Matematyka klasa 5

MATEMATYKA
5

Barbara Dubiecka-Kruk, Piotr Piskorski,
Anna Dubiecka, Ewa Malicka
MATEMATYKA
5

Podręcznik dopuszczony do użytku szkolnego przez ministra właściwego do spraw oświaty
i wychowania i wpisany do wykazu podręczników przeznaczonych do kształcenia ogólnego
do nauczania matematyki, na podstawie opinii rzeczoznawców: mgr Elżbiety Krzysztofiak,
dr. Andrzeja Rychlewicza, dr Izabeli Kraśnickiej-Wilk.
Etap edukacyjny: II
Typ szkoły: szkoła podstawowa
Rok dopuszczenia: 2018
Numer ewidencyjny w wykazie: 832/2/2018
© Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne
Warszawa 2018
Wydanie I
ISBN 978-83-02-17310-3
Opracowanie merytoryczne i redakcyjne: Agnieszka Gawryszczak (redaktor koordynator),
Ewa Kowalik (redaktor merytoryczny), Marzena Korycka (współpraca redakcyjna)
Redakcja językowa: Milena Schefs
Redakcja techniczna: Janina Soboń
Projekt okładki i strony tytułowej: Hanna Michalska-Baran
Opracowanie graficzne: Barbara Scharf
Opracowanie kartograficzne: Łukasz Król
Fotoedycja: Ignacy Składowski
Skład i łamanie: Wiedźma Morska
Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne Spółka Akcyjna
00-807 Warszawa, Aleje Jerozolimskie 96
Tel.: 22 576 25 00
KRS: 0000595068
Infolinia: 801 220 555
www.wsip.pl
Publikacja, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im
przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym.
Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie
zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.
Szanujmy cudzą własność i prawo.
Więcej na www.legalnakultura.pl
Polska Izba Książki

Spis treści
Działania na liczbach naturalnych i dziesiętnych 6
1. Zastosowania matematyki w sytuacjach praktycznych __________ 8
2. Dodawanie i odejmowanie pisemne – powtórzenie _______________ 16
3. Mnożenie i dzielenie pisemne – powtórzenie _________________________ 22
4. Mnożenie pisemne liczb wielocyfrowych ________________________________ 27
5. Dzielenie pisemne liczb przez liczby wielocyfrowe ________________ 35
6. Wyrażenia arytmetyczne i zadania tekstowe I ________________________ 44
7. Zamiana jednostek. Liczby dziesiętne _____________________________________ 52
8. Dodawanie pisemne liczb dziesiętnych ___________________________________ 60
9. Odejmowanie pisemne liczb dziesiętnych _______________________________ 66
Czy już to umiem? ______________________________________________________________________ 71
Potrafię więcej, umiem lepiej. __________________________________________________ 81
Ułamki zwykłe. Działania na ułamkach zwykłych 84
10. Cechy podzielności przez 2, 5, 10, 100, 1000 ___________________________ 86
11. Cecha podzielności przez 4 ______________________________________________________ 98
12. Cechy podzielności przez 3 i 9 _________________________________________________ 104
13. Liczby pierwsze i złożone _________________________________________________________ 113
14. Sprowadzanie ułamków zwykłych
do wspólnego mianownika _______________________________________________________ 120
15. Porównywanie ułamków zwykłych __________________________________________ 127
16. Dodawanie ułamków zwykłych _______________________________________________ 131
17. Odejmowanie ułamków zwykłych ___________________________________________ 137
18. Działania na ułamkach zwykłych _____________________________________________ 143
Czy już to umiem? _____________________________________________________________________ 150
Potrafię więcej, umiem lepiej. __________________________________________________ 158

Wielokąty 160
19. Klasyfikacja trójkątów. Własności trójkątów ___________________________ 162
20. Pole trójkąta _______________________________________________________________________________ 174
21. Klasyfikacja czworokątów. Własności czworokątów ______________ 181
22. Pole równoległoboku i rombu __________________________________________________ 191
23. Pole trapezu _______________________________________________________________________________ 197
Czy już to umiem? _____________________________________________________________________ 203
Potrafię więcej, umiem lepiej. __________________________________________________ 210
Ułamki dziesiętne.
Działania na ułamkach dziesiętnych 212
24. Mnożenie liczb dziesiętnych _____________________________________________________ 214
25. Dzielenie liczb dziesiętnych ______________________________________________________ 221
26. Wyrażenia arytmetyczne i zadania tekstowe II _______________________ 229
Czy już to umiem? _____________________________________________________________________ 234
Potrafię więcej, umiem lepiej. __________________________________________________ 240
Figury geometryczne. Skala i plan. Bryły 242
27. Kąty wierzchołkowe, kąty przyległe _________________________________________ 244
28. Plan, mapa, skala _______________________________________________________________________ 256
29. Prostopadłościan, sześcian _______________________________________________________ 264
Czy już to umiem? _____________________________________________________________________ 274
Potrafię więcej, umiem lepiej. __________________________________________________ 283
Obliczanie upływu czasu
30. Obliczanie upływu czasu __________________________________________________________ 285
Odpowiedzi ___________________________________________________________________________________ 290

