Matematyka klasa 8 podręcznik

MATEMATYKA
8

Adam Makowski, Tomasz Masłowski, Anna Toruńska
MATEMATYKA
8

Spis treści .................................
Wstęp ........................................ 5
O podręczniku ............................... 6
Dział 1. Pierwiastki .......................... 7
1.1. Pierwiastek kwadratowy ................. 9
1.2. Pierwiastek sześcienny ................... 18
1.3. Pierwiastek z iloczynu i ilorazu............ 24
1.4. Działania na pierwiastkach ............... 31
Podsumowanie działu 1. .................... 36
Dział 2. Twierdzenie Pitagorasa ............. 39
2.1. Twierdzenie Pitagorasa ................... 41
2.2. Przekątna kwadratu.
Trójkąty o kątach 45°, 45°, 90°............. 52
2.3. Wysokość trójkąta równobocznego.
Trójkąty o kątach 30°, 60°, 90°............. 58
2.4. Zastosowania twierdzenia Pitagorasa..... 65
Podsumowanie działu 2. .................... 72
Dział 3. Graniastosłupy...................... 77
Graniastosłupy – infografika ................... 78
3.1. Własności graniastosłupów............... 81
3.2. Pole powierzchni graniastosłupa ......... 87
3.3. Objętość graniastosłupa.................. 92
3.4. Odcinki i kąty w graniastosłupach ........ 98
Podsumowanie działu 3. .................... 106
Dział 4. Ostrosłupy .......................... 111
4.1. Własności ostrosłupów................... 113
4.2. Pole powierzchni ostrosłupa ............. 121
4.3. Objętość ostrosłupa...................... 125
4.4. Odcinki i kąty w ostrosłupach ............ 130
Podsumowanie działu 4. .................... 136

Dział 5. Statystyka i rachunek
prawdopodobieństwa .............. 139
Wykresy i diagramy – infografika............... 140
5.1. Statystyka................................ 143
5.2. Wprowadzenie do kombinatoryki
i rachunku prawdopodobieństwa ........ 159
Podsumowanie działu 5. .................... 172
Dział 6. Powtórzenie......................... 179
6.1. Liczby.................................... 180
6.2. Procenty ................................. 187
6.3. Wyrażenia algebraiczne .................. 193
6.4. Równania ................................ 198
6.5. Potęgi.................................... 203
6.6. Pierwiastki ............................... 208
6.7. Figury płaskie ............................ 213
6.8. Graniastosłupy i ostrosłupy ............... 223
6.9. Statystyka i rachunek
prawdopodobieństwa ................... 230
Podsumowanie działu 6. .................... 236
Dział 7. Koło i okrąg ......................... 241
7.1. Liczba π.................................. 243
7.2. Długość okręgu .......................... 248
7.3. Pole koła ................................. 253
Podsumowanie działu 7. .................... 260
Dział 8. Kombinatoryka i rachunek
prawdopodobieństwa .............. 265
8.1. Kombinatoryka .......................... 267
8.2. Rachunek prawdopodobieństwa ......... 275
Podsumowanie działu 8. .................... 283
Dział 9. Symetrie ............................ 287
9.1. Symetria osiowa ......................... 289
9.2. Symetria środkowa....................... 300
9.3. Symetralna odcinka i dwusieczna kąta.... 310
Podsumowanie działu 9. .................... 321
Odpowiedzi ................................. 325
Indeks polsko-angielski ..................... 343

Wstęp
Drodzy Uczniowie!
-
z matematyki.
-
Autorzy i redakcja

O podręczniku
Podręcznik składa się z dziewięciu rozdziałów, a każdy z nich – z kilku tematów.
Kombinatoryka
8
i rachunek
1
4
7
prawdopodobieństwa
5.1 Statystyka
Z tego tematu dowiesz się:
czym zajmuje się statystyka,
jak interpretować dane przedstawione za pomocą tabel, diagramów słupkowych i kołowych,
wykresów,
jak tworzyć diagramy słupkowe i kołowe oraz wykresy liniowe,
jak obliczać średnią arytmetyczną.
Statystyka
i
statistics
z
z z
i i na -
za
–
za
4.1 Własności ostrosłupów
Z tego tematu dowiesz się:
co to jest ostrosłup prawidłowy,
jak rysować ostrosłupy,
jak rysować siatki ostrosłupów,
jakie własności mają ostrosłupy prawidłowe.
w którym wszystkie
o -
pyramid
Zauważmy, że spodek wysokości ostrosłupa może leżeć wewnątrz podstawy, na krawędzi
podstawy lub poza podstawą.
Wysokość ostrosłupa jest prostopadła do jego podstawy.
Inspirujące strony
działowe opisują
praktyczne zastosowanie
matematyki.
Z tego tematu dowiesz
się to lista zagadnień, jakie
poznasz na lekcjach.
Ważne informacje zostały
zamieszczone w ramkach.
Wybrane pojęcia są podane
w języku angielskim.
162 5. STATYSTYKA I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
258 7. KOŁO I OKRĄG
PODSUMOWANIE DZIAŁU 9
321
ĆWICZENIE 3.
a) A
b) B
c) C
PRZYKŁAD 4.
-
a) A
b) B
c) C
d) D
16 z
10 cm, 20 cm, 30 cm, 40 cm 50
z za-
17 Na -
-
18
4 cm.
19
Zanim przystąpisz do rozwiązywania zadań, sprawdź, czy umiesz odpowiedzieć
na poniższe pytania.
Kiedy dwa punkty są symetryczne względem prostej?
Kiedy dwa punkty są symetryczne względem innego punktu?
Co to jest figura osiowosymetryczna?
Co to jest figura środkowosymetryczna?
Czy figura może mieć kilka osi symetrii?
Czy figura może mieć kilka środków symetrii?
Co to są symetralna odcinka oraz dwusieczna kąta?
Jak skonstruować symetralną odcinka oraz dwusieczną kąta?
W zadaniach 1.–3. wybierz poprawną odpowiedź spośród podanych.
1
A. B. C. D.
Rozwiązanie:
5 + 8 + 7 = 20
a)
5 20
b)
8 20
20 -
2
A. B. C. D.
c)
7
20
d)20 − 5 = 15
15
20
-
A
n -
N
N
n
PA ( ) =
N
n
p =
N
probability
21 -
z a
-
3
A. B. C. D.
4
I. PRAWDA / FAŁSZ
II.
PRAWDA / FAŁSZ
III.
PRAWDA / FAŁSZ
IV.
PRAWDA / FAŁSZ
Przykłady rozwiązane
krok po kroku pomagają
w zrozumieniu problemu.
Ćwiczenia umożliwiają
samodzielny trening.
Duża liczba ciekawych
zadań, o bliskiej Ci tematyce,
umożliwia wyćwiczenie
wymaganych umiejętności.
Podsumowanie, zawierające
pytania i zadania różnych
typów, pomaga powtórzyć
i utrwalić materiał.
Pamiętaj, jest to podręcznik wieloletni, dlatego nie pisz po nim – wszystkie rozwiązania zapisuj
w zeszycie.

