數學發現的藝術

林 信 安 老 師 編 寫
數 學 發 現 的 藝 術
「 解 題 」 是 數 學 中 一 個 主 要 的 活 動 , 從 小 到 大 數 學 的 學 習 活 動 , 都 脫 離 不 了 學 習 如 何
去 解 題 , 這 個 課 程 主 要 是 取 材 於 George.Polya 的 >、>、> 這 三 部 書 , 希 望 同 學 能 對 於 數 學 方 法 有 更 深 一 層 的 認 識 , 同 時 在 學 習 數 學 的 過
程 中 , 能 有 一 些 遵 循 的 模 式 與 法 則 。 當 然 並 不 是 所 有 的 問 題 都 能 經 由 這 些 模 式 與 法 則 去
解 決 , 但 是 我 們 試 圖 舉 出 一 些 理 性 、 有 效 率 的 建 議 , 以 提 供 同 學 參 考 。
(1) 觀 察 與 歸 納
一 、 歸 納 法
什 麼 是 觀 察 : 觀 察 不 是 單 純 去 看 , 單 純 去 看 可 能 會 視 而 不 見 。 觀 察 是 有 意 識 知 覺 的
活 動 , 它 與 有 意 注 意 結 合 在 一 起 , 與 思 維 相 聯 繫 。 如 何 進 行 觀 察 呢 ? 第 一 點 要 有 意 識 、
有 目 標 , 處 處 留 心 。 第 二 點 要 有 基 礎 , 有 必 要 的 相 關 知 識 , 否 則 難 以 看 出 「 門 道 」, 只
是 外 行 人 看 熱 鬧 。 第 三 點 要 有 方 法 , 否 則 抓 不 到 要 領 。 在 觀 察 中 , 要 特 別 注 意 從 個 別 中
想 到 一 般 , 從 平 常 中 發 現 異 常 。
什 麼 是 歸 納 : 歸 納 是 由 個 別 的 事 例 向 關 於 這 一 類 事 物 的 一 般 性 的 過 渡 , 是 一 種 對 經
驗 、 對 實 驗 觀 察 結 果 進 行 去 蕪 存 精 、 去 偽 存 真 的 綜 合 處 理 方 法 。 人 們 用 歸 納 法 清 理 事 實 ,
概 括 經 驗 , 處 理 資 料 , 從 而 形 成 經 驗 , 發 現 規 律 。
(2) 歸 納 的 過 程
從 一 個 例 子 談 起 ⎯ 哥 德 巴 赫 (Goldbach) 猜 想
探 索 接 觸 :
自 然 數 :1,2,3,4…..,….
質 數 的 一 些 性 質 :
觀 察 :3+3=6,3+5=8,3+7=5+5=10,5+7=12,3+11=14,…..
歸 納 的 結 果 : 任 意 兩 個 奇 質 數 的 和 為 偶 數 、 任 意 兩 個 奇 數 之 和 為 偶 數 , 任 意 兩 個 奇
反 向 思 考 : 哥 德 巴 赫 的 疑 問 ?
質 數 的 和 為 大 於 5 的 偶 數 ,….
「 大 於 5 的 偶 數 可 表 為 兩 個 奇 質 數 的 和 」……. 哥 德 巴 赫 猜 想
~1~

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檢 驗 接 觸 :Euler 常 用 的 「 假 想 實 驗 」
設 60=3+ 質 數 =5+ 質 數 =7+ 質 數 =….. 一 個 一 個 去 檢 查
如 果 對 於 一 個 大 於 5 的 偶 數 , 經 檢 驗 證 明 不 對 , 舉 出 了 「 反 例 」, 猜 想 就 錯
了 , 但 是 至 目 前 為 止 , 對 直 到 33×10 6 的 偶 數 進 行 驗 算 , 都 是 對 的 。 自 從 哥 德
巴 赫 於 1742 年 給 瑞 士 數 學 家 歐 拉 寫 了 封 信 , 提 出 了 自 己 證 不 出 的 兩 個 命 題 :
(1) 每 個 大 於 或 等 於 6 的 偶 數 , 可 表 為 2 個 奇 質 數 的 和 。
(2) 每 個 大 於 或 等 於 9 的 奇 數 , 可 表 為 3 個 奇 質 數 的 和 。
至 今 都 無 法 得 知 此 猜 想 的 正 確 性 。
從 哥 得 巴 赫 猜 想 的 例 子 , 我 們 研 究 了 兩 類 資 料 : 一 類 在 建 立 猜 想 之 前 , 起 了 引 導 、 觸 發
的 作 用 , 另 一 類 在 猜 想 形 成 之 後 , 起 了 檢 驗 、 支 持 的 作 用 , 對 於 這 兩 種 情 形 的 研 究 , 都
形 成 了 猜 想 與 事 實 間 的 某 種 接 觸 點 : 前 者 帶 有 探 索 性 , 後 者 帶 有 支 持 性 。 換 句 話 說 , 當
我 們 建 立 一 個 猜 想 之 後 , 就 希 望 弄 清 楚 猜 想 的 真 偽 , 當 我 們 經 過 一 連 串 特 例 的 研 究 與 檢
驗 , 如 果 都 支 持 猜 想 的 話 , 我 們 的 信 心 就 會 更 強 , 這 對 於 解 決 猜 想 是 有 益 的 。
[ 例 題 1] 法 國 數 學 家 費 馬 研 究 公 式 F n = 2 2 n
+ 1
n=1 ⇒F 1 =2 1 +1=3
n=2 ⇒F 2 =2 4 +1=17
n=3 ⇒F 3 =2 8 +1=257
n=4 ⇒F 4 =2 16 +1=65537 均 為 質 數
討 論 :(1) 根 據 這 些 結 果 , 你 可 以 形 成 什 麼 猜 想 ?
(2) 費 馬 這 個 猜 想 對 嗎 ?
(3) 為 何 費 馬 不 多 檢 查 幾 個 數 呢 ?
(4) 多 檢 查 幾 個 就 保 險 嗎 ?
~2~

