну клітку вдвічі більше зерна, ніж на попередню клітку.
Спочатку цар здивувався настільки "скромному" запитом винахідника і
поспішно повелів виконати те прохання. Однак, як з'ясувалося, скарбниця царя
виявилося занадто малою для виконання цього прохання. Скільки зерен
повинен був отримати винахідник шахів?
937. У селищі 16000 жителів. Приїжджий о 8.00 розповідає новину трьом
сусідам; кожен з них розповідає новину вже трьом своїм сусідам і т. д. О котрій
ця новина стане відома половині селища?
938. Уявіть собі, що ви стоїте перед дилемою, або отримати 100 тис. гривен
прямо зараз, або в перебігу 28 днів отримувати монетку в 1 копійку, яка щодня
подвоюється. Щоб ви хотіли? З’ясуйте яка кількість грошей набігає за 28 днів?
939. Запишіть у вигляді звичайного дробу: )0, 7 ;
2)1, 12 ;
3)12,203 ;
4)3,214
1 .
940. Знайдіть суму нескінченно спадної геометричної прогресії:
1
1
1) 3 ; 1; ;....
2) 3;
1; ;....
3
3
941. Сума перши n членів геометричної прогресії визначається за формулою
n
n
1)
S 3
2 3; 2) S 1,5 3
1,5.
Знайдіть знаменник геометричної прогресії
n
n
Рівень (Level) III ___________________________________________
297

942. Сума перших чотирьох членів геометричної прогресії дорівнює 30, а
сума наступних чотирьох дорівнює 480. Знайдіть суму перших 12 членів
прогресії.
943. Знайдіть перший член геометричної прогресії a
n , яка складається з
шести членів, якщо сума трьох перших її членів дорівнює 168, а сума трьох
останніх дорівнює 21.
944. Знайдіть перший член геометричної прогресії a
n , яка складається з
шести членів, якщо сума трьох її членів з непарними номерами дорівнює 546,
а сума трьох інших її членів дорівнює 182.
945. В геометричній прогресії s 3
40 , s6 360. Знайдіть s 9 .
946. Знайдіть кількість членів геометричної прогресії (х n ), якщо:
1) q 0, 5, x 2 , s 254 ; 2)
n
n
x 1
2 , x
5
9
,
3
7
s
n
60 .
9
947. Запишіть вісім чисел, що складають геометричну прогресію із
знаменником 2, якщо відомо, що їх сума дорівнює 765.
948. Запишіть геометричну прогресію із знаменником 3, якщо відомо, що її
останній член дорівнює 567, а сума всіх членів дорівнює 847.
949. Сума членів нескінченно спадної геометричної прогресії дорівнює 1,5, а
сума квадратів її членів дорівнює 1,125. Знайдіть третій член прогресії.
950. Сума членів нескінченно спадної геометричної прогресії дорівнює 9, а
сума квадратів її членів дорівнює 40,5. Знайдіть третій член прогресії.
951. Розв’язати рівняння (Solve the equation):
298

1)2 x 1
x x
2) 3x
2 x x
2
2
x
3
x
3
...
...
1
n1
x
n
1
.... , 0
3
5
4
x 1;
n n
1 x .... , 0
x 1.
952. Довести, що для будь - якого натурального n числа
2
1) 1
3 3
... 3
6n1
364;
2)1 2 2
2
... 2
5n1
31.
953. Числа x
1
; x2;
x3;
x4
утворюють зростаючу геометричну прогресію. Знайдіть
а і b , якщо
2
x bx 27 0.
x корені рівняння 3x 2 ax 1
0 і x 3
; x 4
корені рівняння
1; x 2
954. Числа x
1
; x2;
x3;
x4
утворюють зростаючу геометричну прогресію. Знайдіть
а і b , якщо
2
x 12x
b 0.
2
x корені рівняння x 3x
a 0 і x 3
; x 4
корені рівняння
1; x 2
Світ навколо нас
955. Встановіть відповідність між ситуацією описаною в кожному випадку і
графіком функції.
1) Яблуко падає з дерева (х – час, у – висота яблука над землею);
2) Газон регулярно скошують (х – час, у – висота трави);
3) Абрикоса росте, а потім його зривають і сушать (х – час, у – маса
абрикосу).
a) б) в)
Мисліть творчо, логічно, системно
299

956. Три богині прийшли до юного Париса, щоб той вирішив, яка з них найгарніша.
Афродіта: «Я найгарніша, Гера не найгарніша.»
Афіна : « Афродіта – не найчарівніша, я найчарівніша.»
Гера: « Я найчарівніша».
Проаналізуй судження кожної з богинь. Усі судження найгарнішої з богинь істинні, а
судження інших богинь – хибні. Визначте найчарівнішу з богиню.
957. Собака женеться за кроликом, який знаходиться в 150 футах від неї. Вона робить
стрибок на 9 футів щоразу, коли кролик стрибає на 7 футів. Скільки стрибків має
зробити собака, щоб наздогнати кролика?
958. Складіть задачу, моделлю до якої б була парабола.
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
959. A rectangular room fits at least 7 tables; each of them has 1
square meter of surface area. The perimeter of the room is 16 m. What
could the width and length of the room be?
Орієнтовні завдання до тематичної контрольної роботи №8
Тема. Геометрична прогресія
Початковий рівень
Завдання 1 4 мають по чотири варіанти відповіді, серед яких лише
ОДИН правильний. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь.
Завдання 1 4 оцінюються у 1 бал
1. Знайдіть знаменник геометричної прогресії b
b 2
51,
b 1
17
.
300
n
, якщо відомі значення
А -3 Б 3 В 68 Г 44
2. Знайдіть суму нескінченно спадної геометричної прогресії b
b 6, q 0,5.
1
n
, якщо

3. Неxай b
А 3 Б 12 В 4 Г визначити
неможливо
n
- геометрична прогресія зі знаменником
2
5
q та першим
членом b
1
50 . Знайдіть b 3 .
А -8 Б 8 В -4 Г 4
4. Укажіть формулу n-го члена геометричної прогресії 1 ; 3;9;...
А
n
3 Б
3 n1
В
3 n1
Г 3
Середній рівень
Завдання 5 передбачає встановлення відповідності. До кожного рядка,
позначеного цифрою, доберіть один відповідний, позначений буквою.
Завдання 5 оцінюється у 1,5 бали
5. Неxай b
n
- геометрична прогресія. Установіть відповідність між
рівними добутками (1 — 3) та (А — Г):
1 b b
А 2
4 7
b
2 b b
Б b b
1 7
3 7
3 b b
В b b
1 9
5 6
Г b b 2 7
Завдання 6 9 розв’яжіть з повним поясненням
Завдання 6 8 оцінюються у 1,5 бали
6. Послідовність b n
є геометричною прогресією. Сума першиx її членів
визначається за формулою S
n
n
1,5
3
1,
5 . Знайдіть перший член та
знаменник прогресії.
3 , 35 .
7. Запишіть у вигляді звичайного дробу:
4
Достатній рівень
2
11
1
2 2 ... 2
8. Обчисліть .
2
5
1
2 2 ... 2
Високий рівень
Завдання 9 оцінюється у 2 бали
301

9. Між числами 2 і 8
1 запишіть такі числа, які разом з даними числами
утворюють геометричну прогресію сума всіх членів якої дорівнює
7
3 .
8
Завдання на повторення
Початковий рівень
Завдання 1 4 мають по чотири варіанти відповіді, серед яких лише
ОДИН правильний. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь.
Завдання 1 4 оцінюються у 1 бал
1. Укажіть кількість нулів функції , графік якої зображено на малюнку
А 2 Б 3 В 4 Г 5
2. Знайдіть область визначення функції, графік якої зображено на
малюнку.
А Б В Г
[−4; 3] [−4; 4] [−4; 5] [−2; 5]
3. Укажіть яка із функцій є монотонною:
А Б В Г
x 2
y
y x 2
y x
3 2
2x
y 3x
x
x 3
4. Якому проміжку належить найменший розв’язок нерівності
6
302

x 2(
x 3) 0 ?
А Б В Г
1;2
0;4
;2
3;2
Середній рівень
0
Завдання 5 передбачає встановлення відповідності. До кожного рядка,
позначеного цифрою, доберіть один відповідний, позначений буквою.
Завдання 5 оцінюється у 1,5 бали
a n - арифметична прогресія. Установіть відповідність між
рівними сумами (1 — 3) та (А — Г):
5. Неxай
1 a5 a8
А a4 a3
2 a5 a7
Б 2a
4
3 a1 a7
В a2 a10
6. Дано функцію
Г a3 a10
Завдання 6 9 розв’яжіть з повним поясненням
Завдання 6 8 оцінюються у 1,5 бали
2
x
, якщо x 2,
g x 6
Обчисліть: 3g 3
4g3
, якщо 2 x.
x
.
7. Знайдіть суму п’яти перших членів геометричної прогресії (а n ), якщо:
a5 112
a
,
8
896
.
2x
8. Розв’язати систему рівнянь:
Достатній рівень
x
2
2
3xy
2y
xy y
2
2
5.
4,
Високий рівень
Завдання 9 оцінюється у 2 бали
9. Двоє робітників можуть виконати разом деяку роботу за 10 днів. Після 6
днів спільної роботи один з них був переведений на іншу роботу, а другий
303

продовжував працювати. Через 2 дні самостійної роботи другого
з’ясувалося, що зроблено 2/3 всієї роботи. За скільки днів кожний робітник
може виконати всю роботу?
Сторінка історії
Слово «прогресія» латинського походження «progression» і означає «рух
уперед» (аналогічно слову «прогрес»). Вперше цей термін як математичний
вживається у працях римського вченого Боеція в Ѵ ст..
Найдавнішою задачею, пов’язаною з прогресіями, вважають задачу з
єгипетського папірусу Ахмеса Райнда про поділ 100 мір хліба між п’ятьма
людьми так, щоб другий одержав на стільки більше від першого, на стільки
третій одержав від другого і т.д. У цій задачі йдеться про арифметичну
прогресію, сума перших п’яти членів якої дорівнює 100.
Вже в Давньому Єгипті знали не лише арифметичну, але і геометричну
прогресію. Ось, наприклад, завдання з папірусу Райнда: «У семи осіб по семи
кішок; кожна кішка з'їдає по семи мишей, кожна миша з'їдає по семи колосів,
з кожного колоса може вирости по сім заходів ячменю. Як великі числа цього
ряду і яка їх сума?» Розв’яжіть цю задачу самостійно ( Відповідь 137 256)
304

Розділ V. Математичне моделювання
Книга природи написана мовою математики
Галілео Галілей
Галіле́о Галіле́й (1564 - 1642) — видатний італійський
мислитель епохи Відродження, засновник класичної
механіки, фізик, математик, інженер, астроном.
У цьому розділі ви дізнаєтесь про:
математичні моделі та математичне моделювання;
прикладні задачі та їх розв’язування;
відсоткові розрахунки;
елементи статистики.
Основні поняття теми
Українською International (English) Математичною
Математична модель
mathematical model
відсоткові розрахунки percentage calculations 15%
статистика
statistics
вибірка sorted list of numbers 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7
середнє значення central value 4,75
мода mode (modal Value) 5
медіана median (median Value) 5
305