do 350 g ponad 350 g ponad 1000 g
do 1000 g
do 2000 g
cena podstawowa 3,75 zł
do 350 g ponad 350 g ponad 1000 g
do 1000 g
do 2000 g
cena podstawowa 4,75 zł
do 350 g ponad 350 g ponad 1000 g
do 1000 g
do 2000 g
cena podstawowa 7,30 zł
Mnożenie liczby dziesiętnej i liczby naturalnej
Mnożenie wykonujemy tak, jak mnożenie liczb naturalnych. Przecinek
w otrzymanym iloczynie stawiamy tak, aby po prawej stronie tego przecinka
było tyle cyfr, ile jest ich po przecinku w liczbie dziesiętnej.
Przykłady
1,2 · 3 = 3,6, bo 12 · 3 = 36
0,02 · 4 = 0,08, bo 2 · 4 = 8
20 · 0,3 = 6,0, bo 20 · 3 = 60
400 · 0,05 = 20,00, bo 400 · 5 = 2000
75,2 · 6 3,52 · 15 0,425 · 142
75,2 3,52 0,425
∙ 6 ∙ 1 5 ∙ 1 4 2
45 1,2 1 760 850
52,80 + 425
60,350
152 · 0,4 231 · 0,25 321 · 1,142
152 231 321
∙0,4 ∙0,25 ∙ 1,142
60,8 1 1 55 642
57,75 321
366,582
4788 liza wszski koralików
33 liza koralików na 1 ransolek
145
4788 : 33
- 33
148
- 132
168
- 165
3
145 4785
· 33 + 3
435 4788
+ 435
4785
. ona zroi 145 ransoleek i zosan 3 koraliki.
Wyszukaj plan dowolnego miasta i opracuj trasę zwiedzania.
Zaznacz na planie tę trasę i wyznacz jej długość.
Kraków 232 m n.p.m.
Tarnów 225 m n.p.m.
ow z 311 m n.p.m.
A
B
C
700 m
O podręczniku
Pamiętaj, jest to podręcznik wieloletni, dlatego nie pisz po nim – wszystkie
rozwiązania zapisuj w zeszycie.
Działania na liczbach
naturalnych i dziesiętnych
Koty są
udomowione
od 9500 lat.
Koty kontra psy
Koty na wolności
żyją do 8 lat,
a domowe
do 20 lat.
Psy żyją
13–14 lat.
Psy są
udomowione
od 17 000 lat.
Na podstawie podanych informacji odpowiedz na pytania.
Ile jest w sumie ras psów i kotów?
Ile lat po udomowieniu psów udomowiono koty?
Przeciętnie o ile lat dłużej żyją koty domowe od tych żyjących na wolności?
O mniej więcej ile centymetrów dłuższy jest kot największy
od najmniejszego?
Pupile w domach w Polsce
Ponad 5,5 mln kotów
Około 7 mln psów
żyje w gospodarstwach stwach
żyje w
gospodarstwach
domowych.
domowych.
Rekordy
Najmniejszy kot świata mierzył
7 cm wysokości i 19 cm długości
Największy pies świata
w wieku 2 lat. Był rasy himalayan.
mierzył 109 cm wysokości
i 220 cm długości, ważył 111 kg.
Był to dog niemiecki.
Strona działowa
Każdy dział rozpoczyna się
od infografiki, czyli takiego
sposobu połączenia ilustracji
z objaśnieniami, który ułatwia
zapamiętywanie. Przyjrzyj
się infografice i postaraj się
zapamiętać jak najwięcej.
Odpowiedz na pytania
i zaproponuj inne.
58 ras kotów jest
zarejestrowanych przez
Międzynarodową Federację
Felinologiczną.
339 ras psów jest zarejestrowanych
przez Międzynarodową Federację
Kynologiczną.
Największy kot świata mierzył 40 cm
wysokości i prawie metr długości,
ważył 21,3 kg. Nie znamy jego rasy.
Najmniejszy pies świata mierzy
10 cm wysokości i 16,5 cm długości,
waży 600 g. Jest rasy chihuahua.
6 7
Zadania wprowadzające
wadz
ając
Każdy temat rozpoczyna się
od zadań, które wprowadzą Cię
w nowe zagadnienia.
Zadania
Do każdego tematu zaproponowano zadania
(często z rozwiązanym przykładem), które pomogą
Ci wyćwiczyć nowe umiejętności.
24. Mnożenie liczb dziesiętnych
Poniżej pokazano, ile trzeba zapłacić za przesłanie krajowego listu zwykłego
w zależności od tego, ile waży.
a ) Ile trzeba zapłacić za przesłanie listu zwykłego ważącego 200 g? A ile – za
przesłanie dwóch takich listów?
b ) Ile trzeba zapłacić za przesłanie listu zwykłego ważącego 800 g? A ile – za
przesłanie dwóch takich listów? A czterech?
c ) Ile trzeba zapłacić za przesłanie listu zwykłego ważącego 1600 g? A ile – za
przesłanie dwóch takich listów? A sześciu?
Oto jak można obliczyć kwotę za przesłanie trzech listów zwykłych ważących
po 200 g.
Sposób I
3 ∙ 3,75 zł = 3 ∙ (3 zł + 75 gr) = 3 ∙ 3 zł + 3 ∙ 75 gr = 9 zł + 225 gr =
= 9 zł + 2 zł 25 gr = 11 zł 25 gr = 11,25 zł
Sposób II
3 ∙ 3,75 zł = 3 ∙ 375 gr = 1125 gr = 11 zł 25 gr = 11,25 zł
Sposób III
3, 7 5
∙ 3
1 1,2 5
Jan Kowalski
ul. Pierwiosnka 4
00-023 Warszawa
a ) Opisz, jak wykonano te obliczenia.
b ) Oblicz podobnie (wybranym sposobem) kwotę za przesłanie pięciu listów
zwykłych, jeśli każdy z nich waży 600 g.
+ 352 1700
+ 462 1284
214 215
+ 321
1 Oblicz w pamięci.
a ) 0,1 ∙ 7 b ) 4 ∙ 0,2 c ) 0,3 ∙ 7 d ) 5 ∙ 0,2
e ) 0,08 ∙ 7 f ) 4 ∙ 0,15 g ) 0,21 ∙ 3 h ) 7 ∙ 0,005
i ) 1,5 ∙ 2 j ) 11 ∙ 0,9 k ) 0,03 ∙ 15 l ) 9 ∙ 1,001
2 Skorzystaj z tego, że 127 ∙ 13 = 1651, i zapisz wynik podanego mnożenia.
a ) 127 ∙ 1,3 b ) 1,27 ∙ 13 c ) 0,127 ∙ 13 d ) 127 ∙ 0,0013
28. Plan, mapa, skala
14 Przyjmij, że odległość między Krakowem a Myślenicami wynosi 40 km. Na
mapie jest to odcinek długości 8 cm. W jakiej skali wykonana jest ta mapa?
15 Przyjmij, że odległość między Krynicą-Zdrojem a Nowym Sączem wynosi
32,1 km. Na mapie jest to odcinek długości 10,7 cm. W jakiej skali wykonana
jest ta mapa?
16 Odległość między dwiema miejscowościami na mapie wykonanej w skali
1 : 1 200 000 wynosi 24 cm. Jaka będzie ta odległość na mapie wykonanej
w skali 1 : 3 000 000?
17 Granica morska na mapie Polski wykonanej w skali 1 : 500 000 ma długość
88 cm, a na mapie w atlasie 20 cm. W jakiej skali wykonana jest mapa w atlasie?
18 Na mapie wykonanej w skali 1 : 20 000 kwadratowe pole uprawne ma powierzchnię
81 cm 2 . Jaki obwód i jaką powierzchnię ma to pole w rzeczywistości?
19 Na planie zaznaczono trzy trasy, którymi można dotrzeć od jednego do drugiego
muzeum we Wrocławiu. Na podstawie informacji o długości trasy C oraz
pomiarów odpowiednich odcinków wyznacz przybliżone długości tras A i B.
CO UMIEM?
1.
a)
b)
2.
3.
4.
a)
b)
B
B
A
A
B
CO UMIEM?
Na końcu każdego
rozdziału znajduje
się specjalny zestaw
zadań. Rozwiązując
je, sprawdzasz swoje
umiejętności.
262 263
Treść matematyczna
W granatowej ramce
wyróżniono ważne treści,
które będą przydatne
w dalszej nauce.
Zadania na medal
W każdym dziale zamieszczono
zadania, których rozwiązanie będzie
wymagało od Ciebie pomysłowości.
2
Zadania wprowadzające
Zadania ćwiczeniowe
Powtórzenie
Na końcu każdego
działu przygotowano
zestaw zadań –
Czy już to umiem?.
Rozwiązując te zadania,
przygotowujesz się
do sprawdzianu.
Znajdziesz wśród nich
zadania z rozwiązaniami
i komentarzami.
1
2
3
Czy już to umiem?
Aby zrobić bransoletkę, potrzeba 33 koralików. Ile najwięcej takich bransoletek
można zrobić z 4788 koralików? Ile koralików wówczas zostanie?
Wypisz dane z treści zadania.
Zapisz wyrażenie prowadzące do
rozwiązania zadania i oblicz jego
wartość.
Wykonaj sprawdzenie.
Ułóż odpowiedź.
Rejs statkiem dookoła świata trwa 180 dni. Koszt wycieczki dla 1 osoby w kabinie
dwuosobowej wynosi 118 080 euro. Oblicz średnią cenę jednego dnia rejsu.
Rozwiąż zadanie, wykonując kolejne polecenia.
Wypisz dane z treści zadania.
Zapisz wyrażenie arytmetyczne prowadzące do rozwiązania zadania
i oblicz jego wartość.
Sprawdź, czy rozwiązanie spełnia warunki zadania, i ułóż odpowiedź.
W tabeli przedstawiono, na jakiej wysokości
nad poziomem morza (skrót: n.p.m.) leżą trzy
polskie miasta: Kraków, Nowy Sącz, Tarnów.
Oblicz, jaka jest różnica wysokości między:
a ) Nowym Sączem i Krakowem,
b ) Nowym Sączem i Tarnowem.
Pierwszą choinkę udekorowaną ozdobami i światłami ustawiono na otwartej
przestrzeni w 1923 roku w Waszyngtonie, przed Białym Domem. Ile lat temu
to się wydarzyło?
71
Potrafię więcej, umiem lepiej
Stomachion to starogrecka łamigłówka i gra złożona z 14 elementów, z których
układa się różne kształty. Słowo stomachion oznacza „doprowadzająca do
wściekłości”. Łamigłówkę tę wymyślił Archimedes, dlatego jest też nazywana
pudełkiem Archimedesa.
1
4
14 2
13
3 5
6
11 10 9 7
12 8
Klasyfikacja trójkątów. Własności trójkątów
1 Jakie trójkąty zawiera stomachion? Jakie numery trójkątów należy wpisać
w tabeli w miejsce znaków?
Trójkąt równoramienny Trójkąt różnoboczny
Trójkąt ostrokątny • •
Trójkąt prostokątny
Trójkąt rozwartokątny 2, 7, 9, 11, 13, 14
Pole trójkąta
2 Oblicz pole trójkąta 11, jeśli bok stomachionu ma długość 6 cm.
3 Uzasadnij, że trójkąty 13 i 14 stomachionu mają równe pola.
4 Bok stomachionu ma długość 12 cm. Ile razy pole pierwszego trójkąta w podanej
parze jest mniejsze od pola drugiego trójkąta?
a ) 5 i 6 b ) 2 i 1 c ) 11 i 12 d ) 7 i 8
Dodatkowonazak
zakończenie powtórzenia
zamieszczono zestaw zadań na medal –
Potrafię więcej, umiem lepiej.
210
12
Zadania na medal
Zadania z rozwiązaniem
Gra dla dwóch osób
Ciekawostka
Projekt