( 練 習 1) 考 慮 如 下 的 表 :
1=0+1
2+3+4=1+8
5+6+7+8+9=8+27
10+11+12+13+14+15+16=27+64
…….
你 可 以 得 到 什 麼 猜 想 ? 這 個 猜 想 真 或 偽 ?
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(3) 歸 納 的 態 度
(a) 隨 時 準 備 重 新 審 查 所 得 的 結 論 。
(b) 有 充 足 理 由 說 明 應 當 改 變 的 , 就 毅 然 決 然 改 變 。
(c) 沒 有 充 分 的 根 據 , 則 不 隨 意 改 變 , 而 應 當 堅 持 。
(1) 從 幾 個 例 子 談 起 :
二 、 一 般 化 、 特 殊 化 、 類 比
(a) 哥 德 巴 赫 猜 想 :
3+7=10,3+17=20,13+17=30,23+17=40,….
一 般 化 、 類 比
不 對 、 推 翻
奇 質 數 + 奇 質 數 = 偶 數 ( 猜 想 )
特 殊 化
回 頭 檢 驗 此 結 論 是 否 正 確
對 、 增 強
一 般 化
特 殊 化
(b) 研 究 三 角 形 的 問 題 ⎯⎯⎯
→ 研 究 正 n 邊 形 問 題 ⎯⎯⎯
→ 研 究 三 角 形 的 問 題
一 般 化
特 殊 化
研 究 正 三 角 形 的 問 題 ⎯⎯⎯
→ 研 究 三 角 形 問 題 ⎯⎯⎯
→ 研 究 正 三 角 形 的 問 題
~3~

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觀 察 : 直 角 三 角 形 、 一 般 三 角 形 的 尤 拉 線
C
一 般 化
C
O
A
G
B(H)
特 殊 化
A
H
G
O
B
(c) 類 比 的 例 子 :
平 面 上
類 比
空 間 中
理 由 :
平 面 上
類 比
空 間 中
平 面 上
類 比
空 間 中
理 由 :
~4~

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(d) 商 高 定 理 :
一 般 化
特 殊 化
類 比
一 般 化 : 從 研 究 對 象 的 一 個 給 定 集 合 , 進 而 考 慮 包 含 這 個 給 定 集 合 的 更 大 集 合 。
特 殊 化 : 從 研 究 對 象 的 一 個 給 定 集 合 , 進 而 考 慮 包 含 在 這 個 給 定 集 合 的 較 小 集 合 。
類 比 : 類 比 是 抓 住 某 種 相 似 之 處 , 這 種 相 似 性 有 時 候 是 概 念 上 的 相 似 。 確 切 的 說 , 類
比 與 其 他 類 型 的 對 比 , 在 思 想 意 圖 上 有 所 不 同 , 想 像 的 事 物 在 某 種 意 義 下 是 協
調 一 致 的 。 如 果 我 們 試 圖 把 這 種 協 調 一 致 的 關 係 歸 結 為 確 定 的 概 念 , 那 麼 , 就
是 在 對 這 些 想 像 的 事 物 進 行 類 比 。
(2) 用 類 比 來 發 現 的 例 子 :
[ 例 題 2] (1) 找 一 個 整 數 n,n 除 以 3,5,7 分 別 餘 1,2,3。
(2) 找 一 個 多 項 式 f(x), 使 得 f(3)=1,f(5)=2,f(7)=3。
(3) 一 數 列 {a n },a 1 =2,a 2 =4, 且 2a n+2 −a n+1 −3a n =0, 求 a n 的 一 般 式 。
~5~

