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TRIGONOMETRÍA 1. AREA

TRIGONOMETRÍA 1. AREA DE UN TRIANGULO a) Area en términos de dos lados y el ángulo que éstos forman: C Sea: S el área del triángulo a.h. a Sabemos que: S = 2 Pero: h a = bSenC ab Entonces: S = SenC 2 Análogamente: S= 2 bc Sen A S= 2 ac SenB b) Area en términos del semiperímetro y los lados: Entonces: ab S = SenC = 2 b A AREAS DE TRIANGULOS Y CUADRILATEROS ANGULOS VERTICALES h a ab ⎛ ⎜ 2 ⎝ S = abSen 2 C Cos 2 C a c C 2R ⎟⎠ ⎞ B • Hallar el área de un triángulo cuyos lados miden 171cm, 204cm y 195 cm. Resolución: Sabemos que: S = p(p − a)(p − b)(p − c) Entonces: a + b + c 171+ 204 + 195 p = = = 285 2 2 Luego: S= 285(285 − 171)(285 − 2049(285 −195) S = 285 (144)(81)(90 ) S = (57)(5)(9)(3)(2) S = 15390 cm 2 • Dos lados de un ∆ miden 42cm y 32cm, el ángulo que forman mide 150º. Calcular el área del triángulo. Resolución: 42 C 150º 32 ∴ S = p (p − a)(p − b)(p − c) c) Area en términos de los lados y el circunradio (R): Sabemos que: C = 2R ⇒ SenC = SenC ab ab ⎛ C ⎞ S = SenC = ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ 2R ⎠ S = abc 4R C 2R A S = 2 1 a bSenC 1 1 ⎛ 1 ⎞ S= (42)(32)Sen150º= (42)(32) ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ 2 ⎠ S = 336cm 2 • El área de un ∆ ABC es de 90 3 u 2 y los senos de los ángulos A, B y C son proporcionales a los números 5,7 y 8 respectivamente. Hallar el perímetro del triángulo. B Ejemplos: CUESTIONARIO DESARROLLADO

TRIGONOMETRÍA Resolución: Datos: S = 90 3 u 2 SenA=5n, SenB=7n y SenC=8n Sabemos que: a b c = = ...(Ley de senos) SenA SenB SenC Entonces: a = 5n, b=7n y c=8n P = 10n 90 3 = (10n)(10n − 5n)(10n − 7n)(10n − 8n) 90 3 = 90 (10n)(5n)(3n)(2n) 2 3 = 10n 3 → n = 3 Luego el perímetro es igual a 2p 2p=2(10)(3) → 2p = 60u • El diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC mide 26 3 cm y la media geométrica de 3 sus lados es del triángulo. Resolución: 2 3 91 . Calcular el área La media geométrica de a,b y es: 3 abc Del dato: 3 abc = 2 3 91 → abc = 728 El radio de la circunferencia 13 3 Circunscrita mide 3 abc 728 Entonces: S = = = 14 4R ⎛13 3 ⎞ 4⎜ ⎟ 3 ⎝ ⎠ 2 3cm 2. CUADRILATEROS 1º Area de un cuadrilátero convexo en términos de sus lados y ángulos opuestos a B b C c • Sea S el área del cuadrilátero y p su semiperímetro entonces: S = (p − a)(p − b)(p − c)(p − d) − abcdCos2θ θ es igual a la semisuma de dos de sus ángulos opuestos. 2º Area de un cuadrilátero convexo en términos de sus diagonales y el ángulo comprendido entre estas. A B • Sea: AC = d 1 y BD = d 2 Entonces: d1d = . Sen α 2 S 2 ...(2) 3º Area de un cuadrilátero inscriptible (cuadrilátero cíclico) A S = ( p − a)(p − b)(p − c)(p − d) ...(3) α B 4º Area de un cuadrilátero circunscriptible. a B b C C D C D c A d D CUESTIONARIO DESARROLLADO A d D

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