Views
8 months ago

g_epan

Α Ομάδα: 1

Α Ομάδα: 1 Συναρτήσεις – Μονοτονία – Κυρτότητα 7 1. Δίνονται οι συναρτήσεις: f(x) 1 lnx και e g(x) ln x α. Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες. β. Αν x h(x) e 2 , να βρείτε τη συνάρτηση f h . γ. Αν για μία συνάρτηση φ :(0, ) ισχύει x x φ(e ) x e 2 , x να βρείτε τη συνάρτηση φ . Λύση α. Οι συναρτήσεις f και g έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α (0, ). Για κάθε x A είναι e g(x) ln lnelnx 1lnx x f(x) Άρα οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες. β. Η συνάρτηση h έχει πεδίο ορισμού όλο το και η f h το σύνολο Είναι x Α {x και h(x) A} h(x) A e 2 0 e 2 x ln 2 Άρα Α (ln2, ) . x Για κάθε x A , έχουμε (f h)(x) fh(x) 1ln(e 2) . x γ. Έχουμε Θέτουμε x x φ(e ) xe 2 , x . x e y x lny , y 0. Επομένως φ(y) ln y y 2 , y 0. Άρα φ(x) ln x x 2 , x 0 .

8 Α Ομάδα: 1 Συναρτήσεις – Μονοτονία – Κυρτότητα x 4 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) . x 1 α. Να δείξετε ότι η f είναι συνάρτηση 1 – 1. Λύση 1 β. Να βρείτε την f . γ. Να βρείτε τα κοινά σημεία των C f και C 1 με τον άξονα συμμετρίας τους. α. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο A 1 Έστω x,x 1 2 A. Είναι x1 4 x2 4 f(x 1) f(x 2) x 1 x 1 1 2 f . (x14)(x2 1) (x11)(x2 4) x1x2 x14x2 4x1x2 4x1x2 4 3x1 3x2 x1 x2 Άρα η f είναι συνάρτηση 1 1. β. Επειδή η f είναι συνάρτηση 1 – 1, αντιστρέφεται. Για κάθε x A έχουμε x 4 f(x) y y x4 y(x1) x4xyy x1 xy x 4 y (y 1)x 4 y 4 y x , y1 y1 Οπότε 1 4 y f (y) , y 1 . Άρα y1 1 4 x f (x) , x 1 x1 . γ. Ο άξονας συμμετρίας των C f και C 1 είναι η ευθεία ε :y x . • Τα κοινά σημεία της f C f και της ε έχουν τετμημένες τις λύσεις της εξίσωσης x 4 2 f(x) x x x4x(x1) x4x x x1 2 x 4 x 4 x 2 Οπότε, τα κοινά σημεία της C f και της ευθείας ε είναι τα: A(2, 2) και B( 2, 2) • Τα κοινά σημεία της C f 1 και της ευθείας ε είναι τα ίδια με τα κοινά σημεία της C και της ε . f Οπότε είναι τα σημεία: A(2, 2) και B( 2, 2) .