1
Pierwiastki
40 cm 2 6 cm
2 ?
2 .
2 .
2
7 cm
2
40 cm 2
6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 7,0
2 36,00 37,21 38,44 39,69 40,96 42,25 43,56 44,89 46,24 47,61 49,00
2 .

8
CZY PAMIETASZ?
Oblicz kwadraty kolejnych liczb naturalnych od 1 do 20.
do 10.
Oblicz: 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 5 , 2 6 , 2 7 , 2 8 , 2 9 , 2 10 .
1
( ) , 2 2
3
( ) , 2 3
(
3) , 2 4
(
3) , 2 5
(
3) .
Oblicz: 2 3
Oblicz: 15 , 1 ; 15 , 2 ; 15 , 3 ; 15 , 4 ; 15 , 5 .
Oblicz pole kwadratu o
a) 17 cm b) 1,7 cm c) 170 cm
o
a) 5 cm b) 1 1 cm c) 1,5 cm
3
.
a) 121 b) 1,21 c) 12 100
a) 64 b) 0,064 c) 64 000
a) Ile razy liczba 345 2 345 , 2 ?
b) Ile razy liczba 345 3 345 , 3 ?

1.1 Pierwiastek kwadratowy
Z tego tematu dowiesz się:
jak obliczać pierwiastki kwadratowe z liczb, które są kwadratami liczb wymiernych,
jak szacować wielkość pierwiastków kwadratowych oraz wyrażeń arytmetycznych
zawierających pierwiastki,
jak porównywać wyrażenia zawierające pierwiastki kwadratowe z liczbami wymiernymi.
PRZYKŁAD 1.
garowi
i z
zapisano kolejne godziny.
Rozwiązanie:
Na tarczy zegara pod symbolem zapisano
godziny podniesione do kwadratu,
na
4 = 2 2 2 = 4
36 = 6 6 2 = 36
81 = 9 9 2 = 81
144 = 12 12 2 = 144
144
121 1
100
4
81 9
64
16
49 25
36
z liczby nieujemnej a nazywamy
a.
symbol pierwiastka
kwadratowego
a
liczba podpierwiastkowa
(nieujemna)
pierwiastek kwadratowy z a
square root of a
ĆWICZENIE 1.
z
a) 1 b) 9 c) 16 d) 25
e) 49 f) 64 g) 100 h) 121

10 1. PIERWIASTKI
Symbol pierwiastka kwadratowego po raz pierwszy ukazał się w druku
w artykule z dziedziny algebry w 1525 r. Prawdopodobnie jego postać
pochodzi od litery „r”, pierwszej litery łacińskiego słowa radix określającego
pierwiastkowanie.
Na początku zapisywano ten symbol bez poziomej kreski nad liczbami – taki
zapis można było spotkać jeszcze do niedawna w książkach anglojęzycznych.
Obliczanie pierwiastka z do
a 0, b 0, to zapisy a = bi b 2 = a
b jest pierwiastkiem drugiego stopnia z liczby a.
PRZYKŁAD 2.
Wyznaczmy.
a) 169 b) 225 c) 900
Rozwiązanie:
a) 169 , musimy
podniesieniu do
13 2 = 169. Zatem
169 = 13.
b) do
15 2 = 225. Wobec tego 225 = 15.
c) 3 2 = 9, zatem 30 2 = 900 900 = 30.
Mimo że liczba 169 jest kwadratem
zarówno liczby 13, jak i (–13), to 169
nie może być równy (–13), ponieważ
(–13) jest liczbą ujemną.
0 = 00 2 = 0, 1 = 11 2 = 1.
ĆWICZENIE 2.
Wyznacz.
a) 196 b) 256 c) 400
z
z i
PRZYKŁAD 3.
Wyznaczmy.
a) 016 , b) 361 , c)
36
121
d)
44
99
e) 3 1
16

