計算機融入數學

提 升 教 學 功 力 ‧ 散 播 學 習 樂 趣
數 學
教
學
誌
教
學
與
評
量
的
議
題
計
算
機
融
入
數
學
國
立
臺
灣
師
範
大
學
數
學
系
/
陳
界
山

前 言
Preface
各 種 科 技 輔 助 工 具 包 含 電 算 器 ( 又 稱 計 算 機 ) 的 使 用 已 經
是 一 個 國 際 趨 勢 , 此 次 數 學 領 域 課 程 綱 要 的 訂 定 , 明 白 地 表
示 希 望 能 推 動 「 計 算 工 具 融 入 國 中 、 高 中 數 學 學 習 」。 過 去
在 數 學 領 域 中 , 計 算 機 的 使 用 一 直 不 被 重 視 , 到 底 我 們 在 擔
心 什 麼 ? 一 般 來 說 , 主 要 的 擔 心 是 『 計 算 機 的 使 用 會 影 響 數
學 概 念 的 形 成 與 發 展 ?』, 還 有 『 現 場 教 師 的 教 學 主 體 性 可
能 會 受 到 影 響 ?』。 計 算 機 融 入 數 學 教 學 與 評 量 有 哪 些 相 關
的 議 題 呢 ? 譬 如 說 : 哪 些 數 學 單 元 適 合 進 行 計 算 機 的 融 入 ?
適 合 用 於 數 學 學 習 活 動 中 的 計 算 機 融 入 題 目 是 否 已 發 展 ? 適
合 用 於 數 學 評 量 中 的 計 算 機 融 入 題 目 是 否 可 設 計 ? 適 合 開 始
引 入 計 算 機 的 年 級 為 何 ? 適 合 各 年 級 的 計 算 機 類 型 為 何 ( 數
字 型 、 科 學 型 或 圖 型 計 算 機 )? 本 文 主 要 在 於 引 出 相 關 的 議
題 並 作 初 步 的 個 人 見 解 分 析 。
圖 型
計 算 機
數 字 型
計 算 機
科 學 型
計 算 機

分 析
Analysis
首 先 , 我 們 先 來 看 看 國 外 的 經 驗 與 文 獻 資 料 , 西 方 國 家 對 於 計 算 機
融 入 數 學 教 學 與 評 量 已 有 20 多 年 的 歷 史 , 例 如 : 美 國 數 學 教 師 學 會
(National Council of Teachers of Mathematics ; NCTM) 在 1989 年 頒 布 的
Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics 中 , 清 楚 陳 述 其 對
科 技 產 品 用 於 數 學 課 堂 教 學 與 數 學 評 量 的 立 場 ,
每 一 個 學 生 在 任 何 需 要 的 時 間 點 都 應 有 使 用 適 合 之 電 算 器 的 機 會 (p. 8)。
若 這 些 工 具 [ 教 具 、 電 算 器 、 電 腦 ] 在
教 學 中 被 使 用 , 則 在 合 於 評 量 目 標 的
情 況 下 , 它 們 在 評 量 中 的 使 用 也 應 該
被 接 受 (p. 195)。
時 至 科 技 環 境 日 新 月 異 的 今 日 ,
科 技 融 入 數 學 教 學 已 成 為 美 國 數 學 教
師 學 會 所 頒 布 Principles and Standards
for School Mathematics 中 六 大 基 本 原
則 之 一 :「 科 技 對 數 學 的 教 學 與 學
習 是 必 要 的 , 它 影 響 所 傳 遞 的 教 學
內 容 , 也 影 響 學 生 學 習 效 能 的 提 升 」
(2015)。 這 樣 的 觀 點 亦 反 映 於 美 國 的 大 規 模 的 標 準 評 量 中 ,the National
Assessment of Educational Progress (NAEP)、Scholastic Achievement Test I
(SAT I)、SAT II、American College Testing (ACT) 等 皆 接 受 學 生 在 考 試 中 使 用
電 算 器 (Meel, 1997 ; Scheuneman et al., 2002 ; Walcott & Stickles, 2012)。
除 了 美 國 , 許 多 先 進 國 家 也 紛 紛 將 電 算 器 的 使 用 納 入 其 數 學 課 程 、
數 學 教 學 及 數 學 評 量 中 , 例 如 , 澳 洲 、 英 國 、 新 加 坡 等 (Forster,2006 ;
Graham et al., 2003 ; Har, 2010)。 臺 灣 也 不 自 外 於 國 際 趨 勢 ,「 運 用 科 技
與 資 訊 」 為 數 學 課 程 綱 要 中 十 大 基 本 能 力 之 一 ( 教 育 部 ,2008)。
計 算 機 融 入 數 學
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即 使 科 技 融 入 數 學 教 學 與 評 量 中 已 在 美 國 提 倡 多 年 , 但 數 學 教 師
與 師 資 培 育 者 對 於 融 入 的 程 度 仍 持 有 不 同 的 意 見 (Walcott & Stickles,
2012), 研 究 也 發 現 部 分 教 師 認 為 科 技 融 入 教 學 中 , 會 影 響 他 們 的