Działania na liczbach
naturalnych i dziesiętnych
Koty kontra psy
Koty są
udomowione
od 9500 lat.
Psy są
udomowione
od 17 000 lat.
Koty na wolności
żyją do 8 lat,
a domowe
do 20 lat.
Psy żyją
13–14 lat.
58 ras kotów jest
zarejestrowanych przez
Międzynarodową Federację
Felinologiczną.
339 ras psów jest zarejestrowanych
przez Międzynarodową Federację
Kynologiczną.
6

Na podstawie podanych informacji odpowiedz na pytania.
Ile jest w sumie ras psów i kotów?
Ile lat po udomowieniu psów udomowiono koty?
Przeciętnie o ile lat dłużej żyją koty domowe od tych żyjących na wolności?
O ile centymetrów dłuższy jest kot największy od najmniejszego?
Pupile w domach w Polsce
Ponad 5,5 mln kotów
żyje w gospodarstwach stwach
domowych.
Około 7 mln psów
żyje w
gospodarstwach
domowych.
Rekordy
Najmniejszy kot świata mierzył
7 cm wysokości i 19 cm długości
w wieku 2 lat. Był rasy himalayan.
Największy pies świata
mierzył 109 cm wysokości
i 220 cm długości, ważył 111 kg.
Był to dog niemiecki.
Największy kot świata mierzył 40 cm
wysokości i prawie metr długości,
ważył 21,3 kg. Nie znamy jego rasy.
Najmniejszy pies świata mierzy
10 cm wysokości i 16,5 cm długości,
waży 600 g. Jest rasy chihuahua.
7

1.
Zastosowania matematyki
w sytuacjach praktycznych
Na pierwszej lekcji matematyki w piątej klasie uczniowie układali zadania
pokazujące, w jakich sytuacjach podczas wakacji wykorzystali to, czego się
nauczyli na matematyce w czwartej klasie.
a ) Wyjaśnij, o jakie umiejętności matematyczne chodziło.
b ) Rozwiąż te zadania.
I.
odzie z dwoie dziei
oszli do kina. ile dla dzieka
koszowa 15 z a dla oso
dorose 20 z. le zaaili
za ile
VI.
le zasu orzeu na
rzeie 12 k eeli
w iu edne odzin
okonu 3 k
II.
Kasia kuia ile urawnia
do 60-inuoweo ou
na asenie. Korzsa z asenu
u 47 inu. le zasu oe
eszze sdzi na asenie
VII.
Poi ia rzea
o 14.25 ale es oónion
o 17 inu. kóre odzinie
rzedzie oi
III.
le dni sdz u ai eli
oad do nie 13 siernia
i zosan do koa wakai
VIII.
z 100 z wsarz na
zaku karneu na karuzel
za 65 z i esawu asua
za 47 z
IV.
V.
rzoowa or nale
uie iaso zroi as oraz
olew. o iasa rzea doda
125 ukru udru do as
– 90 a do olew – 140 .
z 500 ukru udru
wsarz a rzoowa
iaso as i olew
Jedna szklanka ki wa 150 .
le wa — 2 szklanki ki
3
IX.
X.
zienna ora kar dla sa
Karola o 35 da. le kar
zada ies Karola rzez 7 dni
zienna ora kar
dla koa ni o 65 . z
400-raowe oakowanie
kar wsarz na dzie
dla koa ni
8

Przeczytaj, jak Adam rozwiązał zadanie IV.
a) Opisz, na czym polega sposób Adama.
b ) Ala w podobny sposób chciała pokazać, że
na ciasto, masę i polewę wystarczy 400 g
cukru pudru. Zaczęła tak: „125 to mniej niż
150, ...”. Dokończ rozwiązanie Ali.
c ) Jak inaczej można rozwiązać zadanie IV?
d ) Rozwiąż zadanie VIII sposobem Adama.
125 to mniej niż 200, 90 to
mniej niż 100, 140 to mniej niż
200. Razem to mniej niż 500.
1
Kaja zaczęła rozwiązywać zadanie X.
„65 to więcej niż 60, ...”. Dokończ jej rozwiązanie. ie.
W czasie wakacji klienci stacji benzynowej otrzymywali punkty za tankowanie
paliwa. Punkty te można wymienić na nagrody zgodnie z poniższą informacją.
iza unków 51–100 101–500 501–1000 wie ni 1000
duois kuek askoka ora
aroda
W tabeli przedstawiono, ile punktów zebrali czterej klienci w lipcu i sierpniu.
Jan Lis Jacek Wilk Olga Sowa Maja Kot
VII 42 p. 134 p. 357 p. 635 p.
VIII 95 p. 269 p. 421 p. 98 p.
a ) Bez wykonywania dokładnych
obliczeń wskaż, jaką nagrodę
może dostać każdy z klientów za
punkty zebrane w lipcu i sierpniu.
b ) Przeczytaj, jak Julia podliczyła
punkty Olgi Sowy. Opisz w podobny
sposób rozwiązania dotyczące
pozostałych klientów.
357 to więcej niż 350,
421 to więcej niż 400,
zatem Olga Sowa ma
więcej niż 750 punktów.
357 to mniej niż 500,
421 to mniej niż 500,
zatem Olga Sowa ma
mniej niż 1000 punktów.
Pani Olga może dostać
maskotkę.
9