1.1. Pierwiastek kwadratowy
11
Rozwiązanie:
a) 4 2 = 16, zatem ( 04 ,) 2 = 016 , . Otrzymujemy 016 , = 04 , .
b) 19 2 = 361, zatem ( 19 , ) 2 = 361 , . Otrzymujemy 361 , = 19 , .
c) 6 2 = 36oraz 11 2 2
6 36
36 6
= 121, zatem (
11) = . Otrzymujemy = .
121
121 11
d) 44 4⋅11
4
= = oraz 4 2
2
=
99 9⋅11
9 9 (
3) . Otrzymujemy 44 4 2
= = .
99 9 3
e) 3 1
2
49 7
= =
16 16 (
4 )
1 49 3
. Otrzymujemy 3 = = 1 .
16 16 4
ĆWICZENIE 3.
Wyznacz.
a) 081 , b) 196 , c)
16
169
d)
50
162
e) 2 2 49
PRZYKŁAD 4.
Obliczmy.
a) 37 2 2 2
b) 13 ⋅ 11
c) 2⋅2⋅3⋅3⋅3⋅3⋅7⋅
7
d) ( −23)
2 e) 2704 f) 3 9
Rozwiązanie:
a) 37 2 = 37
2 2 2 2
b) 13 ⋅ 11 = ( 13 ⋅ 11) = ( 143)
= 143
Jeśli a 0, to a 2 = a.
2 2 2
c) 2⋅2⋅3⋅3⋅3⋅3⋅7⋅ 7 = ( 2⋅3 ⋅ 7)
= 2⋅3 ⋅ 7 = 126
d)
2
( − 23)
= 23
2 ,
2 2
zatem ( − 23)
= 23 = 23.
e) 2704na czynniki pierwsze: 2704 = 2⋅2⋅2⋅2⋅13⋅ 13, zatem
4 2 2 2 2
2704 = 2 ⋅ 13 = ( 2 ⋅ 13) = 2 ⋅ 13 = 52.
f) 3 9 = 3⋅ 3 = 9 = 3
Uwaga: a 2 = a,
np.
2
( − 23) = − 23 = 23.
ĆWICZENIE 4.
Oblicz.
a) 73 2 2 2
b) 19 ⋅ 3
c) 2⋅2⋅2⋅2⋅11⋅11
d) ( −113)
2 e) 5625 f) 2 4

12 1. PIERWIASTKI
PRZYKŁAD 5.
a) 52 b) 3579
Rozwiązanie:
a) 7 2 = 49 jest mniejsza od 52, natomiast liczba 8 2 = 64 jest
7 52 8.
b) 60 2 = 360059 2 = 3481
jest mniejsza od 3579. Zatem 59 3579 60.
ĆWICZENIE 5.
a) 79 b) 2525
w
i
czone
okresowe.
2
w w sposób
w w którym licznik i mia-
.
SPRAWDŹ W INTERNECIE
Liczba 2 jest liczbą niewymierną. Poszukaj w internecie dowodu na to, że 2 nie
uda się zapisać w postaci ułamka.
PRZYKŁAD 6.
z
a) 3232 b) 108 634
Rozwiązanie:
a)
0, 1, 4, 5, 6 i
liczby naturalnej, czyli 3232
b)
POMYŚL
Jaka jest
cecha podzielności
liczb przez 4?

1.1. Pierwiastek kwadratowy
13
ĆWICZENIE 6.
z
a) 7568 b) 345 126
PRZYKŁAD 7.
Wyznaczmy pierwiastek kwadratowy z podanej liczby.
a) 1849 b) 13 456
Rozwiązanie:
a)
1849 1600 = 40 2 oraz 1849 2500 = 50 2 .
a
47 2 = 2209 oraz
43 2 = 1849. Wobec tego 1849 = 43.
b) C
13 456 12100 = 110 2 oraz 13 456 14 400 = 120 2 .
114 2 = 12 996 oraz 116 2 = 13 456 13 456 = 116.
ĆWICZENIE 7.
Wyznacz pierwiastek kwadratowy
z podanej liczby.
a) 3364 b) 22 801
PRZYKŁAD 8.
( ) n dla n = 2 3 4 10
Obliczmy 3 , , , .
Rozwiązanie:
3
2
( ) =
3 3
( ) = ( ) ⋅ ( ) = ⋅ =
( ) = ( ) ⋅ ( ) = ⋅ =
(
10 2 5 5
3) =
⎛
3
⎞
⎜( ) ⎟ = 3 = 243
3 2
3 3 3 3 3 3 3
4 2 2
3 3 3 3 3 9
⎝
⎠
SPRAWDŹ W INTERNECIE
Poszukaj pisemnego
algorytmu obliczania pierwiastka
drugiego stopnia z dowolną
dokładnością.
Korzystamy z własności iloczynu
potęg o tej samej podstawie.
Korzystamy z własności potęgi
potęgi.
ĆWICZENIE 8.
Oblicz
⎛
⎝
⎜
n
1⎞
2⎠
⎟
dla n = 2, 3, 4, 5, 6, 12.

14 1. PIERWIASTKI
ZADANIA
1 Oblicz.
a) 1600 b) 12 100 c) 10000 d)
f)
169
400
k) 3 1
16
p)
18
98
g)
196
9
h) 1 24
25
4
25
i) 5 4 9
e)
36
49
j) 2 46
49
l) 009 , m) 0, 0004 n) 144 , o) 0,
0169
r)
20
180
s) 1 18
32
2 Oblicz.
a) 81 + 9
b) 64 − 25
t) 2 7 28
c) 49 + 36 − 25
d) 100 ⋅ 16 − 121
e) 5 144 − 64 ⋅ 81
f) 3 169 − 4 100
g) ( 4 49 − 3 25): 169
h) ( 2 64 + 36):
121
3 Oblicz.
u) 1 22
50
1 27
a) 1− ⋅ 1 b) 16 −16 ⋅ 5 1 c) 2 2 1 9
7 169
16
+ ⋅ 16
d) 4 1
4
5 11
+ ⋅
49
1
1
1
4 Oblicz: 2 ⋅ 0, 04 + 3 ⋅ 0, 09 − 6 ⋅ 0, 36.
2
3
6
5 na czynniki, a
a) 441 b) 1764 c) 2025 d) 2304
6 Oblicz.
a) 7 4 b) 3 8 c) ( −19)
2 d) ( −3)
6
8 4
2 2
10 10
e) 2 ⋅ 3
f) 11 ⋅ 17 g) 5 ⋅ 2
h) 2 ⋅3 ⋅5
3 5
4 2 4
i) 6⋅10⋅ 15 j) 21 ⋅33 ⋅ 77 k) 2 ⋅3 ⋅ 6 l) 14 ⋅2 ⋅7
7 do 2 141 , oraz
3 173 , .
a) 2 − 2
b) 2 2 c) 3+
3
d) 3 3 e)
2
2
f)
3
3
5

