Matematyka 7

MATEMATYKA
7

Ramowy rozkład materiału w klasie 8
Lp.
Rozdział
Liczba
godzin
1. Pierwiastki 19
2. Koło i okrąg 10
3. Twierdzenie Pitagorasa 14
4. Graniastosłupy 14
5. Ostrosłupy 14
6. Statystyka i prawdopodobieństwo 9
7. Powtórzenie przed egzaminem po szkole podstawowej 24
8. Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa 11
9. Symetrie 13
Razem 128

Adam Makowski, Tomasz Masłowski, Anna Toruńska
MATEMATYKA
Podręcznik
7
szkoła podstawowa

Anna Juchimiuk
801 220 555
www.wsip.pl

.
3
Spis treści .................................
Wstęp ........................................... 5
O podręczniku .................................. 6
2016
7 300 000 000
Rozdział 1. Liczby .................................. 7
1.1. Rzymski sposób zapisu liczb ................ 9
1.2. Liczby pierwsze i złożone.
Dzielenie z resztą ........................... 15
1.3. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych.
Ułamki okresowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4. Zaokrąglanie liczb .......................... 32
1.5. Własności działań ........................... 39
1.6. Działania na ułamkach zwykłych
i dziesiętnych ............................... 46
1.7. Wyrażenia arytmetyczne i ich szacowanie . . . 54
1.8. Odległości na osi liczbowej . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Podsumowanie rozdziału 1. ................... 70
Cena
600,-ZŁ
PROMOCJA!
-25%
Tylko teraz!
Rozdział 2. Procenty ............................... 75
2.1. Ułamki i procenty ........................... 77
2.2. Obliczanie procentu danej liczby ........... 83
2.3. Obliczanie, jakim procentem jednej
liczby jest druga liczba ...................... 87
2.4. Obliczanie liczby, gdy dany jest jej
procent .................................... 93
2.5. Obliczenia procentowe ..................... 98
2.6. Diagramy procentowe ...................... 106
Podsumowanie rozdziału 2. ................... 116
90°
33°
90°
25°
Rozdział 3. Trójkąty ................................ 119
Kąty wokół nas – infografika ..................... 120
3.1. Kąty ........................................ 123
3.2. Trójkąty. Przystawanie trójkątów ............ 131
Podsumowanie rozdziału 3. ................... 142

l
a
4 .
((
x
y
))
Rozdział 4. Wyrażenia algebraiczne ............... 147
4.1. Przykłady wyrażeń algebraicznych .......... 149
4.2. Wartości liczbowe wyrażeń
algebraicznych ............................. 156
4.3. Redukcja wyrazów podobnych ............. 162
4.4. Dodawanie i odejmowanie sum
algebraicznych ............................. 168
4.5. Mnożenie sum algebraicznych
przez jednomiany ........................... 172
4.6. Mnożenie sum algebraicznych .............. 176
Podsumowanie rozdziału 4. ................... 180
BATON
NCZ
CZEKO.
BATON
NC
CZEKO.
BATON CZEKO.
SOK OWOC. 0,33L 3,20
Do zapłaty PLN
******** MIŁEGO DNIA *********
ZAPŁACONO GOTÓWKĄ 20,00
RESZTA GOTÓWKA 8,70
Sklep
p"UD
Dominika" ika
"al. Jerozolimskie olim
96,
00-807
07 Warszwa, Sklep "UD
Dominika"
11,30 0
Rozdział 5. Równania .............................. 183
Równania – infografika ........................... 184
5.1. Przykłady równań ........................... 187
5.2. Rozwiązywanie równań .................... 193
5.3. Zadania tekstowe ........................... 198
5.4. Wielkości wprost proporcjonalne ........... 204
5.5. Przekształcanie wzorów ..................... 213
Podsumowanie rozdziału 5. ................... 218
Rozdział 6. Wielokąty .............................. 221
Matematyka pod stopami – infografika .......... 222
6.1. Kąty w wielokątach ......................... 225
6.2. Pola wielokątów ............................ 237
6.3. Figury w układzie współrzędnych ........... 251
Podsumowanie rozdziału 6. ................... 264
Rozdział 7. Potęgi .................................. 269
7.1. Potęgi liczb całkowitych .................... 271
7.2. Potęgi o wykładniku naturalnym ............ 277
7.3. Mnożenie i dzielenie potęg
o tej samej podstawie ...................... 281
7.4. Potęga potęgi .............................. 286
7.5. Mnożenie i dzielenie potęg
o tym samym wykładniku ................... 290
7.6. Notacja wykładnicza ........................ 295
7.7. Działania na potęgach ...................... 301
Notacja wykładnicza – infografika ................ 308
Podsumowanie rozdziału 7. ................... 310
Odpowiedzi .................................... 312

Wstęp
Drodzy Uczniowie!
-
-
-
-
-
-

O podręczniku
Podręcznik składa się z siedmiu rozdziałów, a każdy z nich – z kilku tematów.
Inspirujące strony
działowe opisują
praktyczne zastosowanie
matematyki.
Z tego tematu dowiesz się
to lista umiejętności, jakie
zdobędziesz na lekcjach.
Ważne informacje zostały
zamieszczone w ramkach.
Wybrane pojęcia są podane
w języku angielskim.
Przykłady rozwiązane
krok po kroku pomagają
w zrozumieniu problemu.
Ćwiczenia umożliwiają
samodzielny trening.
Duża liczba ciekawych
zadań, o bliskiej Ci tematyce,
umożliwia wyćwiczenie
wymaganych umiejętności.
Podsumowanie, zawierające
pytania i zadania różnych
typów, pomaga powtórzyć
i utrwalić opanowanie
materiału.
Pamiętaj, jest to podręcznik wieloletni, dlatego nie pisz po nim – wszystkie rozwiązania zapisuj
w zeszycie.

Cedrowa
3 Trójkąty
Dębowa
33°
90°
90°
25°
Bukowa
Eukaliptusowa
Akacjowa
W codziennym życiu na każdym kroku spotykamy się z kątami. Inżynierowie analizują
kąty nachylenia dachów, kąty nachylenia dróg, kąty rozwarcia elementów konstrukcyjnych.
Technicy zwracają uwagę na kąt wznoszenia się samolotu czy kąt widzenia
pilota. Własności kątów wykorzystują również gracze w snookera, ponieważ chcą
precyzyjnie trafić we właściwą kulę bilardową.
• Wskaż po dwie pary ulic, które są położone względem siebie
pod kątem ostrym, prostym i rozwartym.
• Wyznacz miarę kąta, jaki tworzy ulica Bukowa z ulicą Cedrową.
• Podaj miarę kąta skrętu samochodu zjeżdżającego z ulicy Akacjowej
na ulicę Eukaliptusową (pamiętaj, że gdy kierowca wjeżdża na rondo,
porusza się ruchem przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).