1.
Zastosowania matematyki w sytuacjach praktycznych
Szacowanie to określanie wartości, wielkości lub ilości czegoś, która będzie
bliska lub równa rzeczywistej wartości, wielkości lub ilości czegoś.
Szacowanie jest umiejętnością wyjątkowo przydatną w życiu codziennym.
Często nie jest konieczne obliczanie dokładnego wyniku jakiegoś działania
wystarczy oszacować wynik.
Przykłady
357 to mniej niż 360,
421 to mniej niż 440, 357 to mniej niż 400,
zatem 357 + 421 to mniej niż 800. zatem 4 ∙ 357 to mniej niż 1600.
357 to więcej niż 300,
421 to więcej niż 400, 357 to więcej niż 350,
zatem 357 + 421 to więcej niż 700. zatem 4 ∙ 357 to więcej niż 1400.
2
Uczniowie rzucali kostką. Po każdym rzucie zapisywali
wylosowaną liczbę oczek w pola szablonu.
Wygrywa ta osoba, która po ostatnim rzucie
otrzyma trzy liczby trzycyfrowe, których suma jest
większa od 1000. Nie wykonując dokładnych obliczeń
oceń, kto wygrał.
Ania Beata Cecylia
6 2 5 5 4 6 4 1 3
1 4 3 1 2 3 2 1 6
3 1 1 1 3 1 3 1 5
3
Oceń prawdziwość nierówności. Czy można wykonać to polecenie bez wykonywania
podanego dodawania?
a ) 25 zł + 12 zł < 50 zł
b ) 765 zł + 197 zł < 800 zł
c ) 437 zł + 599 zł > 1000 zł
10

4
5
6
7
Oszacuj sumę. Które z wielkości podanych w odpowiedziach A, B, C można
wstawić w miejsce znaku , aby otrzymać nierówność prawdziwą? Wskaż
wszystkie poprawne odpowiedzi.
a ) 32 g + 62 g < A. 110 g B. 100 g C. 90 g
b ) 327 g + 128 g < A. 400 g B. 500 g C. 600 g
c ) 327 g + 90 g < A. 400 g B. 450 g C. 500 g
Oszacuj iloczyn i podaj, który ze znaków () należy wstawić w miejsce ,
aby nierówność była prawdziwa.
a ) 4 · 27 kg 100 kg b ) 3 · 57 kg 200 kg c ) 7 · 127 kg 800 kg
Jeden z punktów zaznaczonych na osi liczbowej wskazuje wartość wyrażenia
zapisanego obok osi. Wskaż ten punkt bez wykonywania dokładnych obliczeń.
a )
A B C D
192 + 289
300 400 500
b )
3 · 86
E F G H
240 250 260 270
Czy 100 zł wystarczy, by zapłacić za zakupy? Najpierw oszacuj koszt zakupów,
a następnie wykonaj obliczenia i podaj dokładną kwotę. Sprawdź, czy twoje
szacowanie było poprawne.
a ) b ) c) d )
65 zł
63 zł
43 zł
47 zł
27 zł
54 zł
35 zł
29 zł
18 zł
11

1.
Zastosowania matematyki w sytuacjach praktycznych
8
W czasie akcji promocyjnej producent orzeszków zwiększył zawartość opakowań.
Oszacuj, w którym opakowaniu jest teraz więcej niż 1000 g orzeszków.
A.
375 g
+ 155 g
GRATIS
B.
790 g
+ 255 g
GRATIS
C.
550 g
+ 215 g
GRATIS
D.
899 g
+ 99 g
GRATIS
9
Oszacuj wartości zakupów i dopasuj do siebie części tych samych paragonów.
A. B. C. D.
I. II. III. IV.
10
Pomalowanie 1 metra bieżącego płotu kosztuje 38 zł. Czy 500 zł wystarczy
na pomalowanie 12 metrów bieżących płotu? A na pomalowanie 20 metrów
bieżących?
1 m
12

11
12
Długość linii brzegowej Polski wynosi 770 km. Motocyklista pokonuje średnio
40 km w ciągu jednej godziny. Czy 24 godziny wystarczą mu na przejechanie
trasy tej długości?
Na podstawie przepisu na babeczki odpowiedz na pytania.
a ) Czy 1 litr mleka (1000 ml)
wystarczy, aby przygotować
4 porcje babeczek?
b ) Czy 300 g mąki pszennej
wystarczy, aby przygotować
2 porcje babeczek?
c ) Czy 150 g kakao wystarczy,
aby przygotować 3 porcje
babeczek?
kadniki na 1 or aezek
(16 szuk
• 165 ki szenne
• — 1 4 ezki sod ozszzone
• 2 ezki roszku do iezenia
• 65 kakao
• — 1 8 ezki soli
• 3 ki asa
• 300 ukru
• 2 aka
• — 3 4 ezki aroau wanilioweo
• 235 l leka
13
Na ile sposobów można w miejsce znaków i wstawić różne liczby
naturalne, tak aby nierówność była prawdziwa?
10 zł < zł + zł < 20 zł
Zaproponuj sposób oszacowania z nadmiarem, ile źdźbeł trawy jest na trawiastym
boisku sportowym.
Zaproponuj sposób oszacowania z nadmiarem, ile ziaren soczewicy mieści się
w szklance.
100 ziaren
13

1.
Zastosowania matematyki w sytuacjach praktycznych
CO UMIEM?
1.
Jola ikora Sikora, klasa a
5 3 unk punkty / 4 unk punkty
I. 471 + 1624 = 2095 II. 357 + 421 = 7778
III. 3798 + 657 =
4455 455
IV. 548 + 375 = 923
2.
A B C D
b )
E F G H
c )
I J K L
3.
km
h
14

4.
Co przygotować?
Kilkanaście kart. Na
każdej karcie narysuj
dowolny produkt
lub naklej jego zdjęcie
wycięte z gazetki
reklamowej. Pod
spodem napisz jego
cenę.
Jak grać?
Gra składa się z 5 rund.
Na początku każdej
rundy gracze układają
wszystkie karty na stole
ilustracjami do dołu
i ustalają kwotę, która
będzie wartością
zakupów. Następnie
każdy gracz losuje trzy
karty, wybiera z nich te,
które przedstawiają
produkty o łącznej
Dobierz tak, by wystarczyło
wartości mniejszej niż
ustalona kwota, i układa
przed sobą wybrane
karty. Na koniec każdej
rundy gracze
sprawdzają się
nawzajem. Punkty za
rundę dostają tylko ci,
których produkty mają
łączną wartość mniejszą
od ustalonej kwoty.
Każdy gracz otrzymuje
1 punkt za każdą
wyłożoną kartę. Gracz,
który pierwszy wyłożył
właściwe karty,
otrzymuje dodatkowe
2 punkty. Rundę kończy
podliczenie punktów.
Następnie rozpoczyna
się kolejna runda. Grę
wygrywa osoba, która
zdobędzie najwięcej
punktów po 5 rundach.
O co warto zapytać?
Jak należy ustalić
wartość zakupów
w stosunku do cen
produktów, żeby każdy
z graczy mógł wyłożyć
co najmniej jedną kartę?
A jaka wartość zakupów
powoduje, że gracze
zawsze wyłożą
wszystkie trzy karty?
1996
123
9890
15