1.1. Pierwiastek kwadratowy
15
8
Na 18, 33 − 3,
2 3, 1 2 10
9
a) a = 5 b) b = 10 c) c = 3 7
d) d = 15 ,
10 x
a) x 2 = 64
b) x 2 4
= c) x = 11 d) x = 7
81
11
a) x 10 b) x 100 c) x 1000 d) x 10000
12
z
a) x 20 b) x 200 c) x 2000 d) x 20000
13 Niech a = 48 oraz b = 12. Oblicz.
a) a − b
b) a + b + 21 c) a⋅ b
d) b − ( 2a
−1)
14 x z równania.
a) x 12
= b) 8 x
= c)
3 x
x 2
x
88
= 22
x
d) x 6
=
7 x
15 w
a) P = a 2 , a b) E = mc 2 2
gt
, c c) s = t
2 , d) W = GmM ,
2 r r
16 Heron z w I na
P = p( p − a)( p − b)( p − c), gdzie a, b, c
a p
14 cm oraz 15 cm.
17 Wyznacz obwód kwadratu o polu 196 cm 2 .
18 Która z o wymiarach 3 cm × 7 cm czy kwadrat
o
2

16 1. PIERWIASTKI
19 Ile razy obwód kwadratu, którego pole wynosi 100 cm 2
kwadratu o polu 4 cm 2 ?
20 Pole kwadratu ABCD wynosi 144 cm . Punkty E, F,
G, HABCD. Oblicz obwód
EFGH.
21 Czy do o powierzchni
200 m 2
22 99 a 999z kal-
23 -
z
a) 500 b) 600 c) 700 d) 800
24
a) 765432 b) 123450
25 Bez korzystania z
a) 34 , 12 35 ,
b) 37 , 15 38 ,
26 Oblicz.
a) 5 25 b) 7 49
c) 9 16 d) 16 8 4
e) 1+ 7 25
f) 9 36 − 5
g) 11 4 + 9
h) 12 49 + 4 16
2
27 Dla n = 3, 4, 6, 9, 12 oblicz n
a) ( 2) n n
⎛ 2⎞
b)
⎝
⎜
3⎠
⎟
28 Oblicz.
a)
⎛
⎝
⎜
6
1 ⎞
7 ⎠
⎟
( ) c) ( 15 , ) 8
d)
b) 10
10
⎛
⎝
⎜
6
3⎞
4⎠
⎟
29
kwadratowego z tej liczby.

1.1. Pierwiastek kwadratowy
17
30 Niech x, ya n
a) x 2n
n
b) x y
4 2n
c)
6n
x
4n
y
10n
4n
d) x ⋅ x
31 Oblicz pierwiastek kwadratowy z liczby zapisanej w
a) 4⋅ 10 12
b) 196 , ⋅ 10 8
32 1 234 567 891 011 121 314
33
a)
28
0,( 7)
b) 0,( 3) ⋅ 0,( 1)
c) 3⋅ 0,( 3) + 30⋅0, 0( 3)
CZY JUŻ POTRAFISZ?
1
A. 216 B. 121 , C. 196 D. 250
2 nie jest
A. 625 , B. 11 1 9
C.
28
63
D. 36 ,
3 Oblicz 7⋅2 ⋅ 14.
5
4 2018.
5 w

36
PODSUMOWANIE DZIAŁU 1
Zanim przystąpisz do rozwiązywania zadań, sprawdź, czy umiesz odpowiedzieć
na poniższe pytania.
Jak obliczyć pierwiastki kwadratowe z liczb będących kwadratami liczb wymiernych?
Jak obliczyć pierwiastki sześcienne z liczb będących sześcianami liczb wymiernych?
Jak oszacować wyrażenia arytmetyczne zawierające pierwiastki?
Jak obliczyć pierwiastek z iloczynu i ilorazu dwóch liczb?
Jak wyłączyć liczbę przed pierwiastek?
Jak włączyć liczbę pod pierwiastek?
Jak usunąć niewymierność z mianownika ułamka?
W zadaniach 1.–4. dokończ zdania tak, aby były prawdziwe.
3
1 Liczba 64 − 64 jest równa
A. 0 B. C. 2 D. 4
2 Liczba 1 7 9 jest
A. mniejsza od 1. B. równa 1 1 . C. równa 1,5. D.
3
3
3 Liczba 225 jest
A. równa 5. B. mniejsza od 6. C. D. równa 15.
2 54
4 jest równe
2 ⋅ 3
A. 6 B. 18 C. 6 2 D. 6 3
5 Oblicz.
a) 625 , b) 12, 25
c) 20, 25
d) 30,
25
6 Oblicz.
a) 3 3 3 b) 3 15 5 c) 3 12 19
d) 3 42 7 8
8
27
8
7 Oblicz.
a) 10 12 b) 144 , ⋅ 10 12 c) 3 10 12
d) 3 1, 728 ⋅ 10 12
8
a) 250 b) 350 c) 450 d) 550
9 Oblicz.
3
3
a) 16 + 9
b) 100 − 64 c) 9 − 1
d) 36 − 9
10 Oblicz.
3
a) 1600 + 900 b) 1− 0, 64 c) 9000 − 1000 d) 3 36000 − 9000
11 12345 3 z kal-

