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TRIGONOMETRÍA Nota Si P

TRIGONOMETRÍA Nota Si P es externo al segmento P 1 P 2 entonces la razón (r) es negativa. Ejm: Los puntos extremos de un segmento son A(2;4) y B(8;-4). Hallar las coordenadas de un puntos P tal que: AP = 2 PB Resolución: Sean (x;y) las coordenadas de P, entonces de la fórmula anterior se deduce que: x1 + r.x x = 1+ r 18 x = = 6 3 y1 + r.y y = 1+ r 4 y = − 3 ∴ 2 2 ⎛ 4 ⎞ P ⎜ 6; − ⎟ ⎝ 3 ⎠ 2 + 2(8) x = 1+ 2 4 + 2( −4) y = 1+ 2 Ejm: Los puntos extremos de un segmento son A(-4;3) y B(6;8). Hallar las coordenadas de un punto P tal que: BP 1 = . PA 3 Resolución: x1 + r.x 2 x = 1+ r ⎛ 1 ⎞ 6 + ⎜ ⎟( −4) 3 x = ⎝ ⎠ 1 1+ 3 7 x = 2 ∴ y1 + r.y 2 y = 1+ r ⎛ 1 ⎞ 8 + ⎜ ⎟(3) 3 y = ⎝ ⎠ 1 1+ 3 27 y = 4 ⎛ 7 27 ⎞ P ⎜ ; ⎟ ⎝ 2 4 ⎠ Ejm: A(-2;3), B(6;-3) y P(x;y) son tres AP puntos colineales, si = − 2 . PB Hallar: x+y Resolución: Del dato: r=-2, x1 + r.x 2 x = 1+ r − 2 + ( −2)(6) x = 1+ ( −2) x=14 x y y 2 + = 2 1 + r 3 + ( −2)( −3) y = 1+ ( −2) y=-9 ∴ x + y = 5 entonces: Observación Si la razón es igual a 1 es decir P1 P = 1, significa que: PP2 P 1 P=PP 2 , entonces P es punto medio de P 1 P 2 y al reemplazar r=1 en las formas dadas se obtiene: x x x = 1 + 2 2 CUESTIONARIO DESARROLLADO

TRIGONOMETRÍA y y y = 1 + 2 2 Ejm: Hallar las coordenadas del punto medio P de un segmento cuyos extremos son: A(2;3) y B(4;7). Resolución: Sea P(x; y) el punto medio de AB, entonces: 2 + 4 x = 2 x = 3 3 + 7 y = y = 5 2 ∴ P(3; 5) Ejm: Si P(x; y) es el punto medio de CD. Hallar: x-y. C(-5; 6) y D(-1;-10). Resolución: − 5 + ( −1) x = x=-3 2 6 + ( −10) y = y=-2 2 P(-3;-2) ∴ x-y = -1 Ejm: El extremo de un segmento es (1;-9) y su punto medio es P(-1;-2). Hallar las coordenadas del otro extremo. Resolución: Sean (x 2 ;y 2 ) las coordenadas del extremo que se desea hallar como P(-1;-2) es el punto medio, se cumple que: 1+ x 2 − 1 = 2 x 2 =-3 − 9 + y 2 − 2 = 2 y 2 =5 Las coordenadas del otro extremo son: (-3;5) Baricentro de un Triángulo Sea A(x 1 ;y 2 ), B(x 2 ;y 2 ), C(x 3 ;y 3 ) los vértices del triángulo ABC, las coordenadas de su baricentro G son: ⎛ 1 + x 2 + x 3 y1 + y 2 + y G(x;y)= ⎜ ; ⎝ 3 3 x 3 Área de un Triángulo Sea A(x 1 ;y 2 ), B(x 2 ;y 2 ), C(x 3 ;y 3 ) los Vértices de un triángulo ABC, el área (S) del triángulo es: S = 1 2 x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 1 y 4 1 S = x 1 .y 2 + x 2 .y 3 + x 3 .y 4 - x 2 .y 1 - x 3. y 2 - x 1 .y 3 2 EJERCICIOS 1. Calcular la distancia entre cada uno de los siguientes pares de puntos: a) (5;6) ∧ (-2;3) b) (3;6) ∧ (4;-1) c) (1;3) ∧ (1;-2) d) (-4;-12) ∧ (-8;-7) 2. Un segmento tiene 29 unidades de longitud si el origen de este segmento es (-8;10) y la abscisa del extremo del mismo es12, calcular la ordenada sabiendo que es un número entero positivo. a) 12 b) 11 c) 8 d) 42 e) 31 3. Hallar las coordenadas cartesianas de Q, cuya distancia al origen es igual a 13u. Sabiendo además que la ordenada es 7u más que la abscisa. CUESTIONARIO DESARROLLADO ⎟ ⎠ ⎞

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