Kąty wokół nas
Dwie półproste o wspólnym początku dzielą płaszczyznę na dwie części.
Każdą z tych części płaszczyzny wraz z półprostymi nazywamy kątem.
C
C
A
wierzchołek kąta
A
ramię kąta
część płaszczyzny
ramię kąta
C
B
część płaszczyzny
B
A
Oznaczenia kątów
Półproste AB i AC wyznaczają kąt, który oznaczamy symbolem BAC lub CAB. Dla ustalenia,
o który kąt chodzi, zaznaczamy go na rysunku łukiem.
B
90°
kąt prosty
kąt ostry
180°
kąt półpełny
360°
kąt pełny
270°
kąt
2k wklęsły

122
CZY PAMIETASZ?
Zadanie 1. 15°50°
125°170°.
Zadanie 2. x.
a) b) c)
d) e) f)
Zadanie 3.
a)°° b)°° c)°° d)°°
Zadanie 4. a.
a) b)
c) d)
Zadanie 5.
a) b) c) d)
Zadanie 6. pq-
Op
xxx.

3.1 Kąty
Z tego tematu dowiesz się:
jak mogą być położone względem siebie dwie proste na płaszczyźnie,
dlaczego kąty wierzchołkowe są równe,
jak korzystać z równości kątów odpowiadających oraz kątów naprzemianległych,
jak udowodnić twierdzenie o sumie kątów trójkąta.
angle
180° 360°
0° 180°
= 360°
pq
p q
parallel lines

124 3. TRÓJKĄTY
pq-
p ⊥ q.
perpendicular lines
PRZYKŁAD 1.
Rozwiązanie:
Lp. Uzasadnienie
α + γ = 180°
β + γ = 180°
α + γ = β + γ
α = β

3.1. Kąty
125
ĆWICZENIE 1.
xyz
PRZYKŁAD 2.
kl mn
abc.
Rozwiązanie:
b
°b = 73 ° .
dd
b
d = b = 73 ° .
cd
c = 180°− d = 180°− 73° = 107°
ac
a = c = 17 0 ° .

126 3. TRÓJKĄTY
ĆWICZENIE 2.
mn-
.
a) b)
=''=''.
SPRAWDŹ W INTERNECIE
Dowiedz się, w jaki sposób współrzędne geograficzne są podawane przez
urządzenia GPS, a w jaki – przez mapy internetowe.
Odszukaj współrzędne geograficzne swojego miejsca zamieszkania i zapisz je:
• tylko za pomocą stopni, z dokładnością do 4 miejsc po przecinku,
• za pomocą stopni i minut (minuty zapisz z dokładnością do 2 miejsc po przecinku),
• za pomocą stopni, minut i sekund.
PRZYKŁAD 3.
°.
Rozwiązanie:
α + β + γ = 180 ° .
ABC.

3.1. Kąty
127
Lp. Uzasadnienie
= ' ′
= ' ′
α′ + γ + β′ = 180°
′
′
α + γ + β = 180°
ĆWICZENIE 3.
mnα + β + γ = 180 ° .
ZADANIA
1
2 mna, b, c, d.
a) b)
3 mn
a) b)

128 3. TRÓJKĄTY
4 mnx.
a) b)
5 mn.
a) b)
6
a) °, b) °.
7 -
m-
-
= 28°
.
8 -

3.1. Kąty
129
9
10
a) °, b) °.
11
a) 42° 30′
b) 63° 12′.
12
60°60°.
13
°α + γ + β = 360 ° .
14 α + γ = β.
15 α + β = γ.

130 3. TRÓJKĄTY
CZY JUŻ POTRAFISZ?
Rysunek do zadań 1. i 2.
1
A. a = g
B. b = h
C. c = h
D. d = f
2
A. b + d = 180 °
B. a + c + e + g = 360°
C. h + b + c = 180 °
D. a + c + f + h = 360 °
3
4
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
5 mn
6 mnabc.

3.2
Trójkąty. Przystawanie
trójkątów
Z tego tematu dowiesz się:
jak skonstruować trójkąt o bokach podanej długości,
jakie są cechy przystawania trójkątów,
jakie własności ma trójkąt równoramienny,
jak znajdować najdłuższy i najkrótszy bok trójkąta o danych kątach,
jak znajdować największy i najmniejszy kąt trójkąta o danych bokach,
jak przeprowadzać proste dowody geometryczne.
ABC AB + BC
AC
AB AB.
ABC AB + BC = AC
BAC
PRZYKŁAD 1.
ABC AB = 72 BC = 49
AC = 12, 1
Rozwiązanie:
AB + BC = 72 mm + 49 mm = 121 mm = 12, 1 cm
AB + BC = AC ABC
BAC
ĆWICZENIE 1.
KLM KL = LM =
KM =

132 3. TRÓJKĄTY
a + b c
a + c b
b + c a
PRZYKŁAD 2.
Rozwiązanie:
6 + 5 4
6 + 4 5
5 + 4 6
Konstrukcje
geometryczne
wykonujemy
tylko za pomocą
cyrkla i linijki bez
podziałki.
ĆWICZENIE 2.
-
congruent figures

3.2. Trójkąty. Przystawanie trójkątów
133
-
PRZYKŁAD 3.
a)
Rozwiązanie:
AB = LK = 45 , AC = MK = 36 , CB = LM = 42 ,
ABCKLM

134 3. TRÓJKĄTY
b)
Rozwiązanie:
DF = NO = DE = NP = EDF
= ONP
= 78°
DEFNOP
c)
Rozwiązanie:
GI = RT = GIH
= STR
= 71°
IGH
= SRT
= 61°
GHIRST
-
ĆWICZENIE 3.
a)
b)

3.2. Trójkąty. Przystawanie trójkątów
135
c)
PRZYKŁAD 4.
Rozwiązanie:
ABCACBC
-
α = β.
D
AB CD.
Lp. Uzasadnienie
AC = BC
ACBCABC
AD = DB
DAB.
ACDBCD
ACDBCD
α = β
CD

136 3. TRÓJKĄTY
ACDBCD
D
ABC
CDACB
ACDDCB;
CDAB.
ĆWICZENIE 4.
a) b)
PRZYKŁAD 5.
Rozwiązanie:
ABCBAC ABC
-
a = b.
CD
C

3.2. Trójkąty. Przystawanie trójkątów
137
Lp. Uzasadnienie
DAC
= CBD
ABC
CDA
= BDC
= 90°
CDABC.
ACD
= DCB
ACD
BCD
CD
ACDBCD
ACDBCD
a = b
ĆWICZENIE 5.
a) b)
•
•
PRZYKŁAD 6.
ABC

138 3. TRÓJKĄTY
Rozwiązanie:
a)ABCAC-
ABCABCAB
-
ACB
b)ABC65°°
( ) = °65°BAC
180°− 65°+ 55°
60
BC-
°ABC AC
ĆWICZENIE 6.
a)
b)
ZADANIA
1 ABC AB = BC =
CA =
2
3
a) b)

3.2. Trójkąty. Przystawanie trójkątów
139
4
a) b)
5 xy.
6 ABC ( AC = BC )AB
A53°KLM
KLM
74°ABCKLM
7
A. 56° , 64 ° B. 57° , 66°
C. 59° , 69°
D. 59° , 61°
8 ABCBAC = 73°
ABC = 52°
9 ABC AB = 9 cm BC = 12 cm AC = 11 cm
10 ABCDABAB
CDDACACD
11 ABCCDC
ABBAC = 53°
BDC = 122°
ADC

140 3. TRÓJKĄTY
12
13 ABC
CDx.
14 ABC
CDα = β.
15 kl
AP = PB CP = PD .
16 ABCBCP
AP + BC AB + AC .
17 ABC -
ABK
BLC
AL = CK .
18 ABCPAPB -
ACB.