教 師 角 色 , 降 低 他 們 對 數 學 課 堂 的 控 制 度 , 因 而 他 們 不 願 意 進 行 科 技
融 入 的 教 學 (Dunham& Dick, 1994)。 在 評 量 題 目 的 設 計 上 , 文 獻 也 指
出 即 使 在 大 規 模 標 準 化 的 考 試 中 , 使 用 計 算 機 解 題 的 題 目 常 流 於 單 純
以 計 算 機 取 代 程 序 性 計 算 找 出 答 案 , 許 多 題 目 無 法 反 映 評 量 目 的 , 無
法 恰 當 探 測 學 生 數 學 概 念 或 能 力 (Brown & Davies, 2002)。 研 究 也 發
現 , 各 國 安 排 各 類 型 計 算 機 引 入 的 時 間 不 盡 相 同 ( 陳 宜 良 ,2005)
, 而 同 一 國 家 學 生 在 同 一 類 考 試 選 擇 使 用 的 計 算 機 類 型 也 不 相 同 ,
選 擇 的 類 型 對 他 們 的 表 現 有 所 影 響 (Graham, 2003 ; Scheuneman et
al., 2002), 這 反 映 出 在 什 麼 年 級 或 時 間 點 引 入 具 有 何 種 功 能 的 計 算
機 , 是 需 要 考 量 的 。 在 臺 灣 , 雖 然 科 技 融 入 已 納 入 數 學 課 綱 , 但 科 技
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南 一 數 學 教 學 誌

產 品 在 各 版 本 數 學 教 材 、 實 際 場 域 的 數 學 教 學 與 評 量 中 , 並 不 常 被 引
入 , 仍 需 進 一 步 推 動 。 而 臺 灣 的 數 學 教 材 內 容 難 度 、 數 學 課 堂 的 進 行
模 式 、 對 學 生 數 學 學 習 的 要 求 等 皆 不 同 於 西 方 國 家 , 電 算 器 融 入 數 學
教 學 對 臺 灣 數 學 課 堂 進 行 、 數 學 評 量 的 影 響 , 可 能 與 西 方 的 研 究 結 果
不 同 , 適 合 使 用 電 算 器 的 數 學 主 題 、 電 算 器 在 數 學 課 堂 中 的 角 色 、
計 算 機 在 數 學 評 量 中 的 角 色 、 適 合 使 用 計 算 機 的 教 學 材 料 、 評 量 題 目
等 , 也 可 能 與 西 方 的 情 況 有 所 差 異 , 必 須 透 過 實 徵 性 研 究 對 這 些 議 題
進 行 探 討 , 才 可 能 成 功 推 動 數 學 課 綱 中 的 「 運 用 科 技 與 資 訊 」。
雖 然 西 方 國 家 已 有 一 些 經 驗 , 但 是 臺 灣 的 數 學 教 材 難 度 、 數 學 課 堂
進 行 的 模 式 、 對 數 學 學 習 的 要 求 顯 然 不 同 於 他 國 。 目 前 計 算 機 融 入 臺
灣 中 學 數 學 課 堂 的 研 究 相 當 少 , 在 臺 灣 , 電 算 器 融 入 教 學 仍 需 進 一 步
推 動 , 而 融 入 的 可 能 結 果 為 何 也 缺 乏 足 夠 的 研 究 。 因 應 107 數 學 課 綱
的 頒 佈 , 我 個 人 已 開 始 著 手 進 行 初 步 的 研 究 , 主 要 的 研 究 議 題 包 括 :
1 發 展 適 合 計 算 機 融 入 的 數 學 教 學 活 動 與 學 習 單
2 探 討 中 學 生 在 適 合 融 入 電 算 器 之 單 元 中 使 用 計 算 機 學 習 數 學 的
情 況
3 探 討 適 合 開 始 引 入 計 算 機 的 數 學 單 元
4 發 展 適 合 用 於 數 學 評 量 的 電 算 器 融 入 題 目
5 初 探 中 學 生 在 適 合 融 入 計 算 機 之 單 元 中 於 評 量 題 目 的 表 現 情 況
計 算 機 融 入 數 學
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一 般 來 說 , 高 中 的 數 學 課 程 中 有 較 多 單 元 適 合 融 入 使 用 ( 圖 型 式 ) 計
算 機 , 這 從 數 學 課 綱 小 組 在 草 案 中 所 建 議 或 加 註 的 情 形 即 可 得 到 印 證 。
基 於 時 間 或 其 他 因 素 的 考 量 , 一 般 可 能 會 認 為 國 中 的 數 學 課 程 大 概 使 用
科 學 型 計 算 機 即 可 設 計 數 學 教 學 活 動 與 評 量 。 使 用 哪 一 種 類 型 的 計 算 機
也 是 需 要 討 論 與 實 證 , 整 體 而 言 , 我 個 人 認 為 融 入 使 用 圖 型 式 計 算 機 將
會 使 教 學 更 活 潑 化 , 國 外 的 經 驗 也 都 是 建 議 使 用 圖 型 式 計 算 機 , 但 是 其
相 對 產 生 的 議 題 則 有 :
1 圖 型 式 計 算 機 對 教 學 幫 助 最 大 , 但 最 昂 貴 。
2 數 字 型 計 算 機 對 融 入 教 學 有 所 限 制 , 但 學 生 無 須 學 習 功 能 鍵 。
3 教 師 對 圖 型 式 計 算 需 要 事 先 熟 悉 功 能 鍵 , 並 教 會 學 生 使 用 。
4 學 校 是 否 提 供 足 夠 的 計 算 機 ?