§ 24. Математичне моделювання
Ключові слова
прикладна задача
математична модель
математичне моделювання
Keywords
applied task
mathematical model
mathematical design
В житті нам трапляються ситуації, де, наприклад, потрібно розрахувати
кількість рулонів шпалер для обклеювання кімнати, зарплату робітнику з
врахуванням його ставки, комісії та сплачених податків тощо.
Конкретних правил для розв’язування задач, які стосуються різних
життєвих ситуацій, частіше за все, немає. Тому, щоб розв’язати прикладну
задачу, спочатку створюють її математичну модель.
Означення. Моделлю досліджуваного об’єкту називають спеціально
створений інший об’єкт, який частково відображає властивості
досліджуваного об’єкта.
Математичні моделі створюють з математичних об’єктів: геометричних
фігур, чисел, виразів тощо.
Моделі
рисунок схема рівняння таблиці графи діаграми
Означення. Перехід від прикладної задачі до математичної моделі
називається процесом моделювання (процес створення відповідної моделі).
Задача 1. У власниках двох карток в одному банку на одній з них в
чотири рази більше грошей, ніж на іншій. Якщо власник, користуючись
інтернетбанкінгом, переведе з однієї карти на іншу 1500 грн, то на обох
картках стане грошей порівно. Скільки грошей було на кожній картці
спочатку?
Розв’язання
Цю задачу легко розв’язати, якщо попередньо побудувати схему. Таку
306

схему називають моделлю до задачі.
З побудованої схеми видно, що потроєна кількість грошей, що були
спочатку на другій картці, дорівнює 3000. Отже на другій картці було 1000
грн, а на першій – 4000.
Відповідь: на другій картці було 1000 грн, а на першій – 4000.
моделей.
Іноді, для того, щоб розв’язати задачу корисно побудувати декілька
Задача 2. Човен пропливає 9 км за течією річки і 1 км проти течії за такий
самий час, який потрібний плоту, щоб плисти 4 км по цій річці. Знайдіть
швидкість течії, якщо власна швидкість човна становить 8 км/год.
Розв’язання
І етап - Моделювання
Модель 1 – таблиця. Нехай х км/год швидкість течії.
допоміжну модель задачі у вигляді таблиці:
Рух плоту 4 х
Рух човна
s,км v, км/год t, год
За течією 9 8+х
Проти течії 1 8-х
Складемо
4
х
9
8
1
8
х
х
Модель 2 - рівняння
307

Час (у год), який витрачено на весь шлях, дорівнює
9
8
х
+
1 . За
8 х
умовою цей час дорівнює часу, який витрачає пліт на подолання 4 км, тобто
4 . Складаємо математичну модель задачі у вигляді рівняння:
х
9
8
х
+
1 =
х
4 .
8 х
ІІ етап – Розв’язування математичної задачі
9
8
х
+
1 = 4 ; 2
х х 64 0, x 4, х 16 .
х
8 х
20
1
2
III етап – Аналіз відповіді до математичної задачі
За змістом задачі власна швидкість човна не може бути меншою від
швидкості течії. Отже, умову задачі задовольняє лише число 4.
Відповідь: 4 км/год.
Найважчими етапами розв’язування прикладної задачі є побудова
математичної моделі та аналіз відповіді до математичної задачі.
Правило-орієнтир побудови математичної моделі:
уважно прочитати умову задачі;
визначити який процес (явище, подія) описується в її умові;
встановити величини, які характеризують (описують) цей процес;
побудувати, якщо це потрібно, відповідний рисунок, схему, таблицю
тощо;
виявити серед заданих величин дані й шукані;
з’ясувати співвідношення між заданими величинами;
ввести буквене позначення однієї із шуканих величин і скласти вираз,
рівняння, нерівність тощо.
308

Зверніть увагу!
Математична модель не тотожна реальному об’єкту, явищу чи процесу,
а є його наближеним відображенням. В дійсності неможливо врахувати і
виразити мовою математики всі фактори, які впливають на досліджуване
явище. Вірогідність результатів залежить від похибки, допущеної при
побудові моделі.
Інколи навіть досить великі похибки задовольняють потреби практики,
хоча є такі прикладні задачі, у розв’язку яких похибка має бути мінімальною.
Наприклад, при запуску ракети, створення ліків.
Узагальнюйте міркуючи
960. З яких етапів складається розв’язування прикладної задачі?
961. Які кроки потрібно здійснити для побудови математичної моделі?
962. Андрій прочитав цей параграф підручника і зробив наступні висновки:
1) До однієї задачі можна побудувати декілька моделей.
2) Одна модель може відноситись до різних задач.
3) Іноді знайдений математичний розв’язок прикладної задачі не відповідає змісту її
умови, а отже не є її розв’язком.
Чи правильні висновки зробив Андрій? Відповідь підтвердіть прикладами.
Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І ______________________________________________
Завдання 963 – 971 мають по чотири варіанти відповіді (А – Г), з яких тільки
один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді
309

963. Яке з рівнянь є математичною моделлю задачі: «Одна сторон лінолеума
на 80см більша за іншу, а його площа 2,4м 2 »?
А x(x - 80) = 2,4 Б x + (x -0,8) = 2,4 В x(x + 0,8) = 2,4 Г x – (x+80) = 2,4
964. Яке з рівнянь є математичною моделлю задачі: «Мотоцикліст проїхав 46
км зі швидкістю х км/год, а потім 60 км, збільшивши швидкість на 10 км/год,
і витратив на весь цей шлях 3 год. Знайдіть початкову швидкість
мотоцикліста».
965. За нормативами на кожного учня в класній кімнаті має припадати
принаймні 1,5 м 3 . Скільки учнів можна посадити в класній кімнаті площа
підлоги якої 18м 2 , а висота стелі – 3м? Що є моделлю до заданої задачі.
А. Б. В. Г.
966. Приватний підприємець платить менеджеру за х одиниць проданого
товару (50х+100) грн. Якщо ж товару продано більше 10 одиниць, то
приватний підприємець доплачує менеджеру ще 20% комісійних. Який з
графіків може бути моделлю до заданої задачі?
А. Б. В. Г.
967. Яку формулу можна використати як модель до даної задачі: « У газеті, що
була видана у 1914р., описувався продаж отари з 20 овець, за таких умов: за
310

першу вівцю слід заплатити 1 к., за другу - 2 к., за третю - 4 к. і т. д. У яку суму
обійдеться вся отара?»
n
b1(
q 1)
Sn
А. q 1
Б. аn=a1+d(n-1) В. bn=b1q n-1 Г.
968. До книжкового магазину надійшли навчальні посібники з математики та
географії у відношенні 2:1. Укажіть число, яким може виражатися загальна
кількість посібників у магазині.
А Б В Г
16 21 35 40
969. На змаганнях авіамоделістів перша модель пролетіла на 20%, або на
480 м, менше другої. Скільки метрів пролетіла друга модель?
А Б В Г
2400 м 2200 м 2000 i.
970. На перший полиці книг у 3 рази більше, ніж на другій. Після того, як з
першої полиці переставили на другу 24 книги, то на обох полиці книг стало
порівну. Скільки книг було на кожній полиці спочатку?
А Б В Г
60 і 20 72 і 24 45 і 15 Інша відповідь
971. Сплав складається з 2 частин срібла та 9 частин цинку. Скільки потрібно
взяти кілограмів цинку, щоб одержати 66 кг сплаву?
А Б В Г
311

12 кг 54 кг 33 кг Інша відповідь
Рівень (Level) ІІ ______________________________________________
972. Човен пропливає 9 км за течією річки і 1 км проти течії за той же час, що
потрібний плоту, щоб плисти 4 км по цій річці. Знайдіть швидкість течії, якщо
власна швидкість човна становить 8 км/год.
973. Потрібно виготовити 7 вертикальних опор для теплиці таких, щоб найменша
мала довжину 3 м, а кожна наступна була на 2 м довша. Обчисліть довжину дроту,
необхідного для виготовлення опор.
974. Швидкість росту гігантської водорості більше 40 см в день. Яка довжина
цієї водорості буде через 6 днів?
975. Уявіть, що вам деяка фірма пропонує свої послуги. Щодня ви можете
брати у фірми по 100 грн. Але за перший день ви зобов'язані заплатити фірмі
1к, за другий - 2к, за третій - 4к. і т. д. Чи укладете ви з цією фірмою договір
не менш ніж на 20 днів за таких умов?
976. Антикварний магазин придбав два предмети, заплативши за них 1000 грн.
Продавши ці речі, магазин одержав 25% прибутку. За скільки був проданий
кожний предмет, якщо націнка на обидва склала 600 грн та один предмет у два
рази дорожчий, ніж перший?
977. На фермі були кролі та качки, у яких 140 голів та 360 ніг. Скільки було
кролів та качок?
978. Два спортсмени бігають по одному колу бігової доріжки стадіону. На
подолання одного кола перший витрачає на 5 с менше, ніж другий. Якщо вони
почнуть зі старту в одному напрямку, то зустрінуться знову через 6 хв. Яку
частину довжини всієї доріжки пробіжить за 15 с кожний з них?
312

979. Мікроавтобус запізнювався на 12 хв. Щоб прибути до пункту призначення
вчасно, він за 144 км від цього пункту збільшив швидкість на 8 км/год.
Знайдіть початкову швидкість мікроавтобуса.
980. (Математика і фізика). Камінь випущений з вежі досяг землі через 5
секунд. Знайдіть висоту вежі.
981. (Математика і фізика) Під кутом до горизонту кинуто м’яч, який,
рухаючись по параболі, упав через 5 с на відстані 42 м від початкового
положення. На якій висоті був м’яч через 1 с після кидка, якщо найбільша
висота, на яку він піднявся, дорівнювала 10?
982. Для опалювальної системи будинку необхідні радіатори із розрахунку:
три одиниці на 50 м 3 . Яку кількість одиниць радіаторів треба замовити, якщо
новий будинок має форму прямокутного паралелепіпеда розміру
15м×18м×25м ?
Рівень (Level) ІІІ ______________________________________________
983. Із пункту А в пункт В проти течії річки виїхав моторний човен. В дорозі
зламався мотор, і поки його ремонтували 20 хв, човен зносило вниз по річці.
Визначте, на скільки пізніше прибув човен у пункт В, якщо відомо, що
звичайно на шлях із А в В човен витрачає у півтора рази більше часу, ніж на
шлях із В в А.
984. За 4 футбольних і 3 волейбольних м’ячі заплатили 320 грн. Після того як
футбольний м’яч подешевшав на 20%, а волейбольний м’яч подорожчав на
5%, за 2 футбольних і 1 волейбольний м’ячі заплатили 122 грн. Якою була
початкова ціна кожного м’яча?
985. Повна вартість доставки великогабаритних меблів у фірмі із перевезень
складається з вартості їх доставки на 1 – ий поверх будинку і вартості підйому
меблів на потрібний поверх. Вартість підйому меблів на кожний наступний
поверх перевищує вартість їх підйому на попередній на одну і ту саму
313