3.2. Trójkąty. Przystawanie trójkątów
141
CZY JUŻ POTRAFISZ?
1
A. B.
C. D.
2
A. B.
C.
D.
3 ABC
AC = BC ACB = 38°
-
ADx.
4 ABCKLM BK = BM CK = CL
AM = AL KLM.
5 ABCDABCABD

142
PODSUMOWANIE ROZDZIAŁU 3
Zanim przystąpisz do rozwiązywania zadań, sprawdź, czy umiesz odpowiedzieć
na poniższe pytania.
Jakie własności mają kąty wierzchołkowe?
Jak mogą być położone względem siebie dwie proste na płaszczyźnie?
Co to są kąty odpowiadające?
Co to są kąty naprzemianległe?
Co to jest nierówność trójkąta?
Jak skonstruować trójkąt, gdy dane są trzy jego boki?
Jakie są cechy przystawania trójkątów?
Jakie własności ma trójkąt równoramienny?
Jaki kąt znajduje się naprzeciwko najdłuższego boku trójkąta?
Jaki bok znajduje się naprzeciwko najmniejszgo kąta trójkąta?
W zadaniach 1.–4. dokończ zdania tak, aby były prawdziwe.
1
A. 83° B. 90° C. 93° D. 97°
2
A. 150° B. 160° C. 200° D. 210°
3
A. 160° B. 140° C. 135° D. 120°
4
A. 74° i 41°
B. 113° i 55 ° C. 63° i 2 °
D. 67° i 22°

143
5
A.
B.
C.
D.
6
I. PRAWDA / FAŁSZ
II.
III.
IV.
PRAWDA / FAŁSZ
PRAWDA / FAŁSZ
PRAWDA / FAŁSZ
7
8
9 mnabc

144
10 DB
115°C95°
A
11 ABCABBCCA
12 -
13 x x + 36°
2x
14 ABC48°74°KLM – 58°48°
ABC
KLM
15 ABCDABDBC
ACBC
16 ABC AC = BC
ADBE AD = BE
17

145
18 ABCCDE
BCDACE
19 ABC AC = BC -
ADβ = 2α
20 ABCKLM BK = BM CK = CL
AM = AL α + 2β
= 180°
21

146
22 ABCKLM
23 ABCKLM
AC ABBCKLM
AK = BL = CM

4
Wyrażenia
algebraiczne
Pomyśl swój numer buta
w numeracji dwucyfrowej
i pomnóż go przez 4.
Do wyniku dodaj 40,
a następnie otrzymany
wynik pomnóż przez 25.
Dodaj aktualny rok
i odejmij 1000, a potem
odejmij swój rok
urodzenia. Otrzymasz
czterocyfrową liczbę,
w której pierwsze dwie
cyfry tworzą numer
twojego buta, a kolejne
dwie tworzą liczbę
określającą twój wiek.
((
x
y
))
Czy to czary?

148
CZY PAMIETASZ?
Zadanie 1. W pewnej klasie jest x dziewczynek i y
:
a)
b) 1 3
c)
Zadanie 2.
a)x b)x
c)x d)x
Zadanie 3.
a) x + b) x c)x d) x :
Zadanie 4.
a) 2⋅ + 3 = 5 b) 1
= 0 c) 2⋅4 − 0⋅ = 8 d) :1=
1
Zadanie 5.
Zadanie 6.
1. 2. 3. 4.
a)
b)
c)

4.1
Przykłady wyrażeń
algebraicznych
Z tego tematu dowiesz się:
czym są wyrażenia algebraiczne,
jak odczytywać i zapisywać wyrażenia algebraiczne,
jak zapisywać wyrażenia algebraiczne opisujące sytuacje przedstawione w zadaniu.
3a + 5bxya − b 3 ( x − y)
3x
+ 2y
algebraic expression
a i b a + b
b
3 − b
a
⋅ aa
a i b
a
, b ≠ 0
b
a
1
3 ⋅ a 1 3 a
a i b 2 ⋅ ( a + b)
2( a + b)
a 02 , ⋅ a0, 2a
a ( 3a)
2
b b 3
3 · aax · y − xy
ab i c ab ( − c)
ac i d a :( a
c − d ) lub c d
c d
, ≠
−
a i b ( a + b)
a i b a + b
2

150 4. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
PRZYKŁAD 1.
:
a) a
b) b
c)b
d) ab
e) ab
f) a i b
Rozwiązanie:
a)3 i a3 ⋅ a
b)b 1 b i b
2
i 1 2 b czyli 5 ⋅
1 b
2
250
c) 250% = = 2, 5 b25 , ⋅ b
100
d)a 1 2 ab1 3 ba
i b 1 2 a i 1 3 b1 1
a ⋅ b
2 3
e)a i b
3a i b 3a : b.
f) a i b ( a − b)
( a − b)
2
ĆWICZENIE 1.
:
a) b
b) a b
c) zk
d) kl
e) m i n
f) b
g) d
h) p
PRZYKŁAD 2.
a) x + y
b) 3x
⋅ 2z
c) 1 x −
5
5
d) 4( d − f)
e)
f) x − y
2
z
x+
y
1
2
y

4.1. Przykłady wyrażeń algebraicznych
151
Rozwiązanie:
a)xy.
b)xz
c)xy
d)d i f
e)z
f) x i y
ĆWICZENIE 2.
a) g 4
3 3
b) a − b
c) ( a − b)
3
d) x + 01 , x
PRZYKŁAD 3.
-
xy
Rozwiązanie:
3⋅ x = 3x⋅ y = y
: 3x
+ 2y
ĆWICZENIE 3.
-
-
xy-
CENA
3 zł
CD
CENA
5 zł
DVD
ZADANIA
1 :
a) ab b) c i 3d
c) ef d) g i h
e) c f) d
2
a) 2x
+ 3y
b) 1 1
x − y c) 7( a + b + c)
d) x+ y
2 3
3 :
a) a
b) ab i c
c) a
d) ab i c

152 4. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
4 Niech k:
a) k
b)
c)
5 Niech k:
a) b)
c) d)
6 n:
a) n
b) n
c) n
d) n
7 n
a)
b)
c)
8 x
y
9
a) b)
10 x
11 x
12
a) ab
b) cd
c) x y
d) z

4.1. Przykłady wyrażeń algebraicznych
153
13
x y
14 x
15 x
-
CENA
x zł
16
y
17 x
y
18 ab
i c
19
a)
n
b)
n
c) -
20 x
21 y

24
154 4. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
22 m-
23
25
-
26 :
a) xy
b) x
c) xy
27
1. 2. 3. 4. 5.
-
n
28 -
k
a)
b)
c)