37
12
a) 10 0, 02 b) 5 0, 4
c) 23 05 , d) 53 0,
04
13
a) 2000 b) 018 , c) 3 40000 d)
3
0,
024
14 7 2, ale mniejsza od 6 3.
15 do 004 , ,
3
0, 125, 3
0, 027, 064 , .
16 w postaci jednego pierwiastka.
3
21
3 3
81
a) 5 ⋅ 7
b)
c) 9 ⋅ 4
d)
3
3
9
17 Oblicz.
a) 24 ⋅ 6 − 24 : 6
b) 18 : 2 − 18 ⋅ 2
c) 15 ⋅ 60 − 15 : 60
d) 2 : 50 − 2 ⋅ 50
18 Oblicz.
a) 144 −10 6, 4 ⋅ 0, 1
b) 169 − 0,
4 10 ⋅ 250
c) 0, 1 30 ⋅ 270 − 196
d) 20 4, 9 ⋅ 0,
1 − 121
19
3
w postaci a b albo a b, gdzie a, b to liczby naturalne.
a) 8 + 3 2
b) 2 27 − 4 3
c) 5 5 + 3 125
3 3
3 3
3 3
d) 16 + 2
e) 5 81 − 10 3
f) 2 625 + 2 5
20 7 2, 6458 oraz 70 8, 3666
a) 700 b) 7000 c) 70000 d) 700000
21 Oblicz:
a) pierwiastek kwadratowy z
b) pierwiastek kwadratowy z
c) z
d) z
22 x =− 3.
2
a) x − 2 3x
− 9
b) − x + 2 3x
+ 9
23 Porównaj liczby x i y.
a) x = 2 98, y = 3 50 b) x = 1 24
90 , y = 2
7 49
c) x = 13
99 , y = 005 , 2 + 012 , 2
d) x = 3 20 , y = 017 , − 008 ,
2
2 2

38
24 3 3 ; 2 05 , ; 3
3
25
a) 2 + 3 3 1
od najmniejszej do
( )( − ) b) ( 2 − 3) ( 2 + 3)
( − )( − ) d) ( 3 + 1) ( 3 + 1)
c) 3 1 3 1
26
a) ( 6 + 5 3)⋅ 3
b) ( 5 8 − 2 2)⋅ 18 c) ( 3 12 + 15)⋅
2 3
3 3 3
3 3 3
d) ( 2 3 + 6)⋅ 9 e) ( 5 4 + 12)⋅ 2 2 f) ( 3 25 + 2 3 50)⋅
3 5
3 2
27 Które z liczb: − 2, −1, 1, 2x + x − 2x
− 2 = 0?
28
a)
d)
12 + 3 3
3
16 + 2 2
3
2
3 3
b)
e)
3 54 − 96
2 6
3 3
3 81 − 24
3
2 3
c)
f)
5 24 − 3 150
6
3 3
3 40 + 2 135
3
6 5
29 o polu 10 cm 2
od 13 cm.
30 o 3 2 ,
ale mniejsze od 13 cm 2 .
31 Niech x, ya n
w prostszej postaci.
5n
n
n n+2 2n
3n n+ 5 5n 3n+
1 x y
a) x ⋅ x y
b) x y ⋅ x y c)
n 3n
xy
32 z mianowników i
a) 2 3 − 2 2
− b) 6 6 − 6 2 6 + 12 1 1 2 3 − 3 2
+ c) − +
6 2
3 2
2 3 6
4 5 3 5
33 Oblicz 7 − 4 − 3 + 1 .
11 11 11 11
1
34 3 9 0 6 60
15 + , −

2 Twierdzenie
Pitagorasa
jacht
latarnia
morska

40
CZY PAMIETASZ?
2 2 2
Dane jest równanie: 5 + m = 13 m.
i 6. Podaj:
a)
b) kwadrat sumy tych liczb.
2 2
Czy 3 + 7 jest równe 10?
i 8 cm.
Z odcinków o
z a które
i
Na
puzzli i na -
na kwadrat, a na
Oblicz za
metoda puzzli
metoda ramki
Na

2.1 Twierdzenie Pitagorasa
W tym temacie dowiesz się:
jak brzmi twierdzenie Pitagorasa,
jak stosować twierdzenie Pitagorasa do obliczania długości boków trójkątów prostokątnych,
jak stosować twierdzenie Pitagorasa do obliczania wysokości w trójkątach równoramiennych,
jak udowodnić twierdzenie Pitagorasa.
W
Pythagorean theorem
2 2 2
a + b = c
Suma pól kwadratów zbudowanych na
kwadratu zbudowanego na
right-angled triangle
hypotenuse
cathetus
2 2 2
a + b = c

42 2. TWIERDZENIE PITAGORASA
Popatrz na na rysunkach
1. i
a + b
1. 2.
proof
Na rysunku 1. kwadrat podzielono na
2 2
wynosi a + b na
Na rysunku 2. kwadrat podzielono na szary kwadrat o polu c 2 -
do na rysunku 1. Wobec tego suma
pól szarych kwadratów na rysunku 1. jest równa polu szarego kwadratu na rysunku 2.,
2 2 2
zatem a + b = c .
Uzasadnienie:
na
a α + β
do o
na rysunku obok).
SPRAWDŹ W INTERNECIE
Pitagoras urodził się ok. 570 r. p.n.e. w starożytnej Grecji.
Był założycielem szkoły pitagorejczyków, gromadzącej filozofów,
matematyków, astronomów. W szkole tej rozważano między innymi
takie problemy matematyczne, jak podwojenie sześcianu,
trysekcja kąta, kwadratura koła itp. Pitagorejczycy wnieśli duży
wkład w rozwój nauki.
Twierdzenie, którego udowodnienie przypisuje się Pitagorasowi,
było znane i stosowane w czasach przed jego urodzeniem – jest
jednym z najsłynniejszych twierdzeń matematycznych. W XX w.
znano już ponad 100 dowodów tego twierdzenia.
Poszukaj w internecie dowodów twierdzenia Pitagorasa innych
niż przedstawiony w podręczniku.