величину. Визначте повну вартість (у грн) доставки меблів на 11 поверх, якщо
повна вартість доставки меблів на 4-ий та 7-ий поверхи цього будинку
становить 142 грн та 154 грн відповідно.
986. ЗНО. Плавець під час першого тренування подолав дистанцію у 450 м.
Кожного наступного тренування він пропливав на 50 м більше, ніж
попереднього, поки не досягнув результату – 1000 м за одне тренування. Після
цього під час кожного відвідування басейну плавець пропливав 1000 м.
Скільки всього кілометрів плавець проплив за перші 10 тижнів тренувань,
якщо він тренувався тричі кожного тижня?
987. ЗНО. Для роботи на уроках геометрії учню потрібно придбати лінійку і
транспортир. У магазині канцелярських товарів у продажу є два види
транспортирів та чотири види лінійок, а також три види наборів, що
складаються з лінійки і транспортира. Скільки всього в учня є варіантів
придбання лінійки і транспортира в цьому магазині.
988. Із А в В через однакові проміжки часу вирушають три автомобілі. Вони
прибувають до В одночасно, потім вирушають до пункту С, який міститься на
відстані 120 км від В. Перший автомобіль прибуває туди через годину після
другого. Третя машина, прибувши до С, відразу ж повертає назад і за 40 км від
С зустрічає перший автомобіль. Визначте швидкість першого автомобілю.
989. У готелі для проживання туристів є одномісні, двомісні та тримісні номери. Їх
всього 124. Якщо всі номери в готелі заповнені, то одночасно в ньому проживає 255
туристів. Скільки всього в цьому готелі тримісних номерів, якщо кількість
одномісних номерів дорівнює кількості двомісних номерів?
990. На перегоні, довжина якого дорівнює 240 км, поїзд рухався зі швидкістю
на 10 км/год меншою, ніж мала бути за розкладом, і тому запізнився на 48 хв.
З якою швидкістю мав рухатися поїзд за розкладом?
314

991. У кінотеатрі було 390 місць, розташованих однаковими рядами. Після
того як число місць у кожному ряду збільшили на 4 і додали ще один ряд, місць
стало 480. Скільки стало рядів у кінотеатрі?
992. Задача Магавіри. Під час бою півнів один з глядачів домовився з двома
власниками півнів. Першому він сказав: «Якщо переможе твій півень, то
виграш віддаси мені, якщо ж програєш, я сплачу тобі дві треті твого
можливого виграшу». Другому учаснику він сказав: «Якщо переможе твій
півень, то виграш віддаєш мені, якщо ж програєш, я сплачу тобі три чверті
можливого виграшу». В обох випадках глядач одержить 12 монет. Який мав
бути виграш кожного учасника бою?
993. Задача Ананія Ширакаці. Один купець пройшов через три міста. У
першому місті від нього взяли половину і третину майна, у другому
половину і третину з того, що у нього залишилося, у третьому знову
половину і третину того, що у нього було. Коли він прибув додому, у нього
залишилося 11 грошів. Скільки всього грошів було спочатку у купця?
Світ навколо нас
994. Вважається, що українці з-поміж усіх народів найбільше полюбляють
сало. За рік українці з’їдають близько 818 млн кг сала. Знайдіть скільки сала
за рік з’ідає середньостатистичний українець. Порівняйте кількість з’їденого
сала за рік українцем і ніцем, якщо на середньостатистичного німця припадає
53 кг сала.
Мисліть творчо, логічно, системно
995. Пароплав з пункту А до пункту В йде 5 діб. З пункту В до пункту А — 7 діб. Скільки
діб буде плисти пліт від А до В?
315

996. Скількома нулями закінчується добуток всіх цілих чисел від 1 до 100 включно?
997. За моделлю складіть умови до задач
1)
Жакет ? г
Шапка ? г
Шарф ? г
555 г вовни
у 5 разів менше, ніж на
жакет;
на 5г більше, ніж на шарф
2)
1 ділянка в 5 разів > кущів малини, ніж -22 куща
2 ділянка + 22 куща
Стало порівну
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
998. Make up your own tables of values which show: 1) direct proportion; 2) inverse proportion.
§ 25. Відсоткові розрахунки
Ключові слова
Відсоток
Відсоткові розрахунки
Складні відсотки
Keywords
percent
percentage calculations
compound percents
316

Задачі, в умовах яких зустрічаються прості відсотки бувають трьох видів:
Задачі на відсотки
Важливо вміти розрізняти ці види задач та знати правила, що
допомагають їх розв’язувати.
Щоб знайти число х, яке складає а % від числа b, треба а % перевести
в десятковий дріб (а:100) і число b помножити на отриманий десятковий
a
дріб, тобто x b .
100
7
Наприклад, 7% від числа 200 дорівнюють 200 14 .
100
Щоб знайти число х, про яке відомо, що а % від нього дорівнюють b,
треба а % перевести в десятковий дріб (а:100) і число b поділити на
a
отриманий дріб, тобто x b : .
100
a
b
12
Наприклад. Якщо число 24 складає 12% від числа х, то x 24 : 200 .
100
100%
Щоб знайти, скільки відсотків число а складає від числа b, треба
15
Наприклад, число 15 складає від числа 120: 100 12,5%
.
120
Кожну задачу на відсотки можна розв’язати декількома способами:
317

1) зведенням до одного відсотку;
2) за правилами знаходження відсотку від числа та числа за значенням його
відсотку;
2) за допомогою пропорції.
Задача 1. (Математика і кулінарія) Під час варіння, варення втрачає 60%
своєї маси. Скільки кілограмів сирої суміші треба взяти, щоб отримати 16 кг
готового варення?
Сира суміш – 100% - ?
Варення – 40% - 16 кг
Розв’язання
1 спосіб. (зведення до одного відсотку)
16 : 40 = 0,4 (кг) припадає на один відсоток;
0,4∙100 = 40 (кг) сирої суміші треба взяти.
2 спосіб (за правилом)
40% = 0,4
16:0,4 = 40 (кг) сирої суміші треба взяти .
3 спосіб (за допомогою пропорції)
100%
х
; 40% ∙х = 16∙100%; 40% х = 1600%; х = 40 (кг).
40% 16
Відповідь: 40 кг.
Задачі на розчини і сплави
Задача 2. Є два сплави міді й цинку. Перший містить 10 % цинку, другий —
30 % цинку. Скільки треба взяти від першого і другого сплавів, щоб,
сплавивши їх, одержати 400 т сплаву, що містить 25 % цинку?
Розв'язання
1) Модель до задачі – таблиця.
Сплав Загальна маса (т) Відсотковий вміст цинку Маса цинку(т)
318

1 10 %
2 30 %
3 400 т 25 %
Нехай маса першого розчину х (т), тоді другого (400 – х) (т). Знаходимо масу
цинку для кожного рядка і заповнюємо далі таблицю
Сплав Загальна маса(т) Відсотковий вміст цинку Маса цинку(т)
1 х 10 % 0,1х
2 400 - х 30 % 0,3 (400 - х)
3 400 т 25 % 0,25∙400
Використовуючи дані стовпця «Маса цинку» складемо математичну модель –
лінійне рівняння: 0,1 х + 0,3 (400 - х) = 0,25∙400;
0,1х +120 – 0,3х = 100;
-0,2х = - 20; х = 100 (т) – маса першого сплаву
400 – х = 400 – 100 = 300 (т) – маса другого сплаву.
Відповідь: 1-го сплаву — 100 т, 2-го сплаву — 300 т.
Зверніть увагу!
В задачах на розчини
1) якщо до розчину в якому є 5г солі, долити води, то в добутому розчині
буде 5г цієї солі.
2) якщо змішати два розчини, в одному з яких є 25г, а в другому 45г солі,
то в добутому розчині буде 70 г цієї солі.
Складні відсотки
Задача 3. Вкладник поклав у банк а0 грн. під р%. Яка сума буде на його
рахунку: через 1 рік; через 2 роки; через 3 роки; через n років?
Розв’язання
1) Якщо вкладник поклав у банк а0 грн. під р%, то у кінці першого року
початковий капітал виріс на р% і складає (100+ р) % від початкового
319

p 100
a
100
вкладу. Отже, a1
0(грн.) – сума на раxунку вкладника вкінці
першого року.
2) У кінці другого року капітал виріс ще на р% і складає (100+ р) % від
p 100
a .
100
вкладу першого року a1
0
p 100
p 100
p 100
p 100
Отже, a2
a1
a0
a0
(грн.) – сума на
100 100
100 100
раxунку вкладника вкінці другого року.
3) Аналогічно розмірковуємо, що у кінці третього року капітал виріс ще на
p 100
р% і складає (100+ р) % від суми вкладу другого року a2
a0
.
100
p 100
100
p 100
p 100
100
100
Отже, a3
a2
a0
a0(грн.) – сума на
2
2
p 100
100
раxунку вкладника в кінці третього року.
4) Розраxунки капіталу через n років подамо у вигляді cxеми :
a
2
n
0 0
a0
a0
через 1 рік p 100
a
100
через 2 роки p 100
100
3
n років p 100
...
100
2
.
Зверніть увагу!
n
p 100
an a0
формула складниx відсотків.
100
а0 - початковий капітал, р - річна процентна ставка, а n – нарощений капітал.
Задача 4. Вкладник поклав у банк 5000 грн під певний відсоток річниx на два
роки. Нарощений капітал склав 5832 грн. Знайдіть відсоткову ставку банку,
якщо нарахування відбувається за схемою складних відсотків.
Розв’язання
Оскільки нарахування відбувається за схемою складних відсотків, то
p 100
an
a0
100
n
320

5832
p 100
100
2
p 100
100
2
729
625
5000
27
25
2
,
або
маємо
p 100
100
2
p 100
100
Відповідь: відсоткова ставка складає 8 % .
27
,
25
5832
,
5000
звідси
тоді
p 8.
,
Дізнайтеся більше!
В історії існує немало яскравих прикладів того, як невеликі суми
перетворюються на величезний стан. Бенджамін Франклін (один із
засновників США) перед своєю смертю заповідав по 5000$ двом своїм
улюбленим містам: Бостону і Філадельфії, поклавши ці гроші в банк. За
умовами заповіту, міста могли зняти гроші один раз через 100 років і другий -
через 200. Першого разу міста могли зняти лише 500.000$, що вони і зробили.
А в другий-вже всю суму, що залишилася. Через 200 років з рахунків міста
зняли по 20.000.000$!
Узагальнюйте міркуючи
999. Які види задач на відсотки Ви знаєте? Наведіть приклад до кожного виду задач.
1000. У скільки разів і як саме зміниться число, якщо його:
1) зменшити на 50 %; 3) збільшилась на 50%;
2) збільшили на 300%; 4) зменшити на 80 %.
Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І ______________________________________________
Завдання 1001-1008 мають по чотири варіанти відповіді (А-Г), з яких тільки
один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді
321