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[ 例 題 3] 物 理 中 的 類 比 :
萬 有 引 力 :F=G⋅ M 1M 2
r 2 , 庫 倫 定 律 :F e =k⋅ q 1q 2
r 2 。
虎 克 定 律 :F=kx
歐 姆 定 律 :V=IR
(3) 一 般 向 特 殊 的 化 歸 方 法 :
由 「 特 殊 到 一 般 」 和 「 一 般 到 特 殊 」 是 我 們 認 識 客 觀 事 物 的 普 遍 規 律 , 數 學 中 許 多 結
論 都 是 經 過 由 特 殊 到 一 般 的 發 現 過 程 , 再 用 一 般 的 結 論 解 決 具 體 的 問 題 。 特 殊 問 題 往 往
是 比 較 簡 單 、 具 體 的 , 如 果 一 個 一 般 性 的 問 題 不 易 解 決 , 則 可 先 考 慮 幾 種 特 殊 的 情 形 ,
在 分 析 特 殊 情 況 與 一 般 情 況 之 間 的 聯 繫 , 以 啟 發 解 題 思 路 或 根 據 特 殊 情 形 提 出 猜 測 , 即
可 得 出 一 般 的 結 果 , 這 就 是 所 謂 一 般 向 特 殊 的 「 化 歸 」。
[ 例 題 4] 在 正 三 角 形 ABC 的 邊 BC 上 任 取 一 點 D, 作 ∠ADE=60 ° , DE 交 ∠C 的 外 角 平
分 線 於 E, 那 麼 ∆ADE 是 什 麼 三 角 形 ?
[ 特 殊 情 形 ]: 考 慮 D 為 BC 的 端 點 、 中 點
A
H
E
B
D
C
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[ 一 般 情 形 ]:
A
H
E
B
C
問 題 與 研 究
1. 二 項 式 定 理
(a+b) 0 =1,(a+b) 1 =a+b,(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 ,……,(a+b) n
(a) 將 (a+b) 3 、(a+b) 4 、(a+b) 5 、(a+b) 6 ….. 展 開 並 注 意 每 一 個 展 開 式 , 找 出 規 則 。
(b) 將 展 開 式 之 中 的 係 數 加 起 來 , 找 出 規 則 。
(c) 找 出 尋 找 (a+b) n 的 各 項 係 數 的 方 法 。
2. 一 般 化
(a) 設 P 為 正 方 形 Q 所 在 平 面 上 任 意 點 , 試 過 P 點 作 直 線 平 分 Q, 這 樣 的 直 線 有 幾 條 ?
(b) 考 慮 Q 為 正 六 邊 形 、 正 2n 邊 形 、 圓 、 平 行 四 邊 形 、 任 何 一 個 中 心 對 稱 的 圖 形 , 試
過 P 點 作 直 線 平 分 Q, 這 樣 的 直 線 有 幾 條 ?
(c) 根 據 (a)(b) 的 結 果 , 你 可 以 得 出 最 廣 義 的 結 論 是 什 麼 ?
3. 一 般 化 、 類 比
(a) 運 用 空 間 中 的 類 比 第 2 題 可 以 改 寫 成 什 麼 樣 的 猜 想 或 問 題 ?
(b) 試 著 證 實 你 的 猜 想 或 問 題 ?
4. 一 般 化
(a) 希 波 克 拉 底 的 新 月 形 :
分 別 以 直 角 三 角 形 的 三 邊 為 直 徑 , 分 別 作
半 圓 , 則 勾 股 上 的 兩 個 新 月 形 的 面 積 ,
等 於 直 角 三 角 形 的 面 積 。
(b) 銳 角 三 角 形 ABC 中 ,∠A、∠B、∠C 的 對 邊 分 別 為 a,b,c, 則 a 2 =b 2 +c 2 −2bccosA。
將 ∠A 逐 漸 變 化 接 近 90 ° ,a 2 −(b 2 +c 2 ) 會 有 什 麼 變 化 ?
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(c) 直 角 梯 形 ABCD 中 , 兩 底 和 直 腰 分 別 為 a,b,c 斜 腰 為 d,
則 d 2 =(a−b) 2 +c 2 。
a
觀 察 (a)(b)(c) 這 三 個 例 子 ,
它 們 是 勾 股 定 理 的 一 般 化 嗎 ? 為 什 麼 ?
d
c
5. 空 間 中 的 類 比 :
b
(a) 空 間 中 , 直 角 四 面 體 ABCD( 即 圍 繞 一 個 頂 點 的 三 個 面 的 夾 角 都 是 直 角 ) 中 , 頂 點
A,B,C,D 所 對 面 的 面 積 依 次 為 S A 、S B 、S C 、S D (∆BCD 為 斜 面 ), 則 S 2 A =S 2 B +S 2 C +S 2 D 。
(b) 空 間 中 直 角 四 面 體 ABCD( 即 圍 繞 一 個 頂 點 的 三 個 面 的 夾 角 都 是 直 角 ) 中 ∠C=90 ° ,
AB⊥ 平 面 BCD, 則 AD 2 =AB 2 +BC 2 +CD 2 。
B
A
A
B
C
C
D
D
證 明 (a)(b) 兩 個 結 論 , 並 說 明 它 與 勾 股 定 理 的 關 係 。
6. (a) 如 圖 , 將 小 正 方 形 A 1 B 1 C 1 D 1 任 意 放 置 在 大 正 方 形 ABCD 中 ,
A / 、B / 、C / 、D / 分 別 為 AA 1 、BB 1 、CC 1 、DD 1 中 點 ,
則 A / B / C / D / 為 正 方 形 。
要 證 明 (a) 可 以 先 觀 察 幾 個 特 例 :
A
B
A / A 1
D /
D 1
B 1
C1
C /
B /
D
C
A
D
A
D
B
C B
你 可 以 藉 由 研 究 這 些 特 例 , 而 得 到 一 般 的 結 果 嗎 ?
(b) 能 否 將 (a) 中 的 結 果 推 廣 到 正 n 邊 形 呢 ?
(c) 能 否 將 (a) 中 的 結 果 推 廣 到 相 似 圖 形 呢 ?
(d) 能 否 將 (a) 中 正 形 內 部 推 廣 到 正 方 形 外 或 任 意 位 置 。
C
~8~