2.1. Twierdzenie Pitagorasa
43
PRZYKŁAD 1.
W i
do 0,1 cm.
Rozwiązanie:
Wykonajmy rysunek.
x
z twierdzenia
Pitagorasa i
2 2 2
3 + 5 = x
x 2 = 34x = 34 [cm]
do 0,1 cm otrzymujemy
x 58 , cm.
dpoied
34 cm, a do 0,1 cm jest
to 5,8 cm.
Pamiętaj, że długość odcinka
jest liczbą nieujemną.
ĆWICZENIE 1.
W i
PRZYKŁAD 2.
W ABC o C
boków AB = 17 cm oraz BC = 8cmCA.
Rozwiązanie:
Wykonajmy rysunek.
Zastosujmy twierdzenie Pitagorasa w
2 2 2
ABC: BC + CA = AB .
2 2 2
CA = AB − BC .
Po podstawieniu danych z zadania otrzymujemy:
= 17 − 8 = 289 − 64 = 225, a zatem CA = 15 cm.
CA
dpoiedCA wynosi 15 cm.
CA 2 2 2
ĆWICZENIE 2.
W PQR o R
boków QR = 24 cm oraz PQ = 25RP.

44 2. TWIERDZENIE PITAGORASA
W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych a, b i przeciwprostokątnej c spełnione są równości:
2 2 2
a = c −b
2 2 2
b = c −a
2 2 2
c = a + b
PRZYKŁAD 3.
Rozwiązanie:
o a h opuszczona
na na dwa
Zastosujmy twierdzenie Pitagorasa w jednym z
h 2 + 8 2 = 17
2 , czyli h 2 = 17 2 − 8 2 = 289 − 64 = 225,
zatem h = 15 cm.
ah
ze wzoru P = , gdzie a = 16 cm oraz h = 15 cm.
16 ⋅ 15
2
P = = 120 [cm 2 ]
2
dpoied 2 .
ĆWICZENIE 3.
o i -
Dzięki wykorzystaniu twierdzenia Pitagorasa możemy konstruować odcinki o długościach
będących pierwiastkami z kolejnych liczb naturalnych. Niebieska łamana nosi nazwę ślimaka
Teodorosa.
2 2
2
1 + 1 = ( 2)
2 2 2
2
( ) + 1 = ( 3)
3 2 2
2
( ) + 1 = ( 4)
16 2 2
2
( ) + 1 = ( 17)

2.1. Twierdzenie Pitagorasa
45
PRZYKŁAD 4.
w
o
a) 5 cm b) 13 cm
Rozwiązanie:
2
2 2
a)( 5) = 5 = 2 + 1, i wykorzystajmy
twierdzenie Pitagorasa, zgodnie
z w trój-
o -
i 1 cm wynosi 5 cm.
2
2 2
b)( 13) = 13 = 3 + 2 , i wykorzystajmy
twierdzenie Pitagorasa, zgodnie
z w trój-
o -
i 2 cm wynosi 13 cm.
ĆWICZENIE 4.
w i narysuj w nim odcinek
o
a) 10 cm b) 17 cm
ZADANIA
1 Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa i zapisz odpowiednie równania.
a) b) c) d)
2
a) b) c) d)

46 2. TWIERDZENIE PITAGORASA
3
a) b) c) d)
4 Oblicz xdo 0,1 cm.
a) b)
5
a) b)
6 Na struowano
kwadraty, tak jak pokazano
na
z tych kwadratów. Ile wynosi pole trzeciego
kwadratu?
7 Na nych
tak jak pokazano na rysunku. Podane
z tych kwadratów. Ile
dratów?
8 Oblicz pola kolorowych kwadratów
przedstawionych na kratce jednostkowej.

2.1. Twierdzenie Pitagorasa
47
9
przedstawionych na rysunku.
10 na rysunku.
11 w w zeszycie
kwadrat o polu 20 cm 2 .
12 w w zeszy-
do linii
13
punktami na
z kalkulatora. Wynik podaj z
do 0,01 km.
14 Na

48 2. TWIERDZENIE PITAGORASA
15 -
ra-
w punkcie M zaznaczonym
na do 1 m.
16 o wymiarach
40 m × 75 m. Piotr w
przebiega 5 m. Ile czasu potrzebuje Piotr,
aby z
do -
z kalkulatora.
17
równobocznym o cinek
hna
h. Wynik
do z kalkulatora.
18 o po-
a) 10 cm, 10 cm, 12 cm
b) 10 cm, 10 cm, 16 cm
19 Oblicz x.
20 AD.
21
i w lewym,
górnym rogu ekranu, tak jak przedstawiono
na -
do 0,1 cm.

2.1. Twierdzenie Pitagorasa
49
22
W -
na
23 o
24 Litera L przedstawiona na rysunku jest zbudowana z -
x = 15 cm.
25 o
?
126 cm
26 Skorzystaj z kalkulatora i
do 0,1 cm.
27 W i
trzeci bok? Rozpatrz dwa przypadki.