4.1. Przykłady wyrażeń algebraicznych
155
29
I II III
a)
b)
c)
d)
e) n
CZY JUŻ POTRAFISZ?
1 xy-
2
2
1 2 1
A. ( x y
2 ) + B. ( x + y
2 ) C. 1
2 2
x+
y
x + y D.
2
(
)
2 n
A. n
B. n
C. n
D. n
3
4 xy
5 xyz-

4.2
Wartości liczbowe
wyrażeń algebraicznych
Z tego tematu dowiesz się:
jak obliczać wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych.
PRZYKŁAD 1.
n
Rozwiązanie:
n( 1420 ⋅ n)
n( 1420n + 475)
( 1420 ⋅ 10 + 475)
=
ĆWICZENIE 1.
n
i m
A
-
numerical value
PRZYKŁAD 2.
− 2x + 3dla:
a) x = 3 b) x =−1
Rozwiązanie:
a) x = 3 − 2x + 3 jest równa −2⋅ 3 + 3 = − 6 + 3 = −3
b) x =−1 − 2x + 3 jest równa −2⋅ ( −1) + 3 = 2 + 3 = 5
ĆWICZENIE 2.
a) 3x − 2 dla x = 4 b) 7 − 9x dla x =−3
2
c) x + 3x
+ 1 dla x =− d) 3 − 2 x
3 + x
dla x = 42 ,

4.2. Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych
157
PRZYKŁAD 3.
-
x =y =
Rozwiązanie:
O = x + y + y + x +y + x + x) + x + x + y
O = 3 +++ 3 ++ 3 + 3) + 3 + 3 +
O =
Zaczynamy od górnego boku figury
i przesuwamy się w prawo.
W miejsce x i y wstawiamy podane liczby.
ĆWICZENIE 3.
a =b =c =
PRZYKŁAD 4.
2( x − 1) + 3( y + 2)
dla x =−3 i y = 2 1 3
Rozwiązanie:
2( x − 1) + 3( y + 2)
( ) = ⋅ − + ⋅ − + ⋅ = − + =
1
1
2( −3 − 1) + 3 2 + 2 ( )
3
3
= 1 13
2 4 3 4 8 3 8 13 5
3
1
ĆWICZENIE 4.
a) x − 2( y + 1) dla x = i y =−1
b) ( x + 3)( y + 0, 5 ) dla x =−32 , i y = 2 1 2
c) 5 x
2 + y
dla x =− i y = 25 ,
−x
2 2 2
d) x − y + 3z
dla x = 1y =−1 i z =
2
( − 1)
= 1
3
( − 1)
= −1
PRZYKŁAD 5.
a)
n
b)
Rozwiązanie:
a) nn45n − 20
b)
45 ⋅5 − 20 = 205

158 4. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
ĆWICZENIE 5.
P:
x
ZADANIA
1
a) 2x + 1 dla x = b) − 3x + 5 dla x =−
1
c) 5 4
2 − x dla x = 1 1
d) 3 −2
−
2
( x
3)
dla x =−2 1 3
2 x =−
2
A. 7x + 5
B. 2, 5x + 2x
C. − 1
x
2
+ 6
D. x + 1
x
x −1
3
a) 2x
+ 7, 5y
− 2 dla x = 3 i y = 4 b) x+ y dla x =− i y = 11
c) 4( x − 2y)
dla x = 15 , i y = 1 d) x 3
+ dla x = 2 4 2 y
5 i y = 2 5
4
2
a) x + x + dla x = 4 b) ( 2x
+ 1)( − 3y
+ 2)
dla x =−1 i y =−1
c) x
y
3 2 2 3
+ dla x =− i y = 3 d) xy + xy dla x =− i y = 1
y
x
5
a) P = P = a
b) P = P = ah
a = 2 1 2
a = 82 ,
h = 3
c) P = P = ef
d) P = P = ( a+
b)
h
2
e = 41 , a = 1 2
f = 02 , b = 4 1 3
h = 3
6 :
a) tt =−
b) x i yx =−1 i y = 25 ,

4.2. Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych
159
7
a i b
a) b)
a = 111 i b = 39 a = 39 , i b = 61 ,
8
a) b)
h = x = 10
9 abc.
dla a = b = 32 , i c = 31 ,
10
ab i 4ca = 22 , b = 3 i c = 2 1 3
11 -
kot
otooko
12
a)
n
b)
13
a) x
b)
14 -
a)
b) x

160 4. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
15 Bartek pokonuje pieszo dystans x
a)
b) x = 4
16
9 5
a)
b)
17 -
l
t
a)
b)
18 :
x
x =
19
abcd
a) b) c)
II. a − ( b + c)
II. a − b − c
II. a − ( b − c)
II. a − b + c
20
II. a − b + c − d
II. a + c − ( b + d)
Szus
wypożyczalnia nart
30 zł – za pierwszą godzinę
12 zł – za każdą następną
Slalom
wypożyczalnia nart
35 zł – za pierwszą godzinę
10 zł – za każdą następną
a) x
b)

4.2. Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych
161
21
1 + a
2
23 :
a)
b) k
c)
CZY JUŻ POTRAFISZ?
1 x =−
A. x + x + x + x + x
B. x − ( x + 5 )
2
1
C. x + 3x
− 5
D. − ( x − 3)
2
x +
2
y
x−
y
dla x = i y =−3
A. –1 B. C. D. 1
3 x =
A. 1001 ⋅( 101 − x )
B. 2 ⋅( 102 − x )
C. ( x + 102)( x −102 )
D. 3x
− 304 + x
4 nn ( − 3)
n
2
:
22 -
liczy xx
5 xy
-
x =y =

4.3
Redukcja wyrazów
podobnych
Z tego tematu dowiesz się:
czym są jednomian i suma algebraiczna,
co to jest współczynnik liczbowy jednomianu,
jak przedstawiać jednomiany w postaci uporządkowanej,
jak rozpoznawać jednomiany (wyrazy) podobne,
jak redukować wyrazy podobne.
Jednomian
1; 2b; a ⋅ 2; 3xy ⋅ 2; 05 , z; x
L
monomial
coefficient
PRZYKŁAD 1.
W
1 2 3
− 2b + x + y − x y + 3
2
Rozwiązanie:
: −2b1x 1 2 y−1 x 2 y 3 3
Współczynnik 1 w zapisie
jednomianu pomijamy.
1⋅ x = x
ĆWICZENIE 1.
2x − c
1 2
− x + 4xy
− 5
2
13 , a − 5ab + a 3 − b + 2
M