1001. Виразіть у відсотках число 1 5 .
А Б В Г
2 % 20 % 50 % 0,2 %
1002. Скільки грамів солі в 200 грамах 10% розчину?
А 2 Б 20 В 200 Г інша відповідь
1003. Скільки грамів солі в 125 грамах 8% розчину?
А 1 Б 100 В 10 Г інша відповідь
1004. У скількох грамах 20%-го розчину є 12 г солі?
А 2,4 Б 0,24 В 60 Г 600
1005. У скількох грамах 16%-го розчину є 24 г солі?
А 15 Б 3,84 В 150 Г 150
1006. У 300 г розчину є 3 г солі. Яка його процентна концентрація?
А 100% Б 3% В 30% Г 1%
1007. У 750 г розчину є 15 г солі. Яка його процентна концентрація?
А 2,25% Б 225 % В 50% Г 5%
1008. Як зміниться величина дробу, якщо чисельник збільшити на 100%, а
знаменник зменшити на 50% ?
А Б В Г
зменшиться в
зменшиться в
збільшиться в
збільшиться в
4 рази
2 рази
2 рази
4 рази
Завдання 1009 - 1010 на встановлення відповідності
1009. (ЗНО) У банку відкрили рахунок на 1000 грн під 20 % річних.
Наприкінці кожного з перших двох років зберігання грошей у банку після
нарахування відсотків вкладник додатково вносив ще а грн. На кінець третього
322

року виявилося, що розмір вкладу збільшився у порівнянні з початковим
вкладом на 300 %. Яке з рівнянь відповідає умові задачі?
А a
Б a
В a
Г a
1000 1,2 1,2 a 1,2 1000 4
1000 ,2 ,2 a ,2 1000 4
1000 1,2 1,2 a 1,2 1000
1000 ,2 ,2 a ,2 1000
Д a
1000 1,2 2 1000
1010.Установіть відповідність між умовами задач (1 – 4 ) та їх розв’язками
(А - Д).
1. Скільки відсотків становить 3 від 12? А 10%
2. На скільки відсотків 2 більше від 1? Б 25%
3. На скільки відсотків 8 менше за 16? В 15%
4. Скільки відсотків становить 20, якщо 80
становить 40%?
Г 50%
Д 100%
Рівень (Level) ІІ ______________________________________________
1011. За деяку роботу робітникові нарахували 2395 грн. Із них
13 % - прибутковий податок,
2 % - відрахування у пенсійний фонд,
1 % - відрахування у фонд зайнятості,
1 % - профспілковий внесок.
Скільки одержить працівник після всіх відрахувань?
1012. Службовець сплачує медичну страховку у розмірі 1200 грн., що
становить 15 % його заробітної плати. Яка заробітна плата у службовця?
323

1013. (Математика і кулінарія) Для приготування варення беруть смородину,
малину та цукор у відношенні 3:4:5. Під час варки варення втрачає 40 % своєї
маси. Скільки кілограмів кожного інгредієнта треба взяти, щоб отримати 12кг
готового варення?
1014. Першого дня туристи пройшли 15% всього шляху. Другого – 25% всього
шляху. А третього дня – 24 км, що лишилися. Яка довжина маршруту туристів.
1015. Магазин продав одному покупцю 25% полотна, другому покупцю – 30%
остачі, а третьому – 40% нової остачі. Скільки відсотків полотна залишилось
непроданим?
1016. Під який процент вигідніше покласти гроші в банк: під 6 процентів
річних чи під 1/2 процента на місяць?
1017. На скільки відсотків збільшиться площа прямокутника, якщо його
довжину збільшити на 20%, а ширину – на 10%?
1018. На скільки відсотків збільшиться об’єм (повна поверхня) куба, якщо
довжину кожного ребра збільшити на 20%?
1019. Ціну на малину підвищено з 24 грн до 64 грн. На скільки
процентів підвищено ціну малини проти початкової ціни?
1020. Ціну малини було підвищено з 24 грн до 64 грн. На
скільки процентів початкова ціна малини менша від
встановленої?
1021. (Математика і хімія) Шляхом випаровування з
20г розчину отримали 4г солі. Якої концентрації був розчин?
1022. (Математика і хімія) До 80г 15%-го розчину додали 20г води. Якої
концентрації став розчин?
1023. (Математика і хімія) Змішали 100г 20%-го і 50г 32%-го розчину деякої
речовини. Якої концентрації отримали розчин ?
1024. (Математика і економіка) Яка сума буде на терміновому вкладі через 3
роки, якщо банк нараховує 5% річних, а початкова сума становить 10 000 грн?
324

1025. (Математика і економіка) У банк покладено 5000 грн під 20% річних.
Яка сума буде на рахунку через 2 роки?
1026. (Математика і економіка) На перший рахунку покладено 8 000 грн під
10% річних, а на другий 7 500 грн під 20% річних. На якому з рахунків через
3 роки сума буде більшою?
1027. (Математика і економіка) Який капітал треба покласти у банк під 20%
річних, щоб через 3 роки одержати разом із відсотками 10000 грн? Відповідь
округліть до тисяч.
1028. (Математика і економіка) У січні завод виконав 105 % місячного плану
випуску готової продукції, а в лютому дав продукції на 4 % більше, ніж у січні.
На скільки відсотків завод перевиконав двомісячний план випуску продукції?
1029. (Математика і економіка) Ціна шкільної форми зростала двічі, при
цьому відсоток росту у другий раз був вдвічі більший, ніж у перший. Визначте,
на скільки відсотків зростала ціна форми в кожне з підвищень, якщо до
першого зростання вона дорівнювала 700грн, а після другого – 924грн.
1030. (Математика і економіка) Виробництво продукції за перший рік роботи
заводу зросло на р%, а за наступний рік – на 10% більше порівняно з
попереднім роком. На скільки відсотків зросло виробництво продукції за
перший рік, якщо відомо, що за два роки воно зросло всього на 48,59%.
1031. (Математика і економіка) Ціну на телефонний апарат піднімали двічі.
Після другого підвищення апарат став коштувати у 6 разів більше, ніж до
подорожчання. На скільки відсотків збільшили ціну у другий раз, якщо відомо,
що спочатку вона була збільшена на 50%?
Рівень (Level) ІІІ ______________________________________________
1032. Три ящики наповнені горіхами. У другому ящику на 10% більше, ніж у
першому, і на 30% більше, ніж у третьому. Скільки горіхів у кожному ящику,
якщо у першому на 80 горіхів більше, ніж у третьому?
325

1033. Зарплату спочатку збільшили на 20%, а потім зменшили на 20%. Як вона
змінилась?
1034. Зарплату робітнику підвищили спочатку на 10%, а потім через рік ще на
20%. На скільки відсотків підвищилась зарплата робітника порівняно з
початковою?
1035. Свіжі яблука містять у собі 84% води. Скільки треба взяти свіжих яблук,
щоб було 84кг сушених? Скільки можна дістати сушених яблук з 120кг
свіжих?
1036. Свіжі гриби містять у собі 80% води, а сушені - 12%.
Скільки сушених грибів одержимо з 22 кг свіжих?
1037. Бригада ремонтувала дорогу. В перший день вона
відремонтувала 6
1
всієї дороги і ще 5 метрів. В другий
день – 20% остачі та ще 10 метрів. В третій день – 25% нової остачі і ще 9
метрів. За четвертий день - 3
1 нової остачі й решти 13 метрів. Якої довжини
шматок дороги відремонтувала бригада?
1038. (Математика і хімія) Скільки грамів 6%-го розчину солі можна
отримати з 300г рідини, яка містить 40% солі.
1039. (Математика і хімія) Розчин містить 5% солі. Скільки кілограмів
прісної води треба додати до 40 кг розчину, щоб його концентрація стала 2%.
1040. Сплав складається з 50% цинку, 40% міді і 10% алюмінію. Скільки
грамів кожного з цих металів входить до сплаву, якщо відомо, що алюмінію
на 600г менше, ніж міді.
1041. Ціна товару була збільшена на 25%. На скільки відсотків треба тепер її
знизити, щоб отримати початкову ціну?
1042. На скільки відсотків треба збільшити довжину радіуса круга, щоб його
площа збільшилася на 96 %?
1043. Банк нарахував вкладнику 60 грн відсоткових грошей. Доклавши 440 грн
до загальної суми, вкладник залишив ще на один рік свої збереження у банку.
326
? ??? ?????? ? ??? ?? ? ? ????80% ????, ? ??? ???-
??? ???? ?????? ????? ?? ? ? 22 ?? ????
80%
12%
22 ??
? ??
???? ??
1. ??????? ????
???? ???????
???????
2. ??????? ????
????????? ? 2
???????
3. ??????? ????
????????? ? ?
4. ??????? ????
?? ???? ????
????? ???? ?
5. ??????? ??? ?
???????? ?

В кінці року знову були нараховані відсотки. І тепер вклад разом з відсотками
складає 2575 грн. Яка сума була покладена на депозит спочатку?
1044. Підприємець узяв у банку кредит у розмірі 30000 грн під деякий відсоток
річних. Через два роки він повернув у банк 43200 грн. Під який відсоток річних
дає кредити цей банк?
1045. Інвестор вклав 7000 грн під 10% річних при умові нарахування складних
процентів щокварталу. Яку суму він отримає через 8 років?
1046. Вкладник поклав у банк 20000 грн. За перший рік йому було нараховано
певний відсоток річних, а другого року банківський відсоток було збільшено
на 2%. На кінець другого року на рахунку стало 22048 грн. Скільки відсотків
становила банківська ставка у перший рік?
1047. Вкладник поклав у банк 30000 грн. За перший рік йому було нараховано
певний відсоток річних, а другого року банківський відсоток було зменшено
на 6%. На кінець другого року на рахунку стало 34320 грн. Скільки відсотків
становила банківська ставка у другий рік?
1048. Підприємець узяв у банку кредит у розмірі 100000 грн під деякий
відсоток річних. Через рік цей відсоток було збільшено на 4%. На кінець
другого року підприємець повернув у банк 148800 грн. Під який відсоток
річних було надано кредит у перший рік?
Світ навколо нас
1049. Найстарішим навчальним закладом Східної Європи
вважається Києво-Могилянська академія (1615 р.). Задайте
табличним способом функцію, областю значень якої є 7 чисел,
між найдавнішими університетами та роками їх заснування.
Мисліть творчо, логічно, системно
1050. В озері водяться карасі, окуні та щуки. Два рибаки спіймали разом 70 риб, причому
5
7
9
вилову першого рибака склали карасі, а
17
вилову другого рибака — окуні. Скільки щук
327

спіймав перший рибак, якщо обидва спіймали порівну карасів та обидва спіймали порівну
окунів?
2
3 2
1051. Побудуйте графік рівняння: 3x 6x
y x 4x
12x
1052. Напишіть твір на тему: «Відсоткові розрахунки в житті моїх батьків».
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
1053. Write the next 3 terms of these sequences:
1) 11, 33, 99,… 2) 45, 23, 69, 47, 141, …
§ 26. Відомості про статистику
Ключові слова
статистика
вибірка
частота
найбільше значення
найменше значення
розмах
середнє значення
знайти середнє значення
мода
медіана
Keywords
statistics
sample
frequency
lowest values
highest values
range
central value or mean
average
mode
median
Задача. Марчендайзер певної торгової марки, що виробляє молоко,
прослідкував попит покупців на молоко в супермаркеті у будні дні. І отримав
такі дані: Пн – 50 пачок, Вт – 45 пачок, Ср – 64 пачки, Чт – 42 пачки, Пт – 60
пачок. Яку кількість молока йому варто замовляти на наступні будні дні?
Якщо марчендайзер замовить 64 пакети, то, скоріше за все, певна кількість
пакетів залишаться на прилавку і зіпсуються. Відповідно, він принесе збитки
328