19 Klasyfikacja trójkątów.
Własności trójkątów
Do każdego rysunku dobierz wszystkie pasujące do niego opisy.
I II III
IV V VI
A. Trójkąt, który ma jeden kąt prosty.
B. Trójkąt, który ma dwa boki tej samej długości.
C. Trójkąt, który ma każdy bok innej długości.
D. Trójkąt, którego jeden z boków ma długość 2 cm.
E. Figura, która nie jest trójkątem.
F. Trójkąt, którego wszystkie kąty są ostre.
Czy pamiętasz?
Trójkąt to taki wielokąt, który ma:
trzy kąty, trzy boki, trzy wierzchołki.
Obwód trójkąta to suma długości wszystkich jego boków.
1
2
Narysuj trójkąt o wierzchołkach A, B, C. Zmierz długości jego boków i oblicz
obwód.
Narysuj trójkąt KLM. Zmierz jego największy kąt.
162

Narysuj trzy różne trójkąty. Zmierz ich kąty i oblicz sumę miar kątów każdego
z nich. Jaką własność trójkąta dostrzegasz?
Narysuj na kartce trójkąt. Wytnij go, a następnie odetnij jego kąty i posklejaj
je tak, aby miały wspólny wierzchołek i przylegały do siebie ramionami.
Jaką własność trójkąta dostrzegasz? Czy inne osoby w klasie otrzymały taki
sam efekt?
Suma miar kątów trójkąta jest równa 180°.
Przykłady
40°
60°
80° 60°
60°
60°
40° + 60° + 80° = 180° 60° + 60° + 60° = 180°
3
4
5
Sprawdź, czy kąty o podanych miarach mogą być kątami trójkąta.
a ) 30°, 70°, 80° b ) 40°, 50°, 80° c ) 55°, 65°, 60° d ) 45°, 45°, 90°
Dane są miary dwóch kątów trójkąta. Podaj miarę trzeciego kąta tego trójkąta.
a ) 74°, 80° b ) 46°, 50° c ) 52°, 65° d ) 44°, 93°
Dana jest miara największego kąta trójkąta. Podaj przykładowe miary pozostałych
kątów tego trójkąta.
a ) 80° b ) 76° c ) 100° d ) 166°
163

19
Klasyfikacja trójkątów. Własności trójkątów
Na rysunkach przedstawiono trzech chłopców trzymających naprężoną, związaną
linę. Dwóch chłopców za każdym razem stoi w tym samym miejscu,
a trzeci zmienia swoje położenie.
Lina wyznacza boki trójkąta. Odpowiedz na pytania.
a ) Czym różnią się od siebie te trójkąty?
b ) W którym trójkącie jest kąt prosty? Jakie są pozostałe kąty?
c ) W którym trójkącie jest kąt rozwarty? Jakie są pozostałe kąty?
d ) W którym trójkącie wszystkie kąty są ostre?
Klasyfikacja trójkątów ze względu na miary kątów
Trójkąt ostrokątny to taki, który ma wszystkie kąty ostre.
Trójkąt prostokątny to taki, który ma jeden kąt prosty.
Trójkąt rozwartokątny to taki, który ma jeden kąt rozwarty.
6
Które z narysowanych trójkątów są ostrokątne, które – prostokątne, a które –
rozwartokątne? W razie potrzeby skorzystaj z ekierki lub kątomierza.
I II
III IV V
VI VII VIII
164

7
8
9
10
11
Zaznacz punkty K i L. Narysuj trójkąt KLM, który spełnia podany warunek.
a ) Trójkąt jest ostrokątny.
b ) Trójkąt jest prostokątny i ma kąt prosty przy wierzchołku L.
c ) Trójkąt jest rozwartokątny i ma kąt rozwarty przy wierzchołku L.
d ) Trójkąt jest rozwartokątny i ma kąt rozwarty przy wierzchołku M.
Czy trójkąt o podanych miarach kątów jest ostrokątny, prostokątny, czy rozwartokątny?
a ) 30°, 40°, 110° b ) 20°, 70°, 90° c ) 45°, 65°, 70° d ) 25°, 25°, 130°
Pokaż na przykładach, że trójkąt rozwartokątny ma dwa kąty ostre. Uzasadnij
to za pomocą odpowiednich obliczeń.
Pokaż na przykładach, że trójkąt prostokątny ma dwa kąty ostre. Uzasadnij
to za pomocą odpowiednich obliczeń.
Dana jest miara jednego z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym. Oblicz
miarę drugiego kąta ostrego w tym trójkącie.
a ) 30° b ) 25° c ) 45° d ) 57°
Uczniowie w dwóch grupach podawali długości boków trójkątów o ustalonym
obwodzie: grupa I – trójkątów o obwodzie 12 dm, a grupa II – trójkątów o obwodzie
21 cm. Następnie nauczyciel przy każdej propozycji grupy I narysował
odpowiedni znaczek.
Grupa I
Grupa II
4 dm, 4 dm, 4 dm 9 cm, 8 cm, 4 cm
2 dm, 5 dm, 5 dm 6,5 cm, 6,5 cm, 8 cm
3 dm, 4,5 dm, 4,5 dm 9 cm, 6 cm, 6 cm
3 dm, 4 dm, 5 dm 7 cm, 7 cm, 7 cm
2,5 dm, 4,5 dm, 5 dm 6 cm, 7 cm, 8 cm
5 dm, 3,5 dm, 3,5 dm 6,5 cm, 7 cm, 7,5 cm
a ) Według jakiej zasady nauczyciel przydzielał znaczki?
b ) Zastosuj tę samą zasadę i przydziel każdej propozycji grupy II odpowiedni
znaczek.
165

19
Klasyfikacja trójkątów. Własności trójkątów
Klasyfikacja trójkątów ze względu na długości boków
Trójkąt różnoboczny to taki, który ma każdy bok
innej długości.
Trójkąt równoramienny to taki, który ma przynajmniej
dwa boki równej długości.
Dwa boki równej długości nazywamy ramionami,
a trzeci bok – podstawą trójkąta równoramiennego.
Trójkąt równoboczny to taki, który ma wszystkie boki
równej długości.
Każdy trójkąt równoboczny jest trójkątem równoramiennym.
12
Które z narysowanych trójkątów są różnoboczne, które – równoramienne,
a które – równoboczne? W razie potrzeby zmierz odpowiednie długości boków.
I II
III IV V
VI VII VIII
13
14
15
16
17
Zaznacz punkty K i L. Narysuj trójkąt KLM, który będzie:
a ) różnoboczny, b ) równoramienny, o ramieniu KL.
Wyjaśnij, co to znaczy, że trójkąt nie jest:
a ) równoboczny, b ) równoramienny.
Który bok trójkąta równobocznego można nazwać jego podstawą?
Jakie długości mają boki trójkąta równobocznego, którego obwód wynosi 18 cm?
Obwód trójkąta równoramiennego wynosi 20 cm. Oblicz długość podstawy
tego trójkąta, jeśli ramię ma podaną długość.
a ) 7 cm b ) 8 cm c ) 6,5 cm d ) 7,25 cm
166