5 目 前 數 學 課 綱 小 組 似 乎 建 議 以 科 學 型 計 算 機 為 主 ( 包 含 國 、 高
中 ), 主 要 的 考 量 是 學 生 是 否 有 能 力 可 自 行 購 買 。
另 外 , 對 於 今 日 各 種 科 技 產 品 及 行 動 載 具 發 達 的 時 代 , 我 們 是 否 一 定
堅 持 使 用 實 體 計 算 機 ? 對 於 這 個 問 題 , 大 家 可 能 會 想 到 使 用 手 機 的 計 算
機 功 能 即 可 方 便 融 入 教 學 中 , 但 是 教 師 或 家 長 也 許 擔 心 透 過 在 課 堂 上 使
用 手 機 的 計 算 機 功 能 會 影 響 教 室 學 習 氛 圍 , 或 是 可 能 存 在 城 鄉 差 距 、 學
生 沒 有 計 算 機 功 能 的 手 機 等 問 題 。 我 個 人 認 為 網 路 平 台 的 計 算 機 是 一 個
可 行 的 嘗 試 , 這 對 課 堂 教 學 進 行 的 干 擾 較 小 , 如 下 圖 : 網 路 平 台 上 的 計
算 機 可 提 供 各 種 類 型 且 具 有 特 殊 需 求 的 計 算 機 , 例 如 : 具 有 統 計 功 能 的
計 算 機 、 具 有 矩 陣 計 算 的 計 算 機 、 具 有 畫 圖 功 能 的 計 算 機 等 , 這 些 對 高
中 課 程 教 學 的 活 化 與 強 化 國 中 部 分 數 學 概 念 都 有 幫 助 。 網 路 設 備 在 城 鄉
差 距 方 面 的 問 題 不 大 , 主 要 的 缺 點 是 學 生 可 能 無 法 實 際 操 作 , 這 部 分 需
要 有 數 學 教 學 實 驗 室 的 配 合 。 若 教 育 部 能 補 助 每 所 學 校 成 立 數 學 教 學 實
驗 室 , 則 結 合 網 路 平 台 的 計 算 機 去 推 動 計 算 機 融 入 數 學 教 學 是 一 個 不 錯
的 作 法 。
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網
路
平
台
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算
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圖
型
式
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具
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統
計
功
能
的
計
算
機
網
路
平
台
上
具
有
矩
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計
算
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能
的
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算
機
網
路
平
台
上
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南 一 數 學 教 學 誌

至 於 數 學 評 量 中 是 否 可 使 用 計 算 機 , 這 是
一 個 爭 議 較 大 的 議 題 , 儘 管 許 多 西 方 國 家 已
允 許 在 學 校 考 試 或 大 型 考 試 ( 類 似 臺 灣 的 學
測 或 會 考 ) 中 使 用 計 算 機 , 相 對 地 , 仍 有 些
國 家 有 不 同 的 考 量 , 例 如 : 德 國 的 每 一 個 州
( 邦 ) 的 作 法 卻 不 一 致 , 有 些 允 許 但 有 些
則 不 , 根 據 德 國 前 數 學 教 育 學 會 理 事 長 Prof.