компанії. Якщо ж він замовить 42 пакети, то, скоріше за все, їх усі встигнуть
продати, але він не принесе бажаного виторгу компанії.
Розділ прикладної математики, в якому досліджуються кількісні
характеристики масових явищ, називаються математичною статистикою.
Зібрані числові результати досліджень, називають вибіркою.
Для випадку з купівлею молока вибіркою є набір чисел: 50, 44, 64, 42, 60.
Вибірку можна описати певними числовими характеристиками:
Для вибірки 50, 44, 64, 42, 60.
Обсяг вибірки – число даних 5
Найбільше значення вибірки 64
Найменше значення вибірки 42
Розмах – різниця між найбільшим 22
і найменшим значенням
Середнє значення вибірки – середнє арифметичне усіх її значень.
Щоб знайти середнє значення вибірки треба знайти суму всіх значень і
поділити на їх кількість.
Для того, щоб марчендайзер замовив оптимальну кількість товару для
супермаркети на будні дні краще знайти середнє арифметичне значення
50 44 64 42 60
5
вибірки. Тобто, 52(пакети) молока.
Задача 2. Яку тематичну оцінку поставить вчитель учню, якщо він має оцінки:
1) 3 і 7; 2) 3, 7, 8: 3) 3, 7, 8, 10 ?
Розв’язання
1) Вибірка: 3, 7; 2) Вибірка: 3, 7, 8
329

3 7
2
3 7 8
3
Середнє арифметичне: 5 ; Середнє арифметичне: 6
3) Вибірка: 3, 7, 8, 10;
3 7 8 9
4
Середнє арифметичне: 6, 75
Немає такої оцінки 6,75, тож вчитель, округлюючи, поставить 7.
Відповідь: вчитель поставить 1 ) 5; 2) 6; 3) 7 .
.
Допомагають також охарактеризувати вибірку мода і медіана
Наприклад, для того, щоб вистава була цікава для більшої кількості дітей в
групі табору, в яку входять діти віку: 7, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12,
краще шукати моду та медіану, а не середнє арифметичне.
Мода – число, що частіше за все повторюється у вибірці.
Зверніть увагу!
Вибірка може мати декілька мод, якщо декілька чисел повторюються однаково
часто.
Вибірка може не мати моди, якщо всі числа повторюються однаково часто
Приклад. Знайдіть моду вибірки:
1) 5, 5, 5, 6, 7, 7, 10, 10; 2) 5, 5, 6, 7, 7, 10; 3) 5, 5, 6, 6, 7, 7.
Розв’язання
330

1) 5, 5, 5, 6, 7, 7, 10, 10
Найчастіше зустрічається число 5. Мода – 5.
2) 5, 5, 6, 7, 7, 10;
Найчастіше зустрічаються числа 5 і 7. Вибірка має дві моди - 5 і 7.
3) 5, 5, 6, 6, 7, 7
Всі числа зустрічаються з однаковою частотою. Вибірка моди не має
Медіаною вибірки називають число, яке поділяє навпіл упорядковану
множину усіх значень вибірки.
Тобто, для того, щоб знайти медіану, треба:
1) Всі значення записати в порядку зростання (чи спадання);
2) Якщо кількість значень непарне, то медіана дорівнює тому значенню, що
знаходиться по середині впорядкованого ряду;
3) Якщо кількість значень парна, то медіана знаходиться як середнє
арифметичне двох значень, що стоять посередині
Приклад. Знайдіть медіану вибірки:
1) 5, 5, 5, 6, 7, 7, 10; 2) 5, 5, 5, 6, 7, 7, 10, 10; 3) 10, 12, 3, 5, 9, 11, 10.
Розв’язання
1) 5, 5, 5, 6, 7, 7, 10. Числа розташовані у порядку зростання, посередині
ряду число 6.
Медіана – 6.
2) 5, 5, 5, 6, 7, 7, 10, 10. Числа розташовані у порядку зростання, посередині
ряду числа 6 і 7. Знайдемо їх середнє арифметичне: 6, 5.
331
6 7
2
Медіана – 6,5.
3) 10, 12, 3, 11, 5, 9, 11, 10
Розташуємо числа у порядку зростання: 3, 5, 9, 10, 10, 11, 11, 12.
Посередині ряду числа 10 і 10. Їх середнє арифметичне 10.
Медіана – 10.

Задача 3. При вимірюванні зросту 22 учнів 6–8 класів ліцею були
отримані результати у см: 171, 170, 168, 169, 167, 165, 163, 164, 166, 171, 171,
170, 168, 167, 167, 166, 165, 164, 165, 166, 167, 171. Знайдіть основні
характеристики вибірки.
Розв’язання
Розмістимо значення зросту учнів у см у порядку спадання:
171, 171, 171, 171, 170, 170, 169, 168, 168, 167, 167, 167, 167, 166, 166, 166, 165,
165, 165, 164, 164, 163
Всі ці 22 значення, зручно подати у вигляді таблиці:
Зріст 171 170 169 168 167 166 165 164 163
Кількість 4 2 1 2 4 3 3 2 1
учнів
Таку таблицю називають частотною.
Числа, які вказують скільки разів зустрілось те чи інше значення
називають частотами.
Допомагає наочно уявити результати частотної таблиці гістограма.
Гістограма – це діаграма, що складається з стовпчиків прямокутної форми, без
розриву, висота стовпчика вказує на частоту появи тієї чи іншої події.
Знайдемо основні характеристики вибірки:
Обсяг вибірки: 22
332

Найбільше значення: 171
Найменше значення: 163
Розмах: 8
Середнє значення:
171 3681
4 170
2 169
1168
2 167
4 166
3 165
3
164
2 163
22
≈ 167
22
Мода: 171 і 167
Медіана: 167
Нагадаємо!
171, 171, 171, 171, 170, 170, 169, 168, 168, 167, 167, 167, 167, 166, 166, 166, 165,
165, 165, 164, 164, 163
Узагальнюйте міркуючи
1054. Користуючись малюнком посніть що таке середнє арифметичне вибірки?
1055. Шукаючи основні характеристики вибірки: 2, 10, 7, 10, 5, 5, 20, Олег написав:
«Середнє арифметичне 10, моди немає, медіана 7». Чи не допустив Олег помилки. Які саме?
1056. Що таке гістограма? Коли і в яких галузях їх використовують?
Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І ______________________________________________
333

Завдання 1057 – 1059 мають по чотири варіанти відповіді (А – Г), з яких
тільки один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді
1057. Вихованці дитсадка виготовляли святкові ліхтарики з кольорового
паперу: Синіх ліхтарів – 2, Зелених – 4, Червоних – 10, жовтих – жодного. Яка
з гістограм описує наведену ситуацію?
А Б В Г
1058. В таблиці наведено середній дохід підприємця у грн за перше півріччя.
Який середній місячний дохід підприємця?
Місяць І ІІ ІІІ ІV V VI
Дохід, грн 56 000 46 000 30 000 35 000 38 000 26 000
А. 32 500 грн Б. 35 000 грн В. 38 500 грн Г. 38 000 грн
1059. Три мішка картоплі мають масу 162 кг. Яку масу має четвертий мішок,
якщо середнє арифметичне чотирьох мішків 59 кг?
А. 162 кг Б. 15 В. 56,5 кг Г. 74
Завдання 1060 – 1064 стосуються наступної умови
Вчитель перевіряючи тести з 10 запитань написані учнями склав гістограму
результатів.
334

1060. Скільки учнів відповіли на всі питання тесту?
А. 2 Б. 10 В. 39 Г. 9
1061. Який розмах отриманої вибірки?
А. 10 Б. 3 В. 2 Г. 5
1062. Скільки учнів писали тест?
А. 10 Б. 39 В. 7 Г. 9
1063. Знайдіть середнє арифметичне вибірки
А. 8 1 3
Б. 2 В. 7,8 Г. правильної відповіді немає
1064. Знайдіть моду вибірки
А. 3 Б. 9 В. 8 Г. правильної відповіді немає
Рівень (Level) ІІ ______________________________________________
1065. Дано 50 чисел: з них число 2 зустрічається 10 раз, число 3 – 20 раз і число
5 – 20 раз. Знайдіть моду, медіану і середнє значення вибірки.
1066. Знайдіть моду, медіану і середнє значення вибірки:
1) 2; 5; 4; 5; 3; 2; 2; 2; 4; 5; 5; 6; 5; 6; 5;
2) 1,5; 1,6; 1,2; 2,1; 2,4; 2,7; 2,8; 3,0; 3,0; 3,0; 3,1; 3,1; 3,1; 3,4.
1067. Знайдіть моду, медіану і середнє значення вибірки:
335

1) 12; 17; 11; 13; 14; 15; 16; 13; 13.
2) 0,95; 0,99; 1,03; 1,06; 0,97; 0,97; 1,0; 1,01; 0,98; 0,97; 0,99; 0,96; 1,02; 0,97; 1,0.
1068. Класний керівник провів опитування своїх учнів, щодо їх улюбленої
пори року, і склав частотну таблицю.
Пора року Зима Весна Літо Осінь
Число учнів 3 2 20 0
1) Скільки дітей опитав класний керівник?
2) Яка пора року найулюбленіша серед опитаних учнів?
3) У скількох учнів найулюбленішою порою року є весна? осінь?
1069. В таблиці частот записано яка середня температура була продовж
декількох днів
Температура (°С) +10 +9 +8 +7 +6 +5 +4 +3 +2
Частота 2 2 1 1 4 4 6 5 4
1) Скільки днів денна середня температура була: а) +7°С; б) +2°С; в) +1°С.
2) Якою а) найбільшою; б) найменшою була денна середня температура?
3) Знайдіть моду денних середніх температур місяця.
4) Про який місяць іде мова?
1070. Чому дорівнює мода і медіана в кожному з випадків ?
1071. За розв’язання задач п’ять учасників олімпіади одержали від 0 до 3 балів,
десять – від 4 до 6, тридцять – від 7 до 9, сорок чотири – від 10 до 12,
шістнадцять – від 13 до 15, десять – від 16 до 18, два – від 19 до 21, три – від 22
336

до 24 балів. Складіть частотну таблицю і знайдіть усі числові характеристики
вибірки.
1072. Зібрані дані щодо кількості пожеж у даному населеному пункті за 12
місяців: Червень - 5, Липень - 7, Серпень - 3, Вересень - 4, Жовтень - 2,
Листопад - 3, Грудень - 3, Січень - 4, Лютий - 1, Березень - 6, Квітень - 6,
Травень - 7. Побудуйте гістограму та знайдіть усі числові характеристики
вибірки.
1073. Перед вами оцінки Микити за півріччя з трьох предметів:
Математика: 6, 10, 4, 7, 8, 4, 9, 10, 6, 8, 5, 9, 10
Англійська мова:
Оцінки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Частота 0 0 0 1 0 3 2 4 4 2
Географія
1) Яку оцінку поставили б Микиті за
півріччя з математики, з англійської
мови, з географії?
2) Знайдіть медіану та моду оцінок
Микити з кожного предмету;
3) На останньому уроці вчитель математики викликав Микиту до дошки.
Чи може Микита покращити чи погіршити свою оцінку за півріччя?
Рівень ІІІ ________________________________________________________
1074. При відгодівлі 10 тварин протягом 5 днів зареєстровано такі прирости в
масі (у кілограмах): 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 0, 32. Побудуйте за цими даними
гістограму і знайдіть усі числові характеристики вибірки.
337