4.3. Redukcja wyrazów podobnych
163
PRZYKŁAD 2.
a) a ⋅ b b) 2a
⋅ 5b
c) 9b⋅2a ⋅( −2a) d) −4ba
⋅15 , a
2
Rozwiązanie:
a) a⋅ b = a⋅⋅ b = ⋅a⋅ b = ab
b) 2a⋅ 5b = 2⋅a⋅5⋅ b = 2⋅5⋅a⋅ b = 10ab
c) 9b⋅2a⋅( − 2a) = 9⋅b⋅2⋅a⋅( −2)
⋅ a =
= 9⋅2⋅( −2) ⋅a⋅a⋅ b = −36a 2 b
2 2
d) −4ba ⋅ 15 , a = −4⋅b ⋅a ⋅15
, ⋅ a =
2 3
=−4⋅15 , ⋅a⋅a ⋅ b =−6a b
Mnożymy wszystkie współczynniki
liczbowe jednomianu, zwracając
uwagę na ich znaki. Zmienne
zapisujemy w postaci potęgi.
2 3
a⋅ a = a⋅ a⋅ a = a
ĆWICZENIE 2.
a) 3t
⋅ 2s
b) 9a ⋅( −b) ⋅4 1 a c) tat ⋅ar ⋅ ak d) −05 , s ⋅m⋅16
, m
2
PRZYKŁAD 3.
a) −8 2
x ⋅ 9 y
b) 5 2 6 3 2
x y ⋅ x y
6
2
10x
Rozwiązanie:
a) − 4 2
8 ⋅ 9
= − 2
4 ⋅ 3
x y x 9 y 2
=−12x y
63
31
b) 5 1 2
1
6 3 2
x y⋅
x y
2
10x
1
2
3 3 3 3 3
6 x y 3x y
= = =
21
1
3 3
3x y
ĆWICZENIE 3.
a) 2 2
x y ⋅− ( 15 x)
b) 6 3 5 3
ab⋅
ab
10
2
15b
-
3abc 2 3 i 2cab
3 2
a bi a b
b

164 4. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
PRZYKŁAD 4.
W
x xx x 3 x
1
2 x 3x ⋅ x −x ⋅ x ⋅ x
Rozwiązanie:
:
• x: xx 1 2 x
• x: x x x · x
• x: x 3 x · x · x
ĆWICZENIE 4.
7 2 ab
ab 14ba 2
2
−3, 5ab −ab 09 , ab 2 2 ba −a 1 1 2
ab
6
S-
2 2
1+ 2b + ( − a) + 3xy + ( − x)
= 1+ 2b − a + 3xy − x
algebraic sum
PRZYKŁAD 5.
a) 2a
+ 3a
b) − 3a + a
Rozwiązanie:
a) 2a + 3a = ( 2 + 3)
a = 5a
b) − 3a + a = ( − 3+ 1)
a = −2a
Odejmowanie to dodawanie
z przeciwnym znakiem:
a− b=
a+ ( −b).
Przy dodawaniu jednomianów
podobnych wystarczy dodać ich
współczynniki liczbowe.
ĆWICZENIE 5.
a) x + x + x + x
b) 3x − 6x + x + 2x
1
c) − 2x + x + x − 4, 5x
3
d) − x + 07 , x + 5
PRZYKŁAD 6.
a) 3a + 2b − 7a
2 2 2
b) a − 5a + 7a − 6 + a − a + 2

4.3. Redukcja wyrazów podobnych
165
Rozwiązanie:
a) 3a + 2b− 7a = − 4a + 2b
2 2 2 2
b) a − 5a+ 7a − 6 + a − a+ 2 = 9a − 6a
− 4
Dla ułatwienia jednomiany podobne
oznaczamy w taki sam sposób.
ĆWICZENIE 6.
a) 12m + 3n + 6m − n
b) − 7x + 6y − 4 − x + y + 12
2 2
2 2
c) 6x − x + 12x + x − 2x
d) 2xy + 4x y − 5xy − 3x y + 3xy
ZADANIA
1
2
2 1 1 2 3
a) 2x − 3xy + y + 2xy
− 1
b) − ab c + xyz − 41 ac − x y + b
2 3
2
2
a) 2a ⋅ 3
b) a ⋅a ⋅ a
c) −8a
⋅3a
2 2
d) ab ⋅ a
e) pb ⋅rb ⋅ sb
f) −mn⋅( −m)
⋅n
g) ( −rst) ⋅( −rt)
⋅ s h) 3ab
⋅ 2a
i) −5a ⋅4b⋅0,
5a
3
a) a⋅b ⋅a⋅b
( ) ⋅ ⋅ ⋅
b) 2x⋅ y ⋅ x ⋅3y
1
3 2
c) − wd dw 04 , w ds
d) 5 ⋅c ⋅d ⋅d
4
2 1
2 1
e) 34 , ab ⋅a ⋅b
⋅ 4
f) −rt⋅6t ⋅ −rt ⋅ s
2
2 ( )
4
a) 4 y⋅
3 x
b) 6 x⋅( − 2 x)
c) 3 2
xy ⋅ 10 xy
2
−4
5y
5 3ab
2
6
a) 4x
− 7 − 5x
+ 3
2 1
b) 2y + 11x − 21 , − 2 y − x + 8 y −19
,
3 3
2 2
c) x + 8x − 9 − 34x − x + 3
3 2 2 3
d) 9 + 5x − 9x + 9x − 6 − 3x − x + x
e) 2x − 4y + 9xy − 4 − 6y − 7x + yx
1 1
f) pq + 2q p − 6 qp + pq −8pq
2 6
2 2
2
d) −15 ⋅3 ⋅2
2
, xy x y
2xy

166 4. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
7
a) 099 2 1
, x + x + 201 , x 2 − 8x
+ 5x = 4
4
4
b) − xy + 65 , x + y + 7y −85
, xx = 1 3
2 i y = 15 ,
8
x x ?
? 3x ?
? x ?
9
a) b)
2 2 2 2
10 5 − 5b + 3a − a + 3b
Ania: 5 − 5b 2 + 3a 2 − a 2 + 3b 2 = b 2 + 3 + 3b 2 = 3 + 4b
2
2 2 2 2 2 2 2 2
: 5 − 5b + 3a − a + 3b = 5 − 8b + 2a = 2a − 8b
+ 5
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
: 5 − 5b + 3a − a + 3b = 5 − 2a b − 2a b = − 4a b + 5
-
11
a) aa
b) aa
13 ♣♦♠
2
9x + 2x + 9y
+ ♣ + ♦ + ♠3x − y
12 -
4x − 9
14
-

4.3. Redukcja wyrazów podobnych
167
15
3x + 3
x
1 18 35 18 18 18
16 2 10
6
⋅ 19
+ 6
⋅ 19
+ 19
+ ⋅ 19
CZY JUŻ POTRAFISZ?
1
2
− 3x
+ 7x
−12
A.
B. 3x x i
C. 3x x
D.
( )
7 2 5
2 − ab⋅c⋅ − ca
11
7
A. 5 3
abc B. 5 3 2
abc C. − 35 2
abc D. 35 3
abc
11
11
77
77
3
A. 5x 2 + x + 7 + x 2 − x + 9 = 5x
2 + 16
2 2 2
B. − 2x + 4x + 3x − x = − x + 3x
2 2 2
C. 5xy + x y + xy + 3yx − 2xy = 4xy + 4x y
D. xy − y = x
4 ••nej
4x
+ 8x
− 2 + • + • +
2
2
5x
− 16x
+ 2
5
14ab − 2b + 9a + a − 10ab + 2b
dla a = 3 i b = 05 ,