18
Obwód trójkąta równoramiennego wynosi 15 cm. Oblicz długość ramienia
tego trójkąta, jeśli podstawa ma podaną długość.
a ) 7 cm b ) 0,5 dm c ) 0,03 m d ) 42 mm
Narysuj na kartce trójkąt równoramienny. Wytnij go. Sprawdź, manipulując
wyciętym trójkątem, że kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są
takie same.
W trójkącie równobocznym
wszystkie kąty są równe i mają
miarę 60°.
W trójkącie równoramiennym
kąty przy podstawie są równe.
60°
60° 60°
19
20
21
22
Kąt przy podstawie trójkąta
równoramiennego ma miarę 30°.
Jaką miarę ma kąt między ramionami? 30° 30°
Kąt między ramionami trójkąta
równoramiennego ma miarę 50°.
Jaką miarę mają kąty przy podstawie?
Trójkąt OPR jest trójkątem równoramiennym o podstawie OP. Oblicz miary
pozostałych kątów, jeżeli:
a ) OPR = 30°, b ) PRO = 30°, c ) ROP = 70°, d ) OPR = 26°.
Uzasadnij, że istnieją trójkąty:
a ) rozwartokątne równoramienne, b ) ostrokątne równoramienne.
W każdym przypadku narysuj kilka przykładów.
50°
167

19
Klasyfikacja trójkątów. Własności trójkątów
Czasami używamy słowa podstawa dla określenia jednego
boku dowolnego trójkąta, jeśli z jakiegoś powodu chcemy
wyróżnić ten bok, np. dlatego, że jest poziomy.
Kasia i Tomek mieli takie same zestawy patyczków: po trzy patyczki o długościach
1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm i 5 cm. Za pomocą trzech wybranych patyczków
próbowali wyznaczać różne trójkąty.
Kasia
Tomek
168

a ) Dlaczego z patyczków o długościach 1 cm, 1 cm i 3 cm nie da się wyznaczyć
trójkąta? Który z tych patyczków powinien być dłuższy i o ile centymetrów,
aby można było wyznaczyć z nich trójkąt?
b ) Podaj dwie inne trójki patyczków, za pomocą których nie da się wyznaczyć
trójkąta.
c ) Jaki warunek muszą spełniać długości odcinków, aby mogły być bokami
trójkąta?
Nierówność trójkąta
Suma długości dwóch dowolnych boków trójkąta jest większa od długości
trzeciego boku.
Przykład
4 cm
3 cm
5 cm
3 cm + 4 cm > 5 cm
3 cm + 5 cm > 4 cm
4 cm + 5 cm > 3 cm
23
Tadek i Maciek sprawdzali, czy istnieje trójkąt o bokach długości 2 cm, 3 cm,
6 cm. Który z nich poprawnie rozwiązał to zadanie? Dlaczego?
Tadek
6 cm + 3 cm > 2 cm
6 cm + 2 cm > 3 cm
2 cm + 3 cm < 6 cm
Odp. Taki trójkąt
nie istnieje.
Maciek
6 cm + 3 cm > 2 cm
6 cm + 2 cm > 3 cm
Odp. Taki trójkąt
istnieje.
169

19
Klasyfikacja trójkątów. Własności trójkątów
24
25
26
27
28
Sprawdź, czy trzy odcinki o podanych długościach mogą być bokami trójkąta.
a ) 1 cm, 3 cm, 4 cm
b ) 2 m, 3 m, 4 m
c ) 10 dm, 30 dm, 41 dm
d ) 13 dm, 13 cm, 13 m
Dana jest długość najdłuższego boku trójkąta. Jakie długości mogą mieć dwa
pozostałe boki tego trójkąta?
a ) 15 mm b ) 27 cm c ) 36 dm d ) 48 m
Dane są długości dwóch boków trójkąta. Jaką długość może mieć trzeci bok
tego trójkąta?
a ) 3 dm, 5 dm b ) 4 mm, 7 mm c ) 10 m, 30 m d ) 12 cm, 12 cm
Jaką długość mogą mieć boki trójkąta o podanym obwodzie?
a ) 39 cm b ) 42 mm c ) 60 m d ) 72 dm
Jeden z kątów trójkąta jest dwa razy mniejszy od drugiego
i jednocześnie trzy razy mniejszy od trzeciego. Podaj miary
kątów tego trójkąta.
Kąt dwa razy mniejszy to kąt o dwa razy mniejszej mierze.
29
Narysuj kilka trójkątów i przeprowadź dla nich opisany poniżej „dowód
zapałkowy” twierdzenia mówiącego, że suma miar kątów w trójkącie jest
równa 180°. Będziemy obracać zapałkę o odpowiednie kąty (patrz rys.).
● Zapałka jest w pozycji 1.
● Po obrocie o kąt zawarty między bokami a i b zapałka jest w pozycji 2.
● Po obrocie o kąt zawarty między bokami b i c zapałka jest w pozycji 3.
● Po obrocie o kąt zawarty między bokami c i a zapałka jest w pozycji 4.
Widać, że łebek zapałki w pozycji 4 i łebek zapałki w pozycji 1 wskazują przeciwne
końce odcinka, a to oznacza, że zapałkę obrócono o 180°.
b
a
c
2
b
c
a
1
170
b
a
c
3
b
a
4
c

I. Ustaw wzdłuż czerwonej linii lusterko. Spójrz na jedną część obrazka i jej
odbicie. Co widzisz? Podobnie zrób z drugą częścią obrazka.
a ) b )
Zaproponuj sposób wykonywania takich rysunków.
takiego rysunku?
Przygotuj podobny rysunek.
Jaką własność muszą mieć litery, które mogą posłużyć do wykonania
II. Jaki napis utworzą poniższa figura i jej lustrzane odbicie, jeśli lusterko
zostanie przyłożone wzdłuż czerwonej linii?
III. Przeczytaj informację w ramce i odpowiedz na pytania zamieszczone
pod ramką.
Oś symetrii to prosta dzieląca figurę na dwie części, z których jedna część jest
lustrzanym odbiciem drugiej części. Taką figurę nazywamy osiowosymetryczną.
Na którym rysunku, zaznaczono oś symetrii figury?
Która z figur na rysunkach jest osiowosymetryczna?
IV. Czy zaznaczona prosta jest osią symetrii napisu? Sprawdź poprawność
odpowiedzi za pomocą lusterka.
V. Które z zapisanych poniżej cyfr są osiowosymetryczne?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
VI. Ile osi symetrii ma cyfra 0? A cyfra 8?
171

19
Klasyfikacja trójkątów. Własności trójkątów
VII
VII. Która z narysowanych prostych jest osią symetrii figury? Przyłóż lusterko
i sprawdź poprawność swojej odpowiedzi.
a )
b )
c )
c
f
i
a
b
d
e
g
h
VIII. Zakryto fragment wielokąta, którego osią symetrii jest prosta p. Ile kątów
ma ten wielokąt?
p p p
IX. Ile najmniej odcinków trzeba narysować, aby figura była
osiowosymetryczna?
a ) b )
Przygotuj dodatek do gazetki szkolnej pt. Zagadki matematyczne –
z lusterkiem w ręku. Wymyśl zadania (mogą być analogiczne do tych powyżej).
Rysunki możesz przygotować w programie komputerowym. Zaprojektuj ich
układ.
Wykonaj odpowiednie rysunki, skorzystaj z lusterka, które trójkąty mają osie
symetrii. Ile ich mają? Przygotuj plakat – Liczba osi symetrii trójkątów.
172