1075. Для прийняття на роботу фірма перевіряє кандидатів за допомогою
тестування за 100 – бальною системою. Одержані такі результати тестування
10 кандидатів: 90, 66, 52, 90, 90, 66, 52, 55, 90, 55. Який звіт має подати
менеджер з підбору персоналу начальству?
1076. Опитавши 60 чоловік про розміри їх взуття, склали таблицю:
27,5 28 25,5 28 29 28,5 26 28 27,5 29,5 26,5 30,5 26,5 27,5 29,5
27,5 26 30 27,5 27 29 27 28,5 27,5 29,5 25,5 27 28,5 28 27
28 25 26 28 30 27 27 28,5 29 26 26,5 28,5 26,5 27,5 28
29,5 26,5 29 28 27,5 28,5 27,5 29 27 28 29 27 26,5 28,5 27,5
Складіть частотну таблицю. Визначте частоту і відносну частоту кожного її
значення. Знайдіть моду, медіану і середнє значення вибірки.
1077. Опитавши 60 жінок про розміри їх взуття, склали таблицю:
23,5 24 23,5 23 23 24,5 22,5 24,5 22,5 23,5 23,5 23,5 23,5 25,5 21
24 25 23,5 22 23 24,5 23 24,5 24,5 23 24,5 25 21,5 24 23,5
24,5 22,5 22 23,5 26,5 25,5 25 26 24 23 24 24,5 22 24 23,5
21,5 23,5 25 24 22,5 25,5 21,5 24,5 26 25 23,5 22,5 24 22,5 23
Складіть частотну таблицю. Визначте частоту і відносну частоту кожного її
значення. Знайдіть моду, медіану і середнє значення вибірки.
1078. Серед учнів 9 класу провели опитування: скільки часу витрачають вони
щодня на виконання домашніх завдань. Результати опитування подано у
вигляді гістограми. Знайдіть усі числові характеристики цієї вибірки.
9
8
7
6
5
4
3
2
1
30 хв 45 хв 1 год 1 год 30 хв 2 год 2 год 30 хв час виконання д. з.
338

1079. Учні 9 класу написали контрольну роботу з алгебри. Результати роботи подано
у вигляді гістограми. Знайдіть усі числові характеристики отриманої вибірки.
9
8
7
6
5
4
36
2
1
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 оцінка
Світ навколо нас
1080. Податок на додану вартість в Люксембурзі 15%, в Угорщині 25%, а в Україні 20 % від
ціни товару. Який ПДВ сплатив:
1) українець в магазині України за диван вартістю 5837 грн;
2) угорець в магазині Угорщини за антикваріат вартістю 5837 угорських форентів;
3)житель Люксембурга в магазині Люксембурга за набір меблів вартістю 5837 евро.
Мисліть творчо, логічно, системно
1081. Сформулюйте задачу, моделлю до якої була б система рівнянь.
1082. Побудуйте в Exel гістограму "Курс долара", користуючись даними за останній рік.
1083. Восьмеро друзів вирішили провести турнір з шахів так, щоб зіграли один з одним по
одній партії. Скільки партій буде зіграно?
339

Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
1084. A girl walks 500m in 10min. Find she’s speed in km/h.
340

Відповіді
ПОВТОРЕННЯ ІСИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС
АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
§ 1. Степінь із цілим показником. Функція
1
14. 1) ; 2)
9
k
y
x
1 1 3 7 3
1
; 3) ; 4) ; 5) 1; 6) 10000; 7) 2 ; 8) 3 . 15. 1) – 1 ; 2) – ; 3)
8 9 7 9 8
16
1
; 9) –2;10) -1. 16. 1) a b ;
– 49 ; 4)-27; 5)16; 6)1; 7) 3
2) a b ; 3) a b ; 4) a b ; 5) a b ; 6) a b . 19. 1)1; 5)1; 7) 3,5; 8) не існує.
1 3 1
49
20 1) ; 3) 25; 4) ; 6) ; 7) –16; 8) . 23. 1) 1,5; 2)-20; 3) 30.
5 16 5
9
31
24. 1) 0,25; 2) ; 3) -0,4. 25. 1) 15; 2) 9; 3) 0,125; 4) 2. 26.1) 1; 2) ±3; 3) 0,5; 27. 1) 2; -1;
18
1
2) 0;-3; 3)-5; 4) 1;-3; 5) 1;3 ; 6) 3;-1. 28. 1) ±1; 3) 2; 0;-2; 4)0 . 29. 1) y , x 1;
2)
x
2
1
2
y , x 3; 3) y , x 1; x 2
; 4) y 2 x,
x .
x
x
3
2
2
4
30.1) y , x 1; x 2;
2) y , x 2.
3) y 3,
x 1;
x 2
;4) y , x 1.
36.
x
x
x
3;5;19. Вказівка. Достатньо перевірити випадки р=6к+1 та р=6к+5, де k N , тобто числа
р які при діленні на 6 дають остачі 1 або 5. Якщо р=6к+1, тоді друге число набуде виду
6к+3, тобто буде складеним ( кратним 3). Якщо р=6к+5, тоді третє число набуде виду
6к+21 і буде складеним( кратним 3). Отже, інших трійок простиx чисел не існує) 37. 8л,
5л, 5.
§2. Раціональні вирази зі змінними. Раціональні рівняння
;
b 5a
58. 3)
ab
5a ; 3 3 x 2y
2x
4) ; 5)
6)
2
y 6 x 3x
y .
b 2 x 2
x 2y
aa
n ; 6)
b 3
. 62. 1) ; 2)
2
; 3)
2 x 4 y
2xy
a n
3 x
59. 3) ; 4) ;
x x 2 4
2a
b
2a
2a
b
;4) 4
a .
2 2
a b
x 1
63. 1) ; 2) 4; 3) ; 4)) 2 xx
y
. 64. 1) 1000; 2)2006; 3)0,5; 4)4,25.
2 2
a b
2x
1
1 1
66. 1) 3; 2) 7 ; 3) 9. 67. 1)-2; ; 2)0; 3) ; 0 ; 4) немає розв’язків.
3 7
2z
1
2b
3x 2x
68. 1) ; 2) . 69. 1) ; 2) . 71. 12. 72.5 км/год. 73. 5 км/год.
3z
1
1
2b
x 1
1
5x
74. 1800 обертів. 76. Вказівка. Нехай крок Миколи дорівнює х м і робить він за одиницю
часу у кроків.Тоді, крок Олени дорівнює 0,8х м і робить вона за одиницю часу 1,19у кроків.
Отже, за за одиницю часу Микола проходить ху м, а Олена 0,8х1,19у0,952ху м. Таким
чином, Олена йде повільніше і раніше до школи прийде Микола.
5)
341

§3. Квадратні корені. Функції у = х 2 та у = х
98.1) 36; 2) 1,5; 3) 6; 4) 4. 100. 1) 9 2 ; 2) 2 2 ; 3)4.
102 1) 0; 2) -81; 3)1; 4)1. 103. 1)16; 2) немає розв’язків; 3)22; 4) немає розв’язків. 111. 1) 0;
a b
3) . 114. 3) 2y 9 ; 4)
a b
y 1.
115. 1) 2;0 2) 5. 116. 1)4; 2)0;-4. 119. 2) 1; 3) 8
;
3 2 a
4) 1. 120. 1)0,5; 2)0. 121. 1655, 625 грн .122. Ні, не зможуть. Вказівка. Кульок кожного
кольору по 25. Якщо б учні змогли так помінятися, щоб у кожного з них було три одинакові
кульки, то кількість кульок кожного кольору ділилось б на 3. Але 25 на 3 не ділиться.
123. Тільки для p=2. Вказівка. По-перше, числа p і p+1 мають різну парність. По-друге,
серед простих чисел є тільки одне парне, а саме число 2. Тому, одне з чисел p і p+1
повинно бути 2. Якщо p=2, то p+1=3, та ці числа є простими. Якщо ж p+1=2, то p=1, а
одиниця простим числом не є. Тому p=2. 124. ні.
§4. Квадратні рівняння. Квадратний тричлен
43
147. 1) 1 ; 4)
20
9
2; . 148. 2) 2;6;
4 2 7 ;3)±2. 152. 2)
4
1 2
y 1
y 32x
1
; 4)
x 5
. 153. 2)
2
2y
3 x 2x
4
; 4)
. 155. 10 см; 21 см 156; 2) 0,5; 3. 157. 2) -0,36; -3. 158. 1) 1;
1
y 2x
1
4 3 1
2)немає розв’язків. 159. 1)-5; 2) 2. 160. 1) ; ; 2) 3;4;5. 161. 3) 1 ; 4)-3;2 . 162. 3) 3; 4)-
3 4 4
2.164. 2x 2 22x 40 0 . 165. 5x
2 45x 35 0 .166. 1)0; 2) 0. 168. 10см, 15см; 169. 6м
та 8 м; 170. 24 ряди.
172. Один. Вказівка. Всі піддані хитрими бути не можуть, бо тоді всі вони скажуть
правду, що неможливо. Більше одного правдивого також не може бути, бо тоді
правдиві скажуть неправду. А рівно один чесний може бути, тоді скажуть неправду
всі хитрі, а він один скаже правду. 173. 558 см. 174. x = 1, y = 2, z = 3.
Орієнтовні завдання до контрольної роботи № 1
1. В. 2. Б. 3. Г. 4. А. 5. 1-В; 2-Г; 3-Б. 6. 3 10 . 7. 4. 8. 3;4;5;6. 9. 5.
РОЗДІЛ 1. НЕРІВНОСТІ
§5. Числові нерівності
1 5 1
197. На 50%. 198. На 33 % . 202. 2) Зменшиться на , 3) зменшиться на 5 . 210. 1) -
3 18 2
1
0,69; 2) 4 . 211. 1) 10,5. 212. Більше, ніж 16 деталей за годину
3
214. 35 діб. 215. 486. 216. Четвер. 217. 1 bowls.
§6. Властивості числових нерівностей
235. 4)0 a 2 25
.
236. 4) 4 0,2
5
не можна. 240. 3)-4≤ 5 4 2
b ; 5) 6 5
a > 6b
6 ;
6) порівняти
y ; 244. 1) Так; 2) ні; 3) так. 252. 1) 20< a 3 2 19