4.4
Dodawanie i odejmowanie
sum algebraicznych
Z tego tematu dowiesz się:
jak opuszczać nawiasy w wyrażeniach algebraicznych,
jak dodawać i odejmować sumy algebraiczne.
PRZYKŁAD 1.
a) ( 3x
− 1)
+ y
b) 7x
+ ( − 3+
2y)
c) −( 3x − 1)
+ y d) 4 − ( − 2x
+ 5y)
Rozwiązanie:
a) ( 3x − 1)
+ y = 3x − 1+ y
Przed nawiasem nie ma żadnego znaku.
b) 7x + ( − 3+ 2y) = 7x − 3+
2y
Przed nawiasem jest znak „+”.
c) −( 3x − 1)
+ y = − 3x + 1+
y Przed nawiasem jest znak „–”, a więc zamiast 3x
piszemy –3x, a zamiast –1 piszemy +1.
d) 4 − ( − 2x + 5y)
= 4 + 2x − 5y Przed nawiasem jest znak „–”, a więc zamiast –2x
piszemy +2x, a zamiast +5y piszemy –5y.
J
ĆWICZENIE 1.
a) ( 2x
+ 5y)
+ 4
b) 5y
+ ( −4x
− 9)
c) − ( 3+ 2y)
+ 7x d) 5y
− ( −4x
− 9)
ZADANIA
1
a) ( 2x + y) − ( xy + 1)
b) ( −a − 2b) + ( − c + 2 )
c) − 4x + 5z − ( 1−
2xz) d) a − 65 , b + ( −2c
− 6)
e) − ( x + 2y) + ( 4 − z)
f) −− ( a + b) −( − 8 + ab)

4.4. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych
169
2
a) ( 17 − 2ab + 3b) − ( 3a − 8 + 4b )
b) 23 − ( 4a + b) + ( a + 12b
+ 2)
2 2
c) −( 3s −13r) − ( 3r + s)
−12r d) 12 + ( n − 2n) − ( − 6n + 4n
)
3 3
2 2
e) ( x − 5) + ( 4 − 5x
)
f) − ( x + 2xy) + ( − 3xy + x y)
3
( ( ))
( ( ))
a) − a − a + ( 2a
− 3 )
b) mn − mn + 2 − ( − mn + 4)
4
3 3 2
a) ( −2x − 3) − ( −2x − 3x − 2x − 3)
dla x = 1
( ) ( ) + − − −
7 2 1
1 2 1
b) − x + 5x − 9 3x 3 x 9 dla x =−
8
3
8 3
5 5ab + 7a −8b
−11
3 2
6 5x − 4x + 7x
7 4x
− 5x
+ 9
2
− 6x + x − 2
8 2a
+ 4a−a
−
2 2
9 − 3x + 2xy + 2y 2x − 4xy − 6y
2
2
2 2
10 P = 5x − 3yQ = 3x + 7y
− 2R =− 4x + 11y
+ 3-
a) P + Q − R
b) P − ( Q + R)
11 III
4x − 5
1
x + 0,5
2
I
2x − 4
II
x + 2
12

170 4. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
13
14 -
15 dfd
f
16 n
17
2
( x + 2x
+ 3)
2
( 2x − 5)
( 5x + 1)
( 7x + 4)
18 xy lat
19 x
20 x-

4.4. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych
171
21
?
? a +b – c –3a – b + 3c
? 4a + 3b +c ?
? a + b +c ?
22 -
CZY JUŻ POTRAFISZ?
1
−( 2y − 3x + 5)
A. −2y − 3x + 5
B. −2y
− 3x
− 5
C. 2y
+ 3x
− 5
D. − 2y
+ 3x
− 5
2
3 3
( 2a + 6 − 3a) − ( − 2a + a − 7)
3
A. a − a + 13
B. 3a
− a −1
3
C. 3a
− 5a
− 1
D. a − 5a
+ 13
3
3
3 -
125 − 14x
4 3x − ( − 4x + 2) + ( −6x
− 1) + 3 dla
x = 123 456
5 x + y +
2x
+ 2y
+ 10

4.5
Mnożenie sum
algebraicznych przez
jednomiany
Z tego tematu dowiesz się:
jak mnożyć sumę algebraiczną przez jednomian.
m-
a⋅ ( b + c) = a ⋅b + a ⋅c
a⋅ ( b − c) = a⋅b − a⋅c
PRZYKŁAD 1.
W
a) 7( 2a + 3)
b) −5( 3x − 2y ) c) − ba ( + 2b)
Rozwiązanie:
a) 7( 2a + 3) = 7⋅ ( 2a + 3)
= 7⋅2a + 7⋅ 3 = 14a
+ 21
b) −5( 3x − 2y) = −5⋅ ( 3x − 2y) = ( −5) ⋅3x − ( −5)
⋅ 2y = − 15x + 10y
c) −b( a + 2b) = −b⋅ ( a + 2b) = −b⋅a + ( −b)
⋅ 2b = −ab − 2b
2
ĆWICZENIE 1.
W
a) 11( 2x + 3)
b) −2a( 5 − a) c) − 93 ( m + 3n ) d) x( 3x − 7y)
PRZYKŁAD 2.
2 2
a) −5( 3x − 2y + 5xy + y )
b) 3b( 2a − 6ab − 5b + 2ab)
Rozwiązanie:
a) −5( 3x − 2y + 5xy + y) = −5( 3x − y + 5xy)
=
= −5⋅3x − ( −5) ⋅ y + ( −5)
⋅ 5xy = − 15x + 5y − 25xy
2 2 2
2
b) 3b( 2a − 6ab − 5b + 2ab) = 3b( 2a − 4ab
− 5b
) =
2 2 2 2 3
= 3b⋅2a − 3b⋅4ab − 3b⋅ 5b = 6a b −12ab −15b
Na początku wykonujemy
redukcję wyrazów
podobnych, a potem
mnożenie.

