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TRIGONOMETRÍA

TRIGONOMETRÍA IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 1. IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA Una identidad trigonométrica es una igualdad que contiene expresiones trigonométricas que se cumplen para todo valor admisible de la variable. Ejemplos Identidad Algebraica: (a+b)² = a² + 2ab + b² Identidad Trigonométrica: Sen²θ + Cos²θ = 1 Ecuación Trigonométrica: Senθ + Cosθ = 1 Para: θ = 90º Cumple Para: θ = 30º No cumple 2. IDENTIDADES FUNDAMENTALES Las identidades trigonométricas fundamentales sirven de base para la demostración de otras identidades más complejas. Se clasifican: • Pitagóricas • Por cociente • Recíprocas 2.1 IDENTIDADES PITAGÓRICAS I. Sen²θ + Cos²θ = 1 II. 1 + Tan²θ = Sec²θ III. 1 + Cot²θ = Csc²θ Demostración I Sabemos que x² + y² = r² 2 2 x y + = 1 2 2 r r 2 2 y x + = 1 2 2 r r Sen²θ + Cos²θ = 1 l.q.q.d. 2.2 IDENTIDADES POR COCIENTE I. Senθ Tanθ = Cosθ II. Cosθ Cotθ = Senθ Demostración I Tanθ = ORDENADA ABSCISA = y x = y r x r Senθ = L.q.q.d. Cosθ 2.3 IDENTIDADES RECÍPROCAS I. Senθ . Cscθ = 1 II. Cosθ . Secθ = 1 III. Tanθ . Cotθ = 1 CUESTIONARIO DESARROLLADO

TRIGONOMETRÍA Demostración I y . r r y = 1 Senθ . Cscθ = 1 L.q.q.d. Observaciones: Sabiendo que: Sen²θ + Cos²θ = 1 Despejando: Sen²θ = 1 – Cos²θ ⇒ Sen²θ = (1 + Cosθ) (1-Cosθ) Así mismo: Cos²θ = 1 - Sen²θ ⇒ Cos²θ = (1 + Senθ) (1-Senθ) 3. IDENTIDADES AUXILIARES A) Sen 4 θ + Cos 4 θ = 1 – 2Sen²θ . Cos²θ B) Sen 6 θ + Cos 6 θ = 1 – 3Sen²θ . Cos²θ C) Tanθ + Cotθ = Secθ . Cscθ D) Sec²θ + Csc²θ = Sec²θ . Csc²θ E) (1+Senθ + Cosθ)² = 2(1+Senθ)(1+Cosθ) Demostraciones A) Sen²θ + Cos²θ = 1 Elevando al cuadrado: (Sen²θ + Cos²θ)² = 1² Sen 4 θ + Cos 4 θ +2 Sen²θ + Cos²θ = 1 Sen 4 θ+Cos 4 θ=1–2 Sen²θ.Cos 2 θ B) Sen²θ + Cos²θ = 1 Elevando al cubo: (Sen²θ + Cos²θ) 3 = 1 3 Sen 6 θ + Cos 6 θ +3(Sen²θ + Cos²θ) (Sen²θ + Cos²θ)= 1 Sen 6 θ + Cos 6 θ +3(Sen²θ + Cos²θ) = 1 ⇒ Sen 6 θ+Cos 6 θ=1-3(Sen²θ.Cos²θ) 1 C) Tanθ + Cotθ = Senθ Cosθ + Cosθ Senθ 1 Tanθ + Cotθ = Tanθ + Cotθ = D) Sec²θ + Csc²θ = 2 2 Sen θ + Cos θ Cosθ .Senθ 1.1 ⇒ Tanθ + Cotθ = Secθ . Cscθ Cosθ . Senθ 1 1 + 2 Cos θ Sen 2 θ CUESTIONARIO DESARROLLADO

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