4y
6 12 2
253. 2) 2
, 1,2;
3
2y
3
2y
3
2
2
. 254. 2) a 2
b
2
2
255. 1) x y 4y
5 y
1 1
1; 2) x 9 y 9, x 9 ;
256. 1) x 1; 2) оцінити не можна; 4) x> - 3. 257. 1)1; 2)6, 258. 11 лип, 5 берез. 259.
10,5
c 22,5 . 260. 50 чоловік. 262. Федір –Надія; Степан –Марія; Іван –Олена. 263. 56.
265. 8 apple trees.
§7. Числові множини. Числові проміжки
285. 4 учня. 286. 8 учнів. 294. Вказівка: Зверніть увагу, що кількість парниx чисел
дорівнює 48, непарниx- 49. Для того, щоб сума двох чисел була числом непарним,
кожний доданок повинен мати різну парність, тоді остання пара у добутку буде сумою
двоx непарниx чисел. Отже, отримане в результаті число є парним.
Орієнтовні завдання контрольної роботи №2
1. В. 2. А. 3. А. 4. Б. 5. 1-А; 2-Б; 3-В. 7. 0 3a
2b
19 . 9. 20 учнів.
§8. Нерівності зі змінною. Лінійні нерівності
314. 1) Ні; 2) ні; 3)так; 4) ні. 317. 2) x 2 ;3) немає розв’язків; 5) будь-яке дійсне число;
6) x 2 . 318 3) x 1; 4) x 1,2.
321. [–2;2). 322. 3 ; 1
[ 3; 4].
323. 1)6; 2)-3; 4) 1. 324. 1)2; 3) -2.
325.
1)
5)
,
;3 3;
;
2) ;0;
3) немає розв язків;
4) 3;
5; 6) ;
4
4; ; 7) будь які дійсні числа 8)4.
2
326. 3) x . ; 4) ; 3
3;2
; 6) будь-яке дійсне число, крім (-2) і 0.
7
328. 1) 1; 2) 1; 3)3;-1; 5) -3;0;4. 329. 1) будь-яке дійсне число, крім( -2) і 0;
2
13 4
3) 1 ; 1 1;1
1;2
2;
; 4) x 4
. 331. 1) x ; 2) y ;
3
43 5
27
1 2
3) x 3 ; 4) x . 332. 1) x 1 ; 3) x 1
; 5) x 3,5.
33. 1) 0 ;2 3;; 3)
28
3 3
1;3 ; 5) 0 ;9
6)0;9
. 334. 1) ;
1 3;
; 3) ; 4
0;2
; 6). 4 ;
.
336. 28.
§9. Системи та сукупності лінійних нерівностей з однією змінною
363. 3) Всі дійсні числа ; 4) 4;8. 366. 2) x>5 . 368. 2 ) x < -1,8; 3) 4 ≤x 1; 3) x≤1.
373. 1) не містить жодного дійсного числа; 2) 3 x 2;
4)0; 7) не містить жодного
дійсного числа; 8) x≥1та x=-5;9) x=10.
2)
4;1
1;2
2;
;
4) 2;3
3;4
4;
;
5)
8; 2
2;2 2;
374.
7)
5;0 0;3 ,
8) 1;0
2
375.1) 1 2;; 3) 3 4;
; 5) [-4;2] . 376. 4)
3 ; 3.
3
377. 1) 4;3 5;
;
3)[-3;6); 4) (0;9). 378. 3)(-3;5] ; 4)(-0,6;0,5].
379. 1) 8. 380. 1)7; 2)3. 383. 1) x = 2; значення виразу дорівнює 3; 2) x = 3; значення
виразу дорівнює -3. 389. 1)(-2;2); 4) ;2;
4 ; .
6)
343
.

4
390. 1) ; ; 3) (-5;6] 2)
7 ;
2;
; 4)
;1
. 393. 12 км/год . 394. 70 попадань.
398. а ≥ 4. 399. 1) a < 3 3) a ≤ 7 4) a ≥ 2;
5) для довільного дійсного значення параметра; 6) для довільного дійсного значення
параметра . 401. 1)а-1 ; 5)
a>-2 ; 6) для довільного дійсного значення параметра. 402. 3) Якщо a>3, то x≤1; якщо
a-2, то x-2, то x>a; якщо a=-2, тоді немає розв’язків. 403. 1) -4; 2) таких значень не існує;
3)a

§12. Основні властивості функцій
g 5 g 2
478. 3) D ; 6) D ; 8) f 2;3
3;
2
3
1;1
D ;
9) D g ;0 0;3
3;
. 479. 3) D y ;
; 4) y ;
5) D y ; 6) Dy 2;
0
.
7 . 495. 1) немає розв’язків; 2)
D ;
483. 4)(0;0), (-1;0),(3;0) 5)(0;4), (-4;0) 7)
(2;0); 8) (1;0), (0;1); 9)(0; )
5 ;20 . 500. x>5. 501. x>1,5.
3
502. 1) 2; 2) 1; 3) -1) 4) 2.
Орієнтовні завдання до тематичної контрольної роботи № 3
1. Б; 2.Г; 3.А; 4.Б; 5. 1-Г; 2-А ; 3-Б. 7.1) 3; 2) 2 ;12
. 8. у 2x,
x 2,
x 1.
9. Ey 0;2
.
§ 13. Перетворення графіків функцій
532. D y 11;1 . 533. E y 11;9
. 534. D y 0;10. 535. E y 5;5
.
2 5
536. 1) -5: 2)-2. 537. 1) 3; 2) . 540. а=6 та k= 1,5. 541. а=-12 та k= .
3 6
2x
6 4x
1 11
542. Вказівки: 1) y 2 ; 2) y 4
;
x 3 x 3 3 x x 3
1
6) у , x 2
. 545. 20;8;4.
x 3
§ 14. Квадратична функція, її графік і властивості
567. 1) (0; 4) вгору; 3) (-1; 1) вниз; 5) (1; 4) вниз; 7) (-2; 7) вниз 568. 1) (0; 2); 2) (0; 3); 3) (0;
0); 4) (0; 3). 572. 1) (-∞; ∞); 2) (3; 0); (-3; 0); (0; 9); 3) (-∞; -3), (3; ∞) – від’ємні значення;
(-3; 3) – додатні значення; 4) проміжки зростання (-∞; 0 і спадання 0; ∞); 5) найбільше
значення дорівнює 9 і найменше значення не існує; 6) (-∞; 9. 573. (-3; -3), (1; 1) 575. 29; -5
578. а = -0,5 та b= -2 581. а = -0,5
582. а = -4,5; (0; -5,5). 583. а =4
§ 15. Квадратна нерівність
606. 1) (0; 3); 2) -4; 4; 3) (-∞; ∞); 4) (-∞; 0) (2; ∞); 5) -3; 3; 6) (-3; 3) 609. 1) 2; 4 ; 3) -3;
-0,5; 5) 3; 7) (-∞; -0,25) (-0,25; ∞) 613. 1) 2х 2 5
– х – 1≥ 0; (-∞; -0,5 1; ∞); 4) ( 1 ; 2)
13
615. -3,4; 1 617. 1)
2
х
8х
9 0,
2
7х
х 0,
x
6;
х; 2)
х
6,5;
2
5х
50 х 0,
2
x
0,5x
0;
х (-5; -0,5 0; 6,5)
(6,5; 10); 3)
2х
11
0,
2
х
9х
8 0,
2
50
0,5х
0;
х -5,5; 1) (1; 8) (8; 10); 4)
345
2
3х
2х
1
0,
2
4
х 0,
х
1
0,
2
24
х 5х
0;

х (-3; -2) (-2;
1
(1; 2) (2; 8). 618. 4) (-∞; -2 -1; 0,5 4; 6) -1; ∞)
3
621. 1) 2 -1) (-1; 2 3; 4); 3) (0,75; 1) (7; ∞);
5) (-∞;
7
) (-1;
2
7 1 ) ( 1 ; ∞) 622. 1) а ; 3) а .
2 3
625. 1) (-∞; -1) (0,5; ∞); 3) -2; 0,5) 629. 10
Орієнтовні завдання до тематичної контрольної роботи
Тема. Квадратична функція. Її графік та властивості
1. В; 2. Г; 3. Г; 4. В; 5. 1 – А; 2 – Б; 3 – Г; 6. а = -2 ; та b = 18.
7. 1) (0; 6); 2) (-2; 2); 3) 9 8. 1) -1; 2) 1 9. (-18; 0)
РОЗДІЛ 3. СИСТЕМИ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ
§ 16. Системи рівнянь з двома змінними
3t
1
645. 1)Жодного розв’язку; 2) (t; ), де t – будь-яке дійсне число . 646. 1) Один
2
розв’язок; 2) жодного розв’язку; 5) жодного розв’язку; 6) безліч розв’язків. 647. 1) (t;
t 3
3 t ), де t – будь-яке дійсне число; 3) (t; ), де t – будь-яке дійсне число. 648. 1)
4
1
4;
4 ,
6; 2;
2) 0;
1 ,
3;5
; 3) 5;
2 , 2; ;
4) 6,5;
1 ,
0,5;5
649. 1) 4;1
;
3
1 1
2) 1 ; 3;
3) 6 ;2,
11;7
; 4) 1 ; 2 ,
0;
1,5
. 650. 1) ; ; 2) 4 ;2.
651. 1) 2 ;4;
2)
2 7
1;
1.
652. 2) 5;3 ,
5; 3. 653. 1) Будь – яке дійсне число, крім a 7
; 2) будь
– яке дійсне число. 654. 1) a 4 . 655.1) a 1. 660. 196 cats.
§ 17. Системи нелінійниx рівнянь
10;
10 , 4; 2
671. 1) . 2) 2;1 ,
2; 1.
3) 1;2 , 2;1 , 1; 2 , 2;1 , 0; 3 , 3;0
673. 1) (1;2), (2;1);
. 676. 1) (1;2), (2;1) , (-1;-2), (-2;-1) ;
2) (1;2), (2;1); (-1;-2), (-2;-1) ; (1;-2), (-2;1) , (-1;2), (2;-1) . 680. 7 або 2.
681. 6 км/год.
§ 20. Розв’язування задач за допомогою систем рівнянь
691. 12см. 692. 10 або 12 машин. 693.70 км/год; 80 км/год.
699. 2 км/год. 701. 8год 45 xв. 702. 2 км/год. 703.7 км/год; 3 км/год.
704. 54. 705. 72. 706. 63.
Орієнтовні завдання до тематичної контрольної роботи
1. Б. 2. В. 3. А. 4. Г. 5. 1-А, 2-Г, 3-Б. 6. (-3;2), (1;6). 7. 6. 8. (-4;-2), (4;2). 9. 36.
Завдання на повторення
346