4.5. Mnożenie sum algebraicznych przez jednomiany
173
ĆWICZENIE 2.
2
a) − 93 ( m + 5m − 7mn + m )
2 2
b) x( 3xy − 2x + 3y 2
+ x )
2 2 2
c) 3aa ( + 2b− b + 2a
)
d) xy( x + y + 2xy + 2y 2 − y)
PRZYKŁAD 3.
W
Rozwiązanie:
n
n + 1n + :
n + ( n + 1) + ( n + 2) = n + n + 1+ n + 2 = 3n + 3 = 3( n + 1)
-
ĆWICZENIE 3.
W
ZADANIA
1 −4a( 2a
− 3)
2
A. −8a −12a B. − 8a + 12 C. − 8a + 12a D. −8a
− 3
2 2xx
( + 3) − ( x+ 3)
A. ( x + 3)( 2x
−1 ) B. ( x − 3)( 2x
−1 ) C. ( x + 32 ) x D. ( x + 3)( 2x
+ 1)
3
a) −5( 2x − 7)
b) 2a( 3ab − 5b)
c) 11m( 3 + 3n)
d) x( 3x + 5x
2 )
4
a) 12( x + 3) − 5( 4 − 3x)
b) − 7a( 2a + b) − 3b( 2 + 3a)
c) 5mm ( − 2) + 3n( 2 − n)
5
2
a) 9( 3a + 5a) −15a( 3 − 6a)
a =− 1 3
b) 4a( 3b − 6) − 2b( 6a
+ 1)
a =− 1 4 b = 1 2
2
2

174 4. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
6
2
2
a) 3( x − 3x
+ 5)
b) − 2a( 3a + 5a
− 3)
c) − bb ( + a+
1 )
d) −3xx
( − 2x+
1)
2
e) 3a( 2a − 2ab + 5b − 3a)
f) −3x( 2y − 2y + 2y x + y )
7
2 2
a) 6a( 3b + 3a + 2b − b ) − 2b( 9a + 3ab + 4b)
2 2 2
b) −8x( 3y − 6xy + 9y ) + 6y( 4x − 7x y + 12xy)
8
2
2 2 2
a) 10 ( 3 x+ 2 ) 6x
−18
+ b) 2 15 ( 2 x − 1 ) 8−12x
⋅ −
5 3
3 4
3x−6
6−18x
c) 2⋅ − 3⋅
d) 12 x−
4 15x−10
+ 2 ⋅
3 6
4
5
9 P = 4x Q =−y R = 3x − 2y
+ 5 S =− 2x + y −4
a) P ⋅ R − Q ⋅ S
b) P ⋅ S + R ⋅Q
10
a) a i bb
b) a i b
11
a)
b)
12
a)
b)
13
a) b)
14

4.5. Mnożenie sum algebraicznych przez jednomiany
175
15
16
a)
n
b)
17 nn + n
18 abba
ab
19 aabb
ab-
CZY JUŻ POTRAFISZ?
1
2 2
18a b − 6ab − 12ab
2 2
A. 6( 3a b − ab − 2ab
)
B. ab( 18a − 6 −12b)
C. 3a( 6ab − 2b − 4b
2 )
D. 6ab( 3a − 2b)
2
2xx ( + 2) − ( x+ 2)( 2x− 3)
A. 3x + 6
B. −3⋅ x − 6
2
C. 4x
+ 5x
− 6
D. 4x
+ 11x
+ 6
3
4 5( 3a − a − a ) − 2(
2a − a)
-
a =− 1 3
2
2 2
5
a)
b)

4.6
Mnożenie sum
algebraicznych
Z tego tematu dowiesz się:
jak pomnożyć jedną sumę algebraiczną przez drugą.
-
( )( ) = ( + ) ( + ) =
a + b c + d a c d + b c d
= ac + ad + bc + bd
( )( + ) = + + +
a + b c d ac ad bc bd
Wzór na mnożenie sum algebraicznych można wyprowadzić
za pomocą prostokąta podzielonego na
cztery małe prostokąty.
c
a ac ad
d
Pole dużego prostokąta można obliczyć ze wzoru:
P = ( a + b)( c + d)
albo jako sumę małych prostokątów:
P = ac + ad + bc + bd.
b bc bd
Pole prostokąta o bokach (a + b) oraz (c + d) jest równe sumie pól małych prostokątów.
PRZYKŁAD 1.
W
a) ( 2x
+ 3)( y + 5)
b) ( 2a + b)( 3a − 5b)
c) ( 3x
− 5)( 2x
+ 4)
d) ( 5a − 3b)( 2a − 7b)

4.6. Mnożenie sum algebraicznych
177
Rozwiązanie:
a) Sposób 1.
( 2x + 3)( y + 5) = 2x⋅ ( y + 5) + 3 ⋅ ( y + 5)
=
= 2xy + 10x + 3y
+ 15
Sposób 2.
( 2x + 3)( y + 5)
= 2x⋅ y + 2x⋅ 5 + 3⋅ y + 3⋅ 5 =
= 2xy + 10x + 3y
+ 15
Mnożymy drugą sumę przez
jednomiany występujące
w pierwszej sumie.
Mnożymy każdy jednomian jednej
sumy przez każdy jednomian
drugiej sumy.
b)
2 2
( 2a + b)( 3a − 5b) = 2a⋅( 3a − 5b) + b⋅( 3a − 5b)
= 6a − 10ab + 3ab − 5b
=
2
= 6a
− 7ab − 5b
2
c)
( 3x − 5)( 2x + 4)
= 3x⋅ 2x + 3x⋅4 − 5 ⋅2x − 5 ⋅ 4 = 6x + 12x −10x
− 20 =
2
= 6x
+ 2x
− 20
d)
( 5a − 3b)( 2a − 7b) = 5a⋅( 2a − 7b) − 3b⋅( 2a − 7b)
= 10a − 35ab − 6ab + 21b
=
2 2
= 10a − 41ab + 21b
2
2 2
ĆWICZENIE 1.
W
a) ( 5a
+ 7)( 2a
+ 5)
b) ( 2x
+ 5)( 4 − 3x)
c) ( 2a − b)( 5b + 3a)
d) ( 2x − 3y)( 3x − 2y)
PRZYKŁAD 2.
W
a) ( a + b)( a + b)
b) ( a − b)( a − b)
c) ( a + b)( a − b)
Rozwiązanie:
a) ( a + b)( a + b)
= a ⋅ a + a ⋅ b + b⋅ a + b⋅ b = a + ab + ab + b = a + ab + b
b) ( a − b)( a − b)
= a ⋅a − a ⋅b − b⋅ a + b⋅ b = a − ab − ab + b = a − ab + b
c) ( a + b)( a − b)
= a ⋅a − a ⋅ b + b⋅a − b⋅ b = a − ab + ab − b = a − b
ĆWICZENIE 2.
W
a) ( 3+ x)( 3+
x ) b) ( x − 5)( x − 5)
c) ( x + 1)( x −1)