Zbadaj na przykładach, czy prawdą jest, że w trójkącie naprzeciwko najdłuższego
boku jest kąt trójkąta o największej mierze, a naprzeciwko najkrótszego boku
– kąt o najmniejszej mierze.
CO UMIEM?
1.
a)
b)
c )
2.
I
II
III
IV
3.
4.
a)
b)
173

Czy już to umiem?
Na rysunku przedstawiono cztery proste
k, p, m i n. Proste m i n są równoległe.
a ) Wskaż na rysunku kąty o takiej samej
mierze.
b ) Odczytaj dane z rysunku i oblicz miarę
każdego z kątów czworokąta wyznaczonego
przez proste k, p, m i n.
130°
k
30°
n
m
p
a)
W
S
D
X
R
C
Y
A
ra prcnaca pr rn
m n naca d cr
rn mr:

)
X
Y
130°
A
k
B
Z p
m
P
Wskaż kąty równe kątom
o danej mierze. Skorzystaj
z punktu a.
W
S
D
cra :

2
Odczytaj dane z rysunku i oblicz
miary kątów ostrych utworzonych
150°
przez trzy proste. 70°
3
4
Jeden z kątów trapezu równoramiennego ma miarę 127°. Wyznacz miary
pozostałych kątów tego trapezu.
Kąty przy dłuższej podstawie trapezu mają 34° i 70°. Wyznacz miary pozostałych
kątów tego trapezu.
D
C
Czworokąt ABCD tworzą dwa takie same trójkąty.
74°
Odczytaj z rysunku potrzebne dane i wskaż odcinki
równoległe.
56° 74°
A
B

5
Dwie proste równoległe m i n przecięto
czterema prostymi f, h, k i l tak,
jak na rysunku. Środkiem okręgu jest
punkt przecięcia prostych k i n. Odczytaj
z rysunku potrzebne dane i wskaż
proste równoległe.
Rozwiąż zadanie, wykonując kolejne
polecenia.
Przeanalizuj
rysunek.
Nazwij wierzchołki trójkątów.
Wyznacz miary kątów narysowanych
trójkątów.
Wskaż proste równoległe.
f
60°
60°
h
110°
k
m
n
l
6
Odczytaj dane z rysunku i oblicz
miary kątów trójkąta wyznaczonego
przez narysowane proste.
100°
Dwie pary prostych równoległych przecinają się, wyznaczając równoległobok,
w którym jeden kąt ma miarę dwa razy większą niż drugi. Oblicz miary kątów
tego równoległoboku.
+ = 180
Ile wynosi suma miar sąsiednich
kątów równoległoboku?
Ile stopni ma kąt, który jest trzy
razy większy od mniejszego kąta
równoległoboku?
3 = 180
Oblicz miarę mniejszego kąta.
= 180 : 3 = 60
= 60 2 = 120
Oblicz miarę większego kąta.
Sformułuj odpowiedź.
dp. rnu ma mar 60 120.
277

7
8
9
10
Kąt przy dolnej podstawie trapezu równoramiennego ma miarę o 50° mniejszą
niż przy górnej. Oblicz miary kątów tego trapezu.
Rozwiąż zadanie, wykonując kolejne polecenia.
Ile wynosi suma miar kątów przy jednym ramieniu trapezu?
Ile stopni mają w sumie dwa mniejsze kąty?
Oblicz miarę mniejszego kąta.
Oblicz miarę większego kąta.
Sformułuj odpowiedź.
Jeden kąt równoległoboku ma miarę o 30° większą od miary drugiego. Oblicz
miary kątów tego równoległoboku.
Romb ma jeden kąt trzykrotnie większy niż drugi. Oblicz miary kątów tego
rombu.
Jeden z kątów trójkąta ma miarę o 10° mniejszą od miary drugiego i jednocześnie
o 10° większą od miary trzeciego. Oblicz miary kątów tego trójkąta.
Plan domu państwa Kowalskich jest wykonany w skali 1 : 50.
a ) Korytarz ma mieć 4 m długości. Oblicz długość tego korytarza na planie.
b ) Szerokość schodów na planie jest równa 4 cm. Jakiej szerokości będą
schody w domu wybudowanym na podstawie tego planu?
aa 1 : 50
4 m – du rara rcc
4 cm – r cd na pan
Saa 1 : 50 naca, na pan
ad mar mnn 50 ra.
4 m = 400 cm
a 400 cm : 50 = 8 cm
4 cm · 50 = 200 cm = 2 m
Wypisz dane z treści zadania.
Co oznacza skala 1 : 50?
Zamień jednostki tak, aby łatwo
było wykonać działania.
Wykonaj odpowiednie obliczenia.
Jeśli potrzeba, zamień także
jednostki otrzymanych wyników.
Sformułuj odpowiedź.
dp. a rar na pan ma du 8 cm.
Scd udnu d ma 2 m rc.
278

11
Plan Płocka wykonano w skali 1 : 18500. Na planie odległość między zoo a katedrą
(w której spoczywają królowie Polski z okresu rozbicia dzielnicowego)
wynosi 6 cm. Jaką odległość trzeba pokonać, aby dojść z zoo do katedry?
Rozwiąż zadanie, wykonując kolejne polecenia.
Wypisz dane z treści zadania.
Co oznacza skala 1 : 18 500?
Wykonaj odpowiednie obliczenia.
Dokonaj zamiany jednostek.
Sformułuj odpowiedź.
12
13
Model jednego z najpopularniejszych
lotniskowców typu Nimitz
jest wykonany w skali 1 : 1000.
a ) Model ma 33 cm długości. Jaka
jest długość tego lotniskowca?
b ) Szerokość tego lotniskowca
w rzeczywistości wynosi 40 m.
Jaką szerokość ma model tego
lotniskowca?
Na mapie Puszczy Augustowskiej, wykonanej w skali 1 : 70 000, jezioro Sajno
ma 11 cm długości, a jezioro Sajenko – 2 cm. Jezioro Sajenek, łączące jeziora
Sajno i Sajenko, ma w terenie długość 1400 m.
a ) Jaka jest długość jeziora Sajno?
b ) Ile czasu potrzebują turyści, aby przepłynąć kajakiem całą długość jeziora
Sajno, jeśli płyną z prędkością średnią 3 km h ?
c ) Jaką długość będzie miało jezioro Sajenek na mapie wykonanej w skali
1 : 35 000?
d ) O ile metrów krótsze jest jezioro Sajenek od jeziora Sajno?
e ) Oblicz łączną długość tych trzech połączonych jezior.
f ) Ile czasu potrzebują kajakarze na przepłynięcie trasy biegnącej przez
jeziora Sajno, Sajenek i Sajenko?
279