50 2. TWIERDZENIE PITAGORASA
28 Punkty X i Yze
m z punktu X do punktu Y
s
gdy przejdzie z punktu X
do punktu Y na ukos z
29 Skorzystaj z i 29 + 20 97.
30 o
31 o i
na jakie dzieli ona
32
do -
33 z
Omów go i

2.1. Twierdzenie Pitagorasa
51
34
Hinduski matematyk Bhaskara w z kwadratów o -
a i bo c. Oto jego dowód:
Omów ten dowód i
rysunki, gdy a = b.
CZY JUŻ POTRAFISZ?
1
odcinka x przedstawionego na rysunku wynosi
A. 2 6 B. 74
C. 2 D. 24
2
podano na rysunku, jest równa
A. 3 cm B. 3,3 cm
C. 3,6 cm D. 3,9 cm
3 z wych
o
jak na
zdanie prawdziwe. Punkt M jest oddalony o
od punktu
A. A B. B
C. C D. D
4 -
do
z kalkulatora.
5 o i ramieniu

72
PODSUMOWANIE DZIAŁU 2
Zanim przystąpisz do rozwiązywania zadań, sprawdź, czy umiesz odpowiedzieć
na poniższe pytania.
Jak brzmi twierdzenie Pitagorasa?
Jak stosować twierdzenie Pitagorasa?
Jak zastosować twierdzenie Pitagorasa dla trójkątów równoramiennych?
Jakie są długości boków w trójkącie o kątach 45°, 45°, 90°?
Jakie są długości boków w trójkącie o kątach 30°, 60°, 90°?
Jak obliczyć długość odcinka umieszczonego w układzie współrzędnych?
W zadaniach 1.–3. dokończ zdania tak, aby były prawdziwe.
1 W a -
A. 1 B. 11 C. 11 D. 4
2 o bokach 6 i 7 jest równa
A. 8 B. 13 C. 13 D. 85
3 Odcinek AB, gdzie A = (, 13, ) B = ( 4, −1)
A. 13 B. 29 C. 41 D. 5
4 Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa i zapisz odpowiednie równanie.
a) b) c)
5 Na rych
z nich. Ile wynosi pole zielonego kwadratu?
a) b)
6
a) b) c) d)

73
7
a) b) c) d)
8
a) b)
9 Który z na
10 Kamil chodzi do na O ile metrów
do
i z powrotem przez 20 dni?

74
11 Oblicz pole i o wymiarach podanych na rysunku.
a) b)
12
13
a) b) obwód jest równy 24, c) pole wynosi 2.
14
a) b) c)
d) e) f)
15 Oblicz pole i obwód kwadratu o
a) 2 b) 3 2 c) 6 d) 8
16 o
a) 2 b) 6 c) 2 d) 4 3
17 o
a) 1 b) 2 c) 2 d) 2 6

75
18
a) b)
19 o
a) 3 b) 25 , 3
c) 1 d) 6
20 o podanym polu.
a) 3 b) 4 3
21 ABC o w punktach: A = (, 1 −3 ),
B = (, 6 −3 ), C = ( −12.
, )
22 Do z
w -
na
23 z
ze km h
na a drugi ze km h
na wschód. a
godzinach?
24 Kolejka górska na do poziomu pokonuje
2 km. Na
na
25 z domu w kierunku zachodnim i
na i a na wschód i
w
26 Tomek i Dorota stali naprzeciwko siebie po dwóch stronach rzeki o
do Doroty, ale

76
27
a
28 w o
i do w centymetrach
i
29
na rysunku obok.
30 Na -
na Pa + Pb = Pc.
31 W
z o
2 m i
na rysunku na
do dyspozycji tylko dwie deski
o

6
Powtórzenie
procent uczniów
liczba punktów

6.9
Statystyka i rachunek
prawdopodobieństwa
Diagram słupkowy Diagram kołowy Wykres Porządkowanie informacji
Zestaw danych Średnia arytmetyczna Doświadczenie losowe
Zdarzenie elementarne Zdarzenie losowe Zdarzenie sprzyjające
Zdarzenie niemożliwe Zdarzenie pewne Prawdopodobieństwo zdarzenia
A na-
nA i liczby
N).
PA ( )
n
N
PRZYKŁAD 1.
Rozwiązanie:
5 + 10 + 4 + 4 + 7 = 6 . Po do-
5
5 + 10 + 4 + 4 + 7 + 8 + 8 + 8
8
3 4 .
54 27 3
= = = 6 -
8 4 4
PRZYKŁAD 2.
1 2 3 4 5
20 28 24 16 12

6.9. Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa
231
Rozwiązanie:
20 ⋅ 1 + 28 ⋅ 2 + 24 ⋅ 3 + 16 ⋅ 4 + 12 ⋅ 5 = 20 + 56 + 72 + 64 + 60 = 272.
272 272 , .
100
PRZYKŁAD 3.
a)
b)
Rozwiązanie:
a) Pani Zosia ma w portmonetce 15 monet (liczba wszystkich elementów zbioru), w tym
równe 8
15 .
b)
12
15
4
= .
5
PRZYKŁAD 4.
nego
koloru jest równe 3 5 1 2 .
Ustalmy, co zawiera zakryta karta.
Rozwiązanie:
3 6
oraz 1 5
5 10 2 10

232 6. POWTÓRZENIE
ZADANIA
W zadaniach 1.–3. dokończ zdania tak, aby były prawdziwe.
1
A. 200 g B. 200,5 g C. 200,75 g D. 201 g
2 x, 7 wynosi 7, wobec tego liczba x jest równa
A. 10 B. 7 C. 5,5 D. 1
3
równej co najmniej 5 wynosi
A. 1 2
B. 1 3
C. 1 5
D. 1 6
4 A i B oraz C i D.
AB liczb podzielnych przez 6.
A. 15 B. 16
C D
C. 18 D. 20
5 A i B oraz C i D.
AB.
A. 101 B. 102
C D.
C. 110 D. 120
6
I. 9 . PRAWDA / FAŁSZ
10
II. 1 9 .
PRAWDA / FAŁSZ
7
I. W do -
II. W do
PRAWDA / FAŁSZ
PRAWDA / FAŁSZ