178 4. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
PRZYKŁAD 3.
a) 2( a + 3)( a + 1)
b) −( 2b − 1)( 2 + 3b) − 4( b − 1)( 3+
b)
Rozwiązanie:
a) 2( a + 3)( a + 1) = 2( a⋅ a + a⋅ 1+ 3⋅ a + 3⋅ 1) = 2( a 2 + 4a + 3)
= 2a 2 + 8a
+ 6
b) −( 2b − 1)( 2 + 3b) − 4( b − 1)( 3+ b)
=
=−( 2b⋅ 2 + 2b⋅3b −1⋅2 −1⋅3b) − 4(
b⋅
3+ b⋅b −1⋅3 −1⋅ b)
=
2 2 2 2
=− ( b + 6b −2) − 4( 2b + b − 3)
=−b − 6b + 2 −8b − 4b
+ 12 =
2
=−10b
− 9b
+ 14
ĆWICZENIE 3.
a) 4( 2x
− 3)( x + 1)
b) − 24 ( + x)( 5x
+ 2)
c) 31 ( + x)( 2− x) + 4( x − 1)( x + 2)
d) − 5( 2y + 1)( y − 6) − ( 3y − 4)( 5 + y)
ZADANIA
1 ( 2x
− 3)( 4 − 3x)
2
A. 8x
+ 9x
B. − 6x + 17x −12
C. −6x − x −12
D. −6x
−12
2
2 − x + 5x
− 6
A. ( x + 3)( 2 + x)
B. ( x + 3)( 2 − x)
C. ( x − 3)( 2 + x)
D. ( x − 3)( 2 − x)
3
a) ( x − 3)( 2x
+ 1 )
b) ( 2a
− 5)( 1−
3a)
c) ( m − 3)( 3 − 3 m)
d) ( 2b
+ 1)( b − 2)
4
a) ( 3 − 2x)( 3x + 5)
b) ( 2a − b)( b − 3a)
c) ( 5 + 2n)( 3 − 2m )
d) ( z − y)( z + y)
5 P = 2x
+ 3Q =− x +R = 4x − 3yS = 3x − 2y-
a) P ⋅Q − S
b) P ⋅ R + Q ⋅ S
6
a) ( 2a + 3)( 3 − 5a) + ( 5 − a)( a − 3)
b) ( 5x − 3)( 2x + 2) − ( x + 4)( 3 − x)
c) 2( a + 3)( 5 + a) + 3( a + 4)( 3+ a)
d) 5( 2m − 3)( m + 2) − 3( 2 − m)( 3m
−1)
7
a) ( 2x − 3)( 2x − 3) − ( 2x + 3)( 2x
+ 3)
x =− 1 6
b) ( 3a − 2b)( 3a + 2b) − ( 2b − 4a)( 2b + 4a)
a =− 1 5 b = 3 7
2
2

4.6. Mnożenie sum algebraicznych
179
8
a) b) c)
9 a i b2a
+ 4bapisz
10
a) ( 2x + 1)( 3x − 5) + ( 2x + 1)( 4x
− 3)
b) ( 3y − 2)( 3+ y) − ( 4y + 2)( 3+
y)
CZY JUŻ POTRAFISZ?
1 ( 3m
+ 2)( 2m
− 5)
2
A. 6m
−11m
− 10
B. 6m − 10
2
C. 6m
−19m
− 10
D. 6m − 10
2
2 6x
− 11x
+ 3
A. ( 2x
− 3)( 1− 3x)
B. ( 3 − 2x)( 3x
+ 1)
C. ( 3 − 2x)( 1−
3x )
D. ( 3+ 2x)( 3x
−1)
2
3
a) ( 3a + b)( b − 2a)
b) ( 2a − 3)( 3 − a) − ( 2 + a)( 2a
−1)
c) 2( a + 3)( 2a − 5) − 32 ( − a)( 2a
+ 1)
d) − ( 3+ 2a)( a − 3)
4
a) b)
2
2 2 2
5 ( a − b)
= a − 2ab + b

180
PODSUMOWANIE ROZDZIAŁU 4
Zanim przystąpisz do rozwiązywania zadań, sprawdź, czy umiesz odpowiedzieć
na poniższe pytania.
Czym jest wyrażenie algebraiczne?
Na czym polega obliczanie wartości liczbowej wyrażenia algebraicznego?
Co to są jednomiany podobne?
Na czym polega redukcja wyrazów podobnych?
Co należy zrobić, aby pomnożyć sumę algebraiczną przez jednomian?
Jak mnożymy sumy algebraiczne?
W zadaniach 1.–5. dokończ zdania tak, aby były prawdziwe.
1 ab
A. 2a − b
B. a − 2 b
C. 2( a − b)
D. ( a − b)
2 ab
A. 2a
2 − b
2
2
B. 2( a − b)
C. 2
( a
2 − b )
2
( a
2 − b ) D. 2
3 7ab
2
2
A. 7ab
B. ab
2 C. 7ab D. ab 2
4 2x( x − 3) − 3( 2 − 3x)
2
A. 2x
− 3x
− 6
B. 2x
− 15x
+ 6
2
C. 2x
−15x
− 6
D. 2x
+ 3x
− 6
2
2
5 2x − 3−4x − 5x + 9
2
A. 4x
− 7x
− 6
B. 4x
+ 3x
− 12
2
C. 4x
+ 7x
− 12
D. 4x
− 3x
− 6
2
2
2 3 2 3x
1
6 − x + 2x
− +
3
5 2
7 3a
− 5a
+ 2-
2
2
a) − 6a + a − 3 b) 6a
− a + 3 c) 3a − 5
d) − 8a
+ 8
8 K = 3m
−12, L = 7 − 2n + 3 m, M =− 3m + 2n
−4
a) 2K − L − M b) M − 2 L
c) K − ( L − M) d) 2M − 2( K + L)
9 :
a)ab,
b)a, bc,
c)ab,
d)ab
2
2
2
2 2

181
10
a) b)
11
nm
12 n
13
a) b)
14
2 2
a) ( − 3x + 5x − 7) − ( 3x − 5x − 7)
x = 2
( ) ( )
+ + +
b) − 2 1 2 3 1 3 2 1 7
x − x + 2 x x x =−1
2 4 3 2 4 3
15 :
a)xyz;
b)x
c)m

182
16
2
a) 2x( 3x + 5) + 3( x − 3x
+ 2)
2
b) 3( 2x + x − 7) − 2x( x − 3)
c) 3 4
d) 1 3
2 2 1
( 2 x − 12 x 6x
4
3 ) 3 ( + − 2 )
1 1 1 1
( 1 x − 2 ) ( − 3x
) −
2
4
2
2
17
2
a) 2a( 3a − 5) + 6( a − 2a
− 1)
, a =− 1 2
b) 3 1 1
5 a − 6 ( 6a
3), a =−2
4 3 2
( ) − +
18
a) ( 2a + 3b)( b − 3) + ( 3b + 1)( 2b − 5a)
b) ( 2a − 3)( 4 − a) − ( 3 − 5a)( a + 2)
c) ( 2a − 1)( 1+ 3a) − ( a − 4)( a − 3)
d) 2( a − 1)( a + 2) − ( a − 3)( 4 − a)
19
a) b) c)
20
21
a)
n
b)
22 -
n
a) b) 1 1
2
, 1 1
4
, 6
, 8
, c) 1 1
3 , 1 1
5
, 7
, 9
,

(–15) + (–3) –2x=4
Matematyka
Zeszyt ćwiczeń
matematyka
Podręcznik
7
7
szkoła podstawowa
szkoła podstawowa
7
Dla ucznia:
Dla nauczyciela:
Matematyka
Zbiór Zadań
szkoła podstawowa
7
–2(7–4n)
wsipnet.pl
e-podręcznik
e-ćwiczenia
Podręcznik
nauczyciela
MateMatyka
szkoła podstawowa
7
e-poradnik
uczę.pl
wsipnet.pl
e-podręcznik
e-ćwiczenia
e-testy
klasówki.pl
plansze
interaktywne