(e) 在 空 間 中 能 否 提 出 類 似 的 問 題 呢 ?
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7. 特 殊 化
BD
在 ∆ABC 三 邊 分 別 有 點 D、E、F, 使
DC =λ,CE AE =µ,AF BF =ρ,
∆PQR
(a) 求
∆ABC =?
(b) 利 用 (a) 的 結 果 你 能 證 明 Ceva 定 理 嗎 ?
8. 類 比 的 危 險 :
(a) 化 0 . 3為 分 數 , 做 法 如 下 :
令 x= 0 . 3=0.33333……
10x=3,33333……….
兩 式 相 減 :9x=3 ⇒ x= 3 9 。
(b) 求 1−1+1−1+1−1+….. 之 值 :
令 x=1−1+1−1+1−1+…..
x−1=−(1−1+1−1+….)
⇒x−1=x ⇒x= 1 2 。
可 以 看 出 來 (a)(b) 有 類 比 的 關 係 , 你 能 說 出 那 一 個 結 果 是 正 確 的 嗎 ? 透 過 這 樣 的 類 比 ,
我 們 處 理 這 一 類 的 問 題 , 須 注 意 那 些 條 件 ? 來 避 免 錯 誤 。
9. (a) 設 x,y,a,b 為 正 實 數 , 且 x+y=1, 求 證 : a x +b y
的 最 小 值 為 ( a + b ) 2 。
(Hint: 利 用 x+y=1, a x +b y = a(x+y)
x
+ b(x+y)
y
, 再 利 用 算 幾 不 等 式 )
(b) 設 x,y,a,b 為 正 實 數 , 且 x+y=1, 求 證 : a x 2+ b y 2 3 3 3
的 最 小 值 為 ( a + b)
。
(c) 你 可 否 推 廣 (a)(b) 的 結 果 ?
10. 化 歸 方 法 :
AB 為 圓 O 的 直 徑 , 且 AB =2R, 過 AB 上 任 一 點 P 作 弦 MN 與 AB 成 45 ° 角 ,
求 證 :MP 2 +PN 2 是 定 值 , 並 求 此 定 值 。
11. 有 一 道 問 題 如 下 :
~9~

1
已 知 x,y,z 為 正 實 數 , 且
x + 2 y + 3 z =1, 則 x+ y 2 +z 的 最 小 值 為 。
3
解 法 如 下 :1= 1 x + 2 y + 3 z =1 3 ( 3
x
+ 6 9
+
y z
)≥ 1 3 ( x y z
2 − + 2 − + 2 −
3 6 9 )=2− 1 9 (x+y 2 +z 3 )
a
這 裡 用 到
x +x a ≥2, 所 以 x+ y 2 +z 3 ≥9。
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通 過 以 上 的 做 法 , 對 於 兩 項 或 四 項 或 一 般 n 項 的 式 子 , 是 否 存 在 著 類 似 的 規 律 ?
如 果 有 請 將 你 的 猜 想 寫 出 來 , 並 加 以 證 明 。
~10~