Weigand 的 說 法 , 主 要 的 癥 結 在 於 考 試 公 平 性 的 認 定 。 在 臺 灣 若 開 始 推
動 數 學 教 學 融 入 使 用 計 算 機 以 後 , 當 然 配 合 使 用 計 算 機 的 數 學 評 量 問
題 , 還 是 需 要 研 發 與 探 討 , 但 是 國 外 已 有 大 量 的 文 獻 與 經 驗 , 這 方 面 應
該 問 題 不 大 。 然 而 , 臺 灣 社 會 是 否 能 接 受 在 大 型 考 試 中 使 用 計 算 機 , 譬
如 說 學 生 透 過 計 算 機 操 作 可 能 猜 測 到 答 案 , 真 正 理 解 的 數 學 概 念 到 達 何
種 程 度 , 因 此 引 伸 出 如 何 評 分 等 公 平 性 的 問 題 , 都 有 待 釐 清 。
最 後 談 一 談 教 材 的 部 分 , 各 家 版 本 過 去 在 教 材 部 分 僅 提 到 計 算 機 的
功 能 鍵 , 都 沒 有 真 正 的 例 題 或 評 量 可 供 現 場 數 學 教 師 融 入 教 學 中 , 因 應
107 數 學 課 綱 的 頒 佈 , 教 材 部 分 也 應 該 有 相 對 應 的 設 計 。 但 是 , 真 正 的
教 學 現 場 包 括 課 堂 的 實 際 安 排 、 教 學 方 法 、 教 學 過 程 、 學 生 活 動 等 , 還
是 需 要 一 些 經 驗 的 累 積 , 才 能 掌 握 教 學 的 節 奏 。 一 般 而 言 , 在 數 學 課 堂
或 評 量 中 使 用 計 算 機 並 非 數 學 學 習 成 功 的 萬 靈 丹 , 計 算 機 應 該 定 位 為 幫
助 學 習 數 學 的 輔 助 工 具 , 不 僅 幫 助 學 生 學 習 , 也 提 供 學 生 機 會 發 展 他 們
未 來 生 活 中 可 能 需 要 的 技 能 (Meel,1997)。 這 也 是 臺 灣 中 學 課 程 綱 要
的 想 法 , 課 綱 中 明 確 指 出 「 有 關 電 算 器 、 電 腦 的 使 用 , 應 僅 視 為 學 習 的
輔 助 工 具 , 避 免 在 教 學 現 場 影 響 概 念 的 教 學 。」( 教 育 部 ,2008)。 據
此 , 各 家 版 本 的 將 來 所 提 供 的 教 材 , 無 論 所 設 計 的 題 目 為 數 學 課 堂 中 的
學 習 活 動 所 用 , 或 做 為 數 學 評 量 中 的 試 題 , 設 計 時 除 了 考 量 計 算 機 的 使
用 , 該 題 目 的 設 計 目 的 為 何 , 想 透 過 該 題 目 培 養 或 評 測 學 生 什 麼 數 學 知
能 , 仍 是 需 要 一 併 考 慮 的 。
計 算 機 融 入 數 學
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結 語
Conclusion
總 之 , 現 階 段 想 要 推 動 計 算 機 融 入 數 學 教 學 與 評 量 的 重 要 工 作 , 即
是 建 立 老 師 、 學 生 使 用 計 算 機 的 素 養 。 透 過 課 堂 活 動 、 教 材 安 排 幫 助
老 師 與 學 生 累 積 一 些 經 驗 , 才 可 逐 步 建 立 正 確 使 用 計 算 機 的 素 養 。 整
體 而 言 , 目 前 的 確 是 推 動 「 計 算 工 具 融 入 國 中 、 高 中 數 學 學 習 」 的 好
時 機 , 但 是 瞭 解 與 釐 清 融 入 電 算 器 的 使 用 到 數 學 領 域 所 產 生 的 正 面 與
負 面 的 影 響 是 必 須 的 過 程 。 對 此 , 我 個 人 建 議 教 育 部 宜 對 此 一 議 題 作
一 個 長 期 性 的 研 究 與 規 劃 , 具 體 建 議 如 下 :
1 釐 清 適 合 使 用 電 算 器 的 數 學 單 元 。
2 發 展 融 入 使 用 電 算 器 的 數 學 學 習 活 動 與 設 計 相 關 的 數 學 評 量 問
題 。
3 開 發 融 入 使 用 電 算 器 的 數 學 教 材 。
4 辦 理 工 作 坊 推 廣 之 並 訓 練 師 資 。
5 進 行 較 大 規 模 的 實 證 , 例 如 : 學 生 的 推 理 能 力 或 抽 象 能 力 是 否 受
到 影 響 ? 學 生 的 直 觀 能 力 是 否 提 升 ?
6 根 據 實 證 結 果 作 適 度 的 政 策 建 議 。
例 如 : 是 否 可 在 每 學 期 安 排 一 次 統 整 操 作 電 算 器 與 應 用 的 課 程 ?
7 探 討 PISA 試 題 與 此 類 型 試 題 的 關 連 性 。
8 探 討 補 救 教 學 是 否 可 用 此 類 型 的 教 材 或 學 習 活 動 進 行 。
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南 一 數 學 教 學 誌

參 考 文 獻
References
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計 算 機 融 入 數 學
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