6.9. Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa
233
8
-
T (tak) albo NA, B albo C.
T
N
A.
B. 2 5
3
.
7
C.i czarnych.
9
10
liczby 2, 0, 2, 0?
11
zestawu danych.
12
skiego
w pewnej 25-osobowej klasie. Oblicz
13 -

234 6. POWTÓRZENIE
14
9, 12, 10, 10, 9, 9, 9, 11, 9, 10, 9, 11, 12, 10, 11, 10, 9, 9, 9, 10. Wykonaj wykres
15
16
wieku szachistów oraz ich opiekuna wynosi 17 lat. Ile lat ma opiekun?
17 P R A W D O P O D O B I E Ń S T W O
a) O, b)
18 -
-
a)
b) liczby, której pierwiastek kwadratowy nie jest
4
1
3
1
1
2
1
2
19 -
a) 2, b) 3, c) 4, d) 5.
20 losowana
karta nie jest:
a) b)
c) d)
21
22
ABCDE wybrano jeden odcinek. Oblicz
-
A.

6.9. Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa
235
23
24
25
a) b)
c) d)
26
a) -
2 3 ?
b) -
2 3 ?
27
28 -
29
-
a) obie odpowiedzi poprawne,
b)
c)

MATEMATYKA
O podręczniku
2 Twierdzenie
Pitagorasa
jacht
latarnia
morska
40 CZY PAMIETASZ?
Dane jest równanie: 5 2 + m
2 = 13
2 m.
i 6. Podaj:
a)
b) kwadrat sumy tych liczb.
2 2
Czy 3 + 7 jest równe 10?
i 8 cm.
Z odcinków o
z a które
i
Na
puzzli i na -
na kwadrat, a na
Oblicz za
metoda puzzli
metoda ramki
Na
1.1 Pierwiastek kwadratowy
Z tego tematu dowiesz się:
jak obliczać pierwiastki kwadratowe z liczb, które są kwadratami liczb wymiernych,
jak szacować wielkość pierwiastków kwadratowych oraz wyrażeń arytmetycznych
zawierających pierwiastki,
jak porównywać wyrażenia zawierające pierwiastki kwadratowe z liczbami wymiernymi.
PRZYKŁAD 1.
garowi
i z
zapisano kolejne godziny.
Rozwiązanie:
Na tarczy zegara pod symbolem zapisano
godziny podniesione do kwadratu,
na
4 = 2 2 = 4
2 =
36 = 6 6 36
2 =
81 = 9 9 81
144 = 12 12 2 = 144
z liczby nieujemnej a nazywamy
a.
symbol pierwiastka
kwadratowego
a
liczba podpierwiastkowa
(nieujemna)
121
100
144
81 9
64
16
49 25
36
pierwiastek kwadratowy z a
square root of a
1
4
ĆWICZENIE 1.
z
a) 1 b) 9 c) 16 d) 25
e) 49 f) 64 g) 100 h) 121
Wprowadzenie pokazuje
użyteczność matematyki
w codziennym życiu.
Zadania Czy pamiętasz?
przygotowują do realizacji
nowego materiału.
Na początku tematu podano
umiejętności, jakie uczniowie
zdobędą na lekcjach.
64 2. TWIERDZENIE PITAGORASA
20
ABC o wymiarach podanych na rysunku.
CZY JUŻ POTRAFISZ?
1
o boku 6 11 jest równe
A. 9 33 B. 18 33 C. 99 3 D. 198 3
2 nego
o 7 6 jest równy
A. 42 2 B. 21 2 C. 14 2 D. 7 2
3 o polu równym 6 3.
A. B. C. D.
4
a
kolejki?
5 o wymiarach podanych na rysunku.
72 PODSUMOWANIE DZIAŁU 2
Zanim przystąpisz do rozwiązywania zadań, sprawdź, czy umiesz odpowiedzieć
na poniższe pytania.
Jak brzmi twierdzenie Pitagorasa?
Jak stosować twierdzenie Pitagorasa?
Jak zastosować twierdzenie Pitagorasa dla trójkątów równoramiennych?
Jakie są długości boków w trójkącie o kątach 45°, 45°, 90°?
Jakie są długości boków w trójkącie o kątach 30°, 60°, 90°?
Jak obliczyć długość odcinka umieszczonego w układzie współrzędnych?
W zadaniach 1.–3. dokończ zdania tak, aby były prawdziwe.
1 W a -
A. 1 B. 11 C. 11 D. 4
2 o bokach 6 i 7 jest równa
A. 8 B. 13 C. 13 D. 85
3 Odcinek AB, gdzie A = (, 13, ) B = ( 4, −1)
A. 13 B. 29 C. 41 D. 5
4 Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa i zapisz odpowiednie równanie.
a) b) c)
5 Na rych
z nich. Ile wynosi pole zielonego kwadratu?
a) b)
6
procent uczniów
Powtórzenie
6
a) b) c) d)
liczba punktów
Duża liczba ciekawych
zadań zróżnicowanych pod
względem stopnia trudności,
o tematyce bliskiej uczniom.
Podsumowanie działu
zawiera pytania teoretyczne
oraz zestaw zadań
zamkniętych i otwartych.
Powtórzenie utrwala
wiadomości poznane
w szkole podstawowej.
wsip.pl
sklep.wsip.pl
infolinia: 801 220 555