Jedna z dróg łączących Szczecin z Toruniem ma 320 km. Na pewnej mapie ta
droga ma długość 16 cm. W jakiej skali wykonano mapę?
Wypisz dane z treści zadania.
320 m – d Sccn–ru
rcc
16 cm – d Sccn–ru
na map
320 m = 32 000 000 cm
32 000 000 cm : 16 cm = 2 000 000
Odległość na mapie
i w rzeczywistości podaj w tych
samych jednostkach.
Oblicz, ile razy krótszy jest
odcinek na mapie od odcinka
w terenie.
Zapisz uzyskaną zależność
w postaci skali.
1 : 2 000 000
Sformułuj odpowiedź.
dp. ap nan a 1 : 2 000 000.
14
15
Trasa 14-kilometrowej wycieczki na mapie ma długość 28 cm. Jaka jest skala
tej mapy?
Rozwiąż zadanie, wykonując kolejne polecenia.
Wypisz dane z treści zadania.
Odległość na mapie i w rzeczywistości podaj w tych samych jednostkach.
Oblicz, ile razy krótszy jest odcinek na mapie od odcinka w terenie.
Przedstaw uzyskaną zależność w postaci skali.
Sformułuj odpowiedź.
Największy używany samolot świata AN-225 Mrija ma 84 m długości.
W jakiej skali został wykonany jego model, jeżeli ma on długość 21 cm?
Jaka jest rozpiętość skrzydeł tego modelu, jeżeli rozpiętość skrzydeł samolotu
wynosi 88 m?
280

16
Jacek przejechał na rowerze trasę długości 18 km. Na mapie trasę tę przedstawia
pętla o długości 3 cm 6 mm. W jakiej skali została wykonana mapa?
Obwód ściany sześcianu wynosi 12 cm. Oblicz sumę długości wszystkich jego
krawędzi.
Oblicz długość jednej
krawędzi sześcianu.
12 cm : 4 = 3 cm
Ile krawędzi ma sześcian?
12 – ca rad canu
3 cm · 12 = 36 cm
dp. Suma duc c
rad canu n 36 cm.
Oblicz sumę długości
wszystkich krawędzi.
Sformułuj odpowiedź.
17
18
19
20
21
Pole ściany sześcianu wynosi 25 cm 2 . Oblicz sumę długości wszystkich jego
krawędzi.
Rozwiąż zadanie, wykonując kolejne polecenia.
Oblicz długość jednej krawędzi sześcianu.
Ile krawędzi ma sześcian?
Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi.
Sformułuj odpowiedź.
Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu wynosi 96 cm. Oblicz obwód
ściany sześcianu.
Krawędź sześcianu ma 8 cm. Oblicz:
a ) obwód ściany sześcianu,
b ) sumę długości wszystkich krawędzi.
Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu wynosi 60 cm. Oblicz pole
jednej jego ściany.
Z drutu o długości 120 cm Jacek chce wykonać model przedstawiający szkielet
sześcianu o wymiarach, z których każdy ma być całkowitą liczbą centymetrów.
Jakie wymiary może mieć ten model?
281

22
W klocku sześciennym suma długości wszystkich krawędzi jest równa
36 cm. Z 12 takich klocków zbudowano prostopadłościan – jak na rysunku.
Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu.
23
24
25
26
Szkielet modelu prostopadłościanu, wykonany z drutu, ma krawędzie długości
18 cm, 22 cm, 30 cm. Oblicz, ile drutu potrzeba na wykonanie takiego szkieletu.
Dwa sześciany o krawędzi 3 cm postawiono jeden na drugim. W ten sposób
utworzono prostopadłościan. O ile większa jest suma długości krawędzi prostopadłościanu
niż sześcianu?
Dwa takie same sześciany połączono ścianami. W ten sposób utworzono prostopadłościan.
Prostopadłościan ten został pomalowany. Ile ścian sześcianów
pomalowano? A ile ścian sześcianów zostało niepomalowanych?
Ile różnych prostopadłościanów można ułożyć z 12 sześciennych klocków,
jeżeli za każdym razem musimy wykorzystać wszystkie klocki?
27
28
W prostopadłościanie krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka mają
długości, które wyrażone w centymetrach są kolejnymi liczbami naturalnymi.
Oblicz objętość tego prostopadłościanu, jeśli suma długości wszystkich jego
krawędzi jest równa 60 cm.
Z ilu sześciennych kostek o krawędzi 1 ułożono prostopadłościan o sumie
krawędzi 40, jeśli długość jednej krawędzi jest równa sumie długości dwóch
innych wychodzących z tego samego wierzchołka?
282

Potrafię więcej, umiem lepiej
1
2
Rodzaje kątów, własności miarowe kątów
Na dwóch prostych równoległych zaznaczono pięć punktów: na jednej dwa, a na
drugiej trzy, a następnie budowano trójkąty o wierzchołkach w tych punktach.
Określ, jak położone musiały być punkty, jeśli utworzono w ten sposób dwie
pary trójkątów, które mają jeden kąt o tej samej mierze?
Na podstawie danych z rysunku wyznacz miary kątów α, β, γ.
a )
b )
10°
13°
β
β
γ
67°
α
γ
71°
α
18°
3
Plan, mapa, skala
Ile arów ma powierzchnia każdej z działek przedstawionych na planie?
I
II
III
V
IV
1 cm
VI
VII
4
5
1 : 1000
Kwadratowa działka ma powierzchnię 10 000 m 2 . Jaki obwód ma ta działka
na planie w skali 1 : 100? A jaką ma powierzchnię?
Kąt wklęsły podzielono na trzy kąty, z których pierwszy jest o tyle samo mniejszy
od drugiego, co drugi od trzeciego. Narysuj takie trzy kąty, jeśli drugi
z nich jest kątem:
a ) ostrym, b ) prostym, c ) rozwartym.
283

6
Poniżej podano wymiary arkuszy papieru różnych formatów – wyrażone
w milimetrach są zawsze liczbami naturalnymi. Arkusz kolejnego formatu
to połowa poprzedniego arkusza. Aby znaleźć dokładne wymiary kolejnego
arkusza, należy mniejszy wymiar poprzedniego arkusza zostawić bez zmian,
a większy podzielić przez 2, a następnie otrzymaną długość podać w przybliżeniu
z niedomiarem do 1 mm.
a ) W jakiej skali arkusz formatu A0 jest pomniejszeniem arkusza formatu 4A0?
b ) W jakiej skali arkusz formatu A4 jest pomniejszeniem arkusza formatu A2?
c ) W jakiej skali arkusz formatu A7 jest pomniejszeniem arkusza formatu A5?
d ) Wyznacz wymiary arkusza formatu A10.
Symbol
formatu
Wymiary
arkusza w mm
4A0 1682 × 2378
2A0 1189 × 1682
A0 841 × 1189
A1 594 × 841
A2 420 × 594
A3 297 × 420
A4 210 × 297
A5 148 × 210
A6 105 × 148
A7 74 × 105
A8 52 × 74
A8
A7
A5
A6
A3
A4
A0
A1
A2
7
8
Prostopadłościan, sześcian
Wskaż takie cztery krawędzie prostopadłościanu, spośród których żadne dwie
nie mają punktów wspólnych. Ile jest takich czwórek krawędzi?
Jedna ze ścian prostopadłościanu jest kwadratem. Długości krawędzi prostopadłościanu
wyrażone w centymetrach są liczbami naturalnymi. Suma długości
krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka tego prostopadłościanu jest
równa 10 cm. Ile jest takich prostopadłościanów o różnych wymiarach?
284