x 2y
1. Г . 2. А. 3.Д. 4. Б. 5. 1-В;2-А; 3-Б; 6. 4 цілиx. 7. (1;2) , (2;1). 8. . 9. 3,5 грн 1 кг
2xy
огірків і 6 грн 1 кг помідорів.
РОЗДІЛ IV. ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ
§ 19. Числові послідовності
1 3
728. 1) 2;4;8; 14
.
2)-2;4;-8;16. 3) ;0; ; 2. 4)-2;3;-4;5.
5 10
729. 1)16; 2) 3к-14; 3) -171; 4) 10k 3 6k
6k
1. 730. 1) 5; 2) 3; 3) -1,75;4) -2.
731. 1) 8; 2) усі члени послідовності рівні; 3) 11; 4) не є членом послідовності.
732. 1) 4; 3)не є членом послідовності; 4) не є членом послідовності. 733. 1.
734. 1;2;3;4. 735. 3;4;5. 736. 1. 737.2. 738. 17. 739. 2. 740. 5. 741. 4. 742. x 15 .
13
743. y 1 .745.1) y 0 , y 1, y 1; y 2 ; 2) y 1,
3
2
2
3 4
1
2
3
y , y 3; y 5. 746. 1) 3; 2)12; 3)-1; 4) 27. 747. 1)0; 2) 19; 3) -23;4)-44.
748.3) a
n1
5n 4 1 5n
13
an
0 . Отже, послідовність спадна.
5 3n 2 3n 3n 5 3n
2
4
1
6) an
1
an
4n
3 0 a 2 2 n
n n 3 . Отже, послідовність спадна.
750. 9. Корінь першого рівняння 6. Лише 54 кратне 6. Отже, число 9 є кратним другого
кореня.
§20. Арифметична прогресія
773. 1) 2; 2) -2. 774. 1) -5,2; 2)20. 776. 1) -42; 2) -20.
777. 16. 778. 24. 779. 29. 780. 7. 781. 15. 782. a
21
0, 6 . 783. a 19
0,4.
784. 11 членів. 785. 8 членів. 786. a 0, 3 . 787. n = 91. 788. n=49.
28
789. х = 3 . 790. 4 ; 2 ;
d
28; 4
x . 793. 8,2. 794. 7,3. 796. -12.797. 25.
798. 31 член. 799. 31. 800. 165. 801. так, n=47. 802. n=3. 803. 14 членів:
23; 51;...;28 5;...;387 t .
808. Вказівка. Виконаємо множення виразів , а саме :
1 1 1
( a b c)
( ) 7 0, 7
a b b c c a
далі розкриваємо
дужки
a b c a b c a b c
a b b c c a
с a b
4,9,
або 1
1
1
4,9.
a b b c c a
a b c
Отже, . 1,9 .
b c a c a b
809. 3 41 xв.
§21. Сума n першиx членів арифметичної прогресії
827. не існує.
829. -357. 830. 800. 832. 240. 834. 80. 835. 1.836. 2 або 11. 838. 48,9 м.
840. n=30 , S30=-405. 842. -24,2 .
843. 1) 247500; 2) 6890; 3) 82350. 844. 1) 4410; 2) 27900.
845. 2 пляшечки ліків. 846. 435 грн. 847. 40 учасників.
347

849. a ; a 97. Отже,
S 990.
. 850. a ; a 185.
Отже,
S 4371.
.
1
2
20
20
851. 40560. Вказівка. 1 2 ... 311 6 12 ... 306
1
1
47
47
1
311
.
2
852. 12 500. Вказівка. Числа які задовольняють умову це - 2; 4; 6; 8; 12; 14;16;18;…126;248.
Отже, шукана сума дорівнює різниці усіх парниx чисел цього ряду та чисел кратниx
2 248
10. 2 4 ... 248 10 20 ...240
.
2
10
853. a n
2n
4 . 854. a n
4n
3 . 857. 2 . 858. 68. 859. 546. 860. 13
25. 861.76.
863.1)-20,5 ; -2; 10. 864. 1) 7; 2) 7. 865. 31 член. 866. 14.
Орієнтовні завдання до тематичної контрольної роботи №7
Тема. Арифметична прогресія
1.Г. 2.Б. 3.Г.4.В. 5. 1- 2- 3- Г.
6. -93. 7. 3403. 8. 1080 грн . 9.-6,5 ; -3;-2 .
§ 22. Геометрична прогресія
891.1) a
6
1 2
2
1,5
; 2) b 4
1
128: 2 8 ;3)
3
2 1
3 1
b1
: 6; 4) b1
: 15
.
9 3
25 5
892. 1) 64, 16, 8, 2, 0,5, 0,125; 4) 3 ; 3 2; 6 3; 18 2 ; 36 3 ; 108 2 .
893. (5;10;20) , (5;-10;20). 894.6;12;24;48. 895. -10;1. 896. 4; 2,5. 897.4 898. 42.
899. 1)(7;-14;28;-56), (-56; 28;-14;7) 2) (2;6;18;54), (54;18;6;2).
900. 1) 25 ; 2)27. 902. (8;24;72), (72;24;8). Сума перших трьох членів геометричної
прогресії дорівнює 104. Якщо до першого члена прогресії додати 4, до другого 2, а від
третього відняти32, то отримані три числа складають арифметичну прогресію. Знайдіть
дані числа.
903. (12;24;48), (48;24;12). 904. (20;30;40) , (56;30;4). 905.(62;30;-2), (20;30;40).
3
2
906. 54;-100 . 907. 0,125. 908. 3;6; 12. 909. 32;24;18.
7
§23. Сума членів геометричної прогресії
936. 2 64 – 1.
937. У селищі 16000 жителів. Приїжджий о 8.00 розповідає новину трьом сусідам; кожен з
них розповідає новину вже трьом своїм сусідам і т. д. О котрій ця новина стане відома
половині селища?
941. Сума перши n членів геометричної прогресії визначається за формулою
n
n
1)
S 3
2 3; 2) S 1,5 3
1,5.
Знайдіть знаменник геометричної прогресії
n
n
10
943. 96. 944. 1 . 946. 1) 7; 2) 7. 81
947. (3;6;12424;…;384).
948. (7;21;63;189;567).
2
950. . 3 951.
1 3
1)0,5;
2) ; .
3 4
954. а=2, b=32.
Орієнтовні завдання до тематичної контрольної роботи №8
348

Тема. Геометрична прогресія
1.А. 2.Б. 3.Б.4. В. 5. 1-В; 2-А;3-Б.
b є геометричною прогресією. Сума першиx її членів
6. 3; 3. Послідовність n
n
визначається за формулою S 1,5
3
1,
5 . Знайдіть перший член та знаменник прогресії.
7. , 35
n
35
3 3 . 8. 65. 9. a
2
1;
a3
0,5; a4
0,25.
99
Завдання на повторення
1.Г. 2.В. 3.Б. 4.Г. 5.1-Г; 2-В; 3-Б. 6. 19. 7.105.
2
2
7 11 6 11
8. ( 2;1) , ;
2x
3xy
2y
4,
.
11 11
Розв’язати систему рівнянь:
2
2
x xy y 5.
9. 15 днів; 30днів.
349

Абсциса точки
Предметний покажчик
Аргумент функції
Вибірка
Вирази
— зі змінними
— раціональні
— цілі
Відсотки
— прості
— складні
Вісь абсцис
— ординат
Вибірка
Властивості нерівностей числових
— рівнянь
— степенів
— функцій
Гіпербола
Гістограма
Графік рівняння
— функції
Дискримінант
Доведення нерівностей
Дроби алгебраїчні
Знаменник геометричної прогресії
Інтервал
Квадратний корінь
Квадратна нерівність
Коефіцієнт
Координатна площина
Корені квадратного рівняння
Математична статистика
Математичне моделювання
Медіана вибірки
Многочлен
Множина дійсних чисел
— розв’язків нерівності
Мода вибірки
Модель
Монотонність функції
Нерівності
— зі змінними
— з невідомими
— квадратні
— подвійні
— рівносильні
— числові
Нулі функції
Область визначення функції
— значень функції
Обчислення сум
Основна властивість дробу
— степеня з цілим показником
Оцінювання значень
Парабола
Перетворення виразів з коренями
— графіків
Події
Послідовність
350

— числова
— зростаюча
— спадна
Прикладні задачі
Прогресія арифметична
— геометрична
Проміжки
Пропорційність обернена
— пряма
Проміжки знакосталості
Раціональні
— вирази
— рівняння
— числа
Рівняння
— квадратні
— лінійні
— рівносильні
Різниця квадратів
— прогресії арифметичної
Розв’язок нерівності
— рівняння
— системи нерівностей
— системи рівнянь
— сукупності нерівностей
— сукупності рівнянь
Середнє арифметичне
Статистика
Степінь
— з натуральним показником
— з цілим показником
Сукупність нерівностей
— рівнянь
Сума нескінченної геометричної прогресії
— членів арифметичної прогресії
— геометричної прогресії
Теорема Вієта
Тотожні вирази
Тотожність
Формула коренів квадратного рівняння
— складних відсотків
Функція
— зростаюча
— квадратична
— лінійна
— непарна
— парна
— спадна
Частотна таблиця
Числа дійсні
— ірраціональні
— раціональні
Числові множини
— проміжки
— геометричне
— значення вибірки
Система нерівностей
— рівнянь
351

ЗМІСТ
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА
КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ ………………………………………………..
§ 1. Степінь із цілим показником. Функція
k
y …………………………
x
§ 2. Раціональні вирази зі змінними. Раціональні рівняння ……………….
§ 3. Квадратні корені. Функції
2
y х та y х …………………………….
§ 4. Квадратні рівняння. Квадратний тричлен ………………………………
Орієнтовні завдання до контрольної роботи №1 ……………………..
РОЗДІЛ I ………………………………………………………………………
§ 5. Числові нерівності …………………………………………………….…
§ 6. Властивості числових нерівностей …………………………………….
§ 7. Числові множини. Числові проміжки…………………………………..
Орієнтовні завдання до тематичної контрольної роботи №2 ……………..
§ 8. Нерівності зі змінною. Лінійні нерівності ….…………………………
§ 9. Системи та сукупності лінійних нерівностей з однією змінною…….
§ 10*. Розв'язування лінійних нерівностей з параметром ……………….
Орієнтовні завдання до тематичної контрольної роботи №3 …………..
Завдання на повторення …………………………………………………
Сторінка історії ………………………………………………………………
РОЗДІЛ II. КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ ……………………………….
§ 11. Числові функції ………………………………………………………..
§ 12. Основні властивості функцій ………………………………………..
Орієнтовні завдання до тематичної контрольної роботи №4
§ 13. Перетворення графіків функцій ………………………………………
§ 14. Квадратична функція, її графік і властивості ……………………….
§ 15. Квадратна нерівність ………………………………………………….
Орієнтовні завдання до тематичної контрольної роботи №5
352

Завдання на повторення ……………………………………………………
Сторінка історії ……………………………………………………………
РОЗДІЛ ІІІ. Системи рівнянь та нерівностей ………………………………..
§ 16. Системи рівнянь з двома змінними. Спосіб підстановки та заміни
змінниx …………………………………………………………………………
§ 17. Системи нелінійниx рівнянь ……………………………………………
§ 18. Розв’язування задач за допомогою систем рівнянь ………………….
Орієнтовні завдання до тематичної контрольної роботи №6……………..
Завдання на повторення……………………………………………………
Сторінка історії ………………………………………………………………….
РОЗДІЛ IV. ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ ………………………………..
§ 19. Числові послідовності ………………………………………………….
§ 20. Арифметична прогресія ………………………………………………..
§ 21. Сума n першиx членів арифметичної прогресії ………………………
Орієнтовні завдання до тематичної контрольної роботи №7……………..
§ 22. Геометрична прогресія …………………………………………………..
§ 23. Сума членів геометричної прогресії …………………………………….
Орієнтовні завдання до тематичної контрольної роботи №8 ………………
Завдання на повторення …………………………………………………..
Сторінка історії………………………………………………………………….
Розділ V*. Математичне моделювання ………………………………………..
§ 24. Математичне моделювання ……………………………………………..
§ 25. Відсоткові розрахунки …………………………………………………..
§ 26. Відомості про статистику ……………………………………………….
353